Prof. Dr. BEJO DUKA

MEKANIKA KLASIKE

Tiranë, 2013

ii

Parathënie Ky tekst është një përmbledhje e bazave teorike të Mekanikës Klasike, e zbatimeve në ushtrimet dhe problemat përkatëse sipas kapitujve, si edhe e përgjigjeve apo zgjidhjeve të tyre, që jepen në fund të tekstit. Në tekst trajtohen sisteme mekanikë me numër të fundëm gradësh lirie, nuk trajtohen sisteme të vazhduar. Teksti shërben si tekst bazë për programin e lëndës “Mekanikë Analitike”, që zhvillohet në ciklin e I (Bachelor) në degën e Fizikës të Fakultetit të Shkencave Natyrore – Universiteti i Tiranës. Teksti mund të përdoret edhe nga studentë të atyre degëve universitare të Fizikës apo Matematikës, të cilat zhvillojnë lëndë si “Fizika Teorike” ose “Mekanika Teorike”. Përvehtësimi i materialit kushtëzohet nga njohuritë e studentit në lëndët e Matematikës dhe Fizikës. Në veçanti, studenti duhet të ketë kaluar të paktën pjesën e Mekanikës që zhvillohet në kursin e “Fizikë e Përgjithëshme” si dhe disiplinat e “Analizë Matematike”, “Algjebër” dhe “Gjeometri”.

Autori

iii

Përmbajtja Hyrje: Një përmbledhje e shkurtër mbi mekanikën Njutoniane. ...............................1 I.0. Lëvizja e pikës materiale në kordinata vijë-përkulur........................................... 8 Ushtrime dhe problema .............................................................................................10 KAPITULLI I Ekuacionet e lëvizjes ....................................................... 15 I.1 Lidhjet dhe koordinatat e përgjithësuara ............................................................15

I.2 Parimi i punëve virtuale (parimi i D’Alamberit) dhe ekuacionet e Lagranzhit të lloit të parë................................................................17 I.3 Ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë ………………………………………20 I.4 Parimi i Hamiltonit ose parimi i veprimit minimal ............................................23 I.5 Funksioni i Lagranzhit për një pikë dhe për një sistem pikash materiale ...........27 Ushtrime dhe problema ……………………………………………………………31 KAPITULLI II Ligjet e ruajtjes .................................................................40 II.1 Simetria dhe ligjet e ruajtjes .............................................................................40 II.2 Ligji i ruajtjes së Energjisë ................................................................................41 II.3 Ligji ruajtjes së Impulsit ………………………………………………………42 II.4 Ligji i ruajtjes së Momentit të impulsit .............................................................44 Ushtrime dhe problema ……………………………………………………………47 KAPITULLI III Integrimi i ekuacioneve të lëvizjes....................................50 III.1 Lëvizja njëdimensionale …………………………………………………… .50 III.2 Problemi i dy trupave ...................................................................................... 52 III.3 Lëvizja në fushë qendrore ............................................................................... 53 III.4 Problemi i Keplerit ………………………………………………………… . 58 Ushtrime dhe problema ............................................................................................63 KAPITULLI IV Goditjet ........................................................................69 IV.1 Zbërthimi i grimcave ……………………………………………………… 69 IV.2 Goditjet elastike …………………………………………………………… 72 IV.3 Shpërhapja e grimcave ……………………………………………………… 77 IV.4 .Formula e Radhërford-it ……………………………………………………..80 Ushtrime dhe problema ……………………………………………………………83 KAPITULLI V Lëkundjet e vogla ...................................................................88 V.1 Lëkundjet e lira njëdimensionale .......................................................................88 V.2 Lëkundjet e detyruara njëdimensionale .............................................................90 V.3 Lëkundjet që shuhen …………………………………………………………..94 V.4 Lëkundjet e detyruara në prani të fërkimit .........................................................96 V.5 Lëkundjet e sistemeve me disa gradë lirie ........................................................ 99 V.6 Koordinatat normale…………………………………………………………..102 Ushtrime dhe problema ………………………………………………………… ..105 KAPITULLI VI Lëvizja e trupit të ngurtë ....................................................113 VI.1 Koordinatat e pavarura të trupit të ngurtë ........................................................113 VI.2 Shpejtësia këndore ..........................................................................................115 VI.3 Këndet e Ejlerit……………………………………………………………… 118

iv

VI.4 Energjia kinetike e rrotullimit.........................................................................120 VI.5 Tenzori i inercisë …………………………………………………………...123 VI.6 Momenti i impulsit i trupit të ngurtë ........................................................... 126 VI.7 Ekuacionet e lëvizjes së trupit të ngurtë .......................................................128 VI.8 Ekuacionet e Ejlerit ………………………………………………………..131 VI.9 Xhiroskopi simetrik me një pikë të palëvizëshme.......................................134 VI.10. Sisteme referimi joinercialë …………………………………………… 139 Ushtrime dhe Problema .......................................................................................142 KAPITULLI VII Ekuacione kanonike .......................................................154 VII.1 Hamiltoniani, ekuacionet e Hamiltonit ......................................................154 VII.2 Kllapat e Puasonit.......................................................................................157 VII.3 Veprimi si funksion i koordinatave dhe kohës .......................................... 160 VII.4 Transformime kanonike .............................................................................163 VII.5 Teorema e Ljuvilit ...................................................................................... 167 VII.6 Ekuacioni Hamilton-Jakobi ...................................................................... 169 VII. 7 Ndarja e variablave ................................................................................. 172 Ushtrime dhe problema ........................................................................................ 175 Përgjigjet e ushtrimeve dhe problemave........................................................... 181

1

Hyrje: Një përmbledhje e shkurtër mbi mekanikën Njutoniane

Në këtë hyrje të shkurtër, do të përsëriten koncepte, ligje dhe parime me të cilat studenti është

njohur në Fizikën e Përgjithshme. Kjo përsëritje jo vetëm u kujton studentëve bazën mbi të cilën

ngrihet Mekanika Analitike, por edhe i familjarizon ata me simbolikën që do të përdoret në tekst

(Madhësitë vektoriale do të shënohen me germa të theksuara-bold. Derivatet e plota kohore të

një madhësie skalare apo vektorjale do t’i shënojmë me një pikë sipër simbolit që paqet këtë

madhësi),

Mekanika e pikës materiale

Mekanika është shkenca që studion lëvizjen e trupave në hapësirë dhe në kohë. Lëvizja e

trupave në natyrë është relative, pra kur themi që një trup kryen lëvizje duhet të kemi parasysh

ndaj kujt trupi ose sistem referimi1 ai lëviz. Sistemet e referimit, ndaj të cilëve lëvizja e një

trupi të “lirë”2 rezulton drejtvizore e njëtrajtshme, pra me shpejtësi konstante (në rastin e

prehjes, kjo shpejtësi është zero), quhen sisteme referimi inerciale. Pikërisht për sisteme të tillë

referimi kanë vend ligjet e Njutonit, të cilat janë ligjet bazë të mekanikës klasike. Mekanika

klasike studion lëvizjen e trupave makroskopikë3 me shpejtësi jo shumë të mëdha (me shpejtësi

shumë më të vogla se shpejtësia e dritës). Për lëvizjen e objekteve mikroskopikë (grimcave

elementare, atomeve, molekulave) nuk vlejnë ligjet e mekanikës klasike, por ato të mekanikës

së kuanteve. Ndërsa lëvizja e objekteve me shpejtësi shumë të mëdha studiohet nga mekanika

relativiste.

Studimi në mekanikën klasike fillon me lëvizjen e një trupi që konsiderohet si pikë

materiale, përmasat e të cilit janë shumë më të vogla se zhvendosjet që ai kryen. Ligjet bazë të

mekanikës klasike janë 3 ligjet e Njutonit:

- Ligji i parë i Njutonit ose ligji i inercisë i Galileit Sipas këtij ligji, trupi i lirë (mbi të cilin nuk vepron asnjë trup tjetër) kryen lëvizje drejtvizore

të njëtrajtëshme, pra me shpejtësi konstante v , e cila mund të jetë edhe zero. Me këtë ligj është i

lidhur edhe përcaktimi i sistemit inercial të referimit. Pikërisht, sisteme inerciale referimi janë

ato sisteme referimi në të cilët lëvizja e trupit të lirë rezulton drejtvizore e njëtrajtshme.

- Ligji i dytë i Njutonit Ky është edhe ligji bazë i dinamikës së lëvizjes së trupave. Sipas tij, nxitimi që fiton trupi

nën veprimin e një force, ka kahen dhe drejtimin e forcës, është në përpjestim të drejtë me

madhësinë e forcës dhe është invers proporcional me masën e trupit. Pra, masa (inerciale) e

trupit karakterizon plogështinë ose inertësinë e trupit, aftësinë që ka ai për ruajtur gjendjen e

lëvizjes, ose për të mos ndryshuar shpejtësinë e lëvizjes. Në trajtë vektoriale, ne do ta shkruajmë

këtë ligj në formën, ku forca rezultante4 që vepron mbi një trup është derivati kohor i impulsit

të trupit:

1 Sistem referimi kuptojmë trupin ose bashkësinë e trupave që konsiderohet në prehje dhe një mekanizëm

të matjes së kohës që prehet në këtë sistem. 2 Trup i “lirë” është trupi mbi të cilin nuk vepron asnjë trup tjetër. Kuptohet që në natyrë nuk mund të

gjendet një trup i tillë, ai është një idealizim që merret duke perfytyruar një trup që është pambarimisht

larg trupave të tjerë. 3 Trup makroskopik konsiderohet trupi që përmban një numër të madh atomesh.

4 Forcë rezultante quhet shuma vektoriale e të gjitha forcave që veprojnë mbi trupin.

2

dt

dPF (h – 1)

ku impulsi është produkti i masës së trupit me shpejtësinë: P = m v , dhe shpejtësia është

derivati kohor i rreze-vektorit të trupit: v = dr/dt. Në mekanikën klasike masa konsiderohet

konstante, prandaj nga ligji i mësipërm (h – 1) del trajta klasike:

F = arv

mdt

dm

dt

dm

2

2

(h – 2)

ku a është nxitimi i trupit, i cili është derivati kohor i shpejtësisë së trupit ose derivati kohor i

rendit të dytë i rreze-vektorit. Ky ekuacuin (h-2)konsiderohet edhe si ekuacion i lëvizjes i

trupit, nga i cili gjenden nxitimi i trupit kur dihen forcat. Ai është një ekuacion diferenmcial

vektorial, ekuivalent me tre ekuacione diferenciale skalare, që janë përbërset e tij sipas tre

boshteve kordinative. Duke integruar këto tre ekuacione skalare, gjenden përbërset e

shpejtësisë, të cilat duke u integruar japin përbërset e rreze-vektorit (kordinatat) e trupit në çdo

çast kohe. Vlerat e konstanteve të integrimeve (gjithsejt 6), përcaktohen nga vlerat e kordinatave

dhe përbërseve të shpejtësisë në një çast të dhënë.(t = 0)

Ligji i tretë i Njutonit Sipas këtij ligji, nëse një trup vepron mbi një trup tjetër me një forcë F12 , atëhere edhe trupi i

dytë vepron mbi trupin e parë me një forcë F21 , e tillë që:

F12 = - F21 (h – 3)

Në mekanikën klasike konsiderohet se bashkëveprimi midis trupave përhapet në çast, pra me

shpejtësi infinit. Kështu që çdo ndryshim i pozicionit reciprok të trupave, reflektohet në çast në

ndryshimin e forcave të bashkëveprimit midis trupave. Por, në fakt bashkëveprimet midis

trupave realizohen nëpërmjet fushave, të cilat përhapen me shpejtësi të fundme (me shpejtësinë

e dritës në boshllëk). Prandaj ky ligj zbatohet në këtë trajtë vetëm në mekanikën klasike, ku

trupat lëvizin me shpejtësi shumë më të vogël se shpejtësia e dritës dhe ku konsiderohet se koha

rrjedh njëlloj në çdo sistem referimi.

Përveç ligjeve të mësipërme, në mekanikën klasike përdoren shumë edhe disa teorema

ose ligje të ruajtjes, që mund të dalin nga 3 ligjet e mësipërme të Njutonit.

Ligji i ruajtjes së impulsit

Nga ligji i dytë i Njutonit (h-1) del se kur rezultantja e forcave të jashtme është zero ose kur

nuk vepron asnjë forcë mbi trupin, impulsi i trupit është konstant (në madhësi e në drejtim), pra

impulsi i trupit ruhet. Ky ligj mund të zbatohet edhe kur përbërësja e forcës sipas një drejtimi

është zero. Në këtë rast ruhet përbërësja e impulsit sipas këtij drejtimi.

Ligji i ruajtjes së momentit të impulsit

Momenti i impusit i trupit është madhësia vektoriale:

L = r P (h-4)

ku r – është rreze-vektori i trupit në lidhje me origjinën e sistemit të referimit. Në lidhje me po

këtë sistem referemi, impulsi i trupit është P. Po të derivojmë këtë barazim me kohën, gjejmë:

FrP

rPrL

dt

d

dt

d

dt

d (h-5)

ku, termi i parë në derivim bëhet zero pasi vektori i shpejtësisë dr/dt është paralel me impulsin

dhe produkti vektorial del zero. Mbetet kështu vetëm termi i dytë ne derivim, në të cilin, pasi

zevendësohet ligji i dytë i Njutonit (h-1), merret momenti i forcës rezultante që vepron mbi

trupin. Kur momenti i forcës rezultante është zero, momenti i impulsit i trupit ruhet me kohën.

3

Ligji i ruajtjes së energjisë mekanike

Para se të formulojmë ligjin e ruajtjes së energjisë mekanike, po kujtojmë kuptimin e punës së

një force dhe energjinë kinetike. Siç dihet puna elementare e një force F është produkti skalar i

forcës me zhvendosjen elementare dr :

dA = F dr ,

dhe puna e plotë është shuma e këtyre punëve elemetare, pra integrali:

A =

2

1

r

r

rF d (h -6)

i cili kryhet midis dy pozicioneve r1 dhe r2 sipas rrugës që kryen trupi midis dy pozicioneve.

Po të llogarisim punën e forcës rezultante, duke patur parasysh ligjin e dytë të Njutonit, gjejmë:

2

1

2

1

2

1

v

v

2

1

2

2

2v

v

r

r

vvvvvr

v

222

mmmddmd

dt

dmA

Pra, puna del si diferencë e vlerave të energjisë kinetike T në dy pozicionet :

A = T2 - T1 (h – 7)

ku :

T2

2vm

(h – 8)

Kujtojmë që forca konservative quhen ato forca, puna e të cilave nuk varet nga forma e rrugës

sipas të cilës zhvendoset trupi, por varet nga pozicioni fillestar dhe përfundimtar i trupit. Kështu

që puna e forcave konservative sipas një rruge të mbyllur5 është zero:

0rF d (h – 9)

Thuhet se cirkulacioni (integrali nëpër një rrugë të mbyllur) i forcës është zero. Barazimi (h –9),

nëpërmjet teoremës së Stoksit, kthehet në integral sipërfaqësor të rotorit të vektorit F:

S

rFdSF 0drot ,

prandaj ky barazim çon në përfundimin se fusha e forcës konservative në çdo pikë kënaq

barazimin diferencial:

rot F = F = 0 (h – 10)

Matematikisht, çdo fushë vektoriale, e cila e ka rotorin zero në çdo pikë, shprehet si gradient i

një madhësie skalare që është funksion i pikës. Pra, forca konservative shprehet si gradient i

funksionit skalar U(r) që quhet energji potenciale ose shkurt potencial i fushës së forcës F:

F = - grad U = - U = - rd

dU (h – 11)

ku derivimi sipas rreze vektorit është gradienti :

rd

dU= kji

z

U

y

U

x

U (h - 12)

(i, j, k – janë vektorët njësi të boshteve kordinativë përkatësisht X, Y,Z).

Kështu, puna e një force konservative mund të shprehet edhe nëpërmjet diferencës së vlerave të

potencialit midis dy pozicioneve:

5 Rruga është e mbyllur kur trupi niset nga një pozicion dhe përfundon në po atë pozicion.

4

A =

2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

r

r

-rr

-rF 21 UUdUdd

dUd (h – 13)

Duke krahasuar të dy shprehjet e punës së forcës rezultante (h- 7) dhe (h-13) dhe duke

konsideruar se forca konservative është rezultante e forcave që veprojnë mbi një trup, marrim

shprehjen e ligjit të ruajtjes së energjisë mekanike:

E = T + U (h – 14)

E1 = T1 + U1 = E2 = T2 + U2 , (h – 15)

Pra, energjia mekanike (shuma e energjisë kinetike dhe potenciale) e një trupi mbi të cilin

vepron vetëm forcë konservative ruhet me kohën.

Mekanika e sistemit të pikave materiale

Duke u bazuar në ligjet e Njutonit për lëvizjen e një pike materiale, mund të studiojmë

lëvizjen e një sistemi pikash materiale. Një rast i veçantë i sistemit të pikave materiale është

trupi i ngurtë, ku largësitë midis pikave materiale nuk ndryshojnë me kohën.

Shqyrtojmë një sistem prej N pikash materiale, masat e të cilave janë mi (i =1, 2, ... N),

rreze-vektoret e tyre në lidhje me origjinën e një sistemi inercial referimi janë ri , shpejtësitë e

tyre janë vi = ir =dri /dt , impulset janë pi = mi vi dhe nxitimet janë ai = ir = iv . Forcën

rezultante që vepron mbi pikën materiale të i-të, do ta ndajmë në forcë të jashtme Fi(e)

që është

rezultantja e forcave që veprojnë mbi pikën e i-të nga ana e trupave jashtë sistemit të pikave

materiale dhe në forcën e brendëshme Fi(b)

e cila është rezultantja e forcave që veprojnë mbi

pikën e i-të nga ana e pikave të tjera materiale të sistemit. Shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit

për seicilën nga pikat materiale:

Fi(e)

+ Fi(b)

= ip (h – 16)

Kryejmë shumën e këtyre barazimeve (për i = 1, 2, ... N). Shuma e forcave të brendëshme bëhet

zero, sepse forcat e brendëshme midis pikave materiale janë dy e nga dy të barabarta e me kahe

të kundërta. Prandaj mbetet vetëm shuma e forcave të jashtme që veprojnë mbi gjithë sistemin e

pikave materiale, e cila është rezultante e forcave që veprojnë mbi sistemin:

F(e)

=i i

d

dt

(e)

i i i

i

F p p P (h – 17)

ku

P = i

ip

është impulsi i gjithë sistemit i cili mund të shkruhet edhe si impulsi i një pike materiale me

masë sa shuma e masave të gjithë pikave të sistemit dhe me shpejtësi:

VQ =

i

i

i

m

mi

iv

(h – 18)

Pra:

P = i

Qii mm Vv , (h – 19)

ku m = i

im është masa e gjithë sistemit të pikave materiale.

Kjo shpejtësi VQ është shpejtësia e një pike, rrezja vektore e të cilës është:

5

RQ =

i

i

i

m

mi

ir

(h – 20)

e cila quhet qendër e masës (ose qendër e inercisë) e sistemit të pikave materiale.

Kështu, ligji i dytë i Njutonit për sistemin e pikave materiale, shkruhet sikurse për një pikë

materiale me masë sa masa e gjithë sistemit dhe që ndodhet në qendrën e masës së sistemit:

F(e)

= m 2

2

dt

d QR (h – 21)

Këtej del edhe ligji i ruajtjes së impulsit të sistemit të pikave materiale. Nëse rezultantja e

forcave të jashtme është zero ose sistemi është i mbyllur, impulsi i sistemit ruhet me kohën.

Në këtë rast qendra e masës e sistemit lëviz me shpejtësi konstante. Në rastin e veçantë, kur

qendra e masës prehet në një sistem referimi, kjo shpejtësi është zero dhe qendra e masës e

sistemit mekanik të mbyllur, nuk lëviz (mbetet aty ku ishte në fillim), sidoqë të lëvizin pjesët e

sistemit mekanik ndaj njera tjetrës.

Momenti i impulsit i sistemit të pikave materiale është:

i

ii prL (h - 22)

Duke e derivuar në lidhje me kohën dhe duke zevendësuar ligjin e dytë të Njutonit (h – 16),

gjejmë:

i

d

dt

(e) (b) (e)

i i i i i i i i i i

i i i

Lr p r p r F r F r F (h- 23)

Ku, shuma e momenteve të forcave të brendëshme është bërë zero, pasi forcat e brendëshme

janë dy e nga dy të barabarta e në kahe të kundërta dhe janë drejtuar sipas vijës që bashkon pikat

materiale. Psh për dy pika materiale mi dhe mj , shuma e momenteve të forcave me të cilat ato

bashkëveprojnë Fij = - Fji , është:

ri Fij + rj Fji = (ri – rj) Fij = rij Fij = 0

sepse vektori rij që bashkon dy pikat është paralel me vektorin Fij . Kështu del se derivati kohor

i momentit të impulsit të sistemit, është sa momenti rezultant i forcave të jashtme. Duhet të kemi

parasysh se momenti i impulsit të sistemit dhe momenti i forcave të jashtme llogariten në lidhje

me të njëjtën origjinë (origjina e rreze vektorëve ri ). Këtej del edhe ligji i ruajtjes së momentit

të impulsit: nëse momenti rezultant i forcave të jashtme është zero, momenti i impulsit i

sistemit të pikave materiale ruhet me kohën. Energjia kinetike e sistemit të pikave materiale është:

T = i

ii vm 2

2

1 (h – 24)

Puna që kryejnë forcat e jashtëme dhe të brendëshme që veprojnë mbi sistemin e pikave

materiale, gjatë zhvendosjes së sistemit nga një gjendje 1 në një gjendje tjetër 2, del: 2

22 2 2

12

12

2 2(e) (b) i ii i i i i i i i

1 1 1 1 1

p vF r F r r r v v i i

i ii i i i i i

m vd dA d d d m d m d

dt dt

Pra,

A12 = T2 - T1 (h – 25)

Ky barazim shpreh, të ashtuquajturën teoremë të energjisë kinetike: Diferenca e vlerave të

energjisë kinetike të sistemit midis dy gjendjeve është e barabartë me punën që kryejnë të

6

gjitha forcat e jashtme dhe të brendëshme gjatë zhvendosjes së sistemit nga gjendja e parë në

gjendjen e dytë. Në rastin e veçantë, kur sistemi i pikave materiale është një trup i ngurtë, ku

distancat midis pikave nuk ndryshojnë me kohën, atëhere puna e forcave të brendëshme është

zero. Psh, po te llogarisim punën elementare të forcave të bashkveprimit midis pikave mt dhe

mj, gjejmë:

dA = Fij dri + Fji drj = Fij d(ri – rj) = Fij drij = 0

sepse vektorët që bashkojnë pikat materiale rij nuk ndryshojnë gjatë zhvendosjes së trupit të

ngurtë.

Nëse forcat e jashtëme dhe të brendëshme që veprojnë në një sistem pikash materiale janë

konservative, atëhere puna e këtyre forcave mund të shprehet nëpërmjet ndryshimit te energjive

përkatëse potenciale. Kështu forca e jashtëme që vepron mbi pikën e i –të do të shprehej:

Fi(e)

= - gradi Ui(e)

= -ird

dU e

i

)(

dhe puna e plotë e forcave të jashtme gjatë zhvendosjes së sistemit nga një gjendje në një tjetër

është e barabartë me minus diferencën e vlerave të shumës së energjive potenciale të këtyre

forcave midis dy pozicioneve :

2

1

)(

1

)(

1

)(

12

i

e

i

e

ie Udd

dUdA

i

2

i

ii

2

i

(e)

i rr

rF (h- 26)

Ndërsa forcat e brendëshme, nëse janë konservative, do të shpreheshin si gradientë të energjisë

potenciale e cila varet nga distanca midis pikave materiale. Kështu forcat e bashkveprimit midis

pikave mi dhe mj do të shpreheshin si gradientë të potencialit Uij (|ri – rj|) = Uij(|rij |):

ji r

Fr

F

)(

)(

)(

)(

b

ijb

ji

b

ijb

ij

UU,

Duke patur parasysh që dri – drj = d(rij) dhe që ijji rrr d

dUUU b

ij

b

ij

b

ij

)()()(

,

atëhere puna e forcave të brendëshme , del6:

2

1,

)(

2 )(

)(

122

1

2

1

i j ji

b

ij

b

ijb Udd

dUA ij

1 ij

rr

(h- 27)

Kështu, puna e plotë e forcave të jashtme dhe të brendëshme konservative gjatë zhvendosjes së

sistemit nga gjendja 1 në gjendjen 2, del sa diferenca e vlerave të energjisë potenciale të plotë :

ji

b

ij

i

e

i UUU,

)()(

2

1 (h – 28)

A12 = U1 – U2 (h- 29)

Në rastin kur sistemi është trup i ngurtë, termi i dytë në shprehjen e energjisë së plotë potenciale

(h - 28), energjia potenciale e forcave të brendëshme, është konstante dhe kur bëhet diferenca e

vlerave të energjisë potenciale të plotë (h - 29), ky term bie në diferencë. Prandaj, për trupat e

ngurtë merret vetëm diferenca e vlerave të energjisë potenciale të forcave të jashtme.

6 Meqë çdo term i shumave llogaritet dy herë, njëherë gjatë shumimit sipas indeksit i dhe njëherë gjatë

shumimit sipas j, është vendosur ½ para shumimeve.

7

Duke krahasuar dy shprehjet e punës së plotë, (h – 25) dhe (h-29), merret ligji i ruajtjes së

energjisë mekanike: Për një sistem mekanik në të cilin veprojnë vetëm forca konservative,

energjia e plotë mekanike (shuma e energjisë kineteke me atë potenciale) ruhet me kohën :

E = T1 + U1 = T2 + U2 (h- 30)

Në rastet kur mbi sistemin veprojnë forca jokonservative (siç janë psh, forcat e fërkimit)

atëhere energjia e plotë mekanike nuk ruhet. Por ndryshimi i energjisë së plotë mekanike është e

barabartë me punën që kryejnë këto forca jokonservative.

Ajokonservative = ΔE = E2 – E1 (h – 31)

I.0. Lëvizja e pikës materiale në kordinata vijë-përkulur

Tri madhësi q1 , q2 , q3 , që përcaktojnë në mënyrë të vetme vendodhjen hapsinore të pikës

materiale, quhen kordinata vijëpërkulura.

Ekuacionet parametrike të lëvizjes së pikës materiale, në kordinata vijëpërkulura, janë:

q1 = q1(t) , q2 = q2 (t) , q3 = q3 (t) .

Rrezja vektore e pozicionit të pikës materiale është funksion i vetëm i kordinatave

vijëpërkulura:

r = r(q1 , q2 , q3).

Vijat kordinative përcaktohen nga barazimet

r = r(q1 , q20 , q30) ,

r = r(q10 , q2 , q30) ,

r = r(q10 , q20 , q3) ,

ku : q10 , q20 , q30 janë kordinata të fiksuara.

Tangjentet e hequara mbi vijat

kordinative, me kahe pozitive në dejtim të

rritjes së kordinatës përkatëse (fig I.a),

formojnë boshtet kordinativë. Shënojmë e1 ,

e2 , e2 . vektorët njësi të boshteve

kordinativë. Kushti që sistemi i kordinatave

vijëpërkulura të jetë ortogonal , shkruhet në

trajtën:

ei · ej = ij (i , j = 1, 2, 3)

ku δij i ashtuquajturi simoli i Kronekerit: ij =

0 kur i j dhe ij = 1 kur i = j.

Koeficientët e Lameut përcaktohen nga

barazimet:

Hi=

222

iiii q

z

q

y

q

x

q

r (i = 1, 2, 3).

Vektorët njësi (ortet) të boshteve kordinative shprehen nëpërmjet koeficientëve të Lameut sipas

formulave:

ei =

ii qH

r1

[q3]

[q2]

[q1]

q3

q1

e3

q2

e2

e1

Fig. I.a.

8

Elementet e harkut në vijat kordinative janë:

dS1 = H1 dq1 , dS2 = H2 dq2 , dS3 = H3 dq3 .

Projeksionet e shpejtësisë dhe nxitimit në boshtet kordinative

janë përkatësisht:

iq i iv H q (i = 1, 2, 3)

1

iq

i i i

d T Tw

H dt q q , (i = 1, 2, 3)

ku:

T = ½v2 =

2 2 2 2 2 2

1 1 21 2 3 3

1

2H q H q H q .

Rasti I. Kordinatat Karteziane (x, y, z)

Koeficientët e Lameut janë:

H1 = Hx = 1 , H2 = Hy = 1 , H3 = Hz = 1

Projeksionet e shpejtësisë janë:

, , x y zv x v y v z

Projeksionet e nxitimit janë:

, , x y zw x w y w z

Rasti II Kordinatat Cilindrike (r, , z në fig. I.b.)

Kordinatat cilindrike lidhen me kordinatat karteziane me relacionet:

x = r cos , y= r sin , z = z .

Vijat kordinative janë treguar në fig. I.b. (vija e drejtë radiale, rrethi me rreze r dhe vija e drejtë

vertikale). Vektorët njësi të këtyre vijave (er, e , ez) janë pingul me njeri tjetrin, prandaj ky

sistem është ortogonal. Koeficientët e Lameut janë:

H1 = Hr = 1 , H2 = H = r, H3 = Hz = 1 .

Projeksionet e shpejtësisë në vijat kordinative janë:

, , r zv r v r v z

Projeksionet e nxitimit në vijat kordinative janë:

2 21 , , r z

dw r r w r w z

r dt

Kordinatat polare mund të shqyrtohen si rast i veçantë i kordinatave cilindrike, kur z = 0.

Prandaj për lëvizjen në plan, kordinatat polare r dhe japin përbërset e shpejtësië radiale dhe

pingule me radialen:

dherv r v r

Ndërsa dy përbërset e nxitimit (radial dhe pingul) janë:

2 21

dher

dw r r w r

r dt

Z

X

z

Y

ez

er

e r

Fig. I.b.

9

Rasti III Kordinatat sferike (r, , në fig. I.c.)

Kordinatat sferke lidhen me kordinatat karteziane

me relacionet:

x = r sin cos , y= r sin sin , z = r cos .

Vijat kordinative janë treguar në fig. I.c.. (vija e

drejtë radiale, rrethi me rreze r (meridiani) dhe

rrethi merreze rsin (paraleli). Vektorët njësi të

këtyre vijave (er, e , ez) janë pingul me njeri tjetrin,

prandaj ky sistem është ortogonal.

Koeficientët e Lameut janë:

H1 = Hr = 1, H2 = H = r sin , H3 = H = r

Projeksionet e shpejtësisë në vijat kordinative janë:

, sin , rv r v r v r

Projeksionet e nxitimit në vijat kordinative janë:

2 2 2 2 2 2 21 1sin sin sin cos

sinr

d dw r r w r w r r

r dt r dt , ,

Rast i veçantë i kordinatave sferike, janë kordinatat gjeografike në Tokë, duke e konsideruar atë

si sferë me rreze konstante( 0r ), /2 - - është gjerësia gjeografike (këndi që formon rrezja-

vektore me planin ekuatorial) dhe - është gjatësia gjeografike, duke konsideruar = 0 për

meridianin e Grenuiçit.

Ushtrime dhe problema

I.0.1. Të gjenden vijat kordinative, boshtet kordinative dhe planet kordinative: a) në sistemin

cilindrik të kordinatave, b) në sistemin sferik të kordinatave.

I.0.2. Të shprehen në kordinata karteziane kushtet për të cilat sistemi i kordinatave vijëpërkulur

është ortogonal dhe të provohet se: a) sistemi cilindrik i kordinatave është ortogonal; b) sistemi

sferik i kordinatve është ortogonal.

I.0.3. Të gjendet lidhja ndërmjet vektorëve njësi të sistemit kartezian të kordinatave me vektorët

njësi të sistemit cilindrik të kordinatave si dhe lidhja ndërmjet vektorëve njësi të sistemit

kartezian të kordinatave me vektorët njësi të sistemit sferik të kordinatave.

I.0.4. Të shprehen operacionet: a) grad f , b) div a, c) rot a , d) f në kordinata vijëpërkulura

ortogonale, në veçanti në kordinata cilindrike dhe sferike.

I.0.5. Kordinata eliptike në plan quhen kordinatat 1 , 2 , që lidhen me kordinatat karteziane me

barazimet:

Z

X

Y e

er

e

Fig. I.c.

r

10

2 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

1 (1) 1 (2) x y x y

a b a b

ku a dhe b janë konstante. Të

përcaktohen kufijtë e ndryshimit të

kordinatave 1 dhe 2 në mënyrë që (1)

të paraqesë familje elipsash me vatra të

përbashkëta, kurse (2) të paraqesë

familje hyperbolash me vatra të

përbashkëta (Fig. I.0.5). Të gjenden

koeficientët e Lameut, vijat kordinative,

boshtet kordinative dhe të provohet

ortogonaliteti i sistemit të kordinatave

eliptike, nëse a > b.

I.0.6 Kordinatat parabolike , , z ,

përcaktohen prej barazimeve që i lidhin

ato me kordinatat karteziane x , y , z:

x = ½(2 -

2) , y = , z = z.

Të shprehet rrezja-vektore dhe vektori i shpejtësisë nëpërmjet vektorëve njësi: e , e , ez. A është

ortogonal ky sistem kordinatash?

I.0.7. Një grimcë M zhvendoset në një lakore të përcaktuar nga ekuacionet parametrike:

x = 2 etsin t ; y = 2 e

tcos t ; z = e

t ;

ku x , y , z janë kordinatat karteziane të grimcës në çastin e kohës t. Të përcaktohen:

a) vlerat në modul të shpejtësisë dhe të nxitimit në

çastin t;

b) rrezja e kurbaturës e trajektores në pikën me lartësi

z;

c) lëvizja e projeksionit m të grimcës në planin z = z0.

I.0.8. Një disk me rreze R rrokulliset pa rrëshqitje në

një rrafsh horizontal, me shpejtësi këndore konstante

. për një pikë të periferisë së diskut ( fig. I.0.9), të

përcaktohen:

a) ekuacionet parametrike të lëvizjes në kordinata karteziane (x, y, z);

b) shpejtësia dhe nxitimi në një çast t; c) rrezja e kurbaturës në një çast kohe t. Sa bëhet rrezja e

kurbaturës në pikën më të lartë të trajektores?

I.0.9. Mekanizmi bielë-manivelë tregohet në

fig. 1.0.9 (OA=AB=l) . Manivela OA

rrotullohet me shpejtësi këndore konstante .

a) Të gjenden ekuacionet e lëvizjes së pikave

B dhe M (MB = l /3).

b) Të gjenden shpejtësitë dhe nxitimet e

pikave B dhe M.

c) Të gjendet rrezja e kurbaturës së trajektores

së pikës M , kur = 0.

F1 F2

M

Fig. I.0.5

O

M B

X

A

Y

Fig. I.0.9

M

C

A

x

y

Fig. I.0.8

11

I.0.10. Një grimcë lëviz me shpejtësi konstante nëpër kardioidën me ekuacion (në kordinata

polare):

r = k (1+ cos ) .

të gjenden: a) shpejtësia këndore në funksion të r-së; b) përbërsja radiale e nxitimit; d)

madhësia e nxitimit në funksion të -së.

I.0.11. Një grimcë lëviz në një trajektore spirale. Ekuacionet parametrike të lëvizjes në

kordinata polare janë: r = b t2 , = c t , ku b dhe c janë konstante, ndërsa t është koha. Të

gjendet shpejtësia dhe nxitimi në funksion të kohës. Shpejtësia dhe nxitimi si vektorë të

shprehen me anë të vektorëve njësi er dhe e .

I.0.12. Lëvizja e një pike materiale në kordinata cilindrike, jepet në trajtën:

r = r0 (1 + t) , = 0 ln(1 + t) , z = z0 (1 + t) .

ku r0 , 0 , z0 janë konstante, ndërsa t është koha. Të gjendët ekuacioni i trajektores,

shpejtësia dhe nxitimi i pikës, si dhe rrezja e kurbaturës së trajektores në funksion të kohës.

I.0.13 Një pikë lëviz në sipërfaqen e një koni rrethor. Ekuacioni i kësaj sipërfaqeje në kordinata

cilindrike jepet: r = (tan ) z , ku 2 është këndi i hapjes së konit. Trajektorja e pikës i pret

përftueset e konit nën të njëjtin kënd . Të gjendet ekuacioni i dytë, që përcakton trjektoren e

pikës (lidhja midis kordinatave cilindrike r dhe ). Në çastin t = 0, pika ndodhet në r = r0 dhe

= 0 .

I.0.14. Një pikë M përshkruan një helikë rrethore. Ekuacionet e saj në kordinata karteziane

janë: x = R cos ; y = R sin ; z = h

;

ku R është rrezja e helikës dhe h është hapi i helikës që janë të pandryshuara.

Le të jetë =d /dt shpejtësia këndore e pikës.

a) Të gjenden përbërëset e shpejtësisë dhe nxitimit në kordinata cilindrike.

b) Ç’mund të thuhet për nxitimin në rastin kur është konstant? Të gjendet rrezja e kurbaturës

së helikës në funksion të rrezes R dhe hapit h.

I.0.15. Një grimcë lëviz sipas një trajektoreje helikoidale, ekuacionet e së cilës në kordinata

cilindrike janë: r = a , = b t , z = c t2 .

ku a, b, c janë konstante. Të gjenden vektorët e shpejtësisë dhe të nxitimit në funksion të kohës

t. Të gjendet këndi midis shpejtësisë dhe nxitimit në çastin t = 1 s.

I.0.16. Një pikë materiale përshkruan një trajektore plane, ekuacioni i të cilës në kordinata

polare, është: r = ½ r0 (1 + cos ) , ku r0 është një konstante.

a) Të vizatohet trajektorja.

b) Të gjendet varësia e gjatësisë së rrugës që bën pika S nga këndi polar .

c) Nëse = është konstante, të gjendet:

- shpejtësia lineare v në funksion të kohës;

- përbërsja radiale dhe pingule e nxitimit: wr dhe w , si dhe vlera e nxitimit ë të plotë në

funksion të kohës;

- rezja e kurbaturës së trajektores në çastin t.

I.0.17 Planetet lëvizin sipas elipsave, ku Dielli është në një nga vatrat. Në kordinata polare,

ekuacioni i elipsit është:

12

cos1

pr .

Shpejtësia sektoriale 0 e planeteve është konstante. Të provohet se nxitimi i planeteve është

qendërsynues dhe jepet nga e ashtuquajtura formula Bine:

0

2

4 1rw w

p r

I.0.18. Një anije lëviz me shpejtësi konstante v në mënyrë të tillë që drejtimi i shpejtësisë të

formojë me çdo meriadian gjeografik të Tokës të njëjtin kënd konstant (fig. I.0.18) .

a) Të gjendet ekuacioni i trajektores në kordinata sferike ( , ) , si dhe koha T për të cilën

anija arrin në polin verior të Tokës, duke filluar

lëvizjen nga ekuatori.

b) Të gjenden projeksionet e nxitimit në boshtet

kordinativë sferikë, si dhe nxitimi i plotë dhe rrezja e

kurbaturës së trajektores.

I.0.19. Në fillim të lëvizjes, pika M (fig. I.0.19)

ndodhet në ekuatorin e sipërfaqes sferike me rreze R

. Meridiani, mbi të cilin ndodhet pika, rrotullohet me

shpejtësi këndore konstante rreth boshtit OZ që

kalon në qendër të sferës dhe është pingul me planin

e ekuatorit. Pika lëviz mbi meridian me po atë

shpejtësi këndore në drejtimin e treguar me shigjetë

në figurë.

a) Të gjenden ekuacionet e trjektores.

b) Të gjendet shpejtësia këndore e pikës, kur ajo arrin polin e sferës.

Fig. I.0.18

X

Y

v

v v

Z

α

O

X

Y

Z

M0

M

m

Fig. I.0.19

15

KAPITULLI I Ekuacionet e lëvizjes

I.1 Lidhjet dhe koordinatat e përgjithësuara

Pikat materiale të një sistemi mekanik mund të mos jenë të lira në lëvizjen e

tyre. Ato mund të mos zenë pozicion të çfardoshëm në hapësirë ose mund të mos

marrin shpejtësi të çfardoshme. Këto kufizime gjeometrike (për pozicionin) apo

kinematike (për shpejtësinë) të lëvizjes së pikave të sistemit quhen lidhje. Një sistem

me lidhje është edhe trupi i ngurtë, ku lidhjet që kufizojnë lëvizjen e pikave të tij,

shprehin faktin që distancat midis pikave të trupit nuk ndryshojnë me kohën. Pra, po

të shënojmë ri dhe rj rreze vektorët e dy pikave çfardo të trupit, atëhere lidhjet do të

shpreheshin me relacionet:

| ri – rj| = cij ose | ri – rj| - cij = 0 (I.1.1)

ku cij janë konstante.

Në përgjithësi, lidhjet shprehen analitikisht me anë të barazimeve që lidhin

koordinatat dhe shpejtësitë e pikave të sistemit. Këto barazime quhen ekuacione të

lidhjeve. Trajta e përgjithëshme e tyre është në formën:

f(r1, r2, r3,..., rN, 1r , 2r , 3r ,..., Nr , t) = 0 (I.1.2)

ku f është një funksion i koordinatave (ri ), shpejtësive ( ir ) dhe kohës (t) në

përgjithësi. Indeksi i merr vlera 1, 2, ... N, ku N është numri i pikave materiale që

përmban sistemi mekanik. Në veçanti, kur në këto ekuacione nuk hyjnë shpejtësitë,

pra kur kufizimet në lëvizjen e pikave janë vetëm në pozicion, atëherë lidhjet quhen

holonome ose gjeometrike. Ato shprehen në trajtën:

f(r1, r2, r3,..., rN, t) = 0 (I.1.3)

Të tilla janë edhe lidhjet e pikave të trupit të ngurtë (I.1.1). Lidhjet e trajtës (I.1.2),

ekuacionet e të cilave nuk mund të integrohen, pra të sillen në trajtën (I.1.3), quhen

lidhje joholonome ose kinematike. Të tilla janë, p.sh., lidhjet në rastin e një disku që

rrokulliset në një plan (fig. I.1.1). Në këtë rast, shpejtësia e qendrës së diskut është:

v a , ku a është rrezja e diskut dhe është shpejtësia këndore e rrotullimit të

diskut rreth boshtit të vet. Shpejtësia v është paralel me planin dhe pingul me boshtin

e diskut; ajo ka dy përbërëse në boshtet X dhe Y të planit(fig. I.1.1):

sin

cos

x v

y v

q

q

ku është këndi midis drejtimit të boshtit të diskut dhe

boshtit X (drejtimi i shpejtësisë së qendrës së diskut

është pingul me drejtimin e boshtit të diskut). Duke

zëvendësuar në këto barazime shpejtësinë av dhe

duke eliminuar diferencialin kohor, gjejmë lidhjet për

diferencialet e koordinatave të qendrës së diskut x, y,

Z Y

v

X

Fig. I.1.1.

16

këndit të rrotullimit të diskut dhe koordinatës , në trajtën :

dx + ad sin = 0

dy - ad cos = 0

të cilat nuk integrohen, pra nuk sillen dot në trajtën (I.1.3)

Lidhjet mund të klasifikohen edhe në bazë të kritereve të tjera. P.sh., nëse në

ekuacionet e lidhjeve nuk hyn koha shtjellazi, ato quhen lidhje stacionare ose

reonome. Ndërsa kur koha hyn shtjellazi në ekuacionet e lidhjeve, ato quhen

jostacionare ose skleronome. Një kriter tjetër është edhe prania e fërkimit në lidhjet.

Lidhja quhet ideale ose e lëmuar nëse prania e saj nuk shkakton fërkim midis

sipërfaqeve në kontakt dhe lidhja quhet joideale ose palëmuar nëse në prania e saj

shkakton fërkim midis sipërfaqeve në kontakt. Së fundi, një kriter tjetër bazohet në

faktin nëse pikat materjale mund të shkëputen ose të mos shkëputen nga lidhjet. Në

rastet kur pikat mund të shkëputen nga lidhjet, lidhjet quhen të papërmbajtura dhe

ekuacioni i tyre shprehet me një mosbarazim. P.sh., për një pikë materiale, e cila

mund të lëvizë kudo jashtë një sfere me rreze a, ekuacioni i lidhjes do të ishte: |r| - a

0. Në rastet kur pikat materiale nuk shkëputen nga lidhjet, lidhjet quhen të

përmbajtura. P.sh., nëse pika e mësipërme do të lëvizte gjithmonë mbi sipërfaqen e

sferës, atëherë ekuacioni i lidhjes do shprehej me një barazim e jo me një

mosbarazim: |r| - a = 0 .

Prania e lidhjeve në lëvizjen e sistemeve mekanike sjell dy vështirësi në studimin e

këtyre lëvizjeve:

Së pari, fakti që midis koordinatave ka lidhje tregon se këto koordinata nuk janë të

gjitha të pavarura. Prandaj edhe ekuacionet që do shkruheshin për secilën koordinatë

karteziane, të secilës pikë materiale, nuk do të ishin të gjitha të pavarura.

Së dyti, në prani të lidhjeve lindin forca të ashtuquajtura reaksione të lidhjeve, të

cilat nuk njihen apriori, pra janë të panjohura në ekuacionet e lëvizjeve të pikave

materiale të sistemit.

Vështirësia e parë mund të kapërcehet, në rastin e lidhjeve holonome, duke futur

kuptimin e koordinatave të përgjithësuara.

Fillimisht, përcaktojmë se sa është numri i më i vogël i kordinatave të pavarura që

përcaktojnë pozicionin hapësinor të sistemit. Siç dihet ky numër quhet numri i

gradëve të lirisë të sistemit. Psh, për një sistem me N pika materiale që janë të lira,

pra midis tyre nuk ka lidhje, numri i gradëve të lirisë do të ishte 3N . Nëse ky sistem

ka një numër k lidhjesh (k ekuacione të pavarur të trajtës I.1.3), atëherë numri i

kordinatave të pavarura do të ishte s = 3N – k. Sepse, nga k ekuacionet e lidhjeve

mund të shprehen k koordinata të varura nëpërmjet koordinatave të tjera, që mbeten të

pavarura.

Në përgjithësi, për një sistem mekanik me s gradë lirie, mund të përcaktohen s

variabla të pavarura q1, q2, ...qs , të cilat quhen kordinata të përgjithësuara. Ato janë s

madhësi të pavarura që përcaktojnë plotësisht pozicionin hapësinor të sistemit. Ato

mund të mos jenë gjatësi siç janë koordinatat karteziane të pikave të sistemit (p.sh

mund të jenë kënde). Meqenëse kordinatat e përgjithësuara e përcaktojnë plotësisht

pozicionin e sistemit, atëhere koordinatat karteziane: r1, r2, ... rN (ose 3N përbërëset

17

e tyre në boshtet karteziane), duhet të shprehen si funksione të kordinatave të

përgjithësuara:

r1 = r1(q1, q2, ....qs , t)

r2 = r1(q1, q2, ....qs, t)

...... (I.1.4)

rN = rN(q1, q2, ....qs , t)

ku t është koha.

N – funksionet vektoriale (I.1.4) ose 3N fuksionet skalare përkatëse:

x1 = x1(q1, q2,... qs, t)

y1 = y1(q1, q2,... qs, t)

z1 = z1(q1, q2,... qs, t)

.....

xN = xN(q1, q2,... qs, t)

yN = yN(q1, q2,... qs, t)

zN = zN(q1, q2,... qs, t)

quhen ekuacionet e transformimit nga variablat (q1, q2, ....qs) në variablat r1, r2 ....rN

ose përbëreset karteziane të r1, r2 ....rN . Prej tyre mund të shprehen transformimet e

anasjellta, pra mund të shprehim variablat q1, q2 , .... qs në funksion të variablave: r1,

r2 ....rN ose përbërseve të tyre (x1, y1, z1, x2, y2, z2,... xN, yN, zN) dhe kohës t. Në dallim

nga koordinatat karteziane, koordinatat e përgjithësuara mund të mos ndahen në tri

grupe, siç ndahen koordinatat karteziane në 3 grupet e projeksioneve sipas boshteve

kordinative karteziane. Kordinatat e përgjithësuara mund të mos jenë ortogonale siç

janë koordinatat karteziane. Derivatet kohore të koordinatave të përgjithësuara

1 2, ,... sq q q quhen shpejtësi të përgjithësuara.

Nëse lidhjet do të ishin joholonome, atëherë mund të mos shpreheshin dot

kordinatat e varura nëpërmjet kordinatave të pavarura nga ekuacionet e lidhjeve,

sepse në këto ekuacione hyjnë edhe shpejtësitë. Prandaj, për sistemet me lidhje

joholonome nuk ka një metodë të përgjithëshme të zgjidhjes së ekuacioneve të

lëvizjes. Gjatë trajtimit të mëtejshëm ne do konsiderojmë vetëm lidhje holonome,

megjithëse në praktikë ka shumë probleme me lidhje joholome. Për një klasë të

caktuar lidhjesh të tilla ka zgjidhje, por kjo del jashtë qëllimeve të këtij kursi.

Vështirësia e dytë që sjell prania e lidhjeve ishin reaksionet e lidhjeve. Kjo

vështirësi mund të kapërxehet duke i shkruar ekuacionet e lëvizjes në mënyrë të tillë

që në to të mos figurojnë reaksionet e lidhjeve. Kjo realizohet me një metodë që

njihet si metoda e D’Alamberit.

I.2 Parimi i punëve virtuale (parimi i D’Alamberit) dhe ekuacionet e

Lagranzhit të lloit të parë.

Fillimisht do të japim kuptimin e zhvendosjeve virtuale . Me zhvendosje virtuale

pambarimisht të vogla, që shënohen ri ose (xi, yi, zi) ku i = 1, 2, 3 .. N, do të

kuptojmë çdo ndryshim pambarimisht të vogël të konfiguracionit hapsinor të

18

sistemit që përputhet me lidhjet në çastin e dhënë. Zhvendosjet virtuale

pambarimisht të vogla duhet të dallohen nga zhvendosjet reale dri që mund të

ndodhin gjatë një intervali kohe pambarimsht të vogël dt. Gjatë këtij intervali kohe,

lidhjet mund të ndryshojnë dhe zhvendosja reale e mundëshme nuk përputhet me

zhvendosjen virtuale. Zhvendosjet virtuale përputhen me zhvendosjet e mundëshme,

të përfytyruara sikur koha t të ishte e fiksuar.

Le ta zemë se sistemi ndodhet në prehje, d.m.th forca e plotë që vepron mbi çdo

pikë të tij është zero: Fi = 0 , ku i = 1, 2, 3, ...N. Rrjedhimisht produktet skalare Firi

janë zero, pra punët virtuale të forcave gjatë zhvendosjeve virtuale ri janë zero. Po

ashtu do të jetë edhe shuma e këtyre punëve:

i Firi = 0 (I.2.1)

E ndajmë forcën e plotë Fi në dy forca. Njera është forca e reaksionit të

lidhjeve që veprojnë në pikën e i-të : fi dhe tjetra që mbetet e quajmë forcë aktive dhe

e shënojmë Fi(a)

: Fi = Fi(a)

+ fi . Barazimi (I.2.1) shkruhet:

0 i i

iii(a)i rfrF (I.2.2)

Do të shqyrtojmë vetëm sisteme të tillë, për të cilët shuma e punëve virtuale të

forcave të reaksionit të lidhjeve është zero. Psh, për lidhjet e përmabjtura ideale,

forcat e reaksionit të lidhjeve janë pingul me siperfaqet në kontakt (mungojnë forcat e

fërkimit), prandaj puna e këtyre forcave është zero. Ky kusht është gjithashtu i vërtetë

për forcat e brendëshme që veprojnë midis pikave të trupit të ngurtë. Por ai është i

vërtetë për një numër të madh sistemesh të tjerë. Ky kusht nuk mbetet i vërtetë vetëm

në prani të forcave të fërkimit midis sipërfaqeve në kontakt. Duke përjashtuar nga

studimi sisteme të tillë, ku është i pranishëm fërkimi, mund ta rishkruajmë barazimin

(I.2.2) në trajtën:

0i

i(a)i rF (I.2.3)

Pra, shuma e punëve virtuale të forcave aktive, që veprojnë mbi një sistem në

prehje, është zero. Në mënyrë analoge mund të veprohet edhe për rastin kur sistemi

është në lëvizje. Shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për lëvizjen e çdo pike të sistemit

mekanik:

i iF P ose 0i i F P (I.2.4)

ku Fi është forca rezultante që vepron në pikën e i-të dhe iP =( )i i

i i

d mm

dt

rr është

derivati kohor i impulsit të pikës së i-të. Ekuacioni (I.2.4) mund të trajtohet si një

ekuacion ekuilibri, ku mbi secilën pikë të sistemit vepron jo vetëm forca reale Fi por

edhe një forcë tjetër iP- që quhet forcë inerciale. Kështu që barazimi (I.2.1) në rastin

kur sistemi nuk është në prehje, shkruhet:

) 0i i i

i

(F p rd (I.2.5)

dhe duke ndarë forcën Fi në forcë aktive Fi(a)

dhe në reaksionin e lidhjes fi , del:

19

( ) ) 0a

i i i i i

i i

d d(F p r f r

Duke u kufizuar vetëm në sisteme për të cilët shuma e punëve virtuale të forcave të

reaksionit të lidhjeve është zero, gjejmë:

( ) ) 0a

i i i

i

d(F p r (I.2.6)

Ky barazim shpreh matematiksht të ashtuquajturin parimin e punëve virtuale ose

parimin e D’Alamberit: shuma e punëve virtuale të forcave aktive dhe të forcave të

inercisë është e barabartë me zero. Nga ky barazim, mund të nxjerrim ekuacionet e

Lagranzhit të llojit të parë.

Le ta zemë se sistemi mekanik ka k lidhje holonome, ekuacionet e të cilave shprehen:

fl (r1, r2, ...rN) = 0 , ku l = 1, 2, 3, ...k (I.2.7)

ose

fl (x1 , y1 , z1, x2 , y2 ,z2 , ... xN , yN , zN) = 0

Le të jenë zhvendosjet virtuale ri (me përbërëse xi ,yi ,zi). Ato nuk janë të gjitha

të pavarura, sepse kemi k ekuacione të lidhjeve, pra vetëm s = 3N – k përbërëse të

zhvendosjeve virtuale xi,yi ,zi janë të pavarura (kujtojmë se N është numri i pikave

materiale të sistemit dhe s është numri i gradëve të lirisë së tij).

Diferencojmë funksionet fl në ekuacionet (I.2.7), duke patur parasysh që janë

funksione me shumë variabla dhe gjatë diferencimit kemi ndyshime pambarimisht të

vogla të variablave xi ,yi ,zi ndërsa koha t mbetet e fiksuar (kujtojmë që

koordinatat xi , yi , zi varen nga koha). Ndyshimet pambarimisht të vogla të

funksioneve fl , janë:

0)(1

i

i

li

i

lN

ii

i

ll z

z

fy

y

fx

x

ff (I.2.8)

ku l =1, 2, 3, ... k , pra kemi k barazime (I.2.8). Shumëzojmë secilin prej këtyre

barazimeve përkatësisht me faktorët 1, 2 , 3 , ... k , të cilët quhen faktorët e

Lagranzhit, vlerat e të cilëve nuk i dimë fillimisht. Barazimet që përftohen i

mbledhim dhe ia shtojmë barazimit (I.2.6) dhe merret barazimi:

( ) ( )

1 1 1

( )

1

[( ) ( )

( ) ] 0

x y

z

N k ka al l

i i l i i i l ii ii l li i

ka l

i i l iil i

f fF m x x F m y y

x y

fF m z z

z

(I.2.9)

I zgjedhim faktorët e Lagranzhit të tillë që termat (brenda kllapat e thjeshta) që

shumëzojnë k zhvendosje virtuale të varura në barazimin (I.2.9) të bëhen zero.

Atëhere në barazimin (I.2.9) mbeten vetëm s= 3N-k terma që kanë zhvendosje

virtuale të pavarura. Që të jetë i vërtetë ky barazim për çfarëdo vlere të zhvendosjeve

virtuale të pavarura duhet që të gjithë termat në kllapa para secilës zhvendosje

virtuale, të jenë zero. Kështu, termat në kllapa, që shumëzojnë si zhvendosjet virtuale

20

të varura ashtu edhe zhvendosjet virtuale të pavarura, bëhen zero. Duke barazuar me

zero këto terma, merren barazimet:

( )

1

( )

1

( )

1

x

y

z

ka l

l i iil i

ka l

l i iil i

ka l

l i iil i

fF m x

x

fF m y

y

fF m z

z

(I.2.10)

ku i = 1, 2, 3, ... N . Pra, janë gjithsejt 3N barazime që quhen ekuacionet e Lagranzhit

të llojit të parë. Ato në fakt janë shprehje të ligjit të dytë të Njutonit për një sistem

mekanik ku janë të pranishme lidhjet. Në anët e majta të barazimeve janë përbërset e

forcave rezultante që veprojnë mbi çdo pikë të sistemit sipas secilit nga boshtet

kordinative. Meqë forcat janë ndarë në dy terma ku termi i parë është forca aktive,

atëhere termi i dytë (i shprehur me shumat) paraqet reaksionin e lidhjeve që vepron

mbi çdo pikë sipas secilit drejtim:

1 1 1

; ; x y z

k k kl l l

i l i l i ll l li i i

f f fN N N

x y z

(I.2.11)

ose në trajtë vektoriale, reaksionet e lidhjeve janë:

1

kl

i l

l i

flN

r (I.2.12)

Nëse na jepen forcat aktive që veprojmë mbi çdo pikë të sistemit, 3N ekuacionet e

lëvizjes në trajtën (I.2.10) përmbajnë 3N+k të panjohura: 3N përbërëset e nxitimeve të

pikave të sistemit dhe k faktorët e papërcaktuar të Lagranzhit. Prandaj për zgjidhjen e

tyre duhen edhe k ekuacione të tjerë që janë ekuacionet e lidhjeve (I.2.7). Atëherë

formohet një sistem me 3N+k ekuacione me 3N+k të panjohura. Nga zgjidhja e këtij

sistemi gjenden jo vetëm nxitimet e pikave të sistemit por edhe k faktorët e

Lagranzhit dhe më tej nga barazimet (I.2.11) ose (I.2.12) gjenden edhe reaksionet e

lidhjeve.

I.3 Ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë

Megjithëse reaksionet e lidhjet nuk hyjnë shtjellazi në ekuacionet e Lagranzhit të

llojit të parë (I.2.11), këto ekuacione të lëvizjes së sistemit mekanik nuk janë në trajtë

mjaft të përshtatëshme. Për t’i sjellë këto ekuacione në trajtë më të përshtatëshme, tek

parimi i punëve virtuale (I.2.6) do të zëvendësojmë zhvendosjet virtuale ri në

funksion të zhvendosjeve virtuale të koordinatave të përgjithësuara qj, të cilat janë të

gjitha të pavarura.

21

Kalimi nga koordinatat karteziane ri (i = 1, 2, 3,... N , ku N është numri i pikave të

sistemit mekanik) në koordinatat e përgjithësuara qj (j= 1, 2, 3, ...s , ku s = 3N - k

është numri i gradëve të lirisë së sistemit) kryhet sipas barazimeve (I.1.4):

ri = ri(q1, q2, q3, ... qs, t)

ku janë N funksione vektoriale ose 3N funksione skalare, secili funksion i s+1

variablave. Nga këto barazime mund të shprehim shpejtësitë e pikave si derivate të

plota kohore të rrezeve vektore dhe zhvendosjet virtuale në trajtën:

1

si i

i i j

j j

qq t

r rv r (I.3.1)

1

si

i j

j j

qq

rr (I.3.2)

Vini re se te shprehja e zhvendosjeve virtuale (I.3.2), koha konsiderohet e fiksuar.

Pasi zevendësohen zhvendosjet virtuale sipas barazimit (I.3.2) te termi i parë i

ekuacionit (I.2.6), puna virtuale e forcave aktive, shprehet në trajtën:

jj

N

i

j

j

i

j

a

ii

i

(a)

i qQqq

1 1

)(

1

rFrF

sN

(I.3.3)

ku

N rF

1

)(

i j

ia

ijq

Q (I.3.4)

quhen forca të përgjithësuara. Ashtu sikurse kordinatat e përgjithësuara, që janë

madhësi skalare dhe mund të mos kenë dimensionet e gjatësisë, edhe forcat e

përgjithësaura janë madhësi skalare që mund të mos kenë dimensionet e forcës. Por

gjithmonë produktet Qjqj kanë dimensionet e punës. Në praktikë për llogaritjen e

forcës së përgjithësuar të j-të mund të përdoret formula (I.3.4), por mund të veprohet

edhe në këtë mënyrë: i jepet kordinatës së përgjithësuar të j-të një ndryshim virtual

qj duke i mbajtur kordinatat e tjera të fiksuara dhe llogaritet puna që kryejnë forcat

aktive gjatë kësaj zhvendosjeje; pjesëtohet kjo punë me qj dhe rezultati jep forcën e

përgjithësuar Qj .

Le të transformojmë termin e dytë në barazimin (I.2.6), duke zevendësuar aty përsëri

ekuacionin (I.3.2), gjejmë:

1 1 1

N si

i i i i i i i j

i i j j

m m qq

N N

i 1

rp r r r r

ku mi janë masat e pikave dhe ir janë nxitimet e tyre. E transformojmë më tej këtë

shprehje, duke e ndëruar renditjen e shumimeve dhe duke shkruar shumën sipas i-ve

në trajtën:

22

1 1

i ii i

N Nj ji

i i i i

i ij

d m dq q

m mq dt dt

r rr

rr r

Duke ndërruar renditjen e derivimit te termi i dytë i kësaj shume:

i i

j i i

j j j

ddq dt

dt q q q

r r

r v dhe duke zëvendësuar te termi i parë

j

i

q

rnga

barazimi (I.3.1) : i i i

j j jq q q

r v r, gjejmë:

2 2

1 1

i 1 1

d / 2 / 2d

d d

N Ni

i i i i i iN Nj i i i=i

i i i i

ij j j j

m m m vq

m mq t q t q q

vv v

vrr v

Duke zëvendësuar energjinë kinetike të sistemit me

N

i

iimT1

2 2/v , gjejmë se termi

i dytë në parimin e punëve virtuale (I.2.6), bëhet:

1 1

s

i i j

i j j j

d T Tq

dt q q

N

p r (I.3.5)

dhe ekuacioni që merret nga parimi i punëve virtuale del:

01

j

s

jj

jj

qQq

T

q

T

dt

d

(I.3.6)

Duke i konsideruar të gjitha lidhjet holonome, rezulton se koordinatat e

përgjithësuara janë të gjitha të pavarura, pra edhe zhvendosjet virtuale qj janë të

gjitha të pavarura. Atëhere, që të jetë i vërtetë barazimi (I.3.6) për zhvendosje virtuale

të çfarëdoshme, duhet që secili term në kllapa para secilës nga zhvendosjet virtuale

qj të jetë zero. Nga ky kusht dalin ekuacionet:

j

j j

d T TQ

dt q q

(I.3.7)

që quhen ekuacionet e Lagranzhit të lloit të dytë. Shpesh ne do t’u referohemi atyre

si ekuacionet e Lagranzhit. Ato janë s (kujtojmë se s është numri i gradëve të lirisë së

23

sistemit) ekuacione diferenciale në lidhje me s variablat e pavarur, nga zgjidhja e të

cilave përftohen varësitë kohore të koordinatave të përgjithësuara.

Në rastin kur forcat aktive Fi(a)

janë konservative, ato derivojnë nga një

funksion potencial, pra jepen:

i

ai

U

rF

)(

( I.3.8)

ku U(r1, r2, r3 , ... rN , t) - është energjia potenciale e sistemit e cila varet nga

koordinatat e pikave të sistemit dhe koha në përgjithësi. Atëhere, forca e përgjithësuar

e j-të mund të shkruhet:

ji j

i

ii j

iaij

q

U

q

U

qQ

NN r

r

rF

11

)( (I.3.9)

ku j=1, 2, 3, ...s.

Kjo shprehje tregon se forca e përgjithësuar Qj është derivat i pjesshëm i energjisë

potenciale në lidhje me koordinatën e përgjithësuar përkatëse, kur energjia potenciale

është shprehur si funksion i koordinatave të përgjithësuara U(q1, q2, q3 , ... qs, t),

d.m.th kordinatat karteziane janë zëvendësuar te funksioni i energjisë potenciale sipas

barazimeve (I.1.4). Duke zëvendësuar shprehjet (I.3.9) e forcave të përgjithësuara në

ekucionet e Lagranzhit (I.3.7) dhe duke patur parasysh se energjia potenciale nuk

varet nga shpejtësitë e përgjithësuara jq , pra 0j

U

q

, ekuacionet e Lagranzhit

shkruhen:

( ) ( )

0j j

d T U T U

dt q q

,

Duke shënuar me:

L = T – U (I.3.10)

funksionin që është diferenca e energjisë kinetike me atë potenciale, i cili është një

funksion i koordinatave të përgjithësuara, shpejtësive të përgjithësuara dhe kohës në

përgjithësi L(q1, q2, q3 , ... qs, 1 2 3, , ,... sq q q q , t) që quhet funksioni i Lagranzhit,

atëherë ekuacionet e Lagranzhit do shkruhen:

0j j

d L L

dt q q

(I.3.11)

I.4 Parimi i Hamiltonit ose parimi i veprimit minimal

Ekuacione e Lagranzhit që nxorëm më lart nga parimi i punëve virtuale,

mund të nxiren edhe nga një parim tjetër që është parimi i Hamiltonit ose siç quhet

shpesh parimi i veprimit minimal, i cili ka një përdorim shumë të gjerë në fizikën

teorike. Para se të shtjellojmë këtë parim, do të sqarojmë konceptin e variacionit të

24

funksionit, të cilin do ta përdorim për të nxejrrë ekuacionet e Lagranzhit nga parimi i

Hamiltonit.

Variacioni

Le të shqyrtojmë rastin e një funksioni me një variabël, pra le të jetë funksioni u=f(t)

një funksion çfarëdo i vazhduar i variablit t , i cili paraqitet në figurën (I.4.1).

Gjatë një ndryshimi pambarimisht të vogël të variablit t, funksioni ndryshon me një

madhësi pambarimisht të vogël u, e cila në limit kur t 0, jep diferencialin e

funksionit du. Le të marrim një

funksion tjetër: u1 = u + f1(t),

ku është një konstante

pambarimisht e vogël dhe f1(t)

është një funksion çfarëdo i

diferencueshëm i variablit t .

Pra, funksioni u1

ndryshon në vlera

pambarimisht pak nga

funksioni u, duke ndryshuar

forma e funksionit (shih

figurën). Pikërisht ndryshimin

u = u1 - u = f1(t) kur 0 ne do ta quajmë variacion të funksionit u . Ai është një

funksion i variablit t : u(t) dhe dallon nga diferenciali sepse paraqet ndryshimin

pambarimisht të vogël të formës së funksionit, ndërsa diferenciali paraqet ndryshim

pambarimisht të vogël të vlerës së funksionit u për ndryshim pambarimisht të vogël të

variablit t. Megjithatë, variacioni i bindet po atyre rregullave sikurse diferenciali i

funksionit. P.sh., variacioni i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën

e variacioneve të dy funksioneve, ose variacioni i produktit të dy funksioneve është

ashtu sikundër diferenciali i produktit të dy funksioneve, pra është i barabartë me

variacionin e funksion të parë herë funksionin e dytë plus variacionin e funksionit të

dytë herë funksionin e parë etj. Po ashtu, variacioni i derivatit të një funksioni është i

barabartë me derivatin e variacionit të atij funksioni, siç mund të provohet nga

relacionet e mëposhtme:

dt

ud

dt

uud

dt

du

dt

du

dt

du )()( 11

Njëlloj mund të provohet se variacioni i integralit të një funksioni është i barabartë

me integralin e variacionit të atij funksioni:

dttudttu )())((

Funksioni u mund të jetë p.sh njera prej kordinatave të pikave të një sistemi

mekanik: x(t), y(t), z(t) apo rrezja vektore r(t). Në këtë rast zhvendosjet virtuale

pambarimisht të vogla, që kemi përmendur në paragrafët e mësipërm, do të ishin

variacionet e kordinatave të pikës r ose x , y, z.

u

t

u(t)

u1(t)

u

Figura I.4.1

25

Edhe variacioni i një funksioni me shumë variabla mund të trajtohet në

mënyrë të ngjashme dhe u bindet po atyre rregullave sikundër diferenciali i funksionit

me shumë variabla. Të tillë funksione do ishin funksionet e kordinatave dhe

shpejtësive të pikave të sistemit mekanik. Gjatë variacionit të këtyre funksioneve,

ndryshojnë koordinatat dhe shpejtësitë (kemi variacionin e tyre), por jo koha t.

Le të kalojmë tani te parimi i Hamiltonit. Shqyrtojmë një sistem mekanik me

s gradë lirie, pra pozicioni hapësinor i tij jepet nga vlerat e kordinatave të

përgjithësuara q1, q2, ...qs dhe gjendja mekanike e tij mund të paraqitet nga një pikë në

një hapësirë s dimensionale, që quhet hapësira e konfiguracioneve. Kordinatat e

kësaj pike janë vlerat e kordinatave q1, q2, ...qs . Gjatë kohës që gjendja e sistemit

mekanik ndryshon, kjo pikë “lëviz” në hapësirën e konfiguracioneve duke përshkruar

një “trajektore” në këtë hapësirë. Kjo “trajektore” nuk ka të bëjë me trajektoret reale

që ndjekin pikat materiale të sistemit mekanik në hapësirën e zakonshme tri-

dimensionale. Koha mund të shikohet si një parametër, çdo vlerë e këtij parametri i

përket një pikë e kësaj “trajektoreje”.

Funksioni i Lagranzhit, i cili karakterizon gjendjen mekanike të sistemit,

është funksion i koordinatave të përgjithësuara, shpejtësive të përgjithësuara dhe

kohës në përgjithësi:

L(q1, q2, ...qs, 1 2, ,.... , )sq q q t

Le ta zemë se sistemi kalon nga një gjendje 1 (çasti t1) në një gjendje tjetër 2

(çasti t2) sipas një “trajektoreje” të mundëshme në hapësirën e konfiguracioneve. Do

të quajmë funksion të veprimit ose shkurt veprim, madhësinë që jepet nga integrali :

2

1

1 2 1 2( , ,... , , ,... , )

t

s s

t

S L q q q q q q t dt (I.4.1)

Për “trajektore” të mundshme të ndryshme, kjo madhësi ka vlera të ndryshme.

Parimi i Hamiltonit thotë: Lëvizja e vërtetë e sistemit në intervalin e kohës (t1, t2)

është e tillë që integrali i mësipërm (funksioni veprimit) të marrë vlerë ekstremale.

Për intervale të vegjël kohe ky ekstremum është minimum, prandaj dhe parimi i

Hamiltonit thuhet shpesh parimi i veprimit minimal.

Matematikisht, dihet se që funksionali (I.4.1) të ketë ekstremum duhet që variacioni i

tij të jetë zero, pra duhet që:

2

1

1 2 1 2[ ( , ,... , , ,... , ) ] 0t

s st

S L q q q q q q t dt (I.4.2)

Nga ky parim mund të nxjerrim ekuacionet e lëvizjes së sistemit, që janë ekuacionet

e Lagranzhit, të cilat i kemi nxjerrë edhe nga parimi i punëve virtuale.

Për thjeshtësi, do të konsiderojmë në fillim një sistem mekanik me një gradë lirie,

pra që ka një koordinatë të vetme q dhe funksioni i Lagranzhit i tij ka trajtën: L(q, q ,

t). Le të jetë q(t) funksioni kohor (në fig. I.4.2 është vija më e theksuar) për të cilin

veprimi ka vlerë ekstremale. Shqyrtojmë funksione të afërta me të, që ndryshojnë nga

ky funksion me q(t). Të gjithë këta funksione fillojnë nga e njëjta gjendje 1 në çastin

26

t1 dhe përfundojnë në të njëjtën gjendje 2 në çastin t2 , prandaj variacioni i koordinatës

në këto çaste bëhet zero:

q(t1) = q(t2) = 0 (I.4.3)

Kryejmë variacionin (I.4.2), duke futur shenjën e variacionit brenda shenjës

së integralit:

2 2

1 1

( , , ) 0

t t

t t

L LS L q q t dt q q dt

q q

(I.4.4)

ku gjatë variacionit ndryshojnë qoftë funksionet

q(t) qoftë funksionet ( )q t dhe çasti i kohës t

konsiderohet i fiksuar. Duke ndëruar renditjen

e variacionit me derivatin: ( )d q

qdt

dhe

duke integruar me pjesë te termi i dytë i

integralit (I.4.4), gjejmë :

2 2

2

1

1 1

t t

t

t

t t

L d L d Lqdt q qdt

q dt q dt q

Termi i integruar në kufijtë e integrimit t1 dhe t2 bëhet sero sipas barazimit (I.4.3).

Kështu që integrali (I.4.4) bëhet:

2

1

0

t

t

L d Lqdt

q dt q

(I.4.5)

Që të jetë i vërtetë barazimi (I.4.5) për çfarëdo vlere të q duhet që shprehja në kllapa

nën integral të jetë zero, pra gjejmë:

0d L L

dt q q

(I.4.6)

që është ekuacioni i Lagranzhit. Tani është e lehtë të përgjithësohet rezultati për një

sistem çfardo me s gradë lirie, pra që karakterizohet nga koordinatat q1, q2, q3, ... qs .

Kuptohet në këtë rast do të kishim variacionet e pavarura q1, q2, q3, ... qs dhe me

të njëjtat arsyetime do të vinim në barazimin analog me (I.4.5):

2

11

0

ts

j

j j jt

L d Lq dt

q dt q

dhe përsëri me arsyetimin që qj janë të pavarura, gjejmë sistemin e ekuacioneve të

Lagranzhit:

0

jj q

L

q

L

dt

d

ku j = 1, 2, 3, ... s (I.4.7)

t

q

t1 t2

1

2

Figura I.4.2

27

Në qoftë se njihet funksioni i Lagranzhit (Lagranzhiani) i sistemit, ekuacionet e

Lagranzhit (I.4.7) vendosin lidhjen midis nxitimeve, shpejtësive, koordinatave dhe

kohës. Pra, ato paraqesin ekuacionet diferenciale të lëvizjes, nga integrimi i të cilave

merret varësia kohore e koordinatave. Problemi i lëvizjes së një sistemi mekanik me

lidhje holonome sillet në gjetjen e funksionit të Lagranzhit në kordinata të

përgjithësuara.

I.5 Funksioni i Lagranzhit për një pikë dhe për një sistem pikash

materiale

Le të shikojmë disa veti të funksionit të Lagranzhit.

Së pari ai gëzon vetinë aditive, pra nëse dy sisteme A dhe B që nuk bashkëveprojnë

më njeri tjetrin kanë funksionet e Lagranzhit përkatësisht LA dhe LB , atëhere

funksioni i Lagranzhit për sistemin e përbërë nga të dy sistemet, është L = LA + LB.

Kjo veti aditive e funksionit të Lagranzhit shpreh faktin se ekuacioni i lëvizjes të

secilës nga pjesët e sistemit që nuk bashkëveprojnë me njera tjetrën nuk përmban

madhësi që i përkasin pjesës tjetër të sistemit.

Një veti tjetër e funksionit të Lagranzhit është se, shumëzimi i tij me një

konstante çfarëdo nuk i ndryshon ekuacionet e lëvizjes (kujtojmë që në ekuacionet

I.4.7 shumëzimi i L me një konstante nuk i ndryshon ekuacionet). Nga vetia e parë del

se konstantja që shumëzon funksionin e Lagranzhit duhet të jetë e njëjtë për të gjithë

sistemet mekanike, sepse ndryshe cënohet vetia aditive. Kjo sjell në faktin që njësitë e

matjes së funksionit të Lagranzhit mund të zgjidhen çfarëdo, por të njëjta për të

gjithë sistemet mekanike.

Funksioni i Lagranzhit lejon edhe një zgjedhje shumë të gjerë, e cila rrjedh nga

vetija që: funksionit të Lagranzhit mund t’i shtojmë derivatin e plotë kohor të një

funksioni çfarëdo që varet vetëm nga kordinatat dhe koha (por jo nga shpejtësitë

jq ) dhe ekuacionet të lëvizjes që përftohen të jenë të njëjta. Me të vërtetë, nëse

zgjedhim një lagranzhian L dhe një tjetër L’ = L + ( , )df q t

dt, atëherë funksionet e

veprimit për secilin prej tyre janë S dhe S’, ku :

2

2 1

1

( ) ( )2 1

( , )' ( , ) ( , )

tt t

t

df q tS S dt S f q t f q t

dt

Pra, S dhe S’ ndryshonjë nga konstantet që janë vlerat e funksionit f në kufirin e

sipërm dhe të poshtëm të integrimit. Kështu që, kur bëhet variacioni i S baraz me

zero, bëhet edhe variacioni i S’ baraz me zero (variacioni i konstantes është zero) dhe

për pasojë vijmë në të njëjtat ekuacione të lëvizjes.

Kjo veti e funksionit të Lagranzhit përdoret në praktikë për të zgjedhur funksionin e

Lagranzhit në mënyrë të përshtatëshme që të lehtësojmë gjetjen e ekuacioneve të

Lagranzhit.

28

Funksioni Lagranzhit i pikës materiale

Shqyrtojmë fillimisht një pikë materiale të lirë, pra që nuk bashkëvepron me asnjë

trup tjetër. Në sistemet e referimit inerciale, kjo pikë lëviz me shpejtësi konstante në

madhësi e në drejtim. Sipas parimit të relativitetit të Galileit, koha dhe hapësira janë

homogjene dhe izotrope në sistemet inerciale të referimit. Në sisteme të tillë referimi,

funksioni i Lagranzhit i pikës materiale të lirë nuk duhet të varet as nga pozicioni

(kordinatat), as nga drejtimi i shpejtësisë dhe as nga koha. Prandaj, në sisteme

inerciale referimi, funksioni i Lagranzhit i pikës materiale të lirë do të jetë funksion

vetëm i madhësisë së shpejtësisë, pra një funksion i formës: L = av2 , ku a është një

konstante dhe v është shpejtësia e pikës. Konstantja merret a = m/2 , ku m është masa

e pikës materiale dhe funksioni i Lagranzhit për pikën materiale të lirë, në sisteme

inerciale referimi rezulton sa energjia kinetike:

L = mv2 /2 (I.5.1)

Te parimi i veprimit minimal, kemi shprehur që për gjendje të afërta, ekstremumi i

veprimit është minimum. Kjo sjell rezultatin që m duhet të jetë pozitive.

Në sistemin kordinativ kartezian, ku koordinatat merren x, y, z, funksioni i

Lagranzhit shkruhet:

2 2 2( )

2

mL x y z (I.5.2)

Në sistemin e koordinatave sferike, koordinatat janë: r – largësia nga qendra e

koordinatave, - këndi polar (këndi midis rrezes vektore dhe boshtit kartezian OZ),

- këndi azimutal (këndi midis projeksionit të rrezes vektore në planin XY me boshtin

kartezian OX). Përbërëset e shpejtësisë reciprokisht pingule janë:

- përbërësia radiale (sipas rrezes vektore, ku dhe nuk ndryshojnë): vr = r ,

- përbërësja meridionale (sipas tangentes në rrethin meridional, ku r dhe nuk

ndryshojnë): v = r .

- përbërësja azimutale (sipas tangentes në rrethin azimutal me rreze rsin , ku r dhe

nuk ndryshojnë): rsin .

Katrori i shpejtësisë është :

v2 =

2 2 2 2 2 2sinr r r

dhe funksioni i Lagranzhit shkruhet:

L = m(2 2 2 2 2 2sinr r r )/2 (I.5.3)

Në sistemin e kordinatave cilindrike, kordinata janë: r – largësia nga boshti kartezian

OZ, këndi polar (këndi midis projeksionit të rrezes vektore në planin XY me boshtin

OX) dhe kordinata karteziane z. Përbërëset e shpejtësisë reciprokisht pingule, janë:

- përbërësja radiale (sipas drejtimit pingul me boshtin OZ, ku z dhe nuk

ndryshojnë): vr = r .

- përbërësja polare (sipas drejtimit tangent me rrethin me rreze r, ku r dhe z nuk

ndryshojnë): v = r .

29

- përbërësja vertikale (sipas drejtimit të boshtit OZ , ku r dhe nuk ndryshojnë): z .

Katrori i shpejtësisë është:

v2 =

2 2 2 2r r z

dhe funksioni i Lagranzhit shkruhet:

L = m (2 2 2 2r r z )/2 (I.5.4)

Rasti i veçantë i koordinatave cilindirke janë koordinatat polare në plan, ku z është

konstant dhe mund të merret zero. Në koordinata polare, funksioni i Lagranzhit do të

shkruhej:

L = m (2 2 2r r )/2 (I.5.5)

Nëse pika materiale nuk është e lirë, por është në një fushë forcash që derivon

nga një potencial U(r) ose U(x, y, z):

r

F

Uose Fx= -U/x , Fy = -U/y , Fz = -U/z (I.5.6)

atëhere funksioni i Lagranzhit i pikës materiale merret:

L = mv2/2 – U (I.5.7)

Merret i tillë sepse, po të zbatojmë ekuacionet e Lagranzhit për këtë lagranzhian,

dalin ekuacionet që merren nga ligji i dytë i Njutonit për pikën materiale. Me të

vërtetë, duke operuar me trajtën vektoriale për më shkurt, kemi:

L L

m

vr v

dhe Frr

UL ,

duke i zevendësuar këto në ekuacionin e Lagranzhit në trajtë vektoriale:

0

rr

LL

dt

d

,

gjejmë ekuacionin:

Fv

dt

md (I.5.8)

i cili shpreh ligjin e dytë të Njutonit. Lexuesi mund ta provojë fare lehtë këtë rezultat

edhe duke përdorur trajtën skalare të ekuacioneve (3 ekuacione) për kordinatat x, y, z.

Funksioni i Lagranzhit i sistemit të pikave materiale

Nga vetia aditive e funksionit të Lagranzhit është e qartëse funksioni i Lagranzhit

i sistemit të pikave materiale të lira që nuk bashkëveprojnë me njera tjetrën do të jetë

shuma:

N

iiivmL

1

2

2

1 (I.5.9)

Ndërsa funksioni i Lagranzhit për sistemin e pikave materiale që mund të

bashkëveprojnë me njera tjetrën ose që janë në një fushë forcash të jashtme do të

merret:

30

),,...,,(2

1321

1

2 tUvmL N

N

iii rrrr

(I.5.10)

ku energjia potenciale është funksion i koordinatave të seicilës pikë të sistemit dhe i

kohës në përgjithësi.

