1

Vilniaus Gedimino technikos universitetas

Kęstutis Vislavičius

M E D Ž I A G Ų M E C H A N I K A 1

Kontūriniai paskaitų tekstai statybos inžinieriams

Vilnius “Technika” 2000

2

Kęstutis Vislavičius. Medžiagų mechanika 1. Kontūriniai paskaitų tekstai statybos inžinieriams.

Vilnius: Technika, 2000. 100 p.

Kontūriniai paskaitų tekstai skirti statybinių specialybių studentams, studijuojantiems medžiagų

mechaniką pagal modulį FMMAB3001. Paskaitų tekstai yra dalis metodinės medžiagos komplekso,

kurį, be šių tekstų, sudaro:

1) paties studento paskaitų užrašai;

2) vadovėlis "Medžiagų atsparumas" (A.Čižas. V.: Technika, 1993. 408p.);

3) uždavinynas ''Aiškinamasis medžiagų atsparumo uždavinynas'' (A.Čižas, V.Viršilas,

J.Žekevičius. V.: Mokslas, 1985. 278p.);

4) mokomoji knygelė ''Medžiagų atsparumas. Laboratoriniai darbai'' (M.Šukšta. V.: VTU, 1992.

52p.);

5) mokomoji knygelė ''Savarankiško darbo užduotys medžiagų mechanikos studijoms''

(K.Vislavičius, S.Stupakas. V.: Technika, 1998. 56p.).

Kontūriniai paskaitų tekstai apima visas modulio FMMAB3001 temas pradedant “Įvadu” ir

baigiant “Sijos poslinkiais”. Leidinyje yra apie 75 procentus visos modulio medžiagos; kita medžiaga

(tekstai, uždavinių sprendimo pavyzdžiai, schemos, lentelės ir t. t.) pateikiama paskaitų metu.

Leidinį rekomendavo Statybos fakulteto studijų komitetas

Recenzavo prof. J.Atkočiūnas,

doc. M.Šukšta

Autorius dėkoja prof. A.Čižui, suteikusiam galimybę pasinaudoti jo parengto vadovėlio

rankraščiu. Rengiant paskaitų tekstus, taip pat naudotasi docentų V.Kamaičio, V.Viršilo ir

J.Žekevičiaus parengta paskaitų medžiaga, kuri aptarta Medžiagų atsparumo katedros moksliniuose-

metodiniuose seminaruose.

VGTU leidyklos “Technika” 433 mokomosios metodinės literatūros knyga

© K.Vislavičius, “Technika”, 2000

ISBN 9986-05-413-3

3

T u r i n y s

1. Įvadas Psl.

1.1. Inžinierius ir konstrukcijų skaičiavimas..........................……………………………........ 5

1.2. Trumpa medžiagų mechanikos istorinė apžvalga................……………………………... 6

1.3. Medžiagų mechanikos ir kitų techninių dalykų ryšys……...…………………………… 8

2. Medžiagų mechanikos objektas

2.1. Reali konstrukcija ir skaičiuojamoji schema..........................…………………………… 10

2.2. Trys konstrukcijų skaičiavimo etapai......................................…………………………… 10

2.3. Konstrukcinių elementų geometrijos schematizavimas.........…………………………….. 10

2.4. Konstrukcinių medžiagų schematizavimas...............................…………………………… 11

2.5. Apkrovų schematizavimas.......................................................…………………………….. 12

3. Pagrindinės sąvokos ir prielaidos

3.1. Koordinatinių ašių sistema…………………………………………………........................ 14

3.2. Išorinės ir vidinės jėgos. Pjūvio metodas........................………………………………... 14

3.3. Įrąžos...........................................................................................…………………………... 15

3.4. Įtempimai....................................................................................…………………………... 16

3.5. Poslinkiai...................................................................................……………………………. 19

3.6. Deformacijos................................................................................………………………….. 19

3.7. Fizinės lygtys............................................................................……………………………. 21

3.8. Įtempimų pasiskirstymo skerspjūvyje formulės išvedimo bendroji tvarka……………… 21

3.9. Deformavimo tipai.....................................................................………………………….... 22

3.10. Konstrukcijos ir jų klasifikacija................................................…………………………... 22

3.11. Pagrindinės medžiagų mechanikos prielaidos.......................…………………………….. 23

4. Tempimas-gniuždymas

4.1. Bendrosios žinios.......................................................................………………………….... 25

4.2. Ašinės jėgos ir apkrovos ryšys.......................................…………………………………. 25

4.3. Normaliniai įtempimai..............................................................……………………………. 27

4.4. Linijinės deformacijos ir mazgų poslinkiai............................…………………………… 28

4.5. Išilginės ir skersinės deformacijos..........................................……………………………. 30

4.6. Temperatūrinės deformacijos...................................................……………………………. 30

4.7. Įtempimai įstrižuose pjūviuose................................................……………………………. 31

4.8. Išorinių jėgų darbas. Potencinė deformavimo energija.........……………………………. 32

4.9. Tempiamos-gniuždomos konstrukcijos……………………………………………………. 33

4.10. Statiškai išsprendžiamos tempiamos-gniuždomos konstrukcijos......…………………….. 35

4.11. Statiškai neišsprendžiamos tempiamos-gniuždomos konstrukcijos……………….……… 36

4.12. Statiškai neišsprendžiamų konstrukcijų savybės...................…………………………….. 36

5. Medžiagų mechaninės savybės

5.1. Bendrosios žinios........................................................................………………………….. 38

5.2. Tempimo bandymas..................................................................…………………………… 38

5.3. Gniuždymo bandymas..............................................................……………………………. 42

5.4. Reiškiniai bandinius nukraunant ir pakartotinai apkraunant……………………………. 44

5.5. Darbas, reikalingas bandiniui suardyti.................................……………………………… 44

5.6. Įvairių veiksnių įtaka medžiagos mechaninėms savybėms....…………………………… 45

5.7. Deformacijos susidarymo mechanizmas…………………………………………………... 47

5.8. Įtempimų koncentracija............................................................……………………………. 48

4

6. Konstrukcijų patikimumo įvertinimo metodai

6.1. Bendrieji konstrukcijų patikimumo įvertinimo principai...……………………………… 50

6.2. Konstrukcijos stiprumo įvertinimas.....................................………………………………. 50

6.2.1. Leistinųjų įtempimų metodas.........................................……………………... 52

6.2.2. Ribinių būvių metodas....................................................…………………….. 52

6.3. Konstrukcijos standumo įvertinimas.......................................……………………………. 53

6.4. Konstrukcijos stabilumo įvertinimas........................................…………………………… 54

6.5. Uždavinių tipai.........................................................................……………………………. 55

7. Geometriniai plokščiųjų figūrų rodikliai

7.1. Bendrosios žinios…………………………………………………………………………... 56

7.2. Pagrindinės sąvokos………………………………………………………………………... 56

7.3. Pjūvio ploto svorio centras……………………………………………………………….. 56

7.4. Inercijos momentai lygiagrečių ašių atžvilgiu……………………………………………… 57

7.5. Inercijos momentai pasuktų ašių atžvilgiu……………………………………………….. 58

7.6. Svarbiausiosios ašys ir svarbiausieji inercijos momentai……………………………….. 59

7.7. Inercijos spindulys ir atsparumo momentas………………………………………………… 60

7.8. Elementariųjų figūrų centriniai inercijos momentai……………………………………... 61

7.9. Sudėtingo skerspjūvio geometrinių rodiklių skaičiavimo algoritmas…………………… 63

8. Kirpimas

8.1. Bendrosios žinios…………………………………………………………………………... 65

8.2. Kirpimo jėga, tangentiniai įtempimai…………………………………………………….. 65

8.3. Poslinkiai ir kampinės deformacijos……………………………………………………… 66

8.4. Fizinė lygtis………………………………………………………………………………… 66

8.5. Jungčių skaičiavimas……………………………………………………………………….. 66

8.6. Kirpimo jėgos darbas……………………………………………………………………… 67

9. Sukimas

9.1. Bendrosios žinios…………………………………………………………………………... 69

9.2. Sukimo momentas……………………………………………………………………………. 69

9.3. Tangentiniai įtempimai……………………………………………………………………… 70

9.4. Kampinės deformacijos ir kampiniai poslinkiai…………………………………………… 72

9.5. Išorinių jėgų darbas. Veleno potencinė deformavimo energija…………………………... 73

9.6. Sraigtinės cilindrinės mažo žingsnio spyruoklės…………………………………………... 73

9.7. Neapskritų velenų skaičiavimas…………………………………………………………….. 75

10. Lenkimas

10.1. Bendrosios žinios…………………………………………………………………………... 77

10.2. Plokščiojo lenkimo įrąžos…………………………………………………………………. 78

10.3. Grynojo lenkimo normaliniai įtempimai………………………………………………….. 81

10.4. Sijos tangentiniai įtempimai………………………………………………………………. 83

10.5. Sijos skaičiavimas………………………………………………………………………….. 85

10.6. Racionali sijos skerspjūvio forma. Kintamo skerspjūvio sijos…………………………. 86

10.7. Lenkimo centras……………………………………………………………………………. 88

11. Sijos deformacijos ir poslinkiai

11.1. Bendrosios žinios…………………………………………………………………………... 91

11.2. Sijos įlinkių kreivės diferencialinė lygtis………………………………………….…….. 92

11.3. Sijos standumo sąlygos…………………………………………………………….……… 93

11.4. Sijos potencinė deformavimo energija…………………………………………….……... 94

11.5. Energetinis Moro metodas………………………………………………………………… 95

11.6. Įvairūs sijų poslinkių nustatymo metodai………………………………………………... 98

5

Medžiagų mechanika (toliau MM) yra techninis dalykas,

aprėpiantis konstrukcinių elementų (dažniausiai strypo)

stiprumo, standumo bei stabilumo skaičiavimo

inžinerinių metodų teorinius bei praktinius pagrindus.

1. Įvadas

1.1. Inžinierius ir konstrukcijų skaičiavimas

Mus supa didelė daiktų įvairovė. Vieni daiktai sukurti gamtos (augalai, gyvūnai), kiti yra

žmogaus inžinerinės veiklos rezultatas (pastatai, mašinos); vienų konstrukcija sudėtinga (gyvūno

griaučiai, televizijos bokštas), kitų konstrukcija vienas elementas (žolės stiebas, paveikslą laikanti

virvė). Visus šiuos daiktus veikia aplinka, nuo kurios mechaninio poveikio jie deformuojasi, t.y.

keičia savo matmenis ir formą. Per didelis mechaninis poveikis gali sukelti nepageidautinas daiktų

deformacijas arba, dar blogiau, juos suardyti. Kad to neįvyktų, inžinierius, kurdamas pastatų ar

mašinų konstrukcijas, turi remtis ne nuojauta, bet geru tiek gamtos, tiek žmogaus sukurtų

konstrukcijų išmanymu. Jis turi mokėti įvertinti aplinkos poveikį konstrukcijai, gerai pažinti

konstrukcines medžiagas, naudotis praktikos patikrintais metodais. Tada jo sukurtos konstrukcijos ir

nesuirs, ir per daug nesideformuos.

Kurti patikimas konstrukcijas, t.y. tokias konstrukcijas, kurios nustatytą laiką, nepažeisdamos

eksploatacijos reikalavimų, vykdytų savo funkciją (būtų stabilios, nesuirtų ir per daug

nesideformuotų), yra svarbiausias, tačiau ne vienintelis inžinieriaus uždavinys. Labai dažnai jam

tenka spręsti dar vieną uždavinį: siekti, kad konstrukcijos kaina būtų minimali. Būtent šio uždavinio

sprendimas (tiksliau konstrukcijos patikimumo ir ekonomiškumo kompromiso ieškojimas) šiuo metu

yra viena iš priežasčių, skatinančių konstrukcijų skaičiavimo metodų raidą. Nereikėtų pamiršti ir kitų

konstrukcijos kokybės rodiklių. Kartais, pavyzdžiui, kurdamas skraidymo aparatus, inžinierius turi

suprojektuoti ne tik patikimą ir pigią, bet ir lengvą konstrukciją. Pakankamai svarbūs yra ir

technologiniai reikalavimai (nedidelė konstrukcijos kaina gali tapti bereikšme, jei dėl to labai

padidės gamybos, transportavimo ar montavimo išlaidos) bei estetinis veiksnys (architekto ar

dizainerio norai gali sukelti inžinieriui daug papildomų rūpesčių).

Taigi konstrukcijos turi būti patikimos, pigios, lengvos ir gražios. Tokioms konstrukcijoms

sukurti reikia sisteminių žinių apie konstrukcines medžiagas, konstrukcijas veikiančius išorinius

poveikius, skaičiavimo metodus t.y. mokslo. Tokio mokslo abėcėlė ir gramatika yra MM.

MM konstrukcijas nagrinėja atsižvelgdama į tris jų savybes:

1) stiprumą savybę nesuirti;

2) standumą savybę kuo mažiau deformuotis;

3) stabilumą savybę neprarasti pirminės pusiausvyros formos.

Nėra absoliučiai stiprios, absoliučiai standžios, absoliučiai stabilios konstrukcijos. Inžinierius,

kurdamas patikimą konstrukciją, privalo užtikrinti, kad visa konstrukcija ir atskiri jos elementai būtų

pakankamai stiprūs, standūs ir stabilūs, kad jie nuo mechaninio poveikio šių savybių neprarastų

(1.1 pav.).

1.1 pav.

Nepakankamas

stiprumas

Nepakankamas

standumas Nepakankamas

stabilumas

6

1.2. Trumpa medžiagų mechanikos istorinė apžvalga

Jau senovės babiloniečiai, persai, kinai, indai, egiptiečiai, graikai, romėnai statė pastatus,

kurie savo techniniu lygiu prilygo šių dienų pastatams, pvz., indų ir kinų bokštiniai kulto pastatai

pagodos. Nagrinėjant to meto konstrukcijas, kyla mintis, kad statytojai, galbūt intuityviai, o galbūt ir

sąmoningai taikė tam tikrus mechanikos principus ar vadovavosi taisyklėmis, susijusiomis su šiais

principais. Vis dėlto jokių raštinių duomenų apie konstrukcijų skaičiavimą iš to meto neišliko.

Konstrukcijų skaičiavimo mokslas, kaip ir daugelis kitų

inžinerinių mokslų, pradėjo plėtotis renesanso laikais, kai besivystant

pramonei, statytojams prireikė išspręsti daug naujų technikos

uždavinių. Šio mokslo pradininku laikomas Galilėjas Galilėjus (1564-

1642). Šis mokslininkas, besilankydamas laivų statyklose, pastebėjo,

kad statydami didesnį laivą statytojai proporcingai padidindavo ir

statramsčių bei sijų matmenis. Tačiau dideliam visų nustebimui,

nauji strypai sulūždavo. G.Galilėjus atliko daug bandymų ir padarė

kai kurių teorinių apibendrinimų, pavyzdžiui, iškėlė kūno tvirtumo

klausimą ir pirmą kartą žmonijos istorijoje pabandė į jį atsakyti

remdamasis mokslu. Visa tai jis išdėstė knygoje ''Pokalbiai ir

matematiniai įrodinėjimai apie dvi naujas mokslo šakas mechaniką

ir vietinį judėjimą'', išleistoje Olandijos mieste Leidene 1638 m.

Beje, dar iki G.Galilėjaus gerokai sudėtingesni mechanikos klausimai,

kaip, pavyzdžiui, skliautų darbas ir kiti, buvo nagrinėjami garsaus

italų dailininko ir inžinieriaus Leonardo Da Vinčio (1452-1519).

Deja, jo darbai nebuvo paskelbti ir jo amžininkams nebuvo žinomi.

XVIIa. pabaiga ir XVIIIa. pradžia buvo mechanikos ir

matematikos mokslų klestėjimo laikotarpis. 1660m. Robertas Hukas

(1635-1703) ir nepriklausomai 1680m. Edmas Mariotas (1620-1684)

nustatė ryšį tarp įtempimų ir deformacijų. Per keletą dešimtmečių

buvo nustatyti visi pagrindiniai lenkimo teorijos dėsniai. Tarp šios

epochos mokslininkų išsiskyrė Danielius Bernulis (1700-1782),

Žozefas Luji Lagranžas (1736-1813), Leonardas Oileris (1707-1783).

XIXa. pradžioje, 1826m., Anri Navjė (1785-1836) parašė

pirmąjį MM vadovėlį. Tačiau šio amžiaus pradžia labiau reikšminga

yra todėl, kad pirmojo MM vadovėlio autorius, taip pat Denis

Puarsonas (1781-1840), Ogiustenas Luji Koši (1789-1857), Michailas

Ostrogradskis (1801-1862) ir kiti padėjo tamprumo teorijos pamatus.

Deja, dėl sudėtingo matematinio aparato šios teorijos rezultatai

technikos uždaviniams nebuvo pritaikyti. Inžinieriams buvo

reikalingas mokslas, besiremiantis paprastomis matematinėmis

formulėmis, plačiai pritaikantis eksperimentų duomenis, gautus tiek

bandant medžiagas, tiek stebint eksploatuojamus pastatus ir mašinas.

Todėl XIXa. pabaigoje ištobulėjo medžiagų mechaninių bandymų

metodika, buvo sukurti pagrindiniai bandymo mašinų tipai. Tuo metu

buvo nustatyti daugelio medžiagų stiprumo norminiai rodikliai,

pradėti taikyti leistinieji įtempimai, plačiai paplito konstrukcijų

skaičiavimo metodai, pagrįsti empirinėmis formulėmis. Spręsdami

šiuos uždavinius, daug nuveikė D.I.Žuravskis (1821-1904), išvedęs

tangentinių įtempimų pasiskirstymo sijos skerspjūvyje formulę ir

sukūręs sudėtingų sijų skaičiavimo metodus, Ch.C.Golovinas (1844-

1904), išsprendęs kreivų strypų lenkimo uždavinius, V.L.Kirpičevas

(1845-1913), eksperimentiniam įtempimų nustatymui panaudojęs

optinį metodą, F.Jasinskis (1856-1899), išsprendęs plastiškai

Galilėjas Galilėjus

1564-1642

Danielius Bernulis

1700-1782

Leonardas Oileris

1707-1783

7

deformuojamų strypų stabilumo uždavinį, inžinierius A.G.Gagarinas

(1855-1920), sukūręs unikalias mechaninių bandymų mašinas.

XXa. būdingas bruožas sprendžiamų uždavinių įvairovė ir

gausumas. Viena vertus, buvo tobulinamas atskirų tamprumo teorijos

uždavinių sprendimas (vyravo analizės metodai, pavyzdžiui, rusų

mokslininkai I.G.Bubnovas (1872-1919) ir B.G.Galiorkinas (1871-

1945) sukūrė naują variacinį diferencialinių lygčių sprendimo

metodą, taip pat išsprendė daug lenkiamos plokštelės uždavinių). Kita

vertus, buvo stengiamasi kuo tiksliau įvertinti medžiagos mechanines

savybes, t.y. atsisieti nuo pagrindinės tamprumo teorijos prielaidos

apie įtempimų ir deformacijų ryšio proporcingumą. Taip gimė

plastiškumo ir valkšnumo teorijos, kūrėsi kiti netiesinės mechanikos

skyriai. Plastiškumo teoriją kūrė ir plėtojo XXa. mokslininkai:

R.Mizecas, G.Genki, T.Karmanas, S.Jasinskis, R.Hilas, A.Iljušinas ir

kiti, tačiau šios teorijos pradžia siejama su B.Sen-Venano (1797-

1886) darbais, atliktais remiantis prancūzų inžinieriaus G.Tresko

patirtimi. Valkšnumo teorija, kaip kietojo deformuojamo kūno

mechanikos dalis, susiformavo palyginti neseniai (trečiasis XXa.

dešimtmetis). Ją kūrė ir plėtojo N.M.Beliajevas, K.D.Mirtovas,

N.N.Malininas, J.N.Rabotnovas ir kiti mokslininkai.

Naujausias kietojo deformuojamo kūno mechanikos raidos etapas

prasidėjo praėjusio amžiaus 5-6 dešimtmetyje. Jis susijęs ir su

sparčiu skaičiavimo technikos plėtojimusi, ir su diskretinių

konstrukcijų mechanikos kūrimusi (O.Zienkievič, J.Argyris). Atsirado

galimybė formuluoti uždavinius, apie kurių išsprendimą prieš kelis

dešimtmečius nebuvo ko ir galvoti.

Mechanikos mokslo plėtojimas Lietuvoje glaudžiai susijęs su

Vilniaus universiteto, įkurto 1579 m., istorija. Per pirmuosius du

universiteto gyvavimo šimtmečius mechanika buvo dėstoma kaip

fizikos dalis. Vienas žymiausių to meto profesorių buvo O.Krygeris

(1598-1665). Jis paskelbė aštuonis matematikos, mechanikos ir

astronomijos darbus, tačiau labiausiai pagarsėjo 500 puslapių darbu

apie artilerijos sviedinių skriejimo koregavimą. O.Krygerio idėjas

plėtojo jo mokinys žemaičių dvarininkas K.Semenavičius, kurio

lotynų kalba parašyta knyga “Didysis artilerijos menas” buvo išleista

1650 m. Amsterdame. Vėliau knyga buvo išversta į anglų, prancūzų,

italų ir olandų kalbas. Apie pusantro šimtmečio ši knyga buvo

pagrindinis artilerijos mokslo vadovėlis visoje Europoje. Dar ir dabar

savo idėjomis ji stebina raketinės technikos specialistus. 1780 m.

Vilniaus universiteto rektoriaus M.Počiobuto įsakymu įsteigta

Taikomosios matematikos katedra, kuriai 23 metus vadovavo

T.Kundzičius. 1821 m. katedroje buvo parengti du nauji kursai:

analizinės mechanikos, kurį skaitė M.Polinskis-Pelka (1785-1848), ir

praktinės mechanikos, kurį skaitė V.Gurskis (1790-1874). Po

penkerių metų V.Gurskis pradėjo dėstyti inžinerijos kursą, kuris

aprėpė kelių, tiltų, kanalų, šliuzų statybą. Pagal jo projektus ir jam

vadovaujant, Vilniuje buvo pastatytos kelios krantinės, taip pat

kabamasis tiltas per Vilnelę, kuris tuo metu buvo didelė technikos

naujovė.

1832 m. caro valdžiai uždarius Vilniaus universitetą, mokslas Lietuvoje apmirė, tačiau šios

aukštosios mokyklos vardą ir toliau garsino jo absolventai. Iš mechanikos mokslus studijavusiųjų

būtina paminėti du šio universiteto auklėtinius: N.Jastržembskį (1808-1874) ir S.Kerbedį (1810-1899).

N.Jastržembskis rusų kalba parašė dviejų tomų “Praktinės mechanikos kursą” (1837 m), kuris buvo

Žozefas Luji Lagranžas

1736-1813

Denis Puasonas

1781-1840

Michailas Ostrogradskis

1801-1862

8

pirmoji to meto Rusijos aukštųjų mokyklų mokymo priemonė.

Peterburgo susisiekimo inžinierių instituto taikomosios matematikos

profesorius S.Kerbedis (kilęs nuo Panevėžio) išgarsėjo savo praktine

veikla. Jis yra pirmojo metalinio tilto per Nevą autorius, pagal jo

projektą 1853-1857 m. buvo pastatytas santvarinis tiltas per Lugą, taip

pat pirmasis tiltas per Vyslą Varšuvoje. S.Kerbedis buvo Rusijos

Mokslų Akademijos garbės narys ir pelnytai vadinamas to meto Rusijos

inžinierių tėvu.

Naujasis mechanikos mokslo raidos etapas Lietuvoje glaudžiai

susijęs su akademiku Kazimieru Vasiliausku (1879-1957). 1920 m.

Kaune jis kartu su kitais mokslininkais suorganizavo Aukštuosius kursus,

pradėjo vadovauti technikos skyriui. Po dvejų metų, perorganizavus

kursus į universitetą, jis įsteigė statybinės mechanikos katedrą ir

medžiagų atsparumo laboratoriją, kuri tarnavo ne tik mokymo ir mokslo

tikslams, bet ir daugeliui praktinių darbų. Akademikas 1935 m. parašė

pirmąjį medžiagų atsparumo vadovėlį lietuvių kalba, vėliau dar kelis

medžiagų atsparumo ir statybinės mechanikos vadovėlius.

Po karo kietojo deformuojamo kūno mechanikos moksliniai tiriamieji darbai yra atliekami

dviejose aukštosiose mokyklose: Kauno technologijos universitete ir Vilniaus Gedimino technikos

universitete.

1.1 tekstas

1.3. Medžiagų mechanikos ir kitų techninių dalykų ryšys

MM yra glaudžiai susijusi su klasikinės kontinuumo mechanikos šaka kietojo

deformuojamo kūno mechanika (1.2 pav.). Kietojo deformuojamo kūno mechanika nagrinėja

konstrukcijos įtemptąją ir deformuotąją būseną apibūdinančių dydžių nustatymą, tiria medžiagos

irimo ir plastinių deformacijų susidarymo procesus bei kitus reiškinius, susijusius su ypatingomis

konstrukcijos apkrovimo sąlygomis ar medžiagos fizikinėmis savybėmis. Dar nėra klasikinio šios

mokslo šakos mokomojo kurso. Kol kas jį sudaro grupė istoriškai susidariusių techninių dalykų:

medžiagų mechanika, statybinė mechanika, tamprumo teorija, plastiškumo teorija, valkšnumo teorija,

irimo mechanika, taip pat vienas kitas siauresnis techninis dalykas (gruntų mechanika, metalinės

konstrukcijos ir pan.).

1.2 pav.

Medžiagų mechanika, priėmusi nemažai fizinio ir geometrinio pobūdžio prielaidų, nagrinėja

inžinerinius konstrukcijų (paprastai strypinių sistemų) skaičiavimo metodus ir pateikia praktiškas

rekomendacijas paprastiems uždaviniams spręsti. Medžiagų mechanikoje tarsi veidrodyje atsispindi

visas, tiesa labai supaprastintas, kietojo deformuojamo kūno mechanikos kursas. Štai kodėl kietojo

deformuojamo kūno mechanikos kursas paprastai pradedamas nuo medžiagų mechanikos, nes,

nagrinėdamas paprastus objektus, besimokantysis geriau suvokia fizikinę reiškinių esmę, lengviau

įsimena naujas sąvokas, įgyja inžinerinių skaičiavimų įgūdžių ir kartu pasiruošia perimti sudėtingesnę

informaciją.

Statybinė mechanika nagrinėja sudėtingus objektus, sudarytus iš strypinių arba kitokio pavidalo

elementų, taip pat plokštes ir kevalus. Tokioms konstrukcijoms skaičiuoti reikia sudėtingesnių

metodų ir tobulesnių skaičiavimo priemonių. Be to, statybinė mechanika, skirtingai negu medžiagų

mechanika, nagrinėja ne pjūviuose veikiančius įtempimus, bet jų atstojamąsias įrąžas.

Tamprumo teorija nuodugniai ir gana tiksliai įvairiais aspektais nagrinėja kontinualiąsias

konstrukcijas (plokštes, kevalus, masyvus). Jos uždavinys analizės būdu rasti bet kaip apkrauto

kietojo deformuojamo kūno įtempimus bei deformacijas. Nagrinėjamų uždavinių ratą lemia tiesinio

Kazimieras Vasiliauskas

1879-1957

9

įtempimų ir deformacijų ryšio prielaida. Tamprumo teorijos matematinis aparatas leidžia formuluoti

ir spręsti praktiškai bet kokios konstrukcijos skaičiavimo uždavinį. Tiesa, sprendimo metodai yra

labai sudėtingi.

Plastiškumo teorija nagrinėja bendruosius plastinių (liekamųjų) deformacijų atsiradimo ir kitimo

dėsningumus. Laiko įtaką plastiniam deformavimui nagrinėja valkšnumo teorija.

Irimo mechanika nagrinėja plyšių atsiradimo ir plitimo dėsningumus.

Gruntų mechanika, metalinės konstrukcijos ir kiti specialieji techniniai dalykai nagrinėja tam

tikros rūšies konstrukcijas ir, naudodamos anksčiau aptartų dalykų metodus, sprendžia jų patikimumo

įvertinimo klausimus.

1.2 tekstas

Dalykus, darančius įtaką rengiant inžinierius - projektuotojus, sąlygiškai galima suskirstyti į tris

grupes (1.3 pav.).

Pirmąją grupę sudaro dalykai, be kurių konstrukcijų skaičiavimo studijavimas būtų apskritai

neįmanomas. Tai matematika, fizika ir teorinė mechanika. Ypač svarbus teorinės mechanikos

dalykas, kuris, kaip ir MM, nagrinėja kietąjį kūną, tiesa, ne deformuojamą, bet absoliučiai standų.

Antrąją grupę sudaro MM, statybinė mechanika ir tamprumo teorija. Šie dalykai, papildydami

vieni kitą, suteikia studijuojančiajam tą žinių ir įgūdžių pamatą, kuris būtinas specialiesiems

dalykams sėkmingai studijuoti.

Trečioji grupė specialiųjų dalykų grupė priklauso nuo specialybės. Pavyzdžiui, statybos

inžinieriui ją sudaro metalinės konstrukcijos, medinės konstrukcijos, gelžbetoninės konstrukcijos bei

geotechnika.

Akivaizdu, kad elementarios konstrukcijų skaičiavimo žinios ir įgūdžiai reikalingi kiekvienos

specialybės ir specializacijos inžinieriui.

1.3 pav.

Kontroliniai klausimai

1.1. Koks yra daugumos inžinierių svarbiausias

uždavinys?

1.2. Kuo turi remtis inžinierius, kurdamas

pastatų ar mašinų konstrukcijas?

1.3. Ką turi įvertinti, ką turi gerai pažinti ir

kuo turi naudotis inžinierius, kurdamas

pastatų ar mašinų konstrukcijas?

1.4. Kokios konstrukcijos savybės turi būti

garantuojamos skaičiavimais?

1.5. Kas yra patikimumas?

1.6. Kas yra stiprumas?

1.7. Kas yra standumas?

1.8. Kas yra stabilumas?

1.9. Kas yra laikomas konstrukcijų skaičiavimo

mokslo pradininku? Kokią knygą jis

parašė, kada ir kur ją išleido?

1.10. Kas yra pirmojo medžiagų mechanikos

vadovėlio autorius? Kada jis išleistas?

1.11. Išvardykite mokslininkus, tyrinėjusius

konstrukcijų skaičiavimą.

1.12. Išvardykite mokslininkus mechanikus,

susijusius su Lietuva.

1.13. Išvardykite konstrukcijų skaičiavimo raidos

etapus.

1.14. Išvardykite kontinuumo mechanikos šakas.

1.15. Išvardykite techninius dalykus kietojo

deformuojamo kūno mechanikos

sudedamąsias dalis.

1.16. Koks yra MM ir kitų bendrainžinerinių ir

specialiųjų (statybos) dalykų ryšys?

Brėžinys.

1.17. Kuo skiriasi MM ir tamprumo teorija?

1.18. Koks esminis MM ir teorinės mechanikos

skirtumas?

10

2. Medžiagų mechanikos objektas

2.1. Trys konstrukcijų skaičiavimo etapai

Kiekvienas inžinerinis skaičiavimas susideda iš trijų etapų. Pirmiausia reali konstrukcija

idealizuojama (nustatomos esminės jos savybės) ir sudaroma skaičiuojamoji schema. Antrame etape

skaičiuojamoji schema analizuojama ir, remiantis teorija, sprendžiamas uždavinys (pvz. , nustatomas

apkrovos ar skerspjūvio parametras). Trečiame etape nuo skaičiuojamosios schemos grįžtama prie

realios konstrukcijos ir įvertinamas jos patikimumas.

MM turinys apima antrąjį etapą. Be to, MM nagrinėja tiktai pačias tipiškiausias

skaičiuojamąsias schemas, t.y. tokias skaičiuojamąsias schemas, kurios yra bendros didesnei daliai

inžinerinių konstrukcijų. Skaičiuojamąsias schemas, būdingas konkrečiai technikos sričiai, nagrinėja

atitinkamos statybinės mechanikos šakos, pvz. , strypinių sistemų statybinė mechanika, laivo statybinė

mechanika, lėktuvo statybinė mechanika ir kitos.

2.1 tekstas

2.2. Reali konstrukcija ir skaičiuojamoji schema

Skaičiuojamoji schema yra supaprastintas realios konstrukcijos ir ją veikiančių apkrovų

aprašymas arba vaizdavimas, lengvinantis apskaičiuoti konstrukciją vienu ar kitu požiūriu. Perėjimas

nuo realios konstrukcijos prie skaičiuojamosios schemos aprėpia konstrukcinių elementų geometrijos,

konstrukcinių medžiagų ir konstrukcijas veikiančių apkrovų schematizavimą. Tai atsakingas

inžinerinės veiklos etapas, nes nuo skaičiuojamosios schemos parinkimo priklauso skaičiavimo

rezultatai, jų atitikimas realybei. Todėl, sudarant skaičiuojamąsias schemas, reikia pasitelkti ne tik

visą inžinerinę patirtį, nuojautą, bet ir nuodugnias teorines žinias.

2.3. Konstrukcinių elementų geometrijos schematizavimas

Konstrukcinių elementų geometrinė forma yra be galo įvairi. Neįmanoma sukurti paprastos

skaičiavimo metodikos, kuri tiktų kiekvienos formos elementui. Todėl elementai su panašiomis

geometrinėmis savybėmis jungiami į grupes su tokia sąlyga, kad visiems jiems skaičiuoti tiktų ta

pati metodika.

Dažniausiai naudojami šie elementai (2.1 pav.):

a) elementai, kurių matmenys dviem erdvės kryptimis labai maži, palyginti su matmeniu trečiąja

erdvės kryptimi (strypai);

b) elementai, kurių matmuo viena erdvės kryptimi (storio) labai mažas, palyginti su matmenimis

kitomis dviem erdvės kryptimis ir apriboti plokščiais paviršiais (plokštės) arba kreivais paviršiais

(kevalai);

c) elementai su vienodos eilės matmenimis visomis erdvės kryptimis (masyvai);

d) elementai, kurių storis yra labai mažas palyginus su skerspjūvio kontūro matmenimis, o šie

savo ruožtu labai maži palyginus juos su strypo ilgiu (plonasieniai strypai).

Strypas Plokštė Kevalas

Masyvas Plonasienis strypas

Strypas Plokštė Kevalas

Masyvas Plonasienis strypas

Strypas Plokštė Kevalas

Masyvas Plonasienis strypas

Strypas Plokštė Kevalas

Masyvas Plonasienis strypas

Strypas Plokštė Kevalas

Masyvas Plonasienis strypas

2.1 pav.

11

Strypai (tiek tiesūs, tiek kreivi) skaičiuojamosiose schemose žymimi viena linija savo

geometrine ašimi. Tiesiais strypais paprastai tampa kolonos, sijos, velenai; kreivais arka, krano

kablys. Plokštės ir kevalai skaičiuojamosiose schemose žymimi savo viduriniuoju paviršiumi, t.y.

paviršiumi, einančiu per šių elementų storio

vidurį. Plokštės vidurinysis paviršius

plokštuma, kevalo kreivas paviršius (cilindras,

sfera, kūgis). Plokštėmis skaičiuojamosiose

schemose paprastai tampa perdangos plokštės,

hidrotechniniai užtvarai, kevalais skliautiniai

perdengimai, garo katilai, dujų ar skysčių

rezervuarai. Masyvų pavyzdžiai pamatai po

mašinomis, hidroelektrinių užtvankos ir kt.

Sudarant skaičiuojamąsias schemas,

schematizuojamos ir atramos. Jos gali būti

standžios arba šarnyrinės, paslankios arba

nepaslankios. Plokščiose konstrukcijose

dažniausiai pasitaiko šios atramos (2.2 pav.):

a) standžioji nepaslankioji (a);

b) cilindrinė šarnyrinė nepaslankioji (b);

c) cilindrinė šarnyrinė paslankioji (c).

2.4. Konstrukcinių medžiagų schematizavimas

Medžiagą galima nagrinėti keliais lygiais, naudojant įvairius jos

modelius. Fizikai, pavyzdžiui, nagrinėja medžiagą, atsižvelgdami į jos

kristalinių gardelių struktūrą (2.3a pav.), kiti tyrinėtojai nagrinėja

medžiagą kaip grūdelių su skirtinga kristaline orientacija (metalai) arba

su skirtingomis makrodalelėmis (betonas) sankaupą (2.3b pav.). MM ir

kitos deformuojamo kietojo kūno mechanikos šakos medžiagą nagrinėja

kaip vientisą terpę (medžiagos atominės struktūros nepaisoma, į skirtingas

grūdelių savybes neatsižvelgiama) (2.3c pav.). Todėl laikoma, kad visos

konstrukcijos, kurias nagrinėja MM, yra tariamai pagamintos iš vientisos

ir vienalytės medžiagos.

Vientisa vadinama medžiaga, kuri pilnai, be tuštumų užpildo visą

konstrukcijos tūrį (priėmus tokią prielaidą, medžiagos savybes galima

nagrinėti kaip tolydines funkcijas ir naudotis tokioms funkcijoms skirtu

matematiniu aparatu).

Vienalyte (arba homogeniška) vadinama medžiaga, kurios savybės

visose jos dalelėse yra vienodos.

Medžiagos vientisumo ir vienalytiškumo prielaidos MM kurse yra

universalios ir tinka visoms medžiagoms. Savo ruožtu vientisos vienalytės

medžiagos gali būti izotropinės arba anizotropinės; tamprios, plastiškos

arba valkšnios.

Izotropine vadinama medžiaga, kurios savybės visomis kryptimis yra vienodos (metalai).

Anizotropine vadinama medžiaga, kurios savybės įvairiomis kryptimis yra skirtingos (mediena,

armuoti plastikai).

Tampria vadinama medžiaga, iš kurios pagaminta konstrukcija (pvz., laikrodžio spyruoklė) nuo

mechaninio poveikio deformuojasi, bet, poveikį pašalinus, sugeba susigrąžinti pirminius matmenis ir

formą (2.4a pav.). Plastiška vadinama medžiaga, iš kurios pagaminta konstrukcija (pvz., plastilino

blokelis) nuo mechaninio poveikio deformuojasi ir, poveikį pašalinus, visiškai arba iš dalies sugeba

išlaikyti pakitusius matmenis ir formą (2.4b pav.).

a)

b)

c)

a)

b)

c)

a)

b)

c)

2.2 pav.

a) b) c)

a) b) c)

a) b) c)

2.3 pav.

12

Valkšnia vadinama medžiaga, iš kurios pagaminta konstrukcija (pvz., pagrindas po pamatais)

deformuojasi ir, poveikiui nekintant, sugeba papildomai keisti matmenis ir formą (2.4c pav.).

Nėra idealiai tamprios, nėra idealiai plastiškos, nėra idealiai valkšnios medžiagos. Šios savybės

išryškėja esant tam tikroms sąlygoms, pvz., tamprumas esant nedideliam apkrovimui, valkšnumas

esant aukštai temperatūrai ir t.t. Todėl, skaičiuojant konstrukcijas, visada reikia žinoti, koks

medžiagos modelis kokiai konstrukcijai geriausiai tinka.

2.5. Apkrovų schematizavimas

Apkrova yra konstrukciją veikiančių aktyviųjų išorinių jėgų visuma. Jos nereikia painioti su

išorinėmis jėgomis, kurios gali būti aktyviosios (apkrova) ir reakcinės (atraminės reakcijos).

