MEHANIKA FLUIDASkripta za studente Tehnikog fakulteta u Rijeci

Luka Sopta Lado Kranjevi

Rijeka, 2006.

SADRAJ1. 2. 3. 4. 5. Statika fluida Osnove dinamike fluida Strujanje idealnog fluida Strujanje realnog fluida u cijevi Optjecanje tijela

1

UVODMaterija se dijeli na vrstu, tekuu i plinovitu. U vrstom stanju materije molekule se nalaze u kristalnoj reetki s malim stupnjem slobode gibanja. U tekuem stanju molekule imaju veu slobodu gibanja i mogu zauzeti proizvoljan oblik zadravajui isti volumen, a u plinovitom stanju molekule mogu zauzeti proizvoljan prostor. Najvei dio svemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i planete u veem dijelu se promatraju kao fluid. Atmosfera, oceani, mora, jezera i rijeke su fluidi. Unutranjost zemlje je u fluidnom stanju. Za gotovo sve industrijske grane vana je mehanika fluida: automobilska, avionska, brodograevna, kemijska industrija, energetika ovjekovo tijelo je veim dijelom fluid. Za medicinu je od velike vanosti poznavanje strujanja krvi i drugih fluida u tijelu. Definicija fluida: fluid je materija naprezanje (Sl.1.1).

koja se deformira za proizvoljno malo tangencijalno

Krutina r r > 0, v ( x , t ) = 0

Fluid r r > 0, v ( x , t ) > 0

Sl.1.1

1. STATIKA FLUIDAStatika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja ako postoji koordinatni sustav u kojem je brzina estica fluida u svakoj toki jednaka nuli.

1.1 Osnovni zakoni statike fluidaU statici fluida vrijede dva osnovna zakona: 1.Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

2.Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

ukupni fluid

S

FS

nm

t

Fm

SSl.1.2 Sl.1.3

Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]: r - masene ili tjelesne sile, u oznaci Fm , (gravitacija, inercijalna sila, centrifugalna sila, Coriolisova sila, elektromagnetska sila) r kontaktne ili povrinske sile , u oznaci Fs .

2

Gustoa masene sile, u oznaci f , se definira u svakoj toki promatranog tijela fluida kaor r r Fm Fm , f (x 0 , y 0 , z 0 ) = lim = lim m 0 m V 0 V

r

gdje je m masa tijela V koje sadri toku (xo, yo, zo) i Fm masena sila na to tijelo (Sl.1.2). Gustoa kontaktne sile, u oznaci t , se definira u svakoj toki tijela fluida kaor r FS , t (x, y, z ) = lim A0 S

r

r

gdje je S povrina diferencijalnog dijela ravnine definirane tokom (x, y, z) i normalom n , te r FS kontaktna sila na S (Sl.1.3). Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg kontinuuma, potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se oituje u definiranju tenzora naprezanja. Fluid u stanju mirovanja nema tangencijalnih naprezanja, odnosno gustoa kontaktne sile u proizvoljnoj toki (x, y, z) fluida kolinearna je vektoru normale za proizvoljno zadanu ravninu u toki (x, y, z) (Sl.1.3), tj.r r r t (x 0 , y 0 , z 0 ) = t n .

r

Intezitet gustoe kontaktne sile zove se tlak i oznaava se sa p. Stoga:r r t (x0 , y 0 , z 0 ) = p n

Intenzitet tlaka ne mijenja se s promjenom poloaja plohe u promatranoj toki. Kad fluid miruje, sila na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god postavili plohu s . Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida. Tlak u toki (x, y, z), p(x,y,z) , definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i povrinom plohe. Osnovna jedinica za tlak je paskal, u oznaci Pa, i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i povrine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m2. esto se koristi i jedinica bar = 105 Pa.

1.2 Osnovna jednadba statike fluida Eulerova jednadbar grad p = f

Eulerova jednadba predstavlja sustav diferencijalnih jednadbi:p = fx x

p = fy y

p = fz zr

Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz Eulerove jednadbe statike fluida uz poznatu f gustou volumne sile i - gustou (mase), izrauna raspodjela tlaka p(x,y,z).3

Eulerova jednadba izraava zakonitost da je najvea promjena tlaka ( grad p) u mirujuem fluidu u smjeru masene sile f . Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru (plohu jednakog tlaka).

r

1.3 Fluid konstantne gustoe u polju sile teeVaan sluaj je sluaj fluida konstantne gustoe (homogenog fluida) u konstantnom polju sile tee. Koordinatni sustav definiran je tako da je

r r f = gk ,gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile tee (Sl.1.4).zrak

x y z f = g. k

p0 Izobare

voda

Sl.1.4 Mirujui fluid u polju sile tee Eulerova jednadba napisana po komponentama glasi:p p p = 0, = 0, = g . x y z

Iz prve dvije jednadbe izlazi da je p funkcija samo varijable z, tj. p = p (z ). Trea diferencijalna jednadba je:dp = g . dz

Ope rjeenje ove jednadbe je

p( z ) = gz + C .Konstanta integracije C se odreuje iz poznavanja tlaka u jednoj toki fluida. Za z = 0, prema slici Sl.1.4 tlak je p = p0 pa slijedi vrijednost konstatne integracije C:

p (0) = p 0 = C .Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine z = C , gdje je C proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile tee. Na odredenoj dubini fluida z = h tlak je:p(z ) = p 0 + gh .

4

1.4 Mjerenje tlakaBarometarBarometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] je prikazan na Sl.1.5. Cijev duine 1m napunjena je ivom i uronjena u posudu sa ivom . iva u cijevi se spusti na visinu H, priblino 760 mm , iznad povrine ive u posudi.p C0

h p

Biva Hg

A

atm

Sl.1.5 Prema Sl.1.5: p A = patm (atmosferski tlak)pC 0(vakuum) ,

pB = p A ,

pB = pC + Hg g h

p atm = p B = Hg g h = 13600 kg / m 3 9.81 N / kg 0.76 m = 1.01396 10 5 Pa = 1.01396bar

ManometarManometar je instrument koji mjeri tlak pomou stupca fluida. Princip rada manometra je prikazan na Sl.1.6. Sa slike mogue je zakljuiti:zrak A

p

atm

Hh B voda C

Sl.1.6

p B = pCDiferencijalni manometar

p C = fluida g h + p atm

pB p A

Za diferencijalni manometar prema Sl.1.7 slijedi:

pC = p A + g (x + h ) ,

p D = p B + g x + m g h

5

Sl.1.7 Izobara povuena kroz toke C i D daje pC = p D . Slijedi:

p A p B = ( m ) g hU sluaju da u cijevi Sl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakova mogue je aproksimirati p A p B m g h , poto je mjerni fluid (voda m = voda ) u ovom sluaju priblino tisuu puta gui od fluida iju razliku tlakova mjerimo (zrak = zrak ).

1.5. Relativno mirovanje fluidaJednoliko ubrzanje fluida.Promatra se fluid u posudi koja se giba konstantnim ubrzanjem a , (Sl.1.8) estice fluida miruju u koordinatnom sustavu vezanom za spremnik.

r

Sl.1.8 Gustoa masene sile je:r r r f = a g

Eulerova jednadba glasi:

6

r r r grad p = f = (a + g ) ,

odnosno po komponentama:p = a x p =0 y p = g z

Iz druge jednadbe slijedip = p ( x, z ) .

Integracijom iz prve jednadbe slijedip = ax + ( z )

Uvrtavanjem u treu jednadbu dobije se:

p dp = = g ,. ( z ) = gz + C z dzKonano se moe napisatip = a x g z + C .

Konstanta C se odreuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj toki fluida. Izobare su ravnine (u XZ ravnini pravci): ax g z + C = 0

Ako fluid ima slobodnu povrinu, onda je ona jedna izobara. Kut horizontalnu ravninu moe se izraunati iz relacije:tan =

izobara u odnosu na

a . g

Rotacija fluida.

Fluid u posudi rotira (Sl.1.9) konstantnom kutnom brzinom . estice fluida miruju u koordinatnom sustavu koji je vezan za posudu.

7

Sl.1.9 Gustoa masene sile je sadar r r f = g + ac

gdje je a c centrifugalno ubrzanje. Treba uoiti da se f = g + a c mijenja po smjeru i intezitetu poevi od osi rotacije do ruba posude. U cilindrinom koordinatnom sustavu (gdje je ishodite sustava na dnu posude, a osi z i r usmjerene kako je prikazano na slici Sl.1.9) jer r r r f = 2 r er + 0 e + ( g )k .

r

r

r

r

i gradijent tlakagrad p =

p r 1 p r p r e + er + k . r r z

Eulerove jednadbe po komponentama glase:p = 2r r1 p =0 r

p = g z

Iz druge jednadbe slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadbe dobija sep(r , z ) = 2 r22

+ (z ) .

gdje je (z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u treu jednadbu, nalazimo:dp d = = g , odnosno dz dz

= g z + C

Konano, polje tlaka je definirano relacijom:p (r , z ) = g z + 2

r2 +C 2

8

Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj toki fluida (npr. na povrini fluida p=p0):p (r , z ) = 2 r2 + g (Z 0 z) + p0 2

Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi:z=

2r 22g

+ Z0 .

Ako fluid ima slobodnu povrinu, onda je ona izobara rotacijski paraboloid. Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine ZR

VR =gdje je (Sl.1.9):

1 2 R ZR , 2

ZR =

2R22g

.

1.6. Sile fluida na ravnu plohuNa dio ravnine A treba izraunati silu F. Na dA djeluje sila dF (Sl.1.10):

r

u smjeru normale n

r

Sl.1.10r r dF = p dA n .

Ukupna sila je (vektor normale u ovom sluaje je konstanta):r r F = n p dA ,

A

9

a intenzitet sile jednak je:r F =F=

pdA .A

Za sluaj fluida konstantne gustoe u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom:

p = g h + p0 , p = g y sin + p 0Sada za silu vrijedi:

h = y sin

F = ( p 0 + g y sin )dxdy = g sin y dA + p 0 dA = p 0 A + g sin y dx dy ,A A A A

Teorem o srednjoj vrijednosti daje:

ydxdy = yA

T

A,

gdje je yT ordinata teita T(xT,,yT) povrine A. Slijedi formula za izraun sile na dio ravnine A:

F = p 0 A + g sin yT ACentar tlakaCentar tlaka je toka P(xP, yP) za koju vrijedi: Mx = yP F , My = xP F

gdje su Mx , My momenti oko osi-x i osi-y. Kako je ukupni moment oko x-osi promjenjive sile po povrini A :M x = dM x =A

ydF = ypdA = y( p dA + g y sin dA) = p ydA + g sin y0 0

2

dA

A

A

A

A

A

slijedi da je:y P F = g sin I xx + p 0 y T A ,

yP =

g sin I xx + p 0 yT A g sin yT A + p 0 A

gdje je Ixx (moment inercije prema osi x ):I xx = y 2 dx dyA

Na analogan nain mogue je dobiti i x-koordinatu centra tlaka :

10

xP F =

x pdA = g sin x ydxdy + p xdxdy = g sin I0 A A A

xy

+ p 0 xT A

xP =

g sin I xy + p 0 xT A g sin y T A + p 0 A

,

pri emu je:I xy =

xy dxdyA

produkt inercija obzirom na osi x i y. Za sluaj da je vanjski tlak po isti s obje strane plohe (Sl.1.11) vrijedi:F1 = p 0 A + g y T A sin F2 = p 0 A F1 F2 = g y T A sin F = g y T sin A yP =p0 F1 p0 F2

I xx g sin I = xx . y T A g sin y T A

Sl.1.11 Tlak p0 s obje strane plohe Translacijom koordinatnog sustava x-y u teite plohe A dobije se novi koordinatni sustav . Ako se moment inercije Ixx2 izrazi pomou I xx = yT A + I , gdje je I moment inercije prema

osi koja prolazi kroz teite plohe, slijedi:yP =2 I + yT A

yT A I

, tj.

y P = yT +

yT A

Slino, dobije se i

x P = xT +

I yT A

,

gdje je I produkt inercija obzirom na koordinatni sustav koji prolazi kroz teite plohe. Izraze za moment inercije I i produkt inercija I za razliite geometrijske likove mogue je oitati u veini adekvatnih prirunika.

11

1.7. Sile fluida na plohuNa dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale (Sl.1.12):fluid

FS n

S

S

Sl.1.12r r dF = p dS n .

Ukupna sila je:r r F = dF =

S

pndS .S

r

Vektor normale moe se napisati kaor r r r n = nxi + n y j + nz k

pri emu je nx=cos , ny=cos , nz=cos , a , , kutevi koje vektor normale zatvara sa koordinatnim osima. Sila po komponentama:Fx =

pn dS = pdydz ,x S Ax

Fy =

pn dS = pdzdx ,y S Ay

Fz =

pn dS = pdxdyz S Az

pri emu su Ax, Ay, i Az odgovarajue projekcije plohe S u ravnine yz, xz i xy.

