1. ĮVADAS. PAGRINDINĖS SĄVOKOS. NAGRINĖJIMO OBJEKTAI, HIPOTEZĖS

1.1. Naudojama schematizacija

Disciplina, kurią pradedate studijuoti, mokys jus pačių elementariausių ir svarbiausių šio mokslo tiesų; ši disciplina gali būti vadinama mokslo apie konstrukcijų skaičiavimo metodus abėcėle ir gramatika. Įprasta tradiciškai ją vadinti medžiagų atsparumu, kai kas vadina ją medžiagų mechanika, o, ko gero, labiausiai tinkamas pavadinimas būtų – konstrukcijų elementų mechanika.

Medžiagų atsparumo objektas yra deformuojamas kietas kūnas, tiksliau – konstrukcijos elementas. Teorinės mechanikos disciplina taip pat nagrinėja kietąjį kūną, bet ne deformuojamą, bet absoliučiai standų. Todėl nemažai teorinės mechanikos (ypač statikos) išvadų naudojama ir medžiagų atsparumo kurse, tačiau kai kas iš ten deformuojamam kūnui, deja, nebetinka.

Konstrukcijų elementus nagrinėsime trimis požiūriais, įvertindami tris konstrukcijų savybes: • stiprumą – savybę nesuirti dėl mechaninių veiksnių (apkrovų), • standumą – savybę priešintis deformavimui, t.y. savybę kuo mažiau deformuotis nuo

mechaninių veiksnių (apkrovų), • stabilumą – savybę išlaikyti savo pradinę pusiausvyros formą, o po mechaninių trikdymų

sugrįžti į tą pradinę pusiausvyrą.

1.1 pav.

Nėra absoliučiai stipraus, nėra absoliučiai standaus, nėra absoliučiai stabilaus elemento. Inžinierius, kurdamas ar naudodamas konstrukciją, siekia, kad visa konstrukcija ir atskiri jos elementai būtų pakankamai stiprūs, standūs ir stabilūs, kad jie šias būtinas savybes išlaikytų, veikiami numatytos apkrovos, per visą eksploatavimo laiką. Nors dažniausiai minime konstrukcijų stiprumo mokslą, tačiau suprantame, kad ši sąvoka apima ir standumą bei stabilumą.

Kad geriau įsivaizduotumėme, kas yra stipri, standi ir stabili konstrukcija, įvertinkime visais trimis požiūriais labai paprastą konstrukciją – kopėčias. Jei kopėčios nepakankamai stiprios, tai veikiamos lipančiojo svorio jėgos jos suluš. Jei kopėčios pakankamai stiprios, bet nepakankamai standžios (pvz. Iš plonų metalinių strypų), jos labai deformuosis, išlinks, ir užlipti jomis nepavyks. Pernelyg liaunos vertikalios kopėčios, veikiamos užlipusiojo svorio jėgos, gali prarasti savo pradinės (tiesios) pusiausvyros formos stabilumą, pereiti į kitokią pusiausvyros formą ir suklupti.

Taigi, medžiagų atsparumas yra disciplina, nagrinėjanti pastatų ir mašinų konstrukcijų elementų stiprumo, standumo ir stabilumo skaičiavimo inžinerinius metodus.

Pastarasis požymis (inžineriniai metodai) atskiria medžiagų atsparumą nuo visos grupės mokslų, taip pat priklausančių taikomosios mechanikos sričiai ir analizuojančių įvairius deformuojamus kūnus giliai teoriškai, tiksliai. Tarp šių mokslų – tamprumo, plastiškumo, valkšnumo teorijos, irimo mechanika ir t.t. Šiais, ypač tamprumo teorija, mokslais medžiagų atsparumas remiasi, bet jis padaro nemažai prielaidų, kurių dėka skaičiavimai tampa paprastesni ir patogūs kasdieninei inžinerinei praktikai.

Kad konstrukcijų elementų skaičiavimas nebūtų pernelyg sudėtingas, medžiagų atsparumo metodikoje daug kas supaprastinama, sukuriama konstrukcijos ar elemento skaičiuojamoji schema.

Konstrukcijos skaičiuojamoji schema yra sutartinis supaprastintos realios konstrukcijos bei jos atramų ir apkrovų grafinis atvaizdavimas arba aprašymas.

Schematizuojami trys dalykai: konstrukcijos elemento geometrinė forma, konstrukcinės medžiagos, apkrovos.

1-1

Konstrukcijų geometrinė forma būna labai įvairi, todėl neįmanoma sukurti paprastą skaičiavimo metodiką, tinkančią bet kokios formos elementui. Tad medžiagų atsparume nagrinėjami schematizuoti elementai (1.2 pav.):

elementai, kurių matmenys dviem (skersinėmis) erdvės kryptimis labai maži, palyginus su trečiąja (išilgine) kryptimi (strypai), elementai, kurių matmuo viena (storio) kryptimi labai mažas, palyginus su kitomis dviem

kryptimis – apriboti plokštumomis (plokštelės) arba kreivais paviršiais (kevalai), elementai, kurių matmenys visomis trimis erdvės kryptimis yra tos pačios eilės, maždaug

vienodi (masyvai).

1.2 pav.

Strypai skaičiuojamosiose schemose žymimi tik viena linija – savo geometrine ašimi. Schematizuotoje konstrukcijoje tiesiu strypu tampa ir kolona, ir sija, ir vagono ašis. Kreivas strypas atstoja ir arką, ir krano kablį.

Plokštė ir kevalas skaičiuojamosiose schemose žymimi savo viduriniu paviršiumi, t.y. paviršiumi, einančiu per šių elementų storio vidurį. Plokštės vidurinis paviršius – plokštuma, kevalo – kreivas paviršius. Schematizuotoje konstrukcijoje plokšte tampa pastato perdanga, plokščias valties dugnas. Kevalu schematizuojama skliautinė perdanga, garo katilas ir pan.

Masyvų pavyzdžiai – pamatai po mašinomis, hidroelektrinių užtvankos ir t.t. Konstrukcijos skaičiuojamojoje schemoje naudojamos ir schematizuotos atramos (1.3 pav.) –

standžios arba šarnyrinės, slankios arba neslankios.

