MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES

Prof. Humberto Camargo Piccoli

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Sala: Centeco

II – JUSTIFICATIVA

O tema das vibrações em sistemas mecânicos está presente em todas as indústrias seja em função de problemas que resultam de defeitos em projeto ou desgaste das máquinas ou de máquinas que utilizam os princípios vibratórios para realizar operações produtivas. Desta forma é importante que todo o engenheiro mecânico domine o tema para que possa resolver os problemas com que se deparar ou utilizar adequadamente as tecnologias (desenvolver) que se fundamentam nestes princípios.

UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE VIBRAÇÕES

A vibração e a História

Pré-História: instrumentos rudimentares (percussão, cordas, metais)

Pitágoras de Samos (cerca de 570-497 AC):

método racional de medir freqüências sonoras (origem do diapasão) – pai da acústica experiências com martelos, cordas, tubos e placas - primeiro laboratório de pesquisas freqüências naturais são propriedades dos sistemas freqüência natural de uma corda é inversamente proporcional ao seu comprimento e diâmetro e cresce quando cresce a tensão freqüência natural da vibração longitudinal de uma coluna é inversamente proporcional ao comprimento da mesma. mudava a freqüência natural de recipientes colocando água dentro deles. Hipasos (um discípulo de Pitágoras que diz-se tenha sido morto por revelar segredos pitagóricos) testou quatro discos de bronze e encontrou freqüências naturais inversamente proporcionais às espessuras.

Culturas grega e chinesa – isocronismo do pêndulo - Aristófanes (450-388 AC). On Acoustics - Aristóteles Heródoto (cerca de 484 a 425 a.C.) - transdutor de vibração (um escudo coberto com uma fina camada de bronze) sismógrafo - China 132 d.C. Zhang Heng - pêndulo de 3 m de comprimento, 2 metros de largura. Em Luoyang, então capital da Dinastia Han (de 206 a.C. a 220 d.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distância (National Geographic Brasil, fevereiro de 2004).

Galileu Galilei (1564-1642) (Pisa) relação entre o comprimento do pêndulo e o seu período de oscilação ressonância entre dois corpos, conectados por algum meio de transferência de energia e sintonizados em uma mesma freqüência natural, relações entre densidade, tensão, comprimento e freqüência de uma corda vibratória. tonalidade sonora e a freqüência da vibração do elemento mecânico.

Robert Hooke (1635-1703) (Londres) mesmas relações entre tonalidade e freqüência Lei da Elasticidade (1676)

John Wallis (1616-1703) (Ashford, Ing) e Joseph Sauveur (1653-1716) (La Flèche, França)

observaram, independentemente, o fenômeno das formas modais (com nós) ao estudarem cordas vibratórias. Também descobriram que a freqüência do segundo modo é o dobro da freqüência do primeiro, a do terceiro é o triplo, etc. A Sauveur são creditados os termos fundamental para a freqüência do primeiro modo e harmônicas para as outras.

Daniel Bernoulli (1700-1782) (Groningen, Holanda) princípio da superposição linear de harmônicas equação diferencial da vibração lateral de barras prismáticas para pequenas deformações (1751)

Leonhard Euler (1707-1783) (Basiléia, Suíça) equação diferencial da vibração lateral de barras prismáticas para pequenas deformações (1744)

Charles Augustin Coulomb (1736-1806) (Angoulême, França) estudos teóricos e experimentais sobre as oscilações torcionais de um cilindro metálico suspenso por um arame (1784)

Placa de Chladni

Ernst Florenz Friedrich Chladni (1756-1827) (Wittengerg, Alemanha) método de espalhar areia sobre uma placa vibratória para encontrar as suas formas modais (1802) – filme do youtube