1.8. UzgonUkupna kontaktna sila mirujueg fluida na tijelo koje pluta ili je potopljeno u njemu zove se uzgon. Ukupna kontaktna sila fluida na tijelo jednaka je:r r F = fluida g Vtijela kU = Fz = gVtijela

odnosno, sila fluida na tijelo, uzgon (U), ne ovisi o gustoi (materijalu) tijela, nego o gustoi fluida, gravitacijskom ubrzanju i volumenu tijela. Ako je teina tijela vea od uzgona, G > U , tijelo tone, ako je teina tijela jednaka uzgonu, G = U , tijelo lebdi u fluidu, a ako je teina tijela manja od uzgona, G < U , tijelo izranja. Nakon to je tijelo izronilo njegova teina je jednaka uzgonu, i vrijedi, npr. za tijelo na granici kapljevine i plina (vode i zraka), sljedee (Sl.1.13):

12

U = 2 gV 2 + 1 gV1 = G

zrak voda

2

1

V1 V2

Sl.1.13

U ovom sluaju gustoa vode 2 = 1000 kg / m 3 , znatno je vea od gustoe zraka 1 = 1,29 kg / m 3 te se moe pisati:U 2 g V2 G

tj. uzgon je jednak teini istisnute vode koju istiskuje dio tijela uronjen u vodu. Uzgon djeluje uvijek vertikalno prema gore i nema horizontalne komponente.

Primjer 1fiktivna povrina fluida

Gornja plohaG E

D F G E

D F

TIJELO

C A

TIJELO

C

A

B

B

Donja ploha

Sl.1.14 Primjer raunanja uzgona za tijelo djelomino uronjeno u fluid Ako na slici Sl.1.14 oznaimo plohu CDA kao gornju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, uzgon na tijelo, potpuno ili djelomino potopljeno u fluidu, jednak je razlici vertikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i vertikalne komponente sile fluida na gornju plohu tijela. Sila na gore koja djeluje na donju plohu tijela jest, FG = fluida g V ABCFGA , gdje je V ABCFGA volumen izmeu donje plohe tijela i povrine fluida (realne ili fiktivne.). Sila na dolje, koja djeluje da gornju plohu je FD = fluida g V AEGA , gdje je V AEGA volumen imeu gornje plohe tijela i povrine fluida (realne ili fiktivne). Uzgon je jednak razlici: U = FG FD tj. za dani primjer na slici Sl.1.14 U = fluida g V ABCFEA .

13

2. OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE FLUIDAJedna od najvanijih varijabli fluida jest brzina. Poloaj odreene estice dan je vektorom poloaja

Sl.2.1r r (Sl.2.1)koji je funkcija vremena (ako se estica giba). Vremenska derivacija poloaja daje brzinu r r r estice dr / dt = v . Raunanje brzina v ( x, y, z, t ) svih estica daje polje brzina.

Dvije su osnovne metode opisa strujanja (Sl.2.2). U prvoj, Eulerovoj metodi, promatra se fiksno podruje, kontrolni volumen tj. analizira se stanje u fiksnim tokama podruja . Druga, Lagrangeova metoda prati gibanje pojedine estice i analizira kako se osobine fluida vezane za tu esticu mijenjaju kao funkcija vremena. (Kao ilustracija razliitosti ovih dviju metoda moe posluiti primjer iz biologije, npr. ornitoloko promatranje migracija ptica. Eulerova metoda bi zahtijevala postavljanje osmatrake postaje i mjerenja preleta broja ptica u odreenom vremenu, dok bi Lagrangeova metoda znaila postavljanje radio odailjaa na odreene ptice i praenje njihovog gibanja.) Openito, u mehanici fluida koristi se Eulerova metoda opisa strujanja, dok se Lagrangeova metoda koristi u posebnim sluajevima. Vana je injenica da su osnovni zakoni fizike definirani za estice, a njih treba za potrebe mehanike fluida prevesti u odgovarajui opis polja (stanja, raspodjele) odreene fizikalne veliine u prostoru (dijelu prostora kontrolnom volumenu).

Sl.2.2A Polje brzina kod Eulerovog opisa strujanja

Sl.2.2B Lagrangeov opis strujanja

Materijalne estice, materijalni volumen i kontrolni volumen Najjednostavnije forme univerzalnih fizikalnih zakona odnose se na materijalnu esticu koja je toliko malena da su brzina v, gustoa i ostala imanentna svojstva uniformna unutar nje. Osnovni zakoni ouvanja za materijalnu esticu mogu se izraziti: - zakon ouvanja mase:

d (V ) = 0 ; dt

- zakon ouvanja koliine gibanja:

r r d ( v V ) = F ; dt

14

- zakon ouvanja momenta koliine gibanja:

r r r d r (r v V ) = r F dt

d ( eV ) = W + Q dt gdje je e totalna energija (unutarnja+kinetika+potencijalna) po jedinici mase, W rad uinjen na granicu materijalne estice, a Q toplina dovedena materijalnoj estici na njenoj granici.- zakon ouvanja energije(prvi zakon termodinamike): U gornjim izrazima ouvanja indicira infinitezimalno malenu veliinu, a d/dt se odnosi na vremensku derivaciju. Potrebno je pojasniti da pojam zakon ouvanja uistinu predstavlja ouvanje veliine samo u sluaju zakona ouvanja mase dok bi u ostala tri zakona adekvatniji bio pojam zakon ravnotee. Pojam zakon ouvanja ipak se koristi ukazujui na odreene analogije prema zakonu ouvanja mase. U dinamici fluida kao kontinuumu potrebno je poopiti zakone ouvanja za materijalnu esticu na materijalni volumen. Materijalni volumen je sustav beskonanog broja beskonano malenih materijalnih estica i uvijek (u svakom vremenskom trenutku) se sastoji od istih estica. Zakon ouvanja mase izraen za materijalni volumen jest

D dV = 0 , Dt MVzakon ouvanja koliine gibanja

r r D v dV = FMV , Dt MV

zakon ouvanja momenta koliine gibanja

r r r D r v dV = M MV Dt MVi zakon ouvanja energije (tj. prvi zakon termodinamike)

D & & eT dV = QMV + WMV . Dt MVObjanjenje pojma materijalne derivacije

D Dtr D = + (v ) Dt t

Materijalna derivacija naziva se jo i supstancijalna, individualna ili puna derivacija. Operator

jest operator materijalne derivacije. Primjena materijalne derivacije na neku skalarnu veliinu

daje

D r = + (v ) Dt todnosno raspisano u kartezijskom koordinatnom sustavu

(a)

15

D = + vx + vy + vz . Dt z t x y predstavlja brzinu promjene veliine u zadanoj toki prostora te se t r naziva lokalnom ili mjesnom derivacijom. Drugi lan desne strane (v ) predstavlja promjenu veliineU izrazu (a) prvi lan desne strane

zbog promjene poloaja estice u prostoru i naziva se konvektivnom derivacijom. U odreenom smislu

D oznauje vremensku promjenu koju osjea promatra koji se giba zajedno s Dt fluidom (esticom fluida), dok oznauje promjenu koju bi osjeao promatra koji npr. miruje zajedno s tmaterijalna derivacija kontrolnim volumenom. U mehanici fluida esto se koristi pojam totalnog ubrzanja

r r r Dv v r v a= = + (v )v Dt t r r v v gdje predstavlja lokalno ubrzanje, a (v )v konvektivno ubrzanje. tPri stacionarnom strujanju ne postoji lokalno ubrzanje. lan konvektivnog ubrzanja moe se matematikim transformacijama vektorske algebre napisati u obliku

r r r r r v (v )v = 1 v 2 v ( v ) = grad 1 v 2 v ( v ) . 2 2 U sva etiri prethodna izraza zakona ouvanja za materijalni volumen koristi se lan oblika

(b)

D dV Dt MVu kojoj predstavlja neku veliinu po jedinici volumena (masu, koliinu gibanja, moment koliine gibanja, energiju) koja je prvo integrirana po materijalnom volumenu MV i rezultat zatim deriviran materijalnom derivacijom D/Dt po vremenu. Pri strujanju fluida materijalni volumen se giba i deformira, a s njim i materijalna povrina koja je nepoznata funkcija u vremenu sve dok i sam problem nije rijeen. Poto je forma materijalnog volumena nepogodna za primjenu u inenjerstvu namee se potreba definiranja sistema po izboru promatraa na koji e se moi primijeniti zakoni ouvanja. Zato se definira pojam kontrolnog volumena.

16

t=t1 MV(t1)

CV t=t2M t2) V(V( t3 M )

CV t=t3

CV

Sl.2.2.1 Odnos materijalnog i kontrolnog volumena Kontrolni volumen Kontrolni volumen (CV) je proizvoljno, teoretski definirani volumen ogranien kontrolnom povrinom CS u kojem se odreuju dinamiki i termodinamiki uinci fluida. Kroz kontrolni volumen tijekom vremena prolaze razliiti materijalni volumeni Sl.2.2.1. Kontrolna povrina ograuje dio prostora i u odreenom koordinatnom sustavu moe biti statina, moe se gibati, ekspandirati ili kontrahirati, ovisno o elji promatraa. Kontrolni volumen i kontrolna povrina analogni su Eulerovom opisu strujanja fluida, dok pojam materijalnog volumena odgovara Lagrangeovom opisu strujanja. esto se uzima da granice kontrolnog volumena (oznaene CS) koincidiraju dijelom sa vrstim granicama (Sl.2.3 stijenka S3), a dijelom su postavljene okomito na smjer strujanja (Sl.2.3, A1, A2), radi pojednostavljenja.

Transformacija materijalnog u kontrolni volumen Reynoldsovim transportnim teoremom Reynoldsov transformacijski teorem omoguuje transformaciju fundamentalnih zakona za materijalni volumen na kontrolni volumen. Osnovna pretpostavka za transformaciju je da materijalni volumen i kontrolni volumen koincidiraju u odreenom vremenskom trenutku, kao na srednjoj slici na Sl.2.2.1. Nakon trenutka koincidencije dva volumena se protokom vremena vie nee poklapati poto e materijalni volumen biti odstrujan dalje skupa s esticama koje njega ine, dok e kontrolni volumen mirovati ili se gibati prema odluci promatraa. Za provedbu transformacije od interesa je jedino trenutak kada se dva volumena poklapaju. Zapisano matematiki Reynoldsova transformacija jest

r r D dV = CV t dV + CS v ndS Dt MVgdje predstavlja neku openitu veliinu.

17

Zakon ouvanja masePrimjenom Reynoldsovog transportnog teorema, iz formulacije za materijalni volumen, dolazi se do formulacije zakona ouvanja mase za kontrolni volumen vezane uz Eulerov opis strujanja. Openita veliina zamjenjuje se gustoom tj., = pa slijedi

CV

r r dV + v n dS = 0 t CS

to se fizikalno moe interpretirati tvrdnjom da je poveanje mase unutar kontrolnog volumena plus istjecanje mase iz kontrolnog volumena kroz njegovu granicu jednako nuli u svakom trenutku.

Sl.2.3 Dio cijevi, kontrolni volumen Primjenom teorema Gaus Ostrogradskog na drugi lan gornjeg izraza, prevodi se ploni integral u volumni te slijedi:CV

t

s + div (v )dV = 0 .

Poto je u gornjem izrazu proizvoljan volumen integracije slijedi da je izraz u zagradi nula:

s + div (v ) = 0 , ta to jest zakon ouvanja mase u diferencijalnom obliku. Za sluaj stacionarnog strujanja prvi lan u integralnom izrazu za zakon ouvanja mase je nula. Slijedi

v ndS = 0 ,

r r

tj. za sluaj na gornjoj slici:& 1v1 A1 = 2 v 2 A2 = m & uz pretpostavku da su ,v srednje vrijednosti po presjeku. Oznaka m predstavlja maseni protok -1 [kg s ]. Uvoenjem nove varijable volumnog protoka ili krae protoka

Q = v A [m3s-1] prethodna relacija moe se pisati& 1Q1 = 2 Q2 = m ,

odnosno za stacionarno strujanje uz konstantnu gustou fluida unutar kontrolnog volumena vrijedi

18

Q = v1 A1 = v 2 A2 .

Zadnji izraz posebno je koristan pri proraunima cjevovoda pa je tako npr. brzinu v1 mogue izraziti pomou v2 na nain: v1=v2 (A2/A1). Osim pojma masenog protoka koristi se i teinski protok& W = mg = g Q Ns 1 .

