УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ

ФАКУЛТЕТ ЗАШТИТЕ НА РАДУ

МЕХАНИКА ФЛУИДА

СКРИПТА ЗА ПРИПРЕМУ ИСПИТА И КОЛОКВИЈУМА

OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE. FIZIČKA SVOJSTVA FLUIDA

1.1 Osnovni pojmovi Sva tela u prirodi imaju odredjena geometrijska i fizička svojstva. Osnovno geometrijsko svojstvo svih tela je da zauzimaju određenu oblast prostora, tj. imaju odgovarajuću zapreminu. Svaka tačka zapremine tela zove se geometrijska tačka i ona je određena vektorom položaja, koji je funkcija vremena, u odnosu na izabranu referentnu tačku-koordinatni početak, odn. određena je odgovarajućim koordinatama u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Osnovno fizičko svojstvo svih tela je materijalnost, tj. fizička tela se predstavljaju kao zapremina ispunjena materijom. Dakle, u svakoj tački tela postoji materija. Na osnovu toga telo se definiše kao neprekidna materijalna sredina ili materijalni kontinuum. Masa je osnovno svojstvo materije. Svako telo ima odgovarajuću masu koja je neprekidno raspoređena u zapremini tela i ima osobinu da ne zavisi od oblika tela niti od promene njegovog oblika tokom vremena, tj. ne zavisi od dimenzija dužine i vremena. Materija i kretanje su u međusobnoj vezi. Kretanje je način postojanja materije. Kretanje se odvija u prostoru i vremenu pa su materija, prostor i vreme u uzajamnoj vezi i treba da se posmatraju istovremeno. Prema tome, može se reći da svaki proces u prirodi predstavlja određeni oblik kretanja materije u prostoru i vremenu. Mehaničko kretanje nekog tela predstavlja promenu njegovog položaja u prostoru u toku vremena u odnosu na reper-neko drugo telo, koje se zove referentno telo a bira se tako da na pogodan način može da se posmatra kretanje zadatog tela. Za referentno telo se vezuje odgovarajući koodrinatni sistem koji predstavlja sistem referencije ili referentni sistem. U prirodi postoje takva mehanička kretanja za čije proučavanje dimenzije tela nemaju bitnu ulogu, tako da telo možemo zameniti samo jednom njegovom tačkom. Tada celokupnu materijalnost tela pridodajemo jednoj tački tela i na taj način uvodimo pojam materijalne tačke. Dakle, ako geometrijskoj tački tela pridodamo masu tela odn. damo joj svostvo marterijalnosti, tada se ta tačka zove materijalna tačka. U prirodi se tela podvrgavaju deformacijama pod dejstvom uzroka. Takva tela se zovu deformabilna tela i mogu biti čvrsta i fluidna. Promena stanja tela pod dejstvom uzroka se karakteriše deformacijom. Izučavanjem promena stanja deformabilnih tela bavi se naučna disciplina pod nazivom mehanika deformabilnih (neprekidnih) sredina ili mehanika kontinuuma. Ona obuhvata niz naučnih disciplina. Podela mehanike deformabilnih tela na posebne discipline izvodi se u zavisnosti od agregatnog stanja i mehaničkih osobina. U zavisnosti od agregatnog stanja tela, mehanika deformabilnih tela se deli na mehaniku čvrstih tela i mehaniku fluida, koja se dalje deli na mehaniku tečnosti i mehaniku gasova. Sva deformabilna tela poseduju tri osnovna mehanička svojstva: elastičnost, viskoznost i plastičnost. Ova svojstva su predmet izučavanja posebnih naučnih disciplina, i to teorije elastičnosti, mehanike viskoznih fluida i teorije plastičnosti. Promena stanja čvrstog tela pod dejstvom sila se karakteriše deformacijom. Čvrsta tela su materijalna tela sa osobinama elastičnosti, koja se proučavaju u oblasti elastičnih deformacija po

Teoriji elastičnosti i Otpornosti materijala, i u oblasti trajnih deformacija po Teoriji plastičnosti. U ovim naučnim oblastima se izučava deformacija tela pri različitim dejstvima spoljašnjih sila. Promena stanja fluidnog tela se karakteriše brzinom deformacije. U fluidna tela spadaju tečna i gasovita tela. Uveden je jedan opšti pojam “fluid“ za tečna i gasovita tela s obzirom na to da su zakoni njihovog ponašanja vrlo slični, a nauka koja se bavi izučavanjem njihovih stanja mirovanja ili kretanja nazvana je mehanika fluida. U mehanici fluida posebno se izučavaju pojave kada se fluid ponaša kao nestišljiv, a posebno pojave kad se stišljivost ne sme zanemariti. Kad god se rezultati pojave podjednako odnose i na tečnost i na gas upotrebljava se reč fluid. Tečna tela menjaju oblik ali ne i zapreminu, dok gasovita menjaju i oblik i zapreminu. I u mehanici deformabilnih tela, kao i u mehanici krutih tela, zadaci mogu biti statičkog, kinematičkog i dinamičkog karaktera. Tako su se u mehanici fluida razvile posebne discipline kao što su statika fluida, kinematika fluida, dinamika fluida, hidrostatika, hidrodinamika, aerostatika, aerodinamika, dinamika gasova itd. Razvoj mehanike doprinosi razvoju tehnike a samim tim i poboljšanju uslova života. Za teorijska izučavanja u mehanici stvarna tela i stvarni mehanički procesi su veoma složeni, jer obuhvataju veliki broj različitih uticaja, čije uzimanje u obzir dovodi do velikih matematičkih teškoća. Zbog mogućnosti i jednostavnosti teorijskih proučavanja u mehanici, uočavamo samo elemente koji su od bitnog uticaja na karakter proučavanog procesa a ostale zanemarujemo. Takvi rezultati nisu apsolutno tačni, a da bi oni bili prihvaćeni vrši se eksperimentalna provera. Eksperimentalnim ispitivanjem utvrđuju se granice tačnosti dobijenih rezultata teoriskim putem. Na taj način se utvrđuje da li izabrana aproksimacija prihvatljiva za formiranje mehaničkog modela. Stvarne mehaničke pojave zamenjujemo odgovarajućim mehaničkim modelom. Formiranje mehaničkih modela predstavlja metod apstrakcije u mehanici. 1.2 Fluidni delić Prilikom opisivanja fizičkih pojava često se govori o deliću materije. Pod tim se podrazumeva tako mala količina materije da njen oblik nema ulogu pri posmatranju, pa se može zamisliti kao elementarna kocka, lopta ili bilo kakvo pravilno ili nepravilno geometrijsko telo, ali tako da su dimenzije delića neizmerno veće od dimenzija odgovarajućeg molekula. Pri tehničkom proučavanju fizičkih pojava u vezi sa kretanjem fluida, mahom nije potrebno voditi računa o

molekularnom kretanju jer zapremina kocke 1 3 sadrži 3,4 1010 molekula vode na temperaturi 00 C , ili 2,7 710 molekula vazduha na temperaturi 00 C i pritisku 760mm živinog stuba.

Delići imaju uvek istu masu, ali im se zapremina i oblik mogu menjati tokom vremena. Posmatranjem kretanja tečnosti i gasova dolazi se do zaključka da pokretljivost delića ima odlučujuću ulogu tako da nestišljivost tečnosti i stišljivost gasova skoro nemaju nikakvog uticaja na tok posmatrane pojave. Stoga su opravdani opšti nazivi: fluid, za tečnosti i gasove; i fluidni delić, kao njima odgovarajući delić. Dakle, mala zapremina fluida proizvoljnog oblika naziva se fluidni delić (čestica fluida) (Sl.1.1). Položaj fluidnog delića obično se određuje vektorom položaja njegovog težišta, odn. vektorom položaja ma koje tačke fluidnog delića, s obzirom na to da je veoma mala količina materije mase dm u maloj zapremini dV.

Vektor položaja pokretne tačke u odnosu na referentnu tačku O je definisan, u Kinematici,

funkcijom: , , ,r r x y z t

. (1.1)

Brzina pokretne tačke je vektor jednak prvom izvodu vektora položaja po vremenu dr

vdt

. (1.2)

Ubrzanje pokretne tačke je vektor jednak prvom izvodu brzine, tj. drugom izvodu vektora

položaja po vremenu 2

2

dv d ra

dt dt

. (1.3)

Sl.1.1 Fluidno telo i fluidni delić Dakle, fluid se može posmatrati kao kontinuum (neprekidna sredina), iz kojeg se može izdvojiti fluidni delić, a čije se stanje određuje raznim fizičkim veličinama. Jedna od njih je gustina fluida. Fluidni delić ima svoju elementarnu masu dm i odgovarajuću elementarnu zapreminu dV, a gustina fluida se definiše kao njihov količnik:

dm

dV . (1.4)

Gustina fluida nije konstantna veličina već se menja u zavisnosti od položaja i vremena, te je

treba odrediti kao funkcionalnu zavisnost , , ,x y z t . Dimenzija gustine je 3ML .

Jedinica za merenje gustine je 3kg/m .

Korisno je pomenuti fizičku veličinu pod nazivom težina jedinice zapremine ili specifična težina, koja se obeležava grčkim slovom . Postoji srednja i stvarna specifična težina.

Srednja specifična težina jednaka je količniku težine fluida G i njene zapremine V:

G

V . (1.5)

Stvarna specifična težina u datoj tački jednaka je graničnoj vrednosti odnosa težine fluidnog delića prema veličini njegove zapremine koja teži nuli u okolini posmatrane tačke:

0limV

G dG

V dV

. (1.6)

Ako je fluid homogen, onda su srednja i stvarna specifična težina jednake. Specifična težina jednaka je proizvodu gustine fluida i ubrzanja zemljine teže: g (1.7)

Dimenzija specifične težine je 2 2ML T . Jedinica za merenje specifične težine je 2 2kg/m s .

Specifična težina i gustina fluida menjaju se sa temperaturom i pritiskom.

, , , , , , , , , , ,x y z t x y z t p T p T (1.8)

Elementi fluidnog delića su:

dm, dV, , , , , , , , , , , , , ,v a x y z t p p x y z t T T x y z t

. (1.9)

1.3 Sile u fluidu Na fluidni delić u datoj zapremini, bez obzira da li se zapremina graniči sa fluidom ili je izolovana, dejstvuju razne sile koje mogu biti spoljašnje (zapreminske) i unutrašnje (površinske). Spoljašnje (zapreminske) sile zovu se i masene, jer dejstvuju na elementarnu masu svakog fluidnog delića. Na elementarnu masu dm dV fluidnog delića dejstvuje elementarna masena

sila:

mdF Fdm FdV

. (1.10)

Oznakom F

se obeležava sila po jedinici mase. Pored masenih sila na fluidno telo dejstvuju i površinske sile. Da bi se to pokazalo potrebno je uočenu zapreminu, koju ispunjava fluid, podeliti nekom površinom na dva dela.

Neka je A

ta proizvoljna površina unutar dela prostora ograničenog zapreminom V, ispunjenog

tečnošću (Sl.1.2) i neka je R

rezultanta svih sila koje napadaju dati fluidni prostor. Tada na mali

ali konačni deo A

površine A

koji obuhvata tačku M, dejstvuje srazmerno mali, takođe

konačni, deo rezultante svih sila koje napadaju posmatrani fluidni prostor R

. Sila R

se može

razložiti na normalnu komponentu P

koja dejstvuje u pravcu normale na površinu i kolinearna

je sa vektorom površine A

, i tangencijalnu komponentu T

koja leži u ravni površine A, pri čemu je:

R P T

. (1.11)

Površinska raspodela elementarne normalne sile P

po površini A

određena je količnikom P/A, a tangencijalne T /A. Ako se površina A toliko smanji da u jednom trenutku teži nuli ( 0A ), tada granična vrednost raspodele normalnih sila po jedinici površine predstavlja normalne napone u tečnosti i naziva se pritiskom:

,lim0

pdA

dP

A

P

A

(1.12)

a granična vrednost raspodele tangencijalnih sila

A

AA

n

V

R

P

T

M

0lim ,A

T dT

A dA

(1.13)

predstavlja tangencijalne napone u tečnosti.

U hidrostatici, tj. kod problema vezanih za ravnotežu mirne tečnosti, nema tangencijalnih sila, pa se samim tim ne mogu javiti ni tangencijalni naponi . Prisustvo tangencijalnih napona u tečnosti koja miruje uslovilo bi međusobno pomeranje delova fluidnih masa jednih u odnosu na druge, čime bi se narušila ravnoteža mirne tečnosti.

Normalne sile dP

dejstvuju uvek upravno na ma koju stvarnu ili zamišljenu površinu Ad

u tečnosti, i imaju pravac isti sa vektorom površine ali su suprotnog smera (smer ulazne normale na površinu), pa je otuda elementarna normalna sila:

dP pdA

. (1.14)

Ukoliko bi normalne sile u tečnosti dejstvovale u istom smeru kao i vektor površine tj. od površine prema spolja (smer izlazne normale na površinu), tada bi one mogle izazvati razdvajanje delova fluidnih masa i pojavu prekida u tečnosti, čime bi bio narušen kontinuitet fluidnog prostora. Iz ovoga sledi da se normalni naponi u tečnosti mogu javiti samo kao opterećenje na pritisak a nikako na istezanje, pa se otuda normalni naponi u fluidima i nazivaju pritiskom. U skladu sa izrazima (1.9) i (1.11) jedinica za merenje pritiska jednaka je odnosu jedinice za silu prema jedinici površine i u Internacionalnom SI sistemu jedinica osnovnu jedinicu za merenje pritiska predstavlja Paskal (Pa), pri čemu je:

1Pa = 2m

N

1

1= 310 kPa = 510986.0 bar.

1.4 Stišljivost fluida Fizičko svojstvo fluida da menja svoju zapreminu pod dejstvom normalnih površinskih sila zove se stišljivost. Prema stišljivosti, fluid može biti nestišljiv (stalne gustine .const -tečnosti) ili

stišljiv (promenljive gustine , , ,x y z t -gasovi).

Stišljivost tečnosti je vrlo mala. Potrebna je velika sila pritiska da bi se zapremina tečnosti bar malo smanjila, a po prestanku dejstva sile pritiska sabijena tečnost bi zauzela prethodnu zapreminu. Neka se pod dejstvom elementarnog pritiska dp smanji zapremina za dV (Sl.1.3). Izraz dV V predstavlja relativnu zapreminsku promenu.

Sl.1.2 Površinske sile u fluidu

Sl.1.3 Stišljivost fluida Ova promena sračunata za jedinicu pritiska i uzeta sa negativnim znakom je koeficijent stišljivosti:

1 dVs

V dp . (1.15)

Znak minus pokazuje da smanjenju pritiska odgovara povećanje zapremine i obrnuto. Recipročna vrednost koeficijenta stišljivosti obeležava se slovom i naziva se modulom stišljivosti:

1 dpV

s dV . (1.16)

Modul stišljivosti ima istu dimenziju kao i pritisak. Masa fluida je konstantna, jednaka proizvodu gustine i zapremine:

.m V const (1.17)

Diferenciranjem izraza (1.17) se dobija dm dV Vd =0, odakle je:

dV d

V

(1.18)

Primenom (1.18) na (1.15) i (1.16) dobijaju se izrazi za u zavisnosti od pritiska i gustine :

koeficijent stišljivosti 1 d

sdp

, (1.19)

modul stišljivosti dp

d

. (1.20)

Koeficijent stišljivosti i modul stišljivosti su funkcije pritiska i temperature. Koeficijenti stišljivosti imaju male vrednosti, i u većini hidrauličkih dogadjaja su bez uticaja na ishod. Time se račun uprošćuje jer gustina onda ne zavisi od pritiska. Samo u izuzetnim slučajevima se voda posmatra kao stišljiv fluid, npr. kada se proučava udar vode. 1.5 Viskoznost fluida

Fluid se odlikuje pokretljivošću svojih delića. Drugim rečima, i najmanja sila je dovoljna da izazove klizanje jednih delića po drugima. Neki delići su pokretljiviji a neki manje pokretljivi, tj. nisu svi fluidni delići jednako pokretljivi. Uzrok tome je što se delići uzajamno taru i što sila trenja, koja time nastaje, sprečava klizanje raznorodnih delića na različite načine. Fluid u kome nema sile trenja je zamišljen i kao takav zove se idealan (savršen) ili neviskozan. Savršenih fluida u stvarnosti nema jer se pri kretanju svakog fluida javlja sila trenja. Proučavanje kretanja idealnog fluida ima veliki značaj jer daje korisne rezultate u slučajevima kada je sila trenja veoma mala, kao i pri pojavama kada se i realan fluid ponaša kao idealan. U suprotnom, postoji sila trenja (unutrašnje trenje) i takav fluid je viskozan. Dakle, fizičko svojstvo pokretljivosti fluida okarakterisano je kao viskoznost, a prema viskoznosti, fluid može biti idealan (neviskozan) - fluid bez trenja, ili realan (viskozan) – fluid sa trenjem. Strujanje fluida je veoma jednostavno kad brzine imaju isti pravac u svim tačkama fluidnog prostora. Takvo strujanje se javlja, npr. iznad nepokretne neizmerno dugačke i ravne ploče (Sl.1.4). Merenjem brzine u pravcu y-ose, počev od proizvoljno izabrane tačke O, zapaža se da na ploči fluid miruje a da sa udaljavanjem od nje brzine fluida postepeno rastu. Brzine zavise od mesta gde se mere, i zato su funkcije koodrinata. U datom slučaju fluid teče pravcem ose x, i brzine su iste u tačkama koje pripadaju istoj pravoj y=const. U drugim pravcima fluid nema

brzinu. Tada brzina u trenutaku 0t ima pravac ose x i menja se sa koordinatom y:

x y z xv v i v j v k v y i

(1.21)

Sl.1.4 Viskoznost fluida

U nekoj tački M na rastojanju y postoji brzina v, a u neposredno bliskoj tački M 1 na rastojanju dy

postoji brzina

1

v yv y dy v y dy

y

. Razlika izmedju ovih brzina je upravo sabirak

v ydy

y

, koji predstavlja relativnu brzinu dva susedna sloja na rastojanju dy. Parcijalni izvod

daje relativnu promenu brzine po jedinici normale na slojevima fluida. Promena brzine pravcem normale na ploči fizički se objašnjava dejstvom medjumolekularnih sila fluida i ploče, i fluida medjusobom, pa te sile čine da se prisustvo čvrstih površina uvek ispoljava kao kočnica kretanju tehnički najvažnijih fluida, vode i vazduha. Fluidni delići se lepe za ploču. Tu pojavu je Isak Njutn izrazio relacijom:

v

y

, (1.22)

gde su: -tangencijalni (smičući napon) i -koeficijent dinamičke viskoznosti (dinamička

viskoznost), koji izražava proporcionalnost izmedju relativne promene brzine i tangencijalnog napona. Susedni fluidni slojevi imaju skoro istu brzinu jer je njihova relativna brzina izvanredno mala. Kad bi ona negde bila konačne vrednosti porastao bi parcijalni izvod preko svake mere a sa njim i tangencijalni napon. To je suprotno iskustvu, u prirodi ne mogu postojati ni dve različite vrednosti brzine na površini koja razdvaja fluid od čvrstog tela ili fluid od fluida. Dodirom sa čvrstom površinom, stvarni fluid svodi svoju brzinu na brzinu površine, a u istoj fluidnoj površini ne može fluidni delić sačuvati nejednake vrednosti brzine. Jedini izuzetak od toga je savršeni (neviskozan) fluid, kod koga je =0.

