Memoire Lahcene Mehdi

8/19/2019 Memoire Lahcene Mehdi

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Mémoire présenté devant le Centre d’Etudes Actuariellespour l’obtention du diplôme

du Centre d’Etudes Actuarielleset l’admission à l’Institut des Actuaires

le : 14/06/2013

Par : Mehdi LAHCENETitre : Modélisation d’un fonds de prévoyance collective dans le cadre d’une

étude ALM

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1an 2 ans)Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membre présent du jury de

l’Institut des Actuaires :

________________________Membres présents du jury du

Centre d’Etudes Actuarielles :

Thomas BEHAR

Vincent DAMAS

Gérard CROSET

Arnaud COHEN

Jean-Pierre DIAZ

Brigitte DUBUS

Paul ESMEIN

Frédéric PLANCHET

Michel FROMENTEAU

Stéphane MENART

Christophe IZART

Pierre PETAUTON

Arnaud BURGER

Marine CORLOSQUET-HABART

Aymeric KAMEGA

Damien TREMEL

Florence PICARD

Olivier LOPEZ

Secrétariat :

Bibliothèque :

Entreprise : AXA

Directeur de mémoire enentreprise :

Nom : Sebastien ARESTEANUSignature :

Invité :

Nom :

______________________________Signature :

Autorisation de publication etde mise en ligne sur un site dediffusion de documents actuariels

(après expiration de l’éventuel délaide

confidentialité)

Signature du responsableentreprise

Signature du candidat

4 rue Chauveau Lagarde 75008 Paris Tél. : 01 44 51 72 72 / Fax : 01 44 51 72 73


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Remerciements

Ce mémoire est dédié à Gabriel et Céline

Je tiens à remercier Sofiane OURNIDI et les membres de l’équipe d’allocation pour m’avoir poussé

vers le aut au sein de l’équipe !estion actif"passif de la Direction des Investissements d’#$#% &eurs

questions m’ont poussé à constamment adapter le mod'le à la réalité%

Je remercie tout particuli'rement Sébastien #R(S)(#NU* mon tuteur* qui m’a apporté son

e+périence sur le su,et et m’a fait confiance tout au lon! de ce mémoire%

Je tiens é!alement à saluer caleureusement toute l’équipe de !estion #ctif -assif%

.’est par votre contribution que ,’ai pu mener à bien l’étude #&/ et réaliser mon mémoire%


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Introduction

&e métier d’assureur est d’apporter une protection financi're au+ personnes qui souaitent

transférer certains de leurs risques contre une prime% Son rGle est de !érer au mieu+ les risques reHus

pour tre capable d’onorer ses en!a!ements à tout moment% -our cela* il dispose de deu+ leviers ;

un levier tecnique qui se situe du cGté du passif et un levier financier qui ,oue à l’actif mais qui ne

peut tre dissocié du passif% &a ?estion #ctif"-assif @ou #&/ pour #ssets and &iabilities /ana!ementA

se positionne* comme son nom l’indique* entre ces deu+ leviers ; c’est un support d’aide à la décision

pour tout ce qui concerne les straté!ies financi'res à mettre en place @coté actifA* mais qui nécessite

une connaissance parfaite des principau+ aspects tecniques des contrats @coté passifA ainsi que la

matrise des en,eu+ financiers et des problématiques en lien avec le passif @interaction actif"passifA%

.ette macro coordination entre les risques tecniques et financiers se !'re lo!iquement au niveau de

l’#&/ ; c’est ce qui fait tout son intért mais aussi toute sa comple+ité comme nous allons le voir%

(n premier lieu* l’assureur cerce à matriser les flu+ futurs du passif et à les ramener autant

que possible à ceu+ d’un scénario mo7en ; ceci constitue la !estion tecnique des contrats% -our

cela* il bénéficie de l’effet de mutualisation qui réduit la volatilité des risques et qui lui permet

d’espérer avoir des car!es de sinistres proces de celles provisionnées à l’aide de tables et lois

statistiques de masses @comme les tables de mortalité* de passa!e d’état d’incapacité à invalidité


6/91=

l’assureur à obtenir des résultats touours plus importants pour satisfaire ses assurés et

rester compétitif %

Nous vo7ons d's lors que ces contraintes rendent la détermination d’une couverture optimale à

l’actif comple+e% D’une part* les flu+ futurs sont rendus volatils du fait de la souplesse apportée au+

contrats @possibilité de racats avant terme par e+empleA et des caractéristiques des contrats de

prévo7ance% (t d’autre part* les options du portefeuille apportent une !rosse conve+ité et rendent laduration de /acaula7 @sensibilité à l’ordre sur les variations de tau+A impropre% &’adossement parfait

réalisé sur le scénario mo7en peut donc s’avérer tr's dan!ereu+ en cas de ausse des tau+* associée

par e+emple à de forts racats sur le portefeuille% Il ne suffit donc plus de couvrir uniquement les

prestations mais de tenir compte des options implicites contenues dans le portefeuille%

Dans ce conte+te* la modélisation #&/ et l’utilisation de métodes stocastiques se positionnent

comme de précieu+ outils d’aide à la décision% .’est ce que nous allons voir à travers l’étude que

nous présentons ici% .elle"ci porte sur l’utilisation d’un processus #&/ pour déterminer l’allocation

straté!ique optimale du fonds de prévo7ance collective détenu par la société #$# Brance% Nous

allons voir que les particularités des clauses de participation au+ bénéfices en constituent l’en,eu

principal%

!a difficulté de cette étude a consisté " réaliser un modèle informatique de fa#on quasi$exhaustive% &es difficultés de coda'e et des questions ( métier ) se sont posées% &es réponses ont

