MEKANIK GRUNDLÄGGANDE, FÖRELÄSNING

1

2004-03-15 [email protected] 1

TMME 60 del 2

Att ge de studerande förtrogenhetmed de grundläggande lagarna inomden klassiska mekaniken och färdighet att självständigt tillämpa lagarna på konkreta mekaniskaproblem.

Kursens mål


TMME 60 del 2 Exempel

National Crash Analysis Center http://www.ncac.gwu.edu/

2





3


TMME 60 del 2 Kursinformation


TMME 60 del 2 Klassisk mekanik

Partikel Stel kropp Deformerbar kropp

Kinematik Kinetik Konstitutiva lagar

Mekanik

Statik Dynamik

HastighetAcceleration

FriläggningNewtons II

TöjningSpänningElasticitet

4


TMME 60 del 2 Sir Isaac Newton

•1643-1727•Professor i matematik, Cambridge, 1669•Spegelteleskop, 1671•Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer, Principia), 1687, kraftbegrepp, rörelselagar, gravitationsteori•Chef för myntverket, 1700•Opticks, 1704, ny syn på begreppet färg, utvecklade infinitesimalkalkylen ”Gud är allsmäktig, ständigt

närvarande i sin skapelse, och genom studiet av naturen erhåller vi kunskap om honom”


TMME 60 del 2 Newtons lagar

I. En kropp förblir i vila eller likformig rörelse om den ej tvingas av påverkande krafter att ändra detta tillstånd.

II. Ändringen i en kropps rörelsemängd är proportionell mot kraften och sker i kraftens riktning.

III. Två kroppars ömsesidiga verkningar på varandra är lika stora och motriktade.

5


TMME 60 del 2 SI - enheter

• Ett kilogram är lika med massan av den prototyp som förvaras i Pavillon de Breteuil vid Sèveres nära Paris.

• En meter är längden av den sträcka som ljuset tillryggalägger i vakuum under tiden 1/299 792 458 s.

• En sekund är tiden för 919 263 1770 perioder av den strålning som fås vid övergången mellan de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen cesium 133.


TMME 60 del 2 Vad är en kraft?

I. Fix vektor – vektor med unik angreppspunktII. Glidande vektor – vektor med unik angreppslinjeIII. Fri vektor – placering saknar betydelse

En kraft är en vektorstorhet som beskriver (mekanisk) växelverkan mellan kroppar. Exempel på krafter är gravitationen och normaltrycket mellan två fysikaliska objekt.

En kraft är en fysikalisk vektor, dvs dess konsekvenser kan även bero på dess placering. Det finns tre olika typer av fysikaliska vektorer:

6


TMME 60 del 2 Skalärprodukt

θcosbaba =⋅

b

a

θ

zzyyxx

zyx

zyx

zzyyxx

zzyyxx

babababbbaaa

bbbaaa

++=⋅

=

=

++=

++=

baba

eeebeeea

),,(

),,(


TMME 60 del 2 Skalärprodukt-exempel

a

aa

F

zE

xE

yEA

B

C

En kloss kan glida längs en rak stång. En kraft med storlek F och riktning enligt Figuren angriper klossen. Kraftens bidrag utmed stången kommer att accelerera partikeln. Bestäm detta bidrag!

7


TMME 60 del 2 Kryssprodukt

zyx

zyx

zyx

bbbaaaeee

ba =×θsinbabac

bac=×=

×=

a

bc

θ


TMME 60 del 2 Kryssprodukt-exempel

a2

aa2

F

zE

xE

yE

En stång är fritt ledad map origo. En kraft med storlek F och riktning enligt Figuren angriper i stångens ände. Kraftens moment map origo kommer att bidra till stångens rotation. Bestäm detta moment!

8


TMME 60 del 2 Hastighet och acceleration

rtddrv =

Hastighet

2

2

dd

tra =

Acceleration

Givet att positionen för en partikel ges av lägesvektorn r=r(t), så defineras hastighet och acceleration som



xE

yE 2xy = En partikel färdas längs banan y=x2. Hastigheten i x-led är hela tiden vEx. Bestäm partikelns acceleration när den passerar x=0.

9


TMME 60 del 2 Newtons II

För en partikel med massan m som påverkas av en kraft F gäller att

)(dd vF mt

=

Detta är Newtons 2:a lag. Storheten mv kallas för rörelsemängd (v betecknar partikelns hastighet). Givet att massan är konstant, så erhålles följande formulering

aF m=

Här betecknar a partiklens acceleration.


