Mehanika

dinamika

1

22. 10. 2020

• Сила

• Њутнови закони кретања

• Тежина, трење и друге силе

• Основне силе у природи

• Статика

Galileo Galilei, (1564- 1642) Isaac Newton

(1643–1727)

2

„Njutnova kolevka“, Njutnovo klatno na knjizi

Ser Isaka Njutna „Matematički principi filozofije prirode “,

Igračka koja demonstrira održanje impulsa i energije

Osmislio Simon Prebble 1967.

Mehanika je osnovna i najstarija grana fizike koja

proučava zakone kretanja i delovanja izmeĎu tela.

→ kinematika, dinamika i statika

Kinematika (grč. kinein = kretati) je deo mehanike koji opisuje kretanja tela

bez obzira na uzroke kretanja.

Dinamika (grč. dynamis = sila) je deo mehanike koji proučava

uzroke kretanja tela i sila koje deluju na njih, tj. bavi se

uzrocima promene stanja kretanja tela

(pri čemu je i mirovanje neko stanje kretanja).

Statika je deo mehanike koji proučava uslove ravnoteže tela.

Kretanje je promena položaja tela u odnosu na druga tela (okolinu,

referentni sistem) u vremenu.

u svemiru ne postoji tačka koja apsolutno miruje → svako kretanje je relativno

mirovanje – oblik kretanja kada telo ima nepromenjene koordinate u odnosu na

referentni sistem (laboratorijski sistem – sistem koji miruje u odnosu na Zemlju)

3

U okviru kinematike proučavaju se načini kretanja tela,

uzimajući u obzir njihove koordinate, pomeraj, brzine i

ubrzanja i nalaženjem veze izmedju njih.

U okviru dinamike se takodje proučava kretanje tela ali se pri

tome uzimaju u obzir još dve nove fizičke veličine:

masa tela- m i sila - F koje utiče na njegovo kretanje.

Dinamika počiva na Njutnovim zakonima kretanja.*

Njutnovo formulisanje zakona kretanja je toliko značajno da se može reći da

simbolički označava prelaz iz vremena renesanse na moderna vremena u okviru

kojih se pogled ·čoveka na prirodu i njeno funkcionisanje drastično izmenio. 4

Pojam Sile ( F - force)

Do promene stanja kretanja nekog tela može doći samo pri interakciji

sa drugim telom, uzajamnom delovanju tela:

Direktna interakcija neposredan dodir (guranje ili vuča tela),

Indirektna reakcija se ostvaruje preko materijalne sredine , tj.

fizičkog polja.

Mera interakcije dva tela je fizička veličina koju nazivamo sila -

Silom se može uticati ne samo na promenu intenziteta brzine

kretanja tela već i na promenu pravca vektora brzine (ubrzati,

usporiti, promeniti smer)

Silom se može uticati i na promenu oblika tela, deformacija.

5

𝑭

Sila je vektorska veličina odreĎena

Intenzitetom

Pravcem i smerom

Napadnom tačkom

6

Sila je kvantitativna mera interakcije (meĎusobnog

delovanja) tela, tj. izražava intenzitet interakcije .

vektorska veličina

Jedinica sile je Njutn, F= [N] 𝑭

7

Sila je vektorska fizička veličina kojom opisujemo meĎusobno delovanje

dva ili više tela.

Ako više sila učestvuju u interakciji onda računamo rezultantnu silu.

Vektorska priroda sile

1. Dinamički, meri se promena kretanja tela

usled interakcije sa drugim telom (brzina,

akceleracija – ubrzanje);

2. Statički , zasnovan na merenju deformacije

tela, izazvane silom

Pošto se interakcija izmeĎu tela

ispoljava preko promene njihove

brzine ili deformacije tela, koriste

se dva načina merenja sile:

𝑭 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐

𝑭

Statičko merenje sile – F

“standardna sila” – linearna zavisnost F i deformacije

preko restitucione Fres (povratne)

sile

F = Fres = k x

8

Dinamometar je instrument za merenje sile

k

F = −𝑭𝒓𝒆𝒔

Vrste sila u prirodi

9

Sile mogu biti:

− kontaktne, kada pri interakciji

postoji dodir izmeĎu tela, i

− bezkontaktne, kada se interakcija

ostvaruje na daljinu, tj. putem

fizičkog polja

- na odbojne, tela se udaljavaju

- na privlačne, tela se privlače

10

Sile prema intenzitetu i nosiocima interakcije:

• jaka nuklearna sila –izmeĎu subatomnih čestica, kvarkovi, gluoni, hadroni, mezoni;

• elektromagnetna sila –izmeĎu naelektrisanja, naelektrisanje (privlačne i odbojne);

• slaba nuklearna sila –pojavljuje se u procesima radioaktivnog raspada,

deluje na sve čestice ;

• gravitaciona sila –izmeĎu materijalnih objekata, masa).

neograničen neograničen

neograničen

Masa-m i inertnost i količina kretanja - p

Empirijski je ustanovljeno da dejstvo iste sile na različita

tela uzrokuje različito ponašanje. Čovek može dejstvom

svojih mišića da pomeri auto, ali to ne može ako je u

pitanju autobus.

Masa tela se opire promeni stanja kretanja -> Inertnost

11

Što je objekat masivniji to je inertniji!!

Kretanje po inerciji – kretanje po pravoj liniji!

Teže je uticati na kretanje masivnijeg objekta nego onog sa

manjom masom

Masa i inertnost i količina kretanja

12

Impuls, količina kretanja p [kgms-1]

Masa - m

Masa: Mera interakcije / inertnosti tela

Skalarna, pozitivna, aditivna.

Ne može da nestane ili nastane

(u procesima koji mogu da se opišu klasičnom fizikom).

13

Masa je povezana sa sa količinom materije u telu (broj atoma i molekula u telu).

Masa je veličina koja ne zavisi od toga gde se nalazi telo već samo od onoga od

čega se sastoji.

Određivanje mase u praksi: Ne brojimo atome i molekule (a trebalo bi tako)

već upoređujemo masu tela sa standardom jedinice mase - kilogramom

1 2 3 ... nm m m m m

kgm

dimm M

Relativistički impuls i masa

Uslovi kada klasična mehanika ne može da se primeni

kada su tela veoma mala (< od dimenzije atoma)

kada se tela kreću brzinama bliskim brzinama svetlosti- c

Zavisnost mase od brzine

m0 – masa mirovanja

m- relativistička masa

za v<<c, m=m0

14

2

2

0

1c

v

vmp

2

2

0

1c

v

mm

Njutnovi zakoni kretanja Newton's laws of motion

Osnovni zakoni dinamike translacije, koje definisao Njutn,

predstavljaju zakone uzajamnog dejstva dva tela,

pri čemu oni odreĎuju kretanje jednog tela u odnosu na drugo.

I NjZ - Zakon inercije,

definiše silu kao uzrok promene stanja kretanja tela.

II NjZ – Zakon sile,

bliže definiše uticaj sile na stanje kretanja.

III NjZ - Zakon akcije i reakcije,

okarakterisana je sila kao rezultat uzajamnog dejstva

dva tela.

Newton's First and Second laws, in Latin, from the original 1687

Principia Mathematica.

Njutnovi zakoni kretanja – I Njutnov zakon

16 Galileo Galilej, Italijanski fizičar, matematičar, astronom i filozof (1564-1642)

Isak Njutn, engleski fizičar i matematičar (1642-1727).

Galileo je prvi naučnik koje je razvio koncept inercije u XVII veku.

U eksperimentima je koristio dve ravni nagnute jedna prema dugoj i

posmatrao kretanje kuglice po toj ravni.

Uočio je da kuglica koja se kotrlja niz jednu ravan dostiže skoro istu visinu i

na drugoj ravni.

Ako je nagib druge ravni 0 kuglica će se kretati beskonačno dugo bez obzira

na početnu visinu.

Njutnovi zakoni kretanja – I Njutnov zakon

17

Galileo je uočio da se telo u kretanju može zaustaviti zbog sile trenja.