été apportées dans le respect des contraintes de faisabilité et de fidélité du modèle par rapport "

la réalité%

!es 'rand apports de cette étude comparé " la précédente * meilleure modélisation du passif

+donc des interactions actif$passif et l’inté'ration de solvabilité 2 comme contrainte dans le choix

de l’allocation cible%

&a premi're partie du mémoire présente le mod'le de pro,ection du compte de résultat et du

bilan% &a seconde partie présente les spécificités du fonds de prévo7ance et leur application dans le

mod'le% &a derni're partie présente les résultats de l’étude #&/ dont le but est de proposer une

allocation optimale d’actifs @répartition par classe* durationA pour le fonds de prévo7ance%


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Résumé

.ette étude entre dans le cadre de la mise à ,our des allocations straté!iques d’#$# Brance sur

ses principau+ fonds !énérau+% Son ob,ectif est la détermination de l’allocation straté!ique optimale

du portefeuille d’assurance collective prévo7ance à l’aide d’outils de modélisation #&/% &a

modélisation de ce fonds a donc nécessité l’adaptation du mod'le #&/ actuellement utilisé qui avait

été initialement conHu pour des fonds de t7pe 9ie @retraite ou vie individuelleA%

&e fonds de prévo7ance collective re!roupe tous les contrats de prévo7ance et santé collective

souscrits aupr's d’#$# Brance% -our cette étude nous avons toutefois e+clu de ce périm'tre !lobal

les se!ments qui sont cantonnés et qui font l’ob,et d’une allocation spécifique* comme par e+emple

le se!ment SNI-0%

&’étude des caractéristiques du fonds a tout d’abord permis d’identifier les modifications et

adaptations à apporter au mod'le e+istant ;

• #daptation du module de passif ;

o se!mentation du passif en fonction des trois risques couverts @déc's* domma!es

corporels et santéA et des !randes caté!ories des provisions tecniques modélisées

@les -/* les -S#-* les --R. et les provisions de t7pe -rovision pour -articipation au+

:énéfices ou --:A L

o calibra!e des lois de production et de racats pour caque t7pe de provision afin

d’en retranscrire le comportement au plus ,uste L

• #ffina!e de l’actif ;

o .onsidération des obli!ations inde+ées à l’inflation%o Inté!ration du mod'le de crédit avec ratin!%

o prise en compte d’un M bas de bilan ; le volume si!nificatif du bas de bilan @environ

4 /illiard d’eurosA en prévo7ance collective nécessite son implémentation dans le

mod'le #&/ e+istant% Il a été modélisé sous la forme d’une poce d’actifs au

comportement particulier ; cette poce n’évolue pas en fonction d’un scénario

d’actif mais en fonction du passif @pourcenta!e de productionA et seule une partie de

ce dernier est prise en compte dans l’assiette d’actifs pour le calcul du tau+ de

rendement L On prend é!alement en compte le bas de bilan économique pour

l’assiette de pilota!e des tau+%

• Nouveau pilota!e du fonds ;

o en prévo7ance* certaines clauses de -: permettent à l’assureur de conserver une

mar!e importante des produits financiers tout en satisfaisant pleinement les assurés%

.’est pourquoi* lorsque le fonds est rice* l’assureur va cercer à dé!a!er une

partie de cette ricesse afin d’au!menter sa mar!e% (n termes de pilota!e du fonds*

nous avons traduit cela par l’implémentation d’une r'!le de dé!a!ement de ricesse

par seuil en fonction du niveau de ricesse relatif du fonds% &e mécanisme de

détermination des produits financiers prend désormais en compte les contraintes

des clauses de )/? et de -:% &a subtilité du pilota!e porte notamment sur

l’a,ustement des revenus perHus en fonction de la ricesse latente%

• /étodolo!ie d’optimisation de l’allocation avec contrainte de capital économique

solvabilité 2%

Suite à ces évolutions* tous les inputs à entrer dans le mod'le ont pu tre saisis ;

• -assif ; données d’inventaire au 04424> et lois du passif @7pot'ses de neP business* de

renouvellements de primes* de sinistres


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• #ctif ; données d’inventaire au 04424> et scénarios stocastiques Real Qorld @avec primes

de risqueA calibrés au 04424> L

• &es r'!les de !estion du fonds%

&’ob,ectif de cette étude #&/ est de déterminer une allocation straté!ique optimale pour le

fonds ; cette allocation correspond au+ différentes parts à allouer sur les !randes classes d’actifs

modélisées @actions* immobilier* tau+ variables* O#)iA et la duration cible à maintenir sur la poceobli!ataire% -our cette étude* environ 1>> allocations ont été testées% -our caque allocation

@réa,ustée semestriellementA* le mod'le pro,ette le compte de résultats et le bilan sur un ori8on de

0> ans et calcule un certain nombre d’indicateurs s7ntétiques à partir des sorties M brutes

@mar!es* montant annuel des provisions ans L

• .apital (conomique ; centile 2C du montant de capital nécessaire pour maintenir l’activité à

lon! terme L

• 9alue ; 9#N #ctionnaire sous environnement risque neutre%&a démarce d’anal7se des résultats consiste alors à croiser différents couples d’indicateurs dans

un plan risquerendement et de déterminer* au re!ard des différentes fronti'res efficientesobtenues* l’allocation optimale à retenir%

