MEHANIKA KOTRLJANJA TO ČKA - …mehanizacija.ftn.uns.ac.rs/wp-content/uploads/2015/06/P01... · Mehanika kotrljanja to čka MEHANIKA KOTRLJANJA TO ČKA Kotrljanje krutog to čka

FTN Novi Sad

Katedra za motore i vozila

Teorija kretanja drumskih vozilaMehanika kotrljanja točka

MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKA

•• Kako se određuje smer tangencijalne reakcije?Kako se određuje smer tangencijalne reakcije?

FTN Novi Sad




Smer reakcije je uvek suprotan dejstvu koje teži da izazove klizanje!Smer reakcije je uvek suprotan dejstvu koje teži da izazove klizanje!Sve ovo važi bez obzira na smer ugaone brzine!Sve ovo važi bez obzira na smer ugaone brzine!

• Aktivno spoljno dejstvo (sila ili moment) teži da izazove klizanje točka.• Tangencijalna reakcija podloge se po smeru suprotstavlja tom klizanju.

FTN Novi Sad




Kotrljanje krutog točka po krutoj podlozi

M,ω

T

CFC

M – pogonski momentω - ugaona brzinaFC – sila kojom vozilo deluje na točakT – tangencijalna reakcija podloge na dejstvo M i FC

T

JC⋅ω = M – r⋅T

m⋅x = m⋅r⋅ω = T – FC

Ulazne veličine: M, FC

Odrediti: T, ω

2

C

C

C2

C

C

mrJ

JF

mrJ

J1

r

MT

+⋅+

+−=

M > 0 – pogonski točakM = 0 – slobodan točakM < 0 – kočeni točak

r

x

mrJ

FrMω

2

C

C&&

& =+

⋅−=

Nije ucrtano a podrazumeva se da postoji:

vertikalno opterećenje točka i vertikalna reakcija podloge!

FTN Novi Sad





M,ω

T

CFCM

T =

2

C

C

C2

C

C

mrJ

JF

mrJ

J1

r

MT

+⋅+

+−=

za ω = 0 biće: - statička reakcija!

r

x

mrJ

FrMω

2

C

C&&

& =+

⋅−=

T

Slučajevi:

• M < r⋅FC ⇒ ω < 0 – trenutno ne razmatramo...

• M = r⋅FC ⇒ ω = 0, T = Tstatičko

• M > r⋅FC ⇒ ω > 0 , T < Tstatičko

r

MT =za ω = 0 biće: - statička reakcija!

Slučajevi:FC = 0 ⇒ ...(nije realno za vozilo!)

M = 0 ⇒ ...(slobodan točak!)

Deo dovedenog momenta se “potroši” na ugaono ubrzanje, a “ostatak” je na raspolaganju za reakciju T (na račun koje se savlađuje sila FC!)

Dovedeni moment je u celini na raspolaganju za realizaciju tangencijalne reakcije T (na račun koje se savlađuje sila FC!)

Za M > 0

Pri ubrzanom kretanju važi: veće JC ⇒ manje T (pri konstantnom M!) ⇒ manje FC koje možemo da savladamo!

FTN Novi Sad





M,ω

T

CFC

r

x

mrJ

FrMω

2

C

C&&

& =+

⋅−=

C2

C Fr

Mx)

r

J(m −=⋅+ &&⇒

Uočiti analogiju sa zakonom kretanja materijalne tačke!

Isto to, na drugi način...

T

m + JC/r2 – “ekvivalentna masa”

Ubrzavanje: ∆EK = ∆EK,transl + ∆EKr,ot

r

M- “pogonska” (ili “obimna”) sila

FTN Novi Sad




Kotrljanje točka po deformabilnoj podlozi

Kretanje van tvrdih puteva – ne spada u problematiku kursa!

FTN Novi Sad




Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi

• Realan slučaj!• Razlika u odnosu na prethodno razmatrani slučaj:

unutrašnje trenje u pneumatiku → energetski gubici!unutrašnje trenje u pneumatiku → energetski gubici!

POJAVA OTPORA KOTRLJANJA

FTN Novi Sad



VISKOELASTIČNOST GUME

Efekat istovremenog prisustva elastičnog i viskoznog dejstva

Gumeni uzorak ispitujemo naizmeničnim istezanjem i sabijanjem

Izvor: Nadine Koprowski-Theiß, dr. dis.

