MedidasII _ Parametros S rev5.ppt

Medidas Electrónicas II

Parámetros S y Circuitos de Micro-

Ondas

UTN FRBAMedidas Electrónicas II

Rev.4 – 17/04/2012


1. Modelos de cuadripolos2. Líneas de transmisión3. Parámetros S4. Teoría de grafos5. Medición de los parámetros S6. Errores7. Aplicaciones

Indice

Modelos de Cuadripolos


Un cuadripolo se define como una caja negra de dos puertos y las relaciones que existen entre su entrada y salida pueden ser descritas por varios “parámetros” distintos. Ampliamente conocidos son los parámetros Z, Y, H y T (o ABCD).

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V z I z I

V z I z I

2221212

2121111

VyVyI

VyVyI

2221212

2121111

VhIhI

VhIhV

221

221

DICVI

BIAVV

Recuerde que los parámetros representan al cuadripolo mientras que este se comporte de manera lineal e invariante en el tiempo. Es decir que las relaciones recién expresadas son validas para un entorno de trabajo determinado para el cual los parámetros se mantienen constantes.

Modelos de Cuadripolos

Para obtener los distintos parámetros de los modelos de cuadripolos, se realizan mediciones de tensión y corriente en alguno de los puertos mientras que el otro puerto se pone en condición de cortocircuito o circuito abierto. Por ejemplo los parámetros Z se miden en condiciones de circuito abierto, mientras que los parámetros Y se miden en condiciones de cortocircuito.

Mediciones en altas frecuencias

1. Puerto a circuito abierto: se comporta como una carga reactiva capacitiva en el punto.2. Puerto en cortocircuito: se comporta como una carga reactiva inductiva en el punto.

3. Medición de tensión y corriente: por la aparición de ondas de tensión y corriente incidentes y reflejadas se dificulta la medición de V e I absolutas.4. Algunos circuitos activos no toleran funcionar en condiciones de circuito abierto o cortocircuito.

. tan.

. tano L

in oL o

Z j Z xZ Z

Z j Z x

Líneas de transmisión

( ) ( ). . . .x x x xi rx i r x

o o

V VV V e V e I e e

Z Z

o

R j LR j L G j C Z

G j C

m

HyL

mR

m

FC

m

SG

Para líneas sin pérdidas: R=0 y G=0

xj

o

rxj

o

ix

xjr

xjix

eR

Ve

R

VI

eVeVV

..

..

)(

)(

1

2

p

p

j L j C j LC vLC

vj j

f

o

LZ

C

Desarrollo Teorico en : Microwave Engineering 3rd Edition – David M. Pozar – Paginas 49 a 52

Recordando que la tensión y la corriente en una linea de transmision pueden ser representados en cualquier punto x como la suma de una onda incidente y una reflejada:

Y segun el desarrollo visto en la clase de reflectometría:

Recordando relaciones:


Coeficiente de reflexión

( )

( ) ( ) ( )2 2( )

( )( ) ( )

( )

.. .

.

xr

xi

xo

xx x o xx xx

xx x o xo

x

V e reflejada

V e incidente

VZ

IV I Z Ie e

VV I Z IZ

I

( )

( )

. .

. .

x xx i r

x xi rx

o o

V V e V e

V VI e e

Z Z

( ) ( )

( ) ( )

..

2.

.2

x x oxi

x x oxr

V I ZV e

V I ZV e

Partiendo de la definición de tensión y corriente absoluta, despejamos la tensión incidente y reflejada (se realiza un cambio de variable para reemplazar x por –x):

Se define luego:


Z

IMPED

1 2

3 4

COAX4Z=50

ZIMPED

ACCSID=I1Mag=1 mAAng=0 DegOffset=0 mADCVal=0 mA

os

oss ZZ

ZZ

oL

oLL ZZ

ZZ

2 xL o

L o

Z Ze

Z Z

Coeficiente de reflexión

El coeficiente de reflexión indica cuanto de la onda que incide sobre la impedancia Zx se refleja con una impedancia de referencia Zo y con que fase. Si la constante de atenuación es cero, el coeficiente de reflexión no tiene atenuación.La impedancia Zx es la relación entre tension y corriente absoluta en el punto de interés, en X=0, Zx=ZL.Otro valor muchas veces especificado es la Relacion de Onda estacionaria de Tension (VSWR):

Este toma valores entre 1 e infinito.

