MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil

Valencia, 28 de noviembre de 2006Valencia, 28 de noviembre de 2006Universidad de Universidad de

Castilla-La ManchaCastilla-La Mancha

Índice de Theil

Índice de Gini

Medidas de Concentración

Concepto de concentración económica

Índice E

Curva de Lorenz

Índices de Concentración

Índice geométrico

Descomposición del índice de Theil intergrupos e intragrupos

En la distribución de salarios de una empresa se puede estudiar si la masa salarial (o nómina de la empresa) se encuentra concentrada en unos pocos trabajadores o si, por el contrario, está bien repartida entre ellos.

Concepto de Concentración EconómicaConcepto de Concentración Económica

9.000€9.000€

Estos sueldos estarían muy desproporcionados, Estos sueldos estarían muy desproporcionados, muy concentradosmuy concentrados en una sola persona en una sola persona

10 empleados10 empleados el director 8.100 €el director 8.100 €

90 €90 € 8.100 €8.100 €

Concepto de Concentración EconómicaConcepto de Concentración EconómicaMás ejemplos…

Reparto de horas extraordinarias entre la plantilla de una empresa

Grado de concentración de las ausencias laborales

El nivel de desigualdad en el reparto de la masa global de pensiones entre los pensionistas de un país, etc.

En el ámbito financiero: concentración del volumen de negociación diario entre los distintos valores que conforman el IBEX-35,

Reparto del total invertido en fondos de inversión entre las distintas gestoras de patrimonio

Cómo se reparte el capital social de un banco entre los accionistas, etc. Masa Total de la VariableMasa Total de la Variable (MTV)

Los casos extremos serían:Los casos extremos serían:

Medidas de Concentración Medidas de Concentración

Miden el grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable.

Indican el grado de equidistribución de la variable = grado de CONCENTRACIÓNCONCENTRACIÓN.

Concentración Concentración mínima o mínima o equidistribución:equidistribución: Cuando todos los trabajadores reciben la misma cantidad:

Concentración máxima:Concentración máxima: Cuando de los n trabajadores sólo uno percibe el total de las rentas (de los salarios) y los demás nada:

nxxx 21 MTVx

xxx

n

n

0121

El estudio de la concentración en la distribución de la MTV se puede abordar desde dos puntos de vista:

Medidas de Concentración Medidas de Concentración

mediante la curva de concentración, más conocida como

Curva de LorenzCurva de Lorenz

mediante los denominados

Índices de Índices de concentraciónconcentración

GráficamenteGráficamente AnalíticamenteAnalíticamente

MTV = (7.512,65 · 2) + (8.414,17 · 3) + (15.025,30 · 1) +

+ (24.040,48 · 2) + (39.065,79 · 2) = 181.505,66 €/año.

Salarios Anuales (xSalarios Anuales (xii)) Nº trabajadores Nº trabajadores (n(nii))

7.512,65 2

8.414,17 3

15.025,30 1

24.040,48 2

39.065,79 2


Ordenación de los valores Ordenación de los valores de la variable de menor de la variable de menor

a mayora mayor


xi ni xini Ui pi qi

7.512,65 2 15.025,30 15.025,30 20 8,28

8.414,17 3 25.242,51 40.267,81 50 22,18

15.025,30 1 15.025,30 55.293,11 60 30,46

24.040,48 2 48.080,96 103.374,08 80 56,95

39.065,79 2 78.131,58 181.505,65 100 100

10 181.505,65

Masa parcial acumuladaMasa parcial acumulada

Porcentaje de trabajadores Porcentaje de trabajadores con un salario igual o con un salario igual o

inferior al i-ésimoinferior al i-ésimo

Porcentaje de la masa salarial que se Porcentaje de la masa salarial que se llevan los trabajadores conllevan los trabajadores con

un salario igual o inferior al i-ésimoun salario igual o inferior al i-ésimo

A continuación en unos ejes de coordenadas, se marca en el de abcisas los siguientes valores de pi en porcentajes:

%1001

%8080,0

%6060,0

%5050,0

%2020,0

5432155

432144

32133

2122

111

N

nnnnn

N

Np

N

nnnn

NN

p

N

nnn

N

Np

Nnn

NN

p

Nn

NN

pque indican

los porcentajes de los porcentajes de trabajadores con un trabajadores con un nivel de salario igual nivel de salario igual o inferior al i-ésimo.o inferior al i-ésimo. Por ejemplo, si i = 3 tenemos que p3 es el 60%, lo que significa que el 60% de los trabajadores obtienen un salario anual igual o inferior al tercero en orden ascendente.