U mehanici fluida se često dinamička viskoznost deli gustinom i taj količnik se naziva kinematički koeficijent viskoznosti ili kinematička viskoznost:

. (1.23)

Dimenzije dinamičke i kinematičke viskoznosti su: 1 1 2 1;ML T L T .

Dinamička i kinematička viskoznost zavise od prirode fluida, od temperature i od pritiska kojem

je izložen: , , ,p T p T . (1.24)

Viskoznost gasova raste sa porastom temperature a kod tečnosti, obrnuto, opada. 1.6 Uticaj toplote na fluide Fluid menja svoju zapreminu i gustinu pod uticajem toplote. Fizičko stanje fluida je uslovljeno temperaturom. Nestišljivi fluid (tečnost) ponaša se prema Gej-Lisakovom zakonu. Tada se promene zapremine i gustine izražavaju relacijama:

0 01TV V T T (1.25)

0

01T

T T

(1.26)

gde su: TV -zapremina fluidne mase na temperaturi T ; 0V -zapremina iste fluidne mase na

temperaturi 0T ; -koeficijent toplotnog širenja; T -gustina fluidne mase na temperaturi T ;

0 -gustina iste fluidne mase na temperaturi 0T .

Tečnosti imaju mali koeficijent toplotnog širenja (za vodu je 0.00044 od 0 0 C do 100 0 C a za živu 0.00018). Zbog toga, tečnosti spadaju u nestišljiva tela te im je karakteristična jednačina

fizičkog stanja 0 .const

Kod stišljivih fluida, za idealni gas važi opšta jednačina stanja koja dovodi u vezu pritisak, gustinu i temperaturu: p g RT (1.22)

gde su: p-statički pritisak u gasu, R-gasna konstanta T- apsolutna temperatura, čije su jedinice

mera, redom: 2N/m , 0 0Nm/N K, K . Iz ove jednačine se vidi da gustina zavisi i od pritiska i od

temperature. Svarni gasovi se ne ponašaju strogo prema ovom zakonu. Odstupanja mogu biti znatna a mere se količnikom /p RT jer je ovaj jednak jedinici samo kad se gas ponaša kao

idealan. Gustina vazduha u normalnoj atmosferi i gustina vazduha u proizvoljnim uslovima stoje u odnosu 0

0 0

pT

p T

, koji

predstavlja karakterističnu jednačinu. Iz toga proizilazi da je čak i idealan gas nezgodan za rad jer njegova karakteristična jednačina sadrži novu nepoznatu, i to temperaturu. Da bi se sračunala gustina gasa na datom pritisku neophodno je da se prethodno odredi raspored temperature u fluidu. U tu svrhu koristi se jednačina toplotnog bilansa, čime se bavi posebna oblast fizike pod nazivom termodinamika.

Ako se temperatura može izdvojiti iz jednačine stanja i gustina izraziti kao funkcija pritiska

f p tada se kaže da je fluid barotropan, a kad je to nemoguće fluid je baroklin.

Nestišljivi fluidi predstavljaju najprostije barotropne fluide sa 0 .const

Pri izotermnim pojavama, kada je T=const., u idealnom gasu uvek je gustina linearna

funkcija pritiska, što se može napisati u obliku: f p Cp , gde je C nekakva konstanta.

Tada se karakteristična jednačina može napisati u obliku: 0

0

.constp p

U termodinamici se proučavaju politropski procesi gde je gustina nf p Cp i karakteristična jednačina

0

0

.nn

constp p

Ako je u prethodnoj jednačini n , za vazduh 1.408 , tada je reč o adijabatskoj promeni

stanja kada se toplota ne odvodi ni dovodi. To su povratni procesi-kvazistatički, mogu se odvijati u oba smera.

1.7 Kratak pregled fizičkih svojstava tečnosti: 1. Homogenost je osobina tečnosti da je u svim delićima ista gustina; 2. Izotropija podrazumeva u svim pravcima iste osobine tečnosti; 3.Kohezija je pojam koji podrazumeva dejsvo privlačnih sila unutar tečnosti. Kohezija medju delićima vode je slaba. Zato se delići mogu lako odvajati jedni od drugih. Posledica kohezionih sila su površinski naponi, usled kojih se nivo tečnosti u prepunom sudu, pre prosipanja ispupči iznad ivice posude.

4.Adhezija je pojam koji podrazumeva dejstvo privlačnih sila izmedju delića tečnosti i zidova suda. Usled adhezionih sila tečnosti prijanjaju za zidove sudova i, zbog toga, pri kretanju tečnosti kroz vodove i cevovode jedan sloj delića (čestica) tečnosti ostaje nepokretan. 5. Promenljivost oblika je svojstvo tečnosti da zauzima oblik suda u kome se nalazi, jer je trenje medju delićima tečnosti veoma malo tako da ono ne sprečava promenu oblika. 6. Nepromenljivost zapremine, tj. tečnosti ni pod dejstvom velikih sila pritiska ne menjaju zapreminu ili toliko malo je promene da se to može zanemariti, pa se tečnosti smatraju nestišljivim. 7. Horizontalnost površine tečnosti u miru-Oblik površine mirne tečnosti u širokom sudu je horizontalna. Na svaki delić tečnosti dejsvuje sila zemljine teže. Ako je površina tečnosti nagnuta pod nekim uglom , tada će na svaki delić dejstvovati dve komponente sile zemljine teže: gravitaciona sinG i normalna cosG . Pod uticajem gravitacione komponente delić bi krenuo naniže jer normalna komponenta ne stvara otpor trenja, pošto ga u tečnosti praktično nema. Ravnoteža nastupa onda kada je gravitaciona sila jednaka nuli, a to je jedino moguće ako je jednako nuli, što je dokaz da mirna tečnost ima površinu horizontalnu. 8. Kapilarnost-To je pojava izdizanja ili spuštanja nivoa tečnosti iznad normalnog. Kapilarnost se javlja u uskim cevima (kapilarima), kao posledica istovremenog dejstva unutrašnjih kohezionih sila u tečnosti, adhezionih sila izmedju tečnosti i zidova kapilarnih cevi, i površinskih napona. Ova pojava, pored ostalog, ima izvanredan značaj u kretanju sokova biljaka i u kretanju vode u zemljištu. Visina izdizanja nivoa u kapilarima zavisi od prirode tečnosti i veličine poprečnog preseka kapilara. Visina izdizanja vode u kapilarima (h), prema empirijskim saznanjima, je približna količniku broja 30 i prečnika kapilara (d) (h=30/d). Nasuprot vodi, nivo žive se spušta u kapilarnim cevima. Ta pojava se naziva kapilarna depresija. 9. Viskoznost (unutrašnje trenje)-Sve tečnosti se pri kretanju manje ili više raslojavaju, tj. kreću se laminarno. Otpor smicanju, koji se javlja usled trenja izmedju slojeva pri ovom raslojavanju zove se viskoznost (unutrašnje trenje). Ovo se može uočiti ako se u neki prosrtan sud stavi tečnost pa se na mirnu površinu priljubi staklena pločica i polako vuče horizontalno. Prvi sloj tečnosti, priljubljen uz pločicu, usled sile adhezije kretaće se istom brzinom kao pločica. Drugi sloj i svaki sledeći ispod kretaće se manjom brzinom do poslednjeg sloja koji ostaje nepokretan usled adhezije sa sudom. Veličina viskoznosti zavisi od prirode tečnosti i toplotnog stanja tečnosti. Veću viskoznost imaju tečnosti veće gustine. Viskoznost opada sa porastom temperature.

Kontrolna pitanja 1 1. Fluidno telo i fluidni delić 2. Stišljivost fluida 3. Viskoznost fluida 4. Sile u fluidu 5. Fizička svojstva tečnosti

2. STATIKA FLUIDA

Statika fluida je deo Mehanike fluida koji se bavi izučavanjem ravnoteže fluida. Ravnoteža

(relativno mirovanje) fluida određena je uzajamnim dejstvom svih sila koje napadaju posmatrani

fluidni prostor. Ravnotežu fluida koji se nalazi u stanju mirovanja ili relativnog mirovanja,

održavaju dve vrste sila: spoljašnje ili masene (zapreminske) sile i unutrašnje ili površinske sile.

2.1 Masene sile

Masene sile dejstvuju na elementarnu masu svakog fluidnog delića unutar zapremine koja

ograničava posmatrani fluidni prostor, pa se često zovu i zapreminske sile. U ovu grupu sila

spadaju: gravitacione sile (težina), mehaničke, inercijalne, elektrostatičke, elektromagnetne sile

itd. pri čemu je svaki fluidni delić male ali konačne mase m opterećen malim ali konačnim

delom glavnog vektora masenih sila mF

. Kako je prema drugom Njutnovom principu sila pro-

porcionalna masi, to se glavni vektor masenih sila raspoređuje na sve fluidne deliće unutar

fluidnog prostora. Raspodela glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog prostora,

može se tada predstaviti količnikom mFm /

. Ukoliko je masa fluidnog delića beskonačno mala

( 0m ), tada je granična vrednost količnika mFm /

:

0lim m m

m

F dFF

m dm

(2.1)

jednaka sili F

, koja predstavlja intenzitet polja masenih sila ili masenu raspodelu glavnog

vektora spoljašnjih sila.

Na osnovu izraza (2.1) sledi da je elementarni glavni vektor spoljašnjih sila mFd

koji napada

fluidni delić elementarne mase dm obuhvaćene elementarnom zapreminom dV jednak:

mdF Fdm

. (2.2)

Na osnovu izraza (2.1) i drugog Njutnovog principa, zaključuje se da je intenzitet polja masenih

sila ekvivalentan ubrzanju koje spoljašnje sile saopštavaju jedinici mase fluidnog prostora. U

skladu sa tim, odgovarajuća jedinica za intenzitet polja masenih sila u internacionalnom SI

sistemu je

2

N m( )

kg sF

.

Kako se elementarna masa fluidnog delića može predstaviti proizvodom gustine i elementarne

zapremine, tj. dm dV , pri čemu u opštem slučaju gustina predstavlja funkciju položaja

( , , )x y z to sledi:

mdF FdV

. (2.3)

Ukupna masena sila mF

, koja napada čitav fluidni prostor obuhvaćen proizvoljnom zapreminom

V, određena je rezultantom svih elementarnih sila koje napadaju svaki fluidni delić unutar

konačne zapremine V, odnosno zapreminskim integralom:

m

V

F FdV

. (2.4)

Kako su sile vektorske veličine, to vektorski zbir svih masenih sila koje napadaju dati fluidni

prostor predstavlja glavni vektor masenih sila i obeležava se oznakom mF

.

2.2 Površinske sile

Površinske sile postoje u unutrašnjosti fluida. Fluidni delići ispunjavajući fluidni prostor se

medjusobno dodiruju nekim elementarnim površinama ida

(Sl. 2.1b). Na dodirnim površinama

dvaju elementarna susedna fluidna delića kada je fluid u stanju mirovanja dejstvuju, upravno ka

unutrašnjosti svakog, elementarne pritisne sile ipda

i ipda

, koje su istih veličina, pravaca a

suprotnih smerova saglasno trećem Njutnovom principu (jednakost dejstva i protivdejstva) i

Paskalovom zakonu o jednakosti pritiska u tački u svim pravcima ako je fluid homogen i

izotropan. Ove pritisne sile, koje su uvek u paru, unutar fluidnog prostora uzajamno se

poništavaju. Zato preostaju samo pritisne sile koje dejstvuju na elementarne granične površine

dA oko fluidne mase (Sl. 2.1a).

Površinske sile su neprekidno raspoređene po ma kojoj površini koja ograničava fluidni prostor

ili neki njegov deo, odnosno razdvaja posmatrani fluidni prostor od neke druge sredine.

Elementarna površinska pritisna sila dP

koja napada beskonačno mali deo dA

proizvoljne

površine A

predstavljena je u obliku:

dP p dA

, (2.5)

gde znak minus označava da su vektori Pd

i Ad

suprotnog smera. Tada je ukupna sila koja

dejstvuje po čitavoj površini A

određena površinskim integralom:

A

P p dA

. (2.6)

Pritisak se zove statički pritisak, ako fluid miruje. Statički pritisak je uvek normalan na svakoj

stvarnoj ili zamišljenoj površini i ima istu vrednost u nekoj tački u svim pravcima koji prolaze

kroz tačku. Pri tome nastaje sila statičkog pritiska, koja ima odgovarajuće osobine, tj. uvek je

normalna na svakoj stvarnoj ili zamišljenoj površini, i vrednost joj je ista u jednom mestu u svim

pravcima. Ako bi sila statičkog pritiska bila pod nekim uglom u odnosu na normalu površine

tada bi se uvek mogla razložiti na normalnu i tangencijalnu komponentu. Tada bi tangencijalna

komponenta izazivala klizanje fluidnih delića te ne bi bilo moguće mirovanje fluida. Da je

pritisak jednak u svim pravcima u ma kojoj tački fluidnog prostora dokazuje se na osnovu

analitičkih uslova ravnoteže svih sila, koje dejstvuju na elementarni tetraedar MABC (Sl.2.2), a

koji glase: algebarski zbir projekcija svih sila na pravac ma koje ose treba da bude jednak nuli.

Shodno Sl 2.2 i s obzirom na to da je projekcija strane ABC, površine nA, na odgovarajućoj

koordinatnoj ravni cos , ; cos , ; cos ,x n y n z nA A n x A A n y A A n z

sledi:

cos , cos ,x n nx n x n

x x n

P P PP P n x n x p p

A A A

cos , cos ,y n ny n y n

y y n

P P PP P n y n y p p

A A A

(2.7)

cos , cos ,n nzz n z n

z z n

P PPP P n z n z p p

A A A

x y z np p p p

Na ovaj način je dokazano svojstvo o jednakosti pritiska u nekoj tački mirnog fluida.

a)

b)

Sl. 2.1a i b Elementarne pritisne sile Sl.2.2 Sile pritiska

2.3 Hidrostatički pritisak, skalarno polje pritiska

Pritisak je skalarna veličina, što znači da je za potpuno određivanje pritiska u fluidnom prostoru

potrebno znati samo jedan numerički parametar u obliku imenovanog broja koji predstavlja

veličinu, odnosno vrednost pritiska. Vrednosti pritiska u fluidnom prostoru u nekom trenutku

vremena, menjaju se neprekidno od tačke do tačke i to tako da svakoj tački prostora odgovara

jedna i samo jedna vrednost pritiska, pa kažemo da u posmatranom tenutku pritisak predstavlja

funkciju položaja tačaka u prostoru (koordinata). Skup vrednosti pritisaka u tačakama prostora u

kojima je u datom trenutku definisana vrednost pritiska određuje tzv. skalarno polje pritiska, koje

u opštem slučaju može biti predstavljeno funkcijom prostornih koordinata i vremena:

( , , , )p p x y z t .

U hidrostatici, dakle u slučaju mirovanja fluida, polje pritiska je stacionarno (ne menja se sa

vremenom), pa predstavlja samo funkciju prostornih koordinata:

( , , )p p x y z .

Prethodne funkcije pritiska određuju zakonitosti po kojima se menjaju vrednosti pritiska u

tačkama fluidnog prostora. Poznavanjem odgovarajuće zakonitosti može se odrediti vrednost

pritiska u ma kojoj tački fluidnog prostora samo na osnovu poznatih koordinata u uslovima

ravnoteže mirnog fluida.

Već je rečeno da polje pritiska predstavlja jednoznačnu funkciju položaja, odnosno da u

posmatranom trenutku vremena u jednoj tački fluidnog prostora može da postoji jedna i samo

jedna vrednost pritiska. Sa druge strane, kod skalarnih polja, kakvo je i polje pritiska, moguće je

postojanje beskonačno velikog broja tačaka u kojima je jedna ista vrednost pritiska p.

Geometrijsko mesto tačaka unutar fluidnog prostora sa istom vrednošću pritiska određuje tzv.

površine konstantnog pritiska ili izobarne površine, koje se mogu predstaviti jednačinom:

B

A

MN

grad p

p = const.

p = const.

p = const.1

2

n

n

.p const

Sl. 2.3a Izobarne površine

Površine konstantnog pritiska ili izobarne površine predstavljaju unutar fluidnog prostora

familiju površina koje neprekidno slede jedna za drugom u smeru porasta pritiska (Sl.2.3a). Ove

površine mogu biti ravne, kakav je slučaj kod mirovanja tečnosti u polju dejstva sile zemljine

teže, ili krive površine, kakav je slučaj kod relativnog mirovanja fluida u polju dejstva sile

zemljine teže i stacionarnih spoljašnjih sila proizvoljnog pravca.

Izobarne površine imaju sledeće osobine:

1. U svim tačkama koje pripadaju istoj izobarnoj površini vrednost pritiska je jednaka, pa za

bilo koje dve tačke M i N koje leže na jednoj izobarnoj površini važi, pM = pN = pn = const.

(Sl. 2.3a);

2. Proizvoljna površina se može smatrati izobarnom površinom, samo ako je bar sa jedne strane

okvašena jednom istom tečnošću koja se nalazi u stanju mirovanja ili relativnog kretanja

(uniformnog ili promenljivog sa konstantnim ubrzanjem);

3. Granična površina dve tečnosti različitih gustina koje se ne mešaju predstavlja uvek izobarnu

površinu. Površina koja razdvaja tečnost i slobodnu atmosferu (ili gas pod proizvoljnim

pritiskom) takođe je izobarna površina i predstavlja tzv. slobodnu površinu tečnosti;

4. Vrednost pritiska menja se samo pri prelasku sa jedne izobarne površine na drugu. Razlika

pritisaka u dvema tačkama koje leže na dvema različitim izobarnim površinama uvek je ista,

nezavisno od položaja tih tačaka na izobarnim površinama, npr. sa Sl. 2.3a na osnovu 1.stava

sledi:

M A N Ap p p p p

Izobarne površine su neprekidno raspoređene u fluidnom prostoru i to tako da se pravac normale

na izobarnu površinu n

uvek poklapa sa pravcem najbrže promene pritiska. Vektor koji određuje

pravac i smer najbržeg porasta pritiska naziva se vektorom gradijenta pritiska i simbolički se

obeležava sa grad p (gradijent je opretator koji se primenjuje samo na skalarnu funkciju).