&’étude conclut que l’allocation actuelle peut tre améliorée aussi bien en au!mentation de

rendement qu’en minimisation du risque et ce quelles que soient les métriques utilisées% &es

recommandations d’allocation sont les suivantes ;

• réduction de la duration de 42 ans @réelleA à 4> ans @ors primes futuresA avec pro!ressivité%Un passa!e à 44 ans est envisa!é dans un premier temps puis une atteinte de l’ob,ectif en

fonction de la faisabilité sur les marcés% (n effet* le déplacement vers une maturité plus

courte entrane une perte de rendement car la courbe des tau+ est plutGt croissante% De plus*

la !estion des plus et moins values et des conditions de marcé complique l’e+ercice% .ette

duration de 4> ans en cible s’entend sur la poce obli!ataire @équivaut à 3 ans sur l’ensemble

de l’actifA%• réduction de la poce action de 2>C à 1-C @fort impact du cot en capitalA%

• au!mentation de la poce immobili're de 4>C à 1.C%

• au!mentation de la part crédit de 0>C à /-C @bon compromis entre rendement et risque*

relativement à l’action et l’obli!ation !ouvernementaleA%

• maintien de l’O#)i à .C%

• réduction de 01C de l’obli!ation !ouvernementale à 0-C%

.ette étude a permis d’établir un contrat de !estion qui a été implémenté ce8 le !estionnaire

d’actifs @#$# Investment /ana!ersA% .e mod'le reste toutefois imparfait mais il comporte des

évolutions ma,eures permettant de prendre en compte les spécificités de la prévo7ance collective

dans l’#&/%-OUR D(S R#ISONS D( .ONBID(N)I#&I)(* &(S .FIBBR(S .ON)(NUS D#NS .( DO.U/(N) ON)

()( /ODIBI(S% &(S ORDR(S D( ?R#ND(UR SON) #JUS)(S%


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Abstract

This survey is part of the updated strategic allocations of AXA France in its main fund. Its

objective is to determine the optimal strategic asset allocation portfolio insurance Disability using

ALM modeling tools. Modeling of the fund therefore required the adaptation of ALM model currently

used was originally designed for Life fund type (individual retirement or life).

The fund includes all collective Disability & Health contracts underwritten by AXA France. For

this study however, we excluded from the overall perimeter of ring-fenced segments and segments

which are subject to specific allocation.

The study of the characteristics of the fund first led to identify modifications and adaptations to

the existing model:

• Adaptation on the liability side :o segmentation liabilities according to the three risks covered (death, disability and

health) and main categories of technical provisions modeled (PM, PSAP, PPRC and

Provision for Profit Sharing or PPS);o Calibration of the laws for premium and acquisitions for each type of provision in

order to recreate the right behavior;

• Refining Assets:o Consideration of bonds indexed to inflation.o Integration of credit rating model.o Consideration of a "working capital" with a significant amount (about 1 billion euros)

in collective welfare requires its implementation in the existing ALM model. It was

modeled as an asset item with a specific behavior: this bag does not evolve according

to a scenario based on asset index but it follows a liability item (percentage of

premiums) and only a part of it is included in the asset base for the calculation of rates

of return. Working Capital is also taken into account the calculation base for the rate

management.• New financial rate policy :

o In Disability portfolio, some profit sharing clauses allow the insurer to maintain asignificant margin financial products while satisfying fully insured. This is why, when

the fund is rich, the insurer will try to release some of this wealth to increase its

margin. In terms of control of the fund, we have translated this by implementing a

management rule by wealth threshold depending on the level of relative wealth funds.

The mechanism for determining financial products now includes the constraints of

Minimum Guaranteed Rate (MGR) clauses and Profit Sharing. The subtlety of

financial management shall include the adjustment of regular revenues (dividend,

coupons, rental income) as a function of the latent wealth.

• Methodology to optimize the allocation of economic capital with Solvency 2 constraints.Following these developments, all the inputs were introduced into the model :

o Liabilities: 31/12/10 inventory data and liability laws (hypotheses of new business,renewals, premiums, claims ...)

o Assets : 31/12/10 inventory data and stochastic Real World (with risk premiums) rated at31/12/10;

o The rules for financial rate control.The aim of this survey is to determine ALM optimal strategic allocation for the fund: this

allowance is to allocate different parts of the major asset classes modeled (equities, real estate, variable

rate OATi) and duration to maintain target bond on the asset item. For this survey, approximately 500

allocations have been tested. For each allocation (adjusted semi-annually), the model projects the

consolidated income statement and balance sheet over a period of 30 years and calculates a number of

synthetic indicators from the "gross" outputs (margins, annual allowances ...).For this survey, the indicators used are:

• Present value of future net margins over a period of 30 years;


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• Economic Capital: 2% percentile of the amount of capital needed to maintain long-termbusiness;

• Value: VAN (current price for future Shareholder’s gains) under risk-neutral environment.The process of analyzing the results is then to cross different pairs of indicators in a plane risk /

return and determine, in light of various efficient frontiers obtained, the optimal allocation to

remember.

The study concludes that the current allocation can be improved both yield increase in risk

minimization and whatever the metric used. The allocation recommendations are as follows:

• reduction in the asset duration from 12 years (real) to 10 years (excluding future premiums).This action wil be done progressively. An intermediary of 11 years is considered as a first

step. Then, achieving the goal based on market feasibility. Indeed, the shift to a shorter

maturity leads to loss of yield because the yield curve is rather increasing. In addition,

management of latent gains or losses can make the exercise a bit complicated. This duration of

10 years is for the asset “bond” (equivalent to 9 years on total assets).