Razlika izmeĎu početne i krajnje visine može biti samo zbog

prisustva trenja. Ako nema trenja visine će biti iste.

Njutnovi zakoni kretanja – I Njutnov zakon

18

Matematički izraz I Njutnovog zakona

19

21

Primeri iz svakodnevnog života u kojima se susrećemo sa I Njutnovim zakonom? a) Zašto su postavljeni oslonci za glavu na sedištima automobila?

b) Zašto, kada vozite bicikl i udarite u ivičnjak, kamen ili neki drugi objekt, letite ispred bicikla?

c) Zašto prilikom sudara dolazi do deformacije vozila?

d) Zašto sipate kečap iz boce tako što otvor na boci okrenete nadole i udarate rukom dno boce?

22

Primer:

Iz I NjZ koji definiše silu kao uzrok promene stanja kretanja proizilazi

II Njutnov zakon koji bliže definiše uticaj sile na stanje kretanja.

23

Njutn: 1N je sila koja telu mase 1 kg daje ubrzanje od 1 m/s2.

II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike

24

promene stanja kretanja, koja se meri ubrzanjem

i

III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije

25

Primer:

Udarac čekića o ekser čini da ekser ulazi u zid

ali isto tako ekser deluje na čekić koji usporava

svoje kretanje do zaustavljanja.

Dakle,

udarac čekića izaziva reakciju kod eksera istog

intenziteta i pravca, ali u suprotnom smeru.

Njutn je zapazio da izolovana sila ne može

postojati – sile uvek postoje u parovima.

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telo

deluje na prvo silom istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera.

III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije

26

Svako delovanje (akcija) stvara

uvek suprotno po smeru i jednako po intenzitetu

protivdelovanje (reakciju),

tj. delovanja dva tela jedno na drugo su jednaka i suprotnog smera.

m1 a 1

m2 a2

27

Treći Newtonov zakon

28

Treći Newtonov zakon

30

Treći Newtonov zakon

T2=- (T1+T1)

T

31

mg

3333

32

33

(=2/T , v = r)

an

F -

F => Gravitaciona sila

34

Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije.

= r12

36

Zemljina teža F (FZT) je rezultanta

gravitacione i centrifugalne sile koje

deluju na telo. Fcf<< Fg

Zemljina teža Slobodan pad podrazumeva da telo pušteno

sa neke visine bez početne brzine ubrzano

se kreće prema Zemljinoj površini.

Sila koja prouzrokuje slobodan pad

naziva se Zemljina teža.

m masa tela,

g ubrzanje slobodnog pada

gmF

g cf

zt g

F F F

F F F

37 Merna jedinica težine tela Q= [N]

Zemljina teža FZT , težina tela- Q

,

Težina tela

38

m – masa tela , MZ – masa Zemlje

RZ– poluprečnik Zemlje = [N]

39

Razlika Težine tela i Zemljine teže (sila zemljine teže):

Zemljina teža i težina tela imaju

jednak intenzitet (Fg=Q=mg ).

• isti pravac i smer ka površini Zemlje

• ali nemaju istu napadnu tačku

Ako se prekine konac o kome telo visi :

Telo slobodano pada >deluje Zemljina teža , ali težina tela je jednaka nuli (Q=0).

Kada slobodno pada podloga na kojoj se nalazi telo, telo ne pritiska podlogu i težina

tela je takoĎe jednaka nuli, ali Zemljina teža i dalje deluje na podlogu i na telo.

Napadna tačka:

Zemljine teže – telo (težište)

težine tela – tačka oslonca ili tačka vešenja

40

Suštinska razlika izmeĎu pojmova Zemljine teže i težine tela:

zemljina teža – održava uzajamno delovanje tela i Zemlje

težina tela – rezultat uzajamnog delovanja tela i podloge

težina tela – zavisi od ubrzanja podloge na kojoj se telo nalazi

zemljina teža – ostaje nepromenjena u tim uslovima

težina tela – na polovima i na ekvatoru nije ista

Ne možemo ga opažati čulima,

registrujemo ga na osnovu njegovog delovanja na druga tela;

Gravitaciono polje je prenosilac gravitacione interakcije tela.

fizička svojstva se opisuju uz pomoć

dve fizičke veličine:

Jačina gravitacionog polja

Potencijal gravitacionog polja

Jačina gravitacionog polja

Gravitaciono polje je posebno fizičko stanje prostora oko

svakog tela mase m.