Sobre el eje de ordenadas se anotan los valores de qi, también porcentajes:

que indican la parte que del total de la masa salarial les la parte que del total de la masa salarial les corresponde alos trabajadores cuyo salario es igual o corresponde alos trabajadores cuyo salario es igual o inferior al i-ésimoinferior al i-ésimo. Por ejemplo para i = 4 se tiene que q4 es el 56,95%, es decir, de los 181.505,66 €, el 56,95% corresponde a los trabajadores con salario igual o inferior al cuarto en orden ascendente.

%1001

%95,565695,0

%46,303046,0

%18,222218,0

%28,80828,066,505.181

30,025.15

55443322115

443322114

3322113

22112

111

MTVnxnxnxnxnx

q

MTVnxnxnxnx

q

MTVnxnxnx

q

MTVnxnx

q

MTVnx

q


GRÁFICO 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

pi (%) porcentaje acumulado de trabajadores

qi

(%)

po

rcen

taje

acu

mu

lad

o d

e l

a m

asa

sala

rial

Curva de concentración Recta de Equidistribución Curva de Máxima Concentración

(80 ; 56,95)

(60 ; 30,46)

(50 ; 22,18)

(20 ; 8,28)

D

CBA


Características generales:


Es siempre creciente (porque p y q son acumulados)

En caso de equidistribución pi = qi ., la curva de concentración sería la diagonal, recta que se denomina recta de equidistribución.

Se sitúa siempre por debajo de la diagonal, ya que, al estar ordenados los salarios de menor a mayor, ningún qi. podrá ser mayor que su correspondiente pi

En caso de máxima concentración , la curva de concentración, denominada curva de máxima concentración, vendría dada por ABD donde

p1 = (N-1/N) %; q1 = 0%p2 = 100%; q2 = 100%

GRÁFICO 5

pi (%)

qi (%)

B

pa

O

An

100

100

Área ConcÁrea

Máx Conc


Cuanto mayor sea el área de concentración respecto del área máxima concentración, mayor será la desigualdad en el reparto de la masa total de la variable. Por consiguiente, de manera natural, las medidas de concentración se obtendrán por cociente entre estas dos áreas.

Índices de Concentración Índices de Concentración

Índice Geométrico Índice Geométrico

Índice de Theil relativoÍndice de Theil relativo

Índice E Índice E

Índice de GiniÍndice de Gini

10 AMCAC

Es la medida de concentración más utilizada, propuesta por el que fue Decano de la Facultad de Ciencias Estadísticas, Demográficas y Actuariales de la Universidad de Roma, Corrado Gini.

•Gini, Corrado (1912). "Variabilità e mutabilità" Reimpreso en Memorie di metodologica statistica (Ed. Pizetti E, Salvemini, T). Rome: Libreria Eredi Virgilio Veschi (1955).

•Gini, Corrado (1921). "Measurement of Inequality and Incomes". The Economic Journal 31: 124-126.

Índice de Gini

Su fundamento es el siguiente:Su fundamento es el siguiente:Gini parte de una distribución de frecuencias unitarias de n elementos en cuya curva de concentración pueden establecerse n-1 diferencias entre pi y qi (recuérdese que pn = qn ).

Índice de Gini

1

1

)(n

iii qp

1

1

n

iip

1

1

1

1)(

n

ii

n

iii

p

qpIG

GRÁFICO 2

p2 -q2

p1 -q1

p3 -q3

pi-1-qi-1

pi-qi

pn-1-qn-1

pn-2-qn-2

p 1 p 2 p 3 p i…. p i-1 pn-2 pn-1 100….

q 1

q 2

q 3

q i-1

q i

qn-2

qn-1

100

...