Le ta shprehim këtë lagranzhian në funksion të koordinatave të përgjithësuara q1,

q2, q3, ... qs , ku s është numri i gradëve të lirisë së sistemit dhe shpejtësive të

përgjithësuara. Lidhja midis koordinatave karteziane r1, r2, r3 , ... rN , dhe kordinatave

të përgjithësuara jepet me anë të formulave (I.1.4). Duke zevendësuar tek termi i

energjisë kinetike, shpejtësitë nga barazimet:

1

si i

i j

j j

qq t

r rr

kemi:

2 2

N

1 1 1 1 1 i 1 1

1 1T

2 2

N s s s N s N

i i i i i i i

i j j k j

i=1 j= j k i j ij j k j

i i im q + q q q

q t q q q t tm m m

r r r r r r r

Duke shënuar me:

2

1

rNi

ii

a mt

,

1

r rNi i

j ii j

a mq t

dhe

1

r rNi i

jk ii j k

a mq q

,

të cilat janë funksione të koordinatave të përgjithësuara dhe kohës në përgjithësi,

energjia kinetike shkruhet:

1 1 1

1 1

2 2

s s s

j j jk j k

j j k

T a a q a q q

(I.5.11)

Pra, energjia kinetike del si funksion i koordinatave të përgjithësuar, shpejtësive të

përgjithësuara ( jq - ku j = 1, 2, 3, ...s) dhe kohës në përgjithësi. Mbas zevendësimit

të transformimeve (I.1.4) tek funksioni i energjisë potenciale, ai del thjeshtë funksion

i koordinatave të përgjithësuar dhe kohës në përgjithësi: U = U(q1, q2, q3, ... qs, t) dhe

përfundimisht Lagranzhiani L = T – U , del funksion i kordinatave të përgjithësuara,

shpejtësive të përgjithësuara dhe kohës në përgjithësi. Në rastin e veçantë, kur lidhjet

nuk varen shtjellazi nga koha, pra koha nuk hyn shtjellazi në barazimet (I.1.4),

atëhere të gjithë derivatet kohore: ri/t bëhen zero. Zero bëhen të gjithë funksionet: a

dhe aj në shprehjen e energjisë kinetike (I.5.11). Kështu që energjia kinetike

shprehet si funksion kuadratik i shpejtësive të përgjithësuara:

1 1

1

2

s s

jk j k

j k

T a q q

(I.5.12)

ku ajk janë funksione të koordinatave të përgjithësuara, por jo të kohës t. Funksioni i

Lagranzhit i sistemit në këtë rast, shkruhet:

1 2 3

1 1

1( , , ... )

2

s s

jk j k s

j k

L a q q U q q q q

(I.5.13)

31

Ushtrime dhe problema

I.1. Dy pika materiale M1 e M2 janë lidhur me një shufër të ngurtë me gjatësi l. Pika

M1 lëviz sipas një rrethi me rreze R. Plani që përmban rrethin është vertikal. Të

gjenden ekuacionet e lidhjeve .

I.2. Dy pika materiale M1 e M2 janë lidhur

me mekanizmin bjelë-manivelë si në

figurën I.2 (shufra e ngurtë pa masë OM1

= r mund të rrotullohet rreth boshtit Oz,

ndërsa skaji M2 i shufrës tjetër pa masë

M1M2 = l mund të rrëshqasë sipas boshtit

Ox). Të gjenden ekuacionet e lidhjeve. Sa

gradë lirie ka sistemi?

I.3. Një shufër pa masë rrotullohet rreth

boshtit vertikal OZ (fig. I.3) me shpejtësi këndore konstante

, duke mbetur në planin XOY. Mbi shufër mund të lëvizin

lirisht dy pika materiale M1 dhe M2 të lidhura midis tyre me

një sustë elastike. Të gjenden ekuacionet e lidhjeve.. Sa

gradë lirie ka sistemi?

I.4. Dy pika materiale ndodhen ne një plan .Ato janë lidhur

me një shufër të ngurtë pa masë me gjatësi l dhe mund të

lëvizin vetëm në mënyrë të tillë që shpejtësia e pikës së

mesit të shufrës të jetë e drejtuar sipas shufrës. Të gjenden

ekuacionet e lidhjeve. Ç’lidhje janë ato?

I.5 Një shufër e ngurtë me gjatësi l

që skajet të mbeten gjithmonë në kontakt me sipërfaqen e brendshme të unazës.

Qendra e unazës është e fiksuar ndërsa rrezja e unazës ndryshon me kohën sipas ligjit

R(t). Të shkruhen ekuacionet e lidhjeve dhe të gjendet numri i gradëve të lirisë.

I.6*. Dy rrota identike me rreze a, janë montuar në skajet e një boshti me gjatësi b, në

mënyrë që ato mund të rrotullohen në mënyrë të pavaruar nga njera tjetra. Ky

kombinim rrotash rrokulliset pa rrëshqitje mbi një plan. Provoni se ka dy lidhje

joholonome me ekuacione:

cos dx + sin dy = 0

sin dx - cos dy = a(d1 + d2)/2

ku është këndi që formon aksi i rrotave me boshtin X në plan dhe 1 e 2 janë

këndet e rrotullimit të secilës rrotë, rreth boshtit të vet (shih fig. I.1.1 për njerën rrotë);

(x, y) janë kordinatat e pikës së mesit të shufrës Provoni se ka gjithashtu një lidhje

holonome me ekuacion: = c - 1 2( )

a

b , ku c është një konstante.

1.7. Dy pika me masë m secila janë bashkuar me një shufër pa masë me gjatësi l,

qendra e së cilës është e kufizuar të lëvizë në një rreth me rreze a. Gjeni numrin e

gradëve të lirisë së sistemit.

X

Z

O

Y

M2

M1

Fig.I.3

x

Fig. I .2

M2

M1

y

O

32

I.8 Të provohet se kushti i baraspeshës së sistemit të trupave të ngurtë, që kanë

lidhje ideale dhe që ndodhen në fushën e rëndesës, është që variacioni zq të jetë zero,

ku zq është koordinata vertikale e qëndrës së

masës së sistemit të trupave .

I.9 Një shufër e rëndë homogjene me gjatësi

2lmbështetet në pikën B mbi një tavolinë ,

kurse skaji tjetër i shufrës mbahet nga fija e

pazgjatshme me gjatësi l , e cila është e fiksuar

në pikën O (fig.I.9). OA = OB = .Pika O dhe

B ndodhen në një horizontale. Të gjendet

këndi φ me horizontin që formon shufra në

gjëndjen e baraspeshës.

I.10. Tri shufra të njëjta me rëndesë Q secila

janë lidhur ndërmjet tyre me çerniera (fig. I.10) . Shufra e

parë mund të rrotullohet rreth çernierës së palëvizshme O.

Në skajin e lirë C të shufrës së tretë zbatohet forca

horizontale F = Q , e cila e mban sistemin në baraspeshë

në planin vertikal. Të gjenden këndet 1 ,2 , 3 që

formojnë shufrat me drejtimin vertikal.

I.11. Një shirit i rëndë elastik me rëndesë P ka formën e

rrethit. Ai ndodhet në pozicion horizontal mbi konin e

drejtë e të lëmuar, boshti i të cilit është vertikal. Këndi i

hapjes së konit është 2. Forca elastike është

proporcional me zgjatjen e shiritit rrethor (me koeficient proporcionaliteti ) dhe

rrezja e rrethit në gjendje të pazgjatur

është a. Të gjendet pozicioni i

ekuilibrit i shiritit.

I.12. Dy masa pikësore me rëndesa

përkatësisht P dhe Q mund të

rrëshqasin sipas një elipsi. Ato janë të

lidhura me anë të fijes së

pazgjatëshme AF1F2B , që kalon nëpër

rrotullatat F1 dhe F2 , të cilat janë fiksuar në vatrat e elipsit.. Të

gjendet lidhja midis këndeve 1 dhe 2 (fig. I.12) në ekuilibër.

I.13. Shufra homogjene AB me gjatësi 2a dhe me masë për

njësi gjatësie mbështetet me skajin A në sipërfaqen e

brendëshme të parabolës me ekuacion: x2 = 4y. Shufra ka

edhe pikë mbështetëse vatrën e parabolës F. Të gjendet, në

pozicionin e ekuilibrit, këndi (fig. I.13) midis shufrës dhe

boshtit të parabolës.

I.14. Tri shufra të homogjene me gjatësi përkatësisht: AC=a,

CD = DB = 2a, janë të lidhura me çerniera (fig. I.14). Skajet A

0

C

B

A

φ3

φ2

φ1

F

Fig.I.10

Fig. I .9

φ

φ

l

C

B

A

O

P

Y

B

A

F

Fig. I.13

P Q

A B

F

1

F

2

1

2

Fig.I.12

33

dhe B janë vendosur në çernierat e fiksuara

në një drejtëz horizontale AB = 3a. të

përcktohet lidhja midis këndeve , , në

pozicionin e ekuIlibrit, nëse rëndesa e

shyfrave është në përpjestim të drejtë me

gjatësitë e tyre.

I.15 Dërrasa me rëndesë Q , vihet në

lëvizje me anë të forcës P (fig.I.15). Të

dy rrotëzat mbi të cilat ajo mbështetet

janë cilindrike, secila me rëndesë Q1. Të

gjendet nxitimi i dërrasës.

I.16. Në skajet e një fijeje të

pazgjatëshme janë lidhur ngarkesa A me rëndesë P1 dhe ngarkesa B me rëndesë P2 ,

të cilat mund të rrëshqasin pa fërkim në

planet e pjerrta me këndet dhe (fig.

I.16). Fija kalon nëpër rrotullat e

palëvizshme C dhe D, si dhe nëpër rrotullën

e lëvizëshme E. Në boshtin e rrotullës E

është varur edhe ngarkesa L me rëndesë P6 .

Rëndesat e rrotullave C, D, E janë

përkatësisht P3 , P4, P5. Të përcaktohen

nxitimet e ngarkesave A, B, L .

I.17. Në rregullatorin e Vatit (fig.I.17)

rëndesat e shufrave (OC e OD) dhe

përmasat e muftes E nuk i përfillim.

Rëndesa e secilës prej sferave (C dhe D )

është P, kurse rëndesa e muftës është Q. Të

gjendet lidhja ndërmjet shpejtësisë këndore

të rrotullimit të shufrave rreth boshtit

vertikal dhe këndit të shmangies së shufrave. (OA=OB=AE=BE= a; OC=OD=b)

I.18. Një pikë materiale me masë

m lëviz nën veprimin e rëndesës së

vet në sipërfaqen e brendëshme të

një zgavre cilindrike me rreze r.

Boshti i cilindrit është horizontal.

Duke zbatuar ekuacionet e

Lagranzhit të llojit të parë, të

gjenden ekuacionet diferenciale të

lëvizjes së pikës dhe të përcaktohet

reaksioni i cilindrit. Pika në fillim

ndodhet në prehje dhe = 0 (fig.I.18).

Q1 Q1

Q

P

Fig. I. 15

A

C D

B

Fig. I.14

C D

A B

E

L

P1

P2

P6

P5

P4 P3

M N

Ë2

J1

J2

Ë1

Fig. I.16

m φ

Fig.I.18

X

Y

•

O

P P

O

Q

E

D C

B A

Fig.I.17

34

I.19. Një unazë e vogël me masë m rrëshqet nëpër nje tel të lëmuar, që ka formën e

parabolës me ekuacion x2 = 2ay. Kordinata x e unazës në një çast çfarëdo t është

x(t) dhe vlera e përbërses sipas x të reaksionit të lidhjes është Rx(t) . Sa do të jetë

përbërësja Ry(t) e reaksionit të lidhjes ?

I.20. Një pikë materiale me masë m lëviz në sipërfaqen e brendëshme të një

paraboloidi rrotullimi, ekuacioni i të cilit është x2 + y

2 = 2az . Si lidhen përbërset Rx ,

Ry , Rz të reksionit të lidhjeve me njera tjetrën.

I.21. Një pikë materiale me masë m është në prehje në kulmin e një paraboloidi

rrotullimi të lëmuar, ekuacioni i të cilit është x2 + y

2 = a(a – z), ku a është një

konstante dhe OZ është boshti vertikal. Pika zhvendoset pak nga pozicioni i ekuilibrit

dhe rrëshqet poshtë përgjatë sipërfaqes. Duke zgjedhur kordinatat cilindrike r, z, , të

shkruhen ekuacionet e Lagranzhit të lloit të parë dhe të gjendet reaksioni i lidhjes. Në

ç’lartësi pika shkëpuetet nga paraboloidi?

I.22. Një pikë materiale me masë m lëviz nën veprimin e rëndesës. Të gjenden forcat

e përgjithësuara:

a) në koordinata sferike: Qr , Q , Q ;

b) në koordinata cilindrike : Qr , Q , Qz.

I.23. Një shufër BC me masë m dhe gjatësi 2a është varur nje sustë

elastike AB. Koeficenti i elasticitetit të sustës është k dhe gjatësia e saj

është b (në gjendje të pa zgjatur). Susta është fiksuar në pikën A. Lëvizja

e sistemit bëhet në planin vertikal që përmban sustën dhe shufrën. Të

zgjidhen koordinatat e përgjithësuara në mënyrë të përshtatshme dhe të

gjenden forcat e përgjithësuara për studimin e lëvizjes së shufrës.

I.24. Një shufër homogjene OA me gjatësi r dhe rëndesë P mund të

rrotullohet rreth boshtit horizontal OZ (pingul me planin e figurës I.24).

Në skajin A të shufrës është lidhur

susta O1A me koeficient elasticiteti k dhe me

gjatësi l0 (në gjendjen e pazgjatur). Pika O1 është e

fiksuar në largësinë O1O = r . Kordinatë e

përgjithësuar merret këndi .

a) Të gjendet forca e përgjithësuar.

b) Të gjendet kushti i ekuilibrit dhe të analizohet

lloi i ekuilibrit.

I.25. Dy shufra pa

peshë, OA e OB,

seicila me gjatësi a,

janë lidhur me

çerniera (fig.I.25). Në

skajin B është lidhur

C

B

A

2a

Fig.I.23

C

X

O1

A

Fig.I.24

O

Y

m

φ

ψ x

O

A

B

Fig.I.25

35

me anë të një suste me koeficent elasticiteti k dhe gjatësi a (në gjendje të pazgjatur)

një trup me masë m. Të gjenden pozicionet e baraspeshës dhe të diskutohen ato.

I.26. Një unazë e vogël lëviz duke rrëshqitur nëpër një tel të

lëmuar, që ka trajtën e rrethit me rreze a (fig.I.26). Teli

rrotullohet rreth diametrit vertikal AB me shpejtësi këndore . Të

gjendet ekuacioni i Lagranzhit për këndin .

I.27. Një unazë e vogël rrëshqet nëpër një tel të lëmuar, që ka

formën e një parabole me ekuacion y = x2 . Rëndesa vepron në

kahe të kundërt me boshtin OY. Teli rrotullohet rreth boshtit OY

me shpejtësi këndore konstante . Të gjendet ekuacioni

diferencial nga zgjidhja e të cilit përcaktohet kordinata x në

funksion të kohës x(t).

I.28. Të provohet se funksioni y = y(x), i cili në segmentin x1 x

x2 realizon ekstremumin e integralit: 2

1

),',(

x

x

dxxyyfI ,

kënaq ekuacionin: 0'

y

f

dt

d

y

f , ku dx

dyy ' .

I.29. Të gjendet kurba y(x) , në planin XOY, që bashkon origjinën e kordinatave me

pikën x = 1, y = 1, për të cilën integrali i funksionit

ydx

dy

x

y

x

y

dx

dy

2

2

1

2

122

ka ekstremum.

I.30. Një fije e njëtrajtëshme e fiksuar në skaje, përkulet në fushën e rëndesës në

trajtën e kurbës: y = y(x). Të gjendet funksioni y(x), duke supozuar se konfiguracioni i

fijes i korespondon minimumit të energjisë potenciale (kjo është e ashtquajtura kurba

zinxhir).

I.31. Le të jenë dy pika çfardo në planin vertikal XOY, të cilat janë në lartësi të

ndryshme nga sipërfaqja e tokës. Përfytyrojmë kurba (në planin XOY) të ndryshme

që bashkojnë dy pikat. Të gjendet ekuacioni diferencial që që kënaq funksioni y =

y(x) i asaj kurbe, nëpër të cilën trupi rrëshqet më shpejt se sa nëpër të gjitha kurbat e

tjera në fushën homogjene të rëndesës. Mandej të integrohet ekuacioni diferencial për

të gjetur funksionin y = y(x).

I.32. Kurba të ndryshme y(x) , gjatë rrotullimit rreth boshtit OY japin sipërfaqe të

ndryshme rrotullimi. Të gjendet trajta e kurbës që kalon nëpër dy pika të dhëna në

planin XOY, e cila jep sipërfaqen më të vogël të rrotullimit.

I.33 Gjeni funksionin e Lagranzhit për lavjersin matematik me masë m dhe gjatësi l,

pika e varjes e të cilit lëviz në planin vertikal sipas ligjit: x = x(t) , y = y(t). Shqyrtoni

rastet e veçanta:

a) taytax sin,cos (lëvizje rrotulluese); b) 0,cos ytax

(lëkundje horizontale) ; 0; cosx y a t

B

θ

Fig.I.26

A

36

I.34 Të gjendet lagranzhiani i sistemeve të mëposhtme që ndodhen në fushën

homogjene të rëndesës. Koordinatat e përgjithësuara janë treguar në figurat :

a) lavjerësi i dyfishtë (fig.I.34 (a) );

b) lavjerësi i thjeshtë me masë m2 është varur te masa m1 , e cila lëviz mbi një drejtëz

horizontale (fig.I.34(b) )

c) pika materiale me masë m2 lëviz sipas boshtit vertikal (fig.I.34(c)), kurse gjithë

sistemi rrotullohet me shpejtësi këndore rreth këtij boshti.

I.35. Lavjerësi matematik me masë m e ka gjatësinë l , që ndryshon me kohën sipas

ligjit l = l(t). Të gjendet ekuacioni i lëvizjes për këndin që formon lavjerësi me

vertikalen. .

I.36 Një grimcë me masë m kryyen një lëvizje njëdimensionale, lagranzhiani i të cilës

shkruhet në formën: 4

2 2( ) ( )12

mxL mx V x V x , ku V(x) është një funksion i

derivueshëm i x. Të gjendet ekuacioni i lëvizjes dhe pëprshkruani natyrën fizike të

këtij sistemi në bazë të këtij ekuacioni.

I.37. Dy pika materiale identike me mase m jane te lidhura me nje fije te pazgjatshme

qe kalon neper dy rrotulla pa mase, sic tregohet ne fig. I.37. Pika materiale ne te majte

kryen vetem levizje vertikale, ndersa pika materiale ne te djathte eshte e lire te

lekundet ne planin qe permban masat dhe rrotullat (plani

i figures). Sa është numri i gradeve te lirisë së sistemit?.

Gjeni lagranzhiani i sistemit ne koordinatat θ dhe r dhe

zbatoni për të ekuacionet e Lagranzhit.

I.38 Një filxhan me masë M është lidhur me anë të një

filli të pazgjatshëm me një masë

pikësore m. Fija kalon nëpër një

rrotull pa masë, me bosht të fiksuar.

Trupi me mase m, i cili mbahej

fillimisht horizontalisht (fig. I.38),

lëshohet. Të gjenden ekuacionet e lëvizjes në kordinata r

(gjatësia e fijes nga rrotulla deri te masa m) dhe këndin që

formon fija në të majtë të rrotullës me horizontalen. (filxhani

lëviz vertikalisht).

Fig. I.37

Fig. I.38

Fig.I.34

x

φ

m2

m1

b)

2

φ1 1

φ2

m1

m2

a) c)

A

a

θ θ a a

a

m1 m1

m2

37

I.39 Një bllok me masë m mbahet pa fërkim mbi një

bllok tjetër me masë M i cili është i pjerrur me këndin

ndaj horizontit. Të gjenden nxitimet e blloqeve kur ato

lëshohen

I.40 Një rrotë biçiklete, me rreze a dhe masë M, ka

moment inercie Mk2 në lidhje me boshtin e saj (k është

një konstante). Ajo rrokullist pa rrëshqitje mbi një shinë

horizontale. Një trup me masë m është varur në qendër të rrotës me anë të një shufre

të lehtë me gjatësi b. Të gjendet lagranzhiani i sistemit.

I.41 Katër shufra homogjene të njëjta me masa m dhe gjatësi 2a secila, janë

bashkuar në sakaje me njera tjetrën me anë të çernierave (pa fërkim), duke formuar

rombin ABCD (fig. I.41). Shufra AB mund të lëkundet rreth qendrës së saj dhe

sistemi mund të lëvizë në planin vertikal (plani i figurës) në fushën homogjene të

rëndesës. (shufra CD mbetet gjithnjë më poshtë se shufra AB). Le të jetë këndi që

formojnë shufrat AB dhe CD me horizontin dhe këndi që formojnë shufrat AD

dhe BC me vertikalen. Të gjendet lagranzhiani i sistemit në këto kordinata.

I.42. Dy shufra homogjene të njejta, secila me masë m dhe gjatësi 2a, janë lidhur me

çernierë në C (fig. I.42). Skaji A i shufrës AC

është lidhur në një unazë e cila mund të

rrëshqasë pa fërkim përgjatë telit horizontal të

fiksuar. Skaji B i shufrës CB është lidhur në një

unazë e cila mund të rrëshqasë pa fërkim

përgjatë telit vertikal të lëmuar. Sistemi lëviz në

fushën homogjene të rëndesës në planin e figurës

(pika C është gjithmonë më lart se pika O ku

bashkohen telat). Duke shënuar me dhe

këndet që formojnë me horizontin përkatësisht

shufrat AC dhe BC (këndet maten në të njëjtin

kah, si në figurë), të gjendet lagranzhiani i

sistemit.

I.43*. Një unazë rrethore me masë M e rreze b

mund të rrotullohet lirisht rreth diametrit të saj

verikal të fiksuar. Një shufër homogjene me masë

m e gjatësi 2a (a < b) mund të rrëshqasë nëpër

unazë (skajet e shufrës mbështeten gjithmonë në

rrethin e brendëshëm të unazës). Të gjendet

lagranzhiani i sistemit në fushën homogjene të

rëndesës, duke zgjedhur në mënyrë të

përshtatshme kordinatat e përgjithësuara.

A

C

O

B

Fig. I.42

A

O

D

C

B

Fig. I.41

Fig. I.39

38

I.44. Një shufër homogjene me masë m dhe gjatësi a mbështetet në një mur verikal të

lëmuar dhe në një dysheme horizontale të lëmuar. Të gjendet ekuacioni i lëvizjes së

shufrës në planin vertikal që përmban shufrën, duke zgjedhur si kordinatë të

përgjithësuar këndin që formon shufra me vertikalen

I.45. Një unazë e vogël lëviz nëpër një tel të lëmuar që ka trajtën e rrethit me rreze a.

Teli rrotullohet rreth diametrit vertikal të fiksuar me shpejtësi këndore . Le të jetë

largësia këndore e unazës prej pikës më të ulët të rrethit. Të provohet se ekuacioni i

lëvizjes së unazës është:

2 sin cos sin 0g

a .

I.46. Një trup i vogël mund të rrëshqasë lirisht nëpër një

unazë rrethore të lëmuar. Unaza rrotullohet në planin e

saj horizontal me shpejtësi këndore rreth boshtit

verikal që kalon nga një pikë O e periferisë së unazës.

Të gjendet ekuacioni i lëvizjes së trupit. Kordinatë e

përgjithësuar merret këndi që formojnë midis tyre

drejtimet: nga trupi tek qendra e unazës dhe nga trupi te

pika O.

I.47. a) Në periferinë e diskut homogjen me rreze R

është lidhur me çernierë një shufër e lehtë, e cila ka të

fiksuar në skajet e saj dy masa pikësore m1 dhe m2. Largësitë e masave nga çerniera

janë përkatësisht l1 dhe l2 . Disku rrotullohet me shpejtësi këndore (konstante) rreth

boshtit vertikal OZ (plani i diskut është horizontal dhe fusha homogjene e rëndesës

është vertikale). Të shkruhen ekuacionet e lëvizjes së shufrës dhe të përcaktohen

pozicionet e saj të ekulibrit relativ (ndaj diskut). Boshti i rrotullimit të shufrs është

paralel me OZ.

b) i njëjti problem si në rastin a), kur boshti i rrotullimit të shufrës është horizontal

dhe plani i diskut është verikal.

I.48. Një shufër e njëtrajtëshme me gjatësi 2l mund të lëvizë me njerin skaj të

mbështetur në një drejtëz vertikale dhe me skajin tjetër të mbështetur në një plan

horizontal. Të zgjidhen kordinatat e përgjithësuara dhe të gjenden ekuacionet

diferenciale për këto kordinata.

I.49. Një disk homogjen me rreze R dhe masë M, mund të rrotullohet rreth

boshtit të vet të fiksuar horizontal (fig. I.49.). Tek disku, nëpërmjet fijes AB

me gjatësi l, është varur pika materiale me masë m. Të gjenden ekuacionet e

lëvizjes së sistemit në kordinata dhe që janë përkatësisht: këndi i

rrotullimit të diskut dhe këndi i devijimit të lavjerësit nga vertikalja.

O

Y

X

l

1

l

2

m

2

m

1

Fig. I.47

40

KAPITULLI II Ligjet e ruajtjes

II.1 Simetria dhe ligjet e ruajtjes

Gjatë lëvizjes së sistemit mekanik me s gradë lirie, 2s - madhësitë q1, q2, .. qs,

1 2, ,... sq q q (koordinatat dhe shpejtësitë e përgjithësuara) ndryshojnë me kohën. Por,

ka madhësi që janë funksione të kordinatave dhe shpejtësive, të cilat nuk ndryshojnë

me kohën. Këto madhësi quhen integrale të lëvizjes. Vlerat e tyre përcaktohen nga

kushtet fillestare të sistemit, pra nga vlerat fillestare të koordintave dhe shpejtësive.

Edhe matematikisht dihet se ekuacionet e lëvizjes (ekuacionet e Lagranzhit) janë s

ekuacione diferenciale të rendit të dytë dhe nga integrimi i tyre del zgjidhja e

përgjithshme që varet nga 2s konstanet të çfardoshme të pavarura. Zgjidhja e veçantë

e këtij sistemi ekuacionesh diferenciale, e cila paraqet lëvizjen e sistemit mekanik,

gjendet nga dhënia e vlerave të këtyre konstanteve. Vlerat e këtyre konstanteve

merren nga kushtet fillestare të sistemit. Në përgjithësi, zgjidhja e ekuacioneve ka

trajtën:

1 2 2

1 2 2

( , , ,.... )

( , , ,... )

i i s

i i s

q q t c c c

q q t c c c ku i = 1,2,3,...s (II.1.1)

ku c1, c2, ... c2s janë konstantet e integrimit. Në rastin kur sistemet mekanike janë të

mbyllur, ekuacionet e lëvizjes nuk përmbajnë kohën shtjellazi, prandaj zgjedhja e

origjinës së kohës është e çfarëdoshme dhe një nga konstantet e çfarëdoshme të

zgjidhjes (II.1.1) mund të merret në trajtën e një konstanteje aditive të kohës t0. Duke

përjashtuar kohën t nga 2s zgjidhjet (II.1.1) marrim konstantet c1, c2, ...c2s-1 si

funksione të koordinatave dhe shpejtësive, të cilat janë integralet e lëvizjes.

Në mekanikë, jo të gjitha integralet e lëvizjes luajnë të një njëjtin rol. Ka disa

integrale të lëvizjes, ruajtja e të cilave lidhet me veti thelbësore të hapësirës dhe kohës

siç janë homogjeniteti dhe izotropia, të cilat luajnë rol të veçantë në mekanikë. Në

përgjithësi provohet se çdo simetri e sistemit mekanik1 çon në një ligj ruajtje, pra në

faktin që një madhësi e caktuar (integral i lëvizjes) nuk ndryshon me kohën.

Madhësitë, ruajtja e të cilave lidhet me simetrinë ndaj zhvendosjes (ose rrotullimit) në

hapësirë ose në kohë, kanë një veti të përbashkët që është aditiviteti. D.m.th., vlera e

integralit të lëvizjes për sistemin mekanik të përbërë nga disa pjesë që nuk

bashkëveprojnë me njeri tjetrin është sa shuma e vlerave që ai ka për secilën pjesë të

sistemit.

1 Me simetri të sistemit ndaj një transformimi të caktuar, siç është zhvendosja në hapësirë,

rrotullimi etj., kuptohet kur gjendja e sistemit nuk ndryshon gjatë këtij transformimi.

41

II.2 Ligji i ruajtjes së Energjisë

Ligji i ruajtjes së energjisë mekanike të një sistemi mekanik të mbyllur (që

nuk bashkëvepron me trupa të tjerë jashtë sistemit) është rrjedhim i homogjenitetit të

kohës. Kjo d.m.th që çastet e ndryshme të të kohës janë ekuivalentë në përshkrimin e

sistemit mekanik. Ky sistem ka simetri ndaj zhvendosjes në kohë, d.m.th. gjendja e

sistemit mekanik nuk ndryshon kur zhvendoset origjina e matjes së kohës. Në saje të

kësaj simetrie, funksioni i Lagranzhit që karakterizon gjendjen e sistemit mekanik të

mbyllur nuk duhet të varet shtjellazi nga koha. Prandaj, derivati i pjesëshëm kohor i

funksionit të Lagranzhit është zero dhe derivati i plotë kohor i këtij funksioni

1 2 1 2( , ,... , , ,... )s sL q q q q q q është:

1 1

s s

j j

j jj j

dL L Lq q

dt q q (II.2.1)

ku siç duket mungon derivati L/ t i cili është zero. Zëvendësojmë në barazimin

(II.2.1) L/ qj nga ekuacionet e Lagranzhit:

j j

L d L

q dt q, dhe gjejmë:

1 1 1

s s s

j j j

j j jj j j

dL d L L d Lq q q

dt dt q q dt q

Ky barazim mund të shkruhet në trajtën:

1

0s

j

j j

d Lq L

dt q (II.2.2)

Që nga del se madhësia :

1

s

j

j j

LE q L

q (II.2.3)

është një integral i lëvizjes, e cila quhet energjia e sistemit mekanik. Barazimi (II.2.2)

shpreh ligjin e ruajtjes së energjisë të sistemit mekanik të mbyllur. Meqë

lagranzhiani L gëzon vetinë aditive dhe energjia shprehet linearisht me anë të L , del e

qartë vetia aditive e energjisë.

Ligjin e ruajtjes së energjisë mund ta formulojmë edhe për sistemin mekanik i cili

ndodhet në fushë të jashtme, por kjo fushë nuk varet nga koha (lidhjet në sistem janë

stacionare). Në këtë rast përsëri lagranzhiani i sistemit nuk varet shtjellazi nga koha

sepse energjia potenciale nuk varet shtjellazi nga koha, po ashtu edhe energjia

kinetike, e cila shprehet sipas barazimit (I.5.12) ku nuk hyn koha shtjellazi dhe

lagranzhiani është :

1 2

1 1

1( , ,... )

2

s s

jk j k s

j k

L a q q U q q q (II.2.4)

42

ku ajk tek termi i energjisë kinetike janë funksione vetëm të kordinatave q1, q2, .... qs .

Derivatet e funksionit të Lagranzhit në lidhje me shpejtësitë e përgjithësuara, janë:

1

s

jk k

kj j

L Ta q

q q

Po të shumëzojmë këtë barazim në të dy anët me jq dhe të kryejmë shumimin

sipas indeksit j, kemi:

1 1 1

2s s s

j jk j k

j j kj

Lq a q q T

q

dhe energjia del:

E = 2T – L = 2T – (T – U ) = T + U (II.2.5)

sa shuma e energjisë kinetike me atë potenciale. Pra, për sistemin mekanik në fushë

stacionare, ruhet shuma e energjisë kinetike me atë potenciale.

Theksojmë se ky rezultat vlen vetëm kur lidhjet janë stacionare, pra që nuk

ndryshojnë me kohën. Në rastin e përgjithshëm energjia e plotë llogaritet sipas

formulës (II.2.3).

II.3 Ligji ruajtjes së Impulsit

Ligji i ruajtjes së impulsit për sistemin mekanik të mbyllur është rrjedhim i

homogjenitetit të hapësirës. D.m.th., gjatë zhvendosjes së sistemit mekanik të mbyllur

si një i tërë në hapësirë, gjendja e tij mekanike nuk duhet të ndryshojë. Për pasojë

edhe funksioni i Lagranzhit i këtij sistemi nuk duhet të ndryshojë.

Le ta zemë se zhvendosim sistemin mekanik të mbyllur si një i tërë me një

zhvendosje p.m.v. , atëherë rrezet vektore të pikave të sistemit ri (i = 1, 2, ...N)

bëhen ri + , pra: ri = , ndërsa shpejtësitë e pikave nuk ndryshojnë. Kështu që

ndryshimi i lagranzhianit të sistemit do të ishte :

011

N

i i

N

ii

i

LLL

rεr

r

ku shumimi bëhet sispas të gjitha pikave të sistemit. Meqë është e çfardoshme, që të

bëhet zero L për çfardo , duhet që :

01

N

i i

L

r (II.3.1)

Duke shkruar lagranzhianin e sistemit në kordinata karteziane (I.5.10):

),,...,,(2

1321

1

2 tUvmL N

N

iii rrrr (II.3.2)

dhe duke zbatuar ekuacionet e Lagranzhit në kordinata karteziane:

ii

L

dt

dL

vr

43

gjejmë se barazimi (II.3.1) shkruhet:

0N L

dt

d

i iv (II.3.3)

dhe madhësia :

P = N

iii

N

i i

mL

vv1

(II.3.4)

jep impulsin e sistemit mekanik. Barazimi (II.3.3) shpreh ligjin e ruajtjes së impulsit

të sistemit mekanik të mbyllur. Shprehja e impulsit të sistemit (II.3.4) tregon edhe

vetinë aditive të impulsit, pra impulsi i sistemit është i barabartë me shumën

vektoriale të impulseve të pikave materjale të tij. Ruajtja e impulsit vektorial të

sistemit mekanik të mbyllur është ekuivalent me ruajtjen e tri përbërësve skalare sipas

boshteve koordinativë (3 integrale të pavarur të lëvizjes). Nëse sistemi mekanik është

në një fushë të jashtme, energjia potenciale e të cilit nuk varet nga ndonjë kordinatë

psh nga koordinata x, atëhere ruhet përbërësja e impulsit të sistemit mekanik sipas

këtij drejtimi X. Kjo vlen edhe për rastin kur përdoren koordinatat e përgjithësuara.

Pra, nëse lagranzhiani i një sistemi nuk varet varet nga ndonjë koordinatë qj , atëhere

siç del nga ekuacionet e Lagranzhit, madhësia:

j

j

Lp

q (II.3.5)

ruhet me kohën, pra është integral i lëvizjes. Kjo madhësi quhet impuls i

përgjithësuar Kur një kordinatë nuk hyn shtellazi në lagranzhian, ajo quhet kordinatë

ciklike. Çdo koordinate të përgjithësuar i takon një impuls i përgjithësuar, që

përcaktohet nga barazimi (II.3.5). Impulset që u takojnë kordinatave ciklike janë

integrale të lëvizjes. Duhet të kemi kujdes se impulset e përgjithësuar nuk janë

madhësi vektoriale sikurse impulset e zakonshëm kartezian.

Në sisteme referimi të ndryshëm, impulsi kartezian ka vlera të ndryshme. Le

ta zemë se sistemi i refereimit K’ lëviz ndaj sistemit inercial të referimit me shpejtësi

konstante V. Le të jenë vi dhe v’i shpejtësitë e pikave të sistemit mekanik përkatësisht

në sistemet e referimit K dhe K’. Atëhere kemi:

vi = v’i + V (II.3.6)

dhe impulset e pikave janë :

mi vi = mi v’i + mi V

ndërsa impulset e sistemit në sistemet e referimit K dhe K’ janë:

P = N

ii

N

iii

N

iii mmm

11

'

1

Vvv = P’ + m V (II.3.7)

ku m është masa e të gjithë sistemit mekanik. Nëse zgjedhim shpejtësinë V të tillë që :

V = VQ = 1 1

1

N N

i i i i

i i

N

i

i

m m

mm

v v

(II.3.8)

44

atëhere impulsi i sistemit mekanik në sistemin e referimit K’ bëhet zero P’ = 0 (shih

barazimin II.3.7). Ky sistem referimi i cili ka shpejtësinë (II.3.8) quhet sistemi i

qendrës së masës, ndërsa shpejtësia (II.3.8) quhet shpejtësia e qendrës së masës (ose

qendrës së inercisë). Kjo është shpejtësia e pikës me rreze vektore:

RQ = N

ii

N

iii

m

m

1

1

r

(II.3.9)

në sistemin e referimit K. Kjo pikë është qendra e masës ose qendra e inercisë e

sistemit mekanik.

Me futjen e kuptimit të qendrës së masës, ligji i ruajtjes së impulsit të sistemit

mekanik të mbyllur formulohet edhe në këtë mënyrë: qendra e inercisë së sistemit

mekanik të mbyllur lëviz me shpejtësi konstante në sistemin e referimit inercial.

Nëse në lidhje me një sistem inicial referimi, qendra e masës është në prehje, ajo

mbetet në prehje gjithë kohës kur mbi sistemin mekanik nuk ka veprim të jashtëm..

II.4 Ligji i ruajtjes së Momentit të impulsit

Ligji i ruajtjes së momentit të impulsit është rrjedhim i izotropisë së

hapësirës, pra gjendja e sistemit mekanik të mbyllur nuk ndryshon gjatë çdo rrotullimi

në hapësirë të sistemit mekanik si një i tërë. Rjedhimisht

edhe funksioni i Lagranzhit i sistemit nuk duhet të

ndryshojë gjatë këtij rrotullimi.

Shqyrtojmë një rrotullim pambarimisht të vogël të

sistemit mekanik të mbyllur me një kënd pambarimisht të

vogël , ku është një vektor2 . Drejtimi i tij përputhet

me boshtin e rrotullimit dhe kahe që përputhet me rregullin

e tryelës: kur doreza e tryelës rrotullohet sipas rrotullimit të

trupit, përparimi i majes së saj jep kahun e vektorit .

Madhësia e këtij vektori është sa këndi i rrotullimit . E

zgjedhim sistemin e referimit me qendër në boshtin e rrotullimit (Fig. II.4.1). Gjatë

rrotullimit elementar, rrezja vektore e një pike çfarëdo të trupit ri ndryshon me (shih

fig. II.4.1):

| ri | = ri sin i

Drejtimi i vektorit ri është pingul me planin e përcaktuar nga vektorët ri dhe ,

prandaj :

ri = ri (II.4.1)

2 Kur këndet e rrotullimit janë të vegjël, ata mund të konsiderohen si vektorë sepse gëzojnë

vetinë ndëruese të mbledhjes, ndërsa kur janë kënde të fundëm rrotullimi nuk e qëzojnë këtë

veti, pra këndet e rrotullimit nuk janë vektorë.

ri

ri r’i

O Figura II.4.1

i

45

Gjatë rrotullimit të sistemit si një i tërë ndryshojnë drejtim jo vetëm rreze-

vektorët e pikave të sistemit por edhe shpejtësitë e tyre. Madje ndryshimi i vektorëve

të shpejtësisë është analog me ndryshimin e rreze-vektorëve (II.4.1), gjejmë:

vi = vi (II.4.2)

Shkruajmë variacionin e lagranzhianit të sistemit gjatë rrotullimit të tij në

kordinata karteziane:

01

N

ii

i

i

i

LLL v

vr

r,

dhe zevendësojmë në të, shprehjet (II.4.1) dhe (II.4.2) si edhe relacionet

dhe i i

i i

L Lp p

v r (ekuacionet e Lagranzhit), që nga gjejmë:

1

0N

i i i i

i

p r p v

Duke ndryshuar renditjen tek produktet e përzier (produkt skalar dhe produkt

vektorial) dhe duke nxjerrë jashtë shumës sepse nuk varet nga indeksi i shumimit,

kemi:

1 1

0N N

i i i i i i

i i

d

dtdjr p v p r p

Meqë është e çfardoshme, që të bëhet zero shprehja e mësipërme duhet që:

01

N

iii

dt

dpr (II.4.3)

Pra, për sistemin mekanik të mbyllur, ruhet madhësia :

M = N

iii

1

pr (II.4.4)

Kjo madhësiquhet moment i impulsit i sistemit dhe barazimi (II.4.3) shpreh ligjin e

ruajtjes së momentit të impulsit të sistemit mekanik të mbyllur. Adititiviteti i këtij

integrali të lëvizjes duket qartë nga përcaktimi (II.4.4).

Vlera e momentit të impulsit varet qoftë nga zgjedhja e sistemit të referimit

qoftë nga zgjedhja e origjinës së tij. Le të spostojmë psh origjinën e kordinatave nga

O në O’, me një vektor a = 'OO . Rreze vektorët e pikave të sistemit në lidhje me

origjinë e re O’ dhe në lidhje me origjinën e mëparëshme O janë përkatësisht: r’i dhe

ri = r’i + a . Ndërsa vlerat e momentit të impulsit lidhen me relacionin:

PaMpaprprM'

N

11

'

1 ii

N

iii

N

iii (II.4.5)

ku P është impulsi i gjithë sistemit mekanik. Këtu duket se kur sistemi mekanik

prehet si një i tërë (sistemi i referimit ku qendra e masës prehet), pra P = 0 , vlera e

momentit të impulsit nuk varet nga zgjedhja e origjinës së sistemit kordinativ.

46

Të shikojmë tani se si ndryshon vlera e momentit të impulsit kur ndrojmë sistemin

e referimit, pra kur kalojmë nga sistemi i referimit S në sistemin e referimit S’.

Supozojmë se në çastin e dhënë të kohës, origjinat e të dy sistemeve të referimit

përputhen. Rreze-vektorët e pikave janë të njëjta për të dy sistemet e referimit, ndërsa

shpejtësitë e pikave në sistemet e referimit S dhe S’ janë:

vi = v’i + V

ku V është shpejtësia e sistemit të referimit S’ ndaj sistemit të referimit S. Duke

zevendësuar këtë shprehje tek shprehja e momentit të impulsit (I.4.3) , kemi

VrMVrvrvrM'

N

iii

N

iii

N

iiii

N

iiii mmmm

111

'

1

ose M = M’ + M RQ V = M’ + RQ P (II.4.6)

ku M është masa e sistemit mekanik, RQ është rrezja-vektore e qendrës së masës

(inercisë) së sistemit dhe P është impulsi i gjithë sistemit në lidhje me sistemin e

referimit S. Kështu mementi i impulsit të sistemin e referimit S jepet si shumë e

momentit impulsit në sistemin e referimit ku qëndra e masës prehet (sistemi i lidhur

me qendrën e masës) M’ – i cili quhet edhe momenti vehtiak i impulsit, me termin

RQ P . Ky term paraqet momentin e lëvizjes së sistemit si një i tërë, ai është sa

momenti i impulsit i një pike materiale me masë sa masa e gjithë sistemit dhe me

impuls sa impulsi i gjithë sistemit.

Ligji i ruajtjes së momentit të impulsit, mund të formulohet edhe në rastet kur

sistemi nuk është i mbyllur por ndodhet në një fushë të jashtme e cila ka ndonjë

simetri rrotullimi. P.sh., nëse energjia potenciale nuk ndryshon gjatë rrotullimit të

sistemit si një i tërë rreth një boshtin Z, atëhere ruhet vetëm përbërësja e momentit të

impulsit sipas këtij boshti. Për ta provuar këtë, le të shprehim përbërësen e momentit

të impulsit sipas boshtit të simetrisë së rrotullimit Mz në kordinata cilindrike: r ,

dhe z , ku xi = ricos i , yi = risin i :

( ) ( cos cos cos sin

sin sin cos sin )

N N

z i i i i i i i i i i i i i ii=1 i=1

N2

i i i i i i i i i i i ii=1

M = m x y - x y = m r r +r r +

r r - r r = m r

(II.4.7)

Nga ana tjetër funksioni i Lagranzhit në kordinata cilindrike është:

2 2 2 2

1

1( ) ( , , )

2

N

i i i i ii

L m r r z U r z

Në fushën me simetrinë e rrotullimit rreth boshtit Z, energjia potenciale, pra edhe

lagranzhiani nuk varet nga ndryshimi i kordinatës , prandaj L/ =0 dhe nga

ekuacionet e Lagranzhit del se impulsi i përgjithësuar që i takon kordinatës është

konstant (integral i lëvizjes):

2

1 1

.N N

i i i

i ii

LP m r konst (II.4.8)

47

Po ta krahasoni këtë me (II.4.7) del se ky integral i lëvizjes është përbërësja e

momentit të impulsit sipas boshtit Z, e cila rezulton se ruhet.

Ushtrime dhe problema

II.1. Gjeni ligjin e transformimit të energjisë dhe impulseve gjatë kalimit në sistemin

e referimit i cili rrotullohet me shpejtësi këndore Ω rreth boshtit Z:

a) në kordinata polare: φ = φ’ + Ω·t dhe r = r’.

b) në kordinata karteziane: x = x’·cosΩ·t – y’·sinΩ· t dhe y=x’·sinΩ·t + y’·cosΩ· t.

II.2. Lagranzhiani i një sistemi është: 2 2

1 2 1 2

1( )

2L m q q q q

ku dhe janë konstante. Të provohet se madhësitë:

2 2

1 1 2 1 2

1( )

2F m q q q q dhe 2 1 2F m q q , janë integrale

të lëvizjes. Çfarë paraqesin ato dhe me çfarë transformimi lidhet të qenit konstant të

tyre?

II.3. Lagranzhiani i një sistemi në kordinata karteziane, është :

2 2 2 3 31 2 3 0 1 0 2

2 2sin cos

2

x xmL x x x V x V x

R R ,

ku V0 dhe R janë konstante. Çfarë simetrie ka ky lagranzhian dhe cila është

madhësia e lidhur me këtë simetri, e cila është integral integral lëvizjeje?

II.4. Lagranzhiani i oshilatorit harmonik izotrop tripërmasor është:

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 32 2

m kL x x x x x x .

Të provohet se gjashtë madhësitë:

2 2

m kF x x x x (ku dhe = 1, 2, 3) ,

Ruhen me kohën. A janë të gjashtë madhësistë F të pavarura?

II.5*. Tri grimca të njëjta zhvendosen mbi një drejtëz. Energjia potenciale e

bashkveprimit të çdo dy grimcave varet vetëm nga largësia midis tyre, në trjatën:Uik

= U(xi – xk) , ku xi dhe xk janë kordinatat përkatëse të grimcës së i-të dhe të k-të

(i, k = 1, 2, 3). Të provohet se, përveç integraleve të njohura të lëvizjes, siç janë

impulsi: 1 2 3P m x x x dhe

energjia:2 2 2

1 2 3 12 23 132

mE x x x U U U , në rastin kur funksioni energjisë

potenciale të çdo dy grimcave ka trajtën: 2 2( ) /U x g x , ku g – konstante, ekziston

edhe një integral tjetër i lëvizjes, që jepet me formulën:

1 2 3 1 23 2 13 3 12A m x x x x U x U x U

48

II.6. Një lavjerrës me gjatësi L, që mbahet fillimisht horizontalisht, lëshohet lirisht.

Fija e lavjerrësit ndesh një kunj në distancën d poshtë pikës së varjes (fig. I.6). Sa

është vlera minimale e d, për të cilën fija mbetet ende e tendosur gjithë kohës?

II.7. Një pikë materiale me masë m qëndron në prehje në kulmin e një gjysëmsfere

me masë M e rreze R, e cila prehet mbi një tavolinë horizontale pa fërkom. Pika merr

një shmangie të vogël dhe rrëshqet poshtë përgjatë gjysëmsferës. Në çfarë këndi (i

matur prej kulmit të gjysëmsferës) pika shkëputet nga gjysëmsfera?

Në rastin kur m M , ju mjafton të gjeni një ekuacion algjebrik për këndin (është

një ekuacion kubik). Në rastin kur m = M, zgjidhja e këtij ekuacioni është e thjeshtë,

gjeni vlerën e këndit për këtë rast.

II.8. Dy trupa me masa përkatësisht m dhe M , janë lidhur me një fije të

pazgjatëshme, e cila kalon nëpër një brimë të një tavoline

horizontale të lëmuar, në mënyrë që trupi me masë m të mbetet

në sipërfaqen e tavolinës, kurse ai me masë M të varet

vertikalisht poshtë brimës. Përdorni integralet e lëvizjes për ta

sjellë funksionin e Lagranzhit të sistemit në një funksion me

një kordinatë (një gradë lirie). Në çastin t = 0, trupi me masë m

ndodhet në largësinë r0 nga brima dhe ka shpejtësinë v0 të

drejtuar pingul me fijen e tendosur, ndërsa trupi me masë M

është në prehje. Të gjendet shpejtësia radiale r dhe shpejtësia këndore e trupit me

masë m në funksion të largësisë së saj r nga brima.

II.9. Një shufër homogjene me masë m dhe gjatësi 2a mund të rrotullohet rreth skajit

të saj O të fiksuar. Një unazë e vogël me masë m rrëshqet përgjatë shufrës duke

qenë e varur në pikën O me anë të një suste elastike. Susta e ka gjatësi a në gjendje të

padeformuar dhe koeficientin e elasticitetit n m g/a.

Le të jetë këndi që formon shufra me vertikalen

dhe këndi që formon plani vertikal që përmban

shufrën me një plan vertikal të fiksuar dhe r largëisa

e unazës nga pika O. Gjeni lagranzhianin e sistemit

në kordinatat r , , , mandej tregoni cilat janë

integrale të lëvizjes.

II.10. Një kon homogjen me masë M dhe kënd të

hapjes 2 mund të rrotullohet lirisht rreth boshtit të

vet vertikal të fiksuar. Koni ka një ulluk përgjatë sipërfaqes së tij. Ulluku formon të

njëjtin kënd me çdo përftuese të konit. Një sferë e vogël me masë m rrëshqet

përgjatë ullukut. Fillimisht, sistemi është në prehje dhe trupi ndodhet më largësinë c

nga kulmi i konit. Të provohet se, kur këndi i rrotullimit të konit është dhe largësia

e trupit nga kulmi i konit është r , atëhere ato kënaqin barazimin:

cotsin2expsin

sin22

22

mcMk

mrMk ,

ku Mk2 është momenti i inercisë së konit në lidhje me boshtin e vet.

m

M

Fig. II.8

Fig. II.6.

49

II.11. Një disk rrethor me masë M ndodhet në pozicionin horizontal dhe mund të

rrotullohet pa fërkim rreth një boshti vertikal që kalon nga një pikë e periferisë së tij.

Një majmun i vogël me masë m vjen rrotull periferisë së diskut. Të provohet se disku

rrotullohet me një kënd që jepet nga formula:

2

20

4 sin

3 / 2 4 sin

m d

M m, kur

majmuni ka kryer një rrotullim të plotë në periferinë e diskut.

II.12. Një shtresë pluhuri me trashësi h (h << R, ku R është rrezja e Tokës), është

formuar nga rënia izotrope e meteorëve në Tokë. Duke përdorur ligjin e ruajtjes së

momentit të impulsit, të provohet se ndryshimi relativ i zgjatjes së ditës 24-orëshe

është afërsisht 5 h d /(R D) , ku D dhe d janë përkatësisht dendësitë e Tokës dhe të

pluhurit. Momenti i inercisë së Tokës, duke e konsideruar atë si sferë homogjene, në

lidhje me një bosht që kalon nga qendra e saj është (2/5)MR2 , kurse momenti i

inercisë së shtresës së hollë sferike me masë m dhe rreze R është (2/3)MR2.

II.13. Pika materiale me masë m , mbi të cilën nuk veprojnë forca të jashtme, është

lidhur me një fije të pazgjatëshme. Fija është pështjellë plotësisht mbi cilindrin me

rreze R derisa pika materiale takon periferinë e cilindrit, i cili është i palëvizshëm. Në

çastin t = 0 , pika merr një shpejtësi fillestare v0 sipas

drejtimit rrezor të cilindrit, kështu që fija fillot të

çpështillet. Të gjendet si ndryshon me kohën momenti i

impulsit në lidhje me boshtin e cilindrit.

II.14. Një unazë rrëshqet pa fërkim nëpër një tel që forma e

të cilit është e tillë që lartësia e pikave të tij nga një rrafsh

horizontal është një funksion i njohur V(x) (si në fig. II.14).

Të gjendet ekuacioni për nxitimin horizontal x të unazës.

II.15. Një trup mund të lëvizë lirisht në fushën homogjene

të rëndesës mbi një sipërfaqe rrotullimi të lëmuar, ekuacioni

i të cilës në kordinata cilindrike është r = f(z) (boshti OZ është vertikalisht lart). Të

gjendet ekuacioni (në kuadraturë3) i lëvizjes së trupit .

II.16. Një trup lëviz nën veprimin e rëndesës mbi një sipërfaqe të lëmuar të rrotullimit

me bosht vertikal. Ekuacioni i sipërfaqes në kordinata cilindrike është r = f(z).

Shpejtësia është horizontale me vlerë v1 në lartësinë z1 dhe me vlerë v2 në lartësinë z2.

Shprehni v1 dhe v2 në funksion të z1 dhe z2 .

II.17. Një trup me masë m lëviz nën veprimin e forcës së rëndesës në sipërfaqen e

brendëshme të një paraboloidi të lëmua rrrotullimi. Ekuacioni i paraboloidit të në

kordinata cilindrike ëshët r = a , ku a është një konstante, është këndi i

rrotullimit rreth boshtit vertikal OZ dhe r është largësia nga ky bosht.. Trupi niset

nga pika me kordinata: r = a , = 0 , z = a , me shpejtësi V të drejtuar

horizontalisht. Të përcaktohet varësia e shpejtësisë së trupit nga z. Të gjenden vlerat

minimale dhe maksimale të kordinatës z të trupit.

3 Në kuadraturë, kuptohet kur zgjidhja (ne kete rast, ekuacioni i lëvizjes) shprehet me anë të

një integrali

Fig. II.14.

Lartësia V(x).

50

KAPITULLI III Integrimi i ekuacioneve të lëvizjes

III. 1 Lëvizja njëdimensionale

Kur sistemi ka një gradë lirie, lëvizja e tij quhet njëdimensionale. Forma e

lagranzhianit të sistemit kur ai ndodhet në një fushë stacionare (lidhjet nuk varen nga

koha) sipas formulës I.5.13, është:

)(2/)( 2 qUqqaL (III.1.1)

Në rastin kur si koordinatë shërben koordinata karteziane x, lagranzhiani shkruhet:

)(

2

2 xUxm

L (III.1.2)

ku m është masa e trupit që kryen lëvizje vetëm sipas drejtimit X. Meqë lagranzhiani

nuk varet shtjellazi nga koha, atëherë energjia është integral i lëvizjes dhe shprehet:

)(2/)( 2 qUqqaE ose )(2/2 xUxmE (III.1.3)

Duke shprehur derivatin kohor të koordinatës, marrim ekuacionin:

)()(

2qUE

qadt

dq ose )(

2xUE

mdt

dx (III.1.4)

Ky ekuacion mund të integrohet sepse në të ndahen variablat t dhe q (ose x) dhe nga

integrimi gjejmë:

.

) (

) ( 2 const t

q a

q U E

dq

ose

.

) ( 2 const t

m

x U E

dx

(III.1.5)

ku const. është një konstante e integrimit. Në këtë mënyrë ne marrim ligjin e lëvizjes

në kuadraturë1. Kur njohim funksionin e energjisë potenciale, nga zgjidhja e integralit

gjendet varësia kohore e koordinatës q(t) ose x(t). Siç duket kjo zgjidhje varet nga dy

konstante të pavarura: energjia E dhe konstante e integrimit const. Vlerat e këtyre

konstanteve përcaktohen nga kushtet fillestare, pra nga dhënia e vlerës së koordinatës

q (ose x) dhe të shpejtësisë xq ose në t = 0.

Edhe pa e gjetur varësinë kohore nga zgjidhja e integralit (III.1.5), ne mund të

nxjerrim një sërë përfundimesh mbi lëvizjen e sistemit, thjeshtë duke studiuar formën

e grafikut të energjisë potenciale. Le ta zemë se grafiku varësisë së energisë

potenciale nga koordinata është si në fig. III.1.1 Duke hequr një drejtëz horizontale

me lartësi sa vlera e energjisë E e cila është konstante, mund të gjejmë zonat e

koordinatës ku mund të lëvizë sistemi (ose pika materiale). Psh, në rastin e figurës

III.1.1, sistemi mund të lëvizë vetëm në zonat nga A në B dhe nga C deri në infinit,

1 Zgjidhja thuhet në kuadraturë kur merret në trajtën e një integrali.

51

ku energjia potenciale është më e

vogël se energjia e plotë

(kujtojmë se energjia e plotë

është shuma e energjisë

potenciale me atë kinetike e cila

është pozitive). Ndërsa zonat ku

energjia e plotë është më e vogël

se energjia potenciale (E < U)

janë zona të “ndaluara” ku nuk

mund të ndodhet sistemi.

Pikat, ku vija e drejtë E pret

grafikun e energjisë potenciale,

pra ku energjia e plotë barazohet

me energjinë potenciale, quhen pika të kthimit ose të ndalesës . Ato gjenden nga

ekuacioni:

E = U (x) (III.1. 6)

P.sh., në rastin e figurës këto pika janë x1, x2 , x3 . Në këto pika energjia kinetike (pra

edhe shpejtësia) bëhet zero. Ato përcaktojnë zonat e lëvizjes së sistemit si edhe llojin

e lëvizjes së sistemit. Në rastin e figurës kur lëvizja ka dy pika kthimi (psh në rastin e

figurës sonë, zona nga A në B) ajo quhet e kufizuar ose e fundme, në rastin kur

lëvizja ka vetëm një pikë kthimi ose asnjë, ajo quhet e pakufizuar ose e pafundme

(psh në rastin e figurës, zona nga C deri në infinit). Lloji i lëvizjes varet jo vetëm nga

forma e energjisë potenciale, por edhe nga kushtet fillestare. P.sh., në rastin e fig.

(III.1.1) lëvizja rezulton e kufizuar nëse sistemi në t = 0 është midis x1 dhe x2 , por

rezulton e pakufizuar nëse sistemi në t = 0 është matanë x3 . Për grafikun e fig.

(III.1.1) dhe energjinë e zgjedhur, pjesa BC shihet si barrierë potenciale për lëvizjen

ndërsa pjesa AB si gropë potenciale. Në rastin kur sistemi ndodhet në gropë

potenciale, pra kryen lëvizje të kufizuar, lëvizja është lëkundëse midis pikave të

kthimit dhe koha që duhet për të kaluar nga pika x1 në pikën x2 është e njëjtë me

kohën që duhet për të kaluar nga pika x2 në pikën x1 . Sepse, sipas parimit të

kthyeshmërisë së lëvizjes mekanike, sistemi kalon nëpër po ato pika në renditje të

kundërt dhe me shpejtësi të kundërt në kahe por të njëjtë në madhësi. Pra, lëvizja

midis dy pikave të kthimit është periodike dhe sipas ekuacionit (III.1. 5), perioda e

lëkundjeve do të jepet nga integrali i caktuar:

2

1 /)(22

x

x mxUE

dxT (III.1.7)

ku kufijtë e integrimit gjenden nga ekuacioni (III.1.7) dhe kuptohet që perioda do të

jetë funksion vetëm i energjisë E .

x

U

U=E A B C

Fig. III.1.1

x1 x2 x3

52

III.2 Problemi i dy trupave

Problemi i lëvizjes së sistemit të përbërë nga dy trupa (pika materiale) që

bashkëveprojnë vetëm me njeri tjetrin, ose siç quhet problemi i dy trupave, zgjidhet

në trajtë të përgjithshme. Ky problem sillet në lëvizjen e një trupi hipotetik me masë

sa masa e reduktuar e sistemit të dy trupave.

Ne do të konsiderojmë se energjia potenciale

e bashkëveprimit të dy trupave varet vetëm

nga vektori2 që i bashkon të dy trupat: r = r2

– r1 , ku r1 dhe r2 janë rreze-vektorët e

pozicioneve të trupave përkatësisht 1 dhe 2

(shih fig. III.2.1) : U(r).

Sistemi ka 6 gradë lirie, pra ka 6 koordinata

të pavarura që janë përbërëset e rreze

vektorëve r1 dhe r2 . Lagranzhiani i sistemit

në këto koordinata shkruhet:

)(22

22

21 r

rrU

mmL

(III.2.1)

Në vend të këtyre koordinatave, përdorim koordinatat: RQ – që është rrezja vektore e

qendrës së masës së sistemit të dy trupave dhe rreze vektorët e trupave 1 dhe 2 në

lidhje me qendrën e masës (shih fig. III.2.1) :

dhe 21

1'2

21

2'1 rrrr

mm

m

mm

m (III.2.2)

Rreze vektorët r1 dhe r2 shprehen nëpërmjet RQ dhe r me anë të relacioneve:

' '2 11 1 2

1 2 1 2

2r R r R r dhe r R r R r Q Q Q Q

m m

m m m m (III.2.3)

Pasi kryejmë derivatet kohore të r1 dhe r2 , i zevendësojmë në shprehjen e

lagranzhianit (III.2.1) dhe kryejmë thjeshtimet e nevojshme, gjejmë lagranzhianin në

funksion të koordinatave RQ dhe r :

)(2

1

2

2

21

21221 rrR Umm

mmmmL Q

(III.2.4)

Këtu duket se RQ është koordinatë ciklike dhe impulsi që i takon kësaj koordinate

është konstant, pra:

P = 1 2 Q

Q

Lm m R

R= konstante (III.2.5)

2 Problemi zgjidhet njëlloj edhe kur energjia potenciale varet nga shpejtësia relative e trupave

12 rrr ose nga derivatet e rendit më të lartë (nxitimi relativ etj.)

O

r1

Y

X

Z

r2

r 1

2

Fig. III.2.1

r1’

r2’ RQ

53

Ky rezultat dihej qysh më parë, sepse për sistemin e mbyllur të dy trupave impulsi

rezultant është konstant. Kjo tregon se shpejtësia e qendrës së masës është konstante.

Duke zgjedhur një sistem referimi inercia, të lidhur me qendrën e masës (ku

0QR ), lagranzhiani i sistemit të dy trupave sillet në trajtën:

)(2

1 2rr UL (III.2.6)

ku:

21

21

mm

mm (III.2.7)

që quhet masë e reduktuar e dy trupave. Vlera e saj mund të shprehet edhe në trajtën:

1/ = 1/m1 + 1/m2 . Përfundimisht themi se problemi i lëvizjes së sistemit të dy

trupave sillet në problemin e lëvizjes së një trupi hipotetik të vetëm me masë sa masa

e reduktuar, që lëviz në fushën me potencial U (r) sa potenciali i fushës së

bashkëveprimit të dy trupave m1 dhe m2 . Duke zgjidhur problemin e lëvizjes së këtij

trupi, si mbivendosje e tre lëvizjeve një-dimensionale (x, y, z) mund të gjejmë

varësinë kohore të vektorit r. Mandej, duke ditur pozicionin e qendrës së masës RQ ,

mund të gjemë nga formulat (III.2.3), pozicionet e secilit nga të dy trupat realë : r1

dhe r2 në çdo moment kohe.

III. 3 Lëvizja në fushë qendrore

Më lart pamë se problemi i lëvizjes së dy trupave që bashkëveprojnë vetëm me

njeri tjetrin, sillet në problemin e lëvizjes së një trupi hipotetik në një fushë me

potencial U(r) ku r ishte vektori që bashkon dy trupat. Supozojmë se potenciali varet

vetëm nga moduli i vektorit |r| pra nga r : U(r). Në këtë rast lëvizja e trupit hipotetik

me masë sa masa e reduktuar e sistemit të dy trupave është lëvizje në fushë qendrore.

Thuhet se kemi lëvizje në fushë qendrore (centrale) kur energjia potenciale varet

vetëm nga largësia e trupit nga qendra e fushës (r = 0). Të tilla janë fushat

gravitacionale ose elektrostatike. Forca që vepron mbi trupin, që lëviz në fushë

qendrore është sipas drejtimit që bashkon trupin me qendrën e fushës. Me të vërtetë:

duke patur parasysh se rrezja vektore në koordinata karteziane shprehet : r = x i + y j

+ z k ku i, j, k janë vektorët njësi të boshteve kordinative, të cilët janë të fiksuar dhe

energjia potenciale varet vetëm nga moduli i rrezes vektore r = 222 zyx , forca

shprehet:

54

(III.3.1)

Pra forca është e drejtuar sipas rreze-vektorit r , dhe në kahen e këtij vektori kur

derivati U/ r është negativ dhe në kahen e kundërt nëse ky derivat është pozitiv.

Fusha qendrore ka simetrinë e rrotullimit rreth çdo drejtimi që kalon nga qendra e

fushës, sepse gjatë këtij rrotullimi nuk ndryshon largësia nga qendra e fushës pra nuk

ndryshon edhe energjia potenciale. Siç kemi treguar tek ligji i ruajtjes së momentit të

impulsit (II.4), kur fusha ka simetrinë e rrotullimit rreth ndonjë drejtimi, ruhet

përbërësja e momentit të impulsit sipas këtij drejtimi. Kështu në fushë qendrore ruhet

çdo përbërëse e momentit të impulsit, pra ruhet vektori i momentit të impulsit. Kjo

duket qartë edhe nga shprehja e forcës (III.3.1), momenti i kësaj force ndaj qendrës së

fushës është zero (produkti vektorial r F është zero) dhe nuk ndryshon momenti i

impulsit i trupit që lëviz në fushë qendrore. Ai është integral i lëvizjes. Në fakt janë

tre integrale skalare (tre përbërset e momentit të impulsit). Duke qenë se momenti i

impulsit i trupit është:

M = r p = r mv (III.3.2)

të qenët konstant të vektorit M, tregon se plani që përcaktohet nga vektorët r dhe v

mbetet konstant gjatë lëvizjes së trupit. Pra, rrezja-vektore mbetet gjithë kohës në një

plan me shpejtësinë. Kështu lëvizja në fushën qendrore kryhet në një plan, në planin

pingul me drejtimin e momentit të impulsit M. Lëvizja në plan ka vetëm dy gradë

lirie dhe ne do të zgjedhim në plan koordinatat polare r (largësia nga qendra e fushës)

dhe -këndi polar në plan. Lagranzhiani i trupit që lëviz në fushë qendrore, në

koordinata polare do shkruhet:

)(

2

222 rUrrL (III.3.3)

ku -është masa e trupit (në rastin e problemit të dy trupave është masa e reduktuar)

që lëviz në fushë qendrore. Siç duket ky lagranzhian nuk varet shtjellazi nga koha,

prandaj energjia është një integral tjetër i lëvizjes përveç momentit të impulsit.

- është koordinatë ciklike, prandaj impulsi i përgjithësuar i kësaj kordinate p =

L/ është integral i lëvizjes që është përbërësja e momentit të impulsit Mz sipas

drejtimit pingul me planin e lëvizjes së trupit, pra është vetë M = Mz. Duke derivuar

lagranzhianin (III.3.3), gjejmë:

M = P =

2rL

(III.3.4)

e cila është integral i lëvizjes. Që këtu ne mund të nxjerrim një veti të lëvizjes në

fushë qendrore, përveç vetisë që ajo kryhet në një plan. Gjatë kësaj lëvizjeje,

rdr

dU

r

z

dr

dU

r

y

dr

dU

r

x

dr

dU

z

r

dr

dU

y

r

dr

dU

x

r

dr

dU

z

U

y

U

x

U

d

dU

rkji

kjikjir

F

55

shpejtësia sektoriale është konstante, pra nuk

ndryshon me kohën. Shpejtësia sektoriale shpreh

sipërfaqen që përshkon rrezja vektore e trupit në

njësinë e kohës. Po t’i referohemi figurës III.3.1,

ku tregohet një pjesë e trajektores plane të një

trupi që lëviz në fushë qendrore, del se sipërfaqja

që përshkon rrezja vektore gjatë një intervali

kohe pambarimisht të vogël dt, është ½ r rd =

r2 d /2 . Kështu që shpejtësia sektoriale del

2/2 rf , e cila shprehet me anë të momentit

të impulsit:

constMf )2/( (III.3.5)

Kjo është konstante gjatë lëvizjes së trupit me masë µ në fushë qendrore. Ky

përfundim njihet qysh më parë për lëvizjen e planetëve rreth diellit. Sipas ligjit të dytë

të Keplerit, rrezja që bashkon diellin (qendra e fushës) me planetin përshkon sipërfaqe

të barabartë në intervale kohe të barabartë.

Le të shfrytëzojmë integralin tjetër të lëvizjes që është energjia. Duke parë trajtën e

lagranzhianit (III.3.3), del se energjia është:

)(2

222 rUrrE (III.3.6)

duke zevendësuar këtu, shpejtësinë këndore nga barazimi (III.3.4):

2r

M (III.3.7)

gjejmë:

)(22 2

22

rUr

MrE

(III.3.8)

Këtu duket se problemi sillet në lëvizje një dimensionale (lëvizja radiale, sipas

koordinatës r), pra si një lëvizje një-dimensionale të trupit me masë në fushën me

potencial:

2

2

2)(

r

MrUUef (III.3.9)

i cili quhet potencial efektiv dhe është funksion i njohur i r . Termi që i shtohet

potencialit real U(r), është potenciali i ashtuquajtur “centrifugal” që ka të bëjë me

efektin e rrotullimit në fushë me shpejtësi këndore 0 . Ai ka gjithmonë të njëjtën

shenjë (nga shprehja III.3.7, ai ka gjithmonë shenjën e M), pra pozitive dhe paraqet

një potencial shtytës. Tashmë dihet si zgjidhet problemi i lëvizjes një dimensionale

(lëvizja radiale), mjafton të ndajmë variablat në barazimin (III.3.8) dhe të integrojmë,

ashtu siç kemi vepruar te lëvizja njëdimensionale:

rd

r

r+dr

d

Fig. III.3.1

56

t

rUE

drr

r

ef0 )(

2 (III.3.10)

ku kufiri i poshtëm i integrimit r0 përcaktohet nga vlera e r në t =0. Nga integrimi

(III.3.10) përcaktohet varësia kohore e koordinatës r, ku vlera e konstanteve E dhe M

përcaktohet nga kushtet fillestare. Në parim, gjetja e varësisë kohore r(t) të çon në

gjetjen e varësisë kohore edhe të koordinatës tjetër . Me të vërtetë duke integruar

ekuacionin (III.3.7), pasi zevendësojmë në vend të r , varësinë kohore të gjetur r(t),

gjemë :

0

0

2 )(

t

tr

dtM (III.3.11)

ku 0 është vlera fillestare e këndit . Pra, problemi i lëvizjes në fushë qëndrore

zgjidhet plotësisht në kuadraturë, ku e vetmja vështirësi matematike është zgjidhja e

integraleve.

Shpesh, në lëvizjen e trupit në fushë qendrore, ne na intereson më shumë forma e

trajektores qe ndjek trupi se se varësia kohore e koordinatave. Për të gjetur ekuacionin

e trajektores në koordinata polare, pra një lidhje midis r dhe , zevendësojmë në

barazimin :

)(2

rUEdt

dref

dt nga barazimi (III.3.7) : d = M dt / ( r2) dhe gjejmë:

2/

)(2

rM

rUE

d

dref

Duke ndarë variablat dhe duke integruar në këtë barazim, gjemë ekuacionin e

trajektores në kuadrature:

)(2

2

0rUE

drr

M

ef

(III.3.12)

ku konstantja e integrimit 0 merret zakonisht zero. Siç duket ekuacioni i trajektores

përcaktohet jo vetëm nga trajta e fushës U(r) por edhe nga vlera e momentit të

impulsit M dhe energjia e plotë E. Për studimin cilësor të lëvizjes, ka rëndësi studimi i

trajtës së funksionit të energjisë potenciale efektive Uef (III.3.9). Ky studim bëhet i

ngjashëm me studimin që i kemi bërë lëvizjes një-demensionale. Vizatohet grafiku i

varësisë të Uef(r) nga r. Duhet patur kujdes sepse forma e grafikut mund të jetë e

ndryshme për vlera të ndryshme të momentit M. Prandaj vizatohen grafikët për të

57

gjitha rastet, nëse forma e tyre ndryshon. Por ka raste kur forma e grafikut nuk varet

nga vlera e M.

Psh, grafiku i fig. III.3.2, paraqet rastin kur

energjia potenciale është e trajtës U(r) = k r2

/2 dhe energjia potenciale efektive është: Uef

= k r2/2+ M

2/(2 r

2). Hiqet një drejtëz

horizontale me lartësi sa energjia e plotë E, e

cila e pret grafikun e energjisë potenciale

efektive në pikat e kthimit E = Uef, të cilat në

rastin e figurës janë dy: r1 dhe r2. Në këtë

rast lëvizja kryhet vetëm në zonën midis

këtyre dy pikave, pra ajo është e kufizuar dhe

lëvizja radiale është lëkundëse midis vlerave

r1 dhe r2. Në dallim nga lëvizja një-

dimensionale, pikat e kthimit nuk janë pika të

“ndalesës”, pasi në këto pika vërtetë shpejtësia radiale bëhet zero ( 0r ), por

shpejtësia këndore është e ndryshme nga zero ( 0 ), siç kemi thënë ajo ka

gjithmonë të njëjtën shenjë (2/ rM ). Lëvizja për rastin e figurës është e

mundur vetëm për vlera të energjisë së plotë më të mëdha se minimumi i energjisë

potenciale efektive.

Në raste të tjera, studimi cilësor i lëvizjes duhet bërë me kujdes, pasi edhe forma e

grafikut të energjisë potenciale efektive mund të varet nga vlera e momentit të

impulsit. Duhet shqyrtuar lëvizja qoftë për vlera të ndryshme të momentit të impulsit

qoftë për vlera të ndryshme të energjisë. Megjithatë, ka tipare që janë të përbashkëta

për lëvizjen në fushë qendrore. Psh, trajektoret janë simetrike ndaj drejtimeve që

bashkojnë qendrën e fushës me pikat e kthimit, sepse duke matur këndin polar nga

këto drejtime, ndryshimi i shenjës së këndit polar është ekuivalent me ndryshimin e

shenjës së shpejtësisë radiale ( /)(2 rUEr ef ), pra ndryshon shenja në

emëruesin e integralit (III.3.12) dhe trajektorja kalon nëpër pika simetrike në plan (që

kanë të njëjtën r, por kënde të kundërt) me shpejtësi radiale të kundërt. D.m.th.

trajektorja merret nga përsëritja e sëgmenteve të njëjtë në anë të kundërta të drejtimit

për në pikat e kthimit.

Kur lëvizja është e kufizuar, kjo nuk do të thotë se trajektorja është patjetër një

kurbë e mbyllur. Ndryshimi i këndit polar kur trupi kalon nga njera pikë e kthimit rmin

në tjetrën rmax , jepet nga integrali:

max

min )(2

2r

r ef rUE

drr

M

(III.3.13)

Që trjaktorja të jetë e mbyllur duhet që ky kënd të jetë një thyesë racionale e 2 ,

dmth të jetë = 2 m/n , ku m dhe n janë numra të plotë. Pas përsëritjes n – herë të

Uef

r 0

E

r2 r1

Fig. III.3.2

Uef(min)

58

kësaj lëvizjeje, rrezja vektore duke bërë m –rrotullime të plota përputhet me vlerën e

fillimit, pra trajektorja mbyllet.

Një tjetër tipar që duhet studiur për lëvizjen në fushë qendrore është mundësia e

rënies së trupit në qendër të fushës (r = 0). Megjithëse potenciali U(r) mund të jetë

tërheqës (negativ), trupi mund të mos bjerë në qendër të fushës për arsye të pranisë së

potencialit shtytës M2/2 r

2 tek potenciali efektiv, ky term bëhet infinit kur r 0. Nga

relacioni:

2

22

2

22

2)( ose 0

2)(

2rE

MrUr

r

MrUE

r (II.3.14)

duket se r mund të shkojë në zero vetëm kur:

2

)(2

02 M

rUrr

dmth, U(r) duhet të shkojë në minus infinit kur r 0 ose sipas - /r2 ku > M

2/2

ose sipas –1/rn ku n>2. Në këto raste trupi mund të bjerë në qendër të fushës (r=0).

III. 4 Problemi i Keplerit

Do të shqyrtojmë një rast të veçantë të lëvizjes në fushë qendrore, por që ka

shumë rëndësi në zbatimet e shumta në Fizikë. Eshtë rasti kur potenciali i fushës është

invers proporcional me largësinë nga qendra e fushës ose forca invers proporcional

me katrorin e largësisë nga qendra e fushës. I tillë është bashkëveprimi gravitacional

midis masave pikësore ose bashkëveprimi kulonian midis ngarkesave pikësore. Në

këtë rast, energjia potenciale do të ishte e trajtës:

rrU )( (III.4.1)

ku është një konstante që varet nga lloi i bashkëveprimit. Psh, për bashkëveprimin

gravitacional merret vetëm shenja – dhe = m1 m2, ku është konstantja

gravitacionale dhe m1 e m2 janë masat përkatëse të trupave që tërhiqen me njeri tjetrin

(energjia potenciale e tërheqjes është negative), ndërsa në rastin e bashkveprimit

kulonian merret shenja + ose – në varësi të shenjave të ngarkesave: ngarkesat e së

njëjtës shenjë shtyhen (energjia potenciale pozitive) . ngarkesat e shenjës së kundërt

tërhiqen (energjia potenciale negative) dhe = q1 q2/4 0 , ku q1 dhe q2 janë

madhësitë e ngarkesave, 1/4 0 është konstantja e sistemit SI. Le të shqyrtojmë në

fillim rastin e potencialit tërheqës (negativ) : U(r) = - /r . Në këtë rast, poetnciali

efektiv do të ishte :

59

2

2

2 r

M

rUef (III.4.2)

Ky funksion ka dy terma: njeri

pozitiv dhe tjetri negativ që

shkojnë në infinit kur r 0 dhe

shkojnë në zero kur r (vijat

me pika-pika në fig. III.4.1). Por

termi i parë (negativ) shkon më

ngadalë se termi i dytë qoftë në

zero qoftë në infinit, pasi është

p.m.v. ose p.m.m. e një rendi më

të lartë se termi i dytë. Kështu që

për r të vogla predominon termi i

dytë (pozitiv), ndërsa për r të

mëdha predominon termi i parë

(negativ) dhe grafiku rezultant ka

formën e një grope potencial (vija

më e theksuar) jo simetrike me një

minimum që përcaktohet nga barazimi me zero i derivatit të funksionit Uef :

03

2

2 r

M

r që nga gjejmë :

2

min

Mr (III.4.3)

dhe duke e zevendësuar tek shprehja e energjisë potenciale efektive (III.4.2), gjejmë

vlerën minimale të saj:

2

2

min2M

U (III.4.4)

Për të studiuar cilësisht lëvizjen, heqim vija horizontale që paraqesin vlera të

ndryshme të energjisë së plotë E. Lëvizja është e mundur vetëm në zona ku energjia e

plotë është më e madhe se energjia potenciale efektive, ndërsa pikat e kthimit gjenden

nga barazimi:

E = Uef (III.4.5)

Siç duket nga figura, për energji E > 0 , lëvizja është e pakufizuar (ka vetëm një pikë

kthimi), trupi mund të përplaset në barrierën potenciale dhe të shkojë deri në infinit.

Po kështu edhe për energji të barabartë me zero. Ndërsa për energji negative, trupi

kryen lëvizje të kufizuar midis dy pikave të kthimit (r1 dhe r2 në figurë). Pra, lëvizja

radiale është lëkundëse. Për energji negative më të vogla se Umin lëvizja nuk mund të

ndodhë.

Për të gjetur formën e trajektores, zevendësojmë në ek. (III.3.12), Uef nga barazimi

(III.4.2):

Uef

r E<0

E>0

E=0 r1 r2

Fig. III.4.1

Umin

0 rmin

60

0

2

2

22

r

M

rE

drr

M

(III.4.6)

E transformojmë shprehjen nën integral që ta sjellim në një integral të njohur.

2222

2

2

22

2

/

xa

dx

Mr

M

ME

Mr

Md

r

M

rE

rMd

ku x është shënuar gjithë shprehja në kllapa të thjeshta, ndërsa a2 është shënuar e

gjithë shprehja në kllapat katrore. Ky është një integral tabele i njohur, zgjidhja e të

cilit është: y = arccos(x/a), prandaj integrimi i (III.4.6), jep:

2

2

2

20

21

11

arccos

2

arccosEM

r

M

ME

Mr

M

duke shënuar me p dhe e parametrat:

2

22 21 dhe

EMe

Mp (III.4.7)

ekuacioni i trajektores, shkruhet:

0cos1 er

p (III.4.8)

Ky është ekuacioni i prerjes konike me vatër në origjinën e koordinatave polare

(qendra e fushës), p – quhet parametër i konikes dhe e – quhet eksentricitet

(jashtëqendërsi) e konikes. Zakonisht boshti polar (drejtimi që nga matet këndi polar

) merret i tillë që 0 = 0. Njihen rastet e veçanta të prerjes konike:

a) Kur eksentriciteti është e < 1 , pra kur energjia e plotë është negative (shih ek.