TMME 60 del 2 Rörelse i kartesiska koordinater

zyx zyx eeer ++=zyx zyx eeev &&& ++=zyx zyx eeea &&&&&& ++=

Kinematik

Kinetik

∑ = xx maF ∑ = yy maF ∑ = zz maF

10



1m

2m

Två partiklar hänger i ett arrangemang av masslösa stela snören och trissor. Bestäm partiklarnas acceleration givet att systemet är friktionsfritt.

1


TMME 60 del 2 Repetition

Hastighet:

2

2

ddtra =Acceleration:

Kinematik

zyx zyx eeer ++=zyx zyx eeev &&& ++=zyx zyx eeea &&&&&& ++=

Kinetik

)(dd vF mt

=

aF m=

Newtons II:

zz

yy

xx

maF

maF

maF

=

=

=

∑∑∑

Fart: v=vtd

drv = (tangenten)


TMME 60 del 2 Naturliga koordinater

sn

tρ

ttv sv &==

Hastighet Acceleration

ntntaρρ

22 ssvv&

&&& +=+=

Visa!

2


TMME 60 del 2 Naturliga koordinater

s

ρ

2van =ρ

vat &=

vCentripetal acceleration

Fartändring



En bil med konstant fart kör över en kulle med konstant krökningsradie. Bestäm bilens totala acceleration!

m/s 30=v

m 100=ρ

3


TMME 60 del 2 Krökningsradie

2

2

ddy ,

ddy ),(

xy

xyxyy =′′=′=

y

x

ρ

r

( ) 2/322

2

)(1dd1

y

ys ′+

′′==

rρ Visa!

s



xE

yE 2xy =

Bestäm krökningsradien vid x=0!

4


TMME 60 del 2 Cirkulär rörelse

R

θθ &&& ,

θ&& Rsv ==

θ&&& Rvat ==2

2

θ&RRvan ==

Visa!


TMME 60 del 2 Rörliga enhetsvektorer

YE

XE

xeye

θ

system ref.rörligt - , yx eestemreferenssyfixt - , YX EE

yx ee θ&& = xy ee θ&& −=

Visa!

5


TMME 60 del 2

YE

XE

xeye

θ

yx ee θ∆=∆xy ee θ∆−=∆

Rörliga enhetsvektorer


TMME 60 del 2 Polära koordinater

Reθe

Rθ

RRer =θθeeeerv &&&&& RRRR RRR +=+==

=++++== θθθ θθθ eeeeeva &&&&&&&&&&& RRRRR RR

θθθθ ee )2()( 2 &&&&&&& RRRR R ++−

6



RvR &=

θθ&Rv =

Rθ

θθeev vv RR +=



2θ&&& RRaR −=

θθθ&&&& RRa 2+=

Rθ

θθeea aa RR +=

θθ &&&& RR +

2θ&Rθ&&R

R&&θθ&Rv =RvR &=

7



m 5

s

θ

Bestäm hastigheten och accelerationen i punkten A givet att

A

0

rad/s 2300m/s 1m1

=

=

=

===

θ

θ

θ

&&

&

&&

&

o

sss


TMME 60 del 2 Newtons II lag

aF m=

Naturliga koordinater:

vm

vm

&=

=

∑

∑

t

2

n

F :

F :

t

nρ

)2(F :

)(F : 2R

θθ

θ

θθ&&&&

&&&

RRm

RRmR

+=

−=

∑∑

e

e

Polära koordinater:

8



Rm

θ

En partikel ligger på en horisontell skiva. Skivan roterar enligt

Bestäm vid vilken tidpunkt partikeln börjar att glida givet att friktionen är µ. Gravitationen ges av g.

2

21 tαθ =

1



sn

tρ

ttv sv &==

Hastighet

Acceleration

ntntaρρ

22 ssvv&

&&& +=+=

Naturliga koordinater

Reθe

Rθ

Polära koordinater

Hastighet

Acceleration

θθeev && RR R +=

θθθθ eea )2()( 2 &&&&&&& RRRR R ++−=

( ) 2/32)(11

y

y′+

′′=

ρ


TMME 60 del 2 Dynamik

Hastighet, acceleration Friläggning, Newtons III

Newtons II

Kinematik Kinetik

tddrv = 2

2

ddtra =

Kartesiska koordinaterNaturliga koordinaterPolära koordinater

Kinematiska tvång!

aF m=

ORDINÄRA DIFFERENTIAL-EKVATIONER!

