Memoformule Za Termodinamiku

Veleučilište u Varaždinu

MEMOFORMULE

TERMODINAMIKA

Student: Željko Posavec

Matični broj: 1704/601

Smjer: Proizvodno strojarstvo


Status: Redovni

1. OSNOVNE FORMULE

Normalno stanje:

Dogovorom je usvojeno, da se kao normalno stanje smatra ono, kod kojeg je temperatura jednaka 0 ºC a atmosferski pritisak od 101325 Pa.

Volumen:

v = V/m (m3/kg) - specifični volumen

ρ = 1/v = m/V (kg/m3) - gustoća

Jednadžba stanja idealnih plinova:

pv = RT - za 1 kg plina

pV = mRT - za m kg plina

pV = ℜT - za 1 kmol plina

pV = NℜT - za N kilomola plina

Loschmidtov broj:

NL = 6,022 * (molekula/kilomolu)

Veza individualne i opće plinske konstante:

R = ℜ/M (J/kgK)

Volumen 1 kilomola idealnog plina kod normalnih uvjeta:

vm = 22,41 ( /kmol)

Normni kubni metar:

1 ( ) = 1/22,41 (kmol) = M/22,41 (kg)

Temperature:

- temperatura u

2


T - temperatura u K

Specifična toplina:

c - specifična toplina svedena na 1 kg

C - specifična toplina svedena na 1 kmol

C' - specifična toplina svedena na

- specifična toplina kod konstantnog tlaka (na 1 kg plina)

- specifična toplina kod konstantnog volumena (na 1 kg plina)

Relacije:

= + R - za 1 kg plina

= + ℜ - za 1 kmol plina

= + ℜ/22,41 - za 1 plina

= cP / cv = CP / Cv = CP '/ Cv '

= * M

= * M

Srednja specifična toplina:

=

Za srednju specifičnu toplinu vrijede sve iste relacije koje vrijede i za specifičnu toplinu ( ,

, , .

3


2. KRUŽNI PROCESI

SPECIJALNE POLITROPE

Za sve slučajeve vrijedi: ℜ= NmR ; vv NCmc = ; pp NCmc =; 1212 ϑ−ϑ=− TT

Stanja idealnog plina 1 T1, p1, V1

2 T2, p2, V2

Jednadžbe stanja

111 mRTVp =

222 mRTVp =

Jednadžba promjene stanja

.konstpV n =

nn VpVp 2211 =

..............................................

1

2

1

1

1

2

1

2

−−

=

=

nn

n

V

V

p

p

T

T

Bilanca energije: I. ZAKON

121212 WUQ +∆=

( )1212 TTmcU v −=∆

( ) ( )∫∫ ==

2

1

2

1

12 dvvpmdVVpW

4


1. IZOHORA Promjena stanja pri konstantnom volumenu V1 = V2 = V

Stanja idealnog plina1 T1, p1, V2 T2, p2, V

Jednadžbe stanja

11 mRTVp =

22 mRTVp =

1

2

1

2

T

T

p

p =

Promjena stanja

.konstpV n = p = 0 : n = + ∞ p = ∞ : n = – ∞

Eksponent izohore: n = ± ∞

V = konst. → dV = 0

02

1

12 == ∫ pdVW

( ) 01212 ≠−=∆ TTmcU v

01212 ≠∆= UQ

( ) 01

21212 ≠=−=∆

T

TlnmcssmS v

TSTS

TSTS T

Q

T

QS 12−==∆

Q 1 2> 0

Q 1 2= ∆ U 1 2

W 1 2 = 0

1

V = k o n s t .

2

Q 1 2< 0

p

v ,m 3 / k g

T

s ,J / ( k g K )

n =

p 2

2

s 1v 1 = v 2

T 2

v 1=

v 2

s 2

KN / m2

p 1

1

1

2

T 11

2p 2

p 1

w 1 2 = 0 q 1 2 = c v (T 2 - T 1 )

( ) 02

1

12 >= ∫ dssTq

O S

5


2. IZOBARA Promjena stanja pri konstantnom tlaku p1 = p2 = p

Stanja idealnog plina1 T1, p, V1

2 T2, p, V2

Jednadžbe stanja

11 mRTpV =

22 mRTpV =

1

2

1

2

T

T

V

V =

Promjena stanja

.konstp =

Eksponent izobare: n = 0

( ) 012

2

1

12 ≠−== ∫ VVppdVW

( ) 01212 ≠−=∆ TTmcU v

121212 WUQ +∆=

( ) 01

21212 ≠=−=∆

T

TlnmcssmS p

TSTS

TSTS T

Q

T

QS 12−==∆

W 1 2> 0

2

1p 1 = p 2

Q 1 2> 0

p

v ,m 3 / k g

T

s ,J / ( k g K )

n = 0

2

s 1v 2

T 2

s 2

KN / m2

p

1

1 2

T 11

2

p 1 = p 2

w 1 2 = p ( v 2 - v 1 ) > 0 q 1 2 = c p (T 2 - T 1 ) > 0

v 1

v 2

v 1

∫=2

1

12 dvpw

( )∫=2

1

12 dssTq

O S

M Sp 0

6


3. IZOTERMA Promjena stanja pri konstantnoj temperaturi T1 = T2 = T

Stanja idealnog plina1 T, p1, V1

2 T, p2, V2

Jednadžbe stanja

mRTVp =11

mRTVp =22

2

1

1

2

V

V

p

p =

Promjena stanja .konstT =

pVVpVp == 2211

Eksponent izoterme: n = 1

02

12

1

12 ≠== ∫ p

plnmRTpdVW

( ) 01212 =−=∆ TTmcU v

1212 WQ =

( )T

Q

p

plnmRssmS 12

2

11212 ==−=∆

TSTS

TSTS T

Q

T

QS 12−==∆

2

1T 1 = T 2

Q 1 2 = W 1 2

Q 1 2> 0

W 1 2> 0

∆ U 1 2 = 0

p

v ,m 3 / k g

T

s ,J / ( k g K )

n = 1

s 1v 2 s 2

KN / m2

p 2

1 = 2

1

2

T1 2

w 1 2 = R T l n( v 2 / v 1 ) > 0 q 1 2 = T (s 2 - s 1 ) > 0v 1

v 1

p 1

p 1 p 2v 2

( )∫=2

1

12 dvvpw∫=2

1

12 dsTq

p 0

O S

M S

7


4. IZENTROPA (reverzibilna promjena)Promjena stanja pri konstantnoj entropiji S1 = S2 = S : bez izmjene topline Q12 = 0

Stanja idealnog plina1 T1, p1, V1

2 T1, p1, V2

Jednadžbe stanja

111 mRTVp =

222 mRTVp = Promjena stanja .konstS =

.konstpV =κ

κκ = 2211 VpVp

Eksponent izentrope:

