BAB IALJABAR VEKTORI. ANALISIS VEKTOR1.1. Notasi VektorVektor
adalah besaran yang, memiliki besar dan arahSkalar adalah besaran
yang hanya mempunyai besar saja.Notasi vektor : dinyatakan dengan
huruf besar yang ditulis tebal. Misal AVektor satuan adalah :
vektor tersebut dibagi dengan nilai absolutnya AAaA dimana: A A A .
(1.1)Vektor yang dinyatakan dengan komponennya dalam ketiga sistim
koordinat adalah Z Z Y Y X Xa A a A a A A + + (untuk koordinat
kartesian) (1.2)Z Z r ra A a A a A A + + .(untuk koordinat
silinder) (1.3) a A a A a A Ar r+ + (untuk koordinat
bola)(1.4)Dimana : ,... , ,Z Y XA A A adalah komponen vektor. ,...
, ,Z Y Xa a a adalah vektor satuan (atau vektor)1.2. Aljabar
Vektor1. Penjumlahan dan pengurangan vektor ) ( ) (Z Z Y Y X X Z Z
Y Y X Xa B a B a B a A a A a A B A + + t + + t = Z Z Z Y Y Y X X Xa
B A a B A a B A ) ( ) ( ) ( t + t + t (1.5)2. Hasil kali titik dua
vektor cos AB B A (1.6)dimana adalah sudut terkecil antara dua
vektor.Z Z Y Y X XB A B A B A B A + + (1.7)2 2 22Z Y XA A A A A A +
+ (1.8)3. Perkalian silang na AB AxB ) sin . ( (1.9)Dengan operasi
perkalian silang ini dalam bentuk komponen memberikan hasil) ( ) (Z
Z Y Y X X Z Z Y Y X Xa B a B a B x a A a A a A AxB + + + +
Z X Y Y X Y Z X X Z X Y Z Z Ya B A B A a B A B A a B A B A ) ( )
( ) ( + + (1.10)Atau dapat juga dinyatakan dengan bentuk determinan
Z Y XZ Y XZ Y XB B BA A Aa a aAxB (1.11)naGambar 1.1. Perkalian
silangAB1.3. Sistim KoordinatTerdapat tiga sistim koordinat untuk
memetakan atau menggambarkan posisi sebuah objek atau koordinat
sebuah benda, yaitu sistim koordinat kartesian, silinder dan bola.
TitikPdinyatakan dalamtiga koordinat,) , , ( z y x Puntukkoordinat
kartesian, ) , , ( z r P untuk koordinat silider dan) , , ( r
Puntuk koordinat bola yang ditunjukkan dalam Gambar 1.2.Jika
koordinat titikPdikembangkan pada) , , ( d z z d y y d x x + +
+atau ) , , ( d z z d d r r + + + atau) , , ( d d d r r + + +akan
terjadi sebuah volumedifferensial dv dandifferensial luas ds
yangditunjukkandalamGambar 1.3.) . . ( dz dy dx dv koordinat
kartesian (1.12)
) . . ( dz d rdr dv koordinat silinder(1.13) ) . . . sin (2 d d
dr r dv koordinat bola(1.14) ) , , ( z r P Z(a) Kartesian xy) , , (
z y x Prr(b) Silinder (c) Bola ) , , ( r PGambar1.2. Tiga sistim
koordinatyZZZyz(a) Kartesian (b) Silinder d r.(c) Bola d r .
sindydzdzPPdr d r.dxPxydrzzGambar1.3. Differensial volume dan luas
yx xyDefferensial luas untuk sistim koordinat silinder dalam arah
raadalah r ra dz d r a ds ) . . ( ) ( (1.15)Untukdifferensial
luasyanglainyaitudenganmengambil perkalianduasisi yang dihadapi
olehsetiapvektor normal terhadapbidang yangtegak lurus atauyang
dihadapi oleh vektor tersebut.Contoh soal
1TentukanvektorCyangdidapat dari titikK(3, -6, 5) keL(0, 7, 2)
dalamsistim koordinat kartesian, dan tentukan pula vektor satuannya
yang searah dengan C.Vektor jarak dari titik K ke titik L Z Y Xa a
a R ) 5 2 ( )) 6 ( 7 ( ) 3 0 ( + + AtauZ Y Xa a a R 3 13 3 + 75 .
