MEDIDAS DETENDENCIA CENTRAL MEDIA

MODA

MEDIANA DATOS AGRUPADOS

DATOS NO AGRUPADOS PARA DATOS AGRUPADOS

PARA DATOS NO AGRUPADOS PARA DATOS AGRUPADOS

PARA DATOS NO AGRUPADOS

para datos no agrupados

para datos agrupados

donde: es la media muestral x es cada uno de los datos (no agrupados) o la marca de clase (agrupados) f es la frecuencia absoluta de cada clase n es el nmero total de datos (tamao de la muestra

Si tenemos el siguiente conjunto de datos y deseamos encontrar un valor que represente a todo el conjunto, seguramente lo primero que vendr a nuestra mente es sumar todos los valores y dividirlos entre el nmero total de datos.

Ejemplo: Nmero de alumnos en la clase de Estadstica en 10 grupos: 10, 19, 18, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 15

Es decir, un valor representativo del conjunto de valores es:Media = (10+19+18+10+9+9+10+9+10+15)/10 = 119/10 =11.9Este valor, promedio aritmtico, es conocido como la media y es una de las medidas de tendencia central ya que representa un valor con respecto a toda la informacin.

La media para datos agrupados es la siguiente:

Dondees el total de datos, m el nmero total de clase y es lafrecuencia de datos.

La definicin es claramente entendida como una extensin de la definicin que dimos para datos no agrupados, ya que es lgico suponer que datos que se repiten con una frecuencia pueden simplificar la suma, por supuesto que los ndicesde la segunda suma con respecto a la primera corren con respecto a menor nmero, es decir, con respecto al nmero de agrupamientos m.

Ejemplo: alumnos en 10 grupos de Estadstica son:10, 10, 20, 20, 40, 40, 50, 20, 30, 20, 30, 40, 10, 20, 10. La media para dichos datos es igual a 24.666

La moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con

que se presenta el dato o los datos con mayor incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista ms de una moda

para un conjunto de datos.

Ejemplos grficos:

Para determinar la moda de datos agrupados su clculo se puede realizar de la siguiente forma:

Donde: Aunque la expresin se ve un poco diferente en realidad se trata de una misma ecuacin, ya que el exceso de la clase modal inferior se puede determinar como, y el exceso de la clase modal superior se determina como por lo que basta sustituir estos valores en una de ellas para encontrar la otraexpresin.

para datos agrupados

donde: mo es la moda de la muestraLmo es el lmite inferior de la clase modald1 es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior d2 es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente w es el ancho del intervalo de la clase modal

La mediana de un conjunto finito de valores crecientes y

decrecientes es aquel valor que divide al conjunto en dos partes

iguales, de forma que el nmero de valores mayor o igual a la

mediana es igual al nmero de valores menores o igual a estos.

Podemos describir algunas propiedades para la mediana:

1.- Es nica.

2.- Es simple.

3.- Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si ocurre con la media.

Ejemplo:A continuacin se presentan las faltas registradas por los empleados de una empresa durante 15 das.

Los datos son los siguientes : 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3

para la obtencin de la mediana se debern de ordenar.

Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que tendremos:

0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4, 4,

por otro lado el nmero de datos es igual a 15 datos, siendo el nmero de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1.

La extensin para el clculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuacin:

Donde:

Md = Mediana.

Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de calcularlo es a travs de encontrar la posicin. n = Nmero de observaciones o frecuencia total. F acum. (i-1) = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.

F mediana= Frecuencia del intervalo mediano.A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana.

Geomtricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de reas iguales.

para datos agrupados

donde: es la mediana de la muestra n es el nmero total de elementos de la distribucin F es la suma de todas las frecuencias de clase anteriores a la clase mediana fm es la frecuencia de la clase mediana (que contiene el dato intermedio) w es el ancho de intervalo de clase Lm es el lmite inferior del intervalo de clase mediano

Ejemplo:

Determinar a partir de la tabla presentada, la media, mediana y moda:

Tabla de frecuencias reportadas por un grupo de 40 alumnos con respecto a la estatura.

Hoja1

INTERVALOPUNTO MEDIOFRECUENCIA

(ESTATURA)(ALUMNOS)

1.60 - 1.641.6251

1.65 - 1.691.6753

1.70 - 1.741.7254

1.75 - 1.791.7756

1.80 - 1.841.8259

1.85 - 1.891.87514

1.90 - 1.941.9253

40

Hoja2

Hoja3

Solucin:

Moda: Esta entre 1.85 y 1.89, y aparece en 14 alumnos.Mediana: La mediana esta entre el dato 19 y 20, entre 1.80 y 1.84.Media: Se procede de la siguiente forma: Es igual a la multiplicacin del punto medio y la frecuencia de cada uno de los intervalos, despus se suman los resultados de la multiplicacin en cada intervalo, al final el resultado se divide entre la cantidad de datos nmero de alumnos

Hoja1

INTERVALOPUNTO MEDIOFRECUENCIA(PM) FRECUENCIA

(ESTATURA)(ALUMNOS)

1.60 - 1.641.62511.625

1.65 - 1.691.67535.025

1.70 - 1.741.72546.9

1.75 - 1.791.775610.65

1.80 - 1.841.825916.425

1.85 - 1.891.8751426.25

1.90 - 1.941.92535.775

4072.65SUMA

PROMEDIO1.81625SUMA/40

Hoja2

Hoja3