2


TMME 60 del 2 ”Statiskt problem”

En bil med konstant fart kör över en kulle med konstant krökningsradie. Bestäm normalkraften mellan bil och väg!

m/s 30=v

m 100=ρ


TMME 60 del 2 Partikelpendel

L

θ

m

g

Betrakta en partikel som sitter fast i en stel masslös stång. Visa att följande differentialekvation beskriver rörelsen!

0sin =+ θθLg&&

3



θ

2θ&Lθ&&L

θ

S

mg

Kinematik Friläggning



θ

2θ&Lθ&&L

θ

S

mg

(2) )cossin(cos :

(1) )sincos(sin :2

2

θθθθθ

θθθθθ&&&

&&&

LLmmgSLLmS+=−↑

−=−→

θθ &&mLmg =− sin

Newtons II:

(1)cosθ + (2)sinθ:

Kraft i stången, -(1)sinθ + (2)cosθ:

2cos θθ &mLmgS +=

4



00 ,θθ &

Givet att partikeln släpps från ett visst läge med en viss begynnelsehastighet som ges av

bestäm kraften i stången S som funktion av rörelsen! För att kunna bestämma detta så måste vi börja med att bestämma rörelsen som beskrivs av följande matematiska problem:

00 ,θθ &

0

0

)0(

)0(

0sin

θθ

θθ

θθ

&&

&&

=

=

=+Lg



θθθθ &&&& dd =Utnyttja!

∫∫ =θ

θ

θ

θ

θθθθ&

&

&&

00

ddsinLg-

200

2 )cos(cos2 θθθθ && +−=Lg

200cos2cos3 θθθ &mLmgmgS +−=

⇒=== dd

dd

dd

dd θ

θθθ

θθθθ &

&&&&&

tt

5



Antag som vinkelutslag, dvs. linjarisera vårt problem genom attutnytta

1cos ,sin ≈≈ θθθ

Vårt matematiska problem blir

00 )0( ,)0(

0

θθθθ

θθ

&&

&&

==

=+Lg

2θ&mLmgS +=

Detta problem tillhör klassen problem som kallas för linjära svängningar. Vi kommer att titta närmare på denna klass av problem i slutet av kursen. Vi kan lösa detta problem enligt tidigare eller genom att utnyttja den homogena lösningen till problemet.



( )200 cossin ttmLmgS nnnL ωθωωθ &+−+=

Den homogena lösningen är

Lgtt nn

nn =+= ωω

ωθωθθ ,sincos 0

0

&

Snörkraften blir:

6



1:a ordningens problem kan lösas numeriskt i Matlab, dvs. ett problem av typen

0)0(),(

xxxx

== tf&

Vårt 2:a ordningens problem kan transformeras till ett 1:a ordningens problem genom att införa

θθ &== 21 , xx

Sambandet mellan x1 och x2 beskrivs av

21 xx =&



0201

12

21

)0( ,)0(

)sin(

θθ &

&

&

==

−=

=

xx

xLgx

xx

00 ,θθ &

Således genom denna transform kan vårt ursprungliga problem beskrivas som följande 1:a ordningens problem:

221cos mLxxmgSN +=Kraften fås via

7


TMME 60 del 2 Partikelpendel0 ,179 00 == θθ &o


TMME 60 del 2 Partikelpendel0 ,30 00 == θθ &o

8


TMME 60 del 2 Matlabuppgift (obligatorisk)

θ

xe

ye

L

0 , Lk

0LL +m g


TMME 60 del 2 Linjär, masslös, fjäder

F

A

B

0L Lk

hetfjäderstyv - klängd ospänd - 0L

BAL /r=)( 0LLkF −=

LLLk BA /

0 )( rF −=

F

0LL −=δ

k

9


TMME 60 del 2 Matlabintroduktion

1



θθeev && RR R +=

θθθθ eea )2()( 2 &&&&&&& RRRR R ++−=

( ) 2/32)(11

y

y′+

′′=

ρ

ntntaρρ

22 ssvv&

&&& +=+=

ttv sv &==

zyx zyx eeev &&& ++=

zyx zyx eeea &&&&&& ++=

tddrv = 2

2

dd

tra =

Kinematik

Kinematiska tvång!

