Mechanika płynów

I.Wartości współczynnika Oporu CD dla ciał o

różnych kształtach.

Przygotowali : Michał Gołda Gr. 6Dariusz Klimas Gr. 3

Wartości współczynnika oporu CD dla ciał o różnych kształtach dla liczb Re ~ 105 , działające na przednią powierzchnię, z wyjątkiem wychylonej płyty , co uwidacznia schemat:

Mechanika płynów

Przepływ następuje z lewej strony do prawej, z uwzględnieniem położenia ciała.

Wymiar „a” jest mierzony zgodnie z kierunkiem przepływu , natomiast wymiar „b” jest mierzony prostopadle do kierunku przepływu.

Mechanika płynów

Mechanika płynów

Mechanika płynów

Mechanika płynów

Mechanika płynów

Mechanika płynów

R – siła oporu powietrza, która przeciwdziała jego ruchowi w powietrzu,S – pole rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do kierunku ruchu [m2],v – prędkość ciała względem powietrza [m/s]

S

RCD

2

)2(

SzR 2

(1)

2DCz

(2)

CD/2 wsp. Oporu powietrza w literaturze zapisywany jest czasami jako wsp oporu „z”

Mechanika płynówII. Opór powietrza poruszającego się ciała, powierzchnia szkodliwa.

Jeśli ciało porusza się w powietrzu z prędkością „v”, to w jego bezpośrednim otoczeniu powstają różnice ciśnienia. Ciśnienie jest wtedy większe na przedniej stronie ciała, na tylnej zaś mniejsze tak, że powstaje stąd siła wypadkowa, która przeciwdziała ruchowi ciała i nazywana jest oporem powietrza.

Wielkość oporu, który przeciwdziała ruchowi ciała w powietrzu, może być wyznaczona z następującej zależności:

Mechanika płynów

2vSzR (3)

R – opór powietrza [kg],z – współczynnik oporu powietrza (liczba oderwana),m – gęstość powietrza (normalnie 1/8),F – pole rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do kierunku ruchu [m2],v – prędkość ciała względem powietrza [m/s]

Wzór (3) wskazuje, że opór powietrza wzrasta proporcjonalnie do gęstości powietrza, do pola rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do kierunku ruchu i do kwadratu prędkości.

Współczynnik z zależy tylko od kształtu ciała (w szczególności od kształtu jego przekroju) oraz od właściwości jego powierzchni.

Mechanika płynów

Musimy zdać sobie sprawę, w jakim stopniu uprawnione jest założenie, że współczynnik „z” nie zależy od pozostałych wielkości tj.ρ, S, v.

a) Przyjmujemy, że współczynnik pozostaje niezmienny, jeśli zmienia się tylko gęstość powietrza a wszystko inne pozostaje bez zmiany.

Mechanika płynów

b) Przyjmujemy, że współczynnik „z” pozostaje niezmienny, jeśli zmienia się tylko wielkość ciała, a więc i pole jego rzutu, poza tym wszystko pozostaje bez zmiany (w szczególności kształt ciała).

c) Przyjmujemy, stosując wzór (3), że współczynnik z pozostaje niezmienny, jeśli zmienia się tylko prędkość a wszystkie inne parametry pozostają jednakowe.

Mechanika płynów

Często wzór na opór powietrza wygląda nieco inaczej, mianowicie wprowadza się do tego równania „normalny współczynnik oporu” :

Mechanika płynów

(4)

(5)

zC 200oraz „ciśnienie prędkości” zwane ciśnieniem dynamicznym:

2

2vpd

Wstawiając równania (4) i (5) do równania (3) wzór na opór powietrza przyjmie postać:

Mechanika płynów

SpzR d 2

Sp

CR d 100

(6)

(7)

Mechanika płynów

Dla płaskiej tarczy, poruszanej w powietrzu prostopadle do swej płaszczyzny, współczynnik z ze wzoru (3) wynosi od 0,6 do 0,7, średnio 0,65, jeżeli kontur jej nie wiele różni się od kwadratu lub koła. Można sprowadzić opór powietrza dowolnego ciała do oporu takiej tarczy, jeżeli tylko we wzorze (3) zamiast pola rzutu tego ciała i współczynnika z, wprowadzić pole odpowiednio dobranej płyty zastępczej i współczynnik 0,65. Powierzchnią szkodliwą nazywamy właśnie pole takiej płytki, która poruszając się prostopadle do swej płaszczyzny doznawałaby tego samego oporu co dane ciało.

Wprowadzono pojęcie „powierzchni szkodliwej” „s”. Jest to powierzchnia odpowiadająca rzutowi „S” pewnego ciała na płaszczyznę prostopadłą do kierunku ruchu, to 0,65s musi być równe z, S, a więc :

Mechanika płynów

65,0

Szs

(8)

Przykład: Weźmy pod uwagę pręt cylindryczny dla którego S=0,08 m2 i współczynnik z=0,5; powierzchnia szkodliwa wyniesie tu :

Mechanika płynów

2062,065,0

08,05,0

65,0m

Szs

Uwzględniając wzór (8) w zależnościach na opór powietrza otrzymamy nową postać tego równania:

Mechanika płynów

265,0 vsR

dpsR 30,1

(9) lub

(10)

Jeżeli wprowadzimy do równania (9) wartość normalną gęstości „ρ”, mianowicie 1/8, to otrzymamy:

Mechanika płynów

208,0 vsR (11)

Żeby znaleźć powierzchnie szkodliwą „s” jakiegoś określonego ciała trzeba znać wartość współczynnika „z”.

III.Opór powietrza dla rozmaitych ciał.

