Mechanické kmitání (oscilace) • pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje

v různých směrech od rovnovážné polohy

– př. kyvadlo

Příklady kmitavých pohybů

• kyvadlo v pendlovkách

• struna hudebního nástroje

• chvění bubínku ucha při příjmu zvuku

• pulsování srdce

• píst v motoru, tlumiče pérování,...

Souhrnně nazýváme tyto „stroje“ jako mechanické oscilátory

Mimo mechaniku:

• střídavý proud v el. síti

• vysílání a příjem signálů z rozhlasu a televize

Kmitavý pohyb – základní pojmy

• Perioda (doba kmitu) T [s]

- doba, za kterou proběhne jeden kmit a oscilátor dospěje do počáteční polohy

• Frekvence (kmitočet) f [Hz] - hertz

– počet kmitů za jednu sekundu

• Úhlová frekvence ω [rad/s]

T

2

Tf

1

f.2

převedení kmitů na kruhový pohyb

příklady • rozsah vnímání lidského ucha: asi 16 Hz – 16 kHz

• přenos rozhlasových vln: frekvence od 150 kHz do 100 MHz

• určete periodu a frekvenci tepu vlastního srdce

• Okamžitá výchylka y [m] (výchylka v daném okamžiku) - periodicky se mění s časem, nabývá kladných a záporných hodnot • Amplituda výchylky ym [m] je absolutní hodnota největší výchylky

Harmonické kmitání • Kmitavé pohyby, při kterých se časový průběh

výchylky pravidelně opakuje, jsou periodické kmitavé pohyby

• Zvláštním případem jsou pohyby harmonické, které lze popsat rovnicí

• udává závislost okamžité výchylky na čase

• grafem je sinusoida

tyy m sin

;

• ym amplituda – maximální výchylka

• y okamžitá výchylka – výchylka v daném čase

• T perioda – doba jednoho kmitu

• t čas

• určete z grafu periodu, frekvenci, amplitudu

úlohy

• určete výchylku tělesa v čase t = 0,3 s, jestliže oscilátor vykonává harmonický pohyb s frekvencí 0,2 Hz a s amplitudou 12 cm.

• a v čase 6,25 s?

• určete, v jakém čase poprvé (podruhé) nastává výchylka 6 cm.

úlohy

• určete výchylku tělesa v čase t = 0,5 s, jestliže oscilátor vykonává harmonický pohyb s frekvencí 0,4 Hz a s amplitudou 10 cm.

• y = 9,51 cm

• určete, v jakém čase poprvé (podruhé) nastává výchylka 7 cm.

• t1 = 0,31 s , t2 = 0,94 s

• T = 1,6 s

• amplituda = 4,3 mm

• určete výchylku v čase

– 0,7 s

– 0,8 s

– 2,1 s

• určete v jakých časech nastává výchylka

– 4 mm

– 8,6 mm

– - 3,5 mm

Fáze kmitavého pohybu

• kmitavý pohyb nemusí začínat v rovnovážné poloze

• v porovnání s pohybem tělesa po kružnici lze pak zavést úhel zvaný počáteční fáze

0

)sin( 0 tyy m

rovnice kmitání s počáteční fází pak je

Složené kmitání • Jestliže hmotný bod

koná současně několik harmonických pohybů

• Využíváme princip superpozice

aplet Skládání vln - rázy

Dynamika kmitavého pohybu

• Příčinou kmitavého pohybu je síla pružnosti (u pružiny) nebo síla tíhová (u kyvadla).

• Pomocí 2. Newtonova zákona platí:

• což je pohybová rovnice harmonického kmitání

ymmaF 2

Závaží na pružině • Vlastnosti jsou dány hmotností m

zavěšeného tělesa a tuhostí pružiny k, což je poměr působící síly a příslušné výchylky.

• jednotkou je

(newton na metr)

m

N

ykF .

• působící síla je úměrná výchylce:

F = - ky a také F = - mω2y

• tedy - ky = - mω2y

doba kmitu pružiny

• je úměrná hmotnosti (4krát větší hmotnost

znamená 2krát větší periodu)

• je nepřímo úměrná tuhosti pružiny

příklady

1. určete tuhost pružiny, jestliže závaží o hmotnosti 150 g ji prodloužilo o

a) 10 cm

b) 2 cm

2. určete periodu kmitání závaží, které prodlouží danou pružinu o 5 cm

3. určete frekvenci kmitání tělesa na pružině s kilogramovým závažím, je-li její tuhost 60 N/m.

příklady

• Jak se změní perioda harmonického kmitání, pokud k pružině místo měděné kuličky připevníme hliníkovou kuličku o témže průměru? Hustota mědi je 8930 kg.m-3, hustota hliníku 2700 kg.m-3

Kyvadlo

• matematické kyvadlo - hmotný bod na nehmotném závěsu

• příčinou pohybu je tíhová síla

• pro periodu a frekvenci platí :

(l je délka závěsu)

Perioda kmitání je při konstantním tíhovém zrychlení určena pouze délkou závěsu.

• Určete, jakou periodu má kyvadlo s délkou závěsu 5 cm, 50 cm, 1 m, 10 m.

• Určete délku kyvadla, které má periodu kmitání 1 s.

• Jak se změní perioda kyvadla, jestliže ho zkrátíme o 25 % délky?

• Jak se změní perioda kyvadla, jestliže ho přeneseme ze Země na Měsíc? gM = gZ / 6

• Kyvadlo se objevuje v historii lidstva velmi brzy jako jednoduché zařízení pro měření času.

• Konstrukcí kyvadlových hodin proslul holandský fyzik Christian Huygens.

Tlumené kmitání

• vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené

• příčinnou je odpor prostředí a tření v materiálu

• zmenšuje se amplituda kmitů

Nucené kmitání • netlumené harmonické kmitání, které je

vynucováno vnější silou

• oscilátor při nuceném kmitání kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení

Rezonance

• nastává u nuceného kmitání, kdy frekvence nuceného kmitání je shodná s frekvencí vlastního kmitání oscilátoru: = 0

• amplituda výchylky dosáhne největší hodnoty

význam rezonance

• v hudbě (rezonanční desky nástrojů – houslí, kytar, apod., ozvučnice reproduktorů)

• dutiny ve sluchovém ústrojí

• v elektrotechnice a ve sdělovací technice

• rozhoupání dětské houpačky

negativní vlivy rezonance

• strojní zařízení vykonávající rotační pohyb (turbíny, velké motory,…) musejí být uložena na podlaze s jinou vlastní frekvencí kmitání (a jejích násobků) než je frekvence otáčení stroje

• rozkmitání vozidla na panelové vozovce

• rozkmitání mostu při průchodu vojska s pořadovým krokem

• jak těmto nežádoucím vlivům zabráníme?

příklady • učebnice str. 24

• určete, při jaké rychlosti automobilu jedoucího po betonové dálnici dojde k rezonanci, jestliže délka panelů je 10 m a vlastní frekvence kmitů automobilu je 2,5 Hz

• určete vlastní periodu kmitů vody v nádobě, kterou nese chlapec s délkou kroku 0,6 m a která se v nádobě rozkmitala při rychlosti 3 m/s.