FriläggningStelt snöreLinjär fjäderMasslös stång

aF m=Analys –”statisk” eller dynamiskDifferentialekv. (2:a ordningens)Begynnelsevillkor

),,( xxtfx &&& =00 )0( ,)0( vxxx == &

vvsa dd =

Kinetik


TMME 60 del 2 Effekt och arbeteFysikalisk storhet som anger den energimängd som per tid överförs från ett avgivande till ett mottagande system. Effekten mäts ienheten watt, W; 1 W=1 J/s (joule/sekund). Om den överförda energin är i form av mekaniskt arbete används även enheten Nm/s (newtonmeter/s=joule/s). En äldre enhet är hästkraft, hk; 1 hk= 75kpm/s (kilopondmeter/sekund)=735,50 W.

Den från solen utstrålande effekten är 3,92·1026 W. Ett kärnkraftverk kan leverera en effekt om ca 109W, dvs. 1 000 MW (megawatt,miljoner watt); en kraftig bilmotor utvecklar en effekt om ca 100 kW (kilowatt, tusen watt); en 60 W glödlampa utstrålar effekten 60 W i form av värme och ljus; ett batteridrivet armbandsur drar en effekt av några µW (mikrowatt, miljondels watt). En vuxen människa avger en värmeeffekt om ca 75 W.

(NE, 2004)

2


TMME 60 del 2 Effekt och arbete

r

F

v

Effekten P av kraften F definieras som

vF ⋅=Pdär v är hastigheten hos F:s angreppspunkt.


TMME 60 del 2 Effekt och arbete

r

F

rd

Arbetet dU som kraften F uträttar på en partikel under tiden dt definieras som

rFvF dddd ⋅=⋅== ttPU

3



s

α

k

R

mEn konstant kraft R drar via ett stelt snöre partikeln m sträckan s. Bestäm arbetet som Ruträttar!

g L


TMME 60 del 2 Tyngdkraftens arbete

r mg

12

xe

ye

gVyymgymgU ∆−=−−=−=⋅= ∫ ∫ )(dd 1

y

y2

2

1

2

1

r

r

rF

mgyV g = kallas för tyngdkraftens potentiella energi

4



s

α

k

R

mBestäm tyngdkraftens arbete, samt ändring i potentiell energi!

g


TMME 60 del 2 Fjäderkraftens arbete

r

12

0LF

δ Re

RR L eer d)(dd 0 δδ ++=

Rk eF δ−=

RL er )( 0 δ+=

eVkkU ∆−=−−=−=⋅= ∫∫ )(21dd 2

122

2

1

2

1

δδδδδ

δ

r

r

rF

2

21 δkV e = kallas för fjäderns elastiska energi

5



s

α

k

R

mGivet att partikeln startar från sitt statiska jämviktsläge, bestäm fjäderkraftens arbete, samt ändring i elastisk energi!

g


TMME 60 del 2 Kinetisk energi

r

12

xe

yev

vv ⋅= mT21

En partikels kinetiska energi definieras som

m

6


TMME 60 del 2 Principen om mekanisk energibalans

Principen om effektöverföring för en partikel påstår att ändringen i kinetiks energi balanserar krafternas arbete, dvs.

UT ∆=∆


TMME 60 del 2

gerest VVTU ∆+∆+∆=∆

rF∫ ⋅=∆ drestrestU 2||21 vmT =

2

21 δkV e = mgyV g =

Om man delar upp kraften F i tyngdkraft Fg, fjäderkrafter Fe och resterande krafter Frest:

så kan principen om effekt överföring uttryckas på följande vis

resteg FFFF ++=

Principen om mekanisk energibalans

7



s

α

k

P

mPartikeln startar i vila från sitt statiska jämviktsläge. Bestäm farten när partikeln passerar den streckade positionen!

g


TMME 60 del 2 Konservativa krafter

Tyngdkraften och fjäderkraften är konservativa krafter. En kraft sägs vara konservativ om dess genererade arbete är vägoberoende, dvs.

1

2

F

F

2C

1C

∫∫ ⋅=⋅=21

ddCC

U rFrF

8



konstant godtycklig - )(

)(d)(

0

0

0

r

rrFrr

r

V

VV +⋅−= ∫

Givet en konservativ kraft F så finns en tillhörande potential som defineras av

r

12

xe

yeF

Kraften ges av

∂∂

∂∂

∂∂

−=−∇=zV

yV

xVV )(rF



Om alla krafter är konservativa, så förblir den totala energin E=T(t)+V(t) konstant.