L o

L o

Z Z

Z Z

1

1VSWR


60lno

DZ

d

Cable coaxial Microstrip

0,7528

2

30,666

24

3

4

2ln 1

2

6 2 6

1 1 101 , con

2 2

1 1521 ln ln 1

49 0,432 18,7 18,1

o

re

u

ab

r rre

FZ

u u

F e

Wu

u h

uu

ua

u

Maxim AN2093 – Página 4

Maxim AN2093 – Página 2

Cálculo de Líneas (QUCS)

Soft QUCS (GNU): http://qucs.sourceforge.net/Ecuaciones Microstrip y otras líneas: Microwave Engineering 3rd Edition – David M. Pozar – Pagina 143

Existen muchos tipos de líneas de transmisión, utilizadas para distintas aplicaciones. Algunas de las más utilizadas son el cable coaxial, las líneas de microstrip y las guías deOnda. Normalmente la impedancia caracteristica de las lineas de tx es independiente de la frecuencia. Como regla aproximada es necesario pensar en lineas de transmision cuando la longitud de onda de la señal es comparable con las dimensiones del circuito.

Parámetros S(de una red de 2

puertos)

. .

Re Re

x xi r

x x

o o

V e V ea b

Z Z

1

1

b

a

NP1 P22

2

b

a

2 22 2

i r

o o

V Va b

Z Z

2221212

2121111

..

..

aSaSb

aSaSb

2

1

2221

1211

2

1 .a

a

SS

SS

b

b

Definiciones: Kaneyuki Kurokawa propuso en 1965 la utilización de unas nuevas variables para la determinación de los parámetros S.

Habiendo fijado una Zo podemos ahora obtener los parámetros S de un sistema con una impedancia de referencia Zo. Tomando como variables independientes a las ondas de potencia entrantes y como dependientes a las salientes:

Zo es en la mayoría de los casos es un valor real , luego podemos definir las “ondas de potencia”:

. .

x x

i rx x

o o

V e V ea b

Z Z

2221212

2121111

..

..

aSaSb

aSaSb

02

112

02

222

1

1

a

a

a

bS

a

bS

01

221

01

111

2

2

a

a

a

bS

a

bS Coeficiente de reflexión del puerto 1 cuando a2 es igual a cero. Relaciona

tensión incidente con tensión reflejada en el puerto 1.

Coeficiente de transmisión de 1 a 2 cuando a2 es igual a cero. Relaciona tensión reflejada (saliente) en el puerto 2 con tensión incidente en el puerto 1.

Coeficiente de reflexión del puerto 2 cuando a1 es igual a cero. Relaciona tensión incidente con tensión reflejada en el puerto 2.

Coeficiente de transmisión de 2 a 1 cuando a1 es igual a cero. Relaciona tensión reflejada (saliente) del puerto 1 con tensión incidente en el puerto 2.

Parámetos SSi despejamos cada parametros S, haciendo cero a la variable independiente que no lo involucra obtenemos los parametros S por definicion. Observe que los subindices indican primero cual es el puerto por el “que sale la onda” y luego por cual “entra la onda”.

Parámetros S como relaciones de potencia

1

22 2 2

22 222 0

r

ia

b PS

Pa

2

22 1 1

11 211 0

r

ia

b PS

Pa

Conociendo las potencias incidentes y reflejadas en cada puerto podemos obtener los parámetros S. Estas relaciones tienen nombres característicos muy utilizados en la práctica general y en la bibliografía.

2

22 2 2

21 211 0

r

ia

b PS

Pa

1

22 1 1

12 222 0

r

ia

b PS

Pa

2

11Return Loss = 10.log S dB

2

21Atenuación = 10.log S dB

Provee informacion sobre la adaptacion del puerto respecto de la Zo

Indica la calidad de la señal transmitida y el ancho de banda, con ZL = Zo.

Ver ejemplos de las hojas de datos de minicircuits.