...

Índice de Gini

1

1

)(N

iii qp

1

1

N

iip

1

1

1

1

)(

N

ii

N

iii

p

qpIG

1

1

1

11 N

ii

N

ii

p

qIG

Índice de Gini10 GiniI

Equidistribución

Máxima Concentración

xi ni xini Ui pi qi

0 1 0 0 1% 0%

1.000 99 99.000 99.000 100% 100%

11)(

1

1

1

11

1

1

1

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

p

q

p

qpIG ?¿

xi ni xini Ui pi qi

0 99 0 0 99% 0%

1.000 1 1.000 1.000 100% 100%

N

1

N

i

nN

L

)...21(1

11

1

11

1 )...21(

propi

nMTV

xM

N

n1

MTV

xn 11

Índice de Gini de la Índice de Gini de la Concentración Concentración

de la rentade la renta

Fuente: Human Development Report, 2006 (ONU)

Para evitar el problema de que el índice de Gini sólo sirve para frecuencias unitarias,

Montero Lorenzo, J.Mª, 2003

“Sobre Concentración Económica: Índice E para colectivos discretos”

Revista Estadística Española, vol 45, nº152, pp.22 a 54

Índice E

Índice Gini

1

1

1

1

100

)(100

N

ii

N

iii

Gini

pN

qpN

I

1

1

)(100 N

iii qp

NAC

1

1

100 N

iip

NAMC

)1(501

1

NpN

ii

Índice E

Índice Gini

)1(5011

)(1

11

1

1

11

1

1

1

N

q

p

q

p

qpIG

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

?¿1

1

N

iiq

TABLA DE CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE ETABLA DE CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE E

xi n qi Mi

x1 1 (x1/mtv)100 M1= ( )100 [1+2+...+n1]x1 1 (2x1/mtv)100

.

...

.

.

x1 1 (n1x1/mtv)100

x2 1 (n1x1+x2/mtv)100 M2=

n2 ( )100+ ( )100 [1+2+...+n2]x2 1 (n1x1+2x2/mtv)100

.

...

.

.

x2 1 (n1x1+n2x2/mtv)100

x3 1 (n1x1+n2x2+x3 /mtv)100 M3=

n3( )100+( )100[1+2+...+n3]x3 1 (n1x1+n2x2+2x3 /mtv)100

.

...

.

.

x3 1 (n1x1+n2x2+n3x3 /mtv)100

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xi 1 (n1x1+..+ni-1xi-1 +xi /mtv)100 Mi=

ni ( )100 +( )100 [1+2+...+ni]xi 1 (n1x1+..+ni-1xi-1+2xi /mtv)100

.

...

.

.

xi 1 (n1x1+..+ni-1xi-1 + nixi /mtv)100

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn 1 (n1x1+..+nn-1xn-1+xn/mtv)100 Mn=

nn ( )100 + ( )100 [1+2+...+nn] xn 1 (n1x1+..+nn-1xn-1+2xn/mtv)100

.

...

.

.

xn 1 (n1x1+..+nn-1xn-1+(nk-1)xn/mtv)100

xn 1 (n1x1+..+nnxn/mtv)100 = 100

mtvx1

mtvx2

mtvxnxn 2211

mtvx3

mtvxn 11

mtvxnxn ii 1111

mtvxi

mtvxnxn nn 1111

mtvxn

)1(50

1001

)1(501 1

1

1

N

M

N

qIE

n

ii

N

ii

i

n

iiii propiqnM

i

)(1

1

Índice E

100

100...

100...

1

321

1111

1

1 1

3

2

2

1

1

n

ii

n

n

nii

n

nii

n

nii

n

ii

N

ii

M

MMMM

qqqqqn

n

)1(5011 1

N

M

NN

IE

n

ii

donde:- qi-1 el porcentaje de la masa salarial acumulado por

los trabajadores que perciben salarios inferiores al i-ésimo.

- propi el porcentaje de la masa salarial que percibe un

individuo con salario i.

- es la suma de los ni primeros números naturales.