1>κ==

v

p

c

cn

1

2

1

1

1

2

1

2

−κκ−κ

=

=

V

V

p

p

T

T

0

2

1

12 == ∫TdSQ

( ) 01212 ≠−=∆ TTmcU v

1212 UW ∆−=

- W1 2= ∆ U 1 2

2

1

p 2 > p 1

W 1 2< 0

Q 1 2= 0

p

v ,m 3 / k g

T

s ,J / ( k g K )

n =

s 1 = s 2v 2

KN / m2

p 2

2

1

2

T 2

1

2

w 1 2 = c v ( 1 - 2 ) < 0 q 1 2 = 0

v 1

v 1

p 1

p 1

p 2

v 2

T 11

p 0

M S

8


5. OPĆA POLITROPA

Jednadžba politrope: .konstpV n =+∞≤≤∞− n

( )1212 TTmcU v −=∆

( )2112 1

TTn

mRW −

−=

, (osim izoterme)

( )1212 TTmcQ n −= , (osim izoterme)

1−κ−=

n

ncc vn

n = =

Promjena entropije, ( )121212 ssmSSS −=−=∆ : (po bilo kojoj relaciji)

ℜ−=

−=∆

1

2

1

2

1

2

1

212 p

pln

T

TlnCN

p

plnR

T

TlncmS pp

ℜ+=

+=∆

1

2

1

2

1

2

1

212 v

vln

T

TlnCN

V

VlnR

T

TlncmS vv

+=

+=∆

1

2

1

2

1

2

1

212 v

vlnC

p

plnCN

V

Vlnc

p

plncmS pvpv

9


Promjena entropije toplinskog spremnika TS

TSTS

TSTS T

Q

T

QS 12−==∆

(TS = OS, ili TS = RS)

Ukupna promjena entropije sustava (RM + TS)

TSSSS ∆+∆=∆ 12

Teorijski gubitak zbog nepovratnosti izmjene topline

STW ∆=∆ 0

K O M P R E S I J A

p

v ,m 3 / k g

T

s ,J / ( k g K )

1 < n <

KN / m2

11

v1

p 1 T 1

s1

1 < n <

n =0

n = 1

n =

n =± ∞

n =0

E K S P A N Z I J A

n = 0

n =± ∞n =

n =± ∞

n =1n =1

+ v

- vK O M P R E S I J A

E K S P A N Z I J A

G R I J A N J EH L A Đ E N J E

G R I J A N J E

H L A Đ E N J E

q =0

q =0 w =0

w =0

p 1

v 1

ϑ 1

E

K

n =

10


Kod kružnih procesa moraju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti:

Predznaci kod kružnih procesa:

• Dovedeni rad (-)• Odvedeni rad (+)• Dovedena toplina (+)• Odvedena toplina (-)

Termički stupanj djelovanja ciklusa:

= = = 1 - 1

11


3. MIJEŠANJE PLINOVA

Ukupna količina mješavine:

N1 + N2 + N3 + … + Ni = N (kmol)

N = m/M (kmol)

Ukupni volumen:

V1 + V2 + V3 + … + Vi = V ( )

Za svaki pojedini sudionik vrijedi jednadžba stanja prije miješanja:

p1 V1 = m1 R1 T1 ili p1 V1 = N1 ℜ1 T1

Tako i poslije miješanja:

p1' V = m1 R1 T ili p1' V = N1 ℜ T

Maseni udio pojedinog plina:

12


Individualna plinska konstanta mješavine:

R =

R =

Ukupna temperatura mješavine:

∑∑=

ivi

ivii

CN

TCNT

Ako svi plinovi, koji se miješaju, imaju istu vrijednost κ onda ime je svima ista i

specifična toplina Cvi pa vrijedi izraz:

iii

ii TrN

TNT ∑∑

∑ ==

Pritiisak mješavine možemo odrediti prema Daltonovom zakonu:

p = p1' + p2' + …+ pn'

Uz poznati pritisak mješavine p mogu se parcijalni pritisci pojedinih plinova izračunati jednostvnije :

pi' = ri p = pN

N i

Promjena entropije za pojedini n-ti plin N kmol-a plina:

Sn' – Sn= Nn

ℜ−

n

n

npn p

p

T

TC

'ln*ln*

Ukupan prirast entropije:

13


ΔS =

Gubitak rada prilikom mješanja:

14


4. MIJEŠANJE PLINSKIH STRUJA

Ukupna količina u jedinici vremena:

N = N1 + N2 + … + Nn [kmol/s]

Volumenski udio pojedinog plina:

Parcijalni tlak pojedinog plina u mješavini:

pi' = ri p= pN

N i

p – tlak pod kojim se odvodi mješavina

Temperatura mješavine plinova:

T = ∑∑

Pii

iPii

CN

TCN ili T = ∑

∑Pii

iPii

Cr

TCr

Ako svi plinovi imaju istu vrijednost , odnosno iste specifične topline onda slijedi da je temperatura mješavine:

15


T = iii

ii Trr

Tr ∑∑∑ =

Volumen nastale mješavine slijedi iz jednadžbe stanja:

V = p

TNℜ

Promjena entropije i-tog sudionika, koji je prije miješanja imao pritisak pi i temperaturu Ti , a nakon miješanja parcijalni pritisak pi' i temperaturu T iznosi:

Si' – Si = Ni (CPi lni

i

i p

p

T

T 'ln*ℜ− ) (4.101.)

a ukupna promjena entropije za svih n plinova:

ΔS = ( ) =−∑ ii SS ' ∑ Ni CPi lni

i

i p

p

T

T 'ln*ℜ−

Gubitak rada (snage) prilikom mješanja:

- temperatura okoline

16


5. GUBITAK RADA, MAKSIMALNI RAD,

TEHNIČKI RAD, TEHNIČKA RADNA SPOSOBNOST

1. Gubitak rada

- temperatura okoline

2. Maksimalni rad

Wmax = U1 – U2 – To (S1 – S2) + po (V1 – V2)

U1 – U2 = m * * (T1 – T2) (kJ) - za m kg

plina

To (S1 – S2) = To * m * (kJ) - za m kg plina

po (V1 – V2) napomena: volumene izračunati po jednadžbama stanja

3. Tehnički rad (stalnotlačni proces)

Rad kod kojeg se punjenje i pražnjenje cilindra vrši kod konstantnog pritiska. Takav rad je n

puta veći od politropskog:

Wteh = n * Wn

Tako je za:

Izobaru, (n = 0), Wteh = 0

Izotermu, (n = 1), Wteh = Wt = pV * 1n 2

1

p

p

Adijabatu, (n = æ ), Wteh = æ Wad =

−

−

−κ

κ

κκ

1

1

211 11 p

pVp

izohoru, ( n = ∞ ), Wteh = V (p1 – p2)

17


Za opću politropu, Wteh =

−

−

−n

n

p

pVp

n

n1

1

211 1

1

4. Tehnička radna sposobnost (eksergija)

Najveći mogući tehnički rad. Isto kao i maksimalni rad, ali imamo neograničene količine plina

(protoke).

e = h1 – h2 – T0 (s – s0)

h1 – h2 = - za 1 kg plina

h1 – h2 = - za m kg plina

T0 (s – s0) = To * m * - za m kg plina

T0 (s – s0) = To * - za 1 kg plina

18


6. ISPARIVANJE I UKAPLJIVANJE

Dovedena i odvedena toplina:

Q = h1 – h2 - za 1 kg pare

Q = m * (h1 – h2) - za m kg pare

Sadržaj pare:

x = m

m '' [kg/kg]

x = '''

'

vv

vv

−−

[kg/kg]

x = '''

'

ss

ss

−−

[kg/kg]

Jedinica: kilogram suhozasićene pare po kilogramu mokre pare

Volumen mokre pare:

v = (1 – x) v' + x v'' = v' + x (v'' – v') [m3/kg]

Entalpija mokre pare:

h = h' + x (h'' – h') = h' + x r [J/kg]

Unutarnja energija mokre pare:

u = h' + x (h'' – h') – p [ v' + x (v'' – v')]

odnosno

u = h' – pv' + x [ (h''-pv'') - (h' – pv')] = u' + x (u'' – u')

19


Entropija mokre pare:

s = s' + x (s'' – s')

Entalpija pothlađenje kapljevine:

h = cw * (kJ/kg)

Termički stupanj djelovanja:

η =

20


7. VLAŽNI UZDUH

Sadržaj vlage vlažnog uzduha:

u

w

m

mx = (kgw/kgz)

Sadržaj vodene pare uzduha (ako je parcijalni tlak vodene pare u zraku manji od

pritiska zasićenja):

d

dd pp

px

−= 622.0

- najčešće atmosferski tlak 105 Pa

Sadržaj vlage u mješavini:

Relativna vlažnost zraka:

( )( )ϑϑϕ

s

d

p

p=

Molarna vlažnost:

dκu

d

u

d

n

n

p

p==

dκ = 1,61 xd

Sadržaj vlage za suhozasićenu vodenu paru:

( ) ( )( )ϑ

ϑϑs

ss pp

ppx

−= 622,0, - sadržaj vlage

( ) ( ) ( )( )ϑ

ϑϑϑκs

s

u

ss pp

p

p

pp

−==, - molarna vlažnost

21


Stupanj zasićenja:

s

d

x

x=χ

Specifični volumen vlažnog uzduha:

)622,0(5.4611 dx xp

Tv +=+

Specifična entalpija vlažnog uzduha:

a) Vlažni uzduh nezasićen

dx xh +=+ ϑ10051 ( )ϑ193010*2500 3 + [J/kg]

b) Zasićeni vlažni uzduh sadrži kapljevitu vlagu.

sx xh +=+ ϑ10051 ( )ϑ193010*2500 3 + + ( ) ϑ4187sxx − [J/kg]

c) Zasićeni uzduh sadrži kapljevitu i zaleđenu vlagu.

sx xh +=+ ϑ10051 ( )ϑ193010*2500 3 + + ( ) ϑ4187sxx − -

( ) )209010*334( 3 ϑ−−− vs xxx [J/kg]

Ako je g1 + g2 = 1 možemo masene udjele izraziti preko sadržaja vlage:

21

21 xx

xxg m

−−

=

21

12 xx

xxg m

−−

=

22


ili preko entalpijskih razlika:

( ) ( )( ) ( ) 2111

2111

xx

xmx

hh

hhg

++

++

−−

=

( ) ( )( ) ( ) 2111

1112

xx

mxx

hh

hhg

++

++

−−

=

Protočna masa pojedinog uzduha u mješavini:

m1 = g1 * m ili m1 = m – m2

m2 = g2 * m ili m2 = m – m1

Ukupna entalpija kod miješanja dviju struja:

h3 = g1 * h1 + g2 * h2

Dovedena ili odvedena toplina:

Q = m * (h2 – h1) - za m kg uzduha

Adijabatsko miješanje n-struja vlažnog uzduha:

( ) ( )

∑∑ +

+ =ui

ixui

mx

m

hmh

.

1

.

1 - specifična entalpija

∑∑=

ui

iui

m

m

xmx

.

.