Parametros S de redes de N puertos

11 12 1

21 12 2

1 2

n

n

n n nn

S S S

S S SS

S S S

La representacion de una red de N puertos se puede hacer de la misma manera que antes, La matriz S aumenta su tamaño como la cantidad de puertos al cuadrado.

Por ejemplo:

2 3 4

1 2 3 5

331

1 0, 0, 0,..., 0

444

4 0, 0, 0, 0..., 0

n

n

a a a a

a a a a a

bS

a

bS

a

Para realizar la medicion sobre un puerto, todos los demas puertos deben tener su ZL = Zo, es decir que ai=0 para todos los demas puertos.

PORT

RESR=R2 Ohm

TLINZ0=Ro2 Ohm

RESR=R1 Ohm

ACVSMag=1 VAng=0 Deg

TLINZ0=Ro1 Ohm

RESR=R2 Ohm

TLINZ0=Ro2 OhmS2P_BLK

a1

b1

a2

b2

Condición de medición (a2=0)

Para que a2 sea cero, la resistencia de carga (denominada terminación) debe ser igual a la impedancia de referencia. Esto no implica que la impedancia de salida ni de entrada del dispositivo bajo ensayo (DUT) deban ser iguales a las impedancias de la línea de transmisión (o impedancia de referencia).

b2=a

a2=b

2 0

2 0

1

1 111

11 1

1 11 1

111 11

1

.

r

o r

i ia

o

r i

in o

in oa

V

Zb VS

Va VZ

V V

Z ZbS

a Z Z

2

2 2 2. .L

L L L

a b

b b a b

La onda a2 depende únicamente del coeficiente de reflexión de la carga:

(Solo si a2 = 0)

Condición de medición (a2=0)

2

2

1111

1 10

2

2 12 221

11 1 20

1

in o

in oa

o o

oa

o

Z ZbS

a Z Z

V

Z Zb VS

Va V Z

Z

Condición de medición (a1=0)22

222 2

1

1 21 112

22 2 1

2

out o

out o

o o

o

o

Z ZbS

a Z Z

V

Z Zb VS

Va V Z

Z

Ejemplos1) Calcule los parámetros S de un resistor en derivación con:

a) Zo= 50 ohmb) Zo =10 ohmc) Zo=1 ohm

a)

11

11

11

11

1 / / 0,98

0,98 500,96

0,98 50

20.log 0,96 0,35

in o

in o

in o

dB

Z ZS

Z Z

Z Z

S

S dB

Recuerde: RL = a Zo para la medición de S11.

2

12 221

1 1 20

2 1

. or

i oa

r

Zb VS

a V Z

V V

1 1 1

1 1

11

11

.(1 )

0,98 500,962

0,98 50

1

0,038

i r

i in

in oin

in o

iin

i

V V V

V V

Z Z

Z Z

luego

VV

VV

2 121

11

21

21

0,038

0,038

20.log 0,038 28

0

r

i

V VS

VV

S dB

V2V1

Por ser una estructura simétrica desde el puerto 1 y 2:

22 11

12 21

S S

S S

0,962 0,038

0,038 0,962S

Obs: El valor de Rg no es utilizado en el calculo de los parámetros S11 y S22.

b) Zo = 10

11

11

1/ / 0,9090

0,9090 100,833

0,9090 10

in o

in o

in o

Z ZS

Z Z

Z Z

S

Recuerde: RL = a Zo para la medición de S11.

2 1

11

11

0,9090 100,833

0,9090 10

1

0,167

r

in oin

in o

iin

i

V V

Z Z

Z Z

luego

VV

VV

S21

2 121

1 1

0,167/ 0,167

r

i

V VS

V V

V2V1

S22 y S12

Por simetría:S22=S11S12=S21

0,833 0,167

0,167 0,833S

c) Zo = 1

0,333 0,667

0,667 0,333S

V2V1

S11 y S21:

S22 y S12:

Conclusión de los ejemplos

50

0,96 0,038

0,038 0,96oZS

10

0,833 0,167

0,167 0,833oZS

1

0,333 0,667

0,667 0,333oZS

Los valores de los parámetros S dependen de la impedancia de referencia elegida. Ésta impedancia suele ser igual a la impedancia característica de las líneas de transmisión del

circuito.

