UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAINSKI FAKULTET

Dr Valentina Golubovi - Bugarski

MEHANIKA 2 (Skripta izvodi predavanja)

Banja Luka, februar 2017.

1

PREDGOVOR

Ova skripta prireena su prema vaeem nastavnom programu predmeta Mehanika 2, koji se izvodi u II semestru I ciklusa studija na svim odsjecima Mainskog fakulteta u Banjoj Luci (I ciklus studija u trajanju od 4 godine).

Nastavno gradivo predmeta Mehanika 2 obuhvata kinematiku, kao dio mehanike krutog tijela u kojem se izuava kretanje take i tijela a da se pri tome ne uzimaju u obzir sile koje izazivaju dato kretanje. Obim gradiva prilagoen je fondu asova predavanja i vjebi (2+2). U skriptama je gradivo izloeno prirodnim redosljedom po kome je prvo obraena kinematika take, a potom kinematika krutog tijela.

Ovaj saeti tekst svakako e pomoi studentima u pripremanju ispita iz ovog fundamentalnog predmeta tehnike struke. Studenti se upuuju da ira i dublja saznanja iz podruja Tehnike mehanike, koja se obrauju u ovom nastavnom predmetu, steknu iz odgovarajue nastavne literature, udbenika i zbirki zadataka, dostupnih u bibliotekama i na internetu.

Banja Luka, februar 2017. godine

Autor

2

UVOD U MEHANIKU

MEHANIKA je nauka o optim zakonima mehanikih kretanja i ravnotee materijalnih tijela.

Zadatak mehanike, najoptije reeno, sastoji se u prouavanju kretanja matrijalnih tijela, tj. prouavanju promjene poloaja tijela i njegovih dijelova u prostoru tokom vremena. U toku kretanja razliita tijela mogu da vre, jedna na druge, mehaniki uticaj, npr. podstiui njihova kretanja ili im se suprotstavljajui. Takav meusobni uticaj jednog tijela na kretanje drugog tijela naziva se sila.

Ravnotea tijela predstavlja poseban sluaj mehanikog kretanja, pa je zadatak mehanike, takoe, prouavanje ravnotee materijalnih tijela.

Podjela mehanike:

Teorija kretanja i ravnotee apsolutno krutih tijela (mehanika krutog tijela) Teorija kretanja i ravnotee deformabilnih tijela (teorija elastinosti i plastinosti) Teorija kretanja i ravnotee tenih i gasovitih tijela (hidromehanika i aerodinamika,

mehanika fluida)

Mehanika krutog tijela moe se podijeliti na statiku, kinematiku i dinamiku.

Statika prouava ravnoteu materijalnih krutih tijela.

Kinematika se bavi prouavanjem kretanja materijalnih tijela, sa geometrijskog stajalita, ne uzimajui u obzir sile koje to kretanje izazivaju.

Dimanika pruava kretanje materijalnih tijela pri djelovanju sila, tj. dovodi u vezu kretanje materijalnih tijela sa mehanikim uticajima (silama) koji djeluju na tijela.

Bazu mehanike krutog tijela ine Njutnovi zakoni:

Prvi zakon: Svaka materijalna taka ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok djelovanjem sile ne bude prinuena da to stanje promjeni.

Drugi zakon: Promjena koliine kretanja materijalne take proporcionalna je sili koja djeluje na nju i vri se u pravcu i smjeru djelovanja sile.

Trei zakon (zakon akcije i reakcije): uzajamni mehaniki uticaji dvaju tijela ispoljavaju se silama jednakog intenziteta i pravca, a suprotnih smjerova.

Predmet Mehanika 2 podijeljen je na dva dijela: kinamtiku i dinamiku. Kinematika je podijeljena na kinematiku take i kinematiku krutog dijela, dok je dinamika podijeljena na dinamiku materijalne take, dinamiku materijalnog sistema i dinamiku krutog tijela.

3

UVOD U KINEMATIKU

Kinematika je dio teorijske mehanike u kome se prouavaju mehanika kretanja tijela ne uzimajui u obzir njihovu masu i sile koje dejstvuju na njih. U kinematici se prouavaju geometrijska svojstva kretanja tijela, tako da se kinematika naziva jo i geometrija kretanja.

Pod mehanikim kretanjem podrazumijeva se promjena poloaja koje tokom vremena jedno materijalno tijelo vri u odnosu na drugo materijalno tijelo. Mehaniko kretanje tijela je mogue prouiti samo ako postoji drugo tijelo (posmatra) u odnosu na koje vrimo uporeivanje, tzv. referentno tijelo. Pri prouavanju kretanja u kinematikom smislu, referentno tijelo se uvijek moe smatrati nepokretnim. Kada analitiki opisujemo poloaj tijela, referentno tijelo (posmatraa) predstavljamo takom O, a prostor u odnosu na koji se tijelo kree prikazujemo prostornim koordinatnim sistemom (referentnim sistemom), npr. Dekartovim koordinatnim sistemom sa poetkom u taki O.

Kretanje take ili tijela u odnosu na apsolutno nepokretni sistem referencije naziva

se apsolutno kretanje. Kretanje take ili tijela u odnosu drugo pokretno tijelo naziva se relativno kretanje.

Kretanje tijela se vri tokom vremena u prostoru, te stoga kinematika uvodi u analizu dvije veliine: duinu (L) i vrijeme (t), a njihove osnovne jedinice su metar i sekunda.

Vrijeme u klasinoj mehanici je pozitivna skalarna veliina koja se neprekidno mijenja i uzima se za nezavisno promjenljivu veliinu, koju obiljeavamo sa t. Sve ostale veliine u kinematici se posmatraju kao funkcije vremena. Prilikom mjerenja vremena uvodimo pojam poetnog trenutka, odreenog trenutka i intervala vremena.

Poetni ternutak naziva se trenutak od kada poinjemo da mjerimo vrijeme, tj. od kada poinjemo da posmatramo kretanje. Obino se usvaja da je poetni trenutak (t0=0). Vrijeme neprestano tee i argument t, u funkciji koga definiemo sve kinematike veliine, je pozitivna rastua veliina.

Odreeni trenutak t definie se brojem sekundi koje su protekle od poetnog trenutka.

Interval vremena t=t2t1 naziva se vrijeme koje protekne izmeu dvije odreene pojave, tj. razlika izmeu bilo koja dva trenutka vremena.

U kinematici se prouava kretanje krutih tijela, tj. tijela koja ne mijenjaju svoj oblik (nepromjenljiv razmak izmeu bilo koje dvije take tijela). Kretanje nekog tijela poznajemo ako poznajemo poloaj svake take toga tijela tokom vremena kretanja. Zbog toga je potrebno prvo prouiti kretanje take, a zatim tijela. Stoga se i kinemtika moe podijeliti na kinematku take i kinematku krutog tijela.

4

KINEMATIKA TAKE

5

OSNOVNI ZADATAK KINEMATIKE TAKE

Taka u kinematikom smislu jeste geometrijska taka koja mijenja poloaj u prostoru u toku vremena. Taka moe biti uoena taka nekog tijela, npr. M1,M2, ... ili to moe biti tijelo zanemarljivo malih dimenzija.

U kinematici take rjeavaju se dva osnovna problema:

Ustanovljavanje analitikih postupaka za definisanje kretanja take u odnosu na utvreni sistem referencije;

Odreivanje, na osnovu zadatog zakona kretanja, svih kinematikih karakteristika kretanja take u koje spadaju: trajektorija take, brzina i ubrzanje take.

Zavisnost izmeu proizvoljnog poloaja take u prostoru i vremena odreuje zakon kretanja take, pa je osnovni zadatak konematike take prouavanje zakona kretanje take.

Putanja ili trajektorija take je zamiljena neprekidna linija koju opisuje pokretna taka M u prostoru. Dio putanje izmeu dva uzastopna poloaja take M naziva se preeni put. Jednainu putanje take mogue je odrediti eliminisanjem vremena (parametra t ) iz zakona kretanja take.

Zavisno od oblika putanje take, razlikuje se pravolinijsko i krivolinijsko kretanje take.

Prouavanje kretanja take vri se u odnosu na uslovno apsoplutno nepokretni sistem referencije. Za definisanje proizvoljnog krivolinijskog kretanja take u prostoru najee se primjenjuju sljedee tri postupka:

1. Vektorski 2. Analitiki (koordinatni) 3. Prirodni

VEKTORSKI POSTUPAK ODREIVANJA PROIZVOLJNOG KRIVOLINIJSKOG KRETANJA TAKE

Poloaj take M koja se kree potpuno je odreen vektrom poloaja r , iji je

poetak u nekoj nepokretnoj taki O, a kraj u pokretnoj taki M. Poto taka M mijenja poloaj u odnosu na taku O tokom vremena, mijenja se i vektor poloaja r po intenzitetu, pravcu i smjeru. Prema tome, vektor poloaja r predstavlja vektorsku funkciju vremena t :

( )r r t=

6

koja se zove zakon kretanja take u vektorskom obliku ili konana jednaina krivolinijskog kretanja take u vektroskom obliku. Vektor poloaja rmora biti neprekidna funkcija vremena, jednoznana i dva puta diferencijabilna.

Putanja take dobije se konstrukcijom geometrijskih mjesta krajeva vektora poloaja r i naziva se hodograf vektora poloaja r .

ANALITIKI (KOORDINATNI) POSTUPAK ODREIVANJA KRETANJA TAKE

a) Dekartov pravougli koordinatni sistem

Vektor poloaja r take M moe se predstaviti u obliku

( ) ( ) ( ) ( )r r t x t i y t j z t k= = + +

gdje su i

, j

i k

jedinini vektori osa x , y i z . Vektorskoj funkciji r odgovaraju tri

skalarne funkcije

( ) ( ) ( ), ,x x t y y t z z t= = = koje se zovu zakon kretanja ili konane jednaine krivolinijskog kretanja take u Dekartovim koordinatama.

Eliminacijom parametra t iz jednaina kretanja dobija se jednaina linije putanje take.

b) Polarno cilindrini koordinatni sistem. Polarne koordinate.

Poloaj take M odreen je pomou koordinata

( ), ( ), ( )r r t t z z t = = =

koje se zovu zakon kretanja ili konane jednaine krivolinijskog kretanja take u polarno cilindrinim koordinatama. Rastojanje 'OM r= je polarno rastojanje i naziva se poteg, a je polarni ugao.

Ako se taka M kree u ravni xOy , onda je poloaj take odreen koordinatama

( ), ( )r r t t = =

koje se nazivaju zakon kretanja ili konane jednaine krivolinijskog kretanja take u polarnim koordinatatama, i dobiju se za z=0.

7

PRIRODNI POSTUPAK ODREIVANJA KRETANJA TAKE

Ako je poznata putanja (linija putanje take-hodograf vektora poloaja take), onda je poloaj take M potpuno odreen lunom (krivolinijskom) koordinatom s . Na putanji se uoi nepokretna taka A, koja se uzme za referentnu taku, i jedan smjer se usvoji kao pozitivan a drugi kao negativan. Orijentisani luk s tada jednoznano odreuje poloaj take M na putanji. Ako se taka kree du krive, onda se koordinata s mijenja tokom vremena, tj.

( )s s t= . Ova jednaina naziva se konana jednaina kretanja take po putanji ili zakon

kretanja take po putanji.

BRZINA TAKE

Vektor brzine take karakterie promjenu vektora poloaja u svakom trenutku vremena.

Pojam brzine take bie objanjen sljedeim razmatranjem. Posmatrajmo dva poloaja take na putanji, M i M1, koji odgovaraju vremenskim trenucima t i 1t t t= + . Veliina t je konani vremenski interval u kome taka pree iz poloaja M u poloaj M1, a vektor poloaja se promjeni za r . Ova veliina naziva se vektorski prirataj vektora poloaja r pokretne take.

Vektor srednje brzine take je definisan kolinikom:

( ) ( )1

sr

r t t r trvt t t

+ = =

Vektor srednje brzine ima isti pravac i smjer kao vektor r , tj. usmjeren je u smjeru kretanja take.

Srednja brzina take u nekom intervalu vremena karakterie promejnu vektora poloaja posmatranu za interval kao cjelinu, tako da na osnovu srednje brzine ne moemo nita

8

zakljuiti o nainu promjene poloaja take unutar intervala t . Ukoliko je interval t manji, utoliko srednja brzina precizinije pokazuje promjenu poloaja take u toku vremena.

Vektor brzine take v u datom trenutku vremena t je veliina kojoj tei vektor srednje brzine take kada interval vremena tei t nuli, tj. jednak je prvom izvodu vektora poloaja take po vremenu

0 0lim limsrt t

r drv v rt dt

= = = =

Daemo fiziko tumaenje ovoj definiciji brzine: Poto je vektor srv usmjeren du vektora

pomjeranja r , to kada interval 0t onda i 0r , tj. taka M1 postaje beskonano bliska taki M, odnosno u graninom sluaju poklapa se sa takom M. Pravac vektora r tei pravcu luka dsT dr=

u taki M, tj. tei pravcu tangente T

na putanju u taki M.

Iz ovog slijedi: Vektor brzine v take u datom trenutku vremena ima pravac tangente na trajektoriju u odgovrajuoj taki , a usmjeren je u smjeru kretanja take.

Vektor brzine take pri proizvoljnom kretanju karakterie tokom vremena promjenu vektora poloaja take po intenzitetu, pravcu i smjeru.

Intenzitet vektora brzine jednak je intenzitetu prvog izvoda vektora poloaja po vremenu

drvdt

=

a nije jednak

d rv

dt

.

(Pri kretanju take po krunoj putanji je intenzitet vektora poloaja constr = , pa je

0=dtrd

. Meutim, kako se mijenja pravac i smjer vektora poloaja onda je brzina take

razliita od nule. )

Ako se taka kree tako da se vektor brzine mijenja po pravcu, onda taka vri krivolinijsko kretanje, a ako je vektro brzine tokom vremena konstantnog pravca, onda taka vri pravolinijsko kretanje.

Ako se taka kree tako da je vektor brzine konstantnog intenziteta, za takvo kretanje kaemo da je ravnomjerno. U suprotnom je kretanje promjenljivo.

Dimenzija brzine je

[ ] [ ][ ]1duinav LT

vrijeme= =

U tehnikom sistemu mjera dimenzija brzine je metar u sekundi ms

.

9

UBRZANJE TAKE

Vektor ubrzanja take karakterie promjenu vektora brzine take u svakom trenutku.

Neka se u trenutku t taka nalazi u poloaju M odreenim vektorom poloaja r i neka ima brzinu v , a u trenutku 1t t t= + taka je u poloaju M1 i ima brzinu 1v v v= +

. Ovo znai da je u vremenskom intervalu t vektor brzine take dobio vektorski prirataj v , koji karakterie promjenu vektora brzine po pravcu i intenzitetu. Ako u taku M prenesemo paralelno vektor brzine 1v

i konstruiemo paralelogram u kojem je vektor 1v dijagonala,

onda je jedna stranica vektorski prirataj v brzine v . Dijeljenjem vektora v sa intervalom vremena t , dobiemo srednje ubrzanje za interval vremena t

( ) ( )1

sr

v t t v tvat t t

+ = =

Vektor srednjeg ubrzanja take utoliko tanije odraava promjenu vektora brzine ukoliko je manji interval vremna t .

Vektor ubrzanja take u datom trenutku vremena dobijemo za granini sluaj, kada 0t ,

0 0lim limsrt t

v dva a vt dt

= = = =

Kako je vektor brzine take jednak izvodu po vremenu vektora poloaja take, moe se napisati da je

2

2

dv d dr d ra rdt dt dt dt

= = = =

Vektor ubrzanja take u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine take po vremenu, ili drugom izvodu vektora poloaja take po vremenu.

U optem sluaju krivolinijskog kretanja take vektor ubrzanja karakterie promjenu vektora brzine take tokom vremena po intenzitetu, pravcu i smjeru. Iz ovog slijedi da je ubrzanje take jednako nuli samo kada je brzina take tokom vremena konstantna po pravcu i intenzitetu, tj. u sluaju ravnomjernog pravolinijskog kretanja.

Intenzitet vektora ubrzanja jednak je intenzitetu vektora brzine po vremenu

10

dvadt

=

, a nije jednak d v

adt

.

(Primjer krivolinijskog kretanja kada je vektor brzine konstantan po intenzitetu a ne i po poravcu)

Dimenzija ubrzanja je

[ ] [ ][ ][ ][ ]

22 2, .

brzina duina ma LTvrijeme svrijeme

= = =

BRZINA I UBRZANJE TAKE U DEKARTOVIM KOORDINATAMA

( )dr d dx dy dzv xi yj zk i j k xi yj zkdt dt dt dt dt= = + + = + + = + +

Izvodi po vremenu jedininih vektora jednaki su nuli.

Intenzitet brzine je

2 2 2v v x y z= = + +

Analogno se moe izvesti i ubrzanje u Dekartovim koordinatama

( )dv d dx dy dza xi yj zk i j k xi yj zkdt dt dt dt dt= = + + = + + = + +

Intenzitet ubrzanja je

2 2 2a a x y z= = + + .

11

BRZINA I UBRZANJE TAKE U POLARNIM KOORDINATAMA

Uvodimo dva okomita jedinina (bazna ) vektora re i e

, u pravcu potega i u pravcu

normalnom na poteg, tako da se vektor poloaja take moe prikazati kao rr re= .

Jedinini vektori mijenjaju pravac pri kretanju take P, tj. zavise od vremena i postoje njihove derivacije (za razliku od jedininih vektora Dekartovog koordinatnog sistema, koji su nepokretni).

Jedinini vektor re ima intenzitet jednak 1, a promjena tog vektora pri infinitezimalnoj

promjeni ugla d koja nastaje u infinitezimalnom trenutku vremena dt , moe se vidjeti na gornjoj slici. Dakle, infinitezimalna promjena rde

ima intenzitet 1 d (iz re d

) i okomita je na vektor re

, to odgovara pravcu drugog jedininog vektora e . Moemo napisati :

rr

de dde d e e edt dt

= = =

Slino, promjena jedininog vektora e je vektor de

, intenziteta 1 d i pravca okomitog na vektor e

, to odgovara pravcu vektora re , pa je

( )r r rde dde d e e edt dt

= = =

Vektor brzine take je

( ) rr r r rdedr d drv re e r re r e v v

dt dt dt dt = = = + = + = +

Vidimo da vektor brzine ine dvije komponente, radijalna brzina i poprena (cirkularna) brzina, iji intenziteti iznose

rv r= - radijalna brzina

v r = - poprena (cirkularna) brzina

Treba primijetiti da je poprena komponenta brzine vektor koji je okomit na poteg r i da se u optem sluaju ne poklapa sa pravcem tangente na putanju u datom poloaju take P.

Putanja take

12

Intenzitet brzine je

2 2rv v v v= = +

Ubrzanje take je

( )( ) ( ) ( )2 2

rr r

r r r r

dededv d dr dr da re r e e r e r e rdt dt dt dt dt dt dt

re r e r e r e r e r r e r r e a a

= = + = + + + + =

= + + + + = + + = +

Ubrazanje take takoe ine dvije komponente, radijalna i poprena (cirkularna), a njihovi intenziteti su:

( )2ra r r= - radijalno ubrzanje, ( )2a r r = + - popreno (cirkularno) ubrzanje.

Intenzitet ubrzanja je

2 2ra a a a= = +

.

Poseban sluaj je kretanje take po krunoj putanji

Ako poteg mjerimo od centra krunice onda je r const= , pa je 0r r= = .

Tada je radijalna brzina jednaka nuli, 0rv r= = , a brzina ima samo poprenu komponentu

v v r e = =

iji se pravac podudara sa pravcem tangente na krunicu (putanju take) .

Ubrzanje take je 2

ra r e r e = +

,

a intenziteti komponenata su 2

ra r= i a r = .

13

U optem sluaju jedinini vektor potega pree ugao d u vremenskom intervalu dt . Omjer ddt = naziva se ugaona brzina i esto se oznaava sa ,a jedinica za ugaonu brzinu je

1rad ss

= . Derivacijom ugaone brzine po vremenu dobije se ugaono ubrzanje d

dt =

,

koje se esto oznaava sa i ima jedinicu 22rad ss

= . U posebnom sluaju, kada je

ugaona brzina konstantna, const = = , onda je brzina take na krunici stalnog intenziteta v r= , a popreno ubrzanje je jednako nuli. Ipak, radijalna komponenta ubrzanja ima intenzitet 2ra r= i usmjerena je ka centru krunice, a karakterie poromjenu pravca vektora brzine.

Centralno kretanje

Jo jedan sluaj kretanja take u ravni je tzv. centralno kretanje. Kod ovakvog kretanja vektor ubrzanja stalno je usmjeren ka jednoj taki , tj. centru Z (pravac vektora ubrzanja stalno prolazi kroz jednu taku). Ovakvo kretanje postoji u prirodi , na ovaj nain kreu se planete oko Sunca.

Kod centralnog kretanja iezava poprena komponenta ubrzanja ako ishodite koordinatnog sistema postavimo u centar Z:

2 210 2 ( ) 0da r r r r constr dt

= + = = =

Ovaj rezultat se moe prikazati preko povrine 12

dA r rd= , koju opie poteg r pri

pomjeranju za ugao d , odakle proizilazi da je

2 21 12 2

dA dr rdt dt

= = .

Ova veliinu naziva se sektorska brzina i predstavlja brzinu promjene povrine u jedinici vremena koju opisuje vektor poloaja r pri kretanju take. Dimenzija sektorske brzine je

2ms

. Pri centralnom kretanju sektorska brzina je konstantna, 2r const = . U fizici je ovo

poznato kao Keplerov zakon, koji kae da poteg koji spaja planetu sa Suncem pri kretanju planete opisuje jednake povrine u jednakim vremenskim intervalima.

Putanja

14

BRZINA I UBRZANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU

U nekim sluajevima zgodno je prostorno kretanje take opisati pomou koordinatnog sistema smjetenog u taki P koji se kree po putanji zajedno sa takom. To je tzv. prirodni koordinatni sistem koji ima ortogonalne jedinine vektore: te

- u smjeru tangente, ne - u

smjeru glavne normale, be - u smjeru binormale. Jedinini vektori u ovom redosljedu

odreuju desni koordinatni sistem. Tangenta i glavna normala odreuju ravninu (oskulatornu ravan) u kojoj je i trenutna zakrivljenost krive. Jedinini vektor glavne normale

ne uvijek je usmjeren ka lokalnom sreditu (centru) zakrivljenosti. Putanja take u poloaju P ima lokalnu zakrivljenost , koju nazivamo poluprenik krivine putanje u taki. esto se ovaj poluprenik zakrivljenosti oznaava i sa kR .

Poloaj take na putanji odreen je duinom luka s (podsjetimo, ( )s s t= je zakon kretanja take po putu), a vektor poloaja take P je u tom sluaju ( )( )r r s t= .

Brzina take je po definiciji promjena vektora poloaja u datom trenutku vremena

dr dr dsvdt ds dt

= =

Kako prirataj vektora poloaja dr ima pravac tangente na putanju take, onda je intenzitet (modul) ovog prirataja

dr ds= , pa je t tdr dr e ds e= =

, odnosno tdr eds

=

.

Ovo znai da je kolinik drds

jedinini vektor tangente, te

, i usmjeren je u stranu porasta

krivolinijske koordinate s .

Vektor brzine take sada je

Putanja take

15

t tdr ds dsv e seds dt dt

= = =

a intenzitet vektora brzine je dsv v sdt

= = =

.

Ako je poznat intenzitet brzine take, mogue je odrediti krivolinijsku koordinatu s iz

( )0

0

t

t

s v t dt s= + .

Ubrzanje take definie promjenu brzine u odreenom trenutku vremena

( ) tt tdedv d dva ve e v

dt dt dt dt= = = +

.

Nalaenje vremenske derivacije jedininog vektora pokazano je u prethodnoj lekciji (polarne koordinate), tako da e slian postupak biti pokazan i ovdje.

Jedinini vektor te u poloaju P promjeni se kada se taka pomjeri po putanji iz poloaja P u

poloaj P, pri promjeni ugla d za vrijeme dt . U poloaju P je vrijednost jedininog vektora t te de+

. Promjena tde vektora te

ima pravac prema sreditu zakrivljenosti M, tj. pravac jedininog vektora normale ne

, a veliina promjene je 1 d .

Prirataj luka ds od P do P odreen je poluprenikom zakrivljenosti i infinitezimalnim

putem d , tj. ds d = , to daje dsd

= .

Promjena tde jedininog vektora te

sada je

1t t n n ndsde de e d e e

= = = , a odavde je 1t n n

de ds ve edt dt

= =

.

Vektor ubrzanja take sada je 2

t n t n t ndv v dv va e v e e e a adt dt

= + = + = + .

Ubrzanje take odreeno je vektorskim zbirom dviju komponenata od kojih je jedna usmejrena du tangente na putanju take, a druga du glavne normale i uvijek ima smjer prema sreditu zakrivljenosti (usmjerena u konkavnu stranu putanje ka centru krivine).

Intenzitet vektora ubrzanja je

2 2t na a a= + .

Komponenta ubrzanja usmjerena du tangenti naziva se tangencijalno (tangentno) ubrzanje take i ima intenzitet

2

2tdv d sa sdt dt

= = =

16

a komponenta usmjerena du normale naziva se normalna komponenta i ima intenzitet 2 2

nv sa

= =

Tangencijalno ubrzanje karakterie promjenu brzine take po intenzitetu, a normalno ubrzanje karakterie promjenu pravca vektora brzine.

Vektor ubrzanja take lei u ravni vektora te i ne

, tj. u oskulatornoj ravni.

Poseban sluaj kretanja po krunoj putanji

Pri kretanju take po krunici duina luka s kojeg opie pokretna taka moe se iskazati proizvodom poluprenika r krunice i ugla koji je u optem sluaju funkcija vremena t ,

( )t = , s r=

Kako je poluprenik zakrivljenosti krunice r const = = , onda je intenzitet brzine take

( ) ===== rdtdrr

dtd

dtdssv .

Vektor ubrzanje take 2

2t n t n t n

sa a a se e r e r er

= + = + = +

.

Intenziteti tangentne i normalne komponente ubrzanja su 2

t na r a r = = .

Vektori brzine i ubrzanja take ne zavise od izbora postupka (koordinatnog sistema) kojim ih odreujemo, ve od prirode kretanja take to je odreeno konanim jednainama kretanja take. Pravac, smjer i intenzitet vektora brzine i ubrzanja take ostaje isti bez obzira na izbor postupka kojim ih odreijemo, a jednaine koje koristimo pri odreivanju brzine i ubrzanja su sljedee:

17

Postupak Zakon kretanja Brzina Ubrzanje

Vektorski postupak

( )r r t= drv xi yj zk

dt= = + +

dva xi yj zk

dt= = + +

Koordinatni postupak

Dekartove koordinat

e

( )( )( )

x x ty y tz z t

===

2 2 2

, ,dx dy dzx y zdt dt dt

v x y z

= = =

= + +

2 2 2

, ,dx dy dzx y zdt dt dt

a x y z

= = =

= + +

Polarne koordinat

e

( )( )

r r tt

==

2 2r r

r

v v v re r e

v v v

= + = +

= +

( ) ( )22 2

2r

r

r

a a a

a r r e r r e

a a a

= +

= + +

= +

Prirodni postupak ( )s s t= t t

dsv e sedtdsv sdt

= =

= =

2

2 2

t n t n

t n

dv va a a e edt

a a a

= + = +

= +

18

NEKI PRIMJERI PRAVOLINIJSKOG I KRIVOLINIJSKOG KRETANJA TAKE

a) Ravnomjerno (jednoliko) kretanje take (v=const)

b) Ravnomjerno promjenljivo - ubrzano - kretanje take (ubrzanje 0=dtdva )

c) Ravnomjerno promjenljivo usporeno - kretanje take (ubrzanje 0=dtdva )

d) Kruno kretanje take

e) Harmonijsko kretanje take

19

KINEMATIKA KRUTOG TIJELA

20

ODREIVANJE POLOAJA KRUTOG TIJELA U PROSTORU

Pod krutim tijelom u mehanici se podrazumijeva tijelo koje ne mijenja svoj geometrijski oblik.

Pod poloajem krutog tijela u prostoru podrazumijeva se poloaj svih taaka tijela u odnosu na utvreni sistem referencije. S obzirom da su kod krutog tijela uzajamna rastojanja taaka nepromjenljiva , mogue je poloaj bilo koje take krutog tijela pri njegovom kretanju jednoznano odrediti ako je poznato odstojanje te take od ostalih taaka tijela.

Iz geometrije je poznato da je poloaj krutog tijela u prostoru odreen poloajima tri nekolinearne take tog tijela. Pri kretanju krutog tijela, poloaj svih taaka tijela u odnosu na take A, B i C jednoznano je odreen i stoga je za definisanje poloaja krutog tijela u prostoru dovoljno da se zna poloaj tri nekolinearne take A, B i C tijela. Odavde slijedi da ako je poznat poloaj tri nekolinearne take krutog tijela, onda je mogue odrediti poloaj ma koje take tijela za vrijeme kretanje tijela u prostoru.

Poloaj slobodnog krutog tijela pri kretanju u prostoru u odnosu na proizvoljni sistem referencije odreen je sa est nezavisnih parametara (svakoj taki odgovaraju tri nezavisna parametra-koordinate; od devet parametara koji definiu poloaj tri take treba oduzeti tri jednaine veze izmeu tih taaka-rastojanja izmeu taaka koja su nepromjenljiva; na taj nain ostaje est nezavisnih parametara). Ako se uoi bilo koja taka M krutog tijela njene koordinate takoe moraju zadovoljiti ovakve jednaine, kojim se izraava nepromjenljivost rastojanja take M od taaka A,B i C.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 21

2 2 2 22

2 2 2 23

B A B A B A

C B C B C B

C A C A C A

x x y y z z l

x x y y z z l

x x y y z z l

+ + =

+ + =

+ + =

Broj nezavisnih parametara, pomou kojih se moe jednoznano odrediti poloaj krutog tijela u prostoru u odnosu na proizvoljno izabrani sistem referencije, naziva se broj stepeni slobode krutog tijela.

Broj stepeni slobode krutog tijela ili take oznaava broj nezavisnih kretanja koje tijelo ili taka moe da izvodi u prostoru.

Taka ima tri stepena slobode, jer njen poloaj pri kretanju u prostoru odreuju tri nezavisne koordinate: x, y i z. Slobodno kruto tijelo u prostoru ima est stepeni slobode kretanja, jer ga odreuje est nezavisnih parametara. To znai da moe da izvodi est nezavisnih kretanja: tri translatorna pomjeranja u pravcu tri ose i tri obrtanja oko tri meusobno upravne ose. Ukoliko postoje dodatna ogranienja koja potiu od drugih tijela-mehanikih veza, broj stepeni slobode se smanjuje.

21

Poloaj krutog tijela u prostoru moe biti odreen preko nezavisnih parametara koje nazivamo generalisane (opte) koordinate. Generalisane koordinate tijela ili take su nezavisni parametri pomou kojih se moe jednoznano odrediti poloaj tijela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani sistem referncije.

Osnovna kretanja krutog tijela su translatorno i obrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostala kretanja djelimino vezanih (neslobodnih) krutih tijela. Izvrena je podjela kretanja krutog tijela na:

1) Translatorno kretanje 2) Obrtanje oko nepokretne ose 3) Ravno kretanje 4) Obrtanje oko nepokretne take 5) Opte kretanje 6) Sloeno kretanje

Translatorni dio kretanja definie se zakonima kretanja neke uoene take tijela (pol na sljedeoj slici oznaen sa A), a obrtni dio kretanja se definie uglovima obrtanja oko osa. Na slici su prikazani primjeri kretanja krutog tijela i odgovarajui broj koordinata koje definiu broj stepeni slobode kretanja za dati tip kretanja tijela: a) ravno kretanje krutog tijela, b) sferno kretanje krutog tijela, c) obrtanje tijela oko nepokretne ose, d) translatorno kretanje krutog tijela.

Osnovni zadaci kinematike krutog tijela analogni su zadacima kinematike take:

1) Utvrivanje matematikih metoda za definisanje poloaja krutog tijela pri kretanju u prostoru u odnosu na izabrani sistem referencije

2) Odreivanje kinematikih karakteristika krutog tijela kao cjeline i svake take tijela posebno na osnovu poznatih jednaina kretanja tijela.

22

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TIJELA

Translatorno kretanje krutog tijela je takvo kretanja pri kojem se prava ili du nepromjenljivo vezana sa tijelom pomjera zajedno sa njim tako da uvijek ostaje samoj sebi paralelna. Putanje svih taaka tijela su istovjetne - identine linije, samo meusobno pomjerene u prostoru.

U zavisnosti od oblika putanje take, translacija tijela moe biti pravolinijska i krivolinijska.

Ako je poznat poetni poloaj tijela onda se cjelokupno kretanje tijela moe izuiti preko kretanja samo jedna take-pola. Ako se zna poloaaj take A u svakom trenutku vremena, poloaj bilo koje take, npr.B, odreuje se pomou vektora

B Ar r = +

gdje je vektor poloaja AB = konstantnog intenziteta i pravca.

Brzina take B je:

( )B AB Adr drd dv rdt dt dt dt

= = + = +

Kako je vektor poloaja AB = konstantnog intenziteta i pravca, slijedi da je 0d

dt=

, pa je

B Adr drdt dt

=

, odnosno B Av v= .

Diferenciranjem brzine po vremenu dobije se

B Adv dvdt dt

=

, odnosno B Aa a= .

Prema tome, pri translatornom kretanju krutog tijela sve take tijela se kreu na isti nain, imaju iste putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja. Translatorno kretanje tijela u potpunosti je odreeno kretanjem samo jedne, proizvoljne njegove take.

23

OBRTANJE KRUTOG TIJELA OKO NEPOKRETNE OSE

Obrtanje krutog tijela oko nepokretne ose je takvo kretanje tijela pri kome bilo koje dvije take tijela ostaju za vrijeme kretanja nepokretne.

Nepokretne su i sve ostale take koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi kroz te dvije take i koja se naziva obrtna osa. Sve ostale take tijela opisuju krune putanje koje lee u ravnima okomitim na obrtnu osu i iji su centri na obrtnoj osi

Poloaj tijela pri obrtanju odreen je uglom obrtanja , koji se mjeri od referentne vertikalne nepokretne ravni I i koji se neprekidno mijenja tokom vremena.

Zakon obrtanja tijela oko nepokretne ose iskazuje jednaina

=(t).

Poloaj krutog tijela kao cjeline pri obrtanju oko nepokretne ose odreen je sa jednim nezavisnim parametrom,uglom obrtanja, tako da tijelo ima jedan stepen slobode kretanja.

UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE TIJELA

Kinematike karakteristike tijela kao cjeline pri njegovom obrtanju oko nepokretne ose su ugaona brzina i ugaono ubrzanje .

Srednja ugaona brzina je definisana za interval vremena t=t2-t1 sa

( ) ( )2 12 1

sr

t tt t t

= =

dok je ugaona brzina tijela u datom trenutku vremenat veliina kojoj tei srednja ugaona brzina kada interval vremena tei nuli:

0lim

t

dt dt

= = =

Ugaona brzina krutog tijela koje se obre oko nepokretne ose jednaka je po intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu.

Dimenzija ugaone brzine je

[ ] [ ][ ]11ugao radijan s

vrijeme sekund s = = = =

24

Srednje ugaono ubrzanje je definisano za interval vremena t=t2-t1 sa

( ) ( )2 12 1

sr

t tt t t

= =

dok je ugaono ubrzanje tijela u datom trenutku vremenat veliina kojoj tei srednje ugaono ubrzanje kada interval vremena tei nuli:

0lim

t

dt dt

= = =

ili

2

2

d ddt dt = = =

Ugaono ubrzanje tijela koje se obre oko nepokretne ose u datom trenutku vremena po intenzitetu je jednako prvom izvodu po vremenu ugaone brzine ili drugom izvodu po vremenu ugla obrtanja tijela.

Dimenzija ugaonog ubrzanja je

[ ] [ ][ ]2

2

ugaona brzina radijan svrijeme s

= = =

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela koje se obre oko nepokretne ose jesu vektorske veliine.

Pravac vektora ugaone brzine odreen je pravcem nepokreten (obrtne) ose. Vektor je usmjeren du obrtne ose u onu stranu iz koje se vidi obrtanje krutog tijela u smjeru suprotnom od obrtanja kazaljke na satu. Ako je = >0, onda je obrtanja pozitivno, tj.obrtanje se vri u smjeru suprotnom od obrtanja kazaljke na satu. Ako je = 0, vektori i imaju isti smjer. Ako je =

Ugaona brzina je kinematika karakteristika tijela kao cjeline (jednaka za sve take tijela), pa su brzine pojedinih taaka tijela pri obrtanju oko nepokretne ose proporcionalne rastojanjima tih taaka od nepokretne ose.

Take tijela koje lee na nepokretnoj osi su nepokretne, tj. brzine su im jednake nuli.

Ojlerova formula

Vektor brzine v proizvoljne take tijela koje se obre oko nepokretne ose moe se odrediti pomou Ojlerove formule:

( )M M Mv r r AO r AO r = = = =

jer su vektori i AO

kolinearni, pa je njihov vektorski proizvod jednak nuli.

Intenzitet vektora brzine je

( )sin , sinM M M Mv r r r r r = = = =

UBRZANJA TAAKA TIJELA KOJE SE OBRE OKO NEPOKRETNE OSE

(Pogledati kinematiku take, kretanje take definisano prirodnim postupkom-specijalni sluaj kretanja take po krunoj putanji.)

Ukupno ubrzanje neke take M tijela koj se obre oko nepokretne ose moe se razloiti na tangentnu i normalnu komponentu.

2 2 2 4T Na a a r = + = +

( )2

2

2 2 22 2

T

Nk

dv d d da r r r r rdt dt dt dtv ra r rR r

= = = = = =

= = = =

Vektor ubrzanja proizvoljne take tijela koje se obre oko nepokretne ose moe se odrediti polazei od Ojlerove formule za vektor brzine take:

( )

( )

MM M

M M M T N

drdv d da r rdt dt dt dtr v r r a a

= = = + =

= + = + = +

Intenziteti komponenti ubrzanja su

( )sin , sinT M M M Ma r r r r r = = = =

( ) 0 2sin , sin 90Na v v v v v r = = = = =

26

Na sljedeim slikama prikazani su sluajevi: a) ubrzanog obrtanja, b) usporenog obrtanja tijela oko nepokretne ose.

27

RAVNO KRETANJE KRUTOG TIJELA

JEDNAINE RAVNOG KRETANJA KRUTOG TIJELA

Ravno kretanje krutog tijela je takvo kretanje pri kome se sve take tijela kreu paralelno prema nekoj nepokretnoj ravni , odnosno kada su vektori brzina svih taaka tijela paralelni prema nekoj nepokretnoj ravni .

Sve take tijela koje lee na pravoj M1MM2 koja je upravna na nepokretnoj ravni kreu se na isti nain, tj. imaju jednake trajektorije , brzine i ubrzanja. Zbog toga je dovoljno prouiti kretanje presjeka S tog tijela u ravni xOy koja je paralelna sa nepokretnom ravni . Presjek S zovemo ravna figura.

Poloaj presjeka S u ravni xOy je u potpunosti odreen ako se zna poloaj dvIju taaka, A(xA,yA) i B(xB,yB), tog presjeka u odnosu na Dekartov sistem referencije. Poto je rastojanje izmeu taaka A i B nepromjenljivo, tj.

( ) ( )2 2 2B A B Ax x y y l + =

to su od etiri koordinate taaka A i B samo tri nezavisne, a etvrta se odreuje iz prethodne jednaine.

Ravno kretanje tijela odreeno je sa tri nezavisna parametra (koordinate), to znai da tijelo ima tri stepena slobode, tj. moe da izvodi tri nezavisna kretanja: dvije translacije du osa x i y i jednu rotaciju oko ose upravne na ravan presjeka S (ravne figure).

Konane jednaine ravnog kretanja krutog tijela su

( ) ( ) ( ), ,A A A Ax x t y y t t = = =

Prve dvije jednaine odreuju translatorno kretanje tijela (translacija pola A), a trea jednaina odreuje obrtanje tijela oko ose koja prolazi kroz proizvoljno izabran pol (pol A) u ravni figure S a upravna je na ravan figure.

28

RAZLAGANJE RAVNOG KRETANJA KRUTOG TIJELA NA TRANSLATORNO I OBRTNO KRETANJE

Pri prelasku ravne figure S iz jednog u drugi poloaj (iz poloaja I u poloaj II), moemo ravno kretanje razloiti na translatorno i obrtno kretanje: figuru najprije pomjerimo translatorno tako da se taka A (pol) poklopi sa takom A1, a potom izvrimo rotaciju figure za ugao oko ose koja prolazi kroz taku A1 (obrtanje oko pola).

Kinematike karakteristike tijela kao cjeline pri ravnom kretanju tijela su: vektor brzine Av

pola A i vektor ubrzanja Aa pola A pri translatornom kretanju ravne figure; vektor ugaone

brzine rk

i vektor ugaonog ubrzanja rk

obrtanja tijela oko ose koja prolazi kroz pol A (ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravnog kretanja).

Sa promjenom pola ravne figure mijenjaju se kinematike karakteristike translatornog kretanja tijela, dok ugaone karakteristike koje karakteriu obrtno kretanje ostaju nepromjenjene (ne zavise od izbora pola).

BRZINE TAAKA TIJELA KOJE VRI RAVNO KRETANJE

Brzina proizvoljne take M ravne figure odreena je sa

( ) AM AM A A Mdr drd dv r v vdt dt dt dt

= = + = + = +

Veliina AMd vdt=

je brzina koju taka M

ima usljed obrtanja ravne figure S oko ose Az koja prolazi kroz pol A a upravna je na ravan figure S, i ova brzina se naziva obrtna

brzina take M u odnosu na pol A.

29

Koristei Ojlerovu formulu moe se napisati A

M rkv =

pa je brzina take M

M A rkv v = + .

Intenzitet vektora obrtne brzine take M u odnosu na pol A je

( ) 0sin , sin 90AM rk rk rk rk rkv AM = = = =

.

Intenzitet obrtne brzine neke take tijela je srazmjeran rastojanju te take od usvojenog pola, a smjer vektora brzine zavisi od smjera ugaone brzine ravnog kretanja.

TEOREMA O PROJEKCIJAMA VEKTORA BRZINA TAAKA RAVNE FIGURE

Projekcije brzina dvaju taaka ravne figure, A Bv i v , na pravu koja spaja te dvije take,

jednake su jedna drugoj.

Brzina take B odreena je izrazom A

B A Bv v v= +

Projektovanjem ove jednaine na pravac prave AB, uzimajui u obzir da je ABv AB

, dobije se izraz

cos cosB Av v =

koji potvruje teoremu.

TRENUTNI POL BRZINA RAVNE FIGURE

Pri ravnom kretanju krutog tijela u svakom trenutku vremena postoji u ravni figure (S) jedna taka ija je brzina jednaka nuli i ta se taka naziva trenutni pol brzina ravne figure S.

Neka su u trenutku t brzine taaka A i B, A Bv i v , pri

emu vektori brzina nisu meusobno paralelni. Taka Pv ravne figure (S) koja je odreena presjekom pravih 1AA i

1BB , pri emu su ove prave upravne na vektore brzina

A Bv i v respektivno, ima u datom trenutku t brzinu jednaku nuli 0Pvv =

i to je trenutni pol brzina ravne figure (S) za dati trenutak t.

30

Postojanje trenutnog pola brzina mogue je dokazati korienjem teoreme o projekcijama brzina: vektor brzine Pvv

pola Pv morao bi jednovremeno da bude upravan na dvije prave,

1AA i 1BB , to je nemogue, pa slijedi da teorema o projekcijama brzina moe biti zadovoljena samo za 0Pvv =

.

Pri kretanju ravne figure (S) poloaj trenutnog pola brzina Pv se stalno mijenja i svakom trenutku vremena odgovara poseban poloaj pola brzina ravne figure (S) , pa se stoga naziva trenutni pol brzina.

Odreivanje brzina taaka ravne figure pomou trenutnog pola brzina

Brzina bilo koje take ravne figure (S) u datom trenutku vremena jednaka je obrtnoj brzini take koju ona ima pri obrtanju ravne figure (S) oko ose koja prolazi kroz trenutni pol brzina Pv, a upravna je na ravan figure.

Iz definicije brzine proizvoljne take ravne figure, ukoliko se za pol uzme trenutni pol brzina, slijedi

,Pv PvA Pv A B Pv Bv v v v v v= + = +

Kako je 0Pvv = , slijedi da je ,Pv PvA A B Bv v v v= =

, a intenziteti ovih brzina su odreeni izrazima

,A v rk B v rkv AP v BP = = .

Intenzitet brzine bilo koje take ravne figure (S) jednak je proizvodu iz rastojanja take od trenutnog pola brzina (trenutnog poluprenika obrtanja) i ugaone brzine ravnog kretanja krutog tijela.

Trenutna vrijednost ugaone brzine obrtanja ravne figure (S) odreena je sa

CA B Mrk

v v v v

vv v vAP BP CP MP

= = = = = .

Neki primjeri odreivanje trenutnog pola brzina ravne figure

31

UBRZANJA TAAKA KRUTOG TIJELA KOJE VRI RAVNO KRETANJE

Ubrzanje proizvoljne take M ravne figure (S) dobiemo diferenciranjem po vremenu vektora brzine te take

( )A

AM A MM A M

dv dv dvda v vdt dt dt dt

= = + = +

2 22 2

2 2 2 2( )AM A

M A A Md r d rd da r a adt dt dt dt

= = + = + = +

.

Ubrzanje AMa je ubrzanje take M koje ona ima usljed obrtanja ravne figure (S) oko ose koja

prolazi kroz pol A a upravna je na ravan figure (S), i naziva se obrtno ubrzanje take M oko pola A.

Ubrzanje bilo koje take M ravne figure (S) jednako je vektorskom (geometrijskom) zbiru ubrzanja take A koja je uzeta za pol i obrtnog ubrzanja take M oko pola A pri njenom obrtanju sa telom oko ose koja prolazi kroz pola A a upravna je na ravan figure (S).

Poto se pri obrtnom kretanju ravne figure (S) taka M kree po krunoj putanji, iji se centar nalazi u polu A koji tada smatramo da miruje, to se obrtno ubrzanje AMa

take M moe izraziti u obliku vektorskog zbira dvije komponente ubrzanja: jedne usmjerene du normale, a druge usmjerene du tangente na krunu putanju, tj.

A A AM MN MTa a a= +

Komponenta AMNa naziva se obrtno normalno ubrzanje take M oko pola A, a komponenta

AMTa naziva se obrtno tangentno ubrzanje take M oko pola A.

Vektor obrtnog tangentnog ubrzanja take M oko pola A usmjeren je po tangenti na krunu putanju pri obrtnom kretanju take M, tj. uvijek je normalan na vektoru AM

( MTa AM

) i ima smjer obrtanja koji odgovara smjeru ugaonog ubrzanja ravnog kretanja.

Vektor obrtnog normalnog ubrzanja take M oko pola A usmjeren je po normali na krunu putanju pri obrtnom kretanju take M, tj. ima pravac vektora MA

(smjer od M ka A).

32

Intenziteti ovih komponenata su 2

MN rk

MT rk

a AM

a AM

=

=

tako da je intenzitet obrtnog ubrzanja AMa

( ) ( )2 2 4 2A A AM MN MT rk rka a a AM = + = + a ugao koji vektor AMa

gradi sa vektorom AM

odreen je sa

2 2

AMT rk rkAMN rk rk

atg arc tg

a

= = =

Vektor ubrzanja take M moe se odrediti polazei od Ojlerove formule za obrtnu brzinu take M:

( ) rkM AM A rk rkA A A

A rk rk M A MT MN

ddv dvd da vdt dt dt dt dt

a v a a a

= = + = + + =

= + + = + +

TRENUTNI POL UBRZANJA RAVNE FIGURE

Pri ravnom kretanju krutog tijela u svakom trenutku vremena postoji taka Pa ravne figure S ije je ubrzanje jednako nuli i ta taka se naziva trenutni pol ubrzanja.

Poloaj trenutnog pola ubrzanja odrediti se tako da se zakrene pravac vektora ubrzanja Aa

neke take A za ugao u smjeru ugaonog ubrzanja, a zatim se na tako konstruisanom pravu prenese odsjeak aAP . Kraj Pa odsjeka aAP jeste trenutni pol ubrzanja. Ugao i odsjeak

aAP odreeni su sa

33

2 2

AMT rk rkAMN rk rk

atg arc tg

a

= = = , 4 2

Aa

rk rk

aAP

=+

.

TEOREMA O CENTRU OBRTANJA ZA KONANO POMJERANJE RAVNE FIGURE (BERNULI - ALOVA TOEREMA)

Ravnu figuru (S)moemo pomjeriti iz jednog u bilo koji drugi poloaj u istoj ravni jednim obrtanjem ravne figure oko nekog nepokretnog centra C koji se naziva centar konanog obrtanja ravne figure.

Ova teorema naziva se Bernuli-alova toerema i proistie iz injenice da se za pol ravne figure moe izabrati bilo koja taka figure.

Ako posmatramo dva uzastopna poloaja ravne figure, koji odgovaraju trenucima t i t1=t+t , onda se odsjeak AB pomjeri u poloaj A1B1 za vrijeme t. Ako se ovo pomjeranje moe ostvariti samo jednim obrtanjem, onda take A i B opisuju krune lukove sa jednim centrom, pri emu su dui AA1 i BB1 sjeice tih krunih lukova. Poznato je da centar kruga lei na normali povuenoj na sredini duine sjeice, tako da se centar C kruga mora nalaziti u presjeku normala povuenih u takama D i E, koje su sredita dui AA1 i BB1.

Taka C odreena na ovaj nain je centar konanog pomjeranja ravne figure (S).

Obrtanjem oko take C za ugao mogue je ravnu figuru pomjeriti iz poloaja I u poloaj II.

U graninom sluaju, kada vrijeme t pomjeranja figure tei nuli, poloaj centra C rotacije ravne figure jeste taka nepokretne ravni sa kojom se u datom trenutku vremena poklapa trenutni pol brzina Pv ravne figure. Svakom narednom poloaju ravne figure odgovara poseban poloaj centra rotacije.

34

OBRTANJE KRUTOG TIJELA OKO NEPOKRETNE TAKE

(SFERNO KRETANJE KRUTOG TIJELA)

JEDNAINE SFERNOG KRETANJA KRUTOG TIJELA

Kretanje krutog tijela, pri kome bilo koja taka tijela pri kretanju ostaje nepokretna, naziva se obrtanje krutog tijela oko nepokretne take ili sferno kretanje krutog tijela.

Poloaj tijela pri obrtanju oko nepokretne take jednoznano je odreen poloajem pokretnog sistema referencije Oz (sistem koji je vrsto vezan za tijelo) u odnosu na nepokretni sistem referencije Oxyz, pri emu je nepokretna taka O ishodite ovih koordinatnih sistema.

Jedan od postupaka kojim se definie poloaj pokretnog sistema referencije u odnosu na nepokretni sistem referencije je Ojlerov postupak. Ojler je pokazao da se poloaj tijela pri obrtanju oko nepokretne take jednoznano moe odrediti preko tri ugla koji se po njemu nazivaju Ojlerovi uglovi:

- ugao precesije

- ugao nutacije

- ugao sopstvene rotacije

Neka se u poetnom trenutku vremena pokretni sistem referencije Oz poklapa sa nepokretnim sistemom referencije Oxyz. Preko tri uzastopna nezavisna obrtanja (rotacije) tijela: za ugao oko ose Oz, zatim za ugao oko vorne ose ON, i konano, za ugao oko ose O, moe se pokretni sistem referencije Oz (pokretno tijelo) prevesti u bilo koji poloaj u odnosu na nepokretni sistem referencije Oxyz(nepokretno tijelo).

35

Pri obratnju krutog tijela oko nepokretne take uglovi , i mijenjaju se tokom vremena i oni su neke funkcije vremena t,

= f1(t) = f2(t) = f3(t) .

Ove jednaine u potpunosti odreuju kretanje tijela oko nepokretne take i nazivaju se konane jednaine obrtanja krutog tijela oko neporetne take ili konane jednaine sfernog kretanja krutog tijela.

Osa ON oko koje tijelo vri obrtanje za ugao nutacije naziva se vorna osa.

OJLER-DALAMBEROVA TEOREMA

Svako pomjeranje krutog tijela, koje ima jednu nepokretnu taku O iz jednog poloaja u drugi poloaj, moe se izvriti jednim obrtanjem tog tijela oko ose konane (ekvivalentne) rotacije koja prolazi kroz nepokretnu taku O.

Neka je u trenutrku t poloaj tijela odreen poloajem taaka A i B na sferi, a u trenutku t1=t+t poloaj tijela odreen je poloajem taaka A1i B1. Jednim obrtanjem tijela oko neke ose koja prolazi kroz taku O mogue je take A i B na sferi prevesti u poloaj A1 i B1 na toj sferi. Spojimo take A i A1 i B i B1 lucima velikih krugova i iz sredine lukova 1AA i

1BB povuemo sferne normale, koje su takoe lukovi velikih krugova, te sferne normale e

se sjei u taki P na povrini sfere. Sferni trouglovi ABP i A1B1P su podudarni, jer su im sfrene stranice jednake. Na taj nain pomjeranje tijela moe se izvriti jednim obrtanjem tijela oko ose OP i ta osa se naziva osa konanog obrtanja (osa ekvivalentnog obrtanja), a ugao APA1= naziva se ugao konanog obrtanja.

Ojler-Dalamberova teorema predstavlja geometrijsku interpretaciju obrtanja krutog tijela oko nepokretne take, a stvarno prevoenje tijela iz poloaja koji odgovara trenutku t u poloaj koji odgovara trenutku t1=t+t jednim obrtanjem oko ose konanog obrtanja za ugao uopte ne predstavlja stvarno pomjeranje tijela. Ukoliko su manji intervali vremena t utoliko e pomjeranje tijela biti blie stvarnom pomjeranju. Poloaj ose OP zavisi od poetnog i konanog poloaja tijela.

Naime, interval vremena t moemo podjeliti na veliki broj malih podinetrvala t1, t2, t3,... Svakom od tih malih podintervala odgovara neki poetni i konani poloaj tijela, tako da je konani poloaj iz prethodnog podintervala vremena ujedno poetni poloaj za naredni podinterval vremena. Svakom podintervalu odgovara po jedna osa konane (ekvivalentne) rotacije, pomou koje se sferno kretanje tijela u tom podintervalu moe prikazati kao obrtanje oko nepokretne ose. Dok sve take na osi konane rotacije miruju, ostale take tijela opisuju dijelove krunih lukova sa centrima na toj osi, u ravnima normalnim na osu. Ako se sferno kretanje prikazuje kao niz uzastopnih obrtanja oko skupa

36

osa konanih (ekvivalentnih) rotacija u malim konanim podintervalima vremena t1, t2, t3,..., tada se ovakvim opisom prua priblina predstava o kretanju tijela.

Meutim, kada pustimo da svaki od podintervala vremena kretanja tijela tei ka nuli, tada u svakom infinitezimalnom podintervalu dt tijelo vri elementarno sferno kretanje obrui se oko tzv. trenutne ose obrtanja. Drugim rijeima, kada se pree na granini sluaj, kada t0, lukovi AB i A1B1 su veoma bliski jedan drugom i tada osa konanog obrtanja mijenja svoj poloaj teei graninom poloaju, u kojem se naziva trenutna osa obrtanja za dati trenutak vremena t. Trenutna obrtna osa predstavlja geometrijsko mjesto taaka tijela koje se obre oko nepokretne take ije su brzine u datom trenutku vremena jednake nuli.

Sve take tijela na trenutnoj obrtnoj osi miruju, a ostale take tijela opisuju elementarne dijelove krunih lukova u ravnima normalnim na osu, iji su centir na trenutnoj osi.

TRENUTNA UGAONA BRZINA I TRENUTNO UGAONO UBRZANJE TIJELA KOJE SE OBRE OKO NEPOKRETNE TAKE

Srednja ugaona brzina tijela moe se izraziti kao kolinik ugla za koji se tijelo obrne oko trenutne obrtne ose OP i odgovarajueg intervala vremena

sr t =

a intenzitet vektore trenutne ugaone brzine jednak je graninoj vrijednosti kojoj tei srednja ugaona brzina kada pustimo da interval vremena tei nuli

0lim

t t

=

.

Vektor trenutne ugaone brzine usmjeren je du trenutne obrtne ose OP.

Meutim, ugaona brzina ne moe se odrediti izvodom nekog ugla po vremenu, tj.

0lim

t

dt dt

=

jer pri obrtnju krutog tijela oko nepokretne take ne postoji takav ugao, ve se poloaj tijela odreuje sa tri nezavisna obrtanja (Ojlerovi uglovi).

Trenutna obrtna osa tokom kretanja tijela mijenja svoj poloaj, ali stalno prolazi kroz nepokretnu taku O. Ako du trenutne obrtne ose OP uvedemo jedinini vektor 0

onda se

vektor moe napisati kao

0 =

.

Vektor trenutne ugaone brzine mijenja se tokom vremena po intenzitetu i po poravcu, tako da se i vektor trenutnog ugaonog ubrzanja, odreen prvim izvodom po vremenu vektora trenutne ugaone brzine, takoe mijenja tokom vremena po intenzitetu i pravcu i ne poklapa se sa pravcem vektora trenutne ugaone brzine.

37

( ) 00 0 1 2dd d d

dt dt dt dt = = = + = +

.

Komponenta trenutnog ugaonog ubrzanja 1 0ddt = karakterie promjenu intenziteta

vektora trenutne ugaone brzine i ima pravac trenutne obrtne ose , a poetak vektora nalazi se u nepokretnoj taki O.

Komponenta trenutnog ugaonog ubrzanja ( )02 1 0 1ddt = = =

karakterie

promjenu pravca vektora trenutne ugaone brzine . Pravac vektora 2

upravan je na ravan vektora 1

i 0

, gdje je sa 1

oznaena ugaona brzina obrtanja vektora . Poetak vektora

2

nalazi se takoe u nepokretnoj taki O.

Trenutna ugaona brzina je zajednika kinematika karakteristika za sve take tijela koje se obre oko nepokretne take.

OJLEROVE KINEMATIKE JEDNAINE

S obzirom da se obrtanje tijela oko nepokretne take sastoji iz tri nezavisna obrtanja, moe se trenutna ugaona brzina odrediti polazei od konanih jednaina kretanja krutog tijela oko nepokretne take, tj. iz Ojlerovih uglova.