2

)1(1)3()2()1(

1

iiiiii

n

i

nnnnnni

i

Índice E

siempreIEI geom

unitariasseansfrecuencialascuando

Ginigeom IIEI

Índice E

EjemploEjemplo::

Ventas (miles €) Nº empleados

50-100 30

100-200 25

200-500 40

500-1.000 50

1.000-2.000 25

2.000-5.000 30

Calcule el índice E y compruebe que si las Calcule el índice E y compruebe que si las frecuencias no son unitarias no coincide con frecuencias no son unitarias no coincide con el índice de Gini (mal aplicado)el índice de Gini (mal aplicado)

Índice E

xi ni xini Ni Ui pi qi

75 30 2250 30 2250 15 1’125

150 25 3750 55 6000 27’5 3

350 40 14000 95 20000 47’5 10

750 50 37500 145 57500 72’5 28’75

1500 25 37500 170 95000 85 47’5

3500 30 105000 200 200000 100 100

6348,05,247

375,901 GiniI

Índice E

xi ni xini Ni Ui pi qisuma prop i Mi

75 30 2250 30 2250 15 1,125 465 0,0375 17,4375

150 25 3750 55 6000 27,5 3 325 0,075 52,5000

350 40 14000 95 20000 47,5 10 820 0,175 263,5000

750 50 37500 145 57500 72,5 28,75 1275 0,375 978,1250

1500 25 37500 170 95000 85 47,5 325 0,75 962,5000

3500 30 105000 200 200000 100 100 465 1,75 2238,7500

total 200 200000 4512,8125

5565,0)1200(50

8125,451212001200

IE

Índice E

Coeficiente de Theil

Consideremos N trabajadores cuyos salarios son:

x1, x2, .. ,xN

La proporción de masa total de la variable(MTV) que corresponde al individuo i-ésimo será:

MTV

x

xn

xprop i

n

iii

ii

1

Índice de Theil

Entropía

n

iiii

n

i iiiiN proppropn

proppropnpropH

11

)ln(1

ln)(

El mensaje contiene mayor cantidad de información cuanto menor sea la El mensaje contiene mayor cantidad de información cuanto menor sea la probabilidad de ocurrencia del sucesoprobabilidad de ocurrencia del suceso

Es un indicador del grado de desigualdad (desorden) en el reparto de la masa Es un indicador del grado de desigualdad (desorden) en el reparto de la masa total de la variabletotal de la variable

Experimento con 1.000 posibles resultados:Experimento con 1.000 posibles resultados:-todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden-todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden

-si 2 de ellos acaparan una probabilidad del 90% orden, mando-si 2 de ellos acaparan una probabilidad del 90% orden, mando

Inconveniente:

El valor de equidistribución es

superior al de máxima concentración.

Entropía

n

iiii

n

i iiiiN proppropn

proppropnpropH

11

)ln(1

ln)(

no negativa

En caso de equidistribución vale Ln(N).

En caso de máxima concentración vale 0.

Índice de Theil

Si todos Si todos ganan ganan lo mismo:lo mismo:

Nnx

xprop

xNNxnx

n

iii

i

n

iiii

1

1

1

MáxMáxconcentración:concentración:

1

1,,10

n

i

prop

niprop

Coeficiente de Theil o redundancia:

)(log iN propHNT

NpropH

NpropHN

T iNiNR ln

)(1

ln)(ln

Índice de Theil

En caso de equidistribución vale 0.

En caso de máxima concentración vale Ln(N).

Inconveniente:

El valor máximo depende del nº

total de observaciones

Índice de Theil relativo o redundancia relativa:

10 RT

Coeficiente de Theil o redundancia:

)(log iN propHNT

Índice de Theil

máxT = Ln(N)

Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones

xi ni xini propi Ln(1/propi)

0 1.999.999 0 0

1 1 1 1 0

2.000.000 1

xi ni xini propi Ln(1/propi)

0 1 0 0

1 1 1 1 0

2 1

Índice Theil= Ln(2)

Índice Theil= Ln(2.000.000)

xi ni

0 1.000.000

1 1.000.000T = Ln(2)