Gradijent pritiska kolinearan je sa normalom n

na izobarnu površinu, a ima formu:

p p pgrad p i j k

x y z

.

Gradijent pritiska je vektor, čije su komponente u pravcima odgovarajućih koordinatnih osa

jednake parcijalnim izvodima skalarnog polja pritiska u pravcima tih osa.

Atmosferski pritisak pa (ili barometarski pritisak pb) predstavlja površinsku raspodelu sile kojom

zemljina atmosfera dejstvuje na jedinicu površine i izražava se kao apsolutni pritisak slobodne

atmosfere određen u odnosu na apsolutni vakuum, potpuno otsustvo pritiska (Sl. 2.3b). Vrednost

atmosferskog pritiska je promenljiva veličina i menja se u zavisnosti od atmosferskih uslova,

temperature i nadmorske visine. Međutim, kako su ove promene veoma male, to se za

odgovarajuće područje atmosferski pritisak može smatrati konstantnom veličinom. Na površini

mora atmosferski pritisak iznosi,

5 5

2

N760 mmHg 1bar 10 10 Pa

map

.

Vrednost pritiska u slobodnom prostoru uvek je jednaka atmosferskom (barometarskom)

pritisku. U zatvorenom prostoru, u nekom rezervoaru ili sudu, vrednost pritiska može biti viša, ili

pak niža od atmosferskog. U prvom slučaju kažemo da u sudu vlada nadpritisak, dok je u

drugom slučaju u sudu podpritisak ili vakuum.

Nadpritisak pm je apsolutna razlika stvarne vrednosti pritiska u nekom zatvorenom prostoru

(sudu) i vrednosti atmosferskog pritiska, kada je pritisak u tom prostoru viši od atmosferskog.

Drugim rečima, nadpritisak pokazuje za koliko je pritisak u nekom sudu viši od atmosferskog

pritiska ( ap p)(Sl. 2.3b). Ova razlika stvarnog pritiska u sudu i atmosferskog pritiska meri se

manometrom, pa se zato nadpritisak naziva i manometarskim pritiskom.

Sl. 2.3b Hidrostatički pritisak

Podpritisak pv je apsolutna razlika stvarne vrednosti pritiska u nekom zatvorenom prostoru i

vrednosti atmosferskog pritiska, za slučaj kada je pritisak u tom prostoru niži od atmosferskog (

ap p).

Ova razlika stvarnog pritiska u sudu i atmosferskog pritiska meri se depresijom stuba tečnosti

(najčešće žive) u instrumenu koji se naziva vakuummetar, pa se zato podpritisak naziva

vakuummetarskim pritiskom.

S obzirom da depresija predstavlja negativno stanje u odnosu na nivo atmosferskog pritiska to se

podpritisak naziva još i negativnim pritiskom. Maksimalna vrednost podpritiska odgovara tzv.

p

p

p

pp

p

0 0

A

A

a

a

B

B

pm

pvB

A

apsolutnom vakuumu, tj. stanju pritiska kada je vakuummetarski pritisak po apsolutnoj vrednosti

jednak atmosferskom | |v ap p

(p=0). Međutim, ovo stanje je praktično nemoguće ostvariti jer

se prema kinetičkoj teoriji gasova ono shvata kao potpuno otsustvo materije u određenoj oblasti,

odnosno kao apsolutno prazni prostor.

Iz prethodnog se vidi da atmosferski pritisak pa predstavlja referentni nivo, odnosno pomereni

nulti nivo pritiska, u odnosu na koji se određuje stvarna veličina pritiska na osnovu merenja

odstupanja stvarnog pritiska od vrednosti atmosferskog pritiska. Ovo je iz razloga što su

instrumenti za merenje pritiska (vakuummetri i manometri) konstruisani tako da mogu meriti

samo odstupanja u odnosu na vrednost atmosferskog pritiska.

Apsolutni pritisak p ili totalni pritisak je nivo pritiska meren u odnosu na apsolutni vakuum i

predstavlja stvarni pritisak koji vlada u određenom fluidnom prostoru. Nivoi apsolutnog pritiska

za stanja podpritiska i nadpritiska, mereni vakuummetrom, odnosno manometrom u odnosu na

pritisak slobodne atmosfere prikazani su na Sl. 2.3b. Apsolutni pritisak slobodne atmosfere

jednak je atmosferskom pritisku: ap p (2.8)

U oblasti pritisaka viših od atmosferskog, tj. za stanja pritiska merena manometrom (stanje

simbolički prikazano tačkom A na Sl. 2.3b), apsolutni pritisak se može izračunati prema sledećoj

formuli: a mp p p , (2.9)

gde je: pa–atmosferski (barometarski) pritisak; pm–vrednost manometarskog pritiska [Pa].

Za pritiske niže od atmosferskog (tačka B na Sl. 2.3b), apsolutni pritisak se izračunava prema

formuli: a vp p p , (2.10)

gde je pv –vrednost vakuummetarskog pritiska [Pa].

Hidrostatički pritisak (p) je skalarna veličina, koja je ekvivalentna normalnom naponu u tečnosti

i određuje površinsku raspodelu normalnih komponenata svih sila koje dejstvuju na neku stvarnu

ili zamišljenu površinu u tečnosti.

2.4 Ojlerova jednačina za mirni fluid

Osnovni uslov statičke ravnoteže fluida je da vektorski zbir svih sila koje napadaju fluidni

prostor unutar proizvoljne zapremine V obuhvaćene zatvorenom površinom A

bude jednak nuli:

1

0n

ii

F

0mF P

. (2.11)

Primenom izraza (2.4) i (2.6) na (2.11) dobija se:

0V A

FdV p dA

. (2.12)

Transformacijom, na osnovu Gausove teoreme, površinskog integrala u zapreminski dobija se:

gradA V

p dA p dV

(2.13)

Primenom (2.13) na izraz (2.12) dobija se uslov o statičkoj ravnoteži fluida u obliku

zapreminskog integrala u sledećem obliku:

( grad ) 0V

F p dV

. (2.14)

Vrednost zapreminskog integrala može biti jednaka nuli samo ako je zapremina V = 0 ili pak

kada je podintegralna veličina jednaka nuli. Pošto je zapremina fluidnog prostora ko-načna i

različita od nule, to podintegralna veličina mora biti jednaka nuli, pa sledi

1gradF p

. (2.15)

Jednačina (2.15) predstavlja vektorski oblik Ojlerove jednačine za fluid u mirovanju, odn.

osnovni uslov koji mora biti ispunjen da bi fluid bio u stanju statičke ravnoteže.

Ojlerova jednačina je vektorska jednačina, pri čemu se vektor raspodele masenih sila po jedinici

mase fluidnog prostora F

može predstaviti preko svojih projekcija X, Y i Z:

F X i Y j Z k

,

a gradijent pritiska u obliku:

gradp p p

p i j kx y z

.

Razvijena forma Ojerove jednačine glasi

kz

pj

y

pi

x

pkZjYiX

)

1()

1()

1(

.

Iz ove vektorske jednačine slede tri skalarne jednačine koje predstavljaju Ojlerove jednačine u

skalarnom obliku

1 1 1, ,

p p pX Y Z

x y z

. (2.16)

Ojlerova jednačina određuje uslove pod kojima je moguća ravnoteža tečnosti u stanju mirovanja.

Kod fluida u kojima se zapreminska raspodela mase unutar fluidnog prostora može smatrati

konstantnom 0 .const ili je pak samo funkcija pritiska ( )p (tzv. barotropni fluidi),

kakvim se mogu smatrati skoro sve tečnosti i gasovi u uslovima koji vladaju na našoj planeti,

intenzitet polja masenih sila F

se uvek može predstaviti u obliku gradijenta neke skalarne

funkcije ( )p , koja se naziva funkcijom potencijala:

gradF

. (2.17)

Kako je pritisak u opštem slučaju funkcija položaja ),,( zyxpp , to sledi da potencijal

predstavlja složenu funkciju prostornih koordinata: px,y,z). Iz osobina gradijenta složene

funkcije sledi:

grad ( ) { } ( )

( ) ( ) grad grad .

p p pp i j k p i j k

x y z p x p y p z

p p p di j k p p p

p x y z dp

(2.18)

Tražena funkcija potencijala se može odrediti iz jednačina (2.16), (2.17) i (2.18):

1

grad grad gradd

F p p pdp

1

( )

d

dp p

( )

dpd

p

(2.19)

U opštem slučaju, gustina fluida predstavlja funkciju pritiska. Integraljenjem jednačine (2.19)

sledi opšte rešenje za funkciju potencijala u obliku:

Cp

dpp

)()(

. (2.20)

Nepoznata konstanta integracije za barotropni fluid određuje se za poznatu funkciju promene

stanja fluida ( )p i granične uslove pri kojima za vrednost pritiska 0p p, funkcija

potencijala ima vrednost 0 0( )p na osnovu čega u opštem slučaju sledi:

0

0( ) ( )

p p

dp dp

p p

. (2.21)

Kada je fluid nestišljiv situacija je znatno jednostavnija. Tada je gustina konstantna (

0 .const ), što primenom na (2.17) i izvlačenjem 0r

ispred znaka integrala daje rešenje u

obliku:

00

0 0

1 1p p

dp dp

0 0

0

1( ) .p p

(2.22)

Iz prethodnog se vidi da zaista postoji takva skalarna funkcija pritiska = (p) za koju se

intenzitet polja masenih sila F

može predstaviti u obliku grad (2.17).

Vektori koji se mogu predstaviti u obliku gradijenta neke proizvoljne skalarne funkcije

nazivaju se potencijalnim vektorima, a polja takvih vektora potencijalnim poljima. Prema tome u

slučaju barotropnog fluida osnovni uslov statičke ravnoteže fluidnih masa je da polje glavnog

vektora masenih sila mora biti potencijalno.

Sl. 2.4 Ekvipotencijale površine i linije sila

F

F

N

N

M

M

= const.

= const.

= const.

= const.

1

2

3

4

t

Iz osobina skalarnih polja, sledi da se skalarno polje potencijala kao složena funkcija položaja

px,y,z) unutar fluidnog prostora može predstaviti neprekidnom raspodelom površina

konstantnog potencijala const. odnosno ekvipotencijalnim površinama. Kako vektor

intenziteta polja masenih sila F

predstavlja potencijalni vektor, tj. ima osobinu da se u svakoj

tački fluidnog prostora poklapa sa vektorom gradijenta potencijala, to je u svakoj tački polja

njegov pravac kolinearan sa pravcem normale na ekvi-

potencijalnu površinu, a smer sa smerom porasta potencijala .

Na taj način, ako je poznat skup ekvipotencijalnih površina const. polje raspodele glavnog

vektora masenih sila ( , , )F F x y z

po jedinici mase fluidnog prostora može biti predstavljeno

odgovarajućim skupom tzv. vektorskih linija polja ili linija sila, koje su u svakoj tački polja

normalne na ekvipotencijalnu površinu, kao na Sl. 2.4.

Vektorska linija polja je geometrijsko mesto tačaka u kojima se pravac vektora (u ovom slučaju

vektora F

) poklapa sa pravcem tangente na tu liniju.

2.5 Osnovna hidrostatička jednačina

Sl. 2.5 Putanja fluidnog delića

Ojlerova jednačina daje mogućnost analize uslova pod kojima je moguća statička ravnoteža

fluida, ali se zbog svoje vektorske forme teško može neposredno primenjivati za rešavanje

konkretnih hidrostatičkih problema. Zato se kao nužnost nameće potreba iznalaženja

odgovarajuće skalarne forme jednačine ravnoteže, koja bi bila jednostavnija za neposrednu pri-

menu, a ne bi bila u suprotnosti sa Ojlerovom jednačinom. Osnovna ideja koja se nameće je da

se iskoristi zaključak do koga se došlo prethodnom analizom Ojlerove jednačine, da je ravnoteža

barotropnog fluida u stanju mirovanja moguća jedino u slučaju kada je polje glavnog vektora

masenih sila potencijalno.

Pošto u potencijalnim vektorskim poljima važe zakoni konzervacije (održanja) mase, impulsa i

energije, to bi se u ovom slučaju odgovarajuća interpretacija zakona održanja energije svela na

određivanje jediničnog rada glavnog vektora masenih sila dW . U skladu sa tim, elementarni rad

glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog prostora bio bi jednak skalarnom pro-

izvodu intenziteta polja masenih sila F

i usmerenog elementa putanje dl

(Sl.2.5)

( , )dW F dl

, (2.23)

gde su vektori F

i dl

zadati preko svojih projekcija na pravce odgovarajućih koordinatnih osa

F X i Y j Zk

i dl dxi dy j dzk

.

Kako je na osnovu (2.17) intenzitet polja masenih sila F

jednak gradijentu potencijala, to na

osnovu (2.17) i (2.23) sledi:

( , ) (grad , )dW F dl dl

, tj.

( ) ( ) ( ) ( )X i Y j Z k dxi dy j dzk i j k dxi dy j dzkx y z

.

Skalarnim množenjem vektora u zagradama sledi

Xdx Ydy Zdz dx dy dzdx dy dz

.

Kako izraz na desnoj strani jednačine predstavlja totalni diferencijal funkcije potencijala , to se

prethodna jednačina može napisati u obliku:

Xdx Ydy Zdz d , (2.24)

na osnovu čega se zaključuje da elementarni mehanički rad glavnog vektora masenih sila po

jedinici mase fluidnog prostora ne zavisi od izbora putanje dl

već samo od priraštaja potencijala

u pravcu vektora gradijenta ili drugačije rečeno od razlike potencijala u krajnjim tačkama A i B

putanje L (Sl.2.5).

Jednačina (2.24) naziva se osnovnom hidrostatičkom jednačinom i po svom kararkeru ona

predstavlja energijsku jednačinu koja izražava zakon o održanju energije unutar fluidnog

prostora koji se nalazi u stanju ravnoteže (mirovanja ili relativnog mirovanja). Kako za slučaj

barotropnog fluida priraštaj potencijala, na osnovu jednačine (2.19), iznosi

( )

dpd

p

,

to u opštem slučaju za mirovanje barotropnog fluida osnovna hidrostatička jednačina ima oblik

( )

dpXdx Ydy Zdz

p

, (2.25)

gde X, Y i Z predstavljaju projekcije glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog

prostora [N/kg], odnosno projekcije vektora ubrzanja na pravce odgovarajućih koordinatnih osa,

a ( )p predstavlja funkciju promene gustine sa pritiskom [kg/m3].

Za nestišljiv fluid jednačina (2.25) ima znatno jednostavniju formu:

1dp Xdx Ydy Zdz

, (2.26)

jer je gustina konstantna ( .const ).

Osnovna hidrostatička jednačina čini osnovu hidrostatike i neposredno se primenjuje u

rešavanju mnoštva problema vezanih za mirovanje ili relativno mirovanje fluida.

Neophodan uslov za njeno rešavanje je da su poznate komponente glavnog vektora masenih sila

po jedinici mase u pravcima odgovarajućih koordinatnih osa, kao i odgovarajući uslovi pritiska u

nekoj tački fluidnog prostora.

2.6 Mirovanje nestišljivog fluida u polju sile zemljine teže

Sl. 2.6 Nadpritisak u gravitacionom polju

Kada nestišljiv fluid (tečnost), za koji je .const , miruje u gravitacionom polju, tada na

elementarnu masu fluidnog delića dm obuhvaćenu okolinom proizvoljne tačke M(x,y,z) dejstvuje

elementarna masena sila dFm koja je ekvivalentna sopstvenoj težini fluidnog delića, tj. dFm= dG

= gdm. Ako se usvoji pravougli koordinatni sistem čije ose x i y leže u horizontalnoj ravni, a

vertikalna osa z ima pozitivan smer u smeru dejstva sile zemljine teže (Sl.2.6), tada po jedinici

mase fluidnog delića dejstvuje masena sila:

m mdF dG gdm gkdm dF Fdm Xi Yj Zk dm

čije su projekcije na pravce odgovarajućih koordinatnih osa:

0, 0 i mdF gdmX Y Z g

dm dm

.

Zamenom projekcija X, Y i Z u osnovnu hidrostatičku jednačinu (2.26) i integraljenjem cele

jednačine sledi:

1 1dp gdz dp g dz C

pgz C

. (2.27)

Nepoznata integraciona konstanta C određuje se iz uslova da apsolutni pritisak na slobodnoj

površini tečnosti u koordinatnom početku x = y = z = 0 ima vrednost p = pa na osnovu čega iz

(2.27) sledi aC p . Zamenom konstante C u (2.27) sledi jednačina raspodele pritiska u

tečnosti u obliku:

ap p gz . (2.28)

Na osnovu jednačine (2.28) se zaključuje da veličina nadpritiska u tački M(x,y,z) fluidnog

prostora, koji je posledica dejstva gravitacionog polja zemljine teže na jediničnu masu

nestišljivog fluida, iznosi:

mg ap p p gz . (2.29)

2.6.1 Spojeni sudovi. Paskalov zakon

Na Sl.2.8a prikazani su spojeni sudovi 1 i 2 ispunjeni homogenom tečnošću, sa klipovima na

visinama 1hi 2h

na koje dejstvuju pritisci 1p i 2p

. Relaciju (2.27) možemo napisati u obliku

p gz C , a na nekoj dubini, za ekviskalarne ravne površine, moraju pritisci biti jednaki, pa

se može napisati da je:

1 1 3

2 2 3

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1

p gh p

p gh p

p gh p gh p p gh gh g h h

p gh h

Ako je 1p= 2p

tj. na slobodnim površinama dejstvuju jednaki pritisci tada je h=0 ( 1h= 2h

) i tada

se u spojenim sudovima tečnost nalazi svuda na istom nivou.

Sl.2.6a Spojeni sudovi

Paskal je formulisao zakon o promeni pritiska:

Kroz tečnost u ravnoteži, svaka promena pritiska u jednoj tački prenosi se podjednako u sve

ostale tačke prostora koji tečnost zaprema.

Na Paskalovom zakonu zasnovan je rad hidraulične prese, hidraulične kočnice ili hidraulične

dizalice. Na sl.6b prikazano je podizanje tereta G pod dejstvom sile F na klip A. Utrošen rad sile

F na pomeranju Ah jednak je ostvarenom radu na podizanju tereta G na pomeranju Bh

, po

zakonu o održanju energije, ako zanemarimo trenje. Prema tome važi jednakost:

A B A BW W F h G h

Sl.2.6b Spojeni sudovi

Za nestišljiv fluid, s obzirom da nema promene zapremine, iz prethodnog sledi relacija o

jednakosti pritiska:

;BA B

A

A BI A A II B B

B A

AA B

B A B

hFF h G h

G h

A hV A h V A h

A h

AF F Gp p p

G A A A

Prema Paskalovom zakonu spoljašnji pritisak se prenosi kroz tečnost na sve strane

podjednako.