Mechanika płynów

Mechanika płynów

Mechanika płynówIV. Opór powietrza i inne siły wywierane przez powietrze.

Proporcjonalna zależność oporu powietrza od kwadratu prędkości nie jest zupełnie ścisła. Jeżeli obliczymy iloraz:

2vS

Rz

(12)

dla jakiegokolwiek ciała, np. dla kuli o średnicy 28 cm, przy różnych wartościach „v”, przy czym odpowiednie wartości „R” będą wzięte z danych doświadczalnych to otrzymamy wykres, który przedstawia środkowa linia na rys.1

Mechanika płynów

Rys. 1. Współczynnik oporu dla kuli i elipsoidów

d

Re

Mechanika płynów

Zjawisko przedstawione na rys.1 zostało bliżej zbadane w układzie doświadczalnym Prandtl’a w Göttingen. Okazało się, że ze zmianą współczynnika oporu „z” jest związana zmiana kształtu opływu w otoczeniu kuli. Jak wskazuje rys.2 przy mniejszych prędkościach strugi powietrza odrywają się mniej więcej w okolicach wielkiego koła kuli „b”, przy większych zaś prędkościach dopiero dalej z tyłu „a”.

Mechanika płynów

Rys. 2. Opływ dookoła kuli

a) b)

Prawo podobieństwa zostało odkryte przez Amerykanina Osborne’a Reynolds’a w 1883 roku.

Powietrze jak i woda, jest ściśle biorąc cieczą lepką, w której występują nie tylko ciśnienia prostopadłe do powierzchni, lecz i siły w kierunku stycznym między dwiema ślizgającymi się po sobie warstwami.

Mechanika płynów

Według hipotezy, datującej jeszcze od Newtona, przyjmuje się, że wielkość siły stycznej, przypadającej na jednostkę powierzchni, jest proporcjonalna do spadku prędkości przez odległość warstw.

Mechanika płynów

Biorąc prostopadłościenny element, którego jedna ściana równa jest jednostce pola, a wysokość wynosi „l” ; masa tego elementu będzie równa ρ·l (ρ =gęstość) i według podstawowego prawa mechaniki otrzymamy:

ρ ·l·przyśpieszenie= ŋ ·spadek prędkości

(13)

ŋ - współczynnik proporcjonalności

Mechanika płynów

Przyśpieszenie jest ilorazem prędkości przez czas „t”, a spadek prędkości – iloraz prędkości przez długość „l” .

Jeżeli pominiemy prędkości po obu stronach równania (13) to możemy powiedzieć, że przy zjawiskach przepływu cieczy, uzależnionych od lepkości, miarodajny jest tylko stosunek tych dwóch wyrażeń:

Mechanika płynów

::t

ll

lt

l

(14)

Jeżeli oznaczymy:

Mechanika płynów

tl

(15) oraz (16)

To podstawiając te wyrażenia do wzoru (12) otrzymamy:

l

Re (17)

ŋ/ρ – współczynnik lepkości ośrodka zależny od własności ośrodka (0,14 cm/s dla powietrza; 0,01 dla wody)

Analizując równanie (17) można się spodziewać, iż współczynniki oporu np. dwóch kul będą równe, jeżeli w obydwu przypadkach iloczyn prędkości przez średnice podzielony prze współczynnik lepkości ośrodka daje tą samą wartość. W ten sposób przedstawia się prawo podobieństwa Reynolds’a dla kuli, której charakterystycznym wymiarem liniowym jest średnica.

Mechanika płynów

Przykład: Kula o średnicy 28 cm, poruszająca się w powietrzu z prędkością 20 m/s ma taki sam współczynnik oporu z (lecz nie taki sam opór R ), jak kula o średnicy 14 cm przy prędkości 40 m/s lub kula o średnicy 2 cm, poruszająca się wodzie z prędkością 20 m/s (gdyż lepkość powietrza jest 14 razy większa niż wody).

Mechanika płynów

Dokładne scharakteryzowanie oporu powietrza dla pewnego ciała za pomocą jednej liczby jest w ogóle niemożliwe; tym bardziej nie można tego uczynić dla ogólnikowo zdefiniowanej grupy ciał, np. dla „długich cylindrów” przy czym wymiary właściwości powierzchni ciała, kształt końców itd. mogą być bardzo różne.

Mechanika płynów

Należy wziąć pod uwagę okoliczność utrudniającą porównanie i wykorzystanie danych doświadczalnych. Prawie wszystkie doświadczenia są wykonywane w tunelach aerodynamicznych a więc polegają na odwróceniu zjawiska lotu: ciało jest w spoczynku a powietrze dopływa z prędkością „ν” jest przy tym trudno uniknąć szkodliwych wpływów, wprowadzających zakłócenia normalnego ruchu powietrza, zwane „turbulencją”.

Mechanika płynów

Jeżeli doprowadzone do ciała powietrze nie jest dostatecznie „spokojne” to otrzymuje się mniejsze współczynniki oporu, szczególnie dla ciał, przy których wytwarza się znaczna przestrzeń martwa, wypełniona wirami.

Jedno z podstawowych praw aerodynamiki głosi,że ciśnienie powietrza działa na elementy powierzchni ciała w przybliżeniu prostopadle do tych elementów.

Mechanika płynów

Znane jest np. zjawisko, że na kadłub samolotu działa nie tylko opór ale i siła nośna. Znaczy to, że ciśnienie, działające na dolną i górną powierzchnię kadłuba, nie znoszą się wzajemnie tak, jak dla poziomo poruszanej kuli, lecz pozostaje nadwyżka, działając z dołu do góry.

Mechanika płynów

Mechanika płynów

VYF Γ - cyrkulacja