Apkrovos yra schematizuojamos labai įvairiai, įvertinant tas ar kitas jų savybes, vienokį ar kitokį

jų poveikį konstrukcijai. Toliau pateikiamas apkrovų schematizavimas pagal tris požymius (2.5 pav.).

2.5 pav.

Pagal poveikio konstrukcijai pobūdį apkrovos skirstomos

į statines ir dinamines. Statine vadinama apkrova, kurios

didumas, kryptis ir pridėties taško koordinatės kinta taip lėtai,

kad jos veikiamos konstrukcijos dalelių masės neįgyja pastebimų

pagreičių, t.y. kuriai veikiant ir konstrukcijai deformuojantis

kinetinė energija, atsirandanti judant masėms, yra labai maža

palyginti su potencine deformuojamos konstrukcijos energija

(2.6a pav.). Dinamine vadinama apkrova, kurios didumas,

kryptis ir pridėties taško koordinatės kinta taip greitai, kad jos

veikiamos konstrukcijos dalelių masės įgyja pastebimus

pagreičius, pvz., smūgis, inercijos jėga (2.6b pav.).

Pagal poveikio konstrukcijai laiką apkrovos skirstomos į nuolatines, kartotines-kintamąsias ir

laikinąsias. Nuolatine vadinama apkrova, kuri nuolat, visą laiką veikia konstrukciją (pvz., savasis

konstrukcijos svoris). Kartotine-kintamąja vadinama apkrova, kurios didumas, kryptis arba pridėties

taško koordinatės kinta ir ne vieną kartą pasikartoja tomis pačiomis ar kitokiomis kombinacijomis

a) b) c)

l 0

l 1

l 2

l = l2 0 l = l2 1

1

0l

l l 2l > l > l

l 3

l 2

l 1

23 1

1Kovas

8Kovas

15Kovas

l 0

l 1

l 2

l = l2 0 l = l2 1

1

0l

l l 2l > l > l

l 3

l 2

l 1

23 1

1Kovas

8Kovas

15Kovas

l 0

l 1

l 2

l = l2 0 l = l2 1

1

0l

l l 2

l > l > l

l 3

l 2

l 1

23 1

1Kovas

8Kovas

15Kovas

2.4 pav.

2.6 pav.

13

(pvz., transporto priemonių veikimas į tilto konstrukcinius

elementus). Laikinąja vadinama apkrova, kuri laikinai, ne visą

laiką veikia konstrukciją (pvz., vėjo, sniego slėgis).

Pagal pridėjimo prie konstrukcijos vietą apkrovos

skirstomos į koncentruotas ir išskirstytąsias. Koncentruota

(sutelktąja) arba tiesiog jėga vadinama apkrova, kuri sąlygiškai

veikia viename konstrukcijos taške. Dažniausiai į koncentruotą

apkrovą surenkama mažame tūryje arba plotelyje veikianti

apkrova, pvz., žmogaus svoris, sijos galo slėgis į sieną (2.7 pav.).

Išskirstytąja vadinama apkrova, kuri veikia konstrukcijos tūryje,

paviršiaus plote arba linijos ilgyje (2.8 pav.). Pagal veikimo

vietą ji skirstoma į tūrinę (veikiančią visus konstrukcijos

taškus, pvz., savasis svoris, inercijos jėgos), paviršinę

(veikiančią konstrukcijos paviršių ar jos dalį, pvz., vėjo,

sniego, vandens slėgis) ir linijinę (sąlygiškai veikiančią

konstrukciją vienoje linijoje). Į linijinę išskirstytąją apkrovą

dažniausiai surenkama tūrinė arba paviršinė apkrova, veikianti

siaurame ilgame konstrukcijos ruože, pvz., strypo savasis

svoris, pridėtas jo ašyje.

2.2 tekstas

Kontroliniai klausimai

2.1. Iš kokių etapų susideda kiekvienos

konstrukcijos skaičiavimas?

2.2. Kaip apibrėžiama skaičiuojamosios

schemos sąvoka?

2.3. Kaip schematizuojama reali konstrukcija,

sudarant jos skaičiuojamąją schemą?

2.4. Ką vadiname strypu?

2.5. Ką vadiname plokšte?

2.6. Ką vadiname kevalu?

2.7. Ką vadiname masyvu?

2.8. Kaip apibrėžiama vientisos medžiagos

sąvoka?

2.9. Kaip apibrėžiama vienalytės medžiagos

sąvoka?

2.10. Kaip apibrėžiama izotropinės medžiagos

sąvoka?

2.11. Kaip apibrėžiama anizotropinės medžiagos

sąvoka?

2.12. Kaip apibrėžiama tamprios medžiagos

sąvoka?

2.13. Kaip apibrėžiama plastiškos medžiagos

sąvoka?

2.14. Kaip apibrėžiama valkšnios medžiagos

sąvoka?

2.15. Kas yra apkrova?

2.16. Kaip schematizuojamos apkrovos pagal

poveikio konstrukcijai pobūdį?

2.17. Kaip schematizuojamos apkrovos pagal

poveikio konstrukcijai laiką?

2.18. Kaip schematizuojamos apkrovos pagal

pridėjimo prie konstrukcijos vietą?

2.19. Kaip schematizuojamos išskirstytosios

apkrovos?

2.20. Kaip apibrėžiama statinės apkrovos

sąvoka?

2.21. Kaip apibrėžiama dinaminės apkrovos

sąvoka?

2.22. Kaip apibrėžiama nuolatinės apkrovos

sąvoka?

2.23. Kaip apibrėžiama kartotinės-kintamosios

apkrovos sąvoka?

2.24. Kaip apibrėžiama laikinosios apkrovos

sąvoka?

2.25. Kaip apibrėžiama koncentruotos apkrovos

sąvoka?

2.26. Kaip apibrėžiama išskirstytosios apkrovos

sąvoka?

2.27. Kas yra MM objektas?

2.7 pav.

2.8 pav.

14

3. Pagrindinės sąvokos ir prielaidos

3.1. Koordinatinių ašių sistema

VGTU Medžiagų atsparumo katedroje naudojama

dešininė (tiesioginė) stačiakampė Dekarto koordinačių

sistema, t.y. koordinačių sistema, kurioje ašį x, kad ji

sutaptų su ašimi y, ašį y, kad ji sutaptų su ašimi z, ir ašį

z, kad ji sutaptų su ašimi x, reikia sukti prieš laikrodžio

rodyklės sukimosi kryptį. Kitaip sakant, dešininėje

stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje iš pirmojo

oktanto bet kurio taško teigiamos ašių kryptys yra matomos

abėcėlės tvarka (arba indeksų didėjimo tvarka), apeinant jas

prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį (3.1 pav.).

MM dažniausiai nagrinėja strypą. Todėl dabar

įsidėmėkite tik įvairiai orientuoto strypo koordinatinių ašių

žymėjimą (kiti koordinatinių ašių sistemos taikymo atvejai

bus aptarti atskirai): horizontaliems strypams koordinatinės

ašys nukreipiamos į žiūrovą, į apačią ir į dešinę (3.2a pav.),

vertikaliems į žiūrovą, į viršų ir į dešinę (3.2b pav.);

abiem atvejais z ašis sutapdinama su strypo ašimi (3.3 pav.).

Ženklų taisyklės yra susitarimo dalykas, tačiau

visada jos susiejamos su koordinatinių ašių sistema.

Pagrindinių įtemptąją ir deformuotąją konstrukcijos būseną

apibūdinančių dydžių (įrąžų, įtempimų, poslinkių ir

deformacijų) ženklų taisyklės bus aptartos toliau. Dabar

prisiminkite apkrovų ženklų taisykles (3.4 pav.):

1) koncentruota apkrova (jėga) ir išskirstytoji apkrova

yra teigiamos, jei veikia teigiama koordinatinės ašies

kryptimi;

2) momentas (jėgų pora) yra teigiamas, jei veikia prieš

laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį; į plokštumą, kurioje

veikia momentas, reikia žiūrėti iš normalės teigiamos pusės.

Pastaba. Konspekte, aiškinant sąvokas arba išvedant

formules, priimama, kad visi dydžiai yra teigiami, ir tokie

jie pateikiami atitinkamuose paveiksluose.

3.2. Išorinės ir vidinės jėgos. Pjūvio metodas

Realią konstrukciją (jos elementą) visada veikia aplinka. Šis poveikis gali būti mechaninis,

temperatūrinis, cheminis, magnetinis ir t.t. MM nagrinėja tik mechaniškai (atskiru atveju

temperatūros) veikiamas konstrukcijas. Jeigu konstrukcija nagrinėjama atsieta nuo aplinkos, tai

aplinkos mechaninis poveikis konstrukcijai pakeičiamas jėgomis. Jos vadinamos išorinėmis jėgomis ir

yra mechaninio poveikio konstrukcijai kiekybinis matas. Išorinės jėgos skirstomos į aktyviąsias

(apkrova) ir reakcines (atraminės reakcijos).

3.1 pvz.

Išorinėms jėgoms veikiant konstrukciją, tarp atskirų jos dalelių atsiranda sąveikos: vienos

dalelės nuo kitų tolsta, kitos artėja. Dėl to konstrukcija keičia savo matmenis bei formą, t.y.

deformuojasi. Šios sąveikos kiekybinis matas yra vidinės jėgos. Taigi vidinės jėgos yra išorinėmis

jėgomis veikiamos konstrukcijos atskirų dalelių sąveikos kiekybinis matas.

a) b)

x x

z

y

1

2

3x

x

3.1 pav.

a) b)

3.2 pav.

z xy

z

x

y

x

z

y

3.3 pav.

F

Mfx

xF M

M

F

f

fy

zy

z

zx y

3.4 pav.

x3

x2

15

Vidines jėgas patogiausia nagrinėti pjūvio metodu. Pagal jį tariamai perpjautos konstrukcijos

ar jos elemento dalių poveikis vienos kitai pakeičiamas vidinėmis jėgomis, ir bet kuriai iš šių dalių

užrašomos pusiausvyros lygtys. Paprastai vidinės jėgos suvedamos į pjūvio centrą. Taip gaunamas

svarbiausiasis vektorius ir svarbiausiasis momentas, kurių komponentai pjūvio ašių atžvilgiu (įrąžos)

ir nustatomi iš nagrinėjamos dalies pusiausvyros sąlygų (3.5 pav.).

3.3. Įrąžos

Įrąža yra skerspjūvio vidinių jėgų svarbiausiųjų

vektorių, einančių per skerspjūvio centrą, komponentas ašies

x, y arba z atžvilgiu (žr. 3.2 poskyrį). Įrąžos yra šešios

(3.6 pav.): ašinė jėga (žymima simboliu N), dvi skersinės

jėgos ( Q Qx y, ), du lenkimo momentai ( M Mx y, ) ir

sukimosi momentas (T). Joms skaičiuoti naudojamos

tariamai atpjautos strypo dalies pusiausvyros lygtys:

Aptarsime įrąžų ženklų taisykles. Atkreipkite dėmesį,

kad ašinės jėgos ir sukimosi momento ženklų taisyklės

nepriklauso nuo koordinatinių ašių sistemos.

Ašinė jėga teigiama, kai jos veikiamas strypas ilgėja,

t.y. kai tempia (3.7 pav.).

Skersinė jėga teigiama, kai šliejamo strypo skerspjūvis,

matomas iš teigiamos z ašies pusės, pasislenka teigiama

skerspjūvio ašies (x arba y) kryptimi (3.8 pav.).

Lenkimo momentas yra teigiamas, kai lenkiamo strypo

tempiami sluoksniai yra teigiamoje skerspjūvio ašies (x arba

y) pusėje (3.9 pav.).

Sukimo momentas yra teigiamas, kai sukamo strypo

skerspjūvis, į kurį žiūrima iš išorės (iš tariamai atmestosios

strypo dalies pusės), pasisuka prieš laikrodžio rodyklės

sukimosi kryptį (3.10 pav.).

)13(

gaunamas 0

gaunamas0

gaunamas0

gaunama0

gaunama0

gaunama0

.

. ;

, ;=

, ;

, ;=

, ;

, ;=

TM

MM

MM

QF

QF

NF

fz

yfy

xfx

yy

xx

z

F

M

x

y

z

x

yM

N

T

Q

Qy

x

3.6 pav.

N

x y

z> 0> 0N

3.7 pav.

xy

z

> 0Qy

> 0yQQ > 0x

> 0Qx

3.8 pav.

F

F

FF

n

12

n - 1

F

Fn - 1

F1 F2

F1 F2

xz

ycF

M0

0

F1 F2

3.5 pav.

n

16

Pastaba. Konspekte teigiamos įrąžos parodytos tiktai

horizontaliam strypui, kurio z ašis nukreipta į dešinę. Kitaip

orientuotiems strypams atitinkamas iliustracijas galima rasti

''Aiškinamajame medžiagų atsparumo uždavinyne'' (A.Čižas,

V.Viršilas, J.Žekevičius. V.: Mokslas, 1985), p. 259-261.

Norint įvertinti konstrukcijos patikimumą, reikia

žinoti kiekvieno konstrukcijos pjūvio įrąžas, mokėti

nustatyti ekstremines jų reikšmes. Tam tikslui sudaromos

įrąžų diagramos grafikai, vaizduojantys įrąžų

pasiskirstymą konstrukcijoje. Sudarant įrąžų diagramas,

pirmiausia strype sužymimi skaičiuojamieji skerspjūviai,

t.y. skerspjūviai, kuriuose keičiasi įrąžos didumas arba

jos kitimo dėsnis. Tokiu būdu skaičiuojamaisiais tampa

skerspjūviai ties atramomis ir laisvaisiais strypų galais,

skerspjūviai iš abiejų jėgos arba momento pridėties

taško pusių ir skerspjūviai ties išskirstytos apkrovos

pradžios ir pabaigos taškais. Vėliau skaičiuojamuosiuose

skerspjūviuose pjūvio metodu apskaičiuojamos įrąžų

reikšmės. Jos pasirinktu masteliu atidedamos strypo

ašyje, ir gautų atkarpų galai sujungiami, remiantis įrąžų

ir apkrovos ryšio priklausomybėmis. Galiausiai diagrama užbrūkšniuojama statmenais strypo

ašiai brūkšneliais, pažymint teigiamus ir neigiamus jos ruožus. Sudarant įrąžų diagramas, daugiausia laiko sugaištama skaičiuojant skaičiuojamųjų skerspjūvių

įrąžas. Jas galima skaičiuoti dvejopai. Pirmuoju atveju prie nagrinėjamo skerspjūvio pridedamos

teigiamos, kol kas nežinomos įrąžos, ir tai strypo daliai, kuriai priklauso nagrinėjamas skerspjūvis,

užrašomos atitinkamos pusiausvyros lygtys. Jei, išsprendus atitinkamą pusiausvyros lygtį, gaunamas

pliuso ženklas, tai reiškia, kad atitinkama įrąža yra teigiama, jei minuso ženklas reiškia, kad

atitinkama įrąža yra neigiama. Antruoju atveju įrąžos skaičiuojamos įvertinant išorines jėgas,

veikiančias tą strypo dalį, kuriai nepriklauso nagrinėjamas skerspjūvis. Vadovaujamasi šiomis

taisyklėmis:

a) ašinė jėga savo skaitine reikšme lygi visų išorinių jėgų, veikiančių tą strypo dalį, kuriai

nepriklauso nagrinėjamas skerspjūvis, projekcijų į strypo ašį sumai; jei išorinės jėgos projekcija

strypą ties nagrinėjamu skerspjūviu tempia, tai ji sumuojama su pliuso ženklu, jei gniuždo su

minuso ženklu;

b) skersinė jėga savo skaitine reikšme lygi visų išorinių jėgų, veikiančių tą strypo dalį, kuriai

nepriklauso nagrinėjamas skerspjūvis, projekcijų į atitinkamą skerspjūvio ašį (x arba y) sumai; jei

išorinės jėgos projekcijos veikiamas nagrinėjamas skerspjūvis, žiūrint į jį iš teigiamos z ašies pusės,

pasislenka teigiama atitinkamos savo ašies kryptimi, tai ji sumuojama su pliuso ženklu, jei neigiama

kryptimi su minuso ženklu;

c) sukimo momentas savo skaitine reikšme lygus visų išorinių jėgų, veikiančių tą strypo dalį,

kuriai nepriklauso nagrinėjamas skerspjūvis, momentų strypo ašies atžvilgiu sumai : jei išorinė jėga

sukelia momentą, sukantį nagrinėjamą skerspjūvį prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, tai jos

momentas sumuojamas su pliuso ženklu, jei pagal su minuso ženklu;

d) lenkimo momentas savo skaitine reikšme lygus visų išorinių jėgų, veikiančių tą strypo dalį,

kuriai nepriklauso nagrinėjamas skerspjūvis, momentų atitinkamos skerspjūvio ašies (x arba y)

atžvilgiu sumai; jei išorinė jėga sukelia momentą, tempiantį nagrinėjamo skerspjūvio sluoksnius,

esančius teigiamoje atitinkamos jo ašies pusėje, tai jos momentas sumuojamas su pliuso ženklu, jei

neigiamoje su minuso ženklu.

3.2, 3.3, 3.4, 3.5 pvz.

Mx M> 0

xy

> 0

z

yMx > 0 yM > 0

3.9 pav.

T

yx

z

T> 0 > 0

3.10 pav.

17

3.4. Įtempimai

Įrąžos tik kiekybiškai apibūdina konstrukcijos vidines jėgas, todėl jų nustatymas tėra pirmas

žingsnis siekiant įvertinti konstrukcijos stiprumą, standumą ir stabilumą. Nesunku pastebėti, kad dvi

vienodai apkrautos (turinčios vienodas įrąžas) sijos yra nevienodai stiprios, standžios ir stabilios, jei,

pirma, yra skirtingi jų skerspjūvių matmenys, forma ar orientacija (3.11 pav.), ir, antra, jei jos yra

pagamintos iš skirtingų medžiagų (3.12 pav.). Todėl, skaičiuojant konstrukcijas, reikia ne tik mokėti

nustatyti įrąžas, bet ir žinoti vidinių jėgų pasiskirstymo skerspjūvyje pobūdį bei medžiagų

mechaninių savybių rodiklius. Medžiagų mechaninių savybių įtaka konstrukcijos patikimumui bus

išnagrinėta 5 ir 6 skyriuose. Dabar aptarsime vidinių jėgų pasiskirstymą skerspjūvyje, kuris priklauso

nuo skerspjūvio matmenų ir (atskirais atvejais) nuo formos bei orientacijos. Jis yra visiškai

apibrėžtas, jei yra žinomas kiekviename skerspjūvio elementariajame plotelyje veikiančių vidinių jėgų

didumas ir kryptis, t.y., jei yra žinomas vidinių jėgų intensyvumas ir kryptis. Taigi įrąžos

kiekybiškai apibūdina viso skerspjūvio, o vidinių jėgų intensyvumas jo kiekvieno taško apkrovimą.

Nagrinėsime bet kaip apkrauto strypo pjūvį, kuriame veikia vienokiu ar kitokiu būdu

pasiskirsčiusios vidinės jėgos (3.13 pav.). Laisvai pasirinkto taško K aplinkoje išskirsime plotelį A.

Tarkime, kad jame veikia tam tikros krypties vidinių jėgų atstatomoji Fint. Tada plotelyje

veikiančių vidinių jėgų intensyvumas

A

Fp

int . (3.2)

Atsižvelgdami į priimtą medžiagos vientisumo prielaidą,

užrašykime (3.2) santykio ribą :

A

Fp

A

int

0lim

. (3.3)

Vektorinis dydis p yra vidinių jėgų intensyvumas taške K. Jis dar vadinamas taško K įtempimu.

Taigi įtempimas yra vidinių jėgų, atsiradusių dėl mechaninio poveikio konstrukcijai, intensyvumas.

Jo dimensija jėga, padalinta iš ploto. SI vienetas Paskalis (Pa=N/m2).

F

K

F A

int

3.13 pav.

Fx

y

z

y

v

y

F

v

z x

y

y

v

z x

y

F

v

z x

y

F

y

A

>

<

=

va b

c d

A

a vb

A Ab = Advb > vcv v

a)

b)

c)

d )

c

<

b)

F F

a)

aA = Abl a lb

l l

l

l

plienas

varis

3.11 pav. 3.12 pav.

vc vd

18

Suprojektavus įtempimą į koordinačių sistemos ašis, išvestas per

tašką K, gaunami trys jo komponentai (3.14 pav.): a) normalinis

įtempimas ( zz z ) įtempimo projekcija į pjūvio normalę;

b) tangentiniai įtempimai ( zx zy, ) įtempimo projekcijos į

atitinkamas pjūvio ašis.

Pastabos.

1. Pirmasis tiek normalinio įtempimo, tiek tangentinių įtempimų

indeksas sutampa su pjūvio normalės indeksu, antrasis su ašies,

kuriai lygiagrečiai veikia įtempimas, indeksu.

2. Normalinis įtempimas yra teigiamas, kai veikia nuo pjūvio. 3. Tangentinis įtempimas yra teigiamas, kai jo veikiamas pjūvis, matomas iš jo

normalės teigiamo galo, pasislenka kurios nors kitos savo ašies teigiama kryptimi.

3.1 tekstas, 3.15 pav.

Nustatysime įrąžų ir įtempimų ryšį. Nagrinėsime bet kaip

apkrauto strypo skerspjūvį (3.16 pav.). Bendruoju atveju tokio

skerspjūvio elementariajame plotelyje veikia :

1) elementarioji ašinė jėga dN (dN=dA);

2) elementarioji skersinė jėga, veikianti x ašies kryptimi, dQx

(dQx=zxdA);

3) elementarioji skersinė jėga, veikianti y ašies kryptimi, dQy

(dQy=zydA).

Šios elementariosios jėgos skerspjūvio centrinių x, y, z ašių

atžvilgiu sukelia:

1) elementarųjį lenkimo momentą, veikiantį x ašies atžvilgiu, dMx (dMx=ydN=ydA);

2) elementarųjį lenkimo momentą, veikiantį y ašies atžvilgiu, dMy (dMy=xdA);

3) elementarųjį sukimo momentą dT (dT=xdQy - ydQx=xzydA - yzxdA).

Visame skerspjūvio plote susumavę elementariąsias jėgas ir elementariuosius momentus, gauname

skerspjūvyje veikiančias įrąžas :

Lygtys (3.4), išreiškiančios įrąžas per įtempimus, vadinamos statikos integralinėmis

lygtimis. Praktikoje dažniau tenka spręsti atvirkštinį uždavinį, t. y. skaičiuoti įtempimus, kai

yra žinomos įrąžos. Deja, išreikšti įtempimus iš lygčių (3.4) negalima, nes nežinomi jų

pasiskirstymo skerspjūvyje dėsniai. Šiam uždaviniui išspręsti papildomai reikalingos

geometrinės ir fizinės lygtys.

3.5. Poslinkiai

Visi realūs kūnai (konstrukcijos), veikiami aplinkos, keičia savo formą bei geometrinius

matmenis, t.y. deformuojasi. Kūnui deformuojantis atskiri jo taškai pakeičia savo vietą erdvėje, t.y.

pasislenka.

(3.4)

.)(x

,

,

,

,

,

zy

A zx

Ay

Ax

A zyy

A zxx

A

dAyT

dAxM

dAyM

dAQ

dAQ

dAN

y

z

x

y

x

K

F

pz

zz

z

3.14 pav.

xz

x

y

F

.cdA

dN dQ

dQ

y

y

x 3.16 pav.

19

Pasislinkimas (taško arba kūno padėties pasikeitimas) yra

procesas. Šio proceso parametrai yra linijinis ir kampinis

poslinkiai (arba jų komponentai).

Linijiniu poslinkiu vadinamas vektorius, jungiantis

pasislinkusio taško pradinę ir galinę padėtis, arba (kai

nagrinėjamas deformuojamas kietasis kūnas) vektorius, kurio

pradžia yra nedeformuoto kūno taške, o galas (viršūnė) tame

pačiame deformuoto kūno taške. Jis žymimas mažąja lotynų

abėcėlės raide s (3.17 pav.). Jo dimensija ilgis, SI vienetas

metras. Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje nauja taško

padėtis dažnai išreiškiama trimis linijinio poslinkio komponentais:

u=sx, v=sy, w=sz.

Kampiniu poslinkiu vadinamas kampinis vektorius, kuriuo

pasisuka pasislinkdamas kūnas, pjūvis ar atkarpa. Jis žymimas

mažąja graikų abėcėlės raide , komponentai koordinatinėse

plokštumose xy, yz, zx. Jo dimensija vienetas, SI

vienetas radianas.

3.2 tekstas, 3.18 pav.

Linijinio ir kampinio poslinkių komponentų ženklai priklauso

nuo koordinatinių ašių sistemos (3.19 pav.): linijinio poslinkio

komponentas yra teigiamas, kai taškas pasislenka atitinkamos

koordinatinės ašies kryptimi; kampinio poslinkio komponentas yra

teigiamas, kai kūnas atitinkamoje koordinatinėje plokštumoje,

žiūrint į ją iš jos normalės teigiamos pusės, pasisuka prieš

laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį.

3.6. Deformacijos

3.3 tekstas, 3.20 pav.

Nagrinėsime bet kokios formos deformuojamą kietąjį kūną

(3.21 pav.). Tarkime, kad, veikiant išorinėms jėgoms, jis

deformavosi, ir atstumas s tarp dviejų taškų A ir B pasikeitė dydžiu

s. Tada vidutinis atkarpos AB ilgio pokytis

m

s

s

. (3.5)

Atsižvelgdami į priimtą medžiagos vientisumo prielaidą,

užrašykime (3.5) santykio ribą (tašką B artinkime prie taško A):

s

s

s

0lim

. (3.6)

Dydis yra atkarpos ilgio kitimo intensyvumas taške A kryptimi AB. Jis vadinamas linijine

deformacija. Taigi linijinė deformacija yra kūno, veikiamo aplinka, matmenų kitimo intensyvumas.

Jos dimensija vienetas.

x

y

F

vA zw

Af

F1

n.

.u

s

3.17 pav.

z

>

>

v

A

B

y

w

.

.

0

0

f

0

f

0yz

>0

Af

B0

3.19 pav.

w 0

v 0

Bf

B

F1

nF

A

Af s + s

3.21 pav.

s

20

Kūno formos kitimą apibūdina kampinė deformacija. Tarkime,

kad, veikiant aplinkai, kūnas (3.22 pav.) deformavosi ir status

kampas tarp atkarpų AB ir AC pasikeitė dydžiu . Tada plokštumos

BAC taško A kampinė deformacija

).ˆˆ(lim 0 0,

fffACAB

CABCAB

(3.7)

Kampinės deformacijos dimensija vienetas, SI vienetas

radianas (rad).

Jei per tašką A nubrėžtume kitą tiesę arba plokštumą, tai kitos būtų ir atitinkamos deformacijos.

Tokių tiesių ir plokštumų galima nubrėžti daugybę, tačiau dažniausiai naudojamos tiesės, lygiagrečios

koordinatinėms ašims, ir plokštumos, statmenos šioms ašims. Labai patogu tokiomis plokštumomis

nagrinėjamo taško aplinkoje išskirti elementarųjį stačiakampį gretasienį ir dėl jo mažumo laikyti, kad

deformuotoji būsena (visuma linijinių ir kampinių deformacijų, atsirandančių įvairiomis kryptimis ir

įvairiose plokštumose nagrinėjamo taško aplinkoje) visuose jo taškuose yra tokia pati, kaip ir

nagrinėjamo taško deformuotoji būsena. Toks taško modelis padeda geriau suprasti deformuotosios

būsenos rodiklio deformacijų būvio taške sąvoką. Šiuo atveju linijinė deformacija yra ne kas

kita, kaip elementariojo stačiakampio gretasienio briaunų ilgio kitimo intensyvumas

dz

dz

dy

dy

dx

dx zyx , ,( , 3.23 pav.), o kampinė deformacija kampų tarp briaunų pokytis

(3.24 pav.). Taigi deformacijų būvis taške apibūdinamas šešiais parametrais trimis linijinės ir

trimis kampinės deformacijos komponentais: x, y, z, xy, yz, zx. Viso kūno deformavimasis

aprašomas šių komponentų funkcijomis: ) , ,( zyxx , ) , ,( zyxx , ) , ,( zyxx .

Deformacijų ženklų taisyklės:

a) linijinės deformacijos komponentas yra teigiamas, kai atstumas tarp dviejų deformavimo

linijoje esančių taškų padidėja (žr. 3.23 pav., kuriame x 0, y 0, z 0);

b) kampinės deformacijos komponentas yra teigiamas, kai jis atitinka teigiamą tangentinių

įtempimų kryptį (žr. 3.24 pav., kuriame parodyti trys teigiami kampinės deformacijos komponentai:

xy 0, yz 0 ir xz 0.

Geometriškai nagrinėjant deformuotas konstrukcijas, galima užrašyti lygtis, susiejančias

deformacijas ir poslinkius. Šios lygtys vadinamos geometrinėmis lygtimis.

AAf

F

F

B

fB

C

Cf

.

3.22 pav.

3.23 pav.

3.24 pav.

yx

21

3.7. Fizinės lygtys

Skaičiuojant konstrukcijas, būtina žinoti priežasties ir pasekmės ryšį (pvz., apkrovos ir

poslinkio, įtempimo ir deformacijos ryšius). Pastebėta, kad dauguma atvejų, kai priežastis neviršija

tam tikrų ribų, šis ryšys yra tiesinis. Tai daugiau kaip prieš 300 metų (1660 m.) nustatė anglų

mokslininkas Robertas Hukas, todėl tiesinis priežasties ir pasekmės ryšys vadinamas Huko dėsniu.

Paprastai jis išreiškiamas per įtempimus ir deformacijas:

E , (3.8)

G . (3.9)

Proporcingumo koeficientai tamprumo modulis E ir šlyties modulis G yra medžiagos

tamprumo rodikliai, todėl (3.8) ir (3.9) lygtys vadinamos fizinėmis lygtimis.

Tamprumo ir šlyties moduliai kiekvienai medžiagai nustatomi eksperimentiškai: nustatant

tamprumo modulį tempiamas strypas, nustatant šlyties modulį sukamas plonasienis vamzdis (žr. 5

skyrių).

3.8. Įtempimų pasiskirstymo skerspjūvyje formulės išvedimo bendroji tvarka

Vienas iš svarbiausių MM uždavinių yra įtempimų pasiskirstymo skerspjūvyje formulės

išvedimas, t.y. įtempimų išreiškimas per įrąžas (žr. (3.4) integralines išraiškas). Tai nėra paprastas

uždavinys, nes bendruoju atveju nėra žinomas įtempimų pasiskirstymo skerspjūvyje dėsningumas.

Metodika pagrįsta statikos integralinių, geometrinių deformavimo ir fizinių lygčių sudarymu:

Įrąžos <-------------> Įtempimai

Poslinkiai <-------------> Deformacijos (3.10)

Įtempimai <-------------> Deformacijos

Pirmiausia, geometriškai nagrinėjant deformuotą konstrukciją, gaunamos geometrinės

deformavimo arba iš karto deformacijų darnos lygtys. Vėliau, panaudojus fizines lygtis,

deformacijos išreiškiamos per įtempimus. Gautos įtempimų išraiškos įrašomos į atitinkamas

statikos integralines lygtis, kurios išsprendžiamos įtempimų atžvilgiu. Taigi, išsprendus lygčių

sistemą (3.10) įtempimų atžvilgiu, gaunama įtempimų pasiskirstymo skerspjūvyje formulė.

3.9. Deformavimo tipai

Strypo skerspjūvyje nuo išorinių jėgų veikimo bendruoju atveju gali atsirasti šešios įrąžos (N,

Qx, Qy, Mx, My, T). Dažnai tiktai viena iš jų būna nelygi nuliui. Priklausomai nuo to, kaip

deformuoja strypą nelygi nuliui įrąža, skiriami keturi deformavimo tipai: tempimas-gniuždymas,

kirpimas, sukimas ir lenkimas.

Tempimu-gniuždymu vadinamas deformavimo tipas, apibūdinamas strypo ilgio pasikeitimu nuo

ašinės jėgos (3.25a pav.).

Kirpimu vadinamas deformavimo tipas, apibūdinamas gretimų strypo skerspjūvių pasislinkimu

vienas kito atžvilgiu kryptimi, lygiagrečia kerpančių jėgų veikimo krypčiai (3.25b pav.).

Sukimu vadinamas deformavimo tipas, apibūdinamas skerspjūvių pasisukimu strypo ašies

atžvilgiu nuo sukimo momento (3.25c pav.).

22

Lenkimu vadinamas deformavimo tipas, apibūdinamas strypo ašies išsikreivinimu nuo lenkimo

momento (skersinio lenkimo atveju strypo ašies išsikreivinimo priežastis yra ir lenkimo momentas ir

skersinė jėga; 3.25d pav.).

3.10. Konstrukcijos ir jų klasifikacija

Konstrukcija (lot. sustatymas, sandara) yra pastato ar mašinos sudedamoji dalis, turinti tik jai

vienai būdingų savybių, pvz., kolona, santvara, rėmas, arka ir pan. Konstrukcijos klasifikuojamos

labai įvairiai, pvz., pagal paskirtį į atitvarines ir laikančiąsias, pagal gaminimo būdą į surenkamąsias

ir monolitines, pagal medžiagą į medines, metalines, gelžbetonines ir t.t. Mums labiausiai rūpi, kaip

klasifikuojamos konstrukcijos pagal požymius, susietus su jų skaičiavimo metodika.

Pagal įrąžų nustatymo būdą konstrukcijos skirstomos į statiškai išsprendžiamas ir statiškai

neišsprendžiamas. Statiškai išsprendžiama vadinama konstrukcija, kurios įrąžos nustatomos iš

pusiausvyros lygčių. Statiškai neišsprendžiama vadinama konstrukcija, kurios įrąžoms nustatyti

pusiausvyros lygčių nepakanka (bendruoju atveju reikia spręsti pusiausvyros, geometrinių ir fizinių

lygčių sistemą).

Pagal priežasties ir pasekmės ryšį (įrąžų ir poslinkių arba įtempimų ir deformacijų ryšį)

konstrukcijos skirstomos į tiesines ir netiesines. Pastarosios skirstomos į fiziškai netiesines ir

geometriškai netiesines. Tiesinėmis vadinamos konstrukcijos, kuriose priežasties ir pasekmės ryšys yra

tiesinis (kurioms galioja Huko dėsnis), pvz. , plieninės konstrukcijos, jei apkrovos neviršija tam tikrų

ribų. Fiziškai netiesinėmis vadinamos konstrukcijos, kuriose priežasties ir pasekmės ryšys yra

netiesinis dėl medžiagos savybių (kurioms negalioja Huko dėsnis), pvz., plieninės konstrukcijos, kai

apkrovos viršija tam tikras ribas). Geometriškai netiesinėmis vadinamos konstrukcijos, kuriose

priežasties ir pasekmės ryšys yra netiesinis dėl didelių deformuotos konstrukcijos matmenų pokyčių

(Huko dėsnis gali ir galioti), pvz. , meškerykotis, plieninė liniuotė.

Pagal sandarą konstrukcijos skirstomos į kontinualiąsias (plokštė, kevalas) ir strypines

(santvara, rėmas). Pagal strypų išsidėstymą strypinės sistemos būna linijinės, plokščiosios ir erdvinės.

3.11. Pagrindinės medžiagų mechanikos prielaidos

Skaičiuojant realias konstrukcijas, vien schematizuoti jų geometriją, medžiagą ir apkrovas, t.y.

sudaryti skaičiuojamąsias schemas, nepakanka. Reikia priimti dar kelias skaičiavimo metodikos

prielaidas. Jos palengvina uždavinių sprendimą ir užtikrina pakankamą praktikai tikslumą.

Poslinkių mažumo (pradinių matmenų) principas teigia,

kad deformuojamos konstrukcijos forma ir matmenys

dažniausiai keičiasi taip nežymiai, kad sudarant pusiausvyros

lygtis galima naudoti nedeformuotos konstrukcijos matmenis.

Pavyzdžiui, 3.26 pav. parodytos sijos atraminis lenkimo

momentas yra skaičiuojamas neatsižvelgiant į jėgos F peties

sutrumpėjimą: M F l w F la ( ) .

Principas galioja tiesinėms ir fiziškai netiesinėms

a)

z

y

F

ll

F

zx

Mf

Fz b)

v

c)

v

y

y

d )

z

F

3.25 pav.

zF

y

l

l - w

A

w

3.26 pav.

23

konstrukcijoms. Jis netaikomas geometriškai netiesinėms

konstrukcijoms.

Nepriklausomo jėgų veikimo (superpozicijos) principas

teigia, kad tampriai deformuojamos konstrukcijos įtemptąjį ir

deformuotąjį būvį apibūdinantys dydžiai nepriklauso nuo

apkrovos pridėjimo eiliškumo. Pavyzdžiui, 3.27 pav. parodytos

sijos B pjūvio poslinkis, atsiradęs dėl dviejų jėgų vienkartinio

poveikio, yra lygus sumai poslinkių, atsiradusių dėl atskirų

kiekvienos jėgos poveikių: v F F v F v Fb b b( ) ( ) ( )1 2 1 2 .

Principas galioja tik tiesinėms konstrukcijoms.

Sen Venano principas teigia, kad deformuojamos

konstrukcijos taškuose, pakankamai nutolusiuose nuo apkrovos

pridėjimo vietos, jos įtemptąją ir deformuotąją būsenąį

apibūdinantys dydžiai nepriklauso nuo apkrovos pridėjimo

pobūdžio. Apkrovos pridėjimo ypatumai pasireiškia tik

taškuose, nutolusiuose nuo apkrovos pridėjimo vietos atstumu,

mažesniu už būdinguosius nagrinėjamos srities matmenis, pvz. ,

už atstumą a, apytiksliai lygų stačiakampio skerspjūvio

ilgesniosios kraštinės matmeniui (3.28 pav.).

Principas leidžia prie konstrukcijos pridėtą apkrovą pakeisti

statiškai ekvivalentiška apkrova, t.y. apkrova, turinčia tokį patį

svarbiausiąjį vektorių ir svarbiausiąjį momentą. Principas

netaikomas, kai sprendžiami kontaktiniai uždaviniai,

nagrinėjama įtempimų koncentracija arba vietiniai įtempimai.

Atskirai principo galiojimo sritis aptariama, kai nagrinėjami

plonasieniai strypai.

Plokščių pjūvių (Bernulio) hipotezė teigia, kad

strypui deformuojantis jo skerspjūviai visame deformavimo

procese lieka plokšti ir statmeni strypo ašiai; jie

pasislenka, pasisuka, bet nesusimėto (3.29 pav.).

3.1 lentelė

Kontroliniai klausimai

3.1. Kokia stačiakampė Dekarto koordinačių

sistema vadinama tiesiogine (dešinine)?

Kaip ji gaunama? Brėžinys.

3.2. Nubraižykite trejopai orientuotą strypą,

parodykite jo koordinatines ašis.

3.3. Nubraižykite erdvinį konstrukcijos

elementą, apkraukite jį teigiamomis

jėgomis, veikiančiomis visų koordinatinių

ašių kryptimi, ir teigiamais momentais,

veikiančiais visose koordinatinėse

plokštumose.