Propiedades de los parámetros SRedes recíprocas:Tienen las mismas propiedades de transmisión. Es decir que la matriz S=S_traspuesta.

Redes sin pérdidas:No absorben energía, por lo tanto la potencia que entra a la red es igual a la que sale.

Redes con pérdidas:Se disipa potencia dentro de la red.

ij jiS S

2 2

i ia b

2 2

i ia b

Archivos TouchstoneSon archivos de texto con extension tipo “.SnP” que nos entregan los fabricantes de dispositivos de alta frecuencia, los cuales especifican los parametros S del dispositivo, sobre que impedancia de referencia fueron medidos y otros datos accesorios.

! Created Mon Dec 05 17:09:11 2005# hz S ma R 50! 2 Port Network Data from SP1.SP block! freq magS11 angS11 magS21 angS21 magS12 angS12 magS22 angS22 ! 50000000 0.616852868 5.72994049 6.57916954 178.707307 0.0754399972 25.6182588 0.584887252 -20.332838 100000000 0.526937584 -4.43256367 6.06911572 173.607818 0.0882124868 15.1932427 0.484032096 -21.26939 150000000 0.499411356 -6.49517816 5.8680228 171.740384 0.0919533271 9.93160273 0.445715264 -20.5953815

La especificacion de la medicion se realiza mediante la siguiente linea: # <frequency unit> <parameter> <format> R <n> , el “!” es un comentario. Segun la cantidad de puertos que posee el dispositivo el archivo sera S1P , S2P, S3P, etc.

Especificacion Touchstone: http://vhdl.org/ibis/connector/touchstone_spec11.pdf

Simulación con touchstoneHabiendo obtenido el archivo SnP del dispositivo de interes podemos simularlo para obtener el comportamiento del sistema en su conjunto. Para esto existen muchos tipos de software distintos como:ADS (Agilent Technologies) Ansoft Designer (ANSYS)AWRQUCS (software GNU)

Utilizaremos como ejemplo el soft QUCS simulando el archivo “isl55010.s2p” bajado de la pagina del fabricante INTERSIL.

Link al archivo touchstone: http://www.intersil.com/data/mm/isl55010iez.s2pLink a QUCS: http://qucs.sourceforge.net/

GRAFOSEl analisis de circuitos complicados con parametros S puede ser simpificado utilizando la tecnica de grafos (igual que la usada en Sistemas de Control).

Reglas:

1.Cada variable es un nodo.2.Cada rama es un parametro S3.De las variables independientes salen las ramas y entran en las variables dependientes.

De un generador:

Agilent App Note 95-1. Pag. 19

Agilent App Note 154. Pag. 16

Recuerde la clase de reflectometria V_incidente.

GRAFOSRepresentacion de una carga:


Combinando los diagramas del generador y la carga, intercalando un cadripolo con sus parámetros S:


2 2 2 2= 1

L

L L

b a

P a b a

Regla de Mason (non-touching loops)

T: es la relación de un nodo a otro.Tk: ganancia del camino K-esimo.

.k kk

TT

1 todas las ganancias de lazo

Productos de ganancias de 2 lazos

que no comparten ningun nodo

Productos de ganancias de 3 lazos

que no comparten ningun nodo

...

es el valor de pero desconectando el

camino k-esimo. k

Para obtener cualquier transferencia como la relacion entre dos variables (o nodos) se aplica la regla de Mason, esto permite mediante inspeccion resolver redes complicadas de manera sistematica.

Por ejemplo para el siguiente sistema, el denominador es:

11 22 21 12 11 221 s L L s s LS S S S S S

Potencia disponible de un generador: La máxima potencia disponible de un generador se obtiene cuando el coeficiente de reflexión de la carga es igual al conjugado del coeficiente de reflexión del generador. Esta condición es la misma que la enunciada en teoría de circuitos. (ZL =Zg*).Supongamos que conectamos un generador con una Zs a una carga ZL mediante una línea de transmisión (sin atenuación) con una impedancia característica Zo. Tomamos entonces como impedancia de referencia para los cálculos una Zo (es igual a la impedancia de la línea, pero podría no serlo y el resultado sería el mismo).