1.3 pav.

Konstrukcinės medžiagos yra taip pat įvairios: metalai, mediena, plastikai, betonas, akmuo ir t.t. Kad būtų galima elementams, pagamintiems iš įvairių medžiagų, taikyti tuos pačius ar bent panašius skaičiavimo metodus, daromos kai kurios prielaidos.Svarbiausios prielaidos, galiojančios kone visame medžiagų atsparumo kurse, yra tokios:

medžiagos vientisumas, medžiagos vienalytiškumas (homogeniškumas), medžiagos izotropiškumas.

Nežiūrint to, kad medžiaga sudaryta iš smulkių dalelių, tarp kurių yra mikrotarpai, tariame, kad medžiaga pilna užpildo visą tūrį, t.y., kad medžiaga vientisa. Kai laikomės tokios vientisos medžiagos (kontinuumo) sąvokos, galime iš bet kurios deformuojamo kūno vietos išpjauti nagrinėjimui be galo mažą materialų kūno gabalėlį.

Vienalytės medžiagos savybės visuose kūno taškuose yra vienodos. Skaičiuodami dažniausiai tarsime, kad mūsų nagrinėjami konstrukcijų elementai pagaminti iš vienalytės medžiagos.

Izotropinė medžiaga – ta medžiaga, kurios savybės vienodos visomis kryptimis. Nors idealaus izotropiškumo nebūna, bet daugelis konstrukcijų medžiagų yra beveik izotropinės. Medžiaga, kurios savybės visomis kryptimis yra skirtingos, vadinama anizotropine.

Dažniausiai medžiagų atsparumo kurse kalbama apie idealiai tamprią medžiagą. Bet kokį elementą deformavus ir po to pašalinus deformavimo priežastį, jis nelieka tiek pat deformuotas. Dalis deformacijos visada išnyksta, o kai poveikis nebūna pernelyg stiprus, išnyksta ir visa deformacija, elementas grįžta į pirminį, nedeformuotą būvį. Deformacija, kuri išnyksta pašalinus priežastį, vadinama tampriąja (elastine) arba grįžtamąja. Deformacija, kuri lieka pašalinus priežastį, vadinama plastine arba liekamąja. Nei viena medžiaga nėra idealiai tampri. Tačiau kol poveikiai ne per dideli, tamprumo savybė būdinga daugeliui konstrukcinių medžiagų.

Apkrovos (jėgos) schematizuojamos keliais požiūriais: jos būna statinės arba dinaminės, sutelktosios (koncentruotosios) arba įvairiai išskirstytos.

1-2

Realiai konstrukcijos yra veikiamos gana sudėtingai, tačiau galima išskirti “grynuosius” deformavimo tipus:

tempimas, gniuždymas, kirpimas, sukimas, paprastasis lenkimas.

1.4 pav.

1.2. Išorinės jėgos. Apkrovos

Kiekviena konstrukcija, kiekvienas jos elementas yra veikiamas aplinkos. Aplinka veikia visokeriopai, bet mus domina visų pirma jos mechaniniai poveikiai, t.y. jėgos, nes būtent joms atlaikyti dažniausiai ir yra skirta konstrukcija. Kai kurie veiksniai turi įtakos konstrukcijos stiprumui, standumui (pvz., cheminis agresyvios aplinkos poveikis spartina metalo koroziją; dėl šiluminio ar radioaktyviojo poveikio kinta medžiagos savybės, net ir mechaninės; ir pan.), bet medžiagų atsparumo kursas nagrinėja daugiausiai tik jėgų įtaką konstrukcijai. Jėgų prigimtis pati įvairiausia – gravitacija, vėjas, vandens slėgis, judančių kūnų inercija, netolygūs temperatūrų laukai ir t.t. Kai jau sudaryta konstrukcijos skaičiuojamoji schema, kai nustatyta kiekvienos jėgos veikimo vieta (pridėties taškas), kryptis ir didumas, jėgos prigimtis tampa nesvarbia. Visas šias aplinkos sukeltas jėgas vadiname išorinėmis jėgomis. Išorinės jėgos skirstomos į:

• aktyviąsias jėgas, arba apkrovas, kurioms atlaikyti konstrukcija skirta, • kitų kūnų, į kuriuos konstrukcija atremta, reakcijas.

Apkrovos, kurios veiks konstrukciją, dažniausiai iš anksto yra žinomos. Konstrukcijos atramines reakcijas galima nustatyti teorinės mechanikos (statikos) metodais – pasinaudojant konstrukcijos pusiausvyros sąlygomis. Apkrovos skirstomos į:

♦ tūrines, ♦ paviršines, ♦ linijines, ♦ taškines (sutelktąsias, koncentruotąsias).

Tūrinės apkrovos – tai jėgos, veikiančios kiekvieną konstrukcijos elemento tašką. Tokios yra inercijos jėgos, magnetinės jėgos, bet dažniausia tūrinė apkrova – pačios konstrukcijos svoris. Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas į kubinį metrą (N/m3). Kadangi savasis svoris dažnai būna svarbus pravartu žinoti jo skaičiavimo kelią: konstrukcinės medžiagos tankį ρ (kg/m3) padauginę iš gravitacinio pagreičio g (9,81 m/s2), gauname tūrinę svorio apkrovą p (N/m3, nes 1 kg⋅m/s2 = 1 N).

Paviršinės apkrovos – tai jėgos, veikiančios konstrukcijos elemento paviršiaus plotą. Tokios yra vėjo ar vandens slėgio jėgos, dujų slėgis į rezervuaro sieneles ir pan. Dažnai skaičiuojamojoje schemoje ir gana sudėtingos apkrovos rodomos kaip tolygiai išskirstytos paviršinės apkrovos (pvz., pastato perdangos apkrova, kurią sudaro baldai, kitokie daiktai, žmonės, išreiškiama bendru krūviu, tenkančiu perdangos ploto vienetui; kai konstrukcijos elementas didelis ir nestoras, net ir jo paties svoris, t.y. tūrinė apkrova, reiškiamas kaip paviršinė apkrova). Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas į kvadratinį metrą (N/m2) arba paskalis (nes 1 N/m2 = 1 Pa).

