Medidas de Variabilidad 9

8/17/2019 Medidas de Variabilidad 9

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MEDIDAS DE VARIABILIDAD

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Medidas de variabilidad

¿Qué son las medidas de variabilidad?

Las medidas de variabilidad de una serie de datos, muestra o población, permiten identificar que

tan dispersos o concentrados se encuentran los datos respecto a una medida de tendencia central.

La puntuación media en una distribución es importante en muchos contextos de investigación. Pero

también lo es otro conjunto de estadísticos que cuantifican que tan variables, o que tan dispersas,

tienden a ser las puntuaciones. ¿Las puntuaciones varían mucho, o tienden a tener valores muy

similares. A veces, la variabilidad en las puntuaciones es la cuestión central en una investigación.

La variabilidad es un concepto cuantitativo, de modo que nada de esto se aplica a las

distribuciones de datos cualitativos.

Hay varias razones para analizar la variabilidad en una serie de datos. Primero, al aplicar una

medida de variabilidad podemos evaluar la medida de tendencia central utilizada. Una medida de

variabilidad pequeña indica que los datos están agrupados muy cerca, digamos, de la media. La

media, por lo tanto es considerada bastante representativa de la serie de datos. Inversamente, una

gran medida de variabilidad indica que la media no es muy representativa de los datos.

Una segunda razón para estudiar la variabilidad de una serie de datos es para comparar comoestán esparcidos los datos en dos o más distribuciones. Por ejemplo, la calificación promedio de

dos estudiantes, A = {90, 80, 75, 75 } y B = {90, 55, 85, 90 }, es de 80. Basados en esto podríamos

pensar que sus calificaciones son idénticas. Pero si revisamos el detalle de sus calificaciones

vemos que esta conclusión no es correcta.

Desviación media

La desviación media mide la cantidad promedio que varían los datos respecto a su media. La

definición es:

Desviación media. Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los datos

respecto a su media.


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La fórmula de la desviación media ( Dm ) es:

Dm =Σ| X - |

n

Ejemplo:

El contenido de cinco botellas de perfume seleccionadas de forma aleatoria de la línea de

producción son en ml): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la desviación media de las

observaciones muestreadas?

X X - |X - |

85.4 + 0.4 0.4

85.4 + 0.4 0.4

85.3 + 0.3 0.3

84.9 - 0.1 0.1

84.0 - 1.0 1.0

Σ = 2.2

Dm =Σ| X - |

=2.2

= 0.44n 5

Desviación Media Para Datos Agrupados

En el caso de que los datos se encuentren agrupados en una distribución de frecuencia la fórmula

es :

Dm =Σf | X - |

n


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Las desviaciones estándar de la población y muestra se calculan simplemente sacando la raíz

cuadrada a la respectiva varianza.

desviación estándar de una población σ = σ 2

desviación estándar de una muestra S = S2

Ejemplo

El contenido de cinco botellas de perfume seleccionadas de forma aleatoria de la línea de

producción son (en ml): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar

de las observaciones muestreadas?

X X2

85.4 7293.16

85.3 7276.09

84.9 7208.01

85.4 7293.16

84.0 7056.00

Σx= 425.0 Σx2= 36126.42

S2=Σx2 -

(Σx)2

=36126.42 -

(425)2

= 0.355n 5

n - 1 5 - 1

S = S2 = 0.355 = 0.5958

Varianza y Desviación Estándar para datos agrupados

Si los datos están agrupados en una distribución de frecuencia, la varianza y la desviación

estándar de la muestra se pueden aproximar sustituyendo Sfx² por Sx² y Sfx por Sx. Las fórmulas

quedarían de la siguiente manera:


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σ2=

Σfx2 -(Σfx)2

S2=Σfx2 -

(Σfx)2

N n

N n - 1varianza de una

poblaciónvarianza de una

muestra

desviación estándar de una población σ = σ 2

desviación estándar de una muestra S = S2

Ejemplo:

Calcular la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución de frecuencia del número

de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.

Duración de las baterías (meses) Número de baterías

15 - 19 2

20 - 24 1

25 - 29 4

30 - 34 15

35 - 39 10

40 - 44 5

45 - 49 3

Primeramente, calculamos la marca de clase, para después calcular los productos fX y fx2 para

proceder finalmente a calcular las sumatorias fX y fx2 y aplicar las fórmulas.


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LI LS X F FX FX2

15 19 17 2 34 588

20 24 22 1 22 484

25 29 27 4 108 2916

30 34 32 15 480 15360

35 39 37 10 370 13690

40 44 42 5 210 8820

45 49 47 3 141 6627

n =40 ΣfX = 1365 Σfx2 = 48475

S2=Σfx2 -

(Σfx)2

=48475 -

(1365)2

= 48.573n 40

n - 1 40 - 1

S = S2 = 48.573 = 6.969

Desviación cuartilar

La desviación cuartilar es la mitad de la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil.

La fórmula para calcular la desviación cuartilar es:

Q =Q3 - Q1

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El primer cuartil es el valor correspondiente al punto abajo del cual está el 25% de las

observaciones. El tercer cuartil es el valor abajo del cual están el 75% de las observaciones. Por lo

tanto el 50% central de las observaciones está localizado entre Q3 y Q1.

Los pasos para calcular Q3 y Q1 son:

1. Calcular el valor de n / 4 para Q1, y (¾)n para Q3

2. Localizar el intervalo de clase donde se encuentran Q3 y Q1. Esto se hace encontrando el

primer intervalo de clase donde la frecuencia acumulada es igual o mayor que el valor calculado en

el primer paso.

3. Aplicar la siguiente fórmula con los valores del intervalo encontrado

Q1 = LSR +( n/4 - FA ) tic

F

Q3 = LSR +( 3n/4 - FA ) tic

F

Luego se aplica la fórmula del rango intercuartilar y de la desviación cuartilar.

Ejemplo:

Calcular mediana de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de duración de

una muestra de 40 baterías para coche.

duración de las baterías (meses) Número de baterías

15 - 19 2

20 - 24 1

25 - 29 4

30 - 34 15


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35 - 39 10

40 - 44 5

45 - 49 3

En la tabla de la distribución de frecuencia se busca el primer intervalo cuya FA se igual o mayor

que n/4 para Q1, y el primer intervalo cuya FA se igual o mayor que 3n/4 para Q3 :

El valor de n / 4 = 40 / 4 = 10

El valor de 3n/4 = 3(40)/4 = 30

Los intervalos de Q3 y Q1 son:

LI LS LSR X F FR FA

15 19 19.5 17 2 .05 2

20 24 24.5 22 1 .025 3

25 29 29.5 27 4 .1 7

30 34 34.5 32 15 .375 22 Q1

35 39 39.5 37 10 .25 32 Q3

40 44 44.5 42 5 .125 37

45 49 49.5 47 3 .075 40

Se aplican las fórmulas:

Q1 = LSR +( n/4 - FA ) tic

= 34.5 +( 10 - 22 ) 5

= 30.5F 15

Q3 = LSR +( 3n/4 - FA ) tic

= 39.5 +( 30 - 32 ) 5

= 38.5F 10

Se aplica la fórmula de la desviación cuartilar.


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Q =Q3 - Q1

=38.5 - 30.5

= 42 2

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