FTN Novi Sad



HISTEREZIS HISTEREZIS –– mera energetskih gubitaka usled unutrašnjeg trenjamera energetskih gubitaka usled unutrašnjeg trenja

FPri opterećivanju uzorka savlađujemo elastičnu silu i silu unutrašnjeg trenja

VISKOELASTIČNOST GUME

F

δδ

Felastičnu silu i silu unutrašnjeg trenja

Pri rasterećivanju vraća nam se rad elastične sile, ali sada taj rad savlađuje i silu unutrašnjeg trenja

Razlika → mera gubitaka

Sila pri rasterećivanju je manja za istu veličinu deformacije

FTN Novi Sad



MEHANIKA KOTRLJANJA TOČKAVertikalno opterećenje deformabilnog točka koji miruje na krutoj podlozi

• Raspodela opterećenja je simetrična

F = C⋅∆L∆L

ELASTIČNA SILA JE TIM VEĆA ŠTO JE VEĆA DEFORMACIJA

• Rezultanta je sučeona sa spoljnim opterećenjem• Sistem je u statičkoj ravnoteži

FTN Novi Sad




F = -k⋅vv


MODELMODEL

F = C⋅∆L∆L

PRIGUŠNA SILA – DISIPATIVNI OTPOR(rasipanje energije)

ELASTIČNA SILA –KONZERVATIVNI “OTPOR”(pri rasterećivanju vraća mehanički rad uložen pri opterećivanju)

⇒⇒ HISTEREZISHISTEREZIS

FTN Novi Sad



Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi – uticaj histerezisa

ULAZAK U ZONU KONTAKTA:ELASTIČNA + PRIGUŠNA SILA

IZLAZAK IZ ZONE KONTAKTA:ELASTIČNA - PRIGUŠNA SILA

F

FPRIG

FREZF

FPRIG

FFEL FEL FREZ

POSLEDICA: POSLEDICA: ASIMETRIČNA ASIMETRIČNA RASPODELA RASPODELA VERTIKALNE REAKCIJEVERTIKALNE REAKCIJE

FTN Novi Sad



Kotrljanje deformabilnog točka po krutoj podlozi – uticaj histerezisa

Težište krive zakonitosti kontinualnog opterećenja se premešta ISPRED Težište krive zakonitosti kontinualnog opterećenja se premešta ISPRED ose simetrije točka, a time i rezultujuća vertikalna reakcija!ose simetrije točka, a time i rezultujuća vertikalna reakcija!

Posledica: vertikalna reakcija stvara moment koji se suprotstavlja Posledica: vertikalna reakcija stvara moment koji se suprotstavlja kotrljanju točka kotrljanju točka ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒NASATANAK OTPORA KOTRLJANJA (OTPOR HISTEREZISA)NASATANAK OTPORA KOTRLJANJA (OTPOR HISTEREZISA)

Ovo važi uvek! (pogonski, kočeni, slobodan točak)Ovo važi uvek! (pogonski, kočeni, slobodan točak)Tj. položaj vertikalne reakcije određen je samo smerom obrtanja ali ne i smerom

dejstva momenta na točak!

FTN Novi Sad




Kolika je tangencijalna reakcija u pojedinim slučajevima?

• Slobodan točak• Pogonski točak• Kočeni točak

• Ustaljeno kretanje• Ubrzano ili usporeno kretanje

FTN Novi Sad




Radijus deformisanog pneumatika

r

• Slobodni radiujus: r0

• Statički radijus: rST = r0 – f(f – radijalni ugib pneumatika duž vertikalne ose)

• Dinamički radijus: rD = OK / (2π)(OK – obim kotrljanja)rST(OK – obim kotrljanja)

• U opštem slučaju je rD ≠ rST! → trenutni centar se u opštem

slučaju ne podudara sa sredinom kontaktne površine

• Statički radijus predstavlja krak tangencijalne reakcije podloge u odnosu na centar točka.

• Dinamički radijus povezuje obrtno (ω) sa translatornim (v) kretanjem točka.

• rST – može da se izmeri geometrijski

• rD – određuje se ispitivanjem točka u kotrljanju

FTN Novi Sad




• Određuje se ispitivanjem

• Navodi se u katalogu proizvođača

• Posledica složene deformacije oboda pneumatika

• U eksploataciji su varijacije male, deklarisana

Dinamički radijus pneumatika

rD ≈ rST

• U eksploataciji su varijacije male, deklarisana vrednost se može smatrati konstantnom sa zadovoljavajućom tačnošću

USVOJIĆEMO POJEDNOSTAVLJENJE: rD ≈≈≈≈ rST!