Linijinės apkrovos – tai jėgos, išdėstytos vienoje linijoje (dažniausiai – tiesėje). Realių tokių jėgų beveik nėra (nebent nagrinėtume peilio ašmenų poveikį), bet jeigu paviršinės ar tūrinės jėgos veikia ilgą ir siaurą elemento ruožą, jų pridėties taškus galima sutraukti į vieną liniją – šio ruožo ašį (1.5 pav). Nuo tokio supaprastinimo konstrukcijos skaičiavimo rezultatai praktiškai nepasikeičia. ). Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas (N).

1-3

1.5 pav. Taškinės apkrovos – tai vieną konstrukcijos elemento tašką veikiančios jėgos. Ir tokių realių jėgų

(panašių į adatos smaigalio poveikį) nėra, bet labai mažame plote išskirstytas jėgas galima sutelkti (sukoncentruoti) į vieną tašką, to ploto centrą (1.6 pav). Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas (N).

1.6 pav.

Tūrinės, paviršinės ir linijinės apkrovos dažniausiai būna išskirstytos tolygiai po visą elemento paviršių ar tūrį, bet tenka susidurti su netolygiu jų intensyvumu, tokio netolygumo pavyzdys – vandens slėgis į užtvanką (1.7 pav).

1.7 pav.

Išorinės jėgos (apkrovos) gali sukurti jėgų poras, kurių poveikis į konstrukcijos elementą dažniausiai išreiškiamas jėgų momentu M (1.8 pav.; kai norėsime, kad šis simbolis, žymintis būtent išorinių jėgų momentą, skirtųsi nuo kitų momentų simbolių, jį patikslinsime indeksu Mf).

1.8 pav.

Teorinės mechanikos kurse išorinės jėgos veikė absoliučiai standų, nesideformuojantį kūną. Teorinė mechanika leido jėgą jos veikimo linijoje perkelti iš vieno taško į kitą (t.y. jėga buvo susieta tik su veikimo kryptimi ir nesusieta su pridėties tašku), leido jėgų sistemą pakeisti kita (ekvivalentine) sistema ir net viena atstojamąja jėga. Nuo tokių pakeitimų kūno judesys arba jo rimties būsena nepasikeičia. Įsidėmėkite: kai nagrinėjame jėgas, kurios veikia deformuojamą kūną, visi teorinės mechanikos veiksmai yra nebeleistini. Jei jėga pridedama prie kito konstrukcijos taško, ji kitaip deformuoja tą elementą (1.9 pav.).

1.9 pav.

Apkrovas suskirstėme pagal pridėties vietą. Pagal pridėjimo pobūdį jos skirstomos į: statines, dinamines.

Statine vadinama tokia apkrova, kurios didumas, kryptis ir pridėties vieta nekinta arba kinta tiek mažai, kad apskaičiuojant konstrukcijos būvio parametrus galima tarti, kad apkrova nepriklauso nuo laiko ir galima nepaisyti tokios apkrovos sukeliamų pagreičių bei inercijos jėgų. Kai norima pabrėžti, kad apkrova tik artima statinei (nes bent nedidelė inercija lydi beveik visas apkrovas), apkrova vadinama kvazistatine (t.y. “beveik statine”). Beveik visame savo kurse nagrinėsime tik statinių apkrovų veikiamus elementus.

Apkrova, kurios didumas, kryptis arba pridėties vieta greitai kinta, kuri dėl to sukelia konstrukcijos elementų pastebimą pagreitį, vadinama dinamine. Dažniausiai tokios apkrovos veikia elementus, kurie juda su pagreičiu. Ypatinga jų rūšis yra smūginės apkrovos. Pastarosios veikia labai trumpai (t.y. su dideliu pagreičiu). Dinaminis poveikis būna kelis ar net keliasdešimt kartų stipresnis nei statinis, todėl dinaminės apkrovos labai pavojingos konstrukcijai.

1-4

Apie daugumą išorinių jėgų yra iš anksto viskas žinoma: jų kryptis, dydis. Bet būna ir atsitiktinio pobūdžio apkrovų, kurių nei dydis, nei kryptis, nei veikimo trukmė iš anksto nėra žinomi. Tokį apkrovimą galima aprašyti tiktai tikimybių teorijos aparatu.

Išorinio veikimo mastas gali būti išreiškiamas ne tik žinoma jėga, bet ir kurio nors kūno taško ar kūno dalies poslinkiu. Gana dažnai (ypač praktikoje) yra žymiai paprasčiau išmatuoti ne apkrovos didumą, o vieno ar kito konstrukcijos taško poslinkį (t.y. deformavimo metu nueitą kelią). Apkrova (jei rūpi ją sužinoti) po to nustatoma skaičiavimu.

1.3. Vidinės jėgos. Pjūvio metodas. Įrąžos

Kietasis kūnas, taigi ir konstrukcijos elementas, išlaiko savo formą dėl to, kad tarp jo dalelių veikia įvairios jėgos – pradedant nuo branduolinių, atominių, molekulinių ir baigiant dalelių sukibimo, vidaus trinties ir panašiomis. Mus domina tik jėgos (arba tik tas jų prieaugis), kurios atsiranda kūno viduje dėl išorinių jėgų (apkrovų) poveikio. Būtent dėl tokių vidinių jėgų kinta kūno dalelių tarpusavio padėtis, kūnas deformuojasi. Taigi, vidinės jėgos – tai papildoma kūno dalelių sąveika, atsirandanti nuo išorinių jėgų. Nors išorinės jėgos yra vidinių jėgų atsiradimo priežastimi, tačiau jų kryptys ne visada sutampa! Pvz., lenkiant elementą, nors išorinės jėgos veikia skersai, vieni elemento taškai išilgai elemento suartėja, kiti – atitolsta vieni kuo kitų.

Pjūvio metodas naudojamas nustatyti vidinių jėgų didumui ir kryptims. Panagrinėkime populiariausią ir patogiausią šio metodo algoritmą, susidedantį iš trijų etapų:

Pirmasis etapas. Apkrovų veikiamame konstrukcijos elemente (1.10 pav., a) ten, kur norime nustatyti vidines jėgas, darome tariamąjį pjūvį (1.10 pav., b). tokiu būdu elementą padalijame į dvi dalis, pvz., kairiąją K ir dešiniąją D.