• reduction of Equities from 20% to 10% (high impact of cost of capital).

• Increased Real Estate part from 10% to 15%.

• increase in the share of credit bonds from 30% to 40% (good compromise between

performance and risk, in relation to the action and government bond).• A stabilization to 5% in OATi (French Government bonds linked to inflation).

• reduction in the government bond from 35% to 30%.

This survey has established a management contract which has been implemented by the asset

manager (AXA Investment Managers). This model remains imperfect but includes major changes to

take into account the specificities of collective disability in ALM

FOR PRIVACY REASONS, THE FIGURES HAVE BEEN CHANGED.THE MAGNITUDE IS

ADJUSTED.


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1. Introduction à la gestion Actif Passif

&e métier d’assureur consiste à apporter une protection financi're au+ personnes qui souaitent

transférer certains de leurs risques contre une prime% Son rGle est de !érer au mieu+ les risques reHus

pour tre capable d’onorer ses en!a!ements à tout moment% -our cela* il dispose de deu+ leviers ;

un levier tecnique qui se situe du cGté du passif @spécifique à la prévo7anceA et un levier financier

qui ,oue à l’actif mais qui ne peut tre dissocié du passif%

1.1. Présentation du modèle ALM

&e service ?estion #ctif-assif a développé un mod'le #&/ interne% .et outil permet de simuler le

comportement économique et comptable d’un fonds d’#ssurance 9ie de t7pe MBonds en (uros % &e

mod'le prend en compte pour caque fonds étudié @scénario de passifA diverses 7pot'ses

d’évolution des marcés @scénarios d’actifsA et un certain nombre de r'!le de !estion ;

• scénario de passif ; il peut tre stocastique ou déterministe% S’il est déterministe* il

comporte tout de mme des corrélations avec l’actif @comme la participation au+ bénéfices

ou les lois de production et de racats variablesA ; nous pouvons donc parler de scénario

semi"déterministe% De plus* le mod'le permet de traiter différentes trances de passif au

sein d’un mme fonds% .es trances sont appelées model points% &a se!mentation est faite

suivant des facteurs pouvant influencer le comportement du fonds @!énération* )/?5* t7pe

de contrat* comportement de l’assuré


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&e fonctionnement du mod'le est scématisé ci"dessous ;

#ctuellement le mod'le #&/ est adapté pour les contrats vie @de t7pe épar!ne* fonctionnant par

capitalisationA et le compte de résultats suivant est modélisé ;

.rédit Débit

.# nouveau -restations

-rovisions tecniques début -rovisions tecniques fin

Réserve de capitalisationdébut

Réserve de capitalisationfin

R#N début R#N fin

-R( début -R( fin

#vances fin #vance début

#bondements Blu+ avances

Surplus /ar!es

Revenus

-9 totales

&’ob,ectif est d’adapter cette structure e+istante pour modéliser le compte de résultat du fonds deprévo7ance collective% Nous allons voir que des modifications seront à apporter à différents niveau+ ;

• retrait de certains éléments ne concernant pas cette étude ; les avances* le R#N=<

• a,out de certains éléments à modéliser ; prise en compte du bas de bilan<

• modification de certaines r'!les de !estion ; mécanisme de participation au+ bénéfice*détermination des tau+ à servir<

• adaptation des données ; coi+ du mailla!e en model point* provisions tecniques à

modéliser<

=

R#N @report à nouveauA ; -rovision pour participation au+ bénéfices% &a --: est le reliquat de -: non servie àl’e+ercice mais à distribuer ultérieurement% Il s’a!it d’un abus de lan!a!e car le report à nouveau M comptable est un

résultat antérieur qui est reporté d’année en année%

assif

Stoc

d’en!a!ements

ctif

Stoc d’actifs @9N.*9:* ricesse

latenteA

Modèle !M

Déroulé semestriel sur 0> ans% .omptes client* compte de

résultat et bilan% Indicateurs s ntéti ues

3ontraintes

.ommerciales

.ontractuelles

(conomiques

.omptables

Ré!lementaire

4bectifs

/a+@rendementA

/in@risqueAllocation optimale

9ecteur de classes d’actifs


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)outes les modifications et adaptations à mettre en uvre afin d’utiliser le mod'le #&/ pour cette

étude sont détaillées dans les différentes parties de ce mémoire% Nous présentons ici le

fonctionnement du mod'le actuel avec un accent sur les adaptations liées à la prévo7ance* sans

détailler l’e+austivité du mod'le%


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1.1.1. Projection du compte de résultat et du bilan

&’outil de modélisation permet de s7ntétiser les flu+ annuels @primes* sinistres* variation de

provisions* revenus financiers* dépenses de !estion* etcA et calculer les mar!es puis les enre!istrer

dans le compte de résultat% &e bilan fait état des stocs de provisions ainsi que de l’actif qui estadossé au passif%

1.1.2. Objectifs du calcul

&es études #&/ permettent de donner une orientation sur la !estion des actifs de la société dans

une perspective de lon! terme% On parle d’adaptation de l’actif au+ caractéristiques du passif% (n

effet* les commerciau+ ont pour but de vendre un ma+imum de contrats ; ils donnent une certaine

allure à nos en!a!ements%

Dans certains rares cas* l’actif donne un si!nal M limite au passif L le rendement de l’actif peut

ne plus correspondre au tau+ minimum de revalorisation du passif % Ou encore* l’incertitude sur la

tarification des contrats de retraite t7pe variable annuities peut amener l’assureur à réduire le

volume de souscription%&es allocations sont définies en début de pro,ection et pro,etées de faHon statique sur un ori8on