FTN Novi Sad




Odnos dinamičkog i statičkog radijusa pneumatika

Primer 1:

Izvor: Adams 2012, Using PAC2002 Tire Model

Primer 2: traktorski točak 480/70 R 24, pritisak 1,5 bar

Promena GT sa 10kN na 20kN ⇒ promena rD za ≈2%

Izvor: Ferhadbegović, Böhler

FTN Novi Sad



NEPOGONSKI TOČAK (slobodno kotrljanje)


GT

F

ω SILE KOJE DELUJU NA TOČAK:

GT – vertikalno opterećenje točkaRZ – vertikalna reakcija podlogeFX – horizontalna reakcija između vozila i točka

e

RZ

RX

A rD

FXFX – horizontalna reakcija između vozila i točka (ovde: sila kojom vozilo povlači točak)RX – tangencijalna reakcija između točka i podlogee – ekscentricitet vertikalne reakcijerD – dinamički radijus točka

U daljim razmatranjima će za krak tangencijalne sile biti usvojen rD, na osnovu približne jednakosti rD ≈≈≈≈ rST

FTN Novi Sad




GT

F

ωUstaljeno kretanje (statika):ΣZi ⇒ RZ = GT

ΣXi ⇒ RX = FX

ΣMA ⇒ e⋅RZ = rD⋅FX /rD

e⋅=⇒


e

RZ

RX

A rD

FXT

DX G

re

R ⋅=⇒

fre

D

= →→→→→→→→ koeficijent otpora kotrljanjakoeficijent otpora kotrljanja

Koeficijent f → empirijsko određivanje odnosa e/rD uz uzimanje u obzir ostalih uzroka nastanka otpora kotrljanja točka.

ff⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅GGT T ≡≡≡≡≡≡≡≡ FFfTfT –– SILA OTPORA KOTRLJANJA TOČKASILA OTPORA KOTRLJANJA TOČKA

FTN Novi Sad




GT

F

ω

• Sila otpora kotrljanja proporcionalna je koeficijentu otpora kotrljanja i vertikalnom opterećenju točka.


ff⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅GGT T ≡≡≡≡≡≡≡≡ FFfTfT –– SILA OTPORA KOTRLJANJA TOČKASILA OTPORA KOTRLJANJA TOČKA

e

RZ

RX

A rD

FX

• Tangencijalna reakcija slobodnog točka jednaka je sili otpora kotrljanja.

TD

X Gre

R ⋅= = f⋅GT = FfT

Obično je f∼0,01 → detaljnije u nastavku...

FTN Novi Sad




GT

F

ω

– aktivna sila koju moramo saopštiti slobodnom

FX = RX = f⋅GT = FfT


e

RZ

RX

A rD

FX– aktivna sila koju moramo saopštiti slobodnom

točku da bi se kotrljao

Uslov za nastanak sile RX je trenje (prijanjanje) između točka i podloge - na podlozi bez trenja slobodan točak se ne bi kotrljao već bi klizao translatorno!

FTN Novi Sad




POGONSKI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const)

MT

FX

GT

r

ω MT – pogonski obrtni moment na točkuFX – horizontalna reakcija između vozila i točka (ovde: sila kojom vozilo zadržava točak)

ΣZ ⇒ R = GFX rD

e

RZ

RX

ΣZi ⇒ RZ = GTΣXi ⇒ RX = FXΣMA ⇒ MT = e⋅RZ + rD⋅FX /rD

FO – obimna (vučna) sila na točku →→→→ fiktivna (tj. računska) veličina!

OD

T FrM

≡ → definicija

FTN Novi Sad




TDD

TX G

re

rM

R ⋅−=

R = F – F → stvarna tangencijalna reakcija na

MT

FX

GT

r

ω

POGONSKI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const)

RZ = GT, RX = FX

MT = e⋅GT + rD⋅RX /rD

RX = FO – Ff → stvarna tangencijalna reakcija na pogonskom točku

FX rD

e

RZ

RX

• Tangencijalna reakcija pogonskog točka jednaka je obimnoj sili (tj. odnosu pogonskog momenta i dinamičkog radijusa točka), umanjenoj za vrednost sile otpora kotrljanja.