Por ser la impedancia de la liínea igual a la impedancia de ref, el S11 y el S22 son cero. Además el S12 y el S21 son 1 si consideramos que la línea no tiene atenuación.

Realizando un ejemplo numérico: Vs=1V(rms) Zo=1 Zs=102

2

2

1. 1 10 18.2644 0.8182

1 10 10 1

8.264425

1 0.8182

s s

avs

b mW

mWP mW

22 **

2 2

2 2 2 2 2* * *

2* *

. Esta es la onda de potencia saliente del generador

1 y

1 1 1

como 1 1

s os

s o

s ss s s

avss s s s s s

s s s

V Rb

R R

bb bb a Luego P b a

2

21

savs

s

bP

Lo cual concuerda perfectamente con la teoría clásica:Pueden corroborar colocando otro valor de Zo y veran que el valor de Pavs es siempre el mismo.

2 2125

4. 40s

avss

VP mW

R

Coeficientes de reflexión con cargas distintas de Zo

Cuando la carga del sistema cuyos parametros S tenemos es distinta de Zo, el coeficiente de reflexion a la entrada se ve afectado, aplicando la regla de mason podemos calcularlo:

1 21 1211

1 22

21 12222

2 11

1

1

Lin

L

sout

s

b S SS

a S

S SbS

a S

Observe que si los coeficientes de reflexión en la carga o el generador son CERO los coeficientes de reflexión en 1 y en 2 son iguales a S11 y S22 respectivamente.

221 1 1 11 22 21 12 1

1 1

11 22 21 12 21 1211

22 22

1. 1(1 ).

(1 )

1. 1 1

Ls L Lin

s s s

L L Lin in

L L

Sbb b b S S S S a

a b a b b

S S S S S SS

S S

Realizando el mismo desarrollo para el coeficiente de reflexion de la salida, se obtienen ambos coeficientes con una Zo generica.

Generador equivalente

Realizando una analogia al equivalente de thevenin podemos reemplazar un dispositivo de dos puertos mas un generador por un generador equivalente, con un bs_equiv y un GammaS_equiv.

' 21

11

' 21 12222

2 11

1

1

ss

s

ss

s

b Sb

S

S SbS

a S

Observe que si los coeficientes de reflexión en la carga o el generador son CERO los coeficientes de reflexión en 1 y en 2 son iguales a S11 y S22 respectivamente.

Perdidas de inserción

Es una relacion definida entre la potencia entregada a una carga con un DUT de dos puertos respecto de la potencia entregada por el mismo generador a la misma carga sin el DUT.

2 2'21

2

11 22 12 21 11 22

1

1

10.log

s LL

L s L s L s L

dB

SPIL

P S S S S S S

IL IL

Observe que si los coeficientes de reflexion de la carga y generador son cero (es decir que esta esta adaptada a Zo) , la perdida de insercion es igual a la atenuacion.

Ejemplo de aplicaciónSupongamos que tenemos un generador de tension de 1V rms con una Zs de 50ohms y queremos conectarlo a una carga de 50ohms, pero la linea de transmision que tenemos para hacer esta conexion es de 10ohm. La frecuencia del generador es de 1GHz y el largo de la linea es de 0.2 metros.La teoria clasica diria que la potencia disipada en la carga es la maxima potencia disponible, dado que ZL = Zs_conj, veremos que por el hecho de acoplar el sistema con una linea de transmision de Zo distinta de ZL y Zs esto no ocurre.Para analizar el sistema tomaremos como impedancia de referencia la de la linea y resolveremos la potencia en la carga como : 2 2

L L LP a b

11 22

21 12

240

240

Como Zo=10 0 y por ser una linea sin perdidas

2 donde entonces 240

0

0

j

j

jlinea

S S

fS S e l l

C

eS

e

Calculando los coeficientes de reflexion de la carga y el generador:50 10

0,666 0,66650 10s L

2 212 2

21 12

22 2 2 2 221

2 2 22

21 12

Aplicando la regla de Mason: y 1

Elevando al cuadrado para hacer la resta de potencias: y 1

Recuerde que

Ls L s

s L

L s

os

b Sa b

b S S

Sb b a b

S S

V Zb

o LZ Z

Ejemplo de aplicaciónReemplazando los valores:

22

2 22480

2 2 2

2 2

1 10 2,77 0,0527

10 50 1,64181 0.666

1,687 1,687 0.666 0,7496

1,687 0,7496 0,9374

Se puede observar entonces que la potencia absorbida por l

ss

j

L

bV mWb W b

e

b mW a mW mW

P mW mW

2

a carga es menor

que si no estuviera la linea de Tx.