.konst)()()()(

dd dd

11

1111

=+=+

⇒−=⇒= ∫∫∫∫tVtTtVtT

VTUTt

t

t

t

t

t

t

t

9


TMME 60 del 2 Verkningsgrad

Verkningsgraden är förhållandet mellan nyttiggjord effekt Putoch tillförd effekt Pin i ett system, dvs

in

ut

PP

=η

Vid omvandling mellan olika former av mekanisk och elektrisk energi kan verkningsgraden bli mycket hög, t.ex. ca 95 % i vattenturbiner och elgeneratorer. Vid värmeprocesser i förbränningsmotorer,värmekraftverk m.fl. finns fysikaliska begränsningar som gör att verkningsgraden i omvandlingen från värme till mekanisk energi oftast begränsas till 40-50 %. I solceller kan verkningsgraden variera från ca 15 % för vanliga kiselceller till över 30 % i avancerade laboratorieceller i koncentrerat solljus. En braskamin som eldas medved har 50-70 % verkningsgrad.

(NE, 2004)



s

Ett fordon med massan m drivs av en motor som utvecklar konstant effekt P. Hur lång tid T tar det att köra sträckan s om vi antar att fordonet drivs framåt utan något motstånd (inga energiförluster)? Fordonet startar i vila.

(tenta: 2004-01-15)

1


TMME 60 del 2 RepetitionKinematik

θθeev && RR R +=

θθθθ eea )2()( 2 &&&&&&& RRRR R ++−=

ntntaρρ

22 ssvv&

&&& +=+=

ttv sv &==

zyx zyx eeev &&& ++=

zyx zyx eeea &&&&&& ++=

tddrv = 2

2

dd

tra =

Kinematiska tvång!

FriläggningaF m=

Analys –”statisk” eller dynamiskDifferentialekv. (2:a ordningens)

vvsa dd =

Kinetik

vF ⋅=Ppe VVTW ∆+∆+∆=

22

1 21 ,d mvTW =⋅= ∫ rF

mghVkV pe == ,21 2δ


TMME 60 del 2 Rörelsemängd

F

vm

Rörelsemängden för en partikel definieras som

vp m=

Genom att integrera Newtons II map tiden så erhålles följande impulslag:

)()(d 12

t

t

2

1

ttt ppFpF −=⇔= ∫&

Impuls

2



En kanon med massan Moch en kanonkula med massan m befinner sig i vila. Kanonen avfyras och kanonkulan skjuts iväg horisontellt med farten v. Bestäm kanonens hastighet givet att den rullar friktionsfritt och att övriga förluster försummas!

Mmv


TMME 60 del 2 Rörelsemängdsmoment

F

vm

Rörelsemängdsmomentet för en partikel definieras som

vrprh m×=×=

r

3



Frvrvrh ×=×+×= &&& mm

Genom att derivera rörelsemängdsmomentet map tiden så kan följande variant av Newtons II härledas

hFr &=×

Genom att integrera detta samband map tiden så erhålles följande impulslag:

)()(d 12

2

1

tttt

t

hhFr −=×∫

Impulsmoment



rR

ωEn partikel med massan m roterar med vinkelhastigheten ω på en friktionsfri skiva. Partikeln är fäst i ett stelt snöre som fixerar partikeln på det radiella avståndet r. Därefter släpper man på snöret så att partikeln fixeras i ett nytt radiellt avstånd R. Bestäm den nya vinkelhastigheten!

4


TMME 60 del 2 Rörelsemängdens bevarande

Givet att impulsen och impulsmomentet är lika med noll så erhålles som en direkt följd från impulssatserna satserna om rörelsemängdens och rörelsemängdsmomentets bevarande:

0ppp =−=∆ )()( 12 tt

0hhh =−=∆ )()( 12 tt


TMME 60 del 2 Stöt

5


TMME 60 del 2 Momentan stöt

Vi antar att stötförloppet sker under en infinitesimal tid och att det geometriska läget ej ändras under stöten. Detta antagande kallar vi för momentan stöt.


TMME 60 del 2 Stöttalet

Stöttalet e definieras som

f

e

vve =

där ve betecknar relativa normalfarten efter stöt och vfbetecknar relativa normalfarten före stöt.

Anmärkning: Stöttalet definierar ett materialantagande om hur stöten beter sig. e=1 innebär rent elastisk stöt och e=0 rent plastisk.