@0> ans !énéralementA% &e compte de résultat et le bilan sont re!ardés à caque année% &e mod'le

revient à l’allocation cible à caque période* mal!ré les variations de valeur issues des scénarios% &a

métodolo!ie #$# impose une allocation constante% Un mémoire d’actuariat @&aure SaunierA a été

élaboré sur l’opportunité des allocations d7namiques en 2>44% &e principe consiste à s’autoriser un

intervalle par classe d’actif ainsi qu’une r'!le en fonction de la valeur des actifs% &es résultats ne sont

pas si!nificativement favorables pour la valeur actuelle des mar!es assureur%

1.2. L’utilisation du modèle dans le cadre d’une étude ALM

1.2.1. Problématiques de l’ALM

&es forces de vente sont censées acquérir de nouveau+ clients et sauve!arder au mieu+ le stoc

de clients%

.es si!natures de contrat permettent d’admettre de nouveau+ en!a!ements à notre bilan%

&’étude #&/ permet d’adapter notre actif au+ caractéristiques du passif% -ar e+emple* les passifs

à duration lon!ue nécessitent des actifs qui dé!a!ent suffisamment de flu+ permettant de faire face

à ces sinistres%

)outefois* il est possible que le lien soit réciproque% -ar e+emple* l’actif peut tre insuffisant en

termes d’intérts tecniques servis au+ provisions L alors il est nécessaire de réduire la contrainte au

passif%

Différents leviers sont possibles ;• la résiliation qui maintien l’en!a!ement sur le stoc mais permet de ne plus en!ran!er

d’en!a!ements des tau+ !arantis élevés%

• &a ausse de tarif qui permet de dé!a!er un !ain tecnique @si le S. est T à 4>>CA et

d’alimenter ce tau+ minimum%

1.2.2. Outputs attendus

&es sorties attendues concernent toute information qui permet de !érer l’actif sur le lon! terme

@en!a!ements* participation au+ bénéfices* mar!esA%

.ertains vieu+ contrats de retraite collective ont un )au+ /inimum ?aranti @)/?A de 5*1C et un investissementinitial à des tau+ élevés% Depuis* les tau+ ont diminué et les actifs se sont appréciés% -ar contre les nouveau+

investissements ne dé!a!eaient par suffisamment de rendement pour assumer le )/?%


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1.3. Les étapes de l’étude

1.3.1. onstruction de l’actif a!re!é

&e mod'le #&/ ne permet pas d’entrer dans la finesse qui e+iste sur les marcés financiers% Nous

travaillons donc sur des familles d’actifs* cacune représentée par un scénario stocastique à pas

semestriel sur 0> ans% &e mod'le simule ainsi les 1 poces dactifs suivantes ;

• les obli!ations à tau+ fi+e @7"compris trésorerieA représentant =2C de l’actifL

• les obli!ations à tau+ variables représentant 1C de l’actifL

• les actions @la partie ors (uro comporte une couverture contre le risque de can!eA

représentant 2>C de l’actifL

• l’immobilier représentant 4>C de l’actifL

• les O-.9/ de tau+ @fractionnée en plusieurs poces d’O-.9/ de ratin!s différentsA

représentant 0C de l’actif%

.acune de ces classes est caractérisée par sa valeur nette comptable @9N.A et sa valeur boursi're

@9:A ainsi que par les maturités pour les tau+ fi+es et tau+ variables%

&e mod'le peut é!alement prendre en compte des options en portefeuille comme les caps* les floors

ou les caps d7namiques%

1.3.1.1. Les obli!ations d’état " tau# fi#es

$escription de la poc%e en début de projection

.ette poce re!roupe les obli!ations à tau+ fi+es du portefeuille et la trésorerie @assimilée à un 8éro"

coupon de maturité nulleA% (lle est traitée sous forme dobli!ations 8éro"coupon de maturité

semestrielle ce qui présente les avanta!es suivants ;

• le nombre d’obli!ations à considérer est fortement réduit ; toutes les obli!ations 8éro"

coupon sont sommées par maturité et le nombre dobli!ations est ainsi é!al au nombre de

maturités @nous pouvons ainsi passer de 2>>> obli!ations pour un !ros portefeuille à 6>

obli!ationsVAL

• la !estion de ladossement du passif est facilitée ; les durations des obli!ations considérées

sont é!ales à leur maturité%

Il est donc nécessaire de convertir les obli!ations couponnantes à tau+ fi+e en obli!ations 8éro"

coupon% .ette opération consiste à traiter caque flu+ dobli!ation @coupon ou remboursement de

capitalA comme une obli!ation 8éro"coupon indépendante définie par ;

• sa maturité i* e+primée en semestres ; pour simplifier* caque obli!ation 8éro"coupon

obtenue est assimilée à l’écéance semestrielle la plus proce @soit 0>>=## ou 0442##A L

• son flu+* Blu+i L

• son tau+ de rendement actuariel* )R#i* qui est celui de l’obli!ation couponnante initiale@donné en inputA L