FTN Novi Sad




MT

FX

GT

r

ω

POGONSKI TOČAK PRI UBRZANOM KRETANJU (a>0)

M

Druga jednačina ravanskog kretanja za točak:

TfXDC MMRrωJ +−⋅−=⋅ &

UTICAJ MOMENTA INERCIJE

FX rD

e

RZ

RXD

TO r

MF ≡Mf = e⋅GT 0>ω&

RX = FO - Ff - → stvarna tangencijalna reakcija na pogonskom točku pri ubrzanom kretanjuD

C

rJ ω⋅ &

Deo pogonskog momenta saopštenog točku se “troši” na savlađivanje

MOMENTA INERCIJE tj. na ubrzanje obrtnih masa, drugi deo se “troši” na

savlađivanje sopstvenog otpora kotrljanja točka; ostatak RX je na raspolaganju

za savlađivanje otpora FX i transl. ubrzanje točka

FTN Novi Sad




MK

FX

GT

ω MK – kočni moment na točkuFX – horizontalna reakcija između vozila i točka (ovde: sila kojom vozilo gura točak)

ΣZi ⇒ RZ = GTΣX ⇒ R = F

KOČENI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const)Slučaj: kočenje na nizbrdici radi održavanja brzine

FX rD

e

RZ

RX

ΣXi ⇒ RX = FXΣMA ⇒ rD⋅FX = MK + e⋅RZ /rD

FK – kočna sila na točku →→→→ fiktivna (računska) veličina!

KD

K FrM

≡ → definicija

FTN Novi Sad




MK

FX

GT

ω

TDD

KX G

re

rM

R ⋅+=

R = F + F → stvarna tangencijalna reakcija na

KOČENI TOČAK PRI USTALJENOM KRETANJU (v=const)

FX rD

e

RZ

RX

RX = FK + Ff → stvarna tangencijalna reakcija na kočenom točku

Tangencijalna reakcija kočenog točka jednaka je odnosu kočnog momenta i dinamičkog radijusa točka, uvećanom za vrednost otpora kotrljanja.

FTN Novi Sad




MK

FX

GT

ω

KOČENI TOČAK PRI USPORENOM KRETANJU (a<0)

M≡

Druga jednačina ravanskog kretanja za točak:

KfXDC MMRrωJ −−⋅=⋅ &

UTICAJ MOMENTA INERCIJE

FX rD

e

RZ

RX

Analogija sa ubrzanjem: deo kočnog momenta se “troši” na usporavanje obrtnih

masa, ostatak je na raspolaganju za translatorno usporenje – RX; otpor kotrljanja

pomaže kočenju!

D

KK r

MF ≡

RX = FK + Ff - → stvarna tangencijalna reakcija na kočenom točku pri usporenom kretanju

Mf = e⋅GT

D

C

r

ωJ &⋅

0<ω&

FTN Novi Sad



OTPOR KOTRLJANJA TOČKA

FTN Novi Sad



Raspored kontaktnih pritisaka za radijalni i dijagonalni pneumatik

Izvor: Walentowitz

INFORMATIVNODIJAGONALNI PNEUMATIKRADIJALNI PNEUMATIK

Pojednostavljeni prikaz Pojednostavljeni prikaz →→

SMER KRETANJA SMER KRETANJA

FTN Novi Sad



Otpor kotrljanja točka – vrednosti i uticajni faktori

1000 kg1000 kg

ff00 ≈≈ 0,010,01

10 kg10 kg ZZA PROSEČAN PNEUMATIK NA A PROSEČAN PNEUMATIK NA PROSEČNOJ TVRDOJ PODLOZI PROSEČNOJ TVRDOJ PODLOZI I I DO ODREĐENE BRZINEDO ODREĐENE BRZINE VAŽI:VAŽI:

Šta tačno znači “do određene brzine”? → u nastavku...

Orijentaciono ∼ 100 km/h

FTN Novi Sad




INFORMATIVNO

ORIJENTACIONE VREDNOSTI ZA f (za male brzine)

FTN Novi Sad




UTICAJ BRZINE

Pri početnom porastu brzine – za širi dijapazon – blag porast; pri većim brzinama nagli!

Izvor: Genta/Morello

FTN Novi Sad




UTICAJ BRZINE

Izvor: Reimpell

FTN Novi Sad




UTICAJ BRZINE

Empirijska relacija – opšti oblik:

f = C0+C1⋅v+C2⋅v2+C3⋅v3+C4⋅v4+...

Primer:

f0 = 0,01

C1 = 5,42⋅10-6

C2 = 1,05⋅10-11

f = f0+C1⋅v+C2⋅v4 , v (km/h)v (km/h)

Primer:

FTN Novi Sad




UTICAJ BRZINEIzvor: Genta / Morello

Formira se stojeći deformacijski talas koji dovodi do razaranja pneumatika!