⇒

⇒

⇒

Antrasis etapas. Vieną iš elemento dalių atmetame. Kad paliktoji dalis liktų pusiausvyra, prie jos vietoj atmestosios dalies pridedame pastarosios poveikį atstojančias vidines jėgas (1.10 pav., c). Šios jėgos veikia kiekvieną pjūvio tašką.

Trečiasis etapas. Rašome paliktosios nagrinėti elemento dalies pusiausvyros sąlygas (pusiausvyros lygtis), iš kurių apskaičiuojame vidinių jėgų parametrus.

Įprasta pjūvio vidinių jėgų parametrus reikšti, laikantis kurios nors sutartinės koordinačių sistemos.

1.10 pav.

Bet kaip išsidėsčiusių erdvėje jėgų sistemos pusiausvyros lygčių galima parašyti šešias, todėl iš jų galima surasti ne daugiau kaip šešis nežinomus parametrus (žiūr. 1.11 pav.)

1.11 pav.

Koordinačių sistemos būna įvairios. Kurią iš jų pasirinkti, - susitarimo reikalas. Mes dažniausiai

laikysimės sistemos, kurią sudaro du požymiai: sistema – stačiakampė (Dekarto), sistema – dešininė; jei atkištas dešinės rankos nykštys rodo z ašies kryptį, tai kiti sulenkti tos

rankos pirštai rodo teigiamą plokštumos xOy kampų matavimo kryptį, jeigu nagrinėjame elemento skerspjūvį, koordinačių pradžią sutapdiname su skerspjūvio svorio

centru; tokią koordinačių sistemą vadinsime – centrine, jeigu nagrinėjame strypą, jo išilginę ašį sutapdiname su z ašimi, teigiamos ašių kryptys – tokios, kaip 1.12 paveiksle.

1-5

1.12 pav.

Kaip parodyta 1.11 paveikslėliu, skerspjūvio vidines jėgas galima pakeisti šešiais vektoriniais dydžiais, orientuojantis pagal pasirinktos centrinės koordinačių sistemos ašis. Šie dydžiai vadinami įrąžomis.

Įrąža – tai vienas iš šešių vektorinių dydžių, atstojančių konstrukcijos elemento skerspjūvio vidines jėgas.

Kiekviena įrąža turi savo pavadinimą ir rodinį simbolį (1.11 pav.): skerspjūvio normalės (strypo išilginės ašies z) kryptimi veikia ašinė jėga, žymima raide N

(atitinka Foz), skerspjūvio plokštumoje (ašių x ir y kryptimis) veikia dvi skersinės jėgos, žymimos Qx ir Qy

(atitinka Fox ir Foy), skerspjūvio plokštumoje (išilginės ašies z atžvilgiu) veikia vidinių jėgų momentas, vadinamas

sukimo momentu ir žymimas raide T (atitinka Moz), skersinių ašių x ir y atžvilgiu veikia jėgų momentai, vadinami lenkimo momentais ir žymimi

raidėmis Mx ir My (atitinka Mox ir Moy). Priimta laikytis tokių įrąžų ženklų taisyklių (1.13 pav.):

• Ašinės jėgos ženklo taisyklė. Ašinę jėgą laikome teigiama, kai ji nukreipta nuo skerspjūvio (kai tempia).

• Skersinės jėgos ženklo taisyklė. Skersinę jėgą laikome teigiama, kai skerspjūvyje, matomame iš teigiamos z ašies pusės, ji veikia teigiamąja skersinės ašies kryptimi (arba skerspjūvyje, matomame iš neigiamos z ašies pusės, - neigiamąja kryptimi).

• Sukimo momento ženklo taisyklė. Sukimo momentą laikome teigiamu, kai skerspjūvyje, matomame iš atmestosios elemento dalies pusės, jis veikia teigiamąja kryptimi, t.y. prieš laikrodžio rodyklę.

• Lenkimo momento ženklo taisyklė. Lenkimo momentą laikome teigiamu, kai dėl jo elementas išlinksta taip, kad tempiami sluoksniai būna teigiamojoje pusėje (lenkimo momentui Mx - teigiamojoje y ašies pusėje, My - teigiamojoje x ašies pusėje).

Atkreipkite dėmesį į tai, kad dviejuose išpjauto elemento ruožo galuose (1.13 pav.) teigiamų įrąžų kryptys visada priešingos.

1.13 pav.

Įrąžas nustatome pjūvio metodu, pasinaudoję atpjautos elemento dalies pusiausvyros lygtimis. Patogiausia yra rašyti lygtis, susietas su nagrinėjamo skerspjūvio koordinačių ašimis:

∑ = 0xF , , ∑ = 0yF ∑ = 0zF , ( )∑ = 0xfM , ( )∑ = 0

yfM , ( )∑ = 0zfM .

Kiekvienoje iš šių lygčių tėra tik po vieną nežinomą įrąžą (kitų penkių projekcijos arba momentai prilygsta nuliui), todėl iš jų įrąžos lengviausiai apskaičiuojamos.

Įrąžos yra diferencialiniais ryšiais susijusios su apkrova. Ašinę jėgą N su apkrovos, veikiančios išilgai z ašies, intensyvumu g sieja tokia priklausomybė:

dzdNg −= , (1.1)

t.y. išilginės apkrovos intensyvumas yra lygus ašinės jėgos pirmajai išvestinei pagal z ašį. Skersinę jėgą Q (Qx arba Qy) su apkrovos, veikiančios skersai elemento ašies (x arba y kryptimi),

intensyvumu q sieja priklausomybė: 1-6

dzdQq −= , (1.2)

t.y. skersinės apkrovos intensyvumas yra lygus skersinės jėgos pirmajai išvestinei pagal z ašį. Lenkimo momentą su skersine jėga (Mx su Qy arba My su Qx) sieja priklausomybė:

dzdMQ = , (1.3)

t.y. skersinė jėga yra lygi lenkimo momento pirmajai išvestinei pagal z ašį. Iš pastarųjų dviejų priklausomybių galima gauti dar vieną:

2

2

dzMdq −= , (1.4)

t.y. skersinės apkrovos intensyvumas yra lygus lenkimo momento antrajai išvestinei pagal z ašį. Nepamirškite, kad ženklų taisyklės yra susitarimo dalykas ir laikantis kitokių taisyklių šių formulių

ženklai gali būti kitokie (vietoj minuso - pliusas ir atvirkščiai). Parašytų diferencialinių priklausomybių įrodymai pateikti A.Čižo knygoje (18-19 psl.).

