MEKANIK GRUNDLÄGGANDE, FÖRELÄSNING

Embed Size (px)

Text of MEKANIK GRUNDLÄGGANDE, FÖRELÄSNING

12004-03-15 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2Att ge de studerande frtrogenhetmed de grundlggande lagarna inomden klassiska mekaniken och frdighet att sjlvstndigt tillmpa lagarna p konkreta mekaniskaproblem.Kursens ml2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 ExempelNational Crash Analysis Center http://www.ncac.gwu.edu/22004-03-15 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Exempel2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 Exempel32004-03-15 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 Kursinformation2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 Klassisk mekanikPartikel Stel kropp Deformerbar kroppKinematik Kinetik Konstitutiva lagarMekanikStatik DynamikHastighetAccelerationFrilggningNewtons IITjningSpnningElasticitet42004-03-15 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 Sir Isaac Newton1643-1727Professor i matematik, Cambridge, 1669Spegelteleskop, 1671Philosophi Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer, Principia), 1687, kraftbegrepp, rrelselagar, gravitationsteoriChef fr myntverket, 1700Opticks, 1704, ny syn p begreppet frg, utvecklade infinitesimalkalkylenGud r allsmktig, stndigt nrvarande i sin skapelse, och genom studiet av naturen erhller vi kunskap om honom2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Newtons lagarI. En kropp frblir i vila eller likformig rrelse om den ej tvingas av pverkande krafter att ndra detta tillstnd.II. ndringen i en kropps rrelsemngd r proportionell mot kraften och sker i kraftens riktning.III. Tv kroppars msesidiga verkningar p varandra r lika stora och motriktade.52004-03-15 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2 SI - enheter Ett kilogram r lika med massan av den prototyp som frvaras i Pavillon de Breteuil vid Sveres nra Paris. En meter r lngden av den strcka som ljuset tillryggalgger i vakuum under tiden 1/299 792 458 s. En sekund r tiden fr 919 263 1770 perioder av den strlning som fs vid vergngen mellan de tv hyperfinniverna i grundtillstndet hos atomen cesium 133.2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 10TMME 60 del 2 Vad r en kraft?I. Fix vektor vektor med unik angreppspunktII. Glidande vektor vektor med unik angreppslinjeIII. Fri vektor placering saknar betydelseEn kraft r en vektorstorhet som beskriver (mekanisk) vxelverkan mellan kroppar. Exempel p krafter r gravitationen och normaltrycket mellan tv fysikaliska objekt.En kraft r en fysikalisk vektor, dvs dess konsekvenser kan ven bero p dess placering. Det finns tre olika typer av fysikaliska vektorer: 62004-03-15 nicst@ikp.liu.se 11TMME 60 del 2 Skalrprodukt cos b a b a = baz z y y x xz y xz y xz z y y x xz z y y x xb a b a b a b b b a a a b b b a a a+ + = == + + = + + =b aba e e e b e e e a) , , () , , (2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 12TMME 60 del 2 Skalrprodukt-exempelaaaFzExEyEABCEn kloss kan glida lngs en rak stng. En kraft med storlek F och riktning enligt Figuren angriper klossen. Kraftens bidrag utmed stngen kommer att accelerera partikeln. Bestm detta bidrag!72004-03-15 nicst@ikp.liu.se 13TMME 60 del 2 Kryssproduktz y xz y xz y xb b b a a a e e e b a = sin b a b a c b a c= = =abc2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 14TMME 60 del 2 Kryssprodukt-exempela 2aa 2FzExEyEEn stng r fritt ledad map origo. En kraft med storlek F och riktning enligt Figuren angriper i stngens nde. Kraftens moment map origo kommer att bidra till stngens rotation. Bestm detta moment!82004-03-15 nicst@ikp.liu.se 15TMME 60 del 2 Hastighet och accelerationrt ddrv =Hastighet22ddtra =AccelerationGivet att positionen fr en partikel ges av lgesvektorn r=r(t), s defineras hastighet och acceleration som 2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 16TMME 60 del 2 ExempelxEyE2x y =En partikel frdas lngs banan y=x2. Hastigheten i x-led r hela tiden vEx. Bestm partikelns acceleration nr den passerar x=0.92004-03-15 nicst@ikp.liu.se 17TMME 60 del 2 Newtons IIFr en partikel med massan m som pverkas av en kraft F gller att) (ddv F mt=Detta r Newtons 2:a lag. Storheten mv kallas fr rrelsemngd (v betecknar partikelns hastighet). Givet att massan r konstant, s erhlles fljande formuleringa F m =Hr betecknar a partiklens acceleration.2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 18TMME 60 del 2 Rrelse i kartesiska koordinaterz y x z y x e e e r + + =z y x z y x e e e v & & & + + =z y x z y x e e e a & & & & & & + + =KinematikKinetik = x x ma F = y y ma F = z z ma F102004-03-15 nicst@ikp.liu.se 19TMME 60 del 2 Exempel1m2mTv partiklar hnger i ett arrangemang av masslsa stela snren och trissor. Bestm partiklarnas acceleration givet att systemet r friktionsfritt. 