III.4.7), konikja është një elips (fig. III.4.2) dhe kjo dihej edhe nga studimi cilësor që

lëvizja radiale për energji negative është e kufizuar midis dy vlerave r1 dhe r2 që

përfaqësojë përkatësisht pikën më të afërt të trajektores nga vatra(periheli)-qendra e

fushës, dhe pikën më të largët të trajektores nga vatra (afeli). Këto vlera gjenden edhe

nga ekuacioni i trajektores III.4.8, duke zevendësuar një herë kosinusin me +1 dhe një

herë –1:

61

r1 = p / (1+e) dhe r2 = p / (1-e) (III.4.9)

Gjysmëboshti i madh (a) dhe gjysmëboshti i vogël (b) i elipsit lidhen me perihelin

(r1) dhe afelin (r2) me relacionet (shih fig. III.4.2 dhe vetinë e elipsit që shuma e

largësive të çdo pike të elipsit nga dy vatrat është e njëjtë ):

2

12

221 2/)( dhe 2

rrabrr

a

Duke zëvendësuar këtu, r1 dhe r2 sipas formulave (III.4.9), dhe duke ditur

përcaktimin e parametrave p dhe e (III.4.7), gjejmë:

M

dhe 1 2 | E |1

2 2

p α pa = b = =

2| E |- e - e (III.4.10)

Për vlerën më të vogël të lejuar për

energjinë E = Uef(minimum) = -2

2

2M,

eksentriciteti (III.4.7) bëhet zero, pra elipsi

bëhet rreth (trupi ndodhet në fundin e

gropës potenciale të fig. III.4.1). Perioda e

rrotullimit të trupit në elips gjendet nga

fakti që shpejtësia sektoriale (raporti i

sipërfaqes së elipsit me periodën) lidhet me

momentin e impulsit me realcionin :

2

del nga qe 2 M

abT

M

T

abf

ose duke zevendësuar këtu a dhe b nga barazimet (III.4.10), del perioda e rrotullimit

në elips:

3||2 E

T (III.4.11)

Nga ana tjetër, duke zëvendësuar këtu energjinë | E | nga barazimi III.4.10 nëpërmjet

gjysëm-boshtit të elipsit, gjejmë:

2 34

T a

Ky rezultat është konfirmim i një ligji tjetër empirik të Keplerit, sipas të cilit, katrorët

e periodave të rrotullimit të planetëve në elipsa, janë proporcionalë me kubet e

gjysmëboshteve të elipsave.

b) Në rastin kur energjia e plotë është E = 0, lëvizja ka vetëm një pikë kthimi, pra

është e pakufizuar, eksentriciteti (III.4.7) bëhet 1 dhe ekuacioni i konikes (III.4.8)

paraqet një parabolë, që qarkon nga brenda qendrën e fushës (vatrën, shih fig. III.4.3

r1 r2

2a

2b O

Fig. III.4.2

r a a b

62

a). Pika e kthimit paraqet largësinë minimale nga vatra, e cila del (sipas ek. III.4.8 për

cos =1): rmin = p/2 .

c) Rasti i tretë, kur energjia E >0 , lëvizja është përsëri e pakufizuar sepse ka

vetëm një pikë kthimi, pra eksentriciteti (III.3.7) bëhet e > 1 dhe ekuacioni i konikes

(III.3.8) paraqet nje

hyperbolë që qarkon qendrën

e fushës nga brenda (fig.

III.4.3 b). Pika e kthimit

përcaktohet si largësia

minimale nga vatra (qendra e

fushës) është rmin = p/(1+e).

Në të gjitha rastet që

studiuam në fushën - /r ose

në çdo fushë qendrore duhet

të kemi parasysh se

trajektoret e gjetura janë

trajektoret e trupit hipotetik me masë (masa e reduktuar e sistemit të dy trupave

me masa m1 dhe m2) ndaj qendrës së masës së sistemit të dy trupave. Për të gjetur

pozicionet ose trajektoret e lëvizjeve të seicilit trup duhet të përdorim formulat e

paragrafit III.2 :

r1 = RQ - m2 r/(m1+m2) dhe r2 = RQ + m1 r/(m1+m2).

Në rastin e dy trupave të tillë siç është Dielli me një planet, duke patur parasysh se

dielli ka masë shumë më të madhe se masa e planetit (m1 >> m2 ) , masa e reduktur

del afërsisht sa masa e planetit (1/ = 1/m1 + 1/m2 1/m2) dhe qendra e masës bie

shumë afër qendrës së diellit. Kështu që në këtë rast lëvizja e trupit hipotetik me masë

sa masa e reduktuar paraqet në fakt lëvizjen e planetit ndaj Diellit. Në përgjithësi

trupat qiellorë që

bëjnë pjesë në

sistemin diellor

mund të kenë

trajektore që jepen

nga ekuacioni i

konikes, planetët i

kanë orbitat

eliptike.

Së fundi le të

shqyrtojmë rastin e

potencialit kulonian

shtytës (kur

ngarkesat kanë

shenjë të njejtë),

pra kur energjia potenciale jepet:

p

O

p/2

a)

O rmin

b) Fig. III.4.3

Uef

E

r rmin

a)

Fig. III.4.4

rmin

r

b)

63

0ku r

U (III.4.12)

dhe energia potenciale efektive është :

2

2

2 r

M

rU ef (III.4.13)

e cila bie monotonisht me r (shih fig. III.4.4a). Në këtë rast lëvizja është e mundur

vetëm për vlera pozitive të energjisë së plotë E>0 dhe ka vetëm një pikë kthimi (E =

Uef). Për gjetjen e ekuacionit të trajektores ndiqen po ato veprime që u kryen në rastin

kur potenciali ishte - /r dhe duke ruajtuar po ato shënime për parametrat p dhe e

(III.4.7), gjendet ekuacioni i trajektores në koordinata polare:

cos1 er

p (III.4.14)

e cila paraqet gjithmonë një hiperbole (e>1). Grafiku i hyperbolës (shih fig. III.4.4b)

nuk e qarkon tashmë nga brenda qendrën e fushës por e lë jashtë saj (kujtojmë që

potenciali i fushës është shtytës). Pika e kthimit përcaktohet nga ekuacioni i

trajektores (III.4.14):

1

mine

pr (III.4.15)

Ushtrime dhe problema

III.1. Grimca me masë m lëviz gjatë boshtit OX . Energjia e saj potenciale në çdo

pikë x është: 22

0)( xexUxU ku U0 është një konstante.

a) Sa është forca që vepron mbi grimcën?

b) Të gjenden pikat e boshtit OX , ku grimca është në ekuilibër. Të përcaktohet vlera

e energjisë potenciale në secilën nga këto pika dhe të përcaktohet në se ekuilibri

është i qëndrueshëm apo e paqëndrueshëm. Të ndërtohet grafiku i energjisë

potenciale dhe të shënohen në to pikat e ekuilibrit.

c) Të përcaktohet vlera maksimale e energjisë së plotë E0 për të cilën grimca mund

të bëjë ende lëvizje e kufizuar(d.m.th. periodike).A është patjetër lëvizja e kufizuar,

në qoftë se E < E0?

III.2. Një grimcë me masë m kryen lëvizje një-dimensionale nën veprimin e forcës:

2x

axkF , ku k dhe a janë konstante.

a) Të gjendet energjia potenciale dhe të vizatohet grafiku i saj.

b) Të gjenden pozicionet e ekuilibrit dhe të provohet se ekuilibri është i qëndrushëm.

c) Për një vlerë çfardo të energjisë E , të gjenden dy pikat e kthimit (ndalesës) x1 , x2

d) Të gjendet perioda e lëkundjeve për një vlerë çfardo të energjisë E.

64

III.3. Një grimcë me masë m lëviz në fushën me potencial:

U(x) = A [ exp (-2 x ) - 2 exp (- x ) ],

ku A dhe janë konstante pozitive. Ky quhet “potencial i Morsit” .

a) Të vizatohet grafiku U(x) dhe të përcaktohet për ç’vlera të energjisë E lëvizja është

e fundme dhe për ç’vlera është e pafundme.

b) Të përcaktohet varësia kohjore x (t)

c) Të gjendet perioda e lëkundjeve kur lëvizja është e kufizuar.

III.4. Të përcaktohet ligji i lëvizjes së grimcës dhe perioda e lëkundjeve në fushat me

potencial:

a) U (x ) = - A / ch2 ( x ), b) U (x ) = A . tg

2 ( x ); (A dhe janë konstante pozitive )

III.5. Një grimcë me masë m lëviz në fushën me potencial U(x) = C x/(x2 + a

2), ku a

dhe C janë konstante pozitive. Të gjendet pozicioni i ekulibrit të qëndrueshëm dhe

perioda e lëkundjeve të vogla rreth këtij pozicioni. Nëse grimca niset nga ky pozicion

me shpejtësi v , të gjenden vlerat e v për të cilat grimca a) lëkundet; b) largohet në -

; largohet në + .

III.6. Të përcaktohet ligji i lëvizjes së grimcës në fushën me potencial:

U (x) = - A x4 , kur energjia e saj është zero.

III.7. Vizatoni grafikun e energjisë potenciale në fushën homogjene g të rëndesës të

lavjerrësit me masë m e gjatësi l, në varësi të këndit të shmangies nga vertikalja .

a) Për çfarë vlerash të energjisë së plotë të lavjerrësit, lëvizja është e kufizuar? Të

shprehet në kuadraturë perioda e lëkundjeve të lavjerrësit për një vlerë E të tillë të

energjisë

b) Të përcaktohet ligji i lëvizjes së lavjerrësit në qoftë se energjia e tij kinetike në

pikën më të ulët është 2 m g l.

III.8*. Të përcaktohet ndryshimi i periodës së lëkundjeve të grimcës në fushën me

potencual U(x) kur fushës i shtohet një “perturbim” i vogël U(x). Të shqyrtohet rasti

kur:

4

)(;2

)(4222 xm

xUxm

xU

III.9. Dy trupa me masa M dhe m janë lidhur me një sustë pa masë, me konstante

elastike k , dhe qëndrojnë në ekuilibër në një tavolinë të lëmuar horizontale dhe susta

është e padeformuar. Trupit me masë m i jepet një shpejtësi v në drejtim që bashkon

dy trupat dhe në kahe që e largon prej trupit me masë M .Të gjendet:

a) shpejtësia e trupit me masë M në çastin kur susta është përsëri e padeformuar.

b) perioda e lëvizjes lëkundëse.

III.10. Dy trupa me masë m dhe M përkatësisht janë lidhur në skajet e një suste të

lehte me gjatësi a (në gjendje të padeformuar) dhe me koeficient elastiçiteti k.

65

Fillimisht trupat janë në prehje.në një drejtëz vertikale dhe trupi m ndodhet në lartësi

a mbi trupin M. Në t = 0 , trupit m i jepet një shpejtësi v vertikalisht lart. Të

gjenden lartësitë nga Toka të trupave në çdo çast kohe. Sa është vlera më e madhe e v

- së për të cilën vlen kjo zgjidhje?

III.11. a) Një sistem përbëhet nga një grimcë me masë M dhe n grimca secila me

masë m. Duke përjashtuar lëvizjen e qendrës së masës, të sillet problemi në lëvizjen e

n trupave.

b) Për sistemin Diellor: M është masa e diellit dhe mi (j = 1, 2, ...n) janë masat e

planetëve. Të shprehet energjia e sistemit diellor në sistemin e referimit të lidhur me

qendrën e inercisë dhe të shqyrtohet përafrimi M >> mi .

III.12. Le të jetë një sistem i mbyllur prej n – grimcash me masa përkatësisht m1, m2,

..mn . Nëse futen të ashtuquajturat kordinata të Jakobit, të cilat përcaktohen nga

barazimet:

2

1

11 r

r ρ 1

m

m, 3

21

212 r

rr ρ 21

mm

mm, ...

1

1

1

...

...

1 jr rρ r

j

j j

j

m m

m m, ....

1

1

...

...

1 nr rρ Rn

n

n

m m

m m,

ku rj (j=1, 2, ..n) janë rreze-vektorët e grimcave dhe R rrezja-vektore e qendrës së

inersisë së sistemit, të provohet se energjia kinetike e sistemit shprehet në trajtën e

shumës kuadratike:

1

1

22

2

1

2

n

j

jj

MT ρ R , ku M = m1 + m2 +... mn dhe

1

1

111

j

j

l

lj m

m

III.13. Një grimcë me masë m lëviz në fushën qendrore, ku forca jepet në trajtën f

(r) = -4r

k , ( ku k - konstante pozitive ).Të analizohet lëvizja e grimcës për vlera të

ndryshme të energjisë dhe të momentit. Pastaj të tregohet se ekuacioni për trajektoren

mund ta ketë trajtën r = A (1 + cos ), ku A - konstante. Të gjendet energjia e

grimcës për këtë trajektore.

III.14. Një grimcë lëviz në një trajektore me ekuacion r = a cos(2 ) në fushën

qëndrore tërheqëse. Të provohet se madhësia e forcës është proporcional

me:5

22 38

r

ra

III.15. Një grimcë me masë m ndodhet në fushën e forcave tërheqëse me qendër

pikën O. Forca ka trajtën 3r

m, ku r është largësia prej pikës O. Grimca

66

lëshohet nga një pikë A , në largësinë a prej pikës O, me shpejtësi a

në drejtim

AP, të tillë që këndi OAP është 450. Të provohet se grimca lëviz në trajktoren me

ekuacionin r = a . e .

III.16. Një grimcë, me masë m, lëviz nën veprimin një force tërheqëse qëndrore me

vlerë – k / r3. Të provohet se është e mundur të zgjidhen vlerat e energjisë E dhe të

momentit të impulsit M , të tilla që trajektorja të ketë trajtën r = a exp(b ).

III.17* Një grimcë me masë m lëviz në fushën qendrore me potencial V = rk , ku

dhe k janë konstante pozitive. Le të jetë L momenti i impulsit i grimcës.

a) Gjeni rrezen r0 të një orbite rrethore.

b) Nëse grimcës i jepet një shtysë e vogël në mënyrë që r të lëkundet rreth r0, gjeni

frekuencën e këtyre lëkundjeve të vogla r

c) Sa është (afërsisht) raporti i frekuencës r me frekuencën r rrotullimit = ?

Jepni disa vlera të k për të cilat ky raport është racional, dmth trajektorja është

afërsisht e mbyllur.

III.18. Të përcaktohet ligji i varësisë së forcës qëndrore nga largësia r , për të cilën të

gjitha trajektoret janë elipsa me qendër të përbashkët në qendër të fushës. Të gjendet

perioda e rrotullimit në një nga elipsat dhe të provohet që ajo është e njëjtë për të

gjitha elipsat. Të krahasohet ajo me problemin III.2.

III.19. Një grimcë me masë m ndodhet në një fushë qendrore tërheqëse, ku forca ka

trajtën f = - k / r3 . Të gjendet ekuacioni i trajektores për vlera të ndryshme të

momentit të impulsit M dhe energjisë E.

III.20. Një grimcë lëviz në fushën qendrore me potencial U = r

ae br

, ku a dhe b

janë konstante pozitive. Të analizohet natyra e lëvizjes për vlera të ndryshme të

energjisë E dhe momentit të impulsit M. Të llogariten vlerat e E-së dhe të M-së që i

korespondojnë trajektores rrethore , duke supozuar që br <<1.

III.21. Grimca me masë njësi ndodhet në fushën me potencial U = - a/(4 r4).

Momenti i impulsit të grimcës është M, kurse energjia e grimcës është zero. Të

provohet se trajektorja është pjesë e dy rrathëve që takohen, secili me rreze R = ( a

/8M2 )

1/2 .

III.22. Një grimcë me masë m dhe moment të impulsit M lëviz në fushën qendrore

sipas trajektores me ekuacion r = K sin (n ) ,ku K dhe n janë konstante .Të

gjendet varësia e forcës nga r , si dhe të provohet se energjia e grimcës është zero.

67

III.23. Një grimcë me masë m lëviz nën veprimin e forcës F = k m r , ku r – është

rreze vektori i grimcës. Në çastin t = 0, rreze vektori i grimcës është r0 kurse

shpejtësia e saj v0 është drejtuar pingul me r0 . Të përcaktohet trajektorja e grimcës.

III.24. Një grimcë me moment impulsi M, lëviz në fushën qendrore me potencial

U(r), sipas trajektores spirale r = Ae ku A dhe janë konstante. Gjeni formën e

funksionit U(r).

III.25. Grimca lëviz në fushën qëndrore me potencial: U(r) = - rn , ku > 0 dhe

n 2. Të gjendet ekuacioni i trajektores për largësi r të vogla nga qendra e fushës. Të

provohet se numri i rrotullimeve që bën grimca pra se të bjerë në qendër të fushës

është i pafundëm për n = 2 dhe i fundëm për n > 2.

III.26. Të gjendet varësia kohore e kordinatave të grimcës që lëviz në fushën

kuloniane tërheqëse U = - / r, kur energjia është E = 0.

III.27. Një grimcë me masë m përshkruan një elips nën veprimin e forcës e drejtuar

drejt vatrës së elipsit. Madhësia e forcës është : f(r) = 2r

m. Grimca ka shpejtësi v

kur është në largësi c prej vatrës. Të provohet se perioda e lëvizjes është 2/322/1 //2/2 vc .

III.28. Një grimcë me masë m , përshkruan një trajektore parabolike me largësi

minimale nga vatra 4a .Forca që vepron mbi grimcën është tërheqëse e drejtuar drejt

vatrës së parabolës. Madhësia e forcës është f (r) = 2r

mc . (ku r-largësia nga vatra).

Kur grimca është më afër vatrës, ajo takon dhe ngjitet me një grimcë me masë n.m,

që është në prehje .Të provohet se grimca e përbërë do të përshkruaj një elips me

jashtëqendërsi të dhënë nga ekuacioni : (n +1)3

(1 - e2 ) = 4 n (n +2 ).

III.29. a) Të provohet se shpejtësia e një planeti (ose sateliti ) në një orbitë eliptike,

kur planeti ndodhet në një largësi maksimale nga boshti i madh i elipsit, është

mesatarja gjeometrike e shpejtësive maksimale dhe minimale në orbitë.

b) Të provohet se raporti i shpejtësive ekstremale në orbitë (në perihel dhe në afel)

është (1 + e ) / (1 - e ) ,ku e - është jashtëqendërsia e orbitës. Zbatojeni këtë raport për

Tokën ( e = 0,0167 ) dhe për kometën Halei (e = 0,967 ). ( Kjo sqaron faktin që

kometa është për një kohe mjaft të vogël afër Diellit ).

III.30. Një grimcë lëviz në një orbitë rrethore nën veprimin e një fushe qendrore

forcash tërheqëse. Madhësia e forcës është në përpjestim të zhdrejtë me katrorin e

largësisë nga qendra e fushës. Perioda e rrotullimit të grimcës është T. Grimca

ndalohet pa pritur në orbitën e saj. Të provohet se ajo bie në qendër të fushës pas një

kohe t = T / 25/2

.

68

III.31. Largësia minimale e një komete nga Dielli është sa gjysma e rrezes së orbitës

të Tokës (e cila supozohet rrethore) dhe shpejtësia e saj në këtë largësi është sa

dyfishi i shpejtësisë orbitale të Tokës. Të gjendet shpejtësia e kometës kur ajo pret

orbitën e Tokës, si dhe këndi me të cilin e pret orbiëtn e Tokës. A do të largohet më

pas kometa nga ssistemi diellor?

III.32. Të përcaktohen trajektoret e lëvizjes së fushës të dy grimcave me masa m1 e

m2 në sistemet e qendrës së inercisë , kur ligji i bashkëveprimit është: r

rU )( .

III.33. Të përcaktohet trajektorja e grimcës në fushën qendrore me potencial:

2)(

rrrU Të shprehet këndi i shmangies së grimcës në këtë fushë nëpërmjet

energjisë dhe momentit të impulsit.

III.34. Të përcaktohet trajektorja e grimcës në fushën qendrore me potencial:

2)(

rrrU . Të llogaritet koha e rënies së grimcës nga largësia r deri në qendër

të fushës.Sa rrotullime bën grimca gjatë kësaj kohe?

III.35. Të pëcaktohet trajektorja e grimcës në fushën qendrore me

potencial:2

)(rr

rU

Të gjendet largësia këndore midis dy kalimeve të njëpasnjëshme në perihel,

perioda e lëkundjeve radiale Tr dhe perioda e rrotullimit T .. Për ç’kusht trajektorja

është e mbyllur?

III.36. Të përcaktohet trajektorja e grimcës në fushën qendrore me potencial:

2)(

rrrU

III.37.* Të provohet se në fushën kuloniane (U = / r), një integral lëvizjeje është

edhe madhësia vektoriale: A = v M - r/r, ku r është rrezja vektore, M është

momenti i impulsit dhe v shpejtësia e grimcës. Nga ky integral lëvizjeje të nxiret

ekuaioni i trajektores në trajtën: cos1 er

p , ku

m

Mp

2

dhe A

e .

(Udhëzim: shumëzojmë skalarisht me vektorin r dhe shënojmë këndin midis

vektorëve A dhe r)

69

KAPITULLI IV G o d i t j e t

IV. 1 Zbërthimi i grimcave

Në shumë probleme të lëvizjes së sistemeve mekanike, nuk kërkohet zgjidhja e

ekuacioneve të lëvizjes, pra gjetja e varësisë kohore të koordinatave dhe shpejtësive.

Por kërkohet të njihet gjendja e sistemit pas një farë kohe kur njihet ajo në fillim. Në

këto raste, duke zbatuar ligjet e ruajtjes, mund të nxirren shumë rrjedhime mbi

gjendjen e sistemit pasi në sistem ndodhin procese të tilla si goditjet midis trupave që

përbëjnë sistemin, zbërthimi i grimcave në grimca të tjera etj.

Ne do ta fillojmë studimin nga procesi i zbërthimit të “vetvetishëm” (d.m.th. pa

ndërhyrje nga jashtë) të një grimce në grimca të tjera “përbërëse”. Do të shqyrtojmë

rastin më të thjeshtë kur grimca “ndahet” ose “coptohet” (zbërthehet) në dy grimca të

cilat më tej lëvizin pa ndikuar tek njera tjetra.

Ky proces përshkruhet më thjeshtë në sistemin e referimit ku grimca që

zbërthehet është në prehje, ky quhet edhe sistemi i referimit i qendrës së masës ose

qendrës së inercisë (shkurt do ta shënojmë Q-sistemi i referimit). Në këtë sistem

referimi, impulsi i sistemit mekanik (grimca që zbërthehet) është zero para zbërthimit

dhe do mbetet prapë zero edhe pas zbërthimit, në bazë të ligjit të ruajtjes së impulsit.

Pra në Q-sistemin e referimit grimcat që dalin nga zbërthimi do të lëvizin me impulse

të barabartë, por në kahe të kundërt. Duke shënuar energjinë e brendshme, pra të

gjithë energjinë që zotëron një grimcë në sistemin ku ajo prehet (energjinë kinetike

dhe potenciale të pjesëzave që e përbëjnë atë) me Ebr , atëhere në bazë të ligjit të

ruajtjes së energjisë kemi:

2

2

0

2

1

2

0

122 m

pE

m

pEE brbrbr (IV.1.1)

ku m1 dhe m2 janë masat përkatëse të dy grimcave që lindin nga zbërthimi , E1br dhe

E2br janë energjitë e tyre të brendëshme, ndërsa p0 madhësia e impulsit të secilës në

Q-sistemin e referimit. Duke shënuar me:;’

= Ebr - E1br – E2br (IV.1.2)

e cila quhet “energji e zbërthimit”, del se kjo madhësi është:

2

11

2

2

0

21

2

0 p

mm

p (IV.1.3)

ku është masa e reduktuar e sistemit të dy grimcave. Këtu duket se, që të ndodhë

zbërthimi duhet që të jetë pozitive, pra energjia e grimcës që zbërthehet të jetë më e

madhe se shuma e energjive të grimcave që lindin nga zbërthimi. Në teorinë e

relativitetit energjia e brendshme e çdo grimce lidhet me masën e prehjes me

relacionin E=m c2 (c – shpejtësia e dritës në boshllëk), prandaj që të ndodhë

70

zbërthimi i një grimce duhet që masa e saj të jetë më e madhe se shuma e masave të

grimcave që lindin nga zbërthimi.

Në Q-sistemin e referimit, grimcat që lindin nga zbërthimi lëvizin me shpejtësi të

kundërta dhe në madhësitë përkatëse :

2

0

20

1

0

10 dhe m

pv

m

pv (IV.1.4)

Indeksin 0 e kemi përdorur për të treguar se madhësitë janë në Q-sistemin e referimit.

E shqyrtojmë tani procesin në sistemin e referimit, siç thuhet, laboratorik (ose L-

sistemi i referimit) ku grimca që zbërthehet lëviz me shpejtësi V . Le të jetë v

shpejtësia e njerës prej grimcave që lindin nga zbërthimi (nuk po shënojmë indeks 1

ose 2 sepse arsyetimi është i njëjtë për secilën nga grimcat) në L-sistemin e referimit.

Nga relacioni vektorial :

v = V + v0 ose v0 = v – V

gjejmë :

v02 = v

2 - 2 v V cos + V

2 (IV.1.5)

ku është këndi midis shpejtësive V dhe v në L-sistemin e referimit, ose siç quhet

këndi i fluturimit të njërës grimcë në L-sistemin. Këndi analog i tij në Q-sistemin e

referimit është 0 . Ky barazim jep varësinë e shpejtësisë që merr njera nga grimcat në

funksion të këndit të fluturimit.

Procesi i zbërthimit mund të paraqitet me anë të një diagrame si në figurën IV.1.

Vizatohet rrethi me rreze v0 – sa shpejtësia e njerës nga grimcat që lindin nga

zbërthimi në Q-sistemin e referimit (v10 ose v20). Vizatohet edhe vektori V (shpejtësia

e grimcës që

zbërthehet në

L-sistemin e

referimit, pra

shpejtësia e

qendrës së

masës së

sistemit të

grimcave që

lindin nga

zbërthimi), fundi i të cilit është në qendrën e rrethit. Vektori v0 ka një drejtim të rastit

sipas OC (për akte të ndryshme zbërthimi të të njëjtave grimca, ky drejtim është i

ndryshëm, pra pika C merr pozicione të ndryshme në rreth). Ky drejtim formon me

drejtimin e V këndin 0 që është këndi i fluturimit në Q-sistemin e referimit. Vlera e

tij përcaktohet nga gjendja e brendshme e grimcës që zbërthehet, siç është vendosja e

pjesëzave që e përbëjnë atë dhe konsiderohet se merr vlera të rastit për grimca të

ndryshme identike që zbërthehen. Vektori i shpejtësisë së grimcës që lind nga

zbërthimi në L-sistemin e referimit është v = dhe formon me drejtimin e V këndin

e fluturimit në L-sistemin e referimit. Siç duket nga figura ka dy raste: a) kur vlera

C

A O

0

v

v0

V

C C’

A

v

V 0

ma

x

v0

O

a) b) Fig. IV.1.1

71

e shpejtësië V është V < v0 (pika A bie brenda rrethit) dhe rasti b) kur V > v0 (pika A

bie jashtë rrethit). Siç duket nga figura për rastin a) grimca që lind nga zbërthimi

mund të fluturojë në çfardo këndi nga [0, 2 ] ndërsa në rastin b) ky kënd merr vlera

nga 0 deri në max , ku këndi max përcaktohet nga relacioni :

sin max= v0/V (IV.1.6)

Duke parë diagramën e figurës (IV.1.1) mund të gjejmë lidhjen midis këndeve të

fluturimit në Q-sistemin e referimit ( 0) dhe në L-sistemin e referimit ( ). Nga figura

duket se:

00

00

cos

sintan

vV

v (IV.1.7)

Nga ky barazim mund të shprehim këndin 0 në funksion të këndit . Pas disa

veprimesh thjeshta (shprehet sin 0 në funksion të cos 0, ngrihet në katror barazimi

dhe del një ekuacion i gradës së dytë për cos 0 ) , gjejmë:

2

2

0

22

0

0 sin1cossincosv

V

v

V (IV.1.8)

Në këtë shprehje, për rastin kur V < v0 (rasti a) i fig. IV.1) duhet zgjedhur vetëm

njera nga shenjat sepse lidhja midis dhe 0 është univoke (çdo vlere 0 i

përgjigjet vetëm nje vlerë ).. Zgjidhet pikerisht shenja + para rrënjës katrore në

shprehjen (IV.1.8) në mënyrë që të kemi 0 = 0 kur = 0 (shih fig. IV.1 a)) . Ndërsa

në rastin kur V > v0 , lidhja midis dhe 0 nuk është univoke (çdo vlere i

përgjigjen dy vlera të 0 , shih fig. IV.1 b)), prandaj në shprehjen (IV.1.8) duhen

marrë të dyja shenjat + dhe - .

E njëjta diagramë mund të shërbejë edhe për grimcën e dytë që lind nga zbërthimi.

Kjo grimcë do të kishte një shpejtësi v20 në Q-sistemin e referimit, e cila në madhësi

mund të jetë e ndryshme nga v10, por drejtimi i saj është i kundërt. Pra, shpejtësia e

grimcës së dytë në Q-sistemin e referimit, do të paraqitej në kahe të kundërt me

vektorin OC dhe rrethi për këtë grimcë do ishte me rreze më të madhe ose më të vogël

(sipas raportit të masave të dy grimcave që lindin nga zbërthimi). Shpejtësia e

grimcës së dytë në L-sistemin e referimit do paraqitej nga vektori AC’’ (C’’ do ishte

skaji i vektorit v20) dhe këndi i fluturimit do ishte 2 midis drejtimit të kësaj

shpejtësie dhe shpejtësisë V. Këndi midis dy drejtimeve të lëvizjes së dy grimcave në

L-sistemin e referimit është = 1 + 2 .

Në praktikë ndodh që zbërthehet jo një grimcë e vetme, por shumë grimca identike,

që formojnë një tufë grimcash të njëjta të cilat lëvizin me të njëjtën shpejtësi V në L-

sistemin e referimit. Supozohet se strukturat e brendshme të grimcave identike kanë

orientim të ndryshëm në hapësirë dhe për një numër të madh grimcash këto orientime

janë kaotike, pra ka një shpërndarje izotrope sipas drejtimeve. Atëhere grimcat e një

lloji që lindin nga zbërthimet e shumë grimcave identike (me supozimin se çdo

grimcë “coptohet” në dy) do të shpërndahen sipas drejtimeve të fluturimit në Q-

sistemin e referimit (sipas këndeve 0) në mënyrë izotrope. Dmth, numri i grimcave

72

që fluturojnë në brenda këndit të ngurtë elementar d 0 është proporcional me

madhësinë e këtij këndi ose pjesa e grimcave (raporti midis numrit të grimcave dN me

numrin total të grimcave N) që fluturojnë në këndin e ngurtë d 0 , është 4

0d , ku

4 është këndi i ngurtë që sheh të gjithë hapësirën. Duke ditur lidhjen midis këndit

elementar në plan d 0 dhe këndit hapësinor elementar d 0 që merret nga rrotullimi i

këndit në plan d 0 rreth drejtimit 0 = 0: d 0 = 2π sin 0 d 0 , del se pjesa e

grimcave që fluturojnë në intervalin e këndeve ( 0, + d 0 ) në plan është :

00sin

2

1d

N

dN (IV.1.9)

Kjo jep shpërndarjen e grimcave që lindin nga zbërthimi sipas drejtimeve të

fluturimit në Q-sistemin e referimit e cila është një shpërndarje izotrope. Ndërsa

shpërndarja sipas drejtimeve të fluturimit në L-sistemin e referimit rezulton që nuk

është izotrope. Kjo shpërndarje gjendet nga shprehja (IV.1.9) duke zevendësuar në të

lidhjen (IV.1.8) midis këndeve 0 e . Sigurisht gjatë diferencimit të funksionit

cos 0 duhet marrë vlera absolute e derivatit të shprehjes në anën e djathtë (IV.1.3). Në

rastet kur kemi dy varësi cos 01 dhe cos 02 (kur merren të dyja shenjat , pra kur

V>v0) atëhere shpërndarja në L-sistemin e referimit do jepet si shuma qoftë e pjesëve

të grimcave që fluturojnë në intervalin d 0 kur 0 merret sipas varësisë me shenjë +

qoftë të atyre që fluturojnë në intervalin d 0 kur 0 merret sipas varësisë me shenjë -

: |cos||cos|2

12010 dd

N

dN (IV.1.10)

Mund të gjendet shpërndarja e grimcave jo vetëm sipas drejtimeve të lëvizjes, por

edhe p.sh. sipas vlerave të energjisë që ato kanë në L-sistemin e referimit, e cila del

një shpërndarje homogjene (që nuk varet nga vlera e energjisë, por është

proporcionale me gjerësinë e intervalit të energjisë dE) midis vlerës maksimale [Emax

= m(v0+V)2/2 ] dhe minimale [Emin = m(v0-V)

2/2].

Rastet më të ndërlikuara kur grimca që zbërthehet “coptohet” në më shumë se dy

grimca është vështirë të studiohen, por mund të themi se zbërthimi ndodh kur masa e

grimcës që zbërthehet është më e madhe se shuma e masave të të gjitha grimcave që

lindin nga zbërthimi. Po ashtu mund të nxjerrim ndonjë përfundim mbi kufijtë e

energjisë që mund të marrë secila nga grimcat që lindin nga zbërthimi.

IV.2 Goditjet elastike

Goditjet janë procese të tilla ku trupat bashkëveprojnë vetëm gjatë një intervali të

shkurtër kohe. Prandaj, ato mund të ndahen në tri faza: faza e parë është lëvizja e

trupave para bashkëveprimit, faza e dytë është gjatë bashkëveprimit dhe faza e tretë

është lëvizja e trupave pas bashkëveprimit (goditjes). Në fazën e parë e të tretë trupat

lëvizin pa u ndikuar nga njeri tjetri. Pa e njohur ligjin e bashkëveprimit gjatë goditjes

(gjatë fazës së dytë), duke zbatuar ligjet e ruajtjes, mund të nxjerrim një sërë

73

rrjedhimesh për lëvizjen e trupave pas goditjes kur e njohim lëvizjen e tyre para

goditjes.

Do të shqyrtojmë kryesisht goditjet elastike, që janë goditje që nuk shoqërohen

me ndryshime të gjendjes së brendshme të trupave pas goditjes. Pra, gjatë zbatimit të

ligjit të ruajtjes së energjisë, energjinë e brendshme të trupave mund ta konsiderojmë

konstante dhe të barazojmë energjinë kinetike të trupave para goditjes me energjinë

kinetike të tyre mbas goditjes. Goditjet janë jo-elastike kur shoqërohen me ndyshime

të energjisë së brendshme të trupave pas goditjes, pra një pjesë e energjisë kinetike

shndërrohet në energji të brendshme të trupave që goditen. Goditja konsiderohet

absolutisht jo-elastike kur trupat mbas goditjes ngjiten me njeri tjetrin dhe mbas

goditjes lëvizin si një trup i vetëm. Qoftë për goditjet elastike qoftë për ato joelastike

mund të zbatohet ligji i ruajtjes së impulsit, duke konsideruar sistemin e trupave që

goditen si një sistem të mbyllur. Ndërsa energjia e plotë kinetike ruhet vetëm gjatë

goditjeve elastike.

Ne do të shqyrtojmë më hollësisht goditjen elastike të dy trupave. Fillimisht do ta

studiojmë atë në Q-sistemin e referimit. Shpejtësitë e trupave në këtë sistem, para

goditjes janë (shih paragrafin III.2) përkatësisht v10 dhe v20:

2 110 20

1 2 1 2

, , ku - 1 2v v v v v v vm m

m m m m

1 (IV.2.1)

ku m1 dhe m2 janë masat përkatëse të trupave, v1 dhe v2 janë shpejtësitë e tyre para

goditjes në L-sistemin e referimit, v është shpejtësia relative e trupave ndaj njeri

tjetrit. Në bazë të ligjit të ruajtjes së impulsit, impulset e trupave janë të barabartë në

madhësi e të kundërta në kahe si para goditjes ashtu edhe pas goditjes në Q-sistemin e

referimit (impulsi total i sistemit në këtë sistem referimi është zero):

p10 = - p20 dhe p’10 = - p’20

Duke zbatuar edhe ligjin e ruajtjes së energjisë kinetike:

p102 / (2m1) + p20

2 / (2m2) = p’10

2 / (2m1) + p’20

2 / (2m2)

para e pas goditjes, rezulton që madhësia e impulsit të

secilit trup në Q-sistemin e referimit është e njëjtë si para

goditjes edhe pas goditjes dhe këto madhësi janë të njëjta

me njëra-tjetrën:

p10 = p’10 = p20 = p’20 = p0

Po kështu mund të themi se madhësia e shpejtësisë të

secilit trup në Q-sistemin e referimit është e njejtë si para

edhe pas goditjes, por mund të mos jenë të njëjta për trupat

e ndryshëm:

v10 = v’10 = p0/m1 dhe v20 = v’20 = p0/m2

1 Kujtojmë se rrezet vektore të dy trupave ndaj qendrës së masës janë përkatësisht (shih

formulën (III.2.2)):

21 rrr r r dhe rr kur21

1'

2

21

2'

1mm

m

mm

m

v’10

V10

v20

v‘20

n0

Fig. IV.2.1

74

Ndërsa kahet e shpejtësive të dy trupave do të jënë të kundërta me njera-tjetrën, ashtu

siç ishin para goditjes. Por mund të mos jenë më në drejtimin që kishin para goditjes.

Pra, tabloja e goditjes elastike në Q-sistemin e referimit është e thjeshtë, rezultat i

vetëm i goditjes është thjeshtë një rrotullim i drejtimit të përbashkët të shpejtësive

(kahet i kanë të kundërta) me një farë këndi (shih fig. IV.2.1), i cili quhet edhe

këndi i goditjes (devijimit) në sistemin e referimit të qendrës së inercisë. Po ta

shënojmë n0 vektorin njësi të drejtimit të shpëjtësisë së trupit 1, pas goditjes, atëhere

shpejtësitë përkatëse të trupave, pas goditjes në Q-sistemin e referimit janë :

2 10 0

1 2 1 2

, , ,10 20v n v n

m mv v

m m m m (IV.2.2)

Për të gjetur shpejtësitë e trupave në sistemin e referimit laboratorik, ku qendra e

masës e sistemit të trupave lëviz, duhet t’u shtojmë këtyre shpejtësive, shpejtësinë e

qendrës së masës e cila është:

21

2211

mm

mm vvV (IV.2.3)

Kështu që shpejtësitë e trupave pas goditjes, do të shprehen në lidhje me

shpejtësitë e trupave para goditjes (në L-sistemin ereferimit), sipas formulave:

21

2211

0

21

1

21

2211

0

21

2

mm

mmv

mm

m

mm

mmv

mm

m

vvn v

vvn v

'

2

'

1

(IV.2.4)

ku v = | v1 - v2| është shpejtësia relative para goditjes. Këtu duket se gjithçka

përcaktohet nëse njihet drejtimi i vektorit njësi n0 ose këndi i devijimit në Q-

sistemin e referimit. Kjo madhësi varet si nga ligji i bashkëveprimit gjatë goditjes,

ashtu edhe nga orientimi reciprok i trupave gjatë goditjes (drejtimi i shpejtësive në

lidhje me vijën që bashkon dy trupat, kur ata konsiderohen si pikësorë). Duke

shumëzuar barazimet e mësipërme me masat përkatëse të trupave, gjejmë shprehjet e

impulseve të trupave pas goditjes në funksion të impulseve para goditjes në L-

sistemin e referimit:

21

21

2

0

21

21

1

0

ppn p

ppn p

'

2

'

1

mm

mv

mm

mv

(IV.2.5)

ku = m1 m2/(m1+m2) – është masa e reduktuar e sistemit të dy trupave. Këtë rezultat

ne mund ta paraqesim me anë të një diagrame vektoriale, që quhet diagrama e

goditjes.

Vizatohet një rreth me rreze v (shih fig. IV.2.2) dhe qendër në pikën O. Le të

jetë vektori n0 i drejtuar sipas OC në figurë. Kuptohet se për akte të ndryshme

75

goditjeje (drejtime të ndryshme të n0 , ose vlera të ndryshme të këndit ) të po atyre

trupave, pika C ze pozicione të ndryshme në rreth. Sipas drejtimit të shpejtësisë së

qendrës së masës V, vizatojmë dy vektorët:

21

21

2

21

21

1

pp

pp

mm

mOB

mm

mAO

(IV.2.6)

Ku duket se shuma e të dy vektorëve (vektori AB)

jep impulsin e sistemit të dy trupave P= p1+p2 =

(m1+m2) V, i cili do të jetë po kaq si para goditjes

edhe pas goditjes. Vektori që bashkon pikën O me

pikën C paraqet impulsin e trupit të parë pas

goditjes p’1 (sipas shprehjes IV.2.5) . Ndërsa

vektori që bashkon pikën C me pikën B paraqet

impulsin e trupit të dytë pas goditjes p’2 (sipas

shprehjes IV.2.5). Këto vektorë përcaktojnë edhe

shpejtësitë përkatëse pas goditjes. Prandaj, këndet

që formojnë këta vektorë me drejtimin e V (vektori

AB) që janë shënuar 1 dhe 2 në figurë, janë

këndet përkatëse të devijimit të trupave ndaj

drejtimit të shpejtësisë së qendrës së masës në L-sistemin e referimit. Ndërsa është

këndi i devijimit (goditjes) në Q-sistemin e referimit.

Le të shqyrtojmë rastin kur njeri nga trupat (grimcat) është në prehje para goditjes

në L-sistemin e referimit, psh trupi 2 është në prehje, atëhere v2 = 0 dhe shpejtësia

relative bëhet v = v1 ; impulsi rezultant është sa impulsi i grimcës së parë para

goditjes: P = p1 , ndërsa vektori OB bëhet me gjatësi m2 p1/(m1+m2) = v , pra bëhet

sa gjatësia e rrezes së rrethit dhe pika B bie në rreth (Fig. IV.2.3).

Këtu do dallojmë dy rastet: rasti kur m1 < m2 (kujtojmë se sipas shprehjeve IV.2.6,

raporti AO/OB = m1/m2) ose pika A bie brenda rrethit (rasti a) në figurën IV.2.3) dhe

C

A O

B

p’1 p’2

1 2

a)

1

C

A O B

p’1

p’2

2 max

b)

Fig. IV.2.3

C’

m1<m2

m1>m2

C

A B O

n0

p’1

p’2

1 2

Fig. IV. 2.2

76

rasti kur m1 > m2 ose kur pika A bie jashtë rrethit (rasti b) në figurën IV.2.3). Në

rastin e dytë këndi i devijimit të trupit të parë 1 në L-sistemin e referimit merr vlera

nga zero deri në max (shih fig. IV.2.3) që përcaktohet nga drejtimi tangent me rrethin

AC’ .

Nga diagrama vektoriale e goditjes (fig. IV.2.2 dhe IV.2.3) mund të gjendet lidhja

midis këndeve të devijimit në L-sistemin e referimit 1 dhe 2 me këndin e devijimit

(goditjes) χ në Q-sistemin e referimit. Nga figura IV.2.3, duket se :

21 2

1 2

sin sin sintan ;

cos cos 2cos

OC m

AOAO OC m m

OC

(IV.2.7)

Po nga figura duket se :

(p’1) 2 = AO

2 + OC

2 + 2 AO OC cos dhe (p’2)

2 = 2 OC sin( /2)

që nga nxjerrim shprehjet e shpejtësive pas goditjes:

2 21 2 1 2' ' 1

1 2

1 2 1 2

2 cos 2 dhe sin

2

m m m m mv v v v

m m m m (IV.2.8)

Këndi midis drejtimeve të lëvizjes të trupave pas goditjes në L-sistemin e referimit

(këndi midis AC dhe CB) , siç duket nga figura është i barabartë me shumën e

këndeve 1 dhe 2 , pra = 1 + 2, që quhet edhe këndi i hapjes. Këndi i hapjes

merr vlera > /2 kur m1 < m2 dhe < /2 kur m1 > m2 .

Në rastin kur të dy trupat pas goditjes lëvizin në të njëjtin drejtim (goditja

“ballore”) i përgjigjet vlerës së këndit të goditjes = , d.m.th. pika C është mbi

diametër: majtas pikës A (rasti a) i fig. IV.2.3) dhe shpejtësitë e trupave pas goditjes

janë në kahe të kundërta ose midis pikave A dhe O (rasti b) i fig. IV.2.3) dhe

shpejtësitë e trupave pas goditjes janë në një kahe. Në rastin e goditjes “ballore”,

shpejtësitë e trupave pas goditjes janë:

2

dhe 21

1

21

21 vvvv'

2

'

1mm

m

mm

mm (IV.2.9)

ku shpejtësia e trupit të dytë ka vlerën më të madhe sipas shprehjes (IV.2.8) ku sin

=1 , prandaj në këtë rast trupi që ishte në prehje para goditjes, merr energjinë

maksimale :

1

21

21

2

max22'

max2

4

2E

mm

mmvmE (IV.2.10)

ku E1 = m1 v12/2 është energjia fillestare e trupit që lëvizte para goditjes. Për m1 < m2,

shpejtësia e trupit të parë pas goditjes mund të marrë çdo drejtim. Ndërsa kur m1 >

m2, këndi i devijimit të trupit të parë nuk e kalon vlerën 1max , i cili përcaktohet (shih

fig. IV.2.3 b) :

1

2

max1sinm

m

OA

OC (IV.2.11)

77

Në rastin akoma më të veçantë kur m1 = m2 , jo vetëm pika B bie në rreth, por edhe

pika A bie në rreth (fig.IV.2.4). Në këtë rast, nga figura IV.2.4 , del se :

1 2 dhe 2 2

(IV.2.12)

Në këtë rast masa e reduktuar del = m1/2 dhe

shpejtësitë e trupave pas goditjes, në bazë të

(IV.2.8) dalin :

2sin dhe

2cos '

2'1 vvvv (IV.2.13)

Pra, në këtë rast = 1 + 2 = /2, dmth trupat pas

goditjes lëvizin në drejtime pingul me njeri tjetrin.

IV. 3 Shpërhapja e grimcave

Siç u tregua në paragrafin e mëparshëm, rezultati i goditjes së dy grimcave

përcaktohet plotësisht nëse njohim këndin e goditjes në Q-sistemin e referimit. Për

të gjetur vlerën e këtij këndi duhen integruar ekuacionet e lëvizjes duke marrë

parasysh ligjin konkret të bashkëveprimit të grimcave gjatë goditjes, kur grimcat

bashkëveprojnë.

Le ta zemë se grimcat bashkëveprojnë me një bashkëveprim qendror. Pra, energjia

potenciale e bashkveprimit varet vetëm nga largësia midis grimcave : U(r). Siç kemi

treguar, problemi sillet në lëvizjen në fushën qendrore U(r) të një grimcve me masë ,

që është masa e reduktuar e sistemit të dy trupave, në sistemin e referimit të qendrës

së masës (Q-sistemi). Prandaj, do të shqyrtojmë tani devijimin e një grimce në fushë

qendrore U(r), duke

konsideruar se

qendra e fushë (r = 0)

është në prehje në Q-

sistemin e referimit.

Siç kemi treguar,

trajektorja e grimcës

në fushë qendrore

është simetrike ndaj

drejtimit që bashkon

qendrën e fushës me

pikat e kthimit (pikat

ku r = 0). Në figurën

IV.3.1, është treguar

një trajektore e tillë,

ku fusha qendrore

është shtytëse. Trajektorja shtrihet në planin e figurës, drejtimi për në pikën e kthimit

A

C p’2 p’1

11

B O

2

Fig. IV.2.4

O

0

0

v

A

0

Fig. IV.3.1

B

78

është OA dhe trajektorja është simetrike ndaj këtij drejtimi. Prandaj të dy asimtodat e

trajektores Priten nga kjo drejtëz në kënde të njëjtë 0 (shih fig. IV.3.1).

Shpejtësia e grimcës me masë kur ajo është larg qendrës së fushës (r= ) është

v dhe drejtimi i saj është i zhvendosur ndaj drejtimit nga ku matet këndi polar ,

me madhësinë , që quhet parametër i goditjes. P.sh., për goditjen ballore, ky

parametër është zero. Këndi midis drejtimeve të shpejtësisë para goditjes dhe pas

goditjes, siç duket nga figura është :

= - 2 0 (IV.3.1)

Pra, këndi i goditjes përcaktohet nga ndryshimi i këndit polar 0 midis pozicioneve

kur grimca është në infinit (r = ) dhe pozicionit kur grimca është në pikën e kthimit

(r = rmin). Siç kemi treguar tek lëvizja në fushën qendrore (paragrafi III.3), ky

ndryshim i këndit polar, jepet:

0

min

∞ 2

2r

2

Mdr

r=M

2μ E -U(r)-2μ r

(IV.3.2)

ku kufiri i poshtëm i integrimit rmin që është pika e kthimit përcaktohet nga barazimi

me zero i kllapës nën rrënjën katrore, ose nga barazimi i energjisë së plotë me

energjinë potenciale efektive: E = Uef(r) = U(r) + M/(2 r2) , ku M është momenti i

impulsit të grimcës, e cila është një integral lëvizjeje për lëvizjen në fushë qendrore.

Zakonisht, në vend të integraleve të lëvizjes në fushën qendrore, që janë energjia dhe

momenti i impulsit do të përdorim dy madhësi të tjera që janë: shpejtësia në infinit v

dhe parametri i goditjes . Këto madhësi lidhen me E dhe M me relacionet:

2

(IV.3.3)2

dhe v

E M v (IV.3.4)

Këto relacione janë të qarta, po të llogariten energjia e plotë dhe momenti i impulsit

kur grimca është në infinitet larg nga qendra e fushës (nga figura duket se është

krahu u vektorit të shpejtësisë ndaj qendrës së fushës). Duke zevendësuar këto

relacione në shprehjen (IV.3.2), pas thjeshtimeve të nevojëshme (konkretisht pjestimit

të numëruesit dhe emëruesit të thyesës në integral me v ), ajo kthehet në trajtën:

min

22

2

2

0

)(21

r

v

rU

r

drr

(IV.3.5)

ku rmin përcaktohet duke barazuar me zero shprehjen nën rrënjën katrore.

Duket se këndi i goditjes përcaktohet plotësisht nëse njohim potencialin e

fushës (funksionin U(r)) dhe parametrat dhe v .

79

Në praktikë kemi të bëjmë jo me devijimin e një grimce të vetme, por devijimin e

një fluksi (tufë) grimcash të njëjta që bien në një fushë qendrore. Në fakt mund të jenë

shumë qendra fushash, kur fluksi i grimca bie mbi një bashkësi grimcash të tjera që

janë në prehje. Ky proces i devijimit të grimcave quhet shpërhapje e grimcave.

Grimcat e ndryshme të tufës, pavarësisht se kanë të njëjtën shpejtësi (energji), kanë

parametër goditjeje të ndryshëm. Prandaj, ato devijojnë në kënde të ndryshëm .

Fluksi i grimcave karakterizohet nga densiteti i tufës n , që është numri i grimcave që

kalojnë në njësinë e kohës në njësinë e sipërfaqes së seksionit tërthor të tufës, Po të

shënojmë dN numrin e grimcave që shpërhapen (devijojnë) në njësinë e kohës në

intervalin elementar të këndeve ( , +d ), atëhere raporti:

n

dNd (IV.3.6)

quhet seksion efektiv diferencial i shpërhapjes. Ai ka përmasat e sipërfaqes

(zakonisht cm2 ose nënfisha të tij) dhe është madhësi karakteristike që karakterizon jo

vetëm një shpërhapje klasike grimacash, por edhe reaksionet e ndryshme të

thërmijave elementare. Kuptohet se seksioni efektiv i plotë i shpërhapjes do jepej si

integrali sipas të gjithë këndeve të mundshëm të shpërhapjes :

d (IV.3.7)

Seksioni efektiv i shpërhapjes përcaktohet plotësisht nëse njihet trajta e fushës

qendrore U(r). Në përgjithësi këndi i shpërhapjes (devijimit), është një funksion

monoton zbritës i parametrit të goditjes, psh në rastin e shembullit të figurës sa më

larg qendrës së fushës të bjerë grimca në fushë aq më pak do të devijojë ajo nga

drejtimi fillestar. Prandaj, në intervalin e këndeve ( , +d ) do të shpërhapen

vetëm ato grimca që kanë parametër goditje në intervalin ( , +d ) , ku funksioni

( ) është monoton zbritës. Numri i grimcave të tufës rënëse që kalojnë në njësinë e

kohës nëpër seksionin unazor midis rrathëve me rreze dhe +d (imagjinoni sikur

figura IV.3.1 të rrotullohet rreth drejtimit OB) do jetë i barabartë me produktin e

densitetin e tufës n me siparfaqen e seksionit unazor:

dN = 2 d n (IV.3.8)

Duke pjestuar me densitetin e fluksit të grimcave, gjendet seksioni efektiv diferencial:

d = 2 d (IV.3.9)

Për të gjetur varësinë e seksionit efektiv diferencial nga këndi i shpërhapjes e

rishkruajmë (IV.3.9), në trajtën:

dd

dd )(2 (IV.3.10)

Merret vlera absolute e derivatit, sepse vetë derivati është negativ (meqë funksioni

( ) është monoton zbritës) ndërsa seksioni efektiv i shpërhapjes pranohet pozitiv.

Shpesh seksioni efektiv diferencial shprehet jo për këndin në plan d , por për

këndin hapsinor d , i cili është këndi i ngurtë midis koneve me hapje dhe + d

(kujtojmë simetrinë e figurës IV.3.1 ndaj rrotullimit rreth boshtit që kalon nga mesi i

80

tufës për në qendër të fushës, drejtimi OB). Lidhja midis këndit të ngurtë dhe këndit

në plan është :

d = 2 sin d

Duke zevendësuar këtë relacion në barazimin (IV.3.10), gjejmë:

dd

dd

sin

)( (IV.3.11)

Ky barazim si edhe barazimi (IV.3.10) shpreh varësinë e seksionit efektiv diferencial

nga këndi i shpërhapjes (devijimit ) në Q - sistemin e referimit. Për të gjetur varësinë

e d nga këndi i shpërhapjes (devijimit) në sistemin e referimit laboratorik duhet

zevendësuar në këto barazime këndi si edhe diferenciali i tij në funksion të këndit

1 për grimcat e lloit 1 dhe në funksion të 2 për grimcat e lloit 2 sipas barazimeve

(IV.2.7). Gjendet kështu seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes të grimcave rënës

(lloi 1) dhe grimcave (lloi 2) që preheshin para shpërhapjes. Realisht tufa e grimcave

rënëse nuk shpërhapet nga një qendër e vetme forcash, por nga grimca të tjera që

fillimisht preheshin, kështu që flitet si për shpërhapjen e grimcave rënëse ashtu edhe

për shpërhapje të grimcave që preheshin.

IV. 4 . Formula e Radhërford-it

Le ta zbatojmë teorinë e mësipërme të shpërhapjes së grimcave për një rast

konkret fushe qendrore siç është fusha kuloniane. Pra, do konsiderojmë që

bashkëveprimi i grimcave gjatë goditjes ka potencial të formës: U(r) = /r , ku

është një konstante pozitive (fusha qendrore shtytëse) dhe r është largësia midis

grimcave. E zevendësojmë këtë potencial tek integrali (IV.3.5):

min

22

2

2

0

21

r

rvr

drr

(IV.4.1)

E transformojmë këtë integral për ta kthyer në një formë të njohur nga tabela e

integraleve të njohur. Duke shtuar terma konstantë nën shenjën e diferencialit dhe

duke shndruar shprehjen në rrënjë katrore në trajtën a2 - x

2:

min min

2

02 2

2

2 22 4 2 2

21 1

r r

ddrvr

r v r rv v

81

ku duket se x = /( v2

) + / r dhe a2 = 1 + [ /( v

2)]

2 . Nga tabela e

integraleve del se primitiva e këtij integrali është arccos(x/a). Për të gjetur vlerën e

integralit të caktuar, duhet ditur edhe vlera e r në pikën e kthimit rmin. Kjo vlerë

gjendet duke barazuar me zero shprehjen nën rrënjë katrore tek integrali (IV.4.1):

2

22min

22

2

1 : del nga qe 02

1vvrrvr

ku në zgjidhjen e ekuacionit të rendit të dytë për / r kemi marrë vetëm njërën

zgjidhje, atë pozitive (atë me + para rrënjës katrore) sepse madhësia / r është

pozitive. Duke zevendësuar tek primitiva e integralit të mësipërm, vlerat e kufinjve të

integrimit, kemi:

)1arccos(

1

arccos

1

arccos2

2

2

min

2

2

2

0

v

v

rv

rv

Meqensëse arccos(1)=0 , integrali del :

2 2

0 02 2

2 2

arccos ose cos

1 1

v v

v v

(IV.4.2)

Nga lidhja midis funksioneve trigonometrike:

02

00

cot1

cotcos del se

funksioni kotangent i këndit 0 është:

20cot

v (IV.4.3)

Nga ky barazim nxjerrim varësinë e parametrit të goditjes nga këndi 0 ose nga këndi

i devijimit i cili lidhet me këndin 0 me relacionin (IV.3.1) : 0 = /2 - /2 :

2 2

2 2 2 202 2

tan ose cot ( /2) v v

(IV.4.4)

Për të gjetur seksionin efektiv diferencial (sipas ek. IV.3.9) diferencojmë barazimin

(IV.4.4):

82

2)2/(sin

1

)2/sin(

)2/cos(2

2

2

d

vd

dhe zevendësojmë në ek. (IV.3.9):

dv

d)2/(sin

)2/cos(3

2

2 (IV.4.5)

ose duke zevendësuar lidhjen midis këndit në plan dhe këndit të ngurtë d =

2 sin d = 4 sin( /2) cos( /2) d , gjejmë:

)2/(sin4

14

2

2

d

vd (IV.4.6)

Kjo njihet si formula e Radhërford-it. Siç dihet, në eksperimentet e Radhërford-it

bombardoheshin bërthama të elementeve të rëndë me thërmija (bërthama heliumi

24He). Duke konsideruar bërthamën të ngarkuar pozitivisht me ngarkesë Z e ,

bashkëveprimi kulonian i grimcave me bërthamën do të kishte potencial U(r) =

2 Z e2/(4 0 r). Pra, konstantja do të ishte gjithë koeficienti para 1/r : =

2 Z e2/(4 0). Para se të zbatohet formula e Ruthherford-it për eksperimentet e tij,

duhet të kemi parasysh që seksioni efektiv (IV.4.6) është shprehur në Q-sistemin e

referimit dhe duhet shprehur ai për L-sistemin e referimit, në bazë të lidhjes midis

këndeve të devijimit në Q-sistemin e referemit dhe L-sistemin e referimit (IV.2.7):

2

dhe cos

sintan 2

21

21

mm

m

Zevendësimi i këtyre relacioneve në barazimet (IV.4.5) ose (IV.4.6), në përgjithësi

jep rezultaltate jo të thjeshta për t’u interpretuar. Por në rastin e eksperimenteve të

Radhërford-it, ne mund të konsiderojmë se masa e grimcave që godasin është shumë

më e vogël se masa e grimcave që goditen m1 << m2 dhe rezultati që merret në këtë

përafrim është më i thjeshtë. Në këtë rast, masa e reduktuar del afërsisht sa msa e

grimcave rënëse m1 (nga relacioni 1/ = 1/m1 + 1/m2 ). Ndërsa, nga relacionet e

mësipërme (IV.2.7), në këtë përafrim, kemi tan 1 tan ose 1 . Kështu që në

këtë përafrim seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes së grimcave rënëse në

sistemin e referimit laboratorik, nga (IV.4.6) del :

2 2

1 1

2 4 41 1 1

1

4 4sin ( / 2) sin ( / 2)

d dd

Em v

(IV.4.7)

ku E = m1 v2

/2 është energjia e grimcave rënëse. Pikërisht ky rezultat mund të

zbatohej për eksperimentet e Radhërford-it. Në këto eksperimente duke numëruar

grimcat që devijonin në kënde të ndryshme (me anë të dedektorëve shintilues),

përcaktohej eksperimentalisht seksioni efektiv i shpërhapjes dhe duke e krahasuar

rezultatin eksperimental me atë që jepte formula (IV.4.7) mund të përcaktohej vlera e

83

konstantes , nga e cila mandej gjendej ngarkesa e bërthamave të shenjëzës ku

goditnin grimcat me energji të dhënë. Siç dihet, nga rezultatet e këtyre

eksperimenteve jo vetëm u provua prania e ngarkesës pozitive në bërthama, por u

përcaktua edhe madhësia e kësaj ngarkese për bërthama të ndryshme.

Një rast tjetër i përafrimit të formulës së Radhërford-it (IV.4.5) ose (IV.4.6)

është edhe rasti kur grimcat rënëse dhe grimcat që preheshin para shpërhapjes janë të

njëjta. Në këtë rast m1 = m2, prandaj masa e reduktuar del = m1/2, ndërsa lidhja

midis këndeve të shpërhapjes dhe 1 (IV.2.7) bëhet = 2 1 dhe 2 = /2 - 1.

Kështu që seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes i grimcave rënëse, nga formula

(IV.4.5) bëhet:

1

14

1

2

1

1

13

1

2

21

1sin

cos

sin

cos

2/2 d

Ed

vmd (IV.4.8)

ku E1

është energjia e grimcave rënëse. Në këtë rast nuk ka kuptim të dallohen

grimcat 1 (ato që godasin) nga grimcat 2 (ato që goditen) sepse edhe këto të dytat

duke u goditur shpërhapen dhe pas shpërhapjes nuk dallojnë nga gramcat 1. Prandaj

në këtë rast seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes merret duke mbledhur seksionet

d 1 dhe d 2. Duke shënuar 1 dhe 2 me vlerën e përbashkët , del seksioni efektiv

diferencial i shpërhapjes së grimcave :

dE

d coscos

1

sin

144

2

1

(IV.4.9)

Siç thamë, në raste të tjera kur nuk bëhen përafrime të tilla, pra kur grimcat që

godasin janë çfardo dhe grimcat që goditen janë çfardo rezultatet janë shumë të

komplikuara.

Ushtrime dhe problema

IV.1 Një grimcë e paqëndrushme me masë M zbërthehet në dy grimca me masa m1

e m2 duke çliruar energjinë .

a) Të përcaktohen energjitë kinetike të dy grimcave në Q – sistemin e referimit.

b) Grimca e paqëndrushme lëviz me energji kinetike T , në L- sistemin e referimit.

Të gjendet vlera maksimale dhe minimale e energjisë kinetike të grimcës m1 ,në L –

sistemin e referimit.

IV.2 Një grimcë që lëviz me shpejtësi vQ zbërthehet në dy grimca me masa m1 e m2,

duke çliruar energjinë . Të shprehen këndet e fluturimeve 01 e 02 në Q -

sistemin e referimit, në funksion të këndeve përkatës të fluturimit në L – sistemin e

referimit.

84

IV.3 Grimca që lëviz me shpejtësi vQ ndahet në dy grimca me masa m1 e m2, duke

çliruar energjinë .Të gjendet lidhja ndërmjet këndeve të fluturimit 1 e 2 në L –

sistemin e referimit.

IV.4 Të përcaktohet intervali i vlerave, që mund të marrë këndi midis drejtimeve të

fluturimit të dy grimcave që dalin nga zbërthimi i një grimce e cila lëviz me shpejtësi

vQ në L - sistemin e referimit. Ato lëvizin me shpejtësi v10 e v20 në Q – sistemin e

referimit.

IV.5 Një grimcë që lëviz me shpejtësi vQ ndahet në dy grimca të njejta. Zbërthimi në

Q - sistemin e referimit është izotrop, shpejtësia e grimcave të zbërthimit në Q -

sistemin e referimit është v0. Të përcaktohet shpërndarja e grimcave të zbërthimit

sipas drejtimeve të fluturimit në L – sistemin e referimit.

IV.6 Të gjendet shpërndarja e e grimcave të zbërthimit sipas energjive kinetike, në L

–sistemin. Shpejtësia e grimcave të zbërthimit në Q – sistemin është v0 , masa e tyre

është m dhe shpejtësia e grimcave që zbërthehen është VQ . Zbërthimi në Q – sistemin

është izotrop.

IV.7 Një grimcë që lëviz me shpejtësi VQ ndahet në dy grimca të njëjta. Zbërthimi në

Q – sistemin është izotrop, shpejtësia e grimcave të zbërthimit në Q – sistemin është

v0 . Të përcaktohet shpërndarja e grimcave sipas këndit midis drejtimeve të fluturimit

të dy grimcave.

IV.8 Të gjendet shpërndarja e grimcave të zbërthimit sipas energjive kinetike T në L –

sistemin e referimit, në qoftëse në Q – sistemin e referimit shpërndarja sipas këndeve

ka trajtën: 00

2sin8

3d

N

dN, ku 0 –është këndi që formon shpejtësia v0 e

grimcës që del nga zbërthimi me shpejtësinë VQ të grimcës që zbërthehet, d është

këndi i ngurtë elementar.

IV.9. Dy grimca me masa përkatësisht 2m dhe m, lëvizin sipas të njëjtit drejtim me të

njëjtën shpejtësi v, por në kahe të kundërt dhe goditen në mënyrë elastike me njera

tjetrën. Gjeni shpejtësitë e tyre pas goditjes në Q-sistemin e referimit dhe në L-

sistemin e referimit. Goditja konsiderohet ballore ( = )

IV.10 Një top bilardoje godet në mënyrë elastike një tjetër identik, që ishte në prehje.

Provoni se këndi midis shpejtësive pas goditjes jo-ballore në L - sistemin e referimit

është 90 .

IV.11 Një grimcë me masë M godet në mënyrë elastike një grimcë me masë m që

ishte në prehje. Nëse M > m, provoni se këndi maksimal i devijimit të grimcës M në L

sistemin e referimit është arcsin(m / M).

85

IV.12 Një grimcë me masë m, që lëviz me shpejtësi v godet në mënyrë elastike një

grimcë me masë 2m, e cila është në prehje. Le të jenë v1 dhe v2 shpejtësitë respektive

të grimcave pas goditjes. Provoni se v2 është pingul me v2 + 2v1.

IV.13. Tri sfera elastike me masa përkatësisht 5m, m dhe 5m janë vendosur në një vijë

të drejtë mbi një tavolinë horizontale të pafundme. Në fillim sfera e mesit ka

shpejtësinë v0 të drejtuar sipas vijës që bashkon qendrat e sferave dhe sferat e tjera

janë në prehje. Të gjendet numri i goditjeve që pëson sfera e mesit në lëvizjen e

mëtejshme të saj dhe verifikohet që vlera përfundimtare e energjisë kinetike është e

njëjtë me atë fillestare.

IV.14 Dy topa bilardoje janë në kontakt me njëra tjetrën dhe qëndrojnë në prehje në

një tavolinë të lëmuar. Një top i tretë, i njëjtë me to, që lëviz me shpejtësi v, i godet të

dyja njëkohësisht. Goditja është elastike. Të gjenden shpejtësitë e të tri topave

menjëherë pas goditjes.

IV.15. Një grimcë me masë M, që lëviz në kahun pozitiv

të drejtimit X, godet në mënyrë elastike një grimcë me

masë m, që është në prehje. Goditja nuk është ballore,

prandaj pas goditjes grimcat lëvizn në drejtime të

ndryshme. është këndi që formon drejtimi i lëvizjes së

grimcës m me drejtimin X (shih fig. IV.14). Sa është vlera

e këtij këndi nëse grimca me masë m ka përbërsen e

shpejtësë sipas drejtimit Y me vlerën e mundëshme më të

madhe?

IV.16 Dy grimca me masa 4 m dhe m mund të lëvizin

lirisht gjatë boshtit OX. Ato bashkëveprojnë me njëra -

tjetrën me forca tërheqëse me madhësi k r , ku k është një konstante dhe r është

largësia midis dy grimcave. Në çastin t = 0 grimca me masë 4 m ndodhetnë pikën x =

5 a, ndërsa grimca me masë m në pikën x = 10 a. Të dy grimcat janë në prehje në

çastin t = 0 .a) Në cilën pikë goditen dy grimcat?

b) Sa është shpejtësia relative e grimcave në çastin e goditjes ?

c) Pas sa kohe ato do të goditen përsëri, në qoftëse goditja është elastike?

IV.17 Një neutron me masë m dhe shpejtësi v godet një atom me masë M, i cili

është në prehje. E zëmë se goditja është elastike, të provohet se shpejtësia maksimale

e atomit pas goditjes është V = 2 m v / ( M + m ).

IV.18 a) Të provohet që këndi midis dy drejtimeve të lëvizjes së grimcave pas

goditjes gjendet nga barazimi:

Fig. IV.15

86

)2/tan(cot21

21

mm

mm , ku m1 është masa e grimcës që lëviz para goditjes,

m2 është masa e grimcës që prehej para goditjes dhe është këndi i shmangies në Q –

sistemin e referimit. b) Të gjendet intervali i vlerave që merr këndi .

IV.19 Një proton godet në mënyrë elastike një bërthamë e cila është në prehje. Këndi

i shmangjes së protonit është 560 , kurse i bërthamës është 60

0 .Të gjendet raporti i

masës së bërthmës me masën e protonit, si dhe pjesa e energjisë kinetike që i

transmetohet bërthamës.

IV.20 Të gjendet seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes së sferave të lëmuara

joelastike nga sferat e njëjta me to, të cilat në

fillim preheshin.

IV.21 Të gjendet seksioni efektiv i

shpërhapjes së grimcave (pika materiale) nga

një sferë absolutisht e ngurtë me rreze a (Fig.

IV.21). Masa e grimcave është m1, masa e

sferës është m2. Shqyrtoni rastin kur m2 >>

m1.

Udhëzim: Në këtë rast ligji i bashkveprimir

është i tillë që U(r) = për r < a dhe U(r) = 0

për r > a.

IV.22 Grimcat me energji E shpërhapen në fushën qendrore me potencial U = 2r

,

ku është një konstante pozitive. Të gjendet këndi i shpërhapjes në varësi të

parametrit të goditjes . Të gjendet seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes.

IV.23. Grimcat me energji E shpërhapen në fushën, potenciali i të cilës ka formën e

“gropes potenciale” sferike me rreze a dhe thellësi U0 ( d.m.th. U = 0 për r > a dhe

U = U0 për r < a ). Të gjendet seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes.

IV.24 Një tufë grimcash godet një mur që përmban 2 1023

atome/cm3 .Çdo atom

sillet si një sferë e ngurtë me rreze 3 10-10

m. Të gjendet se deri ku depërton pa u

shmangur në mur gjysma e grimcave.

IV.25. Një sferë e ngurtë me rreze a, godet në mënyrë elastike një sferë tjetër të

njëjtë, e cila është në prehje. Të llogaritet probabiliteti që sfera e parë të shmanget në

kënde më të mëdhenj se 60 .

0

0

0

Fig. IV.21

87

IV.27 Të gjendet seksioni efektiv i rënies së grimcave me energji E në qendër të një

fushe forcash qendrore,potenciali i së cilës është :

a) U(r) = - 2r

; b) U(r)= - nr

, ku n > 2 dhe > 0 .

c) U(r) = 2rr

IV.28 Të gjendet seksioni efektiv i rënies së grimcës me energji E brenda një sferë

me rreze R, e cila ndodhet në qëndër të fushës me potencial:

U(r)= - nr

, ku n 2 .

IV. 29 Një grimcë me masë m lëviz në fushën qendrore tërheqëse me potencial U(r)

= - C/(3r3), ku C – është një konstante

a) Për një vlerë të dhënë të momentit të impulsit M, gjeni vlerën maksimale të

potencialit efektiv.

b) Supozojmë se grimca vjen na infiniti me shpejtësi v0 dhe parametër goditjeje b. Sa

do të ishte vlera maksimale bmax që grimca të “kapet” nga fusha, pra të bjerë në

qendër të fushës?

IV.30 Dy ngarkesa elektrike të njëjta, me masa m dhe me ngarkesë e seicila, janë

fillimisht larg njëra - tjetrës. Njëra nga grimcat është në prehje kurse tjetra është në

lëvizje me shpejtësi v , me parametër goditjeje 2

22

vm

e. Të gjendet largësia

më e vogël deri në të cilën grimcat afrohen, si dhe shpejtësia e seicilës në këtë

pozicion.

IV.31. Një grimcë me masë m , ngarkesë elektrike q dhe shpejtësi v shmanget me

këndin 900 si rrjedhojë e bashkëveprimit me një grimcë me masë M dhe ngarkesë Q ,

e cila është fillimisht në prehje. Të llogaritet largësia më e vogël deri në të cilën

afrohen grimcat.

IV.32 Një tufë grimcash me masë m dhe energji E bie pingul mbi një fletë të hollë

me trashësi d që përmban n qendra shpërhapëse të fiksuara për njësi vëllimi. Forca e

bashkëveprimit ndërmjet njërës grimcë dhe njërës qendër shpërhapëse është shtytëse,

e trajtës / r2 . Ç’pjesë e grimcave të tufës shpërhapet me kënd më të madh se këndi

0 ?

88

KAPITULLI V Lëkundjet e vogla

V.1 Lëkundjet e lira njëdimensionale

Me lëkundje kuptojmë lëvizje të tilla të sistemeve, gjatë të cilave sistemi përsërit

në kohë gjendjet e tij, d.m.th., koordinatat dhe shpejtësitë marrin vlera që përsëriten

në kohë. Nëse këto përsëritje bëhen në intervale kohe të barabartë, atëhere lëkundjet

quhen periodike.

Në këtë kapitull ne do të shqyrtojmë lëkundjet e vogla, dmth lëkundje që kryen

sistemi afër pozicionit të ekuilibrit, pra koordinatat marrin vlera që ndryshojnë pak

nga vlerat e tyre në pozicion ekuilibri të sistemit mekanik. Do të fillojmë me rastin

më të thjeshtë, kur sistemi ka vetëm një gradë lirie. Në këtë rast lëkundjet quhen

njëdimensionale.

Funksioni i Lagranzhit për sistemin me një gradë lirie, kur lidhjet janë stacionare

(lagranzhiani nuk varet shtjellazi nga koha), shkruhet (shih I.5.13) :

)(2

)()(2

qUq

qaqL

(V.1.1)

ku a(q) është një funksion i kordinatës së vetme q. Nëse sistemi ka një pozicion

ekuilibri, ky pozicion gjendet nga ekstremumi i funksiont të energjisë potenciale U(q)

të sistemit. Që ky pozicion të jetë ekuilibër i qendrueshëm duhet që ekstremumi të

jetë minimum. Le ta zemë se sistemi në shqyrtim ka pozicion ekuilibri të

qendrueshëm, pra energji potenciale minimale, në pozicionin q = q0. Atëhere në këtë

pozicion derivati i parë i funksionit U (q) anullohet, pra dU/dq = 0 për q = q0. Rreth

këtij pozicioni (për zhvendosje të vogla nga pozicioni i ekuilibrit), funksioni energjisë

potenciale mund të përafrohet sipas serisë së Teilorit:

....)(2

1)()()( 2

0

02

2

0

0

0 qqqqdq

Udqq

qqdq

dUqUqU

Duke u ndalur deri tek rendi i dytë i këtij përafrimi, energjia potenciale shkruhet:

2

00 )(2

1)()( qqkqUqU (V.1.2)

ku

k = 0

2

2

qqdq

Ud (V.1.3)

është shënuar vlera e derivatit të rendit të dytë në pozicionin e ekuilibrit. Meqë ky

pozicion është minimumi i energjisë potenciale, atëhere ky derivat është pozitiv, pra

koeficienti k > 0. Le ta llogarisim energjinë potenciale që nga pozicioni i ekuilibrit,

pra le të konsiderojmë se U(q0) = 0 (gjithmonë energjia potenciale përcaktohet me

89

afërsinë e një konstanteje). Le të shënojmë dhe zhvendosjet nga pozicioni i ekuilibrit

me: x = q – q0, atëhere derivati kohor është qx

Duke i zevendësuar këto relacione në shprehjen e energjisë potenciale (V.1.2), gjejmë

për energjinë potenciale shprehjen:

2

)(2xk

xU (V.1.4)

Ndërsa termi i energjisë kinetike në lagranzhianin (V.1.1) është :

22 )(

2

1)(

2

1xqaqqa

Me që energjia kinetike është funksion kuadratik i xq ose , të cilat mund të

kosiderohen të vogla sikurse edhe zvendosjet, atëherë që të marrim të njëjtin rend

përafrimi sikurse te energjia potenciale (deri te p.m.v. të rendit të dytë), ne duhet të

ndalemi në përafrimin e funksionit a(q) sipas serisë së Tejlorit, deri në rendin zero të

përafrimit. Pra në zbërthimin:

0 00

( ) ( ) ( ) .....da

a q a q q qq qdq

,

të ndalmi vetëm në termin e parë, duke marrë:

a(q) a(q0) dhe e shënojmë a(q0) = m (V.1.5)

(ku m është një konstante pozitive, e cila përputhet me masën në raste të posaçme)

Kështu sigurojmë që pas këtij përafrimi, termi i energjisë kinetike është përafruar

deri në rendin e dytë të vogëlsisë, ashtu sikundër edhe energjia potenciale. Prandaj,

lagranzhiani i lëkundjeve të vogla një dimensionale përafrohet deri në rendin e dytë të

vogëlsisë në trajtën:

22

22 xkxmL

(V.1.6)

Sistemi që ka një lagranzhian të tillë quhet oshilator harmonik, pasi ekuacioni i

lëvizjes është një lëkundje harmonike. Me të vërtetë, po të zbatojmë ekuacionin e

Lagranxhit për kordinatën x :

0dx

dL

xd

dL

dt

d

del:

0 ose 0 2

0 xxxkxm (V.1.7)

ku

m

k2

0 (V.1.8)

Siç dihet zgjidhja e ekuacionit diferencial (V.1.7) është lëkundja harmonike me

ekuacion:

x = a cos( 0 t + ) (V.1.9)

90

ku a – quhet amplitudë e lëkundjes, 0 – quhet frekuencë e lëkundjes, 0 t + - quhet

fazë e lëkundjes dhe -është faza fillestare e lëkundjes. Pra arrimë në përfundimin se

lëkundjet e lira (kur lagranzhiani nuk varet shtjellzi nga koha dhe mungon fërkimi)

një dimensionale, kur janë të vogla, janë gjithmonë lëkundje harmonike me frekuencë

që përcaktohet nga parametrat dinamikë të sistemit (k – sipas V.1.3 dhe m – sipas

V.1.5), dhe me amplitudë dhe fazë fillestare që përcaktohen nga kushtet fillestare të

sistemit. Kështu, pozicioni fillestar dhe shpejtësia fillestare lidhen me konstantet a

dhe me relacionet:

x(0) = a cos dhe sin)0( ax (V.1.10)

që nga këto konstante mund të shprehen në funksion të x(0) dhe )0(x . Po ashtu edhe

energjia e plotë e lëkundjeve, e cila është integral i lëvizjes, mund të shprehet me anë

të vlerave fillestare të kordinatës dhe shpejtësisë.

22

0

222

222xx

mxkxmE

(V.1.11)

Duke zevendësuar këtu, varësinë kohore të x (sipas V.1.9), del se:

E = ½ m a2 (V.1.12)

Shpesh madhësitë që ndryshojnë harmonikisht me kohën siç është edhe x (V.1.9),

paraqiten në trajtën e një numri kompleks të trajtës:

x = A ti

e 0 = A exp(i 0 t) (V.1.13)

ku i= 1 - është njësia imagjinare dhe A - quhet amplitudë komplekse, e cila është

A = a ei

. Duke ditur se ashtu si çdo numër kompleks, (V. 1.13) paraqitet në trajtën:

a exp[i ( 0 t + )] = a cos( 0 t + ) + a i sin( 0 t + ), është e qartë se pjesa reale e

numrit kompleks (V.2.13) jep ekuacionin e lëkundjes (V.1.9). Kjo mënyrë e

paraqitjes së lëkundjeve harmonike lehtëson veprimet matematike kur kemi të bëjmë

me mbledhje/zbritje të lëkundjeve ose me operacione të tjera lineare mbi lëkundjet,

sepse këto veprime mbi funksionet trigonometrike janë më të vështirë se sa këto

veprime mbi funksionet eksponenciale. Në fund të këtyre operacioneve lineare mbi

funksionet komplekse, mjafton të marrim pjesën reale të rezultatit i cili do ishte i

njëjtë sikur t’i kryenim operacionet mbi funksionet trigonometrike.

V.2 Lëkundjet e detyruara njëdimensionale

Gjatë lëkudjeve të sistemit mekanik rreth pozicionit të ekuilibrit, kur mbi sistemin

mekanik vepron edhe një forcë e jashtëme e cila ndryshon me kohën, lëkundjet quhen

të detyruara. Ne do të shqyrtojmë përsëri lëkundje të vogla, pra forca e jashtme duhet

të jetë e dobët, sepse në rast të kundërt ajo do të shkaktonte zhvendosje të mëdha nga

pozicioni e ekuilibrit dhe lëkundjet nuk mund të konsideroheshin të vogla. Përsëri do

të shqyrtojmë një sistem me një gradë lirie, pra që ka një kordinatë të vetme, ku

lagranzhiani i sistemit për zhvendosje të vogla sillet në trajtën (V.1.6). Në prani të

forcës së jashtëme, që quhet detyronjëse, tek energjia potenciale në lagranzhian

91

shtohet një term, Uj(x, t), që shpreh energjinë potenciale të forcës detyronjëse. Ky

term mund të zbërthehet sipas serisë së Tejlorit, rreth pikës së pozicionit të ekulibrit

(x = q – q0 = 0) :

....),0(),(0x

j

jjx

UxtUtxU (V.2.1)

Në këtë zbërthim ne do të ndalemi deri tek rendi i parë i përafrimit, sepse termi i

rendit të parë është produkt i dy madhësive të vogla (x dhe forca e jashtme në

pozicionin e ekulibrit të sistemit 0

j

x

U

x) jep një p.m.v. të rendit të dytë sikurse

janë edhe termat e tjerë në lagranzhian. Termi i parë në këtë zbërthim (V.1.1) varet

vetëm nga koha, prandaj mund të mos merret në lagranzhian (mund të konsiderohet si

derivat i plotë kohor i një funksioni që varet vetëm nga koha). Kështu që termi që

shtohet në lagranzhianin (V.1.6) është : x F(t), ku F(t) është forca detyrojnëse në

pozicion ekuilibri (x = 0), e cila varet vetëm nga koha:

)(22

22

tFxxkxm

L

(V.2.2)

Ky është lagranzhiani i lëkundjeve të vogla të detyruara. Duke zbatuar ekuacionin e

Lagranzhit për të, gjejmë:

)(tFxkxm , ose

m

tFxx

)(20 (V.2.3)

ku 0 është frekuenca e lëkundjeve të lira njëdimensionale.