[

]

Zakon ouvanja koliine gibanjaZakon ouvanja koliine gibanja za materijalni volumen jest

D Dt

MV

v dV =

r

MV

r r f dV + n dS .MS

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema na gornji izraz, slijedi formulacija zakona ouvanja koliine gibanja za kontrolni volumen:

r r r rr r ( v ) t dV + CS v (v n ) dS = CV f dV + CS n dS CVFizikalno je gornji izraz mogue interpretirati na nain da je promjena koliine gibanja u vremenu i dotok koliine gibanja kroz granicu kontrolnog volumena (CS) jednak lanovima na desnoj strani koji predstavljaju rezultantnu silu

F

r

(masenu + kontaktnu) koja djeluje na kontrolni volumen:

r F =

CV

r r f dV + n dS .CS

Za primjer segmenta cijevi (Sl.2.3) i uz pretpostavku stacionarnog i nestlaivog strujanja, iz gornjeg izraza proizlazi tzv. impulsni zakon

& F = m( v

r

r

2

r v1 ) ili

F = Q(v

r

r

2

r v1 )

Bernoullijeva jednadba U integralnom izrazu za ouvanje koliine gibanja za materijalni volumen, mogue je drugi lan na desnoj strani prevesti u volumni integral primjenom teorema Gaus Ostrogradskog:

Zbog ouvanja mase

D ( dV ) = 0 te stavljajui znak totalne derivacije ispod znaka integrala (u Dt r r Dv f div T dV = 0 . Dt MV

MS

r

n

dS =

MV

div T dV

prvom lanu lijeve strane) slijedi:

Gornji izraz biti e jednak nuli ako je izraz u zagradi jednak nuli. Proizlazi jednadba gibanja fluida19

r r Dv = f + div T , Dtodnosno

r r r r v + v v = f + div T tgdje je

xx T = yx zx

xy xz yy yz zy zz

matrica naprezanja sa komponentama normalnih i tangencijalnih (sminih naprezanja) . Za idelani fluid, zbog neviskoznosti odnosno nepostojanja sminih naprezanja, matrica naprezanja T postaje T p

0 p 0 0 p 0 Tp = 0 p 0 te slijedi izraz koji se naziva Eulerova jednadba gibanja

s r r r 1 v + (v )v = f grad p . tAko se pretpostavi nestlaivo strujanje fluida = const. tada u gornjem izrazu

1

grad p = gradr

p

,

nadalje, lan konvektivnog ubrzanja (v )v mogue je pisati u obliku (b) danom u istaknutom paragrafu o materijalnoj derivaciji, a poto je gustoa masene sile definirana potencijalom masene sile P

r

r f = grad P ,gdje je potencijal masene sile u polju sile tee

P = gz ,slijedi izraz Eulerove jednadbe gibanja u Lamb Gromekinovoj formi

s r v r v rot v = grad todnosno za stacionarno strujanje

p 1 gz + + v 2 , 2

20

r r p 1 v rot v = grad gz + + v 2 . 2 r r v Ako se gornji izraz pomnoi skalarno s elementom luka strujnice ds S = r ds , nestaje lijeva strana v r r r izraza jer je vektor brzine v okomit na vektor v rot v te slijedi diferencijal p 1 ds S gz + + v 2 = 0 . 2 Da bi gornji diferencijal bio jednak nuli potrebno je da je izraz u zagradi konstanta, tj. da uzdu strujnice vrijedi

gz +

1 + v 2 = const. du strujnice 2

p

to je izraz Bernoullijeve jednadbe koji je proizaao iz Eulerove jednadbe gibanja uz pretpostavke zanemarive viskoznosti te stacionarnog i nestlaivog strujanja.

Zakon ouvanja momenta koliine gibanjar r rr

Moment sile F oko toke O jest M = r F (Sl.2.4). r je vektor poloaja toke na pravcu djelovanja sile u odnosu na toku O. Vektorskim mnoenjem izraza zakona ouvanja koliine r gibanja za kontrolni volumen vektorom poloaja r slijeva, slijedi:

r

r r rF =

CV

( r v ) dV + ( r v )(v n ) dSCS

r

r

r

r rr

F

r

.O

Sl.2.4 Lijeva strana jednadbe predstavlja moment na kontrolni volumen prouzroen od vanjskih sila, a desna strana promjenu momenta koliine gibanja u vremenu te utok momenta koliine gibanja kroz granicu kontrolnog volumena. Gornji izraz predstavlja zakon ouvanja momenta koliine gibanja za kontrolni volumen koji ima posebno izraenu primjenu pri analizi turbostrojeva gdje su momenti znaajniji od samih sila. Pri stacionarnom strujanju i(ili) strujanju fluida konstantne gustoe, gubi se prvi lan desne strane u gornjem izrazu. Za sluaj rotacijskog ureaja (Sl.2.5r r raspriva vode) sa ulaznom brzinom u kontrolni volumen v1 i izlaznom brzinom v 2 zakon ouvanja momenta koliine gibanja mogue je pisati:r r r M otp = M izlaz M ulaz

tj.

r r r r r r r r r & M otp = m[(r v )2 (r v )1 ] = Q[(r v )2 (r v )1 ] .

21

U gornjem izrazu M otp jest moment na kontrolni volumen tj. kod rotacijskih i turbo strojeva otporni moment na osovini, a ( v , r )1,2 vektori brzina i pripadajui krakovi.r r

r

Primjer primjene zakona ouvanja momenta koliine gibanja na "sprinkler"kontrolni volumen

r v2 Motp v2 rel r

v2 rel r v2

v1Sl.2.5 Raspriva vode - primjena zakona ouvanja momenta koliine gibanja Za sluaj simetrinog rasprivaa vode sa mlaznicama istog promjera, na slici, ulazni moment r r r M ulaz = 0 poto je vektor ulazne brzine v1 na pravcu osi rotacije. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja reducira se na r Q r r Q M otp = 2 (r v2 ) tj . M otp = 2 r (v rel r ) . 2 2 Od relativne izlazne brzine vode u odnosu na mlaznicu vrel potebno je oduzeti brzinu mlaznice r kako bi se dobila apsolutna izlazna brzina v2 tj. v 2 = v rel r . Relativna brzina vrel ovisi samo o masenom dotoku

fluida u kontrolni volumen, dok se v2 mijenja s brzinom vrtnje ureaja .

Zakon ouvanja energijeJednadba ouvanja energije za kontrolni volumen moe se napisati u obliku

rr dE = ( e ) dV + e (v n ) dS . dt CV t CSPrvi zakon termodinamikedE & & = QH + W dt

definira da je& & promjena energije sustava = toplina dodana sustavu ( QH (heat))+snaga predana sustavu ( W ).

Rad u vremenu predan sustavu mogue je rastaviti na

& & & W = WS + W p ,gdje je

22

& Wp =

St

p v n dS ,

rr

& rad u vremenu uinjen tlanim silama na pominoj granici, a WS (work, shaft) rad tangencijalnih sila u vremenu predan sustavu, npr. moment u vremenu na rotirajuoj osovini rotacijskog ureaja (turbostroja). Uzimajui u obzir gornje izraze moe se pisati:

& & Q H + WS =

CV

t ( e) dV + + e (v n ) dS CS

p

rr

gdje je e totalna energija po jedinici mase koja predstavlja zbroj unutarnje energije (energije molekularnih sila) po jedinici mase, kinetike energije po jedinici mase i potencijalne energije po jedinici mase:e=u+ v2 +gz. 2

U jednadbi ouvanja energije prvi lan desne strane predstavlja promjenu ukupne energije sustava u vremenu, a drugi lan jest zbroj rada tlanih sila na pominu granicu u vremenu i protoka ukupne energije kroz granicu. Ako se jednadba zakona ouvanja energije primijeni na stacionarno strujanje kroz kontrolni volumen sa jednim utokom i jednim istokom iz kontrolnog volumena (Sl.2.6), jednadba se pojednostavljuje u sljedei izraz:k o n tro ln i v o lu m e n

WS v2 22 ,

QH

u2 , z2

v11 ,

1 u1 , z1Sl.2.6

2 p p v 2 v1 & & & m u 2 u1 + 2 1 + 2 + g (z 2 z1 ) = Q H + W S . 2

& Dijeljenjem jednadbe sa masenim protokom m te uz injenicu da je

gubitak raspoloive energije sustava u2 u1 qHi konano dijeljenjem sa konstantom gravitacije g proizlazi:

p1 v12 p v2 + + z1 = 2 + 2 + z2 + hg hS g 2 g g 2 g

23

to predstavlja jednadbu mehanike energije. Zbog slinosti s Bernoullijevom jednadbom ova jednadba se jo naziva i tzv. proirena Bernoullijeva jednadba. Dimenzijski jednadba jest u obliku energija po jedinici teine [Nm/N = m]. Oznaka hg predstavlja sve gubitke (gubitak piezometrine visine). Ako se unutar kontrolnog volumena nalazi turbina tada hS=-hT gdje je hT pad piezometrine visine na turbini, a za pumpu unutar kontrolnog volumena vrijedi hS=hP gdje je hP dobavna visina pumpe. Poto je strujanje u prisustvu rotacijskih ureaja (turbostrojeva) nestacionarno (najee ciklino), strujanje se smatra samo lokalno nestacionarno kako bi bila zadovoljena pretpostavka o stacionarnosti strujanja unutar kontrolnog volumena pomou koje je i izvedena gornja jednadba.

24

3. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA 3.1 Idealan fluidIdealan fluid (nestlaiv, neviskozan) - fluid kod kojeg se zanemaruje efekt trenja pri strujanju. Izraz

r r Dv = grad p + f Dt

jest Eulerova jednadba gibanja (koja je izvedena u poglavlju o Zakona ouvanja koliine gibanja) koju je tekstualno mogue otprilike izazitimasa ubrzanje = ukupna sila na fluid .

Integracijom Eulerove jednadbe du proizvoljno izabrane strujnice i uz pretpostavku strujanja idealnog fluida dobija se Bernoullijeva jednadba,

v2 p + + gz = konst. 2 kao to je pokazano u poglavlju o zakonu ouvanja koliine gibanja. Strujnica je krivulja kojoj je u svakoj toki stujnog polja vektor brzine tangenta, a u sluaju stacionarnog strujanja stujnica se poklapa s trajektorijom (putanjom, stazom). Pri stacionarnom strujanju nita se ne mijenja u vremenu na odreenoj lokaciji u strujnom polju tj. svaka estica koja prolazi kroz zadanu toku ima istu trajektoriju. Bernoullijeva jednadba esto se postavlja izmeu dvije toke 1 i 2 na strujnici, a pogodno ju je pisati i u obliku tzv. piezometrine visine (jedinica metar): v2 v2 p p + + z = + + z 2g g 1 2 g g 2

25

3.2 Primjene Bernoullijeve jednadbePrimjer 1 - Istjecanje kroz male otvore

Sl.3.1 - Istjecanje kroz male otvore Putanja estice ide sa povrine vode u spremniku. Potrebno je izraunati brzinu v2 (Sl.3.1): Iz jednadbe kontinuiteta slijediA1 v1 = A2 v2 .

Uz

p = const. i uz pretpostavku A1>>A2, slijedi v1=v2 (A2/A1),

odnosno v1 0 . Iskustveno, brzina sputanja razine povrine je malena ako je otvor spremnika relativno mali u odnosu na volumen spremnika, odnosno brzina v1 je relativno malena. Za sluaj prikazan na slici (Sl.3.1) vrijediv1 = 0 ; z1 = 0 ; z2 = h ; p1 = patm ; p2 = patm

Gornji izraz govori da je tlak u okolini otvorenog mlaza na izlazu iz spremnika jednak atmosferskom pa je stoga i kroz itav mlaz tlak jednak atmosferskom jer bi u protivnom dolo do promjene poprene povrine mlaza. Iz Bernoullijeve jednadbe slijedi:2 v2 = 2 gh

tj.v2 = 2 gh .

Prethodni izraz predstavlja tzv.Torricellijevu formulu. Hidrostatski tlak rauna se prema izrazu:p = p0 + gh .

Na izlaznom presjeku (toka 2) vrijednost brzine jev2 = k 2 gh

gdje je k korekcijski faktor koji ukljuuje efekt viskoznosti (Sl.3.2).

26

Sl.3.2 - razliiti faktori k

Primjer 2 - Istjecanje kroz otvore proizvoljne veliine (Sl.3.3)

Sl.3.3 Izvod izraza za izraun protoka dan je u slijedu:dQ = v dAy2 ( x )

Q = v dA =A

2 gy dA =

A

2 gy dxdy = 2 g dxa

A

( )y1 x

b

y dy = 2 g

3 y a

b

2

2

(x ) 2 y1 (x ) 2 dx 3 3

Za specifian sluaj kada je otvor pravokutnik (Sl.3.4)

Sl.3.4

y1 ( x) = M y2 ( x ) = M + c

Poto gore navedeni izrazi nisu funkcije od x nego su konstante, vrijedi:Q=3 3 2 2g ( M + c )2 M 2 (b a ) 3

27

Primjer 3 - PreljevU sluaju preljeva M=0 , slijedi:Q= 2 2 g c 2 (b a ) , 33

odnosno uz oznake prema slici (Sl.3.5) gdje c=H, (b-a)=L i uz dodavanje empirijskog koeficijenta preljeva CE kako bi se dobila efektivna vrijednost protoka ovisno o geometriji preljeva, slijedi:Q = CE 2 2g H 2 L . 3B3

Sl.3.5 Preljev Protok otvorenih vodotoka mogue je tono izraunati na osnovu geometrije presjeka (preljeva)(Sl.3.5) toka. Primarno se mjeri dubina vode na preljevu. Primjenom samo Bernoulijeve jednadbe dobije se gruba aproksimacija, ali se eksperimentalno mogu dobiti dodatni korekcijski faktori (CE) koji simuliraju viskozne efekte.