Ejemplo:Ejemplo: Dada la siguiente distribución de salarios semanales (€), determine el coeficiente de Theil

xi ni

80 10

150 20

200 15

240 5

xini propi

800 0,01

3000 0,019

3000 0,025

1200 0,03

8000

log(1/propi) nipropilog(1/propi)

4,605 0,4605

3,963 1,5059

3,688 1,3830

3,506 0,5259

3,8753

Índice de TheilNo requiere la ordenación No requiere la ordenación

de los valores de la de los valores de la variable de menor variable de menor

a mayora mayor

8753,31

ln)(1

n

i iiiiN prop

propnpropH

8753,31

ln)(1

n

i iiiiN prop

propnpropH

0367,08753,39120,3)(ln iN propHNT

0093,0912023,3

0367,0ln

)(ln N

propHNT iN

R

912023,350ln

Descomposición del índice de Theil intergrupos (entre grupos) e intragrupos (dentro de cada

grupo)

1º Descomposición de la Entropía intergrupos e intragrupos

G

ggN

1

NNN

N

N

G

21

2

1

mujeresnº

varonesnº

2

NNNN

N

N

N

G

321

3

2

1

esAlicantetrabajadornº

esValenciatrabajadornº

Castellón estrabajadornº

3

G

g gi ii

G

g iii prop

propprop

proppropH11

1ln

1ln)(

gg

g

igg

gi gg

g

ig

ig

gi ggii

g

ig

ig

gi g

g

ig

ig

gi ii

propprop

propprop

Hprop

propprop

proppropprop

propprop

propprop

proppropprop

propprop

propproppropprop

propprop

propprop

1ln)(

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

Entropía de los elementos del grupo g respecto del total de elementos de dicho grupo

G

g gi ii

G

g iii prop

propprop

proppropH11

1ln

1ln)(

G

g

G

g gg

g

igg

G

g iii

propprop

prop

propHprop

propproppropH

1 1

1

1ln)(

1ln)(

Entropía intergrupos Entropía intergrupos Suma de las entropías Suma de las entropías

intragrupos intragrupos ponderadas por sus ponderadas por sus

proporcionesproporciones

2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos

G

g iii prop

propNpropHNT1

1lnln)(ln

G

g g

iggg

G

g

G

g gggg

G

g

G

g gg

g

igg

propprop

HNprop

proppropNpropN

propprop

propprop

HpropN

1

1 1

1 1

)(ln

1lnlnln

1ln)(ln

G

g g

iggg

G

g g

gg prop

propHNprop

N

Nprop

prop11

)(lnln

NNprop

NN

prop

prop

NN

g

g

gg

g

g 1


G

g g

iggg

G

g g

gg prop

propHNprop

N

Nprop

propT11

)(lnln

Suma de los índices de Suma de los índices de Theil intragrupos Theil intragrupos

ponderados por sus ponderados por sus proporcionesproporciones

Expresión Expresión relacionada con la relacionada con la

Entropía intergrupos Entropía intergrupos

N

Nprop

N

Nprop

prop gg

G

g g

gg

0ln1


G

g g

iggg

G

g g

gg prop

propHNprop

N

Nprop

propT11

)(lnln

Expresión relacionada Expresión relacionada con la Entropía con la Entropía

intergruposintergrupos

No es exactamente el No es exactamente el índice de Theil intergruposíndice de Theil intergrupos

G

g gg prop

propG1

1lnlnSólo coincidirían en el caso de Sólo coincidirían en el caso de

que todos los grupos tuvieran que todos los grupos tuvieran el mismo número de el mismo número de

elementoselementos

G

g

G

g gg

gg

G

g g

gg prop

propG

G

propprop

NNprop

prop1 11

1lnln

1lnln

Supóngase que se dispone del Supóngase que se dispone del número total de contratos número total de contratos

temporales en G comunidades temporales en G comunidades autónomasautónomas

El índice de Theil de la distribución El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las G de contratos temporales entre las G

comunidades autónomas seríacomunidades autónomas sería

G

g ggG prop

propGT1

1lnln

Supóngase ahora que se conoce la Supóngase ahora que se conoce la misma información sobre contratos misma información sobre contratos

temporales pero desagregada a temporales pero desagregada a escala provincial (N provincias)escala provincial (N provincias)