3.4. Kaip apibrėžiama išorinių jėgų sąvoka?

3.5. Kaip apibrėžiama vidinių jėgų sąvoka?

3.6. Kokia yra pjūvio metodo esmė?

3.7. Kas yra svarbiausiasis vektorius?

3.8. Kas yra svarbiausiasis momentas?

3.9. Grafiškai parodykite, kaip pjūvio metodu

gaunamas svarbiausiasis vektorius ir

svarbiausiasis momentas bei jų

komponentai.

3.10. Kas yra įrąža?

3.11. Nubraižykite skerspjūvį; parodykite visas

įrąžas.

3.12. Kokia yra ašinės jėgos ženklo taisyklė?

Brėžinys.

3.13. Kokia yra skersinės jėgos ženklo taisyklė?

Brėžinys.

3.14. Kokia yra lenkimo momento ženklo

taisyklė? Brėžinys.

3.15. Kokia yra sukimo momento ženklo

taisyklė? Brėžinys.

3.16. Kas yra įrąžų diagrama?

z..

f

z

n

n

3.29 pav.

F

a a

4 F4

a

F

FF

F

FFF

F

a

3.28 pav.

y

z

F F1 2

bv

3.27 pav.

24

3.17. Kas yra įtempimas? Užrašykite analitinę

jo išraišką. Brėžinys.

3.18. Kas yra normalinis įtempimas?

3.19. Kas yra tangentinis įtempimas?

3.20. Nubraižykite skerspjūvį, parodykite bet

kuriame jo taške veikiantį tempimą ir jo

komponentus.

3.21. Kas yra įtempimų būvis?

3.22. Keli ir kokie parametrai apibūdina taško

įtempimų būvį?

3.23. Nubraižykite elementarųjį stačiakampį

gretasienį, parodykite jo sienelėse

veikiančius įtempimus.

3.24. Kas apibūdina konstrukcijos (jos elemento)

įtempimų būvį?

3.25. Kokios lygtys susieja įrąžas su

įtempimais?

3.26. Užrašykite lygtį, susiejusią ašinę jėgą su

įtempimais. Brėžinys.

3.27. Užrašykite lygtį, susiejančią skersinę jėgą,

veikiančią x ašies kryptimi, su įtempimais.

Brėžinys.

3.28. Užrašykite lygtį, susiejančią skersinę jėgą,

veikiančią y ašies kryptimi, su įtempimais.

Brėžinys.

3.29. Užrašykite lygtį, susiejančią lenkimo

momentą, veikiantį x ašies atžvilgiu, su

įtempimais. Brėžinys.

3.30. Užrašykite lygtį, susiejančią lenkimo

momentą, veikiantį y ašies atžvilgiu, su

įtempimais. Brėžinys.

3.31. Užrašykite lygtį, susiejančią sukimo

momentą su įtempimais. Brėžinys.

3.32. Kas yra pasislinkimas?

3.33. Kas yra poslinkis?

3.34. Ką vadiname linijiniu poslinkiu?

3.35. Ką vadiname kampiniu poslinkiu?

3.36. Kiek ir kokie parametrai apibūdina naują

absoliučiai kieto kūno padėtį?

3.37. Kas apibūdina naują deformuojamo kietojo

kūno padėtį?

3.38. Kas yra deformavimas?

3.39. Kas yra deformacija?

3.40. Ką vadiname linijine deformacija?

Užrašykite analitinę jos išraišką. Brėžinys.

3.41. Ką vadiname kampine deformacija?

Užrašykite analitinę jos išraišką. Brėžinys.

3.42. Kas yra deformacijų būvis?

3.43. Keli ir kokie parametrai apibūdina kūno

deformavimąsi nagrinėjamo taško

aplinkoje?

3.44. Nubraižykite absoliučiai standų elementą,

parodykite bent vienos briaunos ilgio

pokytį.

3.45. Nubraižykite absoliučiai standų elementą,

parodykite kampinę deformaciją bent

vienoje plokštumoje.

3.46. Kokios lygtys susieja poslinkius ir

deformacijas?

3.47. Kokios lygtys susieja priežastį ir pasekmę

(įtempimus ir deformacijas)?

3.48. Užrašykite Huko dėsnį.

3.49. Užrašykite lygčių sistemos, kurią išsprendus

gaunama įtempimų pasiskirstymo

skerspjūvyje formulė, bendrąją išraišką.

3.50. Kas yra tempimas-gniuždymas? Brėžinys.

3.51. Kas yra kirpimas? Brėžinys.

3.52. Kas yra sukimas? Brėžinys.

3.53. Kas yra lenkimas? Brėžinys.

3.54. Kas yra konstrukcija?

3.55. Kaip skirstomos konstrukcijos pagal įrąžų

nustatymo būdą?

3.56. Kokia konstrukcija vadinama statiškai

išsprendžiama?

3.57. Kokia konstrukcija vadinama statiškai

neišsprendžiama?

3.58. Kaip skirstomos konstrukcijos pagal

priežasties ir pasekmės ryšį?

3.59. Kokios konstrukcijos vadinamos tiesinėmis?

3.60. Kokios konstrukcijos vadinamos fiziškai

netiesinėmis?

3.61. Kokios konstrukcijos vadinamos

geometriškai netiesinėmis?

3.62. Kaip skirstomos konstrukcijos pagal

sandarą?

3.63. Kokius principus ir hipotezes naudoja

MM?

3.64. Ką teigia poslinkių mažumo principas?

Kokioms konstrukcijoms jis naudojamas?

Brėžinys.

3.65. Ką teigia nepriklausomo jėgų veikimo

principas? Kokioms konstrukcijoms jis

naudojamas? Brėžinys.

3.66. Ką teigia Sen Venano principas? Kada jis

netaikomas? Brėžinys.

3.67. Ką teigia plokščių pjūvių hipotezė?

25

4. Tempimas ir gniuždymas

4.1. Bendrosios žinios

Tempimas-gniuždymas yra deformavimo tipas, apibūdinamas strypo ilgio pasikeitimu

nuo ašinės jėgos (žr. 3.9 poskyrį). Kai N 0, yra tempimas, kai N 0, yra gniuždymas.

Tiek tempimas, tiek gniuždymas matematiškai nagrinėjami vienodai, t.y. visi strypo

įtemptąją ir deformuotąją būseną apibūdinantys dydžiai (ašinės jėgos, normaliniai įtempimai,

skerspjūvių poslinkiai ir linijinės deformacijos) tarpusavyje susiejami tomis pačiomis

formulėmis. Kitaip sakant, į gniuždymą žiūrima kaip į neigiamą tempimą. Tuo tarpu fiziniu

požiūriu tempimo ir gniuždymo poveikiai skiriasi, ypač kai prasideda plastinių deformacijų

kaupimosi procesas arba irimas. Be to, visada reikia atsiminti, kad pakankamai ilgi

gniuždomi strypai gali prarasti pirminę pusiausvyros formą. Šiame skyriuje į gniuždomų

strypų stabilumą neatsižvelgiama; laikoma, kad jie pakankamai stabilūs.

4.2. Ašinės jėgos ir apkrovos ryšys

Bendruoju atveju tiek strypą (jo ruožą) veikianti

išskirstytoji apkrova, tiek atsiradusi strype ašinė jėga yra

aplikatės funkcijos (4.1 pav.). Šių tolydinių funkcijų ryšį

nustatysime nagrinėdami strypo elementariojo elemento

pusiausvyrą. Laikysime, kad nykstamai trumpame ruože dz

išskirstytoji apkrova yra pastovi (4.2 pav.):

Fz 0 ;

N g dz N dN( ) 0 ,

dN

dzg (4.1)

arba

N g dz C . (4.2)

Integravimo konstanta C ruožo pradinio skerspjūvio ašinė

jėga nustatoma iš kraštinių sąlygų. Pvz., 4.3 pav. pateiktam

strypui ji yra lygi atraminės reakcijos komponentui

( C N F g lraz 0 ).

Lygtis (4.2) rodo, kad ašinių jėgų kitimas strypo ruožo

ilgyje priklauso nuo išskirstytosios apkrovos. Aptarsime du

dažniausiai pasitaikančius atvejus: a) strypo ruožas neapkrautas

( g 0 ), tada N N 0 const (ruože ašinė jėga yra pastovi); b)

strypo ruožas apkrautas vienodai išskirstyta apkrova ( g const ),

tada N g z N 0 (ruože ašinė jėga kinta tiesiškai).

4.1, 4.2, 4.3 pvz.

Lygtys (4.1) ir (4.2) galioja tik ruožams, kuriuose

išskirstytoji apkrova (kartu ir ašinė jėga) kinta tolydiškai.

Tokius ruožus vieną nuo kito skiria skerspjūviai, kuriuose

keičiasi išskirstytosios apkrovos kitimo dėsnis, taip pat mazgai,

g=f(z)z

y

y

yz

z

dz

F

+

N= (z)

4.1 pav.

dz

y

y

z

zN+dNN

g=const

4.2 pav.

A

g z

z

y

yl

= -g lFraz

4.3 pav.

26

kuriuose yra pridėta jėga. Pereinanti per mazgą, kuriame

veikia jėga, ašinė jėga pasikeičia didumu, lygiu mazge

veikiančios jėgos didumui. Ši išvada gaunama, nagrinėjant

mazgo pusiausvyrą (4.4 pav.):

Fz 0 ;

N F Ni j 0,

F N Ni j . (4.3)

4.4 pvz.

Dabar yra pakankamai teorinių žinių, kad būtų galima sudaryti bet kaip apkrauto strypo ašinių

jėgų diagramą, t.y. funkcijos ) ,( FgfN grafiką, vaizduojantį ašinių jėgų kitimą išilgai strypo ašies.

Tokia diagrama leidžia projektuotojui įvertinti apkrovos įtaką strypui, nustatyti labiausiai apkrautas jo

vietas. Dažniausiai naudojamas toks ašinių jėgų diagramos sudarymo algoritmas (žr. 3.3 poskyrį):

1) sužymimi skaičiuojamieji skerspjūviai (ties atramomis ir laisvaisiais strypų galais, iš abiejų jėgos

pridėties taško pusių ir ties išskirstytos apkrovos pradžios ir pabaigos taškais);

2) pjūvio metodu apskaičiuojamos ašinės jėgos (ašinė jėga savo skaitine reikšme lygi visų išorinių

jėgų, veikiančių tą strypo dalį, kuriai nepriklauso nagrinėjamas skerspjūvis, projekcijų į strypo ašį

sumai; jei išorinės jėgos projekcija strypą ties nagrinėjamu skerspjūviu tempia, tai ji sumuojama su

pliuso ženklu, jei gniuždo su minuso ženklu);

3) apskaičiuotos ašinės jėgos reikšmės pasirinktu masteliu atidedamos strypo ašyje;

4) gauti atkarpų galai sujungiami, remiantis ašinės jėgos ir išskirstytosios apkrovos integraliniu

ryšiu (žr. 4.2 formulę);

5) diagrama užbrūkšniuojama ir užrašomas mastelis (skaičius, rodantis kiek ašinės jėgos vienetų

atidėta brėžinio ilgio vienete, pvz., 5 kN/cm);

6) sudaryta diagrama patikrinama.

4.5 pvz.

Ašinių jėgų diagramos sudarymas, kai žinoma strypą veikianti apkrova, yra vienas iš pagrindinių

inžinieriaus uždavinių, nes, nežinant ašinių jėgų, negalima nustatyti kitų įtemptąją ir deformuotąją

strypo būseną apibūdinančių dydžių. Tačiau kartais tenka spręsti atvirkštinį uždavinį: žinant ašinių jėgų

diagramą, sudaryti strypo apkrovimo schemą. Tai padaryti nėra sunku, nes pasinaudojus (4.1) formule

visada galima gauti ruožuose veikiančias išskirstytąsias apkrovas, o pasinaudojus (4.3) formule

mazguose veikiančias jėgas.

Pastaba. Kai ruože veikiančios ašinės jėgos analitinė išraiška yra nežinoma, išskirstytąsias

apkrovas patogu nustatyti grafiniu-analitiniu būdu (prisiminkime, kad funkcijos išvestinės reikšmė,

apskaičiuota fiksuotame kreivės taške, lygi šiame taške išbrėžtos liestinės krypties koeficientui).

4.1 tekstas, 4.5 pav., 4.4 lygtis, 4.6 pvz.

4.3. Normaliniai įtempimai

Normalinių įtempimų paskirstymo tempiamo-gniuždomo strypo skerspjūvyje formulę

išvesime naudodamiesi 3.8 poskyryje aptarta metodika.

S t a t i k o s i n t e g r a l i n ė l y g t i s :

N dAA

. (4.5)

FN Ni j z

4.4 pav.

27

G e o m e t r i n ė l y g t i s . Eksperimentiškai

nustatyta, kad tempiant (gniuždant) strypą, skerspjūviai

pasislenka lygiagrečiai savo pradinėms padėtims, t.y. visi

bet kurio skerspjūvio kontūriniai taškų poslinkiai yra

tarpusavyje lygūs (4.6 pav.). Atsižvelgiant į Bernulio

hipotezę galima teigti, kad tarpusavyje lygūs ir vidinių to

paties skerspjūvio taškų poslinkiai. Taigi visi bet kurio

skerspjūvio taškų poslinkiai tarpusavyje yra lygūs

( const)wA

.

Jei bet kurio skerspjūvio visi taškų poslinkiai

tarpusavyje lygūs, tai visi ilgio dz elemento sluoksniai

pailgėja (sutrumpėja) vienodai (dydžiu dz , 4.7 pav.).

Kadangi dz dz , gauname, kad ir visų sluoksnių

deformacijos tarpusavyje yra lygios:

constA

. (4.6)

F i z i n ė l y g t i s :

E . (4.7)

L y g č i ų s i s t e m o s s p r e n d i m a s . Tarkime, kad medžiaga vienalytė ( constE ). Tada,

panaudoję geometrinę lygtį (4.6), iš fizinės lygties (4.7) gauname, kad const . Taigi

N dA dA AA A

,

N

A (4.8)

Lygtis (4.8) rodo, kad tempiamo-gniuždomo strypo skerspjūvyje visų taškų normaliniai įtempimai yra

vienodi ir lygūs tame skerspjūvyje veikiančios ašinės jėgos ir skerspjūvio ploto santykiui.

Bendruoju atveju normalinių įtempimų diagrama yra grafikas, vaizduojantis normalinių

įtempimų kitimą strypo skerspjūvyje ( ) ,( yxf ). Tačiau tempiamo-gniuždomo strypo skerspjūvyje

normaliniai įtempimai yra pastovūs, todėl, nagrinėjant tokius strypus, dažniau yra sudaroma diagrama,

vaizduojanti normalinių įtempimų kitimą ne strypo skerspjūvyje, bet išilgai jo ašies ( )(zf ). Ji

parodo labiausiai pažeidžiamas strypo vietas, leidžia nustatyti pavojingus skerspjūvius. Kiekviena šios

diagramos ordinatė gaunama dalijant atitinkamą ašinę jėgą iš nagrinėjamo skerspjūvio ploto, todėl,

sudarant tempiamų-gniuždomų strypų skaičiuojamąsias schemas (jeigu ruošiamasi sudaryti normalinių

įtempimų diagramą), reikia papildomai įvesti skaičiuojamuosius skerspjūvius tuose strypo mazguose,

kuriuose šuoliškai keičiasi skerspjūvio plotas.

4.7 pvz.

4.4. Linijinės deformacijos ir mazgų poslinkiai

Kai strypas yra tempiamas (gniuždomas), keičiasi vien jo matmenys (forma lieka nepakitusi).

Taigi kampinės deformacijos yra lygios nuliui, o linijinės priklauso nuo normalinių įtempimų. Jei

strypo medžiaga deformuojasi tampriai, ši priklausomybė ašinės jėgos veikimo kryptimi turi tokį

pavidalą (prisiminkime Huko dėsnį):

E

. (4.9)

F

dzz

z

A=constw

1

w

1

2

A2

1 =const2

4.6 pav.

dz dz

4.7 pav.

28

Pasinaudojus (4.8) formule, linijinę deformaciją galima išreikšti

per ašinę jėgą:

AE

N

. (4.10)

Tamprumo modulio ir skerspjūvio ploto sandauga ( AE )

vadinama tempiamo-gniuždomo strypo standžiu. Jis kiekybiškai

įvertina strypo sugebėjimą priešintis deformuojamam apkrovų

poveikiui.

Strypui deformuojantis, pasikeičia jo skerspjūvių padėtis,

t.y. skerspjūviai pasislenka. Linijinės deformacijos ir skerspjūvio

poslinkio ryšį nustatysime nagrinėdami 4.8 pav. pateikto strypo

dviejų skerspjūvių (i ir j) poslinkius. Laikysime, kad atstumas

tarp jų yra nykstamai mažas ( dz ).

Veikiant apkrovai, strypas pailgės ir nagrinėjami skerspjūviai

užims naujas padėtis : skerspjūvio i poslinkis bus w, skerspjūvio j

dww . Pasikeis ir atstumas tarp skerspjūvių: dabar jis bus

lygus dzdz . Užrašykime atstumą tarp skerspjūvių i ir jf dviem

būdais ir gautas išraiškas sulyginkime: dwwdzdzdzw .

Gauname, kad dwdz . Bet elemento dz pailgėjimas lygus

dz , taigi dwdz arba

dw

dz . (4.11)

4.2 tekstas

Iš lygties (4.11) išreikškime poslinkį:

0wdzw . (4.12)

Čia w0 integravimo konstanta, lygi ruožo pradinio skerspjūvio

poslinkiui.

Panaudojus Huko dėsnį ir normalinių įtempimų formulę,

nesunku poslinkį išreikšti per įtempimą ir ašinę jėgą:

wA

dz w

0 , (4.13)

wE A

dz w

0 . (4.14)

Taigi tarp visų tempiamo-gniuždomo strypo įtemptąją

ir deformuotąją būseną apibūdinančių dydžių yra tam tikras

ryšys.. Naudojantis atitinkamomis formulėmis (4.2, 4.8, 4.9,

4.12), galima sudaryti ir ašinių jėgų, ir normalinių

įtempimų, ir linijinių deformacijų, ir skerspjūvių poslinkių

diagramas (4.9 pav..).. Tačiau visais atvejais diagramų

forma (dydžių kitimo dėsningumai) priklauso nuo išskirstytosios

apkrovos.. Anksčiau buvo aptartas išskirstytosios apkrovos ir

ašinės jėgos ryšys (normalinių įtempimų ir linijinių deformacijų

l

+

+

z

yE,A

gz

z

z

y

y

y

y

+

z

y

+

z

_=

E

w dz+

A

N

= w.

=_

0

0-N= dz+N.g

0

0

0

0

w

N

w

N

4.9 pav.

g

z

z

z

y

y

y

i jdz

w w+dw

dz+ dz

i jf f

4.8 pav.

29

diagramos yra proporcingos ašinių jėgų diagramai). Dabar aptarsime išskirstytosios apkrovos ir

skerspjūvio poslinkio ryšį. Nagrinėsime du dažniausiai pasitaikančius atvejus: g=0 ir g=const.

Pirmuoju atveju skerspjūvio poslinkis kinta tiesiškai, nes, kai ruožas neapkrautas N N 0 const,

00 wzAE

Nw

. Antruoju atveju skerspjūvio poslinkis kinta kvadratiniu dėsniu, nes kai ruože veikia

vienodai išskirstyta apkrova N g z N 0 , wg

E Az

N

E Az w

22 0

0 .

Nesunku pastebėti, kad ruožo ilgio pokytis lygus jo galinių skerspjūvių poslinkiui vienas kito

atžvilgiu (4.9 pav.). Taigi 000 wwdzAE

Nwwl

,

lN

E Adz

l

. (4.15)

Čia l ruožo ilgis.

Jei ruože veikia pastovi ašinė jėga (N=const), jei jis pagamintas iš vientisos vienalytės medžiagos

(E=const) ir jei jis yra pastovaus skerspjūvio (A=const), tai

lN l

E A

. (4.16).

Skerspjūvių poslinkių diagrama yra grafikas, vaizduojantis

naujas (deformuoto strypo) skerspjūvių padėtis. Sudarant

skerspjūvių poslinkių diagramą, pirmiausia skaičiuojami ruožų

ilgių pokyčiai, nes bet kurio skerspjūvio poslinkio didumas

priklauso nuo to, kiek pakito ilgiai tų strypo ruožų, kurie yra tarp

nagrinėjamo skerspjūvio ir koordinačių sistemos pradžios taško

(paprastai jis sutapdinamas su atraminiu skerspjūviu; žr. 4.10

pav.). Pasitelkiamos (4.15) arba (4.16) formulės. Suskaičiavus

ruožų ilgių pokyčius, skaičiuojami skaičiuojamųjų skerspjūvių

poslinkiai. Naudojamasi formule:

i

n

ilw

1 ; (4.17)

čia n ruožų, esančių tarp nagrinėjamo skaičiuojamojo

skerspjūvio ir atraminio skerspjūvio, skaičius.

Ženklas prieš sumos simbolį priklauso nuo strypo padėties

koordinačių sistemos atžvilgiu. Jeigu nagrinėjamas skerspjūvis

koordinatinių ašių susikirtimo taško atžvilgiu yra teigiamoje

pusėje, tai teigiamas ilgio pokytis sukelia teigiamą poslinkį

(skerspjūvis juda teigiama koordinatinės ašies kryptimi) ir todėl

prieš sumos simbolį reikia rašyti pliuso ženklą; jeigu nagrinėjamas

skerspjūvis koordinatinių ašių susikirtimo taško atžvilgiu yra

neigiamoje pusėje, tai teigiamas ilgio pokytis sukelia neigiamą

poslinkį (skerspjūvis juda neigiama koordinatinės ašies kryptimi)

ir todėl prieš sumos simbolį reikia rašyti minuso ženklą (4.11

pav.).

4.8 pvz.

F

y

z

l l1 2

w= +1l l2

4.10 pav.

y

F z

1

,l>0

ll

l=w1

F

y

z

ll

, lw =-l>0 1

1

4.11 pav.

30

Pastaba. Šiame poskyryje buvo kalbama tik apie linijinių tempiamų-gniuždomų konstrukcijų

skerspjūvių poslinkius. Plokščiųjų ir erdvinių tempiamų-gniuždomų konstrukcijų mazgų poslinkiai

nustatomi sudėtingai. Apie tai bus kalbama 4.9 poskyryje.

4.5. Išilginės ir skersinės deformacijos

Nesunku pastebėti, kad tempiant strypą jo matmenys skersine kryptimi mažėja, o gniuždant

didėja. Bandymais nustatyta, kad tamprumo ribose tarp skersinės ir išilginės deformacijų yra tiesinis

ryšys:

q . (4.18)

Proporcingumo koeficientas

( )

q priklauso nuo medžiagos savybių. Jis vadinamas skersinės

deformacijos, arba Puasono koeficientu. Įvairioms medžiagoms jo reikšmė svyruoja nuo nulio iki pusės

(pvz., betono 0,17, plieno 0,25, švino 0,45, kaučiuko 0,47).

4.9 pvz.

4.6. Temperatūrinės deformacijos

Visų anksčiau nagrinėtų deformacijų priežastis buvo mechaninis poveikis. Nesunku pastebėti,

kad kūno matmenys keičiasi ir nuo temperatūros. Bandymais nustatyta, kad tarp deformacijos ir

temperatūros pokyčio yra tiesinė priklausomybė:

t . (4.19)

Čia šiluminio plėtimosi koeficientas. Jis priklauso nuo medžiagos fizinių savybių ir nustatomas

eksperimentiškai.

Pastaba. Temperatūrinės deformacijos labai svarbios statiškai neišsprendžiamoms konstrukcijoms,

nes gali sukelti didelius įrąžų persiskirstymus.

4.10 pvz.

4.7. Įtempimai įstrižuose pjūviuose

Iš 4.3 poskyrio gali susidaryti įspūdis, kad tempiamame-gniuždomame strype veikia tik

normaliniai įtempimai. Iš tikrųjų taip nėra. Tik normaliniai įtempimai veikia skerspjūviuose, kituose

pjūviuose veikia ir normaliniai, ir tangentiniai įtempimai.

Dviem pjūviais ─ įstrižu ir statmenu tempiamo-gniuždomo strypo ašiai ─ išskirkime elementą ir

panagrinėkime jo pusiausvyrą (4.12 pav.). Prisiminkime, kad pusiausvyros lygtys susieja ne įtempimus,

bet jėgas; mūsų atveju ─ įtempimų atstojamąsias. Kadangi visi šie įtempimai pjūviuose pasiskirsto

tolygiai, tai minėtos atstojamosios yra lygios atitinkamų įtempimų ir pjūvių plotų sandaugai (žr.4.12d

pav.).

31

Užrašykime nagrinėjamo elemento pusiausvyros lygtis:

Fn 0 ;

A A cos 0 ,

A

A

A

Acos cos cos ,

cos2 . (4.20)

Fm 0 ;

A A sin 0 ,

A

A

A

Asin sin cos ,

2

sin2 . (4.21)

Pjūvyje, kurio normalė sudaro kampą 900

su strypo ašimi, t.y. pjūvyje, statmename

nagrinėjamajam, veiks tokie įtempimai:

sin2 , (4.22)

2

sin2 . (4.23)

Pasinaudojus gautomis formulėmis, galima

padaryti tris svarbias išvadas (4.13pav.):

1) didžiausi normaliniai įtempimai veikia

skerspjūvyje ( 0 0, maxz

N

A);

2) didžiausi tangentiniai įtempimai veikia

pjūviuose, sudarančiuose 45o kampą su skers-pjūvio

plokštuma ( 045 , max452

z );

y

max

max

=

90 y= 0=

F

180 z= =

90

a)

=

0

0 =z

z

=0

F

135135

2225=

max

=

45

135

450

0

b)z

315

2z

270

z

225

315

=

45

4.13 pav.

a) b) c) d)

4.12 pav.

32

3) išilginiuose pjūviuose neveikia jokie įtempimai ( 90 0 0090 90, , ); tai reiškia, kad

išilginiai sluoksniai savo šoniniais paviršiais neveikia vienas kito, t.y. į tempiamą strypą galima

žiūrėti kaip į pluoštą tarp savęs nesusijusių gijų.

4.11 pvz.

4.8. Išorinių jėgų darbas. Potencinė deformavimo energija

Nustatysime darbą, kurį atlieka išorinės jėgos,

deformuodamos tamprų tempiamą-gniuždomą strypą.

Nagrinėsime strypą, kurį centriškai pridėta jėga, kisdama

nuo nulio iki fiksuotos savo reikšmės, t.y. statinė jėga,

ištempė dydžiui l (4.14a,b pav.).

Nusibraižykime tempimo diagramą, t.y. grafiką, rodantį

jėgos F ir strypo ilgio pokyčio l ryšį. Jeigu nagrinėjamas

strypas ne tik tamprus, bet ir deformuojasi proporcingai

(medžiagai galioja Huko dėsnis), tai tempimo diagrama bus

tiesė (4.14c pav.). Iš fizikos žinome, kad darbas yra lygus

jėgos ir jos nueito kelio sandaugai. Mūsų atveju jis yra

lygus tempimo diagramos plotui (4.14c paveiksle šis plotas

yra užbrūkšniuotas). Kadangi linija OA yra tiesė, tai

W F l 1

2 . (4.24)

Pastaba. Nereikėtų pamiršti, kad ši formulė tinka tik tampriems tiesiškai besideformuojantiems

strypams.

Išorinių jėgų darbas niekur nedingsta, jis susikaupia, akumuliuojasi deformuotame strype

potencinės deformavimo energijos pavidalu. Būtent ši potencinė energija sugrąžina deformuotą

strypą atgal į pirminę būseną, kai pašalinama deformavimo priežastis (tamprių kūnų savybė

akumuliuoti energiją žinoma seniai; prisiminkime įvairius ginklus (akmenų svaidykles, lankus),

mechaninius laikrodžius ir pan.). Nepaisant įvairių mažų nuostolių galima laikyti, kad visas išorinių

jėgų darbas yra sunaudojamas sukaupti potencinei deformavimo energijai, t.y., kad

W E p . (4.25)

Tačiau nereikia pamiršti, kad (4.25) lygybė galioja tik tuo atveju, kai strypas yra idealiai

tamprus. Kai to nėra, pvz., kai greta tampriosios deformacijos atsiranda ir plastinė, dalis

deformavimo energijos pereina į šilumą, sunaudojamą medžiagos struktūrai pakeisti, ir tik dalis jos

susikaupia potencinės energijos pavidalu.

Išreikškime potencinę deformavimo energiją per ašines jėgas. Tarkime, kad tempiamo-

gniuždomo strypo ilgio dz elementas, veikiamas ašinių jėgų, pailgėjo dydžiu dz (4.15 pav.). Jeigu

strypas idealiai tamprus, tai visas ašinių jėgų darbas, pereis į potencinę deformavimo energiją:

dW N dz dE p 1

2 . (4.26)

Prisiminkime, kad dz dzN

E A

, , taigi

dE N dzN

E Adzp

1

2 2

2

. (4.27)

z

z

a)

b)

c)

F

l

l

FA

B l

l

y

y

4.14 pav.

33

Visame strype sukaupta potencinė deformavimo energija

EN

E Adzp l

2

2. (4.28)

Jeigu strype veikia pastovi ašinė jėga (N=const), jeigu

strypas pagamintas iš vienodos medžiagos (E=const) ir jeigu

strypo skerspjūvis visame jo ilgyje yra vienodas (A=const), t.y.

jeigu visame strypo ilgyje deformacija const , tai

EN l

E Ap

2

2. (4.29)

Kartais reikia žinoti santykinę potencinę deformavimo

energiją, t.y. energijos dalį , tenkančią strypo tūrio vienetui.

Strypo tūris lygus skerspjūvio ploto ir ilgio sandaugai

(V A l ), taigi

eE

V

N l

E A A l Ep

p

2

2 2

arba

ep

2. (4.30)

4.3 tekstas, 4.12 pvz.

4.9. Tempiamos-gniuždomos konstrukcijos

Tempiama-gniuždoma konstrukcija susideda iš tempiamų-gniuždomų strypų (ruožų), kurie

vienas su kitu, su absoliučiai standžiais elementais ir atramomis jungiasi galais. Strypų galų sujungimai

vadinami mazgais (jungtimis). Mazgas turi būti toks, o apkrova prie jo turi būti pridėta taip, kad per jį į bet

kurį strypą būtų perduodamas tik tempimo-gniuždymo poveikis (strypinė konstrukcija, kurios strypai ne tik

tempiami-gniuždomi, bet ir kitaip deformuojami, pavyzdžiui, lenkiami, vadinama rėmu). Priklausomai nuo

strypų išsidėstymo tempiamos-gniuždomos konstrukcijos gali būti:

a) tiesinės (mazgai dažniausiai standūs ir išdėstyti vienoje tiesėje; apkrovos pridėtos šioje tiesėje

ir veikia išilgai jos; 4.16 pav.);

b) plokščiosios (mazgai cilindriniai šarnyrai, išdėstyti vienoje plokštumoje; apkrovos pridėtos

tik mazguose; 4.17 pav.);

c) erdvinės (mazgai rutuliniai šarnyrai, apkrovos pridėtos tik mazguose; 4.18 pav.).

F

4.16 pav. 4.17 pav. 4.18 pav.

z

zF

dzy

E,Aa)

l

NN

dz

+dz dz

b)

4.15 pav.

34

Pastaba. Šarnyras (lankstas, vyris) yra kelių strypų jungtis,

leidžianti strypams suktis savo ašies (kai ji cilindrinė; 4.19

pav.) arba savo centro (kai ji rutulinė; 4.20 pav.) atžvilgiu. Nėra

nei idealių šarnyrų (arčiausiai jų šarnyrai su guoliais), nei

absoliučiai standžių jungčių. Dažniausiai sudarant

skaičiuojamąsias schemas remiamasi gyvenimo patirtimi, paremta

eksperimentiniais duomenimis. Pavyzdžiui, santvarų mazgai, nors

strypai juose jungiami varžtais, kniedėmis ar privirinami, laikomi

šarnyrais. Tarus, kad mazgai yra absoliučiais standūs, skaičiavimų

rezultatai skiriasi nežymiai. Tuo tarpu skaičiavimų apimtis (dėl

atsiradusių lenkimo momentų) tampa ženkli.

Tempiamos-gniuždomos konstrukcijos mazgai skirstomi į atraminius ir laisvuosius. Laisvaisiais

vadinami mazgai, kurie deformuojantis konstrukcijai gali pasislinkti. Jie gali būti tiesiniai, plokštieji ir

erdviniai. Mazgo priklausymą vienai iš šių grupių lemia jo laisvumo laipsnis f galimų mazgo

poslinkio komponentų suma. Tiesinio laisvojo mazgo laisvumo laipsnis lygus vienam (naujai jo

padėčiai nusakyti pakanka vieno parametro; 4.21 pav.), plokščiojo dviem (naujai jo padėčiai nusakyti

pakanka dviejų parametrų; 4.22 pav.), erdvinio trim (naujai jo padėčiai nusakyti reikia trijų

parametrų; 4.23 pav.). Atraminio mazgo laisvumo laipsnis dažniausiai lygus nuliui.

Jeigu konstrukcijoje yra absoliučiai standus elementas, tai įskaitomas ne atskirų mazgų,

prijungtų prie jo, laisvumas, bet paties absoliučiai standaus elemento laisvumas (jis laikomas vienu

stambiu vientisu mazgu). Plokščiojoje konstrukcijoje jo laisvumo laipsnis lygus trim (4.24 pav.),

erdvinėje šešiems (4.25 pav.). Jeigu absoliučiai standus elementas pritvirtintas prie atramos, tai jo

laisvumo laipsnis sumažėja tiek vienetų, kiek atraminių ryšių jis turi. Pavyzdžiui, 4.26 pav.

pateiktas plokščiasis absoliučiai standus elementas turi du atraminius ryšius, taigi jo laisvumo

laipsnis lygus vienam: jis tegali pasisukti atramos atžvilgiu.

Sudarant skaičiuojamąsias schemas reikia siekti, kad visi deformuojami strypai, prijungti prie

absoliučiai standaus elemento, nebūtų lygiagretūs vienai tiesei arba kad jų ašys nesusikirstų viename

taške. Šiais atvejais konstrukcija tampa geometriškai nestabili. Pavyzdžiui, 4.27 pav. pateiktas

plokščiasis absoliučiai standus elementas gali neapibrėžtai judėti horizontalia kryptimi, o 4.28 pav.

pateiktas plokščiasis absoliučiai standus elementas neapibrėžtai suktis atramos atžvilgiu.

f=3

4.21 pav. 4.22 pav. 4.23 pav.

f=3

f=6

f=1

4.24 pav. 4.25 pav. 4.26 pav. 4.27 pav. 4.28

pav.

4.19 pav. 4.20 pav.

35

Jeigu konstrukcija turi m laisvųjų mazgų, kurių kiekvieno

laisvumo laipsnis if , tai jos mazgų laisvės laipsnių suma

m

iifp

1

.

Kadangi mazgo laisvumo laipsnis yra galimų mazgo poslinkio

komponentų suma, tai kiekvienai konstrukcijai galima užrašyti p

nepriklausomų pusiausvyros lygčių (4.29 pav.).

Bendruoju atveju tempiamos-gniuždomos konstrukcijos gali

būti geometriškai nestabilios (4.30 pav.) ir geometriškai stabilios.

Pastarosios savo ruožtu gali būti statiškai išsprendžiamos (4.31 pav.)

ir statiškai neišsprendžiamos (4.32 pav.). Konstrukcijos priklausymą

vienai ar kitai grupei sąlygoja statinio neišsprendžiamumo laipsnis k:

.1

m

iifnpnk (4.31)

Čia n strypų (nežinomųjų) skaičius.

4.13 pvz.

4.9. Statiškai išsprendžiamos tempiamos-gniuždomos konstrukcijos

Statiškai išsprendžiamų konstrukcijų ašinės jėgos

nustatomos pjūvio metodu, nes joms galima užrašyti

tiek pusiausvyros lygčių, kiek yra nežinomųjų.

Skaičiuojant ašines jėgas, pusiausvyros lygtis patartina

parinkti tokias, į kurias įeitų tik vienas nežinomasis.

Apskaičiuotas ašinių jėgų reikšmes būtina tikrinti. Šiuo

atveju reikia rašyti pusiausvyros lygtis, į kurias įeitų

kuo daugiau surastų nežinomųjų.

Kiti tempiamos-gniuždomos konstrukcijos įtemp-

tąją ir deformuotąją būseną apibūdinantys dydžiai

(normaliniai įtempimai, strypų deformacijos, mazgų

poslinkiai) skaičiuojami naudojant formules, išvestas

ankstesniuose šio skyriaus poskyriuose. Stiprumo

sąlygos ir uždavinių tipai aptarti šeštajame skyriuje.

1

2

2

1

F

1

1

2

F

k = 2 - (2+1) =-1 k = 2-2 = 0 k = 2-1 = 1

k < 0 k = 0 k > 0

4.30 pav. 4.31 pav. 4.32 pav.

1 4

2 3

5

p = 2+1+2+1+2 = 8

4.29 pav.

h

F v

h

v

..

l

l

N

N

1

2

>0

<0 1

2

s

s

4.33 pav.

36

Pastaba. Skaičiuojant tempiamų-gniuždomų konstrukcijų mazgų poslinkius, naudojamas

poslinkių mažumo principas, t.y. laikoma, kad deformuojantis konstrukcijai ir strypams sukantis

atramų atžvilgiu, jų laisvieji galai juda ne lanku, bet tiese, statmena strypo ašiai (4.33 pav.).

4.14 pvz.

4.11. Statiškai neišsprendžiamos tempiamos-gniuždomos konstrukcijos

Skaičiuojant statiškai neišsprendžiamas tempiamas-gniuždomas konstrukcijas, reikia spręsti

lygčių sistemą, sudarytą iš statikos, geometrinių ir fizinių lygčių.

Statikos lygtys susieja ašines jėgas su apkrova ( )(FfN ). Jų galima užrašyti p, t.y. tiek, kokia

yra konstrukcijos mazgų laisvės laipsnių suma.

Geometrinės deformavimo lygtys susieja geometrinius deformuotos konstrukcijos parametrus:

strypų deformacijas ir mazgų poslinkius ( )(sfl ). Tokių lygčių galima užrašyti n, t.y. tiek, kiek

yra strypų (sudarant geometrines deformavimo lygtis, naudojamas poslinkių mažumo principas). Jas

galima gauti formaliuoju būdu (transponuojant pusiausvyros lygčių koeficientų matricą) arba

geometriškai nagrinėjant deformuotą konstrukciją. Eliminavus ir geometrinių deformavimo lygčių

poslinkius, gaunamos deformacijų darnos lygtys, t.y. lygtys, susiejančios strypų deformacijas. Jų

galima užrašyti tiek, koks yra konstrukcijos statinio neišsprendžiamumo laipsnis k ( pnk ).

Deformacijų darnos lygtis galima gauti ir tiesiogiai, nagrinėjant deformuotą konstrukciją.

Fizinės lygtys susieja deformacijas su jų priežastimi ( ),( tNfl ). Jas galima užrašyti

kiekvienam konstrukcijos strypui, t.y. fizinių lygčių skaičius lygus konstrukcijos strypų skaičiui n.

Statiškai neišsprendžiamų tempiamųjų-gniuždomųjų konstrukcijų skaičiavimo algoritmas:

1. Nustatomas konstrukcijos statinio neišsprendžiamumo laipsnis k.

2. Sudaroma p pusiausvyros lygčių.

3. Sudaroma k deformacijų darnos lygčių.

4. Panaudojus n fizinių lygčių, deformacijos išreiškiamos per ašines jėgas.

5. Sprendžiama lygčių sistema su n nežinomųjų.

6. Apskaičiuotos ašinių jėgų reikšmės patikrinamos.

4.15 pvz.