Primjer 4 - Venturijeva sapnicaVenturijevom sapnicom (Sl.3.6) mjeri se protok na osnovu razlike tlakova. Ona se sastoji od postupnog koninog suenja pod kutem 20o , kratkog cilindrinog dijela te difuzora pod kutem 5o do 7o. Radi tonosti1.00 0.99 0.982

CvZ

0.97 0.96 0.95 0.94

1

Q hmm

10 4 1.5 2

3 4 5 6

8 10 5 1.5 2

Re

3 4 56

8 10 6

Sl.3.6 Venturijeva sapnica mjerenja uzvodno od venturimetra cijev treba biti ravna u duini barem trideset cjevnih promjera. Na bazi venturimetra i u suenju tlak se najee mjeri piezometrinim prstenovima. Pri mjerenju protoka plinova potrebno je neovisno mjeriti temperaturu i tlak na bazi venturimetra dok za

28

mjerenje protoka tekuina dovoljno je izmjeriti razliku tlakova. Primjenom jednadbe kontinuitetaA1v1 = A2 v2

uz konstantnu vrijednost tlaka p=const. i prosjene vrijednosti brzina v1 i v2 po presjecima, postavlja se Bernoullijeva jednadba od 1 do 2 (SL.3.6)v12 p1 v 2 p + + z1 = 2 + 2 + z 2 2 g g 2 g g

Primjenom jednadbe kontinuiteta v1=v2 (A2/A1) i uz p=p1-p2 slijedi:v2 = 1 1 ( A2 / A1 )2

2 p

+ 2 g ( z1 z 2 ) .

U gornji izraz potrebno je dodati korekcijski faktor brzine Cv kojim se obuhvaaju gubici zbog viskoznih efekata. Protok kroz venturimetar sada se moze izraziti:Q= C v A2 1 ( A2 / A1 )2 2 p + 2 g ( z1 z 2 )

Vrijednosti empirijskog faktora Cv u ovisnosti o Reynoldsovom broju i geometriji venturimetra dane u dijagramu (Sl3.6 ) primjenjive su za odnose promjera venturimetra D2/D1 u rasponu od 0.25 do 0.75 koji je prikazan iscrtkanim krivuljama na dijagramu. Kod izboru venturimetra dobro je izabrati onaj kod kojega je koeficijent venturimetra Cv priblino konstantan za raspon reynoldsovog broja koji se oekuje pri upotrebi. Izrazimo li razliku tlaka p u gornjem izrazu pomou stupca mjernog fluida hm gustoe m, tada je izraz za protok kroz venturijevu cijev: 2 g hm m 1 d 1 2 d 1 4

Q = C v A2

Uoljivo je da ako izrazimo razliku tlakova pomou stupca mjernog fluida u diferencijalnom manometru hm izraz za protok postaje neovisan o nagibu venturimetra.

Primjer 5 Pitotova cijevPitotova cijev (Sl.3.7) je ureaj kojim se mjeri brzina strujanja u odreenoj toki. Princip mjerenja brzine pomou Pitotove cijevi prikazan je na slici pomou cijevi (npr. staklena cijev) savinute pod pravim kutem. Cijev je usmjerena u pravcu strujanja fluida tako da fluid ustrujava direktno u otvor sve dok se u cijevi ne povea tlak toliko da se izjednai s djelovanjem fluida koji nastrujava te tada neposredno ispred otvora cijevi fluid miruje (toka 2). Toka neposredno ispred otvora cijevi u kojoj fluid miruje v 2 = 0 , zove se stagancijska ili zaustavna toka. Postavljanjem bernoullijeve

29

h h0 v 1 p1 2 p2

Sl.3.7 Princip mjerenja brzine fluida pomou jednostavne Pitotove cijevi jednadbe du strujnice izmeu toaka 1 i 2 (Sl.3.7) uzimajui u obzir z1 = z 2 i v 2 = 0 , slijedi:

p1 v12 p + = 2 . g 2 g gTlak u toki 2 mogue je izmjeriti pomou visine stupca fluida u cijevip 2 = g (h0 + h )

to predstavlja totalni tlak. Totalni tlak je sastavljen od dvije komponente, statikog tlaka p1 = gh0 predstavljenog visinom stupca h0 i dinamikog tlaka kojeg predstavlja dio stupca fluida h . Izjednaavanjem dvaju prethodnih izraza slijedi izraz za brzinu strujanja lokalno:v1 = 2 g h .

30

4. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI 4.1 ViskoznostFluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem sminog naprezanja ma kako malo to naprezanje bilo. Viskoznost svojstvo otpornosti fluida prema sminoj deformaciji. Svojstvo suprotno viskoznosti jest fluidnost. Viskoznost je takoer i mjera unutarnjeg trenja u fluidu. Povezanost viskoznosti i trenja ukazuje na viskoznost kao svojstvo fluida zbog kojeg nastaju gubici pri strujanju. Viskoznost je svojstvo fluida koje se oituje tek pri gibanju fluida.

y U u y F

HxSl.4.1.1

Izmeu dvije paralelne ploe nalazi se neka tvar (Sl.4.1.1). Donja ploa je fiksna, dok na gornju djeluje sila F, koja proizvodi smino naprezanje = F/A na tvar meu ploama. A je povrina gornje ploe. Ako sila F prouzrokuje gibanje ploe stalnom brzinom, tada je mogue zakljuiti da je tvar meu ploama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s vrstom granicom ima istu brzinu kao vrsta granica (tzv. ''no slip condition''). Pokus pokazuje da je sila F direktno proporcionalna povrini i brzini A i U i obrnuto proporcionalna debljini sloja fluida H

F=

AU , H

gdje je faktor proporcionalnosti vezan za svojstva fluida. Kvocijent U/H predstavlja brzinu kutne deformacije i openitije ga se moe napisati

du . Ako se nadalje u prethodnu jednadbu uvede dy

izraz za smino naprezanje = F/A. Slijedi Newtonov zakon viskoznosti: =du , dy

gdje je smino naprezanje, du/dy brzina kutne deformacije pri 1D strujanju fluida, a [Pa s ] dinamiki koeficijent viskoznosti. Osnovna podjela fluida je na njutnovske i nenjutnovske (ili newtonske, nenewtonske) fluide (Sl.4.1.2). Kod njutnovskih fluida (plinovi, veina tekuina) postoji linearna relacija (kao na Sl.4.1.1) izmeu intenziteta sminog naprezanja i odgovarajue brzine deformacije. Nenjutnovski fluidi jesu npr. dugolanani hidrokarbonati, krv, zubna pasta, neke boje, blato... (Sl.4.1.2) i kod njih je odnos izmeu intenziteta sminog naprezanja i odgovarajue brzine deformacije nelinearan.

31

Sl.4.1.2 Newtonovski i nenewtonovski fluid Viskoznost se gotovo ne mijenja promjenom tlaka, a mijenja se s promjenom temperature. Kod tekuina, poveanjem temperature smanjuje se viskoznost, dok se kod plinova poveanjem temperature viskoznost poveava (Sl.4.1.3.a,b).

Sl.4.1.3a,b Dinamika i kinematska viskoznost u ovisnosti o temperaturi, za neke fluide

32

Dijeljenjem koeficijenta dinamike viskoznosti s gustoom fluida dobiva se koeficijent kinematske m2 viskoznosti fluida = . Kinematska viskoznost se esto koristi u mehanici fluida i s ininjerstvu i predstavlja mjeru otpora fluida sminoj deformaciji odn. teenju pod djelovanjem sile gravitacije. Na slikama Sl.4.1.3a,b uoljivi su razliiti meusobni odnosi dinamikog odn. kinematskog viskoziteta za neke fluide (npr. voda i iva Sl.4.1.3a,b). Za vodu pri normalnim uvjetima vrijedi 1 10 6 m2 3 = 1 cSt (centi Stokes), odn. 1 10 [Pa s ] = 1 cP (centi Poise). s

Spomenute su starije jedinice za kinemtasku viskoznost Stokes i dinamiku viskoznost Poise koje su jo ponegdje u upotrebi. Mjerenje dinamike viskoznosti rotacijskim viskozimetrom Uz zadanu brzinu kutne deformacije du/dy te mjerenjem sminog naprezanja , mogue je pomou Newtorovog zakona viskoznosti = du , izraunati koeficijent dinamike dy

viskoznosti .. Rotacijski viskozimetar se u osnovi sastoji od vanjskog rotirajueg cilinda i unutarnjeg, koncentrinog, stacionarnog cilindra Sl.4.1.P1. Mjerenjem torzijskog momenta T na unutarnjem stacionarnom cilindru mogue je izraunati smino naprezanje.

Sl.4.1.P1 Shematski prikaz rotacijskog viskozimetra Unutanji je cilindar u dodiru s fluidom preko "plata" i dna. Ukupni torzijski moment izmjeren na unutanjem cilindru je stoga

T = TC + TDgdje je TC torzija zbog sminog naprezanja na platu i TD torzija zbog naprezanja na dnu. Za plat:

du r2 = , dy b

33

gdje je brzina rotacije vanjskog cilindra , a b zranost meu cilindrima.Torzijski moment zbog trenja na platu je

TC = 2r1 h r1 .Uzevi u obzir prethodna dva izraza i Newtonov zakon viskoznosti slijedi

TC =Za dno cilindra:

2r12 r2 h . b

dA = r d dr r dTD = r dA = r r d dr aIntegriranjem po dnu unutarnjeg cilindra slijedi:

TD =

2a0

d r dr3 0 4 1

r1

TD =

r a

2

gdje je a zranost na dnu cilindra prema slici. Slijedi jednadba za ukupni torzijski moment

2r h r 2 T = r12 2 + 1 . b 2a Poto je T ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru iz gornjeg izraza direktno proizlazi dinamiki koeficijent viskoznosti .

Mjerenje kinematske viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom Princip mjerenja viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom (Sl.4.1.P2) sastoji se u mjerenju vremena potrebnog za istjecanje VL=60 cm3 fluida kroz kapilarnu cijev pod utjecajem gravitacije. Pri mjerenju se odrava konstantna temperatura mjerenog fluida. Poto fluid istjee pod utjecajem sile gravitacije vanost pri ovom mjerenju ima i gustoa fluida te je mjerena viskoznost kinematska viskoznost .

34

Sl.4.1.P2 Shematski prikaz Sayboltovog viskozimetra Pri analizi strujanja kree se od Hagen Poisseuilleove formule za strujanje viskoznog fluida kroz cijev ( Hagen Poisseuilleova formula e biti analizirana kasnije u ovom poglavlju) :

Q=

p D 4 . 128L

Dalje, definira se prosjena piezometrina visina za vrijeme istjecanja hL, poznat je volumen mjerenog fluida VL, protok Q se aproksimira Q = V L / t te se uzima p = g hL . Slijedi:

VL g hL D 4 = t 128 L

=

gD 4 hL128VL L

t = C1 t .

Poto je duljina kapilarne cjevice L relativno malena dodaje se gornjem izrazu jo i korekcijski faktor oblika C/t pa konano slijedi izraz za kinematski viskozitet oblika

= C1t +

C2 t

tj. priblini odnos Sayboltovih sekundi i kinematske viskoznosti jest

= 0.0022 t

1.8 4 2 1 10 m s . t

SAE gradacija viskoznosti motornih ulja S inenjerskog motrita viskoznost je najvanije svojstvo industrijskih maziva. Premalo viskozno mazivo pod silom strojnih nasjednih povrina bude istisnuto te dolazi do kontakta strojnih elemenata i oteenja. Previe viskozno mazivo npr. ne tee preko cijele leajne povrine te dolazi do oteenja ili zbog svoje prevelike viskoznosti apsorbira35

previe energije koja se potom pretvara u toplinu te dovodi do pregrijavanja. Stoga je pravilan izbor odreenog maziva, ulja za odreenu industrijsku namjenu od izuzetne vanosti. Za pravilan izbor maziva odn. motornih ulja vana je njihova to preciznija klasifikacija. SAE (Society of Automotive Engineers) klasifikacija motornih ulja prema viskoznosti je najraireniji i openito prihvaen sustav klasifikacije na svijetu. Prema SAE oznakama definiraju se dvije grupe viskoznosti: - sa oznakom W - kojom se klasificiraju ulja za zimske uvjete rada; - bez oznake - ulja za openite uvjete rada. Viskoznost se kod ulja s oznakom W mjeri na dva naina: - simulatorima hladnog starta; - testom pumpanja koji definira kritinu temperaturu pumpanja. U simulatorima hladnog starta dobiva se dinamika viskoznost u (Pa s), dok ta ulja moraju takoer zadovoljiti i test minimalne kinematske viskoznosti pri 100oC. Kod ulja bez oznake mjeri se samo kinematska viskoznost pri vioj temperaturi. U modernim motorima koriste se tzv. multigrade ulja koja se dobiju mijeanjem prethodno navedenih dviju grupa ulja te ona zadovoljavaju kriterije viskoznosti pri niskim temperaturama i zadovoljavaju takoer uvjete minimalne viskoznosti pri 100oC. Npr. ulje koje zadovoljava 10W uvjete i 30 uvjet oznaava se SAE 10W30.SAE Viskoznost ASTM D2602 Viskoznost (Pa s) o Max temp. ( C) ASTM D3829 Granina temp. o pumpanja ( C) ASTM D445 Minimalna viskoznost 2 o (mm /s) pri 100 C ASTM D445 Maksimalna viskoznost 2 (mm /s) pri o 100 C

0W 5W 10W 15W 20W 25W 20 30 40 50

6200 6600 7000 7000 9500 13000

pri -35 pri -30 pri -25 pri -20 pri -15 pri -10

-35 -30 -25 -20 -15 -10

3,8 3.8 4,1 5,6 5,6 9,3 5,6 9,3 12,5 16,3

9,3 12,5 16,3 21,9

Tablica 4.1.P3 SAE klasifikacija viskoznosti motornih ulja U inenjerstvu se esto koristi veliina indeksa viskoznosti "VI". Unutarnje trenje u kapljevinama pa tako i mazivu je vee pri nioj temperaturi i manje pri vioj temperaturi. Npr. med pri niskoj temperaturi jedva da tee, a nakon zagrijavanja tee sasvim lako. Med i njemu slini fluidi imanju nizak indeks viskoznosti dok fluid koji podjednako tee i pri niskim i visokim temperaturama ima visok indeks viskoznosti. Raspon indeksa VI ide od VI=0 za ulja sa visokom osjetljivou na viskoznost obzirom na temperaturu do cca. VI=200 za ulja kod kojih se viskoznost puno manje mijenja s promjenom temperature. U motorna ulja stoga se dodaju kemijski aditivi (obino dugolanani polimeri) za poboljanje indeksa viskoznosti, a to se posebno odnosi na mijeana (multigrade) ulja.