• son tau+ de rendement actuariel boursier à la date de calcul considéré* )R#Wboursieri qui est

celui de l’obli!ation couponnante initiale @donné en inputA%


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(nfin* cette poce int'!re la poce trésorerie assimilée au 8éro coupon de maturité nulle% (lle

re!roupe tous les montants de trésorerie du fonds étudié% (n début de pro,ection* la trésorerie est

supposée inté!rer l’écart entre actif investi et passifs @provisions tecniques et réserve de

capitalisationA% (n réalité* cette trésorerie du mod'le est composée d’une trésorerie réelle et

d’éléments d’a,ustements @désadossement possible à la mar!e sur un laps de temps courtA% Soit ;

• )(____)(__)( 0000 t tresohorsactif totaleVNC t passif totaleVNC t VNC −= • )()( 0000 t VNC t VB =

&ieillissement semestriel de la poc%e 'a(ant pilota!e du fonds)

&e vieillissement de cette poce est fra!menté par maturité de 8éro"coupon% &es 9N. et 9:

recalculées individuellement sont ensuite sommées pour donner celles de la poce !lobale%

# caque fin de semestre* il faut déterminer le cas provenant du 8éro"coupon arrivant à maturité et

recalculer les 9N. et 9: des autres 8éro"coupons%

#vant de détailler ces différents calculs* nous rappelons que le )R# mo7en du 8éro"coupon de

maturité i reste incan!é* soit ; )R#Wmo7eni@sA Y )R#Wmo7eniZ4@s"4A

• &e cas provenant du 8éro coupon arrivant à maturité @i"e de maturité iY4 au semestre

précédentA est déterminé comme suit ;

[ ] 2 / 111 )1(_1)1()( −+×−= smoyenTRAsVNC sCashFlowTF .e montant est transféré entrésorerie%

• &es 9N. des 8éro"coupons de maturité i[4 sont vieillies en capitalisant au )R#Wmo7en* soit ;

[ ] 2 / 111 )1(_1)1()( −+×−= ++ smoyenTRAsVNC sVNC iii • &es 9: des 8éro"coupons de maturité i[4 sont recalculées avec la nouvelle courbe des tau+ du

semestre s*

Soit

2 / 1

)(1)(1)()(

+

+×=

s ZC sTRAsVNC sVB

i

iii

#u !lobal* nous avons ( )∑=

=

80

1

)()(i

i sVBsVB et ( )∑=

=

80

1

)()(i

i sVNC sVNC

(t )()1()()(_Re sCashFlowsVNC sVNC sTF venus TF +−−=

D’autre part* en fin de caque semestre* la trésorerie est vieillie au tau+ sans risque et alimentée par

tous les

flu+ issus des différentes classes d’actifs* soit ;

[ ] ∑++×−== actifsd classes actif d classe sCashFlows ZC sVBsVBsVNC

__

__2 / 1

0000 )()(1)1()()(

Limites de cette modélisation

&e découpa!e en 8éro"coupons présente les limites suivantes ;

• l’a!ré!ation des 8éro"coupons peut masquer le fait que certaines obli!ations soient en plusvalues latentes et d’autres en moins values latentes%

• pour a,uster la duration de l’actif* nous pouvons tre amenés à vendre un coupon d’une

obli!ation sans vendre le nominal ce qui n’est pas possible dans la réalité%

• #bsence de défaut sur les obli!ations d’état%


18/9146

1.3.1.2. Les obli!ations d’entreprises a tau# fi#e

Le modele de credit de *arro+ Lando ,urnbull e#tended

1.3.1.2.1. adre- %pot%èses de tra(ail et notations

On consid're un marcé de la dette sans frictions que l’on dote d’un ori8on fini \>* ]^* oK les

transactions peuvent se faire en temps discret ou continu @On étudiera le temps continuA%

&’incertitude des marcés est représentée par un espace de probabilité filtré @_*ℚ* * A%

(n préalable* il faut poser les 7pot'ses suivantes ;

5ypothèse1; On suppose que le marcé des dettes est complet et sans opportunité d’arbitra!e% Il

e+iste donc une et une seule mesure de probabilité équivalente à sous laquelle les pri+

actualisés de tous les 8éro"coupons risqués et non risqués sont des martin!ales%

On notera par et les fonctions de probabilité et espérance conditionnellement à % On

dési!nera é!alement par le pri+ à l’instant t d’un 8éro"coupon non risqué qui pa7e de

mani're certaine un euro à l’instant ) et par le pri+ à l’instant t d’un 8éro"coupon risqué*

avec %

Dans le cas d’un 8éro"coupon risqué* l’euro promis peut ne pas tre enti'rement versé si la firme fait

faillite avant )% Si tel est le cas* la firme ne paie qu’une fraction %

.ette fraction * appelée tau+ de recouvrement peut dépendre de la séniorité de la dette attacée

à ce 8éro"coupon risqué relativement au+ autres éléments du passif de la firme%

5ypothèse2 ; &e tau+ de recouvrement est considéré comme une constante e+o!'ne%

&e coi+ de fi+er ce param'tre s’impose par souci de simplicité pour la suite% .omme cela est montré

dans JarroP et )urnbull @4331A* cela implique que la structure stocastique des spreads de crédit sera

indépendante du tau+ de recouvrement* et ne dépendra que de la structure des tau+ spot et du

processus de faillite% /ais cette 7pot'se peut aisément tre rel`cée* en considérant des tau+ derecouvrement stocastiques @cf% Das et )ufano @4331AA%