Kontrolna pitanja 2

1. Masene sile

2. Površinske sile

3. Hidrostatički pritisak

4. Ojlerova jednačina za mirni fluid

5. Osnovna hidrostatička jednačina

6. Mirovanje nestišljivog fluida u polju zemljine teže

7. Spojeni sudovi. Paskalov zakon

2.7 Pritisak na ravne i krive površine

2.7.1 Pritisak na ravne površine

Neka je proizvoljna ravna površina A, koja je nagnuta pod uglom u odnosu na horizontalu,

potopljena u tečnosti gustine Sl. 2.7). Problem se sastoji u određivanju ukupne sile pritiska

kojom tečnost dejstvuje na datu ravnu površinu. Budući da je sila pritiska P

vektorska

veličina, to rešenje problema podrazumeva da treba odrediti: veličinu, pravac, smer sile pritiska,

kao i napadnu tačku u kojoj dejstvuje na datu površinu.

Iz osobina površinskih sila sledi da je pravac sile pritiska uvek upravan na ma koju stvarnu ili

zamišljenu površinu A u tečnosti, a da je smer uvek orijentisan prema datoj površini (u

suprotnom smeru od vektora površine), te su u tom smislu pravac i smer sile pritiska unapred

poznati.

Veličina sile pritiska u opštem slučaju određena je zbirom svih elementarnih sila pritiska dP koje

dejstvuju po čitavoj površini A, odnosno integralom: A

P pdA .

Sl. 2.7 Pritisak na ravnu površinu

Ako se usvoji elementarna površina dA oko tačke M, koja se nalazi na dubini z, tada je sila

pritiska dP koja dejstvuje na elementarnu površinu dA, određena izrazom:

,dP pdA gzdA (2.30)

pa je na osnovu prethodnog izraza za silu pritiska:

AP g zdA

, (2.31)

Izraz pod integralom predstavlja statički moment površine A u odnosu na horizontalnu ravan

slobodne površine tečnosti, koji je za celu površinu jednak proizvodu površine A sa odstojanjem

od slobodne površine do težišta površine, koje u ovom slučaju iznosi Cz (lit.Tehnička

mehanika, drugi deo, glava2), na osnovu čega je:

C

A

zdA z A,

pa je tražena veličina sile pritiska jednaka:

CP gz A. (2.32)

Kako proizvod Cgz predstavlja pritisak koji dejstvuje u težištu površine A, to se na osnovu

izraza (2.32) zaključuje da je sila pritiska koja dejstvuje na površinu A potopljenu u tečnosti

jednaka proizvodu pritiska koji dejstvuje u težištu površine A i veličine same površine A,

odnosno:

,CP p A (2.33)

gde je: Cp – pritisak u težištu površine A.

Napadna tačka sile pritiska ne nalazi se u težištu C površine A kako bi se očekivalo, već u tački

D, koja se nalazi na većoj dubini Dz u tečnosti i koja se naziva centar pritiska. Ovo je posledica

linearne raspodele pritiska u tečnosti koja se nalazi u polju sile zemljine teže, pri čemu na delove

površine koji se nalaze na većoj dubini dejstvuje viši pritisak, pa je i sila pritiska na donju

polovinu površine veća.

Sistem paralelnh sila istog smera se uvek svodi na rezultantu a to je u ovom slučaju ukupna sila

pritiska na datu površinu. Prema teoremi o slaganju dveju paralelnih sila istog smera(& 3.1.1

izraz 30, u literaturi [Prvi deo, str.46, Tehnička mehanika, S. Mitić]) napadna linija rezultante

dveju paralelnih sila uvek je bliža napadnoj liniji veće sile, to je i napadna linija a samim tim i

napadna tačka rezultante P sistema paralelnih sila pritiska na površinu A pomerena ispod težišta

površine u neku tačku D, jer elementarne sile pritiska direktno zavise od dubine (koordinate) z i

povećavaju se sa njenim povećanjem (izraz 2.31). Tačka D(, ,D D Dx y z

) predstavlja centar

(središte) sistema paralelnih sila-centar pritiska, te se njene koordinate mogu odrediti prema

teoremi (62) (&5.1 u literaturi [Prvi deo,str.75, Tehnička mehanika, S. Mitić]). S obzirom na to

da su sile elementarne i izračunavaju se integraljenjem, to u ovim izrazima treba uzeti umesto

zbirova od jedan do n-sila integrale po površini A (izraz 2.31). Koordinate tačke D se odredjuju u

odnosu na koordinatni sistem čije ose Ox i Oy leže na slobodnoj površini tečnosti a osa Oz stoji

vertikalno i usmerena je naniže. Ova teorema je zasnovana na Varinjonovoj teoremi o momentu

rezultante sistema paralelnih sila u prostoru, koja glasi: Moment rezultante prema koordinatnoj

osi (ravni) jednak je algebarskom zbiru momenata komponenata prema istoj osi (ravni)(& 4.2.7

izraz (61), u literaturi [Prvi deo, str.69, Tehnička mehanika, S. Mitić]).Tako se obrazuju

jednačine:

2

D

A

D

A

D

A

x P g xzdA

y P g yzdA

z P g z dA

(2.34)

Zamenom (2.32) u (2.34) dobija se:

2

D C

A

D C

A

D C

A

x gz A g xzdA

y gz A g yzdA

z gz A g z dA

odakle sledi:

2

D C

A

D C

A

D C

A

x z A xzdA

y z A yzdA

z z A z dA

(2.35)

Budući da površina A leži u ravni pod nagibom može se uvesti novi koordinatni sistem,

rotiran oko tačke O za ugao , tako da se položaj ma koje tačke M(x,y,z) elementarne površine

dA površine A predstavi novim koordinatama M( ,u,v) s tim što se mora uvesti odgovarajuća

veza izmedju koordinata:

; cos ; sinx u y v z v (2.36)

Primenom (2.36) na (2.35), uvode se odgovarajuće transformisane koordinate:

; cos ; sin

; cos ; sin

C C C C C C

D D D D D D

x u y v z v

x u y v z v

i dobija se sistem jednačina:

2

2

D C

A

D C

A

D C

A

u v A uvdA

v v A v dA

v v A v dA

(2.37)

Iz prve relacije dobija se koordinata napadne tačke D u pravcu ose Ou, koja se poklapa sa osom

Ox:

AD

C

uvdA

uv A

. (2.38)

Druge dve daju isti rezultat, tj. odredjuju položaj napadne tačke D u pravcu ose Ov koja leži u

ravni površine A:

2

AD

C

v dA

vv A

. (2.39)

Izrazi u brojiocima predstavljaju momente inercije potopljene površine A u odnosu na ose Ou i

Ov, tako da je:

Iuv

A

uvdA -centrifugalni moment inercije (2.40)

2Iu

A

v dA -aksijalni moment inercije (2.41)

Napomena: O momentima inercije ravne površine videti &2.2 u literaturi [Drugi deo, str.122-

125, Tehnička mehanika, S. Mitić])

Primenom izraza (2.40) i (2.41) na (2.38) i (2.39), koordinate centra pritiska u ravni A mogu se

napisati u sledećem obliku:

;uv uD D

C C

I Iu v

v A v A

(2.42)

Položaj napadne tačke D rezultante P sistema paralelnih sila pritiska u odnosu na težište C se

može odrediti primenom Štajnerove teoreme (&2.3 u literaturi [Drugi deo,str.125-129, Tehnička

mehanika, S. Mitić]):

2I I ;u u C uv u v C Cv A I I u v A ,

gde je osa u paralelna osi u a osa v paralelna v, i obe prolaze kroz težište C površine A, pa se

zovu težišne ose a odgovarajući momenti inercije sopstveni momenti inercije. Tada je:

I u v u vD C u v C C D C DC D C

C C

I Iu v A u v A u u u u u

v A v A

,

2 I II 0u u

D C u C D C D C

C C

v v A v A v v v vv A v A

. (2.43)

Ako obeležimo I Iu C , uslovno da bi nas asocirao na težište a to je aksijalni moment

inercije za osu koja prolazi kroz težište površine a nikako polarni moment inercije, tada je

pomeranje centra pritiska od težišta u pravcu ose v:

CCD D C

C

Iv v v

v A

(2.44)

gde je: IC – aksijalni moment inercije površine A u odnosu na osu koja prolazi kroz težište

površine; Cv – položaj težišta površine A u odnosu na sistem 0uv (Sl. 2.7), A – veličina

površine. Vidi se iz (2.43) ili (2.44) da je centar pritiska D uvek dublje od težišta C površine A i

da je ta razlika utoliko manja ukoliko je težište niže.

U odnosu na sistem Oxyz ovo pomeranje je određeno preko sinusa ugla nagiba površine A prema

horizontali i iznosi:

1

sin sinC

C

Ivz

v A

, (2.45)

Kako je prema slici / sinC Cv z

, to na osnovu prethodnog izraza sledi:

sin1

sinC C

C C

I Iz

z A z A

. (2.46)

Ako površina A ima osu simetrije normalnu na pravac ose u, tada se težišna osa može uzeti za

osu v ( C se nalazi na toj osi). Tada je I 0; 0uv Du

.

Vrednost pritiska i položaj napadne tačke ne zavise od ugla nagiba površine A, što znači da

se ništa ne menja ako se površina zarotira oko težišne ose u paralelne osi u. Ovo pravilo se

često koristi tako da se račun sprovodi samo za vertikalan položaj ravni A.

CP gz A;

C

C

Iz

z A

. (2.47)

Ako ravna površina predstavlja horizontalno dno suda, onda je na osnovu prethodnog za

Cz h:

,dP pdA ghdA tj. VP ghA hA V G

,

(2.48)

što znači da je pritisak na dno suda jednak težini stuba tečnosti koji ima oblik cilindra, s

osnovom jednakom površini dna suda, i visinu jednaku rastojanju od dna do slobodne površine.

Ovaj pritisak ne zavisi od oblika suda. Prema tome, pritisci p i sile pritiska P jedne iste tečnosti

na dna sudova raznih oblika, ukoliko su površine dna jednake, biće jednake veličine ako su

visine pritiska jednake. To se zove Paskalov hidrostatički paradoks.

Sl.2.8 Paskalov hidrostatički paradoks (P HA

)

2.7.2 Pritisak na krive površine

Neka je proizvoljna otvorena kriva površina A potopljena u tečnosti gustine (Sl.2.9). Ukupna

sila pritiska koja dejstvuje na elementarnu površinu dA iznosi po definiciji:

.dP p dA

Ako se vektor elementa krive površine Ad

razloži na komponente , i x y zdA dA dA

, koje imaju

pravce odgovarajućih osa x, y, z pravouglog koordinatnog sistema Oxyz, tada se on može zapisati

u obliku:

,x y zdA dA i dA j dA k

pa se elementarna sila pritiska može predstaviti na sledeći način:

( ) ( )x y z x y zdP p dA i dA j dA k p dA i p dA j p dA k

. (2.49)

Pošto se i elementarna sila pritiska Pd

može razložiti na komponente zyx PdPdPd

i , u

pravcima odgovarajućih koordinatnih osa i predstaviti kao:

,x y zdP dP i dP j dP k

to se jednačina (2.49) može zapisati u obliku:

( ),x y z x y zdP i dP j dP k p dA i p dA j p dA k

(2.50)

i upoređivanjem članova uz jednake jedinične vektore kji

i , slede tri skalarne jednačine:

, , ,x x y y z zdP p dA dP p dA dP p dA (2.51)

Prve dve jednačine (2.51), određuju intenzitete komponenti elementarne sile pritiska koje

dejstvuju u horizontalnom pravcu, pri čemu površine dAx i ydA

predstavljaju ortogonalne

projekcije elementarne površine dA na vertikalne koordinatne ravni 0yz i 0xz.

Treća od jednačina određuje komponentu elementarne sile pritiska dPz koja dejstvuje u

vertikalnom pravcu, pri čemu elementarna površina dAz predstavlja projekciju na horizontalnu

koordinatnu ravan 0xy tj. na ravan slobodne površine tečnosti.

Na osnovu jednačina (2.51) intenziteti komponenti ukupne sile pritiska određeni su integralima:

Sl.2.9 Pritisak na krivu površinu

,

,

.

x

y

z

x x

A

y y

A

z z

A

P p dA

P p dA

P p dA

(2.52)

pri čemu Ax, Ay i Az predstavljaju projekcije date krive površine na odgovarajuće koordinatne

ravni.

Kako projekcije krive površine A na koordinatne ravni predstavljaju ravne površine, to se za

određivanje intenziteta komponenata sile pritiska P koje dejstvuju na projekcije Ax, Ay u

verikalnim koordinatnim ravnima primenjuje metodologija koja se primenjuje kod određivanja

sile pritiska na ravne površine, pa su veličine odgovarajućih komponenata rezultujuće sile

pritiska u x i y pravcu:

,x Cx x y Cy yP gz A P gz A . (2.53)

čije su napadne tačke, određene izrazima:

yCy

Cyy

xCx

Cxx

Az

Iz

Az

Iz odnosno,,

(2.54)

gde su: Ax i Ay – projekcije krive površine A na odgovarajuće vertikalne koordinatne ravni 0yz i

0xz; zCx i zCy – položaji težišta projekcija Ax i Ay u odnosu na slobodnu površinu tečnosti; ICx i ICy

– momenti inercije projekcija Ax i Ay u odnosu na ose koje prolaze kroz težišta površina i

paralelne su, redom, osama Oy i Ox.

Što se tiče vertikalne komponente sile pritiska Pz, pojekcija Az leži u ravni slobodne površine

tečnosti. Sa druge strane, s obzirom na to da je elementarna površina dA beskonačno mala, to ona

u celosti leži na dubini z, pri čemu je zCz = z. Tada veličina pritiska koji dejsvuje po čitavoj

elementarnoj površini dA iznosi p gz

, pa je intenzitet komponente sile pritiska u z

pravcu:

z zz z z

A AP gzdA g zdA

. (2.55)

Prema slici (Sl.2.9), podintegralna veličina predstavlja elementarnu zapreminu cilindra visine z i

osnovice dAz:

zdV zdA,

pa je komponenta Pz

zz z

VP g dV gV

, (2.56)

iz čega se zaključuje da vertikalna komponenta sile pritiska Pz odgovara težini tečnosti koja

pritiska datu krivu površinu, od slobodne površine tečnosti do same krive površine.

Napadna tačka vertikalne komponente sile pritiska Pz nalazi se u težištu zapremine Vz

ograničene krivom površinom A, njenom projekcijom Az na slobodnu površinu tečnosti i

cilindričnom površi koja spaja ove dve površine (Sl.2.9).

Kontrolna pitanja 3

1. Pritisak na ravne površine

2. Pritisak na krive površine

2.8 Sila potiska, plivanje tela i stabilnost ravnoteže

U prethodnom odeljku je analiziran slučaj određivanja sile pritiska kojom tečnost dejstvuje na

proizvoljnu otvorenu krivu površinu potopljenu u njoj. U ovom odeljku se razmatra slučaj

zatvorene krive površine kada je to površina omotača nekog tela proizvoljnog oblika i

zapremine.

2.8.1 Sila potiska

Neka je telo zapremine V, omotača površine A, potopljeno je u tečnosti (sl.2.10). Postavljen je

Dekartov koordinatni sistem tako da koordinatni početak O, kao i ose Ox i Oy, leže na slobodnoj

površini tečnosti a osa Oz usmerena vertikalno naniže. Tada je u nekoj tački na dubini z ispod

slobodne površine apsolutni pritisak p jednak zbiru pritiska na slobodnu površinu, npr.

atmosferskog, i pritiska tečnosti usled dejstva zemljine teže:

;ap p z g . (2.57)

Na elementarnu površinu dA omotača površine A, upravljenog elementa dA

, uzimajući u obzir

relacije (2.6) i (2.9) i da je:

a

p p pgrad p grad p z i j k k

x y z

;

0; 0; ; .a

p p pp const

x y z

,

dejstvuje sila pritiska:

A

P pdA grad p dV k dV Vk

. (2.58)

Sl.2.10 Sila potiska

Dakle, ukupna sila pritisaka-rezultanta sila pritisaka, koje dejstvuju na potopljeno telo, jednaka

je proizvodu zapremine tela i specifične težine tečnosti a dejstvuje naviše. Ako je telo samo

delimično potopljeno, tada je rezultanta sila pritisaka jednaka proizvodu zapremine potopljenog

dela tela i specifične težine tečnosti.

Rezultanta sila pritisaka, koju trpi potpuno ili delimično potopljeno telo odn. zatvorena kriva

površina A potopljena u tečnosti gustine , zove se sila potiska (Arhimedova sila) ili, kratko,

potisak.

Arhimedova teorema“Telo potopljeno u tečnosti prividno gubi od svoje težine onoliko kolika je

težina njime istisnute tečnosti”.

Potisak je sila koja ima:

-veličinu jednaku proizvodu zapremine potopljenog tela ili potopljenog dela tela i specifične

težine tečnosti (P V

);

-pravac vertikalan, sa napadnom linijom koja prolazi kroz težište zapremine potopljenog tela ili

potopljenog dela

Sl. 2.11 Sila potiska: a) sila pritiska na gornju površinu; b) sila pritiska na donju površinu;c)

sila pritiska na zatvorenu površinu

tela;

- smer naviše.

a) b) c)

Može se zaključiti:

-Sila pritiska na proizvoljnu zatvorenu krivu površinu potopljenu u tečnosti ne zavisi od

horizontalnih komponenata sile pritiska, jer je dejstvo horizontalnih komponenata simetrično u

odnosu na ma koju vertikalnu ravan koja preseca datu krivu površinu, te se njihovo dejstvo

poništava u parovima;

-Ukupna sila pritiska (rezultanta sila pritiska) na proizvoljnu zatvorenu krivu površinu

potopljenu u tečnosti

ekvivalentna je razlici vertikalnih komponenata sila pritiska koje opterećuju datu površinu sa

donje i sa gornje strane i naziva se potiskom (Sl. 2.11abc);

-Veličina sile potiska ekvivalentna je proizvodu specifične težine tečnosti g

i

zapremine V koja je obuhvaćena datom zatvorenom krivom površinom A tj. potisak tela jednak

je težini tečnosti koju telo istisne;

-Sila g g g gP P k V k gV k

je sila kojom tečnost pritiska gornju polovinu od

slobodne površine naniže (Sl.2.11a), i ima isti smer kao i osa Oz dekartovog koordinatnog

sistema usmerena kao na Sl.2.10. Sila kojom tečnost pritiska donju polovinu površine prema

slobodnoj površini tečnosti ima smer naviše: d d d dP P k V k gV k

(Sl.2.11b)

-Sila potiska P Pk

ima smer naviše (Sl.2.11c) jer je: d g d gV V P P

.