36

4.2 Navier Stokesove jednadbeZa Newtonovski fluid viskozna naprezanja proporcionalna su brzini sminog naprezanja. Ta se naprezanja ij , ii mogu izraziti pomou gradijenata brzine i svojstava fluida (viskoznost). Ako se tako izraena naprezanja uvrste u diferencijalnu jednadbu gibanja (dana u poglavlju o zakonu ouvanja koliine gibanja) proizlaze Navier Stokesove jednadbe gibanja. Uz pretpostavku nestlaivog strujanja i konstantne viskoznosti, Navier Stokesove jednadbe u vektorskom obliku jesu

r r r Dv = grad p + v + f Dt

gdje lan na lijevoj strani predstavlja silu inercije, prvi i drugi lan desne strane predstavljaju kontaktne sile i to normalne (tlak) i smine te zadnji lan desne strane predstavlja masenu silu. Zapisane u kartezijevom koordinatnom sustavu po osima x, y, z, jednadbe jesu:

2 u 2 u 2 u p u u u u +u +v + w = 2 + 2 + 2 + fx x x y z y z x t

2 v 2 v 2 v p v v v u + u + v + w = 2 + 2 + 2 + fy x x y z y z y t

2 w 2 w 2 w p w w w w +u +v +w + fz = 2 + 2 + 2 x x y z y z z t

Navier Stokesove jednadbe u sprezi sa zakonom ouvanja mase daju puni matematiki model strujanja nestlaivih Newtonovskih fluida. Zbog sloenosti Navier Stokesovih jednadbi (parcijalne diferencijalne nelinearne jednadbe drugog reda) mogue ih je rijeiti analitiki samo u nekim specijalnim sluajevima uz niz pojednostavljenja i pretpostavki. U daljnjem tekstu primijenit e se na tzv. Couetteovo strujanje te Hagen Poiseuilleovo strujanje.

4.2.1 Couetteovo strujanjeViskozni fluid struji izmeu dvije horizontalne, beskonano dugake ploe (Sl.4.2.1) zbog nametnutog gradijenta tlaka dp/dx, a uz to gornja se ploa giba konstantnom brzinom U dok donja miruje. Strujanje je laminarno, nestlaivo, stacionarno. Kako bi se dobio algebarski izraz raspodjele

y U u z xSl.4.2.1 Strujanje fluida izmeu dvije paralelne ploe - Couetteovo strujanje37

F y H

u

brzine po presjeku za ovako definiran reim strujanja, koriste se jednadba ouvanja mase i Navier Stokesove jednadbe. Zbog injenice da je strujanje nestacionarno i nestlaivo, zakon ouvanja mase u diferencijalnom obliku jest

r div v = 0tj.

u v w + + = 0. x y zObzirom da je strujanje ravninsko proizlazi se du osi x, tj.

v = 0 te integracijom uz uvrtenje rubnih uvjeta (no slip) proizlazi v = 0 . y

= 0 . Zbog navedenih pojednostavljenja izraz ouvanja mase reducira se u x

= 0 , w = 0 . Profil brzine je ustaljen tj. ne mijenja z

Navier Stokesove jednadbe na nestlaivo strujanje njutnovskog fluida i konstantnu viskoznost jesu:

r r r Dv 1 = grad p + v + f . Dt Zapisom Navier Stokesovih jednadbi u kartezijevom koordinatnom sustavu (danom na prethodnoj slici) te primjenom prije navedenih pojednostavljenja, slijedi sustav jednadbi dan po koordinatnim osima: - smjer x

2u 2u 2u u u u u 1 p +u +v +w = + 2 + 2 + 2 t x y z x x y z Zbog prethodno spomenutih pojednostavljenja, iz gornjeg izraza slijedi

0=

2u 1 p +v 2 x y

(4C.1)

- smjer y Istim pojednostavljenjima kao i za os x slijedi

0=Ovaj izraz daje ovisnost za tlak

1 p g y

p = gy + p ( x )- smjer z

(4C.2)

38

0=

1 p , z

iz ega proizlazi da se tlak ne mijenja po osi z. Ako se u izraz 4C.1 uvrsti = slijedi

dp d 2u = 2 . dx dyPoto je lijeva strana funkcija samo od x, a desna strana samo od y to slijedi da su gornji izrazi konstante

dp =C dxodnosno,

i

d 2u 2 =C dy

d 2u C du C C y2 = = y + C1 u = + C1 y + C 2 dy 2 d y2 tj. izraz za brzinu jest oblika

u=Rubni uvjeti za brzinu jesu

dp y 2 + C1 y + C 2 . dx 2

za y = 0 za y = H te iz njih slijede konstante integracije

vrijedi vrijedi

u=0 u =U

CH 2 C2 = 0 , U = + C1 H 2

C1 =

U C H . H 2

Ako se u izraz za brzinu uvrsti bezdimenzijski gradijent tlaka oblika

G=

H 2 dp 2 U dx

slijedi konani bezdimenzijski izraz za raspodjelu brzine po presjeku

y y u y = + G 1 U H H H

39

koji je prikazan na donjoj slici. Zbog tzv. "no slip" uvjeta tj. injenice da je brzina fluida uz stijenku jednaka brzini stijenke, za navedeni primjer Couetteovog strujanja slijedi da je brzina fluida neposredno u dodiru s donjom ploom u=0, a brzina fluida uz gornju plou u=U.

Sl.4.2.2 Couetteovo strujanje profili brzine Analiza Couetteovog strujanja prema dobivenim profilima brzina kao na gornjoj slici (Sl.4.2.2) daje: Za G=0: - gibanje gornje ploe je jedini razlog gibanja fluida meu ploama, nema nametnutog gradijenta tlaka dp/dx=0. Proizlazi linearni profil brzina. Za G > 1: - nametnuti tlak se smanjuje u smjeru gibanja ploe, dp/dx0, brzina stujanja postaje negativna na dijelu presjeka uz nepominu plou, tj. na tom dijelu strujanje je suprotno od smjera gibanja ploe. Sile sminog naprezanja prenoene od gornje ploe kroz slojeve fluida postaju na odreenoj udaljenosti manje od sile pozitivnog uzdunog gradijenta tlaka dp/dx. te dolazi do povratnog strujanja. Za sluaj kada bi gornja ploa mirovala, U=0, uspostavio bi se parabolini profil brzine.

4.2.2 Hagen-Poiseuilleovo strujanjeLaminarno, nestlaivo, stacionarno strujanje, njutnovskog, realnog viskoznog fluida u cijevi (Sl.4.2.3) zbog nametnutog gradijenta tlaka dp/dx.

r

1 L

R

2

z

Sl.4.2.3 Laminarno, stacionarno, nestlaivo strujanje u cijevi40

Navier Stokesove jednadbe za njutnovski fluid konstantne viskoznosti u cilindrinim koordinatama jesu:

v r v v v2 v v + vr r + r + v z r = r z r r t 2 2 1 v (r v r ) + 12 v2r + v2r 22 p + f r = z r r r r r r v v v v v vv + vr + r + v z = t r z r r

1 (r v ) + 12 = r r r r v v v v v z + vr z + z + v z z r z r t

2 v 2 v 2 v 1 p + + 2 r + f 2 2 z r r = 1 v z 1 2 v z 2 v z p = + 2 + f z r + 2 2 z z r r r r

0 . Zbog aksisimetrinog strujanja 0 . Strujanje je laminarno, t paralelno s osi z, slijedi v = 0 . Profil brzine je ustaljen te stoga 0. z r Iz zakona ouvanja mase za stacionarno, nestlaivo strujanje div v = 0 koji u cil. koord. glasi:Zbog stacionarnosti

p 1 ( r vr ) + 1 ( r v ) + ( r v z ) = 0 + t r r r zproizlazi

(r vr ) = 0 odnosno nakon integracije vr = C . Uvrtenjem rubnih uvjeta vr=0 za r=R r r slijedi C=0 tj. v r = 0 .Od Navier Stokesovih jednadbi preostaje: r - komponenta : - komponenta :

z - komponenta :

p r 1 p 0 = g cos , r 1 v z p 0 = r r r r z .

0 = g sin

Integrirane jednadbe po r i daju

p = g r sin + f ( z ) ,odnosno

41

p = g y + f (z )Poto vrijedi da je v z = v z (r ) , umjesto parcijalne moe se pisati obina dif. jednadba: to pokazuje da je tlak hidrostatski distribuiran na po poprenom presjeku cijevi te da gradijent tlaka p / z ne ovisi o r i .

1 d dv z 1 dp = r r dr dr dzGornji izraz mogu je samo ako su i lijeva i desna strana konstantne jer je lijeva strana funkcija samo od r, a desna samo od z. Konstantu je mogue definirati kao

const. =

p , uz p = p1 p 2 , L

gdje je p pad tlaka na segmentu cijevi duljine L. Slijedi,

d dv z p r = r dr dr Lte integriranjem,

dv z p r 2 = + C1 dr L 2 dv z p r C1 = + dr L 2 r p 2 vz = r + C1 ln r + C2 4L rIz uvjeta realnosti da je za r=0 brzina vz konana, slijedi konstanta integracije C1=0. Tzv. no-slip uvjet prianjanja viskoznog fluida uz stijenku cijevi daje za r=R brzinu vz=0 odn.

C2 =

p 2 R . 4L

Konano,

v z (r ) = to predstavlja rotacijski paraboloid.

p 2 (r R 2 ) = p14Lp2 (R 2 r 2 ) 4L

Volumni protok Q Volumni protok mogue je dobiti integracijom donjeg izraza

dQ = v z dApreko poprenog presjeka cijevi:

42

p p2 p p2 2 R r 2 rdr = 2 1 Q = d 1 4 L 4 L 0 0

2

R

(

)

2 r2 r4 R 2 4 0

R

Slijedi Hagen-Poiseuilleova formula za protok u krunoj cijevi:

Q =

p1 p 2 4 R 8 L

Prosjena brzina po presjeku v z =

p1 p 2 2 R tj. Q = v z A . 8L 8L Q . R 4

Pad tlaka linearno je proporcionalan protoku:

p =

4.3 Dimenzijska analiza strujanja realnog fluida u cijeviPrimjenom dimenzijske analize minimizira se potreban broj mjerenja pri laboratorijskom istraivanju neke pojave i olakava prikaz i analiza rezultata mjerenja.

4.3.1 BUCKINGHAM teoremBuckingham teorem: Svaki fizikalni zakon izmeu n fizikalnih veliina Q1, Q2, Q3, ... Qn izraen funkcijom

f (Q1 , Q2 , ..., Qn ) = 0 ,moe se izraziti kao funkcija n-k bezdimenzijskim znaajki

( 1 , 2 , ..., nk ) = 0 ,gdje je k minimalan broj osnovnih veliina ijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije itavog skupa n fizikalnih veliina. Potreban broj bezdimenzijskih P veliina je za r manji od broj originalnih veliina Q. Potrebno je izabrati izmeu dvije grupe baznih dimenzija za opis varijabli: - M (masa), L (duljina), T (vrijeme); - F (sila), L (duljina), T (vrijeme). Jednostavan sistematian postupak kreiranja tzv. bezdimenzijskih produkata jest metoda ponavljajuih varijabli koju je mogue pregledno prikazati na sljedeem primjeru.