El índice de Theil de la distribución El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las N de contratos temporales entre las N

provincias seríaprovincias sería

G

g ii prop

propNT1

1lnln

G

g

G

g gg

g

iggg

G

g ggiN G

NN

proppropprop

HNpropprop

propGpropHN1 11

lnlnln1

lnln)(ln

Índice de Theil Índice de Theil entre las G entre las G

comunidades comunidades autónomasautónomas

Concentración Concentración intragrupos intragrupos

globalglobal

ResiduoResiduo

Ejemplo:Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran los datos relativos al número de contratos registrados en las oficinas del INEM en el mes de marzo de 2006 en las tres comunidades autónomas con mayor volumend e contratación en dicho mes. Determine el coeficiente de Theil y realice su descomposición intragrupos e intergrupos

Nºcontratos

Nºcontratos

AndalucAndalucíaía

370.153370.153 CataluñaCataluña 246.860246.860

Almería 26.283 Barcelona 189.126

Granada 37.729 Tarragona 24.559

Málaga 63.673 Lleida 12.001

Cádiz 46.611 Girona 21.174

Huelva 39.194 Com. Com. ValencianaValenciana

154.962154.962

Sevilla 87.897 Valencia 86.063

Córdoba 41.987 Castellón 18.123

Jaén 26.779 Alicante 50776

xi ni xi ni propi ln propi

ni propi ln propi

Almería 26.283 1 26.283 0,03404644 -3,38002982 -0,11507798

Granada 37.729 1 37.729 0,04887334 -3,01852314 -0,14752532

Málaga 63.673 1 63.673 0,08248065 -249519156 -0,20580502

Cádiz 46.611 1 46.611 0,0603789 -2,8071156 -0,16949055

Huelva 39.194 1 39.194 0,05077107 -2,98042849 -0,15131956

Sevilla 87.897 1 87.897 0,1138599 -2,17278649 -0,24739326

Córdoba 41.987 1 41.987 0,05438907 -2,91159212 -0,15835878

Jaén 26.779 1 26.779 0,03468895 -3,36133417 -0,11660114

Barcelona 189.126 1 189.126 0,2449898 -1,40653871 -0,34458763

Tarragona 24.559 1 24.559 0,03181321 -3,44787378 -0,10968792

Lleida 12.001 1 12.001 0,01554584 -4,16396219 -0,06473229

Girona 21.174 1 21.174 0,02742835 -3,59617815 -0,09863723

Valencia 86.063 1 86.063 0,11148418 -2,19387258 -0,24458209

Castellón 18.123 1 18.123 0,02347615 -3,75177032 -0,08807712

Alicante 50.776 1 50.776 0,06577415 -2,72152836 -0,17900622

15 771.975 -2,44088211

SoluciónSolución

440882,2ln)(1

n

iiiiiN proppropnpropH

267168,0440882,215ln)(ln iN propHNT

1,009865,0

708050,2267168,0

ln

N

TTR

Por Por provinciprovinciasas

xi

n

i xi ni propi ln propi

ni propi ln propi

Andalucía370.15

3 1370.15

30,4794883

3-

0,73503573 -0,35244105

Cataluña246.86

0 1246.86

00,3197771

9-

1,14013079 -0,36458783

Comun. Valenciana

154.962 1

154.962

0,20073448

-1,60577224 -0,32233386

3771.97

5 -1,03936273 039363,1ln1

ln)(11

G

iiii

G

i iiigG proppropn

proppropnpropH

0592492,0039363,13ln

1lnln

1

G

g ggG prop

propGT

Por Comunidades Por Comunidades AutónomasAutónomas

0003210,2ln)(8

1

i

iiiAndAnd proppropnpropH

0791205,00003210,28ln

1lnln

8

1

i iigAnd prop

propNT

Coeficientes IntragruposCoeficientes Intragrupos

Andalucía

n

i xi ni propi ln propi

ni propi ln propi

Almería26.28

3 1 26.2830,0710057

7-