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial linear johomogjen (V.2.3) merret

si shumë e zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit homogjen të tij (kur ana e djathtë e

ekuacionit bëhet zero) me një zgjidhje të veçantë të ekuacionit johomogjen. Zgjidhja

e përgjithshme e ekuacionit homogjen është gjetur në paragrafin e mëparshëm. Ajo

është lëkundja harmonike me frekuencë 0: a cos( 0 t + ). Mbetet të gjejmë një

zgjidhje të veçantë të ekuacionit johomogjen (V.2.3). Fillimisht, do ta gjemë këtë

zgjidhje kur forca detyronjëse është një funksion harmonik i kohës me frekuencë ,

fazë fillestare dhe amplitudë F0 :

F(t) = F0 cos( t + ) (V.2.4)

Edhe zgjidhjen e veçantë të ekuacionit johomogjen (V.2.3) do ta kërkojmë në trajtën e

një lëkundjeje harmonik me frekuencë sa frekuenca e forcës detyronjës:

x1(t) = b cos( t+ ) (V.2.5)

Mbasi e zevëndësojmë këtë zgjidhje në ekuacionin (V.2.3), gjejmë amplitudën e kësaj

lëkundjeje:

)( 22

0

0

m

Fb (V.2.6)

Atëhere, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (V.2.3) , është:

92

)cos()(

)cos(22

0

00 t

m

Ftax (V.2.7)

ku a dhe përcaktohen nga kushtet fillestare. Pra, lëkundja rezultante e sistemit

është superpozim i dy lëkundjeve harmonike, njera me frekuencë sa frekuenca e

lëkundjeve të lira 0 dhe tjetra me frekuencë sa frekuenca e forcës detyronjëse . Kjo

zgjidhje nuk vlen për rastin kur = 0 , ose siç thuhet në rezonancë. Për të gjetur

zgjidhjen për këtë rast e shkruajmë atë (V.2.7), në trajtën:

00 02 2

0

' cos( ') [cos( ) cos( )]( )

Fx a t t t

m, (V.2.8)

ku konstantet a’ dhe ’ janë zgjedhur në mënyrë të tillë që kjo shprehje të përputhet

me (V.2.7). Në shprehjen (V.2.8) duket se termi i dytë në limitin kur 0 , jep një

formë të papërcakturar 0/0. Për të shmangur papërcaktueshmërinë e këtij limiti,

zbatojmë rregullin e Lopitalit. Sipas këtij rregulli ky limit është i njëjtë me limitin e

raportit të derivateve të numuruesit dhe të emëruesit të thyesës në shprehjen (V.2.8),

në lidhje me variablin që shkon në limit :

0

0 0 0 0

02 2

00

sin( ) sin( )[cos( ) cos( )]lim

2 2( )

F F t t F t tt t

m mm

dhe zgjidhja e përgjithëshme në rastin e rezonancës, jepet:

)sin(2

)cos( 020

00 t

m

tFtax (V.2.9)

ku duket se amplituda e lëkundjeve të detyruara rritet linearisht me kohën (sigurisht

për sa kohë që lëkundjet janë ende të vogla dhe mund të zbatohet teoria e mësipërme).

Le të supozojmë se frekuenca e forcës detyronjëse është afër asaj të rezonancës,

pra = 0 + , ku është një p.m.v. E paraqesim lëkundjen (V.2.7) në trajtë

komplekse:

0 0 0 0( )´ ( )

i t i t i t i ti tx A e B e A B e e C e

ku A = a ei

, B = b ei

dhe amplituda komplekse C = A + B et para faktorit

harmonik me frekuencë 0 , ndryshon shumë pak gjatë periodës 2 / 0 sepse është

shumë i vogël. Prandaj lëkundja mund të konsiderohet si afërsisht harmonike me

amplitudë që ndryshon ngadalë me kohën me frekuencë . Me të vërtetë, amplituda

reale e lëkundjes është moduli i amplitudës komplekse ose katrori i saj është: c2 =

C C* , ku C

* është e konjuguara e C. Duke kryer konjugimin: C

* = A

* + B

*e

-i t dhe

produktin:

c2 = (a e

i + b e

i e

i t) ( a e

-i + b e

-ie

-i t) = a

2 + b

2 + a b [e

i ( t+ -- ) + e

-

i ( t+ -- )]

Nga formulat e Euler-it, shprehja në kllapa katrore jep 2 cos( t+ - ), prandaj katrori

i amplitudës reale ndryshon me kohën sipas një funksioni harmonik:

93

c2 = a

2 + b

2 + 2 a b cos( t+ -β)

me frekuencë . Vetë amplituda c lëkundet me frekuencë midis vlerës maksimale që

është |a + b| dhe vlerës minimale që është |a – b|. Një dukuri e tillë, ku lëkundja

paraqitet si në fig. V.2.1 quhet

rrahje. Pra, sistemi synon të

lëkundet me frekuencë 0 , ndërsa

forca detyronjëse synon ta lëkundë

me frekuencën e afërt me të 0 +

dhe mbivendosja e këtyre dy

lëkundjeve harmonike me

frekuenca të afërta jep dukurinë e

rrahjeve (fig. V.2.1).

Le të shqyrtojmë tani rastin më

të përgjithëshëm kur forca F(t)

është e çfardoshme. E rishkruajmë

ekuacionin diferencial të

lëkundjeve (V.2.3) në trajtën:

m

tFxixixix

dt

d )(000 (V.2.10)

ku i= 1 është njësia imagjinare. Duke shënuar me madhësinë komlekse:

= x + i 0 x (V.2.11),

ekuacioni diferencial i rendit të dytë (V.2.10) kthehet në ekuacion diferencial të rendit

të parë për funksionin kompleks :

m

tFi

dx

d )(0 (V.2.12)

Ky është një ekuacion diferencial linear jo homogjen, i cili zgjidhet me metodën e

variacionit të konstantes. Pra, zgjidhet në fillim ekuacioni homogjen i tij (ana e

djathtë zero), me metodën e ndarjes së variablave. Kjo zgjidhje del:

= Cti

e 0 (V.2.13)

Për të gjetur zgjidhjen e ekuacionit johomogjen (V.2.12) e konsiderojmë konstanten C

tek zgjidhja (V.2.13) si një funksion të kohës C(t) dhe e zevenësojmë zgjidhjen e

mësipërme në ekuacionin johomogjen:

m

tFeiCeiCe

dt

dC tititi )()()( 000

00 ,

që nga gjejmë ekuacionin:

ti

em

tF

dt

dC0

)( (V.2.14)

Merret kështu një ekuacion diferencial i rendit të parë për funksionin C(t) . i cili

zgjidhet lehtësisht duke integruar:

x

t

Fig. V.2.1

94

00

0)(

)( Cdtem

tFtC

tti

(V.2.15)

ku C0 është një konstante integrimi. Duke e zevendësuar këtë shprehje të C(t) tek

zgjidhja (V.2.13), gjejmë zgjidhjen për funksionin kompleks :

00

00)(

)(t

titidte

m

tFet (V.2.16)

ku konstantja e integrimit 0 përcaktohet nga kushtet fillestare (vlera fillestare e x dhe

x ). Duke njohur funksionin kompleks gjendet lehtë varësia kohore qoftë e

kordinatës x qoftë e shpejtësisë x . Sipas shprehjes (V.2.11) , x është pjesa

imagjinare e e pjestuar me i 0, ndërsa shpejtësia x është thjeshtë pjesa reale e .

Pra, kur njihet forca detyronjëse F(t) problemi i lëkundjeve të detyruara sillet në

zgjidhjen e integralit (V.2.16).

Energjia e sistemit që kryen lëkundje të detyruara nuk ruhet sepse sistemi merr

energji nga burimi i jashtëm i forcës detyronjëse. Po të llogarisim energjinë e plotë si

shumë e energjisë kinetike me atë potenciale sipas shprehjes (V.1.11), ajo del:

222

0

2

22

mxx

mE (V.2.17)

ku katrori i modulit të funksionit kompleks mund të llogaritet duke shumëzuar

(V.2.15) me të konjuguarën e vet. Psh, po të konsiderojmë 0 = 0 ( vlera e në t = 0),

gjejmë:

2

0

2

20)(

1)(

t

tidtetF

mt (V.2.18)

Duke e zevendësuar këtë shprehje (V.2.18) tek shprehja e energjisë (V.2.17) duket se

sido që të jetë forca F(t), energjia E del një funksion i kohës, pra nuk është integral i

lëvizjes.

V.3 Lëkundjet që shuhen

Çdo lëvizje e sistemeve mekanike kryhet në një mjedis material (psh në ajër), i cili

i shkakton rezistencë lëvizjes, duke tentuar ta ngadalësojë atë. Ndërkaq energjia

mekanike e sistemit shndërohet gradualisht në energji termike të sistemit dhe mjedisit

ku kryhet lëvizja. Prandaj, lëkundjet e lira (në mungesë të forcave detyronjëse) janë

lëkundje që shuhen me kohën. Forca e rezistencës që i shkakton mjedisi lëkundjeve

ka trajtë të ndërlikuar, por ne do të shqyrtojmë rastin e thjeshtë kur rezistenca është

proporcional me shpejtësinë e lëvizjes. Do të studiojmë përsëri rastin e një sistemi me

një gradë lirie, duke shënuar si kordinatë x zhvendosjen nga pozicioni i ekulibrit;

forcën e rezistencës do të marrim të trajtës:

xFr (V.3.1)

95

ku x është shpejtësia dhe është një konstante pozitive. Shenja minus tregon se

forca ka kahe të kundërt me shpejtësinë. Ky është përafrim i rendit të parë në

lëkundjet e vogla ( x është p.m.v. e rendit të parë) por në energji ky term do të ishte i

rendit të dytë të vogëlsisë sikundër janë edhe termat e tjerë. Meqë forcat e fërkimit

janë jokonservative, nuk do të shkruajmë lagranzhianin e sistemit, por do shkruajmë

ekuacionin që merret nga ligji i dytë i Njutonit. Kështu, ekuacioni i lëvizjes do të

shkruhej:

xxkxm (V.3.2)

Duke zevendësuar në këtë ekuacion: k / m = 02 ku 0 është frekuenca vehtiake e

lëkundjeve të lira dhe /(2 m) = i cili quhet edhe koeficient (dekrement) i

shuarjes, ekuacioni sillet në trajtën:

02 2

0 xxx

(V.3.3)

Ky është një ekuacion diferencial linear me koeficientë konstantë dhe zgjidhja e tij siç

dihet kryhet me anë të metodës së karakteristikës. Pra, shkruhet ekuacioni

karakteristik i tij, që është ekuacioni algjebrik:

C2 + 2 C + 0

2 = 0 (V.3.4)

Rrënjët e të cilit janë:

20

22,1C

dhe zgjidhja e përgjithëshme e ekuacionit (V.3.4) është:

tCtC

eAeAx 2121 (V.3.5)

ku A1 dhe A2 përcaktohen nga kushtet fillestare (vlera e x dhe x në t=0).

Tek kjo zgjidhje do të dallojmë tri raste. Rasti i parë është kur < 0 , ose siç

thuhet rasti i shuarjes së dobët. Në këtë rast, zgjidhja (V.3.5) shkruhet:

titit eAeAex

220

220

21 ,

e cila, duke zbatuar formulat e Ejlerit për lidhjen e funksioneve trigonometrike me ato

imagjinarë, mund të shndrohet në trajtën:

x = a e- t

cos( t+ ) (V.3.6)

ku:

22

0 (V.3.7)

është frekuenca e lëkundjeve që shuhen, ndërsa a dhe janë konstante që

përcaktohen nga kushtet fillestare. Në fakt kjo lëkundje, nuk përsërit asnjëherë të

njëjtat vlera të x (shih Fig. V.3.1), por ne mund ta konsiderojmë atë si një lëkundje ku

perioda e saj (T =2 / ) është intervali midis përsëritjeve të pozicionit të ekulibrit (x

= 0) dhe amplituda e saj zvogëlohet eksponencialisht me kohën (fig. V.3.1):

A = a e- t

(V.3.8)

Siç duket prania e frenimit, jo vetëm që shuan amplitudën e lëkundjeve

eksponencialisht, por edhe zvogëlon frekuencën e lëkundjeve ( < 0). Në rastin limit

kur koeficienti i shuarjes është << 0 , mund të konsiderohet se amplituda e

96

lëkundjes thuajse nuk ndryshon gjatë një periode dhe duke mesatarizuar gjatë një

periode shprehjen e energjisë së lëkundjeve

(shumën e energjisë kinetike me atë potenciale) ,

gjejmë se ajo zvogëlohet eksponencialisht sipas

ligjit1:

E = E0 e-2 t

(V.3.9)

ku E0 është vlera fillestare e energjisë.

Shqyrtojmë tani rastin kur > 0 , ose siç

thuhet rasti i shuarjes së fortë. Në këtë rast rrënjët

e ekuacionit karakteristik (V.3.4) C1 dhe C2 janë

reale dhe madje që të dyja janë negative, pra

zgjidhja është:

2 2 2 2

0 0

1 2

t t

x C e C e (V.3.10)

Siç duket, x zvogëlohet monotonisht me kohën t dhe i afrohet asimtotikisht pozicionit

të ekulibrit (x=0). Kjo lëvizje nuk është fare lëkundëse.

Në rastin e veçantë kur = 0 , ose siç thuhet rasti i shuarjes kritike, ekuacioni

karakteristik (V.3.4) ka vetëm një rrënjë ( rrënjë e dyfishtë) : C1 = C2 = - . Në këtë

rast zgjidhja e përgjithëshme e ekuacionit (V.3.3) merret në formën:

x = (a1 + a2·t) e- t

(V.3.11)

Përsëri kemi shuarje joperiodike, në këtë rast lëvizja nuk ka karakter lëkundës.

V. 4 Lëkundjet e detyruara në prani të fërkimit

Rikthehemi tek lëkundjet e detyruara një dimensionale, në rastin kur forca

detyronjëse ishte harmonike, por tani kemi edhe praninë e fërkimit (frenimit). Përsëri

veprimin e forcës së fërkimit (frenimit) do ta marrim sipas ligjit (V.3.1) dhe forcën

detyronjëse sipas (V.2.4), por për thjeshtim do ta marrim fazën fillestare të forcës

detyronjëse zero: F(t) = F0 cos( t). Atëhere ligji i dytë i Njutonit për këto lëkundje

do të shkruhej:

tm

Fxxx cos2 02

0 (V.4.1)

Ky është një ekuacion diferencial linear johomogjen (ana e djathtë e ndryshme nga

zero). Siç dihet zgjidhja e përgjithëshme e tij është shuma e zgjidhjes së

përgjithëshme të homogjenit të tij (kur ana e djathtë e tij bëhet zero) me një zgjidhje

të veçantë të ekuacionit johomogjen. Zgjidhja e përgjithshme e homogjenit të

ekuacionit (V.4.1) është zgjidhja e ekuacionit (V.3.3) e cila është gjetur dhe në rastin

1 Mesatarizim gjatë një periode do të thotë integrim gjatë kësaj periode dhe integrimi i

katrorëve të funksioneve sinus (katrori i shpejtësisë) ose cosinus (katrori i zhvendosjes) jep ½ ,

kështu që shuma e tyre del 1.

aet

t

x

Fig. V.3.1

97

e shuarjes së dobët është lëkundja që shuhet (V.3.6). Prandaj, po kërkojmë një

zgjidhje të veçantë të ekuacionit (V.4.1). E rishkruajmë këtë ekuacion në trajtë

komplekse:

tie

m

Fxxx 02

02 (V.4.2)

Zgjidhjen e veçantë në trajtë komplekse e këtkojmë të ngjashme me anën e djathtë,

pra në trajtën e një lëkundjeje harmonike me të njëjtën frekuencë sikurse forca

detyronjëse:

x = B ei t

(V.4.3)

ku B është amplituda komplekse e cila nuk varet nga koha. Pasi kryejmë derivatet

kohore x dhe x të (V.4.3) dhe i zevendësojmë në ek. (V.4.2) del se që (V.4.3) të

jetë zgjidhje e ekuacionit (V.4.2) duhet që amplituda komplekse B të jetë:

im

FB

222

0

0 (V.4.4)

Kuptohet se amplituda komplekse mund të shkruhet në trajtën: B = b ei , ku b është

amplituda reale e lëkundjes x(t) , ndërsa është faza fillestare e lëkundjes ose

diferenca e fazës midis lëkundjes x(t) dhe forcës detyronjës F(t) (faza fillestare e

forcës detyronjëse është marrë zero). Amplitudën reale b mund ta gjejmë nga

relacioni: b2 = B B

* , ku B

* është e konjuguara e B. Duke bërë produktin e B

(V.4.4) me të konjuguarën e vet e mandej rrënjën katrore të produktit, gjejmë:

22222

0

0

4m

Fb (V.4.5)

Ndërsa mund të gjendet nga relacioni: tan = Im(B)/Re(B), ku me Im shënohet

pjesa imagjinare e B dhe Re shënohet pjesa reale e B. Që të gjejmë pjesën reale dhe

imagjinare të B nga (V.4.4) më parë shumëzojmë emëruesin dhe numëruesin me të

konjuguarin e emëruesit dhe mandej bëjmë raportin e pjesës imagjinare me pjesën

reale. Që këtej del se :

20

2

2tan (V.4.6)

Në trajtë reale zgjidhja e veçantë e ekuacionit johomogjen (V.4.1) del : b cos( t + ).

Ndërsa zgjidhja e përgjithshme e ek. (V.4.2) del:

x = a e- t

cos( 0 t + ) + b cos( t + ) (V.4.7)

Siç duket termi i parë në zgjidhje paraqet një lëkundje që shuhet

eksponencialisht dhe pas regjimit kalimtar të fillimit vendoset lëkundja e detyruar:

x = b cos( t + ) (V.4.8)

98

Kur frekuenca e forcës detyronjëse i afrohet frekuencës vehtiake 0 , amplituda

e lëkundjeve të detyruara b rritet shumë, por nuk shkon në infinit sikurse ndodhte në

rezonancë në mungesë të fërkimit. Po të vizatojmë varësinë e amplitudës b nga

frekuenca e forcës detyronjëse, për vlera të ndryshme të koeficientit të shuarjes

merren të ashtuquajturat kurba

të rezonancës (fig. V.4.1), ku

maksimumi i amplitudës

arrihet për frekuencën e

rezonancës

22

0 2rez . Ky

maksimum gjendet duke

barazuar me zero derivatin në

lidhje me të shprehjes nën

rrënjën katrore në emërues të

ek. (V.4.5) (minimumi i

emëruesit jep maksimumin e

thyesës). Në figurën (V.4.1) 1

< 2 < 3 , pra maksimumi është aq më i mprehtë sa më i vogël të jetë koeficienti i

shuarjes . Të gjitha kurbat fillojnë nga e njëjta pikë, sepse për =0 (forca e jashtme

konstante F0) , kemi b = F0/(m 02) e cila nuk varet nga . Pavarësisht se lëkundja e

detyruar ka amplitudë maksimale kur = rez , e cila ndryshon pak nga frekuenca

vehtiake 0 e lëkundjeve të lira, maksimumi i fuqisë që absorbon sistemi nga forca e

jashtëme arrihet për = 0 . Kjo del po të shqyrtohet maksimumi i produktit F x .

Në lëkundjen e detyruar të vendosur (pasi

shuhet lëkundja vehtiake), energjia e

sistemit nuk ndryshon, e gjithë energjia që

thith sistemi nga forca detyronjëse

kompenson humbjen e energjisë për

fërkim (frenim).

Le të shqyrtojmë tani varësinë e këndit

të sfazimit midis lëkundjesë së vendosur

dhe forcës detyronjëse . Ky kënd është

gjithnjë negativ (për 0 , tan 0-

negativisht, edhe për , tan 0-

përsëri negativisht), ai merr vlera nga intervali (0, - ). Pra lëkundja e detyruar është

prapa në fazë nga forca detyronjëse. Për = 0, = - /2. Sa më i vogël të jetë

koeficienti i shuarjes aq më i mprehtë bëhet kalimi nga diferenca e fazave 0 (për

=0) në diferencën e fazave - (për ) (shih figurën V.4.2, 1 < 2 ).

Përgjithësisht ndyshimi i fazës nga 0 në - bëhet në një brez frekuencash afër 0.

1

2

3

b

rez

Fig. V.4.1

F0/(m 02)

2 1

- /2

-

0

Fig. V.4.2

0

99

V.5 Lëkundjet e sistemeve me disa gradë lirie

Le të shqyrtojmë tani lëkundjet e vogla të një sitemi me s – gradë lirie në

analogji me lëkundjet e sistemit me një gradë lirie. Le të jenë q1, q2, q3, ...qs

koordinatat e përgjithësuara të sistemit. Supozojmë se energjia potenciale është

funksion vetëm i koordinatave (nuk varet shtjellazi nga koha): U(q1, q2, q3, ...qs) dhe

ka një minimum për pozicionin ku koordinatat marrin vlerat: q10, q20, q30, ...qs0. Pra,

sistemi ka një pozicion të ekuilibrit të qëndrueshëm. Matematikisht, që funksioni me

shumë variabla të ketë minimum, duhet që derivatet e pjesëshëm të tij të rendit të parë

në lidhje me secilën variabël të bëhen zero në pozicionin e ekuilibrit: q10, q20, q30,

...qs0; ndërsa derivatet e pjesëshme të rendit të dytë të kenë vlera pozitive në këtë

pozicion. Duke zbërthyer energjinë potenciale në serinë e Tejlorit dhe duke u ndalur

deri tek rendi i dytë i përafrimit, kemi:

....2

1),...,(

1 1

00

0

2

02010

s

i

s

j

jjii

iiji

s qqqqqqqq

UqqqUU (V.5.1)

Duke shënuar derivatet e rendit të dytë në pozicion ekuilibri me kij:

0

2

iiji

ijqqqq

Uk (V.5.2)

dhe shmangiet nga pozicioni i ekuilibrit me xi = qi – qi0 si dhe duke hequr termin

konstant tek energjia potenciale (duke e llogaritur energjinë potenciale që nga

pozicioni i ekuilibrit), gjejmë shprehjen kuadratike të energjisë potenciale:

s

i

s

j

jiij xxkU1 12

1 (V.5.3)

Energjia kinetike ka trajtën:

s

i

s

j

jiij qqaT1 12

1 (V.5.4)

ku aij janë funksione të kordinatave q1, q2, q3, ...qs . Duke i zbërthyer këta funksione

në seri Tejlori dhe duke u ndalur tek rendi zero i përafrimit [për të marrë të njëjtin

rend përafrimi si tek energjia potenciale (rendi i dytë) ashtu edhe tek energjia kinetike

e cila ka terma të rendit të dytë të vogëlsisë ji qq ], gjejmë:

aij aij(q10, q20, q30, ...qs0) mij (V.5.5)

ku mij janë koeficientë konstantë pozitivë. Duke zevendësuar

jjii xqxq ose , gjejmë shprehjen kuadratike të energjisë kinetike:

i j

jiij xxmT 2

1 (V.5.6)

Përfundimisht, lagranzhiani për lëkundje të vogja të një sistemi me s- gradë lirie

shkruhet:

100

)(2

1ji

i

ij

j

jiij xxkxxmL (V.5.7)

Shkruajmë diferencialin e plotë të tij:

)(2

1jiijji

iijiij

jjiij xdxkdxxkxdmxdxmdL

Duke qenëse madhësia e shumës nuk varet nga mënyra se si shënohen indekset e

shumimit, këmbejmë indeksin i me j tek termi i parë dhe i tretë dhe duke marrë

parasysh simetrinë e koeficientëve mij (mij = mji) dhe kij (kij = kji), gjejmë:

)( iji

ijj

ijij dxxkxdxmdL

Që këtu duket se derivatet e pjesëshme në lidhje me koordinatat dhe shpejtësitë, janë:

j

jij

ijjij

i

xmx

Lxk

x

L dhe

Duke i zevendësuar këto përfundime tek ekuacionet e Lagranzhit:

0ii x

L

x

L

dt

d

(V.5.8)

gjejmë ekuacionet diferenciale:

1

0s

ij j ij jj

m x k x (V.5.9)

Në të gjitha shumat e mësipërme indekset i dhe j marrin vlerat nga 1 deri në s .

Pra, s ekuacionet diferenciale (V.5.9) formojnë një sistem ekuacionesh diferencialë

homogjenë me koeficientë konstantë. Zgjidhjet e këtij sistemi i kërkojmë në trajtën e

lëkundjeve harmonike:

xj = aj cos( t+ ) (V.5.10)

ku aj është amplituda për seicilën kordinatë xj, frekuenca e lëkundjeve dhe faza

fillestare, që të trija madhësi që ende nuk i kemi gjetur. Këto zgjidhje i zevendësojmë

tek sistemi i ekuacioneve (V.5.9) dhe pasi thjeshtojmë me faktorin e përbashkët

[cos( t+ )] në termat e çdo ekuacioni, gjejmë sistemin e ekuacioneve algjebrike:

2

1

( ) 0s

ij ij jj

m k a (V.5.11)

ku i = 1, 2, 3, ... s . Ky është një sistem prej s - ekuacionesh homogjenë (ana e djathtë

e seicilit është zero) dhe siç dihet që ky sistem të ketë zgjidhje të ndryshme nga zero

duhet që përcaktori themelor i tij të jetë zero:

|| -2

mij + kij || = 0 (V.5.12)

ose shtjellazi:

101

0

....

..........................................................................................

.....

- ....

222

211

2

222

22222

21212

112

12122

11112

ssssssss

ss

ss

kmkmkm

kmkmkm

kmkmkm

(V.5.12)

Ky është një ekuacion algjebrik për të panjohurën , që njihet si ekuacioni

shekullor ose ekuacioni karakteristik i sistemit. Ai është i rendit s në lidhje me 2 (

termi me fuqinë më të lartë të 2 përmban (

2)

s ) , pra në përgjithësi ai ka s rrënjë

reale pozitive2 (në raste të veçanta dy ose më shumë rrënjë mund të jenë të njëjta dhe

dalin zgjidhja të pavarura për 2 më pak se s). Këto zgjidhje, që në përgjithësi janë:

1, 2, 3, ... s quhen frekuenca vehtiake të sistemit. Pra, në përgjithësi, një sistem

me s gradë lirie ka s frekuenca vehtike të pavaruar. Për secilën nga këto frekuenca

zgjidhja (V.5.10) ka trajtën:

cosj jx a t , ku = 1, 2, 3, ...s

Pra, dalin s zgjidhje të pavarura të trajtës (V.5.10) dhe zgjidhja e

përgjithëshme e sistemit të ekuacioneve diferenciale (V.5.9) merret si shumë

(kombinim linear) e s zgjidhjeve të pavarura. Pra, zgjidha e përgjithëshme e sistemit

(V.5.9) shkruhet:

1

coss

j jx c a t (V.5.13)

ku c janë konstante ndërsa amplitudat aj (j = 1, 2, 3, ...s) janë zgjidhjet e sistemit të

ekuacioneve algjebrike (V.5.11) kur në vend të zevendësohet ( = 1, 2, 3, ...s).

Pra, lëkundjet e vogla të sistemit me s-gradë lirie, është kombinim linear i s

lëkundjeve të pavarura harmonike me frekuencat përkatëse 1, 2, ... s dhe fazat

fillestare përkatëse 1, 2, ... s . Këto lëkundje harmonike quhen lëkundje normale

ose mode të sistemit. Vlerat e amplitudave aj për seicilën kordinatë për seicilën

modë, përcaktohen nga zgjidhja e sistemeve (V.5.11), për seicilën nga frekuencat

vehtiake ( = 1, 2, ...s). Kur sistemi lëkundet në një nga këto lëkundje normale, të

gjitha kordinatat xj ndryshojnë harmonikisht me kohën me të njëjtën frekuencë dhe

fazë fillestare, por me amplituda të ndryshme. Raporti i apmlitudave të kordinatave të

ndryshme, për seicilën nga modet e lëkundjeve :

a11: a2

1: a3

1: .... : as

1 në modën 1 (frekuenca 1)

a12: a2

2: a3

2: .... : as

2 në modën 2 (frekuenca 2) (V.5.14)

2 Nga përfytyrimet fizike del e qartë se duhet të jetë reale dhe positive. Po të kishte pjesë

imagjinare zgjidhja (V.5.10) do të jepte faktor eksponencial real zbritës ose rritës e cila do

tregonte se energjia e sistemit ndryshon me kohën, pra nuk ruhet. Edhe matematikisht

provohet se 2 del si raport i dy shumave pozitivisht të përcaktuara, pra është pozitive.

102

....................

a1s: a2

s: a3

s: .... : as

s në modën s (frekuenca s)

përcakton atë që quhet konfiguracion i modës. Në përgjithësi, modet e ndryshme

kanë konfiguracion të ndryshëm dhe ai gjendet si raport i amplitudave të kordinatave

të ndryshme kur kordinatat lëkunden në një modë. Në këtë raport konstantja c

thjeshtohet si e njëjtë për koordinatat e ndryshme në të njëjtën modë.

Kuptohet që zgjidhja e përgjithëshme (V.5.14) si superpozim linear i lëkundjeve

harmonike (lëkundjet normale ose modet) , në përgjithësi nuk është një lëkundje

harmonike. Konstantet (fazat fillestare të seicilës modë) dhe c ( kontributi në

zgjidhjen e përgjithëshme të seicilës modë, ose amplituda bazë e seicilës modë që

duke u shumëzuar me aj jep amlitudën e secilës kordinatë në modën e dhënë )

gjenden nga 2 s kushte fillestare të sistemit me s gradë lirie (vlerat fillestare të

kordinatave dhe shpejtësive në t = 0).

Nëse nga zgjidhja e ekuacionit shekullor rezulton që të kemi dy ose më shumë

rrënjë të njëjta, pra frekuencat vehtiake janë më pak se numri i gradëve të lirisë së

sistemit s, atëhere themi se kemi degjenerim të modeve. Dy ose më shumë gradë lirie

kanë të njëjtën frekuencë vehtiake. Një rast tipik është lavjerrësi sferik, që është një

lavjerrës matematik në fushën e rëndesës por që mund të lëkundet qoftë sipas

drejtimit X, qoftë sipas drejtimit Y (fusha e rëndesës është sipas drejtimit Z) me të

njëjtën frekuencë = l

g ku g është nxitimi i rënies së lirë dhe l gjatësia e

lavjerrësit. Lavjerrësi sferik lëviz sipas një rrethi horizontal me kordinata që

ndryshojnë me kohën sipas ligjit:

x = a cos( t)

y = a sin( t)

Pra në këtë rast, dy lëkundjet normale (një sipas X dhe një sipas Y) kanë të njëjtën

frekuencë, por ato ndryshojnë nga faza fillestare. Në përgjithësi themi se kur kemi

degjenerim të modeve, ato kanë frekuencë të njëjtë por kanë fazë fillestare të

ndryshme.

V.6 Koordinatat normale

Problemi i lëkundjeve të sistemeve me disa gradë lirie thjeshtohet mjaft me një

zgjedhje të përshtatshme të koordinatave. Në përfundimin e mësipërm për zgjidhjen e

ekucioneve (V.5.9) në trajtën (V.5.13) duket se koordinatat xi (ku i = 1, 2, ...s)

shprehen si kombinim linear i funksioneve harmonikë të pavarur. Nëse në vend të

këtyre kordinatave, zgjedhim si kordinata të pavarura pikërisht këta funksione:

Q = c cos( t + ) (V.6.1)

(ku = 1, 2, ... s) problemi thjeshtohet mjaft. Sepse këto kordinata, që quhen

kordinata normale, kënaqin ekuacionet diferenciale :

103

02 QQ (V.6.2)

Ndërsa funksioni i Lagranzhit i sistemit në këto kordinata do të shkruhej:

s

QQL1

222

2

1 (V.6.3)

i cili po të krahasohet me lagranzhianin (V.5.6) duket se është i diagonalizuar, pra

mungojnë terma të çiftuar ( terma që përmbajnë produkte të koordinatave të

ndryshme ose shpejtësive të ndryshme) dhe ekuacionet e lëvizjes për këtë lagranzhian

(sistemi i ekuacioneve V.6.2) janë të palidhur me njeri tjetrin, pra zgjidhen

pavarësisht nga njeri tjetri; në ekuacionin për një koordinatnë nuk hyjnë kordinata të

tjera. Prandaj themi se transformimi nga koordinatat natyrale xj (j =1, 2, ...s) në

koordinatat normale Q ( = 1, 2, ...s), që merret duke zevendësuar (V.6.1) në

zgjidhjen (V.5.13):

s

jj Qax1

ose në trajtë matricore x = A Q (V.6.4)

ku A është matrica katrore me elemente aj (s rreshta, s shtylla), x është vektori i

kordinatave xj (s rreshta, 1 shtyllë) Q është vektori i kordinatave normale Q ( 1

rresht, s shtylla) ose transformimi i anasjelltë i tij:

Q = A-1

x

( A-1

është matrica e anasjelltë e A) është ai transformim që e sjell lagranzhianin në

trajtë të diagonalizuar, pra në trajtën ku mungojnë termat e çiftuar:

s

mL1

222

2

1 (V.6.5)

Ky lagranzhian në krahasim me lagranzhianin (V.6.3) përmban faktorët shumëzues

m Në rastin kur këta faktorë janë 1 si në (V.6.3), koordinatat normale të gjetura

thuhet se janë të normalizuara, në rastin kur lagranzhiani shprehet në trajtën (V.6.5)

thuhet se koordinatat normale nuk janë të normalizuara. Normalizimi i koordinatave

normale bëhet lehtë duke shumëzuar seicilën prej tyre me m :

Q = m (V.6.6)

Kur njihen frekuencat vehtiake të sistemit, është e lehtë gjetja e kordinatave

normale. Por vështirësia është në gjetjen e kordinatave normale qysh në fillim. Pra,

duke parë trajtën e lagranzhianit në koordinatat e zakonëshme xj , të gjenden ato

koordinata të pavarura për të cilat termat e çiftuar në lagranzhian bëhen zero.

Zakonisht, shfrytëzohet simetria e sistemit që kryen lëkundje të vogla. Psh, për një

sistem me dy gradë lirie ku termat e çiftuar në lagranzhian janë të trajtës 21 xx ose

x1 x2 koordinatat normale merren si shumë dhe si diferencë e kordinatave x1 dhe x2.

Pasi sillet lagranzhiani në trajtë të diagonalizuar në koordinatat normale, frekuencat

vehtiake gjenden lehtë. Pa zgjidhur ekuacionin shekullor, frekuencat vehtiake gjenden

104

nga lagranzhiani i diagonalizuar duke bërë raportin e koeficientit në termin e

energjisë potenciale me koeficientin në termin përkatës të energjisë kinetike (2 ).

Në rastin kur ka degjenerim të modeve, pra kur një frekuencë vehtiake është

zgjidhje e dy ose disa fishtë e ekuacionit shekullor, pra dy ose disa modeve u përket e

njëjta frekuencë, zgjedhja e kordinatave normale nuk është e vetme. Në këtë rast, në

energjinë kinetike dhe potenciale, koordinatat normale që kanë të njëjtën frekuencë

hyjnë në trajtën e shumave të katrorëve : 2

1

2l

l

Q dhe 2

1

2l

l

Q të cilat

transformohen njëlloj gjatë transformimit linear (V.6.4). Pra, mund të kryejmë çdo

transformim të koordinatave normale i cili i le të pandryshuara shumat e katrorëve

2

1

2l

l

Q dhe 2

1

2l

l

Q dhe përsëri të merren kordinata normale të reja.

Duke përdorur koordinatat normale, mund ta sjellim problemin e lëkundjeve

të detyruara të sistemeve me disa gradë lirie në problemin e lëkundjeve të detyruara

një dimensionale. Le të jetë L0 lagranzhiani i sistemit me disa gradë lirie kur

mungojnë forcat detyronjëse, pra është lagranzhiani i lëkundjeve të lira të sistemit me

s gradë lirie. Në prani të forcave të jashtme detyronjëse, lagranzhiani do shkruhej:

s

j

jj xtFLL1

0 )( (V.6.7)

ku Fj(t) është forca detyronjëse që i takon kordinatës së j-të. Duke zevendësuar këtu

koordinatat xj në funksion të kordinatave normale (V.6.4), termi i parë L0

diagonalizohet (sillet në trajtën V.6.3), ndërsa termi dytë sillet në trajtën :

( ) ( ) ku ( )α αj j α α α α j j

j α α j

F t a Q = f t Q f (t)= F t a (V.6.8)

dhe Lagranzhiani i lëkudjeve të detyruara me disa gradë lirie, shkruhet:

QtfQQL )(2

1 222 (V.6.9)

Po të zbatojmë ekuacionet e Lagranzhit për këtë lagranzhian, secila kordinatë normale

kënaq ekuacionin:

)(2 tfQQ (V.6.10)

ku = 1, 2, ...s. Duket se secila kordinatë normale kënaq ekuacionin e lëkundjeve të

detyruara njëdimensionale (paragrafi V.2) dhe ekuacionet nuk janë të lidhur me njeri

tjetrin. Pasi përcaktohet secila kordinatë normale Q nga zgjidhja e ekuacionit

(V.6.10), kalohet në gjetjen e kordinatave të zakonëshme (ose natyrale siç thuhen

ndryshe) xj(t) sipas transformimeve (V.6.4). Rezultati del se secila kordinatë xj

ndryshon me kohën sipas shprehjes që është superpozimi i lëkundjeve të detyruara që

kryen secila kordinatë normale.

105

Ushtrime dhe problema

V.1 Një sustë elastike ka gjatësinë 10 cm në gjendje të pazgjatur. Kur në të varet një

trup, gjatësia e saj bëhet 12 cm . Trupit i jepet një shpejtësi 4 cm/s e drejtuar poshtë në

çastin t = 0.

a) Të gjendet perioda dhe amplituda e lëkundjeve.

b) Të gjendet varësia kohore e largësisë së trupit nga pika e varjes së sustës.

V.2 Një trup me masë m është varur në një sustë elastike të lehtë, me gjatësi l (në

gjendje të pazgjatur) dhe konstante elastike l

mg. Trupi kryen lëkundje harmonike

vertikale me amplitudë a. Kur trupi kalon nëpër pozicionin e barazpeshës dhe lëviz

për lart, ai kap një trup tjetër me masë m. Të provohet se amplituda e lëkundjeve të

nëtejshme bëhet: .2

22 a

l .

V.3 Grimca me masë m lëviz në fushën e rëndesës sipas një elipsi të lëmuar me

gjysme boshte a dhe b . Plani i elipsit është vertikal, kurse gjysmëboshti a është i

shmangur nga vertikalja me këndin 0 . Të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla të

grimcës.

V.4. Një fije e lehtë elastike me gjatësi 2a kalon nëpër dy kunja A dhe B . Kunjat janë

fiksuar në një drejtëz horizontale në largësi a njera nga tjetra. Një trup pikësor P është

vendosur në fije në mënyrë të tillë që në barazpeshë trekëndëshi APB është

barabrinjës. Të provohet se kur P zhvendoset pak

vertikalisht dhe lëshohet, atëhere ajo kryen lëkundje

periodike me periodë:

2/1

7322

g

a

V.5. Dy grimca me masë m mund të lëvizin vetëm

përgjatë dy shinave horizontale të fiksuara, që formojnë

këndin 2 midis tyre (Fig. V.5). Ato janë lidhur në

skajet e një suste elastike me konstante elastike k. Sa do

të jetë frekuenca e lëkundjeve të vogla, nëse susta mbetet paralelisht me pozicionin e

treguar në figurë.

V.6 Të përcaktohet perioda e lëkundjeve të trupit me masë M , që është varur në

sustën me konstante elastike k dhe me masë m të shpërndarë uniformisht përgjatës

sustës.

Fig. V.5.

106

V.7 Të studiohen lëkundjet e vogla të lira të sistemit të paraqitur në fig. V.7 Trupi

pikësor me masë m mund të lëvizë:

a) horizontalisht (lëkundjet gjatësore), kur

konstantja elastike e sustave është k;

b) vertikalisht (lëkundje tërthore), kur tensioni i

sustave ne pozicionin baraspeshë është T0 .

Në të dy rastet rëndesa e trupit me masë m

neglizhohet në krahasim me forcat elastike të

deformimit të sustave.

V.8 Të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla të lavjerrësit me masë m2 e gjatësi l,

pika e varjes e të cilit ( me masë m1 në të ) mund të lëvizë në një drejtëz horizontale [

shih ushtrimin I.34(b) ].

V.9 Të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla të grimcës me masë m në fushat me

potencial :

a) U(x) = A cos( x) - B x ;

b) U(x) = A [( x )2 - sin

2( x)] .

V.10 Të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla të një lavjerësi sferik, kur këndi i

shmangies së lavjerësit nga vertikalja lëkundet afër vlerës 0. (Lavjersi sferik është

një një laverës i thjeshtë që rrotullohet rret boshtit vertikal që kalon nga pika e varjes)

V.11 Në sistemin e problemit II.8. (fig. II.8), të sillet problemi në lëvizjen radiale

njëdimensionale, nëse në çastin fillestar trupit me masë m i jepet një shpejtësi

fillestare v0 pingul me radialen r0 (largësia nga brima) ndërsa trupi me masë M, është

në prehje. Duke e konsideruar r0 pozicionin e ekuilibrit radial (ku energjia potenciale

efektive arrin minimum), të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla radiale rreth

këtij pozicioni.

V.12 Të gjendet frekuenca e lekundjeve te vogla radiale të një grimce me mase m në

fushën qendrore me energi potenciale:

U(r) = - / rn , ku 0< n < 2, kur trjektorja e grimcës është e afërt

me rrethin me rreze r0.

V.13 Të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla të sistemit të

paraqitura në figurën V.13 [shih problemin I.34(c)]. Sistemi

rrotullohet në fushën e rëndesës rreth boshtit vertikal me shpejtësi

këndore .

V.14 Të përcaktohet ekuacioni i lëkundjeve të detyruara x(t) të

sistemit njëdimensional me masë m dhe frekuencë të lëkundjeve të

lira , nën veprimin e forcës F(t) , në qoftë se në çastin t = 0 sistemi

prehej (dx/dt =0) në pozicionin e baraspeshës (x = 0) për rastet :

m

k k

2l

Fig. V.7

θ

m

m

a a

a a

m

Ω

Fig.V.I3

107

a) F = F0 = konstante;

b) F = a t , ku a është një konstante;

c) F = F0 e- t

, ku F0 dhe janë konstante;

d) F = F0 e- t

cos( t) ku F0 , dhe janë konstantesi.

V.15 Të përcaktohet amplituda përfundimtare e lëkundjeve të sistemit, pas veprimit të

forcës së jashtme që ndryshon sipas ligjit (në t=0, sistemi ndodhet në pozicion

ekuilibri):

a)

tTF

TtT

tF

t

F

për

0për

0për 0

0

0

, b)

tT

TtF

t

F

për 0

0për

0për 0

0

c)

tT

TtT

tF

t

F

për 0

0për

0për 0

0

d)

tT

TttF

t

F

për 0

0për sin

0për 0

0

V.16. Pika e varjes së lavjerësit të rrafshtë rrotullohet me shpejtësi këndore konstante

sipas rrethit me rreze a. Gjatësia e lavjerësit është l ( l >> a ). Të gjendet ekuacioni i

lëkundjeve të vogla të lavjerrësit.

V.1.17 Të përcaktohet energjia E që fiton oshilatori njëdimensional nën veprimin e

forcës F(t) = F0 e t( / )2

, gjatë kohës së veprimit të forcës, në qoftë se:

a) në t = 0 oshilatori prehej,

b) në t = 0 amplituda e lëkundjeve është a.

V.18 Një lavjerës që e ka periodën në zbrazëti 2 s, është vendosur në një mjedis

rezistent. Vrojtohet se amplituda, në çdo lëkundje, është gjysma e amplitudës së

lëkundjes së mëparshme. Sa është perioda e lëkundjeve në mjedis? Të gjendet raporti

i amplitudave të lëkundjeve të detyruara, në qoftë se lavjerësi i nënshtrohet rradhazi

forcave harmonike me amplitudë të njëjtë e me periodë : a) 1 s ; b) 2 s ; c) 2.5 s .

V. 19. Një oshilator me shuarje kritike, me frekuencë vehtiake 0, fillon lëvizjen nga

pozicioni x0. Sa është shpejtësia fillestare minimale që duhet të ketë oshilatori në

mënyrë që ta kalojë pozicionin e ekuilibrit (x = 0).

V.20 Në një sistem njëdimensional me shuarje nën kritike vepron forca detyronjëse

harmonike me frekuencë : F = F0 cos( t) . Të provohet se në regjimin e vendosur

mesatarja e fuqisë që zhvillon forca detyronjëse është e barabartë me shpejtësinë

mesatare të harxhimit të energjisë nga forca e rezistencës. Të provohet se kjo fuqi

108

mesatare ka maksimum për = 0 ( ku 0 është frekuenca vehtiake e lëkundjeve të

lira pa shuarje të sistemit) dhe të gjenden vlerat e për të cilat kjo fuqi është sa

gjysma e vlerës maksimale.

V.21 Të gjendet ligji i lëvizjes së oshilatorit me shuarje nën atë kritike, me frekuencë

të lëkundjeve të lira 0 dhe me koeficient shuarjeje , kur mbi të vepron forca

detyronjëse F(t) = F0 cos t. Të studiohet me hollësi lëkundja afër rezonancës.

V.22 Mbi oshilatorin me shuarje nën atë kritike ( < 0), vepron forca detyronjëse:

F(t) = f1 cos 1t + f1 cos 1t . Të gjendet puna mesatare e kësaj force gjatë regjimit të

vendosur.

V.23 Një oshilator me shuarje kritike dhe me periodë të lëkundjeve vehtiake të lira ,

i nënshtrohet forcës periodike në trajtën e “dhëmbëve të sharrës “:

F (t) = F0 (t - n ) për n t (n + 1 ) ku n = 0, 1, 2 ,...

Të gjendet raporti i amplitudave të lëkundjeve të detyruara me frekuenca k / dhe l

/ ( ku k dhe l janë numra të plotë ).

Udhëzim. Të zbërthehet paraprakisht forca detyronjëse në serinë Furie të funksioneve

harmonike.

V.24 Të përcaktohen frekuencat e lëkundjeve normale (modeve) të lavjerrësit të

dyfishtë ( fig.V.24) për këndet 1 dhe 2 të vegjël. Mandej të

shqyrtohet rasti limit kur m1 >> m2 .

V.25 Një unazë e vogël me masëm m rëshqet pa fërkim nëpër telin

rrethor me masë M dhe rreze a. Teli kryen lëkundje të të vogla në

planin e tij kur është i varur në një pikë të periferisë së tij (Fig. V.25).

Të gjenden frekuencat e modeve duke zgjedhur si kordinata këndet e

treguara në figurë.

V.26. Një sistem me dy gradë lirie e ka lagranzhianin në trajtën:

yxyxyxL 22

2

022

22

1

,ku 0 dhe janë konstante. Të gjenden:

a) frekuencat e lëkundjeve normale (modeve)

b) kordinatat normale

c) si ndryshojnë x dhe y me kohën kur << 02 .

V.27 Një shufër homogjene me gjatësi L është varur në

tavan me anë të një fijeje të pazgjatëshme me gjatësi l =

L/2. Duke konsideruar se shmangiet këndore: 1 - të fijes

φ1

φ2

m1

m2

Fig.V.24

l2

l1

X

Y

Q

O

M

m

Fig. V.25

109

nga vertikalja dhe 2 -të shufrës nga vertikalja janë të vegjël , të gjendet raporti i

shmangieve të fijes dhe shufrës nga verikalja në modën e parë dhe të dytë.

V.28 Dy shufra homogjene AB dhe CD janë të lidhura me çernierë në B dhe varen në

çernierën e fiksuar A . Masat dhe gjatësitë e shufrave janë përkatësisht 2m dhe a

(shufra AB), m/6 dhe a (shufra BC). Shufrat mund të kryejnë lëkundje të vogla në

planin vertikal që përmaban shufrat. Të gjenden frekuencat e modeve të lëkundjeve të

vogla të sistemit.

V.29. Për sistemin e figurës V.29, të

shqyrtohen lëkundjet e vogla

gjatësore të sustave pa peshë (trupat

me masë m lëvizin gjatë drejtëzës

AB). Sustat kanë konstante elastike përkatësisht k , k1 dhe k. Sustat janë aq të zgjatura

sa të neglizhohen zhvendosjet vertikale të masave.

a) Të gjenden frekuencat e modeve .

b) Të gjenden ekuacionet e lëkundjeve të lira, në qoftë se në çastin t = 0 në

pozicionin e baraspeshës njëri nga trupat ka shpejtësi v, kurse tjetri prehet.

c) E njëjta kërkesë si në pikën b) me këto kushte fillestare : në t = 0, njëri

trup është zhvendosur me a dhe ka shpejtësinë zero, kurse tjetri prehet në

pozicionin e baraspeshës.

V.30 Të gjenden lëkundjet normale (modet) e lëkundjeve gjatësore të

sistemit të figurës V.30. Sustat janë të njëjta me konstante elastike k dhe

masat pikësore të varura në suata janë të njëjta m.

V.31 Tri susta identike dhe dy masa m dhe

2m lidhen me to si në fig. V.31. Të gjenden

frekuencat e modeve të lëkundjeve gjatësore

(rëndesa nuk merret parasysh).

V.32 Dy lavjerësa a dhe b , me të njëtën gjatësi l, por

me masa të ndryshme Ma dhe Mb, janë lidhur me një sustë

me konstante elastike k ( fig.V.32).

a) Të gjenden frekuencat e modeve dhe kordinatat

normale.

b) Në çastin t = 0 , të dy lavjerrësit kanë shpejtësi zero;

lavjerrësi a ka amplitudë A dhe lavjerrësi b ka

amplitudë zero. Të gjenden shprehjet e energjive të

lavjerrësve -Ea (t) dhe Eb (t) . Konsiderohet se lidhja e dy

lavjerrësve është e dobët, pra: 1 1

a b

gk

M M l,

m m

k k k1

A B

Fig.V.29

k

a b

Ma

Mb

Fig.V.32

m

m

k

k

Fig.V.30

Fig. V.31

110

A C

u

4m 4m 3m

u

B

Fig.V.34

ku g është nxitimi i rënies së lirë). Shpjegoni dukurine e rrahjeve.

V.33 Tri grimca të njëjta me masa përkatësishte m, M, dhe m mund të lëvizin lirisht

përgjatë drejtëzës që i bashkon ato. Grimca e mesit M është e lidhur me seicilën nga

grimcat m me anë të sustave elastike me konstante elastike k dhe me gjatësi natyrale

a. Grimcat fillimisht janë në prehje. Një grimcë e katërt me masë m, e cila lëviz me

shpejtësi v sipas drejtëzës që formojnë të tri grimcat dhe godet njerën nga grimcat

anësore në mënyrë elastike. Të përcaktohet lëvizja e grimcës më masë M.

V.34 Një kordë e lehte elastike është tendosur midis dy pikave të fiksuara A dhe B

(fig. V.2.10). Largësia midis A e B është 4 a dhe tensioni i kordës është . Një

grimcë me masë 3 m është lidhur me mesin C të kordës dhe dy grimca me masa 4 m

secila janë lidhur në meset e AC dhe

CB. Kur sistemi është në prehje, të dy

grimcave me masa 4 m u jepet një

shpejtësi e vogël u pingul me

kordën. Të provohet se zhvendosja e

grimcës me masë 3 m , në çastin t,

është:

)sin(6

sin65

4t

tu , ku

am

2

V.35 Tri vagona të njëjtë (fig. V.35) janë të lidhur me susta me konstante elastike k1

dhe k2 . Masat e vagonave janë përkatësisht m1 , m2 dhe m3 . Në çastin fillestar dy

vagona ndodhen në pozicion ekuilibri, ndërsa vagoni i tretë është zhvendosur me x0

nga pozicioni i ekulibrit dhe shpejtësitë e të tri vagonave janë zero. Të gjenden

frekuencat e modeve të sistemit.

V.36 Të përcaktohen frekuencat e

lëkundjeve normale gjatësore të

sistemit që përbëhet nga N grimca

të njëjta me masë m seicila, të

lidhura me susta të njëjta me

gjatësi a dhe koeficent elasticiteti

k secila. Skajet A dhe B të sustave

A B

k k

m m m .....

Fig. V.36

m m m ......

A B

Fig. V.37

m1 m2 m3

k1 k2

Fig. V.35

111

anësore janë të fiksuara ( fig.V.36). Udhëzim: Amplituda e lëkundjeve të seicilës

masë në një modë të dhënë [xi=ai cos( t+ )] të kërkohet në trajtën : ai = a cos(i )

+ b sin(i ), të gjendet relacioni midis frkuencës dhe dhe të zbatohen kushtet

kushtet kufitare për të gjetur frekuencat e modeve n (ku n =1, 2, 3, ...N).

V.37 E njëjta kërkesë si në problemin e mëparshëm, kur njëri nga skajet është i lirë

(fig.V.37).

V.38 Duke u mbështetur në zgjidhjen e problemit V.36, të studiohen lëkundjet e

vogla tërthore të kordës së tendosur. Në kordë janë fiksuar N = 5 grimca të njëjta

(fig.V.38) me masë m secila.Tensioni i kordës në gjendje baraspeshe është dhe

largësia midis grimcave është a.

a) Të gjenden frekuencat e lëkundjeve normale (modeve) dhe të vizatohet

konfiguracioni i vendosjes së

grimcave në çdo modë.

b) Të njëjtat kërkesa për

rastin kur njëri skaj i kordës

është i lirë, duke qenë i lidhur

në një unazë pa masë që

rrëshqet pa fërkim në një

shufër vertikale (fig.V.38.b).

V.39 Të gjenden ekuacionet e

lëkundjeve të detyruara të

sistemit të paraqitur në

figurën V.39. Pika A është e fiksuar, kurse pika B

zhvendoset në drejtimin AB sipas ligjit a cos( t)

. Të dhënat janë treguar në figurë.

V.40 Në trupin me masë m (fig.V.40) vepron

forca F (t) = F0 cos( t) , e cila shtrihet në planin

e figurës dhe formon këndin me drejtimin AB. Të

gjenden ekuacionet e lëkundjeve të vendosura (të

detyruara) të trupit. Konstantja elastike e sustave

horizontale është k1 ndërsa i sustave vertikale është

k2.

V.41 Të gjenden ekuacionet e lëkundjeve të

detyruara të sistemit të paraqitur në figurën V.30.

nëse pika e varjes zhvendoset vertikalisht sipas ligjit:

a(t) = a cos( t).

a)

a A

a a a a a

m m m m m B

A a a a a a a

m m m m m

B

b) Fig. V.38

m m

k k k1

A B

Fig. V.39

)(tF

φ

k2

k2

k1 k1

x B m

A

y

D

C

Fig. V.40

112

V.42 Mbi lavjerrësin e djathtë të sistemit të dy lavjerrësve të njëjtë (fig.V.42) të lidhur

me sustë me konstante elastike k vepron forca F(t) = F0 cos( t). Të gjendet raporti i

amplitudave të lavjerrësve. Të dhënat janë treguar në figurën V.42.

V.43 Të përcaktohen frekuencat e

lëkundjeve normale (modeve) të

molekulave lineare triatomike simetrike

ABA (fig. V.43), ku masat e atomeve janë

mA dhe mB . Energjia potenciale për

lëkundjet gjatësore të merret në trajtën: 2 2

1 2 2 21 / 2k x x x x , ku x1, x2, x3

janë zhvendosjet gatësore të molekulave

përkatëse

A, B, A dhe

k1

konstantja

kuazielastike. Ndërsa për lekundjet tërthore energjia

potenciale merret 2 2

2 / 2k l , ku është deformimi

relativ i rrëshqitjes (shmangia e këndit ABA

nga vlear e ekulibrit 180 ), l është

largësia midis atomeve fqinjë në ekulibër dhe k2 konstantja kuazielestike për

lëkundjet tërthore.

V.44. E njejta kërkesë si në problemin e

mëparshëm, kur molekula ABA është në formë

trekëndëshi dybrinjënjëshëm me kënd ABA

=2 .

Trajta e energjisë potenciale të merret njëlloj si në

problemin e mëparshëm.

k F

a b

m m

xa xb

Fig. V.42

A B A

l l Fig. V.43

A

B

A

l l

Fig. V.44

3

2

1 2

113

KAPITULLI VI Lëvizja e trupit të ngurtë

VI.1 Koordinatat e pavarura të trupit të ngurtë

Trupin e ngurtë të pa deformueshëm do ta konsiderojmë si një sistem pikash

materiale, ku largësitë midis pikave nuk ndryshojnë me kohën. Pra, midis pikave ka

lidhje holonome të trajtës:

rij = cij (VI.1.1)

ku rij është largësia midis pikës së i-të dhe pikës së j-të (i = 1, 2, 3, ... N dhe j = 1,

2, 3, ....N , ku N është numri i pikave që përbëjnë trupin e ngurtë) dhe cij janë

konstante. Numri i lidhjeve të tilla (V.1.1) do të ishte sa numri i kombinimeve dyshe

të N pikave:

k = N (N – 1) / 2 (VI.1.2)

Ky numër lidhjesh bëhet shumë i madh me rritjen e numrit të pikave në të cilat e

ndajmë trupin e ngurtë. Po të gjenim numrin e gradëve të lirisë të sistemit, siç gjendet

zakonisht, duke zbritur nga numri i gradëve të lirisë sikur pikat të ishin të lira 3N ,

numrin e lidhjeve k do të merrnim një rezultat të gabuar (për N të mëdha, k > 3N

dhe diferenca s = 3N– k do dilte negative). Kjo është për arsye se lidhjet e trajtës

(VI.1.1) nuk janë të gjitha të pavarura. Për të përcaktuar pozicionin e një pike çfardo

të trupit të ngurtë, nuk është e domosdohme të dimë largësitë e kësaj pike nga të

gjitha pikat e tjera të trupit; mjafton që të dimë largësitë e kësaj pike nga tre pika

çfardo të trupit që nuk shtrihen në një drejtëz. Prandaj nëse jepen pozicionet e tri

pikave të trupit që nuk shtrihen në një drejtëz, gjendet pozicioni i të gjitha pikave të

trupit, pra gjendet pozicioni i trupit të ngurtë (në figurën V.1.1, janë treguar

pozicionet e tri pikave 1, 2, 3 të trupit dhe pozicioni i një pike 4 çfarëdo në trup, që

gjendet në bazë të largësive që ka kjo pikë nga 3 pikat e referimit). Por këto tri pika

referimi nuk janë të lira, pra numri i gradëve të lirisë së trupit të ngurtë është më i

vogël se 33=9. Midis tyre ka tri lidhje të pavarura të trajtës (VI.1.1) që shprehin

largësitë reciproke midis tyre. Kështu që numri i gradëve të lirisë së një trupi të ngurtë

është 9 – 3 = 6. Pra, numri i koordinatave të

pavarura që përcaktojnë plotësisht pozicionin e një

trupi të ngurtë pa lidhje të tjera është 6. Sigurisht,

nëse veç lidhjeve të trajtës (V.1.1) që ka midis pikave

të trupit, trupi ka edhe lidhje të tjera, pra nuk është i

lirë në lëvizjen e tij (psh ka një pikë ose një bosht të

fiksuar) atëhere numri i koordinatave të pavarura

bëhet më i vogël se 6.

Pozicioni hapsinor i një trupi të ngurtë mund të

përcaktohet me anë të një sistemi kordinativ kartezian

X’, Y’, Z’ i lidhur ngurtësisht me trupin, pra që lëviz

së bashku me trupin (shih fig. VI.1.2). Ky sistem kordinativ quhet sistem i

Fig.VI.1.1

1

2

3

4

X Y

Z

114

lëvizëshëm, për ta dalluar nga sistemi kordinativ kartezian i palëvizëshëm (inercial) X,

Y, Z . Siç dihet pozicioni i një sistemi kordinativ të lëvizëshëm përcaktohet nga

pozicioni i origjinës së këtij sistemi O’ (tri kordinata x, y, z) si dhe nga orientimi

hapsinor i boshteve kordinativë O’X’, O’Y’, O’Z’ ndaj sitemit të boshteve paralelë

me boshtet e palëvizshëm OX, OY, OZ , por me origjinë O’ (në figurën VI.1.2 janë

paraqitur me vija të ndërprera). Ky

orientim përcaktohet nga tri kordinata

të tjera, që mund të jenë kosinuset

drejtues të pavarur të boshteve O’X’,

O’Y’, O’Z’ 1)

.

Kështu, nga 6 koordinatat e

pavarura që përcaktojnë pozicionin

hapësinor të trupit të ngurtë, tri

koordinata i takojnë pozicionit të

origjinës së sistemit të lëvizshëm, pra i

takojnë zhvendosjes së një pike të

lidhur ngurtësisht me trupin dhe kjo

zhvendosje quhet zhvendosje

translative e trupit. Kjo është një zhvendosje e trupit si një i tërë, ku të gjitha pikat e

trupit pësojnë të njëjtën zhvendosje. Ndërsa tri koordinatat e tjera i takojnë orientimit

të sistemit të lëvizëshëm ndaj një sistemi të palëvizshëm me origjinë të përbashkët,

ose rrotullimit të sistemit të lëvizshëm ndaj atij të palëvizshëm rreth një drejtimi që

kalon nga origjina, pra i takojnë lëvizjes rrotulluese të trupit të ngrurtë rreth një boshti

që kalon nga origjina e sistemit të lëvizëshëm.

Origjina e sistemit koordinativ të lëvizshëm mund të jetë brenda trupit ose jashtë

trupit, por gjithmonë e lidhur ngurtësisht me trupin (dmth largësitë e pikave të trupit

nga kjo origjinë nuk ndryshojnë me kohën). Zakonisht, si origjinë e sistemit

koordinativ të lëvizëshëm zgjidhet qendra e inercisë (masës) e trupit. Koordinatat e

qendrës së inercisë së trupit në një sistem koordinativ të palëvizshëm janë:

1)

Siç dihet, çdo drejtim hapësinor përcaktohet nga dy kosinuse drejtues të pavarur (kosinuset e

këndeve që formon ky drejtim me dy boshte kordinative karteziane, sepse kosinusi i këndit me

boshtin e tretë përcaktohet nga lidhja midis 3 kosinuseve cos21 + cos

22 + cos23 = 1). Pra

për tri drejtime të pavarura do ishin 6 kosinuse drejtues të pavarur. Por meqë tri boshtet

(drejtimet O’X’, O’Y’, O’Z’ ) janë pingul me njeri tjetrin midis këtyre kosinuseve ka edhe tri

lidhje të tjera, prandaj kosinuse drejtues të pavarur mbeten tre. Ky rezultat mund të nxirret

edhe po të arsyetohet ndryshe: kalimi nga sistemi i palëvizëshëm në atë të lëvizëshëm me

origjinë të përbashkët, është transformimi i rrotullimit të sistemit kordinativ kartezian me një

kënd çfardo rreth një drejtimi çfardo. Ky transformim njihet (pra dihet si ndryshojnë

kordinatat e çdo pike gjatë këtij transformimi) nëse jepet dy kosinuset drejtues të pavarur të

boshtit të rrotullimit si dhe këndi i rrotullimit. Pra, përsëri dalin tri kordinata të pavarura që

përcaktojnë orientimin e sistemit të tri boshteve kordinative të lëvizëshëm ndaj një sistemi

boshtesh të palëvizshëm.

Fig. VI.1.2

O

Z

X

Y

O’

Z’

X’

Y’

115

1 1 1

Q Q Q

V V V

X = ρ x dV , Y = ρ y dV , Z = ρ z dVm m m

(VI.1.3)

ku m është masa e gjithë trupit, është densiteti i trupit në pikën me kordinata x, y, z

. Nëse trupi është homogjen, është konstante, pra e njëjtë në gjithë vëllimin e trupit

dhe del jashtë integralit vëllimor, që kryhet për të gjithë vëllimin e trupit.

VI.2 Shpejtësia këndore

Siç treguam, çdo lëvizje e trupit të ngurtë sillet në dy lloj lëvizjesh: një

translative dhe një rrotulluese. Le të shqyrtojmë një zhvendosje pambarimisht të

vogël të trupit të ngurtë. Atë mund ta

paraqesim si shumë të dy zhvendosjeve

p.m.v.: njera është translacioni p.m.v. i

trupit si rezultat i të cilit qendra e

inercisë (qendra e sistemit të referimit të

lëvizëshëm) kalon nga pozicioni

fillestar në atë përfundimtar pa

ndryshuar orientimi i boshteve të

lëvizëshëm (boshtet e sistemit të lidhur

me trupin) dhe tjetra është rrotullimi

pambarimisht i vogël rreth një boshti që

kalon nga qendra e sistemit të

lëvizshëm. Theksojmë se, kur rrotullimet janë pambarimisht të vegjël, këndi i

rrotullimit elementar mund të merret si vektor d i drejtuar sipas boshtit të rrotullimit

dhe kahe që përputhet me rregullin e tryelës (kur doreza e tryelës rrotullohet sipas

rrotullimit të trupit, përparimi i majës së tryelës tregon kahen e vektorit d). Rezja

vektore e çdo pike çfardo të trupit ndaj origjinës së sistemit të referimit të

palëvizshëm r, mund të shkruhet si shuma e rrezes vektore të kësaj pike ndaj origjinës

së sistemit të lëvizshëm (qendrës së inercisë) r’ me rreze vektorin e origjinës së

sistemit të lëvizshëm R (shih figurën VI.2.1):

r = R + r’ (VI.2.1)

Duke diferencuar këtë barazim, marrim relacionin midis zhvendosjeve pambarimisht

të vogla:

dr = dR + dr’ (VI.2.2)

ku zhvendosja elementare dR paraqet zhvendosjen translative gjatë një kohe p.m.v.

dt, ndërsa zhvendosja elementare dr’ paraqet zhvendosjen rrotulluese gjatë kësaj kohe

(zhvendosja rrotulluese e vektorit r’ kur origjina e këtij vektori është e fiksuar). Siç

dihet zhvendosja elementare dr’ e skajit të vektorit r’ gjatë rrotullimit të tij, jepet nga

produkti vektorial:

dr’ = d r’ (VI.2.3)

dhe barazimi (V.2.2) shkruhet:

dr = dR + d r’ (VI.2.4)

Fig. VI.2.1

O

Z

X

Y

Q

Z’

X’

Y’

r’ r

R Q1

a

116

Duke pjestuar këtë barazim me kohën elementare dt, dhe duke shënuar: dr/dt = v -

shpejtësinë e pikës së dhënë të trupit ndaj sistemit të palëvizshëm, dR/dt = VQ -

shpejtësinë e origjinës së sistemit të lëvizshëm (në rastin e veçantë – shpejtësia e

qendrës së inercisë), ndërsa me:

= d / dt (VI.2.5)

shënojmë shpejtësinë këndore e të rrotullimit të trupit (sistemit të lëvizshëm), gjejmë

relacionin:

v = VQ + r’ (VI.2.6)

Pra, shpejtësia e çdo pike të trupit jepet si shumë vektoriale e shpejtësisë së

translacionit dhe shpejtësisë së rrotullimit.

Shpejtësia këndore e rrotullimit (VI.2.5) është një madhësi vektoriale e drejtuar

sipas boshtit të rrotullimit me kahen që përputhet me rregullin e tryelës. Ashtu

sikundër përcaktohet shpejtësia këndore si derivati kohor i këndit të rrotullimit, mund

të përcaktohet edhe nxitimi këndor si derivati kohor i shpejtësisë këndore:

= d/dt (VI.2.7)

i cili është i drejtuar sipas boshtit të rrotullimit kur boshti i rrotullimit është i

palëvizshëm, me kahe që përcaktohet nga shenja e derivatit të mësipërm (kur

shpejtësia këndore rritet, nxitimi këndor është sipas kahes së vektorit ; kur

shpejtësia këndore zvogëlohet, nxitimi këndor ka kahe të kundërt me vektorin ).

Nëse zgjidhet një origjinë tjetër e sistemit të lëvizshëm psh Q1 (shih fig. VI.2.1)

e cila është përsëri e lidhur ngurtësisht me trupin dhe shënojmë me a vektorin që

bashkon dy origjinat QQ1, ndërsa r’1 rreze vektorin e pikës së çfarëdoshme të trupit

ndaj origjinës së re Q1 , atëhere kemi relacionin:

r’ = r’1 + a

Duke zevendësuar këtë relacion në barazimin (VI.2.6), gjemë:

v = VQ + a + r’1 (VI.2.8)

Nga ana tjetër duke arsyetuar për sistemin e lëvizshëm me origjinë Q1 njëlloj siç

arsyetuam më parë për sistemin e lëvizshëm me origjinë në Q, gjejmë se shpejtësia e

çdo pike të trupit shprehet:

v = VQ1 + ’ r’1 (VI.2.9)

ku VQ1 është shpejtësia e translacionit kur zgjidhet si origjinë e sistemit të

lëvizëshëm pika Q1, ndërsa ’ është shpejtësia këndore e rrotullimit rreth një boshti

që kalon nga pika origjinë Q1. Duke krahasuar shprehjet (VI.2.8) dhe (VI.2.9) gjejmë

se:

’ = (VI.2.10)

dhe

VQ1 = VQ + a (VI.2.11)

Barazimi i parë (VI.1.10) tregon se , shpejtësia këndore nuk varet nga zgjedhja e

origjinës së sistemit të lëvizshëm, ajo është madhësi që karakterizon rrotullimin e

trupit të ngurtë si një i tërë. Çdo sistem i lëvizshëm i lidhur ngurtësisht me trupin

rrotullohet me të njëjtën shpejtësi këndore. Ndërsa barazimi i dytë (VI.2.11) tregon

se, shpejtësia e lëvizjes së translacionit nuk e ka këtë karakter “absolut”, ajo varet nga

117

zgjedhja e origjinës së sistemit të lëvizëshëm dhe lidhja midis shpejtësive të

translacionit për dy origjina të ndryshme Q dhe Q1 jepet nga relacioni (VI.2.11).

Le të shqyrtojmë një rast të veçantë të lëvizjes së trupit të ngurtë, kur në një çast

të dhënë shpejtësia e translacionit VQ dhe shpejtësia këndore janë reciprokisht

pingule për një ndonjë zgjedhje të origjinës Q të

sistemit të lëvizëshëm (fig. VI.2.2). Le ta spostojmë

tani origjinën e sistemit të lëvizshëm sipas drejtimit

pingul me planin e vektorëve , VQ me një madhësi a

(deri në origjinën Q1 , fig. VI.2.2) të tillë që produkti

vektorial që shtohet sipas relacionit (VI.2.11) të jetë:

a = -VQ (shih fig. VI.2.2), pra në madhësi a = VQ

/ . Kështu, sipas relacionit (VI.2.10), shpejtësia e

translacionit kur zgjidhet si origjinë Q1 është zero. Në

fakt, shpejtësia e traslacionit del zero jo vetëm për

këtë origjinë, por për çdo origjinë të zgjedhur në drejtimin që kalon nga Q1 paralel me

. Kjo për arsye se, sipas relacionit (VI.2.11) gjatë spostimit të origjinës me vektorë

a’ që janë paralelë me vektorin , shpejtësia e translacionit nuk ndryshon sepse

termi që shtohet është zero: a’ = 0 ( si produkt vektorial i vektorëve kolinearë).

Kur zgjidhet origjina në këtë drejtim (në fig. VI.2.2, drejtimi me vijë të ndërprerë),

atëhere lëvizja e të gjitha pikave të trupit në çastin e dhënë del thjeshtë rrotullim rreth

këtij drejtimi. Në çastin e dhënë të gjitha pikat e trupit rrotullohen rreth këtij drejtimi,

prandaj ky drejtim quhet bosht i çastit i rrotullimit. Ky drejtim mund të jetë brenda

trupit ose mund të jetë jashtë tij, por gjithnjë i lidhur ngurtësisht me trupin dhe

pozicioni i tij ndaj një sistemi të palëvizshëm mund të ndryshojë me kohën. Një

lëvizje e tillë e trupit të ngurtë quhet planparalele , sepse në çastin e dhënë

zhvendosjet e pikave të ndryshme të trupit, duke qenë rrotulluese rreth një boshti,

shtrihen në plane paralele me njeri tjetrin pingul me boshtin e rrotullimit. Një

shembull shumë i qartë i një lëvizjeje të tillë është rrokullisja e një cilindri mbi një

plan horizontal, ku boshti i çastit i rrotullimit është vija e kontaktit të cilindrit me

planin.

Le të shqyrtojmë tani, rastin e çfardoshëm të lëvizjes së trupit të ngurtë: Kur

shpejtësia këndore dhe shpejtësia e translacionit VQ nuk

janë pingul me njera tjetrën për çdo zgjedhje të origjinës së

sistemit të lëvizëshëm Q. Le ta zemë se këta vektorë

formojnë një kënd me njeri tjetrin (fig. VI.2.3). E

zbërthejmë shpejtësinë e translacionit VQ në dy përbërëse:

një përbërëse paralel me shpejtësinë këndore VQ|| , e cila në

madhësi është VQ cos , dhe një përbërëse pingul me

shpejtësinë këndore VQ , e cila në madhësi është VQ sin .

Përbërësen pingule të shpejtësisë mund ta thjeshtojmë duke

zgjedhur, siç thamë më lart, një origjinë tjetër të sistemit të

lëvizshëm. Pra duke spostuar origjinën nga Q në Q1 , me

VQ

VQ

VQ||

Q

Fig. VI.2.3

Q1

Q

a

VQ

a

Fig. VI.2.2

118

vektorin a i tillë që produkti vektorial a të jetë : a = - VQ (në madhësi a

= VQ sin /) , atëhere në lidhje me origjinën Q1 (ose në lidhje me të gjitha origjinat

që ndodhen në drejtimin paralel me që kalon nga Q1), të gjitha pikat e trupit kanë

shpejtësi të translacionit paralel me shpejtësinë këndore. Kështu, me zgjedhje të

përshtatëshme të sistemit të lëvizëshëm, lëvizja e trupit të ngurtë sillet në një rrotullim

rreth një boshti të çastit të rrotullimit dhe në një translacion paralel me këtë bosht, me

shpejtësi: VQ cos . Pra, lëvizja e çfardoshme e trupit të ngurtë duket si lëvizje

helikoidale (rrotullim sipas një drejtimi dhe translacion po sipas këtij drejtimi) me

një bosht të çastit që quhet boshti helikoidal. Problemi sillet në gjetjen e pozicionit të

këtij boshti, i cili është i lidhur ngurtësisht me trupin (mund të gjendet brenda ose

jashtë trupit) dhe që mund të zhvendoset ndaj një sistemi referimi të palëvizshëm.

VI.3 Këndet e Ejlerit

Për studimin e lëvizjes së trupit të ngurtë mund të përdoren 3 koordinatat e

origjinës së sistemit të lëvizshëm të lidhur ngurtësisht me trupin (zakonisht qendra e

inercisë) dhe 3 variabla të pavarura që përcaktojnë orientimin e sistemit të lëvizshëm

X’, Y’, Z’ ndaj një sistemi të palëvizshëm X, Y, Z. Zakonisht këto tri variablat që

përcaktojnë orientimin e sistemit të lëvizshëm ndaj sistemit të palëvizshëm, zgjidhen

tri kënde që nuk shtrihen në një plan. Këto quhen këndet e Ejlerit dhe përcaktohen si

më poshtë.

Për të

përftuar një pozicion

të çfardoshëm të një

sistemi kordinativ

kartezian që vetëm

rrotulluhet ndaj një

sitemi kordinativ

kartezian të

palëvizshëm (pra që

kanë origjinën e

kordinatave të

përbashkët), mund të

bëjmë tri rrotullime

të njëpasnjëshme me

një renditje të

caktuar. Së pari,

duke qënë fillimisht

të dy sistemet të

përputhur,

rrotullojmë sistemin

e lëvizshëm rreth

boshtit OZ me një

X1

Z

Y

X

Y1

a)

N

X1

Z

Y

X

b)

Z’ Y2

N

X1

Z

Y

X

c)

Z’ Y2 Y ’

X ’

N

Z

Y

X

d)

Z ’

Y ’

X

’

Fig. VI.3.1

O

119

kënd sipas kahes së kundërt me rrotullimin e akrepave të sahatit. Boshtet OX dhe

OY të sistemit të lëvizshëm vijnë në pozicionin OX1 dhe OY1 (shih figurën VI.3.1a),

në planin e mëparshëm XOY (boshit OZ nuk ndryshon). Së dyti, e rrotullojmë

sistemin e lëvizshëm rreth boshtit OX1 me një kënd , përsëri sipas kahes së kundërt

të rrotullimit të akrepave të sahatit. Boshtet e sistemit të lëvizshëm OY1 dhe OZ vijnë

në pozicionet përkatësisht OY2 dhe OZ’ , ndërsa boshti OX1 i sistemit të lëvizshëm

mbetet aty ku ishte (fig. VI.3.1b). Pas këtij rrotullimi të dytë, plani X1OY2 i sistemit

të lëvizshëm formon me planin XOY të sistemit të palëvizshëm këndin dhe të dy

planet priten sipas boshtit OX1 , që quhet vija e nyjeve, të cilën më tej do ta shënojmë

me ON. Së treti, e rrotullojmë sistemin e lëvizshëm rreth boshtit OZ’ me një kënd ,

përsëri në kahen e kundërt me rrotullimin e akrepave të sahatit. Pas këtij rrotullimi të

tretë, boshtet e sistemit të lëvizshëm vijnë në pozicionin e çfardoshëm OX ’, OY ’,

OZ’ (fig. VI.3.1c). Këndet , , quhen këndet e Ejlerit , Ato përcaktojnë

plotësisht orientimin e një sistemi kordinativ çfardo (që ka pësuar një rrotullim të

çfardoshëm) ndaj një sistemi kordinativ të palëvizshëm që ka origjinë të përbashkët

me të. Në praktikë këndet e Ejlerit, përcaktohen në këtë mënyrë: Vizatohet plani

X’O’Z’ i sistemit kordinativ të lëvizëshëm, i cili e pret planin XOY të sistemit

kordinativ të palëvizshëm sipas vijës së nyjeve ON (shih fig. VI.3.1d). Atëhere

këndet dhe përcaktohen menjëherë si këndet që formon vija e nyjeve

përkatësisht me boshtin OX dhe OX’. Ndërsa këndi përcaktohet thjeshtë si këndi

midis boshteve OZ dhe OZ’ (Fig. VI.3.1d).

Këndi i Ejlerit merr vlera nga zero deri në , ndërsa këndet dhe

marrin vlera nga zero deri në 2 . Këndet dhe - /2 , paraqesin përkatësisht

këndin polar dhe këndin azimutal (kujtoni koordinatat sferike) të drejtimit të boshtit

OZ’ në lidhje me boshtet e palëvizshëm OX, OY, OZ. Ndërsa këndet dhe /2 -

paraqesin përkatësisht këndin polar dhe këndin azimutal të drejtimit të boshtit OZ në

lidhje me boshtet OX’ , OY’ , OZ’ .

Për rrotullime pambarimisht të vogla, këndet e rrotullimit mund të konsiderohen

vektorë. Prandaj edhe shpejtësia këndore e rrotullimit të një trupi mund të

konsiderohet si vektor dhe si çdo vektor, përbërëset e saj transformohen njëlloj

sikurse përbërëset e rreze vektrorit gjatë ndrimit të sistemit kordinativ. Por ne do t’i

gjejmë këto transformime të përbërseve të në bazë të atyre që thamë më lart për

këndet e Ejlerit. Pra, rrotullimin pmv të trupit me një shpejtësi këndore çfarëdo , do

ta konsiderojmë si rezultante të tri rrotullimeve të njëpasnjëshme me këndet pmv të

Ejlerit: rrotullimi me këndin elementar d rreth boshtit të palëvizshëm OZ,

rrotullimi me këndin elementar d rreth vijës se nyjeve dhe rrotullimi me këndin

elementar d rreth boshtit të lëvizshëm OZ’ . Pra, shpejtësia këndore rezultatne

shprehet si shumë e tri vektorëve:

Ω θ ψ (VI.3.1)

ku vektori i parë është drejtuar sipas boshtit OZ, vektori i dytë është drejtuar sipas

vijës së nyjeve dhe vektori i tretë është i drejtuar sipas boshtit OZ’ (shih figurën

120

VI.3.1d). Për të gjetur projeksionin e shpejtësisë këndore psh sipas boshtit të

lëvizshëm OX’ , projektojmë secilin nga të tri vektorët sipas këtij boshti:

'

'

'

sin sin

cos

0

X

X

X

Kështu që përbërësja X’ e shpejtësisë këndore del:

'

'

'

sin sin cos

ne menyre analoge , gjejme :

sin cos sin

cos

x

Y

Z

(VI.3.2)

Duke arsyetuar në mënyrë analoge mund të gjejmë përbërëset e shpejtësisë këndore

në boshtet e palëvizshme OX, OY, OZ, të shprehura nëpërmjet këndeve të Ejlerit:

sin sin cos

sin cos sin

cos

x

Y

Z

(VI.3.3)

VI.4 Energjia kinetike e rrotullimit

Çdo pikë e trupit të ngurtë merr pjesë në dy lëvizje: një lëvizje translacioni me

shpejtësi VQ ( shpejtësisa e origjinës së sistemit të lëvizshëm) dhe një lëvizje

rrotullimi me shpejtësi: ri , ku ri është rrezja vektore e kësaj pike të trupit

ndaj origjinës së sistemit të këvizshëm. Pra, shpejtësia e pikës së i-të të trupit është :

vi = VQ + ri (VI.4.1)

Le të llogaritim energjinë kinetike të trupit të ngurtë si shumë e energjive kinetike të

çdo pike të tij:

N

i

iQim

T1

2

2rΩV , (VI.4.2)

ku N është numri i pikave në të cilat është ndarë trupi i ngurtë.

Duke shkruar katrorin e kllapës në shumën e mësispërme dhe duke shkruar shumën

e çdo termi, kemi:

22

2

1

2

1

i

i

i

iQ

i

i mmVmT iiQ rΩrΩV (VI.4.3)

VQ dhe janë të njëjta për të gjitha pikat (nuk varen nga indeksi i shumimit),

prandaj mund t’i nxjerrim jashtë shenjës së shumës. Kështu tek termi i parë i

barazimit (VI.4.3), duke nxjerrë jashtë shumës VQ2 , mbetet shuma e masave të pikave

të trupit që jep masën e gjithë trupit m dhe termi i parë i barazimit (VI.4.3) bëhet :

121

T1 = mVQ2 / 2 (VI.4.4)

Pra, ky term jep energjinë kinetike të lëvizjes translative të trupit me shpejtësi VQ .