-Sila potiska ne zavisi od veličine pritiska koji vlada iznad slobodne površine tečnosti

(podpritiska pv ili nadpritiska pm) jer isti simetrično opterećuje celu krivu površinu, pa se njegovo

dejstvo poništava.

-Napadna tačka sile potiska D vC

se nalazi u težištu zapremine V ograničene datom

zatvorenom krivom površinom A.

2.8.2 Plivanje tela

Na potopljeno telo dejstvuju sila potiska P i sila težine tela G vertikalnog pravca ali suprotnog

smera. Sila potiska dejstvuje naviše a sila težine naniže.

a) b) c)

Sl.2.12 Sila potiska (CD-osa plivanja;D-centar potiska; C-težište tela; P-potisak; G-težina tela;

-specifična težina fluida; potz-dubina potapanja

Ako centar potiska (težište potopljene zapremine) D i težište tela C pripadaju jednoj pravoj op,

koja se zove osa plivanja, ( D C op ), tada nastaje jedna od tri različite situacije (Sl.2.12).

a) Telo isplivava ako je P>G (intenzitet potiska veći od težine tela) sve dok jednim delom ne

izroni, tako da na potopljeni deo tela u tečnosti dejstvuje potisak koji je jednak težini tela.

b) Telo lebdi (pliva) ako je P=G, intenziteti potiska i težine tela su jednaki te se ostvaruje

ravnoteža tela u tečnosti.

c) Telo tone ako je P<G (intenzitet potiska manji od težine tela).

Osa plivanja je prava linija koja spaja centar potiska i težište tela. Ako je telo homogeno i ima

ose simetrije, svaka osa simetrije može biti osa plivanja tela.

Rastojanje od slobodne površine do najdublje tačke tela naziva se dubinom potapanja(Sl.2.11b).

Slobodna površina tečnosti se zove ravan plivanja ako je telo delimično potopljeno, i ona seče

telo po površini plivanja.

Celokupna analiza u vezi dejstva sile potiska sprovedena za tela u tečnosti može se primeniti i na

ma kakav fluid. Na isti način se objašnjava penjanje i lebdenje balona i aerostata u vazduhu ili

nekom drugom gasu. Arhimedova teorema važi bez ograničenja za sve gasove.

2.8.3 Stabilnost ravnoteže

Telo, delimično ili potpuno potopljeno u tečnosti, može imati ravnotežno stanje ako je potisak

jednak težini tela i ako je osa plivanja vertikalna.

Stanje ravnoteže može biti trojako: stabilno, labilno ili indiferentno. Da bi se odredila vrsta

stanja ravnoteže treba ispitati kakve sile dejstvuju na telo kad se izvede iz ravnotežnog položaja.

Stanje ravnoteže je stabilno ako sile vraćaju telo u prvobitan položaj, labilno ako ga udaljavaju

od tog položaja, ili indiferentno ako ga zadržavaju u bilo kom položaju.

2.8.3.1 Uslovi stabilnosti ravnoteže potpuno potopljenog tela

Centar potiska i težište potpuno potopljenog tela u tečnosti imaju stalan položaj.

Ako se telo kreće translatorno ili se obrće oko vertikalne ose, tada je indiferentno ravnotežno

stanje.

Obrtanjem tela oko horizontalne ose mogu se postići sva tri ravnotežna stanja, što zavisi od

položaja težišta tela prema centru potiska (Sl.2.13).

Ako težište leži ispod centra potiska, ravnotežno stanje je stabilno jer pri malom odstupanju od

ravnotežnog položaja potisak i težina obrazuju spreg sila (Sl.2.13a), tako da se telo vraća u

prvobitan položaj pod dejstvom momenta tog sprega sila.

Ako se centar potiska i težište tela poklapaju tada je indiferentno ravnotežno stanje (Sl.2.13b).

Ako se težište tela popne iznad centra potiska nastaje spreg sila čiji moment udaljava telo od

ravnotežnog položaja (Sl.2.13c).

a) b) c)

Sl. 2.13 Ravnoteža tela u fluidu: a) stabilna; b) indiferentna; c) labilna ravnoteža

2.8.3.2 Uslovi stabilnosti ravnoteže delimično potopljenog tela

Ako se plovno telo kreće translatorno po horizontali ili se obrće oko vertikalne ose, tada je

indiferentno ravnotežno stanje. Translatorno kretanje po vertikali izaziva promenu potiska i

remeti ravnotežu koja se ipak uspostavlja sama od sebe usled translatornog pomeranja tela

vertikalno u suprotnom smeru.

Obrtanjem tela oko horizontalne ose menjaju se, u opštem slučaju, i oblik, i veličina potopljenog

dela tela a samim tim se premešta centar potiska. Plovna tela (brodovi) uglavnom imaju

vertikalnu ravan simetrije koja seče površinu vode (ravan plivanja) po uzdužnoj osi, tzv. osi

inklinacije. Obrtanje tela oko horizontalne uzdužne ose (ose inklinacije) zove se bočno ljuljanje.

Telo može da se obrće i oko horizontalne ose upravne na uzdužnu osu u ravni plivanja i ono se

zove uzdužno ljuljanje.

Stabilnost tela pri plivanju razmatra se samo u slučaju ako je G<P. Proučava se bočno ljuljanje

kao najkritičnije po gubitak stabilnosti ravnotežnog stanja. Ako se telo izvede iz ravnotežnog

položaja za relativno mali ugao (015 ) intenzitet potiska se ne menja, ali napadna linija sile

potiska menja položaj, i u novom položaju sa smerom naviše seče osu simetrije preseka u tački

M, koja se zove metacentar, i koja ostaje nepokretna, a centar potiska D (težište zapremine

potopljenog dela tela) opisuje kružni luk poluprečnika r. Rastojanje MD=r zove se metacentrični

poluprečnik. Rastojanje izmedju težišta tela C i centra potiska D je CD=

. Tada se definišu

tri ravnotežna stanja tela pri plivanju, i to: stabilno ( <r), tada je M iznad C; indiferentno(

=r), tada je MC; labilno ( >r), tada je M ispod C.

Sl. 2.14 Stabilnost tela pri plivanju

Posmatranjem momenata sila koje dejstvuju na telo kada se ono izvede iz ravnotežnog položaja,

prema Sl. 2.14, dobija se izraz za odredjivanje metacentričnog poluprečnika:

min

p

Ir

V

, gde je

minI moment inercije površine plivanja oko uzdužne ose i

pV zapremina potopljenog dela

tela. Metacentrični poluprečnik se proverava za uzdužnu osu, jer je moment inercije za uzdužnu

osu plovidbenih tela kroz tačku O najmanji (tako se konstruišu). Otuda ako je stabilnost

ravnoteže osigurana za uzdužnu osu onda je ona osigurana i za svaku drugu.

Kontrolna pitanja 8

1. Definisati silu potiska (Arhimedovu silu)

2. Plivanje tela

3. Stabilnost ravnoteže potopljenog tela

2.9 Relativno mirovanje tečnosti

Ako se tečnost nalazi u sudu koji se kreće ravnomerno ili ubrzano konstantnim ubrzanjem, tada

će se u tečnosti nakon izvesnog vremena uspostaviti takvo stanje u kome se tečnost nalazi u

stanju mirovanja ako se posmatra u odnosu na neki koordinatni sistem koji je fiksiran za sud ili

pak neku tačku u tečnosti, ali će se zajedno sa sudom i dalje kretati u odnosu na neki drugi

koordinatni sistem koji je usvojen van suda. Stanje kretanja ili mirovanja koje zavisi od izbora i

lokacije koordinatnog sistema naziva se relativnim kretanjem, odnosno relativnim mirovajem.

Kretanje suda prenosi se podjednako na sve fluidne deliće unutar fluidnog prostora, pa se takvo

kretanje naziva prenosnim kretanjem. Ukoliko je prenosno kretanje ubrzano, tada će na

elememtarnu masu svakog fluidnog delića saglasno Drugom Njutnovom principu javiti sile koja

se suprostavljaju promeni stanja u kome se tečnost prethodno nalazila. Ove sile nazivaju se

inercijalnim silama i s obzirom da dejstvuju na masu fluidnih delića unutar čitave zapremine

koja ograničava fluidni prostor po svom karakteru spadaju u masene sile.

Problemi u vezi sa ravnotežom tečnosti koja relativno miruje, spadaju u statičke probleme, jer se

ravnotežno stanje koje se uspostavlja pri relativnom mirovanju održava u toku vremena sve dok

se pod dejstvom drugih sila ova ravnoteža ne naruši. S obzirom da postoje dva osnovna tipa

kretanja analiziraće se ravnoteža tečnosti koja relativno miruje pri translatornom i rotacionom

prenosnom kretanju.

2.9.1 Translatorno prenosno kretanje

Analizira se jednakopromenljivo translatorno kretanje suda (suporta) sa tečnošću u polju sile

zemljine teže, niz strmu ravan koja je nagnuta pod uglom u odnosu na horizontalu (Sl.2.15).

Kretanje se odvija konstantnim ubrzanjem a

, intenziteta (a = const.), pravca strme ravni i smera

niz nju.

Za analizu problema koristi se osnovna hidrostatička jednačina (2.26):

1dp Xdx Ydy Zdz

Sl.2.15 Relativno mirovanje tečnosti pri translatornom prenosnom kretanju

U ovom slučaju ravnotežu tečnosti u sudu održavaju dve zapreminske sile: težina tečnosti u sudu

gmG

, i

sila inercije inF ma

, koja dejstvuje u smeru suprotnom od smera sile koja uzrokuje

kretanje niz strmu ravan, pa zato ispred nje stoji znak minus. Ukupna masena sila je:

m inF G F

.

Glavni vektor masenih sila po jedinici mase u ovom slučaju predstavlja vektor a

koji se dobija

vektorskim zbirom vektora –a

i vektora g

, kao na Sl. 2.15: F g a

.

Za Dekartov koordinatni sistem Oxyz, koji je usvojen na slobodnoj površini tečnosti u sudu tako

da je Ox osa upravna na ravan kretanja, u skladu sa tim komponente glavnog vektora masenih

sila po jedinici mase su:

X = 0 ,cos , sin ,Y a Z a g

(2.59)

Ako se vrednosti za X, Y i Z zamene u osnovnu hidrostatičku jednačinu tada je:

1cos ( sin )dp a dy a g dz

,

pa integraljenjem cele jednačine sledi:

1cos ( sin )dp a dy a g dz C

,

odnosno,

cos ( sin ) .p

y a z a g C

(2.60)

Nepoznata integraciona konstanta C se određuje iz graničnih uslova poznatog pritiska p u nekoj

tački fluidnog polja. Ovde se može iskoristiti uslov da je u koordinatnom početku, odabranom na

slobodnoj površini tečnosti, totalni pritisak p jednak atmosferskom pritisku pa. Primenom

graničnih uslova 0 ax y z p p

na jednačinu (2.60) dobija se integraciona

konstanta:

apC

. (2.61)

Tada se na osnovu (2.61) jednačina (2.60), može napisati u obliku:

1( ) cos ( sin )ap p y a z a g

. (2.62)

Dobijena jednačina predstavlja jednačinu raspodele pritiska u tečnosti za razmatrani primer. Ona

omogućava eksplicitno određivanje vrednosti pritiska u ma kojoj tački M(x,y,z) fluidnog prostora

čije su koordinate x, y i z poznate. S obzirom da p predstavlja totalni pritisak u tečnosti veličina

(p – pa) na levoj strani jednačine (2.62) je nadpritisak koji je posledica dejstva glavnog vektora

masenih sila.

Za poznatu vrednost pritiska p = p1, rešavanjem jednačine (2.62) po promenljivoj z, može se za

razmatrani slučaj odrediti odgovarajuća jednačina izobarne površine, odnosno površine

konstantnog pritiska (p1 = const.) u 0yz koordinatnoj ravni:

1cos 1

sin sinap pa

z yg a g a

(2.63)

Jednačina (2.63) predstavlja jednačinu prave oblika:

,z ky b

1cos 1k , .

sin sinap pa

tg bg a g a

na osnovu čega se zaključuje da površine konstantnog pritiska (p = const.) predstavljaju familiju

paralelnih ravni čiji je ugao nagiba .

Za uslov p1 = pa koji važi na slobodnoj površini tečnosti je koeficijent b = 0, pa se dobija

jednačina slobodne površine tečnosti u obliku:

yag

az

sin

cos

. (2.64)

Izraz (2.64) predstavlja jednačinu prave koja prolazi kroz koordinatni početak (Sl.2.15). Ugao

nagiba slobodne površine tečnosti može se odrediti na osnovu jednačine slobodne površine

tečnosti (2.63), pri čemu treba primeniti relacije uočene sa Sl.2.15

sin cos , i cos sina a a g a :

cos sin,

sin cos

a atg

g a a

Tada je ugao nagiba slobodne površine tečnosti u odnosu na horizontalnu ravan:

cos.

sin

aarctg

g a

(2.65)

Ugao nagiba slobodne površine tečnosti u odnosu na horizontalnu ravan bio bi prav ( 2

)

u slučaju kada

cos

sin

a

g a

, tj.

sin 0g a . Zaključuje se da se to

dešava ako se suport kreće ubrzanjem sin

ga

Sl.2.16 Relativno mirovanje tečnosti pri translatornom prenosnom kretanju

Ako ubrzanje suporta (suda u kome se nalazi tečnost) zavisi od vremena tada nije moguće da

tečnost u tom sudu miruje, već će se stalno kretati (klatiti). Nije moguće ostvariti relativno

mirovanje fluida u sudu koji se kreće translatorno promenljivim ubrzanjem.

2.9.2 Rotaciono prenosno kretanje oko vertikalne ose

Pri rotaciji suda sa tečnošću konstantnom ugaonom brzinom u tečnosti se uspostavlja

stacionarno stanje u kome se uslovi ravnoteže fluidnih masa održavaju za sve vreme dok se

režim kretanja ne promeni. U tom slučaju tečnost relativno miruje u odnosu na koordinatni

sistem koji se kreće zajedno sa tečnošću, pa se može primeniti osnovna hidrostatička jednačina

(2.26).

Ako se usvoji koordinatni sistem 0xyz takav da se z–osa sistema poklapa sa osom rotacije (osom

simetrije suda) a x i y–osa leže na slobodnoj površini tečnosti (Sl. 2.17), tada u toku rotacije na

fluidni delić u proizvoljnoj tački M(x,y,z) u horiznontalnoj ravni 0xy radijalno u odnosu na osu

rotacije z dejstvuje masena sila koja je ekvivalentna centrifugalnoj sili. Kako je centrifugalna sila

jednaka proizvodu mase i normalnog (centrifugalnog)

a) b)

Sl. 2.17 Relativno mirovanje tečnosti pri rotacionom prenosnom kretanju

ubrzanja na

, to na jediničnu masu fluidnog delića dejstvuje masena sila ekvivalentna

normalnom ubrzanju na

:

2na r

. (2.66)

Na taj način su projekcije glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog prostora X i Y

na pravce koordinatnih osa x i y određene projekcijama vektora centrifugalnog ubrzanja na

na

odgovarajuće ose odnosno:

2 2, ,X x Y y (2.67)

pri čemu saglasno Sl.2.17, tačka M (x, y, z) leži na kružnici, poluprečnika r sa centrom u

koordinatnom početku. Putanja fluidnog delića za vreme rotacije suda je kružnica definisana

jednačinom:

2 2 2r x y . (2.68)

U pravcu vertikalne ose, fluidni delić u tački M(x,y,z) ima konstantno ubrzanje usled dejstva sile

zemljine teže:Z g

. (2.69)

Zamenom projekcija X, Y i Z glavnog vektora masenih sla u osnovnu hidrostatičku jednačinu, tj.

unošenjem izraza (2.68) i (2.69) u (2.26) dobija se:

2 21.dp xdx ydy gdz

Integraljenjem ove jednačine dobija se:

2 21,dp xdx ydy g dz C

2 22 21

,2 2

x yp gz C

22 21

( )2

p x y gz C

. (2.70)

Nepoznata integraciona konstanta C može se odrediti iz uslova da je vrednost pritiska na

slobodnoj površini tečnosti jednaka atmosferskom pritisku p = pa. Pošto je početak koordinatnog

sistema odabran na slobodnoj površini tečnosti, to je:

za 0x y z

, vrednost pritiska p = pa .

Primenom ovih graničnih uslova na jednačinu (2.70), dobija se integraciona konstanta C:

1aC p

.

Zamenom vrednosti integracione konstante C u jednačinu (2.70), dobija se jednačina raspodele

pritiska u tečnosti:

22 21

( ) ( )2

ap p x y gz

. (2.71)

Ova jednačina se primenom uslova (2.68) može napisati u zgodnijoj formi,

2 21( )

2a

rp p gz

, (2.72)

gde r predstavlja intenzitet vektora položaja proizvoljne tačke M(x, y, z) unutar fluidnog prostora

u odnosu na osu rotacije z, odnosno radijus putanje fluidnog delića u toku rotacije. Prvi član na

desnoj strani jednačine pomnožen gustinom izražava povećanje pritiska koje nastaje u tečnosti

pod dejstvom centrifugalne sile pri obrtanju a prema hidrostatičkom pritisku pri apsolutnom

mirovanju. Povećanje pritiska na istoj dubini z srazmerno je kvadratu rastojanja od obrtne ose i

kvadratu ugaone brzine, i može biti veliko. Ovo saznanje se često koristi u tehnici, npr. za rad

centrifugalnih pumpi, za separaciju (razdvajanje) tečnosti itd.

Jednačina slobodne površine tečnosti se može dobiti primenom uslova da je na slobodnoj

površini tečnosti pritisak jednak atmosferskom pritisku p = pa, na osnovu čega je:

2 2

2

rz

g

. (2.73)

Jednačina (2.73) predstavlja jednačinu parabole drugog reda u 0rz ravni sa temenom u

koordinatnom početku koja je simetrična u odnosu na osu rotacije z, na osnovu čega se

zaključuje da slobodna površina tečnosti ima oblik rotacionog paraboloida. Osim toga, na osnovu

jednačine raspodele pritiska (2.72) može se za ma koju poznatu vrednost pritiska p=pN u tački

N(r, z), odrediti geometrijsko mesto tačaka u kojima pritisak ima konstantnu vrednost (pN =

const.), ili tzv. izobarna površina, pri čemu je:

2 2 1( )

2N a

rz p p

g g

. (2.74)

Ova jednačina predstavlja takođe jednačinu parabole iz iste familije kojoj pripada i jednačina

(2.73), ali je za razliku od nje pomerena u negativnom smeru ose z za (pN – pa)/ g. Na osnovu

ovoga se zaključuje da površine konstantnog pritiska u tečnosti koja rotira konstantnom

ugaonom brzinom ( = const.), predstavljaju familiju koaksijalnih površina u obliku rotacionih

paraboloida koji su neprekidno raspoređeni unutar fluidnog prostora.