4.12. Statiškai neišsprendžiamų konstrukcijų savybės

1. Suardžius atliekamuosius ryšius statiškai neišsprendžiamose konstrukcijose nesukeliamas

visos konstrukcijos suirimas, nes dažniausiai ji lieka geometriškai stabili, o suardžius bent vieną

statiškai išsprendžiamos konstrukcijos ryšį, ji tampa geometriškai judri. Taigi statiškai

neišsprendžiamos konstrukcijos darbas yra saugesnis.

2. Statiškai neišsprendžiamose konstrukcijose ašinių jėgų pasiskirstymas priklauso nuo strypų

medžiagos (E) ir skerspjūvio matmenų (A). Pakeitus strypų standžius (EA), įvyksta visos

konstrukcijos ašinių jėgų persiskirstymas. Taigi statiškai neišsprendžiamos konstrukcijos projektinis

uždavinys gali būti išspręstas tik priartėjimo būdu.

3. Statiškai neišsprendžiamose konstrukcijose temperatūra, atramų sėdimas ir netikslus

elementų pagaminimas sukelia papildomas ašines jėgas, kurias būtina įvertinti.

4.16 pvz.

37

Kontroliniai klausimai

4.1. Kas yra tempimas-gniuždymas?

4.2. Užrašykite ašinės jėgos ir apkrovos

diferencialinį ryšį.

4.3. Užrašykite ašinės jėgos ir apkrovos

integralinį ryšį.

4.4. Kam lygūs normaliniai įtempimai

tempiamo-gniuždomo strypo skerspjūvyje?

Formulė.

4.5. Užrašykite tempiamo-gniuždomo strypo

poslinkių ir deformacijų diferencialinį

ryšį.

4.6. Užrašykite tempiamo-gniuždomo strypo

poslinkių ir deformacijų integralinį ryšį.

4.7. Kam lygus tempiamo-gniuždomo strypo

ilgio pokytis?

4.8. Kas yra tempiamo-gniuždomo strypo

standis?

4.9. Išskirstytąja apkrova apkrautam

tempiamam-gniuždomam strypui

sudarykite jo įtemptąją ir deformuotąją

būseną apibūdinančių dydžių diagramas.

4.10. Kas yra Puasono koeficientas? Kokios

jo reikšmės? Formulė.

4.11. Kaip skaičiuojamos deformacijos nuo

temperatūros? Formulė.

4.12. Paaiškinkite formules:

2cos ,

2sin2

.

4.13. Kuriame tempiamo strypo pjūvyje veikia

didžiausi normaliniai įtempimai? Kodėl?

4.14. Kuriame tempiamo strypo pjūvyje veikia

didžiausi tangentiniai įtempimai? Kodėl?

4.15. Kodėl į tempiamą strypą galima žiūrėti

kaip į pluoštą tarp savęs nesusijusių

gijų?

4.16. Kaip išreiškiamas tamprųjį tiesiškai

besideformuojantį tempiamą-gniuždomą

strypą deformuojančios jėgos atliktas

darbas? Formulė, brėžinys.

4.17. Kaip išreiškiama tempiamo-gniuždomo

strypo potencinė deformavimo energija?

Formulė.

4.18. Užrašykite santykinės potencinės

deformavimo energijos išraišką.

4.19. Kada poveikis strypui išreiškiamas ne

išorinėmis jėgomis?

4.20. Kaip galima sumažinti smūgio metu

atsiradusią ašinę jėgą?

4.21. Kaip skirstomos tempiamos-gniuždomos

konstrukcijos pagal strypų išsidėstymą?

4.22. Koks mazgas vadinamas laisvuoju?

4.23. Kas yra mazgo laisvumo laipsnis?

4.24. Kaip nustatomas tempiamos-gniuždomos

konstrukcijos statinio neišsprendžiamumo

laipsnis?

4.25. Nubraižykite geometriškai nestabilią

tempiamą-gniuždomą konstrukciją.

4.26. Nubraižykite statiškai išsprendžiamą

tempiamą-gniuždomą konstrukciją.

4.27. Nubraižykite vieną kartą statiškai

neišsprendžiamą tempiamą-gniuždomą

konstrukciją.

4.28. Nubraižykite du kartus statiškai

neišsprendžiamą tempiamą-gniuždomą

konstrukciją.

4.29. Koks principas naudojamas nustatant

tempiamos-gniuždomos konstrukcijos

mazgų poslinkius? Kaip jis taikomas?

4.30. Kas yra geometrinės deformacijų darnos

lygtys? Kaip jos gaunamos?

4.31. Kokių lygčių sistemą reikia spręsti

nustatant statiškai neišsprendžiamos

tempiamos-gniuždomos konstrukcijos

ašines jėgas?

4.32. Kodėl statiškai neišsprendžiamos

tempiamos-gniuždomos konstrukcijos yra

saugesnės už analogiškas statiškai

išsprendžiamas konstrukcijas? Brėžinys.

4.33. Kodėl statiškai neišsprendžiamos

tempiamos-gniuždomos konstrukcijos

projektinis uždavinys gali būti išspręstas

tik priartėjimo būdu?

4.34. Kokios priežastys sukelia ašinių jėgų

persiskirstymą statiškai

neišsprendžiamose tempiamose-

gniuždomose konstrukcijose?

38

5. Medžiagų mechaninės savybės

5.1. Bendrosios žinios

Ar konstrukcija (jos elementas) yra pakankamai stipri, standi, stabili, galima spręsti tik tuo

atveju, kai šalia įtemptąją ir deformuotąją jos būseną apibūdinančių dydžių (įrąžų, įtempimų,

poslinkių ir deformacijų) yra žinomos ir medžiagos mechaninės savybės: stiprumas, tamprumas,

plastiškumas, trapumas, kietumas ir kitos. Šias savybes kiekybiškai apibūdina jų rodikliai, pvz.,

stiprumą stiprumo riba (trapioms medžiagoms) ir takumo riba (plastiškoms medžiagoms);

tamprumą proporcingumo riba, tamprumo riba, tamprumo ir šlyties moduliai bei Puasono

koeficientas; plastiškumą takumo riba, santykinis liekamasis bandinio ilgio pokytis, santykinis

liekamasis bandinio skerspjūvio ploto pokytis ir t.t. Medžiagos mechaninėms savybėms tirti, jų

rodikliams nustatyti atliekami medžiagų mechaniniai bandymai. Plačiąja prasme mechaninių bandymų

tikslas yra trejopas:

1) ištirti medžiagos irimo procesą bei įvairių veiksnių (temperatūros, radioaktyvaus švitinimo,

terminio apdirbimo, cheminės sudėties, senėjimo ir kt.) įtaką medžiagos mechaninėms savybėms;

2) gauti medžiagų mechaninių savybių rodiklius (skaitines reikšmes);

3) patikrinti teorinius teiginius, formules ir skaičiuojamųjų schemų bei skaičiavimo metodų

teisingumą.

Pirmaisiais dviem atvejais bandomi specialūs bandiniai, trečiuoju atveju konstrukcijos, mazgai,

sudėtingi statiniai ar jų maketai. Visais atvejais turi būti laikomasi norminiais dokumentais nustatytų

sąlygų: bandiniai turi būti tam tikros formos ir matmenų, pagaminti jie turi būti reikiamo tikslumo

ir prisilaikant tam tikrų taisyklių; normuojamas taip pat apkrovimo ir deformavimo greitis,

temperatūra, bandinių skaičius, mechaninių rodiklių nustatymo metodika bei kiti dalykai. Laikytis šių

sąlygų būtina, nes priešingu atveju įvairiose laboratorijose gautų rezultatų lyginimas neturėtų

prasmės.

5.1 tekstas

5.2. Tempimo bandymas

Vienas iš pagrindinių medžiagos mechaninių bandymų yra tempimo bandymas. Jo tikslas yra

gauti medžiagos stiprumo, tamprumo ir plastiškumo rodiklius, t.y. rodiklius, kurie inžineriniu

požiūriu pakankamai visapusiškai atspindi svarbiausias medžiagos mechanines savybes.

Kaip buvo minėta, medžiagų mechaninių bandymų atlikimo metodika yra normuojama.

Remsimės mūsų šalyje naudojamu valstybiniu standartu. Be to, bus akcentuojami tik esminiai,

fizinius reiškinius atspindintys dalykai (detales galima rasti pačiame standarte arba įvairiuose

medžiagų atsparumo laboratorinių darbų aprašymuose).

Bandiniai (cilindriniai ar plokštieji; žr. 5.1 pav.)

tempiami specialiomis mašinomis. Įtvirtinus bandinį

mašinos griebtuose ir pradėjus didinti jėgą, bandinys

pradeda ilgėti. Tempiančios jėgos didumą rodo

manometras, bandinio pailgėjimą atstumas tarp

griebtų. Tempiančios jėgos ir bandinio pailgėjimo ryšį

parodo grafikas, kurį nubrėžia savirašis įtaisas

diagraminis aparatas. Šis grafikas ( )(Ff ) dar

vadinamas tempimo diagrama. Būtent iš jos nustatomi

svarbiausieji tiriamosios medžiagos mechaninių

savybių rodikliai.

5.2 tekstas

b)

0l

A

A

a) A

A

l

b

a

A-A

0

A-A

0d

0

0l

5.1 pav.

39

Panagrinėkime būdingą minkštojo anglinio plieno tempimo

diagramą (5.2 pav.). Diagramoje yra keletas ypatingų ruožų ir

taškų.

Ruožas OA yra tiesė. Tai reiškia, kad tarp priežasties ir

pasekmės (tarp F ir l) yra tiesinis ryšys. Jeigu šiame ruože

bandinį nukrautume, tai jis susigrąžintų pradinius matmenis. Taigi

ruože OA medžiaga deformuojasi ne tik tiesiškai, bet ir tampriai.

Ruožas AB artima tiesei kreivė. Tai reiškia, kad jame

negalioja Huko dėsnis. Tačiau bandinys ir toliau dirba tampriai.

Tai paaiškėja nukrovus bandinį: jo liekamasis pailgėjimas praktiškai

būna lygus nuliai.

Ruožas BC taip pat kreivė. Nuo ruožo AB jis skiriasi tuo,

kad jame bandinys deformuojasi tampriai plastiškai. Jeigu dabar

nukrautume bandinį, tai aptiktume nežymų, tačiau praktiškai

pastebimą liekamąjį bandinio pailgėjimą.

Ruožas CD dantyta horizontali linija. Tai reiškia, kad bandinys ilgėja nesikeičiant (su

nedideliais svyravimais) bandinį tempiančiai jėgai. Tai atsitinka todėl, kad šiame apkrovimo tarpsnyje

keičiasi medžiagos struktūra, medžiaga "teka" (todėl ruožas CD dar vadinamas takumo aikštele).

Takumo reiškinys susijęs su plastinėmis deformacijomis: visas tempiančios jėgos darbas, atliktas

ruože CD, sunaudojamas medžiagos kristalų gardelėms suardyti. Todėl, nukrovus šiame ruože

bandinį, pastebimas žymus liekamasis jo pailgėjimas.

Ruožas DE kylanti į viršų kreivė. Tai reiškia, kad, pasibaigus medžiagos tekėjimui, ji

sustiprėja (norint papildomai deformuoti bandinį, reikia padidinti jėgą). Šiame ruože medžiaga

deformuojasi tampriai plastiškai: toliau didėja ir tampriosios, ir plastinės deformacijos. Jeigu, pvz.,

pasiekus tašką K, bandinį nukrautume, tai dalis jo pailgėjimo išnyktų ( ekl , ), dalis liktų ( pkl , ). Be

to, tampriosios deformacijos išnyksta tokiu pačiu dėsniu kaip ir atsiranda, t.y. tiesės OA ir KM yra

lygiagrečios.

Ruožas EF žemyn krintanti kreivė. Tai reiškia, kad bandinys ilgėja mažėjant jėgai. Šio,

prieštaraujančio sveikam protui, reiškinio priežastis yra vietinės deformacijos. Jos atsiranda

silpniausioje bandinio vietoje, jėgai pasiekus didžiausią reikšmę (tašką E). Vystantis vietinėms

deformacijoms, ima formuotis kaklelis su ryškiai sumažėjusiu bandinio skerspjūvio plotu, todėl

bandiniui toliau deformuoti pakanka mažesnės jėgos. Kaklelio skerspjūvio plotas mažėja greičiau

negu jėga, todėl įtempimams pasiekus ribinį didumą bandinys nutrūksta (taškas F).

5.3 tekstas

Aptartus ruožus vieną nuo kito skiria taškai. Kai kurie iš jų, t.y. taškai, žymintieji tam tikrų

fizinių reiškinių pradžią ar pabaigą, vadinami ypatingaisiais. Tai taškai A, B, C, E ir F. Taškas A

žymi tiesiško medžiagos deformavimo pabaigą, taškas B tampraus deformavimo pabaigą, taškas C

medžiagos tekėjimo pradžią, taškas E kaklelio susidarymo pradžią, taškas F bandinio trūkimą.

Padalijus ypatingųjų taškų ordinates, t.y. ypatingąsias tempiančios jėgos reikšmes (5.3 pav.), iš

bandinio skerspjūvio pradinio ploto gaunami ypatingieji įtempimai. Jie apibūdina tam tikras

medžiagos savybes ir kadangi žymi tam tikrų fizinių reiškinių pradžią ar pabaigą, vadinami ribomis.

Proporcingumo riba yra didžiausias įtempimas, iki kurio galioja

įtempimų ir deformacijų proporcingumo (Huko) dėsnis:

0A

prF

pr . (5.1)

Proporcingumo ribos didumas priklauso nuo sąlygų, kuriomis

nustatomas tiesės OA išsikreivinimo taškas (taškas A). Pagal

Standartą tai taškas, kuriame išbrėžtos liestinės ir ašies F sudaromo

C

k,pl

0

F

BA

k,el

l k

Ml

K ED

F

5.2 pav.

C DE

F

0

F pr

AB

F yF e

l

F

F

F

u fr

5.3 pav.

40

kampo tangentas yra 50% didesnis už tangentą kampo, kurį sudaro

tiesioji tempimo diagramos dalis su ašimi F (5.4 pav.).

Tamprumo riba yra didžiausias įtempimas, iki kurio medžiagoje

praktiškai nepastebima jokių plastinių (liekamųjų) deformacijų:

0A

Fee . (5.2)

Nustatant tamprumo ribą (taško B padėtį) yra matuojamas

liekamasis pailgėjimas. Pagal standartą (jei nėra ypatingų sąlygų) jis

neturi viršyti 0,05% (5.5 pav.). Taip nustatyta tamprumo riba

žymima 05.0 . Dažnai tempimo diagramos taškai A ir B yra arti

vienas kito. Todėl praktikoje paprastai nustatoma tik viena

proporcingumo riba.

Takumo riba yra mažiausias sąlyginis įtempimas, kuriam

veikiant bandinys tįsta nedidinant apkrovos:

y

yF

A

0. (5.3)

Kai kurios medžiagos takumo aikštelės neturi. Tačiau

projektuotojui svarbu žinoti, kada prasideda intensyvus plastinis

deformavimasis. Todėl nustatoma sąlyginė takumo riba. Pagal

Standartą tai sąlyginis įtempimas, dėl kurio medžiagoje atsiranda

0,2% didumo plastinė (liekamoji) deformacija (5.6 pav.). Ji žymima

simboliu 2,0 .

Stiprumo riba yra didžiausias sąlyginis įtempimas, kurį atlaiko

bandinys:

uuF

A

0. (5.4)

Kartais skaičiuojamas sąlyginis įtempimas fr

frF

A

0 Jis vadinamas trūkimo riba. Tačiau šis

rodiklis medžiagos mechaninėms savybėms apibūdinti praktiškai nenaudojamas.

Dar kartą aptarkime tempimo diagramos ruožus ir ypatinguosius taškus akcentuodami

bandinio deformavimosi ypatumus (5.7 pav.).

Iki proporcingumo ribos bandinys deformuojasi ir proporcingai, ir tampriai; nukrovus bandinį,

pailgėjimas al išnyksta (5.7b pav.). Iki tamprumo ribos bandinys deformuojasi tik tampriai;

nukrovus bandinį, pailgėjimas bl taip pat praktiškai išnyksta (5.7c pav.). Nuo takumo ribos

prasideda intensyvus plastinių deformacijų kaupimosi procesas (nereikėtų pamiršti, kad pirmosios

nežymios plastinės deformacijos atsiranda ruože BC). Plastinių deformacijų kaupimosi procesas

baigiasi taške D. Jeigu bet kur šiame ruože, pvz., taške D, bandinys nukraunamas, tai dalis bandinio

pailgėjimo išnyksta ( edl , ), dalis pailgėjimo ( pdl , ) pasilieka (5.7d pav.). Nuo taško D bandinys

deformuojasi tampriai plastiškai: didėja tiek tampriosios, tiek plastinės deformacijos. Ties tašku E

baigiasi tolydinis bandinio deformavimasis (5.7e pav.). Būtent dabar silpniausioje bandinio vietoje

pradeda formuotis kaklelis. Nuo šio momento bandinys praktiškai ilgėja dėl vietinių deformacijų,

sparčiai besivystančių kaklelio srityje. Kaklelio skerspjūvio plotas mažėja greičiau negu mažėja

apkrova, todėl taške F, įtempimams kaklelyje pasiekus ribinį didumą, bandinys nutrūksta. Bandiniui

nutrūkus, dalis viso jo pailgėjimo ( efl , ) išnyksta, dalis ( pfl , ) lieka (5.7f pav.). Būtent

tg = tg

0

AprF

l

a 23

F a

5.4 pav.

A

0,00050

l0 l

Fe

F

B

5.5 pav.

000,002 l l

F

FyC

5.6 pav.

41

liekamasis bandinio pailgėjimas pfl , ir naudojamas medžiagoms plastinėms savybėms apibūdinti.

Pagal standartą jis turi būti nustatytas matuojant trūkusį bandinį. Tam tikslui trūkusio bandinio dalys

suglaudžiamos ir matuojamas trūkusio bandinio ilgis l. Kartu matuojamas kaklelio skersmuo d. Gauti

geometriniai dydžiai (l ir d) nėra medžiagos plastiškumo rodikliai; jie tik naudojami jiems nustatyti.

Medžiagos plastiškumo rodikliai yra:

a) santykinis liekamasis bandinio ilgio pokytis

l

l

l0

0

00100( ), (5.5)

b) santykinis liekamasis bandinio skerspjūvio ploto pokytis

A A

A

0

0

00100( ). (5.6)

5.4 tekstas

Tempimo diagrama priklauso ir nuo medžiagos savybių, ir

nuo bandinio matmenų. Pakeiskime jėgos F ašį sąlyginio įtempimo

0AF ašimi, o bandinio pailgėjimo ašį vidutinės linijinės

deformacijos 0ll ašimi. Gausime funkcijos )( f grafiką,

kuris vadinamas tempimo įtempimų diagrama (5.8 pav.). Ji

nepriklauso nuo bandinio matmenų ir kiekybiškai apibūdina tiriamos

medžiagos savybes.

,p

,p

a)

b)

c)

d)

e)

0eF l

frF

f)

Fu

Fy

l0

l0

l0

l0

l0

prF l0

l0

F

eFl

uF

0l ,p

0,el

l ,e0

yF

e,pl

F

f,pl

F0l ,e

fr

y

u

F

F

l

F

d,p

FC D

lb

lprF

e

pr

F

FF

F

B

la

A

e,e ll

F

fr

f,el l

l

E

d,e l

l

l0

0

5.7 pav.

a

pr

bc

uye fr

ed

f

0

5.8 pav.

42

Atkreipkime dėmesį (žr. 5.8 pav.), kad tempimo įtempimų diagramos tiesiosios dalies 0a kampo,

sudaromo su ašimi, tangentas yra tamprumo modulis: Etg .

5.5 tekstas, 5.9 pav.

Minkštojo anglinio plieno tempimo diagrama (5.2 pav.) yra būdinga plastinės medžiagos

tempimo diagrama, turinti visus ypatinguosius ruožus ir taškus. Panašias diagramas, t.y. diagramas

su ryškia takumo aikštele, turi tik medžiagos su dvigubomis kristalų gardelėmis, pvz., žalvaris ,

diuraliuminis. Kitų plastinių medžiagų, pvz., legiruotų plienų, bronzos, aliuminio ir kitų, tempimo

diagramos takumo aikštelių neturi. Taigi jų plastinis deformavimasis yra tolydiškesnis negu

minkštojo anglinio plieno. Tokioms medžiagoms nustatoma sąlyginė takumo riba 2.0 . Apibendrinant

plastinių medžiagų deformavimosi procesą, reikėtų įsiminti, kad nepriklausomai nuo to, ar plastinių

deformacijų atsiradimą lydi takumo reiškiniai, ar ne, visi bandiniai, pagaminti iš plastinių medžiagų,

suyra tik tuomet, kai: a) išsivysto didelės plastinės deformacijos; b) susidaro kaklelis.

Visiškai kitaip atrodo trapių medžiagų tempimo diagramos. Būdingą

tokioms diagramoms formą turi pilkojo ketaus tempimo diagrama (5.10 pav.).

Pagrindiniai skirtumai lyginant trapių medžiagų tempimo diagramas su

plastinių medžiagų tempimo diagramomis yra šie: nėra tiesialinijinės

diagramos dalies (nors pradinės diagramos dalies kreivė labai lėkšta ir

praktiškai nesiskiria nuo tiesės), nėra takumo aikštelės, bandinys nutrūksta

esant nedidelėms plastinėms deformacijoms (pilkojo ketaus %5.0 ),

trūkimo vietoje nesusidaro kaklelis. Taigi trapioms medžiagoms turi prasmę

tik tamprumo ir stiprumo ribos. Daugelio trapių medžiagų šios ribos

skiriasi nežymiai, todėl dažniausiai nustatoma tik viena iš jų stiprumo

riba. Nustatant tamprumo modulį, pradinė tempimo diagramos dalis

ištiesinama. Tam tikslui brėžiama styga, jungianti koordinačių pradžios

tašką 0 su diagramos tašku, atitinkančiu nagrinėjamąjį apkrovimo momentą,

pvz., tašką K pateiktoje 5.11 pav. tempimo diagramoje.

5.6 tekstas, 5.12 pav.

5.3. Gniuždymo bandymas

Gniuždymu dažniausiai bandomos medžiagos, kurių mechaninės savybės jas tempiant ir gniuždant

yra skirtingos arba kurios dirba išimtinai gniuždymui. Bandant metalus gaminami cilindriniai bandiniai,

kurių aukštis lygus skersmeniui (dažniausiai mm 20 hd ), bandant kitas medžiagas gaminami kubelio

formos bandiniai, kurių kraštinės didumas priklauso nuo medžiagos, pvz., medienos kubelio mm 50a ,

betono mm 100a . Kaip buvo minėta, bandinių forma ir matmenys, taip pat jų skaičius, bandymų

technologija, rodiklių nustatymo metodika yra normuojama. Todėl išsamią informaciją apie gniuždymo

bandymą galima rasti Standarte arba juo remiantis parengtuose laboratorinių darbų aprašymuose.

Aptarsime keletą būdingų gniuždymo diagramų.

Minkštojo anglinio plieno gniuždymo diagrama pateikta 5.13 pav. Tai

būdinga plastinės medžiagos gniuždymo diagrama. Iš diagramos matyti,

kad gniuždoma plastinė medžiaga iki takumo aikštelės deformuojasi taip

pat kaip ir tempiama. Be to, jėgų, atitinkančių proporcingumo,

tamprumo ir takumo ribas, reikšmės praktiškai yra vienodos. Gniuždymo

ir tempimo diagramos pradeda skirtis tik pasibaigus takumo reiškiniui

(gniuždomos medžiagos takumo aikštelė yra trumpesnė todėl, kad yra

trumpesnis bandinys). Toliau didinant gniuždančią jėgą dėl didėjančios

skersinės deformacijos plečiasi bandinio skerspjūvis ir kartu didėja jo

laikomoji galia. Tai gali tęstis iki begalybės, cilindriniams

l

F

uF

5.10 pav.

l

KF

5.11 pav.

y,tF

Fy,c

F

l

5.13 pav.

43

bandiniams virstant plonutėliu lakštu. Taigi gniuždant plastinę

medžiagą bandinys nesuyra, stiprumo riba nenustatoma. Pagal standartą

nustatoma takumo riba, kartais proporcingumo riba. Daugeliui

medžiagų gniuždomoji takumo riba cu, ir tempiamoji stiprumo riba

tu, yra panašaus didumo.

Pastaba. Gniuždant plastinę medžiagą, bandinys įgyja statinaitės

formą (5.14 pav.). Tai atsitinka dėl trinties jėgų, kurios atsiranda tarp

gniuždomo cilindro galinių skerspjūvių ir gniuždymo mašinos

atraminių plokščių. Trintį galima sumažinti panaudojus specialius

tepalus, grafitą.

Ketaus gniuždymo diagrama pateikta 5.15 pav. Tai būdinga

trapios medžiagos gniuždymo diagrama. Iš diagramos matyti, kad tiek

tempiama, tiek gniuždoma trapi medžiaga deformuojasi panašiai. Iš

pradžių tampriai ir proporcingai (iš tikrųjų pradinis diagramos ruožas

yra lėkšta kreivė, taigi Huko dėsnis gali būti taikomas tik apytiksliai),

po to tampriai plastiškai. Pagaliau jėgai pasiekus ribinį didumą,

bandinys suyra. Taigi skirtingai nuo plastinės medžiagos trapi

medžiaga neturi takumo aikštelės ir pagrindinis jos mechaninis rodiklis

yra stiprumo riba (ne tik gniuždomai, bet ir tempiamai medžiagai).

Visų trapių medžiagų gniuždomoji stiprumo riba yra daug didesnė nei

tempiamoji stiprumo riba, pvz., betono tucu ,, 20 , ketaus

tucu ,, 5 .

Ketaus bandinys suyra staigiai. Prieš suirdamas jis šiek tiek

išsipučia, ant jo paviršiaus atsiranda irimo plyšių, sudarančių maždaug

45o kampą su skerspjūvio plokštuma. Plyšiai apytiksliai sutampa su

aikštelių, kuriose veikia didžiausi tangentiniai įtempimai, padėtimi.

Taigi ketui pavojingos yra šlyties deformacijos. Panašiai kaip ketus

deformuojasi ir suyra ir kitos trapios medžiagos, pvz., betonas (5.16 pav.).

Anizotropinės medžiagos mechaninės savybės priklauso nuo

deformavimo krypties. Todėl medžiagų tyrimas yra sudėtingesnis, nes

reikia bandyti bandinius, įvairiai orientuotus jėgos veikimo krypties

atžvilgiu. Būdingas anizotropinės medžiagos pavyzdys yra mediena. Ji

gniuždoma išilgai ir skersai sluoksnių.

Gniuždant medieną išilgai sluoksnių, nustatoma stiprumo riba.

Diagramos forma panaši į trapių medžiagų gniuždymo diagramos

formą (pradinė jos dalis sąlygiškai laikoma tiese). Bandinys suyra, nes

išklumpa medienos plaušai, bandinio dalys sušliejamos viena kitos

atžvilgiu (5.17 pav.).

Gniuždant medieną skersai sluoksnių, nustatoma sąlyginė stiprumo

riba. Diagramos forma panaši į plastinių medžiagų gniuždymo

diagramos formą (pradinė jos dalis sąlygiškai laikoma tiese). Skersai

sluoksnių gniuždomas bandinys tik susispaudžia, bet nesuyra. Nustatant

sąlyginę stiprumo ribą, ardančiąja bandinį jėga sąlygiškai laikoma

jėga, nuo kurios jėgos ašies ir gniuždymo diagramos liestinės

sudaromo kampo tangentas padidėja 50% palyginti su pradine kampo

tangento reikšme tiesiojoje diagramos dalyje (5.18 pav.).

5.4. Reiškiniai bandinius nukraunant ir pakartotinai apkraunant

Jeigu tempiant plastinės medžiagos bandinį, apkrova pašalinama įtempimams nepasiekus

tamprumo ribą, o po to bandinys iš naujo apkraunamas, tai naujoji diagrama niekuo nesiskiria nuo

l

pr

Fy

F

F

5.14 pav.

Fu,c

F

l

5.15 pav.

F

u,cF

l

5.16 pav.

F

u,cF

l

5.17 pav.

F

F

u,c

l

5.18 pav.

44

tos, kuri buvo gauta pirmuoju atveju (5.19 pav.). Taigi, kai apkrovos nesukelia plastinių

deformacijų, apkrovimo istorija neturi įtakos konstrukcijos patikimumo įvertinimui (išskyrus kai

kuriuos specialiuosius atvejus, pvz., medžiagos nuovargį).

Jeigu tempiant plastinės medžiagos bandinį apkrova pašalinama prasidėjus plastinėms

deformacijoms, o po to bandinys vėl apkraunamas, tai naujoji diagrama labai skiriasi nuo tos, kuri

gaunama bandant plastinių deformacijų nepatyrusią medžiagą (5.20 pav.). Pakartotinai apkraunant

plastiškai deformuotą bandinį, tamprioji deformacija vystosi pagal tiesią liniją, beveik lygiagrečiai

tiesei 0a. Naujos plastinės deformacijos prieaugis atsiranda tik po to, kai įtempimas medžiagoje

pasiekia tą reikšmę, kuri buvo pasiekta prieš tai vykusio plastinio deformavimo metu (taškas K).

Toliau deformavimo procesas vyksta taip, lyg nukrovimo ir nebūtų buvę diagrama po nukrovimo

yra tarytum sklandi diagramos prieš nukrovimą tąsa. Taigi plastiškai deformuojant keičiasi medžiagos

savybės (5.21 pav.): padidėja proporcingumo, tamprumo ir takumo ribos (medžiaga tampa tarsi

stipresnė), pranyksta takumo aikštelė, sumažėja santykinis liekamasis bandinio ilgio pokytis

(medžiaga tampa trapesnė).

5.7 tekstas

5.5. Darbas, reikalingas bandiniui suardyti

Darbas, kurį atlieka jėga, suardydama bandinį, lygus bandinio vidinių jėgų atliktam darbui.

Jis savo skaitine reikšme lygus tempimo (gniuždymo) diagramos plotui. Tyrinėtojus labiau domina

ne darbas, reikalingas bandiniui suardyti, bet darbas, reikalingas suardyti medžiagos tūrio vienetui.

Pastarasis darbas vadinamas medžiagos tąsumo moduliu ir lygus tempimo (gniuždymo) įtempimų

diagramos plotui (5.22 pav. užbrūkšniuotas įstrižomis linijomis). Tąsumo modulis apibūdina

medžiagos sugebėjimą priešintis dinaminiam apkrovų poveikiui (kuo daugiau energijos reikia suardyti

medžiagos tūrio vienetui, tuo medžiaga geriau priešinasi dinaminiam apkrovų poveikiui).

Deformuojant bandinį, dalis sunaudojamos energijos yra

grįžtamoji (ji susikaupia potencinės deformacijos energijos pavidalu),

dalis negrįžtamoji. Kiekvieno apkrovimo momentu, pvz.,

atitinkančiu tašką K, potencinė deformavimo energija lygi trikampio

KMN plotui, negrįžtamoji diagramos plotui nuo diagramas pradžios

iki tiesės KM. Ypač reikšminga ta grįžtamosios energijos dalis, kuri

santykinės potencinės deformavimo energijos pavidalu susikaupia

medžiagoje iki plastinio deformavimo pradžios. Šis medžiagos rodiklis

vadinamas rezilianso moduliu ir yra lygus tempimo įtempimų

diagramos dalies OAB (dažniausiai trikampio) plotui.

5.6. Įvairių veiksnių įtaka medžiagos mechaninėms savybėms

Medžiagos mechaninės savybės priklauso nuo daugelio veiksnių. Vieni iš jų susiję su

medžiagos gamybos technologija (cheminė sudėtis, gamybos būdas, terminis apdirbimas), kiti su

5.22 pav.

be

pr a

m0

p e

cba

dk f

e

yk e

f

5.19 pav. 5.20 pav. 5.21 pav.

0 0

45

konstrukcinio elemento eksploatavimo sąlygomis (temperatūra, radioaktyvusis švitinimas, agresyvioji

aplinka, apkrovimo būdas ir greitis, eksploatavimo laikas). Pirmosios grupės veiksniai yra svarbūs

mokslininkams ir inžinieriams, kuriantiems bei gaminantiems konstrukcines medžiagas, nes, tik gerai

žinodami šių veiksnių įtaką, jie gali sukurti ir pagaminti medžiagas, turinčias reikiamas mechanines

savybes. Tuo tarpu projektuotojams svarbu žinoti antrosios grupės veiksnių įtaką medžiagos

stiprumui, nes tik tokiu atveju jų suprojektuotas elementas bus patikimas ir aukštoje temperatūroje,

ir agresyviojoje aplinkoje, ir veikiant sudėtingai kintančioms apkrovoms.

Cheminė sudėtis didžiausią įtaką turi įvairių metalų lydiniams. Pavyzdžiui, tiek plienas, tiek

ketus yra geležies ir anglies lydiniai su mangano, silicio, nikelio, chromo, sieros, fosforo ir kitų

elementų priemaišomis. Tai, kad plienas yra plastiška, o ketus trapi medžiaga, nulemia anglies

kiekis lydinyje. Pliene anglies yra ne daugiau kaip 2,14%, ketuje nuo 2,5% iki 5%. Kiti elementai

taip pat keičia lydinių mechanines savybes. Manganas didina kietumą. Silicis mažina kietumą, bet

didina tamprumą. Chromas didina proporcingumo ribą ir kietumą. Nikelis didina plastiškumą ir

atsparumą dinaminiam deformavimui. Fosforas ir siera mažina plastiškumą.

Konstrukcinio elemento gamybos būdas gali būti labai įvairus. Elementas gali būti liejamas,

kalamas, štampuojamas, valcuojamas ir t.t. Tos pačios sudėties medžiagos mechaninės savybės

įvairiai gaminant konstrukcinį elementą gali skirtis ir į tai būtina atsižvelgti. Pavyzdžiui, liejant

konstrukcinį elementą, gali atsirasti įvairių vidinių defektų, tuštumų, kurios mažina elemento

stiprumą. Todėl lietus elementus būtina kruopščiai tikrinti, naudojant ultragarsį ar kitus metodus.

Valcuojant izotropinė medžiaga virsta anizotropine. Pavyzdžiui, valcuoto plieno savybės valcavimo

kryptimi žymiai skiriasi (padidėja stiprumo riba) nuo savybių statmena kryptimi. Išankstinis šaltas

tempimas virš takumo ribos (sukietinimas) labai padidina takumo ribą, bet sumažina santykinį

liekamąjį ilgio pokytį. Sukietinta medžiaga pasidaro labiau tampri ir stipri, bet mažiau plastiška.

Atitinkamas konstrukcinių elementų paviršių apdirbimas (tekinimas, poliravimas, chromavimas,

nikeliavimas ir t.t.), tai pat didina elemento stiprumą, ypač kai jis yra veikiamas mainiųjų įtempimų.

Terminis apdirbimas yra medžiagos (dažniausiai plieno) kaitinimo ir aušinimo procesas, kurio

metu pakeičiama jos struktūra ir kartu mechaninės savybės. Dažniausiai naudojamas atkaitinimas,

grūdinimas ir atleidimas. Atkaitinimu (plienas įkaitinamas iki tam tikros temperatūros, nustatytą laiką

joje laikomas, po to lėtai aušinamas) sumažinamas plieno stiprumas ir padidinamas jo plastiškumas.

Jis naudojamas, kai reikia šalinti pradinius įtempimus, atsiradusius dėl šaltojo apdirbimo, arba kai

ruošiamasi šaltai apdirbti plieną. Grūdinimu (įkaitintas plienas staigiai aušinamas vandenyje ar

tepale) padidinamas plieno kietumas ir stiprumas, bet sumažinamas plastiškumas. Atleidimu

(grūdintas plienas tam tikru greičiu įkaitinamas ir laikomas įkaitintas) padidinamas plieno

plastiškumas, bet nežymiai sumažinamas stiprumas.

Temperatūra, kuriai esant nustatomi medžiagų mechaninių savybių rodikliai, yra normuojama.

Paprastai eksperimentai atliekami vadinamojoje kambario temperatūroje, kuri lygi C020 . Tačiau

daugelis konstrukcijų dirba žymiai aukštesnėje (dujų turbinos, garo katilai, vidaus degimo varikliai ir

t.t.) arba žemesnėje (šaldymo įrengimai, statybinės konstrukcijos ir t.t.) temperatūroje. Todėl būtina

žinoti, kaip kinta medžiagų mechaninės savybės nuo temperatūros. Įvairių medžiagų temperatūros

įtaka jos mechaninėms savybėms yra skirtinga, kai kuriais atvejais, pvz., anglinio plieno atveju,

labai sudėtinga. Tačiau daugumos konstrukcinių medžiagų stiprumas kylant temperatūrai mažėja, o

temperatūrai krentant didėja. Tačiau medžiagos plastiškumas, atvirkščiai, temperatūrai kylant didėja,

o jai krentant mažėja.

Radioaktyviojo švitinimo įtaka medžiagos mechaninėms savybėms svarbi branduolinių reaktorių

konstrukcijoms. Nustatyta, kad nuo radioaktyviojo švitinimo didėja medžiagos stiprumas, mažėja

plastiškumas, taip pat labai padidėja tamprumo modulis.

Agresyvios aplinkos poveikis visais atvejais yra nepageidautinas, nes spartina medžiagos

(metalo, betono) koroziją, t.y. medžiagos irimą, sukeliamą fizinių, cheminių, elektrocheminių

reiškinių, vykstančių kūno paviršiuje dėl sąveikos su aplinka. Koroduodami metalai virsta junginiais,

neturinčiais metalų savybių. Dėl to sumažėja elemento skerspjūvio plotas, kiti geometriniai rodikliai,

pakinta įtempimai, kurių didėjimas savo ruožtu spartina koroziją. Betonas koroduoja daug kartų

sudrėkdamas ir išdžiūdamas, užšaldamas ir atšildamas. Dėl to jis darosi poringas, pleišėja, silpnėja.

46

Apkrovimo greitis, kuriam esant nustatomi medžiagų

mechaninių savybių rodikliai, yra normuojamas. Paprastai

min

1)3010( ,

dt

d. Tačiau daugelis konstrukcinių elementų

apkraunami greitai (įvairūs besisukantieji elementai) arba labai

greitai (smūgiu veikiami elementai). Nustatyta, kad beveik visų

medžiagų, joms plastiškai deformuojantis, mechaninių savybių

rodikliai kinta. Kuo didesnis deformavimo greitis, tuo didesnės

takumo ir stiprumo ribos. Ypač jautriai į deformavimo greičio

pokyčius reaguoja plastmasės ir kitos organinės medžiagos.

Metalų mechaninės savybės keičiasi tik esant dideliems greičių

pokyčiams. Todėl, dinamiškai deformuojant medžiagą, ji tampa

trapesnė ( 5.23 pav.).