Ndërsa termi i dytë i barazimit (VI.4.3), mund të shkruhet1:

V r r V V ri Q i i i Q Q i ii i i

m m m

Nëse origjina e sistemit të lëvizëshëm zgjidhet në qendrën e inercisë, atëhere ky term

bëhet zero, sepse shuma që shfaqet në këtë term jep rreze vektorin e qendrës së

inercisë ndaj vetë qendrës së inercisë, që është natyrisht zero. Le të transformojmë

tani termin e tretë që jep energjinë e lëvizjes rrotulluese rreth një boshti që kalon nga

qendra e inercisë2:

2

2

1 1 1 1

2 2 2 2

Ω × r Ω × r Ω r × Ω × r Ω Ω r r Ω Ω r22 2

i i i i i i i i i i i i i

i i i i

T = m × = m = m r - = m Ω r -

Pas këtij transformimi, energjia kinetike e trupit të ngurtë shprehet si shumë e dy

termave energjisë kinetike T1 të lëvizjes translative dhe energjisë kinetike të lëvizjes

rrotulluese T2 :

i

ii

Qrm

VmT

222

2

2

1

2irΩ (I.4.5)

Theksojmë se energjia kinetike e trupit të ngurtë shprehet si shumë e dy termave

vetëm në rastin kur qendra e sistemit të lëvizshëm (sistemit të lidhur me trupin)

zgjidhet në qendrën e inercisë. Termi i parë, energjia kinetike e lëvizjes translative, ka

trajtën e energjisë kinetike të një pike materiale me masë sa masa e gjithë trupit, që

lëviz me shpejtësinë e qendrës së masës. Ndërsa termi i dytë, energjia e lëvizjes

rrotulluese, shpreh energjinë kinetike të rrotullimit rreth një boshti që kalon nga

qendra e inercisë. Energjinë kinetike të rrotullimit do ta transformojmë më tej.

Shënojmë përbërëset e vektorit të shpejtësisë këndore në boshtet e lëvizshme OX’,

OY’, OZ’ (boshtet e lidhur me trupin) me 1 , 2 , 3 ose x , y , z ose ( ku

= 1, 2, 3 ose x, y, z) dhe përbërëset e rreze vektorit ri në boshtet e lëvizshme me ri

( ku =1, 2, 3 ose x, y, z ). Kini parasysh se indeksi i merr vlera nga 1 në N , ku N

është numri i pikave që formojnë trupin, ndërsa indekset (ose dhe që do

përdorim më poshtë) marrin vlera nga 1 në 3 ose x, y, z. Po ashtu kini parasysh se

përbërësja ri1 ose rix është kordinata xi e pikës së i –të të trupit në sistemin

kordinativ të lidhur me trupin; ndërsa përbërësja ri2 ose riy është kordinata yi e pikës

së i –të të trupit në këtë sistem; përbërësja ri3 ose riz është kordinata zi e pikës së i –

të të trupit në këtë sistem. Me këto shënime energjia kinetike e rrotullimit, shkruhet

në trajtën:

1 Në produktin e përzier që shfaqet tek ky term, ndrojmë vëndet e produktit skalar me

produktin vektorial dhe mandej nzjerrim jashtë shumës madhësitë që nuk varen nga indeksi i

shumimit. 2 Përsëri zbatojmë rregullin e produktit të përzier, pra ndërrojmë vendet midis produktit skalar

dhe vektorial. Mandej për produktin e dyfishtë vektorial që del pas kësaj, zbatojmë rregullin:

abc = b(ac) c(ab).

122

3

1

3

1

3

1

3

1

22

12

1

iii

N

i

irr rrrmT

Në këtë trajtë, kini parasysh se 2222

3

1

2

iiiii rzyxr

. Ndërsa katrorin e

shpejtësisë këndore, mund ta shkruajmë në trajtën:

3

1

3

1

3

1

2

,

ku është shënuar i ashtuquajturi simboli i Kroneker-it, i cili merr vlerë zero kur

dhe vlerë 1 kur =. Duke ndërruar renditjen e shumave, të cilat kryhen sipas

indekseve të pavarur, energjia kinetike e rrotullimit shkruhet:

i

iiiirr rrrmT 2

2

1 (VI.4.6)

Shënojmë madhësinë që është brenda kllapave gjarpërushe me:

N

i

iiii rrrmI1

2

(VI.4.7)

e cila varet vetëm nga indekset dhe (pra ka 9 vlera për = 1, 2, 3 ose x, y, z dhe

= 1, 2, 3 ose x, y, z) dhe quhet tenzor i inercisë 3. Me futjen e tenzorit të inercisë,

energjia kinetike e rrotullimit, shkruhet:

ITrr2

1 (VI.4.8)

Pra, ajo ka trajtë analoge me termat e zakonshëm të energjisë kinetike, (është shumë

kuadratike e përbërseve të shpejtësisë këndore), ku rolin e masës (inercisë) e luajnë

elementet e tenzorit të inercisë. Përfundimisht, energjia kinetike e trupit të ngurtë

shkruhet:

IVm

TQ

2

1

2

2

(VI.4.9)

dhe funksioni i Lagranzhit i trupit të ngurtë shkruhet:

UIVm

LQ

2

1

2

2

(VI.4.10)

ku energjia potenciale U është në përgjithësi funksion i 6 kordinatave që përcaktojnë

pozicionin e trupit të ngurtë ( 3 koordinatat e qendrës së inercisë dhe tri këndeve ose

madhësive që përcaktojnë orientimin e sistemit të lëvizshëm ndaj atij të palëvizshëm).

3 Ky është një tenzor i rangut të dytë në hapësirën 3 dimensionale euklidiane. Tenzori i rangut

të dytë përcaktohet si një matricë 33 (me 9 komponente) komponentet e të cilit

transformohen sipas një ligji të caktuar (ashtu siç transformohen përbërëset e një vektori, i

cili është tenzor i rangut të parë) gjatë transformimit orthogonal të sistemit koordinativ (gjatë

rrotullimit të tij).

123

VI.5 Tenzori i inercisë

Le të shqyrtojmë më tej madhësinë tenzoriale që përcaktuam më lart, pra

tenzorin e inercisë I (VI.4.7). Le të shkruajmë elementët e këtij tenzori, duke

patur parasysh se koordinatat e pikave të ndryshme të trupit në sistemin koordinativ të

lidhur me trupin, janë: ri1 = xi , ri2 = yi , riz = zi .

2 2

2 2

( )

( )

-

i i i i i i i i ii i ixx xy xz

yx yy yz i i i i i i i i ii i i

zx zy zzi i i i i i

i i

m y z m x y m x zI I I

I I I I m y x m x z m y z

I I Im z x m z y

2 2

( ) i i ii

m x y

(VI.5.1)

Shumimet në shprehjen e komponenteve të tenzorit të inercisë kryhen sipas numrit të

pikave materiale në të cilat është ndarë trupi i ngurtë. Në limitin kur ndarja e trupit të

ngurtë bëhet pambarimisht e imët, këto shuma japin integrale sipas vëllimit të trupit të

ngurtë. Qoftë nga shprehja (VI.4.7) e tenzorit të inercisë, qoftë nga shprehja

shtjellazi e komponenteve të tenzorit të inercisë (VI.5.1) duket se tenzori i inercisë

është simetrik, pra:

I = I (VI.5.2)

Përbërëset e tenzorit janë simetrikë ndaj diagonales. Provohet se, për çdo tenzor

simetrik i rangut të dytë, mund të gjendet një sistem koordinatash në të cilin

komponentet e tenzorit jashtë diagonales janë zero. Pra në këtë sistem koordinatash

(kuptohet i lidhur me trupin) tenzori është diagonalizuar, në trajtën:

2 2

2 2

( )

0 ( )

0 00

0 0 0 0

0 0 0

i i iixx

yy i i ii

zz

m y zI

I I m x z

I

2 2

( ) 0 i i i

i

m x y

(VI.5.3)

Sistemi i boshteve koordinative (i lidhur me trupin) ku tenzori i inercisë është i

diagonalizuar, quhet sistemi i boshteve kryesorë të inercisë. Pra, në çdo trup të ngurtë

gjenden tri drejtime reciprokisht pingule, që janë boshtet kryesore të inercisë. Në këtë

sistem boshtesh, tenzori ka vetëm tre vlera të ndyshme nga zero, që janë elementet e

diagonales. Këto vlera quhen momente kryesorë të inercisë dhe shënohen zakonisht

me:

)( , )( , )( 22

3

22

2

22

1 i

iii

i

iii

i

iii yxmIzxmIzymI (VI.5.4)

Eshtë e qartë, që këto vlera paraqesin momentin e inercisë4 së trupit të ngurtë në

4 Siç dihet nga Fizika e përgjithshme, momenti i inercisë së trupit ndaj një boshti, psh boshtit

OX, përcaktohet si i

iix dmI 2, ku di

2 = yi

2 + zi

2 është katrori i largësisë së pikës së

i-të të trupit nga boshti OX.

124

lidhje me boshtin përkatës të inercisë. Kur ndarja e trupit në pika bëhet pambarimisht

e imët, këto shuma shndrohen në integralet përkatëse sipas vëllimit të trupit, psh:

V

dmzyI )( 22

1

Në sistemin e boshteve kryesorë të inercisë (sistemi i lidhur me trupin), shprehja e

energjisë kinetike të rrotullimit të trupit të ngurtë (VI.4.8) thjeshtohet mjaft. Shumat

sipas indekseve dhe (1, 2, 3 ose x , y, z) sillen vetëm në tri terma, pasi vetëm tre

komponente të tenzorit janë të ndryshme nga zero:

2

33

2

22

2

112

1 IIITrr

(VI.5.5)

ku I1, I2, I3 janë vlerat kryesore të tenzorit të inercisë dhe 1 , 2 , 3 janë

përbërëset e vektorit të shpejtësisë këndore në 3 boshtet kryesorë të inercisë (boshtet e

lidhur me trupin). Prandaj, merr rëndësi përcaktimi i pozicioneve të boshteve

kryesorë të inercisë të trupit të ngurtë. Për një trup të ngurtë me formë çfarëdo, është

e vështirë gjetja e boshteve kryesorë të inercisë. Në rastet kur trupi ka ndonjë simetri,

zakonisht boshtet kryesorë të inercisë ndjekin këtë simetri.

Në rastet kur trupi ka simetri sferike (simetrinë e rrotullimit rreth çdo boshti që

kalon nga qendra e inercisë), atëhere si boshte kryesore të inercisë mund të merren tri

boshte çfardo pingul me njeri tjetrin që kalojnë nga qendra e inercisë . Në këtë rast,

momentet kryesore të inercisë janë të barabartë: I1 = I2 = I3 = I. Një trup i tillë është

p.sh., sfera homogjene me masë m dhe rreze R. Po të mbledhim të tri vlerat e

barabarta, sipas shprehjes (VI.5.4), gjejmë:

i

iiiii

i

i rmzyxmIIII 2222

321 22223 ,

e cila në limit jep integralin: V

dmr 22 . Duke zgjedhur elemente p.m.v. që kanë të

njëjtën largësi r nga qendra e sferës, shuma e masave të tyre jep masën e unazës

rrethore me trashësi elementare dr, e cila për sferën homogjene me densitet të masës

m/[(4/3)R3], është dm = 4r

2dr m/[(4/3)R

3] = 3mr2dr/R

3 . Duke zevendësuar këtë

rezultat në integralin e mësipërm, gjejmë:

2

0 3

4

5

33Rm

R

drrmR

ose I = 2

5

2Rm

Nëse trupi ka simetrinë e rrotullimit rreth një boshti, atëhere qendra e inercisë

ndodhet në këtë bosht simetrie dhe vetë ky bosht është njeri nga boshtet kryesore të

inercisë, psh boshti 3. Ndërsa dy boshtet e tjera kryesorë të inercisë 1 dhe 2, mund të

zgjidhen çfarëdo pingul me boshtin e simetrisë dhe pingul me njeri tjetrin. Në këtë

rast, kemi:

I1 = I2 I3 (VI.5.6)

dhe trupi quhet fugë simetrike. Një shembull i fugës simetrike është cilindri

homogjen me masë m dhe rreze R , për të cilin momenti i inercisë ndaj boshtit të

simetrisë është I3 = mR2/2.

125

Nëse trupi ka simetri ndaj ndonjë plani, atëhere qendra e inercisë ndodhet në këtë

plan. Në planin e simetrisë ndodhen dy boshte kryesore të inercisë, ndërsa boshti i

tretë është pingul me planin e simetrisë. Një rast i veçantë i trupave të tillë janë

pllakat e holla (me trashësi aq të vogël sa mund të konsiderojmë se të gjitha pikat e

trupit kanë një kordinatë të njëjtë , psh z = 0). Në këtë rast, nga formulat (VI.5.4)

gjejmë se:

I3 = I1 + I2 (VI.5.7)

Kështu, një disk rrethor homogjen me masë m dhe rreze R , për të cilin I3 = mR2/2,

kemi I1 = I2 = mR2/4.

Gjatë llogaritjeve të momenteve kryesorë të inercisë, shfrytëzohet vetia aditive e

momenteve të inercisë. Pra, çdo trup mund ta ndajmë në pjesë dhe momenti i inercisë

së trupit rreth një boshti është shuma e momenteve të inercisë së seicilës pjesë ndaj

këtij boshti. Kështu, gjatë gjetjeve të momenteve të inercisë së diskut rrethor, atë

mund ta ndajmë në unaza rrethore, ose gjatë gjetjes së momenteve të inercisë së

cilindrit atë mund ta ndajmë në disqe të hollë etj.

Një rast akoma më specifik është trupi që ka formën e një shufre të hollë. Në këtë

rast mund të konsiderohet që të gjitha pikat e trupit kanë dy kordinata zero, psh xi = yi

= 0, ky trup quhet rotator. Në bazë të formulave (VI.5.4) del se I3 = 0 dhe I1 = I2

= i

ii zm 2 , e cila në limit jep integralin dmz2

. Ky integral, për shufrën

homogjene me masë m dhe gjatësi l , del I1 = I2 = m l2/12. Rotatori ka vetëm dy

gradë lirie rrotullimi, që u korespondojnë rrotullimeve rreth boshteve 1 (OX) dhe 2

(OY ), sepse nuk ka kuptim rrotullimi rreth boshtit 3 të inercisë (OZ) ku momenti i

inercisë është zero.

Deri tani kemi folur për tenzorin e inercisë në lidhje me sistemin e boshteve të

lidhur me trupin që e ka origjinën O në qendrën e inercisë. Nëse llogarisim tenzorin e

inercisë në lidhje me një origjinë të re O’ e cila është e spostuar nga origjina O me

një vektor a (është vektori që bashkon dy origjinat), atëhere rreze vektorët e pikave të

trupit në lidhje me origjinën e re O’ lidhen me rreze vektorët në lidhje me origjinën O

me relacionin:

ri = r’i + a ose përbërëset e tyre : ri = r’i + a ku = 1, 2, 3.

Tenzori i inercisë në lidhje me origjinën O’, do jetë (sipas përcaktimit VI.4.7):

i

iiii rrrmI '''2'

Duke zevendësuar në këtë shprehje lidhjet e mësipërme, kemi;

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

ii

i

iiii

i

iiii

aamarmarmamm

rrrmararmI

2

22'

2

)()()(

ar

ar

Duke patur parasysh se që 0 perberese ne ose 0i

iii

ii rmm r , sepse

O është qendra e inercisë, atëhere në barazimin e mësipërm termi i dytë, termi i katërt

126

dhe termi i pestë i anës së djathtë bëhen zero. Kështu që, lidhja midis tenzorëve të

inercisë në lidhje me origjinat O’ dhe O është:

I’ = I + m (a2 - a a) (VI.5.8)

ku m është masa e gjithë trupit dhe është simboli i Kronekrit. Barazimi

(VI.5.8) njihet si teorema e Shtejnerit. Një rast i veçantë i saj, që njihet edhe nga

kursi i Fizikës, është kur = , pra kur llogariten momentet e inercisë në lidhje me

boshtet kryesore të inercisë ( = =1, 2, 3), psh:

I’1 = I1 + m (a2 - a1

2) = = I1 + m (a2

2 + a3

2) = I1 + md

2 ,

ku d2 = a2

2 + a3

2 është katrori i largësisë midis boshteve, sipas drejtimit pingul me

boshtin 1 dhe 1’. Ky barazim tregon se momenti i inercisë në lidhje me një bosht që

nuk kalon nga qendra e masës I’1 është i barabartë me momentin e inercisë në lidhje

me një bosht paralel me të por që kalon nga qendra e masë I1 plus produktin e masës

së trupit me katrorin e largësisë midis dy boshteve.

VI.6 Momenti i impulsit i trupit të ngurtë

Momenti i impulsit i trupit të ngurtë varet nga zgjedhja e origjinës në lidhje me të

cilën ai llogaritet. Kur zgjidhet si origjinë qendra e inercisë e trupit, atëhere momenti i

impulsit i llogaritur është “momenti vetiak i impulsit”5 , dmth momenti i impulsit të

lëvizjeve të pikave të trupit ndaj qendrës së inercisë. Siç dihet, lëvizja e pikave ndaj

qendrës së inercisë është thjeshtë lëvizje rrotulluese, pra shpejtësia e çdo pike është:

vi = ri , ku - është shpejtësia këndore e rrotullimit dhe ri është rrezja vektore

e pikës së i-të (i = 1, 2, 3, ...N) ndaj qendrës së inercisë. Kështu, momenti i impulsit të

trupit ndaj qendrës së inercisë, rezulton6:

M= i

ii

i

ii

i

ii mmm rΩ r-ΩrrΩ rv r i

2

iii (VI.6.1)

Duke futur shënimet tenzoriale që përdorëm në paragrafët e mësipërm, mund të

shkruajmë përbërëset e këtij momenti sipas boshteve koordinative, në trajtën:

2 2i i i i i i i i

i i

M m r r r m r r r

ose duke ndryshuar renditjen e shumave që kryhen sipas indekseve të pavarur

(indeksi i që numëron pikat e trupit merr vlera nga 1 deri në N, ndërsa indekset ose

numërojnë përbërëset, pra marrin vlera 1, 2, 3 ose x, y, z), kemi:

IrrrmM iii

i

i

2 (VI.6.2)

ku I janë përbërëset e tenzorit të inercisë.

5 Kur kemi llogaritur momentin e impulsit në lidhje me origjinën e një sistemi inercial referimi

(shih paragrafin 2.4), kemi thënë se ai mund të ndahet në dy terma. Njeri term është momenti i

impulsit të lëvizjes së trupit si një i tërë me shpejtësinë e qendrës së inercisë dhe termi i dytë

është momenti vehtiak i impulsit 6 Pasi zbatojmë rregullin e produktit të dyfishtë vektorial: a (b c) = b(ac) - c(ab).

127

Nëse boshtet koordinative zgjidhen sipas boshteve kryesore të inercisë, atëhere

përbërëset e momentit të impulsit (VI.6.2) shkruhen:

M1 = I1 1 , M2 = I2 2 , M3 = I3 3 (VI.6.3)

ku I1 , I2 , I3 janë vlerat kryesore të tenzorit të inercisë, d.m.th. momentet e inercisë

në lidhje me boshtet kryesore të inercisë. Siç duket nga shprehjet (VI.6.3), në

përgjithësi kur I1 I2 I3 , vektori i momentit të impulsit nuk përputhet në drejtim

me shpejtësinë këndore , pra nuk përputhet me boshtin e rrotullimit. Përjashtim bën

rasti i trupit me simetri sferike, ku I1 = I2 = I3 . Në këtë rast momenti i impulsit

shtrihet përgjatë boshtit të rrotullimit. Kuptohet edhe kur trupi rrotullohet rreth ndonjë

boshti kryesor inercie psh rreth boshtit 1, atëhere përbërëset e shpejtësisë këndore

sipas boshteve të tjerë të inercisë është zero (2 = 3

= 0) dhe momenti i impulsit ka vetëm një përbërëse,

sipas boshtit 1, që përputhet në drejtim me boshtin e

rrotullimit.

Le të shqyrtojmë lëvizjen e lirë të trupit të ngurtë,

dmth lëvizjen e trupit në mungesë të veprimit të

forcave të jashtme. Lëvizja translative e njëtrajtëshme

nuk paraqet interes, pra do ta përjashtojmë këtë

lëvizje, duke zgjedhur një sistem referimi të lidhur me

qendrën e inercisë (për lëvizjen e lirë, qendra e masës

lëviz me shpejtësi konstante) dhe do të shqyrtojmë

vetëm rrotullimin e lirë të trupit të ngurtë. Ashtu si për

çdo sistem të mbyllur, momenti i impulsit i trupit që

rrotullohet lirisht është konstant (integral i lëvizjes) në

madhësi e në drejtim M = konst. Por për një trup të

çfardoshëm, kjo nuk do të thotë që = konst., pra

boshti i rrotullimit mund të mos jetë konstant. Interes

praktik paraqet rrotullimi i lirë i fugës simetrike.

Le ta zemë se boshti i simetrisë së fugës është boshti kryesor i inercisë 3, pra I1 =

I2 I3. Boshtet kryesorë të inercisë 1 dhe 2 mund t’i zgjedhim çfardo pingul me

boshtin e simetrisë dhe pingul me njeri tjetrin. Boshtin 2 e zgjedhim pingul me planin

e përcaktuar nga vektori M (ky vektor ruhet me kohën) dhe nga boshti i simetrisë 3,

i cili në çastin e dhënë është në planin e figurës (VI.6.1), në po këtë plan është edhe

boshti 1. Në këtë çast përbërësja e momentit të impulsit sipas boshtit 2 është zero, M2

= 0, prandaj sipas (VI.6.3) edhe 2 = 0. Kjo domethënë se në çastin e dhënë boshti i

rrotullimit ndodhet në planin e figurës (plani x1 x3) ku ndodhet edhe vektori i

momentit të impulsit M. Shpejtësitë e të gjitha pikave të trupit në çastin e dhënë janë

rrotulluese rreth boshtit të çastit të rrotullimit, pra edhe pikat e boshtit të simetrisë 3

kanë shpejtësi rrotullimi vi = ri , pra kanë shpejtësi pingul me planin e figurës

(vektorët ri shtrihen në planin e figurës sikurse edhe ). Me fjalë të tjera, boshti i

simetrisë i fugës rrotullohet rreth drejtimit të M duke përshkruar konin rrethor me

kënd të hapjes 2 . Ky rrotullim quhet preçesion i rregullt i fugës simetrike. Edhe

boshti rrotullimit të çastit preceson njëlloj rreth drejtimit të M që është konstant.

M

pr

3

’ 1

1

3

O

Fig. VI.6.1

128

Njëkohësisht me këtë lëvizje, fuga rrotullohet rreth boshtit të simetrisë, pra shpejtësia

këndore mund të merret si shumë e dy vektorëve (shih figurën VI.6.1): ’ (sipas

boshtit të simetrisë) dhe pr (sipas drejtimit të M) që është shpejtësia këndore e

precesionit. Por, është njëkohësisht shumë e dy përbërëseve në boshtet kryesore të

inercisë 1 dhe 3 ( sepse 2= 0). Nga figura duket se :

33

33

cos

I

M

I

M (VI.6.4)

Gjithashtu nga figura duket se:

11

11

sinsin

I

M

I

Mpr

,

që nga nxjerrim shprehjen e shpejtësisë këndore të preçesionit të rregullt të fugës

simetrike:

1I

Mpr (VI.6.5)

Këtë rezultat mund ta nxjerrim edhe nëpërmjet këndeve të Ejlerit.

Preçesioni i fugës, gjen zbatim në arileri. Në disa armë artilerie, gryka ka viaska në

sipërfaqen e brendëshme të saj dhe predha kur del nga gryka fiton një rrotullim të

shpejtë rreth boshtit të vet të simetrisë. Momenti i impulsit përputhet me boshtin e

simetrisë. Por, gjatë fluturimit, si pasojë e fërkimeve jo-simetrike me ajrin, momenti i

impulsit mund të marrë devijime të vogla nga boshti i simetrisë. Lind preçesioni i

boshtit të predhës dhe si pasojë predha nuk devijon nga trajektorja e saj në fushën e

rëndesëc.

VI.7 Ekuacionet e lëvizjes së trupit të ngurtë

Trupi i ngurtë ka në përgjithësi 6 gardë lirie7 , prandaj edhe ekuacionet e lëvizjes

së tij janë në përgjithësi 6 ekuacione skalare ose dy ekuacione vektoriale. Nga këto,

një ekuacion vektoria ose tre ekuacione skalare i përkasin lëvizjes translative dhe një

ekuacion vektorial ose tre ekuacione skalare i përkasin lëvizjes rrotulluese të trupit të

ngurtë. Këto ekuacione njihen edhe kursi i Fizikës së përgjithshme, në trajtë

vektoriale ato janë:

- për lëvizjen translative:

FV

FP

dt

dm

dt

d Q ose (VI.7.1)

ku P = mVQ është impulsi i gjithë trupit, VQ është shpejtësia e qendrës së inercise

dhe F është rezultantja e forcave të jashtme që veprojnë mbi trupin.

7 Në rastin kur trupi i ngurtë ka lidhje që kufizojnë lëvizjen e tij, ky numër mund të jetë më i

vogël se 6.

129

- për lëvizjen rrotulluese:

KM

dt

d (VI.7.2)

ku M është momenti i impulsit të trupit të ngurtë dhe K është momenti rezultant i

forcave të jashtme që veprojnë mbi trupin e ngurtë8 .

Formalisht, këto ekuacione mund të nxirren edhe nëpërmjet lagranzhianit të trupit

të ngurtë (VI.4.10):

L = m UIVQ

2

1

2

2

(VI.7.3)

ku energjia potenciale varet në përgjithësi nga koordinatat e qendrës së inercisë RQ

(XQ ,YQ , ZQ) dhe nga 3 variablat që përcaktojnë lëvizjen rrotulluese.

Ekuacioni për lëvizjen translative ngjason me ekuacionin që merret nga ligji i dytë

i Njutonit për një pikë materiale me masë sa masa e të gjithë trupit e përqëndruar në

qendrën e inercisë (qendra e masës), sikur mbi të, të vepronin të gjitha forcat e

jashtme që veprojnë mbi trupin. Ky ekuacion mund të nxirret formalisht nga

ekuacioni i Lagranzhit për lëvizjen translative, i cili në trajtë vektoriale mund të

shkruhet:

0

QQ

LL

dt

d

RV (VI.7.4)

Duke patur parasysh lagranzhianin e mësipërm është e qartë se

m

L

QVVQ .

Ndërsa derivati QQ

UL

RR

, mund të llogaritet duke arsyetuar në këtë mënyrë.

Gjatë një zhvendosje virtuale p.m.v. translative të trupit RQ, të gjitha pikat e zbatimit

të forcave të jashtme ri (i =1, 2, 3, .... n , aq sa forca të jashtme Fi zbatohen mbi

trupin) pësojnë të njëjtën zhvendosje ri = RQ dhe ndryshimi i energjisë potenciale

do të ishte:

Q

i

iQQ

i i

i

i i

UUU RFFRR

rr

r

,

kështu që derivati QQ

UL

RR

= F , del sa forca rezultante e forcave të jashtme që

veprojnë mbi trupin. Duke zevendësuar këto derivate tek ekuacioni i Lagranzhit

(VI.7.4) merret ekuacioni (VI.7.1) për lëvizjen translative.

8 Të dy vektorët M dhe K llogariten në lidhje me të njëjtën origjinë.

130

Për, trupin e ngurtë paraqet më interes ekuacioni për lëvizjen rrotulluese (VI.7.2).

Edhe ky ekuacion mund të nxirret formalisht nga ekuacioni i Lagranzhit, i cili mund

të shkruhet në trajtë vektoriale për “koordinatat e rrotullimit” në trajtën:

0Ω

d L L

dt

Me të vërtetë, duke derivuar lagranzhianin (VI.7.3), në lidhje me komponentet e

vektorit , kemi:

Ω

LMI

L ose

M

Ndryshimi i energjisë potenciale U, gjatë rrotullimit të trupit me një kënd pmv .

është:

F r F r r F Ki i i i i ii i i

U

Kështu që derivati

ULK, del sa shuma e momenteve të forcave të

jashtme. Duke zevendësuar këto derivate tek ekuacioni i Lagranzhit, del formalisht

ekuacioni i lëvizjes rrotulluese (VI.7.2).

Momenti i forcave dhe momenti i impulsit varen nga zgjedhja e origjinës së

koordinatave në lidhje me të cilën ato llogariten. Në ekuacionin (VI.7.2) është

nënkuptuar që ato janë llogaritur në lidhje me qendrën e inercisë, por gjithnjë në

lidhje me një sistem referimi inercial, i cili për çastin e dhënë e ka origjinën që

përputhet me qendrën e inercisë. Kur spostohet origjina e koordinatave me një

madhësi a, atëhere rreze vektorët e pikave ku zbatohen forcat e jashtme ri bëhen r’i:

ri = r’i + a

dhe momentet e forcave në lidhje me origjinën O dhe O’ lidhen me relacionin:

K = FaK'FaK'FaFr'Fr i

i

i

i

i

ii

i

ii (VI.7.5)

Nga relacioni (VI.7.5) duket se K = K’ në rastin kur forca rezultante është F = 0. Në

këtë rast momenti i forcave të jashtme nuk varet nga zgjedhja e origjinës, një rast i

tillë është çifti i forcave (dy forca të barabarta në madhësi, paralele e në kahe të

kundërta). Momenti i çiftit të forcave nuk varet nga zgjedhja e origjinës.

Sistemi i forcave të jashtme që vepron mbi trupin e ngurtë reduktohet në një forcë

rezultante F dhe në një moment rezultant K. E para nuk varet nga zgjedhja e

origjinës, ndërsa e dyta varet nga kjo zgjedhje. Le ta zemë se për një zgjedhje të

origjinës na rezulton që F dhe K janë pingule me njera-tjetrën. Atëhere me anë të

zgjedhjes së një origjine të re të spostuar me a të tillë që produkti vektorial a F të

jetë baraz me K , sipas barazimit (VI.7.5) del se K’ = 0. Pra, në këtë rast me zgjedhje

të përshtatshme të origjinës, sistemi i forcave reduktohet vetëm në një forcë

rezultante. Ky reduktim ndodh edhe për çdo origjinë tjetër të vendosur në drejtimin

paralel me F (sepse kur spostojmë origjinën sipas këtij drejtimii, shtohen terma a

F , që janë zero). Kështu, në këtë rast gjendet një drejtim në sistemin e lidhur me

131

trupin, i tillë që kur zgjidhet origjina në të, del që sistemi i forcave të jashtme

reduktohet vetëm në një forcë rezultante.

Në rastin e përgjithshëm, kur F dhe K nuk janë pingule me njera-tjetrën, atëhere e

zbërthejmë K në dy përbërëse: K|| paralele me forcën rezultante F dhe K pingule

me F. Me anë të spostimit të origjinës mund ta bëjmë zero përbërësen pingule K .

Kështu, me një zgjedhje të përshtatshme të origjinës, sistemi i forcave që vepron mbi

trupin e ngurtë reduktohet në një forcë rezultante F dhe dhe në një moment rezultant

K|| paralel me të. Ky reduktim vlen jo vetëm për këtë origjinë, por për çdo origjinë në

drejtimin që kalon nga origjina e zgjedhur paralel me F . Ky drejtim quhet boshti i

vidës dinamike. Gjetja e pozicionit të këtij boshti, që mund të jetë edhe jashtë trupit

por i lidhur ngurtësisht me trupin, ka rëndësi në studimin e lëvizjes së trupit të ngurtë.

VI.8 Ekuacionet e Ejlerit

Ekuacionet e lëvizjes së trupit të ngurtë që pamë më lart, janë të vlefshëm në

një sistem referimi inercial. Bëjmë këtu një vërejtje për ekuacionin e dytë, atë të

lëvizjes rrotulluese, i cili vlen edhe për sistemin e referimit me origjinë në qendrën e

inercisë së trupit. Por, gjithnjë imagjinojmë se në çastin e dhënë kemi një sistem

referimi inercial, i cili e ka origjinën në qendrën e inercisë.

Le të shqyrtojmë tani se si do shkruheshin ekuacionet e lëvizjes të trupit të

ngurtë në një sistem koordinativ të lidhur me vetë trupin (sistemi i boshteve kryesorë

të inercisë). Ky sistem referimi rrotullohet ndaj një sistemi të palëvizshëm(inercial)

me shpejtësinë këndore , e cila është një një vektor me origjinë të përputhur me

qendrën e inercisë në çastin e dhënë. Le të shënojmë shpejtësinë e ndryshimi të një

vektori çfarëdo A, në lidhje me sistemin e palëvizshëm, me dt

dA. Nëse vektori A

nuk ndryshon në lidhje me trupin (sistemin e lëvizshëm), atëherë shpejtësia e

ndryshimit të tij ndaj sistemit të palëvizshëm, është:

A Ω A

dt

d (VI.8.1)

Nëse vektori A ndryshon edhe në lidhje me sistemin e lëvizshëm (sistemi i lidhur me

trupin), atëhere në anën e djathtë të barazimit (VI.8.1) duhet të shtojmë edhe një term

që jep shpejtësinë e ndryshimit të vektorit A, ndaj trupit të ngurtë, të cilin do ta

shënojmë dt

d A'

(shënja prim në derivat tregon që është derivati në sistemin e

lëvizshëm). Pra, kemi:

dt

dA =

dt

d A'

+ A (VI.8.2)

Duke përdorur këtë rezultat, mund të shkruajmë ekuacionet e lëvizjes së trupit të

ngurtë në lidhje me sistemin e referimit të lidhur me trupin, në trajtën:

132

dt

d P'

+ P = F dhe dt

d M'

+ M = K (VI.8.3)

ku, P është impulsi i trupit të ngurtë, M është momenti i impulsit i trupit të ngurtë

(ndaj qendrës së inercisë), F është forca rezultante që vepron mbi trupin e ngurtë, K

është momenti rezultant i forcave të jashtme i llogaritur ndaj qendrës së inercisë.

Ekuacionet (VI.8.3) quhen ekuacionet e Ejlerit, por më shumë në praktikë përdoret

ekuacioni i dytë, i cili shkruhet shpesh pa vendosur prim tek shenja e derivatit:

dt

dM + M = K (VI.8.4)

E projektojmë këtë ekuacion vektorial në boshtet kryesore të inercisë (boshtet 1,

2, 3). Përbërëset e momentit të impulsit në këto boshte janë:

M1 = I11 , M2 = I22 , M3 = I33 ,

ku, I1 , I2 , I3 janë vlerat kryesore të tenzorit të inercisë (momentet e inercisë së trupit

ndaj boshteve kryesore të inercisë), të cilat nuk ndryshojnë me kohën. Ndërsa 1, 2,

3 janë projeksionet e shpejtësisë këndore të trupit në boshtet kryesore të inercisë.

Kështu që, ekuacioni vektorial i Ejlerit (VI.8.4) shkruhet në trajtën e tri ekuacioneve

skalare:

321123

3

231312

2

132231

1

)(

)(

)(

KIIdt

dI

KIIdt

dI

KIIdt

dI

(VI.8.5)

ku, K1 , K2 , K3 janë projeksionet e momentit rezultant të forcave të jashtëme në

boshtet kryesore të inercisë.

Le t’i zbatojmë këto ekuacione për rastin e rrotullimit të lirë të një fuge

simetrike. Rrotullim i lirë do të thotë që mungojnë momentet e forcave të jashtme, pra

K1 = K2 = K3 = 0. Për fugën simetrike, kur boshti i simetrisë është boshti 3, kemi I1 =

I2 , prandaj nga ekuacioni i fundit i sistemit të ekuacioneve:

0

0

0

21

3

123

31

2

312

32

1

231

I

II

dt

d

I

II

dt

d

I

II

dt

d

(VI.8.6)

del se: dt

d 3= 0 , dmth 3 është konstante (nuk ndryshon me kohën). Ndërsa dy

ekuacionet e para të sistemit (VI.8.6) mund të shkruhen në trajtën:

133

12

21

(VI.8.7)

ku 3

1

13

I

II është konstante. Duke derivuar në lidhje me kohën sistemin e

ekuacioneve (VI.8.7), gjejmë:

0

0

2

2

2

1

2

1

(VI.8.8)

Zgjidhjet e një sistemi të tillë dihet që janë lëkundje harmonike, të trajtës:

1 = a cos(t)

2 = a sin(t) (VI.8.9)

ku a është amplituda e lëkundjeve. Ky përfundim tregon se projeksioni i shpejtësisë

këndore të fugës së lirë, në planin pingul me boshtin e simetrisë së fugës, rrotullohet

në këtë plan me shpejtësi këndore duke mbetur konstante në madhësi: a =

3

2

2

1 . Kuptohet që edhe vetë vektori i shpejtësisë këndore të trupit , preceson

rreth drejtimit të boshtit të simetrisë së fugës me shpejtësi këndore . Gjithnjë bëjmë

fjalë për sistemin e referimit të lidhur me trupin, ndërsa në paragrafin VI.4 kemi parë

precesionin e fugës së lirë (boshtit të saj) ndaj vektorit konstant M ose boshtit OZ të

sistemit inercial të referimit. Duket se shpejtësia këndore e precesionit që vrojtohet në

sistemin e lidhur me vetë trupin është e ndryshme nga (VI.6.5).

Një rast praktik i vrojtimit të këtij precesioni është rasti i rrotullimit të Tokës, e

cila mund të konsiderohet si fugë simetrike. Boshti i saj i simetrisë9 (boshti që

bashkon polet jugë dhe veri) është i shmangur nga drejtimi i boshtit të rrotullimit 24

orësh të Tokës me një kënd të vogël. Për Tokën mund të konsiderohet se: (I1 – I3)/I1

- 0.0033. Nga relacionet që pamë për fugën, del se boshti i rrotullimit 24-orësh të

Tokës (për një vrojtues në Tokë) duhet të precesojë rreth drejtimit të boshtit të

simetrisë me shpejtësi këndore: 3/ 300, ku 3 mund të merret afërsisht sa

(shpejtësia këndore e rrotullimit 24-orësh të Tokës) meqë vektori është shumë afër

drejtimit të boshtit të simetrisë së Tokës. Del se, vrojtuesi në Tokë duhet të vrojtojë

një rrotullim të plotë të boshtit të rrotullimit 24-orësh të Tokës rreth drejtimit të veriut

pas 300 ditësh. Në realitet vrojtohet që precesioni kryhet me një periodë prej 427

ditësh. Kjo shmangie nga ajo teorike shpjegohet me faktet që Toka nuk është

homogjene dhe absolutisht e ngurtë, orbita e saj nuk është stabël, atmosfera e saj

është në lëvizje etj.

9 Toka mund të konsiderohet si sferë e shtypur pak në polet.

134

VI. 9 Xhiroskopi simetrik me një pikë të palëvizëshme

Me xhiroskop kuptohet zakonisht një trup i rëndë simetrik që rrotullohet

shpejt rreth boshtit të tij të simetrisë. Ne

do shqyrtojmë xhiroskopin që rrotullohet

në fushën e rëndesës dhe ka një pikë të

boshtit të simetrisë të mbështetur (fiksuar)

në një sipërfaqe horizontale (shih figurën

VI.9.1). Ky lloj xhiroskopi ndeshet rëndom

në jetën e përditëshme, siç janë ato

ingranazhet me bosht që fëmijët e

rrotullojnë shpejt duke e lëshuar në një

tavolinë. Xhiroskopi ose lëvizja

xhiroskopike ka shumë zbatime në

teknologjinë e sotme, që nga lodrat deri tek

aparatet që drejtojnë navigimin e anijeve

dhe të fluturimit të avionëve pa pilot.

Boshti i simetrisë së xhiroskopit

është një nga boshtet kryesore të inercisë,

që është shënuar OZ në figurën VI.9.1

(nuk është shënuar me prim siç kemi

shënuar zakonisht boshtet e lidhur me

trupin) ose boshti 3, me moment inercie

përkatës I3 . Pikën e fiksuar të këtij boshti

(pika O në figurë) e marrim si origjinë të

kordinatave, qoftë për sistemin e palëvizëshëm (në figurë është sistemi i boshteve me

vija të ndërprera), qoftë për sistemin e lëvizëshëm OX, OY, OZ. Në fakt, dy boshtet e

tjera kryesore të inercisë së xhiroskopit janë paralel me boshtet OX dhe OY , por

kalojnë nga qendra e inercisë (pika Q në figurë) dhe momentet e inercisë në lidhje

me këto boshte janë I1 = I2 Sipas teoremës së Shteinerit, momentet e inercisë në lidhje

me boshtet OX dhe OY janë I’1=I’2 = I1 + ml2, ku m është masa e xhiroskopit dhe l

është largësia e qendrës së inercisë nga pika O. Pozicioni i trupit përcaktohet nga tre

këndet e Ejlerit: , , që janë treguar në figurë. I vetmi moment i forcave të

jashtëme, në lidhje me origjinën O, që vepron mbi trupin është momenti i forcës së

rëndesës mg. Kjo është edhe e vetmja forcë aktive që vepron mbi trupin dhe energjia

potenciale e saj është:

U = mg l cos (VI.9.1)

Energjinë kinetike të trupit mund ta gjejmë në dy mënyra, që sigurisht të çojnë në të

njëjtin rezultat. Mund ta gjejmë si shumë të energjisë kinetike të translacionit me

shpejtësi sa shpejtësia e qendrës së inercisë, dhe të energjisë kinetike të rrotullimit

rreth boshtit që kalon nga qendra e inercisë. Por më lehtë gjendet duke shprehur

energjinë kinetike si energji të rrotullimit rreth boshtit që kalon nga pika e

palëvizëshme O. Me këtë mënyrë, energjia kinetike shprehet:

O

Fig. VI.9.1

l

X

Y

Q

mg

Vertikalja

Z

135

T = 2

33

2

2

'

2

2

1

'

12

1 III ,

ku 1 , 2 , 3 janë projeksionet e shpejtësisë këndore në boshtet kryesore të

inercisë (ose në boshtet paralele me to: OX, OY, OZ). Ne do heqim shënimin me

prim, pra do shkruajmë thjeshtë I1 dhe I2 (I1 = I2). Duke shprehur projeksionet e

shpejtësisë këndore në boshtet e lëvizëshme nëpërmjet këndeve të Ejlerit (ek. VI.3.2),

kemi:

2 31

sin cos sin cossin sin cos2 2

2 2IIT = ψ + ψ +

Duke kryer veprimet në këtë shprehje, ajo thjeshtohet në trajtën:

232221 cos2

sin2

IIT (VI.9.2)

Prandaj, funksioni i Lagranzhit i xhiroskopit me një pikë të palëvizëshme, shprehet

nëpërmjet këndeve të Ejlerit, në trajtën:

coscos2

sin2

232221 lgmII

L (VI.9.3)

Këtu duket se këndet dhe nuk hyjnë shtjellazi në lagranzhian, ato janë kordinata

ciklike, pra impulset e përgjithësuara P dhe P , që u takojnë këtyre kordinatave,

janë integrale të lëvizjes (nuk ndyshojnë me kohën). Në fakt këto impulse të

përgjithësuar paraqesin përbërëset e momentit të impulsit në boshtet e rrotullimit, me

këndet përkatëse (rreth boshti vertikal) dhe me këndin (rreth boshtit OZ – boshti i

simetrisë së xhiroskopit). Duke i shënuar dy integralet e lëvizjes përkatësisht me I1a

dhe I1b ( ku a dhe b janë konstante, që përcaktohen nga kushtet fillestare), kemi:

aIIIL

P Z

133 cos

(VI.9.4)

bIIIL

P

1

2

13 sincoscos

(VI.9.5)

Një përfundim i parë, që del nga ek (VI.9.4), është se shpejtësisë këndore të

rrotullimit të xhiroskopit rreth vehtes, Z = cos , është konstante.

Sigurisht, edhe energjia e plotë e xhiroskopit është konstante, pasi lagranzhiani i tij

nuk varet shtjellazi nga koha. Kjo energji është:

coscos2

sin2

232221 lgmII

E (VI.9.6)

Duke zbritur nga kjo energji termin e dytë, i cili është një konstante, marrim një

konstante tjetër E’:

cossin22

1' 22212

3 lgmI

IEE Z (VI.9.7)

136

Për ta sjellë problemin në lëvizje një dimensionale, shfrytëzojmë integralet e

mësipërm të lëvizjes. Nga ek (VI.9.4) shprehim në funksion të :

cos3

1 aI

I (VI.9.8)

Duke zevendësuar këtë (VI.9.8) në ek. (VI.9.5), gjejmë:

2sin

cos

ab (VI.9.9)

dhe duke e zevendësuar rezultatin në ek. (VI.9.8), gjejmë:

2

3

1

sin

coscos

aba

I

I (VI.9.10)

Nga këto barazime, duket se dhe shprehen në funksion këndit . Duke

zevendësuar në shprehjen e E’, gjejmë shprehjen e energjisë së një lëvizje një-

dimensionale (sipas kordinatës ):

cos

sin

cos

2'

2

2

21

lgm

abIE (VI.9.11)

Në parim ne dimë se si zgjidhet problemi një-dimensional, duke shprehur d /dt nga

barazimi i mësipërm dhe duke integruar pas ndarjes së variablave dhe t . Por,

integrimi sjell në integrale të vështirë (të ashtuquajtur inetgralet eliptike), prandaj ne

do japim një interpretim cilësor të zgjidhjes duke u nisur nga barazimi (VI.9.11).

Shënojmë me dhe madhësitë e mëposhtëme, të cilat janë konstante:

11

' 2 ,

2

I

lgm

I

E

(VI.9.12)

Me këto shënime, ekuacioni (VI.9.11) shkruhet në trajtën:

2222 coscossinsin ab (VI.9.13)

Duke zevendësuar në këtë ekuacion një variabël tjetër u:

cos = u (VI.9.14)

marrim ekuacionin për variablin u , në trajtën:

222 1 uabuuu (VI.9.15)

Ky ekuacion mund të integrohet duke ndarë variablat (variabli u dhe koha t) dhe

merret shprehja:

)(

)0(221

tu

u uabuu

dut

(VI.9.16)

nga e cila, në parim, pasi zgjidhet integrali, mund të gjendet varësia kohore e variablit

u. Le ta shënojmë anën e djathtë të ekuacionit (VI.9.15) me një funksion f(u):

f(u) = 221 uabuu (VI.9.17)

137

i cili është edhe në rrënjën katrore të integralit (VI.9.16). Siç duket, funksioni f(u)

është një polinom i gradës së tretë i variablit

u dhe si i tillë ai ka tri rrënjë. Këto rrënjë

përcaktojnë edhe vlerat e këndit , për të

cilat anullohet (ndron shenjë). Në

figurën (VI.9.2) është paraqitur grafiku i

funksionit f(u). Për vlera të mëdha të |u|,

meqë predominon termi u3 dhe > 0,

atëhere funksioni f(u) + kur u+

dhe f(u) - kur u -. Për u = 1,

f(u) = - (ba)2 , pra është negativ, me

përjashtim të u = 1 të cilat janë rrënjë të

polinomit f(u). Rrjedhimisht, të paktën njera nga rrënjët e f(u) ndodhet në zonën u > 1,

pra në zonën ku këndi nuk ka vlera reale (sipas barazimit VI.9.14, cos do dilte më

i madh se 1). Sipas ekuacionit (VI.9.15), vetëm pjesa e funksionit f(u) (pjesa

pozitive) midis dy rrënjëve reale u1 dhe u2, ka kuptim fizik. Këto dy rrënjë bien në

intervalin : -1 < u < +1. Këtyre dy rrënjëve u takojnë dy vlera reale të këndit

përkatësisht 1 dhe 2 , sipas (VI.9.14). Kështu, xhiroskopi do lëvizë në mënyrë të

tillë që, këndi që formon boshti i tij me drejtimin vertikal, këndi , të ndryshojë midis

dy vlerave maksimale dhe minimale: max (cosmax = u1 ) dhe min (cosmin = u2). Kjo

lëvizje, ngritje dhe ulje e boshtit të xhiroskopit me shpejtësi këndore , quhet

nutacioni i xhiroskopit. Njëkohësisht, xhiroskopi rrotullohet rreth boshtit të vet me

shpejtësi këndore dhe boshti i tij preceson rreth drejtimit vertikal me shpejtësi

këndore . Për të paraqitur lëvizjen e boshtit të xhiroskopit përdoren koordinata

sferike, ku si kend polar shërben vlera e këndit dhe si kënd azimutal merret këndi

. Atëhere kurbat (që quhen apekse) në sipërfaqen e sferës do paraqesnin trajektoren

e skajit të boshtit të xhiroskopit (shih figurën VI.9.3). Këto kurba kufizohen nga dy

rrathët horizontalë (paralelet në sferë) që u korespondojnë vlerave min dhe max , ku

= 0. Forma e kurbës varet shumë nga rrënja e shprehjes b - a u, për të cilën = 0

(shih ekuacionin VI.9.9), pra shpejtësia këndore e precesionit ndron shenjë (rrotullimi

ndron kah). E shënojmë rrënjën e kësaj shprehjeje me :

u’ = b / a (VI.9.18)

Nëqoftëse kushtet fillestare janë të tilla që u’ > u2 ( është më e madhe se vlera

maksimale e u) , atëhere kjo vlerë nuk arrihet nga lëvizja e xhiroskopit. Pra, shpejtësia

këndore e precesionit nuk ndron shenjë, do të ketë gjithë kohës të njëjtën shenjë,

prandaj kurba apeks do të ketë formën e rastit a) të figurës VI.9.3. Boshti i

xhiroskopit preceson rreth drejtimit vertikal gjithë kohës në të njëjtën kahe.

Nëse kushtet fillestare janë të tilla që u’ është midis vlerave u1 dhe u2 , atëhere midis

rrathëve kufitarë (max dhe min) , ndron shenjë, precesioni ndërron kahe dhe kurba

u3 u2 -1 u1

u

f(u)

+1

Fig. VI.9.2

138

apeks është si në rastin b) të figurës VI.9.3. Ndërkaq vlera mesatare e nuk është

zero, rrjedhimisht do të ketë një precesion në këtë apo atë kahe.

Nëse u’ përputhet me një nga vlerat u1 apo u2 , atëhere në kufirin përkatës bëhet

zero si ashtu edhe , prandaj kurba apeks ka formën e rastit c) të figurës VI.9.3.

Zakonisht, në fillim (t = 0) xhiroskopit i jepet një rrotullim i shpejtë rreth boshtit

të vet dhe lihet i lirë i mbështetur me kulmin e boshtit të tij në një sipërfaqe

horizontale. Këto kushte fillestare janë: t = 0 = 0 , 00 t , 00 t . Del se

cos0 = u2 është njera nga rrënjët e funksionit f(u). Kjo rrënjë i korespondon vlerës

më të madhe të cos (vlerës më të vogël të këndit sepse cos është funksion

monoton zbritës për [0, /2 ] ), sepse E’ = mg l cos0 (termat e tjerë në

shprehjen VI.9.11 janë zero në t = 0). Me kalimin e kohës, termat e tjerë të shprehjes

(VI.9.11) bëhen pozitive dhe që E’ të mbetet konstante duhet të zvogëlohet termi i

energjisë potenciale mg l cos, pra duhet të rritet këndi . Kjo rritje e këndit që

formon boshti i xhiroskopit me drejtimin vertikal, vijon derisa arrihet vlera e rrënjës

tjetër të funksionit f(u) , cosmax = u1. Këtu ndërpritet ulja e boshtit dhe ai fillon të

ngrihet, këndi zvogëlohet deri sa arrihet vlera minimale e këndit 0 dhe procesi

përsëritet. Kjo lëvizje është nutacioni. Kuptohet, krahas kësaj lëvizje kryhet edhe

precesioni sepse, sapo fillon të ndryshojë nga zero , fillon të ndryshojë nga zero

edhe .

Kur shpejtësia këndore e rrotullimit të xhiroskopit rreth boshtit të vetë, Z

është shumë e madhe, sa që I1Z2 >> 2mgl , efekti i rëndesës luan rolin e një

perturbimi të vogël, dhe mund të nxirret shpejtësia këndore mesatare e precesionit:

ZZ

I

mgl

I

I

I

mgl

a

3

1

3

1

2

2

2

(VI.9.19)

Ky rezultat njihet edhe nga fizika e përgjithshme, ku precesioni i xhiroskopit del si

pasojë e veprimit të momentit të forcës së rëndesës, por nuk shpjegohet nutacioni.

Sigurisht, studimi i xhiroskopit, që bëmë më lart, nuk ka marrë parasysh fërkimet

që ndesh xhiroskopi, qoftë në sipërfaqen horizontale, qoftë nga veprimi i ajrit. Si

min

max max

min

max

min

a) b) c)

Fig. VI.9.3

139

pasojë e fërkimit, energjia e xhiroskopit zvogëlohet, rrotullimi i xhiroskopit rreth

boshtit nuk është më i shpejtë dhe ai pushon së qënë një xhiroskop. Besoj se e keni

vënë re në lodrat (fugat) që përdorin fëmijët duke i vënë në rrotullim të shpejtë dhe

duke i mbështetur në tavolinë. Pas një farë kohe, ato pushojnë së sjelluri si xhiroskop

dhe bien në tavolinë. Nga pikpamja e teorisë që shtjelluam më lart, vlera maksimale e

këndit bëhet më i madh se /2 dhe boshti i xhiroskopit do të takonte planin

horizontal.

VI.10. Sisteme referimi joinercialë

Deri tani, lëvizjen e sistemeve mekanike e kemi studiuar në lidhje me sisteme

referimi inercialë. Vetëm për sisteme të tillë referimi, lagranzhiani i pikës materiale

ka trajtën:

Umv

L 2

2

00 (r0,t) (VI.10.1)

ku U është energjia potenciale. Indeksi 0 te lagranzhiani, te shpejtësia dhe te rrezja-

vektore e pikës r, është vendosur për të treguar që këto madhësi llogariten në një

sistem referimi inercial S0 , por nuk tregon se janë madhësi konstante. Ekuacioni i

Lagranzhit, për këtë lagranzhian, në trajtë vektoriale, na jep ligjin e dytë të Njutonit:

0r

v

U

dt

dm 0 (VI.10.2)

Si do shkruheshin ekuacionet e lëvizjes në sisteme referimi joinercialë? Siç dihet,

parimi i Hamiltonit (parimi i veprimit minimal), nga i cili kemi nxjerrë ekuacionet e

lëvizjes (ekuacionet e Lagranzhit), vlen për çdo sistem referimi. Prandaj, edhe për një

sistem referimi joinercial, ekuacioni i Lagranzhit për një pikë materiale, në trajtë

vektoriale shkruhet:

0

rv

LL

dt

d (VI.10.3)

Por, lagranzhiani i pikës materiale në një sistem referimi joinercial nuk mund të

merret në trajtën (VI.10.1). Prandaj, problemi sillet në gjetjen e trajtës së funksionit të

Lagranzhit në sisteme referimi joinercialë.

Së pari, konsiderojmë një sistem referimi joinercial S’ i cili kryen vetëm lëvizje

translative ndaj sistemit të referimit inercial S0. Kjo lëvizje kryhet me një shpejtësi që

ndryshon me kohën V(t), pra me një nxitim W = dV/dt, i cili mund të jetë edhe ky

një funksion i kohës. Nëse shënojmë shpejtësinë e pikës materiale në lidhje me

sistemin e referimit S’, me v’, atëhere nga ligji i mbledhjes së shpejtësive në

mekanikën klasike, kemi:

v0 = v’ + V (VI.10.4)

140

Duke zevendësuar këtë shpejtësi te shprehja e funksionit të Lagranzhit

(VI.10.1), si edhe rreze-vektoren r0 në funksion të rrezes vektore r’ në sistemin e

referimit S’ (r0=r’+Vdt)10

gjejmë funksionin e Lagranzhit të shpehur në lidhje me

madhësitë v’ dhe r’ , që vlerësohen në sistemin e referimit S’. Kështu, gjejmë

funksionin e Lagranzhit të pikës materiale, në sistemin e referimit joinercial S’:

),'(22

''

22

tUmV

'mmv

L rVv (VI.10.5)

Meqë V2(t) është një funksion i dhënë i kohës, termi i tretë në këtë lagranzhian mund

të hiqet fare, sepse ky term mund të paraqitet si derivat i plotë kohor i një funksioni të

kohës11

. Ndërsa termin e dytë mund ta paraqesim në trajtën:

'

' ( ) ' ( ) 'r V

v V V r V rd d d

m m t m t mdt dt dt

,

ku përsëri termin që është një derivat i plotë kohor i madhësisë (mr’V(t)), e cila është

funksion vetëm i koordinatave dhe kohës, mund të hiqet nga lagranzhiani. Kështu që,

lagranzhiani i pikës materiale në sistemin e refrimit joinercial S’, shkruhet:

),'(2

''

2

tU'mmv

L rWr (VI.10.6)

ku W(t)= dV/dt është nxitimi i sistemit joinercial ndaj sistemit inercial.

Duke zbatuar ekuacionin e Lagranzhit, në trajtë vektoriale, për këtë lagranzhian:

0''

r'v'

LL

dt

d,

gjejmë :

Wr'

v'

m

U

dt

dm (VI.10.7)

Ky ekuacion i lëvizjes së pikës materiale, është shprehje e ligjit të dytë të Njutonit

i zbatuar në një sistem referimi joinercial, i cili kryen lëvizje translative me nxitim Ë

ndaj një sistemi inercial referimi. Në këtë ekuacion duket se veç forcës reale që

vepron mbi pikën materiale (F = - U/dr’), shfaqet edhe një forcë tjetër “fiktive”: -

mW, që quhet forcë e inercisë e transportit.

Le të shqyrtojmë tani lëvizjen e pikës materiale ndaj një sistemi tjetër referimi,

përsëri joinercial S, i cili ka origjinë të përbashkët me sistemin e referimit S’ dhe

kryen vetëm lëvizje rrotulluese ndaj sistemit S’. Dmth, sistemi i referimit jo inercial S,

kryen edhe lëvizje rrotulluese edhe lëvizje translative ndaj një sistemi inercial

referimi S0. Pra, sistemi i referimit joinercial S kryen lëvizje të çfardoshme ndaj

sistemit inercial të referimit, kështu që ai përfaqëson një sistem referimi të

10

Në mekanikën klasike nënkuptohet që koha rrjedh njëlloj për çdo sistem referimi, prandaj

koha në sistemin e referimit S’ është shënur përsëri t 11

Kujtojmë që lagranzhiani i një sistemi mekanik, përcaktohet me afërsinë e një funksioni

çfardo që është derivat i plotë kohor i një funksioni të kordinatave dhe kohës.

141

çfarëdoshëm. Le ta zemë se shpejtësia këndore e rrotullimit të sistemit të referimit S

është (t), e cila është funksion i kohës, qoftë si madhësi qoftë si drejtim (drejtimi i

saj kalon gjithmonë nga origjina e përbashkët e sistemeve të referimit S’ dhe S).

Shpejtësia e pikës materiale v’ në lidhje me sistemin e referimit S’, është sa shuma

e shpejtësisë v që ka pika materiale ndaj sistemit të referimit S me shpejtësinë që ajo

ka në rrotullimin e sistemit S ndaj sistemit S’, e cila është r , ku r = r’ është

rrezja-vektore e pikës materiale ndaj origjinës së sistemit të referimit S :

v’ = v + r (VI.10.8)

Duke zevendësuar këtë shpejtësi në shprehjen e lagranzhianit (VI.10.6), marrim

shprehjen e lagranzhianit të një pike materiale në sistemin e refrimit të çfardoshëm S:

L = 2

2mv mv[ r] +

2

m[ r]

2 - mrW - U(r, t) (VI.10.9)

Duket se tani në lagranzhian hyn edhe një term linear në lidhje me shpejtësinë

(termi i dytë), në dallim esencial nga lagranzhiani në sistemin inercial të referimit.

Para se të zbatojmë ekuacionet e Lagranzhit, për këtë lagranzhian, shkruajmë

diferencialin e plotë të tij në lidhje me variablat e pavarur v dhe r :

dL = mvdv + mdv[ r] + mv[ dr] + m[ r][ dr] - mWdr -

r

Udr = ]mvdv + mdv[ r] + mdr[v ] + m[( r) ] dr - mWdr -

r

Udr

Kështuqë, derivatet e lagranzhianit në lidhje me variablat v dhe r , janë:

v

L= mv + m( r);

r

L=m(v )+m [( r) ]- mW -

r

U

Pasi i zevendësojmë këto derivate në ekuacionin vektorial të Lagranzhit:

0

rv

LL

dt

d

gjejmë ekuacionin e lëvizjes:

r

v

U

dt

dm - mW - m[

dt

dΩ r] - 2m( v) - m[( r) ] (VI.10.10)

Ky ekuacion (VI.10.10) shpreh ligjin e dytë të Neëtonit në lidhje me një sistem

joinercial referimi. Këtu duket se veç forcës reale F = - U/r , që vepron mbi trupin,

termat e tjerë në anën e djathtë të ekuacionit shprehin forca fiktive ose forcat e

inercisë. Nga këto forca të inercisë, termi i parë është forca e inercisë e transportit,

ndërsa termat e tjerë lidhen rrotullimin e sistemit joinercial :

- Forca - m[dt

dΩ r] lidhet me rrotullimin jouniform (me nxitim) të sistemit të

referimit.

142

- Forca - 2m( v), quhet forca e inercisë e Koriolisit. Ajo lind sa herë që trupi

lëviz ndaj sistemit të referimit që rrotullohet. Shumë efekte të veprimit të kësaj force

për trupat që lëvizin mbi Tokë (si rrjedhja e lumenjve, erërat etj) janë studiuar në

kursin e Fizikës së përgjithëshme.

- Forca - m[( r) ], quhet forca e inercisë centrifugale, sepse ajo është e

drejtuar pingul me boshtin e rrotullimit me kahen që i largohet boshtit. Madhësia e

kësaj force është 2d, ku d është largësia e trupit nga boshti i rrotullimit. Edhe

efektet e veprimit të kasaj force janë studiuar në Fizikën e përgjithëshme.

Ushtrime dhe Problema

VI.1 Përbërëset e shpejtësisë së pikës M1(0, 0, 2) të një trupi në sistemin e lidhur me

vetë trupin janë: vX’ = 1 m/s , vY’ = 2 m/s , vZ’ = 0 . Drejtimi i shpejtësisë së pikës M2

(0, 1, 2) të trupit i ka kosinuset drejtues ndaj sistemit të lidhur me trupin:

3

1,

3

2,

3

2 . Të gjendet ekuacioni boshtit të çastit të rrotullimit dhe madhësia e

shpejtësisë këndore.

VI.2 Në skajet e një shufre horizontale AB janë lidhur dy disqe të hollë të njëjtë me

rreze R = AB/4 (fig. VI.2). Mesi i shufrës O1 është i fiksuar në boshtin verikal të

palëvizshëm OZ. Shufra AB rrotullohet rreth këtij boshti me shpejtësi këndore

konstante . Disqet rrokullisen pa rrëshqitje mbi një

plan horizontal. Të gjendet shpejtësia e një pike M që

ndodhet në periferinë e njerit prej disqeve, në varësi

të këndit

VI.3 Dy shufra paralele me largësi 2a nga njera-

tjetra, lëvizin me shpejtësi përkatësisht v1 dhe v2 .

Drejtimet e këtyre shpejtësive janë sipas shufrave dhe

kahet e tyre janë:

a) të njëjta, të kundërta

Midis shufrave ndodhet një disk me rreze a, i cili

rrokulliset pa rrëshqitje sipas shufrave. Të gjendet

shpejtësia e qendrës së diskut, shpejtëisa këndore e rrotullimit të diskut dhe qendra e

çastit e rrotullimit për të dy rastet a) dhe b).

VI.4 Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë jepet nëpërmjet këndeve të Ejlerit:

tk

2

, = t , 3

, ku dhe k janë konstante. Të gjenden

përbërëset e shpejtëisë këndore dhe nxitimit këndor në boshtet e palëvizëshme si dhe

drejtimi i boshtit të rrotullimit.

O

B

A

Z

K

M O1

Fig. VI.2

143

VI.5 Një trup i ngurtë hidhet me shpejtësi fillestare v0 që formon këndin me

horizontin. Njëkohësisht ai rrotullohet rreth një boshti që kalon nga qendra e inercisë.

Ky rrotullim jepet nëpërmjet këndeve të Ejlerit: = 2t , = /2 - 2t, = /6.

Kordinatat e një pike të trupit të ngurë në sistemin e lidhur me qendrën e inercisë janë

x’, y’, z’ . Të gjenden shpejtësia dhe nxitimi i kësaj pike në çastin t.

VI.6. Të provohet se këndi i rrotullimit të një trupi reth një boshti të palëvizëshëm,

shprehet nëpërmjet këndeve të Ejlerit: , , , me anë të

relacionit:

2cos

2cos

2cos

.

VI.7 Një kub me brinjë a merr pjesë në dy rrotullime

me shpejtësi këndore të njëjta në madhësi , por të

drejtuara sipas brinjëve të kubit që nuk priten dhe nuk

janë paralele (fig. VI.7) BA dhe EF. Të mblidhen këto

rrotullime.

VI.8 Një disk me rreze a rrokulliset pa rrëshqitje mbi një plan horizontal. Plani i

diskut formon këndin me planin horizontal. Qendra e diskut përshkon një rreth me

rreza a dhe ka një shpejtësi v. Të gjendet shpejtësia këndore e diskut.

VI.9 Një disk me rreze r rrokulliset pa

rrëshqitje mbi një vizore horizontale.

Shpejtësia e qendrës së diskut është v0. Shufra

AB me gjatësi l (Fig. VI.9) është e mbërthyer

me menteshë në pikën B të diskut. Skaji A i

shufrës rrëshqet gjatë vizores. Të gjendet

shpejtësia e skajit A në varësi të këndit të

rrotullimit të diskut.

VI.10. Në mekanizmin bielë-manivelë të treguar në fig. VI.10, manivela OA me

gjatësi r rrotullohet në planin e figurës me shpejtësi këndore 0. Biela AB me gjatësi l

është e lidhur me rëshqitësin B .

Boshti O ndodhet në lartësinë h nga

drejtimi i lëvizjes së rrëshqitësit. Të

gjëndet shpejtësia këndore dhe nxitimi

këndor i bielës si dhe shpejtësia dhe

nxitimi i rrëshqitësit në pozicionet: a)

kur manivela OA ndodhet në

pozicion horizontal; b) kur manivela

OA ndodhet në pozicionin verikalisht

lart.

h

r A

O l

B

Fig. VI.10

O v

0 A B

Fig. VI.1.9

G F

E

D C

B A

Fig. VI..7

H

144

VI.11 “Antiparalelogrami” përbëhet nga dy manivela

(shufra që mund të rrotullgohen rreth çernierave) AB dhe

CD me gjatësi të njëjtë 2a secila dhe nga një shufër BC

me gjatësi a, e cila është e lidhur me çerniera me

manivelat (shih figurën VI.11). Largësia midis çernierave

të palëvizshme A dhe D është a. Manivela AB rrotullohet

me shpejtësi këndore konstante 0 në planin e figurës. Të

gjendet shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor i shufrës BC

në çastin kur këndi ADC është 90.

V.12 Në kulmet e një katrori me brinjë 2a janë vendosur

masat pikësore m dhe M (fig. VI.12). Të gjendet përbërëset

e tenzorit të inercisë në lidhje me:

a) boshtet X, Y dhe Z (pingul me planin e figurës)

b) boshtet X’, Y’ dhe Z (pingul me planin e figurës).

VI.13 Të gjenden boshtet kryesore të inercisë dhe

momentet kryesore të inercisë të sistemeve të pikave

materiale:

a) Masat m dhe M ndodhen në kulmet e katërkëndëshit

këndrejtë me brinja 2a dhe 2b (si në

fig. VI.13 a).

b) Masat m dhe 2m janë të

vendosura në kulmet e një

trekëndëshi këndrejtë me katete 2a

dhe 2b (si në fig. VI.13 b).

VI.14 Duke e shqyrtuar molekulën

si një sistem grimcash, të cilat ndodhen në një largësi të pandryshuar nga njera-tjetra,

të përcaktohen momentet kryesore të inercisë, për një mlekulë triatomike e përbërë

nga atomet me masa përkatësisht m1, m1, m2 , të vendosur në kulmet e një trekëndëshi

barabrinjës me binje a.

VI.15 Të përcaktohen boshtet kryesore të inercisë dhe momentet kryesore të inercisë

të trupave homogjenë të mëposhtëm:

a) Një shufër e hollë me gjatësi l dhe masë m.

b) Një sferë me rreze R dhe masë m.

c) Një cilindër me rreze R, lartësi h dhe masë m.

d) Një parelelopiped këndrejtë me brinjë a, b, c dhe masë m.

e) Një kon rrethor me rreze R, lartësi h, dhe masë m.

f) Një elipsoid triboshtor me gjysëm boshte a, b, c.

A D

B

C

Fig. VI.11

0

M

2b

2a

m

M m

a)

m

m

2m

2b

2a

b)

Fig. VI.13

m

M

M

X’

X

Y’ m

Y

Fig. V.12

145

VI.16 Të gjenden momentet kryesore të inercisë së një sfere

homogjene me rreze R, e cila ka brenda saj një zgavër

sferike me rreze r (shih figurën VI.16).

VI.17 Të shprehet momenti i inercisë në lidhje me një bosht

çfardo, që kalon nga qendra e inercisë së një trupi të ngurtë

dhe ka drejtimin n, [ku n(n1, n2, n3) është vektori me gjatësi

njësi sipas drejtimit të boshtit të dhënë], në funksion të

përbërseve të tenzorit të inercisë.

VI.18 Njeri skaj i një shufre homogjene e ka shpejtësinë u, skaji tjetër e ka

shpejtësinë v. Të dyja shpejtësitë ndodhen në një plan. Të provohet se energjia

kinetike e shufrës është:

T = 6

m(u

2 + uv + v

2) , ku m është masa e shufrës.

VI.19. Dy shufra homogjene me masë m dhe gjatësi l

seicila janë lidhur me çernierë në pikën A si në fig. VI.19.

Shufra OA rrotullohet (në planin e figurës) rreth pikës O,

kurse skaji B i shufrës AB rrëshqet përgjatë boshtit OX.

Gjeni energjinë kinetike të sistemit në funksion të këndit të

rrotullimit φ dhe .

VI.20. Një cilindër homogjen me masë m dhe rreze a

rrokulliset pa rrëshqitje në sipërfaqen e brendëshme të

cilindrit të palëvizëshëm me rreze R. Gjeni energjinë

kinetike të cilindrit në varësi të këndit φ dhe (fig.

VI.20).

VI.21 Një kon homgjen me masë m, lartësi h dhe kënd të

hapjes 2α rrokulliset pa rrëshqitje në një rrafsh horizontal

duke patur kulmin të fiksuar në këtë rrafsh. Qendra e

inercisë e konit ndodhet në larqësinë a nga kulmi i fiksuar O (fig.VI.21). Gjeni

energjinë kinetike të konit në varësi të

këndit θ që formon përftuesja e konit në

kotakt me rafshin me një drejtim të

fiksuar në rrafsh dhe .

VI.22 Të zgjidhet i njëjti problem si ai i

mëparshëm, kur kulmi i konit është

fiksuar jo në rrafsh por në boshtin Z në

lartësinë sa rrezja e bazës së konit (boshti

i konit është paralel me rrafshin) dhe koni

r

R

FiguraVI.16

A

O B

X

Y

Fig. VI.19

φ

R

a

φ

Fig. VI.20

X

Z

Y

X3

α

Q

× a

O

Fig.VI.21

θ

Ω A

146

rrokulliset duke patur vetëm një pikë A në kontakt me rrafshin. Tani, këndi θ është

këndi që formohet në rrafsh midis OA dhe OX

.

VI.23 Të gjëndet energjia kinetike e elipsoidit

triboshtor, i cili rrotullohet rreth njerit prej

boshteve kryesorë të tij (boshti X3 ose AB në

fig. VI.23) me shpejtësi këndore dhe ky

bosht rrotullohet rreth drejtimit CD (boshti

kryesor i inercisë X1) me shpejtësi këndore .

Momentet kryesorë të inercisë janë I1, I2, I3.

VI.24 Një disk homogjen me masë M dhe rreze R ka të ngjitur në largësi r prej

qendrës së tij një masë pikësore m. Disku mund të rrokulliset lirisht gjatë një vije

horizontale. Të provohet se, kur disku zhvendoset pak nga pozicioni i ekuilibrit dhe

lihet i lirë, ai lëkundet me

periodë:

rgm

rRmRMT

22 )(2/32

VI.25 Cilindri homogjen me masë M dhe

rreze R mund të rrokulliset pa rrëshqitje

mbi një rrafsh forizontal. Ai është lidhur

me anë të një suste me konstante elastik k.

Sa do të ishte frekuenca e lëkundjeve të

vogla të cilindrit, nëse skaji i sustës lidhet a) në qendër të cilindrit (fig.VI.25.a); b) në

skajin e sipërm të diskut (fig.VI.25.b)

VI.26 Të përcaktohet frekuenca e lëkundjeve të vogla të lavjerrësit fizik, një trup me

masë m, i cili lëkundet në fushën e rëndesës rreth një boshti horizontal të

palëvizëshëm. Ky bosht kalon nga një pikë O e cila ka largësinë l nga qendra e masës

dhe formon këndet α, β, γ me boshtet kryesore të inercisë së trupit, kur momentet

kryesore të inercisë janë përkatësisht I1 , I2 , I3.

VI.27 Të gjendet frekuenca e lëkundjeve të vogla të një

gjysëm-sfere homogjene që mbështet me kulmin e saj në

një sipërfaqe të lëmuar horizontale. Rrezja e gjysëm-sferës

është R.

VI.28 Një pllakë drejtkëndëshe me mase m, lartësi 2a dhe

gjerësi 2b prehet në kulmin e një cilindri të fiksuar me

rreze R (Fig.VI.28) Momenti i inercisë së drejtkëndëshit

B A

C

D

Fig. VI.23

Fig. VI.25 a) b)

Fig. VI.28

147

ndaj qendrës së masës është I. I jepet drejtkëndështi një shtysë e vogël, dhe ai

“rrokulliset” pak pa rrëshqitur mbi cilindër. Gjeni ekuacionin e lëvizjes për këndin e

shmangies së pllakës. Për çfarë kushtesh, drejtëkëndëshi do të bjerë duke u shkëputur

nga cilindri, dhe për çfarë kushtesh, ai do të lëkundet rreth pozicionit të ekulibrit?

Gjeni frekuencën e këtyre lëkundjeve të vogla.

VI.29. Një sistem forcash përbëhet nga dy forca, forca e parë F·i + 2·F·j + 3·F·k (ku

i, j, k janë vektorët njësi të boshtve kordinatavë) vepron në origjinën e kordintave (0,

0, 0) dhe forca e dytë -F·i - F·j + F·k vepron në pikën (a, a, 0). Të gjendet vida

ekuivalente me këtë sistem forcash.

VI.30 Gjashtë forca, seicila me vlerë F,

veprojnë përgjatë brinjëve të një kubi me brinjë

a, si në fig. VI.30. Të gjendet momenti rezultant

minimal i forcave Kmin dhe pozicioni i boshtit të

vidës dinamike

VI.31. Një sistem forcash përbëhet nga 4 forca,

drejtimet e të cilave janë sipas brinjëve të një

tetraedri të rregullt (barabrinjës) ABCD.

Madhësitë dhe drejtimet e këtyre forcave janë:

k·AB , k·BC , k·CD , k·DA , ku k është

konstante. Të provohet se sitemi i këtyre forcave është

ekuivalent me një çift forcash me moment 6·k·V / p , ku V

është vëllimi i tetraedrit dhe p është largësia më e vogël

midis dy brinjëve AC e BD.

VI.32 Një fije pa masë është pështjellë rreth një cilindri

homogjen më masë m dhe rreze R. Filli kalon nëpër një rrotull

me masë të papërfillëshme që mund të

rrotullohet rret boshtit të vet horizontal të fiksuar (fig. VI.32)

dhe në skajin e fisjes është varur blloku me masë m. Sa

do të jenë ncxitimet e bllokut dhe të cilindrit? Supozohet

që fija nuk rrëshqet mbi cilindër.

VI.33 Një shufër homogjene me masë m dhe gjatësi l fillimisht

rrotullohet me shpejtësi këndore mbi një tavolinë horizontale pa

fërkim, dhe qendra e masës së saj është në prehje, por jo e fiksuar.

Një top me masë m që ndodhet në prehje mbi tavolinë, goditet në

mënyrë elastike me shufrën (Fig. VI.33). Me çfarë shpejtësie

këndore do të rrotullohet shufra, pas goditjes?

Y

Z

X

F

F

F F

F

F

Fig. VI.30

Fig. VI.32

Fig. VI.33

148

VI.34 Një top me masë M që lëviz me shpejtësi V0 godet në

mënyrë elastike një shufër ne noment inercie I = ml2 në

lidhje me qendrën e msaës (fifg. VI...) Goditja ndodh në

largësinë d nga qendra e masës. Gjeni shpejtësinë translative

dhe rrotulluese të shufrës, pas goditjes si dhe shpejtësinë e

topit.

VI.35 Një elipsoid rrotullimi homogjen me masë M me

gjysëm boshte a = b, c, goditet nga një grimcë me masë m që

lëviz paralel me boshtin OY me shpejtësi v. parametrat e

goditjes janë ρ1 dhe ρ2 (fig. VI.35). pas goditjes grimca

bashkohet me elipsoidin. Të përshkruhet lëvizja

e elipsoidit pas goditjes, duke supozuar se masa

e tij është shumë më e madhe se ajo e grimcës

(M >> m).

VI.36 Një kon me masë m, me lartësi h dhe

kënd të hapjes 2, rrokulliset brenda një koni

tjetër, i cili është i fiksuar dhe e ka këndin e

hapjes 2 , ku (fig. VI.36). Boshti i konit

të brendëshëm rrotullohet ndaj boshtit të konit të

jashtëm me shpejtësi këndore . Të gjenden: a) shpejtësia

këndore e konit; b) momenti i impulsit i konit; c) energjia kinetike

e konit

VI.37 Dy sfera homogjene të njëjta, që rrotullohen me të njëjtën

shpejtësi këndore , afrohen ngadalë me njera -tjetrën dhe

bashkohen ngurtësisht. Të përcaktohet lëvizja e trupit të formuar.

Të gjendet pjesa e energjisë kinetike që shndrohet më nxehtësi.

Para bashkimit shpejtësitë këndore të sferave janë drejtuar: a)

pingul me vijën që bashkon qendrat e sferave dhe paralel me njera

tjetrën, b) njera shpejtësi këndore është sipas drejtëzës që bashkon

dy sferat dhe tjetra është pingul me këtë drejtëz.

VI.38 Dy shufra homogjene identike AB dhe BC

(fig.VI.38) janë të lidhura me çernierë (pa fërkim) në B.

Skaji A është i fiksuar në një vosht horizontal. Shufrat

mbahen në planin vertikal (pani i figurës). Pika A është

në të njëjtin nivel me pikën C dhe këndi CBA ˆ është

90º. Të provohet se kur shufrat lihen të lira, raporti i

nxitimeve fillestare të shufrave është 3:4.

Fig. VI.36

ρ1

ρ2

•m v

Z

Z

Y c

Fig. VI.35

A

B

C

Fig. VI.38

Fig. VI.34

149

VI.39. Një cilindër i zbrazët me rreze b është i hapur nga

të dyja bazat dhe prehet në një plan horizontal (fig. VI.39).

Dy sfera të lëmuara identike A dhe B me masë m dhe

rreze a (a > b/2) secila, janë vendosur brenda cilindrit. Të

provohet se cilindri është në prehje, në qoftëse masa e tij

M është më e madhe se: 2·m·[(b – a)/b].

VI.40 Shufra homogjene AB me rëndesë P dhe gjatësi l

mbështet në një mur vertikal si në fig. VI.40. Skaji i

poshtëm i shufrës është lidhur me fijen horizontale

AD që është fiksuar tek muri. Të gjenden forcat e

reaksioneve të mbështetëseve si dhe tensioni i fijes

kur jepen lartësia e murit h dhe këndi α që formon

shufra me vertikalen.

VI.41 Dy cilindra identikë jo të lëmuar A dhe B

(fig. VI.41), me rreze a dhe rëndesë P seicili,

qëndrojnë në një plan horizontal jo të lëmuar me

bosht paralelisht në largësia 2·a·√2 nga njeri tjetri.

Një cilindër i tretë C me rreze a dhe rëndesë 2·P

qëndron simetrikisht mbi dy të parët. Të provohet se,

në ekulibër, koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes

për kontaktin ndërmjet cilindrave duhet të jetë

më i madh se 1/(1+√2) dhe për kontaktin

ndërmjet cilindrave dhe planit duhet të jetë më

i madh se 1/[2(1+√2)].

VI.42 Një shufër homogjene me masë m dhe

gjatësi l rrotullohet me shpejtësi këndore

rreth një boshti të fiksuar që kalon nga qendra e

masës dhe formon këndin me shufrën. Ajo

mbahet në këtë rrotullim me anë të dy fijeve që

lidhin skajet e shufrës me bishtin e rrotullimit. Fijet janë pingul me

boshtin (Fig. VI.42). Të gjendet tensioni i fijeve

VI.43 Provohet lehtë një teoremë, sipas të cilës nëse momentet e

inercisë në lidhje me dy boshte kryesorë të inercisë janë të

barabartë, atëhere çdo bosht që shtrihet në planin e këtyre dy

boshteve është një bosht kryesor inercie. Kjo nënkupton që trupi

mund të rrotullohet lirisht në lidhje me çdo bosht të këtij plani (nuk

nevojiten momente forcash). Demonstrojini këto për trupin e

përbërë nga 4 masa pikësore të njëjta m të vendosur në kulmet e

katrorit (pa masë) të treguar në figurë. Tregoni se nëse masat

A

B

Fig. I.39

h

α

P T

RC

RA

C

A

O

Fig. VI.40

× C

× A

× B

Fig. VI.41

Fig. VI.42

150

lidhen me korda të boshti i rrotullimit, momenti rezultant i

tensioneve të kordave në lidhje me qendrën e masës është zero.

VI.44 Një cilindër homogjen me masë m, rreze r dhe lartësi

2l, rrotullohet me shpejtësi këndore konstante rreth boshtit

vertikal OZ, që kalon nga qendra e inercisë e cilindrit (shih fig.

VI.2.26). Këndi midis boshtit OZ’ të cilindrit dhe boshtit OZ

është dhe nuk ndryshon me kohën. Largësia midis mbajtëseve

të boshtit është h. Të përcaktohen forcat e shtypjes anësore N

mbi mbajtëset e boshtit të rrotullimit.