1.3.1.2.2. /(aluation d’un 0érocoupon risqué

Soit le temps aléatoire oK survient la faillite et la fonction indicatrice de

l’événement %

Notons que si la faillite intervient avant la date )* on convient que le détenteur de la dette recevra de

faHon certaine à la maturité du contrat% Si tel n’est pas le cas* le détenteur recevra 4 euro à la

maturité%


19/9143

(n considérant les flu+ perHus à la date )* selon que la faillite survient ou pas* la valeur en t de

l’obli!ation risquée de maturité ) est donnée par ;

-our avancer* nous aurons besoin de faire l’7pot'se suivante ;

5ypothèse0 ; &e processus stocastique du tau+ spot sans risque et le processus de

faillite* représenté par la variable aléatoire * sont statistiquement indépendants sous la probabilité

%

.ette 7pot'se est utile pour trouver une formule simple de valorisation% (lle implique que le

processus de faillite @sous la probabilité risque"neutreA n’est pas corrélé à celui des tau+ d’intért

spot sans risque% Sous la structure additionnelle imposée ci"dessus* cela impose é!alement au

processus de faillite @sous la probabilité istoriqueA d’tre dé"corrélé des tau+ d’intért spot sans

risque%

Sous l’7pot'se d’indépendance des processus* l’équation @4%b%4A devient;

&e pri+ de l’obli!ation 8éro"coupon risquée est é!al à la valeur d’un 8éro"coupon sans risque

multipliée par le pa7off espéré au temps )%

On voit bien que les déterminants de l’évolution de la structure par termes de la dette risquée sont

au nombre de trois ;

• &a structure par termes de la dette non risquée

• &e tau+ de recouvrement

• la structure par termes de la probabilité de défaut* et en particulier la loi du temps aléatoire

d’occurrence de la faillite* sous la probabilité martin!ale* qui dépend fortement de

l’évolution du ratin! au cours du temps%

-our modéliser convenablement la diffusion de l’actif crédit* il nous faudra donc modéliser ces trois

facteurs%

&a structure par termes de la dette non risquée est obtenue par les mod'les classiques de tau+

d’intért par e+emple Full Qite :lac arasinsi* FJ/* etc%A%

&e tau+ de recouvrement est une constante e+o!'ne du mod'le%

Il reste donc à donner une modélisation de la probabilité de défaut d’une obli!ation* et plus

particuli'rement du lien e+istant entre l’évolution du ratin! d’une obli!ation et l’imminence d’une

faillite%

Nous allons e+pliciter cette derni're en calculant la matrice de transition risque neutre par le mod'le

JarroP &ando et )urnbull e+tended%

1.3.1.2.3. alcul de la matrice de transition risque neutre

&es mod'les reposant sur la métode J&) coisissent de représenter cette distribution comme étantcelle d’un temps d’atteinte d’une cane de /arov* dont les états pertinents seraient les différents

ratin!s et l’état de défaut%


20/912>

On coisit de modéliser la distribution des temps de défaut dans une économie oK les écan!es se

font de mani're continue% &e continuum temporel permet d’effectuer des calculs rapides !r`ce au

calcul stocastique% .ela permet aussi de mieu+ paramétrer le processus de banqueroute pour avoir

des a,ustements plus précis lors des estimations%

On consid're une caine de /arov dans un état fini S Y 4*2*


21/9124

OK est le coefficient multiplicatif servant à diffuser la matrice istorique% On suppose qu’il suit la

d7namique d’un mod'le .IR @.o+ In!ersoll RossA ;

&’avanta!e d’utiliser une diffusion de t7pe .IR est qu’elle permet d’obtenir presque srement des

a,ustements de prime strictement positifs%&e !énérateur risque neutre devient ;

&a matrice de risque neutre de transition de ratin!s entre les instants t et ) est alors donnée par la

formule ;

&e deu+i'me avanta!e de l’utilisation d’une diffusion de t7pe .IR est qu’il permet de calculer

l’e+pression @I%4%b%A par une formule fermée%

Nous détaillons ici la mani're dont le calcul a été fait%

Supposons que la matrice de transition istorique soit dia!onalisable ;

#vec

Il est alors aisé d’établir que les valeurs propres de la matrice sont dans le disque unité et qu’on a par

conséquent la possibilité d’écrire que ;

OK ;

On obtient finalement l’e+pression suivante pour la matrice risque neutre de mi!ration de ratin!s ;

OK ;

pour tout * est calculable par

formule fermée%

Y

#vec ;

OK l’on pose ;


22/9122

&a matrice de transition risque neutre étant donnée* nous pouvons donc définir la probabilité de

défaut donc de survie pour caque ratin!%

Lemme1 ; Supposons que la firme se trouve à l’état i à l’instant t* soit et

définissons % #lors

Nous pouvons à présent valoriser les 8éro"coupons risqués en utilisant l’équation @4%b%2A* soit

OK ;

&a probabilité de survie de la classe i est donnée par le lemme4%

&e pri+ de l’obli!ation sans risque Y )(sVBi est obtenu à partir des mod'les classiques de

tau+ @e+emple ; Full Qite* :lac"arasinsiA%

&e tau+ de recouvrement est un input du mod'le%

Limiites de cette modélisation crédit

&e mod'le de crédit présente les limites suivantes ;

• l’a!ré!ation des 8éro"coupons peut masquer le fait que certaines obli!ations soient en plus

values latentes et d’autres en moins"values latentes%

• pour a,uster la duration de l’actif* nous pouvons tre amenés à vendre un coupon d’uneobli!ation sans vendre le nominal ce qui n’est pas possible dans la réalité%