13 3 13 32 2 2 + + RVektor satuan 75 . 133 13 3Z Y XRa a aa +
Gambar1.4. Penjumlahan dua vektorz) 5 , 6 , 3 ( KK L ) 2 , 7 , 0 (
LxyContoh soal 2DiketahuiZ Xa a A 6 5 + dan Z Xa a B 2 8 + ,
tentukan sudut terkecil dari hasil perkalian kedua vektor dengan
perkalian: (a) titikdan(b) silang.78 . 1) 68 ( 558 ) 5 (cos cos B
AB AB A B A (b) B AAxBB A AxB sin sinZ Y X X Z YY X Z Y Xa a a a a
aa a a a aAxB 48 10 12 12 10 482 80 50 2 86 0 5 + + + 12 2 2sin68
5548 10 12sin + + Contoh soal 3Gambar1.5. Contoh soal3z) 0 , , ( r
A) , 0 , 0 ( b ByxEkpresikanvektor satuanyangditarikdari titik) 0 ,
, ( r Aketitik b z dalam koordinat silinder (Gambar 1.4)Vektor
jarak antara dua titikZ ra b a a r R ) 0 ( ) ( ) 0 ( + + 2 2b rba
raRRaZ rR++ Contoh soal 4.Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh
permukaan lengkung 3] [dS yang ditunjukkan oleh Gambar1.6, jika
jari-jari silinder 2 m dan tinggi 10 m. Gambar 1.6. Contoh soal4x6
/ 3 / 2yz d r.dzdr1] [ds2] [d S3] [dS2] [d S1] [d s3] [dSLuas
bidang lengkung( )34 00 1 06 322 . .1 003 / 26 /1 003 / 26 /3
,_
1]1
1]1
z r d z d r d SContoh soal 5.Hitunglah masing-masing elemen luas
1dS dan 2dS dari Gambar 1.7 untuk koordinat bola.0601] [ds2] [d
Syxz111Gambar 1.7. Contoh soal 5drdrdr rd dS .1 2) 0 ) ( 0 1 (2121.
.2 201020101 r d d r r S d r rd dS . sin .2
,_
3 2) 0 c o s ) ( c o s ) ( 0 1 ( ) ( ) c o s ( . . s i n2 22 /3
/ 010202 /3 /22 r d d r S32 S BAB II. FLUKS LISTRIK DAN HUKUM
GAUSS2.1. Muatan total dalam volume Muatan total yang berada di
dalam suatu volume tertentu adalah dv dQ . (2.1)Atau dapat
dinyatakan sebagaivdv Q .
(2.2)2.2. Fluks listrik dan Kerapan fluksFluks listrik diawali
dari muatan positip yang diakhiri pada muatan negatip. Jika tidak
terdapat muatan negatip, fluks listrik menuju tak berhingga
sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 2.1. Muatan satu coulomb
menghasilkan fluks listriks satu coulomb. Q +Q + Q Gambar2.1. Garis
fluks (a) (b)Q .......... (C)(2.3)Kerapatan fluks D adalah vektor
yang mengambil arah garis-garis fluks. Fluks d yang melalui elemen
luas dS , arah normal, maka kerapatan fluks di titik P adalah
andSdD (C/m2)(2.4)Jika rapat fluksDmenembus bidangdSyang
membentuk sudut seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.2, maka
fluks yang dihasilkan adalah
cos . .dS D d na dS D . . dS D. (2.5) PDGambar2.2. Fluks
menembus bidang dS (a) (b)dSnaDdSIntegral dmelalui permukaan
tertutup S menghasilkan muatan total yang dilingkupinya yang
dikenal sebagai hukum Gauss, yaitu : Q dS D. (2.6)Hubungan
kerapatan fluks dengan kuat medan listrik dinyatakan sebagai E Do
r. .