Jednačina slobodne površine tečnosti se može iskoristiti da bi se izračunalo do koje visine se pri

datoj ugaonoj brzini podigne tečnost us zid suda, a koliko se spusti teme paraboloida u odnosu na

nivo tečnosti pre početka rotacije.

Neka tačka A(D/2, hR) na sudu označava krajnju tačku do koje se tečnost popela uz zid suda.

Tada tačka A pripada slobodnoj površini tečnosti pa prema tome zadovoljava jednačinu slobodne

površine tečnosti (2.73), pa je za y = D/2 i z = hR , na osnovu (2.73)

2 2

8R

Dh

g

. (2.75)

Ako je prvobitna zapremina tečnosti u sudu pre rotacije prema Sl. 2.17 iznosila:

2

04

DV H

, (2.76)

tada će ista ta zapremina tečnosti biti u sudu i za vreme rotacije, pod uslovom da neme

prosipanja tečnosti iz suda, ali je sada njen oblik drugačiji. Ova zapremina se može izračunati

tako što će se od zapremine cilindra visine h0 + hR oduzeti zapremina rotacionog paraboloida

visine hR , pa je:

2 2

0

1( )

4 2 4R R

D DV h h h

.

Kako ova zapremina mora biti jednaka prvobitnoj zapremini ( 0V V), to sledi:

0

1,

2R Rh h h H

(2.77)

tj. 0

1

2Rh h H

. (2.78)

Pošto prema Sl.2.17 visina na koju se tečnost popne uz zid iznosi Hhh R 0 , to je na

osnovu (2.77) i (2.75):

2 2

02 16R

R

h Dh h H

g

. (2.79)

Visina spuštanja temena paraboloida je prema slici 0hH , pa je na osnovu relacije (2.78) i

(2.75):

2 2

02 16Rh D

H hg

. (2.80)

Na osnovu ovoga sledi da se u odnosu na nivo tečnosti u stanju mirovanja, tečnost pri rotaciji

popne uz zidove suda za veličinu gD 1622

za koliko se i spusti duž ose rotacije.

Kontrolna pitanja

1. Izvesti jednačinu raspodele pritiska, jednačinu slobodne površine tečnosti, ugao nagiba

slobodne površine tečnosti u odnosu na horizontalnu ravan u tečnosti koja se nalazi u sudu, koji

se jednakopromenljivo translatorno kreće u polju sile zemljine teže, niz strmu ravan koja je

nagnuta pod uglom u odnosu na horizontalu.

2. Izvesti jednačinu raspodele pritiska u tečnosti koja se nalazi u sudu, koji vrši obrtno kretanje

oko nepokretne ose u polju sile zemljine teže

4.2.3 Laminarno i turbulentno strujanje. Rejnoldsove jednačine

Posmatranjem tokova realnog fluida zapažena su dva različita strujna stanja.

Kretanje fluida kada se stiče utisak pravilnosti, tj. kada su strujnice paralelne i slobodna

površina ravna, ako postoji, naziva se laminarnim ili kretanjem u slojevima.

Sl. 4.5 Laminarno strujanje

Turbulentno strujanje je kretanje fluida koje izgleda kao da je uzburkano, bez znakova bilo

kakve pravilnosti, tj. pojedine strujnice se presecaju a na slobodnoj površini stvaraju se

ispupčenja i udubljenja koja su promenljiva, slobodna površina je neravna.

Sl. 4.6 Turbulentno strujanje

Obadve vrste kretanja mogu se videti u cevima i kanalima pri čemu laminarnom strujanju

odgovaraju obično male brzine a turbulentnom velike. Pri povećanju brzine prelazi laminarno

strujanje u turbulentno. Suprotna pojava nastupa prilikom smanjenja brzine. Medjutim, stanje

strujanja ne zavisi samo od brzine nego i od drugih činilaca.

Teorija o kretanju viskoznog fluida dobro se slaže sa eksperimentima, izvršenim pri laminarnom

strujanju, čime je ta teorija potvrđena. Kod laminarnog strujanja su male brzine i dimenzije, i

fluid je više viskozan, te tada važe Navije-Stoksove jednačine. Kod turbulentnog strujanja brzine

i dimenzije su velike, fluid je manje viskozan, teorija o turbulentnom strujanju je veoma

komplikovana, te se za rešavanje tehničkih problema koriste približni obrasci uz uvodjenje

koeficijenata koji se eksperimentima odredjuju.

Razliku između laminarnog i turbulentnog strujanja zapazili su mnogi naučnici. Rejnoldsovi

eksperimenti i zaključci, izvedeni pred kraj devetnaestog veka, stvorili su pravu sliku o

turbulenciji i označili put ka sistematskoj naučnoj analizi ove pojave.

Rejnoldsov eksperiment je vrlo prost (Sl.4.7). Iz staklenog suda A voda ističe kroz pravu cev

kružnog preseka prečnika d. Iz suda B se ukapava obojena tečnost u cev da bi se okom pratilo

kretanje. Strujanje je ustaljeno a temperatura tečnosti konstantna. Menjane su cevi i brzine

isticanja. Posmatrajući promenljive brzine strujanja iste tečnosti, i u istoj cevi, Rejnolds je opazio

da se pri malim brzinama obojena strujnica jasno vidi i da se ne meša s ostalima. Međutim, pri

većim brzinama kretanja sva tečnost se oboji, tj. strujnice se presecaju pa se tečnosti mešaju.

Sl. 4.7 Shema Rejnoldsovog eksperimenta

Postepenim povećanjem brzine pri laminarnom strujanju, Rejnolds je utvrdio da prelaženje u

turbulentno kretanje nastaje uvek pri odredenoj brzini koja vrlo malo odstupa od slučaja do

slučaja. On je ovu brzinu nazvao kritičnom brzinom( krv). Ako je strujanje turbulentno, pa se

smanjuje brzina, onda pri kritičnoj brzini nastupa obratna pojava (turbulentno kretanje prelazi u

laminarno).

Kritična brzina nije ista za sve cevi ni za sve tečnosti; ona zavisi od prečnika cevi i od

viskoznosti:

,kr krv v d . (4.55)

Eksperimenti su pokazali da prelaženje laminarnog strujanja u turbulentno umnogome zavisi od

spoljašnjih uzroka, npr. od stanja pri ulasku u cev. Pri pažljivom vršenju ogleda može kritična

brzina biti veća od one koju je Rejnolds opazio. Zato se kao kritična smatra najmanja brzina pri

kojoj strujanje prelazi iz jednog u drugo stanje, iz stanja laminarnog strujanja u turbulentno. Ako

se pažljivim rukovanjem postigne da se održi stanje laminarnog strujanja i pri većim brzinama od

kritične vrednosti, onda se i pri najmanjem poremećaju, laminarno strujanje naglo preobraća u

turbulentno. Ova pojava je slična nekoj vrsti labilne ravnoteže.

Prelaz od turbulentnog kretanja ka laminarnom je pravilniji. Ispod određene brzine, kretanje je

uvek laminarno, i ni na koji način ne može da se pri toj brzini pojavi turbulencija. Dakle, nikakav

poremećaj ne može izvesti tečnost iz laminarnog stanja ako je brzina dovoljno mala. Ta pojava

se može porediti sa stanjem stabilne ravnoteže.

Turbulentno strujanje je Nikuradze-a. (Nikuradze) 1929 g. je snimao pokretnim fotografskim

aparatom i tom prilikom dobio je različite slike pri raznim brzinama kretanja aparata mada se

brzina vode nije menjala (Sl.4.8). Pri brzini aparata oko 12cm/s jasno se vidi da se turbulentno

kretanje sastoji iz bezbroj sitnih vrtloga koji stvaraju utisak haotičnog kretanja. Ti vrtlozi nisu

stabilni već se stalno menjaju: čas iščeznu na jednom mestu, čas se pojave na drugom. Prirodno

je da u ovom slučaju ne može biti govora o stacionarnom (ustaljenom) strujanju. Kasnije će se

videti da se vrednosti brzina u svakoj tački kolebaju oko neke stalne vrednosti koja ne zavisi od

vremena. Zato se i na turbulentno kretanje mogu primeniti rezultati dobiveni proučavanjem

stacionarnog strujanja.

.

Sl.4.8 Fotografija laminarnog i turbulentnog strujanja

Brzina je glavni pokazatelj strujanja, pa se pri istraživanju turbulentnog kretanja najveća pažnja

obraća upravo polju brzine. Na prvi pogled izgleda da se ne može zamisliti da postoji neki zakon

kome bi se pokoravale brzine delića

Turbulentno kretanje izgleda sasvim haotično pošto se strujnice presecaju. U jednoj istoj tački,

brzina ne ostaje konstantna ni po pravcu, ni po veličini, već se menja tokom vremena. Upravo su

te vremenske promene bile uzrok glavnih teškoća teoriskom i eksperimentalnom proučavanju

turbulencije. Kretanje se nije moglo smatrati ustaljenim, a nije se mogla naći ni formula koja bi

obuhvatila vremenske promene brzine.

Medutim, pokazalo se da brzine u jednoj tački osciluju oko neke stalne vrednosti tzv. prosečne

brzine (Sl. 4.9). Ova brzina pretstavlja neku vrstu srednje brzine u pogledu vremenskih promena.

Projekcije prosečne brzine označene su sa:, , .x y zv v v

Kriva AB (Sl. 4.8) grafički pretstavlja vremenske promene projekcije xv brzine u nekoj tački

prostora. Jednačina krive AB je funkcija xv f t

. Ako se posmatra dovoljno veliki interval

vremena T, tada se prosečna brzina može napisati u obliku:

0 0

1 1T T

x xv v dt f t dtT T

(4.56)

Sl. 4.9 Grafički prikaz vremenske promene projekcije brzine ( xv f t

)

Brzina xv jednaka je zbiru prosečne vrednosti xv

i trenutnog odstupanja xv brzine od vremenski

prosečne vrednosti xv:

'x x xv v v . Primenom poslednjeg izraza na xv

dobija se:

001 '

0

' x

T

x vdtvT

(4.57)

Vrednosti 'xv u raznim vremenskim intervalima dt mogu biti čas pozitivne, čas negativne, a

njihova prosečna vrednost ('xv ) jednaka nuli. Analogno se to može pokazati i za projekcije brzina

na ostale pravce dekartovog koordinatnog sistema: '

y y yv v v 'z z zv v v , gde su: xv

, yv, zv

-

stvarne brzine; xv, yv

, zv-prosečne i xv , yv

, zv -pulsacione brzine. Takva kretanja su uglavnom

stacionarna.

Na isti način bi se dokazalo da će prosečna vrednost trenutnih otstupanja svih fizičkih strujnih

veličina koje linearno zavise od brzine biti jednaka nuli u ograničenim razmacima vremena pod

uslovom da su razmaci dovoljno dugi. Takva strujna veličina je, npr. zapreminski protok.

Poznato je da protok kroz cevi može imati stalnu vrednost bez obzira da li je strujanje laminarno

ili turbulentno.

Međutim, kad je u pitanju proizvod dve brzine, vrednost prosečnog kvadrata brzine razlikuje se

od kvadrata prosečne brzine.

Rejnolds je predložio da se na proučavanje turbulentnog kretanja primeni statistička metoda, i to

da se umesto pravih brzina (i drugih strujnih veličina) uzimaju prosečne vrednosti za veliki

interval (0,T). Treba da se napišu jednačine kretanja, po principu Navije-Stoksovih jednačina, s

tim što se prave brzine zamenjuju prosečnim vrednostima. Naponima se dodaju dopunski naponi

(turbulentni naponi) kojima se izražava uticaj trenutnih otstupanja brzina od prosečne vrednosti.

Jednačina kontinuiteta se izražava prosečnim brzinama na isti način kao i stvarnim.

Za realan nestišljiv fluid i turbulentno strujanja, Navije-Stoksova jednačina dopunjena

unutrašnjom silom usled trenja nastalog turbulencijom ima vektorski oblik:

.

1turb

dvF grad p v T

dt

(4.58)

Prema tome, uvodjenjem prosečnih vrednosti brzina u jednačinu (4.58) dobijene su Rejnoldsove

jednačine u skalarnom obliku, u kojima su zanemarene zapreminske sile, i koje glase:

2 2 2

'2 ' ' ' '

2 2 2x x x x

x x y x z

dv v v vpv v v v v

dt x x y z x y z

2 2 2

' ' '2 ' '

2 2 2

y y y y

x y y y z

dv v v vpv v v v v

dt y x y z x y z

2 2 2

' ' ' ' '2

2 2 2z z z z

x z y z z

dv v v vpv v v v v

dt z x y z x y z

(4.58’)

Rejnoldsovim jednačinama (4.58’) se pridružuje već poznata jednačina kontinuiteta:

0yx z

vv v

x y z

Na ovaj način postavljene jednačine uvode šest novih veličina. Radi hjihovog odredivanja treba

uvesti nove hipoteze, kao što je Njutnova hipoteza poslužila za odredivanje napona pri izvođenju

Navije-Stoksovih jednačina. Ako bi se postavila nekakva veza slična Njutnovoj vezi za viskozan

fluid

xdv

dy

dobilo bi se, naprimer, za ravansko strujanje usled turbulencije:

' ' , .xturb turb

dvdT da B B const

dy

(4.59)

Koeficijent B pretstavlja turbulentnu dinamičku viskoznost. Koeficijent viskoznosti odgovara

medumolekulskoj izmeni količine kretanja a koeficijent turbulentne viskoznosti B vezuje se za

makroprenos količina kretanja konačnih masa iz sloja u sloj kao posledice mešanja strujnica.

Kad bi se za B usvojila stalna vrednost pokazalo bi se da je nekoliko desetina hiljada puta veća

od . Međutim, merenjima je utvrdeno da se B ne može smatrati konstantom za dati fluid ili

turbolenciju jer se menja duž preseka. Naprimer, za cevi je B jednako nuli na zidovima; veoma je

malo u blizini zidova, a dostiže maksimum oko polovine poluprečnika i najmanju vrednost ima u

osi cevi. Dopunski naponi potiču od inercijalnih sila, i ne stoje ni u kakvoj vezi s viskoznosnim

silama, tako da oni imaju istu vrednost i u turbulentnom strujanju neviskoznog fluida. Ovim se

potvrduje Prantl-ova (Prandtl) zamisao po kojoj fluid struji van graničnog sloja upravo kao da je

savršen. Razume se, to ne znači da realan fluid postaje neviskozan već znači da se pretstava

odnosi na kinematičku sliku strujanja, jer svojstva realnog fluida, kao što su: mogućnost

nastanka vrtloga i njihovog ugušivanja, rasipanje energije, promena toplotnog stanja i druga; ima

i fluidna struja van graničnog sloja ali ih nema neviskozni fluid.

Turbulentno kretanje se ne javlja samo u cevima, već ga ima i u okolini ma kakve čvrste površine

preko koje fluid struji pa, čak, i tamo gde nema čvrstih površina ali gde se mešaju slojevi fluida

nejednakih brzina.

4.2.4 Teorija sličnosti. Sličnost fizičkih pojava

Rejnoldsovi eksperimenti su pokazali da pri povećanju brzine strujanja nastaje trenutak kad

laminarno kretanje prelazi u turbulentno. Kritična brzina, za koju se to dešava, menja se zavisno

od prečnika cevi i od vrste tečnosti kad je temperatura konstantna. Zato se postavlja pitanje može

li se odrediti, i na koji način, kritična brzina nekog strujanja ako se zna kritična brzina sličnog

strujanja? (Ovo pitanje je važnije nego zašto i kako postaje turbulencija.) Ustvari se time traže

uslovi pod kojima se dva kretanja mogu smatrati sličnim. Očigledno je da je potrebna

geometriska, kinematička i dinamička sličnost kretanja.

Spoljašnji geometriski uslovi sličnosti (sličnost dimenzija) odnose se na sličnost cevi, preseka

kanala, tela oko kojih struja teče, hrapavosti zidova itd. Kinematička sličnost podrazumeva

medusobnu srazmernost analognih brzina i ubrzanja. Dinamička sličnost kretanja je zadovoljena

ako je ispunjena srazmernost sila koje dejstvuju na fluid. Sličnost dva strujanja bila bi potpuna

ako i jedno, i drugo strujanje, određuju iste jednačine (u ovom slučaju Navije-Stoksove

jednačine).

U tom smislu uvode se koeficijenti proporcionalnosti (srazmere) odgovarajućih veličina:

za geometrijsku sličnost:

2

1

.l

lk const

l

; (4.60)

za kinematičku sličnost:

2 2

1 1

;v a

v ak k

v a

; (4.61)

za dinamičku sličnost:

2 2 2

1 1 1

; ;p

pk k k

p

. (4.62)

Nek su 1 1 1 1, , ,I G P T i 2 2 2 2, , ,I G P T

redom, inercijske sile, spoljašnje sile, sile pritiska i

sile viskoznosti u dva slična strujanja.

U prvom slučaju strujanja sile su odredjene, redom, sledećim članovima:

21 1 1

1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1

1; ; ;

v p vI v G a P T

x l l

(4.63)

U drugom slučaju strujanja sile su odredjene, redom, sledećim članovima:

22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

1; ; ;

v p vI v G a P T

x l l

(4.64)

Na osnovu Dalamberovog principa može se Navije-Stoksova jednačina napisati u obliku zbira

ovih sila:

za prvo strujanje: 1 1 1 1 0I G P T , (4.65)

za drugo strujanje: 2 2 2 2 0I G P T . (4.66)

Kako se obe jednačine odnose na slična strujanja, to se medu sobom mogu razlikovati samo

konstantnim činiocem, te se može postaviti srazmernost:

1 1 1 1

2 2 2 2

I G P T

I G P T

(4.67)

Nek je 1u bilo koja od veličina koje odreduju prvo kretanje, a 2u

odgovarajuća veličina iste

prirode drugog kretanja. Odnos

2

1

u

uk

u

(4.68) naziva se prevodni koeficijent posmatrane

veličine i pretstavlja konstantan broj koji nema dimenziju.

Tada su:

lk- prevodni koeficijent dužine;

vk- prevodni koeficijent brzine;

ak- prevodni koeficijent ubrzanja;

k - prevodni koeficijent gustine;

pk- prevodni koeficijent pritiska;

k - prevodni koeficijent viskoznosti.