Pagal įrąžų didumą sprendžiama, kuris skerspjūvis gali būti pavojingas, t.y. kuriame skerspjūvyje dėl vidinių jėgų gali suirti medžiaga arba atsirasti pernelyg didelės plastinės deformacijos. Nustatyti pavojingojo skerspjūvio vietą yra labai svarbu. Jeigu ją žinotume iš anksto, tai gal kai kada ir įrąžas skaičiuotume tiktai toje vietoje, o kitos vietos, kiti skerspjūviai nerūpėtų. Kai konstrukcija ir jos apkrova nėra pernelyg sudėtinga, patyręs inžinierius pavojingojo skerspjūvio vietą nustato beveik be skaičiavimo. Tačiau ši inžinerinė patirtis sukaupiama per ilgą laiką - nagrinėjant įrąžų pasiskirstymą įvairiai apkrautuose elementuose. Tą pasiskirstymą galima išreikšti analitiškai, rašant įrąžą kaip skerspjūvio koordinatės z funkciją: Qy(z), Mx(z) ir t.t. Tačiau vaizdžiausia yra įrąžos pasiskirstymą pateikti grafiko pavidalu - ties kiekviena skerspjūvio koordinate z atidedant pagal pasirinktą mastelį ordinatę, lygią įrąžos didumui. Tokie grafikai vadinami įrąžų diagramomis.

Studentui tenka nemaža laiko sugaišti, kol įgunda sudarinėti įrąžų diagramas, t.y. kol įgyja tą taip reikalingą inžinerinę patirtį, netgi inžinerinę intuiciją. Ir naudos iš įrąžų diagramų, atrodo, tiek ir tėra - būtent šitoji sukaupta patirtis ir, žinoma, kiekvienu atveju informacija apie ekstremines įrąžų reikšmes, apie pavojaus vietą.

Įrąžų diagramas sudaryti labai padeda diferencialinės įrąžų ir apkrovos priklausomybės (1.1)-(1.4). Užtenka įrąžų reikšmes apskaičiuoti tik tam tikruose, skaičiuojamuosiuose skerspjūviuose, o tarpuose tarp tų skerspjūvių diagrama gali būti išbrėžta remiantis anomis priklausomybėmis (iš priklausomybės nustatome, ar brėžti tiesę, ar parabolę ir t.t.). Įvairių patarimų, skirtų diagramų braižymui, yra literatūroje, čia jų nekartosime, bet su jais susipažinti būtina, kaip būtina ir daug diagramų patiems nubraižyti, nes tik per savo pačių įgūdžius atsiras toji svarbi inžinerinė intuicija.

1.4. Įtempimai. Ryšiai tarp įrąžų ir įtempimų

Vidines jėgas, veikiančias konstrukcijos elemento skerspjūvyje, galime išreikšti šešiomis įrąžomis. Tačiau šios įrąžos atspindi tik bendrą visų skerspjūvio vidinių jėgų poveikį, neduoda pakankamai tikslios informacijos apie vidines jėgas, veikiančias kurioje nors konkrečioje skerspjūvio vietoje, ties kurio nors skerspjūvio tašku, juo labiau apie vidines jėgas, veikiančias ne skerspjūvyje (t.y. ne statmename išilginei ašiai pjūvyje), o bet kuriame kitame, įstrižame ar išilginiame pjūvyje.

Jeigu bet kurio pjūvio bet kurio rūpimo taško k aplinkoje išskiriame labai mažą skerspjūvio ploto elementą AA (1.14 pav.), galime tarti, kad jame visos vidinės jėgos yra beveik vienodos krypties (jeigu taip nėra, dar mažiname ploto elementą - tol, kol mūsų prielaida pasidaro visiškai nebeabejotina).

1.14 pav.

Šių vidinių jėgų atstojamoji ∆F yra tokios pat krypties, kaip ir pačios vidinės jėgos. Atstojamoji gali būti suskaidyta į du komponentus - ∆Fn, veikianti pjūvio normalės kryptimi, ir ∆Ft, veikiantį pačioje pjūvio plokštumoje. Šių jėgų - atstojamosios ir jos komponentų - santykis su tuo plotu ∆A, kuriame veikia jų atstojamos vidinės jėgos (kai tas plotas nykstamai mažas), rodo vidinių jėgų intensyvumą ties tašku k:

1-7

pAFn

A=

∆∆

→∆ 0lim (1.5)

Vidinių jėgų intensyvumo matas yra įtempimas (įtempis). Tai yra vektorius, kurio kryptis tokia pat, kaip ties tuo skerspjūvio tašku veikiančių vidinių jėgų, o didumas prilygsta vidutinei vidinei jėgai, tenkančiai ploto vienetui.

Formule (1.5) išreikštas vidinių jėgų intensyvumas p vadinamas pilnuoju įtempimu. Žinoti vien jo didumą negana, reikia žinoti dar ir jo kryptį. Todėl dažniausiai ir medžiagų atsparumo kurse, ir visuose konstrukcijų skaičiavimuose naudojamasi ne šiuo pilnuoju įtempimu, o jo komponentais:

vidinių jėgų komponentų, veikiančių pjūvio normalės kryptimi, intensyvumu, kuris vadinamas normaliniu įtempimu ir žymimas graikiška raide σ (sigma),

AFn

A ∆∆

=→∆ 0

limσ , (1.6)

vidinių jėgų komponentų, veikiančių pjūvio plokštumoje, intensyvumu, kuris vadinamas tangentiniu įtempimu ir žymimas graikiška raide τ (tau),

AFt

A ∆∆

=→∆ 0

limτ . (1.7)

Tiek pilnasis, tiek ir normalinis ar tangentinis įtempimas matuojamas jėgos vienetais, tenkančiais ploto vienetui, kitaip sakant, slėgio vienetais. Tarptautinėje vienetų sistemoje pagrindinis įtempimų vienetas yra paskalis (vienas paskalis lygus vienam niutonui į vieną kvadratinį metrą). Paskalis žymimas Pa(1 Pa = lN/m2). Kadangi vieno paskalio įtempimas yra labai mažas, konstrukcijų skaičiavime įtempimai dažniausiai matuojami megapaskaliais (1 MPa = 106 Pa).