43

4.3.2 Analiza pada tlaka u cijevi primjena BUCKINGHAM teoremaPrimjer stacionarnog, nestlaivog strujanja newtonovskog fluida kroz dugu, horizontalnu cijev krunog poprenog presjeka i glatke unutarnje stijenke. Analizu gubitaka strujanja mogue je zapoeti definirajui varijable o kojima ovisi pad tlaka po jedinici duljine cijevi pL , tj.

pL = f (D, , , v )gdje je D promjer cijevi, r gustoa fluida, dinamika viskoznost, v srednja brzina. Postupak metode ponavljajuih varijabli sastoji se dalje od sljedeih koraka: a) Izraziti svaku od varijabli pomou jednog skupa baznih dimenzija, npr. F,L,T:

pL FL3 DL FL4T 2 FL2T

v LT 1b) Primjenom Buckinghamovog teorema mogue je definirati broj potrebnih P veliina. Broj varijabli je n=5 ( pL ,D,r,,v), a broj bazih dimenzija k=3 (F,L,T) pa je stoga broj potrebnih P varijabli n-k=2. c) Potrebno je definirati 1 , 2 . Ponavljajue varijable za formiranje P veliina moraju se izabrati iz neovisnih varijabli (D,r,,v), a nije mogue koristiti ovisnu varijablu pL . Poto postoje tri bazne veliine k=3 potrebno je izabrati po tri ponavljajue varijable za svaki P. Povoljno je izabrati one ponavljajue varijable koje su dimenzijski jednostavnije. U ovom primjeru izabrane su neovisne varijable D, r, v. Slijedi definicija prve P veliine:

1 = pL D a v b ckoja mora biti bezdimenzijska pa stoga

(FL )(L ) (LT ) (FL3a

1 b

4

T 2 ) F 0 L0T 0 .c

Slijedi:

1 + c = 0 ( za F ) 3 + a + b 4c = 0 (za L ) b + 2c = 0 ( za T ) .Iz gornjeg sustava jednadbi slijedi a = 1, b = -2, c = -1 te je dobivena prva P veliina

1 =

pL D . v2

44

Za definiciju druge bezdimenzijsku veliine 2 uvodi se jedina preostala neovisna varijabla . Slijedi:

(FL T )(L ) (LT ) (FL2a

2 = D a vb c1 b 4

T 2 ) F 0 L0T 0c

1 + c = 0 ( za F ) 2 + a + b 4c = 0 ( za L ) 1 b + 2c = 0 ( za T ) .Iz sustava jednadbi slijede vrijednosti koeficijenata a =- 1, b = - 1, c = -1 te je:

2 =d) Rezultat bezdimenzijske analize jest:

. D v

pL D ~ = D v v2 ili

vD p L D = 2 . v Dobivena bezdimenzijska znaajka odnosno broj mehanici fluida i zove se Reynoldsov broj (Re).

vD vD ili jedan je od najvanijih brojeva u

4.3.3 Vane bezdimenzijske veliine (brojevi) u mehanici fluidaMetodom ponavljajuih varijabli pokazanom u prethodnom poglavlju (ili nekom drugom metodom) definiraju se bezdimenzijeske znaajke u mehanici fluida. Odreene bezdimenzijske kombinacije varijabli poznati su brojevi u mehanici fluida i dani su u sljedeoj tablici.

45

BROJ REYNOLDSOV BROJ FROUDOV BROJ MACHOV BROJ

IZRAZ

OPISNI KVOCIJENT

PRIMJENAOpenita primjena u meh. fluida, mjera turbulencije

Re =Fr =

vL

v gL

inercija viskoznost inercija gravitacija inercija stlaivost inercija stlaivost tlak inercijaOPISNI KVOCIJENT

Ma =

v c

CAUCHYJEV BROJ EULEROV BROJ BROJ KAVITACIJSKI BROJ

Ca =

v 2E p v 2

Eu =

IZRAZ

=

( p pv )1 2 v 2

tlak inercija

STROUHALOV BROJ WEBEROV BROJ

St =

Lv

inercija (lokalno) inercija (konvektivno) inercija povrinska napetost

v 2 L We = S

Strujanje sa slobodnom povrinom, otvoreni vodotoci Strujanje kod kojeg su vani efekti kompresibilnosti, transsonina strujanja Strujanje kod kojeg su vani efekti kompresibilnosti, transsonina strujanja Problemi kod kojih su primarni tlakovi i razlike tlakova PRIMJENA Problemi kod kojih su primarni tlakovi i razlike tlakova, strujanje u turbostrojevima ... Nestacionarno strujanje s karakteristinom frekvencijom oscilacije Problemi kod kojih je vana povrinska napetost

Tablica 4.3.1 Vaniji brojevi u mehanici fluida Varijable koritene u tablici jesu: v brzina, L karakteristina duljina, n koeficijent kinematske viskoznosti, c brzina zvuka, r gustoa fluida, E modul elastinosti, sS koeficijent povrinske napetosti, g ubrzanje sile tee, w frekvencija oscilirajueg strujanja, p tlak, pv tlak zasienja.

4.4 Turbulentno i laminarno strujanjeKao posljedicu uvoenja svojstva viskoznosti strujanje realnog - viskoznog fluida mogue je klasificirati i kao laminarno, turbulentno, odn. prijelazno (Sl.5.4, Sl.4.5). Laminarno strujanje estice fluida gibaju se po glatkim putanjama u infinitezimalno tankim laminama (slojevima), koji klize mirno jedan po drugom. Turbulentno strujanje nepravilno kaotino gibanje estica fluida sa jakim fluktuacijama brzine u svim tokama strujnog polja.

46

Laminarno

Tinta D Prijelazno

Q

Trag tinte

Turbulentno

Sl.4.4.1 Eksperiment injektiranja tinte u cijev u kojoj struji voda. Klasifikacija strujanja. Najvaniji bezdimenzijski parametar pri analizi strujanja u cijevi jest Reynoldsov broj

Re =

vD

ili

Re =

4Q , D

gdje je v srednja brzina, Q protok, D promjer cijevi (ili neka druga karakteristina duina) te kinematski koeficijent viskoznosti. Reynoldsov broj predstavlja omjer inercijskih i viskoznih efekata pri strujanju. On je mjera turbulencije. Pokus (Sl.4.4.1) dobro ilustrira prijelaz iz laminarnog u prijelazni i onda potpuno turbulentni reim strujanja. Duga cijev inicijalno je napunjena vodom koja miruje sve dok se ne otvori ventil. Sve veim otvaranjem ventila poveava se brzina strujanja u cijevi, a time i Reynoldsov broj. Reim strujanja vizualiziran je injektiranjem tinte u struju fluida. Pri manjim brzinama strujanje je ~ laminarno uz vrijednost Reynoldsovog broja Re < 2300 . Pri vrijednostima Reynoldsovog broja

Re ~ 4000 strujanje je ve potpuno turbulentno. Za Reynoldsove brojeve izmeu danih kritinih >

vrijednosti pretpostavlja se prijelazno strujanje. Spomenute granine vrijednosti Reynoldsovog broja otprilike vrijede u veini realnih situacija strujanja. Relativnost graninih vrijednosti Reynoldsovog broja izmeu laminarnog i turbulentnog strujanja vidljiva je i iz poznatih eksperimenata Osborne Reynoldsa koji je u laboratorijskim uvjetima uspio postii laminarno strujanje uz visoki Re 20000 , a kasnijim eksperimentima u jo stroe kontroliranim laboratorijskim uvjetima ta je granica poviena na Re 40000 . Trag aksijalne (x-komponente) brzine mjerene na odreenoj lokaciji u cijevi pri turbulenciji vidljiv je na slici (Sl.4.4.1 desno dolje), a mogue ga je prikazati i na dijagramu u-t (Sl.4.4.2).

47

Sl.4.4.2 Usrednjena brzina u i fluktuacija brzine u ' pri turbulentnom strujanju u cijevi. Stohastina struktura dijagrama brzine i fluktuacije brzine znaajka su turbulencije, a svojstva strujanja fluida npr. pad tlaka, prijenos topline itd., jako ovise o njima. Na slici (Sl.4.4.3) prikazan je odnos oblika profila brzina za sluaj strujanja idealnog neviskoznog fluida te oblik laminarnog i turbulentnog profila brzina pri veem Reynoldsovom broju. Mogue je uoiti odreenu slinost turbulentnog i idealnog profila brzina. Pri velikim Reynoldsovim brojevima turbulentni profil brzina postaje sve "spljoteniji" te u odreenom smislu oblikom tei idealnom pravokutnom obliku. Viskozni efekti pri turbulentnom strujanju nisu jako vani i brzina koja se koristi u strujanju idealnog fluida je adekvatna vremenski usrednjenoj brzini u (Sl.4.4.2) pri turbulentnom strujanju.

Sl.4.4.3 Idealan, laminaran i turbulentan oblik profila brzine Navedene injenice jesu i razlog zato analiza strujanja neviskoznog fluida daje razumne fizikalne rezultate. Idealni fluid nije viskozan, postoje samo inercijalne sile, tj. = 0 pa je za idealan fluid Reynoldosv broj Re = vD / = h poto je nazivnik jednak nuli, odnosno logina je teoretska pretpostavka da bi u tom idealnom sluaju strujanje bilo turbulentno. Na slici (Sl.4.5.2) brzina u predstavlja srednju brzinu pri turbulentnom strujanju, a vC je brzina u centru cijevi. Poveanjem Reynoldsovog broja turbulentan profil brzina postaje sve "spljoteniji". Radi usporedbe prikazan je jedan laminaran parabolian profil brzina. Uoljivo je da je u blizini stijenke cijevi turbulentan profil brzine znatno strmiji. Detaljnjija analiza turbulentnog profila brzine dana je u sljedeem poglavlju.48

Komponentu trenutne brzine u x-smjeru u = u ( x, y, z , t ) mogue je izraziti preko srednje brzine i fluktuacije (Sl.4.4.2)

u = u + u'gdje je srednja brzina

1 u= T

t 0 +T

t0

u dt

uz vremenski interval T koji je znatno dui od periode najdue fluktuacije. Vremensko usrednjenje fluktuacija je nula jer

1 u' = T

t 0 +T

t0

(u u )dt = 1 T

t 0 +T

t0

u dt u

t0 +T

t0

1 dt = (Tu u T ) = 0 T

Sl.4.4.4 Usrednjene fluktuacije i usrednjen kvadrat fluktuacija odnosno fluktuacije su ravnomjerno distribuirane na obje strane linije vremenskog usrednjenja (Sl.4.4.4). Kvadrati fluktuacija su, kao to je vidljivo i na slici, vei od nule

(u ')2 > 0 ,

a

usrednjenja umnoaka fluktuacija po razliitim smjerovima npr. u 'v' , u ' w' mogu biti jednaka nuli, vea ili manja od nule. Intenzitet turbulencije Struktura i intenzitet turbulentnog strujanja mogu se okarakterizirati bezdimenzijskim parametrom koji se naziva intenzitet turbulencije i definiran je

I=

(u ')2u

.

to je vei intenzitet turbulencije jae su i fluktuacije brzine i ostalih veliina. Tipina vrijednost > intenziteta turbulencije za strujanje u rijekama i pri atmosferskim strujanjima jest I ~ 0.1 .49

Perioda fluktuacija Perioda fluktuacija prikazanih na slici (Sl.4.4.2) za uobiajene sluajeve npr. pri turbulentnom istjecanju iz slavine jest reda veliine 10, 100 ili 1000 ciklusa u sekundi dok su tipine periode pri strujanju golfske struje u Atlantskom oceanu reda veliine sata ili dana. Mijeanje Proces mijeanja je transport mase, energije i koliine gibanja kroz strujno polje. Mijeanje je za vie redova veliine efikasnije pri turbulentnom nego pri laminarnom strujanju, poto su za glavninu procesa bitni sluajni procesi na makroskopskoj razini tj. vrtloenje fluida (Sl.4.4.5), to je svojstvo turbuencije. Kod laminarnog strujanja strujno polje je mogue opisati laminama koje struje jedna iznad druge i svaki sluajni proces i mijeanje dogaa se na molekularnoj razini odreenim preskakanjem molekula u susjednu laminu. Pozitivni efekti mijeanja pri turbulenciji od sutinske su vanosti u inenjerstvu kod npr. izmjenjivaa topline, isparivaa tj. izmjene topline izmeu fluida i stijenke ili omoguuju efikasno rasprivanje dimnih plinova koji iz dimnjaka izlaze u atmosferu.

