Media Geometrica

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA GEOMETRICA

1. Definición:

La media geométrica se presenta por “G” y se puede considerar:

1.1 Media Geométrica Simple1.2 Media Geométrica Ponderada

Existen dos usos principales de la media geométrica:

- Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas y- Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas,

producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro.

Ventajas e inconvenientes:

- En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.- Los valores extremos tienen menor influencia que en la media

aritmética.- Es única.- Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética.

Además, cuando la variable toma al menos un x = 0 entonces G se anula, y si la variable toma valores negativos se pueden presentar una gama de casos particulares en los que tampoco queda determinada debido al problema de las raíces de índice par de números negativos.

1.1 La Media Geométrica Simple

Es la raíz enésima del producto de los n valores de una serie. Esto es, dado los n valores X1 , X2 ,X3 ,…X n

G = n√X1 ,X 2, X3 ,…Xn

La media geométrica o promedio geométrico se usa cuando hay que promediar razones, proporciones o tasas de crecimiento.

Ejemplo 1:

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES Página 1


La producción anual de aisladores sísmicos de la fábrica THK SAC, ha tenido el siguiente crecimiento:

2009 a 2010 la producción aumentó de 800 a 1000 aisladores sísmicos (25%) 2010 a 2011 la producción aumentó de 1000 a 1500 aisladores sísmicos (50%) 2011 a 2012 la producción aumentó de 1500 a 3300 aisladores sísmicos (120%)

cada año el aumento fue de 25%, 50% y 120% respectivamente. ¿Cuál fue el aumento promedio anual de la producción?

X = 25+50+120

3 = 65%

que supondría que anualmente la producción se incrementaría en 65%. Por los incrementos se deduce que la producción tiene un comportamiento no lineal, entonces es recomendable hallar el promedio geométrico.

G = 3√25 x50 x120=3√150000 = 53.1%

Que expresa que la producción tiene un incremento anual promedio de 53%, valor que es más correcto que la simple media.

En general la solución de la raíz n-ésima se obtiene utilizando logaritmos:

G = n√X1 ,X 2, X3 ,…Xn

Log. G = 1n

( log X1+ log X2+log X3+…+ log Xn )

Ejemplo 2:

Supóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en

cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿Cuál es la media

geométrica de las ganancias?

En este ejemplo la media geométrica es determinada por:



G = 4√(3)(2)(4)(6)

= 3.464101615

y así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%.

La media aritmética de los valores anteriores es 3.75%. Aunque el valor 6% no

es muy grande, hace que la media aritmética se incline hacia valores elevados.

La media geométrica no se ve tan afectada por valores extremos.

1.2 La Media Geométrica Simple

La media geométrica pondera es la raíz n-ésima del producto del valor de la variable elevada a sus respectivas ponderaciones o frecuencias:

G = n√Y 1n1 .Y 2

n2 .Y 3n3…Ym

nm

G = n√ mπi=1

Y ini

también:

Log. G = 1n

[n1logY 1+n2 logY 2+…nm logY m ]

Ejemplo 1:

Considerar un conjunto de datos distribuidos como la siguiente tabla de frecuencia:

Y i ni logY i ni logY i15 5 1,1761 5,880525 19 1,3979 26,560135 24 1,5441 37,058445 13 1,6532 21,491655 4 1,7404 6,9616

m = 5 65 97,9522Por definición:

G = 65√155 .2519 .3524 .4513 .554



Aplicando logaritmos:

Log G = 1

65[ 5 log 15+19 log 25+24 log35+13 log 45+4 log 55 ]

=97,9522

65 = 1,5069

G = Antilog (1,5069) = 32.13

MEDIA ARMÓNICA

1. Definición:

La media armónica se designa por ¨H¨. Es un estadígrafo de posición, definido como:“La media armónica de un conjunto de valores X1 , X2 ,…, Xn es el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores considerados”.También se tiene media armónica simple y ponderada.

Media Armónica Simple:

H = n

1X 1

+1X2

+1X3

+…+1Xn

= n

∑i=1

n1X i

o también:

1H

=1n∑i=1

n1X i

La media armónica se aplica cuando se presenta una relación entre variables implícitas. Como por ejemplo productividad y tiempo.

Ejemplo 1:



Tenemos un fluido turbulento en un canal el cual presenta los siguientes gastos a lo largo del tramo de la tubería. En los primeros 5 cm se tiene un gasto de 120 l/s , los siguientes 12 cm presenta un gasto de 180 l/s y los ultimo 20 cm presenta un gasto de 280l/s. Para calcular el promedio de los gastos, calculamos la media armónica.

H = 3

1120

+1

180+

1280

= 1890

11 = 171,82 l/s

La media armónica es de H=171,82 l/s

Ejemplo 2:

Un equipo de trabajadores textiles tiene que producir 180 metros de casimir, de los cuales elaboran los primeros 90 metros con una productividad de 15 metros diarios, y los 90 metros restantes lo hacen a razón de 20 metros por día. ¿Cuál es la productividad diaria durante todo el trabajo? Se trata de hallar la media armónica.

Si se considera la media aritmética, resultaría:

X = 15+20

2 =17.5 metros diarios

Por su parte, para elaborar los primeros 90 metros se necesitan 6 días, y para los siguientes 90 metros sólo 4,5 días. Si la productividad promedio diaria es de 17,5 metros, en los 10,5 días se fabricarán 10,5 x 15 = 183,75 metros que es superior a los 180 metros considerados, lo que es inconsistente. Sin embargo, cuando se utiliza la media armónica, los resultados son consistentes.

H = 2

115

+120

= 2x 604+3 = 120

7 =17.14 metros diarios

Entonces trabajando los 10,5 días con una productividad diaria de 17,14 metros, se logra producir 10,5 x 17,14 =180 metros



Media Armónica Ponderada:

Se utiliza para datos agrupados:

H = n

∑i=1

m f iX i

H¿G<X

Para datos agrupados sin intervalos

Ejemplo 1:

En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en horas que se demoran en realizar una obra determinados obreros. Calcular el tiempo promedio que se demora en realizar la obra un obrero tipo (un obrero promedio).

Tiempo Obreros

4 4

5 5

6 7

7 2

9 2

Para datos agrupados con intervalos

Ejemplo 2:

En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran para resolver una prueba de Estadística determinados estudiantes. Calcular el tiempo promedio que se demora en resolver la prueba un estudiante tipo.

Tiempo Estudiantes

[40-50) 4

[50-60) 8

[60-70) 10

[70-80) 7

[80-90] 11



Completando la tabla:

Tiempo fi X i fi/X i[40-50) 4 45 0.089[50-60) 8 55 0.145[60-70) 10 65 0.154[70-80) 7 75 0.093[80-90) 11 85 0.129TOTAL 40 0.611



BIBLIOGRAFIA

LIBRO : ESTADÍSTICA ELEMENTAL

AUTOR: ROBERTO B. AVILA ACOSTA

EDICIÓN: 2010

LIMA- PERÚ

LIBRO: Apuntes de Estadística

AUTORES: Ruiz Muñoz y Sánchez

EDICIÓN: 2006

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un1/cont_125_25.html

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media-armonica/


http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media-armonica/

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