2,64499409 -0,18780985

Granada37.72

9 1 37.7290,1019281

2 -2,2834874 -0,23275158

Málaga63.67

3 1 63.6730,1720180

6-

1,76015582 -0,30277859

Cádiz46.61

1 1 46.611 0,1259236-

2,07207987 -0,26092377

Huelva39.19

4 1 39.1940,1058859

4-

2,24539276 -0,23775553

Sevilla87.89

7 1 87.8970,2374612

7-

1,43775076 -0,34141012

Córdoba41.98

7 1 41.9870,1134314

7-

2,17655639 -0,24689

Jaén26.77

9 1 26.7790,0723457

6-

2,62629844 -0,19000156

370.153 -2,00032099

7913549,0ln)(4

1

i

iiiCatCat proppropnpropH

5949394,07913549,04ln

1lnln

4

1

i iigCat prop

propNT


Cataluña xi

n

i xini propi ln propi

ni*propi*ln propi

Barcelona

189.126 1

189.126

0,76612655

-0,26640791 -0,20410218

Tarragona 24.559 1 24.559

0,09948554

-2,30774299 -0,22958705

Lleida 12.001 1 12.001 0,0486146-

3,02383139 -0,14700235

Girona 21.174 1 21.1740,0857733

1-

2,45604736 -0,21066332

246.860 -0,7913549

943194,0ln)(3

1..

i

iiiValCValC proppropnpropH

1554182,0943194,03ln

1lnln

3

1.

i iigValC prop

propNT


Comun. Valenciana xi

n

i xini propi ln propi

ni*propi*ln propi

Valencia86.06

3 1 86.0630,5553813

2

-0,5881003

4 -0,32661994

Castellón18.12

3 1 18.1230,1169512

5

-2,1459980

8 -0,25097716

Alicante50.77

6 1 50.7760,3276674

3

-1,1157561

2 -0,36559694

154.962 -0,943194045

G

g

G

g gg

g

igggG G

NN

propprop

propHNpropTT

1 1

lnlnln

267168,0

)(15ln

iN propHT

0592492,01

ln3ln3

1

g ggG prop

propT

051464718,025938326,0

007785,0

propg Tg propg*Tg

0.47948833

0.0791

0.037937383

0.31977719

0.5949

0.190248072

0.20073448

0.1554 0.0311978

0.25938326

Descomposición del índice de Theil

T0,26716

8Porcentaje respecto del total

Intergrupos

0,007785

2,91%

Intragrupos

0,259383

97,08%

0,079120

0,594939

0,155418

AndT

CatT

ValCT .

INCOME DISTRIBUTIONS OF WHITE FAMILIES AND NONWHITE FAMILIES IN THE UNITED STATES, 1963

income interval ($) white(%) nonwhite(%) midpoint of the interval

<1000 3.2 9.2 500

1000-1500 2.6 8.3 1250

1500-2000 3.2 8 1750

2000-2500 3.6 9.6 2250

2500-3000 3.3 8 2750

3000-3500 4.3 7.4 3250

3500-4000 3.9 6.1 3750

4000-5000 8.8 10.9 4500

5000-6000 11.3 8.7 5500

6000-7000 10.5 7.3 6500

7000-8000 9.6 4.7 7500

8000-9000 8.2 4.4 8500

9000-10000 6 1.7 9500

10000-12000 8.9 2.5 11000

12000-15000 6.7 1.6 13500

15000-25000 4.8 1.4 20000

>25000 1.1 0.2 37500

total number of families 42663000 4773000

Ejemplo:Ejemplo:

1gT2gT

Descomposición del índice de Theil

T0,23311

0Porcentaje respecto del

total

Intergrupos

0,009907

4,25%

Intragrupos

0,223203

95,75%

0,219345

0,282506

blancarazafamT .

razasotrasfamT .

Lo que permite concluir que prácticamente la totalidad de la desigualdad existente en la distribución de las rentas de las familias de Estados Unidos en el año 1963 procede de la desigualdad entre las familias, sea cual sea su raza

Valencia, 28 de noviembre de 2006Valencia, 28 de noviembre de 2006Universidad de Universidad de

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MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil