MEHANIKA FLUIDA dio 5

Željko Andreić – Mehanika fluida P5 1

MEHANIKA FLUIDA

dio 5

prof. Željko Andreić

Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu

[email protected]

http://rgn.hr/~zandreic/


sadržaj 1-2-3!

Tečenje kroz cjevovode

1. Korištenje brenoulli-jeve jednadžbe2. Tečenje kroz cjevovode – uvod3. laminarno tečenje kroz cjevovode


Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine

Tlakove možemo uvrštavati kao apsolutne ili kao relativne ali konzistentno.

Za uvrštavanje u B.J. uzimamo vrijednosti sa centralne strujnice strujne cijevi za koju B.J. rješavamo.

Ravninu z=0 provlačimo kroz najnižu točku sistema.

B.J. rješavamo za dvije točke (1 i 2) na strujnici.


Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine 2

0 0

energetska linija

zo

z

pijezometarska linija

geodetska linija



Visina energetske linije zo je konstantna (idealna tekućina!). Za nju se često puta koriste i oznake h ili H.

zo se mjeri od prikladno odabrane referentne ravnine (0--0) koja obično odgovara najnižoj točci problema. Za nju je z=0.

Često puta se kao referentna ravnina uzima morska površina odn. zamišljena ploha koja ju aproksimira za cijelu zemljinu kuglu.



je doprinos tlaka potencijalnoj energiji tekućine(tlačna visina).

predstavlja kinetičku energiju tekućine(brzinska visina).

z je dio potencijalne energije tekućine zbog njenogpoložaja (geodetska visina).

pijezometarska visina= tlačna v. + geodetska visina.



0 0

z1

zo

z2

1 2

1

2



Uz B.J. kod proračuna tečenja služimo se i jednadžbom neprekinutosti:


Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine

Idealne tekućine ne opisuju dobro realne situacije. Sve realne tekućine imaju neku viskoznost i nju moramo uzeti u obzir.Newton-ov pokus:

v=vo

v=0

v(y)d

y

x


Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine 2

Viskozna sila dana je umnoškom tangencijalnog naprezanja i tangencijalne površine:

Kod čestice fluida viskozna sila djeluje na njeno bočno oplošje:

pa je



Zbog toga moramo B.J. dodati član koji opisuje energiju potrošenu viskoznim trenjem. On je jednak promjeni "tlaka" po jedinici mase fluida (kao i postojeći član dp/ρ):

Viskozno trenje kao i svako drugo trenje troši mehaničku energiju pretvarajući je u toplinu, pa se ona za nas gubi. Posljedica toga je da ukupna energija realne tekućine nije sačuvana, već se gubi u smjeru tečenja.



0 0z1

zo

z2

1 2

zE

h1,2

Visina gubitaka h1,2 opisuje gubitak energije viskozne tekućine izmeñu točaka 1 i 2.


Odreñivanje gubitaka za tekućine

1. Uz konstantni protok (=stacionarno strujanje) na mjestima 1 i 2 izmjerimo pijezometarsku visinu hp:

2. pomoću jednadžbe kontinuiteta nañemo brzine (v1A1=v2A2=Q).3. pomoću B.J. nañemo gubitak:


Odreñivanje gubitaka za tekućine 2

Odnosno, uz upotrebu piezometarske visine:

Ako se tečenje odvija kroz cijev konstantnog presjeka, brzina jesvugdje ista pa imamo još jednostavniju formulu:


Odreñivanje gubitaka za tekućine 3

Gubitak energije po jedinici dužine toka naziva se energetski

gradijent ili energetski pad:

Pad piezometarske linije po jedinici dužine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidraulički gradijent:


Reynolds-ov pokus

kod male brzine istjecanja iz uske cijevi izlazi tanki ravni mlaz koji se ne miješa sa okolnom tekućinom.

v


Reynolds-ov pokus 2

pomicanje male cijevi po presjeku veće ne mijenja ovu sliku.Ovakvo strujanje naziva se laminarno strujanje.

v


Reynolds-ov pokus 3

v

kod veće brzine tečenja obojeni trag u sredini cijevi postaje nestabilan.


Reynolds-ov pokus 4

v

bliže stijenci cijevi nestabilnosti su manje. Ovo je tzv. prelazno područje.


Reynolds-ov pokus 5

kod još veće brzine dolazi do miješanja obojenog traga sa okolnom tekućinom.

v


Reynolds-ov pokus 6

slika je sična, bez obzira na položaj mlaza u cijevi. Ovakvo tečenje naziva se vrtložno

(turbulentno) tečenje.

v


Reynolds-ov pokus 7

duljina miješanja

v

Reynolds-ov broj:


Tečenje kroz cjevovode

Cjevovod: sistem cijevi, ventila, račvi i sl. kroz koji teče fluid.

I dalje: fluid je nestlačiv, tok je stacionaran.