- sadržaj vlage

23


8. PRIJENOS TOPLINE

Stacionarno provođenje topline kroz jednoslojnu ravnu stjenku

λδ

ϑϑ

A

ss 21 −=Φ

- toplinski tok

( ) xq

x s λϑϑ −= 1

Provođenje topline kroz višeslojnu ravnu stjenku

A=Φ3

3

2

2

1

1

41

λδ

λδ

λδ

ϑϑ

++

− ss

=

3

3

2

2

1

1

41

λδ

λδ

λδ

ϑϑ

AAA

ss

++

− - toplinski tok

∑=

+−=

n

i i

i

nssq

1

1,1

λδϑϑ

- gustoća toplinskog toka kroz n stijenki

AAq ==Φ ∑=

+−n

i i

i

nss

1

1,1

λδϑϑ

- toplinski tok

Prolaz topline kroz jednoslojnu ravnu stjenku (okolo fluid)

ba

baq

αλδ

α

ϑϑ11 ++

−=

- gustoća toplinskog toka

24


A=Φ=

++

−=

ba

baAq

αλδ

α

ϑϑ11

ba

ba

AAA αλδ

α

ϑϑ11 ++

− - toplinski tok

ba

k

αλδ

α11

1

++=

- koeficjent prolaza topline (W/m2K)

Prolaz topline kroz višeslojnu ravnu stjenku (okolo fluid)

ba

baq

αλδ

λδ

λδ

α

ϑϑ11

3

3

2

2

1

1 ++++

−=

- gustoća toplinskog toka

==Φ Aq

ba

baA

αλδ

λδ

λδ

α

ϑϑ11

3

3

2

2

1

1 ++++

− - toplinski tok

ba

k

αλδ

λδ

λδ

α11

1

3

3

2

2

1

1 ++++=

- koeficjent prolaza topline

Provođenje topline kroz jednoslojnu cilindričnu stjenku (cijev)

( ) ( )

1

21

21

1

11

lnR

RRR

CRq ss ϑϑλλ −

=−= - gustoća toplinskog toka na R1

( ) ( )

1

22

21

2

12

lnR

RRR

CRq ss ϑϑλλ −

=−= - gustoća toplinskog toka na R2

( )

1

2

21

ln

2

R

RL ss ϑϑλπ −

=Φ - toplinski tok za L metara

25


Toplinski tok se često izražava sveden na jediničnu dužinu:

( )

1

2

21

ln

2

R

RLss

L

ϑϑπ λ −=Φ=Φ

Provođenje topline kroz višeslojnu stjenku cijevi

( )

∑=

+

−=Φ

n

i i

i

i

ss

R

RL

1

1

41

ln1

2

λ

ϑϑπ - toplinski tok

Prolaz topline kroz jednoslojnu stjenku cijevi

( )

ba

ba

RR

R

R

L

αλα

ϑϑπ

21

2

1

1ln

112

++

−=Φ

- toplinski tok

ba R

R

R

RRk

αλα 2

1

1

211

ln1

1

++=

- za unutarnju stijenku

ba R

RR

R

Rk

αλα1

ln

1

1

22

1

22

++=

- za vanjsku stijenku

1

2

2

1

R

R

k

k=

26


Prolaz topline kroz n-slojnu cijevnu stjenku:

( )

bn

n

i i

i

ia

ba

RR

R

R

L

αλα

ϑϑπ

11

1

1

1ln

11

2

+=

+ ++

−=Φ

∑

bn

n

i

i

ia R

R

R

RR

k

αλα 1

1

1 1

11

1

ln11

1

+=

+ ++=

∑

Kritična debljina izolacije jednoslojno izolirane cijevi

b

ikritr

αλ

= - kritični radius

2Rrkritkrit −=δ - kritična debljina izolacije

( ) ( )

+++

−=Φ

1ln1

ln11

2

1

21

2

1

max

RR

R

R b

i

ia

baL

αλ

λλαπ

ϑϑ - maksimalni toplinski tok

27


9. KONVEKCIJA

( ) As ∞−=Φ ϑϑα - toplinski tok

A – površina plašta cijevi

- formula vrijedi ako je jednak po cijeloj površini

( )∞−=Φ= ϑϑα sAq

Veza između kinematičke i dinamičke viskoznosti:

ρµν =

28


10. FORMULE ZA ODREĐIVANJE KOEFICIJENTA

PPRIJELAZA TOPLINE

Empirijske formule izražavaju Nusseltov broj, Nu, kao funkciju karakterističnih bezdimenzijskih značajki: Reynoldsa (Re), Grashofa (Gr), Prandtla (Pr), Pecleta (Pe), Rayleigha (Ra) i dr. Ponekad se uzimaju u obzir neki posebni efekti, kao što su npr. oblikovanje profila brzine ili utjecaj temperature na fizikalna svojstva fluida.Bezdimenzijske značajke definirane su na slijedeći način:

Nu = αL/λ , značajka prijelaza topline; služi za dobivanje α.

Re = wL/ν , značajka oblika prisilnog strujanja( )

2

30

ss

s gLGr

νρρ−ρ=

, značajka slobodnog gibanjaPr = µcp/λ = ν /a, značajka fizikalnih svojstava

fluidaPe = RePr = wL/a Ra = Gr Pr

Sve veličine u gornjim značajkama odnose se na fluid (kapljevinu ili plin), uključujući i veličine prostora u kome se fluid nalazi. Pojedinačno značenje je:

• α, prosječni koeficijent prijelaza topline, W/(m2K), • w protočna brzina, m/s, • L opća oznaka za karakterističnu linearnu veličinu, m,• λ koeficijent vodljivosti topline, W/(mK),• ρ gustoća, kg/m3,• µ dinamička viskoznost, Ns/m2,• cp specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, J/(kgK),• ν = µ/ρ kinematička viskoznost, m2/s,• a = λ /ρ cp koeficijent temperaturne vodljivosti, m2/s.

Navedene bezdimenzijske značajke predstavljaju karakteristične konstante fizikalnog modela. Osim Nu broja, sve ostale značajke moraju biti poznate, tj. moraju biti zadani ili dostupni računu svi podaci koji su potrebni za njihovo određivanje. Većina tih podataka slijedi iz opisa promatranog fizikalnog modela. Fizikalna svojstva fluida smatraju se konstantnima, a njihove se vrijednosti određuju prema referentnoj temperaturi.

Ukoliko nije posebno naglašeno drukčije, sva fizikalna svojstva fluida treba uzeti prema prosječnoj temperaturi fluida, ϑ m, koja se definira kao aritmetička srednja vrijednost ulazne, ϑ 1, i izlazne, ϑ 2, temperature:

221 ϑ+ϑ=ϑm

. (1)

29


U inženjerskim proračunima koriste se formule za određivanje prosječne vrijednosti Nu broja na cjelokupnoj površini, A, prijelaza topline. Zatim se prosječni koeficijent prijelaza topline, α, određuje iz relacije:

NuL

λ=α. (2)

Izbor karakteristične linearne veličine, L, ovisi o promatranom modelu i geometriji strujanja.Fizikalni modeli koji su navedeni u nastavku spadaju u jednostavne i česte praktičke slučajeve. Podijeljeni su u dvije osnovne skupine, prema uzroku makroskopskog gibanja fluida: na prisilnu i slobodnu konvekciju, te prema obliku strujanja: na laminarno i turbulentno strujanje. U praksi se javljaju i kombinacije tih slučajeva koje ne ćemo razmatrati.