VI.45 Një pllakë katërkëndëshe homogjene me masë m,

rrotullohet rreth diagonales së fiksuar AB (Shih fig. VI.45) me

shpejtësi këndore konstante . Të përcaktohen shtypjet

dinamike të pllakës në mbështetëset A dhe B. Brinjët e pllakës

janë a dhe b.

VI.46 Dy trupa të vegjël, secili me masë m, janë bashkuar me

një shufër pa masë, me gjatësi a. shufra rrotullohet me shpejtësi

këndore konstante Ω rreth boshtit që kalon nga qendra e shufrës

dhe formon këndin α me shufrën. Duke përdorur ekuacionet e

Ejlerit, të gjenden përbërëset e momentit të forcave të jashtme

sipas boshteve kryesore të inercisë të sistemit.

VI.47* Një disk homogjen me rreze a dhe masë m

rrokulliset poshtë nëpër një plan të pjerrët, i cili formon

këndin α me horizontin. Disku lëviz në mënyrë që plani i

tij të jetë gjithmonë pingul me planin e pjerrët. Disku

mund të rrotullohet edhe rreth diametrit të vet që është

pingul me planin e pjerrët. Të përcaktohet lëvizja e

qendrës së inercisë së diskut.

VI.48* Teorema e raketës së Tenisit Nëse përpiqeni të vini në rrotullim raketën (ose një libër,

etj.) rreth secilit nga tre boshtet kryesore të tij, do të vini

re sjellje të ndryshme për boshte kryesore të ndryshme.

Supozojmë se momentet kryesore të inercisë (në lidhje me

qendrën e masës) janë I1 > I2 > I3 (në fig. VI.48 janë

treguar boshtet kryesrë përkatës ˆ1x , ˆ 2x . ˆ 3x ). Ju mund ta

vini lehtësisht në rrotullim rreth boshteve ˆ1x dhe ˆ 3x , por

kur përpiqeni ta vini raketën në rrotullim rreth ˆ 2x do të

ndjeni vështirësi, raketa do të dridhet paksa çuditshëm. Në

N2

2l

Y’

Z

Z’ N1

O

r

Fig. VI.44

α

Fig. VI.43…

A

Y

B Z O

Fig. VI.45

Fig. VI.48

151

çdo rast, ju nuk mund ta vini raketën në rrotullim me shpejtësi këndore ekzaktësisht

sipas boshtit kryesor. Kështu që ju duhet të provoni që rrotullimi rreth boshteve ˆ1x

dhe ˆ 3x është i qëndrueshëm d.m.th. një shmangie e vogël e kushteve fillestare

(shmangie e vogël e drejtimit të shpejtësisë këndore nga drejtimi i boshtit kryesor)

mbetet e vogël. Ndërsa rrotullimi rreth boshtit ˆ 2x nuk është stabël, dmth një

shmangie e vogël e kushteve fillestare rritet me kohën. Përdorni ekuacionet e Ejlerit

për të provuar stabilitetin

VI.49 Një pllakë katrore rrotullohet me shpejtësi këndore Ω rreth boshtit që kalon nga

qendra e saj. Ky bosht formon këndin α me boshtin e simetrisë që është pingul me

pllakën. Në çastin kur boshti i rrotullimit shtrihet në planin e përcaktuar nga boshti i

simetrisë dhe nga një diagonale e katrorit, ndërpritet veprimi i jashtëm. Të gjemdet

shpejtësia këndore me të cilën boshti i simetrisë preceson rreth drejtimit konstant të

momentit të impulsit.

VI.50 Një disk rrethor homogjen rrotullohet me shpejtësi këndore Ω rreth boshtit që

kalon nga qendra e diskut dhe formon këndin α me pingulen mbi disk. Në një çast

disku çlirohet nga mbajtëset e aksit të rrotullimit dhe lëviz lirisht.

a) Të provohet se boshti i rrotullimit përshkruan një kon në hapësirë dhe një kon ndaj

diskut.

b) Të gjendet perioda me të cilën boshti i rrotullimit përshkruan konin në hapësirë.

c) Të gjendet perioda me të cilën boshti i rrotullimit përshkruan konin relativ ndaj

diskut.

VI.51 Supozojmë se në çastin t = 0, xhiroskopi në fushën e rëndesës rrotullohet me

shpejtësi këndore 3 rreth boshtit të vet të simetrisë. Ky bosht mbështetet vertikalisht

me një pikë të palëvizëshme në një sipërfaqe horizontale. Të gjendet kushti, për të

cilin boshti i xhiroskopit e ruan pozicionin vertikal.

VI.52 Të përcaktohet lëvizja e fugës simetrike, kur energjia kinetike e rrotullimit

rreth boshtit të vet të simetrisë është shumë më e madhe se energjia potenciale në

fushën e rëndesës (e ashtuquajtura fuga e “shpejtë”).

VI.53 Një xhiroskop është i përbërë nga disku rrethor me masë 4m dhe me rreze

3a. Si dhe nga shufra OA me gjatësi 4a dhe me masë m.

Skaji A i shufrës është lidhur ngurtësisht me qendrën e diskut

(shih figurën VI.3.7) dhe shufra është pingul me sipërfaqen e

diskut. Skaji tjetër i shufrës O është i fiksuar dhe ndodhet në

një nivel horizontal me skajin e poshtëm B të diskut. Të

provohet se xhiroskopi mund të të precesojë rregullisht rreth

boshtit vertikal (nën veprimin e rëndesës) nëse përbërësja e

A

O B

Fig. VI.53

152

shpejtësisë këndore 3 sipas boshtit të simetrisë, është më e madhe se

2/1

9

94

a

g.

VI.54 Një xhiroskop simetrik në fushën e rëndesës rrotullohet rreth boshtit të

simetrisë me shpejtësi këndore hg /20 . Kulmi O i tij rrëshqet në një plan

horizontal të lëmuar në mënyrë që boshti i simetrisë të mbetet vertikal. Qendra e

inercisë e xhiroskopit është në lartësinë h mbi planin dhe lëviz me shpejtësi hg .

Momentet kryesore të inercisë së xhiroskopit në lidhje me kulmin O janë: m∙h2/4,

5·m∙h2/4, dhe 5·m∙h

2/4. Befas, kulmi O fiksohet në mënyrë të tillë që xhiroskopi të

jetë i lirë të rrotullohet rreth këtij kulmi. Të përcaktohet këndi maksimal që mund të

formojë boshti i simetrisë me drejtimin vertikal në lëvizjen e më vonëshme të

xhiroskopit.

VI.55 Shqyrtojmë një xhiroskop në formën e një disku

homogjen me rreze R, të lidhur me një shufër pa masë (e

cila është pingul me shufrën) me gjatësi l Shënjojmë në

disk pikën më të lartë P (fig. VI.55) në fushën e rëndesës.

Nëse duam që xhiroskopi të kryejë precesion të rregullt, pra

këndi i shufrës me vertikalen të jetë konstant (mungon

nutacioni), dhe pika P të jetë gjithë kohës pika më e lartë,

cili është relacioni midis R dhe l ? Sa është frekuenca e

precesionit?

VI.56 Xhirokompasi është një mjet orientimi (për

të treguar veriun) që përdoret gjerësisht në anijet,

meqënëse ai nuk ndikohet nga anomalitë magnetike.

Ai është i përbërë nga një volant që rrotullohet me

shpejtësi këndore të madhe g rreth boshtit të vet [në

figurën VI.56 është boshti (3)]. Ky bosht mund të

zerë një pozicion çfardo në planin horizontal. Të

provohet se, boshti i xhiroskompasit kryen lëkundje

të vogla rreth drejtimit të veriut, me frekuencë:

cos1

3 gI

I

ku I3 dhe I1 janë momentet kryesorë të inercisë [momentet e inecisë në lidhje me

boshtin (3) dhe në lidhje me boshtin (1)], është shpejtësia këndore e rrotullimit 24-

orësh të Tokës, dhe është gjerësia gjeografike e vendit.

VI.57 Origjina O* e sistemit të referimit S

* lëviz ndaj një sistemi inercial me shpejtësi

konstante v. Sistemi S*

rrotullohet rreth boshtit të tij O*Y

* me shpejtësi këndore ω =

b·t, ku t është koha dhe b- një konstante. Të shkruhet lagranzhiani i pikës materiale të

(3)

Fig. VI.56

Fig. VI.55

153

lirë në sistemin e referimit S*. Prej këtej të gjenden ekuacionet për kordinatat e pikës

në këtë sistem.

VI.58 Le të jetë S* një sistem joinercial referimi. Shpejtësia e origjinës O

* të tij ndaj

sistemit inercial S është b∙t∙i (i, j, k janë vektorët njësi të boshteve të sistemit S, b-

konstante dhe t-koha). Shpejtësia këndore e S* ndaj S është ω∙k, ku ω është

konstante. Në t = 0, të dy sistemet përputhe. Të shkruhen ekuacionet e lëvizjes në

sistemin S* për një grimcë me masë m, e cila mund të lëvizë lirisht në planin X

*Y

* . Në

çastin t = 0 grimca është në origjinë O* . Të gjenden kordinatat x, y të grimcës në

funksion të kohës.

VI.59 Një atlet i kërcimit së gjati kërcen 8 m në polin e veriut. Sa do të kërcejë ai në

ekuator? (Neglizhohen rezistenca, temperatura, akulli në pol. Supozohet se kërcimi në

ekuator bëhet sipas drejtimit veri-jug)

VI.60 Të gjëndet devijimi nga vertikalja e trupit që bie lirisht në fushën homogjene të

rëndesës, që shkaktohet nga rrotullimi uniform 24-orësh të Tokës. Shpejtësia këndore

Ω e këtij rrotullim konsiderohet e vogël dhe neglizhohen termat e rendit të dytë të

vogëlsisë në lidhje me shpejtësinë këndore, siç është forca centriguge.

VI.61 Të përcaktohet shmangia e një trupi nga plani vertikal, kur trupi hidhet nga

sipërfaqja e Tokës me shpejtësi fillestare v0 , e cila formon këndin me horizontin.

Gjerësia gjeografike e vendit është dhe shpejtësia këndore e rrotullimit 24-orësh të

Tokës është .

VI.62 Një predhë del nga tyta e armës, me drejtimin për nga lindja, dhe nën këndin

me horizontin. Të provohet se ndryshimi i largësihedhjes, për shkak të rrotullimit

të Tokës, është:

2/3

2/13

3

tancotcos

2

g

R,

ku R - është largësihedhja në mungesë të rrotullimit të Tokës, g – është nxitimi i

rënies së lirë, -është shpejtësia këndore e rrotullimit të Tokës.

VI.63 Lavjerësi Fuko12

është një sferë e rëndë e varur në një fill të gjatë. Në gjerësinë

gjeografike λ të hemisferës veriore lavjerësi vihet në lëkundje të vogla në planin

vertikal. Të provohet se plani i lëkundjeve të lavjerësit do të precesojë rreth drejtimit

vertikal me shpejtësi këndore Ω·sinλ, ku Ω është shpejtësia këndore e rrotullimit 24

orësh të Tokës.

12

Ky lavjerës shërbente në shekujt 18-19 për të demonstruar rrotullimin 24-orësh të Tokës. Në

godinat e universiteteve të vjetër të ndërtuar në këtë periudhë ekzistojnë ende në koridoret e

tyre me lartësi të madhe rrathët e vizatuar në dysheme, madje në ndonjë rast edhe vetë

lavjerësi i gjatë, rrotullimi i planit të të cilit vëshgohet mbi rrethin horizontal të shkallëzuar.

154

KAPITULLI VII Ekuacione kanonike

VII.1 Hamiltoniani, ekuacionet e Hamiltonit

Metoda e studimit të sistemeve mekanike, që kemi shqyrtuar deri tani, quhet

metoda e Lagranzhit. Sipas kësaj metode, përshkrimi i gjendjes së sistemit mekanik

bëhej me anë të 2 s (s-është numri i gradëve të lirisë së sistemit) variablave, s-

koordinatat e përgjithësuara q1, q2, q3, ... qs dhe s – shpejtësitë e përgjithësuara

sqqqq ...,, 321 . Funksioni i gjendjes së sistemit, funksioni i Lagranzhit, është funksion

i këtyre variablave dhe i kohës në përgjithësi: L(q1,q2,q3,...qs, sqqqq ...,, 321 ,t). Duke

njohur funksionin e Lagranzhit të sistemit mekanik, mund të gjendet lëvizja e sistemit

nga integrimi i ekuacioneve të lëvizjes, që janë ekuacionet e Lagranzhit:

sjq

L

q

L

dt

d

jj

...3,2,1ku ,0

(VII.1.1)

Këto janë ekuacione diferenciale të rendit të dytë dhe për gjetjen e e zgjidhjes së

veçantë të tyre, d.m.th atë zgjidhje që paraqet lëvizjen e sistemit mekanik (varësinë

nga koha të koordinatave), duhen vlerat fillestare të 2 s variablave: koordinatat dhe

shpejtësitë fillestare. Prandaj, metoda e Lagranzhit njihet si metoda e përshkrimit të

sistemit mekanik me anë të koordinatave dhe shpejtësive të përgjithësuara.

Metoda që do të shqyrtojmë tani, njihet si metoda e Hamiltonit, ose metoda e

përshkrimit të gjendjes së sistemit mekanik me anë të koordinatave dhe impulseve të

përgjithësuara, të cilat përcaktohen nga derivatet:

j

ssj

q

tqqqqqqLp

),,..,,...,( 2121 , (VII.1.2)

ku indeksi j merr vlera: j=1, 2, 3, ...s . (s është numri i gradëve të lirisë së sistemit

mekanik).

Kalimi nga variablat q1,q2,q3,...qs, sqqqq ...,, 321 ,t në variablat q1,q2,q3,...qs,p1,

p2,...ps ,t , bëhet me anë të një transformimi që në matematikë njihet si transformimi i

Lezhandrit. Ideja e kësaj metode është krijimi i një funksioni të ri me anë të shtimit te

funksioni i vjetër të shumës së produkteve të variablave që këmbehen. Psh, kështu

është vepruar në përcaktimin e funksioneve të ndryshme termodinamike të gjendjes,

siç janë energjia e lirë, entalpia e lirë etj. Më poshtë do të tregojmë se mbrijmë te ky

funksion i ri duke u nisur nga funksioni i Lagranzhit.

Le të kryejmë diferencialin e plotë të funksionit të Lagranzhit, si funksion i të

gjitha variablave të pavarura q1,q2,q3,...qs, sqqqq ...,, 321 ,t, do të kemi:

dtt

Lqd

q

Ldq

q

LdL j

j j

j

j j

155

Duke zevendësuar këtu shprehjet e impulseve (VII.1.2) dhe të derivateve të tyre nga

ekuacionet e Lagranzhit (VII.1.1), të cilat shkruhen thjeshtë j

jq

Lp , do të kemi:

dtt

LqdpdqpdL j

j

jj

j

j

Duke i shtuar të dy anëve të këtij barazimi diferencialin e plotë të shumës së

variablave që do këmbehen, j

jj qpd , do të gjejmë barazimin:

j

jjj

j

jj

j

j

j

jj qpddtt

LqdpdqpLqpd

Duke bërë diferencialet e produkteve që hyjnë te shuma e termit të fundit, pas

thjeshtimeve gjendet:

dtt

LdpqdqpLqpd

j

jjj

j

j

j

jj (VII.1.3)

Këtu duket se diferenciali i plotë i funksionit j

jj Lqp ka si variabla të

pavarura koordinatat dhe impulset e përgjithësuara, si dhe kohën : q1, q2, q3,...qs, p1,

p2,...ps ,t . Pikërisht ky funksion, i cili ka si variabla të pavaruara koordinatat, impulset

dhe kohën, quhet funksioni Hamiltonit ose hamiltoniani i sistemit:

LqpHj

jj (VII.1.4)

Ky funksion është i përcaktuar njëlloj si funksioni e energjisë së plotë të sistemit (shih

paragrafin II.2), veçse energjia e plotë është funksion i koordinatave dhe shpejtësive

të përgjithësuara E(q1, q2, ... qs , sqqq ,....,, 21 , t), ndërsa hamiltoniani është funksion i

koordinatave dhe impulseve të përgjithësuara H(q1, q2, ..., qs , p1, p2,..., ps , t). Prandaj

në përcaktimin e hamiltonianit sipas shprehjes (VII.1.4), duhet të kemi parasysh që

shpejtësitë e përgjithësuara qoftë te shuma (termi i parë), qoftë te lagranzhiani L,

duhet të zevendësohen me anë të impulseve të përgjithësuara. Shprehjet e shpejtësive

të përgjithësuara në funksion të impulseve të përgjithësuara gjenden nga barazimet

(VII.1.2).

Gjendja e sistemit mekanik në çdo çast kohe do të paraqitej nga një pikë me

koordintata q1, q2, q3,...qs, p1, p2,...ps në hapësirën 2 s - dimensionale , e cila quhet

hapësira fazore. Gjatë lëvizjes së sistemit mekanik pika paraqitëse e gjendjes së tij

zhvendoset në hapësirën fazore, sipas një “trajektoreje”, që quhet trajektore fazore.

Le ta zemë se e kemi gjetur hamiltonianin H(q1, q2, ..., qs , p1, p2,..., ps , t), si

funksion i koordinatave, impulseve dhe kohës. Duke kryer diferencimin e plotë të

këtij funksioni, si një funksion me shumë variabla, do të kemi:

156

dtt

Hdp

p

Hdq

q

HdH

j

j

j

j

j j

(VII.1.5)

Duke krahasuar këtë diferencial me diferencialin e hamiltonianit të shprehur nga

barazimi (VII.1.3), gjenden ekuacionet:

; j j

j j

H Hq p

p q (VII.1.6)

(ku j = 1, 2, ... , s) dhe barazimi:

t

L

t

H (VII.1.7)

Ekuacionet (VII.1.6) quhen ekuacionet e Hamiltonit. Ato formojnë një sistem prej

2 s ekuacionesh diferenciale të rendit të parë për 2 s të panjohurat qj , pj . Nga zgjidhja

e këtyre ekuacioneve përftohet varësia kohore e koordinatave dhe impulseve. Ky

sistem ekuacionesh zevendëson sistemin e s-ekuacioneve të rendit të dytë, ekuacionet

e Lagranzhit. Në saje të thjeshtësisë së tyre formale dhe simetrisë së tyre, ekuacionet

(VII.1.6) quhen edhe ekuacione kanonike .

Barazimi (VII.1.7) tregon se varësia kohore e hamiltonianit është e njëjtë me

varësinë kohore të lagranzhianit. Pra, nëse lagranzhiani nuk varet shtjellazi nga koha

( L/ t = 0), atëhere edhe hamiltoniani nuk varet shtjellazi nga koha ( H/ t = 0). Nga

ana tjetër, derivati i plotë kohor i hamiltonianit, është:

t

Hp

p

Hq

q

H

dt

dH

j

j

j

j

j j

(VII.1.8)

Duke zevendësuar në anën e djathtë të (VII.1.8) ekuacionet e Hamiltonit (VII.1.6),

gjendet se:

t

H

dt

dH (VII.1.9)

Pra, nëse hamiltoniani (ose lagranzhiani) nuk varet shtjellazi nga koha ( H/ t = 0),

atëhere hamiltoniani është integral i lëvizjes (nuk ndryshon me kohën). Siç dihet kjo

vlen edhe për funksionin e energjisë së plotë të sistemit.

Në shumë problema të mekanikës, shprehja e impulseve të përgjithësuar

merret drejtpërdrejtë nga përfytyrimet fizike. Nëse, hamitoniani është sa energjia e

plotë ose shuma e energjisë kinetike me atë potenciale (në rastin kur hamitoniani nuk

varet shtjellazi nga koha) atëhere mund ta shmangim procedurën formale të gjetjes së

hamiltonianit sipas shprehjes (VII.1.4). Mjafton që te shprehja e energjisë së plotë të

zëvendësojmë shpejtësitë me anë të impulseve.

Shembull Grimca në fushën qendrore Lagranzhiani i grimcës në fushën qendrore me energji potenciale U(r), në

koordinata polare shkruhet (shih paragrafin III.3):

157

)(2

222 rUrrm

L

Nga shprehjet e impulseve të përgjithësuara: pr = rmr

L

dhe p =

2rmL

, nxjerrim shpejtësitë e përgjithësuara në funksion të impulseve të

përgjithësuara: 2

dhe rm

p

m

pr r ,

të cilat i zevendësojmë te shprehja e hamiltonianit, sipas (VII.1.4):

LpprH r , ose direkt te funksioni i energjisë së plotë:

)(2

222 rUrrm

E ,dhe gjendet hamiltoniani i grimcës në fushën qendrore

: )(22 2

22

rUrm

p

m

pH r

Duke zbatuar ekuacionet e Hamiltonit mbi këtë hamiltonian, del se:

0H

p , pra p është konstante (integral i lëvizjes) dhe

dr

dU

rm

p

r

Hpr 3

2

. Nga lidhja pr = m dr/dt, gjendet ekuacioni:

dr

dU

rm

prm

3

2

,

integrimi i të cilit jep varësinë kohore të koordinatës r, ose gjendet ekuacioni:

dr

dU

rm

p

dr

dp

m

p rr

3

2

nga integrimi i të cilit gjendet lidhja midis variablave r dhe pr , pra gjendet ekuacioni

i trajektores në hapësirën fazore1 .

VII.2 Kllapat e Puasonit

Le të jenë dy funksione çfarëdo të koordinatave, impulseve dhe kohës: f(q1, q2

...qs, p1, p2, ...ps, t) dhe g(q1, q2 ...qs, p1, p2, ...ps, t), ku s – është numri i gradëve të

lirisë së një sistemi mekanik. Më poshtë, funksionet do t’i shënojmë shkurt f(q, p, t)

1 Në fakt, hapësira fazore do të kishte 4 përmasa r, pr , , ,p , por duke përjashtuar si

kordinatë ciklike, problemi sillet vetëm në lëvizjen radiale një dimensionale ku hapësira

fazore është dy-dimensionale.

158

dhe g(q, p, t), ku me një q kuptojmë të gjithë bashkësinë e kordinatave dhe me një p

kuptojmë të gjithë bashkësinë e impulseve. Do të quajmë kllapë të Puassonit të dy

funksioneve të dhënë f dhe g, madhësinë, e cila shënohet me kllapat gjarpërushe, dhe

jepet si shuma :

s

j jjjj p

g

q

f

q

g

p

fgf

1

, (VII.2.1)

ku secili term i shumës paraqet diferencën midis dy produkteve: produkti i parë

përmban derivatin e pjesëshëm të funksionit të parë në lidhje me impulsin dhe

derivatin e pjesëshëm të funksionit të dytë në lidhje me koordinatën përkatëse, ndërsa

produkti i dytë përmban derivatin e pjesëshëm të funksionit të parë në lidhje me

koordinatën dhe derivatin e pjesëshëm të funksionit të dytë në lidhje me impulsin

përkatës. Shpesh në mekanikën kuantike, kjo madhësi njihet si “komutatori” i dy

funksioneve f dhe g.

Le të kryejmë derivatin e plotë kohor të një funksioni f(q, p, t), duke patur

parasysh që variablat q1, q2, ...qs, p1, p2, ... ps janë funksione të kohës.

s

j

j

j

j

j

pp

fq

q

f

t

f

dt

df

1

(VI.2.2)

Duke zevendësuar në këtë barazim, derivatet kohore të koordinatave dhe impulseve

nga ekuacionet e Hamiltonit (VII.1.6), gjejmë:

s

j jjjj q

H

p

f

p

H

q

f

t

f

dt

df

1

(VII.2.3)

ku duket se shuma në anën e djathtë, në bazë të përkufizimit të kllapave të Puassonit

(VII.2.1), jep kllapën e Puassonit të hamiltonianit të sistemit me funksionin f:

fHt

f

dt

df, (VII.2.4)

Është e qartë se, kur funksioni f nuk varet shtjellazi nga koha ( f/ t=0), derivati i tiji

plotë kohor është sa kllapa e Puassonit e këtij funksioni me hamiltonianin dhe kushti

që ky funksion të jetë integral i lëvizjes (df/dt = 0) sillet në barazimin me zero të

kllapës së Puassonit:

{H, f } = 0 (VII.2.5)

Pra, si të thuash funksioni f “komuton” me hamiltonianin (“komutatori” i tij me

hamiltonian është zero).

Nga vetë përkufizimi i kllapave të Puassonit (VII.2.1), mbështetur në vetitë e

derivatit, mund të provohen fare lehtë disa veti të kllapave të Puassonit, të cilat po i

rendisim më poshtë:

a) {f , g } = - {g, f }, pra ndryshimi i renditjes së funksioneve, ndryshon shenjën e

kllapave të Puassonit.

b) {f, c } = 0 , ku c është një konstante çfardo

c) {f1 + f2 , g } = {f1 , g } + {f2 , g }

159

d) {f1 f2 , g } = f2 {f1 , g } + f1 {f2 , g }

e) , , , ose , , ,f g d df dg

f g g f f g g ft t t dt dt dt

f) , , , ose , , ,j j j j j j

f g d df dgf g g f f g g f

q q q dp dp dp(j=1,2,...s)

Nëse njeri nga funksionet, f ose g , përputhet me njerën nga koordinatat ose

impulset, atëhere kllapat e Puassonit japin thjeshtë derivatin e funksionit në lidhje me

impulsin ose koordinatën përkatëse:

, , dhe j j

j j

f ff q f p

p q (VII.2.6)

Kështu, edhe ekuacionet e Hamiltonit mund të shkruhen në trajtën:

, , dhe j j j jq H q p H p (VII.2.7)

Duke vendosur në barazimet (VII.2.6) në vend të funksionit f , njerën nga koordinatat

ose impulset, marrim në veçanti:

{qj , qk} = 0 ; {pj , pk} = 0 ; {pj , qk} = jk ; (VII.2.8)

ku indekset j dhe k marrin vlera 1, 2, 3, ... s dhe jk është i ashtuquajturi simboli i

Kronekerit, i cili është zero kur j = k dhe është 1 kur j = k. Këto barazime tregojnë

se koordinatat me njera tjetrën “komutojnë”, po ashtu edhe impulset me njeri tjetrin

“komutojnë”. Ndërsa impulsi me koordinatën përkatëse (j = k) nuk “komuton”

(“komutatori i tyre është i ndryshëm nga zero), por impulsi “komuton” me të gjitha

koordinatat e tjera (jo përkatëse me të). Ky përfundim transplatohet në mekanikën

kuantike, në parimin e papërcaktueshmërisë, sipas të cilit koordinata dhe impulsi

përkatës janë të pabashkëmatëshme (operatorët e tyre nuk komutojnë).

Midis kllapave të dyfishta të Puassonit, pra midis kllapave ku hyjnë tri

funksione f, g , h të çfarëdoshëm të koordinatave, impulseve dhe kohës, ekziston një

relacion, që quhet identiteti i Jakobit:

0,,,,,, fhggfhhgf (VII.2.9)

Duket se në këtë relacion, të tri kllapat e dyfishta e ruajnë renditjen ciklike të

funksioneve f , g , h . Ne nuk do ta provojmë këtë relacion, por do të provojmë se

prej tij del një rrjedhim shumë praktik: Nëse dy funksione f dhe g janë integrale të

lëvizjes, atëhere edhe kllapa e tyre e Puassonit është integral i lëvizjes.

Le të jetë, funksioni h në identitetin e Jakobit (VII.2.10) funksioni i Hamiltonit, H.

Nëse funksionet f dhe g , janë integrale të lëvizjes, atëhere sipas (VII.2.4) kemi:

t

ggH

t

ffH , dhe ,

Duke i zevendësuar këto në relacionin (VII.2.9), dhe duke patur parasysh vetitë e

kllapave të Puassonit, kemi:

160

0,,,, gfHgt

f

t

gf , ose 0,,, gfHgf

t

Sipas barazimit VII.2.4, ky barazim tregon se derivati i plotë kohor i funksionit {f ,

g} është zero: 0, gfdt

d. Pra edhe kllapa e Puassonit e funksioneve f dhe g (që

janë integrale të lëvizjes) është përsëri integral i lëvizjes. Sipas këtij rrjedhimi, mund

të ndërtojmë integrale të rinj të lëvizjes nëse nisemi nga dy integrale të lëvizjes. Por,

gjatë këtij procesi ne mund të gjejmë integrale të lëvizjes që nuk janë të pavarur, pra

janë funksione të integraleve të gjetur më parë. Dhe kjo dihet, sepse numri i

integraleve të pavarur të lëvizjes është i kufizuar. Për një sistem mekanik me s gradë

lirie, numri maksimal i integraleve të pavarur të lëvizjes është 2 s.

VII.3 Veprimi si funksion i koordinatave dhe kohës

Kur kemi formuluar parimin e veprimit minimal (I.4), veprimin e kemi përcaktuar

nga integrali:

2

1

t

t

dtLS (VII.3.1)

ku integrimi i funksionit të Lagranzhit kryhet sipas “trajektoreve” që bashkojnë dy

pozicione të dhëna të sistemit: q(1)

(me q shënojmë bashkësinë e koordinatave q1, q2,

... qs) në çastin t1 dhe q(2)

në çastin t2. Kur bëhej variacioni i veprimit, krahasoheshin

vlerat e këtij integrali (VII.3.1) për “trajektore” të afërta që niseshin nga e njejta

gjendje q(1)

dhe përfundonin në të njëjtën gjendje q(2)

. “Trajektorja” që i përgjigjet

lëvizjes së vërtetë që kryen sistemi, është ajo për të cilën veprimi ka vlerë minimale.

Le të shqyrtojmë tani një aspekt tjetër të veprimit. Do të konsiderojmë vlerën e

veprimit vetëm për “trajektore” të vërteta, reale që ndjek sistemi mekanik dhe do të

krahasojmë vlerat që veprimi merr për “trajektore” që fillojnë në të njëjtën gjendje

q(1)

në çastin t1 , por që përfundojnë në gjendje të ndryshme q(2)

në çastin t2. Në këtë

mënyrë vlerat e veprimit janë funksion i vlerave të koordinatave në gjendjen e dytë,

ose i koordinatave në kufirin e sipërm të integrimit (VII.3.1). Ndryshimi elementar i

veprimit gjatë kalimit nga një “trajektore” reale në një “trajektore” tjetër reale të afërt

me të parën, do të gjendej nga integrali:

dtqq

Lq

q

LS

t

t j

j

j

j

j

2

1

Ashtu siç kemi vepruar tek parimi i veprimit minimal (I.4), termi i dytë brenda

shumës, pasi ndërrohet renditja e variacionit me atë të derivimit kohor ( q = d( q)/dt

), mund të integrohet me pjesë dhe gjendet rezultati:

161

dtqq

L

dt

d

q

Lq

q

LS

j

t

t

j

jj

t

tj

j

j

2

1

2

1

(VII.3.2)

Termi i dytë në anën e djathtë të barazimit (VII.3.2), bëhet zero, duke qenë së

shqyrtohen “trajektore” reale (kënaqen ekuacionet e Lagranzhit, pra secila nga

shprehjet në kllapa katrore është zero). Ndërsa te termi i integruar (termi i dytë),

merret vlera e këtij termi në çastin t2 minus vlera e tij në çastin t1. Vlera e këtij termi

në çastin t1 është zero, sepse “trajektoret” e afërta fillojnë nga e njëjta gjendje, qj(1)

=

0. Duke shënuar qj(2)

= qj dhe duke futur impulset e përgjithësuara, sipas

(VII.1.2): j

jq

Lp

, gjejmë:

j

jj qpS (VII.3.3)

Në këtë mënyrë, duke e konsideruar veprimin si një funksion të koordinatave (në

kuptimin që thamë më lart), del se impulset janë derivate të pjesëshme të funksionit të

veprimit në lidhje me kordinatat përkatëse:

j

jq

Sp (VII.3.4)

Po t’i trajtojmë impulset si përbërëse të një vektori p dhe kordinatat si përbërëse të

një vektori q, atëhere barazimi (VII.3.4) tregon se impulsi p është gradient sipas

koordinatës q i funksionit të veprimit.

Në mënyrë analoge mund të shqyrtohet veprimi edhe si funksion i kohës. Duke

shqyrtuar “trajektore” reale që fillojnë në çastin t1 nga pozicioni i dhënë q(1)

dhe që

përfundojnë në çaste të ndryshme t = t2 në pozicionin e dytë q(2)

. Nëse pozicioni i

dytë është variabël, atëhere veprimi del funksioni i kordinatave dhe i kohës:

S(q1, q2, q3, ...qs, t)

Derivati i plotë kohor i këtij funksioni, sipas përcaktimit (VII.3.1), është:

Ldt

dS (VII.3.5)

Nga ana tjetër, si një funksion i koordinatave që variojnë me kohën, dhe i kohës,

derivati i plotë kohor i funksionit të veprimit do ishte:

j

jj

j

j

j

qpt

Sq

q

S

t

S

dt

dS ,

që nga nxjerrim:

j

jj qpLt

S ose H

t

S (VII.3.6)

ku H është hamiltoniani i sistemit. Kështu varësia shtjellazi nga koha e funksionit të

veprimit shprehet nëpërmjet hamiltonianit dhe diferenciali i plotë i funksionit të

veprimit do ishte:

162

j

jj dtHdqpdS (VII.3.7)

dhe vetë funksioni i veprimit do ishte integrali i (VII.3.7):

j

jj dtHdqpS (VII.3.8)

Duke zbatuar parimin e veprimit minimal, për këtë shprehje të funksionit të veprimit,

mund të nxirren ekuacionet e Hamiltonit.

Në rastet kur hamiltoniani nuk varet shtjellazi nga koha, shprehja e veprimit të

plotë (VII.3.8), mund të shkruhet në trajtën:

j

jj ttEdqpS )( 0 (VII.3.9)

ku E është energjia e plotë, që është konstante dhe çasti t0 mund të merret zero.

Kështu varësia kohore e veprimit është thjeshtë në termin e dytë: një konstante herë

kohën t. Ndërsa termi i parë shënohet :

j

jj dqpS0 (VII.3.10)

dhe quhet veprim i shkurtuar. Shpesh, për të gjetur ekuacionet e trajektoreve (lidhjet

midis koordinatave) dhe jo varësinë kohore të koordinatave, mund të zbatojmë

parimin e veprimit minimal për veprimin e shkurtuar. Psh, le ta zbatojmë këtë parim,

për një grimcë që lëviz në një fushë të dhënë (me potencial të dhënë). Po të shënojmë

më l gjatësinë e rrugës nëpër trajektoren që ndjek grimca me masë m, atëhere

energjia kinetike do të ishte:

T=

2

2 dt

dlm= E - U,

Ku E është energjia e plotë që është konstante dhe U energjia potenciale. Impulsi do

ishte:

)(2 UEmdt

dlmp ,

ndërsa veprimi i shkurtuar do ishte:

dlUEmS )(20

Ekuacioni i trajektores do gjendej nga barazimi me zero i variacionit të këtij veprimi

(extremumi i veprimit):

0))(2( dlUEm

Psh, nëse grimca është e lirë (U = 0), ky barazim sillet në barazimin me zero të

variacionit të gjatësisë së trajektores2:

0dl

2 Konstantet 2, m, E dalin jashtë shenjës së variacionit dhe janë të ndryshme nga zero.

163

Pra, grimca e lirë ndjek atë trajektore, e cila ka gjatësi ekstremale (minimale) dhe kjo

trajektore është vija e drejtë që bashkon dy pozicione të dhëna të grimcës së lirë.

VII.4 Transformime kanonike

Zgjedhja e kordinatave të përgjithësuar për një sistem mekanik nuk është e

vetme. Për një sistem me s – gradë lirie, koordinatat e përgjithësuara mjafton të jenë s

madhësi çfarëdo të pavarura që përcaktojnë plotësisht pozicionin hapësinor të

sistemit. Psh, për lëvizjen në plan të një pike materiale, mund të merren dy

koordinatat karteziane x dhe y. Por mund të zgjidhen dy koordinata të tjera siç janë

kordinatat polare r dhe . Natyrisht, për problemin konkret është e dobishme të

zgjidhet ajo bashkësi koordinatash, e cila ka sa më shumë kordinata ciklike3. Kështu,

në rastin e lëvizjes në fushë qendrore, zgjidhen koordinatat polare r dhe , sepse

koordinata është ciklike.

Meqë zgjedhja e koordinatave të përgjithësuara për një sistem nuk është e

vetme, lind nevoja e gjetjes së procedurës për të kaluar nga një bashkësi koordinatash

në një tjetër. Transformimet, që bëjnë kalimin nga një bashkësi koordinatash: q1, q2,

...qs në një bashkësi tjetër koordinatash: Q1, Q2, ...Qs , shprehen me anë të

funksioneve të trajtës:

Qj = Qj (q1, q2, ...qs, t) (VII.4.1)

ku j = 1, 2, ...s dhe t është koha, ose të funksioneve të anasjelltë, të trajtës:

qj = qj (Q1, Q2, ...Qs, t) (VII.4.1’)

Këto transformime quhen transformime pikësore.

Gjatë transformimeve pikësore, pamja formale e ekuacioneve të Lagranzhin nuk

ndryshon. Pra, nëse për koordinatat e vjetra q1, q2, ...qs , kemi ekuacionet:

0jj q

L

q

L

dt

d

,

atëhere edhe për koordinatat e reja Q1, Q2, ...Qs , kemi ekuacionet:

0jj Q

L

Q

L

dt

d

.

Themi që ekuacionet e Lagranzhit janë invariantë (të pandryshuar) ndaj

transformimeve pikësore. Në mënyrë analoge, edhe për metodën e Hamiltonit shtrohet problemi i kalimit

(transformimit) nga një bashkësi variablash në një tjetër. Por, në metodën e

Hamiltonit, si variabla të pavarura për sistemin mekanik me s – gradë lirie, shërbejnë

s koordinatat dhe s impulset e përgjithësuara: q1, q2, ...qs, p1, p2, ...ps . Prandaj në këtë

metodë, transformimi nga një bashkësi variablash q1, q2, ...qs, p1, p2, ...ps në një

3 Kujtojmë që koordinata ciklike quhen ato koordinata që nuk hyjnë shtjellazi në lagranzhian

164

bashkësi tjetër variablash Q1, Q2, ...QS, P1, P2, ...PS do jepej me 2 s funksione të

trajtës:

Qj = Qj (q1, q2, ...qs, p1, p2, ...ps, t) (VII.4.2)

Pj = Pj (q1, q2, ...qs, p1, p2, ...ps, t)

(j = 1, 2, ...s) ose me anë të 2s funksioneve të anasjelltë, të trajtës:

qj = qj (Q1, Q2, ...QS, P1, P2, ...PS, t) (VII.4.2’)

pj = pj (Q1, Q2, ...QS, P1, P2, ...PS, t)

Në dalllim nga metoda e Lagranzhit, në metodën e Hamiltonit jo për çdo

transformim të variablave (VII.4.2) ruhet forma kanonike e ekuacioneve lëvizjes

(VII.1.6). Sigurisht, ne na interesojnë ato transformime të trajtës (VII.4.2), për të cilat

ruhet forma kanonike e lëvizjes. Pra, nëse për variablat e vjetra, kënaqen ekuacionet

(VII.1.6):

j

j

j

jq

Hp

p

Hq ;

edhe për variablat e reja të kënaqen ekuacionet:

j

j

j

jQ

HP

P

HQ

' ;

' (VII.4.3)

ku H’ është funksioni i ri Hamiltonit, pra hamiltoniani i sistemit si funksion i

variablave të reja Q1, Q2, ...QS, P1, P2, ...PS . Pikërisht këto transformime që kënaqin

këtë kusht, quhen transformime kanonike. Kushti është që edhe variablat e reja të

jenë kanonike (të kënaqin ekuacionet kanonike VII.4.3), pra ato duhet të kënaqin

parimin e veprimit minimal, prej të cilit rrjedhin ekuacionet kanonike. Kështu, nëse

për variablat e vjetra kemi parimin:

0j

jj dtHdqp , (VII.4.4)

duhet të kemi edhe për variablat e reja, parimin:

0'j

jj dtHdQP (VII.4.5)

Që të kënaqen njëkohësisht (VII.4.4) dhe (VII.4.5), duhet që shprehjet nën integral

të dy barazimeve të ndryshojnë vetëm nga diferenciali i plotë i një funksioni F, të

koordinatave, impulseve dhe kohës. Në këtë rast, diferenca midis dy integraleve të

këtyre barazimeve do të ishte një konstante, variacioni i të cilës është zero. Vlera e

kësaj konstanteje do ishte sa diferenca e vlerave të funksionit F në kufijtë e integrimit.

Pra, duhet të kemi:

dFdtHdQPdtHdqpj

jj

j

jj ' ,

ose:

j

jj

j

jj dtHHdQPdqpdF )'( (VII.4.6)

165

që nga del:

j

jj

j

jj HHQPqpdt

dF)'( (VII.4.7)

Barazimi (VII.4.6) ose (VII.4.7) shpreh kushtin që transformimi nga variablat q1, q2,

...qs, p1, p2, ...ps në variablat Q1, Q2, ...QS, P1, P2, ...PS të jetë kanonik. Kështu, çdo

transformim kanonik karakterizohet nga një funksion F, diferenciali i plotë i të cilit

jepet nga (VII.4.6), që quhet funksion i transformimit ose i gjenerimit të

transformimit kanonik. Ai në përgjithësi, do ishte funksion i 4 s variablave (2s

variablat e vjetër dhe 2s variablat e rinj) dhe i kohës. Por, në saje të lidhjes midis

variblave të vjetër dhe të rinj, 2 s barazimeve (VII.4.2), vetëm 2 s nga këto variabla

janë të pavarura. Në varësi të faktit se cilat variabla zgjedhim si të pavaruara,

funksioni i transformimit mund të ketë njerën nga 4 trajtat4:

F1(q, Q, t) , F2(q, P, t) , F3(p, Q, t) , F4(p, P, t) (VII.4.8)

Për rastin e parë, kur variabla të pavarura merren kordinatat e vjetra dhe kordinatat e

reja F1(q, Q, t), nga barazimi (VII.4.6), nxjerrim

relacionet ' , , 111

t

FHH

Q

FP

q

Fp

j

j

j

j (VII.4.9)

Kur jepet funksioni i transformimit F1 , këto relacione vendosin lidhjet midis

variablave të vjetra (q, p) dhe variablave të reja (Q, P), si dhe japin shprehjen e

funksionit të ri të Hamiltonit, H’.

Për rastin kur si variabla të pavarura janë (q, P), funksioni i transformimit është i

tipit F2(q, P, t). Për të kaluar nga variablat e pavarur (q, Q) ose nga funksioni F1, në

variablat e pavarur (q, P) ose në funksionin F2, përdorim transformimin e Lezhandrit.

Duke i shtuar të dy anëve të barazimit (VII.4.6) diferencialin e shumës së produkteve

të variablave që këmbehen (j

jj QPd ), gjejmë:

j

jj

j

jj

j

jj dtHHdPQdqpQPFd )'(1 (VII.4.10)

Pra, gjendet shprehja e funksionit të tipit të dytë:

j

jj QPtQqFtPqF ),,(),,( 12 (VII.4.11)

dhe diferenciali i plotë i tij është (VII.4.10). Kështu që lidhja midis variablave, kur

jepet funksioni i transformimit i tipit F2 , gjendet në bazë të (VII.4.10):

' , , 222

t

FHH

P

FQ

q

Fp

j

j

j

j (VII.4.12)

4 kur shkruajmë vetëm një p kemi parasysh p1, p2, ...ps , ose me një q kemi parasysh q1, q2,

…qs.

166

Në mënyrë analoge kalohet në formulat e transformimit, kur funksionet e

transformimit janë të tipit F3 ose F4 . Pra, mjafton të njihet njeri nga tipet e funksionit

të transformimit (VII.4.8), sepse është e lehtë të kalohet nga njeri tip tek tjetri.

Vërrejmë se gjithmonë, lidhja midis hamiltonianit të ri me hamiltonianin e vjetër

shprehet njëlloj. Në çdo rast, diferenca H’ – H jep derivatin e pjesëshëm kohor të

funksionit të transformimit dhe siç duket nga barazimi (VII.4.7), derivati i pjesëshëm

kohor nuk varet nga tipi i funksionit transformues. Në rastin e veçantë kur

transformimi nuk varet shtjellazi nga koha ( F/ t = 0), H’ = H. Në këtë rast, për të

gjetur hamiltonianin e ri, mjafton që në hamiltonianin e vjetër të zevendësohen

variablat e vjetra në funksion të variablave të reja.

Transformimet kanonike e largojnë shumë konceptin e ndarjes së variablave në

kordinata dhe impulse. Përderisa transformimet (VII.4.2) lidhin seicilën nga

madhësitë Pj , Qj si me koordinatat qj ashtu edhe me impulset pj , atëhere variablat Qj

nuk kanë kuptimin thjeshtë si koordinata hapsinore dhe Pj thjeshtë si impulse.

Dallimi midis dy grupeve të variablave është çështje emërtimi. Madje, mund të

kryejmë edhe një transformim kanonik : Qj = pj , Pj = - qj , i cili nuk e ndyshon

trajtën kanonike të ekuacioneve, por vetëm shkëmben emrat e koordinatave në

impulse dhe anasjelltasi. Për këtë arsye, variablat pj dhe qj , në metodën e Hamiltonit

thirren si madhësi të konjuguara kanonikisht.

Kushti që dy madhësi të jenë të konjuguara kanonikisht, mund të shprehet edhe

me anë të kllapave të Puassonit (VII.2.9):

{qj , qk} = 0 ; {pj , pk} = 0 ; {pj , qk} = jk ;

Kushti që variablat e reja të jenë të konjuguara kanonikisht, pra transformimi të jetë

kanonik, shprehet me anë të kllapave të Puassonit;

{Pj , Qk} = 0 ; {Pj , Qk} = 0 ; {Pj , Qk} = jk (VII.4.13)

ku derivatet e madhësiave Pj dhe Qj të dhëna në barazimet (VII.4.2) kryhen ndaj

variablave pj dhe qj . Prandaj, shpesh në praktikë, barazimet (VII.4.13) përdoren për

të verifikuar nëse një transformim i dhënë (VII.4.2) është kanonik.

Edhe vetë ndryshimi i madhësive pj , qj me kohën gjatë lëvizjes së sistemit

mekanik, mund të shqyrtohet si një transformim kanonik. Le të jenë qt dhe pt vlerat e

variablave në një çast kohe t, kurse qt+ , pt+ vlera e tyre në një çast tjetër t + .

Këto vlera të reja janë funksione të vlerave të mëparëshme ( intervali kohor hyn si

parametër në këto varësi):

qt+ = q(qt , pt , ) , pt+ = p(qt , pt , ) (VII.4.14)

Kuptohet që transformimi (VII.4.14) është kanonik, sepse përsëri variablat e reja qt+

dhe qt+ kënaqin ekuacionet kanonike. Provohet se, kur intervali kohor merret

pambarimisht i vogël, funksioni gjenerues i këtij transformimi është funksioni i

Hamiltonit. Kjo ide i shërbeu Shredingerit, për gjetjen e ekuacionit të famshëm të tij

në mekanikën kuantike.

167

VII. 5 Teorema e Ljuvilit

Në metodën e Hamiltonit gjendja e një sistemi mekanik me s gradë lirie mund të

paraqitet nga një “pikë” në hapësirën 2 s dimensionale, e cila quhet hapësira fazore.

“Koordinatat” e kësaj “pike” janë vlerat e koordinatave dhe impulseve: q1, q2, ... qs ,

p1, p2, ...ps . Gjatë lëvizjes së sistemit mekanik, pika paraqitëse e gjendjes së sistemit

përshkruan një hapësirën fazore një “trajektore”, që quhet trajektorja fazore.

Produktin e diferencialeve të variablave q1, q2, ... qs , p1, p2, ...ps :

d = dq1 dq2 ... dqs dp1 dp2 ... dps (VII.5.1)

mund ta shqyrtojmë si një “element vëllimor” në hapësirën fazore. Vëllimi i një zone

të fundme në hapësirën fazore, do të jepej nga integrali:

d = .... dq1 dq2 ... dqs dp1 dp2 ... dps (VII.5.2)

Të tregojmë se, për një transformim kanonik, i cili paraqitet me relacionet:

Qj = Qj (q1, q2 , .. qs , p1, p2, ...ps , t), Pj = Pj (q1, q2 , .. qs , p1, p2, ...ps, t) (j=1, 2, ...,s),

ose shkurt:

Qj = Qj (q, p, t) , Pj = Pj (q, p, t) (VII.5.3)

Vëllimet fazore përkatëse në hapësirat fazore p, q dhe P, Q , janë të njëjta:

... dq1 q2 ... dqs dp1 dp2 ... dps = ... dQ1 dQ2 .. dQs dP1 dP2 ... dPs

(VII.5.4)

Siç dihet, transformimi i variablave në integralet e shumëfishta bëhet sipas formulave:

... dQ1 dQ2.. dQs dP1 dP2 ...dPs = ... J dq1 q2 ... dqs dp1 dp2 ... dp

(VII.5.5)

ku J =

ss

ss

pppqqq

PPPQQQ

,...,,,...,

,...,,,...,

2121

2121 është i ashtuquajturi jakobiani i transformimit,

i cili shprehet shtjellazi si përcaktori i matricës:

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2,

,

...... ......

...... ......

.........

s s

s s

s

Q Q Q P P P

q q q q q q

Q Q Q P P P

q q q q q q

Q P Q QJ

q p q q

1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1

...... ......

...... ......

........

......

s s

s s s s s

s s

s

s s s s

Q P P P

q q q q

Q Q Q P P P

p p p p p p

Q Q Q P

p p p p

2 ......

s

s s

P P

p p

(VII.5.6)

168

Për të provuar barazimin (VII.5.4), mjafton të provojmë që moduli i këtij jakobiani

është 1. Për këtë, kryejmë këto veprime mbi matricën (VII.5.6): a) shumëzojmë s

rreshtat e fundit me – 1 , b) shumëzojmë s shtyllat e fundit me - 1 , c) shkëmbejmë

vendet e s rreshtave të fundit me s rreshtat e fillimit , d) shkëmbejmë vendet e s

shtyllat të fundit me s shtyllat e fillimit, e) ndryshomë rreshtat me shtyllat.

Të gjitha këto veprime, nuk e ndryshojnë vlerën e përcaktorit, por ndryshojnë trajtën e

matricës (VII.5.5) dhe e sjellin atë në matricën e trajtës:

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

1

1

,

,

...... - - ...... -

.............

...... - - ...... -

s s

s s s s s s

s s

P P P P P P

p p p q q q

P P P P P P

p p p q q qQ PJ

Qq p

p

1 1 1 1 1

2 1 2

1 2 1 2

- ...... - ......

........

- ...... - ......

s s

s s s s s s

s s

Q Q Q Q Q

p p q q q

Q Q Q Q Q Q

p p p q q q

(VII.5.7)

Duke shumëzuar jakobianin (VII.5.6) me jakobianin (VII.5.7), gjejmë:

1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 1 2

2

1 1

1 1 1 1 1 1

, ...... , , .... ,

, ...... , , .... ,

......,

, ...... , , .... ,,

, ...... , , .... ,

....

s s

s s

s s s s s s

s s

P Q P Q P P P P

P Q P Q P P P P

Q PJ P Q P Q P P P P

q pQ Q Q Q Q P Q P

1 1, ...... , , .... ,

....

s s s s s s

Q Q Q Q Q P Q P

(VII.5.8)

Në bazë të vetive të kllapave të Puassonit (VII.2.9), ky produkt (VII.5.8) e ka

përcaktorin baraz me 1:

1

1

0 0 .... 0 0 0

0 1 0 .... 0 0 0

...........

0 0 0 .... 0 1 0

0 0 0 .... 0 0 1

(VII.5.9)

Prandaj moduli i jakobianit është 1, pra jakobiani mund të jetë +1 ose –1 . Provohet

që edhe jakobiani është +1. Provohet kështu barazimi (VII.5.4), pra transformimi

169

kanonik nuk e ndryshon vëllimin në hapësirën fazore. Duke qenë se edhe vetë lëvizja

e sistemit mekanik, mund të shqyrtohet si një transformim kanonik, vijmë në

përfundimin që gjatë lëvizjes së një bashkësie sistemesh mekanikë, ruhet vëllimi që

ato zenë në hapësirën fazore dhe kjo përbën të ashtuquajturën teorema e Ljuvilit.

Kjo teoremë ka shumë interes në mekanikën statistike, e cila studion “ansamble

statistike”, pra bashkësinë e një numri të madh sistemesh identikë, por me kushte

fillestare të ndryshme (shpërndarja e kushteve fillestare është e rastit). Sipas teoremës

së Liuvilit, bashkësia e sistemeve, që në çastin t = 0 ze vëllimin d në hapësirën

fazore, do të lëvizë në mënyrë të tillë që ky vëllim të mos ndryshojë me kohën:

d = konstante (VII.5.10)

Gjatë lëvizjes, “trajektoret” që paraqesin lëvizjen e seicilit sistem në hapësirën

fazore, janë të ndryshme, por ato nuk priten me njera tjetrën (po të priteshin do të

paraqesnin të njëjtin sistem). Sigurisht forma e zonës që zenë një bashkësi sistemesh

në hapësirën fazor mund të ndryshojë me kohën, por vëllimi mbetet konstant. Pra

lëvizja e pikave paraqitëse të sistemeve mekanike në hapësirën fazore i ngjason

lëvizjes së një fluidi të pangjeshëshëm.

VII. 6 Ekuacioni Hamilton-Jakobi

Kur shqyrtuam veprimin si funksion i koordinatave dhe kohës (VII. 3), treguam se

derivati i pjesëshëm kohor i tij ishte i barabartë me minus hamiltonianin e sistemit:

0),,...,,,...,,( 2121 tqqqpppHt

Sss (VII.6.1)

Ndërsa derivatet e pjesëshme të tij në lidhje me kordinatat ishin impulset përkatëse:

j

jq

Sp (VII.6.2)

Duke i zevendësuar këto barazime (VII.6.2) në shprehjen e funksionit të Hamiltonit

në barazimin (VII.6.1), marrim një ekuacion diferencial me derivate të pjesëshme të

rendit të parë për funksionin e veprimit5:

0),,....,,,....,(21

21 tq

S

q

S

q

SqqqH

t

S

s

s (VII.6.3)

Ky ekuacion njihet se ekuacioni Hamilton-Jakobi. Në të, funksioni i veprimit

është funksioni i panjohur, që mund të gjendet nga zgjidhja e këtij ekuacioni.

Siç dihet, zgjidhja e përgjithëshme e një ekuacioni diferencial me derivate të

pjesëshme të rendit n (në rastin tonë n = 1) përmban, si rregull, funksione të

çfardoshme. Në mekanikë ne interesohemi jo për zgjidhjen e përgjithëshme të

ekuacionit (VII.6.3), por për zgjidhjen e plotë ose të ashtuquajturin integralin e plotë

të ekuacionit Hamilton-Jakobi. Kështu quhet ajo zgjidhje e ekuacionit diferencial me

5 Funksioni i Hamiltonit i sistemit konsiderohet i njohur.

170

derivate të pjesëshme, e cila përmban aq konstante të çfardoshme të pavarura sa

variabla të pavarura të ketë ekuacioni. Në rastin tonë, ekuacioni diferencial (VII.6.3)

ka s+1 variabla të pavarura, ku s është numri i gradëve të lirisë së sistemit. Këto

variabla janë s-kordintat : q1, q2 , ....qs , dhe koha t . Pra, integrali i plotë i ekuacionit

Hamilton-Jakobit do të kishte s+1 konstante të çfardoshme të pavarura: 1, 2 , ....

s , s+1. Në fakt, në ekuacionin Hamilton-Jakobi (VII.6.3) nuk hyn shtjellazi

funksioni i veprimit S, por hyjnë derivatet e këtij funksioni. Prandaj, nëse kemi gjetur

një zgjidhje S të ekuacionit, edhe S + A (A është një konstante e çfarëdoshme) është

përsëri zgjidhje. Rrjedhimisht, njera nga s+1 konstantet që hyn tek zgjidhja e plotë e

ekuacionit Hamilton-Jakobi është një konstante aditive që mund t’i shtohet gjithmonë

zgjidhjes. Prandaj, integrali i plotë i ekuacionit Hamilton-Jakobi, shkruhet në trajtën:

S = S(q1, q2, ...qs, t, 1, 2 , ... s) (VII.6.4)

Le ta zemë se, në një farë mënyre, kemi gjetur integralin e plotë (VII.6.4) të

ekuacionit Hamilton-Jakobi (VII.6.3). Kryejmë një transformim kanonik, për të cilin

rolin e funksionit transformues (gjenerues) e luan funksioni (VII.6.4). Në këtë

transformim, konstantet 1, 2 , ... s luajnë rolin e impulseve të reja (P1, P2...Ps ).

Kështu që funksioni transformues është i tipit të dytë (VII.4.8) F2(q, P, t) dhe

formulat e transformimit kanonik do ishin (VII.4.12):

j

jq

Sp ,

j

j

S dhe

t

SHH ' (VII.6.5)

ku madhësitë 1 , 2 , ... s luajnë rolin e impulseve të reja, ndërsa H’ është

hamiltoniani i ri (në variabla të reja). Barazimi i parë në barazimet (VII.6.5) nuk na

tregon ndonjë gje të re, pasi këtë e dimë më parë (VII.6.2). Ndërsa barazimi i fundit

në barazimet (VII.6.5) tregon se sipas ekuacionit (VII.6.1) hamiltoniani i ri është

zero:

H’ = 0 (VII.6.6)

Prandaj ekuacionet kanonike për variablat e reja, janë:

konstante dhe konstante ose

0 , 0

jj

jj

β

(VII.6.7)

Ne e dinim qysh më parë që variablat j (j = 1, 2, ... s) janë konstante, por rezulton

se edhe variablat j (j = 1, 2, ... s) janë konstante, pra nuk ndryshojnë me kohën.

Nëpërmjet barazimeve j

j

S , mund të shprehim koordinatat q1, q2, ...qs

nëpërmjet 2 s konstanteve të pavarura j , j dhe kohës t . Gjendet kështu lëvizja e

sistemit, sepse gjendet varësia kohore e kordinatave. Ndërsa vlera e konstanteve të

pavarura j , j gjendet nga kushtet fillestare të sistemit.

Kështu, vijmë në një metodë tjetër të zgjidhjes së problemeve të mekanikës,

që njihet si metoda e Hamilton-Jakobit, e cila konsiston në veprimet e mëposhtëme.

- Shkruhet hamiltoniani i sistemit.

- Formohet ekuacioni i Hamilton-Jakobit.

171

- Gjendet integrali i plotë i ekuacionit Hamilton-Jakobi.

- Derivohet integrali i plotë në lidhje me seicilën konstante të pavarur dhe

barazohet seicili derivat me konstante të pavarura. Formohet kështu një

sistem prej s ekuacionesh algjebrike, nga zgjidhja e të cilave gjendet varësia

kohore e kordinatave.

Në rastin kur hamiltoniani nuk varet shtjellazi nga koha, varësia kohore e funksionit

të veprimit, jepet në trajtën:

S = S0(q1, q2, ...qs) - E t (VII.6.8)

ku E është energjia e plotë, e cila luan rolin e një konstante dhe S0 është veprimi i

shkurtuar. Duke zevendësuar këtë trajtë të funksiont të veprimit në ekuacionin e

Hamilton-Jakobit (VII.6.3), ky ekuacion shkruhet në trajtën:

Eq

S

q

S

q

SqqqH

s

s ),....,,,...,( 0

2

0

1

021

(VII.6.9)

Matematikisht, metoda e Hamilton-Jakobit i vë në korespondencë 2 s

ekuacioneve kanonike, që janë ekuacione diferenciale me derivate të zakonshëm të

rendit të parë, një ekuacion të vetëm të rendit të parë me derivate të pjesëshëm

(ekuacioni Hamilton-Jakobi). Kjo korespondencë vlen jo vetëm për ekuacionin

Hamilton-Jakobi. Çdo ekuacioni diferencial të rendit të parë me derivate të

pjesëshme, i korespondon një sistem ekuacionesh diferencialë të zakonshëm të rendit

të parë.

Për të ilustruar zbatimin e metodës Hamilton-Jakobi, po shikojmë një shembull të

thjeshtë.

Shembull Oshilatori harmonik

Hamiltoniani i oshilatorit harmonik një dimensional ka trajtën:

22

22 qk

m

pH

ku q është kordinata, p është impulsi, ndërsa m dhe k janë konstante. Siç duket, ai

nuk varet shtjellazi nga koha, prandaj ekuacioni Hamilton-Jakobi ka trajtën (VII.6.9):

Eqk

dq

dS

m 22

1 22

0

Nga integrimi i këtij ekuacioni, me anë të ndarjes së variablave, gjejmë veprimin e

shkurtuar:

dqqk

EkmS 2

0

2

Ndërsa veprimi i plotë ose integrali i plotë i ekuacionit Hamilton-Jakobi është :

dqqk

EkmS 22

- E t

Meqë sistemi është me një gradë lirie, edhe konstante e pavarur është vetëm një, që

në rastin tonë është energjia E. Sipas metodës Hamilton-Jakobi, derivojmë integralin

172

e plotë në lidhje me konstanten e pavarur dhe e barazojmë derivatin e veprimit me një

konstante tjetër të pavarur: - 2

2

t

qk

E

dq

k

m

E

Sose

k

mt arccos(q

E

k

2). Që nga nxjerrim varësinë kohore të kordinatës:

tk

Eq cos

2 , ku = mk / është frekuenca e

lëkundjeve harmonike. Konstantet e pavarura E dhe përcaktohen nga kushtet

fillestare.

VII. 7 Ndarja e variablave

Në metodën e Hamilton-Jakobit, vështirësia më e madhe është gjetja e

integralit të plotë të ekuacionit Hamilton-Jakobi. Mandej, me veprime të thjeshta

matematike gjendet zgjidhja për problemin e lëvizjes së sistemit mekanik. Nuk ka

ndonjë rrugë të përgjithshme për gjetjen e integralit të plotë të ekuacionit Hamilton-

Jakobi. Në shumë raste, gjetja e integralit të plotë arrihet me anë të metodës së ndarjes

së variablave. Por jo në të gjitha rastet mund të zbatohet kjo metodë. Le të shqyrtojmë

se si zbatohet kjo metodë, në ato raste kur është e mundur të zbatohet.

Supozojmë se ndonjera kordinatë, p.sh. kordinata q1 dhe derivati përkatës i

funksionit të veprimit S / q1, hyjnë në ekuacionin Hamilton-Jakobit në trajtën e një

kombinimi f(q1, S/ q1), ku funksioni f është një funksion çfardo vetëm i kordinatës

q1 dhe impulsit përkatës S / q1. Në këtë rast, ekuacioni Hamilton-Jakobi mund të

shkruhet në trajtën:

0,,....,,,...,,,32

32

1

1 tq

S

q

S

q

Sqqq

q

SqfH

t

S

s

s (VII.7.1)

dhe është e mundur të ndahet variabli q1 nga variablat e tjera. Pra, zgjidhja e

ekuacionit mund të kërkohet në trajtën e shumës:

S = S’ (q2, q3, ... qs, t) + S1(q1) (VII.7.2)

dhe pasi zevendësohet në ekuacionin (VII.7.1) , ky merr trajtën:

0,'

,....'

,'

,,...,,,'

32

32

1

11 t

q

S

q

S

q

Sqqq

dq

dSqfH

t

S

s

s (VII.7.3)

Ky ekuacion duhet të kënaqet për çfardo vlere të variablit q1. Por, gjatë ndryshimit të

variablit q1 mund të ndryshojë vetëm vlera e funksionit f. Prandaj, duhet që ky

funksion të jetë një konstante, e cila nuk ndryshon gjatë ndryshimit të variablit q1.

Kështu ekuacioni i Hamilton-Jakobit (VII.7.3) sillet në dy ekuacione të trajtës:

173

1

1

11,

dq

dSqf (VII.7.4)

0,'

,....'

,'

,,...,'

32

32 tq

S

q

S

q

SqqqH

t

S

s

s (VII.7.5)

ku 1 është një konstante çfardo. Siç duket ekuacioni i parë (VII.7.4) është një

ekuacion diferencial i rendit të parë me derivate të zakonshëm dhe mund të integrohet

shumë më lehtë se një ekuacion me derivate të pjesëshëm. Nga integrimi i tij, gjendet

funksioni S1(q1) i cili do të rezultojë edhe funksion i konstantes së çfardoshme 1.

Ndërsa ekuacioni i dytë (VII.7.5) është më i thjeshtë se ekuacioni origjinal (VII.7.1),

sepse përmban një numër më të vogël variablash (një variabël më pak më pak,

variabli q1 nuk hyn në këtë ekuacion). Kështu, problemi thjeshtohet sepse sillet në

problemin e një sistemi me s-1 kordinata.

Nëse është e mundur mund të vazhdojmë në këtë mënyrë të ndajmë të gjitha

kordinatat dhe kohën. Varësia nga variabli kohor ndahet në rastin kur hamiltoniani

nuk varet shtjellazi nga koha. Kështu, në rastin kur mund të ndahen të gjitha variablat,

integrali i plotë i ekuacionit Hamilton-Jakobi sillet në trajtën:

tEqSS s

s

j

jjj ),....,(),( 21

1

(VII.7.6)

ku 1, 2, .... s janë konstantet e çfardoshme të pavarura dhe E është energjia e cila

është funksioni i këtyre konstanteve të pavarura. Secili nga funksionet Sj është

zgjidhje e një ekuacioni diferencial me derivate të zakonshëm të trajtës (VII.7.4).

Më i thjeshtë akoma është rasti kur ndonjë variabël është ciklik (nuk hyn

shtjellazi në hamiltonian). Psh, nëse koordinata q1 është ciklike, atëhere ekuacioni

(VII.7.4) për këtë koordinatë sillet në trajtën: 1

1

1

dq

dS , zgjidhja e të cilit është:

S1 = 1 q1. Konstantja 1 përputhet me vlerën e impulsit të përgjithësuar që i takon

koordinatës ciklike q1.

Për të ilustruar zbatimin e metodës së ndarjes së variablave, le të shqyrtojmë një

shembull.

Shembull

Le të shqyrtojmë lëvizjen e në grimce me masë m, në koordinata sferike r, , .

Hamiltoniani, në këto koordinata do të shkruhej:

222

2 2 2

1( , , )

2 sinr

ppH p U r

m r r (VII.7.7)

ku U(r, , ) është energjia potenciale, e cila nuk varet shtjellazi nga koha. Në

metodën e Hamilton-Jakobit, variablat mund të ndahen në të gjitha rastet kur energjia

potenciale në (VII.7.7), ka trajtën:

174

2 2 2

( ) ( )( )

sin

b cU a r

r r (VII.7.8)

ku a(r) është një funksion i çfardoshëm vetëm i kordinatës r, b( ) është funksion i

çfarëdoshëm i koordinatës dhe c( ) është funksion i çfarëdoshëm i koordinatës .

Në shumicën e rasteve që ndeshen në Fizikë, energjia potenciale ka trajtën:

2

( )( )

bU a r

r (VII.7.9)

që është rast i veçantë i trajtës (VII.7.8), kur koordinata është ciklike. Ekuacioni

Hamilton-Jakobi, për veprimin e shkurtuar, shkruhet: 22 2

0 0 0

2 2 2

1 1 1( ) 2 ( )

2 2 2 sin

S S Sa r mb E

m r mr mr (VII.7.10)

Zgjidhja e tij mund të kërkohet në trajtën: S0 = S1(r) + S2( ) + p ,

ku p është një konstante (impulsi që i takon koordinatës ciklike). Ndërsa veprimi i

plotë është:

S = S1(r) + S2( ) + p - E t (VII.7.11)

Funksionet S1 dhe S2 janë zgjidhje e ekuacioneve me derivate të zakonshëm: 22 2

2 1

2 2

12 ( ) ( )

2sin 2 dhe

pdS dSmb a r E

d m dr mr (VII.7.12)

Zgjidhjet e ekuacioneve diferencialë (VII.7.12) në kuadraturë, janë:

2

2 12 22 ( ) dhe 2 ( )

sin 2

pS mb d S m E a r dr

mr.

Duke i zevendësuar këto zgjidhje në barazimin (VII.7.11), gjejmë integralin e plotë të

ekuacionit Hamilton-Jakobi:

2

2 2 22 ( ) 2 ( )

sin 2 +

pS E t p mb d m E a r dr

mr(VII.7.13)

ku E , p , janë tri konstantet e çfarëdoshme të pavarura, vlerat e të cilave

përcaktohen nga kushtet fillestare rë sistemit.

Më tej, zgjidhja e problemit bëhet sipas metodës së Hamilton-Jakobit. Derivohet

funksioni i veprimit të plotë (VII.7.13) në lidhje me secilën nga tri konstantet E , p ,

dhe barazohet secili derivat me një konstante tjetër të pavarur. Nga tri barazimet

që merren, gjendet algjebrikisht varësia kohore e secilës koordinatë r, , . Kuptohet

se këto varësi do të varen edhe nga 6 konstantet e pavarura, vlerat e të cilave

përcaktohen nga kushtet fillestare (sistemi me 3 gradë lirie ka 6 kushte fillestare, që

janë vlerat fillestare të 3 kordinatave dhe 3 impulseve ose shpejtësive).

175

Ushtrime dhe problema

VII.1 Të gjendet hamiltoniani i një pike materiale që lëviz në fushën me potencial

U(r): a) në kordinata karteziane, b) në kordinata cilindrike, c) në kordinata sferike.

VII.2 Të gjendet hamiltoniani i pikës materiale në fushën me energji potenciale U, në

sistemin e sistemin e referimit që rrotullohet njëtrajtësisht me shpejtësi këndore Ω.

VII.3 Të gjendet hamiltoniani i oshilatorit joharmonik, për të cilin funksioni i

Lagranzhit jepet:

23

220

2

22xxx

xxL

ku x është kordinata, , , dhe 0 janë konstante.

VII.4 Lagranzhiani i një pike materiale me masë m, në kordinata cilindrike (r, , z),

jepet:

22222

2razrr

mL , ku a është një konstante.

a) Të gjendet hamiltoniani në këto kordinata.

b) Të shkruhen ekuacionet e Hamiltonit për lëvizjen.

VII.5 Një grimcë me masë m mund të lëvizë mbi sipërfaqen e një sfere të lëmuar me

rreze a, nën veprimin e rëndesës. Duke zgjedhur si kordinata të përgjithësuara,

kordinatat sferike dhe (boshti polar merret vertikalisht lart), të gjendet

hamiltoniani dhe ekuacionet e lëvizjes.

VII.6. Duke zbatuar ekuacionet e Hamiltonit për lëvizjen plane të një grimce me

masë njësi në një fushë force, potenciali i së cilës në kordinata polare(r dhe φ) është:

2

cos

r

kU (k- një konstante), të provohet se varësia kohore(nga t) e kordinatës r

gjëndet nga barazimi: E

rrt

2

20

2

, ku E është energjia e plotë, e cila është

konstante. Në çastin t = 0 , r = r0 dhe 0r .

VII.7 Të gjendet ligji i lëvizjes së një grimce me hamiltonian:

222

0222

02

2222

xpxpH

ku p është impulsi (masa e grimcës është marrë një njësi), x është kordinata, dhe

0 janë konstante.

176

VII.8. Të gjendet funksioni i Lagranzhit, kur funksioni i Hamiltonit i një pike

materiale me masë m, në kordinata karteziane është:

H(p, r) = p2/(2m) - p·a ,

ku a është një vektor konstant

VII.9. Një grimcë me masë m, është varur në një fije, e cila kalon nëpër një brimë të

një tavoline horizontale. Grimca vihet në lëvizje në planin vertikal dhe fija tërhiqet

për lart me shpejtësi konstante v.

a) Duke zgjedhur si kordinatë të përgjithësuar këndin që formon fija me

vertikalen, të gjendet hamiltoniani i sistemit.

b) A është hamiltoniani i barabartë me energjinë e plotë dhe a është ai një

integral i lëvizjes?

VII.10. Një grimcë në fushën homogjene të rëndësës mund të lëvizë vetëm në

sipërfaqen e një sfere. Rezja e sferës ndryshon me kohën sipas ligjit r(t). Duke

zgjedhur si kordinata të përgjithësuara sto sferike r, θ, φ me origjinë në qendrën e

sferës dhe me bosht polar vertikalisht lart, të gjëndet hamiltoniani dhe ekuacionet e

lëvizjes. A është hamiltoniani sa energjia e plotë?

VII.11. Një grimcë lëviz ndaj në sistemi referimi S i cili është i lidhur me Tokën.

Toka rrotullohet me shpejtësi këndore ω = ω∙i3 ndaj një sistemi inercial. Të gjendet

hamiltoniani i grimcës në kordinata krteziane x1, x2 , x3 të sistemit S. Të provohet se

hamiltoniani nuk është sa energjia e plotë, por është një integral i lëvizjes.

VII.12. Një grimcë me masë m rëshqet nën veprimin e rëndesës mbi sipërfaqen e

bredëshme të sipërfaqes me ekuacion z = x2 + y

2 (paraboloid rrotullimi rreth boshtit

vertikal OZ). Të sillet problemi në lëvizje njëdimensionale për kordinatën r (r, φ, z

janë kordinatat cilindrike).

VII.13. Një sistem mekanik e ka energjinë kinetike: )(22 2

1

22

21

qba

qqT

,

dhe energjinë potenciale: 2211

2

1kqkU ,

ku a, b, k1 dhe k2 janë konstante, ndërsa q1 dhe q2 janë kordinatat e përgjithësuara.

Duke e reduktuar problemin në një gradë lirie, të gjenden ekuacionet e lëvizjes së

sistemit.

VII.13. Një sistem mekanik e ka energjinë kinetike: )(22 2

1

22

21

qba

qqT

, dhe

energjinë potenciale: 2211

2

1kqkU , ku a, b, k1 dhe k2 janë konstante, ndërsa q1

177

dhe q2 janë kordinatat e përgjithësuara. Duke e reduktuar problemin në një gradë lirie,

të gjenden ekuacionet e lëvizjes së sistemit.

VII.14. Le të jenë M1 , M2 , M3 përbërëset karteziane të momentit të impulsit të një

grimce.

a) Të gjenden kllapat e Puassonit: {Mi , Mj}, {Mi , M}{Mi , M2}, ku i , j = 1, 2, 3.

b) Të provohet se është e pamundur që dy përbërëse Mi , Mj (i j) të jenë njëkohësisht

variabla kanonike.

c) Të provohet se, nëqoftë se dy përbërëse janë integrale të lëvizjes, atëhere edhe

përbërësja e tretë është integral i lëvizjes.

VII.15. Të provohen barazimet e mëposhtëme për përbërëset karteziane të momentit

të impulsit Mi , impulsit pi dhe kordinatës xi ( i = 1, 2, 3):

3 3

1 1

, ; , i j ijk k i j ijk kk k

M x x M p p ,

ku 123 = 231 = 312 =1, 132 = 321 = 213 = -1 dhe të gjitha përbërëset e tjera të

tenzorit antisimetrik ijk janë zero.

VII.16. Të llogariten kllapat e Puassonit:

a) {a p , b r}, b) {a M , b r}, c) {a·M, b·M}, d) {M , r p}, e) {p, rn}, f) {p , (a r)

2}.

ku a dhe b janë vektorë konstantë, r , p , M janë përkatësisht rreze vektori, impulsi

dhe momenti i impulsit.

VII.17. Duke llogaritur kllapat e Puasonit të hamiltonianit me madhësinë: M × p -

α∙m∙r/r,

ku M është momenti i impulsit, p –impulsi dhe m –masa e grimcës e cila lëviz në

fushën qendrore (U = - α·m/r), të provohet se kjo madhësi është një integral i lëvizjes.

VII.18. Të gjendet ekuacioni i lëvizjes së vektorit M = r p, nëqoftëse hamiltoniani

është:

H = - B M + m

p

2

2

,

Ku dhe B janë konstante. Ky është hamiltoniani i dipolit magnetik në fushë

magnetike konstane B, ku M është momenti i impulsit dhe p është impulsi.

VII.19. Të provohet se, në qoftëse hamiltoniani H dhe një funksion i kordinatave,

impulseve dhe kohës F janë integrale të lëvizjes, atëhere edhe derivati kohor ∂F / ∂t

është integral i lëvizjes. Psh, në rastin e lëvizjes njëdimensionale të një grimce të lirë,

madhësitë H dhe F = x - px∙t/m janë integrale të lëvizjes. Të provohet se ∂F / ∂t është

i njëjti integral lëvizjeje që merret nga kllapat e Puasonit të madhësive H dhe F.

178

VII.20. Supozojmë se varësia e hamiltonianit nga variablat p1 dhe q1 bëhet nëpermjet

funksionit f(p1, q1):

H(f(p1, q1), p2, q2, p3, q3, ...ps, qs)

a) Të provohet se f(p1, q1) është integral lëvizjeje

b) Të gjenden integralet e lëvizjes së grimcës në fushën me potencial U = a·r/r3, ku a

është një vektor konstant dhe r është rrezja vektore e grimcës.

VII.21. Hamiltoniani i një sistemi është: 2211211

222 pqpqqcqcH ,

ku q1, q2 janë kordinatat, p1, p2 janë impulset dhe c1 , c2 janë konstante. Duke

përdorur kllapat e Puassonit, të provohet se funksionet: f1 = q1 q2 dhe f2 = (p2 –

c2 q2)/q1 janë integrale të lëvizjes. Po ashtu është edhe {f1 , f2}. Të gjendet varësia

kohore e variablave q1 , q2 , p1, p2 .

VII.22. Të provohet se transformimi: Q = p2 + q, P = p + t , është kanonik dhe të

gjendet një funksion F(q, p, t) i tillë që diferenciali i tij në një çast të fiksuar t0 të jetë:

dF(q, p, t0) = p·dq – P(q, p, t0)·dQ(q, p, t0).

VII.23. Të provohet se transformimet e mëposhtëme janë kanonike:

a)

22

2arctan

2 ,

p n pQ q P

n qn ;

b) tpPqpQtp

qPpQ 222

222

1

11

211 , ,

2

1 ,

c) Q = q cos - p sin , P = q sin + p cos (rrotullimi në hapësirën

fazore).

ku n , janë konstante dhe t është koha.

Udhëzim. Të provohet se kllapat e Puasonit të variablave të reja të shprehura

nëpërmjet variablave të vjetra dalin: {Pi , Qk}p,q = δik .

VII.24. Hamiltoniani i oshilatorit harmonik një dimensional është:

22

222 qm

m

pH . Për të thjeshtuar këtë hamiltonian, të përdoret

transformimi kanonik: sin2 , cos2 1 QPcqQPcp , duke

zgjedhur në mënyrë të përshtatëshme konstanten c. Të gjenden varësitë kohore të

variablave të reja P dhe Q , mandej të variablave të vjetër p dhe q.

VII.25. Të përcaktohet transformimi i gjeneruar prej funksionit, i cili varet nga koha:

tQQqQqQF 212/3

22113

2

179

Të gjendet lëvizja e sistemit me hamiltonian: 2 21 2 2H p p q

VII.26. Hamiltoniani i një sistemi njëdimensional, i cili varet nga koha t, është: H =

q + t ep . Pasi të kryhet transformimi kanonik: Q = q + t e

p , P = p , të gjenden

funksionet transformues të tipit: F3(p, Q, t) , F2(q, P, t) dhe F1(q, Q, t). Të gjendet

edhe trajta e hamiltonianit në variablat e reja Q , P.

VII. 27. Të gjendet funksioni transformues për transformimin kanonik të trajtës:

PQcqPQcp sin2 , cos2 1, ku c është një konstante.

VII.28. Hamiltoniani i oshilatorit harmonik njëdimensional është:

222

2

1qpH , ku është frekuenca e oshilatorit. Të provohet se

transformimi kanonik: sin cos ; P P

q Q t p Q tQ Q

çon në hamiltonianin H’=0. Duke përdorur ekuacionet e Hamiltonit për variablat e

reja P dhe Q, të gjenden varësitë kohore të variablave të vjetër p dhe q.

VII.29. a) Të provohet se transformimi:

2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 2

2 1 21 2

2 1 2

1,

2

1 1cot g cotan cotan

2 2

,

Q q p Q q q p p

q q qP P -

p p p

është kanonik.

b) Duke përdorur këtë transformim, të zgjidhen ekuacionet e lëvizjes për sistemin me

hamiltonian: 22

21

22

21

2

1qqppH dhe të krahasohet kjo zgjidhje me

zgjidhjene e ekuacioneve të lëvizjes për variablat e fillimit (q1, p1, q2, p2).

VII.30. Si ndryshon vëllimi që zenë në hapësirën fazore sistemet e mëposhtëme:

a) grupi i grimcave të lira që lëvizin përgjatë boshtit X. Në çastin fillestar grimcat

ndodhen në intervalin x0 < x < x0 + x0 , ku x0 është pambarimisht e vogël dhe

kanë impulse në intervalin p0 < p < p0 + p0 , ku p0 është pambarimisht e vogël.

b) grupi i grimcave, që lëvizin përgjatë boshtit X, midis dy pareteve (goditjet me

paretet janë elastike dhe grimcat nuk bashkëveprojnë me njera tjetrën).

c) grupi i oshilatorëve harmonikë një dimensionalë.

d) Le ta përshkruajmë shpërndarjen e grimcave në hapësirën fazore, në çastin t, me

funksionin e shpërndarjes w(x, p, t). Pra, numri i grimcave me kordinata në intervalin

x, x+dx dhe impulse në intervalin p, p+dp , është w(x, p, t)·dx∙dp. Të përcaktohet

180

funksioni i shpërndarjes i grupit të grimcave të lira dhe i grupit të oshilatorëve

harmonikë, në qoftëse në çastin t = 0, ai është:

20

2

0

20

2

0

22exp)0,,(

p

pp

x

xxApxw

VII.31. Të gjendet lëvizja e sistemit me metodën e Hamilton-Jakobit, në qoftëse

hamiltoniani i sistemit një dimensional është:

a) H = p2 – q; b) H = p + a·q

2, ku a është një konstante.

VII.32. Duke përdorur metodën e Hamilton-Jakobit, të gjendet ekuacioni i

trajektores (në kuadraturë) të një grimce që lëviz në fushën qendrore me potencial U

= k/r , ku është një konstante dhe r është largësia nga qendra e fushës. Kordinatat

në plan të merren: u = r + x dhe v = r – x.