42

N

kg

Fg G

Fg

Jačina gravitacionog polja je fizička veličina koja je brojno jednaka gravitacionoj

sili koja u datoj tački polja deluje na probno telo jedinične mase.

Fg – gravitaciona sila ; mp- masa probnog tela (m>> mp)

Ona je vektorska fizička veličina i istog je pravca i smera kao i Fg u toj tački.

v= 𝐺𝑑𝑟𝑟0𝑟

43

Jačina gravitacionog polja

Prema II NjZ, gravitaciona sila Zemlje Fg

probnom telu mase mp saopštava ubrzanje g.

2

=gp

g Zz

p

m g F g G

F MG e

m r

2

2

mkg

N msGkg kg s

𝑔 = 𝑀𝑧

RZ2

Na površini Zemlje gravitaciono

ubrzanje Zemlje je:

𝐺 = 𝑔

pm

pm

44

Težina tela

Gustina, specifična zapremina i specifilna težina.

• Iste zapremine različitih tela nemaju iste mase.

• Odnosi između mase, zapremine i težine su konstantne karakteristike tela:

45 , III NjZgN F N Q

46

1 cos30NF Q

Primer II Nutnov zakon: Kolika je težina ribe?

47

49

Primer: odredi ubrzanje tegova i napetost niti.

a

a

a

a

= a

50

a y

Primer: odredi akceleraciju tegova i zatezanje, napetost, niti.

a

m2

Sila trenja

51

Trenje -makroskopska pojava koja se javlja:

• pri relativnom kretanju tela koja se dodiruju, i

• pri relativnom pomeranju delova nekog tela.

Podela 1:

- spoljašnje trenje - trenje izmeĎu dva tela koja su u neposrednom dodiru,

- unutrašnje trenje - trenje izmeĎu delova jednog istog tela.

Podela 2:

• viskozno trenje –

- trenje izmeĎu slojeva u tečnosti i gasovima,

- trenje pri kretanju čvrstog tela kroz fluid,

- trenje izmeĎu dva čvrsta tela izmeĎu kojih se nalazi fluid,

• suvo trenje - trenje u odsustvu bilo kakvog meĎusloja,

• trenje klizanja,

• trenje kotrljanja.-

Sila trenja

52

Fn

Ftr- Otpor kretanju

intenzitet sile trenja zavisi od: • prirode tela koja se dodiruju,

• agregatnog stanja tela,

• uglačanosti površine dodira,

• sile kohezije i adhezije tela koja se dodiruju,

• relativne brzine kretanja.

Koeficijent trenja μ - neimenovan broj i

zavisi od: - karaktera dodirne površine i

- relativne brzine kretanja.

tr nF F

53

Fn

54

Fs max

Fk= µk N

Fk Fs

55

56

57

58

Pri suvom trenju tela koje se nalazi na horizontalnoj ravni:

• telo klizi pod dejstvom sile F koja je paralelna ravni,

• kretanju se suprostavlja sila trenja pri klizanju Ftr

• sila trenja proporcionalna je normalnoj sili FN - normalna

komponetna sile kojom podloga deluje na telo.

Kretanje tela se odvija pod dejstvom

rezultante sila F i Ftr.

tr nF F

trtr

F FF F ma a

m

𝑎

tr nF F F Fa

m m

59

Koeficijent trenja pri klizanju se može odrediti posmatranjem

kretanja tela na strmoj ravni.

Na telo deluju dve komponente težine tela:

• normalna komponenta na površinu, Fgy

• tangencijalna komponenta sa površinom. Fgx

• Telo miruje za manje nagibe ravni zbog sile trenja.

• Povećanjem nagiba telo se kreće pod dejstvom tangencijalne

komponente težine tela.