6



Före

Efter

Under

fv1fv2

ev1ev2

ee vv 21 ≤

ff vv 21 >

ff

ee

vvvve

21

12

−−

=



1m 2m

1v 02 =v

Två partiklar kolliderar med varandra. Den första partikeln stannar efter stöten. Bestäm stöttalet e utryckt i massorna, samt studera kollisionskraften (impulsen) mellan partiklarna!

7



k

gH

m

mM 2=

δ

.

En partikel med massan m skjuts iväg horisontellt m.h.a. en fjäder längs en friktionsfri stång. Partikeln skjuts iväg genom att partikeln först trycks mot fjädern sträckan δ från ospänt läge, och därefter släpps ifrån vila. Fjädern antas vara linjär med fjäderkonstanten k. Partikeln kolliderar slutligen med en annan partikel med massan M=2m, som åker iväg vertikalt längs ett friktionsfritt rör. Innan kollisionen ligger den andra partikeln i vila på höjden H över den första partikeln. Kollisionen antas ske momentant med stöttalet e. Besvara följande: a) Vilket kriterium på sträckan δ måste gälla för att kollision skall ske, (b) farten hos den första partikeln precis efter stöten, samt c) hur högt kommer den andra partikeln?

1


TMME 60 del 2 Viskös dämpare

olja

x

dF

I alla system finns någon typ av dämpning. Ett sätt att representera dämpning är att använda sig av linjär viskös dämpning. Denna model föreslår att

xcFd &=

där c kallas för viskösa dämpkonstanten.


TMME 60 del 2 Linjära svängningar

olk,

m s

ol

oδ

x

ol

oδ

xsxsxls oo

&&&&&& ==⇒++=

, δ

- fjäderns ospända längd

- statisk förlängning pga. massans tyngd

)(tFkxxcxm =++ &&&

c

)sin()( 0 tFtF pω=

2


TMME 60 del 2 Linjära svängningar

Inför följande beteckningar:

mk

n =ω - egenvinkelfrekvens

nmcω

ζ2

= - dämpfaktorn

då kan svängningsekvationen skrivas som

)sin(2 02 tmFxxx pnn ωωζω =++ &&&


TMME 60 del 2 Matematiskt problem

givet följande begynnelsevillkor:

Hitta x(t) som satisfiera

o

o

vxxx

==

)0()0(

&

Lösningen kan skrivas som

)()()( txtxtx ph +=

där xh är lösningen till den homogena ekvationen:

och xp är en lösning till det kompletta problemet.

mtFxxx nn)(2 2 =++ ωζω &&&

02 2 =++ xxx nn ωζω &&&

3


TMME 60 del 2 Homogena lösningen

22 2)( nnf ωλζωλλ ++=

Den homogena ekvationen löses av

t

iih

itAtx λe)()( ∑=

där Ai(t) är ett godtyckligt polynom och λi är nollställen till det karakteristiska polynomet:



Nollställen: )1( ),1( 22

21 −−−=−+−= ζζωλζζωλ nn

tth BeAex 21 λλ +=

th

neBtAx ω−+= )(

Överdämpat ζ>1:

Kritiskt dämpat ζ=1:

21

))sin()cos((

ζωω

ωωζω

−=

+= −

nd

ddt

h tBtAex n

Underdämpat ζ<1:

4



ζ

pω

A


TMME 60 del 2 Logaritmiska dekrementet

1x

2xT

22

1

12ln

ζπζδ−

==xx

5


TMME 60 del 2 Partikulära lösningen

Ansätt följande: )sin( ϕω −= tCx pp

Genom insättning i det kompletta problemet så erhålles

222

0

21

1

+

−

=

n

p

n

pkFC

ωζω

ωω

( ) )( /1/2

tan n2 pnp

np ωωωωωζω

ϕ >−

=M

Förstärknings-faktorn!