1Clasicamente P = = =5mW

4 4.50

0,937419% es el porcentaje de la potencia que se disipa en RL contra la

5que teoricamente lo haria si est

LL

V

R

mW

mW

uviera todo el sistema adaptado.

Este mismo ejeplo puede calcularse con la ecuacion de la impedancia de entrada en una linea de transmision con ZL distinta de Zo. La potencia luego se puede ver como la parte real del producto de tension y corriente conjugada en Zin.

*.

V I Re .L o s in sin o in in L in in

o L o in o in

Z jZ tg l V Z VZ Z P V I

Z jZ tg l Z Z Z Z

Ejemplo de aplicación cont

Utilizando el simulador Qucs y el software Smith V3.0 podemos realizar un barrido en frecuencia del generador y ver como la RL se refleja al principio de la linea como distintas cargas al “girar” en el diagrama de Smith.

Normalizando ZL respecto de Zo:

5

Linea de Tx: 10 y 0.2

LL

o

o

Zz

Z

Z L m

Medicion de los parametros SPara realizar estas mediciones existe un instrumento especifico, llamado Analizador Vectorial de Redes, el cual posee dos puertos (algunos tienen mas) y puede asi medir al mismo tiempo a1, a2, b1 y b2. Este instrumento entrega la medicion del modulo y el angulo de los 4 parametros S en funcion de la frecuencia, llegando algunos hasta 20GHz o mas. Ambos puertos se comportan como fuente y carga en distintos momentos.

E5071C ENA Network Analyzerhttp://www.home.agilent.com/agilent/product.jspx?nid=-536902639.350794.00&cc=US&lc=eng

Esquema simplificado de un VNA

Agilent Network Analizer Basis – Página 36

Medicion de S11 y S21:Conociendo la señal de referencia, b1 y a2 se obtienen de los acopladores direccionales.

Medicion de S22 y S12:Conociendo la señal de referencia, b2 y a1 se obtienen de los acopladores direccionales.

Un acoplador direccional es un instrumento de 3 puertos, de los cuales dos estan conectados directamente y por el otro se obtiene una muestra de la señal que va en una direccion por los otros dos. Este puerto esta galvanicamente aislado.

Medicion de los parametros SEn el caso de no contar con un VAN, podemos realizar las mediciones de las potencias incidentes y reflejadas a cada puerto contando con algunos instrumentos:

Analizador de EspectroGenerador de tracking del AEAcoplador direccionalCargas de 50ohmsCables de 50ohms

Medición de los parámetros SMedición de a1:

Medición de b1:

La potencia medida en el AE es igual a:2

1medida acoplamientoP a P


1medida acoplamientoP b P

Medición de los parámetros SMedición de b2:

Paraetros S por medición:


2medidaP a

2 2

1 211 212 2

1 1

11 1 1 1 1 1 1

21 2 1 2 1 2 1

Pueden calcularse como:

medido medido coupling couplingdB dB dB dB dB

medido medido coupling couplingdB dB dB dB dB

b bS S

a a

S b a b P a P b a

S b a b P a P b a

Obs: Para medir S22 y S12 hay que realizar el mismo procedimiento invirtiendo los puertos del DUT.

Por lo tanto restando las mediciones en dB de b1 y a1 obtenemos el valor Return Loss y restando b2 y a1 obtenemos la atenuacion.

Errores de medición

La potencia medida por el analizador de espectro es Pae:

Despejando bs:

La expresion resultante contiene dos terminos que afectan a la medicion de bs, el primero puede ser conocido y corregido (error sistematico), pero el segundo al no conocer el valor de los angulos de ambos coeficientes de reflexion, se convierte en un coeficiente de error aleatorio.