Projektuotojas į konstrukcinio elemento eksploatavimo laiką turi atsižvelgti dėl kelių

priežasčių. Pirmiausia dėl medžiagos senėjimo. Nustatyta, kad medžiagos mechaninės savybės dėl

besikaupiančių struktūrinių pokyčių ilgainiui kinta. Senėjimas labai blogina plastmasių mechanines

savybes. Senėjant plienui, mažėja santykinis liekamasis ilgio pokytis, didėja takumo įtempimas,

taigi plienas darosi trapesnis. O betonas senėdamas stiprėja.

Kita priežastis, dėl kurios projektuotojas turi įvertinti konstrukcinio elemento eksploatavimo

laiką, yra susijusi su valkšnumu. Valkšnumas yra medžiagos savybė papildomai deformuotis laikui

bėgant nuo tos pačios pastovios apkrovos. Jis būdingas tokioms medžiagoms kaip betonas, mediena,

gruntas, metalas ir kt. Būdingas valkšnumo pavyzdys yra negrįžtamas dujų turbinos disko ir

mentelių matmenų padidėjimas aukštoje temperatūroje veikiant didelėms išcentrinėms jėgoms.

Valkšnumą apibūdina du rodikliai: ilgalaikio stiprumo riba (didžiausias sąlyginis įtempimas, kurį

atlaiko tam tikrą laiką tam tikroje temperatūroje pastovia jėga tempiamas bandinys) ir valkšnumo

riba (sąlyginis įtempimas, kuriam veikiant plastinė deformacija per tam tikrą nustatytą laiką tam

tikroje temperatūroje pasiekia pasirinktą reikšmę).

Ilgalaikio stiprumo riba priklauso nuo pasirinkto laiko, prabėgančio iki suirimo momento. Šis

laiko tarpas imamas lygus konstrukcinio elemento tarnavimo laikui ir kinta gana plačiose ribose:

nuo dešimčių valandų iki šimtų tūkstančių valandų. Kuo nusistatytas laiko tarpas ilgesnis, tuo

ilgalaikio stiprumo riba mažesnė. Visada ilgalaikio stiprumo riba yra mažesnė už stiprumo ribą.

Valkšnumo riba priklauso ir nuo pasirinkto laiko intervalo (nustatomo pagal konstrukcinio

elemento tarnavimo laiką), ir nuo leistinųjų deformacijų didumo (nustatomo pagal konstrukcinio

elemento eksploatacijos sąlygas). Kartais nustatant valkšnumo ribą yra apribojamas ne deformacijos

didumas, bet jos kitimo greitis. Kylant temperatūrai, valkšnumo riba (taip pat ir ilgalaikio stiprumo

riba) mažėja.

5.8 tekstas, 5.24, 5.25 pav.

5.6. Deformacijos susidarymo mechanizmas

MM konstrukcinę medžiagą nagrinėja kaip vientisą, visiškai nesigilindama į struktūrinius

pokyčius, vykstančius medžiagoje jos deformavimo metu. Tačiau, studijuojant MM, reikia bent

įsivaizduoti, kas vyksta medžiagoje ją deformuojant, koks yra jos struktūrinių pokyčių ir mechaninių

savybių ryšys.

Medžiagos gali būti amorfinės (opalas, gintaras, derva, stiklas, plastmasės ir kitos) ir

kristalinės (granitas, kalcitas, betonas, metalai ir jų lydiniai, keramika ir kitos). Amorfinės medžiagos

visada izotropinės, jų molekulės išsidėsčiusios netvarkingai, forma nepastovi, lydymosi temperatūra

neapibrėžta. Dėl šių savybių jos retai naudojamos konstrukciniams elementams gaminti.

Konstrukciniai elementai dažniausiai gaminami iš kristalinių medžiagų tiksliau - iš polikristalinių

medžiagų, t.y. medžiagų, sudarytų iš daugybės smulkių, chaotiškai medžiagos tūryje išsidėsčiusių

kristalų. Kristalai turi iškiliųjų daugiasienių formą ir tvarkingą vidinę struktūrą. Taisyklingą kristalų

Statiskas deformavimas

Dinamiskas deformavimas

0

5.23 pav.

47

formą lemia kristalinė gardelė, t.y. kristalo atomų, jonų (įelektrintų atomų) arba molekulių (atomų

junginių) taisyklinga sistema. Atomų išsidėstymo sistema priklauso nuo jų savybių ir nuo fizinių

kristalizacijos sąlygų.

Tarp kristalinės gardelės atomų veikia tarpusavio sąveikos jėgos. Neapkrautame kristale

minėtų jėgų sistema yra taip pat griežtai nustatyta, kaip ir pačių atomų išsidėstymas. Veikiant

išorinėms jėgoms, atomai gardelėje pasislenka vienas kito atžvilgiu, ir tarpusavio sąveikos jėgos tarp

jų pakinta. Pašalinus išorines jėgas, kristalinės gardelės atomai vėl grįžta į savo pradinę, griežtai

apibrėžtą padėtį, o deformuotas elementas atgauna savo formą ir geometrinius matmenis. Taip

paaiškinama medžiagos tamprumo savybė.

Eksperimentai rodo, kad plastinių

deformacijų atsiradimas susijęs su

kristalinių gardelių šlytimi, t.y. plastines

deformacijos atsiranda tada, kai viena

kristalo dalis pasislenka kuria nors

plokštuma per kelis gardelės elementus

(plokštuma AA, 5.26 pav.). Mažiausia

plastinė deformacija atitinka poslinkį per

vieną elementą. Tai yra lyg savotiškas

plastinės deformacijos kvantas. Įvykus tokiam poslinkiui, kiekvienas atomas iš eilės pereina į

gretimo atomo vietą taip, kad visi atomai vėl atsiranda būdingose atitinkamai kristalinei struktūrai

vietose. Vadinasi, kristalas išlaiko savo savybes, pakeisdamas tik savo išorinę konfigūraciją.

Tikslūs teoriniai skaičiavimai, atlikti pagal aprašytą plastines deformacijos susidarymo

mechanizmą, leidžia nustatyti tangentinius įtempimus, kuriems esant turi atsirasti plastinės

deformacijos. Praktiškai plastinės deformacijos atsiranda veikiant įtempimams, beveik šimtą kartų

mažesnėms už teoriškai nustatytus. Toks skirtumas atsiranda dėl linijinių kristalų defektų, kurie

vadinami dislokacijomis. Realūs kristalai arba turi dislokacijų, arba turi kokių nors kitų defektų, dėl

kurių dislokacijos atsiranda veikiant nedideliems įtempimams. Taigi atomų šlyties poslinkis vyksta

vienu metu ne visoje plokštumoje. Paprasčiausia vadinamosios kraštinės dislokacijos schema pateikta

5.27 paveikslėlyje. Tarkime, kad viršutinėje kristalo dalyje dėl kokių nors priežasčių yra atliekama

vertikali atomų pusplokštumė. Paveikus kristalą nors ir nedideliais įtempimais dislokacija "perbėga"

iš kairės į dešinę per visą kristalą. Tokiam kristalo formos pakeitimui reikia mažesnių įtempimų,

negu visos viršutinės kristalo dalies perstūmimui. Dislokacijos skilimas kristale dažnai lyginamas su

raukšlės judėjimu kilime. Raukšlei perėjus per visą kilimą, jis šiek tiek pasislenka. Tačiau jėga,

reikalinga raukšlei perstumti, yra daug mažesnė už tą, kuri reikalinga visam kilimui perstumti iš

karto.

Veikiant gana didelėms jėgoms, plastinės deformacijos

bandinyje pradeda vyrauti. Negrįžtamos šlytys vyksta

daugumos kristalų silpniausiose plokštumose, ypač tose

plokštumose, kurių kryptys artimos didžiausių tangentinių

įtempimų plokštumoms bandinyje. Tai aiškiai matyti iš to,

kaip susidaro slydimo linijos.

Bandinį tempiant, gretimi kristalai veikia vienas kitą, ir

viename kristale atsiradęs plastiškas poslinkis negali neribotai

vystytis, nes jį blokuoja gretimi, tinkamiau orientuoti kristalai. Ši aplinkybė kaip tik ir paaiškina

sustiprėjimo srities atsiradimą ir tam tikrą tempimo jėgos padidėjimą vykstant plastinėms

deformacijoms. Todėl, sukietinant metalą, tarsi pašalinamos nepalankiausiai orientuotų kristalų

silpniausios vietos.

Apkrovus bandinį išorinėmis jėgomis, kristaluose vyksta ne tik atomų poslinkiai per eilę

pozicijų, bet taip pat atsiranda ir kai kurių kristalinių gardelių iškrypimų. Vadinasi, kartu su plastine

vyksta ir tamprioji deformacija. Nukraunant iškrypusios gardelės atgauna savo pradinę formą, t.y.

deformacija išnyksta. Žinoma, plastinė deformacija neišnyksta.

A

a) b) c)

A

5.26 pav.

a) b)

5.27 pav.

48

5.7. Įtempimų koncentracija

Įtempimų koncentracija vadinamas

netolygus įtempimų pasiskirstymas elemento

pjūvyje, atsirandantis dėl staigaus pjūvio ploto

pakitimo arba dėl medžiagos struktūros

nevienalytiškumo (5.28 pav.). Priežastys,

sukeliančios įtempimų koncentraciją, vadinamos

koncentratoriais (pvz., kiaurymės, įpjovos,

užkarpos strype, stambus užpildas betone ir

pan.). Šalia koncentratorių atsiradę įtempimai

visada būna didesni už nominalinius, t.y

įtempimus, apskaičiuotus įprastomis medžiagų

mechanikos formulėmis, neatsižvelgiant į

vietinių įtempimų atsiradimo galimybę (pvz.,

tempiamam-gniuždomam strypui nomnt

N

A ).

Projektuojant detales, jei yra galimybė, reikia vengti koncentratorių, nes jie mažina detalės

stiprumą. Taip pat būtina stengtis, kad detalių paviršiai būtų kuo švariau apdirbti, nes menkiausi

įbrėžimai gali pasireikšti kaip aktyvūs koncentratoriai, t.y. gali sumažinti stiprumo ribą ( u ) 10

20%. Tai ypač būdinga didelio stiprumo grūdinto plieno detalėms.

Kiekybinė koncentratoriaus įtaka elemento stiprumui įvertinama panaudojus teorinį arba

efektyvinį įtempimų koncentracijos koeficientą. Teorinis įtempimų koncentracijos koeficientas

)( max

nom

teoriškai apskaičiuojamas tamprumo teorijos metodais arba nustatomas eksperimentiškai

ir priklauso nuo koncentratoriaus formos bei jo matmenų (kuo mažesnis koncentratoriaus spindulys,

tuo yra didesnis). Efektyvinis įtempimų koncentracijos koeficientas nustatomas eksperimentiškai:

kF

F k

lim

lim,

. Čia: Flim bandinio irimo apkrova, kai nėra koncentratoriaus, F klim, bandinio,

turinčio koncentratorius, irimo apkrova. Koeficientas k skirtingai nuo koeficiento priklauso ne

tik nuo koncentratoriaus formos, jo matmenų, bet ir nuo bandinio medžiagos mechaninių savybių.

Plastiškų ir trapių medžiagų stiprumui įtempimų koncentracija daro skirtingą įtaką, kuri taip

pat priklauso nuo apkrovos pobūdžio (statinė ar dinaminė). Jei apkrova statinė, o medžiaga plastiška

(turi takumo aikštelę), tai didinant apkrovą įtempimų didumas ties koncentratoriumi auga tiktai iki

takumo ribos (5.29a pav.). Toliau didinant apkrovą max y , tačiau kiti įtempimai auga (5.29b

pav.). Pagaliau esant tam tikrai apkrovai, įtempimai visame pjūvyje tampa lygūs takumo ribai (5.29c pav.).

Taigi plastiškosios medžiagos savybės padeda išsilyginti įtempimams koncentratoriaus srityje. Todėl

sakoma, kad plastiškos medžiagos, kai apkrova statinė,

nejautrios įtempimų koncentracijai (efektyvinis įtempimų

koncentracijos koeficientas k = 1). Jei apkrova ciklinė arba

smūginė, įtempimai nespėja išsilyginti, ir įtempimų

koncentracija mažina detalės stiprumą.

Jei medžiaga trapi, tai įtempimų koncentracijos reiškinys

išlieka per visą deformavimo procesą iki suirimo.

Koncentratoriaus vietoje, t.y. ten, kur veikia max , atsiranda

plyšys. Ypač jautrūs įtempimų koncentracijai didelio stiprumo

grūdinti plienai. Tokioms mažai plastiškoms trapioms

medžiagoms k .

5.1 pvz.

F

nom

max max

nom

max

nom

5.28 pav.

yy y

a) b) c)

5.29 pav.

49

Kontroliniai klausimai

5.1. Koks medžiagų mechaninių bandymų

tikslas?

5.2. Kokių sąlygų reikia laikytis atliekant

medžiagų mechaninius bandymus? Kodėl?

5.3. Kodėl medžiagų gamintojas (metalurgijos

gamykla, betono mazgas ar kita įmonė)

turi nuolat atlikti medžiagų mechaninius

bandymus?

5.4. Kada projektuotojas, konstrukcijos

gamintojas (medžiagos vartotojas) turi

atlikti medžiagų mechaninius bandymus?

5.5. Išvardykite keletą medžiagos mechaninių

savybių.

5.6. Nubraižykite minkštojo anglinio plieno

tempimo diagramą.

5.7. Kas yra proporcingumo riba?

5.8. Kas yra tamprumo riba?

5.9. Kas yra takumo riba?

5.10. Kokie reiškiniai lydi takumo procesą?

5.11. Kas yra sąlyginė takumo riba? Formulė,

brėžinys.

5.12. Kas yra stiprumo riba?

5.13. Kokie plastiškumo rodikliai nustatomi

išmatavus trūkusio bandinio ilgį ir

kaklelio skersmenį? Formulės.

5.14. Kokios medžiagos vadinamos plastinėmis,

kokios trapiomis?

5.15. Nubraižykite minkštojo anglinio plieno

tempimo įtempimų diagramą. Punktyru

parodykite tikruosius įtempimus.

5.16. Kaip surandamos tampriosios ir plastinės

deformacijos tempimo įtempimų

diagramoje? Brėžinys.

5.17. Kuo išreiškiamas tamprumo modulis

tempimo įtempimų diagramoje? Brėžinys,

formulė.

5.18. Nubraižykite trapios medžiagos (pvz.,

pilkojo ketaus) tempimo diagramą.

5.19. Kokie yra esminiai skirtumai, lyginant

trapių medžiagų tempimo diagramas su

plastinių medžiagų tempimo diagramomis?

5.20. Kokios medžiagos dažniausiai bandomos

gniuždymu?

5.21. Nuo ko priklauso gniuždomų bandinių

forma, kokios formos dažniausiai

gaminami bandiniai?

5.22. Nubraižykite minkštojo anglinio plieno

gniuždymo diagramą.

5.23. Kodėl gniuždomas plastinės medžiagos

bandinys įgyja statinaitės formą?

5.24. Nubraižykite trapios medžiagos (pvz.,

pilkojo ketaus) gniuždymo diagramą.

5.25. Kaip suyra trapios medžiagos bandinys?

Kokie įtempimai turi lemiamos reikšmės

suardymo procese?

5.26. Nubraižykite medienos, gniuždomos išilgai

sluoksnių, gniuždymo diagramą.

5.27. Nubraižykite medienos, gniuždomos

skersai sluoksnių, gniuždymo diagramą.

5.28. Nubraižykite minkštojo anglinio plieno

tempimo diagramą. Parodykite, kaip kinta

tempiančios jėgos ir bandinio pailgėjimo

priklausomybė, kai prasidėjus plastinėms

deformacijoms bandinys nukraunamas, po

to vėl apkraunamas.

5.29. Ką vadiname sukietinimu? Kaip

pasikeičia medžiagos mechaninės savybės

po sukietinimo?

5.30. Kas yra Baušingerio efektas? Kada jis

vadinamas idealiuoju?

5.31. Grafiškai parodykite darbą, kuris

reikalingas bandiniui suardyti.

5.32. Kas yra medžiagos tąsumo modulis?.

Kaip jis nustatomas?

5.33. Kas yra rezilianso modulis? Kaip jis

nustatomas?

5.34. Kokie veiksniai, susiję su medžiagos

gamybos technologija, turi įtakos

medžiagos mechaninėms savybėms?

5.35. Kokie veiksniai, susiję su konstrukcinio

elemento eksploatavimo sąlygomis, turi

įtakos medžiagos mechaninėms savybėms?

5.36. Kas yra valkšnumas?

5.37. Kas yra ilgalaikio stiprumo riba?

5.38. Kas yra valkšnumo riba?

5.39. Kas yra relaksacija?

5.40. Apibūdinkite amorfinę medžiagą.

5.41. Apibūdinkite kristalinę medžiagą.

5.42. Paaiškinkite kristalinės medžiagos

tamprumo savybę.

5.43. Paaiškinkite kristalinės medžiagos

plastinių deformacijų atsiradimą.

5.44. Kas yra dislokacija?

5.45. Kas yra įtempimų koncentracija?

5.46. Kaip nustatomas ir nuo ko priklauso

teorinis įtempimų koncentracijos

koeficientas?

5.47. Kaip nustatomas ir nuo ko priklauso

efektyvinis įtempimų koncentracijos

koeficientas?

5.48. Kodėl sakoma, kad plastiškos medžiagos,

kai apkrova statinė, nejautrios įtempimų

koncentracijai?

50

6. Konstrukcijų patikimumo įvertinimo metodai

6.1. Bendrieji konstrukcijų patikimumo įvertinimo principai

6.1 tekstas

Eksploatuojamoje konstrukcijoje, kaip ir visur gamtoje, vyksta priešybių kova: iš vienos pusės, išorės poveikiai

stengiasi konstrukciją suardyti, deformuoti, iš kitos pusės, mechaninės medžiagos savybės stengiasi konstrukciją išlaikyti

tokią, kokia ji yra. Bendriausia sąlyga, matematiškai aprašanti tą atvejį, kai išorės poveikis neviršija medžiagos

pasipriešinimo, turi tokį pavidalą:

,...),,,,,,,,,,(,...),,,,,( GEfs uuyyprpr . (6.1)

Kairėje nelygybės pusėje yra užrašyta įtemptoji ir deformuotoji konstrukcijos būsena. Čia per

įtempimus (, ), deformacijas (, ) ir poslinkius (s, ) yra išreikštas tiek išorinis poveikis

konstrukcijai, tiek konstrukcijos geometriniai matmenys. Dešinėje nelygybės pusėje yra užrašytas

konstrukcinės medžiagos gebėjimas priešintis išorės poveikiui. Jis išreikštas medžiagos mechaninių

savybių rodikliais: rodikliai , , , , , , GEeeprpr apibūdina medžiagos tamprumą, rodikliai

, , , yy plastiškumą, rodikliai uu , stiprumą ir t.t.

Nustatyti funkcijų ir išraiškas, skaičiuojant konkrečias konstrukcijas, yra sudėtinga. Dažnai

jos nustatomos remiantis konstrukcijos darbo stebėjimais, specialiais eksperimentais, kartais jų

išraiška tėra tik tyrinėtojų spėliojimas. Taip pat labai svarbu išsiaiškinti, kuri konstrukcijos savybė

(stiprumas, standumas ar stabilumas) yra esminė. Taip galima sumažinti skaičiavimų apimtį, nes

tada, analitiškai aprašant konstrukcijos patikimumą, galima atsisakyti kai kurių nelygybių.

6.2 tekstas

6.2. Konstrukcijos stiprumo įvertinimas

Konstrukcijos stiprumui įvertinti naudojami du principai. Pagal pirmąjį principą konstrukcijos

stiprumo kriterijus yra ribinis įtempimas, pagal antrąjį ribinė apkrova.

Naudojant pirmąjį principą, konstrukcijoje nustatomas taškas, kuriame įtempimas yra

didžiausias. Gautas įtempimas lyginamas su ribiniu, nustatytu laboratoriniais tyrimais, ir daromos

išvados apie konstrukcijos stiprumą. Tarkime, kad nagrinėjama konstrukcija patiria tik tempimo-

gniuždymo poveikį, o jos medžiaga vienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui. Tada bendriausia

tokios konstrukcijos stiprumo sąlyga (atskiras 6.1 nelygybės atvejis) turės tokį pavidalą:

n

limmax

, (6.2)

čia: max

didžiausias absoliutiniu didumu konstrukcijos įtempimas, lim ribinis medžiagos

įtempimas, n atsargos koeficientas.

Lieka išsiaiškinti, kokį įtempimą laikyti ribiniu ir kaip pasirinkti atsargos koeficiento didumą.

Trapiomis medžiagomis ribinis įtempimas abejonių nekelia tai stiprumo riba, nes ją pasiekus

prasideda irimas (6.1a pav.). Sudėtingiau yra su plastinėmis medžiagomis, nes, prieš pasiekus

įtempimui stiprumo ribos reikšmę, gali išsivystyti tokios didelės plastinės deformacijos, kad

konstrukcijos nebus galima eksploatuoti dar prieš pradedant jai irti (pvz., labai išlinkusi sija gali

nuslysti nuo atramų, labai pasislinkę konstrukcijos mazgai gali pakeisti skaičiuojamąją schemą, kartu

51

įrąžų pasiskirstymą ir t.t.). Todėl

dažniausiai plastinėms medžiagoms ribiniu

įtempimu laikoma takumo riba (6.1b pav.).

Atsargos koeficientas pasirenkamas

atsižvelgiant į konstrukcijos paskirtį ir jos

darbo sąlygas, remiantis sukaupta praktine

patirtimi ir šiuolaikiniu technikos lygiu.

Tačiau visais atvejais stiprumo ribos

atsargos koeficientas (nu) yra didesnis už

takumo ribos atsargos koeficientą (ny), nes

pirmasis atsargos koeficientas išreiškia

atsargą, lyginamą su medžiagos suirimo tarpsniu, o antrasis tiktai su plastinių deformacijų

kaupimosi tarpsniu, kurio dar nelydi konstrukcijos irimas (žr. 6.1 pav.). O kam apskritai reikalingas atsargos koeficientas? Ar nepakaktų, kad didžiausias konstrukcijos įtempimas neviršytų

stiprumo ar takumo ribos?

Atsargos koeficientas reikalingas dėl šių priežasčių:

1. Skaičiuojamieji įtempimai gali skirtis nuo tikrųjų realioje konstrukcijoje, nes: a) gaminant

konstrukciją, paprastai daugiau ar mažiau nukrypstama nuo projekte nurodytų matmenų, todėl

skaičiuojamoji schema nėra tikslus realios konstrukcijos vaizdas, b) negalima tiksliai nustatyti

apkrovų (pvz., vėjo, sniego slėgio, studentų skaičiaus auditorijoje ir t.t.), c) formulės, pagal kurias

skaičiuojami įtempimai, yra apytikslės, išvestos su kai kuriomis prielaidomis.

2. Tos pačios markės medžiagos tikrieji mechaninių savybių rodikliai gali būti kiek skirtingi,

kai kada ir kiek mažesni už norminius.

3. Jokia konstrukcinė medžiaga nėra idealiai vienalytė, ji gali turėti savo silpnų vietų

(todėl, pavyzdžiui, plieno atsargos koeficientas visada mažesnis už betono, o betono už

natūralaus akmens). Nustatant atsargos koeficientą, taip pat turi būti atsižvelgiama į konstrukcijos svarbą ir numatomą

jos eksploatacijos trukmę (pavyzdžiui, kai projektuojamas tiltas, skirtas naudoti 50 metų, atsargos

koeficientas imamas didesnis negu laikinam lieptui). Kylant technikos lygiui, atsargos koeficientai

mažėja, nes vis gerėja medžiagų kokybė, didėja detalių tikslumas, tobulėja skaičiavimo metodai.

6.3 tekstas

6.2.1. Leistinųjų įtempimų metodas

Naudojant leistinųjų įtempimų metodą, didžiausias absoliutiniu didumu konstrukcijos

įtempimas nustatomas nuo tų apkrovų, kurios konstrukciją veikia normaliomis eksploatacijos

sąlygomis, t.y. nuo nominalinių apkrovų. Pavyzdžiui, jeigu auditorija skirta šimtui studentų, tai,

skaičiuojant įtempimus grindų plokštėje, ir tariama, kad auditorijoje sėdi šimtas vidutinio svorio

studentų. Galimi apkrovų pokyčiai (pavyzdžiui, į auditoriją gali ateiti 120 ar daugiau studentų), taip

pat visos kitos priežastys, turinčios įtakos patikimam konstrukcijos darbui (netikslus elementų

pagaminimas, medžiagos nevienalytiškumas, skaičiavimo formulių netikslumas ir t.t.) įvertinamas

vienu koeficientu. Jis vadinamas atsargos (patikimumo) koeficientu ir žymimas simboliu n0.

Taigi paprasčiausias leistinųjų įtempimų metodo stiprumo sąlygos pavidalas yra toks:

maxlim

adm n0

, (6.3)

čia adm leistinasis įtempimas (didžiausias įtempimas, iki kurio galima saugiai eksploatuoti

konstrukciją stiprumo požiūriu).

a) b)

u

u

n

a)

u=

lim

yny

b)

lim

=u

6.1 pav.

52

6.2.2. Ribinių būvių metodas

Ribinių būvių metodas yra naujesnis ir pranašesnis. Nuo 1955 metų jis yra privalomas

statybinėms konstrukcijoms.

Ribinių būvių metodas, skirtingai nuo anksčiau naudotų metodų, apima ne tik konstrukcijos

stiprumo, bet ir jos standumo, stabilumo ir visus kitus jos tinkamumo eksploatacijai reikalavimus.

Tam tikslui yra įvesta nauja sąvoka ribinis būvis.

Ribiniu būviu vadinamas tas konstrukcijos būvis, kurį pasiekus konstrukcija nebetenkina jai

keliamų eksploatacijos reikalavimų pagal statinio svarbą ir jo paskirtį. Statybinės normos ir taisyklės

skirsto ribinius būvius į dvi grupes. Į pirmąją grupę įeina tie būviai, kuriems esant konstrukcija

praranda atlaikymo galią ir jos toliau eksploatuoti negalima. Antrajai ribinių būvių grupei priklauso

būviai, kuriems pasireiškus, konstrukcija pasidaro netinkama normaliai eksploatuoti.

Įvykdžius pirmosios grupės ribinių būvių reikalavimus, konstrukcija apsaugoma nuo:

a) staigaus (trapaus) ar kitokio pobūdžio suirimo;

b) formos arba padėties stabilumo netekimo (plonasienių konstrukcijų formos stabilumo

netekimo, atraminių sienelių ir aukštų pamatų apvertimo ir nustūmimo, požeminių rezervuarų,

siurblinių ir panašių statinių iškilnojimo);

c) suirimo dėl nuovargio, veikiant daugkartinėms paslankioms ir pulsuojančioms apkrovoms

(pokraninės sijos, pabėgiai, rėminiai pamatai ir perdangos, laikančios nesubalansuotas mašinas);

d) suirimo nuo vienalaikio išorinių jėgų ir nepalankios aplinkos poveikio (periodiškumo arba

nuolatinio agresyvios aplinkos poveikio, pakaitinio užšalimo ir atšilimo, sudrėkimo ir išdžiuvimo).

Įvykdžius antros grupės ribinių būvių reikalavimus, konstrukcija apsaugoma nuo:

a) plyšių atsiradimo ir per didelio arba ilgalaikio jų atsivėrimo, jei pagal eksploatavimo

reikalavimus tai neleistina;

b) per didelių poslinkių (įlinkių, pasisukimo ir iškrypimo, svyravimų).

Atlikus vienokį ar kitokį remontą, padarius sustiprinimus, pakeitus eksploatacijos sąlygas ir pan.,

konstrukciją iš antrosios ribinių būvių galima ištraukti. Taigi antrosios grupės ribiniai būviai

vengtini, bet ne tokie pavojingi, kaip pirmos grupės ribiniai būviai; pastarieji yra visiškai neleistini.

Aptarsime skaičiavimą pagal pirmosios grupės ribinį būvį. Šiuo atveju (6.2) stiprumo sąlygoje

užrašyti įtempimai nustatomi pagal patį nepalankiausią apkrovimo atvejį, pagal apkrovas, padaugintas

iš nelygių vienetui perkrovimo koeficientų: f F Fn f n f( , ,...)1 1 2 2 . Čia F Fn n1 2, norminės

apkrovos, n n1 2, perkrovimo koeficientai, kurie kiekvienai apkrovos rūšiai paprastai būna skirtingi.

Pavyzdžiui, įvertinant jau minėtą studentų svorį, verta numatyti atvejį, kai į auditoriją susirinks ne

100, bet 150 studentų; taigi norminė apkrova turėtų būti padauginta ir perkrovimo koeficiento

f 1 5, . Paties perdenginio svoris taip pat gali viršyti norminį (pavyzdžiui, grindų sluoksnis

padarytas keliais milimetrais storesnis), bet šis viršijimas niekad nebus žymus, todėl šiai apkrovai

taikytinas perkrovimo koeficientas f 11, . Kiekvieno skerspjūvio įrąža gali būti skaičiuojama vis

pagal kitokią skaičiuojamųjų apkrovų kombinaciją. Jeigu nuo kurios nors apkrovos įrąžos absoliutinis

didumas ne padidėja, bet sumažėja, tai perkrovimo koeficientas prie šios apkrovos gali būti

mažesnis už vienetą. Kai skaičiuojama pagal antrosios grupės ribinį būvį, perkrovimo koeficientai

priimami lygūs vienetui.

Taigi nors skaičiuojant tiek leistinųjų įtempimų metodu, tiek ribinių būvių metodu stiprumo

sąlygos kairioji pusė turi vienodą pavidalą ( max

), turinys skiriasi iš esmės: pirmuoju atveju

didžiausi konstrukcijos įtempimai nustatomi nuo nominalių apkrovų, antruoju nuo projektinių. Tuo

tarpu dešiniosios stiprumo sąlygos pusės skiriasi tiek savo pavidalu, tiek turiniu. Naudojant ribinių

būvių metodą, konstrukcijos medžiagos patikimumas įvertinamas ne vienu, o keliais koeficientais:

max Rn

c

m n

. (6.4)

53

Čia: Rn norminis stipris (normų nustatytas ribinio įtempimo didumas, gaunamas statistiškai

apdorojant eksperimentinius duomenis), m medžiagos saugos koeficientas, apibūdinantis

medžiagos vienodumą, standartiškumą bei galimus sortimento matmenų netikslumus, c darbo

sąlygų koeficientas, apibūdinantis visos konstrukcijos arba jos atskirų elementų darbo sąlygų

ypatybes, konstrukcijos darbo specifiką (pvz., koroziją, kuri ypač pavojinga rezervuarams, specialiųjų

cechų darbo sąlygas ir t.t.), n konstrukcijos patikimumo koeficientas, apibūdinantis pastato

kapitališkumą.

Dažnai normomis iškart nustatomas vadinamasis projektinis stipris R RRn

m ( )

. Tada ribinių

būvių metodo stiprumo sąlyga turi tokį pavidalą:

max R c

n

. (6.5)

6.4 tekstas

Metodas, besiremiantis antruoju konstrukcijos stiprumo įvertinimo principu, vadinamas ribinių

apkrovų metodu. Naudojant šį metodą, lyginami ne įtempimai, o apkrovos. Tam tikslui nustatoma

ribinė apkrova, t.y. didžiausia apkrova, kurią nesuirdama ar per daug plastiškai nesideformuodama

gali atlaikyti konstrukcija. Gautąją ribinę apkrovą padalijus iš atsargos koeficiento, gaunama

leistinoji apkrova, su kuria ir lyginama skaičiuojamoji apkrova. Pagrindinė metodo nelygybė turi tokį

pavidalą:

FF

nF

fmax

limadm , (6.6)

čia: Fmax

skaičiuojamoji apkrova, t.y. didžiausia apkrova, kuria galima apkrauti konstrukciją,

Flim ribinė apkrova, nf atsargos koeficientas (jį pasirenkant atsižvelgiama į tas pačias sąlygas,

kaip ir nustatant atsargos koeficientą n), Fadm leistinoji apkrova, t.y. apkrova, kuriai esant

galima saugiai eksploatuoti konstrukciją.

Ribinių apkrovų metodas leidžia tiksliau įvertinti konstrukcijos patikimumą, negu metodai,

besiremiantys skaičiavimais pagal įtempimus. Esminis jo trūkumas labai sunku nustatyti ribines

apkrovas.

6.1 pvz.

6.3. Konstrukcijos standumo įvertinimas

Pakankamai stipri konstrukcija gali būti netinkama eksploatacijai dėl per didelių jos elementų

deformacijų, dėl per didelių jos mazgų poslinkių. Pavyzdžiui, per mažas kai kurių mechanizmo

(mašinos) elementų standumas gali pažeisti technologinius procesus, kitose konstrukcijose didelės

deformacijos gali pakeisti konstrukcijos skaičiuojamąją schemą ir sukelti nepageidaujamą įrąžų

persiskirstymą, dėl kurio gali būti pažeista stiprumo sąlyga ir pan. Pagaliau didelės deformacijos gali

būti apribojamos estetiniais sumetimais.

Dažniausiai yra ribojami konstrukcijos mazgų poslinkiai. Tada standumo sąlyga turi tokį

pavidalą:

s s lim , (6.7)

54

čia: s nagrinėjamo mazgo poslinkis, slim normomis nustatytas arba technologiniais, estetiniais

sumetimais padiktuotas poslinkis.

Kartais ribojamos konstrukcijos deformacijos. Tada standumo sąlyga turi tokį pavidalą:

limmax , (6.8)

čia: max

didžiausia absoliutiniu didumu linijinė deformacija, lim normomis nustatyta

deformacija.

6.2 pvz.

6.4. Konstrukcijos stabilumo įvertinimas

Dažnai, kai gniuždomi liauni strypai ar plonasieniai elementai

(dar blogiau, kai jie gniuždomi ir kartu lenkiami ar sukami)

pirmiausia pažeidžiamos ne stiprumo ar standumo sąlygos, bet

stabilumo sąlyga, t.y. elementas praranda pirminę pusiausvyros formą

greičiau, negu didžiausi konstrukcijos įtempimai ar nagrinėjamo mazgo

poslinkis pasiekia savo ribines reikšmes. Pavyzdžiui, 6.2 pav. pateiktos

konstrukcijos gniuždomas strypas gali suklupti tada, kai įtempimai yra

daug mažesni netgi už proporcingumo ribą. Gniuždomam strypui

suklupus, konstrukcijos eksploatuoti negalima, nes ženkliai pasikeičia

jos geometrija. Dar daugiau strypas suklumpa staiga, netikėtai, be

pastebimų įspėjamųjų požymių (jo klupimo praktiškai negalima

sustabdyti ar reguliuoti), todėl pažeidus konstrukcijos pusiausvyros

stabilumą pasekmės būna skaudžiausios.

Bendriausia stabilumo sąlyga turi tokį pavidalą:

stb

cr

n

det , (6.9)

čia: det skaičiuojamieji konstrukcijos elemento įtempimai, cr kritiniai įtempimai (mažiausi

įtempimai, kuriems esant elementas praranda pirminę pusiausvyros formą; nustatomi eksperimentiškai

arba apskaičiuojami teoriškai), n stb stabilumo atsargos koeficientas.

6.5 tekstas

6.5. Uždavinių tipai

Priklausomai nuo to, kas yra žinoma ir kas yra ieškoma, visi medžiagų mechanikos

uždaviniai, susiję su konstrukcijos patikimumo įvertinimu, sąlygiškai skirstomi į tikrinamuosius,

leistinosios apkrovos nustatymo ir projektinius.

Kai žinomi konstrukcijos ir jos elementų skerspjūvių geometriniai matmenys ir medžiagos

mechaninės savybės, o ieškomi konstrukcijos įtempimai, deformacijos ar ypatingųjų mazgų poslinkiai,

kurių reikšmės vėliau lyginamos su atitinkamais norminiais dydžiais, turime tikrinamąjį uždavinį.

Kai žinomi konstrukcijos ir jos elementų skerspjūvių geometriniai matmenys ir medžiagos

mechaninės savybės, o ieškoma apkrova, kuriai esant galima saugiai eksploatuoti konstrukciją, turime

leistinosios apkrovos (leistinos projektinės apkrovos) nustatymo uždavinį.

F

6.2 pav.

55

Kai žinomi konstrukcijos geometriniai matmenys, medžiagos mechaninės savybės ir konstrukciją

veikiančios apkrovos, o ieškomi konstrukcijos elementų skerspjūvių matmenys (rečiau kiti

geometriniai matmenys), turime projektinį uždavinį.

6.6 tekstas, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 pvz.

Kontroliniai klausimai

6.1. Užrašykite bendriausią sąlygą,

matematiškai aprašančią atvejį, kai išorės

poveikis į konstrukciją neviršija jos

medžiagos pasipriešinimo.

6.2. Kokius žinote konstrukcijos stiprumo

įvertinimo kriterijus?

6.3. Užrašykite bendriausią stiprumo sąlygą,

kai stiprumo kriterijus yra ribinis

įtempimas, konstrukcija patiria tik

tempimo-gniuždymo poveikį, jos medžiaga

vienodai priešinasi tempimui ir

gniuždymui.

6.4. Kas yra ribinis įtempimas? Kam jis lygus

trapioms ir kam jis lygus plastinėms

medžiagoms?

6.5. Kodėl trapios medžiagos stiprumo atsargos

koeficientas didesnis už plastinės

medžiagos atsargos koeficientą?

6.6. Dėl kokių priežasčių reikalingas stiprumo

atsargos koeficientas?

6.7. Kodėl skaičiuojamieji įtempimai gali

skirtis nuo tikrųjų realioje konstrukcijoje?

6.8. Užrašykite bendriausią stiprumo sąlygą,

kai stiprumo kriterijus yra ribinė apkrova.

6.9. Kas yra ribinė apkrova?

6.10. Paaiškinkite formulę:

maxlim

adm n0

.

6.11. Kas yra ribinis būvis?

6.12. Kuo skiriasi pirmosios ir antrosios grupių

ribiniai būviai?

6.13. Paaiškinkite formulę:

max Rn

c

m n

.

6.14. Kaip skaičiuojami didžiausi absoliutiniu

didumu įtempimai, kai naudojamas ribinių

būvių metodas? Formulė.

6.15. Kuo ribinių būvių metodas pranašesnis už

leistinųjų įtempimų metodą?

6.16. Užrašykite bendriausias standumo sąlygas.

6.17. Užrašykite bendriausią stabilumo sąlygą.

6.18. Kokius žinote medžiagų mechanikos

uždavinių, susijusių su konstrukcijos patikimumo įvertinimu, tipus?

56

x

y x

y

7.1 pav.

xdA

y

x

y

0

7.2 pav.

7. Geometriniai plokščiųjų figūrų rodikliai

7.1. Bendrosios žinios

7.1 tekstas

7.2. Pagrindinės sąvokos

Geometriniais vadinami pjūvio (plokščiosios figūros) rodikliai, kurie

priklauso nuo pjūvio matmenų, formos bei orientacijos ir kiekybiškai

įvertina jo sugebėjimą priešintis mechaniniam poveikiui.

Didesnė dalis pjūvio geometrinių rodiklių yra susiejami su koordinatinių

ašių sistema. Naudosime VGTU Medžiagų atsparumo katedroje priimtas

koordinatinių ašių žymėjimo taisykles (žr. 3.1 poskyrį). Taigi nagrinėjamo

elemento skerspjūvio koordinatinės ašys gali būti dvejopos (7.1 pav.).