TMME 60 del 2 Förstärkningsfaktorn

ζ

M

pω

6



Två partiklar med massan m är fästa i ett arrangemang av stela masslösa snören och en masslös trissa, samt i en linjär masslösfjäder med styvheten k. På systemet verkar kraften F(t), där F0och ω är konstanta. Bestäm systemets egenvinkelfrekvens samt partikelns läge x som funktion av tiden vid fortvarighet! Systemet är friktionsfritt.

km

m)sin()( 0 tFtF ω=

x

1



)sin(2 02 txxx nn ωδωζω =++ &&&

)sin(02 txx n ωδω =+&&

02 2 =++ xxx nn ωζω &&&

02 =+ xx nω&&

Fria, odämpade svängningar

Fria, dämpade svängningar

Påtvingade, odämpade svängningar

Påtvingade, dämpade svängningar

)cos()sin( tBtAxxx

nnh

h

ωω +==

h

h

xxx =

- formelblad

)sin( )cos()sin(

tCxtBtAx

xxx

p

nnh

ph

ωωω

=+=

+=

)cos()sin( tDtCxx

xxx

p

h

ph

ωω +=

+=

- formelblad



Två partiklar med massan m är fästa i ett arrangemang av stela masslösa snören och en masslös trissa, samt i en linjär masslösfjäder med styvheten k. På systemet verkar kraften F(t), där F0och ω är konstanta. Bestäm systemets egenvinkelfrekvens samt partikelns läge x som funktion av tiden vid fortvarighet! Systemet är friktionsfritt.

km

m)sin()( 0 tFtF ω=

x

2



Rm

θ

En partikel ligger på en horisontell skiva. Skivan roterar enligt

där t är tiden. Bestäm vid vilken tidpunkt partikeln börjar att glida givet att friktionen är µ. Gravitationen ges av g.

2

21 tαθ =



k

gH

m

mM 2=

δ

.

En partikel med massan m skjuts iväg horisontellt m.h.a. en masslös fjäder längs en friktionsfri stång. Partikeln skjuts iväg genom att partikeln först trycks mot fjädern sträckan δ från ospänt läge, och därefter släpps ifrån vila. Fjädern antas vara linjär med fjäderkonstanten k. Partikeln kolliderar slutligen med en annan partikel med massan M=2m, som åker iväg vertikalt längs ett friktionsfritt rör. Innan kollisionen ligger den andra partikeln i vila på höjden H över den första partikeln. Kollisionen antas ske momentant med stöttalet e. Besvara följande: a) Vilket kriterium på sträckan δ måste gälla för att kollision skall ske, (b) farten hos den första partikeln precis efter stöten, samt c) hur högt kommer den andra partikeln?

3



0φ

α

Låt oss betrakta två klossar med vardera massan m som är friktionsfritt kopplade via en masslös stel stång med längden L. Den ena massan glider friktionsfritt utmed ett lutande plan. Lutningen definieras av vinkeln α. Den andra massan släpps i läget som definieras av vinkeln φ0. Vi vill bestämma rörelsen samt normalkraften mellan kloss och lutande plan.

För att lösa problemet ska vi först formulera grundläggande samband vid en godtycklig tidpunkt. Från dessa samband ska vi sedan härleda de differentialekvationer som definierar rörelsen. Dessa ekvationer kommer vi att numeriskt lösa med hjälp av Matlab.


TMME 60 del 2 Exempel forts.Kinematik

ξ

φ

α

1G

2G

x

y

αξφφφφ

αξφφφφ

sincossin

cossincos2

2

22

&&&&&&&

&&&&&&&

−+=

−−=

LLy

LLx

G

G

mg

mg

N

S

1

2

1

1

sinsin :coscos :

G

G

xmNSymSmgN

&&

&&

=−→=−−↑

αφφα

2

2

sin - :cos :

G

G

xmSymSmg

&&

&&

=→=+−↑

φφ

1

2

Friläggning

Newton’s II

Härled!

4


TMME 60 del 2 Exempel, forts.

T

LL

MMM =

∗

+−= ,

)coscossin(sin22

φαφα

−−+

=φ

φαφαφαsin

)sincoscos(sinsin2 2

gLLg &

F

oo dddd

dFdM

&&

&&

==

==

)0( ,)0(

,φξ

Genom att eliminera krafterna N och S ur rörelseekvationerna så kan följande system av differentialekvationer härledas:

För att kunna använda Matlab’slösare så måste vi transformera våra ekvationer till ett problem av första ordningen. Detta görs via följande transform:

FM 1

)4()2(

)4()3( ),2()1()4( ,)3( ,)2( ,)1(

−=

======

yy

yyyyyyyy

&

&

&&

&& φφξξ


TMME 60 del 2 Exempel, forts.

Följande filer finns att ladda ned som ett zip-paket från kursens hemsida! Om du skriver >>main i Matlab promten så startas gränssnittet!

Documents

MEKANIK GRUNDLÄGGANDE, FÖRELÄSNING