Telo počinje da klizi konstatnom brzinom ako je Fgx=Ftr S druge strane sila trenja je proporcionalna normalnoj komponenti sile težine

Ftr= μd Fn = μd (m g cosθ)

Fgx = Ftr

mg sinθ = μd m g cosθ

μd = tg θ

θ

θ

60

Odrediti koeficijent trenja pri klizanju kod kretanja tela na

strmoj ravni.

Telo počinje da klizi konstatnom brzinom ako je Fgx=Ftr S druge strane sila trenja je proporcionalna normalnoj komponenti sile težine

Ftr= μd Fn = μd m g cosθ. Fgx = Ftr

mg sinθ = μd m g cosθ

μd = tg θ

θ

θ

Sila otpora sredine

61

Ako se telo kreće kroz neki fluid (vazduh ili vodu, …) na njega deluje sila

slična trenju, koja se manifestuje kao otpor kretanju tela i naziva sila otpora

Intenzitet sile otpora zavisi od brzine, pravac se poklapa sa pravcem brzine, a smer

je suprotan od smera brzine:

v

v

Fot

Fot

62

63

Konac neistegljiv – svaka tačka konca ima isto ubrzanje kao i telo, a

konac je zanemarljive mase,

64 Napon sile

Hukov zakon

65

Elastična sila.

k - koeficijent elastičnosti

x - vektor istezanja

Eksperimentalno je utvĎena zavisnost:

𝐹𝑒𝑆= −𝐸

𝑥

𝑥

Hukov zakon

66 s Ed

Jungov modul elastičnosti ,(Youngov ) Ey

relativna

67

Hukov zakon – relativna deformacija je srazmerna naponu sile.

s Napon sile

d Relativna

deformacija

E Jungov modul

elastičnosti

d es

e= 1/E - koeficijent

elastičnosti

Dijagram istezanja (dijagram naprezanja)

A- granica proporcionalnosti,( važi Hukov zakon),

B- granica elastičnosti,

C- granica kidanja, žica se ne vraća u prvobitni položaj.

s Ed d es

68

69

70

71

an

22

B ČETVRTAK

22.10. KRAJ

PREDAVANJA

72

Fc

Fc

!!! Centripetalna sila nije posebna vrsta sile, već samo naziv za bilo

koju silu čije delovanje dovodi do kružnog kretanja tela oko nekog centra

r0

v

Fcp

73

Fcf

74

CENTRIFUGALNA SILA

Specijali slučaj: Jednako ubrzana rotacija ugaonom brzinom

Dva sistema;

S’ rotirajući, vrti se stalnom ugaonom brzinom

S inercioni, miruje

Materijalna tačka m:

- miruje u sistemu S’ na udaljenosti r od osi rotacije

- rotira u sistemu S stalnom ugaonom brzinom

S’

m

S

CENTRIPETALNA I CENTRIFUGALNA SILA

Uzrok kružnog kretanja - rezultanta svih sila na m

usmerena prema centru rotacije –

centripetalna sila

cpF

cpaCentripetalno

ubrzanje

S’

m

cpF

S

S’

m

cfF

cpF

Inercijalna sila - centrifugalna sila cfF

Jednačina kretanja

S’

m

cfF

cpF

posmatrač iz (rotirajučeg) S’ :

- m miruje

Posmatrač iz (mirujućeg) S:

- m se vrti jednolikom

rmamFFFcpcpn

2

0'' amFFFin

S

cpnFF

0inFF

cpiFF

Inercijalna sila centrifugalna sila cpcfFF

CENTRIPETALNA I CENTRIFUGALNA SILA

rmFcf

2

Smer: kao smer r, od središta rotacije prema spolja

S’

m

cfF

cpF

Inercijalni referentni sistem je vezan za (referentno) telo koje se kreće ravnomerno, ne

menjajući brzinu i pravac kretanja.

Svaki sistem koji je vezan za referentno telo koje se kreće neravnomerno ili krivolinijski

je neinercijalan. Voz koji ubrzava, platforma koje se obrće.

79

=acp

Predhodni

čas

=

r0

Predhodni

čas

d

d

va

t