Tarkime, turime pjūvį ir laisvai pasirinktą koordinatinių ašių sistemą

x0y (7.2 pav.). Išskirkime nykstamai mažą plotelį dA ir pažymėkime jo

koordinates x ir y. Taip pat pažymėkime jo polinę koordinatę ,

laikydami, kad polius sutampa su koordinatinių ašių x ir y susikirtimo

tašku 0. Tada pagrindiniai pjūvio geometriniai rodikliai bus šie:

plotas AdAA , (7.1)

statiniai momentai S y dAx A , Ay dAxS , (7.2)

ašiniai inercijos momentai Ax dAyI 2 , Ay dAxI 2 (7.3)

išcentrinis inercijos momentas Axy dAyxI , (7.4)

polinis inercijos momentas Ap dAI2 . (7.5)

Akivaizdu, kad yxp III , nes 222 yx .

7.3. Pjūvio ploto svorio centras

Svorio centras (sunkio centras) yra nekintamai su kietuoju kūnu susijęs geometrinis taškas, per kurį

eina visų kūno dalelių svorių atstojamosios veikimo linija. Tarkime, kad pjūvis (plokščioji figūra) yra

kietasis kūnas, kurio storis lygus vienam, kurio medžiagos tankis lygus vienam ir kuris orientuotas taip, kad

sunkio jėgos yra statmenos jo plokščiajam paviršiui (7.3 pav.). Pritaikykime jam atstojamosios momento

(Varinjono) teoremą: jeigu jėgų sistema turi atstojamąją, tai šios atstojamosios momentas bet kurios ašies

atžvilgiu lygus jėgų momentų tos pačios ašies atžvilgiu sumai:

A x x dA

A y y dA

c A

c A

0 0

0 0

,

,

,

. (7.6)

Čia: A pjūvio plotas (arba tariamojo

kūno svorio atstojamoji), dA

elementarusis plotelis (arba tariamojo kūno

elementariosios dalelės svorio jėga),

x yc c0 0, ,, ploto centro koordinatės

laisvai pasirinktų (pagalbinių) ašių x0 ir y0

1

C

A

y

y

x

0

dA

=1

0

y0

0x

0x

0,C

,C0

7.3 pav.

57

a) b) c)

y

x

x x dAdA

x

yy

x

y

x c cc

c

7.4 pav. 7.5 pav. 7.6 pav.

atžvilgiu, x0 , y0 elementariojo plotelio koordinatės.

Bet x dA SA y0 0 , y dA S

A x0 0 , taigi

xS

A

yS

A

c

y

cx

0

0

00

,

,

,

,

(7.7)

čia S Sy x0 0, pjūvio ploto statiniai momentai pagalbinių ašių atžvilgiu.

Iš 7.6 formulių matyti, kad centrinių ašių atžvilgiu pjūvio ploto statiniai momentai yra lygūs

nuliui (kai pagalbinės ašys sutapdinamos su centrinėmis ašimis, koordinatės cx ,0 ir y c , tampa

lygios nuliui; žr. 7.3 pav.). Ši centrinių ašių savybė naudojama skaičiavimams tikrinti. Be to,

pasinaudojus šia savybe galima teigti, kad bet kuri pjūvio ploto simetrijos ašis kartu yra ir centrinė

ašis (jos atžvilgiu kiekvienam elementariajam ploteliui visada galima rasti tokį patį plotelį su

priešingo ženklo koordinate; 7.4 pav.). Štai kodėl, jeigu pjūvio plotas turi dvi simetrijos ašis, tai jo

svorio centras sutampa su šių ašių susikirtimo tašku (7.5 pav.). Jeigu pjūvio plotas yra simetriškas

taško atžvilgiu, tai šis taškas taip pat yra ir pjūvio ploto svorio centras (7.6 pav.).

7.1 pvz.

7.4. Inercijos momentai lygiagrečių ašių atžvilgiu

Tarkime, duotojo pjūvio ploto inercijos momentai ašių x ir y

atžvilgiu yra žinomi. Reikia rasti inercijos momentus lygiagrečių ašių

x ir y atžvilgiu (7.7 pav.). Elementariojo plotelio koordinates x ir

y išreiškime per koordinates x ir y:

x x a

y y b

1

1

,

. (7.8)

Įrašykime gautas koordinačių išraiškas į bendrąsias inercijos

momentų išraiškas (7.3, 7.4):

I y dA y b dA y dA b dA b y dA

I b A b S

x A A A A A

x x

1 12 2 2 2

2

2

2

( )

,

I x dA x a dA x dA a dA a x dA

I a A a S

y A A A A A

y y

1 12 2 2 2

2

2

2

( )

,

x a

y

yb

x

y

dA

1

1x

1

1y

0

x

7.7 pav.

58

I x y dA x a y b dA x y dA a b dA

b x dA a y dA I a b A b S a S

x y A A AA

A A xy y x

1 1 1 1

( )( )

.

Jeigu ašys x ir y yra centrinės, tai 0xS ; 0yS . Tada gautos formulės supaprastėja:

.

,

,

11

21

21

AbaII

AaII

AbII

xyyx

yy

xx

(7.9)

Ašinis inercijos momentas atžvilgiu ašies, lygiagrečios centrinei ašiai, yra lygus centrinio

inercijos momento ir pjūvio ploto, padauginto iš ašies atstumo nuo pjūvio ploto svorio centro

kvadrato, sumai.

Išcentrinis inercijos momentas atžvilgiu ašių, lygiagrečių centrinėms ašims, yra lygus centrinio

išcentrinio inercijos momento ir pjūvio ploto, padauginto iš ašių atstumų nuo pjūvio ploto svorio

centro, sumai.

7.2 pvz.

7.5. Inercijos momentai pasuktų ašių atžvilgiu

Tarkime, duotojo pjūvio ploto inercijos momentai ašių x ir y atžvilgiu yra žinomi. Reikia

rasti inercijos momentus pasuktų ašių x ir y atžvilgiu (7.8 pav.).

Elementariojo plotelio koordinates x ir y išreikškime per koordinates x ir y (pasinaudokime

žinomomis iš matematikos koordinačių transformacijos formulėmis):

.cossin

,sincos

yxy

yxx (7.10)

Įrašykime gautas koordinačių išraiškas į bendrąsias inercijos

momentų išraiškas. Pradėkime nuo ašinio inercijos momento x

ašies atžvilgiu:

.2sinsincos

cossin2cossin

)cossin(

22

2222

22

xyyx

AAA

AAx

III

dAyxdAydAx

dAyxdAyI

Analogiškai išsprendę likusius du integralus (prisiminkime,

kad cos sin cos2 2 2 ), gausime šias inercijos momentų,

pasuktų koordinatinių ašių atžvilgiu, formules:

.2cos2sin2

,2sincossin

,2sinsincos

22

22

xyyx

yx

xyyxy

xyyxx

III

I

IIII

IIII

(7.11)

x

x

y

dA

y

x y

y

x

C

7.8 pav.

59

Sudėkime pirmąsias dvi lygtis. Įvertinę, kad sin cos2 2 1 , gauname svarbią priklausomybę:

I I I Ix y x y const. (7.12)

Tai reiškia, kad sukant koordinatines ašis ašinių inercijos momentų suma nesikeičia. Ši ašinių

inercijos momentų savybė paprastai naudojama skaičiavimams tikrinti.

7.3 pvz.

7.6. Svarbiausiosios ašys ir svarbiausieji inercijos momentai

Formulės (7.11) rodo, kad inercijos momentų reikšmės priklauso nuo pjūvio ploto

koordinatinių ašių padėties. Skaičiuotojus paprastai domina tokios koordinatinės ašys, kurių atžvilgiu

ašiniai inercijos momentai įgyja ekstremines reikšmes. Tokiai ašių padėčiai nustatyti naudosime

matematinį metodą, naudojamą funkcijos ekstremumui skaičiuoti: jeigu diferencijuojamos funkcijos

išvestinė kuriame nors taške yra lygi nuliui, tai šiame taške duotoji funkcija turi ekstremumą.

Išdiferencijuokime ašinio inercijos momento Ix išraišką kampo, kuriuo sukamos koordinatinės ašys,

atžvilgiu:

.2cos2sin2

)(2

2cos2cossin2)(

2cos2cossin2sincos2

xyyx

xyxy

xyyxx

III

III

IIId

dI

Kampą, prie kurio ašiniai inercijos momentai įgyja ekstremines reikšmes, pažymėkime .

Tada

I II

x y

xy

22 2 00 0sin cos , (7.13)

tgI

I I

xy

x y

22

0

, (7.14)

01

2

2

arctg

I

I I

xy

x y

. (7.15)

Formulė (7.14) duoda dvi kampo reikšmes: 0 ir 2

0

(7.9 pav.). Taigi yra dvi tarpusavyje statmenos ašys, kurių

atžvilgiu ašiniai inercijos momentai įgyja ekstremines reikšmes.

Žinant, kad ašinių inercijos momentų suma yra pastovus dydis,

galima teigti, kad ašinis inercijos momentas vienos iš jų atžvilgiu

yra didžiausias, o kitos mažiausias. Šios dvi tarpusavyje

statmenos ašys vadinamos svarbiausiosiomis ašimis ir paprastai

žymimos simboliais u ir v. Ašiniai inercijos momentai jų

atžvilgiu vadinami svarbiausiaisiais inercijos momentais ir žymimi

simboliais I Iu v, (žr. 7.9 pav.).

Lygties (7.13) kairioji pusė sutampa su išcentrinio inercijos

momento išraiška (7.11). Taigi išcentrinis inercijos momentas

svarbiausiųjų ašių atžvilgiu yra lygus nuliui. Įvertinę šį faktą ir

u

x

vy

+0

0

C

2

7.9 pav.

60

panaudoję įvestus simbolius, gauname šias formules svarbiausiesiems inercijos momentams skaičiuoti:

I I I I

I I I I

I

u x y xy

v x y xy

uv

cos sin sin ,

sin cos sin ,

.

20

20 0

20

20 0

2

2

0

(7.16)

7.4 pvz.

Jei žinomi svarbiausieji inercijos momentai, tai inercijos momentai bet kokių kitų pasuktų ašių

atžvilgiu apskaičiuojami pagal šias formules:

.2sin2

,cossin

,sincos

22

22

vuxy

vuy

vux

III

III

III

(7.17)

Aptarsime keletą išcentrinio inercijos momento savybių

ir kelias su jomis glaudžiai susijusias išvadas.

1. Išcentrinis inercijos momentas atžvilgiu dviejų statmenų

ašių, kurių bent viena yra pjūvio simetrijos ašis, yra lygus

nuliui (jos atžvilgiu kiekvienam elementariajam ploteliui visada

galima rasti tokį patį plotelį su priešingo ženklo atitinkama

koordinate; 7.10 pav.). Taigi bet kuri pjūvio simetrijos ašis yra

ne tik centrinė (žr. 7.3 poskyrį), bet ir svarbiausioji.

2. Pasukus koordinatinių ašių sistemą o90 kampu,

išcentrinis inercijos momentas pakeičia ženklą, bet jo skaitinė

reikšmė lieka tokia pati (ši savybė gaunama į (7.11) trečiąją

lygtį įstačius kampą 090 ).

3. Valcuoto plieno kampuočio išcentriniam inercijos

momentui skaičiuoti paprastai naudojama formulė, pritaikyta

prie sortimento lentelių: I I I tgxy ( ) ,*min 0 čia I * di-

desnysis iš ašinių inercijos momentų ( Ix arba I y ); ženklas

nustatomas pagal “ploto” taisyklę: jeigu pjūvio ploto yra

daugiau teigiamuose koordinatinių ašių kvadratuose, tai

Ixy , jeigu neigiamuose, tai Ixy (7.11 pav.).

7.7. Inercijos spindulys ir atsparumo momentas

Aptarsime dar kelis pjūvio geometrinius rodiklius, naudojamus skaičiuojant įvairias

konstrukcijas. Jie yra gaunami iš pagrindinių pjūvio geometrinių rodiklių (7.1-7.5).

Ašinį inercijos momentą dažnai patogu išreikšti pjūvio ploto ir tam tikros atkarpos kvadrato

sandauga; pvz.:

I y dA A ix A x 2 2 .

x x

y(v)

dAdA

y

x(u)

A

7.10 pav.

x

y

y

x x

y

y

x

xyI 0>

Ixy>0

Ixy 0<

<xyI 0

7.11 pav.

61

x C

y

b

yd

y

h

dA=b.dy

7.13 pav.

Atkarpa ix vadinama pjūvio inercijos spinduliu x ašies atžvilgiu:

iI

Ax

x . (7.18)

Analogiškai:

iI

Ay

y .

Padaliję pjūvio ašinį inercijos momentą iš toliausiai nuo

atitinkamos ašies esančio taško koordinatės, paimtos absoliutiniu

didumu, gausime dar vieną pjūvio geometrinį rodiklį atsparumo

momentą (7.12 pav.). Koordinatinių ašių x ir y atžvilgiu

atsparumo momentų išraiškos turės tokį pavidalą:

.

,

max

max

x

IW

y

IW

yy

xx

(7.19)

7.5 pvz.

7.8. Elementariųjų figūrų centriniai inercijos momentai

7.2 tekstas

Stačiakampis (7.13 pav.). Išskirkime elementarųjį plotelį

dybdA . Įrašykime gautą išraišką į ašinio inercijos momento

integralinę išraišką (7.3, pirmas integralas):

2

2

22

322

3

h

hhhAx

ybdybydAyI

.12

)8

(83

333 hbhhb

(7.20)

Analogiškai gauname, kad

.12

3bhI y

(7.21)

Stačiakampis turi dvi simetrijos ašis, taigi

.0xyI (7.22)

7.6 pvz.

y

x

xmax

max

y

7.12 pav.

62

Trikampis. Pirmiausia skaičiuosime ašinį inercijos momentą

x ašies atžvilgiu (7.14 pav.). Išskirkime elementarųjį plotelį

dA s dy . Iš trikampių ABD ir AKL panašumo gauname, kad

.3

2

yh

h

bs Tada .

3

2 dyyh

h

bdA

Įrašykime gautą

elementariojo plotelio išraišką į ašinio inercijos momento

integralinę išraišką (7.3, pirmas integralas):

323

22 3

2 h

hAx dyyhh

bydAyI

h

h

hh

yyhh

bdyyyh

h

b 3

2

3

1323

4332 4

1

9

2

3

2

4343

87

1

4

1

27

1

9

2

81

16

4

1

27

8

9

2 hhhhhh

h

b

44444

972

27

324

1

243

2

324

16

243

16 h

h

bhhhh

h

b

.36

3hb (7.23)

Analogiškai gauname, kad

36

3bhI y

. (7.24)

Skaičiuodami išcentrinį inercijos momentą, taip pat išskirkime

elementarųjį plotelį

yh

h

bdA

3

2 (7.15 pav.). Jo svorio centro

ce koordinates x ir y susiesime geometriniais ryšiais pasinaudoję

trikampių ABK ir CCeL panašumu: yh

bx

2 . Įrašykime gautas

elementariojo plotelio ir jo svorio centro koordinatės x išraiškas į

integralą (7.4):

dyyh

h

byy

h

bdAyxI A

hhxy

3

2

2

323

h

h

hh

yyhh

bdyyhy

h

b 3

2

3

143

2

2323

32

2

2

4

1

9

2

2

3

2

2

4343

2

2

81

1

4

1

27

8

9

2

81

16

4

1

27

8

9

2

2hhhhhh

h

b

4

2

24444

2

2

972

27

2324

1

243

2

324

16

243

16

2h

h

bhhhh

h

b

.72

22 hb (7.25)

7.7 pvz.

B

A

x

dA=

dy

y

L

C

b/3 2

D

y

3b/

h/

23

3h

/

h

b

K

s

s.dy

7.14 pav.

b

x

B

A

DK

xC

CL

y

yd

y

h

dA= bh

( h-y)dy

b/2b/2

b/3 b/32

23

h/3

h/3

2

e

7.15 pav.

63

Skritulys (7.16 pav.). Išskirkime elementarųjį žiedą,

kurio plotas dA d . Įrašykime gautą išraišką į

integralą (7.5):

242 2

4

0

r

0

432 r

ddAIr

Ap

arba

.32

4dI p

(7.26)

Prisiminkime, kad I I Ip x y , taigi

.64

4dII yx

(7.27)

Skritulys turi be galo daug simetrijos ašių, taigi

.0xyI (7.28)

7.8 pvz., 7.1 lentelė

7.9. Sudėtingo skerspjūvio geometrinių rodiklių skaičiavimo algoritmas

Tarkime, turime skerspjūvį, suskaidytą į n elementariųjų figūrų (i1,2,...,n), (7.17 pav.).

Pirmiausia pasirenkamos pagalbinės ašys x0, y0 ir jų atžvilgiu nustatomos skerspjūvio svorio

centro koordinatės:

.

,

1

1,0

0,0

1

1,0

0,0

n

ii

n

icii

xc

n

ii

n

icii

yc

A

yA

A

Sy

A

xA

A

Sx

(7.29)

Gautos koordinatės tikrinamos:

.0

,0

ciiy

ciix

xAS

yAS (7.30)

Centriniai inercijos momentai skaičiuojami

naudojant (7.9) formules:

).(

),(

),(

1,

2

1,

2

1,

cicii

n

iixiyixy

cii

n

iiyiy

cii

n

iixix

yxAII

xAII

yAII

(7.31)

v

i

ix

x

u

y

0

0y,C

iy C

,C0

y yi

Cx

1C

i

0x ,C

C

0x

y0

C

x0

i

,C

n

0

Ci

7.17 pav.

d

y

x

d

r r

7.16 pav.

64

Jeigu skerspjūvis neturi bent vienos simetrijos ašies, tai, naudojant formulę (7.15), nustatomas

svarbiausiųjų ašių pasisukimo kampas , ir, naudojant formules (7.16), svarbiausieji inercijos

momentai Iu , Iv . Skaičiavimai patikrinami: .constIIII vuyx Pagaliau skaičiuojamos

labiausiai nuo u ir v ašių nutolusių taškų koordinatės (7.10) ir skerspjūvio atsparumo momentai

(7.19).

7.9 pvz.

Kontroliniai klausimai

7.1. Kaip apibrėžiama plokščiųjų figūrų

(pjūvių) geometrinių rodiklių sąvoka?

7.2. Užrašykite pjūvio statinių momentų

integralines išraiškas. Brėžinys.

7.3. Užrašykite pjūvio ašinių inercijos momentų

integralines išraiškas. Brėžinys.

7.4. Užrašykite pjūvio išcentrinio inercijos

momento integralinę išraišką. Brėžinys.

7.5. Užrašykite pjūvio polinio inercijos

momento integralinę išraišką. Brėžinys.

7.6. Koks yra pjūvio polinio ir ašinių inercijos

momentų ryšys, kai polius sutampa su

stačiakampės koordinačių sistemos

pradžia? Brėžinys.

7.7. Kokios ašys vadinamos centrinėmis?

7.8. Ką teigia atstojamosios momento

(Varinjono) teorema? Kaip ji pritaikoma

pjūvio svorio centro padėčiai nustatyti?

Brėžinys.

7.9. Užrašykite pjūvio svorio centro

koordinačių skaičiavimo formules.

7.10. Kam lygus pjūvio statinis momentas

simetrijos ašies atžvilgiu?

7.11. Kokios ašys vadinamos svarbiausiosiomis?

7.12. Paaiškinkite formules (brėžinys).

2sinsincos 22 xyyxx IIII ,

2sincossin 22 xyyxy IIII .

7.13. Ką teigia pjūvio ašinių inercijos momentų

invariantiškumo dėsnis? Formulė, brėžinys.

7.14. Paaiškinkite formulę:

.2

2 0IyIx

Itg

xy

7.15. Paaiškinkite formules:

,2sinsincos 002

02 xyyxu IIII

.2sincossin 002

02 xyyxv IIII

7.16. Kam lygus pjūvio išcentrinis inercijos

momentas svarbiausiųjų ašių atžvilgiu?

7.17. Kaip nustatomas pjūvio išcentrinio

inercijos momento ženklas? Brėžinys.

7.18. Jeigu pjūvio ašiniai inercijos momentai

simetrijos ašių atžvilgiu yra vienodi, tai

kokios ašys yra svarbiausiosios?

7.19. Kaip skaičiuojami pjūvio ašiniai ir

išcentrinis inercijos momentai ašių,

lygiagrečių centrinėms jo ašims, atžvilgiu?

Brėžinys.

7.20. Užrašykite pjūvio inercijos spindulių

formules.

7.21. Užrašykite pjūvio atsparumo momentų

formules.

7.22. Kuriam tikslui naudojamos šios formulės?

7.23. Kaip apibrėžiama elementariosios figūros

sąvoka?

7.24. Kam lygūs stačiakampio ploto inercijos

momentai savųjų centrinių ašių atžvilgiu?

Brėžinys, formulės.

7.25. Kam lygūs trikampio inercijos momentai

savųjų centrinių ašių atžvilgiu? Brėžinys,

formulės.

7.26. Kam lygūs skritulio inercijos momentai

savųjų centrinių ašių atžvilgiu? Brėžinys,

formulės.

7.27. Paaiškinkite formules.

,

1

1,0

,0

n

ii

n

icii

c

A

xA

x .

1

1,0

,0

n

ii

n

icii

c

A

yA

y

7.28. Paaiškinkite formulę:

n

iciiixix yAII

1

2, ).(

65

8. Kirpimas

8.1 Bendrosios žinios

8.1 tekstas

Kirpimas yra deformavimo tipas, apibūdinamas gretimų elemento pjūvių pasislinkimu vienas kito

atžvilgiu kryptimi, lygiagrečia kerpančių jėgų veikimo krypčiai (8.1 pav.). Anizotropinis sluoksninės

medžiagos kirpimas išilgai sluoksnių vadinamas skėlimu.

Kad kirpimo srityje atsirastų tik viena įrąža skersinė (kirpimo) jėga, atstumas tarp kerpančių

jėgų turi būti nykstamai mažas. Priešingu atveju gali atsirasti dar viena įrąža lenkimo momentas iš

esmės keičiantis kirpimo srities deformavimąsi (8.2 pav.).

8.2. Kirpimo jėga, tangentiniai įtempimai

Kirpimo jėga ( sQ ), kaip ir kitos

įrąžos, surandama iš pusiausvy-ros

lygčių. Šiuo atveju, ypač kai jungtis

sudėtinga, nėra paprasta išsiaiškinti,

kur, t.y. kuriose nagrinėjamos jungties

plokštumose, vyksta kirpimas. Todėl

pirmiausia patariama pasidaryti

suardytos (nukirptos, nuskeltos)

jungties brėžinį ir tik tada nagrinėti

vienos iš jungties dalių pusiausvyrą.

Pavyzdžiui, 8.3 pav. parodytų jungčių

kirpimo jėgos gaunamos suprojektavus

visas jėgas, veikiančias nagrinėjamas

jungčių dalis, į z ašį.

Kirpimo jėgos sukelia tan-

gentinius įtempimus. Tiksliai nustatyti

jų pasiskirstymo dėsnį kerpamajame

pjūvyje ( sA ) yra sudėtinga, todėl

priimama prielaida, kad jie visame

pjūvyje vienodi:

s

sm

A

Q . (8.1)

Kirpimo plokštuma

F

SQ

F

QS

zF

2

2

Kirpimo plokštuma

F F F z

SQ

SQ

2

2

FF

QS

Skėlimo plokštuma

F

QS

z

2

2

8.3 pav.

F z

F

v

8.1 pav. 8.2 pav.

66

Tokia prielaida ženkliai supaprastina skaičiavimus. Be to, projektuotojus labiausiai domina ne bet

koks deformavimo tarpsnis, o ribinis. Tokiu atveju, kai medžiaga plastinė, formulė (8.1) yra tiksli, nes

plastinio suirimo metu visame kerpamajame plote tangentiniai įtempimai išsilygina, t.y. pasidaro lygūs

takumo ribai: yAs

const .

8.3. Poslinkiai ir kampinės deformacijos

Tarkime, kad atstumas tarp kirpimo jėgų yra a (8.4 pav.).

Veikiant jėgoms, kirpimo sritis deformuosis, jos galiniai pjūviai

pasislinks vienas kito atžvilgiu. Pritaikius poslinkių mažumo principą

galima užrašyti, kad a

vtg )( arba

v a . (8.2)

Tai ir yra kirpimo geometrinė deformavimo lygtis.

Prisiminkime analogišką tempimo ir gniuždymo skyriaus formulę:

wl

dz . Atskiras jos atvejis, kai tN cons , tE cons , tA cons ,

visiškai atitinka formulę (8.2): w l .

8.4. Fizinė lygtis

Kirpimo jėgos ir kirpimo srities galinių pjūvių poslinkio ryšį,

t.y. priežasties ir pasekmės ryšį nustatyti yra sudėtinga. Todėl

atliekamas paprastesnis, bet taip pat su šlyties deformacijomis susijęs

bandymas plonasienio vamzdžio sukimas. Taip gauta minkštojo

anglinio plieno sukimo įtempimų diagrama pateikta 8.5 pav. Ji labai

panaši į 5 skyriuje aptartą tempimo įtempimų diagramą, t.y. ji turi

visus būdinguosius taškus. Ši diagrama parodo, kad kai apkrovos

nedidelės, galima taikyti Huko dėsnį:

G , (8.3)

čia G šlyties modulis (medžiagos tamprumo rodiklis).

Iš 8.5 pav. matyti, kad G tg

, be to, tamprumo teorijos

metodais įrodoma, kad y y1

3.

8.2 tekstas, 8.6 pav., 8.4 formulė

8.5. Jungčių skaičiavimas

Jungtį sudarantys elementai dažniausiai yra tempiami-gniuždomi, kerpami (skeliami) ir glemžiami

(8.7pav.).

Q

sQ

ysQ

a

s

Qs

v

z

8.4 pav.

8.5 pav.

67

Glemžimas yra deformavimo tipas, apibūdinamas vietinėmis deformacijomis, atsirandančiomis dėl

gniuždančios jėgos veikimo dviejų paviršių sąlyčio srityje. Glemžimas nuo gniuždymo skiriasi tuo , kad

sąlyčio sritį supanti medžiaga neleidžia gniuždymo deformacijoms laisvai plisti. Atsiranda triašis grynasis

gniuždymas, neskatinantis plyšių atsiradimo ir plitimo, sukeliančio medžiagos irimą. Todėl glemžimo

įtempimų atžvilgiu plieno projektinis stipris imamas daug didesnis už takumo ribą y .

Glemžimo įtempimai p sąlyčio srityje pasiskirsto sudėtingai.

Skaičiavimams supaprastinti tariama, kad jie visame

glemžiamajame plote pasiskirsto vienodai. Be to, vietoje tikrojo

glemžiamojo ploto imama jo projekcija ( pA ) į plokštumą,

statmeną glemžimo jėgai pF (8.8 pav.):

pp

p

F

A . (8.5)

Taigi skaičiuojant jungtis dažniausiai reikia naudoti tris

stiprumo sąlygas:

tempimo-gniuždymo max

N

AR , (8.6)

kirpimo (skėlimo) max Q

AR

s

ss , (8.7)

glemžimo pp

p

p RA

F

max , (8.8)

čia R R Rs p, , tempiamasis (gniuždomasis), kerpamasis ir

glemžiamasis projektiniai stipriai.

8.1, 8.2, 8.3 pvz.

a) b) c)

F

Tempiamasis

plotas

Glemžiamasis plotas

Kerpamasis paviršius

Kirpimas

Glemžimas

N

d

t

N2

N2

N

As

l

sA

NKerpamasis pjūvis

8.7 pav.

t

d

d

t

plotasglemžiamasis Skaičiuojamasis

Tikrasis glemžiamasis paviršius

8.8 pav.

68

8.6. Kirpimo jėgos darbas

Kirpimo metu jėga nueina kelią v (8.9 pav.). Jei

kirpimo sritis deformuojasi tampriai ir proporcingai

(8.10 pav.), tai kirpimo jėgos atliktas darbas

W F v 1

2. (8.9)

Kirpimo jėgos darbas niekur nedingsta, jis

susikaupia kirpimo srityje potencinės deformavimo

energijos pavidalu. Ji yra lygi darbui, kurį atlieka

vidinės jėgos (šiuo atveju kirpimo jėga sQ )

grąžindamos kirpimo sritį į pradinę (nedeformuotą)

būseną (8.11 pav.): aQE sp 2

1. Prisiminkime, kad

s

s

AG

aQa

, taigi

s

sp

AG

aQE

2

2

. (8.10)

Kirpimo srities tūris V A as . Taigi kirpimo

srityje sukaupta santykinė potencinė deformacijos

energija

GaAAG

aQ

V

Ee

ss

spp

22

22

(8.11)

arba, panaudojus Huko dėsnį,

ep 1

2 . (8.12)

Kontroliniai klausimai

8.1. Kas yra kirpimas? Brėžinys.

8.2. Kodėl atstumas tarp kirpimo jėgų turi būti

pakankamai mažas? Brėžinys.

8.3. Kaip skaičiuojami įtempimai kirpimo srityje?

Formulė.

8.4. Kokiame apkrovimo tarpsnyje kerpamo

elemento pjūvio plote įtempimai beveik

vienodi?

8.5. Kam lygi kerpamo elemento deformacija?

8.6. Nubraižykite sukamo plonasienio vamzdžio,

pagaminto iš anglinio plieno, sukimo

įtempimų diagramą.

8.7. Kam lygus kerpamo elemento galinių pjūvių

poslinkis vienas kito atžvilgiu? Formulė.

Brėžinys.

8.8. Užrašykite kirpimo stiprumo sąlygą.

8.9. Kas yra skėlimas?

8.10. Kas yra glemžimas?

8.11. Užrašykite glemžimo stiprumo sąlygą.

8.12. Kaip nustatomas glemžiamasis plotas?

FF

y

vz

v

F

8.9 pav. 8.10 pav.

y Qs

a

Qs

sQ

Qs

z

a

8.11 pav.

69

9. Sukimas

9.1. Bendrosios žinios

Sukimas yra deformavimo tipas, apibūdinamas

skerspjūvių pasisukimu strypo ašies atžvilgiu nuo sukimo

momento (9.1 pav.). Jis susijęs su kampinėmis deformacijomis

(žr. 8.1 poskyrį). Taip deformuojasi variklių ir staklių ašys,

erdvinių konstrukcijų elementai, cilindrinės mažo žingsnio

spyruoklės, spynos raktai ir t.t. Eksperimentiškai nustatyta, kad

sukamo elemento įtemptoji ir deformuotoji būsena priklauso

nuo skerspjūvio formos. Nagrinėsime tik tokius sukamus

elementus, kuriems galioja plokščių pjūvių hipotezė. Tai

plačiausiai technikoje vartojami skritulinio ir žiedinio

skerspjūvio strypai.

Sukami elementai vadinami velenais. Juos veikianti

apkrova paprastai išreiškiama perduodama velenu galia.

Tarkime, kad prie veleno yra pridėta jėgų pora M F df

(9.2 pav.). Šiai jėgų porai veikiant, veleno sluoksniai susišlies,

o pjūvis, kuriame ji yra pridėta, pasisuks kampu . Pjūviui

sukantis, kiekviena jėga atliks darbą, lygų jėgos F ir kelio

sandaugai. Abiejų jėgų atliktas darbas bus lygus:

W F s F r F d M f 2 2 . Prisiminkime, kad galia

yra lygi darbui, atliktam per laiko vienetą:

ff

Mt

M

t

WP . Taigi, kai žinoma velenu perduodama

galia ir veleno sukimosi greitis, veleną sukanti jėgų pora:

MP

f

, (9.1)

čia kampinis greitis.

Jeigu veleno sukimosi greitis yra duotas apsisukimais per

minutę n, tai

MP

nf

30

, (9.2)

nes

30

n .

9.1 tekstas

9.2. Sukimo momentas

Sukimo momentas savo skaitine reikšme lygus visų

išorinių jėgų, veikiančių tą strypo dalį, kuriai nepriklauso

nagrinėjamas strypo skerspjūvis, momentų strypo ašies atžvilgiu

sumai: jei išorinė jėga sukelia momentą, sukantį nagrinėjamą

skerspjūvį prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, tai jos

momentas sumuojamas su pliuso ženklu, jei pagal su minuso

ženklu (9.3 pav.; mN 1030404 T ).

x

z

y

M f

9.1 pav.

x

y

F

F

rr

d

s

9.2 pav.

y

z

x y

50

13 25 46

x

z

T4

N m N m30 N m40

N m4030N m

y

z

x y

50

13 25 46

x

z

T4

N m N m30 N m40

N m4030N m

9.3 pav.

70

Sudarant sukimo momentų diagramas, galima vadovautis tomis

pačiomis taisyklėmis, kaip ir sudarant ašinių jėgų diagramas, nes

ryšys tarp veleno įrąžų ir apkrovos ir ryšys tarp tempiamo-

gniuždomo strypo įrąžų ir apkrovos išreiškiamas tomis pačiomis

matematinėmis priklausomybėmis (9.4, 9.5 pav.):

fmdz

dT , (9.3)

jif TTM . (9.4)

9.2 tekstas, 9.6 pav., 9.1 pvz.

9.3. Tangentiniai įtempimai

Išvesdami skritulinio skerspjūvio veleno tangentinių įtempimų

formulę, naudosimės 3.8 poskyryje aprašyta metodika. Prisiminkime, kad

ji remiasi statikos, geometrinių deformavimo ir fizinių lygčių sudarymu.

S t a t i k o s i n t e g r a l i n ė l y g t i s (9.7 pav.).

A dAT . (9.5)

G e o m e t r i n ė l y g t i s . Sukant veleną, ant kurio paviršiaus

buvo nubraižytas stačiakampis tinklas, pastebėta, kad: a) tinklo

langeliai susišlieja, bet atstumas tarp skerspjūvių nesikeičia; b)

skerspjūvių kontūrai pasilieka apskriti ir plokšti; c) veleno ašis išlieka

tiesi. Šie reiškiniai apibūdina tik veleno paviršinių sluoksnių

deformavimąsi. Norėdami išspręsti uždavinį, turime priimti papildomą

prielaidą: spinduliai, mintyse išvesti bet kuriame skerspjūvyje, sukant

veleną, nesusikreivina (tai reiškia, kad visi reiškiniai, kurie vyksta veleno

paviršiuje, vyksta ir kituose veleno sluoksniuose).

Nagrinėsime elementarųjį veleno elementą (9.8 pav.). Nustatysime

ryšį tarp šlyties kampo ir skerspjūvio kampinio poslinkio .

Veikiant sukimo momentams, veleno ruožas dz susišlies, galiniai jo

skerspjūviai vienas kito atžvilgiu pasisuks kampu d. Ruožui taip

deformuojantis, taškas B užims naują padėtį fB . Lanko B fB ilgį galima

išreikšti dvejopai: )(tgdzBB f ir )( dtgrBB f . Sulyginę gautas

išraiškas ir įvertinę poslinkių mažumo principą ( )(tg , ddtg )( ),

gauname paviršinių veleno sluoksnių geometrinę lygtį: rdz

d .

Apibendrinę (žr. 9.8 pav.) gauname geometrinę lygtį bet kokiam veleno

sluoksniui:

dz

d . (9.6)

F i z i n ė l y g t i s .

G . (9.7)

T

y

z

x

dA

T

T

y

z

x

T

fB

dz

d

r

9.7 pav.

z

T

x

d

r

y

z

dz

T

x

T

T

dA

y

B

Bf

9.8 pav.

T

x y

zT+dT

dz

m =f

T

dz

z

x y

i

fM jT

const

9.4 pav.

T

x y

zT+dT

dz

m =f

T

dz

z

x y

i

fM jT

const

9.5 pav.

71

Sudarykime gautų lygčių sistemą:

(c) .

(b) ,

(a) ,

G

dz

d

dAA

(9.8)

Dabar belieka išspręsti šių lygčių sistemą tangentinių įtempimų atžvilgiu. Į lygtį (a) įrašykime

išraišką iš lygties (c) ir išraišką iš lygties (b): dAdz

dGdAGdAT A A A

.

Iškelkime prieš integralą dydžius, nepriklausančius nuo dA: dAdz

dGT A 2

. Bet A dA2 yra polinis

inercijos momentas, taigi dz

dIGT p

arba

pIG

T

dz

d

. (9.9)

Galiausiai, pasinaudoję ką tik nustatytu ryšiu tarp kampinio

poslinkio ir sukimo momento, gauname tangentinių įtempimų

pasiskirstymo veleno skrituliniame skerspjūvyje formulę:

pIG

TG

dz

dGG

,

pI

T . (9.10)

Formulė (9.10) rodo, kad tangentiniai įtempimai veleno

skrituliniame skerspjūvyje kinta tiesiškai (9.9 pav.): jie yra lygūs

nuliui ties veleno ašimi, o ekstreminę reikšmę įgyja paviršiniuose

sluoksniuose. Prisiminkime, kad pp

WI

max

, taigi

pW

Textr . (9.11)

9.2 pvz.

Skritulio skerspjūvio veleno stiprumo sąlyga turi tokį pavidalą:

)(admmax sp

RW

T , (9.12)

čia adm leistinieji tangentiniai įtempimai, sR kirpimo projektinis stipris.

9.3 pvz.

T

r

d

T

Ip

extrWp

T

9.9 pav.

72

9.4. Kampinės deformacijos ir kampiniai poslinkiai

Kai velenas yra sukamas, jo geometriniai matmenys nesikeičia.

Taigi linijinės deformacijos veleno ašies kryptimi ir linijinės

deformacijos skerspjūvio spindulio kryptimi yra lygios nuliui. Veleno

deformuotoji būsena apibūdinama tik kampinėmis deformacijomis

(9.10 pav.), kurios priklauso nuo tangentinių įtempimų. Kai apkrovos

nedidelės, šis ryšys yra tiesinis (prisiminkime Huko dėsnį): G .

Pasinaudojus lygtimis (9.6) ir (9.9), bet kurio sluoksnio deformaciją

galima išreikšti per sukimo momentą:

pIG

T

. (9.13)

Medžiagos šlyties modulio ir skerspjūvio polinio inercijos momento sandauga vadinama veleno

standžiu. Jis kiekybiškai įvertina veleno sugebėjimą priešintis deformuojamam apkrovų poveikiui.

Kartais patogiau deformuotąją veleno būseną aprašyti naudojant ne kampinę deformaciją, o

apibendrintąją deformaciją ruožo sąsūkį (prisiminkite tempiamo-gniuždomo strypo linijinę deformaciją

ir ruožo ilgio pokytį l). Veleno ruožo sąsūkis kampas, kuriuo susisuka ruožas (kampas, kuriuo

pasisuka vienas kito atžvilgiu galiniai ruožo skerspjūviai), gaunamas iš (9.9) lygties (imamas veleno

ruožo galinio ir pradinio skerspjūvių kampinių poslinkių skirtumas):

lp

dzIG

T , (9.14)

čia l ruožo ilgis.