Em 1809, a Academia Francesa convidou Chladni para dar uma demonstração de suas experiências. Napoleão Bonaparte, comparecendo ao encontro, ficou muito impressionado e destinou uma soma de 3000 francos para a Academia premiar a primeira pessoa que apresentasse uma teoria matemática satisfatória sobre vibração de placas. Outubro de 1811, somente Marie-Sophie Germain (1776-1831) (Paris, França) se apresentou. Mas Joseph-Louis Lagrange, (1736-1813) (Turim, Itália) – professor e amigo de Sophie - que era um dos julgadores, observou um erro na determinação das equações diferenciais do movimento. Outubro de 1813. Sophie Germain novamente se apresentou com a forma correta da equação diferencial. Os juizes exigiram uma justificativa física para as hipóteses utilizadas na demonstração da equação. Em 1816, Sophie Germain conseguiu ganhar o prêmio, apesar dos juizes não estarem completamente satisfeitos com a sua teoria. A equação diferencial estava correta mas as condições de contorno estavam erradas, verificou-se posteriormente. As condições de contorno corretas foram apresentadas apenas em 1850, por Gustav Robert Kirchoff (1824-1887) (Königsberg, Prússia)

John William Strutt, (3º Lord Rayleigh) (1842-1919) (Langford Grove, Inglaterra)

A Teoria do Som, 1877 Método de Rayleigh - determinação da freqüência fundamental de vibração de um sistema utilizando o princípio da conservação da energia.

H. Frahm 1902 - estudo da vibração torcional no projeto de eixos propulsores de barcos a vapor. 1909 - absorvedor dinâmico de vibração (1911 Device for damping vibrations of bodies, US Patent 989958)

Aurel Boleslav Stodola (1859-1942) (República Checa)

método de análise de vibrações em vigas e pás de turbinas

Stephen Timoshenko (1878-1972) (Ucrânia) e Raymond David Mindlin (1906-1987) (Nova Iorque)

teorias de vibração em vigas e placas.

Vibrações não lineares Jules Henri Poincaré (1854-1912) (Nancy, França) e Alexander Lyapunov (1857-1918) (Yaroslavl, Rússia).

Após 1920, Duffing e van der Pol teoria de vibrações não lineares aplicadas a problemas de engenharia.

Vibrações aleatórias Albert Einstein (1879-1955) (Ulm, Alemanha), em 1905, movimento Browniano (movimento aleatório de partículas macroscópicas num fluido como consequência dos choques das moléculas do fluido nas partículas). função de correlação 1920, Taylor, densidade espectral, início da década de 30, por Wiener e Khinchin, Lin e Rice 1943 e 1945, aplicação de vibrações aleatórias a problemas de engenharia.

Comportamentos complexos – computadores

Instrumentos de medição de alta tecnologia (lasers)

Aplicação de vibrações Ciências

Som, luz, respiração, batimentos cardíacos, cordas vocais, oscilação de braços e pernas Economia, biologia, química, física, etc.

Engenharia

Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle.

Balanceamento. Problemas em pás e rotores de turbinas. Fadiga em rotores. Desgaste em mancais e engrenagens. Uniões desfeitas. Qualidade da usinagem – acabamento superficial

Ressonância (ver vídeos) Desconforto humano (veículos) Painéis de instrumentos.

Aplicação de vibrações

Ressonância (ver vídeos)

Copo

Helicóptero

Ponte de Tacoma

Ponte Rio-Niterói

Conceitos básicos de vibração

Vibração É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo (pêndulo e da corda de um violão)

Vibrações Livre e Forçada Vibração livre é aquela produzida por uma perturbação inicial que não persiste durante o movimento vibratório (pêndulo simples). Vibração forçada é provocada por um efeito externo que persiste durante o tempo em que o movimento vibratório existir (rotor desbalanceado).

Vibração Linear e Não Linear Vibração linear é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam linearmente (a força de mola é proporcional ao deslocamento, a força de amortecimento é proporcional à velocidade e a força de inércia é proporcional à aceleração). Vibração não linear é aquela em que um ou mais componentes do sistema não se comporta linearmente, ou seja a força produzida não apresenta uma relação linear com a variável cinemática a que se associa (relações quadráticas, cúbicas, logarítmicas, exponenciais, senoidais, etc.).