Srednje ugaone brzine oko odgovrajuih osa odreene su sa , ,dt dt dt , a granine

vrijednosti ovih srednjih ugaonih brzina su

0

0

0

lim

lim

lim

t

t

t

d ugaona brzina precesijet dt

d ugaona brzina nutacijet dt

d ugaona brzina sopstvene rotacijet dt

= =

= =

= =

Ovi vektori ugaonih brzina usmjereni su du odgovarajui osa rotacije Oz, ON i Oz, tako da je vektor trenutne ugaone brzine tijela koje se obre oko nepokretne take odreen vektorskim zbirom komponentnih ugaonih brzina

= + + .

Vektor moe se projektovati na ose pokretnog i ose nepokretnog koordinatnog sistema. Projekcije vektora trenutne ugaone brzine na ose pokretnog koordinatnog sistema i na ose nepokretnog koordinatnog sistema nazivaju se Ojlerove kinematike jednaine, jer su te projekcije izraene preko Ojlerovih uglova:

38

sin sin cos

sin cos sincos

= +

=

= +

sin sin cos

sin cos sin

cos

x

y

x

= +

= +

= +

Intenzitet vektora trenutne ugaone brzine odreen je sa

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 cos

2 cosx y z

z

= + + = + + +

= + + = + + +

Ako su Ojlerovi uglovi poznate funkcije vremena, onda je mogue odrediti u svakom trenutku vremena vektor trenutne ugaone brzine , a time i poloaj trenutne obrtne ose OP, jer je vektor usmjeren du te ose.

BRZINE I UBRZANJA TAAKA TIJELA KOJE SE OBRE OKO NEPOKRETNE TAKE

Brzina proizvoljne take M krutog tijela koje se obre oko nepokretne take odreena je primjenom Ojlerove formule

M Mv r=

gdje je Mr vektor poloaja take M mjeren od nepokretne take O.

Kako je ugaona brzina odreena za dati trenutak vremena, tako je i brzina take M definisana samo za dati trenutak vremena.

Moe se rei: U proizvoljnom trenutku t trenutni raspored brzina taaka tijela koje se obre oko nepokretne take jeste takav kao kod taaka tijela koje se obre oko nepokretne ose koja prolazi kroz nepokretnu taku O, u ovom sluaju oko trenutne obrtne ose OP.

Intenzitet vektora brzine take M je

39

( )sin ,M M M Mv r r r h = = =

gdje je h normalno rastojanje (najkrae rastojenje) take M od trenutne obrtne ose OP.

Vektor brzine take M moe se napisati u obliku:

M x y z

e e e i j kv v r

x y z

z

z z

= = = =

.

Ubrzanje proizvoljne take M krutog tijela koje se obre oko nepokretne take odreeno je kao prvi izvod po vremenu vektora brzine:

( )

( )

dv d d dra r r r vdt dt dt dt

r r a a

= = = + = + =

= + = +

tj. ubrzanje proizvoljne take odreeno je vektorskim zbirom dviju komponenata.

Prva komponenta ubrzanja naziva se obrtno ubrzanje take M i odreena je sa:

( ) ( )1 2 1 2 0 1 1 2da r r r r r r a adt = = + = + = + = + .

Druga komponenta naziva se aksipetalno ubrzanje take M i odreena je sa

( )a v r = = .

ODREIVANJE POLOAJA TRENUTNE OBRTNE OSE

Trenutna obrtna osa OP tokom vremena mijenja svoj poloaj u prostoru prolazei stalno kroz nepokretnu taku O. Budui da je svaka prava odreena poloajem dvije take, druga taka trenutne obrtne ose moe se odrediti iz svojstva da sve take koje lee na trenutnoj obrtnoj osi imaju brzinu jednaku nuli,

0x y z

e e e i j kv r

x y z

z

z z

= = = =

Ova jednaina bie zadovoljena ukoliko su projekcije brzina na ose pokretnog i ose nepokretnog koordinatnog sistema jednake nuli, a iz ovog uslova slijede jednaine trenutne obrtne ose u odnosu na pokretni sistem referencije Oz i u odnosu na nepokretni sistem referencije Oxyz:

z

z

= =

x y z

x y z

= = .

40

OPTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TIJELA

JEDNAINE OPTEG KRETANJA SLOBODNOG KRUTOG TIJELA

Opte kretanje slobodnog krutog tijela jeste takvo kretanje pri kome se tijelo moe bilo kako pomjerati u prostoru.

Odreivanje poloaja tijela pri kretanju svodi se na odreivanje poloaja pokretnog koordinatnog sistema Oz (koji je vrsto vezan za pokretno tijelo) u odnosu na nepokretni sistem referencije Ox1y1 z1. Poloaj tijela pri kretanju u odnosu na sistem referencije Oxyz (koji je vrsto vezan za taku O pokretnog tijela) odreen je preko tri Ojlerova ugla , i , a s obzirom da se i sam pol O kree, poloaj pola O u odnosu na nepokretni sistem referencije odreen je sa tri koordinate x1O, y1O i z1O.Na taj nain je poloaja pokretnog koordinatnog sistema

Oz u odnosu na nepokretni sistem referencije Ox1y1z1 odreen sa est generalisanih koordinata: x1O, y1O, z1O, , i .

To znai da slobodno tijelo koje vri opte kretanje ima est stepeni slobode, tj. moe da vri est nezavisnih kretanja, tri translacije du osa nepokretnog koordinatnog sistema i tri nezavisne rotacije oko osa koje prolaze kroz pol O, to je odreeno Ojlerovim uglovima.

Konane jednaine opteg kretanja slobodnog krutog tijela ili zakon opteg kretanja slobodnog krutog tijela imaju oblik

x1O=f1(t ) y1O =f2(t) z1O=f3(t)

=f4(t) =f5(t) =f6(t).

Prve tri jednaine odreuju translaciju pola O zajedno sa sistemom referencije Oxyz, tj. prenosno kretanje krutog tijela koje je odreeno vektorom brzine Ov

i vektorom ubrzanja

Oa .

Posljednje tri jednaine odreuju obrtanje krutog tijela oko pola O, tj. relativno kretanje krutog tijela u odnosu na sistem referencije Oxyz.

41

BRZINE TAAKA TIJELA KOJE VRI OPTE KRETANJE

Poloaj proizvoljne take M u odnosu na nepokretni sistem referencije odreen je vektorom poloaja

M O Mr r = +

gdje je Or vektor poloaja pokretnog pola O, a M

je

vektor poloaja take M u odnosu na pokretni pol O.

Brzina take M odreena je sa

( ) OM MM O M O Mdrdr ddv r v

dt dt dt dt = = + = + = +

Druga komponenta odreuje brzinu take M tijela pri njegovom obrtanju oko pola O kao nepokretne take, tj. OM Mv =

, tako da je brzina take krutog tijela pri njegovom optem kretanju

OM O Mv v v= + .

Brzina proizvoljne take M pri optem kretanju slobodnog krutog tijela jednaka je vektorskom zbiru translatorne brzine Ov

pokretnog pola O i obrtne brzine OMv koju taka M

ima kada se tijelo obre oko pola O kao nepokretne take, odnosno oko trenutne obrtne ose koja prolazi kroz pol O.

UBRZANJE TAAKA TIJELA KOJE VRI OPTE KRETANJE

Vektor ubrzanja proizvoljne take M odreen je prvim izvodom po vremenu vektora brzine take M:

( ) ( )O O OM MM O M M Mdv dvdv dd d da v vdt dt dt dt dt dt dt = = + = + = + +

Ovu jednainu moemo napisati u obliku O O

M O M M O Ma a v a a = + + = + .

Vektor Oa predstavlja translatorno ubrzanje usljed kretanja pola O, dok komponente

OM Mv +

predstavljaju dio ubrzanja take M koji nastaje usljed obrtanja tijela oko

pola O i koji se naziva obrtno ubrzanje take M oko pola O, OMa .

Ubrzanje proizvoljne take M pri optem kretanju slobodnog krutog tijela jednaka je vektorskom zbiru translatornog u brzanja Oa

pokretnog pola O i obrtnog ubrzanja OMa koje

taka M ima kada se tijelo obre oko pola O kao nepokretne take, odnosno oko trenutne obrtne ose koja prolazi kroz pol O.

42

SLOENO KRETANJE TAKE

RELATIVNO, PRENOSNO I APSOLUTNO KRETANJE TAKE

Neka se taka M kree po tijelu za koje je vrsto vezan sistem referencije Oz i neka se istovremeno tijelo proizvoljno kree u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz , tj. pokretni sistem referencije Oz kree se na proizvoljna nain u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz.

Kretanje take M u odnosu na pokretni sistem referencije Oz (pokretno tijelo) naziva se relativno kretanje take.

Kretanje take M u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz (nepokretno tijelo) naziva se apsolutno kretanje take ili sloeno kretanje take.

Kretanje pokretnog sistema referencije Oz (pokretno tijelo) u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz (nepokretno tijelo) naziva se prenosno kretanje.

U vezi sa sloenim kretanjem take uvodi se pojam apsolutne, relativne i prenosne brzine take i pojam apsolutnog, relativnog i prenosnog ubrzanja take.

Apsolutna brzina v i apsolutno ubrzanje a take M su brzina i ubrzanje koje take M ima pri kretanju u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz.

Relativna brzina rv i relativno ubrzanje ra

take M su brzina i ubrzanje koje take M ima pri razmatranjuu kretanja take u odnosu na pokretni sistem referencije Oz.

Prenosna brzina pv i prenosno ubrzanje pa

take M su apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje one take pokretnog tijela za koje je vrsto vezan pokretni sistem referencije Oz sa kojom se u datom trenutku vremena poklapa pokretna taka M.

APSOLUTNA BRZINA TAKE

Poloaj pokretnog sistema referencije Oz u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz odreen je vektorom poloaja Or

pola O i jedininim vektorima , ,e e e z

pokretnih osa.

Poloaj take M u odnosu na pokretni sistem referencije Oz odreen je vektorom poloaja

M e e e z z= + +

a ako je vektor poloaja take M poznata funkcija vremena onda je relativno kretanje

take poznato.

43

Poloaj take M u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz odreen je vektorom poloaja:

M O M Or r r e e e z z= + = + + +

pri emu su promjenljive ne samo veliine Or i , , z, ve i jedinini vektori , ,e e e z

koji mijenjaju pravac prilikom obrtanja pokretnog sistema referencije oko pola O.