Jei veleno ruože veikia pastovus sukimo momentas, jei velenas pagamintas iš vientisos vienalytės

medžiagos ir jei jis yra pastovaus skerspjūvio, tai

pIG

lT

. (9.15)

Velenui deformuojantis (jo ruožams susisukant), atskiri jo skerspjūviai pasisuka atskaitos sistemos

pradžios taško atžvilgiu. Grafikas, vaizduojantis naujas veleno skerspjūvių padėtis, vadinamas veleno

skerspjūvių kampinių poslinkių diagrama. Sudarant šią diagramą, pirmiausia skaičiuojami ruožo sąsūkiai,

nes bet kurio skerspjūvio kampinio poslinkio didumas priklauso nuo to, kiek susisuko ruožai, esantys

tarp jo ir koordinačių sistemos pradžios taško, kuris bendruoju atveju gali būti sutapdintas su bet

kuriuo skaičiuojamuoju skerspjūviu. Suskaičiavus šių ruožų sąsūkius, gaunamas kampinis poslinkis:

n

ii

1

, (9.16)

čia n ruožų, esančių tarp nagrinėjamo skerspjūvio ir pradinio skerspjūvio skaičius.

9.3 tekstas, 9.11 pav.

Standumo sąlygos. Dažniausiai yra apribojami veleno atitinkamų skerspjūvių kampiniai poslinkiai

u (9.17)

arba didžiausias veleno santykinis sąsūkis:

T

z

x y

T

9.10 pav.

73

upIG

T

max. (9.18)

čia u , u normomis nustatytas ribinis kampinis poslinkis ir ribinis santykinis sąsūkis.

9.4 pvz.

9.5. Išorinių jėgų darbas. Veleno potencinė deformavimo energija

Tarkime, kad prie veleno statiškai pridedama jėgų pora

fM (9.12 pav.). Jėgoms kintant nuo nulio iki galinės savo

reikšmės, velenas deformuosis (susisuks), o pjūvis, kuriame

veikia momentas, pasisuks kampu . Jeigu velenas tamprus ir

deformuojasi proporcingai, tai išorinių jėgų darbas

fMW2

1. (9.19)

Šis darbas niekur nedingsta, jis susikaupia deformuotame

velene potencinės deformavimo energijos pavidalu.

Išskirsime nagrinėjamame velene ilgio dz elementą

(9.13 pav.). Jame sukaupta potencinė deformavimo energija bus

lygi sukimo momento atliktam darbui, kurį jis atliks

deformuodamas elementą ir pasisukdamas kampu d:

dTdWdEp 2

1int . Bet dz

IG

Tdd

p )( , taigi

dzIG

TdE

pp

2

2

. (9.20)

Visame velene sukaupta potencinė deformavimo energija:

lp

p dzIG

TE

2

2

1. (9.21)

Jeigu velene veikia pastovus sukimo momentas ( constT ),

jeigu strypas pagamintas iš vienodos medžiagos ( constG ) ir

jeigu veleno skerspjūvis visame jo ilgyje yra vienodas

( constpI ), tai:

pp

IG

lTE

2

2

. (9.22)

9.5 pvz.

fM

y

z

x

l

d = d

dz

T

x

z

T

y

9.13 pav.

fM

y

z

x

l

d = d

dz

T

x

z

T

y

9.12 pav.

74

9.6. Sraigtinės cilindrinės mažo žingsnio spyruoklės

Nagrinėsime sraigtines cilindrines mažo žingsnio spyruokles, t.y. tokias spyruokles, kurių

sraigtinės linijos posvyrio kampas su plokštuma, statmena spyruoklės ašiai, yra mažas )36

(

. Esant

tokiam kampui laikoma, kad spyruoklės vijos guli šioje plokštumoje (9.14 pav.). Nustatysime spyruoklės

vijos skerspjūvyje veikiančias įrąžas. Tam tikslui perpjaukime spyruoklę į dvi dalis (9.15 pav.). Apatinės

dalies poveikį viršutinei daliai bendruoju atveju reikėtų pakeisti šešiomis įrąžomis, tačiau, užrašius visas

(šešias) pusiausvyros lygtis, nesunku įsitikinti, kad tik dvi iš jų skersinė jėga ir sukimo momentas

nelygios nuliui:

.2

;0

, ;0

DFTM

FQF

fc

v

(9.23)

Tiek nuo skersinės jėgos, tiek nuo sukimo momento atsiranda

tangentiniai įtempimai. Nuo skersinės jėgos atsiradę įtempimai visame

vijos skerspjūvyje pasiskirsto vienodai (9.16 pav.):

2

4)(

d

F

A

QQ

. (9.24)

Nuo sukimo momento atsiradę tangentiniai įtempimai skerspjūvyje

kinta tiesiškai: jie lygūs nuliui vijos ašyje, savo ekstreminę reikšmę

pasiekia paviršiniuose jos sluoksniuose (9.17 pav.):

33extr8

16

2

d

DF

d

DF

W

T

p

. (9.25)

Įtempimai nuo abiejų įrąžų sumuojasi vidiniuose vijos sluoksniuose

(taške K, 9.18 pav.):

32extr84

d

DF

d

F

. (9.26)

Paprastai įtempimai nuo skersinės jėgos yra maži palyginus juos

su įtempimais nuo sukimo momento, todėl skaičiuojant spyruokles jie

dažniausiai neįvertinami. Tada spyruoklės stiprumo sąlyga turi tokį

pavidalą:

adm3max

8

d

DF. (9.27)

F

FD

36

9.14pav.

D

Q

F

T

d

A

Q

d

T

Ip

d

K

d

9.15 pav.

D

Q

F

T

d

A

Q

d

T

Ip

d

K

d

D

Q

F

T

d

A

Q

d

T

Ip

d

K

d

D

Q

F

T

d

A

Q

d

T

Ip

d

K

d

9.16 pav. 9.17 pav. 9.18 pav.

75

Nustatysime spyruoklės, kurios ilgis l, žingsnis t, vijų skaičius n, skersmuo D, vielos skersmuo

d, šlyties modulis G, ilgio pokytį (9.19 pav.).

Veikiant išorinei jėgai F, spyruoklė deformuosis, ir ją deformuojanti jėga atliks darbą:

lFW 2

1. (9.28)

Įvertinus tik deformaciją nuo sukimo momento, galima užrašyti, kad spyruoklės deformacijos

potencinė energija:

p

vp

IG

lTE

2

2

. (9.29)

Sulyginę išorinės jėgos atliktą darbą ir spyruoklėje sukauptą potencinę deformavimo energiją bei

įvertinę, kad sukimo momentas 2

DFT , spyruoklės vielos ilgis nDlv , vielos skerspjūvio polinis

inercijos momentas 32

4dI p

, gauname spyruoklės ilgio pokytį:

ndG

DF

dG

nDD

F

IG

lTlF

p

v4

32

4

22

4

32

2

)2

(

2

2

1

,

4

38

dG

nDFl

(9.30)

arba

C

Fl . (9.31)

Čia nD

dGC

8

4

spyruoklės konstanta, apibūdinanti spyruoklės

standumą: kuo ji didesnė, tuo spyruoklė standesnė.

9.6 pvz.

9.7. Neapskritų velenų skaičiavimas

Neapskritų velenų skaičiavimas yra sudėtingas uždavinys,

nes velenui deformuojantis jo skerspjūviai susimėto (negalioja

plokščių pjūvių hipotezė). Tokių uždavinių tikslūs sprendiniai

gaunami taikant tamprumo teorijos metodus.

Aptarsime stačiakampio skerspjūvio velenus. Nustatyta, kad

juose maksimalūs tangentiniai įtempimai atsiranda ties ilgesniosios

skerspjūvio kraštinės viduriu. Šiek tiek mažesni įtempimai atsiranda

ties trumpesniosios kraštinės viduriu, o įtempimai stačiakampio

kampuose lygūs nuliui (9.20 pav.). Skaitinėms tangentinių įtempimų

reikšmėms gauti taip pat veleno sąsūkiui nustatyti naudojamos

empirinės formulės:

T

h > b

h

b

BA

C

Dy

x

D

F

F

d

t l+ l

l=n t

9.19 pav.

T

h > b

h

b

BA

C

Dy

x

D

F

F

d

t l+ l

l=n t

9.20 pav.

76

tba

W

T max , (9.32)

tdc

W

T max , (9.33)

tIG

lT

. (9.34)

Čia tW , tI sukimo atsparumo bei inercijos momentai: 3 bWt , 4 bIt (b trumpesnioji

stačiakampio kraštinė). Koeficientai , ir priklauso nuo stačiakampio ilgesniosios ir trumpesniosios

kraštinės santykio ir pateikiami lentelėse. Pavyzdžiui, “Aiškinamojo medžiagų atsparumo uždavinyno”

5.1 lentelėje (73 puslapyje).

9.7 pvz.

K o n t r o l i n i a i k l a u s i m a i

9.1. Užrašykite velenu perduodamos galios ir

momento ryšį.

9.2. Užrašykite kampinio greičio, išreikšto

radianais per sekundę, ir kampinio

greičio, išreikšto apsisukimais per minutę,

ryšį.

9.3. Kaip apskaičiuojamas momentas, kai

žinoma galia ir kampinis greitis, išreikštas

apsisukimais per minutę?

9.4. Kokia prielaida negalioja sukant

neapskrito pjūvio strypus?

9.5. Kokia papildoma prielaida priimama,

išvedant tangentinių įtempimų

pasiskirstymo veleno skrituliniame

skerspjūvyje formulę?

9.6. Užrašykite integralinę statikos lygtį,

susiejančią sukimo momentą su

tangentiniais įtempimais. Brėžinys.

9.7. Užrašykite geometrinę lygtį, susiejančią

kampinį poslinkį su kampine deformacija.

Brėžinys.

9.8. Užrašykite fizinę lygtį, naudojamą

skaičiuojant velenus.

9.9. Kaip pasiskirsto įtempimai veleno

skrituliniame skerspjūvyje?

9.10. Kaip jie apskaičiuojami?

9.11. Užrašykite skritulinio skerspjūvio veleno

stiprumo sąlygą.

9.12. Kas yra santykinis sąsūkis? Apibrėžimas,

formulė.

9.13. Kas yra veleno sąsūkis? Apibrėžimas,

formulė.

9.14. Kas yra veleno skerspjūvio kampinis

poslinkis? Apibrėžimas, formulė.

9.15. Užrašykite skritulinio skerspjūvio veleno

standį.

9.16. Kam lygi velene sukaupta deformacijos

potencinė energija?

9.17. Kaip pasiskirsto įtempimai veleno

stačiakampiame skerspjūvyje? Kuriame

taške jie didžiausi? Brėžinys.

9.18. Nuo ko priklauso stačiakampio skerspjūvio

veleno įtempimai ir deformacijos?

9.19. Paaiškinkite formules: 3bWt , 4bIt .

9.20. Paaiškinkite formulę:

max1 .

9.21. Kokios įrąžos atsiranda mažo žingsnio

sraigtinės cilindrinės spyruoklės vijos

skerspjūvyje?

9.22. Kam lygūs didžiausi absoliutiniu didumu

įtempimai mažo žingsnio sraigtinės

cilindrinės spyruoklės vijos skerspjūvyje?

9.23. Paaiškinkite formulę:

FdG

hDl

4

38 .

77

10. Lenkimas

10.1. Bendrosios žinios

Lenkimu vadinamas deformavimo tipas, apibūdinamas

strypo ašies išsikreivinimu nuo lenkimo momento. Skersinio

lenkimo atveju sijos ašies išsikreivinimo priežastis yra ir lenkimo

momentas, ir skersinė jėga (10.1 pav.).

10.1 tekstas, 10.2 pav.

Pagal įrąžas, veikiančias skerspjūvyje, lenkimas skirstomas į

grynąjį ir skersinį.

Lenkimas vadinamas grynuoju, kai sijos skerspjūvyje veikia tik

lenkimo momentas (10.3 pav.).

Lenkimas vadinamas skersiniu, kai sijos skerspjūvyje veikia ir

lenkimo momentas, ir skersinė jėga (10.4 pav.).

Pagal sijos ašies išsikreivinimo pobūdį lenkimas skirstomas į

plokščiąjį ir įstrižą.

Plokščiuoju arba paprastuoju vadinamas lenkimas, kai sijos ašis

išlinksta plokštumoje, sutampančioje su viena iš svarbiausiųjų

plokštumų, t.y. su plokštuma, einančia per sijos ašį ir vieną iš centrinių

svarbiausiųjų skerspjūvio ašių (10.5 pav.). Tokią sijos deformaciją

dažniausiai sukelia statmena sijos ašiai apkrova, veikianti vienoje iš

svarbiausiųjų sijos plokštumų.

Įstrižu vadinamas lenkimas, kai sijos ašis išlinksta plokštumoje,

nesutampančioje nė su viena iš svarbiausiųjų plokštumų (10.6 pav.).

Tokią sijos deformaciją sukelia statmena sijos ašiai apkrova, veikianti

plokštumoje, kertančioje sijos ašį, bet nesutampančioje nė su viena iš

svarbiausiųjų plokštumų.

10.2 tekstas

Lenkimas yra sudėtingas deformavimo tipas. Lenkiamo elemento įtemptąją-deformuotąją būseną

apibūdinančių dydžių (įrąžų, įtempimų, deformacijų ir poslinkių) nustatymo metodai yra daug sudėtingesni

negu tempiamuose-gniuždomuose, kerpamuose ar sukamuose elementuose. Todėl lenkimo skyrius

tradiciškai dalijamas į dvi dalis: pirmoje dalyje aptariami bendrieji dalykai ir nagrinėjamas sijos stiprumas,

antroje dalyje nagrinėjami sijos standumo klausimai. Panašiai padalintas lenkimo skyrius ir šiame

konspekte: toliau pateikiami įrąžų ir įtempimų nustatymo metodai, o deformacijos ir poslinkiai nagrinėjami

11 skyriuje.

10.1 pav.

10.3 pav.

10.4 pav.

y

z

xM

x

y

Q

y

z

xM

x

y

Q

Q y

Mx

10.5 pav. 10.6 pav.

78

10.2. Plokščiojo lenkimo įrąžos

Plokščiojo lenkimo atveju sijos skerspjūviuose veikia tiek skersinės jėgos, tiek lenkimo momentai.

Siekiant geriau suvokti sijos deformavimąsi, rasti pavojingus skerspjūvius, numatyti optimizavimo būdus,

sudaromos šių įrąžų diagramos, t.y. funkcijų Q f g F ( , ) ir ),,( fMFgfM grafikai, vaizduojantys

atitinkamai skersinės jėgos ir lenkimo momento kitimą išilgai sijos ašies. Prieš aptardami įrąžų diagramų

sudarymo etapus, nustatysime sijos įrąžų ir apkrovos ryšį, išsiaiškinsime, kaip randami ekstreminiai lenkimo

momentai, kaip brėžiamos parabolės.

Bendruoju atveju tiek siją (jos ruožą) veikianti išskirstytoji apkrova, tiek atsiradusios sijoje įrąžos yra

aplikatės funkcijos (10.7 pav.). Ryšį tarp šių tolydinių funkcijų nustatysime nagrinėdami sijos elementariojo

elemento pusiausvyrą. Laikysime, kad nykstamai trumpame ruože dz išskirstytoji apkrova yra pastovi (10.8

pav.):

;0yF

0 dQQdzgQ ,

dQ

dzg . (10.1)

;0fbM

02

1 dMMdzdzgdzQM ,

dM

dzQ , (10.2)

nes narys g dz dz 1

2 yra antros eilės mažybė.

Taigi skersinės jėgos išvestinė skerspjūvio aplikatės atžvilgiu

lygi siją veikiančiai išskirstytai apkrovai, o lenkimo momento

išvestinė skerspjūvio aplikatės atžvilgiu lygi skersinei jėgai. Iš šių

diferencialinių lygčių gauname, kad lenkimo momento antroji

išvestinė skerspjūvio aplikatės atžvilgiu lygi siją veikiančiai

išskirstytai apkrovai:

d M

dzg

2

2 . (10.3)

Lygtys (10.1), (10.2) ir (10.3) gali būti naudojamos sijos įrąžoms

skaičiuoti. Tarkime, kad skersinė jėga ( Q0 ) ir lenkimo momentas

( M 0 ) sijos pradiniame skerspjūvyje yra žinomi (šios įrąžos

nustatomos iš kraštinių sąlygų). Tada

Q g dz Q 0 , (10.4)

M Q dz M 0 (10.5)

arba

00 MzQdzdzgM . (10.6)

Integralų išraiška, o kartu skersinės jėgos ir lenkimo momento kitimo dėsniai priklauso nuo

išskirstytos apkrovos kitimo dėsnio. Aptarkime du dažniausiai pasitaikančius išskirstytosios apkrovos

atvejus:

z

z

M= (z)

Q= (z)

g=f(z)

y

dz

z

10.7 pav.

QM

Q+dQ

dz

B

y

M+dMz

constg=

10.8 pav.

79

1. Ruožas neapkrautas išskirstytąja apkrova (g=0, 10.9 pav.);

tada

Q Q 0 const (ruože skersinė jėga yra pastovi),

M Q z Mz 0 (ruože lenkimo momentas kinta tiesiškai).

Pasitaiko, kad neapkrautame ruože ir skersinė jėga lygi

nuliui (10.10 pav.), tada

M M 0 const (ruože lenkimo momentas yra pastovus).

2. Ruože veikia vienodai išskirstyta apkrova ( g const ,

10.11 pav.); tada

Q g z Q 0 (ruože skersinė jėga kinta tiesiškai),

Mg z

Q z M

2

0 02

(ruože lenkimo momentas kinta

kvadratiniu dėsniu).

Lygtys (10.4), (10.5) ir (10.6) galioja tik ruožams,

kuriuose išskirstytoji apkrova (kartu ir sijos įrąžos) kinta

tolydiškai. Tokius ruožus vieną nuo kito skiria skerspjūviai,

kuriuose keičiasi išskirstytos apkrovos kitimo dėsnis, taip pat

mazgai, kuriuose pridėta jėga arba momentas.

10.1 pvz.

Siekdami išsiaiškinti, kaip kinta įrąžos mazguose,

panagrinėkime mazgų pusiausvyrą:

1) mazgas, kuriame veikia jėga (10.12 pav.):

Fy 0 ;

Q F Qi j 0 ,

Q Q Fj i .

M fb 0 ;

M Q z z F z z Mi i j i j j( ) ( ) 0 ,

kai tai z z z M Mi j i j , .

Išvada: pereinant per mazgą, kuriame veikia jėga,

skersinė jėga pasikeičia didumu, lygiu mazge veikiančios

jėgos didumui, o lenkimo momentas lieka toks pats; 2) mazgas, kuriame veikia momentas (10.13 pav.):

Fy 0 ;

Q Qi j 0 ,

Q Qj i .

M fb 0 ; M Q z z M Mi i j i f j( ) 0 ,

kai tai z z z M M Mi j j i f , .

Išvada: pereinant per mazgą, kuriame veikia momentas,

skersinė jėga lieka tokia pati, o lenkimo momentas pasikeičia

didumu, lygiu mazge veikiančio momento didumui.

jiM M

z

jz

izy

j

z

Q

Qi

F

B

10.12 pav.

Mi Mj

zzj

ijQ

z

z

y

f

Qi

M

B

10.13 pav.

10.9 pav.

10.10 pav.

10.11 pav.

+M0

80

Projektuotojus dažniausiai domina ne bet

kokios, bet ekstreminės įrąžos. Tuo atveju, kai ruožas

yra apkrautas išskirstytąja apkrova, ekstreminis

lenkimo momentas gali veikti ne ruožo galiniuose

skerspjūviuose, bet kuriame nors kitame jo

skerspjūvyje. Tokio skerspjūvio vieta nustatoma,

remiantis matematiniu metodu funkcijos ekstremumui

skaičiuoti: jeigu diferencijuojamos funkcijos išvestinė

kuriame nors taške lygi nuliui, tai šiame taške

duotoji funkcija turi ekstremumą. Prisiminkime, kad dM

dzQ , taigi ekstreminis lenkimo momentas veiks

tame ruožo skerspjūvyje, kuriame skersinė jėga lygi

nuliui.

Kai ruožas yra apkrautas vienodai išskirstyta

apkrova, lenkimo momentų diagrama yra kvadratinė

parabolė. Parabolei išbrėžti reikia mažiausiai trijų

taškų. Du taškai gaunami atidėjus ruožo galinių

skerspjūvių lenkimo momentų reikšmes. Trečiasis

taškas, t.y. taškas, kuriame susikerta lenkimo

momentų diagramos galiniuose taškuose nubrėžtos

liestinės, nustatomos dvejopai. Pirmuoju atveju

naudojama formulė:

MM M g l

i ji j

/

2 4

2

, (10.7)

čia indeksas i j/ žymi i-j ruožo vidurinįjį skerspjūvį

(10.14 pav.).

Antruoju atveju vienodai išskirstyta apkrova

pakeičiama atstojamąja, veikiančia viduriniajame ruožo

skerspjūvyje, ir skaičiuojamas šiame skerspjūvyje

veikiantis lenkimo momentas (10.15 pav.):

M M Ql

i j i i/ 2

. (10.8)

Parabolės liestinių susikirtimo tašką atitinkantis

lenkimo momentas M i j/ vadinamas ruožo tariamuoju

lenkimo momentu (tai lenkimo momentas, kuris

veiktų viduriniajame ruožo skerspjūvyje, jei vienodai

išskirstyta apkrova būtų pakeista atstojamąja).

Sudarant lenkimo momentų diagramas ir siekiant išvengti klaidų (ypač mazguose, pereinant iš

vienos parabolės į kitą arba iš tiesės į parabolę, ir atvirkščiai), pirmiausia reikia sudaryti lenkimo

momentų diagramą tariamam sijos apkrovimo atvejui, t.y. kai sijos ruožuose veikiančios vienodai

išskirstytos apkrovos yra pakeistos atstojamosiomis. Po to kiekvieno tokio ruožo liestines (gautas

sujungus galinius lenkimo momentus su tariamuoju lenkimo momentu) sudalyti į lygų skaičių lygių

dalių ir dalijimo taškus nuosekliai sujungti tiesėmis. Pagaliau per gautų atkarpų vidurius įbrėžti

parabolę (10.14, 10.15 pav.). Akivaizdu, kad kuo daugiau yra dalijimo taškų, tuo parabolė tikslesnė.

Dabar yra pakankamai teorinių žinių, kad būtų galima sudaryti bet kaip apkrautos sijos

įrąžų diagramas. Dažniausiai naudojamas toks sijos įrąžų diagramos sudarymo algoritmas: 1) skaičiuojami (jeigu reikia) atraminių reakcijų komponentai, skaičiavimo rezultatai patikrinami;

gl2

Mi

2

z

4

i j

M

/2l /2l

constg=

Mj

Mi/j

1

2

31

2

3

i/jM

jMMi

10.14 pav.

jiz

12

2

1Mi

i/jM

3

3

jM

iM

Mi/j

Q l2i

Q

Qi

j

Qgl

constg=

l/2 2/l

M

10.15 pav.

81

2) sužymimi skaičiuojamieji skerspjūviai, t.y. skerspjūviai, kuriuose keičiasi įrąžos didumas arba

jos kitimo dėsnis; tai skerspjūviai ties atramomis ir laisvaisiais sijos galais, skerspjūviai iš abiejų

jėgos arba momento pridėties taško pusių ir skerspjūviai ties išskirstytos apkrovos pradžios ir

pabaigos taškais;

3) pjūvio metodu (žr. 3.3 poskyrį) skaičiuojamuosiuose skerspjūviuose apskaičiuojamos skersinės

jėgos ir lenkimo momentai;

4) apskaičiuotos skersinių jėgų ir lenkimo momentų reikšmės pasirinktu masteliu atidedamos

atitinkamose sijos ašyse;

5) gauti atkarpų galai sujungiami, remiantis integraliniu įrąžų ir išskirstytosios apkrovos ryšiu;

6) diagramos užbrūkšniuojamos ir užrašomi masteliai (skaičiai, rodantys kiek skersinės jėgos ar

lenkimo momentų vienetų atidėta brėžinio ilgio vienete, pvz., 10 kN/cm, 50 kNm/cm);

7) sudarytos diagramos patikrinamos.

10.2 pvz.

Kartais tenka spręsti atvirkštinį uždavinį, t.y. žinant lenkimo momentų diagramą, sudaryti

skersinių jėgų diagramą ir sijos apkrovimo schemą. Toks uždavinys, remiantis anksčiau išdėstyta

medžiaga, sprendžiamas trimis etapais:

1) lenkimo momentų diagramai ties skaičiuojamaisiais skerspjūviais nubraižomos liestinės ir

apskaičiuojami jų krypties koeficientai ( tg QM M

z z

j i

j i

); taip gaunama skersinių jėgų diagrama;

2) skersinių jėgų diagramai ties skaičiuojamaisiais skerspjūviais nubraižomos liestinės ir

apskaičiuojami jų krypties koeficientai ( tg gQ Q

z z

j i

j i

); taip gaunamos sijos ruožuose

veikiančios vienodai išskirstytos apkrovos;

3) iš mazgų pusiausvyros sąlygų nustatomi mazguose pridėti momentai ir jėgos ( M M Mf i j ,

F Q Qi j ).

10.3 pvz.

10.3 Grynojo lenkimo normaliniai įtempimai

Siekdami gauti normalinių įtempimų

pasiskirstymo sijos skerspjūvyje formulę, naudosime 3.8

poskyryje aprašytą metodiką.

S t a t i k o s i n t e g r a l i n ė s l y g t y s .

Grynojo lenkimo atveju skerspjūvyje veikia tik

normaliniai įtempimai, lygiagretūs z ašiai (10.16 pav.).

Todėl iš šešių statikos integralinių lygčių (3.4) lieka

tik trys:

N dA

M x dA

M y dA

A

yA

xA

,

,

.

(10.9)

Užrašę atpjautai sijos daliai (žr. 10.16 pav.) tris

pusiausvyros lygtis ( Fz 0 , M fy 0 , M fx 0 ),

Mf fM

xy

z

z

fM

x y

z

xy

z

10.16 pav.

82

susiesime sijos skerspjūvyje veikiančias įrąžas su apkrova:

N dA

M x dA

M y dA M

A

yA

x fA

0

0

,

,

.

(10.10)

G e o m e t r i n ė d e f o r m a v i m o l y g t i s . Grynojo lenkimo atveju sija išlinksta

apskritimo lanku. Viename jos krašte sluoksniai pailgėja, kitame sutrumpėja, o vertikalios linijos

išlieka tiesios. Sluoksnis, kurio ilgis nepasikeičia, vadinamas neutraliuoju. Plokštumai, kurioje guli

neutralusis sluoksnis, susikirtus su skerspjūvio plokštuma, gaunama neutralioji linija (10.17 pav.).

Nustatysime ryšį tarp sijos ašies

kreivio (

1

, neutraliojo

sluoksnio kreivio spindulys) ir bet kurio

sijos sluoksnio linijinės deformacijos .

Tam tikslui išskirkime elementarųjį sijos

elementą ir panagrinėkime jo sluoksnio

CD, nutolusio atstumu y nuo neutraliojo

sluoksnio AB, linijines deformacijas

(10.18 pav.). Akivaizdu, kad sluoksnio

CD deformacija

C D CD

CD

C D dz

dz

f f f f. Panaudojus

poslinkių mažumo principą, galima

užrašyti, kad tg ddz

d( )

arba

ddz . Analogiškai gauname, kad

C D y df f ( ) . Dabar galima

išreikšti deformaciją per sijos

ašies kreivio spindulį

y d d

d

y d

dy

( ) 1

arba per sijos ašies kreivį:

y . (10.11)

F i z i n ė l y g t i s :

E . (10.12)

Dabar belieka išspręsti gautų lygčių sistemą. Į (10.12) lygtį įrašykime linijinės deformacijos

išraišką (10.11):

E E y . (10.13)

Spręskime pirmąją sistemos (10.10) lygtį: N E y dAA

0 . Bet skerspjūvyje E const ,

taigi A

nlSEdAyE 0 . Kadangi E 0 , tai Snl 0 . Gavome, kad neutraliosios linijos

MxxM

x

z

y

Neutralusissluoksnis

linijaNeutralioji

10.17 pav.

dz

y

NL.

D

y

C Cf

A y Az f

dz

y

Df

Bf

d

y

10.18 pav.

83

atžvilgiu skerspjūvio statinis momentas lygus nuliui. Taigi neutralioji linija kartu yra ir centrinė

skerspjūvio ašis.

Spręskime antrąją sistemos (10.10) lygtį: 0 A xyA

y IEdAyxEdAyxEM .

Kadangi E 0 , tai I xy 0 . Gavome, kad skerspjūvio išcentrinis inercijos momentas lygus nuliui.

Taigi ašys x ir y yra ne tik centrinės, bet ir svarbiausiosios skerspjūvio ašys.

Spręskime trečiąją sistemos (10.10) lygtį:

xAAx IEdAyEdAyEM 22 ,

M

EI

x

x

, (10.14)

Į (10.13) lygtį įstatę sijos ašies kreivio išraišką (10.14), gausime normalinių įtempimų

pasiskirstymo sijos skerspjūvyje formulę:

M

Iyx

x

. (10.15)

Čia: M x nagrinėjamo skerspjūvio lenkimo momentas, I x skerspjūvio ašinis inercijos momentas

neutraliosios linijos atžvilgiu, y taško, kuriame skaičiuojamas įtempimas, atstumas nuo neutraliosios

linijos.

Iš (10.15) formulės matyti, kad normaliniai įtempimai sijos skerspjūvyje pasiskirsto tiesės

dėsniu: jie lygūs nuliui ties neutraliąja linija, didžiausi kraštiniuose sluoksniuose (10.19 pav.).

Dažniausiai projektuotojus domina didžiausių normalinių

įtempimų absoliutinis didumas. Todėl sijos stiprumo sąlyga

normalinių įtempimų atžvilgiu turi tokį pavidalą:

max M

WR

x

x, (10.16)

čia WI

yx

x

max

.

Formulė (10.15) išvesta grynojo lenkimo atvejui.

Pasirodo, kad, esant skersiniam lenkimui, skaičiavimo

paklaida, naudojant šią formulę, yra nedidelė. Todėl ji

praktiškai naudojama visiems lenkimo uždaviniams spręsti.

10.4, 10.5 pvz.

11.4. Sijos tangentiniai įtempimai

Tangentinių įtempimų pasiskirstymo sijos aukštyje dėsnis nustatomas remiantis Žuravskio

prielaida, pagal kurią tangentiniai įtempimai sijos skerspjūvio plotyje pasiskirsto vienodai, o jų

veikimo kryptis sutampa su skersinės jėgos veikimo kryptimi (iš tikrųjų tangentinių įtempimų

pasiskirstymas sijos plotyje ir jų veikimo kryptis priklauso nuo skerspjūvio formos). Žuravskio

prielaida geriausiai tinka siauriems ir aukštiems skerspjūviams. Esant sudėtingai skerspjūvio formai

(pvz., dvitėjui), tangentiniams įtempimams nustatyti taikoma speciali metodika.

Iš sijos (10.20 pav.) išskirkime elementarųjį elementą. Pjūviu, nutolusiu atstumu y nuo

neutralios linijos (ašies x), atpjaukime apatinę elemento dalį, kurios skerspjūvio plotas (10.21 pav.).

y

0

x z

xM

z

y

0xM

x z z

10.19 pav.

84

Kairiame pjūvyje veiks tangentiniai įtempimai xy ir normaliniai įtempimai , dešiniame pjūvyje

atitinkamai zy ir ( d ). Horizontaliame pjūvyje dėl tangentinių įtempimų dualumo veiks

tangentiniai įtempimai yz zy , o normaliniai įtempimai bus lygūs nuliui, nes vertikalia kryptimi

sluoksniai vienas kito nespaudžia (galioja poslinkių mažumo principas).

Atpjautam elementui (11.22 pav.) užrašykime pusiausvyros lygtį Fz 0 :

0dAddAbdzyz ,

,xx

x

x

x

x

xyz S

I

dMydA

I

dMydA

I

dMdAdbdz ,

.,

bIdz

SdM

x

xxzyyz

Bet yx Q

dz

dM , taigi

bI

SQ

x

xyzy

,.

Turėdami galvoje, kad tangentinių įtempimų

ženklas priklauso tik nuo skersinės jėgos ženklo,

gauname tokią galutinę formulę:

bI

SQ

x

xyzy

, (10.17)

čia: zy tangentinis įtempimas, veikiantis xy

plokštumoje y ašies kryptimi, Qy skersinė jėga,

veikianti y ašies kryptimi, SX skerspjūvio dalies,

esančios į vieną pusę nuo tiesės, nubrėžtos per

nagrinėjamąjį tašką lygiagrečiai neutraliajai linijai,

statinis momentas neutraliosios ašies (x) atžvilgiu,

b materialusis skerspjūvio ties nagrinėjamuoju tašku

plotis, matuojamas kryptimi, lygiagrečia neutraliajai

linijai.

10.6 pvz.

F

z dz

dz dzb

x

yy

dA

M+dM

Q

M

y

z

yz

zy

+d11

Q

10.20 pav. 10.21 pav.

dzyz d+

b

10.22 pav.

85

Iš formulės (10.17) matyti, kad tangentinių įtempimų pasiskirstymo sijos aukštyje dėsnis

priklauso nuo santykio S

b

x. Aptarsime, kaip pasiskirsto tangentiniai įtempimai įvairių formų

skerspjūviuose.

Stačiakampis (10.23 pav.). Stačiakampiame skerspjūvyje tangentiniai įtempimai kinta

kvadratiniu dėsniu, didžiausią reikšmę įgydami ties neutraliąja linija.

Skritulys (10.24 pav.). Šiuo atveju tangentinių įtempimų kryptis nesutampa su skersinės jėgos

veikimo kryptimi. Daroma papildoma prielaida, kurioje sakoma, kad tangentinių įtempimų vertikalios

projekcijos skritulio plotyje pasiskirsto vienodai. Priėmus tokią prielaidą, vertikalios tangentinių

įtempimų projekcijos apskaičiuojamos taikant Žuravskio formulę.

Dvitėjis (10.25 pav.). Dvitėjui tangentiniai

įtempimai skaičiuojami atskirai sienutei ir

lentynoms. Sienutėje veikiantys tangentiniai

įtempimai apskaičiuojami pagal Žuravskio formulę,

ir jie yra lygiagretūs skersinės jėgos veikimo

krypčiai.

Lentynose atsiranda dviejų krypčių tangentiniai

įtempimai: zy ir zx . Pirmieji yra nedideli, be to,

jų nustatymas yra sudėtingas, nes negalioja

Žuravskio formulė, todėl jie neskaičiuojami.

Tangentiniai įtempimai zx apskaičiuojami pagal

Žuravskio formulę darant prielaidą, kad jie

lentynos aukštyje pasiskirsto vienodai:

tI

SQ

x

wxyzx

, , (10.18)

čia S x th t

x w,

atpjautos lentynėlės

skerspjūvio statinis momentas neutralios ašies

atžvilgiu (10.26 pav.).

Taigi tangentiniai įtempimai lentynose kinta

tiesės dėsniu; nuo nulio lentynėlės krašte (x=0) iki

ekstreminės reikšmės ties susikirtimu su sienute.

10.23 pav. 10.24 pav.

10.25 pav.

hz

t

2

x

dz

t

x

dzy

y

zx

xz

10.26 pav.

86

Srities, kurioje susikerta lentyna su sienute, įtemptoji būsena yra sudėtinga. Joje veikiantiems

įtempimams apskaičiuoti nepakanka elementarių medžiagų mechanikos mokslo žinių.

10.5. Sijos skaičiavimas

Sija gali suirti dėl didžiausių normalinių, dėl didžiausių tangentinių įtempimų arba dėl

kompleksinio normalinių ir tangentinių įtempimų poveikio.

Normalinių įtempimų atžvilgiu pavojingas tas sijos skerspjūvis, kuriame veikia didžiausias

lenkimo momentas. Šiame skerspjūvyje pavojingiausi yra taškai, labiausiai nutolę nuo neutraliosios

linijos. Normaliniai įtempimai pavojinguose taškuose turi tenkinti tokią stiprumo sąlygą:

RW

M max

max . (10.19)

Tangentinių įtempimų atžvilgiu pavojingas tas skerspjūvis, kuriame veikia didžiausia skersinė

jėga. Šiame pjūvyje pavojingiausi dažniausiai yra taškai ties neutraliąja linija. Tangentiniai įtempimai

pavojinguose taškuose turi tenkinti tokią stiprumo sąlygą:

sx

xyR

bI

SQ

maxmaxmax

. (10.20)

Kompleksinio normalinių ir tangentinių įtempimų poveikio atžvilgiu pavojingas tas skerspjūvis,

kuriame abiejų įrąžų (M ir Q) reikšmės yra pakankamai didelės, pvz., skerspjūviai 2 ir 5, žr. 10.27

pav. Jeigu tokių įtartinų skerspjūvių yra keletas, reikia tikrinti kiekvieną iš jų. Šiuose skerspjūviuose

pavojingiausi yra taškai, kuriuose įtempimų reikšmė, apskaičiuota priklausomai nuo pasirinktos

stiprumo hipotezės, yra didžiausia, pvz., taškai A ir B, žr. 10.28 pav. Toks kompleksinis normalinių

ir tangentinių įtempimų poveikis dažnai pavojingas plonasienio profilio sijose. Čia pavojinga šių

įtempimų kombinacija veikia sienutėje ties jos sandūra su lentyna (žr. 10.28 pav.). Ji turi tenkinti

stiprumo sąlygą:

det R , (11.21)

čia det skaičiuojamieji įtempimai.

Stiprumo sąlyga, naudojant trečiąją stiprumo teoriją, turi tokį pavidalą:

det 2 24 R . (10.22)

1 2 3 4 5 6

3

4 4

5

3

5

6 5

2F

F F

F

FF

F

F F

l

Q

M

l l

F3

F5F

10.27 pav. 10.28 pav.

87

Praktiniai skaičiavimai rodo, kad dažniausiai naudojamose gana ilgose sijose lemiamą reikšmę

turi normaliniai įtempimai, todėl labai dažnai sijos skaičiuojamos naudojant tik (10.19) stiprumo

sąlygą.

10.7 pvz.

10.6. Racionali sijos skerspjūvio forma. Kintamo skerspjūvio sijos

Sija laikoma racionali, kai ji tenkina stiprumo sąlygą, esant minimaliam jos svoriui. Mažinti

sijos svorį galima dviem būdais: pirma, keičiant skerspjūvio formą, antra, keičiant skerspjūvio

matmenis.

Iš formulės RW

M

max matyti, kad esant pastoviam plotui skerspjūvio forma yra tuo

geresnė, kuo didesnis skerspjūvio atsparumo momentas. Prisiminkime, kad WI

yx

x

max

, I y dFxA

2 .

Taigi, esant pastoviam aukščiui, atsparumo momentas yra didesnis to skerspjūvio, kurio plotas

sutelktas kraštiniuose skerspjūvio sluoksniuose. Idealizuotas tokio skerspjūvio variantas vadinamas

idealiuoju skerspjūviu (10.29a pav.).

Iš realių skerspjūvių racionaliausias

yra dvitėjinis skerspjūvis (10.29b

pav.), jeigu medžiaga nevienodai

stipri tempimui ir gniuždymui (pvz.,

gelžbetonis) tėjinis skerspjūvis

(10.29c pav.), medinės sijos

dažniausiai daromos stačiakampio

skerspjūvio (10.29d pav.). Kitų

skerspjūvių (skritulys, kryžius) forma

neracionali, ir todėl jie sijoms

gaminti paprastai nenaudojami

(10.29e,f pav.).

Aptarsime sijos optimizavimą, keičiant jos skerspjūvio matmenis.