(2.7)Dimana :r adalah permitivitas medium.Contoh soal
2.1.Tentukanmuatantotal didalamvolume 3 1 r m,2 0 , 3 / 0 z m, jika
kerapatannya adalah) / ( sin 22 2m C z Penyelesaian:( ) dz d rd z
dv dQ ) ( . sin 2 .212303 /0 2023 /03122122 sin) 2 / 1 (2121]1
1]1
1]1
z r = ,_
1]1
123 47 )20 sin 3 / sin( ) 03(21) 0 2 (21) 1 2 (2 3 Catatan : ) 2
cos 1 (21sin2 dan 1]1
22 sin21). 2 cos 1 (21 dContoh soal 2.2.Diberikan( ) ) / ( ) 10
( 52 2m C a z a x DZ X+ . Tentukan fluks yang menembus permukaan
luas 1m2 yang terletak di x = 2mdan z = 4m.Penyelesaian: Dari
persamaan (2.5) dS D d . Fluks total Z Z X Xa dS D a dS D ) ( ) ( +
xyz0XDZDGambar2.3. Contohsoal2.2 2 0 ) 2 ( 5 ) . 5
(10102101021]1
1]1
z y d y d z XX4 0 ) 4 ( 1 0 ) . 1 0 (101010101]1
1]1
y x d x d y zZdFluks total = 60 +Y X Contoh soal 2.3.Diberikan
rapat fluks D = ( )aZarr ,_
3sincos 2(C/m2)dalam koordinat silinder yang dibatasi oleh r =
3m,z = 0 dan z = 5mdengan 2 / 0 .Penyelesaian : + aZ Z adS D dS D
dS D ) ( ) ( .
) . (3sin) . )( cos 2 (3050302 /0dr rdrdz dr r
,_
302 /0503022 /0) (3c o s) ( ) . 2 / 1 ( c o s 2 r z r
,_
) 0 3 ]( 0 cos 2 / )[cos 3 / 1 ( ) 0 5 )( 0 3 )( 2 / 1 ]( 0 cos
2 / [cos 22 2 + 44 Soal-soal2.1. Diketahui kerapatan muatandalam
koordinat bola3 r m adalah ) / (30033m Cr ,_
Berapakah muatan total yang menembus permukaan r = 4m. 2.2.
Muatan titik nC Q 8 , terletak di titik asal sistim koordinat
kartesian. Berapakah fluksyangmenembusbidangyanhdibatasi
olehz=2mdengan, 4 0 m x dan 4 4 ym.2.3. Diberikan( ) ) / (42 . 452
4 /m Cze Dazarr
,_
dalam koordinat silinder. Tentukan fluks yang keluar dari
silinder tegak yang dibatasi oleh r = 8m, z = 0 dan z = 20m. BAB
III.DIVERGEN DAN TEOREMA DIVERGENSI3.1. Divergensi dalam sistim
koordinatDivergensi dalam ketiga sistim koordinat dinyatakan
sebagai :Div A = zAyAxAZyX++ (koordinat kartesian) (3.1)Div A =
zAArA rr rzr++1) . (1 (koordinat silinder)(3.2)Div A = ++ArArA rr
rrsin1) sin (sin1) (122(koordinat bola) (3.3)Catatan :A =
divergensi A Divergensi untuk rapat fluks D dinyatakan sebagai : )
/ (.3m CvQvdS D (3.4)3.2. Teorem divergensi Q dv dS D . .
(3.5)Atau ( ) dv D dS D.
D
(3.6)Contoh soal 3.1Diberikan az ay axxyz yz x A ) ( ) ( ) (3+ +
, tentukanA Penyelesaian : xy z xzxyzyyzxxA + + ++ 233) ( ) ( )
(Contoh 3.2.Diberikan3. 6 ) cos 4 ( ) sin ( z r r r Da ar+ + ,
carilah ) 3 ; 2 / ; 2 ( di D Penyelesaian :) 3 ( 6 ) sin 4 (sin ) .
6 ( ) cos 4 ( 1 ) sin ( 123z rr zz r rr rrrD + + ++ Contoh 3.3.
Diberikan bahwaaz arrz r D ) sin 2 ( ) 50 (2 + dalamkoordinat
silinder, hitunglah muatan total dengankedua ruas teorema
divergensi yang dilingkupi oleh r = 2m, z = 0 dan z = 4m.