Kada se veličine zamene odgovarajućim prevodnim koeficijentima, tada je redom:

1 11 1

1 1 1 1 1 12

2 12 2 2 12 1

2 1

2 21 1 1 1

1 1 1 22 21 1 1 1 1 1 1

2 22 2 12 21

2 2 1 212 2 2 11

1; ;

1

;1

l

v v a av

l

l l

vp vp

ll

v vv v

kI l l G a a

v k vI k G a k a kv k vl k l

p p v vk

k k kP l l T l l

p v k vP k T k kk pk

l l k lk l

(4.69)

Jednačine

1 1 1 1

2 2 2 2

I G P T

I G P T

određuju sledeće zavisnosti medu prevodnim koeficijentima:

2

22

22 2

2

32

1;

;

l v

v a a l

pll

v p v

l l l v

v v

k kC

k k k k

kk kkC

k k k k

k k k kC

k k k k

(4.70)

Ovi koeficijenti nisu proizvoljni, povezani su jednačnama.

Iz prve jednačine, posle ponovne zamene koeficijenata prevođenja njihovim vrednostima, dobija

se srazmernost:

2 21 2

1 1 2 2

v v

a l a l

. (4.71)

Dobijena bezdimenziona srazmernost zove se Frudov broj i obeležava se:

2

Frv

g l

. (4.72)

Fr ima značaja za strujanja tečnosti izložena dejstvu teže.

Iz druge jednačine, posle ponovne zamene koeficijenata prevođenja njihovim vrednostima,

dobija se srazmernost:

1 22 2

1 1 2 2

p p

v v

. (4.73)

Ovde se uvodi brzina zvuka c, po obrascu

2 pc

ako se stanje gasa menja po izotermi, ili po

obrascu

2 pc

za adijabatsku promenu stanja gasa. Tada se dobija jedinstvena relacija

v

c .

Dobijena bezdimenziona srazmernost zove se Mahov broj i obeležava se:

Mav

c

(4.74)

Iz treće jednačine, posle ponovne zamene koeficijenata prevođenja njihovim vrednostima, dobija

se srazmernost:

1 1 2 2

1 2

l v l v

. (4.75)

Dobijena bezdimenziona srazmernost zove se Rejnoldsov broj i obeležava se:

Relv

(4.76)

Potpuna sličnost dvaju kretanja postojaće kad su jednaki brojevi Rejnoldsa, Fruda i Maha. Ovo

je praktično neostvarljivo, i zato se potpuna sličnost fizičkih pojava ne da postići.

Ako na kretanje primarni uticaj ima sila zemljine teže, praktično bez uticaja viskoznosti i

stišljivosti, tada jednakost Frudovog broja pretstavlja kriterijum za delimičnu sličnost ( 1 2Fr Fr

). Primer za takva kretanja su reke i potoci.

Ako je stišljivost (gustina) od presudnog značaja za kretanje fluida, onda je jednakost Mahovog

broja kriterijum za delimičnu sličnost strujanja ( 1 2Ma Ma).

Ako je: Ma 1v c

tada je strujanje dozvučno;

Ma=1v c strujanje je kritično,

i Ma>1v c

strujanje je nadzvučno.

Ako na kretanje primarni uticaj ima sila unutrašnjeg trenja (viskoznost), a sile zemljine teže i

stišljivost fluida skoro ne utiču na kretanje, jednakost Rejnoldsovog broja pretstavlja kriterijum

za delimičnu sličnost ( 1 2Re Re).

Za odredjivanje delimične sličnosti strujanja potrebno je odrediti Rejnoldsov kritičan broj. Nije

dovoljno govoriti samo o kritičnoj brzini pri kojoj prelazi laminarno kretanje u turbulentno. Za

razne prečnike cevi, različite tečnosti i nejednake strujne brzine prelaženje od jednog stanja na

drugo nastaje pri istom Rejnoldsovom broju.Taj broj je kritičan, i obeležava se sa Rekr . Za

strujanje tečnosti kroz glatke cilindrične cevi kritičan Rejnoldsov broj iznosi:

Re 2320kr

kr

v l

. (4.77)

Može se podesiti, medutim, da laminarno kretanje postoji i pri većim brojevima od 2320. Samo

je takvo stanje vrlo nestabilno i pri najmanjem poremećaju prelazi u turbulentno. Dosad je uspelo

da se održi laminarno strujanje do Rejnoldsovih brojeva 40000. Primećeno je da pri svakom

Rejnoldsovom broјu preko 2320 neki minimalan poremećaj na izlazu cevi izaziva trenutno

prelaženje u turbulentno stanje. Kad je Rejnoldsov broj manji od 2320, nikakav poremećaj ne

može da promeni prirodu laminarnog strujanja.

Dakle, ako je Re Rekr

tada je strujanje laminarno,

ako je Re Rekr

tada je strujanje prelazno

i ako je Re Rekr

tada je strujanje turbulentno.

Kritična brzina za datu cev i tečnost lako se izračunava preko Re broja. Naprimer, za glatke cevi

kružnog preseka, prečnika d=10cm i vodu na temperaturi od 10°C (20.03 /cm s ) biće

(Re=2320):

Re 2320 0,0133,020

10kr

krvd

cm/s. Iz rezultata se vidi da je praktična primena

teorije o laminarnom strujanju veoma ograničena. U tehnici vlada turbulentno kretanje.

Rejnoldsov broj igra veliku ulogu u hidromehanici i aeromehanici. Njime su rasvetljene mnoge

pojave koje su dotle bile nejasne. Tako je omogućeno da se nepoznato strujanje uporedi sa

poznatim strujanjem i stvori podloga za pravilne oglede na modelu, kojima se koristi tehnička

praksa za građenje plovnih objekata, hidrotehničkih postrojenja, aviona, propelera, strujnih

mašina itd

Kontrolna pitanja

1. Laminarno i turbulentno strujanje

2. Srednja vrednost brzine

3. Rejnoldsove jednačine

4. Teorija sličnosti

5. Bezdimenziona srazmernost veličina (objasniti Frudov, Mahov i Rejnoldsov broj)

4. DINAMIKA FLUIDA

Dinamika fluida je deo mehanike fluida koji se bavi izučavanjem kretanja fluida tzv. strujanja.

Kretanje fluida je složenije od kretanja krutog tela pa se izučava uvodjenjem odredjenih

predpostavki. Jedna od pretpostavki odnosi se na promenu gustine fluida pri strujanju, te se fluid

može posmatrati kao stišljiv ili nestišljiv. Druga pretpostavka se odnosi na unutrašnje trenje, ako

se zanemari tada se govori o idealnom (savršenom) fluidu, ili se ne sme zanemariti, kada je

problem daleko složeniji za izučavanje, a tada se govori o viskoznom (realnom) fluidu.

Izučavanjem strujanja bez uticaja unutrašnjeg trenja bavi se dinamika idealnog (savršenog)

fluida, a sa uzimanjem u obzir i uticaja unutrašnjeg trenja bavi se dinamika viskoznog (realnog)

fluida.

4. 1 DINAMIKA IDEALNOG FLUIDA

4.1.1 Ojlerove jednačine za fluid u pokretu

Osnovna jednačina koja opisuje kretanje idealnog fluida je Ojlerova jednačina za fluid u pokretu.

Za izvodjenje ove jednačine polazi se od već poznate Ojlerove jednačine za mirovanje fluida,

koja je dobijena iz uslova ravnoteže masenih (spoljašnjih) sila i površinskih (unutrašnjih) sila

koje dejstvuju na posmatrani fluidni prostor zapremine V, spoljašnje površine A, rezultante F

zapreminskih sila sračunatih za jedinicu mase, pritiska p po jedinici spoljašnje površine:

0V A

FdV p dA

iz koje se primenom Gausove teoreme prelazi na integral po zapremini i dolazi do vektorskog

oblika Ojlerove jednačine za mirovanje fluida:

1( ) 0

V

F grad p dV F grad p

U slučaju kretanja fluida, pored površinskih i zapreminskih sila,

dejstvuju i inercijalne sile, koje su na osnovu drugog Njutnovog

principa jednake proizvodu mase i ubrzanja fluida: inF ma

.

Kako je ubrzanje jednako prvom izvodu brzine po vremenu, to za fluidni delić elementarne mase

dm inercijalna sila jednaka je:

in

dv dvdF dm dV

dt dt

. (4.1)

Sl.4.1Fluidni delić u pokretu

Za celokupnu fluidnu masu, zapremine V, inercijalna sila jednaka je:

in

V

dvF dV

dt

(4.2)

Na kretanje fluida može se primeniti Dalamberov princip koji je poznat u klasičnoj mehanici. Po

Dalamberovom principu je zbir površinskih, masenih i inercijalnih sila koje dejstvuju na fluid u

pokretu jednak nuli, pa se može napisati izraz po zapreminskom integralu, iz kojeg se dobija

vektorska jednačina:

1( ) 0

V

dv dvF grad p dV F grad p

dt dt

(4.3)

Ova jednačina važi za svaku proizvoljnu zapreminu V. Tako se dolazi do jednačine (4.3),

koja predstavlja Ojlerovu diferencijalnu jednačinu fluida u pokretu, u vektorskom obliku.

Na osnovu poznatog obrasca iz teorije vektorskih polja, leva strana jednačine (4.3) može se

napisati u obliku zbira parcijalnog izvoda brzine po vremenu i proizvoda v v

, tako da

jednačina (4.3) dobija oblik:

1v

v v F grad pt

(4.4)

gde je: x y zv v v v

x y z

Prvi član jednačine (4.4) jednak je nuli pri ustaljenom strujanju jer brzina u tom slučaju ne zavisi

od vremena.

Jednačina (4.4) nije podesna za izvođenje mnogih teorema o strujanju jer eksplicitno ne sadrži

članove koji zavise od vrtloga. Zato se upotrebljava obrazac iz teorije vektorskih polja:

21,

2v v grad v v rot v

(4.5)

kojim se transformiše jednačina (4.4) u sledeći oblik:

21 1,

2

vgrad v v rot v F grad p

t

(4.6)

Ovo je transformisana Ojlerova jednačina koja je daleko pristupačnija za analizu strujanja a i

lakše se integrali, naročito kad nema vrtloga (rot v = 0).

Projekcije vektorske jednačine (4.3) na osama dekartovog koordinatnog sistema iznose:

1 1 1; ;yx zdvdv dvp p p

X Y Zdt x dt y dt z

, (4.7)

i pretstavljaju Ojlerove diferencijalne jednačine u skalarnom obliku. One se mogu napisati u

razvijenom obliku, u skladu sa vektorskom jednačinom (4.4) na sledeći način:

1;

1;

1.

x x x xx y z

y y y y

x y z

z z z zx y z

v v v v pv v v X

t x y z x

v v v v pv v v Y

t x y z y

v v v v pv v v Z

t x y z z

(4.8)

Ove jednačine sadrže pet nepoznatih: tri projekcije vektora brzine, pritisak p i gustinu . Da bi

se sve te veličine odredile kao funkcije koordinata x, y, z i vremena t potrebne su još dve

skalarne jednačine koje bi zavisile od istih nepoznatih. Te jednačine su jednačina kontinuiteta i

karakteristična jednačina, o kojima je bilo reči u &3.5 i &1.6:

a) jednačina kontinuiteta za stišljiv fluid je 0div v

t

, a za nestišljiv 0div v

;

b) karakteristična jednačina je: - za nestišljiv fluid 0 .const ,- za izotermski proces

(T=const.), u idealnom gasu :

0

0

.constp p

; -za politropski proces

0

0

.nn

constp p

Ako kretanje podleže uticaju temperature morala bi se dodati jednačina koja bi omogućila da se

odredi raspored temperatura u fluidnom prostoru.

Diferencijalne jednačine za kretanje fluida su vrlo složene. One pretstavljaju sistem nelinearnih

parcijalnih diferencijalnih jednačina i, u opštem slučaju, ne mogu se neposredno integraliti, te se

primenjuju metode za približno rešavanje (numerički, grafički itd.). U nekim slučajevima

moguće je uvesti uprošćenja kada se pojedini članovi jednačina zanemaruju prema ostalim

članovima, kad je to moguće u zavisnosti od prirode problema.

a) Nestacionarno strujanje posmatra se kao stacionarno strujanje u slučaju kada se tražene

veličine vrlo malo menjaju tokom vremena. Uvode se srednje vrednosti posmatranih veličina,

koje se smatraju nezavisnim od vremena, te se iz Ojlerovih jednačina izostavlja član o

parcijalnom izvodu brzine po vremenu.

b) Zanemare se članovi sa izvodima projekcija brzina po koordinatama ali se moraju zadržati

izvodi tih veličina po vremenu, što je moguće uzeti aproksimativno adekvatnim u slučaju kada su

promene traženih veličina po koordinatama u prostoru veoma male u odnosu na promene u

zavisnosti od vremena.

c) Posmatra se kretanje u jednoj ravni (ravansko kretanje), jer se može pretpostaviti da se u svim

ostalim ravnima strujanje obavlja na isti način, tj. kad je kretanje takvo da se brzine u ravnima

paralelnim posmatranoj ravni vrlo malo razlikuju. Tada su dovoljne dve Ojlerove skalarne

diferencijalne jednačine i one, kao i jednačina kontinuiteta, se uprošćuju.

d) Posmatra se kretanje samo u jednom pravcu, jer se može pretpostaviti da se u svim ostalim

pravcima strujanje obavlja na isti način, tj. kad je kretanje takvo da se brzine u pravcima

paralelnim posmatranom pravcu vrlo malo razlikuju. Tada je dovoljna samo jedna Ojlerova

skalarna diferencijalna jednačina i ona, kao i jednačina kontinuiteta, su jednostavnije.

Prilikom integraljenja diferencijalnih jednačina javlja se određen broj proizvoljnih konstanti,

odnosno funkcija (ako je reč o parcijalnim diferencijalnim jednačinama), koje se odreduju prema

početnim i graničnim uslovima.

Početni uslovi su određeni stanjem kretanja (vrednosti brzine, pritiska i gustine) u početnom

trenutku.

Granični uslovi pretstavljaju ograničenja na površinama koje ograničavaju fluidnu masu, npr. za

fluid koji dodiruje atmosferu, pritisak na granicama će biti jednak atmosferskom pritisku.

4.1.2 Bernulijev integral Ojlerovih jednačina

Ako je fluid barotropan i ako su zapreminske sile konzervativne, onda je:

1 dpgrad p grad

i F grad U

.

Tada se Ojlerova jednačina (4.3) može napisati u obliku:

dv dpgrad U

dt

(4.9)

Ova jednačina pokazuje da ubrzanje ima potencijal jer se može pretstaviti kao gradijent

skalarne funkcije. To se ističe kao vrlo važno svojstvo ubrzanja.

Važi obrnuto, tj., ako se zna da sile i ubrzanje imaju potencijal, onda fluid mora biti barotropan;

odnosno, ako je fluid barotropan a ubrzanje ima potencijal, onda sile moraju biti konzervativne.

Ojlerove jednačine se mogu integraliti u specijalnom slučaju. Ako se pretpostavi da barotropni

fluid struji stacionarno kroz polje konzervativnih sila,

1 dpgrad p grad

; 0

v

t

; F grad U

,

tada transformisana Ojlerova jednačina 21 1

,2

vgrad v v rot v F grad p

t

(4.6) glasi:

2

,2

v dpgrad U v rot v

(4.10)

Skalarnim množenjem leve i desne strane jednačine usmerenim elementom dl

(dx, dy, dz)

strujne linije, kako je dl

paralelno brzini v

to je mešoviti proizvod, koji se javlja na desnoj

strani jednačine jednak nuli. Leva strana jednačine prelazi u diferencijal izraza u zagradi, pa je:

2

02

v dpd U

(4.11)

odakle sledi:

2

.2

v dpU const

(4.12)

Ova jednačina pretstavlja uopštenu Bernulijevu jednačinu (Bernulijev integral Ojlerovih

jednačina). Bernuli je prvobitno izveo ovu jednačinu za kretanje nestišljive tečnosti konstantne

gustine u polju sile zemljine teže. Leva strana jednačine se ne menja kad se fluidni delić

premešta u polju, ali konstanta C se promeni čim se pređe sa putanje jednog delića na putanju

drugog. Konstanta se odreduje iz početnih uslova. Ako su poznati početni uslovi u nekoj tački:

0 0 0 0; ; ;v v U U p p (4.13)

tada je:

220

0

02 2

vv dp dpU U

(4.14)

Pri stacionarnom kretanju nestišljivog fluida ( 0 .const ), koji je izložen dejstvu samo sile

zemljine teže (U gz ), važi Bernulijeva jednačina u užem smislu:

2

( ) .2

v pgz const

tj.

2

.2

v pgz const

(4.15)

i to duž iste strujnice, pa se njena leva strana može odnositi ma na koju tačku strujnice.

Bernulijeva jednačina (4.15) ima ogroman značaj za tehniku. Može se reći da je cela hidraulika

zasnovana na primeni Bernulijeve jednačine, ali treba strogo voditi računa o uslovima pod

kojima je jednačina izvedena. Ako se uporedi s integralom žive sile (iz mehariike krutog tela)

zapaziće se da obadve jednačine imaju isti smisao, i da Bernulijeva jednačina iskazuje zakon o

održanju energije pri kretanju tečnosti. Prvi član Bernulijeve jednačine pretstavlja kinetičku

energiju sračunatu za jedinicu mase, drugi član energiju pritiska (pritisnu energiju), treći član

potencijalnu energiju ako se zna da je pE U gz . Na taj način, na osnovu Bernulijeve

(energijske) jednačine zaključuje se da pri stacionarnom strujanju barotrophog fluida u polju

konzervativnih sila, energija struje (tj. zbir kinetičke, potencijalne i pritisne energije) svakog

fluidnog delića ne zavisi od vremena, i ima istu vrednost u svakoj tački putanje delića.

Treba naglasiti da Bernulijeva jednačina važi samo za jedan fluidni delić duž jedne strujne linije

i ne može se primeniti na čitav fluidni prostor, imajući u vidu da u datom trenutku u različitim

tačkama fluidnog prostora fluidni delići mogu imati različitu brzinu v

, pritisak p i položaj z, pa

samim tim i različitu ukupnu energiju.

Iz istog razloga se Bernulijeva jednačina ne može bez

odgovarajućih ograničenja primeniti na probleme

strujanja kroz cevovode konačnog poprečnog preseka,

jer se trenutne brzine i pritisci u datom preseku menjaju

od tačke do tačke.