Kriterijske jednadžbe

Opća kriterijska jednadžba u kojoj se samo navode utjecajne značajke može se napisati u obliku relacije:

=

i

i

b

aPr,...,,GrRe,NuNu

, (3)

gdje je ai/bi formalna bezdimenzijska oznaka posebnih efekata, koji se u nekom slučaju moraju posebno uzeti u obzir, a nisu obuhvaćeni klasičnim značajkama. Slučajevi mješovite konvekcije za koje bi vrijedio opći oblik kriterijske jednadžbe (3) nisu razmatrani.

Slobodna konvekcija. Javlja se u svim slučajevima prijelaza topline, jer pojava temperaturnog polja unutar fluida dovodi do nejednolike razdiobe mase u prostoru, tj. polja gustoće. Pod utjecajem gravitacijskog polja uspostavlja se relativno gibanje čestica fluida (uzgon). Kako nema vanjskog uzroka gibanja govori se o mirujućem fluidu. Taj simbolički opis znači da ne postoji pojam protočne brzine, tj. w = 0, pa Reynoldsov broj nema smisla, Re = 0. Za opis gibanja, koje naravno postoji u takvom mirujućem fluidu, koristiti se značajka uzgona, Grashofov broj, Gr. U tim slučajevima kriterijska jednadžba (3) poprima oblik:

=

i

i

b

aPr,...,,GrNuNu

. (4)

Prisilna konvekcija. Strujanje fluida izazvano je prisilno, djelovanjem nekog tehničkog uređaja (pumpe, ventilatora). Efekt slobodne konvekcije koji uvijek postoji biva potisnut i obično se može (računski) sasvim zanemariti. Time se gubi utjecaj Grashofovog broja, a oblik strujanja se procjenjuje prema Reynoldsovom broju, Re. Opća jednadžba (3) pojednostavljuje se u oblik:

=

i

i

b

aPr,...,Re,NuNu

. (5)

30


Izbor formuleOpći postupak odabira prikladne formule može se razložiti na nekoliko karakterističnih koraka.

1. Iz opisa fizikalnog modela procjenjuje se uzrok gibanja fluida, na osnovu čega se problem razvrstava ili u prisilnu ili u slobodnu konvekciju.

2. Izbor prikladne formule vrši se u skladu sa zadanim geometrijskim oblikom fizikalnog modela: a) Da bi se odredio oblik strujanja (laminaran ili turbulentan) najprije se prema propisanoj referentnoj temperaturi uzimaju fizikalna svojstva fluida iz toplinskih tablica.b) Izračuna se Pr broj.

c) U skladu s uzrokom strujanja izračuna se:- Re broj, ako se radi o prisilnoj konvekciji, ili- Gr broj, ako se radi slobodnoj konvekciji.

d) Zatim se procjenjuje oblik strujanja prema propisanom kriteriju :

− za prisilno strujanje: Re < Rek laminarno, ili Re > Rek turbulentno.− za slobodnu konvekciju: GrPr < (GrPr)k laminarna, ili GrPr > (GrPr)k

turbulentna .

U općem slučaju taj postupak ne dovode do jednoznačnog izbora formule, već je potrebno provjeriti daljnje kriterije koji su navedeni uz takav model, odnosno pripadnu formulu.

I. PRISILNA KONVEKCIJA

A. ZATVORENA STRUJANJA

A1. Strujanje u cijevi kružnog presjeka

Kriterij strujanjaZa proračun prijelaza topline usvojen je pojednostavljen kriterij strujanja u obliku Rek = 3000. S ovim kriterijem treba usporediti vrijednost Reynoldsovog broja, koja je izračunata na osnovu zadanog problema, Re = wd/ν , gdje je w (m/s) protočna brzina, d (m) unutarnji promjer cijevi, a ν (m2/s) kinematički viskozitet.

Ako je Re < Rek, tada je strujanje laminarno.Ako je Re > Rek, tada je strujanje turbulentno.

A1.1 Laminarno strujanje u cijevi

U tehničkim uvjetima uspostavlja se ovakav oblik najčešće pri strujanju kapljevina, kod kojih je potrebna zamjetna ulazna dužina termičkog oblikovanja, Lt, da bi svi slojevi kapljevine u nekom presjeku sudjelovali u izmjeni topline. Zato

31


se u praksi najčešće koristi formula koju su preporučili Sieder i Tate, a koja vrijedi zakratke cijevi:

14031

861,

s

/

L

dPe,

dNu

µµ

=

λα= (Sieder i Tate) (6)

Uvjeti za upotrebu formule:

- konstantna temperatura cijevi: ϑ s = konst., - fluidi: 0,48 < Pr < 16700,- kratke cijevi: Pe(d/L) > 10,- referentna temperatura: ϑ m = 0,5(ϑ 1 + ϑ 2), za sva svojstva fluida osim za

µs koji se uzima prema temperaturi stijenke, ϑ s.- smjer toplinskog toka: 0,004 < (µ/µs)0,14 < 9,75.

Napomena: područje vrijednosti korekcijskog faktora za smjer toplinskog toga spriječava uporabu formule na one slučajeve kod kojih se, zbog velike razlike temparatura fluida i stijenke, mora uzeti u obzir i utjecaj slobodne konvekcije. Takvi slučejevi se ne pojavljuju u zadacima. U slučajevima kada dužina cijevi L nije unaprijed poznata već slijedi na kraju računa, mora se L pretpostaviti (procijeniti), a kasnije provjeriti. Račun se ponavlja sve dok su početna pretpostavka za L i konačni rezultat za L zamjetno različiti (iterativni račun).Premda je formula Siedera i Tatea (6) vezana uz uvjet ϑ s = konst. ona se smije upotrijebiti i za rješavanje zadataka u kojima taj uvjet nije ispunjen.