Pastovaus skerspjūvio sijose medžiaga visiškai išnaudojama tik tame skerspjūvyje, kuriame

veikia maksimalus lenkimo momentas. Visuose kituose skerspjūviuose normaliniai įtempimai yra

mažesni už projektinį stiprį. Keičiant sijos skerspjūvio matmenis galima pasiekti, kad bet kuriame

jos skerspjūvyje didžiausi absoliutiniu didumu normaliniai įtempimai būtų lygūs projektiniam stipriui.

Tokios sijos vadinamos vienodo stiprumo sijomis.

Išnagrinėsime, kaip keičiasi skerspjūvis gembinės vienodo stiprumo sijos, laisvajame gale

apkrautos jėga F. Sijos skerspjūvio kitimo lygtį gausime prilyginę absoliutiniu didumu didžiausius

normalinius įtempimus, veikiančius bet kuriame sijos skerspjūvyje, projektiniam stipriui:

Rzw

zMz

)(

)()(

max . Gavome, kad vienodo stiprumo sijos skerspjūvio atsparumo momentas turi

kisti tokiu pačiu dėsniu, kaip ir lenkimo momentas:

.)(

)(R

zMzw (10.23)

Nagrinėkime stačiakampio skerspjūvio sijos du variantus. Tarkime, kad sijos skerspjūvio aukštis

yra pastovus; nustatykime, kaip turi kisti skerspjūvio plotis, kad bet kuriame sijos skerspjūvyje

normaliniai įtempimai absoliutiniu didumu būtų lygūs projektiniam stipriui, t.y. kad būtų tenkinama

(10.23) lygtis (10.30 pav.).

a) b) c) d) e) f)

x

y

x

x x x x

y y y yy

10.29 pav.

88

Tam tikslui išreikškime atsparumo momentą per skerspjūvio matmenis b ir h, o užrašę

pusiausvyros lygtį, lenkimo momentą per jėgą F. Įrašykime gautas išraiškas į (10.23) lygtį,

išspręskime ją kraštinės b atžvilgiu:

,)()(

)(2

R

zF

R

zMhzbzw

.)(2

zhR

Fzb

(10.24)

Gavome, kad sijos skerspjūvio plotis kinta tiesiškai (10.31 pav.).

Dabar išspręskime kitą variantą: sijos skerspjūvio plotis pastovus, kinta jo aukštis (10.32 pav.):

,)()(

)(2

R

zF

R

zMzhbzw

.)( zbR

Fzh

(10.25)

Gavome antros eilės kreivės lygtį (10.33 pav.).

10.3 tekstas

F

l

z

y z

x

yb

h =const

.

10.30 pav. 10.31 pav.

const

h

by

x

zy

z

l

F

=

10.32 pav. 10.33 pav.

89

10.7. Lenkimo centras

Lenkiant siją, kai jėgų veikimo plokštuma sutampa su sijos svarbiausiąja plokštuma (zx arba

zy), kuri nėra jos simetrijos plokštuma, sija ne tik išlinksta bet ir susisuka, (pvz., lovinio profilio

sija, 10.34 pav.).

Jėgą pamažu perkeliant į lovio sienelės pusę galima rasti tokią jėgos padėtį (tašką Ce ) ,

kuriame pridėjus jėgą sija tik išlinks, bet nesusisuks. Šis taškas vadinamas lenkimo centru. Jo

padėtis nustatoma nagrinėjant tangentinius įtempimus sijos skerspjūvyje (10.35 pav.).

Sienelėje veikiančių įtempimų atstojamoji apytiksliai (neįvertinus zy veikiančių lentynose)

lygi skersinei jėgai Qy arba tiesiog jėgai F. O tangentinių įtempimų, veikiančių lentynose,

atstojamosios sudaro jėgų porą, kuri ir susuka

lenkiamą lovinę siją (10.36 pav.). Taigi jėga F

turi būti pridėta taip, kad ji ne tik lenktų siją,

bet ir suktų ją z ašies atžvilgiu

kompensuodama šitaip dėl tangentinių įtempimų,

veikiančių lentynose, susidariusį sukimo

momentą. Atstumą, kuriuo reikia perstumti jėgą

F, galima gauti iš pusiausvyros lygties (10.36,

10.37 pav.):

;0fkM

,0)()( 0 thQexQ xy

.)( 0xthQ

Qe

y

x (10.26)

Kontroliniai klausimai

10.1. Kas yra lenkimas? Brėžinys.

10.2. Kaip skirstomas lenkimas pagal įrąžas,

veikiančias sijos skerspjūvyje?

10.3. Koks lenkimas vadinamas grynuoju?

Brėžinys.

10.4. Koks lenkimas vadinamas skersiniu?

Brėžinys.

10.5. Kaip skirstomas lenkimas pagal sijos

išsikreivinimo pobūdį?

zx

y

zx

th

t

cx

zy

yQt

x

0 ex

cxyQ

h

Qt x

S

F

zy

Kx c

0x e

10.35 pav. 10.36 pav. 10.37 pav.

y

0x e

z

x K

F

F

eF

10.34 pav.

90

10.6. Koks lenkimas vadinamas plokščiuoju?

Brėžinys.

10.7. Koks lenkimas vadinamas įstrižuoju?

Brėžinys.

10.8. Kas yra skersinių jėgų diagrama?

10.9. Kas yra lenkimo momentų diagrama?

10.10. Kas yra skaičiuojamieji skerspjūviai? Kur

jie žymimi?

10.11. Kam lygi skersinės jėgos skaitinė reikšmė,

kai ji skaičiuojama pjūvio metodu?

Pavyzdys.

10.12. Kam lygi lenkimo momento skaitinė

reikšmė, kai ji skaičiuojama pjūvio

metodu? Pavyzdys.

10.13. Užrašykite apkrovos ir sijos įrąžų

diferencialinius ryšius.

10.14. Kaip iš skersinių jėgų diagramos galima

gauti išskirstytosios apkrovos

intensyvumą? Pavyzdys.

10.15. Kaip iš lenkimo momentų diagramos

galima gauti skersinę jėgą? Pavyzdys.

10.16. Užrašykite apkrovos ir sijos įrąžų

integralinius ryšius.

10.17. Parodytai sijai apytiksliai nubraižykite

skersinių jėgų ir lenkimo momentų

diagramas. Naudokite integralinius ryšius,

susiejančius apkrovą su sijos įrąžomis.

10.18. Kaip kinta skersinė jėga ir lenkimo

momentas sijos ruože, kuriame nėra

išskirstytosios apkrovos? Brėžinys,

formulės.

10.19. Kaip kinta skersinė jėga ir lenkimo

momentas sijos ruože, kuriame veikia

vienodai išskirstyta apkrova? Brėžinys,

formulės.

10.20. Kaip kinta lenkimo momentas sijos ruože,

kuriame skersinės jėgos lygios nuliui?

Brėžinys, formulė.

10.21. Kokia tolydinės funkcijos savybė

naudojama skaičiuojant ekstreminius

lenkimo momentus?

10.22. Kokiomis sąlygomis (prielaidomis)

remiantis gaunama sijos normalinių

įtempimų formulė?

10.23. Užrašykite lenkimo momento ir

normalinio įtempimo integralinį ryšį.

10.24. Kas yra neutralusis sluoksnis?

10.25. Kas yra neutralioji linija? Brėžinys.

10.26. Užrašykite linijinės deformacijos ir sijos

ašies kreivio spindulio ryšį. Brėžinys.

10.27. Užrašykite lygčių sistemą, iš kurios

gaunama normalinių įtempimų

pasiskirstymo sijos skerspjūvyje formulė.

10.28. Užrašykite sijos ašies kreivio spindulio

ir lenkimo momento ryšį.

10.29. Kaip pasiskirsto ir kam lygūs

normaliniai įtempimai sijos skerspjūvyje?

Brėžinys.

10.30. Kokių ašių atžvilgiu galima taikyti sijos

normalinių įtempimų formulę?

10.31. Ką teigia Žuravskio prielaida.

10.32. Užrašykite Žuravskio formulę.

10.33. Parodykite, kaip pasiskirsto tangentiniai

įtempimai sijos stačiakampiame

skerspjūvyje. Brėžinys.

10.34. Parodykite, kaip pasiskirsto tangentiniai

įtempimai dvitėjiniame skerspjūvyje.

Brėžinys.

10.35. Užrašykite bendriausias sijos stiprumo

sąlygų išraiškas.

10.36. Užrašykite sijos stiprumo sąlygą

normalinių įtempimų atžvilgiu.

10.37. Užrašykite sijos stiprumo sąlygą

tangentinių įtempimų atžvilgiu.

10.38. Koks plonasienės sijos skerspjūvis ir

kokie jo taškai yra pavojingi sudėtiniam

normalinių ir tangentinių įtempimų

poveikiui? Brėžinys.

10.39. Kokie sijos skerspjūviai yra racionalūs?

Brėžinys.

10.40. Kokia sija vadinama vienodo stiprumo

sija?

10.41. Prie gembinės stačiakampio skerspjūvio

sijos laisvojo galo pridėta jėga F.

Nubraižykite vienodo stiprumo siją, kai

h=const. Paaiškinkite, kodėl gaunate

tokios formos gembinę siją.

10.42. Prie gembinės stačiakampio skerspjūvio

sijos laisvojo galo pridėta jėga F.

Nubraižykite vienodo stiprumo siją, kai

b=const. Paaiškinkite, kodėl gaunate

tokios formos gembinę siją.

10.43. Ką vadiname sijos skerspjūvio šlyties

(lenkimo) centru? Brėžinys.

91

11. Sijos deformacijos ir poslinkiai

11.1. Bendrosios žinios

Iki šiol nagrinėjome sijas atsižvelgdami tik į jų stiprumą, t.y. užrašę sijai stiprumo sąlygą,

tikrinome, ar pavojingiausiame jos taške įtempimai neviršija projektinio stiprio. Tačiau pakankamai

stiprios sijos gali būti netinkamos eksploatuoti dėl nepakankamo standumo. Be to, sprendžiant

statiškai neišsprendžiamas konstrukcijas, be pusiausvyros lygčių, papildomai reikia užrašyti ir

geometrines lygtis. Tiek užrašant standumo sąlygas, tiek sudarant geometrines lygtis, reikia mokėti

nustatyti bet kurio sijos skerspjūvio poslinkį, rečiau bet kurio taško deformaciją.

Iš ankstesnio skyriaus žinome, kad sijos skerspjūvyje veikia tiek normaliniai, tiek tangentiniai

įtempimai. Su jais susijusias linijines ir kampines deformacijas galima gauti panaudojus Huko dėsnį:

E

M

E Iy , (11.1)

G

Q S

G I b

x

x

| |. (11.2)

Šlyties deformacijų įtaka sijos deformavimo procese nėra didelė (ji kiek didesnė trumpose sijose), todėl

praktiniuose skaičiavimuose jos neįvertinamos. Taigi sijos ašies išsikreivinimą lemia linijinės deformacijos.

Skerspjūvyje jos pasiskirsto tiesiškai: lygios nuliui neutraliojo sluoksnio sankirtoje su skerspjūvio

plokštuma, ekstreminės kraštiniuose skerspjūvio sluoksniuose. Proporcingumo koeficientas yra tiesiog

proporcingas skerspjūvyje veikiančiam lenkimo momentui, atvirkščiai proporcingas lenkiamajam (sijos

skerspjūvio) standžiui. Šis koeficientas (M

E I) vadinamas apibendrintąja sijos deformacija. Kita vertus (žr.

10 skyrių), tai yra sijos ašies kreivis. Taigi sijos deformavimasis apibūdinamas linijinėmis deformacijomis ,

kampinėmis deformacijomis ir apibendrintąja sijos deformacija (sijos ašies kreiviu):

1 M

E I, (11.3)

čia sijos ašies kreivio spindulys.

11.1 tekstas, 11.1 pav.

Sijai deformuojantis, jos skerspjūviai pasislenka, pasisuka,

bet, remiantis Bernulio hipoteze, nesusimėto. Taigi naują sijos

skerspjūvio padėtį apibūdina trys parametrai (11.2 pav.):

v sijos skerspjūvio svorio centro linijinio poslinkio projekcija

į atitinkamą skerspjūvio ašį (įlinkis);

w sijos skerspjūvio svorio centro linijinio poslinkio projekcija

į sijos ašį;

sijos skerspjūvio kampinis poslinkis, t.y. kampas, kuriuo

pasisuka skerspjūvis neutraliosios linijos atžvilgiu (deviacija).

Nesunku įrodyti, kad horizontalus poslinkio komponentas w yra

labai mažas palyginus jį su kitais dviem poslinkio parametrais.

Todėl praktiniuose skaičiavimuose jis neįvertinamas.

Ženklų taisyklės (11.3 pav.). Įlinkis yra teigiamas, jei

skerspjūvis pasislenka teigiama skerspjūvio ašies kryptimi. Deviacija

yra teigiama, jei skerspjūvis pasisuka laikrodžio rodyklės sukimosi

kryptimi (vienintelė išimtis).

yw

v

F

z

11.2 pav.

11.2 pav.

zc

v >0y

<

11.3 pav.

a b

c

A

F

B

11.3 pav.

92

11.2. Sijos įlinkių kreivės diferencialinė lygtis

Nustatysime, kaip kinta įlinkiai ir deviacijos sijos ilgyje nuo lenkimo momento.

Matematika duoda tokią tikslią formulę kreiviui skaičiuoti:

1

1

2

2

2

3

2

d y

dz

dy

dz

. (11.4)

Praktiniams skaičiavimams dažniausiai naudojamas supaprastintas jos variantas (narys dy

dz

2

yra

antros eilės mažybė):

1 2

2

d y

dz. (11.5)

Sulyginus (11.3) ir (11.5) lygčių dešiniąsias puses, gaunama sijos įlinkių kreivės diferencialinė

lygtis:

x

x

EI

M

dz

vd

dz

dy

2

2

2

2

, (11.6)

čia: v sijos skerspjūvio įlinkis y ašies kryptimi, z sijos skerspjūvio aplikatė, Mx lenkimo

momentas x ašies atžvilgiu, E tamprumo modulis, IX skerspjūvio ašinis inercijos momentas x

ašies atžvilgiu.

Akivaizdu, kad įlinkių kreivės diferencialinė lygtis galioja sijos ruožams, kuriuose ir lenkimo

momentas, ir medžiagos mechaninės savybės, ir skerspjūvio geometriniai rodikliai kinta tolydiškai.

Nesunku pastebėti (11.4 pav.), kad

dz

dytg . (11.7)

Taigi suintegravus vieną kartą lygtį (11.6) gaunama sijos

deviacijų lygtis, t.y. lygtis, parodanti kaip kinta deviacijos sijos

ilgyje nuo lenkimo momento:

0

dzIE

M

dz

dy

x

x , (11.8)

čia 0 integravimo konstanta, lygi sijos (jos ruožo) pradinio skerspjūvio deviacijai.

Antrą kartą suintegravus sijos įlinkių kreivės diferencialinę lygtį, gaunama sijos įlinkių lygtis,

t.y. lygtis, parodanti, kaip kinta įlinkiai sijos ilgyje nuo lenkimo momento:

00 vzdzdzIE

Mvy

x

x

, (11.9)

čia v0 integravimo konstanta, lygi sijos pradinio skerspjūvio įlinkiui.

z

dzy

dy

11.4 pav.

11.4 pav.

93

Integravimo konstantos 0 ir v0 nustatomos iš kraštinių sąlygų:

1. Standus įtvirtinimas (11.5 pav.): kai z = 0, tai 0 , v = 0.

2. Šarnyrinė atrama (11.6 pav.): kai z = 0, tai v = 0; kai z = l , tai v = 0.

3. Dviejų sijos ruožų su skirtingais lenkimo momentų kitimo dėsniais sandūra (11.7 pav.): kai

0z , tai v = 0; kai zl

2

, tai = 2 = 3 , v = v2 = v3 ; kai z = l , tai v = 0.

11.1 pvz.

Dabar galima užrašyti sijos diferencialinių priklausomybių

seką:

E Idy

dzE Ix x , (11.10)

E Id y

dzE I

d

dzMx x x

2

2

, (11.11)

E Id y

dzE I

d

dz

M

dzQx x

xy

3

3

2

2

, (11.12)

E Id y

dzE I

d

dz

d M

dz

dQ

dzgx x

x y

4

4

3

3

2

2

. (11.13)

Diferencialines lygtis iliustruokime grafiškai. Tam tikslui

dviatramei sijai (11.8 pav.), apkrautai išskirstytąja apkrova,

sudarysime skersinių jėgų, lenkimo momentų, deviacijų ir įlinkių

diagramas.

Išanalizavus diferencialines lygtis, galima padaryti kelias

svarbias išvadas:

a) įlinkis yra ekstreminis to sijos skerspjūvio, kurio

deviacija yra lygi nuliui;

b) deviacija yra ekstreminė to sijos skerspjūvio, kuriame

lenkimo momentas lygus nuliui.

11.2, 11.3 pvz.

11.3. Sijos standumo sąlygos

Bendruoju atveju sijos standumo sąlygos turi tokį pavidalą:

u max

, (11.14)

v vu , (11.15)

F

y

z

11.5 pav.

l

z

g

ly

11.6 pav.

y

z

11.7 pav.

l/

F

1 2 3 4

l/

11.5 pav. 11.6 pav. 11.7 pav.

l

g

z

M=Qdz+My+

+y

z

z

MEI

+y

xdz+

x

z

v=dz+vy+

z

Q=-gdz+Q

Q

Q

M

M

v

v

11.8 pav.

94

čia: absoliutinis sijos deformacijos didumas, v absoliutinis sijos įlinkio didumas, u uv,

ribinės reikšmės, nustatomos norminiais dokumentais priklausomai nuo konstrukcijos paskirties.

Statyboje dažnai naudojamos standumo sąlygos, apribojančios maksimalius sijos įlinkius. Tai

dažniausiai būna gembinės sijos laisvojo galo įlinkis ir dviatramės sijos tarpatramio vidurio įlinkis.

Tada ribinis įlinkis yra išreiškiamas sijos ilgio l dalimis: vl

mu ; čia m skaičius, nustatomas

konstrukcijų projektavimo normomis, lygus maždaug nuo 150 iki 750.

11.4 pvz.

11.3. Sijos potencinė deformavimo energija

Prie sijos pridėjus jėgas, ji išlinksta. Jėgos, judėdamos kartu su besideformuojančia sija,

nueina tam tikrą kelią atlikdamos kartu tam tikrą darbą. Šis išorinių jėgų darbas niekur nedingsta,

jis susikaupia sijoje potencinės deformavimo energijos pavidalu. Būtent ši potencinė energija

sugrąžina siją į pirminę padėtį, kai pašalinama deformavimo priežastis.

Nustatysime potencinės deformavimo energijos dalies, susijusios su lenkimo momentu,

analitinę išraišką. Tam tikslui iš grynuoju lenkimu deformuojamos sijos ruožo išskirkime

elementarųjį elementą (11.9 pav.).

Veikiant lenkimo momentui elemento galiniai skerspjūviai

tarpusavyje pasisuka kampu

d tg ddz

dzM

E Idz

( )

1. (11.16)

Kadangi lenkimo momentas siją lenkia statiškai (jo reikšmė

pamažu didėja nuo nulio iki maksimalios reikšmės), tai jo atliktas

elementarusis darbas, deformuojant nagrinėjamą elementą, yra lygus

dW M dM

E Idz

1

2 2

2

. (11.17)

Bet šis elementarusis darbas yra lygus potencinei deformavimo

energijai, sukauptai elementariajame elemente,

dEM

E Idzp

2

2. (11.18)

Suintegravę šią išraišką sijos ruožo ilgyje l, gauname potencinę deformavimo energiją, sukauptą

visame sijos ruože:

EM

E Idzp

l

1

2

2

. (11.19)

Jei sija turi n ruožų su skirtingais lenkimo momentų kitimo dėsniais arba lenkiamaisiais

standžiais, tai sijoje sukaupta potencinė deformavimo energija

EM

E Idzp

li

n

1

2

2

1 . (11.20)

11.5 pvz.

z

dz

d2

d2

d

0

MM

11.9 pav.

11.9 pav.

95

Skersinio lenkimo atveju, be potencinės deformavimo energijos, sukauptos nuo lenkimo

momento, sukaupiamas ir tam tikras kiekis šlyties deformacijos potencinės energijos:

EQ

G Adzp

l

1

2

2

, (11.21)

čia: l sijos (jos ruožo) ilgis, koeficientas, kuriuo įskaitomas nevienodas tangentinių įtempimų

pasiskirstymas skerspjūvyje, Q skersinė jėga, G šlyties modulis, A skerspjūvio plotas.

Užrašyta formulė “fiziškai panaši” į (11.19) formulę: skaitiklyje yra įrąžos kvadratas, vardiklyje

medžiagos mechaninio rodiklio ir skerspjūvio geometrinio rodiklio sandauga. Formulės skiriasi tik

koeficientu , kuris priklauso nuo skerspjūvio formos ir matmenų:

dyb

S

I

A y

y

x

x

max

min

2

2 , (11.22)

čia: Sx skerspjūvio dalies, esančios į vieną pusę nuo tiesės, nubrėžtos per nagrinėjamąjį tašką

(lygiagrečios neutraliajai linijai), statinis momentas neutraliosios linijos atžvilgiu, b materialusis

skerspjūvio plotis ties nagrinėjamuoju tašku (jo koordinatė y), ymax labiausiai nutolusio skerspjūvio

taško (y ašies teigiama kryptimi) koordinatė, ymin labiausiai nutolusio skerspjūvio taško (y ašies

neigiama kryptimi) koordinatė.

Stačiakampio skerspjūvio 5

6 , skritulinio skerspjūvio

9

10 .

Dauguma atvejų šlyties deformacijos potencinė energija yra maža palyginti su potencine

deformavimo energija nuo lenkimo momento, todėl praktiniuose skaičiavimuose retai kada įvertinama.

11.6 pvz.

11.5. Energetinis Moro metodas

Sijos įlinkių kreivės radimo būdas, integruojant jos diferencialinę lygtį, yra patogus tik tada,

kai lenkimo momento kitimo dėsnis visame sijos ilgyje yra pastovus. Šiuo atveju tenka nustatyti tik

dvi integravimo konstantas. Kai sija turi m ruožų su skirtingais lenkimo momento kitimo dėsniais,

integravimo konstantų skaičius išauga iki 2m ir kartu labai padidėja skaičiavimų apimtis. Todėl, be

išnagrinėto metodo, sijos skerspjūviams skaičiuoti naudojami ir kiti metodai: pradinių parametrų

metodas, baigtinių skirtumų metodas, tariamųjų apkrovų, energetinis Moro metodas, Kastiljano

teorema, lentelės.

Populiariausias, plačiausiai naudojamas inžineriniuose skaičiavimuose yra energetinis Moro

metodas. Jis remiasi galimųjų poslinkių principu ir Beti bei Maksvelo tampriųjų konstrukcijų

teoremomis.

Galimųjų poslinkių principas teigia: jeigu tampriosios konstrukcijos išorinės ir vidinės jėgos

yra pusiausviros, tai, esant bet kokiems kinematiškai galimiems poslinkiams, ją veikiančių išorinių ir

vidinių jėgų atliekami darbai yra tarpusavyje lygūs (tai iš esmės yra energijos tvermės dėsnis,

pritaikytas virtualiems poslinkiams):

intext WW . (11.23)

Dabar įrodysime Beti bei Maksvelo tampriųjų konstrukcijų teoremas.

Dviatramę siją nuosekliai apkraukime iš pradžių jėga F1 , po to jėga F2 (11.10 pav.). Šių jėgų

atliktas darbas bus trijų komponentų suma:

96

W W W W F v F v F v 11 22 12 1 11 2 22 1 121

2

1

2. (11.24)

Pastabos: 1) pirmasis indeksas prie simbolio rodo vietą, antrasis priežastį; 2) darbas W12

neturi daugiklio 1/2, nes jėga F1 jį atlieka pasislinkdama svetimu poslinkiu (jis dar vadinamas

virtualiuoju darbu).

Sukeiskime jėgų pridėjimo tvarką, t.y apkraukime siją iš pradžių jėga F2 , po to jėga F1 (11.11

pav.). Gausime, kad

W W W W F v F v F v 22 11 21 2 22 1 11 2 21

1

2

1

2. (11.25)

Sulyginę dešiniąsias gautų darbų išraiškų puses, gauname, kad

W W12 21 . (11.26)

Ši lygybė vadinama Beti teorema apie išorinių jėgų

darbų ryšį: darbas, kurį atlieka pirmoji jėga, pasislinkdama

antrosios jėgos sukeltu poslinkiu, lygus darbui, kurį atlieka

antroji jėga, pasislinkdama pirmosios jėgos sukeltu poslinkiu.

Išnagrinėkime atvejį, kai siją veikia vienetinės jėgos

(F1=F2=1). Poslinkius nuo vienetinių jėgų pažymėkime

graikiška raide . Tada:

W12 121 ,

W21 211 ,

12 21 . (11.27)

Lygybė (11.27) vadinama poslinkių ryšio arba Maksvelo

teorema: pirmojo taško poslinkis, sukeltas vienetinis jėgos,

pridėtos antrajame taške, lygus antrojo taško poslinkiui,

sukeltam vienetinės jėgos, pridėtos pirmajame taške.

Remdamiesi šiomis teoremomis, gausime formulę

visaip apkrautos sijos kiekvieno skerspjūvio poslinkiams

skaičiuoti. Tarkime, reikia nustatyti K skerspjūvio įlinkį nuo

jėgos F. Apkraukime siją iš pradžių ieškomo poslinkio

kryptimi vienetine jėga, po to jėga F . Siją nukraukime ir

vėl apkraukime, bet dabar iš pradžių jėga F, po to ieškomo

poslinkio kryptimi vienetine jėga (11.12, 11.13 pav.).

Remiantis Beti teorema, galima užrašyti, kad

W Wf f1 1

arba

1 1 1 v Ff f . (11.28)

Remdamiesi galimų poslinkių principu, galime teigti, kad

darbas, kurį atliko jėga F, pasislinkdama vienetinės jėgos

sukeltu poslinkiu, yra lygus analogiškų vidinių jėgų darbui,

t.y. darbui, kurį atliko lenkimo momentai, atsiradę dėl jėgos

F, pasisukdami kartu su deformuojamos konstrukcijos

skerspjūviais kampais, atsiradusiais dėl vienetinės jėgos

(11.14 pav.).

11.10 pav.

Fv F

v v

z

y 12 22

11 12

11.10 pav.

11.11 pav.

vy v11

F1 v

22 z

F2

21

11.11 pav.

z

1 f

K

y v v

F11

f f

11.12 pav.

v

11.12 pav.

y

z

F

K ff

f

11.13 pav.

97

dW M d M dzM M

E Idzf 1

1

(1)

(1),

WM M

E Idzf l1

. (11.29)

Sulyginę (11.28) ir (11.29) lygčių dešiniąsias puses, gauname, kad

1 1

v

M M

E Idzf l

. (11.30)

Formulė (11.30) vadinama Moro integralu. Moro integralas yra darbas (reiškia darbą), kurį

atlieka vienetinė apibendrintoji apkrova, pasislinkdama duotosios apkrovos sukeltu poslinkiu.

Apibendrintoji energetinio Moro metodo lygtis turi tokį pavidalą:

sM M

E Idzk

kl

i

n

1

, (11.31)

čia: sk apibendrintasis k-ojo skerspjūvio

poslinkis, M lenkimo momentas nuo

duotos apkrovos, M k lenkimo momentas

nuo vienetinės apibendrintosios apkrovos,

pridėtos skerspjūvyje K ieškomo poslinkio

kryptimi (skaičiuojant įlinkį pridedama

vienetinė jėga, skaičiuojant deviaciją

vienetinis momentas), E tamprumo

modulis, I skerspjūvio inercijos momentas

neutraliosios linijos atžvilgiu, l sijos

(ruožo) ilgis, n skaičius sijos ruožų,

kuriuose lenkimo momentas nuo duotosios

apkrovos, lenkimo momentas nuo vienetinės

apibendrintosios apkrovos ir sijos standis

kinta tolydiškai.

Jeigu išsprendus Moro integralą gaunamas pliuso ženklas, tai reiškia, kad skerspjūvio poslinkio

komponento kryptis sutampa su vienetinės apibendrintosios apkrovos veikimo kryptimi, jei minuso

ženklas tai reiškia, kad poslinkio komponento ar vienetinės apibendrintosios apkrovos veikimo

kryptys yra priešingos.

Pastabos.

1. Skersinio lenkimo atveju darbą atlieka ne tik lenkimo momentas, bet ir skersinė jėga.

Dažniausiai skersinės jėgos atliekamas darbas sudaro 2-3% viso darbo, todėl praktiniuose

skaičiavimuose ji neįvertinama.

2. Energetinis Moro metodas leidžia nustatyti poslinkius tik tų sijos skerspjūvių, kuriuose

pridedama vienetinė apibendrintoji apkrova. O turint įlinkių ir deviacijų lygtis, galima apskaičiuoti

bet kurių sijos skerspjūvių poslinkius.

11.7 pvz.

Kai sija tiesi, lenkimo momentai nuo vienetinės apibendrintosios apkrovos (vienetiniai

lenkimo momentai) visada kinta tiesiškai. Tai leidžia supaprastinti Moro integralo skaičiavimą; t.y.

skaičiuoti jį grafiniu-analitiniu arba Vereščiagino būdu.

Tarkime, turime vienodo standžio sijos ruožo (ilgis l) lenkimo momentų nuo duotosios apkrovos

ir vienetinių lenkimo momentų diagramas (11.15 pav.). Lenkimo momentų nuo duotosios apkrovos

2

dz

0

z

y

Kz

F

y

K F

z

d

d2

(F)

d (F)

2

(F)

2

d

d

(F)

11.14 pav.

98

diagramos plotas yra , šio ploto svorio centras yra taške C. Ties šiuo tašku vienetinių lenkimo

momentų ordinatė yra M c . Sukirskime vienetinių lenkimo momentų diagramą su z ašimi ir jų

sankirtos tašką laikykime koordinatinių ašių (z ir y) sistemos pradžios tašku. Atstumu z nuo šio

taško veikia lenkimo momentas nuo duotosios apkrovos M ir vienetinis lenkimo momentas

M z tg . Įrašykime šias lenkimo momentų išraiškas į Moro integralą:

llk dzMz

IE

tgdztgzM

IEdz

IE

MMs

1.

Bet M dz d , čia d yra lenkimo momentų nuo duotosios apkrovos elementarusis plotelis,

taigi

stg

E Iz dk

. (11.32)

Iš 11.15 pav. matyti, kad z d

yra lenkimo momentų nuo duotosios apkrovos diagramos

statinis momentas y ašies atžvilgiu. Bet jį galima išreikšti per diagramos ploto ir to ploto svorio

centro nuotolio nuo y ašies sandauga: z d S zy c . Įrašykime gautą išraišką į 11.32 lygtį:

tgzIE

zIE

tgdz

IE

tgs cclk

.

Bet z tg Mc c . Pagaliau gauname, kad

sM

E Ikc

, (11.33)

t.y. Moro integralas yra lygus lenkimo momentų nuo

duotosios apkrovos diagramos plotui, padaugintam iš

lenkimo momentų nuo apibendrintosios vienetinės

apkrovos diagramos ordinatės ties pirmosios diagramos

svorio centru.

11.2 tekstas, 11.34 formulė, 11.8 pvz.

11.5. Įvairūs sijų poslinkių nustatymo metodai

Pradinių parametrų metodas. Šis metodas pagrįstas apytiksliu įlinkių kreivės diferencialinės

lygties sprendiniu, gautu panaudojus Teiloro-Makloreno eilutę:

f z f z f zz

f zz

f zz

nn

n

0 0 0

2

01 2' "

! !...

!, (11.35)

t.y. matematiniu metodu, leidžiančiu bet kurią funkciją išreikšti daugianariais panaudojant jos

aukštesnių eilių išvestines. Naudojant pradinių parametrų metodą, bet kurio sijos skerspjūvio

poslinkiai išreiškiami per pradinio skerspjūvio poslinkius, įrąžas ir apkrovas, įvertinant kitas siją

veikiančias apkrovas. Pavyzdžiui, pradinių parametrų metodo formulė pirmajam sijos ruožui

skaičiuojant įlinkius turi tokį pavidalą:

y

z

l

y

z

dzz

zc

M

tg

d

MM =M

z

M M= dz

C

c

11.15 pav.

99

v v zM

E Iz

Q

E Iz

g

E Iz

g

E Iz

0 0

0 2 0 3 0 4 0 5

2 6 24 120

'

... (11.36)

čia: v z-ojo skerspjūvio įlinkis, v0 pradinio skerspjūvio įlinkis, 0 pradinio skerspjūvio

deviacija, M0 pradinio skerspjūvio lenkimo momentas, Q0 pradinio skerspjūvio skersinė jėga, g0

pradinio skerspjūvio išskirstytos apkrovos intensyvumas, IE ruožo standis.

Kai skaičiuojamos deviacijos

00 0 2 0 3 0 4

2 6 24

M

E Iz

Q

E Iz

g

E Iz

g

E Iz

'

... (11.37)

Abiem atvejais pradiniai parametrai nustatomi iš kraštinių sąlygų.

Esminis pradinių parametrų metodo pranašumas lyginant jį su metodu, pagrįstu įlinkių kreivės

diferencialinės lygties integravimu, yra tas, kad nepriklausomai nuo statiškai išsprendžiamos sijos

ruožų skaičiaus naudojant pradinių parametrų metodą reikia nustatyti ne daugiau kaip dvi konstantas,

o integruojant įlinkių kreivės diferencialinę lygtį tokių konstantų yra 2m; čia m ruožų skaičius.

Fiktyvių apkrovų metodas. Jis pagrįstas dviejų diferencialinių lygčių matematiniu panašumu:

,

,

2

2

2

2

IE

M

dz

yd

gdz

Md

(11.38)

čia: M lenkimo momentas, g išskirstytos apkrovos intensyvumas, y įlinkis, IE sijos

ruožo standis.

Naudojant fiktyvių apkrovų metodą: a) fiktyvi sija, tenkinanti tikrosios sijos deviacijų ir įlinkių

kraštines sąlygas, apkraunama tikrosios sijos lenkimo momentų diagrama, b) nagrinėjamame

skerspjūvyje nustatoma fiktyvi skersinė jėga ir fiktyvus lenkimo momentas, c) padalijus gautą

fiktyvią įrąžą iš sijos standžio gaunamos atitinkamai deviacijos ir įlinkiai.

Baigtinių skirtumų metodas. Naudojant baigtinių skirtumų metodą: a) sija suskaidoma į norimą

atkarpų skaičių (kuo daugiau atkarpų, tuo tikslesni skaičiavimo rezultatai), b) kiekvienam

skaičiuojamajam skerspjūviui, pakeitus tiek funkcijos, tiek argumento diferencialus ( zdy d , )

baigtiniais skirtumais ( zy , ), užrašomos įlinkių kreivės diferencinės lygtys, c) sprendžiama

algebrinių lygčių sistema (tiek lygčių, kiek skaičiuojamųjų skerspjūvių).

11.3 tekstas, 11.39, 11.40 formulės, 11.16 pav.

Tipinių sijų poslinkių formulių lentelės. Tokių formulių lentelėse paprastai pateikiama tik

ypatingųjų sijos skerspjūvių (laisvųjų galų, atraminių skerspjūvių ir tarpatramio vidurio) poslinkiai.

Kontroliniai klausimai

11.1. Parodykite visus sijos skerspjūvio

poslinkio komponentus. Brėžinys.

11.2. Kas yra sijos skerspjūvio deviacija?

11.3. Kas yra sijos skerspjūvio įlinkis?

11.4. Užrašykite diferencialinį sijos skerspjūvio

deviacijos ir įlinkio ryšį. Brėžinys.

11.5. Kaip išreiškiama apibendrintoji sijos

deformacija? Formulė.

11.6. Kas yra lenkiamasis (sijos skerspjūvio)

standis? Formulė.

11.7. Užrašykite įlinkių kreivės diferencialinę

lygtį.

11.8. Kokiems sijos ruožams galioja įlinkių

kreivės diferencialinė lygtis?

11.9. Užrašykite sijos deviacijų lygtį.

11.10. Užrašykite sijos įlinkių lygtį.

100

11.11. Užrašykite parodytos sijos kraštines

sąlygas. F

y

z

11.5 pav.

l

11.12. Užrašykite parodytos sijos kraštines

sąlygas.

z

g

ly

11.6 pav.

11.13. Užrašykite parodytos sijos kraštines

sąlygas.

y

z

11.7 pav.

l/

F

1 2 3 4

l/

11.14. Užrašykite sijos diferencialinių

priklausomybių seką.

11.15. Ties kuriuo skerspjūviu sijos įlinkis yra

ekstreminis?

11.16. Kurio sijos skerspjūvio deviacija yra

ekstreminė?

11.17. Parodytai sijai apytiksliai nubraižykite

skersinių jėgų, lenkimo momentų,

deviacijų ir įlinkių diagramas.

11.18. Užrašykite sijos standumo sąlygas.

11.19. Užrašykite lenkimo momento įtakojamą

sijos potencinės energijos išraišką.

11.20. Užrašykite skersinės jėgos įtakojamą sijos

potencinės energijos išraišką.

11.21. Paaiškinkite formulę:

.max

min

2

2dy

b

S

I

A yy

x

x

11.22. Ką teigia Kastiljano teorema? Formulė.

11.23. Ką teigia išorinių jėgų darbų ryšio

(Betti) teorema?

11.24. Ką teigia poslinkių ryšio (Maksvelo)

teorema?

11.25. Užrašykite Moro integralą.

11.26. Paaiškinkite fizinę Moro integralo

prasmę.

11.27. Paaiškinkite formulę:

.

1

1

n

i i

i

m

jcjj

kIE

Mw

S

11.28. Kokius žinote sijos skerspjūvių poslinkių

skaičiavimo metodus?

11.29. Kokia pradinių parametrų metodo esmė.

11.30. Kuo pagrįstas pradinių parametrų

metodas?

11.31. Paaiškinkite formulę:

302000

62z

IE

Qz

EI

Mzvv

...12024

52040

zIE

gz

IE

g

11.32. Paaiškinkite formulę:

2000

2z

IE

Qz

IE

M

...246

42030

zIE

gz

IE

g

11.33. Koks esminis pradinių parametrų metodo

pranašumas lyginant jį su metodu,

pagrįstu įlinkių kreivės diferencialinės

lygties integravimu?

11.34. Kokia fiktyvių apkrovų metodo esmė?

11.35. Kuo pagrįstas fiktyvių apkrovų metodas?

11.36. Kokia yra baigtinių skirtumų metodo

esmė?

11.37. Paaiškinkite formulę:

.2

,211

ix

ixiii

IE

Mvvv

11.38. Paaiškinkite formulę:

2

11 ii

ivv

.

11.39. Koks pagrindinis tipinių sijų poslinkių

formulių trūkumas?

1011

Kęstutis Vislavičius

MEDŽIAGŲ MECHANIKA 1

Kontūriniai paskaitų tekstai statybos inžinieriams

Redagavo S. Kirkienė

SL 136. 2000 08 09. 11,62 apsk. leid. l. 100 egz.

Užsakymas

Leido Vilniaus Gedimino technikos universitetas, leidykla “Technika”, Saulėtekio al. 11, LT-2040 Vilnius

Spausdino UAB “Biznio mašinų kompanija”, Gedimino pr. 60, LT-2002 Vilnius