Tangentinio įtempimo kryptis nėra pilnutinai apibrėžta: žinoma tiktai, kad jis veikia pjūvio plokštumoje. Kai pjūvis orientuotas taip, kad jo normalė lygiagretė kuriai nors koordinačių ašiai, galima ir tangentinį įtempimą išskaidyti kitų dviejų koordinačių ašių kryptimis; tada visų trijų pilnojo įtempimo komponentų kryptys yra jau visiškai aiškiai nusakytos. Visų tokių įtempimų vaizdas (įtempimai šešiuose šonuose elemento, išpjauto trimis poromis plokštumų, lygiagrečių koordinačių sistemos plokštumoms) parodytas 1.15 paveikslėlyje. Šiame brėžinyje visos įtempimų kryptys yra teigiamos, o įtempimų simbolių indeksai susieti su koordinačių ašimis; tangentiniams įtempimams skiriamas dviraidis indeksas - pirmoji indekso raidė rodo ašį, kuriai statmena nagrinėjamoji plokštuma, antroji - ašį, kurios kryptimi veikia įtempimas. Nesunku įžvelgti ryšį tarp pilnojo įtempimo ir jo komponentų - normalinio ir tangentinių įtempimų, pavyzdžiui, plokštumoje, statmenoje z ašiai:

222zyzxzp ττσ ++= . (1.8)

1.15 pav.

Normalinių įtempimų ženklo taisyklė. Normalinį įtempimą laikome teigiamu, kai jis nukreiptas nuo pjūvio (kai tempia). Tangentinių įtempimų ženklo taisyklė. Tangentinį įtempimą laikome teigiamu, kai jis teigiamoje

pusėje esančiame pjūvyje veikia teigiamąja ašies kryptimi (arba neigiamoje pusėje esančiame pjūvyje - neigiamąja kryptimi).

Čia nagrinėjome įtempimus, veikiančius bet kuriame, bet kaip padarytame deformuojamojo kūno pjūvyje. Jeigu vėl grįšime prie strypo skerspjūvio (pjūvio, statmeno išilginei strypo ašiai), galėsime paieškoti ryšių tarp įtempimų ir skerspjūvio įrąžų: tokie ryšiai turi egzistuoti, nes ir įrąžos, ir įtempimai atstovauja tas pačias skerspjūvyje veikiančias vidines jėgas.

Išskiriame skerspjūvio teigiamajame kvadrate (tarp teigiamųjų a; ir y ašių) ploto elementą dA (1.16 pav.). Įtempimai šiame plotelyje yra σ, τx ir τy (kadangi nagrinėjame vienintelę plokštumą, statmeną z ašiai, šios ašies simbolio indeksuose neminėsime). Padauginę įtempimus iš ploto elemento dA, gauname tame

1-8

ploto elemente veikiančių vidinių jėgų atstojamosios komponentus σdA, τxdA, τydA. Analogiški jėgų komponentai veikia visuose ploto elementuose, iš kurių susideda nagrinėjamasis skerspjūvis.

1.16 pav.

Ašinė jėga yra visų vidinių jėgų projekcijų į z ašį suma. Kadangi atstojamosios jėgos komponentai τxdA ir τydA (1.16 pav.) projektuojasi į z ašį tašku (nuliu), tai tą sumą galime gauti, suintegravę skerspjūvio plote A vien tik komponentus σdA:

∫=A

dAN σ . (1.9)

Analogiškai gauname ir integralines skersinių jėgų išraiškas įtempimais:

∫=A

xx dAQ τ , . (1.10) ∫=A

ydAyQ τ

Lenkimo momentas yra suma visų vidinių jėgų momentų skerspjūvio ašies (x ar y) atžvilgiu. Atstojamosios jėgos komponentai τxdA ir τydA (1.16 pav.) nesukuria momento skerspjūvio ašies atžvilgiu, nes arba kerta tą ašį, arba yra lygiagrečiai jai, todėl lenkimo momentą galime išreikšti, suintegravę skerspjūvio plote A vien tik jėgas σdA, padaugintas iš atitinkamo peties (t.y. iš atitinkamos taško koordinatės, kuri gali būti ir teigiama, ir neigiama):

∫=A

x dAyM σ , . (1.11) ∫=A

y dAxM σ

Analogiškai gauname integralinę sukimo momento išraišką įtempimais (jėga σdA yra lygiagretė z ašiai ir todėl momento šios ašies atžvilgiu nesukuria):

(∫ −=A

xy dAyxT ττ ) , (1.12)

arba, jeigu vietoj tangentinio įtempimo komponentų τx ir τy imtume radialinės krypties komponentą τr ir jam statmeną τt (1.17 pav.),

∫=A

tdAT ρτ . (1.12a)

1.17 pav.

Atkreipkite dėmesį į tai, kad nėra nė vienos įrąžos, kuri būtų išreikšta abiem įtempimų tipais: trys įrąžos (N, Mx ir My) išreiškiamos tik normaliniais įtempimais, kitos trys (Qx, Qy ir T) - tik tangentiniais.

Jeigu įtempimai būtų žinomi, tai būtų paprasta formulėmis (1.9)-(1.12) apskaičiuoti įrąžų reikšmes. Tačiau dažniausiai, kai tiriame apkrautą konstrukciją, būna atvirkščiai: įrąžos didumas būna jau nustatytas (pjūvio metodu), o nežinomas, ieškomasis dydis būna įtempimas, kuris yra už integralo ženklo. Turime išsiaiškinti, kaip, kokiu dėsningumu įtempimai pasiskirstę skerspjūvio plote, išspręsti integralą, - tik po to gauname paprastesnes formules įtempimams skaičiuoti.