Duge cijevi. Treba koristiti poluempirijsku formulu od Hausena:

( )( )[ ] 32401

06680663

/PeL/d,

PeL/d,,Nu

++= (Hausen)

(7)

Za L → 4 slijedi Nu→ 3,66 što odgovara teorijskom rješenju za termički oblikovano laminarno strujanje i ϑ s = konst. Fizikalna svojstava treba uzeti za ϑ m= 0,5(ϑ 1 + ϑ 2).......................................................................................................................................................

A1.2 Turbulentno strujanje u cijevi

U praksi se pretežno susrećemo s turbulentnim strujanjem fluida, posebno pri strujanju plinova. Turbulentne oscilacije pojačavaju prijelaz topline, pa su i vrijednosti Nu broja veće nego kod laminarnog strujanja. I u ovom slučaju treba voditi računa o dužini cijevi L, jer je na ulaznom dijelu cijevi koeficijent prijelaza

32


topline bitno veći. To je područje termički neoblikovanog strujanja, kada svi slojevi nisu zahvaćeni izmjenom topline. Obično je dovoljna relativno mala dužina cijevi da bi izmjena topline zahvatila cijeli presjek strujanja. Kada je temperatura stijenke konstantna (ϑ s = konst.) ili je to gustoća toplinskog toka (qs= konst.) tada nastaje termički oblikovano strujanje kod kojeg je koeficijent prijelaza topline konstantan (α = konst.). Jednadžbe za određivanje Nu broja, koje ćemo koristiti pri rješavanju problema, počivaju jednom od ta dva uvjeta na stijenci. Dužina termičkog oblikovanja, Lt, iznosi od 10 do 50 promjera cijevi. Radi jednostavnosti, pri rješavanju ćemo se koristiti jednoznačnim kriterijem da je Lt = 40 d, gdje je d unutarnji promjer cijevi.

Kriterij oblikovanosti strujanja usporedba zadane dužine cijevi L s dužinom termičkog oblikovanja, Lt:

- kratka cijev: ako je L < Lt = 40d, strujanje je termički neoblikovano,- duga cijev: ako je L > Lt = 40d, strujanje je termički oblikovano; (utjecaj ulaznih efekata je zanemariv).

Kratke cijevi:

18131800360

//,

L

dPrRe,Nu

= (Nusselt) (8)

Duge cijevi:

( )1PrRe74,11

RePr0398,0125,0

75,0

−+= −Nu (Petukhov) (9)

.

A2. Strujanja kroz nekružne presjeke - ekvivalentni promjer

Prethodne formule primjenjuju se i kod strujanja kroz presjeke strujanja koji nisu kružni. Kako u tim slučajevima ne postoji unutarnji promjer d potrebno je stvarno strujanje aproksimirati sa sličnim strujanjem kroz fiktivnu cijev ekvivalentnog promjera, dekv. Proračun za fiktivnu cijev provodi se samo radi određivanja Nu broja, odnosno α. Za daljni proračun izmjene topline kroz površinu između fluida i stijenke vrijedi stvarna geometrija strujanja. Ekvivalentni promjer definiran je s relacijom:

O

Ad ekv

4=,

(10)

33


gdje je A (m2), površina presjeka strujanja, a O (m), je opseg tog presjeka.

A = a2 A = a⋅ b

α

α

a

a

a

b

K V A D R A T N I P R A V O K U T N I

P R S T E N A S T I

O =2 (a + b)

ba

abdekv +

= 2adekv =O =4 a

( )22

4dDA −π=

( )dDO +π=

dDdekv −=d

Dα

A

Slika 1. Ekvivalentni promjeri

B. OTVORENA STRUJANJA

B1. Poprečno nastrujane cijevi

Strujanje oko cilindra vrlo je kompleksno i zbog toga teško predvidivo. Na naletnom dijelu oblikuje se laminarni oblik strujanja, dok je na stražnjem dijelu stujanje turbulentno. Zbog toga se ovdje ne koristi kriterij strujanja u obliku Reynoldsovog Rek. Iz istih razloga teorijsko rješavanje prijelaza topline je vrlo otežano, pa se proračuni oslanjaju na empirijske formule. Reynoldsov broj se definira s vanjskim promjerom cijevi, d, i brzinom fluida, wo, ispred cijevi (neometano strujanje).

34


ν= dw

Re 0

. (11)

Fizikalna svojstva treba uzeti prema prosječnoj temperaturi, ϑ m = 0,5( ϑ s + ϑ o), gdje je ϑ s temperatura cijevi, a ϑ o temperatura fluida ispred cijevi.

B1.1 Poprečno strujanje na jednu cijev

Formula od Žukauskasa:

41 /

s

onm

Pr

PrPrReC

dNu

=

λα=

, (12)

koja vrijedi za ove uvjete:

0,7 < Pr <500 , (Prs za ϑ s, Pro za ϑ o),

n = 0,37 (za Pr < 10) , ili n = 0,36 (za Pr > 10),

1 < Re < 106

w o

ϑ o

ϑ s

α

d

Slika 2. Strujanje popreko cijevi

TEBELA I - Vrijednosti konstante C i eksponenta m u jednadžbi (12)

Područje Re broja C m

1 – 40 0,75 0,4

40 – 1000 0,51 0,5

103 - 2·105 0,26 0,6

2·105 - 106 0,076 0,7

B1.2 Poprečno strujanje na snop cijevi

35


Snopovi cijevi koriste se u mnogim izmjenjivačima topline, a razmještaj cijevi može biti paralelan ili naizmjeničan (šahovski), to bitno utječe na brzinu strujanja. Zato se u ovim slučajevima Re broj određuje prema prosječnoj maksimalnoj brzini fluida, koja se javlja na mjestu minimalne slobodne površine unutar snopa.