Penyelesaian : + + 202020402) . )( sin 2 ( ) . )( 50 ( ) ( ) ( . dr
rd rz dz rd r dS D dS D dS Daz z ar r
20203404020203) c o s ( )31( 2 ) ( ) ( 5 0 + r z z r ) 0 cos 2
)(cos 0 2 )( 3 / 1 )( 0 4 ( 2 ) 0 4 ]( 0 2 )[ 0 2 ( 503 3 3200 cos
2 ) 3 ( 501 ) sin 2 ( ) 50 )( ( 122rz rrrzrr rrD + + +
2020402020402) . . ( cos 2 ) . . ( 150 ) ( dz d rdr rz dz d rdr r
dv D 4 ) 0 s i n 2 ( s i n31 6) 4 ( 2 ) 8 ( 5 0 ) ( ) ( s i n32) (
) (31 5 040202034020203 + + z r z r 3200 Soal-soal 3.1. Diketahui
az ay axzxxy x A ) 60 ( ) sin 4 ( ) 45 (3+ , carilahA di (2; -1;
4)m.3.2. Diberikan az arrz r D ) 50 ( ) sin 2 (4 2 + , tentukan
rapat muatannya.3.3. Diketahui a arD ) cos 2 ( ) sin 20 ( + ,
hitunglah muatan totalnya dengan kedua ruas teorema divergensi
untuk volume dalam permukaan r = 3m.BAB IVEERGI POTENSIAL
LISTRIKDalam medan listrik E suatu muatan titik Q mengalami gaya QE
F (4.1)Untukmengimbangi gayainiperludiimbangi dengangayalain
aFdenganbesar sama tapi arah berlawanan dengan gaya tadi QE Fa
(4.2)Gambar 4.1. Gaya dalam medan magnet aFFQEUsaha didefinsikan
sebagai gaya selama perpindahan. d F d F dWa a. cos .
jika gaya aFmembentuk sudut. (4.3)Atau dinyatakan sebagai d QE
dW . (4.4)az ay axdz dy dx d + + (koordinat kartesian) (4.5)az a
ardz rd dr d + + (koordinat silinder )(4.6) a a ard r rd dr d . sin
+ + (koordinat bola)(4.7)Contoh soal 4.1.Berapa usaha yang
dilakukan untuk memindahkan muatan C 5dari titik asal ke titik ) 6
; 2 / ; 3 ( m m dalam koordinat silinder dalam medan listrik ( )a
arr E ) sin 10 ( 45 + Penyelesaian :2 /03022 /030) c o s ( 1 0214 5
) s i n 1 0 ( ) 4 5 ( . . Q r Q r d Q d r r Q d E Q d W ) 0 cos 2 /
)(cos 10 ( 5 ) 0 3 (2145 ) 10 ( 56 2 6 + J ) 2 / 2023 )( 10 ( 56
Gambar 4.2. Lintasan usaha yang ditempuhIII4.1. Potensial
Distribusi MuatanMuatan yang disebar secara merata dalam volume,
permukaan luas, dan garis, maka potensial titik diluar dapat
dinyatakan sebagai RdQdV04 (4.8)Integral persamaan (4.8) memberikan
hasil RdvV04.dv dQ . (4.9a)RdsVS04. ds dQS. (4.9b)RdV04. d dQ .
(4.9c)Contoh soal 4.2.Muatan 50 nC disebarkan secara merata pada
suatu cincin berjari-jari 3m. Tentukan potensial pada suatu titik
di poros cincin itu sejauh 5m dari bidang cincin. Penyelesaian
:Dengan persamaan (4.9c)RdV04.
32510) 3 ( 250109 9 kelQ34 5 3 ) 0 5 ( ) ( ) 3 0 (2 2 + + + R a
a a Rz r ) ( rd dQ) 0 , , 3 ( ) 5 , , 0 ( xyzRGambar 4.3.