Sl.4.4.5 Profili brzine: a.) Laminarno strujanje smino naprezanje posljedica molekularnih procesa; b.) Turbulentno strujanje vrtloenje fluida Smino naprezanje Vrtlona struktura strujnog polja pri turbulenciji snano potie mijeanje i transport koliine gibanja kroz zamiljenu ravninu A-A (Sl.4.4.5) tj. sminu silu. Nii sporiji slojevi fluida (Sl.4.4.5a) blii stijenci, usporavaju gonje bre slojeve fluida tj. taj transport koliine gibanja preko zamiljene ravnine A-A stvara otpor u brim slojevima odnosno stvara se smina sila. Smina sila nastaje samo ako postoji gradijent brzine u=u(y). Ako se na te procese nadodaju i kohezivne molekularne sile mogue je pri laminarnom reimu strujanja ukupno smino naprezanje izraziti pomou ranije spomenutog Newtonovog zakona viskoznosti LAM = du / dy . Uz spomenute efekte kod turbulentnog strujanja postoji i znatno vaniji efekt vrtlone strukture strujnog polja (Sl.4.4.5b) koji snano potie mijeanje i transport koliine gibanja kroz zamiljenu ravninu A-A. Sluajne fluktuacije brzine u' (komponenta u x smjeru) i v' (komponenta u y smjeru), za 2D sluaj prikazan na slici (Sl.4.4.5), pri turbulenciji predstavljaju prevladavajui efekt koji sudjeluje u ukupnom sminom naprezanju na zamiljenoj ravnini A-A

=

du u ' v' = LAM + TURB . dy50

lan u gornjem izrazu u ' v' je pozitivan i naziva se Reynoldsovo naprezanje. Iz prethodnog izraza takoer je vidljivo da smino naprezanje pri turbulentnom strujanju nije vie proporcionalno gradijentu srednje brzine nego su u njemu bitni i efekti zbog fluktuacija brzina. Pri laminarnom strujanju fluktuacije brzina ne postoje tako da je i lan TURB = 0 .

Sl.4.4.6 Turbulentno strujanje u cijevi: a.) Smino naprezanje; b.) Profil srednje brzine Meusoban odnos LAM i TURB je kompleksna funkcija (Sl.4.4.6). U uskom sloju fluida uz stijenku viskoznom podsloju dominira LAM dok u vanjskom sloju prevladava TURB koji je 100 ... 1000 puta vei od LAM . Pri strujanju realnog fluida u cijevi ukupno smino naprezanje je proporcionalno udaljenosti od centralne osi cijevi (Sl.4.4.6), uz maksimalno smino naprezanje na samoj stijenci koje se naziva smino naprezanje na zidu W . Na slici (Sl.4.4.6) samo naelno su prikazani odnosi LAM i TURB i odnos debljine viskoznog podsloja prema promjeru cijevi poto je npr. pri srednjoj brzini strujanja od 3 ms-1 u cijevi promjera 75 mm debljina viskoznog podsloja oko 0.05 mm. VRTLONA VISKOZNOST S ciljem uspostavljanja analogije prema Newtonovom zakonu viskoznosti J. Boussinesq uveo je pojam vrtlone viskoznosti pa je smino naprezanje pri turbulentnom strujanju mogue izraziti

TURB =

du . dy

Za razliku od viskoznosti koja je svojstvo fluida i koju je mogue oitati iz prirunika, vrtlona viskoznost ovisi i o vrsti fluida i o uvjetima strujanja i ona se mijenja od toke do toke strujnog polja.

DULJINA MIJEANJA

51

Potekoa s nemogunou odreivanja Reynoldsovog naprezanja u ' v' dakle ista je kao i potekoa odreivanja vrtlone viskoznosti . U nastojanju definiranja procesa turbulencije L. Prandtl uvodi pojam duljine mijeanja lm. Turbulentni proces mogue je definirati kao sluajni transport estica fluida kroz duljinu lm izmeu zona razliite brzine. Vrtlonu viskoznost mogue je izraziti pomou duljine mijeanja2 = lm

du , dy

slijedi izraz za smino naprezanje pri turbulenciji pomou duljine mijeanja

TURB

du = l . dy 2 m

2

Iz spomenutih pretpostavki i pokuaja proizlazi nemogunost egzaktnog definiranja sminog naprezanja kroz cijelo strujno polje turbulentnog realnog fluida, odnosno nemogunost analitikog odreivanja turbulentnog profila brzine.

4.5 Turbulentni profil brzine u cijeviTurbulentni profil brzine u cijevi mogue je podijeliti u etiri sloja (Sl.4.5.1) obzirom na nain aproksimacije profila brzine: viskozni podsloj (viscous sublayer) podruje laminarnog strujanja uz stijenku cijevi; prijelazni sloj (buffer layer); logaritamski sloj sloj logaritamskog zakona; vanjski sloj podruje kojeg se uglavnom poklapa sa podrujem primjene tzv. zakona defekta brzine ( defect law). U viskoznom podsloju prevladava viskozno smino naprezanje LAM u odnosu na turbulentno naprezanje TURB, dok je u vanjskom turbulentnom sloju taj odnos obrnut. Za analizu profila brzina povoljno je uvesti bezdimenzijske znaajke

u+ =

u u*

i

y+ =

yu *

gdje je y = R r udaljenost od stijenke, u vremenski usrednjena x komponenta brzine,

u * = W / je brzina trenja ( uz W smino naprezanje na zidu).Upotrebom bezdimenzijskih znaajki dijagram graninog sloja u + y + izgleda slino tj. usporedivo za razliite reime strujanja, razliite debljine graninog sloja 99 kod optjecanja nekog objekta, odnosno za razliite vrijednosti Reynoldosovog broja. Varijacijom Reynoldosvog broja primjetna su znatna odstupanja u vanjskom (desnom) dijelu dijagrama gdje se vrtlona zona odvaja od krivulje logaritamskog zakona ranije (tj. za nie vrijednosti y + ) to je Reynoldsov broj manji.

52

Sl.4.5.1 Turbulentni profil brzine Viskozni podsloj ~ U podruju 0 y + 5 na stijenku nalijee tanak sloj fluida u kojemu se srednja brzina mijenja sa udaljenou od stijenke y linearno

u+ = y+ .U viskoznom podsloju prevladava viskozno smino naprezanje, a brzina je mala i ona se mijenja od 0 na stijenci ("no slip uvjet) do reda veliine u * za y + 5 . Strujanje u viskoznom podsloju je laminarno i ne postoje fluktuacije brzina. Vrijednost y + = 5 predstavlja priblinu vanjsku granicu viskoznog podsloja dok se kod definicije numerikih modela turbulencije esto uz odreeni faktor sigurnosti vanjska granica viskoznog podsloja postavlja ak na y + = 2.5 .53

Uz postavljenu vanjsku granicu viskoznog podsloja y + = 5 mogue je dobiti debljinu viskoznog podsloja iz bezdimenzijskog izraza za profil brzine u viskoznom podsloju:

y = =

5 25 = . u u*

U prethodnom izraz u predstavlja brzinu strujanja na vanjskom rubu viskoznog podsloja, a koja je usko vezana uz srednju brzinu strujanja u cijevi. Mogue je zakljuiti da je debljina viskoznog podsloja proporcionalna kinematskoj viskoznosti i obrnuto proporcionalna srednjoj brzini strujanja, odnosno poveanjem Reynoldsovog broja debljina viskoznog podsloja se smanjuje. Na slici (Sl.4.4.6) takoer je prikazan smjetaj viskoznog podsloja kod strujanja u cijevi uz prenaglaenu debljinu. Prijelazni sloj U prijelaznom sloju (esto buffer layer) strujanje poprima karakteristike turbulencije. Logaritamski sloj U logaritamskom sloju vani su i turbulentno smino naprezanje TURB i viskozno LAM. Profil brzina dobro je definiran logaritamskim zakonom zida za y + ~ 30 >

u+ =

1

ln y + + C

gdje je bezdimenzijska konstanta C 5.0 (za strujanje u idealno glatkoj cijevi), a 0.41 Karmanova konstanta. U unutarnjem dijelu logaritamskog sloja blie stijenci u ukupnom sminom naprezanju jo u odreenom dijelu sudjeluje viskozno naprezanje LAM, ali s odmakom od stijenke ono gubi na znaaju i postaje zanemarivo te je ukupno smino naprezanje u vanjskom dijelu prijelazne zone y + > 70 u potpunosti upravo turbulentno smino naprezanje TURB. Logaritamski zakon zida koji u odreenom smislu predstavlja poveznicu izmeu viskoznog podsloja i centralne zone s druge strane moe izuzetno dobro aproksimirati profil brzine kroz gotovo cijeli presjek cijevi (osim centralne zone u odreenim sluajevima kada se tlak nizvodno jako poveava, npr. u difuzoru). Poveanjem Reynoldsovog broja, maksimalna vrijednost y + za koju je mogue uz veliku tonost primijeniti logaritamski zakon zida, se poveava. Vanjski sloj U vanjskom sloju u potpunosti dominira turbulentno smino naprezanje TURB. Jedan od izraza za raspodjelu brzine esto u upotrebi jest tzv. zakon defekta brzine (tzv. defect zakon)

vC u R = 2.5 ln * y ugdje je vC brzina u centru cijevi. Unutarnja granicu ove zone (blie stijenci) bitno ovisi o Reynoldosovom broju pa ju je u univerzalnom smislu nemogue tonije definirati.

54

Eksponencijalni zakon profila brzine Eksponencijalni zakon profila brzine (Sl.4.5.2) je empirijski izraz koji daje aproksimativnu distribuciju brzine preko gotovo cijelog presjeka cijevi (iako ne vrijedi u blizini stijenke i u neposrednoj blizini centralne osi cijevi)

u r = 1 vC R

1/ n

gdje je n funkcija Reynoldsovog broja (prikazanog na sljedeem dijagramu).

Sl.4.5.2 Ovisnost koeficijenta n o Reynoldsovom broju za glatku cijev i profili brzina pri turbulentnom i laminarnom strujanju

55

Gornji izraz uz n=7 esto se koristi kao dobra aproksimacija u praksi. Poveanjem Reynoldsovog broja raste koeficijent n i turbulentni profil postaje sve "spljoteniji" to je vidljivo na sljedeoj slici. Takoer, na slici je evidentna razlika laminarnog i turbulentnog profila brzine. Logaritamski zakon zida za hrapavu cijev Dosadanja analiza turbulentnog profila pretpostavlja strujanje u glatkoj cijevi. Pri analizi utjecaja hrapavosti stijenke na strujanje (Sl.4.5.3) vaan je odnos debljine laminarnog podsloja i visine neravnina e. Cijev se smatra hidrauliki glatkom ako

u *e

< 5 i tada su sve neravnine unutar

viskoznog podsloja te stoga ne utjeu na strujanje. Stijenka se smatra potpuno hrapavom ako

u *e

> 70 jer tada vrhovi neravnina stijenke prodiru u potpunosti kroz viskozni podsloj u

turbulentno podruje i stvaraju otpor strujanju, te se logaritamski zakon zida modificira u izraz

u + = 8.5 + 5.75 ln

y . e

Sl.4.5.3 Hrapavost stijenke, apsolutna hrapavost e i debljina viskoznog podsloja s

4.6 Modeliranje turbulencijeDNS DNS (Direct Numerical Simulation) predstavlja kompletno u prostoru trodimenzijsko i o vremenu ovisno rjeavanje Navier Stokesovih jednadbi i jednadbi ouvanja. Ovakvo direktno rjeavanje je proraunski izuzetno zahtijevno i za sad neupotrebljivo za rjeavanje openitih inenjerskih problema. Razvoj jakih paralelnih raunala i poveanje memorijskih mogunosti raunala omoguit e u budunosti vjerojatno veu upotrebljivost ovakvog pristupa. LES LES (Large Eddy Simulation) tj. modeliranje velikih vrtloga predstavlja pristup u kojem se veliki vrtlozi raunaju numeriki, a mali vrtlozi koji su veliine ispod rastera numerike mree se matematiki modeliraju. Takav postupak opravdan je pretpostavkom da su veliki vrtlozi direktno povezani s numerikim rubnim uvjetima te da oni nose glavninu Reynoldsovih naprezanja. Mali56

vrtlozi su reda veliine manje znaajni obzirom na ukupna Reynoldsova naprezanja, vie izotropni i stoga pogodniji za matematiko modeliranje. Poto se u LES pristupu mali vrtlozi ne raunaju direktno nego matematiki modeliraju to je dovoljna znatno grublja numerika mrea, to znatno smanjuje raunalni napor. RANS Obzirom na injenicu da su i DNS i LES pristup danas jo proraunski jako zahtijevni obzirom na rjeavanje openitih praktinih problema u ininjerstvu, u tretiranju turbulencije danas su najpopularniji RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) modeli zasnovani na Reynoldsovim usrednjenjima (najee usrednjenjima u vremenu). Obzirom da su Navier Stokesove jednadbe nelinearne, rezultirajua usrednjena diferencijalna jednadba sadri ne samo traene usrednjene varijable brzine i tlaka nego i produkte fluktuacija (npr. Reynoldsovo naprezanje u v ) te je za zatvaranje sustava jednadbi potrebno jo dodatnih aproksimacija. U osnovi Reynoldsovo usrednjenje jest simplifikacija kojom se gubi puno informacija sadranih u Navier Stokesovim jednadbama. Najkoriteniji RANS pristupi danas su tzv. dvojednadbeni modeli od kojih su najpoznatiji k model i k model koji se sastoje u rjeavanju jednadbi turbulentne kinetike energije ( k ) i disipacije turbulentne kinetike energije ( ) odnosno specifinoj brzini disipacije ( ). Spomenuti modeli (i njihove varijacije) osnova su danas velikog broja komercijalnih raunalnih inenjerskih programa na podruju raunalne dinamike fluida (CFD). Nakon 2005. godine, porastom snage raunala, tj. zamahom paralelnih raunala visokih performanci i daljnjim razvojem raunalne numerike, na vanosti dobivaju i hibridni numeriki modeli, pogotovo spajanje RANS i LES modela pri modeliranju turbulencije. Algebarski modeli Ovu grupu ini skup semiempirijskih modela koji na razliiti nain aproksimiraju Reynoldsovo naprezanje i uglavnom koriste pojam duljini mijeanja lm (Prandtl). Koriste se preteno u teoretskoj analizi turbulencije, a o emu su neke postavke definirane u prethodnom poglavlju. Teorija kaosa Teorija kaosa predstavlja relativno novu granu matematike fizike i ona obuhvaa ponaanje nelinearnih dinamikih sustava i njihovu osjetljivost na inicijalne i rubne uvjete. Pretpostavlja se da strujanje realnog fluida, koje se modelira Navier Stokesovim jednadbama, predstavlja takav nelinearni dinamiki sustav. Pod pretpostavkom da Navier Stokesove jednadbe ukljuuju kaotino gibanje tada je i njihovo rjeenje izuzetno osjetljivo na poetne uvjete tj. minimalno razliiti inicijalni uvjeti mogu producirati sasvim razliita rjeenja. Iako teorija kaosa na poetku 21. stoljea doivljava stagnaciju, ona moe dati uvid u kompleksnost turbulencije.