VII.33. Të gjendet ekuacioni i trajektores (në kuadraturë) të një grimce në fushën

qëndrore me potencial U(r), me metodën H-J. Të përdoren kordinatat polare r dhe φ.

VII.34* Një grimcë me masë m lëviz në planin XY në fushën e krijuar nga dy qendra

fushe qendrore, kordinatat e të cilave në planin XY janë (1, 0) dhe (-1, 0). Energjia

potenciale e bashkëveprimit të grimcës me këto dy qendra është: 2

2

1

1

r

A

r

AU , ku r1

dhe r2 janë largësitë përkatëse nga dy qendrat e fushës, A1 dhe A2 janë konstante.

Duke përdorur metodën e H-J të nxirret ekuacioni i trajektores në kuadrturë në

kordinata eliptike (q1, q2) në plan, të cilat lidhen me kordinatat karteziane me

relacionet: x = coshq1·coshq2 ; y = coshq1·coshq2.

VII.35. Një grimcë me masë m lëviz në fushën me potencial U = A/r - B z, ku r

është largësia nga origjina e kordinatave, z është kordinatë karteziane, ndërsa A dhe B

janë konstante. Kjo fushë është kombinim i fushës qendrore dhe i një fushe

homogjene e drejtuar sipas boshtit Z. Të gjendet integrali i plotë i ekuacionit

Hamilton-Jakobi në kordinata parabolike , , , të cilat lidhen me kordinatat

cilindrike ( , , z) nëpërmjet barazimeve: = r + z , = r – z , = , ku r=2+ z

2.

VII.36 Një grimcë me masë m lëviz në një fushë, potenciali i të cilës në kordinata

sferike jepet në trajtën: 2

( )( )

gU f r

r,ku f(r) është një funksion çfardo i

largësisë r nga origjina e kordinatave dhe g( ) është një funksion çfardo i këndit

polar . a) Të gjendet integrali i plote i ekuacionit H-J zgjidhja e përgjithëshme për

ekuacionin e trajektores së grimcës. b) të gjendet ekuacioni i trajektores dhe ligji i

lëvizjes së grimcave që shpërhapen në fushën me potencial: U(r) = a r/r , ku r

është rrezja vektore e grimcës, a është një vektor konstant. Shpejtësia fillestare e

grimacve është drejtuar në kahe të kundërt me vektorin a.

181

Përgjigjet e ushtrimeve dhe problemave

Përgjigjet e hyrjes I.0.

I.0.2 Kushtet që sistemi i kordinatave vijëpërkulur: q1, q2, q3 , është ortogonal janë:

a) Pasi derivojmë shprehjet: x = r cos , y= r sin , z = z në lidhje me kordinatat

cilindrike r, dhe z dhe i zevendësojmër në kushtet e mësipërme, shohim se ato

kënaqen. b) Pasi derivojmë shprehjet: x = r sin cos , y= r sin sin , z = z cos

në lidhje me kordinatat sferike r, , dhe i zevendësojmë në kushtet e mësipërme,

shohim se ato kënaqen.

I.0.3 a) kordinatat cilindrike:

er = cos i + sin j , e = -sin i + cos j , ez = k

i = -sin e + cos er , j = cos e + sin er , k = ez

b) kordinatat sferike:

er =sin cos i +sin sin j+cos k , e = -sin i + cos j ,

e = cos cos i +sin sin j - sin k

i = sin cos er+cos cos e - sin e , j = sin sin er +cos sin e + cos e

k = cos er - sin e

I.0.4 a) grad f = 3

33

2

22

1

11

111eee

q

f

Hq

f

Hq

f

H ,

në kordinata cilindrike: grad f = zrz

ff

rr

feee

1 ,

në kordinata sferike: grad f = eeef

r

f

rr

fr

sin

11

b)div a = 1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 2 3 1 2 3

1a H H a H H a H H

H H H q q q

në kordinata cilindrike: div a = z

aa

rar

rr

zr

11

në kord. sferike: div a = 2

2

1 1 1sin

sin sinr

ar a a

r r rr

c) rota =

3 3 2 2 1 1 1 3 3 2

2 3 2 3 1 3 3 1

2 2 1 1 3

1 2 1 2

1 1

1

e e

e

a H a H a H a HH H q q H H q q

a H a HH H q q

1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3

0; 0; 0x x y y z z x x y y z z x x y y z z

q q q q q q q q q q q q q q q q q q

182

në kordinata cilindrike:

rot a = zrrzr

rz a

rr

ar

rr

a

z

a

z

aa

reee

1)(11

në kordinata sferike: rot a=

=(sin ) ( ) ( )1 1 1 1

sin sine e e

z r r

r

a raa r aa a

r r r r r

d)

1 22 3 1 3

3 31 1 2 2

1 2 3 1 2 3

1

H H fH H H Hf f

H qH q H qf

H H H q q q

në kordinata cilindrike: 2

2

2

2

2

11

z

ff

rr

fr

rf

në kord. sferike:

22

2 2 2 2 2

1 1 1sin

sin sin

f f ff r

rr r r

I.0.5 Zgjidhje

Për 1 = 0, ekuacioni (1) paraqet elipsin: 12

2

2

2

b

y

a

x, me largësi midis vatrave:

22 bac . Për 1 0 , ekuacioni (1) paraqet elipsin me gjysëmboshte A dhe B :

A2 = a

2 + 1 ; B

2 = b

2 + 1 dhe me të njëjtën largësi midis vatrave:

cbaBAC 2222.

Ekuacioni (1) do të paraqesë elips përderisa 1 të marrë vlera në kufijtë: - b2 < 1 < +

, meqënëse për këto vlera kemi: b2 + 1 > 0 dhe a

2 + 1 > 0 (a > b).

Ekuacioni (2) paraqet familjen e hyperbolave, me po ato vatra si të elipasve,

nëqoftëse 2 merr vlera në kufijtë: - a2 < 2 < - b

2 , meqënëse për këto vlera kemi:

a2 + 2 > 0 dhe b

2 + 2 < 0. duke shënuar gjysëmboshtet e hyperbolave me A1 dhe

B1, gjejmë: )(; 2

22

12

22

1 bBaA

dhe largësia midis vatrave është: cbaBAC 222

1

2

11

Në çdo pikë të planit kalon një elips që paraqet vijën kordinative: 1 = konstante dhe

një hyperbolë që paraqet vijën kordinative: 2 = konstante (fig. I.0.6).

Nga ekuacionet (1) dhe (2) shprehim x dhe y në funksion të 1 dhe 2 dhe gjemë:

22

2

2

1

22

ba

aax ,

22

2

2

1

22

ba

bby .

Duke derivuar x dhe y në lidhje me 1 dhe 2 gjejmë koeficientët e Lameut:

183

2

2

1

2

21

2

1

2

1 2

11 ba

yxH

2

2 2

2 1

2 22 2 2 2

1

2

x yH

a b

Nga kushti i ortogonalitetit të kordinatave eliptike:

1 2 1 2

0x x y y

, (pasi

kryejme derivimet), gjejme barazimin: ,01

4

11

4

12222 baba

i cili provon se

sistemi kordinativ është ortogonal. Kjo mund të provohet edhe gjeometrikisht.

Tangjentja në hyperbolë e përgjysmon këndin midis rreze vektorëve F1M dhe F2M (

shih fig. I.0.5), kurse tangjentja në elips formon të njëjtin kënd me rreze vektorët F1M

dhe F2M .

I.0.6 r = (2 +

2)

½/2 e + (

2 +

2)

½/2 e + z ez

v = (2 +

2)

½ e + (

2 +

2)

½ e + zz e

Po, është sistem ortogonal kordinatash.

I.0.7 a) v = 3 et, w = 17 e

t , b) z

4

29, c) r = 2 e

/2 - - spirale logaritmike.

I.0.8 a) Duke zgjedhur si origjinë të kordinatave vendodhjen e pikës M kur ajo takon

rrafshin, gjejmë këto kordinata parametrike të saj:

x = R t - R sin( t) dhe y = R - R cos( t)

këto përcaktojnë një trajektore në plan që quhet cikloidë

b) Shpejtësia është: 2

sin2t

Rv dhe formon me boshtin Ox këndin:

22

t. Nxitimi i plotë është w = R

2 , nxitimi tangencial është: wt =

R2

cos( t/2), nxitimi normal (pingul) është: wt = R2

|sin( t/2)|.

c) Rezja e kurbaturës është: = 4 R |sin( t/2)| = 2 AM, për kuotën më të lartë ajo

bëhet: = 2 R.

I.0.9 a) xB = 2 l cos( t) , xM = (5 l /3) cos( t) , yM = (l /3) sin( t) .

b) vB = -2 l sin( t) , wB = -2 l2 cos( t)

2 2 2 2 225sin cos , 25cos sin ,

3 3M B

l lv t t w t t : = l/15.

I.0.10 a)

1/ 2

2

v

k r , b) -

23

,4

v

k c)

23 2

4 cos

v

k

184

I.0.11 v = 2 b t er + c b t2

e , w = (2 b - 2 b c2 t

2) er + 4 b c t e

I.0.12 Duke përjashtuar kohën nga barazimet për r dhe për , gjejmë:

r = r00/

e (1)

Duke përjashtuar kohën nga barazimet për r dhe z , gjejmë: z = r z0/r0 (2)

Nga (1) dhe (2) del se trajektorja është prerja e një sipërfaqeje cilindrike, e cila i ka

përftueset paralel me OZ dhe kur pritet me planin XY formon spiralen (1), me

sipërfaqen e konit rrethor (2). Në këtë trajektore, pika lëviz me shpejtësi konstante:

2 2 2

0 0 01v r z dhe me nxitim

2 220 001

rw

r , rrezja e

kurbaturës së trajektores është:

2

2 00

20

0 0

1

1

zrR

r

I.0.13 0

tan

sin

0 err

I.0.14 a) v (0, R , h ),

w( hhRR ,,2),

22 hRv , 22242 hRRw

b) Në këtë rast nxitimi është konstant në madhësi R2 dhe është drejtuar pingul me

boshtin OZ, prandaj rrezja e kurbaturës del

2 2

21

n

v hR

W R.

I.0.15 v = a b e + 2 c t ez , w = a b2

er + 2 c ez , kendi midis tyre ne t=1 s, eshte:

2

2 2 2 2 4 2

4arccos

4 4

c

a b c a b c

.

I.0.16 Zgjidhje

a) Trajektorja është kardioida e

paraqitur në fig. I.0.16 (z).

Ajo ka një bosht simetrie OX dhe

e pret këtë bosht në pikat O ( = ,

r = 0) dhe A( = 0 , r = r0).

Boshtin OY e pret në pikat C(

= /2 , r = r0/2) dhe C’ ( =- /2 ,

r = r0/2).

b) Gjatësia elementare përgjatë

trajektores është:

22drdrdS . Duke

diferencuar ekuacionin e dhënë të

trajektores, gjejmë: dr = -

Y

M

C’

C

X O A

Wr

W

N

D r0

B T

ro/2

Fig. I.0.16 (z)

185

½ r0 sin d , pra elementi harkut përgjatë trajektores del:

22

0 0

1sin 1 cos cos( / 2)

2dS r d r d

Duke integruar këtë shprehje, gjejmë: 0 0

0

cos 2 sin2 2

S r d r

c) Shpejtësia është: v = dS/dt = r0 sin( /2) d /dt = r0 cos( t /2)

dhe përbërsja radiale e saj është: vr = trr sin2

10

.

Përbërsja normale (pingule) e shpejtësisë është: 0

1(1 cos )

2v r r t .

Përbërëset e nxitimit janë:

2 2 2

0 0 0

1 1 1cos (1 cos ) (1 2cos );

2 2 2rw r r r t r t r t

20

02 0 2 sin sin2

rw r r t r t

Nxitimi i plotë është:

22 2 20 1 8 cos

2 2r

r tw w w

Le të jenë këndi që formon me boshtin OX tangjentja MT dhe këndi që formon

pingulja MN me radialen OM.. nga fig. I.0.16 (z), del se nxitimi pingul është:

wN = - (wr cos + w sin ) .

Gjejmë në fillim këndin : 2

( sin ) (1 cos ) cos sin cos sin 3tan tan

( cos ) (1 cos ) sin sin cos sin sin 2 2 2

dy d r

dx d r

që nga del se 3

2 2 . Nga trekëndëshi DMO del se

2 dhe

gjejmë se = /2. Duke zevendësuar te shprehja e nxitimit pingul, gjejmë: 2

2 200 0

31 2cos cos sin sin cos

2 2 2 2 2 2N

r tw r r .

Nga barazimi wN = v2/ , gjejmë rrezen e kurbaturës:

2 2 2

0

02

0

cos / 2 2cos

3 3 2cos / 2

2

r tr

r t

Ajo mund të gjendet edhe drejtpërsëdrejti

nga barazimi:

0

0

cos / 2 2cos

3/ 2 3 2

r ddSr

d d

186

I.0.18 a) tantan2

e ; 2 cos

RT

v , ku R është rrezja e Tokës.

b)

2

r

vW

R,

2

sin cos tanv

WR

,

2

sin tanv

WR

;

2

2 21 sin tan

vW

R. Rezja e kurbaturës e trajektores

është:2 2

1 sin tan

R.

I.0.19 a)

2 2 2 2

2 22

2 4

x y z R

R Rx y

b) 0

0

x

y

z

v R

v

v

Përgjigjet e Kapitullit I.

I.1 ,01z ,022

1

2

1

2

1 Rzyx 022

12

2

12

2

12 lzzyyxx .

I.2 ,01z z2 = 0, y2 = 0, 2 2 2

2 1 2 1

2 2 21 20;x x y y l x y r ; 1 grade lirie.

I.3 z1 = 0, z2 = 0, x1 sin t – y1 cos t = 0, x2 sin t – y2 cos t = 0; 2 grade lirie.

I.4 ,01z z2 = 0, 022

12

2

12

2

12 lzzyyxx ,

1 2 1 2

1 2 1 2

x x y y

x x y y (kjo është lidhje joholonome)

I.5 Duke shënuar kordinatat skajeve të shufrës me x1, y1, z1 dhe x2, y2, z2 , kemi:

0)(2

1

2

1

2

1 tRzyx ; 0)(2

2

2

2

2

2 tRzyx

022

12

2

12

2

12 lzzyyxx . Numri i gradëve të lirisë është 3

I.8. Zgjidhje

Forca aktive që veprojnë mbi çdo element të trupave të ngurtë janë forca rëndese.

Madhësia e kësaj force është proporcional me masën e elementit. Forca aktive mbi

një element çfardo të vogël me masë mi , është mi g , ku g është nxitimi i rënies

së lirë, i cili është drejtuar sipas boshtit vertikal, me kahe për poshtë. Sipas parimit të

punëve virtuale, kushti i ekuilibrit të sistemit të trupave të ngurtë në fushën e rëndesës

është:

g ri ii

m = 0,

ku shumimi kryhet sipas gjithë elementeve të trupave të ngurtë. Ky barazim mund të

shkruhet në trajtën: 0r gi ii

m ,

187

ose në komponente sipas boshteve X, Y, Z (boshti Z vertikalisht lart, dhe boshtet X,

Y sipas horizontit): 0i i x i i y i i zi i i

m x g m y g m z g

Me që gx = gy =0 dhe - g = gz 0 , del: 0i ii

m z .

Qendra e masës (qendra e rëndesës) i ka kordinatat :

i i

iQ

m x

xm

, i i

iQ

m y

ym

, i i

iQ

m z

zm

,

ku m është masa e gjithë sistemit. Duket se kushti i ekulibrit mund të shkruhet në

trajtën:

zQ = 0.

I.9 8

331cos

I.10 1 = 21 48’ , 2 = 33 40’ , 3 = 64 25’.

I.11 Zgjidhje

Gjatë ndryshimit të lartësisë së shiritit me h , rrezja e tij x ndryshon me x =

h tan , kurse puna virtuale e rëndesës dhe e forcës elastike është:

P h- 2 (x – a) [2 (x – a)} = 2

2 0tan

xP x a x

Që nga del: 2

4tan

Px a ose

2tan 4

Px a .

Në pozicionin e ekulibrit, lartësia e shirit që nga kulmi i konit është:

2 2tan tantan 4

x P ah

I.12

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos eQ

eP , ku e

është jashtëqëndërsia (eksentriciteti) i elipsit.

I.13. Zgjidhje

Nga figura I.13(z) duket se kordinata vertikale e

qendrës së masës së shufrës është: yQ = yA +

a cos , ku a = AQ=QB është gjysma e gjatësisë

së shufrës. Nga vetitë e parabolës, dihet se largësia e vatrës OF = /2, prandaj nga

figura del: xA = ( /2 – yA) tan dhe meqë pika A është mbi parabolë kemi yA =

2

2

Ax .

Y

B

A

F

Fig. I.13(z)

Q

D

C O X P

188

Kështu gjejmë një ekuacion që lidh kordinatën xA me këndin :

2 2

2 cot 0A Ax x ,

nga zgjidhja e të cilit gjejmë:

cotsin

Ax dhe yA = y + a cos = x2/(2 ) + a cos . Variacioni i

kordinatës zQ është: 1

sinQ A

Q A

z xy x a , ku derivati i kordinatës xA

del: 2

1 cos

sin

Ax. Duke zevendësuar këtë derivat si she shprehjen e xA tek

varriacioni i kordinatës vertikale të qendës së masës dhe duke e barazuar me zero këtë

variacion, gjejmë ekuacionin për këndin :

2

3

1 cossin 0

sina , nga zgjidja e të cilit gjejmë:

4cos

2 4 a

I.14 7 sin cos cos + 3 sin cos cos - 4 sin cos cos = 0

I.15

1

3

4

Pw g

Q Q

I.16. Zgjidhje

Pikat M dhe N (shih fig. I.16) kanë nxitime sa ngarkesat A dhe B, pra wM = w1 dhe

wN= w2 . Qendra e rrotullës së lëvizshme O5 ka nxitim: 5

1 2

2 2

M nO

w w w ww . .

Nga ana tjetër ,r

M N MNw w w ku 5 5 52r

MNw MN r ( r5 është rrezja e

rrotullës E dhe është nxitimi i saj këndor), që nga del: 1 25

52

w w

r. Ndësra për

rrotullat e palëvizshme C dhe D kemi përkatësisht: 1 23 4

3 4

,w w

r r.

Forcat e “inercisë” gjatë lëvizjes translative të trupave A dhe B janë përkatësisht: J1

= (P1/g) w1 dhe J2 = (P2/g) w2 , ndërsa për për rrotullën e lëvizshme dhe trupin L janë

përkatësisht: J5 = (P5/2g) (w1 + w2) dhe J6 = (P6/2g) (w1 + w2). Momentet e forcave

të inercisë gjatë rrotullimit janë:

3

3 3

3 32

O

P rN I

gw1 ,

4

4 44 4

2O

P rN I

gw2 ,

5

5 55 5

4O

P rN I

g(w1 + w2).

I japim ngarkesës A një zhvendosje virtuale r1 0 , duke mos ndryshuar lëvizjen e

ngarkesës B ( r2 = 0), atehere kemi:

189

5

1 1 11 3 5

3 5

, ; ;2 2

M O

r r rr r r

r r .

Shuma e punëve virtuale të forcave aktive dhe të forcave të inercisë është:

3 5 5 5 6 61 1 1 1 3 5 5 5 6 6

sin 0O O O O O O

P r J r N N P r J r P r J r

Qe nga del:

3 5 5 6 61 1 21 1 1 5 1 2 1 2sin 0

2 8 2 4 2 4

P P P P PP w wP w w P w w w w

g g g g gose:

5 61 21 3 5 6 5 6 18 4 3 2 2 sin 0

8 8 2

P Pw wP P P P P P P

g g (1)

I japim ngarkesës B një zhvendosje virtuale r2 0 , duke mos ndryshuar lëvizjen e

ngarkesës A ( r1 = 0), atehere kemi:

5

2 2 22 4 5

4 5

, ; ;2 2

N O

r r rr r r

r r .

Shuma e punëve virtuale të forcave aktive dhe të forcave të inercisë është:

4 5 5 5 6 62 2 2 2 4 5 5 5 6 6

sin 0O O O O O O

P r J r N N P r J r P r J r

Qe nga del:

5 5 6 62 4 1 22 2 2 5 1 2 1 2sin 0

2 8 2 4 2 4

P P P PP P w wP w w P w w w w

g g g g gose

5 62 12 4 5 6 5 6 28 4 3 2 2 sin 0

8 8 2

P Pw wP P P P P P P

g g. (2)

Duke shenuar: A = 8P1 + 4P3 + 3P5 + 2P6 , B = 8P2 + 4P4 + 3P5 + 2P6 , C = P5 + 2P6 ,

D = (P5 + P6)/2, pas zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve (1) dhe (2), gjejmë:

2 11 2

( ) sin sinD C B CP BPw

AB C dhe 2 1

2 2

( ) sin sinD C A AP CPw

AB C

I.17 1cos

g Q a

b P b

I.18 Në kordinata polare, ekuacioni i lëvizjes del: sing

r,

kurse forca e reaksionit të cilindrit del: R = 2 m g (cos - cos 0).

I.19 Ry = - a Rx(t) / x(t). I.20 yx z

RR R

x y a

I.21.

22m r m r r ;

20

dm r

dt ; m z m g a ;

2 2r a a z ;

190

3

22 2

2

4r

m a g rR

a r

; R = 0;

4

22 2

4z

m a gR

a r

. Nuk shkëputet nga paraboloidi.

I.22 a) Qr = - mg cos ; Q = mg r sin ; Q = 0.

b) Qr = 0 ; Q = 0 ; Qz = - mg.

I.23 Duke marrë kordinata të përgjithësauara: gjatësinë e sustës r, këndin që formon

susta me vertikalen , dhe këndin që formon shufra me vertikalen , gjejmë:

Qr = - (k r – b) + mg cos ; Q = -mg r sin ; Q = - mg a sin .

I.24. Zgjidhje

a) Kordinatat e pikave A dhe C (fig. I.24), janë:

cosAx r ; sinAy r ; cos2

rxC ; sin

2C

ry

Forcat aktive janë:

1. Forca elastike F1 = k |l – l0| , e cila vepron në pikën A, me përbërëse:

1 02 cos cos2 2

xF k r l ; 1 02 cos sin

2 2yF k r l ;

2. Forca e rëndësës P, e cila vepron në pikën C, me përbërëse: F2x = P , F2y = 0.

Forca e pëgjithësuar është:

1 1 2 2 02 cos sin sin

2 2 2

C CA A

x y x y

x xx y rQ F F F F kr r l P

b) Nga barazimi Q = 0 , del: 0

2 cos cos sin 02 2 2

r k r l P .

Ka dy pozicione ekuilibri: njeri për 1 = 0 dhe tjetri për 02cos2 2

k l

k r P.

Pozicioni i dytë i ekulibrit realizohet vetëm në qoftë se 0 12

k l

k r P , pra :

P < k (2r –l0) ose P > k (2r + l0).

c) Energjia potenciale e sistemit është:

2

2 00

1cos cos cos cos

2 2 2U P r k r , ku 0 0cos

2 2

l

r.

2 01sin 2 cos cos sin

2 2 2 2

UP r k r

Ekuacioni U/ = 0 ka dy zgjidhje: 1 = 0 dhe 02 arccos

2

k l

k r P. Shikojmë

derivatin e dytë:

2

022 cos cos

2 2

U rP k r k l

191

1. Për 1 = 0, del

2

022

2

U rP k r k l , nëse P > k (2r-l0) atëhere

2

20

U

dhe ekuilibri është i qëndrueshëm. Nëse P < k (2r + l0) atëhere

2

20

U dhe ekulibri

është i paqëndrueshëm.

2. Për 02 arccos

2

k l

k r P, del :

20 0

2

2 2

2 2

kr kl P P kr klU r

P kr

Kur P < 2kr – kl0 , del 02

2U , pra ekuilibri është i qëndrueshëm dhe kur P >

2kr+kl0 del

2

20

U dhe ekulibri është i paqëndrueshëm.

Përfundimisht, themi se kur P < 2kr – kl0 , sistemi ka dy gjendje ekuilibri:

1 = 0 (e paqendrueshme) dhe 02 arccos

2

k l

k r P (e qendrueshme).

Për P > 2kr+kl0 , sistemi ka dy gjendje ekuilibri: 1 = 0 (e qendrueshme),

Prk

lk

2arccos 0

2 (e paqendrueshme).

Ndërsa për k(2r – l0)<P<k(2r + l0) , sistemi ka

vetëm një gjendje ekuilibri të qendrueshëm 1=0.

I.25 Ka tri pozicione ekuilibri:

a) = 0 , = 0. Nëse mg > k a atëhere ekuilibri

është i qëndrueshëm. Nëse mg < k a atëhere

ekuilibri është indiferent.

b) = , = , ekulibri është i

paqëndrueshëm.

c) = - = arccos2

mg ka

ka. Ky ekulibër

ekziston vetëm kur mg < ka dhe është ekulibër i qendrueshëm (shih fig, I.25 (z)).

I.26 2

sin cos sin 0g

a

I.27 02441 22 xgxxxx

I.29 y = x2

I.30 y = ach[(x- a)/b] , ku a dhe b janë konstante që përcaktohen nga kordinatat e

skajeve ku është varur kurba zinxhir.

φ

ψ

O

Fig.I.25(z)

192

I.31 Zgjidhje

Koha elementare, gjatë së cilës trupi rrëshqet nëpër gjatësinë elementare

2 2dl dx dy të kurbës, është

dldt

v. Shpejtësia v në një poxicion çfardo y ,

gjendet nga ligji i ruajtjes së energjisë mekanike: 2v g y , ku g është nxitimi

rënies së lirë, që konsiderohet konstante (Energjia potenciale në pikën nga fillon

rrëshqitja është marrë zero). Koha e plotë që i duhet trupit të rrëshqaë nga pika 1 në

pikën 2, është:

22

1

1 '

2

yt dx

gy , ku y’ = dy/dx. Minimizimi i kohës, kërkon që

funksioni nën integral ose

21 'y

fy

(1), të kënaqë ekuacionin diferencial(shih

problemin I.28): 0'

d f f

dt y y (2). Duke kryer derivate, gjejmë:

2

3 / 22

1 '' 1;

' 21 '

yf y f

y y yy y

dhe

22 2

1/ 2 1/ 2 3 / 2 3 / 21/ 2 2 3 / 2 2 1/ 2 2

1 ''' 1 ' ' '' 1

' 2 21 ' 1 ' 1 '

yd f y y y y

dt y yy y y y y y

.

Pasi zevëndësojmë këto derivate në ek. (2), kthejmë në emërues të përbashkët dhe

thjeshtojmë, gjejmë ekuacionin diferencial që kënaq kurba e kërkuar y(x) :

2 y y’’ + y’2 +1 = 0 (3)

Për të zgjidhur këtë ekuacion, kryejmë zëvendësimin e variablit: dy/dx = z , dhe y’’ =

d2y/dx

2 = dz/dx = (dz/dy) (dy/dx) = z dz/dy dhe ekuacioni (3) sillet në ekuacionin e

rendit të parë: 2

2 1 0dz

y z zdy

ose

22

1 0dz

y zdy

, zgjihdja e të

cilit kryhet duke ndarë variablat :

2

2

1

1

d z dy

yz. Duke integruar, gjejmë: z

2 + 1

= c1/y , ose 1c yz

y ku c1 është konstantja e integrimit. Mandej duke

integruar ekuacionin y

yc

dx

dy 1 me anë të ndarjes së variablave, gjejmë:

193

12 1 1

1

arcsinc y

x c y c y cc

, ku c2 është konstantja e integrimit.

I.32 y = arcch(x/a) + b, ku konstantet a dhe b përcaktohen nga fakti që kurba duhet

të kalojë nëpër dy pika të dhënë.

I.33 Zgjidhje

Kordinatat e masës që varet në lavjerës në plan, janë:

cos)(,sin)( ltyyltxx , ku është këndi që formon lavjerrësi me

boshtin vertikal dhe l është gjatësia e lavjersit. (boshti OY është marrë vertikalisht

lart). Atëhere energjia kinetike e lavjersit është: 2 2

2 2

2 2 2 2

( ) cos ( ) sin2 2

[ ( ) ( )]( ) cos ( ) sin

2 2

m x y mT x t l y t l

m l m x t y tm x t l m y t l

Energjia potenciale është: ( ) cosU m g y m g y t m g l . Duke

zbritur nga energjia kinetike energjinë potenciale, gjejmë funksionin e Lagranzhit: L

= T - U . Për ta thjeshtuar atë, së pari heqim termat që janë thjeshtë funksione të

njohura të kohës, të cilët mund të konsiderohen si derivate kohore të funksioneve që

varen vetëm nga koha. Së dyti, i shtojmë derivatin e plotë kohor të funksionit që varet

vetëm nga kordinatat dhe koha:

( ) sin ( ) cosd

m x t l m y t ldt

dhe pas thjeshtimeve, gjejmë:

22

( ) sin ( ) cos cos2

m lL m l x t m l x t m g l , ku )();( tytx nuk

janë nxitime por funksione të njohur të kohës. Për rastet e veçanta, funksioni i

Lagranzhit del lehtësisht nga funksioni i gjetur, thjeshtë duke kryer zevendësimet e

)();( tytx :

a)

22 2

sin cos2

m lL m a l t m g l

b)

22 2

cos sin cos2

m lL m a l t m g l

c)

22 2

cos cos cos2

m lL m a l t m g l

I.34 a)

2 2 2 21 2 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 2

cos2 2

cos cos

m m mL l l m l l

m m g l m g l

194

b) 2 2 21 2 2

2( 2 cos ) cos2 2

m m mL x l l x m g l

c) 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2sin 2 sin 2 ( ) cosL m a m a m m g a

I.35 2 sin 0l g

l l ku l(t) – njihet

I.36 2 ( )

2 ( ) 0dV x

mx V x mxdx

I.37 2

2 (1 cos ) 0r r g dhe sin 0d

r grdt

I.38 2

( ) sin 0M m r mr mg Mg dhe 2

cos 0d

mr mgrdt

I.39 Nxitimet e blloqeve me masa m e M, janë përkatësishte:

1 22 2

sin cos sin cos;

sin sin

mg Mgx x

M m M m

I.40 2 2 2 2 2 21 1

cos cos2 2

L M a k ma mb mba mgb ,ku

është këndi i rrotullimit të rrotës dhe është këndi që formon shufra me vertiklen.

I.41. Zgjidhje

Gjejmë energjinë kinetike dhe potenciale të secilës shufër. Shufra e parë AB kryen

thjeshtë lëvizje rrotulluese rreth boshtit që kalon nga pika O, pingul me planin e

figurës dhe energjia kinetike e saj jepet:

2

12

OT I , ku

2(2 )

12Q

m aI është

momenti i inercisë së shufrës rreth boshtit të vet. Prandaj energjia kinetike e saj del: 2 2

16

m aT . Shufra e dytë ka edhe lëvizje translative me shpejtësi sa shpejtësia e

qendrës së masës së saj edhe lëvizje rrotulluese rreth boshtit të vet me shpejtësi

këndore . Kordinatat e qendrës së masës gjenden nga figura (I.41(z)):

2

2

cos sin

sin cos

Q

Q

x a a

y a a;përbërësete shpejtësisë janë:

1

1

sin cos

cos sin

Q

Q

x a a

y a a

Duke i zevedësuar këto tek shprehja e energjisë kinetike për shufrën e dytë:

2 2 2

2 2 2

22 2

Q Q Qm x y I

T , pasi kryejmë veprimet, gjejme:

2 2 2 2 2

2

2sin( )

2 6

m a m aT m a .

195

Për shufrën e tretë, veprojmë në

mënyrë analoge dhe gjejmë:

3

3

cos sin

sin cos

Q

Q

x a a

y a a

3

3

sin cos

cos sin

Q

Q

x a a

y a a

3

2 2 2 2 2 2

3

2 2

2

33

2 2 2

sin( )

6

Q Q Q

m x y I maT

mama

Për shufrën e katërt, kemi: 4

4

2 sin

2 cos

Q

Q

x a

y a dhe

2

2

2 cos

2 sin

Q

Q

x a

y a ,

energjia kinetike : 4 4 4

2 2 2

42 2

Q Q Qm x y I

T . Pas zevendësimit del:

2 2

2 2

22

6

m aT m a . Duke i mbledhur të gjitha energjitë kinetike, gjejmë:

2 2 22 2 5

3

m aT . Energjia potenciale shprehet:

2 3 4Q Q QU m g y m g y m g y .

Duke zevendësuar kordinatat e qendrave të sufrave, gjejmë përfundimisht,

lagranzhianin:

2 2 22 2 5

4 cos3

m aL m g a

I.42

2 2 2 2 2 22 22cos 2cos 2 cos( )

3 3

3 sin sin

L ma ma

mga mga

I.3.43 Duke zgjedur si kordinata këndet: këndi që formon plani i unazës me një

plan vertikal të fiksuar dhe këndi që formon shufra me vertikalen, lagranzhiani del:

22 2 2 2 2 2 2 2 22

( ) cos sin4 2 2 3

Mb m mL b a b a mg b a

X

Y

A

O

D

C

B

Fig. I.41(z)

Q2

Q4

Q3

196

I.44 sin32 ga I.46 0cot2 g

I.47. Zgjidhje

a) Nga figura I.47, gjemë kordinatat e pikës m1 : x1 = R cos( t) + l1 sin , dhe

y1 = R sin( t) - l1 cos . Përbërëset e shpejtësisë së kësaj pike janë:

cossin 11 ltRx dhe sincos 11

ltRy .

Shpejtësia e pikës m1 del:

tlRlRyxv sin2 1

22

1

222

1

2

1

2

1 .

Në mënyrë të ngjashme gjemë edhe shpejtësinë e pikës m2 :

tlRlRv sin2 2

22

2

222

1

Energjia kinetike e sistemit është:

2 2

1 1 2 2

2 2

m v m vT ,

ndërsa energjia potenciale është konstante. Prandaj, funksioni i Lagranzhit, pasi

heqim termat konstantë, është:

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

2 sin 2 sin

2 2

l Rl t l Rl tL m m

Duke zbatuar ekuacionin e Lagranzhit: 0,d L L

dt, gjejmë:

0cos2

2211

2

22

2

11 tRlmlmlmlm .

Ekuilibri realizohet kur : 1) m1 l1 = m2 l2 dhe 2) 2

t .

b) Energjia kinetike është po ajo e gjetur në rastin a), kurse energjia potenciale është:

U = m1g y1 + m2g y2 = m1g (R cos - l1 cos ) + m2g (R sin + l2 cos ).

Funksioni i Lagranzhit, në këtë rast shkruhet: 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

2 sin 2 sin

2 2

cos cos sin cos

l Rl t l Rl tL m m

m g R t l m g R t l

Pasi heqim termat që janë thjeshtë funksione të kohës, zbatojmë ekuacionin e

lagranzhit për kordinatën dhe gjejmë:

0sincos 2211

2

2211

2

22

2

11 glmlmtRlmlmlmlm .

Ekuilibri realizohet për: 1) m1 l1 = m2 l2 dhe 2) g sin = R2 cos( - t), ku

2 g

R dhe

2 4

t.

I.48 Po të zgjedhim si kordinata të përgjithësuara: - këndi që formon shufra me

vertikalen dhe - këndi që formon projeksioni i shufrës në planin horizontal me

boshtin OX (në këtë plan), ekuacionet për këto kotdinata janë:

197

2 3

sin cos sin ; 2 sin cos 04

g

l

I.49

2 2

2 2

cos( ) sin( ) sin 02

cos( ) sin( ) sin 0

Mm R mRl mRl mgR

mRl ml mRl mgl

Përgjigjet e kapitullit II

II.1. `a) 2' ' ; ' ' ( ' ) ; ' r rp mr mr p p mr p E E p

b) p’x = pxcos( t)+pysin( t), p’y = -pxcos( t)+pysin( t), E’ = E - (x’ p’y – y’ px)

II.2. F1 është energjia , F2 është përbërsja e impulsit të trupit sipas drejtimit pingul

me forcën: - ( e1 + e2) ku e1 dhe e2 janë vektorët njësi të boshteve kordinative.

F1 lidhet me transformimin e zhvendosjes në kohë dhe F2 lidhet me transformimin

Q1 = q1 + , Q2 = q2 - , ku është një konstante e çfardoshme.

II.3. Lagranzhiani është simetrik ndaj rrotullimit rreth boshtit X3 me një kënd dhe

njëkohësisht zhvendosjes sipas këtij boshti me madhësinë R / 2 . Gjate këtij

transfomimi, ruhet madhësia 2

33

RPM .

II.6. d 3L/5; II.7. 3cos 2cos 1 0

m

M

II.8. Zgjidhje

Po të shënojmë l gjatësinë e fijes, e cila është konstante, r largësinë e trupit m nga

brima, këndin që formon në plan rrezja r me një drejtim të fiksuar, atëhere

kordinata z (largësia e trupit M nga brima) është z = l - r dhe lagranzhiani i sistemit

shkruhet:

2 2 2 22 2 2 ( )

2 2 2 2

m Mz m M r mrL r r Mgz Mgr

Duket se, integrale të lëvizjes janë : energjia

2 2 2( )

2 2

m M r m rE M g r ,

dhe momenti i impulsit Mz ose impulsi i përgjithësuar : P = 2L

m r

Këto madhësi në t = 0 janë: P = m v0 r0 dhe E =

2

00

2

m vM g r . Prandaj varësitë

e kërkuara të r dhe , dalin:

198

0 0

2

r v

r dhe

2 2

0 0 0

20

21 1

m v r M g r rr

m M m M rr

II.9 2 2

22 2 2 21 4 1sin cos

2 2 3 2

mr ma nmgL mr mg r a r a

a.

Integrale të lëvizjes janë: 2 2

22 2 2 2

1

1 4sin cos

2 2 3 2

mr ma nmgF mr mg r a r a

a

2 2 2

2

4sin

3F m r m a

II.11. Zgjidhje

Le të jetë B pika e fiksuar në disk (fig. II.11z) , - këndi me të cilin është zhvendosur

majmuni mbi disk dhe - këndi i rrotullimit të diskut. Në t = 0, momenti i impulsit i

sistemit është zero. Momenti i inercisë së diskut në lidhje me boshtin e rrotullimit që

kalon nga pika B është: M R2 / 2, ku R është rrezja e diskut. Momenti i impulsit i

majmunit është: 2 2

4 sin2 2

mR . Duke zbatuar ligjin e ruajtjes së

momentit të impulsit, kemi:

22 23 1

4 sin 02 2 2

MR d d dmR

dt dt dt,

që nga nxjerrim:

2

2

4 sin / 21

324 sin / 2

2

md d

Mdt dtm

.Duke integruar, gjejmë

:

22

20

4 sin / 2

34 sin / 2

2

md

Mm

dhe duke zevendësuar /2 = , gjejmë:

0

2

2

sin42/3

sin4d

mM

m

II.13 M = m (2 R v03

t)½ , ku t është koha.

II.14. 2

'( )

1 '( )

V xx

V x ku V’(x) është derivati i funksionit V(x)

II.15 Zgjidhje Energjia e trupit është integral i,lëvizjes, e shkruajmë atë në kordinata cilindrike:

B

m

Fig. II.11z

199

2 2 2 2

2

mE r r z m g z (1)

Edhe përbërsja e momentit të impulsit sispas boshtit vertikal OZ është integral

lëvizjeje, i cili në kordinata cilindrike , shkruhet:

2rmM z . (2)

Ekuacioni i sipërfaqes (lidhjes), në kordinata cilindrike është:

r = f(z) . (3)

Duke derivuar në lidhje me kohën këtë ekuacion, gjejmë:

zdz

dfr (4)

Duke zevendësuar (2), (3), (4) te (1), kemi:

2 22 2 2

2 4

2 2 2

2

( )2 ( )

12 2 ( )

z

z

m df Mz f z z m g z E

dz m f z

m dz df Mmgz E

dt dz mf z

Duke ndarë variablat në barazimin e fundit dhe duke integruar, gjejmë:

2

2

2 2

1

2

2 ( )

z

dfdz

dzt

ME mgz

m m f z

nga zgjidhja e integralit gjendet z(t) , mandej nga barazimi (3) gjendet r(t) dhe nga (2)

gjendet (t).

II.16. )()(

)(2

2

2

1

2

212

22

1zfzf

zzzfgv ,

)()(

)(2

2

2

1

2

211

22

2zfzf

zzzfgv .

II.17. )(22 azgVv , zmin = a , zmax = V2 / (2g).

Përgjigjet e kapitullit III

III.1. b) x = 0 , ekulibër i qëndrueshëm; x = + 1, x = -1, ekulibër i paqëndrueshëm.

c) E0 = U0 / e.

III.2. c) k

akEEx

2

2,1 , d) m

kT

200

III.3. Zgjidhje

a) Grafiku i funksionit tregohet në figurën

III.3z, ku paraqiten edhe pikat

karakteristike: pikat e kthimit për vlera të

ndryshme të energjisë, minimumi i energjisë

potenciale etj. Provohet lehtë se

0)(x

xU dhe x

xU )( . Ndërsa

derivati i U(x) bëhet zero kur x = 0, ku

derivati i dytë bëhët pozitiv, pra energjia

potenciale arrin minimum në x = 0 dhe vlera

e këtij mënimumi është Umin = A. Potenciali

anullohet në x2 = ln2/ . Për E = 0 dhe E > 0, lëvizja ka vetëm një pikë kthimi (në

fig. III.3z, janë përkatësisht pikat x2 dhe x1), pra lëvizja është e pakufizuar për këto

energji. Për E < 0, lëvizja është e kufizuar se ka dy pika kthimi, të cilat gjenden nga

barazimi E = U dhe dalin: 3,4

( )1ln

A A A Ex

E .

b) Në integralin: 2

.2 2( ) 2

x x

m dx m dxt const

E U x E A e A e

,

bëjmë transformimin: 2

2

x

x x

e dx

E e A Ae

(1)

Në rastin kur E > 0 , ky integral sillet në trajtën:

2 22 2

1 ( / )

/ ( ) / / ( ) /

x x

x x

e dx d e A E

EE e A E A A E E e A E A A E E

,

i cili është një integral tabele dhe del:

2

21ln / / ( ) /

x xe A E e A E A A E E

E ,

pra, gjejmë: 2

2 2 // / ( ) /

x x t E m ce A E e A E A A E E e

Që këtej, pasi kryejmë veprimet [hedhim termin (ex +A/E) në të djathtë, ngremë në

katror barazimin dhe thjeshtojmë] gjejmë:

2 /x

e A E 2 / 2 /

2

( )t E m c t E m cA A Ee e

E,

që nga gjejmë:

2 / 2 /

2

1 1 ( )( ) ln

2 2 2

t E m c t E m cA A A Ex t e e

E E

U

x

E>0

E<0

x1 x2 x3 x4

Umin=A

O

E=0

Fig. III.3z

201

Në mënyrë analoge gjejmë, ekuacionin e lëvizjes për rastet e tjera, dalin:

E < 0: ( ) cos 2 | | /1

( ) lnA A A E t E m c

x tE

,

E =0: 2 21

( ) ln 1/ 2 ( ) /x t A t c m .

Konstantja e integrimit c përcaktohet nga kushtet fillestare, pra nga vlera fillestare e x

psh për energji E < 0 , ajo del:

(0)

arccos( )

xA E e

cA A E

.

c) Për E < 0, lëvizja është periodike me periodë që gjendet nga integrali:

4

3

( )1ln

2( )1

ln

2. 2 2

( ) 2

A A A E

Ex

x xx A A A E

E

dx dx mT m m

EE U x E A e A e

III.4.

a) Për E<0: 21

sinA E E

x arcsh t CE m

,

ku C është konstante integrimi dhe E është energjia.

Për E>0: 21 A E E

x arcsh sh t CE m

Për E=0: 1 2A

x arcsh t Cm

.

Lëvizja është periodike vetëm kur E < 0 dhe perioda e lëkundjeve del:2m

TE

b) 1 2( )

arcsin sinE E A

x t CA E m

, ku E > 0.

Perioda e lëkundjeve del: 2m

TE A

III.5. x = a ; 3

2 2 /T ma C ;

a)C C

vma ma

; b)C

vma

ose 2C C

vma ma

c) v> maC /2

202

III.6. (0)

( )1 (0) 2 /

xx t

x A m t, ku shenja plus merret kur 0)0(x dhe shenja

minus merret kur 0)0(x .

III.7. b) (0)

( ) 4 arctan exp 2 tan4

gt t

l, ku shenja në

eksponent përcaktohet nga shenja e )0( . Lavjerrësi i afrohet asimtotikisht pozicionit

më të lartë.

III.8. Zgjidhje

Ndryshimi i poriodës gjendet nga formula:

2 2 2

1 1 12 ( ) ( ) ( )

x x x

x x x

m dx dxT

E U x U x E U x.

Me qëllim që të mënjanojmë integralet që divergjojnë, e paraqesim madhësinë T në

trajtën:

2 2 2

1 1 1

2 ( ) ( ) ( )x x x

x x x

T m E U x U x dx E U x dxE

.

Duke zbërthyer shprehjen nën integralin e parë sipas fuqive të madhësisë U(x) dhe

duke u ndalur deri tek rendi i parë, gjejmë:

2

1

( )

2 ( )

x

x

m U x dxT T U

E EE U x, ku mesatarja kohore është:

0

1[ ( )]

T

U U x t dtT

. Për rastin e dhënë:2

2( ) cos cos

Ex t a t t

m

del: tm

EmxmtxU 4

2

2

4

cos2

44)]([ .

Duke kryer mesataren kohore (integralin) të U , gjejmë:

2

2

2 6

4 8

m EU

Tm dhe

2

3

2

ET T U

E m.

III.9. a) 2mv

m M , b) 2

( )

m M

m M k

III.10

2

2

sin( ) (0)

2 ( )

sin( ) (0)

2 ( )

M M

m m

g t m v t m v th t h

M m M m

g t m v t M v th t h a

M m M m

ku2 ( )k M m

m M,v < a

203

III.11. Zgjidhje

a) Në kordinata karteziane, nëpërmjet rreze vektoreve, funksioni i Lagranzhit i

sistemit shkruhet:

221

1 1 21

1( , , ,.. )

2 2

Rr R r r r

n

i ni

ML m U

Rrezja vektore e qendrës së masës, jepet: 1

1

R r

R

n

ii

M m

M n m, ndërsa rreze vektoret e

trupave ndaj qendrës së masës i lidhen me rreze vektorët ri me relacionet:

ri = i + R dhe R1 = R’1 + R ,

dhe shpejtësitë përkatëse janë: Rρr ii , RRR

11 ' .

Duke i zevendësuar tek lagranzhiani dhe duke kryer veprimet gjejmë:

221

1 1 21

( ) 1( ( , , ,.. )

2 2

R Rρ R R R ρ ρ ρ

n

i ni

M 'L m ) U '

2 2 221

1 1 1 21 1

( , , , ,.. )2 2 2 2

R R RRR ρ R ρ R R ρ ρ ρ

n n

i i ni i

M ' M m nmL M ' m U '

Duke zevendësuar këtu '

1R ρii

m

M, gjejmë:

2 2 22

1 21 1

( )( , , ,.. )

2 2 2

Rρ ρ R ρ ρ ρ

n n

i i ni i

M n m m mL U

M

Dhe duke përjashtuar lëvizjen e qendrës së masës, lagranzhiani sillet në trajtën:

2 22

1 21 1

( , ,.. )2 2

ρ ρ ρ ρ ρn n

i i ni i

m mL U

M

i cili përshkruan lëvizjene n grimcave.

b) Në rastin e sistemit diellor, trupat janë me masa të ndryshme dhe energjia

potenciale është ajo gravitacionale. Duke i pasqyruar këto ndryshime, gjejmë

energjinë e sistemit diellor: 2

2

01 1 1 ,

1 1

2 2iv

n n ni ji

i i ii i i i jiD ij

m mM mE m v m

M r r,

ku vi janë shpejtësitë e planetëve ndaj qendrës së masës, riD janë largësitë e tyre nga

dielli dhe rij janë largësitë midis tyre. Në rastin kur M >> mi , energjia e plotë

përafrohet si shuma e energjive të veçanta, që ruhet seicila:

2

2

i i ii

iD

m v m ME

r (i = 1, 2, .. n)

III.13. Zgjidhje

Energjia potenciale gjendet nga integrali:4 3

( ) ( )3

k kU r f r dr dr

r r

204

(Duke marrë zero energjinë potenciale kur

r ). Energjia potenciale efektive është:

2

3 23 2

ef

k MU

r mr.

Grafiku Uef(r) nuk ndryshon formë për M të

ndryshme (fig.III.13z). Kurba e pret boshtin e

r, në pikën 0 2

2

3

mkr

M, ka maksimum në

2m

mkr

M, vlera e këtij maksimumi është:

6

3 26

m

MU

m k. Për energji E 0 , lëvizja është e

mundur vetëm midis qendrës së fushës (r=0) dhe pikës së kthimit që gjendet nga

zgjidhja e ekuacionit të gradës së tretë:

2

3 20

3 2

k ME

r mr.

Rrënjët e këtij ekuacioni, për E < 0, dalin dy imagjinare dhe pranohet vetëm rrënja

reale e cila është pozitive. Ndërsa për E = 0 del vetëm një rrënjë pozitive. Për Um >E

> 0, lëvizja ka vetëm një pikë kthimi dhe mund të kryhet midis pikës së kthimit (r1 në

fig. III.13z) dhe qendrës së fushës (lëvizja e kufizuar) ose nga pika e kthimit (r2 në

fig. III.2.1z) deri në infinit (lëvzja është e pakufizuar). Për E > Um lëvizja nuk ka

asnjë pikë kthimi dhe është e pakufizuar, grimca mund të bjerë edhe në qendër të

fushës.

Për të provuar që ekuacioni: r = A (1+cos ) është ekuacion trajektoreje, duhet të

provojmë se forca që vepron mbi grimcën është: f = –k/r4 (1), llogaritim forcën

radiale sipas nxitimit radial: 2 rr (2), ku

2sin sin

Mr A A

m r (3)

dhe

2

2

M

m r (4). Duke kryer veprimet me poshtme:

2 2 222

2 3 5

1cos 2 sin ( ) 2 1 1

M M r M r Mr A A r A A

mr A mmr mr r

2 2 2 2 2 2

2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 2 4

2 4 3M M A M AM M M Ar

m r m r m r m r m r m r;

dhe duke zëvëndësuar te (2), gjejmë:

2 2 2 22

2 3 2 4 2 3 2 4

3 3M M A M M Ar r

m r m r m r m r

Pra, forca e cila është radiale, rezulton:

2

4 4

3( )

M A kf r

mr r (5)

M2/2mr

2

-k/3r3

r

Uef

r0 r1

E<0

r2 rm

0<E<Um

Uem

E>Um

Fig. III.13z

205

Ky relacion, jo vetëm provon se trajektorja e dhënë është një trajektoret e

mundëshme, por nga ky relacion (5), gjejmë edhe vlerën e M që i takon kësaj

trajektoreje: 3

kmM

A dhe vlera e energjisë që i takon kësaj trajektoreje, mund të

gjendet në pozicionin kur 0r ( =0) pra r = 2A:

22 2 2

3 2 30

2 3 2 (2 ) 3(2 )

m k M kE r r

r m A A

III.16. Në qoftëse E = 0 dhe M2 =k m/(1+b

2), trajektorja ka formën e dhënë.

III.18. Forca është:3

aF k r

r ku k dhe a janë konstante ndërsa perioda

është:k

mT 2

III.19 Zgjidhje

Potenciali i fushës së dhënë është: 3 2

( ) ( )2

k kU r dr

r r

Ndërsa energjia potenciale efektive është:

2 2

2 2 2

1 1

22 2ef

k M MU k

mr mr r.

Forma e funksionit Uef (r) për vlera të ndryshme të M dallohet në tri raste:

a) M2 > m k , b) M

2 < m k dhe c) M

2 =mk.

Në rastin a) lëvizja është e mundur vetëm për energji pozitive dhe për çdo vlerë të E,

lëvizja ka vetëm një pikë kthimi Uef = E, pra lëvizja është e pakufizuar. Ekuacioni i

trajektores, në këtë rast, gjendet nga integrali:

2

22

2 22

1

2.

2 12 /1 12

/2

Mddr

M rrkonstEm M m kM

m E kM m k rm r

Duke zgjidhur integralin, gjejmë:

2 2

2

/ / 1. arccos

2/

M m M m kkonst

E rM m k,

që nga nxjerrim ekuacionin e trajektores:

2

2 2

1 2 /cos .

/

E M m kkonst

r M m k M

Në rastin b) lëvizja është e mundur edhe për energji pozitive ose zero (pa pika kthimi,

grimca mund të lëvizë nga infiniti deri në qendër të fushës) edhe për energji negative

206

(lëvizja është e kufizuar midis qendrës së fushës dhe pikës së kthimit Uef = E). Për

E>0, trajektorja del:

2

2 2

1 2 /sinh .

/

E k M mkonst

r k M m M,

ndërsa për energji E < 0 , trajektorja del:

2

2 2

1 2 /cosh .

/

E k M mkonst

r k M m M

Në rastin kur c) M2 =mk , trajektorja del:

1 2.

Ekonst

r k

III.20 Në qoftëse bameM /52 2/)51(2 , atëhere Uef (r) ka minimum

dhe janë të mundëshme trajektore të mbyllura. Në qoftëse grimca lëviz në trajektore

rrethore me rreze R , energjia dhe momenti i impulsit dalin:

12 2

b Ra R a RE b R e a b 2

1b R

M m a R b R e m a R ,

.III.22 f(r) =

2 2 2 2 2

2 5

( 1) 2n M n K M

m r m r

III.23 Duke e zgjedhur pozicionin fillestar mbi boshtin e x-ve, gjejmë ekuacionin e

trajektores në kordinata karteziane del:

2 2

0 0

1x y

kr v

,

kur k > 0 trajektorja paraqet hyperbolë, ndërsa kur k < 0 trajektorja del elips.

III.24 U(r) = c/r2 ku

c është konstante.

III.25. n = 2:0

20

ln

2

M r

rm M

, për n > 2:1

22

2 (2 )

n

Mr

m n

III.26. Zgjidhje

Varësia kohore e kordinatës r gjendet nga inegrali: t = 0 2

( )

r

r

ef

dr

E Um

; për E =0,

integrali sillet në: 2

2

2

rdrt

Mr

m m

Duke kryer zëvëndësimin:

22 2

(1 ) (1 )2

M pr

m (1),

207

integrali sillet në trajtën:

32

2 2(1 )

2

Mt d

m, dhe nga integrimi del:

3 3

(1 )2 3

m pt (2)

Nga ekuacioni i trajektores, që është parabola: 1 cosp

r (e =1) ,

gjejmë: 1cosr

p. Në kordinata karteziane, del:

2

cos (1 )2

px r p r (3),

2 2

y r x p (4)

Parametri merr vlera nga - deri në + . Vlerat e parametrit në varësi të kohës

t gjendet nga barazimi (2), në të cilin për çdo vlerë të t ka vetëm një vlerë reale

ndërsa dy vlerat e tjera janë imagjinare (ekuacioni është i grads së tretë).

III.30. Zgjidhje

Lëvizja rrethore i takon rastit kur energjia e plotë e grimcës është sa energjia

potenciale minimale (thellësia e gropës potenciale) dhe shpejtësia, e cila është

konstante, është thjeshtë shpejtësia pingul me radialen. Perioda e lëvizjes në rrethin

me rreze r0 , është:

3 / 20 0

0

0

2 22

r rT r

v

r

(1)

Nga ana tjetër koha që duhet që trupi të bjerë në qendër të fushës, gjendet nga

integrali:

0

0 0

0 0

0 0

0

2 1 /2

r

r r

dr dr rdrt

v r r

r r

Integrali mund të zgjidhet me zëvëndësimin: zrr 0/1 . Pas zevendesimit, ai

sillet në integralin:0

3/ 2 2 3/ 20 0

1

2 1 22 2 4

t r z dz r (2)

Duke zëvëndësuar këtu 3

0r nga barazimi (1), gjejmë se koha e bashkimit të grimcave

del: 24

Tt .

208

III.31. Trajektorja e kometës është parabolë, kështu që ajo do të largohet nga sistemi

diellor. Ajo e pret orbitën e Tokës nën këndin 45 , me shpejtësi 2 vT , ku vT është

shpejtësia e Tokës në orbitën e saj rreth Diellit.

III.32

1 1

1 cosp

em r

;

2 2

1 cosp

em r

; ku 1 2

1 2

m m

m m,

2M

p

2

2

21

E Me . E dhe M janë përkatësisht energjia dhe momenti i plotë i impulsit i

sistemit. Grimcat lëvizin në trajektore të ngjashme me vatër qendrën e inercisë; rreze-

vektorët e grimcave r1 dhe r2 janë në kahe të kundërta me njeri tjetrin, po ashtu dhe

shpejtësitë 1r dhe 2r .

III.33 Zgjidhje

Ekuacioni i trjektores i grimcës me masë m gjendet nga integrimi:

02

2 ef

Mdr

r m E U, ku:

2 2 2

1

2 2 2 2

2

2ef

M M m MU

r r rr m r r r dhe

2 2

1 2M M m

Integrali sillet në trajtën: 1 10

22 1

22

2

M M dr

M Mr m E

r m r

,

zgjidhja e të cilit dihet: 1 11 01 cos

p Me

r M, (1); ku:

2 2

1 2

2

M Mp

m m (2) dhe

2 2

1

2 2

2 41 1

2

EM E Me

mm (3)

(E > 0). Trajektorja (1) merret nga

hyperbola, duke i zvogëluar këndet polare

me 1

2

21

M m

M M herë. Konstantja

0 përcakton orientimin e trajektores (fig. III.33.z). Drejtimet e asimptotave të

hyperbolës (1) përcaktohen nga kushti që për r të kemi:

O

1

0

2

Fig. III.33z

209

1,2 0cos 1e ose 1,2

1 1arccos

e. Ndryshimi i drjetimit të shpejtësisë

jepet (shih fig. III.33.z):

2

1 2 2

2 1 2 4( ) arccos arctan

2

E M

e m.

III.34 a) Kur

2

2

M

m, problemi zgjidhet njëlloj si problemi i mëparshëm, me

dallimin që < 1 dhe shembulli i një trajektoreje jepet në fig. III34.z/a.

b) Kur

2

2

M

m dhe

2

2(max)

42

efE UM

m

, ekuacioni i trajektores sillet

në trajtën: 11 1 01 sinh

pe

r,

ku

2

1

2

2

Mp

m ,

2

1 2

41

2

E Me

m , dhe 1

221

M

m.

Trajektorja për këtë rast është treguar në fig. III.34.z/b. Vërejmë se në këtë rast kur r

0 , , kjo do të thotë se grimca bën pafundësi rrotullimesh para se të bjerë

në qendër të fushës.

c) Në rastin kur m

M

2

2

dhe

2

2(max)

42

efE UM

m

, ekuacioni i

trajektores sillet në trajtën: 12 1 01 cosh

pe

r

ku:

2

2 2

41

2

E Me

m.

Fig. III.34.z a)

b)

c)

210

d) Në rastin kur

2

2

M

m dhe E = Uef.(max), ekuacioni mund të ketë trajtat:

11 01 exp

p

r, ose r = p1 . Pra, trajektorja paraqet spirale që i afrohet

asimtotikisht rethit me rreze p1 nga brenda ose nga jashtë (fig. III.34. z.c)

III.34.z/c), ose parqet vetë rrethin me rreze p1 .

e) Në rastin kur m

M

2

2

, trajektorja sillet në trajtën: 22

0

22

rm

EM

Koha e rënies së grimcës në qendër të fushës përcaktohet nga integrali:

02

r

ef

m drt

E U, Kështu, për rastin b) kjo kohë del:

2 22

1 1

1 2 / 1 1arcsin arcsin

2 2 2 2 2

m M M m Ert Er r

E m m E E e e

III.35 Ekuacioni i trajektores del: 101 cos

pe

r ,

ku:

2

1

2

2

Mp

m,

2

2

41

2

E Me

m,

2

21

m

M;

2

r

mT

E ;

2; T = Tr .

Trajektorja është e mbyllur kur është një numër racional.

III.36 a) Kur m

M

2

2

, ekuacioni i trajektores del: 0111 cos1 e

r

p

ku: m

Mp

2

2 2

1 , 21

21

M

m,

m

MEe

2

41

2

2.

b)Kur m

M

2

2

, ekuacioni i trajektores del: 0222 sinh1 e

r

p

(për E >0) dhe: 0222 cosh1 e

r

p (për E < 0) ,

211

ku

2

2

2

2

Mp

m;

2

2 2

41

2

E Me

m dhe 2 2

21

m

M.

Përgjigjet e kapitullit IV

IV.1 a)

1

10m

T ,

2

2m

T , ku - masa e reduktuar. b)

21 / 2

1 / 21 2

1

m mT

M m

IV.2 2 2 21 1 2 1 1 2

01 1 1 1

2 2

( ) ( )cos sin cos 1 sin

2 2Q Q

m m m m m mv v

m m

2 2 22 1 2 2 1 2

01 2 2 2

1 1

( ) ( )cos sin cos 1 sin

2 2Q Q

m m m m m mv v

m m, 02 = - 01

IV.3 2 2 22 1

2 1 1 2 1 2 1 221 2 1 2

2sin sin 2sin sin cos( ) sin ( )

( ) Q

m m

m m m m v

IV.4 Zgjidhje

Nga diagrama e fig. IV.4.z/1, gjejmë:

10 01

10 0

sintan

cosQ

v

V v, 20 0

2

20 0

sintan

cosQ

v

V v

1 21 2

1 2

tan tantan tan( )

1 tan tan. Pasi

zëvëndësojmë dhe kryejmë thjeshtimet, gjejmë:

10 20 0

2

10 20 10 20 0

( ) sintan

( ) cos

Q

Q Q

V v v

V v v V v v(1)

Supozojmë se m1 > m2 , pra v20 > v10 .

- në rastin kur VQ > v20 > v20 : me rritjen e 0 , 1

rritet, 2 zvogëlohet, prandaj = 1 + 2 në

fillim rritet e mandej zvogëlohet , pra merr

vlera nga intervali (0, max) , ku max gjëndet duke barazuar me zero derivatin:

00d

d, ku:

020102010

2

02010

cos)(

sin)(arctan

vvVvvV

vvV

QQ

Q .

Pasi kryhen veprimet del se maksimumi arrihet për: 20 10

0 2

10 20

( )cos

Q

Q

V v v

V v v dhe

0

VQ

v20

v10

2

1

Fig. IV.4.z/1

212

10 20

max4 2 2 2 2 2

10 20 10 20

( )tan

( )

Q

Q Q

V v v

V v v V v v

ose 10 20

max 2

10 20

( )sin

Q

Q

V v v

V v v

- Për v10 < VQ < v20 (fig. IV.4.z/2), 2 arrin

maksimumin kur 1 = 0 , prandaj merr

vlera në intervalin (0, ) .

- Për VQ < v10 < v20 (fig. IV.4.z/3) , vlera

maksimale e është , por vlera minimale e saj

përcaktohet nga barazimi me zero i derivatit:

00d

d, prandaj merr vlera nga intervali ( min ,

) ku:

2010

2

2010

min

)(sin

vvV

vvV

Q

Q.

IV.5 Për v0 > VQ , shpërndarja del:

2

2

0

20

2

2

0

1 cos 22 sin

cos2

1 sin

Q

Q

Q

V

V vdNd

N v V

v

ku 0 . Për v0 < VQ , shëprndarja del:

2

2

0

2

2

2

0

1 cos 2sin

2

1 sin

Q

Q

V

vdNd

N V

v

ku 0 max , (sin max = v0 / VQ ).

IV.6 Shpërndarja e kërkuar është homogjene: QVmv

dT

N

dN

02.

IV.7 Zgjidhje

Nga shprehja (1) e zgjidhjes së problemit (IV.4), duke zëvëndësuar v10 = v20 = v0,

gjejmë: 0 0

2 2

0

2 sintan

Q

v v

V v ,

0

VQ

v20

v10

2

1

Fig. IV.4.z/2

0

VQ

v20

v10

2

1

Fig. IV.4.z/3

213

që nga gjejmë:

2 2

0

0

0

sin tan2

Q

Q

V v

V v dhe

22 2

0 2

0

0

cos 1 tan2

Q

Q

V v

V v.

Këtë e zevendësojmë tek shprehja:0

1cos

2

dNd

N, dhe gjejmë:

2

3 2 2

sin

2cos 1 tan

dN d

N, ku

2

0

02

e

Q

Q

V v

V v,

10 arctan ,

kur VQ > v0 , dhe 1

arctan , kur VQ < v0 .

IV.8 max min

3

max min

6 T T T TdN

N T T, ku

2

max 02

Q

mT v V ,

2

min 02

Q

mT v V .

IV.9 Në Q –sistemin: v’10 = -(2/3)v ; v’20 = (4/3)v ; Në L-sistemin: v’1 = -(1/3)v ; v’1

= (5/3)v

IV.13 Zgjidhje

Goditjen e parë, sfera e mesit e pëson me njerën nga sferat psh atë djathtas (në fig.

IV.13.z, sferat janë shënuar e I ajo majtas, e II e mesit dhe III ajo djathtas).

Meqë kjo sferë është në prehje dhe goditja është ballore (këndi i devijimit në Q-

sistemin e referimit është = ) zbatojmë formulat

2 2

1 2 1 2'

1

1 2

2 cosm m m mv v

m m dhe

' 12

1 2

2sin

2

mv v

m m,

për sferën e mesit (m1 = m dhe m2 = 5m). Ndërsa v = v0. Që nga gjejmë shpejtësitë e

sferës II dhe të III, pas goditjes së parë: 03

2vvII , e drejtuar majtas (në kahe të

kundërt me drejtimin e v0), 03

1vvIII , e drejtuar djathtas (në kahe të njëjtë me

drejtimin e v0), Goditjen e dytë, sfera II e pëson me sferën e majtë e cila është në

prehje, kështu që marrim po ato rezsultate si në goditjen e parë, kur në vend të v0

është 03

2v . Pas goditjes së dytë, sfera e mesit do të lëvizë përsëri djathtas me

shpejtësi: 009

4

3

2

3

2vvvII , ndërsa sfera e

I do të lëvizë majtas me shpejtësi

009

2

3

2

3

1vvvI . Meqenëse shpejtësia e

sferës II është më e madhe se shpejtësia që ka

I II III

5m m 5m

Fig. IV.13.z

v0

214

sfera e tretë ( të dyja djathtas: 00

3

1

9

4vv ), ajo e arrin sferën e tretë dhe realizohet

goditja e tretë. Tani lëvizin të dy trupat para goditjes, prandaj zbatojmë formulat:

p1’ = v n0 + 21

1

mm

m(p1 + p2) dhe p2’ = - v n0 +

21

2

mm

m(p1 + p2) ,

ku m1 = m dhe m2 = 5m , = m6

5, v =

09

1v n0 formon këndin me drejtim ku

ndodhen sferat dhe shpejtësitë e tyre, p1 dhe p2 kanë të njëjtën kahe dhe janë: p1 =

09

4vm dhe p2 =

03

15 vm . Duke zevendësuar këto në formulat e mësipërme,

gjejmë: p1’ = m

54

14v0 dhe p2’= m

54

100v0; ose shpejtësitë janë të dyja djathtas me

madhësi 0

'

54

14vvII dhe 0

'

54

20vvIII , ku duket se sfera e dytë e ka shpejtësinë më të

vogël dhe nuk e arrin më sferën e tretë. Kështu që numri i goditjeve mbetet 3.

Energjia kinetike në fund do të jetë:

2 2 2 2

00 0 0

5 2 14 5 20

2 9 2 54 2 54 2

vm m mT v v v m .

IV.14 v1 = v/5 ; v2 = v3 = v5

32. IV.15 = 45

IV.16 a) x = 6 a ; b) 5 a (5 k/m)1/2

/2; c) [m/(5 k)1/2

.

IV.18 b) Kur m1 < m2 , 2

; kur m1 = m2 , = /2; kur m1 > m2, /2.

IV.19 mb / mp =11.7 ; T2 / T = 1/18.3

IV.20. Zgjidhje

Në Q – sistemin, shpejtësitë e trupave para goditjes (fig.IV.20z), janë:

v10 = 21

2

mm

m(v1 – v2) = v1/2 dhe v10 = -

21

1

mm

m(v1 – v2) = - v1/2

Shpejtësia e qendrës së masës në L-sistemin është:

VQ = (m1v1 + m2v2)/(m1+m2) = v1/2 = v10 = -v20

Në Q –sistemin, si pasojë e goditjes joelastike, përbërsja e shpejtësisë pingul me

sipërfaqen e sferës bëhet zero, kurse përbërsja tangenciale v’10 (fig. IV.20.z) ruhet.

Prandaj shpejtësia në Q –sistemin, pas godijes është v’10 (fig.IV.20.z) e cila formon

këndin me drejtim e VQ (ose v10) ndërsa shpejtësia në L –sistemin është v’1 (fig.

IV.20z) e cila formon këndin 1 me drejtimin e VQ (ose v10). Seksioni efektiv

diferencial i shpërhapjes në Q –sistemin është:

215

dRdRdd cos4cos4 2222

ku R është rrezja e sferave (nga fig. IV.20z, = 2Rcos ). Për të kaluar në L –

sistemin e referimit , prej lidhjes që del nga fig. IV.20z:

'

10 101 ' 2 2

10 10 10 10

sin sin cos sin costan

cos cos 1 cos

v v

v v v v, nxjerrim:

2 3 2

1 1 11,2

3 1cos cos 1 cos 9cos 8

2 2.

Duke zevendësuar tek shprehja e seksionit efektiv, gjejmë: 2

2

2

1

2

2

2

1

22 coscos4coscos4 dRddRd , qe nga del:

22

2

5 9sin4

1 9sin

d R d , ku 0 < < arcsin(1/9)..

Meqë grimcat shpërhapëse janë të njëjta me ato rënëse, atëhere nuk ka kuptim t’i

veçojmë ato nga grimcat rënëse. Pra,

seksionit efektiv të mësipërm duhet t’i

shtojmë edhe seksionin efektiv diferencial

për këto grimca:

;cos4' 22 dRd

ku duhet zevendësuar nga relacioni:

= / 2 - 2 .

Pas këtij zëvëndësimi, gjejmë:

dRd cos4' 2, ku 0 < < /2.

IV.21 Në sistemin e qendrës së masës, i

cili e ka origjinën në qendrën e sferës (fig.IV.2.2), shpërhapja është izotrope dhe

seksioni efektiv diferencial është:

da

da

d4

sin2

22

Në sistemin laboratorik, seksioni efektiv diferncial për grimcat del:

- për rastin kur m1 < m2 :

2

1

12 2

1 2

1 1 12

2 21

12

2

1 cos 2

2 cos4

1 sin

m

a m md d

m m

m

,

ku d 1 = 2 sin 1 d 1 dhe 1 këndi i devijimit të grimcave, në këtë rast merr vlera

nga (0, ).

- për rastin m1 > m2:

v10

v’1

v20

v’20 v’2

VQ

v’10

2

1

Fig. IV.20.z

216

2

1

12 2

2

1 12

21

12

2

1 cos 2

21 sin

m

a md d

m

m

, ku 1 merr vlera nga (0, max) ku sin max = m2/m1.

- për rastin kur m1 = m2: - Për sferat e ngurta, në çdo rast kemi:

222

2 cos dad , ku 2 është këndi i shmangies së sferave në L-sistemin e

referimit. Në rastin limit kur m1 << m2 ( 1 = ,), nga integrimi del = a2 , pra

suprina e rrethit me rreze a.

IV.22

2

21

E

E;

2

22sin 2

dd

E.

IV.23. Zgjidhje

Jashtë sferës me rreze a , grimca lëviz

në mënyrë drejtvizore me shpejtësi

konstante 1

2Ev

m, kurse brenda

sferës lëviz përsëri në mënyrë

drejtvizore me shpejtësi

02

2( )E Uv

m, por në një drejtim

tjetër. Thyerja e drejtimit të lëvizjes së

grimcës kur ajo hyn në fushë, bëhet në

bazë të ligjit të ruajtjes së momentit të

impulsit:

m v1 a sin 1 = m v2 a sin 2 (1);

këndi i rënies 1 dhe 2 këndi i

thyerjes. (fig. IV.23.z) ose:

1 2

2 1

sin

sin

vn

v, ku 0E U

nE

(2). Nga figura duket se këndi i devijimit

(shpërhapjes) është: = 2 ( 2 - 1) , pra 1 = 2 - /2 (3).

Parametri i goditjes, duket nga figura se është: = a sin (4)

Duke shprehur këndet 1 dhe 2 në funksion të n , nga relacionet (1) dhe (2), dhe

duke zevendësuar në barazimin (4), gjejmë: 2

sin / 2

1 2 cos( / 2)

n a

n n (5)

Seksioni efektiv diferencial i shpërhapjes, shprehet:

2- 1

1

2

1

1

a

Fig. IV.23.z

217

2 2 22

22

2 sin / 2 sin ( / 2)

1 2 cos / 21 2 cos( / 2

n a n ad d d

n nn n

(6)

Duke kryer diferencialin (6) në lidhje me , gjejmë:

2 2 2

max22

cos( / 2) 1 cos( / 2)0

4 cos / 2 41 2 cos( / 2)

0

m

n nn a ad d per

d n n

per

ku max i takon 2 = /2 (pas shpërhapjes grimca del

tangent me sferën) ose sin 1 = n, ose cos( /2) = n ,

dhe max = 2 arccos(n).

IV.24 Intensiteti i tufës së grimcave ndryshon sipas ligjit

I(x) = I(0) e-n x

, ku n është përqëndrimi i atomeve në

mur, = a2 është seksioni efektiv i shpërhapjes, a –

është rrezja e atomeve, x rruga që përshkon tufa nëpër

mur. Rezultati numerik: 1.22 10-5

cm.

IV.26 0.25

IV.27. Zgjidhje

a) Që grimcat të arrijnë të bien në qendër të fushës duhet

që m

M

2

2

, ku momenti i impulsit të grimcës me masë m, jepet M = m v , ku

- është parametri i goditjes dhe v është shpejtësia e grimcës jashtë fushës (në

infinit). Pra, në qendër të fushës bien ato grimca që kanë parametër goditjeje (për v

të dhënë): max 2

2

Em v , ku E është energjia e grimcave. Seksioni

efektiv i rënies në qendër të fushës del: E

2

max

b) Në këtë rast energjia potenciale efektive:2

22

2r

vm

rU

nef është treguar

në fig. IV.27.z/b. Grafiku ka maksimum kur 0dr

duef. Duke drivuar energjinë

potenciale efektive dhe duke barazuar me zero, gjejmë pozicionin e këtij maksimumi: 1

2 2 2

0

nm vr

n dhe vlerën e këtij maksimumi:

2 2 2

0

2

2

n

nn m vU

n

.

r0

Uef

U0

r

Fig. IV.27.z/b

218

Në qendër të fushës bien ato grimca që e kanë energjinë E > U0 . Nga zevendësimi i 2

2

m vE në shprehjen e U0, gjejmë vlerën maksimale të parametrin e goditje max:

2 2max22

2

n

nEnE

n,

2

2

max

2

2 2

n

nn E

E n dhe seksionin efektiv

të kërkuar, del :

2

2

max

( 2)

2 2

nn n

n E

c) Në këtë rast, energjia potenciale efektive:

2

2 22

ef

MU

r r mr ,

pas zevendësimit të momentit të impulsit vmM dhe enrgjisë 2

2mvE ,

ajo shkruhet:

2

2ef

EU

r r. Grafikët e Uef(r) për disa vlera të ndryshme të

parametrit të goditjes nga intervali (0, max) janë treguar në fig.IV.27.z/c, ku max =

E . Për > max , grafiku nuk ka më pamjen e figurës, por është vetëm pozitiv

monoton zbritës dhe grimca nuk mund të bjerë në qendër të fushës. Për nga

intervali i mësipërm, në qendër të fushës bien të gjitha ato grimca për të cilat E >

Uef(max), ku Uef(max) është funksion i . Ky funksion, gjendet pasi gjemë vlerën e r

ku arrihet ky maksimum. Duke barazuar me zero derivatin e Uef , gjejmë:

2

max

2 Er dhe

2

2

4(max)

EU ef

.

Duke barazuar Uef(max) me E: 2

2

4 EE , gjejmë:

2

22

4EE.

Kështu që , seksioni efektiv, në këtë rast del:

4per0

4per

4

2

2

2

22

max

E

EEE

.

IV.28 Për parametër godijeje të madh, grimca afrohet

deri në distancën rmin , që është funksion i , i cili gjendet

nga barazimi Uef(rmin) = E. Me zvogëlimin e edhe rmin

r0

Uef

Uef(max)

r

Fig. IV.27.z/c

219

zvogëlohet deri në r0 për të cilën 0dr

dU ef . Në qoftëse R > r0 , mbi sferën me

rreze R , bien grimcat për të cilat rmin = R , prandaj seksioni efektiv i rënies është:

2RnRE

1 .Për R < r0 , mbi sferë bien grimcat që do të binin në qendër

të fushës dhe seksioni efektiv i rënies (shih zgjidhjen e problemit IV.27, rasti b): 2

( 2)

2 2

nn n

n E

IV.29 a)

6

3 2(max)

6ef

MU

m C; b) 3

max 2

0

3Cb

mv

IV.30 Duke supozuar se bashkveprimi elektrik midis ngarkesave e, është i formës:

e2/r

2 , gjejmë:

2

min 2

1 22r e

m v, 1 3 (2 2)

2

vv , 2 (2 2)

2

vv

IV.31 min 2

21 ,

M m Mr

m MM m v ku

04

Q q.

IV.32

2

0cot / 2

2n d

E

Përgjigjet e Kapitullit V

V.1. a) = 0.284 s , a = 0.18 cm . b) x(t) = 12 + 0.18 sin(22.1 t) cm.

V.3. Zgjidhje

Ekuacioni i elipsit me gjysëm boshte a dhe b,

është: 2

2

2

2

b

y

a

x = 1.

Kordinatat x dhe y mund t’i zëvëndësojmë me:

x = a cos dhe y = b sin , ku - është një

parametër. Atëhere përbërëset e shpejtësisë së

trupit janë: sinax dhe

cosay

dhe energjia kinetike e tij është:

2 2 2 2 2sin cos2

mT a by y y . ndërsa energjia

O

m

X

Y

a b

0

g

Fig. V.3.z

220

është (shih fig. V.3.z): U = - m g r = sinsincoscos 00 bagm ,

ku 0 është këndi midis drejtimit vertikal dhe boshtit të x –ve. Për të gjetur

pozicionin e ekulibrit, barazojmë me zero derivatin e energjisë potenciale:

0cossinsincos 00 bamgd

dU, që nga del:

0tantana

bek

Derivati i rendit të dytë, del:

2

0 02cos sin sin cos 0

ek

ek

d Umg a b k

d y

j y j yy

,

prandaj ekulibri është i qëndrueshëm. Po të zevendësojmë këtu:

0

22

02

tantan

sin1 tan

1 tan

ekek

ek

b

a

b

a

jy

yy

j

; 2

202

1 1cos

1 tan1 tan

ek

ek b

a

yy

j

,

gjejmë:

2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

cos sin

cos sin

mg a bk

a a b

j j

j j.

Energjia kinetike përafrohet me:

22 2 2 2 2

2 2 2 20 0

sin cos2 2 cos sin

ek ek

m m bT a b

a by y y

j j.

Frekuenca e lëkundjeve del: 3/ 2

2 2 2 2 20 02 2

cos sink g

a bm a b

w j j

V.5 2

sink

m

V.6. Zgjidhje

Shqyrtojmë në fillim lëkundjet e sustës (pa trupin e varur në të), duke konsideruar se

masa m është shpërndarë uniformisht gjatë saj (fig. V.6.z). Nëse zgjatja totale e sustës

është xA , zgatja e sustës në largësi y nga pika e varjes është xy = Axl

y Masa

elementare dm= dyl

m lëkundet nën veprimin e dy forcave elastike të kundërta në

kahe me madhësi përkatësiaht : ky xy dhe ky xy+dy . Rezultatja e tyre është :

- ky (xy+dy - xy) = - ky (y+dy - y) xA / l.

Sipas ligjit të Hukut (ky = y

SE, ku E është moduli i Jungut dhe S seksioni tërthor i

sustës), koeficienti i elasticitetit, për sustën prej të nëjtit material dhe me seksion të

221

njëjtë, varet nga gjatësia y: y

lkk y , ku k është koeficienti i elsticitetit të gjithë

sustës. Këshu që forca rezulatante mbi elementin dm , del: Axl

dy

y

lk .

Duke e barzuar këtë forcë me masë herë nxitimin e elementit dm, gjejmë:

2 2

2 2

y AA

d xdy m y d xk x dm dy

y l ldt dt

dhe duke integruar këtu anë për anë, gjejmë:

2 22

2 2 20 0 3

l lA a

A A

m d x m d xk x dy y dy k x

l dt dt

Këtu duket se lëkundje e sustës, kanë frekuencë: 3/m

k.

Ndërsa kur në të është varur edhe trupi me msaë M, frekuenca

bëhet:

/ 3

k

M mw . Period e lëkundjeve është: 32

mM

Tk

p

V.7. a) Zhvendosja nga pozicioni i ekulibrit është: a cos( t + ), ku m

k22.

b) Për zhvendosje vertikale të vogla T l

yk

, lëkundjet vertikale janë

harmonike:

y = a cos( t + ), ku lm

T22

V.8. Zgjidhje

Sipas rezultatit të problemit I.34.(b), lagranzhiani i sistemit është:

2 2 21 2 2

2( 2 cos ) cos2 2

m m mL x l l x m g lj j j j .

Këtu duket se kordinata x është ciklike, prandaj ruhet impulsi Px, i cili mund të merret

zero, duke konsideruar se sistemi si një i tërë prehet:

1 2 2 cos 0x

LP m m x m l

xj j , që nga del: 2

1 2

cosm

x lm m

j j

dhe e zevendësojmë tek lagranzhiani, i cillet sillet në trajtën:

2 222 2

21 2

(1 cos ) cos2

m l mL m g l

m m

jj j

y

dm dy

A

O

l

Fig. V.6.z

222

Për kënde të vegjël rreth pozicionit të ekulivrit =0 (këtu derivati i parë i energjisë

potenciale m2gl cos anullohet), lagranzhiani përafrohet deri në rendin e dytë të

vogëlsisë:

2 2 2

2 12

1 22 2

m l mL m g l

m m,

pra njëlloj si lagranzhiani i lëkundjeve të lira njëdimensionale, ku frekuenca e

lëkundjeve harmonike është:

2 2 1 2

22 1

( )m gl m m

m m lw , ose

1 2

1

g m m

m lw

V.9. a)

222

1A B

m A

aw

a , për B < A

b)

24 22 08 (3/ 4)

3 (1/ 4)

A x

m

p aw , - është i ashtuquajturi gama-funksioni:

0

1)( dtetx tx, ndërsa x0 përcaktohet nga energjia

4 40

3

A xE

a.