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 b

1 1

s Ls

ae L aeL s s L

bbP b a a b P

Al medir potencia con el analizador de espectro, la impedancia de entrada de este no esta exactamente adaptada a 50ohms, al igual que la impedancia de salida del dispositivo que estamos midiendo (puede ser un acoplador direccional, un oscilador, amplificador, etc) esto introduce errores en la medicion que ahora analizaremos. Planteando el sistema de grafos de un generador conectado al analizador de espectro por una linea de transmision (supuesta perfecta):

2

2

2

1

1

s Ls ae

L

b P

Mismatch Loss y Uncertainty

2 2 10.log 1 10.log 1

dBs ae L s Lb P

2

2

Mismatch Loss 10log 1

Mismatch uncertainty 10log 1

L

s L

Utilizando la teoría de variables aleatorias para informar el mismatch loss se puede aplicar la ley del coseno:Ley del coseno (fuente: wikipedia):

donde gamma es una variable aleatoria que varia entre 0 y pi uniformemente. El coseno de una variable aleatoria de distribución uniforme tiene una distribucion de tipo U.

Mismatch Loss y Uncertainty (cont)

2 21 1 2 coss L s L s L

1

1

Mismatch uncertainty 10log 1 2 cos

Desarrollando el polinomio de Mc Laurin de 1 1

10log 1 2 cos , Luego cambiando la base del logaritmo

4,343log 1 2 cos

Para valores muy chicos d

s L

s L

e s L

x x

MU

MU

e x, log (1+x) x , entonces

8,686 cose

s LMU

Ref: I .A. Harris , et al. “Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave power and attenuation”

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

100

200

300

400

500

600

700

800

900

En MATLAB: % Histograma del coseno de una variable aleatoria con distribucion uniformeclc; phi = random('unif',0,pi,[1 10000]); x = cos(phi); hist(x,100); fprintf('Desvio estandar = %f \n‘ , sqrt(var(x)) );


Recordando de la “unidad de incertidumbre” que la incertidumbre de una variable aleatoria se puede expresar como su desvío estandar. Entonces el “mismatch uncertainty” se puede expresar en funcion del desvío estandar de la distribución tipo U del coseno de gamma.

2_

2_

. . 8,686. .

1 (Varianza)

2

1 (desvio estandar)

28,686

. . .2

. . 6,1.

s L

dist U

dist U

s L

s L

M U

M U

M U

En la literatura el Mismatch uncertainty se puede encontrar en dB o en porcentual de la desviacion respecto de uno, para expresarlo en porcentual se parte de la expresion:

Luego si se lo quiere expresar en dB se vuelve a la formula anterior.Resumiendo llegamos a una expresión generica, de la cual podemos derivar las demás más simples para el cálculo del MU:

1.Para el peor caso:1. En dB:

2. En porcentual:

2.Teniendo en cuenta la distribución tipo U: 1. En dB:

2. En porcentual:

%

%

10log 1 2 cos

y se resta uno al parentesis dentro del logaritmo:

1 2 cos 1MU .100%

1MU 2 cos .100% (respecto de 1)

s L

s L

s L

MU


10log 1 2 coss LMU

8,686 dBs LMU

2 .100%s LMU

6,1 dBs LMU

1,41 .100%s LMU

EJEMPLO DE APLICACION:Las hojas de datos del analizador de espectro especifican el coeficiente de reflexion de la entrada y el del tracking generator como VSWR. Observe que el Mismatch Loss puede ser corregido por depender solo del modulo del coeficiente de reflexion, en cambio el Mismatch Uncertainty es aleatorio.

Por ejemplo para el AE N9320 de agilent el valor del VSWR de entrada y del TG es de 1,5 maximo, luego el modulo del coeficiente de reflexion es menor a 0,2. Entonces:

1

1ae

VSWR

VSWR

Utilizando el desvio estandar de la distribucion U:

6,1.0,2.0,2 0,246MU dB dB


2Mismatch Loss 10 log 1 0,2 0,177

suponiendo como maximo un 0,2 y un 0,2.

Para peor caso:

8,686.0,2.0,2 0,347

g s

dB

MU dB dB

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MedidasII _ Parametros S rev5.ppt