Sl. 4.2 Strujanje u cevovodu

Međutim, ako bi se za brzinu v i pritisak p u datom preseku cevovoda (Sl. 4.2) uzele njihove

srednje vrednosti po datom preseku u relativno dugom vremenskom intervalu, a za z položaj

osovinske linije (ose) cevovoda za posmatrani presek, tada bi se čitav cevovod mogao posmatrati

kao jedna strujna linija, pa bi se u tom slučaju Bernulijeva jednačina mogla primeniti i na

probleme strujanja fluida kroz cevovode konačnog poprečnog preseka.

Drugim rečima, pri strujanju idealnog fluida ukupna strujna energija u dve proizvoljne tačke A i

B na jednoj strujnoj liniji je konstantna, tj. ukupna energija fluidnog delića u tački A jednaka je

energiji u tački B. Tad se govori o primenjivanju jednačine na dva preseka, A i B struje (Sl. 4.2),

a jednačina (4.15) se piše:

2 2

2 2A A B B

A B

v p v pgz gz

(4.16)

Jasno je da se iz (4.16) može naći jedna od 6 veličina: vA, pA, zA, vB, рB, zB ako su ostale poznate.

Navedene veličine su srednje vrednosti brzine, pritiska i visine u posmatranim presecima.

Ako se jednačina (4.16) podeli ubrzanjem zemljine teže (g), dobija se:

2 2

2 2A A B B

A B

v p v pz z

g g

(4.17)

U jednačini (4.17), svaki član ima dimenziju duži, zato se u hidraulici upotrebljavaju sledeći

nazivi: prvi član se zove brzinska visina jer, kao što je poznato iz mehanike, sa te visine treba

fluidni delić slobodno da padne da bi postigao brzinu Av; drugi član se zove pritisna ili

pijezometarska visina, dok je treći član visina položaja ili geodezijska visina. Na osnovu ovih

definicija može se Bernulijeva jednačina iskazati i na sledeći način: Pri ustaljenom strujanju

nestišljive tečnosti u polju Zemljine teže, zbir brzinske visine, pijezometarske visine i visine

položaja, obrazovan za svaki fluidni delič, ne zavisi od vremena i ima istu vrednost u svakoj tački

putanje delića.

Jednačina (4.15) pokazuje da pritisak opada kad na istoj visini z brzina raste, i obrnuto. Najveći

pritisak u strujnom polju postoji tamo gde je brzina jednaka nuli i zove se totalni pritisak. Ako su

visinske razlike u struji zanemarljive, onda pritisak poraste prema početnom pritisku p0 za

zaustavni pritisak.

Pritisak je uvek pozitivan a maksimalna vrednost brzine (vmax) odgovara pritisku jednakom nuli.

Iz jednačine (4.16) sledi da će pri jednakim visinama biti:

2 22 2max 0 0 0max 0

2

2 2

v v p pv v

(4.18)

Pri proračunu treba strogo paziti da se nigde u struji ne pojavi brzina veća od maksimalne. Ako

bi se to desilo značilo bi da tu prestaje strujanje i da se pojavljuju u struji praznine (kavitacije)

jer, kad je pritisak negativan, nestaje uzajamna povezanost delića kohezijom.

Kada se proučava strujanje stišljivog fluida tada se mogu zanemariti spoljašnje sile, jer su u

odnosu na elastične neznatne, tako da tada Bernulijeva jednačina ima sledeći oblik:

2

.2

v dpconst

(4.18)

4.1.3 Zakoni o količini kretanja i o momentu količina kretanja

Zakoni o količini kretanja i o momentu količina kretanja važe za svaki sistem materijalnih tačaka

ako se unutrašnje sile po parovima poništavaju, tj. kad se sistem tih sila nalazi u ravnoteži. Zato

se obadva zakona mogu koristiti i u mehanici fluida, kako neviskoznog, tako i viskoznog. Može

se izdvojiti i jedan samo deo fluidnog prostora pa na njegovu masu treba primeniti ove zakone,

ali pritom treba voditi računa o silama koje dejstvuju na granične površine.

Elementarna količina kretanja fluida dK

mase dm u zapremini dV iznosi:

dK vdm vdV

(4.19)

Ukupna količina kretanja K

, koja pripada fluidnoj masi zapremine V, je odredjena integralom

prethodnog izraza:

V

K vdV

(4.20)

Diferenciranjem izraza (4.19) dobija se: V

dK dvdV R

dt dt

, (4.21)

gde je R

glavni vektor svih spoljašnjih sila, tj. geometrijski zbir zapreminskih sila, sila trenja i

sila pritiska koje napadaju granične površine (sile pritiska u fluidu uzajamno se poništavaju).

Izraz (4.21) izražava zakon o količini kretanja koji glasi:

Izvod količine kretanja po vremena jednak je geometrijskom (vektorskom) zbiru svih sila koje

dejstvuju na sistem fluidnih delića.

Elementarni moment količine kretanja fuidnog delića za momentnu tačku O je definisan izrazom

iz klasične mehanike:

,OdL r dK

Ukupni moment količina kretanja sistema fluidnih delića za tačku O je odredjen integralom

elementarnog momenta:

, , ,O O

V

L dL r dK r vdm r v dV

. (4.22)

Slično postupku dobijanja izraza (4.21), izvodi se zakon o momentu količina kretanja koji glasi:

Izvod momenta količina kretanja za tačku 0 po vremenu jednak je glavnom momentu za istu

tačku svih sila koje deljstvuju na sistem:

,OO

V

dL dr v dV M

dt dt

(4.23)

Izrazi su jednostavniji za stacionarno strujanje.

Kontrolna pitanja

1. Ojlerove jednačine za fluid u pokretu

2. Bernulijev integral Ojlerovih jednačina

3. Zakoni o količini kretanja i o momentu količina kretanja

4.2 DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA

4.2.1 Navije-Stoksove jednačine

Za izučavanje dinamike viskoznog (realnog) fluida polazi se od Ojlerove diferencijalne

jednačine kretanja idealnog (neviskoznog) fluida u vektorskom obliku:

pgradFdt

vd

1

(4.3 &4.1.1)

Za opisivanje kretanja realnog (viskoznog) fluida potrebno je uvesti sile trenja, koje se javljaju

zbog viskoznosti odn. pojave unutrašnjeg trenja:

dadT , gde je prema Njutnovom principu 0

dy

dvx.(&1.4)

Kako u Ojlerovoj jednačini za idealan (neviskozan) fluid član pgrad

1

odgovara unutrašnjim

silama, i podrazumeva samo sile pritiska, to ga za realan (viskozan) fluid treba zameniti članom

koji obuhvata promenu pritiska i pojavu tangencijalnih napona usled unutrašnjih sila trenja. To

se postiže ukoliko se prethodni član zameni članom uF

1

, gde je TPFu

(4.24) unutrašnja

sila po jedinici zapremine u viskoznom fluidu. Tada Ojlerova jednačina ima oblik:

uFFdt

vd

1

(4.25)

Da bi se u jednačinu za kretanje fluida uvela unutrašnja sila koja zavisi od viskoznosti treba,

prvo, utvrditi stanje napona. Neka je ma koja proizvoljna tačka u fluidu teme beskonačno malog

pravouglog paralelepipeda ivica dx, dy, dz (Sl.4.3). Usled viskoznosti, bočne strane para-

lelepipeda trpe ne samo normalne sile nego i tangencijalne, pri čemu normalne sile nisu

nezavisne od pravca, kao u savršenom fluidu. Poznato je iz Otpornosti materijala da stanje

napona u toj tački odreduju devet veličina i to tri normalne , ,x y zp p p

i šest tangencijalnih

komponenti napona , , , , ,xy xz yz yx zx zy

.

Sl.4.3 Raspored komponentnih napona na stranama elementarne zapremine u okolini

proizvoljne tačke

Oznake uz normalne napone pokazuju stranu paralelepipeda na koju naponi dejstvuju a

označavaju pravac normale na toj strani. Istovremeno, indeks pokazuje i pravac duž kog

dejstvuje odgovarajući normalan napon. Kod tangencijalnih napona, prvi indeks označava pravac

normale na stranu na koju dejstvuje a drugi odredjuje pravac dejstva tangencijalnog napona u toj

ravni. U Otpornosti materijala je takodje dokazan stav o konjugovanosti tangencijalnih napona,

koji glasi:

Vrednosti tangencijalnih napona u uzajamno upravnim ravnima su jednake a smerovi su jedan

ka drugom ili obrnuto, tj. , ,xy yx xz zx zy yz

. (4.26)

Tada se broj nejednakih komponenata tangencijalnih napona svodi na tri. Napon se menja pri

prelasku na suprotnu stranu paralelepipeda. Paralelepiped je veoma mali te se može smatrati da

priraštaj posmatrane fizičke veličine zavisi jedino od pomeranja u pravcu odgovarajuće normale

na strani tog paralelepipeda. Tako, npr, pri pomeranju pravcem ose z promeniće se napon zp na

zz

pp dz

z

a napon zy na

zy

zy dzz

(Sl. 4.3).

Naponi dejstvuju u svakoj tački strane paralelepipeda a može se pretpostaviti da su jednaki jer je

paralelepiped beskonačno mali. Da bi se dobila sila koja napada stranu paralelepipeda treba

napon pomnožiti površinom odgovarajuće strane: dxdy, dydz, dzdx. Projekcije rezultante

elementarne sile na pravcima osa x, y, z odredjene su zbirom svih sila u odredjenom pravcu

vodeći računa o njihovim smerovima. Na taj način biće, npr. za osu x:

yxxu x x yx

zxyx zx zx

pdX p dx dydz p dydz dy dzdx

x y

dzdx dz dxdy dxdyz

yxx zxu

pdX dV

x y z

(4.27)

Na isti način se nalaze projekcije rezultante na osama y i z i to:

y zy xy

u

pdY dV

y z x

(4.28)

yzxzzu

pdZ dV

z x y

(4.29)

Iz toga sledi da projekcije unutrašnje sile, računate za jedinicu zapremine, imaju vrednost:

yxx zxu

pX

x y z

(4.30)

y zy xy

u

pY

y z x

(4.31)

yzxzzu

pZ

z x y

(4.32)

Umesto normalnog pritiska jednakog u svim pravcima u idealnom fluidu, u realnom fluidu se

javljaju različiti normalni pritisci u pravcu koordinatnih osa i različiti tangencijalni naponi. Ako

se posmatraju samo naponi prouzrokovani viskoznošću, i koji zavise od pravca, treba

jednostavno oduzeti od normalnih napona pritisak (–p) koji je jednak u svim pravcima a javlja se

i u savršenom fluidu. Dakle, normalni naponi koji zavise od viskoznosti su: ppx ,

pp y ,

ppz . Tangencijalni naponi su posledica viskoznosti fluida te se ne mogu pojaviti u savršenom

fluidu. Sto se tiče veličine napona, kako normalnih tako i tangencijalnih, treba učiniti nekakvu

hipotezu koja bi se slagala s opažanjima a uz to ne bi bila suviše složena. Uzeta je najprostija i

najprirodnija, koja veoma često dovodi do rezultata saglasnih s eksperimentima. Postavljena je

pretpostavka o linearnoj funkcionalnoj povezanosti napona sa brzinama deformisanja delića, jer

su ove brzine upravo posledica napona, što odgovara i Njutnovoj hipotezi (

yvyv xx ). Uobičajeno je da se koeficijent srazmernosti uzima da je 2 i da je

konstantan, gde je dinamička viskoznost.

Njutnova pretpostavka o tangencijalnim naponima, koji povezuju promenu ugla pri deformaciji i

brzinu deformacije, uz uvažavanje stava o konjugovanosti tangencijalnih napona, se formuliše u

obliku:

x

v

y

v

x

v

y

v yxyxxy

2

12

y

v

z

vzy

yz

(4.33)

z

v

x

v xzzx

Dužine ivica papalelepipeda se menjaju kao posledica dejstva normalnih napona ppx ,

pp y

, ppz srazmerno promenama brzina zvyvxv zyx ,,

, tako da je:

z

v

y

v

x

v

x

vpp zyxx

x 2

,

z

v

y

v

x

v

y

vpp zyxy

y 2

, (4.34)

z

v

y

v

x

v

z

vpp zyxz

z 2

,

gde je uveden neodredjeni koeficijent proporcionalnosti : zyx ,(4.35), pa je:

pvdivppp zyx 332

(4.36)

Pretpostavka o fluidnom naponu je da je fluidni pritisak u nekoj tački jednak srednjoj vrednosti

pritisaka koji dejstvuju u pravcima triju ortogonalnih osa i da je jednak hidrostatičkom pritisku,

koji je suprotno usmeren:

ppppp zyx

'3 (4.37)

Tada sabiranjem prethodnih izraza (4.34) sledi:

3

20323'3 vdivpp

(4.38)

Tada su normalni naponi:

vdivx

vp

z

v

y

v

x

v

x

vpp xzyxx

x

3

22

3

22

vdivy

vpp

y

y

3

22

(4.39)

vdivz

vpp z

z

3

22

Izraze (4.39) i (4.33) treba uneti u obrasce (4.31), (4.32) i (4.33) da bi se dobili izrazi kojima su

odredjene projekcije unutrašnjih sila u obliku:

yxx zxu

pX

x y z

1

3u x

pX v div v

x x

y zy xy

u

pY

y z x

1

3u y

pY v div v

y y

(4.40)

yzxzzu

pZ

z x y

1

3u z

pZ v div v

z z

Izraz za unutrašnju silu po jedinici zapremine tada glasi:

vdivgradvpgradFu

3

1

(4.41)

Tada se, unošenjem izraza za unutrašnju silu u Ojlerovu jednačinu za realan fluid, dobija

jednačina kretanja realnog (viskoznog) fluida:

vdivgradvpgradFdt

vd

3

11

(4.42)

Jednačina kretanja realnog (viskoznog) fluida (4.42) je poznata pod nazivom Navije-Stoksova

jednačina.

Navije-Stoksova jednačina je jednostavnija za nestišljiv fluid ( .)const :

vpgradFdt

vd

1

. (4.43)

Simbol 2

2

2

2

2

22

zyx

se zove Laplasov operator, jer ga je analizirao i prvi uveo

Laplas, dok se simbol k

zj

yi

x

zove Hamiltonov simbol jer ga je prvi uveo

Hamilton.

Pod opreratorom se podrazumeva nekakav simbol kojim se, zbog kraćeg zapisa, označava skup

operacija koje treba izvršiti nad zadatim veličinama, npr. log za operaciju logaritmovanja itd.

Navije-Stoksovoj jednačini se pridružuju jednačina kontinuiteta i karakteristična jednačina. One

čine sistem diferencijalnih jednačina koje služe za odredjivanje pritiska, gustine fluida i brzine

kretanja. Za dobijanje rešenja (za odredjivanje integracionih konstanti) neophodno je

poznavanje početnih i graničnih uslova. Tada je potpuno definisano kretanje viskoznog fluida

prema uvedenim pretpostavkama. Izvođenje Navije-Stoksovih jednačina zasniva se na

pretpostavci da postoji linearna zavisnost izmedju unutrašnjih napona i brzina deformisanja.

Uzročna povezanost je očigledna, ali linearnost treba dokazati eksperimentalno. Eksperimenti su

pokazali da se Navije-Stoksove jednačine vrlo uspešno mogu primenjivati za proučavanje

stacionarnog (ustaljenog) strujanja. Isto tako i kad su brzine strujanja relativno male. Ali se

ogledi manje slažu sa teorijom kad brzine eksplicitno zavise od vremena (slučaj nestacionarnog

kretanja), a postoje li pritom još i velika ubrzanja lako mogu ove jednačine dovesti do pogrešnih

zaključaka.

Iz izlaganja jasno sledi da generalne zaključke ne treba izvoditi. Potrebno je pokazati primenu

ovih jednačina na primerima.

4.2.2 Strujanje između dve paralelne ploče

Integraljenje diferencijalnih Navije-Stoksovih jednačina drugog reda je vrlo težak zadatak. U

nekim slučajevima, npr. za stacionarno strujanje nestišljivog fluida između dve paralelne ploče

(Sl. 4.4) može se naći tačno rešenje.

Vektorskom obliku Navije-Stoksove jednačine za nestišljiv fluid (4.51) odgovaraju skalarne

jednačine u dekartovom koordinatnom sistemu:

2 2 2

2 2 2

1x x x xdv v v vpX

dt x x y z

2 2 2

2 2 2

1y y y ydv v v vpY

dt y x y z

(4.44)

2 2 2

2 2 2

1z z z zdv v v vpZ

dt z x y z

Sl. 4.4 Strujanje nestišljivog fluida izmedju nepokretnih ploča

Nek se ploče nalaze na rastojanjima y = b y =-b od ravni xz. Strujanje je ravansko jer se

pretpostavlja da se ploče šire beskonačno u pravcu osa x i z. Brzina ima pravac i smer ose x (Sl.

4.4) a funkcija je položaja i vremena:

, , , , 0x y zv v v x y z t v v

(4.45)

Kako se strujanje izvodi u ravni xy to brzina ne zavisi od z. Stoga iz jednačine kontinuiteta (

0div v

) sledi: 0xv x

, brzina ne zavisi od koordinate x. Ako je kretanje stacionarno, onda

brzina isključivo zavisi od y, tj. biće v= v x (y) pa leve strane Navije-Stoksovih jednačina su

jednake nuli.

Ako se umesto pritiska p (unutrašnje sile po jedinici površine) i jedinične zapreminske (masene,

spoljašnje) sile F = grad U uvede generalisani pritisak P p U ,

(4.46)

koji obuhvata dejstvo pritisnih i spoljašnjih sila, tada iz Navije-Stoksovih jednačina sledi:

0, 0P P

y z

(4.47)

Iz jednačine (4.52) je:

2

2

dP d v

dx dy

, jer je 0y zv v

. (4.48)

Kako brzina zavisi jedino od y a pritisak samo od x, to prethodna jednačina može postojati kada

su njena leva i desna strana jednake istoj konstanti. Ako usvojimo za konstantu (-k), tada je:

dPk

dx

(4.49)

2

2

d v k

dy

(4.50)

Integral poslednjeg izraza je:

21 2

2

kv y C y C

(4.51)

gde su 1 2,C C integracione konstante.

Brzina strujanja v je jednaka nuli na pločama (y=b i y=-b). Prema tome, granični uslovi su v=0

ako je y=b i v=0 ako je y=-b, pa kada se primene na izraz (4.51)

21 2 0

2

kv b C b C

i

2

1 2 02

kv b C b C

, sledi:

21 20;

2

kC C b

(4.52)

Zamenom izraza za integracione konstante u prethodni izraz za brzinu dobija se da se brzina po

preseku menja po paraboli:

2 2

2

kv b y

(4.53)

S obzirom na:

dPk

dx

0dP kdx P kx P , (4.54)

sledi da generalisani pritisak opada linearno u pravcu strujanja

Kontrolna pitanja

1. Izvodjenje Navije-Stoksove jednačine

2. Strujanje između dve paralelne ploče