4.7 Gubici pri strujanju realnog fluida u cijevima4.7.1 Dimenzijska analiza gubitaka pri laminarnom i turbulentnom strujanje u cijeviLAMINARNO STRUJANJE Pri laminarnom strujanju fluida u horizontalnoj cijevi pad tlaka p je ovisan o srednjoj brzini strujanja v, duljini cijevi L, promjeru cijevi D i viskoznosti fluida . Nije ukljuena gustoa fluida , poto za ovaj reim strujanja ona nije bitan parametar. Vrijedi

p = F (v, L, D, ) .

57

Prema teoriji dimenzijske analize (izloenoj ranije), broj varijabli je n=5 (p, v, L, D, ) , broj bazih dimenzija k=3 (M,L,T) pa je sukladno Buckinghamovom teoremu broj potrebnih P varijabli n-k=2. Mogue je kreirati bezdimenzijske kvocijente

D p L = v DEksperimentalno je utvreno da su dvije gornje bezdimenzijske veliine direktno proporcionalne pa je mogue pisati

D p L =C . v DZa cijev krunog poprenog presjeka utvrena je vrijednost koeficijenta C=32 te slijedi

p = 32Lv / D 2 .Uvrtenjem varijable protoka Q =

D 2 v umjesto brzine, mogue je dobiti poznati izraz Hagen 4

Poiseuilleove formule protoka (koja je prethodno izvedena u poglavlju o Navier Stokesovoj jednadi):

Q=

p D 4 . 128L

Ako se izraz za pad tlaka p podijeli dinamikim tlakom v 2 / 2 slijedi:

p1 2 v 2odnosno

=

L 64 L 32Lv / D 2 = 64 vD D = R D 1 2 e v 2

p =

L v 2 . D 2

Gubitak tlaka p u gornjem izrazu mogue je izraziti gubitkom piezometrine visine h [m]. Uz pretpostavku p = gh slijedi

L v2 h= . D 2gGornji izraz jest Darcy Weisbachova jednadba kojom se raunaju duinski gubici u cijevi krunog poprenog presjeka gdje je koeficijent trenja (ili Darcyjev koeficijent trenja). U sluaju strujanja u cijevima nekrunog porenog presjeka (npr. kvadratnog, pravokutnog ...) potrebno je prethodno izraunati odgovarajuu vrijednost hidraulinog radijusa Rh za pojedini

58

sluaj koji se onda moe koristiti u nekom izrazu za cijev krunog poprenog presjeka umjesto radijusa R (odnosno promjera D). Za ovaj sluaj laminarnog strujanja dobiven je koeficijent trenja

=

64 . Re

Iz gornje jednadbe vidljivo je da je koeficijent trenja pri laminarnom strujanju ovisan samo o > Reynoldosovom broju dok je samo u sluaju ekstremno hrapavih cijevi ( e / D ~ 0.1 ) koeficijent trenja ovisan o hrapavosti e. TURBULENTNO STRUJANJE Pad tlaka za turbulentno, stacionarno, nestlaivo strujanje u horizontalnoj cijevi krunog poprenog presjeka promjera D mogue je odrediti u formi funkcionala na sljedei nain

p = F (v, L, D, , e, ) .Usporedbom sa laminarnim sluajem uoljivo je da je lista varijabli nadopunjena sa hrapavou e i gustoom fluida . Dimenzijskom analizom uz broj varijabli je n=7, broj bazih dimenzija k=3 (M,L,T) mogue je definirati n-k=4 bezdimenzijskih P varijabli:

~ vD L e = , D , D. 1 2 v 2

p

Loginom pretpostavkom da je pad tlaka proporcionalan duini cijevi (to je dokazano i eksperimentalno) mogue je preurediti gornji izraz

p 1 2 v 2

=

L e Re , . D D

Osim Reynoldsovog broja, u analizu strujanja u cijevima uvedena je vana nova bezdimenzijska veliina relativna hrapavost

e . Kao i u laminarnom sluaju slijedi D p = L v 2 , D 2

odnosno uvoenem varijable gubitka piezometrine visine proizlazi Darcy Weisbachov izraz

h=Iz provedene analize proizlazi

L v2 . D 2g

59

= Re ,

e D

tj. da je koeficijent trenja u turbulentnom sluaju ovisan i o reimu strujanja tj. Reynoldsovom broju i o kvaliteti cjevovoda e/D. Ta ovisnost je kompleksna i definirana je dugogodinjim eksperimentalnim radom niza znanstvenika Nikuradse (1933.), Moody, Colebrook i ostali, a to e biti izloeno u sljedeem poglavlju.

4.7.2 Ovisnost koeficijenta trenja o reimu strujanja i hrapavosti stijenkeUravnoteenje sila za stacionarno strujanje (bez ubrzanja) u horizontalnoj cijevi (Sl.4.7.1) daje

Sl.4.7.1 Uravnoteenje sila za stacionarno strujanje u cijevi

p r 2 = w 2r Lto vrijedi i za laminarno i za turbulentno strujanje. Darcy Weisbachova jednadba gubitaka za segment cijevi L prikazan na prethodnoj slici jest

L u 2 . p = 2r 2Eliminacija p u dvije gornje jednadbe daje izraz ovisnosti sminog naprezanja na stijenci w i srednje brzine u :

w = u 8

.

Gornji izraz uvrten umjesto srednje brzine u logaritamski zakon zida dan u prethodnom poglavlju daje izraz za koeficijent trenja oblika

1

= K 1 + K 2 ln Re .

(

)

Uz koritenje laboratorijskih podataka hrapavosti prema Nikuradse-u za hidrauliki glatke cijevi slijedi

1

= 0.869 ln Re 0.860

(

)

te za potpuno hrapave cijevi

1

= 1.14 0.869 ln

e . D

Gornji izraz se u literaturi esto naziva Von Karmanova formula. Gornja dva izraza dobivena za laboratorijske uvjete hrapavosti za hidrauliki glatke i ekstremno hrapave cijevi direktno vrijede i za komercijalne cijevi. U eksperimentima s gubicima strujanja u hrapavim cijevima (Nikuradse) lijepljena su zrnca pijeska tri razliita promjera e na unutarnje stijenke cijevi tri razliita promjera D na nain da je zadran konstantan kvocijent hrapavosti

e (relativna hrapavost). Eksperimenti su pokazali vanost termina relativne D

e poto je za cijevi razliitih promjera dobivena glatka neprekinuta -Re krivulja D

(Sl.4.7.2). Mjerena je razlika tlaka potrebna kako bi se ostvario eljeni protok te je pomou tih podataka upotrebom

Sl.4.7.2 Nikuradseovi testovi hrapavosti

L v 2 ) . Testovi su Darcy Weisbachovog izraza izraunavan koeficijent trenja = p /( D 2 ponavljani za iroki raspon Re i e/D kako bi se dobila traena ovisnost = ( Re , e / D) . U realnimcijevima hrapavost nije uniformna kao u spomenutim laboratorijskim testovima, ali je ipak mogue korelirati ekvivalentnu visinu neravnina komercijalnih cijevi s laboratorijskom hrapavou. Neke pribline vrijednosti dane su u sljedeoj tablici.61

CIJEV materijal elik sa zakovicama Beton Drvo Lijevano eljezo Galvanizirano eljezo Komercijalni elik Plastika, staklo

APSOLUTNA HRAPAVOST e [mm] 0.9 - 9 0.3 3 0.18 0.9 0.26 0.15 0.045 0.0

Tablica 4.7.1 Apsolutna hrapavost za neke vrste cijevi Radom L.F. Moodyja i C.F. Colebrooka korelirani su podaci laboratorijski ohrapavljenih cijevi s komercijalnim cijevima. Eksperimentalno je utvreno da se u podruju gdje hrapavost ovisi i o Re i e/D podaci za umjetno ohrapavljene cijevi i realne komercijalne cijevi ne poklapaju kao u sluaju ekstremno hrapavih cijevi i hidrauliki glatkih cijevi te je stoga u najirem prijelaznom podruju trebalo posebno paljivo korelirati podatke iz eksperimenata na komercijalne cijevi. Na slici u dodatku A (Sl.A1) prikazan je Moodyjev dijagram koji daje ovisnost koeficijenta trenja o relativnoj hrapavosti e/D i Reynoldsovom broju Re za iste, nove komercijalne cijevi. Moodyjev dijagram pokriva iroko podruje. Laminarno podruje do pribline vrijednosti Re 2100 ... 2300 , prijelazno podruje i turbulentno podruje pokriveno je za raspon

Re 4000 do Re = 10 8 . Na dijagramu je potrebno primijetiti da i za e=0 koeficijent trenja nijejednak nuli poto i u takvim hidrauliki glatkim cijevima fluid neposredno uz stijenku zbog tzv. noslip uvjeta miruje. Uvijek postoji barem mikroskopska povrinska hrapavost koja uzrokuje takvo lijepljenje fluida uz stijenku. Cijelo turbulentno podruje Moodyjevog dijagrama definira Colebrookova formula

1

e / D 2.523 . = 0.869 ln + 3.7 R e

koja je zbog svojeg implicitnog oblika ( i s lijeve i desne strane jednakosti) nepogodna za praktinu upotrebu pa je ee u upotrebi priblina Colebrookova formula koja daje vrijednost koeficijenta hrapavosti uz priblinu greku od 1%. Potrebno je napomenuti da su u Moodyjevom dijagramu dane vrijednosti koeficijenta trenja za nove cijevi, a da se upotrebom kroz due vrijeme u cijevima zbog korozije i naslaga moe znatno poveati hrapavost ili ak smanjiti unutarnji presjek, to u primjeni treba uzeti u obzir.

62

4.7.3 Raunanje gubitaka strujanja u komercijalnim cijevimaGubici se klasificiraju kao duinski (glavni) i lokalni.

DUINSKI GUBICIU ovom poglavlju dan je pregled izraza koji se koriste u raunanju gubitaka strujanja realnog fluida u komercijalnim cijevima. Osim Colebrookovih izraza koji definiraju cijelo turbulentno podruje Moodyjevog dijagrama dani su i izrazi koji definiraju samo odreena podruja dijagrama za odreene raspone Re i hrapavosti. Duinski gubici nastaju zbog trenja i proporcionalni su duini cijevi, priblino proporcionalni kvadratu brzine, obrnuto proporcionalni unutarnjem dijametru cijevi, ovise o povrinskoj hrapavosti unutarnje stijenke cijevi, ovise o gustoi i viskoznosti fluida i neovisni su o tlaku.

63

Pregled izraza za raunanje duinskih gubitaka u realnom cjevovodu Gubici pri strujanju u cijevi hg dijele se na duinske i lokalne gubitke tj. hg = hduz + hlok . Duinski gubici raunaju se pomou Darcy-Weisbachove formule (izvedena u prethodnom poglavlju):

hduz =

L v2 [m] D 2g

ili

hduz =

8 LQ2 [m] g 2 D5

,gdje je koeficijent hrapavosti, D promjer cijevi, L duina cijevi, v brzina strujanja i Q protok. esto se za proraun duinskih gubitaka koriste i drugi empirijski izrazi (npr. Hazen-Williamsova formula). Koeficijent trenja odreuje se u ovisnosti o reimu strujanja (Re) ili kvaliteti cjevovoda (relativna hrapavost e/D) pomou Moodyjevog dijagrama (Sl.A.1) ili pomou sljedeih empirijskih izraza: a. Pri laminarnom strujanju =(Re) =64 . Re

b. Pri turbulentnom strujanju b1. Za cijelo turbulentno podruje uz =(Re,e/D), vrijedi Colebrookova implicitna formula1 e 2,523 = 0,869 ln 3,7 D + Re

dok se najee koristi (greka unutar 1%) pribli