Reynoldsov broj se određuje prema brzini wm, koja ovisi i o rasporedu cijevi:

ν= dw

Re m

. (13) Za paralelni raspored cijevi u snopu vrijedi:

dS

Sww

T

Tm −

= 0

, (14)

ϑ o

w o S L

S T

d

w o

ϑ s

α

Slika 3. Paralelan raspored cijevi

ϑ o

w o

S L

S D

d

w o

ϑ s

S T

α

Slika 4. Naizmjeničan raspored cijevi

Za naizmjeničan raspored važna je dijagonalna udaljenost, SD:

( )[ ] 222 2/SSS TLD += (15)

Postoje dva slučaja:

Ako je: 2(SD − d) > (ST − d), tada vrijedi jednadžba: dS

Sww

T

Tm −

= 0

, (14)

Ako je: 2(SD − d) < (ST − d), treba računati wm iz jednadžbe: ( )dS

Sww

D

Tm −

=20

, (16)

36


Žukauskas je za takve slučajeve predložio novu formulu (17), umjesto jednadžbe (12):

41

031

/

s

/m

Pr

PrPrReC

dNu

=

λα=

, (17)

vrijedi uz ove uvjete:

0,7 < Pr <500, 1 < Re < 106

(Re i Pr za ϑ m, Prs za ϑ s, Pr0 za ϑ 0 )

TABELA II - Vrijednosti konstante C i eksponenta m

PARALELAN IZMJENIČAN

Područje Re C m C m

1 - 40 0,8 0,40 0,40

40 - 1000 Primijeniti proračun za jednu cijev - jednadžba (12)

103 - 2·105

(ST/SL< 0,7) → izbjegavati

(za ST/SL< 0,2) : C = 0,35(ST/SL)1/5 0,60

(za ST/SL> 0,7): C = 0,27

0,63(za ST/SL> 0,2) : C =

0,400,60

2·105 - 106 0,021 0,84 0,84

B2. Ravna vertikalna stijenka

Za prisilno strujanje pored ravne vertikalne stijenke dužine L obično se uzima kriterijski Reynoldsov broj Rek = 500 000. Temperatura stijenke je ϑ s = konst., a dovoljno daleko od stijenke (neometano strujanje) temperatura je ϑ o i brzina fluida w. Fizikalna svojstva treba uzeti za prosječnu temperaturu ϑ m = 0,5(ϑ s+ϑ o).

B2.1 Laminarno strujanje:

31216640 // PrRe,L

Nu =ν

α= ,

(18)

Re = wL/ν < Rek = 500 000

. B2.2 Turbulentno strujanje:

37


318003250 /, PrRe,L

Nu =ν

α= ,

(19)

Re = wL/ν > Rek = 500 000

II. SLOBODNA (PRIRODNA) KONVEKCIJA

Pri slobodnoj konvekciji nema prisilne brzine fluida, w, već se gibanje fluida ostvaruje prirodno, zbog razlike gustoće. U tim slučajevima važan je utjecaj temperature na fizikalna svojstva fluida, pa se kriterij forme strujanja definira u obliku produkta Grashofovog i Prandtlovog broja, tj. Rayleighovog broja, Ra = GrPr. (Vidi definicije Gr, Pr i Ra u uvodu).

Grashofova značajka:

- za kapljevine:

2

30

ss

s gHGr

νρρ−ρ=

, (20)

- za plinove:

2

3

0

0

s

s gH

T

TTGr

ν−=

, (21)

Fizikalna svojstva treba uzeti u skladu s indeksom:

- indeks "s" , prema temperaturi stijenke ϑ s, - indeks "o" , prema temperaturi fluida ϑ o.

Fizikalna svojstva, koja se javljaju u Nu i Pr broju treba uzeti za prosječnu temperaturu, ϑ m= 0,5(ϑ s+ϑ o).

C. Vertikalna ravna stijenkaVertikalna stijenka visine H i konstantne temperature ϑ s u dodiru je s mirujućim fluidom (kapljevinom ili plinom) temperature ϑ o.

38


C1.1 Laminarno strujanje: ako je Ra = GrPr < 108 :

( ) 41520 /PrGr,

HNu =

λα=

, (22)

C1.2 Turbulentno strujanje: ako je Ra = GrPr > 108

( ) 31170 /PrGr,

HNu =

λα=

. (23)

H

ϑ s , ρ s

ϑ o , ρ o

" m i r u j u ć i f l u i d "

G R I J A N J E F L U I D A

ϑ s > ϑ o

α

Slika 5. Slobodna konvekcija

C2. Horizontalna cijev

Za slobodnu konvekciju fluida temperature ϑ o, oko horizontalne cijevi vanjskog promjera d i temperature stijenke ϑ s, vrijedi za područje Ra = GrPr > 103

slijedeća formula :

( ) 41410 /PrGr,H

Nu =λ

α=.

(24)

d

ϑ s

ϑ o

" m i r u j u ć i f l u i d "α

G r i j a n j e f l u i d aϑ s > ϑ o

Slika 6. Slobodna konvekcija na horizontalnoj cijevi

D. KONDENZACIJA

Kondenzacija nastupa kada je temperatura stijenke, ϑ s, manja od temperature zasićenja, ϑ ´, pare s obzirom na tlak p pod kojim se para nalazi. Prema načinu oblikovanja kondenzata razlikujemo dva tipa kondenzacije: filmsku i kapljičastu. Ovdje se navode samo slučajevi filmske kondenzacije.

D1. Filmska kondenzacija

39


Kada na stijenci nastaje kontinuirani sloj kondenzata, koji pod utjecajem gravitacije otječe niz stijenku, govorimo o filmskoj kondenzaciji. Riječ film ukazuje na malu debljinu sloja kondenzata, a ta je činjenica omogućila Nusseltu da, uz neka pojednostavljenja, dobije analitičko rješenje prijelaza topline pri kondenzaciji.