1-9

1.5. Poslinkiai ir deformacijos

Apkrovų veikiamas, konstrukcijos elementas deformuojasi - keičiasi jo matmenys ir forma. Deformuotąjį elementą galime aprašyti dvejopais parametrais - poslinkiais ir deformacijomis.

Taško linijinis poslinkis yra vektorius, kurio pradžia yra nedeformuoto kūno taške, o galas (viršūnė) - tame pačiame jau deformuoto kūno taške.

Galime panašiai apibrėžti kurio nors konstrukcijos elemento skerspjūvio, atskiros elemento dalies ar net ir viso elemento poslinki (pavyzdžiui, elementas, pats nesideformuodamas, gali erdvėje pasislinkti į naują padėtį dėl to, kad deformuojasi kiti su juo sujungti konstrukcijos elementai).

Linijinis poslinkis yra taško nueitas kelias. Jis matuojamas ilgio vienetais. Linijinis poslinkis gali būti suskaidytas į poslinkio komponentus koordinačių ašių kryptimis. Yra priimta komponentus ašių x, y ir z kryptimis žymėti raidėmis u, v ir w.

Jeigu žinome visų (arba bent svarbiausiųjų) konstrukcijos elemento taškų linijinius poslinkius, žinome ir tų taškų padėti po deformavimo, taigi žinome, kaip atrodo elementas po deformavimo. Išvada - elemento taškų poslinkiais galima aprašyti deformuotąjį konstrukcijos elementą.

Nors pakanka linijinių poslinkių, tačiau kai kada patogiau naudotis kampiniais poslinkiais. Atkarpos kampinis poslinkis yra kampas tarp atkarpos krypties nedeformuotame kūne ir tos pačios

atkarpos krypties jau deformuotame kūne. Kampinis poslinkis matuojamas radianais, miliradianais ar kitokiais kampo vienetais. Jis taip pat gali

būti reiškiamas vektoriumi ir skaidomas į komponentus pagal koordinačių ašis. Jeigu atkarpa ab (1.18 pav.) po kūno deformavimo atsidūrė padėtyje a1b1, tai vektorius aa1 yra taško

a linijinis poslinkis, vektorius bb1 - taško b linijinis poslinkis, o kampas bOb1 (taip pat vektorius) - atkarpos ab kampinis poslinkis.

1.18 pav.

Kitas parametras deformuotajam elementui aprašyti yra deformacija. Šis žodis buitinėje šnekoje vartojamas dažnai ir įgyja įvairią prasmę, kartais net perkeltinę. Mechanikos literatūroje, taigi ir medžiagų atsparumo kurse, šis terminas turi griežtai apibrėžtą ir vienintelę reikšmę.

Deformacija yra kūno dalelių tarpusavio padėties pokyčių intensyvumo matas. Linijinė deformacija ties kūno tašku kuria nors kryptimi yra tos krypties atkarpos ilgio pokyčio

santykis su pradiniu atkarpos ilgiu, kai tas ilgis nykstamai mažas (1.19, a pav.): ( ) ε=

∆→∆ ds

dsA 0lim . (1.13)

Kadangi linijinė deformacija išreiškiama ilgių santykiu, ji yra santykinis, bematis dydis (kartais reiškiama procentais). Linijinė deformacija žymima graikiška raide ε (epsilon). Iš (1.13) formulės matyti, kad teigiama deformacijos reikšmė gaunama tada, kai nagrinėjamoji atkarpa pailgėja, neigiama - kai sutrumpėja. Konstrukcijų elementuose deformacijos paprastai yra labai mažos, mažesnės kaip 0,001 (arba 0,1 %).

Linijinė deformacija nustatoma ties konkrečiu tašku ir konkrečia kryptimi. Kad būtų aišku, apie kurios krypties deformaciją kalbama, vartojami indeksai, pavyzdžiui, nurodantys nagrinėjamosios atkarpos kryptį - εab (pagal 1.19, a pav.) arba koordinačių ašių kryptis εx, εy, εz.

Deformacija gali būti vienoda visame deformuojamojo elemento ruože (ties visais to ruožo taškais), bet gali ji būti skirtinga ir ties gretimais taškais.

Dažnai vietoj (1.13) formulėje įrašytos santykio ribos naudojamasi pačiu santykiu (∆ds/ds)y tas santykis išreiškia vidutinę linijinę deformaciją.

Kampinė deformacija - kampo tarp dviejų statmenų nykstamai trumpų atkarpų pokytis (1.19, b pav.):

( abcbcab

cbaabc ) γ=∠−∠→→ 111

00

lim (1.14)

1-10

1.19, a ir b pav.

Kampinė deformacija yra kampas ir matuojama kampo vienetais (radianais ar pan.). Dažniausiai ji žymima graikiška raide γ (gama) su indeksais. Jeigu nagrinėjama kampinė deformacija plokštumose, lygiagretėse koordinačių sistemos plokštumoms, ji žymima γxy, γyz arba γzx. Iš (1.14) formulės matyti, kad teigiama kampinė deformacija yra tada, kai status kampas tarp atkarpų su smailėja, o neigiama - kai jis pasidaro bukas.

Kadangi, atsiradus kampinių deformacijų, bet koks stačiakampis elementas pašlyja (pasidaro nebe stačiakampis), dažnai kampinė deformacija vadinama šlyties deformacija, o kampas γ - šlyties kampu.

Deformacijų būvis bet kuriame kūno taške yra visiškai apibrėžtas, jeigu žinomos šešios deformacijos, orientuotos pagal koordinačių ašis: trys linijinės - εx, εy, εz, ir trys kampinės - γxy, γyz, γzx. Žinodami deformacijų būvį visuose kūno taškuose, galime nustatyti visų jo taškų poslinkius ir tuo pačiu aprašyti visą deformuotąjį kūną.