Apsolutna brzina take M jednaka je prvom izvodu po vremenu vektora poloaja Mr take M:

OM MM

drdr dv vdt dt dt

= = = +

.

Pri tome je apsolutni izvod vektora poloaja M

odreen izrazom:

M de de ed d d de e edt dt dt dt dt dt dt

z z

z z= + + + + +

Uzimajui u obzir da su izvodi jednininih vektora pokretnih osa odreeni relacijama

de de dee e e

dt dt dt z

z = = =

to se apsolutni izvod vektora M moe napisati u obliku

( )

M

r Mr p M

d d d de e e e e edt dt dt dt

d e e e vdt

z z

z

z z

z

= + + + + + =

= + + + = +

U prethodnoj jednaini je sa p =

oznaena trenutna ugaona brzina prenosnog kretanja

pokretnog sistema referencije Oz (pokretnog tijela), dok je sa r Mddt oznaen relativni

izvod vektora poloaja , koji odreuje vektor relativne brzine rv .

Relativna brzina take

r Mr

d d d dv e e edt dt dt dt z z

= = + +

,

predstavlja brzinu take M pod pretpostavkom da se mijenjaju samo relativne koordinate , , z dok ostali vektori ostaju konstantni, tj. pretpostavlja se da pokretni sistem

referencije uslovno miruje.

Apsolutna brzina take M je:

OM MO p M r

drdr dv v vdt dt dt

= = + = + +

Ako zamislimo da je taka M vrsto vezana za pokretno tijelo (pokretni sistem referencije), onda je njena relativna brzina jednaka nuli, 0rv =

, pa iz prethodnog izraza definiemo prenosnu brzinu take M

44

p O p Mv v = + .

Prenosna brzina take M predstavlja brzinu take M pod pretpostavkom da taka M ne vri relativno kretanje u odnosu na pokretno tijelo (pokretni sistem referencije), ve je taka vrsto vezana za pokretno tijelo i kree se zajedno sa njim u odnosu na nepokretni sistem referencije.

S obzirom da tijelo vri opte kretanje u prostoru, to je brzina bilo koje njegove take (u ovom sluaju prenosna brzina take M) odreena vektorskim zbirom brzine Ov

pola O i obrtne brzine p M

usljed obrtanja pokretnog tijela oko pola O.

Konano, apsolutna brzina take pri njenom sloenom kretanju je:

p rv v v= +

tj. apsolutna brzina take M jednaka je vektorskom zbiru prenosne i relativne brzine take.

Ako pokretno tijelo vri ravno kretanje, tj. prenosno kretanje take je ravno kretanje, prenosna brzina se odreuje obrascem

Op O rk M O Mv v v v = + = +

.

Ako pokretno tijelo vri obrtanje oko nepokretne ose, odnosno nepokretne take, onda je prenosna brzina

p p Mv = .

Ako tijelo vri translatorno kretanje, onda je prenosna brzina p Ov v= .

APSOLUTNO UBRZANJE TAKE

Apsolutno ubrzanje take M pri sloenom kretanju take odreeno je prvim izvodom po vremenu vektora apsolutne brzine take M:

( )O p M rpO M r

M p

dv da v vdt dt

ddv d dvdt dt dt dt

= = + + =

= + + +

Apsolutni izvod relativne brzine rv take M

odreen je na isti nain kao i apsolutni izvod vektora M

, tj.

r r rp r r p r

dv d v v a vdt dt

= + = +

Relativno ubrzanje take M je u prethodnom izrazu 2 2 2 2

2 2 2 2r r r M

rd v d d d da e e edt dt dt dt dt z

z= = = + +

45

i ono karakterie promjenu relativne brzine rv pod pretpostavkom da pokretni sistem

referencije miruje.

Apsolutno ubrzanje take svodi se na oblik:

( )( ) 2

pO M rM p O p M p r p M r p r

O p M p p M r p r

ddv d dva a v a vdt dt dt dt

a a v

= + + + = = + + + + + =

= + + + +

pri emu je Oa ubrzanje pola O, a p

je vektor trenutnog ugaonog ubrzanja pokretnog tijela

(ugaono ubrzanje prenosnog kretanja).

Prenosno ubrzanje take M moe se odrediti ako zamislimo da take M ne vri relativno kretanje, ve je vrsto vezana za pokretno tijelo, tako da su relativna brzina i relativno ubrzanje jednaki nuli.

Onda je prenosno ubrzanje take, kada pokretno tijelo vri opte kretanje, odreeno sa

( ) Op O p M p p M O p M p Ma a a v = + + = + + . U izrazu za apsolutno ubrzanje take figurie komponenta 2 p rv

, koja predstavlja Koriolisovo ubrzanje:

2cor p ra v= .

Konano, apsolutno ubrzanje take odreeno je relacijom

p r cora a a a= + + .

tj. apsolutno ubrzanje take pri njenom sloenom kretnaju jednako je vektorskom zbiru prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja. Poto u optem sluaju vektori prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja nisu meusobno upravni, intenzitet apsolutnog ubrzanja take M mogue je odrediti ako se nau projektcije vektora apsolutnog ubrzanja na tri upravne ose

x px rx corx

y py ry cory

z pz rz corz

a a a aa a a aa a a a

= + +

= + +

= + +

pa je tada

2 2 2x y za a a a= + + .

46

KONSTRUKCIJA KORIOLISOVOG UBRZANJA

Koriolisovo ubrzanje karakterie uzajamno dejstvo prenosnog i relativnog kretanja take i odreeno je sa

2cor p ra v=

Nazvano je po francuskom nauniku G. Koriolisu (1792-1843).

Intenzitet Koriolisovog ubrzanja odreen je sa

( )2 sin ,cor p r p ra v v = Pravac vektora cora

upravan je naravan koju obrazuju vektori p

i rv , a smjer mu je takav

da se posmatrano iz vrha vektora cora vidi obrtanje za najmanji ugao od vektora p

ka

vektoru rv u smjeru suprotnom od obrtanja kazaljke na satu.

Koriolisovo ubrzanje jednako je nuli kada je:

a) Prenosno kretanje translatorno, onda je 0p =

b) Kada su vektori p

i rv kolinearni

c) U trenucima kada je relativna brzina jednaka nuli 0rv = ili kada je ugaona brzina

prenosnog kretanja jednaka nuli 0p =

.

47

LITERATURA

[1] L. Rusov: Kinamatika, Nauna knjiga Beograd, 1988.

[2] D. Gross, idr: Engineering mechanics 3 - Dynamics, Springer, 2011.

[3] V. Doleek: Kinamatika, Sarajevo, 1979.

[4] S. M. Targ: Teorijska mehanika kratki kurs, Graevinska knjiga Beograd, 1985.

[5] N. Naerlovi-Veljkovi: Mehanika 2, Nauna knjiga Beograd, 1992.god.

48

SADRAJ

UVOD U MEHANIKU 3

UVOD U KINEMATIKU 4

KINEMATIKA TAKE 5

OSNOVNI ZADATAK KINEMATIKE TAKE 6

VEKTORSKI POSTUPAK ODREIVANJA PROIZVOLJNOG KRIVOLINIJSKOG KRETANJA TAKE 6

ANALITIKI (KOORDINATNI) POSTUPAK ODREIVANJA KRETANJA TAKE 7

PRIRODNI POSTUPAK ODREIVANJA KRETANJA TAKE 8

BRZINA TAKE 8

UBRZANJE TAKE 10

BRZINA I UBRZANJE U DEKARTOVIM KOORDINATAMA 11

BRZINA I UBRZANJE TAKE U POLARNIM KOORDINATAMA 12

Poseban sluaj je kretanje take po krunoj putanji 13

Centralno kretanje 14

BRZINA I UBRZANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU 15

Poseban sluaj kretanja po krunoj putanji 17

NEKI PRIMJERI PRAVOLINIJSKOG I KRIVOLINIJSKOG KRETANJA TAKE 19

KINEMATIKA KRUTOG TIJELA 20

ODREIVANJE POLOAJA KRUTOG TIJELA U PROSTORU 21

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TIJELA 23

OBRTANJE KRUTOG TIJELA OKO NEPOKRETNE OSE 24

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela 24

Brzine taaka tijela koje se obre oko nepokretne ose 25

Ojlerova formula za brzinu 26

Ubrzanja taaka tijela koje se obre oko nepokretne ose 26

RAVNO KRETANJE KRUTOG TIJELA 28

Jednaine ravnog kretanja krutog tijela 28

Razlaganje ravnog kretanja krutog tijela na translatorno i obrtno kretanje 29

Brzine taaka tijela koje vri ravno kretanje 29

Teorema o projekcijama vektora brzina taaka ravne figure 30

Trenutni pol brzina ravne figure 30

Ubrzanja taaka krutog tijela koje vri ravno kretanje 32

Trenutni pol ubrzanja ravne figure 33

Teorema o centru obrtanja za konano pomjeranje ravne figure(bernuli-alova toerema) 34

OBRTANJE KRUTOG TIJELA OKO NEPOKRETNE TAKE (SFERNO KRETANJE KRUTOG TIJELA) 35

Jednaine sfernog kretanja krutog tijela 35

Ojler-Dalamberova teorema 36

49

Trenutna ugaona brzina i trenutno ugaono ubrzanje tijela koje se obre oko nepokretne take 37

Ojlerove kinematike jednaine 38

Brzine i ubrzanja taaka tijela koje se obre oko nepokretne take 39

Odreivanje poloaja trenutne obrtne ose 40

OPTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TIJELA 41

Jednaine opteg kretanja slobodnog krutog tijela 41

Brzine taaka tijela koje vri opte kretanje 42

Ubrzanje taaka tijela koje vri opte kretanje 42

SLOENO KRETANJE TAKE 43

Relativno, prenosno i apsolutno kretanje take 43

Apsolutna brzina take 43

Apsolutno ubrzanje take 45

Konstrukcija koriolisovog ubrzanja 47

50