D1.1 Kondenzacija na vertikalnoj stijenci

K

T s

1

s

1 '

s

pH

x

w x

ϑ

y

g

ϑ s

T ´ 1 ' 'T p

T

( ) hhssTq ′′−′=′′−′=

q p o t≈ 0 hhqpreg′′−= 1

w ∞ = 0

p r e g r i j a n a p a r aρ p , ϑ p , p

k o n d e n z a t

s t v a r n i p r o f i lb r z i n e wx

s 1 '1 ' '

ϑ p

1

αα hλ s

ϑ ′

ϑ h

r a s h l a d n o s r e d s t v o

A s = b H

q s

d

( ) ( )ϑ′−ϑα=ϑ′−ϑ= shs kq

Slika 7. Filmska kondenzacija na vertikalnoj stijenci

40


Prosječni Nusseltov broj, za stijenku visine H i temperature ϑ s, na kojoj kondenzira pregrijana para entalpije h, ili suhozasićena para entalpije h˝, može se izračunati prema formuli:

4

3

)(43

4

H g h

=λ

H =Nu

sϑ−ϑ′νλρ∆α

, (25)

odnosno, za prosječni koeficijent prijelaza vrijedi konačna formula:

H

g h=

s

4

3

)(43

4

ϑ−ϑ′νλρ∆α

, W/(m2 K), (26)

gdje je za pregrijanu paru Δh = h − h´, a za suhozasićenu paru Δh = h˝ − h´. Temperatura zasićenja ϑ ' određena je tlakom pare, p. Fizikalna svojstva kondenzata: ρ , λ , μ i ν = μ/ρ , uzimaju se za srednju temperaturu kondenzata: ϑ m = 0,5(ϑ ′ + ϑ s). Temperaturu stijenke ϑ s treba pretpostaviti za proračun.Zbog te pretpostavke jednadžba (26) ne daje točnu vrijednost koeficijenta α, pa tako ni vrijednost gustoće toplinskog toka predanog stijenci:

( )ϑ′−ϑα= ssq , W/m2, (27)

koji još dodatno ovisi o pretpostavci temperature ϑ ′ . Rješenje se mora tražiti iterativno, tj. ponavljanjem proračuna uz promjenu pretpostavke. Račun se kontrolira pomoću jednadžbe za gustoću toplinskog toka:

( )ϑ′−ϑ= hs kq , W/m2, (28)

gdje je k koeficijent prolaza topline:1

11−

α

+λ

+α

=sh

dk

, W/(m2 K). (29)Ovdje je αh koeficijent prijelaza topline na strani rashladnog sredstva, d debljina stijenke, a λ s koeficijent vodljivosti topline stijenke.U jednadžbi (28) je utjecaj pretpostavljene temperature ϑ ′ uključen samo preko koeficijenta k, a ne neposredno u razlici temperatura. Zato će iz te jednadžbe izračunata vrijednost za qs biti mnogo točnija od one prema jednadžbi (27). Rezultat za qs iz (28) treba uvrstiti u jednadžbu (27) koja sada omogućava dobivanje točnijeg podatka za ϑ ′ (kontrolni rezultat). S tom se temperaturom, kao novom pretpostavkom, račun ponavlja sve dok razlika između pretpostavke i kontrolnog rezultata za ϑ ′ ne bude zanemariva.

Jednadžba (26) može se koristiti i za određivanje α pri kondenzaciji na vertikalnim cijevima, ili unutar cijevi ako unutarnji promjer cijevi, du, nije malen.

D1.2 Kondenzacija na horizontalnoj cijevi

Za horizontalnu cijev vanjskog promjera dv i dužine L može se prosječni koeficijent prijelaza topline izračunati prama jednadžbi:

41


T T d

g h=

sv

4

3

)(4 −′νλρ∆α

, W/(m2 K). (30)

11. PRIJENOS TOPLINE TOPLINSKIM ZRAČENJEM

Izmijenjeni toplinski tok zračenjem između dviju bliskih stjenki

−

−+=Φ

4

2

4

1

21

12 100100111

ssc TTAC

εε - toplinski tok

−

−+=

Φ=

4

2

4

1

21

1212 1001001

11ssc TTC

Aq

εε - gustoća toplinskog toka

Cc = 5,67

111

21

12

−+=

εε

cCC

cCCC

1111

21

−+=

42


cCC 11 ε=

cCC 22 ε=

Bliske stjenke s međustjenkom (zaslonom, zastorom)

−

−+−+

=4

2

4

1

21

1001001

'

21

11' ssc TTC

q

εεε - gustoća toplinskog toka

−+−+

=1

'

21

11

21

12

εεε

cCC

- konstanta zračenja

( )

( )

−

−++

−+

−+−+

=4

2

4

1

'21

'

1001001

2...1

''

21

'

21

11ss

n

cn TTCq

εεεεε - gustoća toplinskog toka za n međustjenki

Temperatura prvog od n zastora:

Izmijenjeni toplinski tok kod modela obuhvaćenog tijela

−

−+

=Φ4

2

4

1

21

112 1001001

11ssc TTC

A

εω

ε - toplinski tok

2

1

22

11

A

A

KA

EA==ω ; K2 = E2

43


−+

=1

11

21

12

εω

ε

cCC

4

111 100

= s

c

TCE ε

4

222 100

= s

c

TCE ε

Izmijenjeni toplinski tok obuhvaćenog tijela s umetnutom međustjenkom

−

−+

−+

=Φ4

2

4

1

22

1

1

1

100100

'

1'

2

'1

11' sc TT

A

A

A

A

CA

εεε

'

11 A

Am =ω

2

1

'

A

Am =ω

12. IZMJENJIVAČI TOPLINE

- slabiju struju označiti indeksom 1 jer kod slabije struje javlja se veći rast ili pad temperature.

22

1

1

21

1

ln1

11

αλα r

r

r

rrk

c

r

++=

[ ]KmW 2/

21

22

11

2 1ln

12

αλα++

=

r

rr

r

rk

c

r [ ]KmW 2/ ili kr2 = * kr1

Q = m * (h'' – h') - za paru

Q = C * - za određivanje toplinskih kapaciteta C = m * cp ili C = N * Cp1

44


''

'''

21

111 ϑϑ

ϑϑπ−−

= ; 1

02 C

kA=π ;

2

13 C

C=π

Područje vrijednosti ovih značajki je:

0 ≤ π 1 ≤ 1 , 0 ≤ π 2 ≤ ∞ , 0 ≤ π 3 ≤ 1

1

02 C

kA=π - očitavamo iz tabele

- iz formule izrazimo A02

A02 = dv * * L * n - za izračun duljine cijevi

121

11

max

1

''

''' πϑϑϑϑε =

−−

=ΦΦ

= - iskoristivost topline (ne ovisi o tipu izmjenjivača)

Napomena: kod proračuna koeficjenta prelaza topline za vodenu paru uzimaju se za srednju temperaturu.

( ) 131

111 1'''

''' ππϑϑϑϑη +=

−−

=ΦΦ

=∞

i - stupanj djelovanja izmjenjivača

45

Documents

Memoformule Za Termodinamiku