V.I0

20

00

1 3cos( )

cos

g

l

qw q

q. V.11

4 / 32

1/ 32 20 0

3 M g

M mm v r

w

V.12 2

0

(2 )

n

n n

m r

aw

V.13. Zgjidhje

Lagranzhiani i sistemit është gjetur në problemin I.34(c), me ndryshimin që masat

janë të barabarta: m1 = m2 = m:

2 2 2 2 2 2

01 2sin sin 2 cosL ma q q q q ,

ku 20

2g

a. Për > 0 energjia potenciale efektive e sistemit:

2 2 2 2

0sin 2 cosU ma q q ,

ka minimum për > 0 , ku cos 0 =

20

2 . Për afër 0 ( 0), energjia kinetike

përafrohet me:

22 2 2 2 20

01 2sin 3 2T ma maq q q

223

.

Ndërsa energjia potenciale, përafrohet me:

0

2 22 4 4

0 2 0 02 2

1( ) ( ) ( )

2

d U maU U U

d qq q q q q

q.

Nga shprehja e energjisë kinetike dhe potenciale duket sistemi lëkunder rreth 0 me

frekuencë:

4 402 2

4 403 2

w .

Për >> 0 , / 3 dhe /2. Për 0 , 0, krse 0.

- Kur < 0 , pozicioni i ekuilibrit të qendrueshëm del në 0 = 0. Rreth këtij

pozicioni, energjia potenciale dhe kinetike përafrohen me:

2 2 2

0(0) 2U U ma ,

22

22

T maq

.

Për goditje elastike midis masave anësore, frekuenca del: 2 2 2

0w .

- Kur = 0 , pozicioni i ekuilibrit të qendrueshëm del në 0 = 0. Në këtë pozicion

anullohet qoftë derivati i paëe i energjisë potenciale, qoftë derivati i dytë, qoftë

derivati i tretë, prandaj rreth këtij pozicioni energjia potenciale përafrohet deri në

rendin e katërt:

42

0( ) 24

U maq

q

Duke ruajtur të njëjtin rend përafrimi edhe tek energjia kinetike, ajo përafrohet me:

22 2

12

T maq

q

Në këtë rast, lëkundja nuk rezulton harmonike, por është periodike dhe ne mund ta

përcaktojmë periodën e lëkundjeve, ashtu siç kemi vepruar tek lëvizja një

dimensionale e kufizuar. Frekuenca e lëkundjeve gjendet nga perioda:

2

40 0

2 8 1 2m

m

dq

p q q

w q q,

ku m është amplituda e lëkbubdjeve. Pra në këtë rast, perioda e lëkundjeve varet nga

amplituda e lëkundjeve.

V.14. a) 002

0

1 cosF

x tm

ww

b) 00 02

0

sinF

x t tm

w ww

.

c) 00 02 2

00

cos sin( )

tFx e t t

m

a aw w

wa w

224

d) 2 2 2 2 2 2

0 0 0 00 0

2 2 2 2 2 22 2 20

0 0

( )cos ( )sin

( ) 4( )cos 2 sin

t

t tF

xm

e t ta

aa w b w a w b w

w

a w b a b a w b w ab b

V.15. a) 0 0

30

2sin

3

F Ta

mT

w

w , b) 0 0

20

2sin

3

F Ta

m

w

w ,

c) 2 2003

0

22 sin 2(1 cos )

Fa T T T T

mTw w w w

w , d) 0

20

Fa

m

p

w,

ku 0 është frekuenca e lëkundjeve të lira të oshilatorit me masë m.

V.16. Zgjidhje

Sipaz zgjidhjes së problemit I.33 (rasti a), funksioni i lagranzhit i lavjerësit shkruhet:

22 2

sin cos2

m lL m a l t m g lj g j g j ,

i cili për lëkundje të vogla ( <<1) deri në rendin e dytë të përafrmive në çdo term,

përafrohet me:

2

cos2

222

2

lgmtlamlm

L ,

Ky është lagranzhiani i lëkundjeve të detyruara, kur forca detyronjëse është

harmonike me frekuencë : F = m a l2 cos( t).

Prandaj, lëkundja e detyruar ka për ekuzacion: xv = b cos( t), ku amplituda e

lëkundjeve të detyruara është:

0

2 2 20( )

Fb

m l w g, duke zëvëndësuar F0 = m a l

2 dhe

20

g

lw , gjejmë:

2

2v

ax

g l

g

gcos t, ku

2

21

a

g l

g

g .

V.17. a) 22

2 ( ) / 20

2

FE e

m

w tpt , ku është frekuenca e lëkundjeve të lira të

lavjerësit me masë m. Kur forca vepron në çast ( << 1) ose kur forca rritet shumë

ngadalë ( >> 1), E 0. Energjia arrin maksimum për 2

tw

.

b) Në qoftëse x a cos( t + ) kur t 0, atëhere, kemi:

22

2 ( ) / 2 ( ) / 400( ) (0) sin

2

FE E E e a F e

m

w t wtpt p w t j .

225

Në varësi të fazës fillestare , oshilatori mund të fitojë ose të humbë energji. Kjo

është e ngjashme me thithjen ose rrezatimin e detyruar të dritës nga atomi.

V.18

2

0

ln 21 2

2st t

p; 4/3:4. 5:1.6.

V.19. v0min = x0 0

V.21. Zgjidhje

Zgjidhja e përgjithëshme për shuarje nën kritike ( < 0), ka trajtën:

2 20 0

2 2 2 2 20

( )cos 2 sin( ) ( cos sin )

( ) 4

tF t t

x t e a t b tm

bw g g bg g

w ww g b g

,

ku 22

0

2, ndërsa a dhe b përcaktohen nga kushtet fillestare. Duke vendosur

kushtet fillestare x(0)= 0 dhe 0)0(x , marrim ekuacionin e lëkundjeve:

2 22 2 0

0 0

2 2 2 2 20

( ) cos cos 2 sin sin2

( )( ) 4

t tF t e t t e t

x tm

b bw gw g g g bg g w

gw

w g b g (1)

Afër rezonancës kemi = + , ku | | << .

a) Në qoftë se = 0 (mungon shuarja), atëhere afër rezonancës ( 0), lëkundja ka

formën e rrahjeve të pafundme:

00

0

sin sinF

x t tm

e ww e

Kur = 0 ( = 0), kjo zgjidhje sillet në trajtën:

00

0

sinF

x t tm

ww

,

ku amplituda rritet në përpjestim të drejtë me kohën.

b) Në qoftë se ka shuarje të dobët ( << 0), do të

dallojmë disa nënraste:

1. Në qoftëse <<| | , mund të operojmë me shprehjen (1), por më lehtë del nga

diagram vektoriale (fig. V.21z/1), ku vektori OA , i cili paraqet lëkundjen e detyrayar

rrotullohet me shpejtësi këndore , kurse vektori i lëkundjeve të lira AB rrotullohet

me shpejtësi këndore dhe amplituda e tij zvogëlohet sipas ligjit e- t

. (Në t = 0, OA

+ AB 0). Del se lëkundja paraqitet me ekuacionin:

20

0 10

1 2 cos( ) cos ( )

2

t tF e t e

x t t tm

b bew j

w e (2)

B

x O

A

Fig. V.21.z/1

226

ku 1(t) është një lloj faze fillestare e

lëkundjeve, e cila ndryshon ngadalë

me kohën. Amplituda e lëkundjeve

oshilon ngadalë me frekuencë | | rreth

vlerës 0

02 | |

F

mw e, duke ju afruar në

limit kësaj vlere (fig. V.21.z/2). Gjatë

kohës së regjimit kalimtar, amplituda

mund të arrijë edhe vlera thuajse sa

dyfishi i amplitudës në regjimin e

vendosur.

2. Kur | | << << 0 nga ekuacioni

(1) ose nga diagrama vektoriale del:

00 2

0

1 cos ( )2

tFx e t t

m

b w jw

(3)

Në këtë rast regjimi kalimtar bëhet me

amplitudë që rritet eksponencialisht

me kohën duke iu afruar vlerës

0

02 | |

F

mw b (fig. V.21.z/3).

3. Kur | | << 0 , lëkundjet e

amplitudës rreth vlerës që i takon

regjimit të vendosur 0

02 2 | |

F

mw e,

bëhen mjaft të vogla në amplitudë.

(fig. V.21.z/4).

Për të trija rastet sistemi e kalon regjimin kalimtar gjatë kohës së rendit 1/ . Pas

kësaj kohe sistemi lëkundet me amplitudë që nuk ndryshon më me kohën.

V.22.

2 2 21 2

2 2 2 2 2 22 2 2 200 0

1 4( ) ( )

( ) 4 4 16

Tf f

A F t x t dtT m

bw

w w b w w w b w

V.23. Raporti i amplitudave është:

2

2

1

1

k

l

a l l

a k k

V.24. Zgjidhje

Në problemin I.34 (rasti a), kemi nxjerrë lagranzhianin e këtij sistemi:

t

02

0

m

F

2

x

Fig. V.21.z/2

t

02

0

m

F

x

Fig. V.21.z/3

t

022

0

m

F

x

Fig. V.21.z/4

227

2 2 2 21 2 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 2

cos2 2

cos cos

m m mL l l m l l

m m g l m g l

j j j j j j

j j

Duket se energjia potenciale ka minimum për 1 = 0 dhe 2 = 0, ku derivatet e para

të energjisë potenciale:

1 2 1 11

( ) sinU

m m gl jj

dhe 2 2 21

sinU

m gl jj

,

anullohen. Ndërsa derivatet e dyta në këtë pozicion janë:

1 2

2

0, 0 1 2 121

( )U

m m glj jj

;1 2

2

0, 0 2 222

Um glj j

j;

1 2

2

0, 01 2

0U

j jj j

.

Prandaj, lagranzhiani për lëkundje të vogla sillet në formën:

2 22 2 2 21 2 2 1 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2

m m mL l l m l l m m gl m gl

j jj j j j

Frekuencat e modeve gjenden nga zgjidhja e ekuacionit karakteristik:

2 211 11 12 12

2 221 21 22 22

0

k m k m

k m k m

w w

w w

,

ose

2 2 2 2

11 11 22 22 12 12 21 21 0k m k m k m k mw w w w ,

ku k11 = (m1+m2)gl1, m11 = (m1+m2)l12, k12 = k21 = 0; k22 = m2gl2 ,

m12 = m21 = m2l1l2 , m22 = m2l22 .

Duke i zëvëndësuar këto tek ekuacioni shekullor, ai sillet në formën:

2 2 2 4 2 2 22 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

22 1 2 1 2

[ ( ) ] ( ) ( )

( ) 0

m m m m l l m m m l l g m m m l l g

m m m g l l

w w

Zgjidhjet e tij janë:

221,2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2

1 1 2

4g

m m l l m m m m l l m l lm l l

w

Në rastin kur m1 >> m2 , ato sillen në: 21

1

g

lw dhe

22

2

g

lw .

V.25 Frekuencat e modeve dalin: 21

1

2

g

aw ,

21

M m g

m aw

Ekuacionet e lëkundjeve të kordinatave, janë:

228

1 1 1 2 2 2cos cos

2 2 2 /

C t C t

a M m a M M m m

w a w aq

1 1 1 2 2 2cos cos

2 2 2 /

C t C tM m

ma M m a M M m m

w a w aj ,

ku konstantet C1 , C2 , 1 , 2 përcaktohen nga kushtet fillestare.Kordinatat normale

janë:

1 2

2;

2

M mQ a M m m Q a

M m M m

V.26. a) 2

0

2

1 ,

2

0

2

1 . b) 12

x yQ , 2

2

x yQ .

c) 1 002

aw w

w, 1 0

02

aw w

w. x dhe y ndyshojnë me kohën në trajtën e

rrahjeve.

V.2721,2

7 37

2 2

g

lw , në modën 1: 1 = 0.847 2 dhe në modën 2: 1= - 1.18 2.

V.28 21 4

g

aw ,

22

3

g

aw . V.29. a)

21

k

mw ;

2 12

2k k

mw .

b) 1 2 1 21 2

1 2 1 2

sin sin sin sin;

2 2

v t t v t tx x

w w w w

w w w w.

Kur k1 << k , lëkundjet kanë trajtën e rrahjeve:

1 11

cos sinv

x t te ww

2 11

sin cosv

x t te ww

, ku: 1 1

2

k

k

we .

c) 1 1 2cos cos2

ax t tw w dhe 1 1 2cos cos

2

ax t tw w .

Kur k1 << k përsëri kemi rrahje si në rastin b).

V.30 Sistemi ka dy mode me frekuenca: 21,2

3 5

2

k

mw .

Në modën 1: 1 1 1 2 1 1

2cos , cos

5 1x a t x a tw j w j .

Në modën 2: 1 2 2 2 1 1

2cos , cos

5 1x b t x b tw j w j .

229

Zgjidhja e përgjithëshme ka trajtën: 1 1 1 1 1cos cosx a t b tw j w j

2 1 1 1 1

2 2cos cos

5 1 5 1x a t b tw j w j ,

ku a, b , 1, 2 përcaktohen nga kushtet fillestare.

V.31 2 2

1 2

5 1;

2 2

k k

m m .

V.32. Zgjidhje

Duke zgjedhur si kordinata këndet e shmangies nga vertikalja të lavjerësve(fig.

V.32.z): a dhe b , atëhere lagranzhiani i sistemit në këto kordinata do shkruhet: 222 2 2 2

(1 cos ) (1 cos )2 2 2

a ba a b ba a b b

klM l M lL M gl M gl

Duket se sistemi ka pozicion ekulibri a = 0 , b = 0. Duke përafruar lagranzhianin

për lëkundje të vogla rreth këtij pozicioni, gjejmë: 222 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a ba a b b a a b b klM l M l M gl M glL

y yy y y y

Termi i çiftuar mund të hiqet duke zgjedhur si kordinata normale:

1a a b b

a b

M MQ

M M

y y (kordinata e qendrës së

masës) dhe Q2 = a - b (zhvendosja relative)

Duke kryer veprimet, gjejmë shprehjet e

kordinatave te zakonshme ne funksion te

kordinatave normale:

1 2b

aa b

MQ Q

M My 1 2

ab

a b

MQ Q

M My

Duke i zevendësuar tek lagranzhiani, ai

diagonalizohet:

2 2 2 2 2 2

21 2 1 2( ) ( )

2 2( ) 2 2 ( )

a b a b a b a b

a b a b

M M l Q M M l Q M M glQ Q M M glL kl

M M M M

ku duket se frekuencat e modeve janë:

21

g

lw ,

22

1 1

a b

gk

l M Mw

1 10 1 1cosQ Q tw j dhe 2 20 2 2cosQ Q tw j

10 1 1 20 2 2cos cosba

a b

MQ t Q t

M My w j w j

k

a b

Fig.V.32.z.

a

b

230

10 1 1 20 2 2cos cosab

a b

MQ t Q t

M My w j w j

b) Për kushte fillestare të tilla: në t = 0, a = A , b = 0 , 0,0 ba , gjejmë:

1 = 0 , 2 = 0 dhe 10a

a b

MQ A

M M dhe Q20 = A .

1 2 1 2cos cos ; cos cosaa a b b

A AMM t M t t t

M My w w y w w ,ku M=Ma + Mb .

Në rastin e lidhjes së dobët k<<1, 1 2 , a dhe 2 ndryshojnë në formën e

rrahjeve, si psh: 2 11

2sin sin

2

ab

Mt t

M

w wy w , e cila mund të konsiderohet si

lëkundje harmonike, amplituda e të cilës ndryshon me kohën dhe energjia e ndryshon

sipas ligjit:

2 2 2 2 2 2 2 2 221 1 2 1 1

2 12 2

( ) 2sin 1 cos

2 2

b a b a bb

M l A t M M l M M lE t

M M

w w w w ww w

Energjia e shprehur nëpërmjet kordinatave normale

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 0 1 2

2 2 2

a b aa b

Ml M M M l AE Q Q l Q Q E M M

M Mw w w w

Kështu që energjia e oshilatorit të parë është: Ea = E0 – Eb .

Energjia e sistemit kalon periodikisht nga lavjeërsi i parë tek i dyti dhe anasjelltazi.

V.33. Zgjidhje

Pas goditjes me grimcën identike m, grimca e goditur (ajo e majtë në fig.V.33.z)

lëviz me shpejtësi v në drejtim të grimcës M, ndërsa grimca që e goditi ndalon.

Prandaj më tej sistemi i tri grimcave m, M, m kryen lëkundje. Po të shënojmë

kordinatat e tyre përkatësisht me x1 , x2, x3 , ekuacionet e tyre të lëvizjes, janë:

1 1 2

2 1 2 2 3

3 2 3

m x k x x a

M x k x x a k x x a

m x k x x a

Duke mbledhur anë për anë ekuacion e

parë dhe të tretë dhe duke shënuar Q1 =

x1+x3, sistemi i mësipërm i ekuacioneve

sillet në trajtën:

1 1 2 2 1 2

2 2;

k k k kQ Q x x Q x

m m M M ,

të cilët mund të sillen në një ekuacion të vetëm, për madhësinë:

M m m v

Fig. V.33.z

k k

X

231

2

1 2 1 22

1 22 2

dQ x k Q x

m Mdt.

Pra, madhësia Q1 - 2 x2 = x1 + x3 - 2 x2 është një lëkundje harmonike me frekuencë:

2 2M mk

m Mw , prandaj: x1 + x3 - 2 x2 = A cos( t + ) (1)

Kordinata e qendrës së masës së sistemit është: 1 3 2

2Q

m x x Mxx

M m

Meqë sistemi është i mbyllur, qendra e masës lëviz me shpejtësi konstante, sa vlera e

saj në t = 0, e cila është: 2

Q

mx v

m m

Duke konsideruar, xQ = 0 në t = 0 (dmth grimca M e ka kordintaën x2 = 0 në t=0,

ndërsa dy grimcat e tjera e kanë x1= - a dhe x3 = a ), gjejmë:

1 3 2

2 2

m x x Mx mv t

M m m M. Që këtej nxjerrim: 1 3 2

Mx x v t x

m,

të cilën e zëvëndësojmë tek barazimi (1), për të gjetur varësinë kohore të x2:

2 22 cosM

v t x x A tm

w j ; 2 cos2

mx v t A t

M mw j

Vlera e konstanteve A dhe , gjënden nga kushtet fillestare: në t=0, x2 = 0, 02x :

cos 0 ; sin 02

mA v A

M mj w j , që nga del = /2 dhe A =

v/ . Përfundimisht, gjejmë 2

sin

2

m v tx t

M m

w

w.

V.35 1 = 0, kurse 2 dhe 3 gjenden nga zgjidhja e ekuacionit:

4 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 2 3 1 3

0k k k k k k k k k k

m m m m m m m m mw w .

V.36. Zgjidhje

Duke shënuar me xi (i = 1, 2, ...N) zhvendosjen e masës së i –të nga pozicioni i

ekuilibrit, lagranzhiani i sistemi shkruhet:

22 2 2

1 1

1 22 2

N N

i i i N

i i

m kL x x x x x , (1)

dhe sistemi i ekuacioneve të Lagranzhit, shkruhet:

1 1 2

1 1

1

2 0

2 0 2,3,... 1

2 0

i i i i

N N N

m x k x x

m x k x x x i N

m x k x x

(2)

232

ose:

1 12 0i i i im x k x x x ku i = 1, 2, ...N (3)

me kushtin që:

x0 = xN = 0. (4)

Zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve (3) e kërkojmë në trajtën:

xi = Ai cos( t + ) (5)

ku:

Ai = A cos(i ) + B sin(i ) (6)

Zëvëndosjmë zgjidhjen (5) tek sistemi (3) dhe pasi thjeshtojmë me faktorin

cos( t+ ), gjejmë:

2

1 12 0i i im k A k A k Aw (7)

Këtu zëvëndësojmë (6) dhe njëkohësisht relacionet:

cos 1 cos cos sin sini i ij j j j j

cos 1 cos cos sin sini i ij j j j j

sin 1 sin cos cos sini i ij j j j j

sin 1 sin cos cos sini i ij j j j j

dhe kryejmë thjeshtimet, nga ku gjejmë:

2 2

4 sin2

k

m

jw (8)

Duke zëvëndësuar kushtin kufitar: x0 = 0 (i=0) , në shprehjen e amplitudave (6),

gjejmë: A = 0. Prandaj amplitudat (6) bëhen:

Ai = B sin(i ) (9)

Ndërsa nga kushti tjetër kufitar: xN+1 = 0, nxjerrim:

sin[(N+1) ] = 0 , dmth 1

n

n

N

pj , ku n = 1, 2, 3, ...N (10).

Frekuencat e modeve gjenden duke zëvëndësuar vlerat e mundëshme të nga

shprehja (10) në relacionin (8):

2 sin2 1)

n

k n

m N

pw , ku n = 1, 2, 3, ....N. (11)

Konfiguracioni i seicilës modë gjëndet nga shprehja e amplitudave (9) duke

zëvëndësyar në të vlerën përkatëse të :

Për modën 1, = 1:

(1) (1) (1)1 2

2sin , sin ,.... sin

1 1 1N

NA B A B A B

N N N

p p p

Për modën 2, = 2:

233

(2) (2) (2)1 2

2 4 2sin , sin ,.... sin

1 1 1N

NA B A B A B

N N N

p p p

Për modën N, = N:

( ) ( ) (1)1 2

2sin , sin ,.... sin

1 1 1

N NN

N N NNA B A B A B

N N N

p p p

Zgjidhja e përgjithëshme është superpozimi i N modeve (lëkundjeve normale):

1

sin cos1

N

j n n n

n

j nx C

N

pw a (12)

ku 2N konstantet Cn dhe n përcaktohen nga 2N kushtet fillestare të sistemit (vlerat

e zhvendosjeve dhe shpejtësive në t=0).

V.37 Ekuacionet e lëvizjes janë njëlloj si në problemin e mëparshëm, vetëm se

ndryshojnë kushtet kufitare: x0 , xN = xN+1 . Për këtë arsye frekuencat e modeve

dalin: (2 1)

2 sin2(2 1)

n

k n

m N

pw . Zgjidhja e

përgjithëshme del:

1

(2 1)sin cos

2 1

N

j n n n

n

j nx C

N

pw a

V.38.a) 2 sin12

n

n

ma

t pw , ku n =1, 2, 3, 4, 5.

Konfiguracioni i modeve gjendet njëlloj si në problemin V.36, psh në modën e parë

kemi: sin6

i

iA B

p, ku i = 1, 2, 3, 4, 5.

1 2 3 4 5

3 3, , , ,

2 2 2 2

B BA A B A B A B A

Konfiguracioni i kësaj mode paraqitet në figurën V.38.z/1: Në mënyrë analoge

gjenden konfiguracionet e modeve të tjera.

b) Nga zgjidhja e problemit të mëparshëm, për

këtë rast kemi

(2 1)

2 sin22

n

n

ma

t pw , ku n = 1, 2,

3, 4, 5.

Në figurën V.38.z/2 paraqitet konfiguracioni i

modës së parë.

V.39. Zhvendosjet e masave nga pozicioni i ekulibrit në regjimin e vendosur

(lekundja e detyruar), dalin:

Fig. V.38.z/2

B

Fig. V.38.z/1

234

ku 21

k

mw dhe

2 12

2k k

mw janë frekuencat e modeve (vehtiake).

V.40 tm

Fx cos

sin22

1

0 dhe 0

2 22

coscos

Fy t

m, ku

m

k12

1 dhe

m

k22

1 , ndërsa x dhe y janë zhvendosjet e trupit sipas boshteve AB dhe CD.

V.41

2

1 2 2 2 2 21 2

coska m k tX

m

g g

g w g w dhe

2

2 2 2 2 2 21 2

cosk a tX

m

g

g w g w, ku

1,2

2 5

2

k

mw .

V.42

2 22 1

2 2 22 1 2

a

b

x

x

w w

w w g, ku

21

g

lw dhe

22

2g k

l mw

V.43 Për lëkundjet gjatësore, frekuencat vehtiake dalin:

2 11

2 A B

A B

k m m

m mw dhe

2 12

A

k

mw

Konfiguracioni i modës parë ω1 është antisimetrik (fig. V.43.z(a)), pra: xA = - xB ;

ndrësa për modën e dytë ω2 , konfiguracioni

i modës është simetrik, pra xB =0

(fig.V.43.z(b)).

Për lëkundjet tërthore, ka vetëm një modë,

e cila është antisimetrike (fig.V.43.z.(c)) me

frekuencë:

2 13

2 2 A B

A B

k m m

m mw .

21

1 2 2 2 2 21 2

cos( )a k k k m

X tm

gl

g w g w

12 2 2 2 2 2

1 2

cos( )a k k

X tm

lg w g w

Fig. V.43.z

A B A

a) xA xB

xA

xA A B A

b) xA

A B A

c) xA

xB

xA

235

V.44 Në modën e parë, frekuenca është :

2

1

12

1 sin2

1B

A

m

m

m

k

dhe lëkundjet janë asimetrike në lidhje me boshtin

vertikal (fig. V.44.z.(a)).

Dy frekuencat e tjera u takojnë lëkundjeve simetrike

(fig. V.44.z.(b) dhe (c)), me frekuenca që gjenden nga

zgjidhja e ekuacionit algjebrike:

4 2 2 21 2 1 22 2 2 2(2 )1 cos 1 sin 0A A A B

A B A B A B

k m k m m m k k

m m m m m mw w a a

Përgjigjet e kapitullit VI

VI.1 Ekuacioni i boshtit të rrotullimit merret nga prerja e planeve: 2 0

3 0

X Y

X Z,

shpejtësia këndore del: = 3.2 s-1

.

VI.2. Zgjidhje Boshti i çastit i rrotullimit është sipas drejtimit O1C ku pika C është kontakti midis

diskut dhe planit (fig. VI.2.z). Në trekëndëshin dybrinjënjëshëm MBC këndet e

barabartë janë /2, prandaj gjatësia e bazës

së trekëndëshit dybrinjënjëshëm CO1M

është:

CM = 2Rcos /2

Ndërsa brinjë e këtij trekëndëshi janë:

O1M = O1C = 22 )2( RR = R 5.

Duke zgjidhur trekëndëshin

dybrinjënjëshëm CO1M , gjejmë lartësinë e

tij mbi brinjën anësore:

DM = 2Rcos /22

2

20

)2/cos2(1

R

R.

Shpejtësia këndore rezultante është:

12 5

CO

BCw w w

Fig. V.44.z

A

B

A a

)

xA

xB

xA

x

A

A

xB

A

b

)

xA

A B A

c

)

xA xB xA

2

1

/2 O

B

A

Z

K

M O1

Figura VI.2.z

D

C

236

Shpejtësia e pikës M jepet: v = 2 DM = 2 2

5sin 4(1 cos )Rw j j .

VI.3 Shpejtësia e qendrës së diskut: 1 2

2Q

v vV dhe shpejtësia këndore e diskut:

1 2

2

v v

aw . Qendra e çastit e rrotullimit të diskut ndodhet në pikën e prerjes së

diametrit të diskut , i cili është pingul me shufrat, me drejtëzën që bashkon skajet e

vektorëve v1 dhe v2.

VI.4 3

cos2

x k tw w , 3

sin2

y k tw w , 1/ 2z kw

23sin

2x k k te w w ,

23cos

2y k k te w w , z = 0.

VI.5 vx = v0 cos + y z’ - z y’ , vy = v0 sin -g t + z x’ - x z’ , vz = x y’ - y x’

ku y = sin(2 t) , y = cos(2 t) , z = - 3+2. Nxitimi gjendet nga shprehja:

w = g + r + ( r),

ku (-2 cos2t, - 2sin2t, 0) - është nxitimi këndor dhe r(x’, y’, z’) është rreze vektori i

pikës.

VI.6. Zgjidhje

Matrica e rrotullimit me këndin rreth një boshti, të cilin e zgjedhim përshembull si

boshtin e palëvizëshëm OX, jepet:

1 0 0

ˆ 0 cos sin

0 sin cos

A f f

f f

Nga ana tjetër, çdo rrotullim paraqitet si produkt i tre rrotullimeve të njëpasnjësëm,

me këndet e Ejlerit: , , , përktësisht:

1. me kënd rreth boshtit OZ, ku matrica e rrotullimit është:

cos sin 0

ˆ -sin cos 0

0 0 1

B

j j

j j

2. me kënd rreth vijës së nyjeve, ku matrica e rrotullimit është:

1 0 0

ˆ 0 cos sin

0 sin cos

C q q

q q

,

3. me kënd rreth boshtit të lëvizëshëm OZ’, ku matrica e rrotullimit është:

cos sin 0

ˆ -sin cos 0

0 0 1

D

y y

y y

237

Produkti i tre matricave jep matricën e rrotullimit të çfardoshëm me këndin ;

)ˆˆ(ˆ'ˆ DCBA

Duke bërë produktin e tre matricave gjejmë:

Â’ =

cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin

-sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin

sin sin - sin cos

j y j q y j y j q y j q

j y j q y j y j q y j q

q y q y cosq

Matricat A dhe A’ paraqesin të njëjtin rrotullim, Provohet se shuma e elementeve të

diagonaleve të tyre duhet të jenë të barabarta. Duke i barazuar këto shuma, gjejmë:

1 + 2cos = cos + cos cos cos - sin sin + cos cos - cos sin sin

ose: 2

4cos 1 cos 1 cos cos2

fq q j y ,

2 2 2

4cos 1 cos (1 cos ) 4 cos cos2 2 2

f q j yq j y ,

që nga del relacioni i kërkuar: cos cos cos2 2 2

f q j y

VI.7 Lëvizja rezultante është elikoidale, pra është një rrotullim me shpejtësi këndore

2 rreth boshtit që kalon nga meset e brinjëve BE dhe DG (shih fig. VI.7) dhe

një translacion sipas këtij boshti me shpejtësi 2

2av .

VI.8

24 4 cos 1

sin

v

a

l l bw

l l; VI.9.

20

2 2 2

sin2 sin 1

2 4 sin / 2

rv v

l r

j j

j

VI.10 a)

0

2 2

r

l h

ww ,

2 20

3/ 22 2

h r

l h

we , 0

2 2B

h rv

l h

w,

22

0 3 / 22 2

1B

r lw r

l h

w

b) = 0,

20

22

r

l r h

we , vB = r 0 ,

20

22

r r h

l r h

we

VI.11. Zgjidhje

Lëvizja e shufrave është planparalele. Shpejtësia e çastit e pikës B (Fig. VI.11.z) është

pingul me shufrën AB ndërsa shpejtësia e çastit e pikës C është pingul me shufrën

DC, prandaj pikprerja e këtyre pinguleve (pika O) është qendra e çastit e rrotullimit të

shufrës BC.

238

Nga barazimi i trekëndëshave ADC dhe ABC del barazimi i këndeve

CDA ˆ = CBA ˆ = . Në çastin e kohës t këndi DAB është 0 t. Duke zbatuar teoremën

e sinusit në trekëndëshin AOD, kemi:

00 0

sin sin( ) sin 180

OA OD a

t tj w j w,

që nga del:

0

0

sin

sin 180OA a

t

j

j w dhe

0

00

sin

sin 180

tOD a

t

w

j w.

Prandaj segmentet OC dhe OD , janë

përkatësisht:

0

00

sin2

sin 180

tOC a

t

w

j w dhe

00

sin2

sin 180OB a

t

j

j w.

Nëse shënojmë shpejtësinë këndore të shufrës BC, atëhere duke shprehur

shpejtësinë e pikës B edhe si pikë e shufrës AB edhe si pikë e shufrës BC, kemi:

0 00

sin2 2

sin 180a a

t

jw w

j w, që nga: 0

00

2

sin2

sin 180 t

ww

j

j w

(1)

Në rastin kur = 90 , trekëndëshi OBC është këndrejtë, prandaj OC2 - OB

2 = a

2.

Prandaj kemi:

2 2

0

0 0

sin 12 2 1

cos cos

t

t t

w

w wose

22 2

0 02 tan 2 1 tan 1t tw w

që nga del: 0

3tan

4tw , ose sin( 0t)=3/5 dhe cos( 0t) = 4/5.

Duke zevendësuar tek barazimi (1), gjejmë: 0

8

3w w . Nxitimi këndor gjendet

duke derivuar shprehjen (1) në lidhje me kohën:

A D

B

C

Fig. VI.11.z

0

2a

a

2a

vB

vC

O

0t

a

239

00

0 0 2 00 0

2

00

sin cos 180cos2

sin 180 sin 180

sin2

sin 180

t

t t

t

j j wjw j

j w j we

j

j w

,

kur = 90 , gjejmë:

00 2

002

0

sin2

cos 10

312

cos

t

t

t

ww j

we w j

w

.

Duke zevendësuar këtu shpejtësinë këndore të shufrës DC , nga barazimi:

0

5 202

4 6a OC a aj w w w ose 0

10

6j w dhe

20

50

9e w

VI.12 a)

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 -2 2 0

2 2 2 2 0

0 0 4 4

Ma ma Ma ma

Ma ma Ma ma

Ma ma

b)

2

2

2 2

4 0 0

0 4 0

0 0 4 4

Ma

ma

Ma ma

VI.13. Zgjidhje

Për të dyja rastet njeri nga boshtet

kryesore të inercisë është boshti OZ,

pingul me planin e figurës, që kalon

nga qendra e inercisë, e cila për

rastin a) është prerja e diagonaleve

të katërkëndëshit. Dy boshtet e tjerë

përcaktohen nga këndi φ, i cili

zgjidhet që elementet e inercisë

jashtë diagonales të jenë zero. Për

rastin:

a) kordinatat në plan të pikave në sistemin e boshteve jokryesorë (boshtet me vija të

ndërprera në fig. VI.13.z) janë M(a, b), m(-a, b) , M(-a, -b), m(a, -b),

ndërsa në sistemin e boshteve kryesorë që merret nga rrotullimi me këndin φ janë:

M(acosφ+bsinφ, -asinφ+bcosφ), m(-acosφ+bsinφ, asinφ+bcosφ), M(-acosφ-bsinφ,

asinφ-bcosφ), m(acosφ-bsinφ, -asinφ-bcosφ).

Duke llogaritur elementin e tenzorit Ixy dhe duke e barazuar atë me zero, gjejmë:

M∙[2(-a2+b

2)

sinφcosφ +2abcos2φ]+m∙ [2(-a

2+b

2)

sinφcosφ-2abcos2φ]=0

Që nga gjemë këndin e rrotullimit :

M

φ

2a

M m

a)

m

m

2m

2a

b)

Figura VI.13.z

φ

X

Y

X Y

φ φ

240

2 2

cot 22

a b M m

a b M mj . Elementet diagonale të tenzorit llogariten duke ditur

tashmë këndin φ.

2 2 2 2 2

22 22 2 2 2 2 2

2 ( cos sin ) 2 ( cos sin )

4

xx i i i i i

i i

I m y z m y M b a m b a

a b M m b a M m a b M m

j j j j

Në mënyrë analoge, gjejme:

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 24

yy i i i

i

i i

i

I m x z

m x a b M m b a M m a b M m

2 2

2zz xx yyI I I a b M m

b) Në mënyrë analoge me rastin a), gjejmë:

8/ , 2224 maI xx , 2224 maI yy , 216maI zz .

VI.14. Në dy kulme të trekëndëshit janë atomet e njëjtë me masë m1 dhe në kulmin e

tretë është atomi me masë m2. Atëhere, gjëndet se njeri bosht kryesor i inercisë (boshti

1) bashkon kulmin e trekëndëshit ku ndodhet atomi m2 me mesin e brinjës përballë tij

21 21 3

2

m mI a

M, ku M = 2m1+m2 ; boshti 2 është pingul me boshtin 1 dhe shtrihet

në planin e trekëndëshit:

21

22

m aI ; I3 = I1 + I2 . Në rastin kur m1 = m2 , merret

molekula me momente inercie I1= I2= I3 = m1a2.

VI.15. Zgjidhje a) Qendra e masës(inercisë) është në qendër të shufrës. Duke e konsideruar shufrën të

hollë, pra masa e saj është shpërndarë uniformisht përgjatë një drejtimi që është njeri

nga boshtet kryesore të inercisë (boshti 3), atëhere I3 = 0. Ndërsa dy boshtet e tjera

janë çfardo pingul me të dhe pingul me njeri tjetrin. Pra, momentet e inersisë në lidhje

me këto dy boshte janë:

I1 = I2 =

/ 2 22 2

/ 212

l

l

m m lx dm x dx

l

b) Qendra e masës(inercisë) është në qendër të sferës. Për simetri, boshtet kryesore të

inercisë janë tri boshte çfardo pingul me njeri tjetrin dhe I1 = I2 = I3 . Nga ana tjterër,

shuma e tyre del:

241

2 2 2 2 2 2

1 2 330

62 2 4

4 5

3

R

V

mI I I x y z dm r r dr mR

R

,

Kështu: I1 = I2 = I3 = (2/5)·m·R2.

c) Qendra e inercisë ndodhet në boshtin e simetrisë së cilindrit në gjysmën e lartësisë

së tij. Njeri nga boshtet e inercisë është boshti i simetrisë (psh boshti 3) ndërsa dy

boshtet e tjera janë të çfardoshëm pingul me boshtin e simetrisë dhe pingul me njeri

tjetrin, pra: I1 = I2 ≠ I3 =

2

2

mR.

2

2 2 2 2 2 2 2 2/ 2

0 / 21 2 22 2 2 2

2 3

R h

r z h

V

m m m hI I x y z dm r z dV r z rdrdz R

V R h

Pra:

22

1 24 3

m hI I R dhe I3 =

2

2

mR

d) Qendra e inercisë është në meset e lartësive mbi faqet përballë njera tjetrës. Boshtet

kryesore të inrsisë janë paralele me brinjët përkatëse a, b, c. Momentet kryesore të

inrcisë llogariten në mënyrë të ngjashme, psh:

/ 2 / 2 / 22 2 2 2 2 2

1

/ 2 / 2 / 212

a b c

V a b c

m m mI y z dx dy dz y z dx dy dz b c

abc abc

Njësoj gjejmë: 2 2 2 2 2 2

1 2 3, , , 12 12 12

m m mI b c I c a I a b

e) Qenda e inercisë së konit ndodhet në boshtin e tij në largësinë a = ¾ h nga kulmi i

konit dhe njeri bosht kryesor inercie është boshti i konit (boshti 3) ndërsa dy të tjerët

janë çfardo pingul me boshtin e konit dhe pingul me njeri tjetrin (I1=I2). Në fillim

llogarisim vlerat kryesore të tenzorit të inercisë në lidhje me boshtet që janë paralelë

me boshtet kryesore por që kalojnë nga kulmi i konit. Llogaritja bëhet lehtë në

kordinata cilindrike: 2

2 2 2 2 2 2 2 2/

0 01 2 2

3' ' 2 2 2 2 2

5 2/ 3

h z R h

z r

V

m m RI I x y z dm r z dV r z rdrdz m h

V R h

22

2145

3'' h

RmII

3

0

/

0

2

2

2223

10

32

3/mRdzdrrr

hR

mdV

V

mrdmyxI

h

z

hRz

rV

22 2

1 2 1

3'

20 4

hI I I ma m R

242

f) Qendra e inercisë përputhet me qendrën e elipsoidit dhe boshtet kryesore të inercisë

përputhen me boshtet e elipsoidit. Integrimi në vëllimin e elipsoidit mund të sillet në

integrim në vëllimin e sferës me anë të transformimit të kordinatave:

x = a∙ξ , y = b∙η , z = c∙ζ ,

i cili e transformon ekuacionin e sipërfaqes së elipsoidit:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c,

në ekucionin e sfers me rreze njësi: ξ 2 + η

2 + ζ

2 = 1.

Për momentin e inercisë në lidhje me boshtin X, marim:

2 2 2 2 2 21

2 2 2 2

V V

I y z dx dy dz a b c b c d d d

a b c b d d d c d d d

r r h z x h z

r h x h z r z x h z

Shënojmë: 2

1'I d d dr h x h z dhe 2

1''I d d dr z x h z

Duket se I’1 = I’’1 dhe I’1 + I’’1 = I’ = 22 2

' 1 '5 5

m m ku m’ është masa e sferës

me rreze një njësi. 1 1

1 1' '' ' '

2 5I I I m . Duke patur parasysh se vëllimi i

elipsoidit është 4

3

a b cp ndërsa densiteti është

3

4

m

a b cr

p dhe m’ = m/(a·b·c),

gjejmë: 2 2 2 2

1

'

5 5

mI a b c b c b c

m.

Në mënyrë analoge, gjejmë: 2 2

25

I a cm

dhe 2 2

35

I a bm

.

VI.16

2 3 35 5

1 2 3 3 3 3

2

5

R r r RmI I R r

R r R r,

5 53 3 3

2

5

mI R r

R r

VI.17 In = nnI ku indekset α dhe β marrin vlerat 1, 2, 3 ose x, y, z.

VI.19 T = 222

sin313

lm

243

VI.20 T = 22

4

3aRm ;

VI.21. Zgjidhje

Qendra e inercisë ndodhet në boshtin e konit (X3 në fig.

VI.21) dhe shpejtësia e saj është: cosaVQ , ku

a = ¾ h dhe 2α është këndi i hapjes i konit, acosα

është largësia e qendrës së inercisë nga boshti vertikal

OZ rreth të cilit shpejtësia këndore është . Boshti i

çastit i rrotullimit është drejtimi i përftues (OA) së

konit që është në kontakt me planin. Duke e shprehur

ndryshe shpejtësinë e qendrës së inercisë si shpejtësi e

rrotullimit të saj rreth boshtit të çastit me shpejtësi

këndore Ω , gjejmë:

cos sin c tanQV a a Ω Ω θ

Njeri nga boshtet kryesore të inercisë është boshti i konit (X3), boshtin e dytë (X2) e

zgjedhim pingul me vijën OA (boshti X1 është pingul me dy të parët). Projeksionet e

shpejtësisë këndore Ω në këtë sistem boshtesh janë:

Ω∙sinα, 0, Ω∙cosα

Energjia kinetike është:

2 42 2 2 2 21 3

2

coscos cos

2 2 2 sin

ma I IT

Duke zevendësuar vlerat e momenteve të inercisë (shih ushtrimin VI.15.e),

I1 =

223

,20 4

hm R I3 =

23

10mR , gjejmë:

2 223

1 5cos40

mhT

qa

VI.22

2 2

2

3 15

40 cos

mhT

q

a

VI.23 2 2 2 2

1 2 3

1 1cos sin

2 2T I I Ij j q j

VI.25 a) 2

3

k

m ; b)

8

3

k

m

VI.26. Zgjidhje

Si kordinatë variabël marrim këndin φ midis vertikales dhe pingules së hequr nga

qendra e inercisë mbi boshtin e rrotullimit. Shpejtësia e qendrës së inercisë është

atëhere: lVQ ,

kurse projeksionet e shpejtësisë këndore në boshtet kryesore të inercisë ((1), (2), (3)

nw fig. VI.26.z) janë: cos,cos,cos , ku , , janw kwndet qw

formojnw kwto boshte me boshtin e rrotullimit. Për kënde φ të vegjël, energjia

• Q

O

(2)

(1)

φ l

mg

Fig. VI.26.z

244

potenciale sillet në formën: 21

1 cos2

U mgl mglj j Prandaj, lagranzhiani për

lëkundje të vogla shkruhet në trajtën:

22 2 2 2 2 2

1 2 3

1cos cos cos

2 2 2

ml mglL I I I

Që këtu duket se frekuenca e lëkundjeve të vogla është:

2

2 2 2 21 2 3cos cos cos

mgl

ml I I Iw

a b g

VI.27 R

g

83

120

VI.28 Ekuacioni për këndin e shmangies së pllakës , është:

cos tanAI R a mg (1), ku IA = I + ma2/cos

2 është momenti i

inercisë së pllakës në lidhje me pikën ku mbështetet në cilindër. Për kënde të vegjël ,

ekuacioni sillet në formën AI R a mg , (IA =I+ma

2), ku duket se

frekuenca e lëkundjeve të vogla është 2

( )R a mg

I ma. Nëse

cos tan 0R a pllaka nuk do të lëkundet por do vijojë rrokullisjen dhe

nëse koeficienti i fërkimit të prehjes është:

< tan , pllaka do të rrëshqasë.

VI.29. Zgjidhje

Zgjedhim në fillim si pikë reduktimi origjinën e

kordinatave. Forca rezultante del: R = F∙j +

3F∙k. Momenti rezultant është: K = a∙F∙i -

a∙F∙j

Ky moment formon me R këndin α , që gjendet

nga barazimi: K∙R = K∙R ∙cosα,

2 23 1

cos10 2 5

a F a F

F Faa .

Në drejtëzën që kalon nga pika O, dhe që është pingul me planin që formojnë vektorët

R dhe K, zgjedhim origjinën tjetër të reduktimit O1. Vektori O1O përcaktohet nga

barazimi: O1O × R = - K2 (fig. VI.29.z). Pra, O1O = K2/ R = K∙sinα/ R = 2/5 a.

Boshti i vidës dinamike kalon nga pika O1 dhe është paralel me vektorin R. Momenti

i vidës është: K1 = K∙cosα = -2

5

a f

X K1

j

i

k

Z

Y

K1

K

R

R K2

Fig. VI.29.z

O1

245

VI.30 Kmin = F∙a. Boshti i vidës është paralel me boshtin OZ dhe kalon nëpër

qendrën e kubit.

VI.32 Të dy blloqet kanë nxitim të njëjtë – g/2 (për poshtë).

VI.33 ’ =- /5. VI.34. 0 0

2 2 2 2 2

2 2;

/ /( ) [ / /( )]Q

V V dV

m M d l l m M d l

VI.35 Në sistemin e referimit që lëviz me shpejtësi mv/(M+m), elipsoidi vihet në

rrotullim rreth boshtit c me shpejtësi këndore: 23 2

5

2

mv

Ma

rw . Njëkohësisht ky bosht

preceson rreth drejtimit të përcaktuar nga vektori i momentit të impulsit (M = ρ×mv )

me shpejtësi këndore:2 21 2

2 2

5mv

M a c

r r

VI.36 a) sin

sin

b aw

a b) M1 = 0,

22

2

3sin tan 4

20

mhM b a a ,

tansin10

3 2

3

mhM c)

2 2 2 2

2

3 sin 1 5cos

40cos

mhT

b a a

a.

VI.37. a) Trupi i formuar rrotullohet me shpejtësi këndore 2/7 ω rreth boshtit paralel

me boshtet e rrotullimit të sferave, që kalon nga pika e bashkimit të dy sferave; 5/7 e

energjisë kinetike fillestare shndrohet në nxehtësi.

b) Trupi i formuar rrotullohet rreth boshtit që bashkon qenrat e sferave, me shpejtësi

këndore 5/14 ω dhe ky bosht rrotullohet me shpejtësi këndore 7

2 rreth drejtimit të

momentit rezultant të impulsit M , i cili formon këndin 45º me këtë bosht; 19/28 e

energjisë kinetike fillesatre shndrohet në nxehtësi.

VI.40 RC = P∙l∙sinα/(4h), RA = P – RC sinα dhe T = P∙l∙sin2α∙cosα/(4h).

VI.42 T = (ml/12)2 sin .

VI.44. Zgjidhje

Përbërëset e shpejtësisë këndore në boshtet e lëvozëshme (boshtet e lidhura me

cilindrin, shih fig. VI.44), janë: ωZ’ = ω∙cosα , ωY’ = ω∙sinα.

Nga ekuacionet e Ejlerit gjejmë përbërëset e momentit të forcave në lidhje me

boshtet e lëvizeshme: KZ’ = 0 ; KY’ = 0 ; KX’ = (IY’ – IZ’)∙ωZ’∙ωY’ = N1∙h.

(për simetri, kemi N1 = N2) . Duke zevendësuar momentet e inercisë së cilindrit (shih

problemin VI.25c): IY’ =

221 16

416 3

lm r dhe IZ’ =

2

2

mr, nga ekuacioni i

tretë i Ejlerit, gjejmë:

22 2

1

sin 1 1

2 3 4

mN l r

g

w a

246

VI.45 XA = 0 ; YA = -

2 2 2

3/ 22 2

12

mab a b

a b

w, XB = 0 , YA =

2 2 2

3/ 22 2

12

mab a b

a b

w

VI.46 Boshti Z’ është gjatë shufrës, kurse boshti Y’ është në planin që përcakton

boshti i rotullimit dhe shufra. Në këto boshte përbërëset e momentit janë:

KX’ = -ma2Ω

2∙sinα∙cosα/2 , KY’ = 0 , KZ’ = 0.

VI.47 Shënojmë kordinatat e qendrës së diskut me x, y, z (boshti OZ është pingul me

planin e pjerrët, ndërsa boshtet OX dhe OY janë sipas planit të pjerrët) dhe:

φ – këndin që formon pani i diskut me boshtin OX

ψ - këndin që formon një rreze e fiksuar e diskut me rrezen horizontale të diskut

(këndi i rrotullimit të duskut rreth boshtit të vet)

Duke gjetur lagranzhianin e diskut në këto kordinata dhe duke zbatuar ekuacionet e

Lagranzhit, gjejmë:

φ = A∙t + B

ψ = {[2gsinα∙cos(A∙t + B)]/(3aA2)} + C∙t + D

x = [gsinα/(3A2)] ∙sin

2(A∙t + B) - (a∙C/A) ∙sin(A∙t + B) + E

y = [gsinα/(3A2)]∙[A∙t - sin(A∙t + B)∙ sin(A∙t + B)] + (a∙C/A) ∙cos(A∙t + B) + F

ku A, B, C, D, E, F janë konstante që përcaktohen nga kushtet fillestare, ndërsa t

është koha.

VI.49 ωp = Ω∙2cos1

VI.50 Zgjidhje

a) Disku mund të konsiderohet si një fugë simetrike ku boshti i simetrisë është pingul

me diskun. Ky shërben edhe si boshti kryesor i inercisë (I3 = mR2/2), ndërsa dy

boshtet e tjerë kryesorë të inercisë shtrihen në planin e diskut me momente inercise

I1=I2 = mR2/4. Në teori është shpjeguar precesioni i rregullt i fugës simetrike, ku

është treguar se boshti i rrotullimit i fugës, preceson (përshkruan një kon) rreth

drejtimit të vektorit të momentit të impulsit M, i cili ruhet për rrotullimin e lirë të

fugës. Në rastin tonë ky vektor ruan atë drejtim që do të ketë

në çastin e çlirimit të aksit të diskut nga mbajtëset(fig.

VI.50.z) e boshtit i cili ka drejtimin e Ω. Në teori është

gjetur edhe shpejtësia këndore e këtij precesioni (vektori Ωp

paralel me M) e cila është:

1p

M

I. Në rastin kur lëvizjen

e fugës së lirë e shqyrtojmë në një sistem të lidhur me vetë

fugën (diskun), tashmë si të palëvizshëm janë boshtet

kryesorë të inercisë dhe në lidhje me ta precesojnë

(përshkruan një kon) vektori i momentit të impulsit M dhe

(3)

(1) Ω3

Ω’

Ω1

Ωp

Ω

M

O

Fig. VI.50.z

α

247

shpejtësia këndore Ω (boshti i rrotullimit) dhe kjo është shpjeguar përsëri në teori kur

janë zbatuar ekuacionet e Ejlerit në sistemin e lidhur me fugën. Këtu është nxjerrë

edhe shpejtësia këndore e këtij precesioni: 3 13

1

I I

Iw

b) Duke zbatuar formulën për precesionin e boshtit të rrotulimit ndaj vektorit M

(shih pikën a dhe fig. VI.50.z), gjejmë:

2 2 2 2 21 1 3 3 2 2 2 2 23

21 1 1

sin cos 1 3cosp

I IM I

I I Ia a a

dhe perioda e precesioni është: 2

2

1 3cos

Tp

a

c) Duke zbatuar formulën për precesionin ndaj boshtit të diskut (boshti 3), gjejmë:

3

1

1 cos cosI

Iw a a dhe perioda e precesionit është:

2

cosT

p

a

VI.51 Zgjidhje

Sipas shënimeve të hyrjes të paragrafit VI.9, gjejmë se për θ =0 (kur boshti i

xhiroskopit është vertikal), kemi u = cosθ = 1 dhe kjo është një nga rrënjët e

ekuacionit:

01)(222 uabuuuuf (1)

Në rastin kur boshti i xhiroskopit është vertikal, rezulton se a = b (Pψ = I1·a është

projeksioni i momentit të impulsit sipas boshtit të xhiroskopit dhe Pφ = I1·b është

projeksioni i momentit të impulsit sipas drejtimit vertikal. Në rastin tonë këto dy

drejtime përputhen, pra Pψ = Pφ ). Duke zëvëndësuar θ = 0 dhe = 0 në shprehjen e e

E’, gjejmë: 2 2 2 21

3

1' sin cos

2 2Z

IE E I mgl mglq j q q

Që nga del se α = β (

1 1

2 ' 2,

E mgl

I Ia b ). Kështu që barazimi (1) shkruhet:

f(u) = (1 – u2)[β∙(1 + u) - a

2] (2)

Duket se u = 1 është rrënjë e dyfishtë e ekuacionit f(u) = 0. Rrënja e tretë është:

2

3 1a

ub

.

Në qoftë se a2/β > 2 (ky rast i takon “xhiroskopit të shpejtë”) atëhere u3 > 1 (cosθ3 >

1) që s’ka mundësi, prandaj lëvizja e vetme e xhiroskopit është u = 1 (θ = 0) , boshti i

xhiroskopit do vazhdojë të qëndrjë vertikalisht. Në qoftëse a2/β < 2, u3 <1 (cosθ3<1)

është rrënjë reale e ekuacionit (2), prandaj xhiroskopi do të kryejë nutacion sepse

këndi i boshtit të tij me vertikalen θ ndryshon nga 0 (u =1) deri në θ3<π/2. Pra,

248

xhiroskopi ka një shpejtësi këndore kufi ω’ të rrotullimit rreth boshtit të vet, e cila

përcaktohet nga shprehja:

23

12

1

21

223

2 4'2

2

'

I

mglI

I

mglI

Ia

Kur xhiroskopi rrotullohet me shpejtësi këndore më të madhe se ω’, atëhere boshti i

tij qëndron vertikal. Në fakt edhe në këtë rast, fërkimi do ta zvogëlojë shpejtësinë

këndore gradualisht deri sa shpejtësia këndore bëhet më e vogël se vlera kufi ω’ dhe

xhiroskopi do fillojë të kryejë edhe “nutacion”.

VI.52. Zgjidhje

Në përafrimin e parë, nëse neglizhojmë rëndesën, ndodh precesioni i lirë i boshtit të

fugës rreth drejtimit të momentit të impulsit M (që i përgjigjet në rastin e dhënë

nutacionit të fugës). Shpejtësia këndore e këtij lloj nutacioni është:

Ωnut. = M / I1

Në përafrimin pasonjës, çfaqet precesioni i ngadalshëm rreth drejtimit vertikal. Për të

përcaktuar shpejtësinë këndore të këtij precesioni, mesatarizojmë ekuacionin e saktë

të lëvizjes:

dM/dt = K, (1)

ku mesatarizimi kryhet gjatë një periode të nutacionit. Moment i forcave të jashtme

është momenti i rëndesës:

K = m∙l·[n3×g] ,

ku n3 është vektori njësi i boshtit të fugës. Kuptohet se mesatarizimi i K sipas “konit

të nutacionit” sillet në zëvëndësimin e vektorit n3 me projeksionin e tij sipas drejtimit

të M: cosα∙M/M, kështu që nga mesatarizimi i ekuacionit të lëvizjes (1), gjejmë:

dM/dt = - cosα·m∙l∙[g × M]/M.

Ky barazim tregon se vektori M preceson rreth drejtimit – g (drejtimi vertikal) me

shpejtësi këndore:

Ωp = m·l·cosα∙g / M,

e cila është shumë më e vogël se shpejtësia këndore e nutacionit. Në përafrimin e

shqyrtuar, madhësitë M dhe α që hyjnë në formula, janë konstante 9megjithse nuk

janë integrale të lëvizjes). Ato lidhen me madhësitë E (energjia) dhe M3 (projeksioni i

M sipas boshtit të fugës), të cilat ruhen me saktësi, me relacionet:

M3 ≈ M∙cosα E ≈

2 2 2

3 1

cos sin

2

M

I I

a a

Më thjeshtë, siç trajtohet në fizikë të përgjithëhme, M3 = M dhe 33I

mglp .

VI.54 θmax = π/2. VI.55 l > R/2 ; 2 2

( / 4)cos

gl

l R

249

VI.57

2 2

2 2

2 0

0

2

x z b t z b x b t

y

z x b t x b z b t

VI.58 Ekuacionet e lëvizjes dalin:

2

2

sin 2

cos 2

x b t y x

y b t x y

w w w

w w w

Duke futur variablin kompleks: ξ = y + i∙x, sistemi i ekuacioneve sillet në një

ekuacion, zgjidhja e të cilit është:

1 2

2

2

i t i t i tb tA e B t e e

w j w j wx

Duke kaluar në variablat e mëparshme, gjejmë:

2

1 2

2

1 2

sin sin sin2

cos cos cos2

btx A t B t t t

bty A t B t t t

w j w j w

w j w j w

,

ku A, B, φ1 dhe φ2 përcaktohen nga kushtet fillestare.

VI. 59 8.0277 m

VI.60 Zgjidhje

Nga ekuacioni: d U

mdt

v

r - m W - m [

d

dt

Ω r] - 2 m ( v) - m [( r) ],

në fushën homogjene të rëndesëa U = m g · r, kur nxitimi i transportit është W = 0,

dΩ/dt = 0 (rrotullimi i njëtrajtëshëm i Tokës), duke neglizhuar termin e fundit (forcën

centrifuge si pmv e rendit të dytë), gjejmë ekuacionin:

dv/dt = 2[v × Ω] + g (1)

E zgjidhim këtë ekuacion me anë të përafrimeve të njëpasnjëshme. Për këtë,

supozojmë se v = v1 + v2 , ku v1 është zgjidhje e ekuacionit dv1/dt = g, dmth:

v1 = v0 + g∙t (v0 – është shpejtësia fillestare). Duke vendosur v = v1 + v2 në ek. (1),

gjejmë ekuacionin pëe v2:

dv2/dt = 2[v1 × Ω] = 2·t·[g × Ω] + 2· [v0 × Ω] (2)

Duke integrauar dy herë ekuacionin për d (v1 + v2) /dt, gjejmë:

r = h + v0∙t + g·t2 / 2 + t

3∙[g × Ω]/3 + t

2∙[v0 × Ω] (3)

ku h është pozicioni fillestar i grimcës.

Zgjedhim boshtin OZ vertikalisht lart, kurse boshtin OX sipas meridianit drejt polit të

veriut, atëhere kemi:

gx = gy = 0 , gz = - g, Ωx = Ω·cosλ , Ωy =0, Ωx = Ω·sinλ ,

ku λ është gjerësia gjeografike. Duke vendosur v0 = 0, gjejmë:

x = 0 , y = - t3∙Ω·cosλ

250

Duke marrë kohën e rënies 2h

tg

, gjejmë devijimin:

x = 0 ,y = -

3/ 21 2

3

h

gg∙Ω·cosλ

Vlera negative tregon se devijimi i trupit gjatë rënies së lirë është për nga lindja në

hemisferën e veriut.

VI.61 Duke zgjedhur planin XZ të tillë që shpejtësia v0 të shtrihet në të, lartësinë

fillestare të trupit h = 0, sipas zgjidhjes së problemit të mëparshëm, gjejmë devijimin:

30

2

sin 14 sin cos cos sin

3

vy

g

aa l a l

VI.63 Duke neglizhuar zhvendosjet verikale (ngritjet mbi rrafshin horizontal) të

lavjerësit, si pambarimisht të vogla të rendit të dytë (gjatësia e lavjerësit ëshët sumë

më e madhe se amplituda e lëkundjeve të lavjerësit dhe ngritjet vertikale janë shumë

më të vogla se amplituda e lëkundjeve për lëkundje të vogla), mund të konsiderojmë

se lëvizja e trupit kryhet në planin horizontal XY (drejtimi X sipas meridianit të Tokës

me kahe për nga veriu dhe drejtimi Y sipas paralelit për nga perëndimi, në hemisferën

e veriut). Duke shënuar Ω vektorin e shpejtësisë këndore të rrotullimit 24-orësh të

Tokës (Ωy = 0, Ωx = Ω·cosλ, Ωz = Ω∙sinλ) , ekuacionet e lëvizjes shkruhen në trajtën:

yxx z 22 dhe xyy z

22

ku ω është frekuenca e lëkundjeve të vogla të lavjerësit, pa marë parasysh rrotullimin

e Tokës. Duke shumëzuar ekuacionin e dytë me njësinë imagjinare i =√-1 dhe duke i

mbledhur të dy ekuacionet anë për

anë, gjejmë një ekuacion për madhësinë

komplekse:

ξ = x + i·y , 02 2zi .

Zgjidhja e këtij ekuacioni, për Ωz << ω (fekuenca e rrotullimit 24 orsh të Tokës

është shumë më e vogël se frkuenca e lavjerësit), është:

tititieAeAe z

21 ,

Termi më kllapa është zgjidhja e ekuacionit të lavjerrësit të “paperturbuar”

02 . Duke e shënuar këtë zgjidhje me ξ0 = x0 + i∙y0, gjejmë zgjidhjen për

lavjerësin e “perturbuar”:

00 yixeyixti z ,

ku funksionet x0(t), y0(t) japin trajektoren e lavjerrsit pa marë parsysh rrotullimin e

Tokës. Ndikimi i rrotullimit të Tokës, sillet kështu në rrotullimin e trajektores rreth

vertikales me shpejtësi këndore Ω = Ω∙sinλ.

251

Përgjigjet e Kapitullit VII

VII.1. a) 2 2 21

, ,2

x y zH p p p U x y zm

;

b)

22 2

2

1, ,

2r z

pH p p U r z

m r

j j ;

c) ,,sin2

122

2

2

22 rU

r

p

r

pp

mH r

VII.2. Zgjidhje

Lagranzhiani i grimcës në sistemin e referimit që rrotullohet me shpejtësi këndore ,

është: L = 2

2mv m v [ r] +

2

m[ r]

2 - U(r, t),

Që nga gjejmë implsin vejtorial:

p = ∂L/∂v = mv + m∙[Ω × r] , që nga v = p/m – [Ω × r]

Hamiltoniani në kordinata karteziane është:

H = p∙v – L = p·( p/m – [Ω × r]) -2

m( p/m – [Ω × r])

2- m (p/m – [Ω × r]) [ r]

- 2

m[ r]

2 + U(r, t) = p

2/(2m) - p·[Ω × r] + U

Duke ndryshuar renditjen e produktit skalar me atë vektorial tek produkti i përzier

(termi i dytë i barazimit), gjejmë:

H = p2/(2m) - Ω·[r × p] + U

VII.3.

2 2 230

2 22 1

p xH x

x

wa

b Kur lëkundjet janë të vogla (|α∙x | << ω0

2,

|β∙x| << 1), gjejmë:

2 2 23 2 2 2 20 2 ....

2 2

p xH x x p x p

wa b b

Me saktësinë deri te kufizat lineare në lidhje me α dhe β, duket se shtesa e

hamiltonianit ndaj hamiltonianit të oshilatorit harmonik, është e lidhur me shtesën e

funksionit të Lagranzhit me relacionin δH = - δL.

VII.4. a)

22 22

2 2 2 2

r zpp a p

H p a rj

j .

b)

22

3 2; ; ; 0; ; 0r r z z

p pr p p a r p z p p

r r

j jjj .

252

VII.5.

22

2 2 2cos

2 2 sin

ppH mga

ma ma

jq qq

;

2

3

2 3

cos

sin sin

h

gm a

q

qq q ; 0 ; ku

h = pφ –një konstante

VII.6. Zgjidhje

Hamiltoniani në kordinata polare (r, φ), që përputhet me energjinë e plotë E dhe është

integral lëvizjeje, shkruhet:

22

2 2

cos

2 2

rpp k

H Em m r r

j j

Nga ekuacionet e Hamiltonit (m=1) , gjejmë:

r rr

Hr p r p

p ,

2

3 3

cos2r

pH kp

r r r

j j;

2 2 2

3 3 2 2

2 cos 2 cos 2

22

rp pk k p

r Er rr r r r

j jj j

2

2 2

rr r pE ose

22

2rE

rr . Ekuacioni diferencial Errr 22 , zgjidhet lehtë po të shkruhet

në formën: Edt

rrd2

. Duke patur parasysh edhe kushtet fillestare, zgjidhja e këtij

ekuacioni është: tErr 2 . Ky ekuacion mund të integrohet me anë të ndarjes së

variablave:

0

2 2 20

0

2 2 2

r t

r

r dr E t dt r dr E t dt r r E t

Që nga del rezultati i kërkuar:

2 20

2

r rt

E

VII.7. x = a∙cos(ω∙t + φ), ku ω = ω0∙(1 + 2∙λ∙E0) ;

2 2 20

02 2

p xE

w = konst.;

a dhe φ përcaktohen nga kushtet fillestare.

VII.8. L = (v – a)2/2.

VII.9.a)

2 2

020

cos22

p mvH mg r v t

m r v t

q q ,ku r0 – konstante.; b) jo,jo.

VII.10.

22 2

2 2 2, , , , cos

2 2 2 sin

pm r pH p p t mgr

mr mr

jqq jq j q

q,

253

ku r = r(t) është e njohur; kufiza 2

2rm mund të hiqet pasi nuk ndikon në ekuacionet e

lëvizjes, por hamiltoniani nuk përputhet me energjinë e plotë.

VII.11. 2 2 21 2 3 2 1 1 2

1

2H p p p U x p x p

mw w .

VII.12. 02441 322 rArgrrrr , ku 2rA konst.

VII.13. 22122 ,0 pqbaqp , 011

221 qkbpq

VII.14. a) {M1, M2} = - M3 ; {M3, M1} = - M2 ; {M2, M3} = - M1.

{M1, M} = {M2, M} = {M3, M} = 0 ; {M1, M2} = {M2, M

2} = {M3, M

2} = 0.

VII.16 a) {a p , b r} = a·b ; b) {a M , b r}= - [a × b]·r ; c) {a·M, b·M} = - [a ×

b]·M; d) {M , r p} = 0; e) {p, rn} = n·r

n-1·r ; f) {p , (a r)

2} = 2a·(a·r)

VII.18. Zgjidhje

Për madhësiat që nuk varen shtjellazi nga koha siç është edhe momenti i impulsit M,

derivati i plotë kohor i tyre, jepet nëpërmjet kllapave të Pusonit: dt

dM = {H, M}

Llogarisim kllapat e Puasonit të hamiltonianit me hamiltonianin:

{H, M} = { - B M + m

p

2

2

, M} = - {B M, M} +m2

1{p

2, M}.

Termi i parë, pasi kryejmë veprimet (shfrytëzojmë edhe rezulatatet e ushtrimit

VII.2.1, dhe B konsiderohet konsatnt), gjejmë:

{Bx∙Mx+ By∙My +Bz∙Mz , Mx∙i + My∙j +Mz∙k}= (Bz∙My – By∙Mz}∙i + (Bx∙Mz – Bz∙Mx}∙j +

(By∙Mx – Bx∙My}∙k = - [B × M].

Termi i dytë del: { xMp ,2 }∙i +{ yMp ,2 }∙j+{ zMp ,2 }∙k

dhe seicili prej të tri termave është i njëjëtë me:

2 2 2, , , 2 , 2 2 0

z yxx x y x z x x x x x x

yp zpMp M p M p M p p M p p

x x,

prandaj i gjithë termi i dytë: m2

1{p

2, M}=0 dhe mbetet:

{H, M} = - γ · [B × M] dhe dt

dM =- γ · [B × M] .

ky ekuacion tregon se vektori M preceson rreth drejtimit të fushës magnetike B me

shpejtësi këndore: Ω = γ·B

VII.20. Zgjidhje

a) Derivati i plotë kohor i funksionit f(p1, q1), i cili nuk varet shtjellazi nga koha,

jepet: df/dt = {H(f(p1, q1), p2, q2, ...ps, qs , f(p1, q1)}=

1

s

i i i ii

H f H f

p q q p

254

011111111 p

f

q

f

f

H

q

f

p

f

f

H

p

f

q

H

q

f

p

H ,

Pra f(p1, q1) është integral lëvizjeje. Ky rezultat mund të përgjithësohet edhe kur

funksioni f është funksioni i dy çifteve të variablabe: f(p1, q1, p2, q2), tre çifeve, etj.

b) Në kordinata sferike r, θ, φ (ku boshti polar zgjidhet sipas vektorit konstant a),

hamiltoniani i sistemit shkruhet:

222

2 2 2 2

1 cos

2 sinr

pp aH p

m r r r

jJ q

J

Varësia e hamiltonianit nga variablat θ, pθ , φ, pφ , shprehet nëpërmjet funksionit:

22

2( , , , ) 2 cos

sin

pf p p p ma

jq j qq j q

q,

2

2

1

2r

fH p

m r

Pra, veç integralit të lëvizjes që ëshët energjia e plotë ose hamiltoniani i sistemit,

integral tjetër i lëvizjes është edhe madhësia:

22

22 cos

sin

pp ma

jq q

q

VII.22. Zgjidhje

Llogarisim kllapat e Puasonit:

{Q, Q}p,q = {p2 + q, p

2 + q} = 0 , po ashtu edhe {P, P} =0,

{P, Q}p,q = {p + t, p2 + q}= {p, p

2} + {p, q} + {t, p

2} + {t, p} = {p, q} = 1

Pra, transformimi është kanonik. Prandaj mund të gjejmë një funksion gjenerues,

diferenciali i të cilit është:

dtHHdQPdqpdtHHdQPdqpdFj

jjj

jj )'()'( .

Për një çast të fiksuar t0 ky diferencial është: 2

0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) 2 ( )dF q p t p dq P q p t dQ q p t p dq p t d p q t dq p p t dp

Duke integruar këtë barazim sipas variablave p dhe q, nga pika (q0, p0) në pikën (q,

p), gjejmë: 3 2

0 0 0 0 0 0 0

2( , , ) ( . , )

3F q p t q t p p t f q p t ,

ku f(q0, p0, t0) është një funksion i çfardoshëm i variablave q0, p0, t0. Duke vendosur t

= t0, gjejmë: 3 2

0 0 0

2( , , ) ( . , )

3F q p t q t p p t f q p t .

VII.24. c2 = m∙ω; P = A; Q = B, ku A dhe B janë konstante.

VII.25.q1 = A·t + B, q2 = - t2 + C∙t + D; ku A, B, C, D, janë konstante dhe t –koha.

VII.26. F3(p, Q, t) = - p∙Q + t∙ep; F2(q, P, t) = q∙P + t∙e

P; F1(q, Q, t) = (Q – q)∙{1 –

ln[(Q – q)/t]}; H’ = Q + eP.

VII.27. 2 2

arcsin 222

c q c qF Q Q c q

Q

255

VII.28. Zgjidhje

Nga barzimet që paraqesin transformimin, gjejmë:

22 2 2 2

2; ( , , ) ; ( , , ) arcsin

p qQ q p q Q t Q q P q Q t Q t Q

Qw w w

w.

Funksioni i transformimit F(q, Q, t) , për një çast të fiksuar t0 , kënaq barazimin:

dF(q, Q, t0) = p(q, Q, t0)∙dq - P(q, Q, t0),

dF(q, Q, t0) =2 2 2

0 arcsinq

Q q dq Q t Q dQQ

w w w

Duke integruar këtë barazim dhe duke zevendësuar t0 me t, gjejmë:

2 2 2 2 21 1

( , , ) arcsin2 2

qF q Q t q Q q Q Q t

Qw w

Pasi zevendësojmë këtë shprehje të F në barazimin: H’ = H + ∂F/∂t, gjejmë: H’ = 0.

Nga ekuacionet 0'

P

HQ dhe 0

'

Q

HP , gjejmë: Q = A , dhe P = B,

ku A dhe B janë konstante. Duke zevendësuar këto shprehje të P dhe Q në barazimet

që shprehin transormimin, gjejmë: q = A∙sin(ω∙t – C) ; p = Aω∙sin(ω·t – C).

VII.29. b) Q1 = A, Q2 = B, P1 = C, P2 = - t + D, ku A, B, C, D janë konstante

që përcaktohen nga kushtet fillestare të sistemit.

VII.30. Zgjidhje

a) “Vëllimi” në hapësirën fazore nuk ndryshon, kurse forma ndryshon nga

katërkëndësh këndrejtë në paralelogram, i cili sa vjen e bëhët më i shtrirë e më i

ngushtë. (zgjatet sipas njerës brinjë dhe ngushtohet sipas tjetrës).

b) “Vëllimi” fillestar është në formë katërkëndëshi këndrejtë 0≤ x ≤ L (sa është

përmasa e enës) dhe p0 - ∆p0 ≤ p ≤ p0 + ∆p0 sipas boshtit të impulseve. Pas një kohe

shumë të gjatë, “vëllimi” shndrohet në një seri brezash të ngushtë të shpërndar

njëtrajtësisht midis dy katërkëndshave këndrejtë: 0≤ x ≤ L , - p0 - ∆p0 ≤ p ≤ - p0 dhe

0≤ x ≤ L , p0 ≤ p ≤ p0 + ∆p0.

c) Trajektorja fazore për oshilatorët me energji E dhe frekuencë ω është elipsi:

2 2

2 2

x p

a b , ku

2

2

m

Ea dhe

m

Eb

2.

Të gjitha pikat e “vëllimit” fazor lëvizin sipas elipsave të tillë, të afërt me njeri tjetrin

me periodë T = 2π/ω. “Vëllimi” nuk ndryshon me kohën, por përmaqsat e tij lineare

∆x dhe ∆p, pulsojnë me kohën me frekuencë 2ω.

d) Le ta zemë se ekuacionet e lëvizjes janë:

x = f(x0, p0, t) ; p = g(x0, p0, t) (1)

Meqë numri i grimcave që të sistemit, që kryejnë lëvizje të njëjtë, nuk ndryshon,

atëhere kemi:

w(x, p, t)∙dx∙dp = w(x0, p0, 0)·dx0·dp0 .

Nga teorema e Liuvilit del se:

256

w(x, p, t) = w(x0, p0, 0) (2)

Duke shprehur nga barazimet (1):

x0 = f-1

(x, p, t) dhe p0 = g-1

(x, p, t),

dhe duke i zevendësuar në barazimin (2), gjejmë:

w(x, p, t) = w[f-1

(x, p, t), g-1

(x, p, t)]. (3)

Për grimcat e lira, kemi:

f(x0, p0, t) = x0 +

(p0/m)∙t dhe g(x0,

p0, t) = p0.

Që këtej del se:

p0 = p dhe x0 = x

- (p0/m)∙t ;

dhe duke

zevendësuar te

shpërndrja

fillestare, gjejmë:

2 22 20 0

2 2 2 2 20 0 0 0

( , , ) exp2 2

x x x x p t p pp tw x p t A

x m x m x p (4)

Për oshilatorët harmonikë, kemi:

f(x0, p0, t) = x0cosωt + (p0/mω)sinωt

g(x0, p0, t) = - mωx0sinωt + p0sinωt ,

që nga del:

x0 = xcosωt - (p/mω)sinωt

p0 = mωxsinωt + psinωt .

Duke zevendësuar tek shpërndarja fillestare, gjejmë:

2 2 20 0

2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 2 20 0

2 2 20 0 0

cos sin sin cos

2 2( , , ) exp

cos sin 2 sin cos

x t x p t p t x t x

x m x m xw x p t A

p t p m x t m x t p t p

p p p

w w w w

w w

w w w w w w (5)

Në fig. VII.30.z tregohet se si zhvendosen dhe deformohen zonat në hapësirën fazore

me w(x, p, t) ≥ ½ : a) për grimcat e lira dhe b) për oshilatëorët harmonikë. Qendrat e

tyre zhvendosen me po atë ligj (1) si edhe grimcat. Në rastin e grimcave të lira, elipsi

zgjatet dhe ngushtohet pa kufi, ndërsa në rastin e oshilatorëve harmonikë, elipsi

pulson (përmasat e tij sipas x dhe p ndyshojnë harmonikisht).

VII.31. a) p = t + β ; q = (t + β)2 – α. b) q = t + β ; p = - a∙t

2 – 2a·β∙t + α.

x0 x

p0

a)

x

p

b)

Fig. VII.30.z

257

VII.32. Integrali i plotë i ekucionit H-J si funksion i variablave u, v, t (koha) dhe

konstanteve të pavarura α dhe E (energjia), del:

S(u, v, E, α, t) = 2 2 2 2 2 2

mE km mE kmE t du dv

u u v v

a a.

Ekuacioni i tajektores gjendet nga barazimi: ∂S/∂α = β , ku β është një konstante

tjetër e çfardoshme.

VII.33. Zgjidhje

Hamiltoniani i grimcës në fushë qendrore (r, φ), në kordinata polare, shkruhet:

22

2( )

2 2

rpp

H U rm mr

j, ku pφ = M (moenti i impulsit)

Ekuacioni i H-J për veptimin e shkurtuar është:

220 0

2

1 1( )

2

S SU r E

m r r j,

Meqë φ është kordinatë ciklike, veprimi si integral i plotë, shkruhet:

S = S0 - E∙t = Sr + pφ·φ - E·t = Sr + M·φ - E·t

Duke zevendësuar veprimin te ekuacioni H-J, gjejmë ekuacionin diferencial të

zakonshëm për funksionin e panjohur Sr:

2 2

2

1( )

2 2

rdS MU r E

m dr mr, zgjidhja e

të cilit gjendet lehtë:

2

22 ( )r

MS m E U r dr

r, dhe veprimi i plotë del:

2

22 ( )

MS m E U r dr M E t

rj

Ekuacioni i trajektores gjendet nga barazimi: ∂S/∂M = β , ku β një konstante e

çfardoshme. Që nga del:

2

2

22

Mdr

r

Mm E U

r

j b , ose 2

02

22

Mdr

r

Mm E U

r

j j .

258

VII.34.

21 2 1 1 2 1 1

22 1 2 2 2

( , , , , ) 2 cosh 2 ( )cosh

2 cosh 2 ( )cosh

S q q E t E t mE q m A A q dq

mE q m A A q dq

a a

a

Ekuacioni i trajektores gjendet nga barazimi:S

, ku α dhe β dhe energjia E janë

konstante.

VII.35.

1/ 22

2 32 3 3 2

1/ 22

2 3

( , , , , , , )4 2 2 4

4 2 2 4

AmBm mES E t Et d

Bm mE Amd

ax ax h j a a a j x

x x

h a ah

h h

ku E është energjia e grimcës konstante, α2 , α3 janë konstante.

VII.36.a)

Et

drr

rfEmdmgtErS

3

2/1

2

22/1

2

23

232

)(2

sin)(2),,,,,,(

b)Lëvizja është plane. Në ekuacionin H-J, variablat ndahen në qoftëse përdoren

kordinatat polare, me bosht polar OZ sipas vektorit a. Integrali i plotë i ekuacionit H-J

mund të gjendet nga integrali i mëparshëm, duke vendosur f(r) = 0, g(θ) = a∙cosθ, dhe

α3 = 0, α2 = α;

2

2 cos 2S E t ma d mE drr

aa q q (1)

Impulset e përgjithësuar janë:

2

2r

Sp mr mE

r r

a, (2)

2

2 cosS

p mr maq q a qj

. (3)

Supozojmë se grimca e fillon

lëvizjen mbi boshtin OZ, atëhere

në fillim të trajektores (fig.

VII.36z) kemi: 0r dhe

0 . Në integralin e plotë (1) të

ekuacionit H-J, shenja tek termi i

dytë duhet marre (+) ndersa tek

para tek temi i tretë duhet marrë ρ

K

Z

N

M

L

θmin

O

θmax

Fig. VII.36.z

259

shëna (-). Ekuacioni i trajektores gjendet nga barazimi S

. Duke derivuar

shprehjen (1), e duke e barazuar me nje konstante , gjemë:

r

r

rmEr

dr

ma

d

002

cos2 2

(4)

Duke zgjedhur θ0 = 0 dhe r0 = ∞, meqë për θ→ 0 , r → ∞ atëhere del β = 0.

Konstantja α është një integral i lëvizjes që gjendet nga barazimi (3) duke

zevendësuar në të kushtet fillestare: për θ→ 0 dhe r → ∞, pθ = m∙v∙ρ ku ρ është

parametri i goditjes (fig. VII.35.z); dhe aEmmap 22 2cos2 . Për të

gjetur pikën e kthimit: 0;0 rpr barazojmë me zero shprhjen (2) dhe gjejmë:

E

a

mErm

2

2. Gjatë ndryshimit të r nga ∞ deri në pikën e kthimit, θ

ndryshon nga 0 deri në θmin , ku θmin gjendet nga barazimi:

0

2cos2

minmin

20

r

rmEr

dr

ma

d (5)

Më tej, me rritjen e këndit θ , pr ndryshon shenjë: 0,0 r , prandaj ekuacioni i

pjesës LM (fig. VII.35.z) të trajektores, është:

0

2cos2 minmin 2

r

r

rmEr

dr

ma

d (6)

Duke mbledhur barazimet (5) dhe (6), gjejmë ekuacionin e të gjithë trajektores:

0

22cos2 minmin 220

r

rr

rmEr

dr

rmEr

dr

ma

d (7)

Për r → ∞ , trajektorja i afrohet asimtotikisht drejtëzës ON (fig. VII.26.z). Këndi θmax

përcaktohet nga barazimi:

min

max

2

2cos2 20 r

rmEr

dr

ma

d (8)

Varësia kohore r(t) gjendet nga barazimi ∂S/∂E = A – konstante. Duke zgjedhur

konstanten A të tillë që r(0) = rmin, gjejmë:

E

at

m

Ert

m

Er m

2222 22 (9)

Me rritjen e parametrit të goditjes (E∙ρ2>>a) nga barazimi (8) duket se: θmax → π, pra

shmangia e grimcës, pas shpërhapjes në fushën e dhënë, është zero.