Vibração Determinística e Aleatória Vibração determinística é aquela em que se pode prever todas as características do movimento vibratório em qualquer instante de tempo. Vibração aleatória ou não determinística é aquela em que não é possível prever o que irá acontecer no movimento vibratório.

Vibração Amortecida e Não Amortecida Vibração amortecida é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os níveis vibratórios diminuem progressivamente. Vibração não amortecida é aquela em que a energia vibratória não se dissipa de forma que o movimento vibratório permanece imutável com o passar do tempo.

O

x(t)

t

Amortecido

Não amortecido

x0

Graus de Liberdade

É o número mínimo de coordenadas independentes necessárias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compõem um sistema vibratório.

Sistemas Contínuos e Discretos Sistemas discretos: podem ser separados em partes de forma que cada uma delas possua um determinado número de graus de liberdade e o sistema global tenha um número finito de graus de liberdade. Sãotambém chamados de sistemas com parâmetros concentrados.

Sistemas contínuos: não pode ser dividido, possuindo um número infinito de graus de liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos.

Movimento harmônico

x = A sen wtwt

xA

p 4p wtO

A

T

V

Filme

Animações

Amplitude - A - máximo valor atingido por x – mesma unidade de x. amplitude de pico amplitude pico a pico = 2A

Período - T - tempo transcorrido até que o movimento se repita - unidade de tempo

tT

Axp2

sen

Freqüência - f - número de repetições que ocorrem em uma determinada unidade de tempo - inverso do período,

Unidades: Hertz - Hz), RPM (rotações por minuto) ou CPM (ciclos por minuto)

Tf 1

Freqüência angular - w - velocidade angular com que um vetor de amplitude A gira de forma que suas projeções horizontal e vertical são movimentos harmônicos. Unidade: rad/s

AA sen wt

A cos wt

wt

w

w p2 f

Ângulo de fase - f - ângulo inicial do argumento da função senoidal que descreve o movimento harmônico. Compara dois movimentos harmônicos não coincidentes no tempo (atraso ou adiantamento).

Unidade: rad.

fwtAx sen

t

x(t) v(t)a(t)

tAxv ww cos

tAxa ww sen2

tAx wsen

Decibel expressa valores relativos da amplitude do deslocamento, da velocidade e da aceleração.

dB = 20 log10 (z/z0) onde z é a quantidade em consideração e z0 um valor de referência v0 = 10-8 m/s para a velocidade a0 = 9,81 x 10-6 m/s2 para a aceleração p0 = 2 x 10-5 N/m2 para pressão acústica I0 = 10-12 W/m2 para intensidade acústica W0 = 10-12 W para potência acústica Estes últimos valores correspondem aos limiares de percepção do ouvido

humano.

Exemplos: 20 dB ==> 10 vezes o valor de referência 40 dB ==> 100 vezes o valor de referência 60 dB ==> 1000 vezes o valor de referência

Oitava É a medida relativa geralmente utilizada para a freqüência: se duas freqüências possuem a relação 2:1 se diz que estão separadas por uma oitava.

Valor rms

root mean square = valor médio quadrático

funções harmônicas

• O valor rms veio a ser utilizado porque os instrumentos que medem vibrações convertem o movimento vibratório x(t) em um sinal elétrico V(t) = cx(t) medindo a sua potência que é dada por

T

rms dttxT

X0

22 1

XXXrms

707,02

2

22

0

2

2

0

21rms

TT

XcdttxT

cdttV

T

Representações Vetorial e Complexa

Im

Rep/2

p/2

w

X i Xw

X

X Xw2

w t

titAAe ti www sencosX

ttiAiAei ti wwwww w sencosXX

titAAe ti wwwww w sencos22 2-XX

Pêndulo simples

2sen mlJmgl

0senl

g

02w

tsenctct ww21

cos

lgw

glT pw

p 22