Contohsoal 4.2 3 4 42 5 1 033 4 1 22 5 1 0) 3 (3 4 4) 3 / 2 5 1 0
(0920 02920 09 d V V4.2. Gradien Potensial Gradien dalam ketiga
koordinat dituliskan azayaxzVyVxVV ,_
+
,_
+ ,_
(kartesian)(4.10a)az a arzV Vr rVV ,_
+
,_
+ ,_
1 (koordinat silinder) (4.10b) a a arVrVr rVV
,_
+ ,_
+ ,_
sin1 1(koordinat bola) (4.10c)Potensial juga dinyatakan sebagai
d E dV (4.11)Atau juga dinyatakan sebagaidr V dV (4.12)E V
(4.13)4.3. Energi Dalam Medan Listrik StatisUsaha untuk memindahkan
sejumlah muatan dalamsuatu daerah tertentu yang mengandung sejumlah
n muatan titik dinyatakan sebagai : nmm m EV Q W121 (4.14)Dalam
bentuk yang lain dinyatakan sebagai :dvDdv E dv E D WE 2221.21. .21
(4.15)Khusus untuk medan kapasitor, energi yang tersimpan
dinyatakan sebagai :22121CV QV WE (4.16) Contoh soal 4.3Diketahui
potensial215 8 z x V + (V). Tentukan energi yang tersimpan dalam
volume yang dibatasi oleh2 0 xm,2 1 y m, dan3 1 zm.Penyelesaian
:Dengan persamaan (4.15)dv E WE.212 ( )Z X Z Xa z a azzaxxV E ) 30
( ) 8 () 15 ( ) 8 (2+
,_
+ ) 900 64 (2z E + 312120203120212021310) 2 / 9 0 0 (21) 6 4
(21. . ) 9 0 0 6 4 (21x y z x y z d z d y d x z WE + + 02 20 01928
2 / ) 1 3 )( 1 2 )(( 0 2 ( 90021) 1 3 )( 1 2 )( 0 2 ( 6421 + EW
J.Soal-soal 4.1. Tentukan usaha untuk memindahkan muatan titik C Q
5 dari titik (0,1,3) ke (3,2,0) dalam medan z xa z a y x E ) 6 ( )
2 4 ( + + untuk lintasan y = 3x.4.2. Muatan 60 nCdisebar secara
merata pada permukaan piringan dengan jari-jari 3m. Tentukan
potensial oleh muatan itu pada titik poros sejauh 4m dari piringan.
4.3. SebuahmuatantitikQ=2nCdititik(2,1,4) mdalamkoordinat
kartesian. Tetapkan beda potensial ABV jika A adalah (2,4,6) m dan
B (1,0,3) m.4.4. Diberikanmedanra r E ) / 5 ( V/muntuk 2 0 < r
mdanra E ) 5 ( V/m untuk r > 2 m. Tetapkan beda potensial ABV
untuk A(2,0,0) m dan B(3,0,0).BAB VHUKUM AMPERE DAN MEDAN
MAGNETIK5.1. Hukum Biot-Savart
24.Rdlxa IdHRDimana : R = vektor jarak dari elemen arusdl I.ke
titikdH(pengamat)Ra = vektor satuan RRH = kuat medan magnetikGambar
10. Hukum Biot-Savartd l I.d HR Gambar11. Hukum Biot -Savartdl I.H)
0 , , ( rRz) , , 0 ( z Contoh soal 5.1Arus I pada konduktor panjang
di sumbu z dalam koordinat silinder (lihat gambar). Tetapkan harga
H disebuah titik di bidang z = 0. Penyelesaian :24.Rdlxa IdHR =
,_
++2 22 2) ( 4) . (z rz rxz rdZ Iaz ar az=====penyelesaian dng
integral arIdZz rraIdZz rr IHa2 ) ()4() ( 4) (2 / 3 2 2 2 / 3 2 2++
Untukselanjutnya, jika terdapat arus I panjangtak-terhingga, maka
kuat medan magnet yang terjadi adalahrarIH 25.2. Hukum Ampere I dl
HIntegralgarisdarikomponentangensialHsepanjanglintasantertutup
adalah sama dengan besarnya arus yang dilingkupi litasan itu.Contoh
soal 5.2 Tetapkan kuat medan H oleh arus I pada koduktor panjang
dan lurus .menggunakan persmaan hukum Ampere.Penyelesaian : I r H
dl H ) 2 ( ======= arIH2Opertor CurlSdl Asa A Curln .0lim). (ZX YyZ
XXyZayAxAaxAzAazAyAA Curl
,_
+
,_
+
,_
koord. KartesiaZr Z rrZZaArr ArarAzAaAArA C ur l
,_
+
,_
+
,_
) (1 1 ko. Silinder aArrArarrAAr raAArA Curlr rr
,_
+
,_
+
,_
) ( 1) (sin1 1) sin (sin15.3. Rapat Arus J dan xH XXXjSISa H C u
r l 0l i m) ( ====== adalah rapat arusOperator curl adalah j xH
5.4. Rapat Fluks Magnetik BH B . TeslaDimanar 0 adalah
permeabilitas medium (bahan) tersebut.7010 . 4 Henry/Fluks magnetik
SdS B. WeberContoh soal 1. Tentukanbesarnyafluks yangmelalui
bagianbidang4 / yangdibatasi oleh 05 . 0 01 . 0 <