12004-03-17 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2 RepetitionHastighet:22ddtra = Acceleration:Kinematikz y x z y x e e e r + + =z y x z y x e e e v & & & + + =z y x z y x e e e a & & & & & & + + =Kinetik) (ddv F mt=a F m =Newtons II:z zy yx xma F ma F ma F===Fart: v = v t ddrv = (tangenten)2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 Naturliga koordinatersntt t v s v &= =Hastighet Accelerationn t n t a 2 2ssvv && & & + = + =Visa!22004-03-17 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Naturliga koordinaters2van = v at &=vCentripetal accelerationFartndring2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 ExempelEn bil med konstant fart kr ver en kulle med konstant krkningsradie. Bestm bilens totala acceleration!m/s 30 = vm 100 = 32004-03-17 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 Krkningsradie22ddy ,ddy ), (xyxyx y y = = =yxr( )2 / 3222) ( 1dd 1yys + = = r Visa!s2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 ExempelxEyE2x y =Bestm krkningsradien vid x=0!42004-03-17 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 Cirkulr rrelseR & & & ,&& R s v = =& && R v at = =22&RRvan = =Visa!2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Rrliga enhetsvektorerYEXExeyesystem ref. rrligt - , y x e estem referenssy fixt - , Y X E Ey x e e && = x y e e && =Visa!52004-03-17 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2YEXExeyey x e e = x y e e = Rrliga enhetsvektorer2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 10TMME 60 del 2 Polra koordinaterReeRRRe r =e e e e r v & &&&& R R R R R R R + = + = == + + + + = = e e e e e v a && & & & &&& & && R R R R R R R e e ) 2 ( ) (2 & & & & & & & R R R R R + + 62004-03-17 nicst@ikp.liu.se 11TMME 60 del 2 Polra koordinaterR vR &= &R v =R e e v v v R R + =2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 12TMME 60 del 2 Polra koordinater2& & & R R aR = & & & & R R a 2 + =R e e a a a R R + = & & & & R R +2&R& &RR& & &R v = R vR &=72004-03-17 nicst@ikp.liu.se 13TMME 60 del 2 Exempelm 5sBestm hastigheten och accelerationen i punkten A givet attA0rad/s 2300m/s 1m 1======& &&& &&osss2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 14TMME 60 del 2 Newtons II laga F m =Naturliga koordinater:v mvm& ==t2nF :F :tn) 2 ( F :) ( F :2R & & & && & &R R m R R mR+ = =eePolra koordinater:82004-03-17 nicst@ikp.liu.se 15TMME 60 del 2 ExempelR mEn partikel ligger p en horisontell skiva. Skivan roterar enligtBestm vid vilken tidpunkt partikeln brjar att glida givet att friktionen r . Gravitationen ges av g.221t =12004-03-22 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2 Repetitionsntt t v s v & = =HastighetAccelerationn t n t a 2 2ssvv && & & + = + =Naturliga koordinaterReeRPolra koordinaterHastighetAcceleration e e v & & R R R + = e e a ) 2 ( ) (2 & & & & & & & R R R R R + + =( )2 / 32) ( 11yy + =2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 DynamikHastighet, accelerationFrilggning, Newtons IIINewtons IIKinematik Kinetikt ddrv =22ddtra =Kartesiska koordinaterNaturliga koordinaterPolra koordinaterKinematiska tvng!a F m =ORDINRA DIFFERENTIAL-EKVATIONER!22004-03-22 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Statiskt problemEn bil med konstant fart kr ver en kulle med konstant krkningsradie. Bestm normalkraften mellan bil och vg!m/s 30 = vm 100 = 2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 PartikelpendelLmgBetrakta en partikel som sitter fast i en stel massls stng. Visa att fljande differentialekvation beskriver rrelsen!0 sin = + Lg& &32004-03-22 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 Partikelpendel2&L& &LSmgKinematikFrilggning2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 Partikelpendel2&L& &LSmg(2) ) cos sin ( cos :(1) ) sin cos ( sin :22 & & && & &L L m mg S L L m S+ = = & &mL mg = sinNewtons II:(1)cos + (2)sin:Kraft i stngen, -(1)sin + (2)cos:2cos &mL mg S + =42004-03-22 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 Partikelpendel0 0 , &Givet att partikeln slpps frn ett visst lge med en viss begynnelsehastighet som ges av bestm kraften i stngen S som funktion av rrelsen! Fr att kunna bestmma detta s mste vi brja med att bestmma rrelsen som beskrivs av fljande matematiska problem:0 0 , &00) 0 () 0 (0 sin & && &=== +Lg2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Partikelpendel & & & &d d =Utnyttja! = &&& &0 0d d sinLg-20 02) cos (cos2 & & + =Lg20 0cos 2 cos 3 &mL mg mg S + = = = = dddddddd && & && &t t52004-03-22 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2 PartikelpendelAntag som vinkelutslag, dvs. linjarisera vrt problem genom attutnytta1 cos , sin Vrt matematiska problem blir0 0) 0 ( , ) 0 (0 & && &= == +Lg2&mL mg S + =Detta problem tillhr klassen problem som kallas fr linjra svngningar. Vi kommer att titta nrmare p denna klass av problem i slutet av kursen. Vi kan lsa detta problem enligt tidigare eller genom att utnyttja den homogena lsningen till problem