BJ za taj slučaj je:


Tečenje kroz cjevovode 2

A gubici:

Ako δ ne ovisi o brzini, prvi član je odreñen geometrijom (preko jedn. kontinuiteta) pa on ne može biti izvor gubitaka.

Ostaju drugi i treći član: gubici se manifestiraju kao pad

piezometarske visine.



To se još jasnije vidi ako uzmemo cijev konstantnog presjeka. Onda je v1=v2 pa odmah vidimo da je:

Ako cijev nije okrugla, umjesto promjera cijevi koristi se tzv. hidraulički polumjer koji se definira kao omjer površine presjeka i opsega cijevi:


za kružnu cijev nalazimo da je


u mehanici fluida koristi se i Reynolds-ov broj:



Za česticu fluida odaberemo volumen omeñen poprečnim presjecima cijevi razmaknutima za razmak dl. Ravnoteža sila je:

vp p+dp

τ

τ

dl



Tu je nepoznato smično naprezanje na stijenki cijevi, pa ćemo se poslužiti dimenzionalnom analizom. Pretpostavimo da je:

ili

pa pišemo:



Gdje smo dodatno pretpostavili da je smično naprezanje proporcionalno viskoznosti (inaće imamo 3 jedn. za 4 parametra!)dimenzionalna jednadžba je slijedeća:

sa rješenjem:

odnosno:



uz:

nalazimo:

Ovo uvrstimo u izraz za pad tlaka:



Veličina

Integracijom po duljini cijevi nalazimo:

naziva se bezdimenzionalni koeficijent trenja u ravnim cijevima.



Ako se ograničimo na okrugle cijevi, 4Rh=d, pa je:

Ovo je Darcy-Wiessbach-ova formula za gubitke u cijevima.

ili:

Po analogiji sa DW formulom se i svi drugi gubici u cjevovodima prikazuju kao:


Laminarno tečenje

+ dade se matematički potpuno opisati

- u stvarnosti fluidi uglavnom teku turbulentno

Laminarno strujanje u stvarnosti postoji u:

kapilaramakod vrlo malih brzina u cijevima (gravitacijski pobuñena strujanja (ne uvijek) i sl.tečenje kroz filtere, tkanine i sl.tečenje podzemnih vodatečenje gustih tekučina (katran, lava, med)


Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi

Zbog viskoznosti je na stijenci cijevi v=0.Brzina je paralelna sa osi cijevi i raste prema sredini (očito!).

vp1

p2

τ

τ

1 2l


Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 2

Simetrija: τ je isto u svim točkama oboda cilindra, pa je ukupnasila na cilindar:

Tangencijalno naprezanje nalazimo iz Newton-ovog zakona:

Ova sila je u ravnteži sa tlačnim silama na baze cilindra:



Izjednačavanje daje:

Da si olakšamo daljnji račun, promijenimo koordinatni sustav:

ili:



pa je:

yr

R

odn.



Da nañemo brzinu ovaj izraz moramo integrirati:

Dobili smo Hagen-Poiseuill-ov zakon raspodjele brzine za laminarno strujanje. Maksimalna brzina se nalazi na osicijevi (r=0!) i iznosi:



Odnos brzine na nekom polumjeru prema maksimalnoj je:

R-R r

v

vmax

A profil brzine je paraboličnog oblika:



Ukupni protok nalazimo integracijom brzine po presjeku cijevi:

odnosno:



ili:

Izjednačavanje daje:

Ranije smo protok preko jednadžbe kontinuiteta vezali uz srednju brzinu:



Kod laminarnog strujanja ga ne smijemo zanemariti.

a Corioliss-ov koeficijent je:

Omjer prosječne i maksimalne brzine naziva se koeficijent brzine:


Kod laminarnog tečenja gubici su proporcionalni srednjoj brzinitečenja. Prije smo za gubitke našli izraz:

odn.

Kombiniranjem izraza za maksimalnu brzinu i koeficijent brzinedolazimo do izraza za gubitke:

Koeficijenti trenja za laminarno tečenje

odn.


Koeficijenti trenja za laminarno tečenje 2

Ako presjek "cijevi" nije okrugao, konstanta u brojniku se mijenja, pa se za takve cijevi koristi poopćeni izraz:

Usporeñivanjem odgovarajučih izraza (za tlak odn. za visinu) dobijamo izraz za koeficijent trenja za laminarno tečenje:

gdje je Re

Reynolds-ov broj:



0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

b/a

fi a

b

ϕ



paralelne ploče: ϕ=1,5kvadratni presjek: ϕ=0,89kružni presjek: ϕ=1,00pravokutni presjek 1/0,44: ϕ=1,00


Duljina formiranja laminarnog toka

U prijelaznom području otpor strujanju je veći od konačnog jer se dio energije fluida troši na njegovo ubrzavanje (odlazi u kinetičku energiju fluida!).

Documents

MEHANIKA FLUIDA dio 5