Verta dar kartą palyginti poslinkių ir deformacijų sąvokas, kad pajustumėte, kuo jos skiriasi. Vienoje ar kitoje deformuojamojo kūno vietoje gali būti deformacijų, bet nebūti poslinkių, ir atvirkščiai - būti poslinkių, bet nebūti deformacijų. Pavyzdžiui, konstrukcijos ruožas 1-2 (1.20 pav.), apkrovos veikiamas, nesideformuoja, bet visas pasislenka, tuo tarpu ruožas 2-3 įgyja deformacijas (pailgėja dydžiu ∆b), bet jo viršutinis galas neturi jokio poslinkio. Galima kalbėti apie taško, pjūvio, o kai kada net ištiso elemento poslinkį; tuo tarpu deformacija visada yra tiktai kūno (konstrukcijos elemento) - ne taško, ne pjūvio, o tiktai ties tašku, ties pjūviu, tam tikra kryptimi, tam tikroje plokštumoje.

1.20 pav.

1.6. Pagrindinės prielaidos ir hipotezės

Jau 1.1 poskyryje kalbėjome apie kai kuriuos suprastinimus, prielaidas, palengvinančias konstrukcijų parametrų skaičiavimą. Tai buvo konstrukcijų geometrinės formos, apkrovos ir medžiagos schematizacija. Geometrinės formos ir apkrovos schematizacija atsispindi konstrukcijos skaičiuojamojoje schemoje. O medžiagos schematizacija reiškiasi per medžiagos vientisumo, vienalytiškumo ir izotropiškumo prielaidas. Kalbėjome ir apie tai, kad didžiojoje medžiagų atsparumo kurso dalyje nagrinėsime tik idealiai tamprius elementus, nepatiriančius plastinių deformacijų. Dabar sąrašą papildysime prielaidomis, susijusiomis su pačiu deformavimo procesu.

Proporcingumo prielaida (Huko dėsnis). Tariame, kad apkrovimo metu įtempimai lieka proporcingi deformacijoms: normalinis įtempimas - linijinei deformacijai, tangentinis - kampinei:

σ=Eε, (1.15) τ=Gγ, (1.16)

čia proporcingumo koeficientai, priklausantieji nuo medžiagos, yra vadinami tamprumo moduliu (E) ir šlyties moduliu (G). Palyginę dydžių dimensijas, matome, kad šie moduliai matuojami paskaliais, o patogiausia juos reikšti gigapaskaliais (1 GPa=109 Pa); pavyzdžiui, plieno E≈210 GPa, G≈80 GPa, medienos (išilgai sluoksnių) E≈10 GPa, G≈5 GPa. Kiekvienos medžiagos tamprumo bei šlyties moduliai nustatomi eksperimentiniu medžiagos tyrimu. Beje, tamprumo modulis E kartais vadinamas Jungo moduliu.

Poslinkių mažumo prielaida. Tariame, kad visų apkrauto kūno taškų poslinkiai yra tiek maži (palyginus su kūno matmenimis), kad rašydami kūno statinės pusiausvyros sąlygas jų galime nepaisyti, t.y.

1-11

tas sąlygas galime rašyti pagal nedeformuoto kūno geometriją. Ši prielaida tinka daugumai konstrukcijų (plg. 1.21 pav.). Kai šios prielaidos taikyti neįmanoma, statinės pusiausvyros lygtys tampa netiesiškomis.

1.21 pav.

Sen-Venano principas, suformuluotas prancūzų mokslininko (Barre de Saint-Venant, 1797-1886), teigia, kad apkrovos paskirstymo pobūdis deformuojamajam kūnui įtakos turi tik nedidelėje dalyje, arti tos apkrovos pridėties vietos (tiktai čia galime pastebėti netolygų deformavimąsi ir skerspjūvių išsikraipymą), visur kitur kūno deformavimasis beveik nepriklauso nuo apkrovos paskirstymo, priklauso tik nuo apkrovos didumo. Šis principas, nors ir nėra teoriškai įrodytas, yra patvirtintas gausios praktikos. Laikydamiesi šio principo, lengviau atsižvelgiame į realių apkrovų, kartais gana sudėtingai pasiskirsčiusių, įtaką konstrukcijos patikimumui.

Plokščiųjų pjūvių hipotezė, dažnai vadinama suformulavusio ją Šveicarijos mokslininko J. BERNULIO (Jacob Bernoulli, 1654-1705) vardu, teigia: pjūvis, kuris buvo plokščias ir statmenas elemento ašiai prieš deformavimą, lieka plokščias ir statmenas ašiai ir po deformavimo. Ši hipotezė medžiagų atsparumo kurse plačiai naudojama, nes ją patvirtina daugelis eksperimentų. Ši hipotezė nepasitvirtina tik labai nedideliuose deformuojamųjų konstrukcijų elementų ruožuose - labai arti apkrovos pridėties vietų (kur negalioja ir Sen-Venano principas), prie pat tų vietų, kur keičiasi elemento skerspjūvis ir pan. Šiose vietose skerspjūviai po apkrovimo nebelieka plokšti, išsikraipo (pastebima vadinamoji skerspjūvių deplanacija). Visur kitur deplanacija tiek maža, kad galima jos nepaisyti ir tarti, kad skerspjūviai apkrovimo metu tik vienaip ar kitaip pasislenka, pasisuka, pasilikdami plokšti ir (tai irgi svarbu) statmeni besideformuojančiai elemento ašiai. Remdamiesi šia hipoteze, galime gauti gana paprastas formules įvairiems konstrukcijos būvio parametrams - įtempimams, deformacijoms ir kt. - skaičiuoti.

Superpozicijos principas teigia, kad kelių veiksnių (apkrovų, temperatūros pokyčių) bendra pasekmė (įrąža, įtempimas, deformacija, poslinkis ir kt.) yra lygi pasekmių, kurias sukelia kiekvienas paskiras veiksnys, sumai. Naudodamiesi šiuo principu, galime įvairius parametrus nesunkiai apskaičiuoti nuo paskirų nesudėtingų veiksnių, o bendrą rezultatą po to gauti, sumuodami atskirų skaičiavimų rezultatus. Tačiau būtina įsidėmėti, kad šis principas negalioja, kai deformavimas nėra proporcingas, t.y. kai negalioja proporcingumo (Huko) dėsnis, arba kai deformavimo metu labai pakinta skaičiuojamosios schemos geometrija (pavyzdžiui, kai negalioja poslinkių mažumo prielaida).

Kai nagrinėjama tik apkrovų (jėgų) veikimo pasekmė, superpozicijos principas dažnai vadinamas nepriklausomo jėgų veikimo principu.

1-12