Pri neodgovarajućim pritiscima može doći do pregrevanja i devulkanizacije zbog pretvaranja deformacijskog rada u toplotu!

Šta ograničava maksimalnu brzinu kretanja za određeni pneumatik?

FTN Novi Sad




UTICAJ PRITISKA

Viši pritisak ⇒ manja deformacija ⇒ manji otpor kotrljanja

Vrednosti ograničene zahtevima za prijanjanje, udobnost, habanje

Izvor: Genta / Morello

FTN Novi Sad




UTICAJ BRZINE I OPTEREĆENJA ZA PNEUMATIKE KOMERCIJALNIH VOZILA

Izvor: Genta / Morello, Walentowitz

INFORMATIVNO

p = 7,5 bar

Moguće objašnjenje za pad f sa porastom v: merenja vršena u stacionarnom stanju ⇒uticaj povišene temperature, pritisak porastao u odnosu na nazivni

Uticaj temperature → objašnjenje u nastavku

FTN Novi Sad




UTICAJ VERTIKALNOG OPTEREĆENJA

Povećanje opterećenja: analogno sniženju pritiska (dužina kontaktne zone raste)

Za v = 30 km/h = const

INFORMATIVNO

Izvor: Genta / Morello

Empirijska relacija:

Uticaj pritiska i opterećenja na f se ne razmatra računski pod pretpostavkom da je pritisak prilagođen datom opterećenju!(defleksija ostaje približno ista)

FTN Novi Sad




UTICAJ TEMPERATURE

0.011

0.012

C(r)

INFORMATIVNO

f ⇒ T↑↑↑↑ ⇒ Q↑↑↑↑;

T↑↑↑↑ ⇒ p↑↑↑↑ ⇒f↓↓↓↓ - do formiranja ravnotežnog stanja

f

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

Izvor: B.Wagner

Primer: za brzinu od 140 km/h ravnotežna temperatura je reda veličine 100°C(Genta / Morello, str. 84)

f

t (s)

FTN Novi Sad




UTICAJ KONSTRUKTIVNIH PARAMETARA PNEUMATIKA

Koeficijent f opada sa:Koeficijent f opada sa:

• povećanjem dimenzija pneumatika• smanjenjem odnosa visine prema širini (ukrućenje boka, manji histerezis)• poboljšanjem sastava smeše gume – smanjenje histerezisa

INFORMATIVNO

Struktura otpora histerezisa:

• 50% - gazeći sloj• 20% - pojas• 10% - karkasa• 10% - bok

FTN Novi Sad




UTICAJ VRSTE I STANJA PODLOGE

• neravna podloga – povećan histerezis• prisustvo vlage (otpor vodenog filma, prilepljivanje pneumatika za tlo)• meka podloga – uticaj deformacije

f (-)

0.4

6.00-16f (-)

Pritisak vazduha (kPa)0 100 200 300

0.1

0.2

0.3

Pesak

Beton

Srednje tvrda zemlja

7.50-28

FTN Novi Sad



Otpor kotrljanja točka – ostali izvori nastanka

• bočno povođenje točka (→“scrubbing off speed”)

• geometrija točka (bočni nagib, usmerenost)

• prisustvo primesa na čvrstoj podlozi (potiskivanje vodenog filma, sloja peska i sl.)

• kratkotalasne neravnine podloge (pojačan uticaj histerezisa)

• trenje klizanja u kontaktnoj površini (tangencijalne def. u gazećem sloju)• trenje klizanja u kontaktnoj površini (tangencijalne def. u gazećem sloju)

• trenje u ležaju točka

• zaostali moment kočenja

• itd.

FTN Novi Sad



OTPOR KOTRLJANJA - REZIME

f

∼ 0,01

v

Glavni eksploatacioni faktori koji utiču na otpor kotrljanja:

• brzina• pritisak• vertikalno opterećenje

RAZMATRA SE RAČUNSKI

OBIČNO SE NE RAZMATRAJU RAČUNSKI – smatra se da su međusobno usklađeni

Documents

MEHANIKA KOTRLJANJA TO ČKA - …mehanizacija.ftn.uns.ac.rs/wp-content/uploads/2015/06/P01... · Mehanika kotrljanja to čka MEHANIKA KOTRLJANJA TO ČKA Kotrljanje krutog to čka