• S’il 7 a défaut sur un 8éro"coupon* cela sous"entend un défaut sur plusieurs 8éro"coupons% .e

que le mod'le ne capte pas%

1.3.1.3. Les OA,

$escription de la poc%e

&’ob,ectif est de !arder le mme t7pe de risque sur cette poce tout au lon! de la pro,ection% &e

fonctionnement retenu est donc basé sur un recar!ement à duration constante caque semestre*

afin de !arder une O#)i de mme duration tout au lon! de la pro,ection% .ette poce sera modélisée

comme la poce #ctions pour laquelle une straté!ie a été prise en compte dans les scénarios%

cénarios

.aque semestre* il faut déterminer la formule de performance semestrielle de la poce% .ette

performance basée sur la straté!ie d’acatvente d’O#)i est calculée comme suit ;

1)1(_

)(_)( −

−=

sachat prix

svente prixs perf

OK pri+Wvente@sA est le pri+ de vente de l’O#)i au semestre s et pri+Wacat@s"4A son pri+ d’acat au

semestre précédent%

Dans le scénario* nous supposons tou,ours que l’O#)i racetée présente les mmes caractéristiquesà l’émission que celle que l’on vend et que la date d’acat concide avec la date d’émission de l’O#)i%


23/9120

De plus les coupons sont supposés tomber suivant le mme pas que les scénarios @soit un pas

semestriel dans le cas de cette étudeA%

On rappelle que les O#)i sont des obli!ations d’(tat a7ant un coupon à tau+ réel fi+e dont le nominal

est !aranti au pair% &e principal est couvert contre l’inflation par une inde+ation sur une référence

quotidienne%

&es coupons sont é!alement couverts contre l’inflation* le coupon annuel correspondant à un

pourcenta!e fi+e du nominal inde+é sur l’inflation% &es cotations se font en pri+ réels @ors inflationA%

&es caractéristiques !énérales de l’O#)i modélisée dans cette poce sont les suivantes ;

Nominal ; 4%

/aturité ; m @pour cette étude* mY4> ansA

Duration ; d @pour cette étude* dY6ansA

.oupon fi+e ; le coupon fi+e est déterminé à la date d’émission s en fonction du tau+ 8éro"

coupon de duration d* auquel l’inflation est retirée* soit ; .oupon@sA Y ma+ \X.n@sA E

inflation@sA L >^%

&e pri+ d’une telle obli!ation se définit par l’actualisation des flu+ au+ tau+ 8éro"coupon de la

duration d @soit 6 ans pour notre étudeA% &es flu+ sont de deu+ natures ; les coupons et le

remboursement du capital ;

&es coupons correspondent au coupon fi+e capitalisé à l’inflation% &’inflation future étant inconnue*

nous cristallisons la derni're connue%

&e remboursement du capital suit la mme r'!le de capitalisation à l’inflation avec* dans le cas d’une

inflation né!ative* l’option d’tre remboursé au pair%

&e pri+ d’acat est alors déterminé somme suit ;m

d

im

i d s ZC

slation

s ZC

slation

scouponsachat prix

+

++

+

+×=

∑= )(1))(inf 1;1max(

)(1

)(inf 1

)()(_ 1

(t le pri+ de vente est déterminé suivant les mmes r'!les de calcul* en considérant l’obli!ation

vieillie d’un semestre% # cette date nous connaissons l’inflation réalisée de la premi're période ainsi

que la nouvelle inflation qui sera cristallisée% .omme l’obli!ation a vieilli d’un an* nous prendrons le

tau+ 8éro coupon n"4 pour actualiser tous les flu+%

&e pri+ de vente est donc calculé comme suit ;1

1

1

1 1 )1(1

))1(inf 1;1max(

)1(1

)1(inf 1))1(inf 1()()1(_

−

−

−

= −

++

+++

++

++×−+×=+ ∑

m

d

im

i d s ZC

slation

s ZC

slationslationscouponsvente prix

Remarque ; pour estimer le vrai pri+ de l’obli!ation il faudrait tenir compte de l’option sous",acente

de la !arantie de remboursement au pair% .elle"ci étant difficile à apprécier et ne correspondant pas

à un intért ma,eur du titre* nous pourrons le supprimer de la formule si nous souaitons conserver

au+ scénarios leur propriété de risque neutre%

#vec le scénario inflation et la courbe des tau+ recalculée semestriellement dans le moteur #&/*

nous disposons des éléments nécessaires pour calculer les performances semestrielles de la poce

O#)i pour les 0> années de pro,ection%

&ieillissement de la poc%e

&e mécanisme de vieillissement de cette poce est donc identique à celui de la poce #ctions* tout

comme mécanisme d’acats et ventes d’actifs @cf% 4%0%4%1A%


24/9125

1.3.1.4. Les obli!ations " tau# &A5A6L/

$escription de la poc%e en début de projection

.ette poce re!roupe les obli!ations à tau+ variables%

Nous rappelons que ces obli!ations se décomposent en détacements de coupons variables et d’un

remboursement fi+e ;

• les coupons sont calculés sur la base d’un tau+ de référence @comme le )(.4> par e+empleA*

auquel vient s’a,outer une mar!e additive @spread* le plus souvent né!atifA% &es montants des

coupons varient donc en fonction du niveau atteint par le tau+ de référence à caque date

de détacement de coupon L

• le remboursement est quand à lui fi+e ; son montant est déterminé à la date d’émission de

l’obli!ation%

.ontrairement au+ obli!ations à tau+ fi+es @qui peuvent tre démembrées en 8éro"coupons de mme)R#A* le démembrement des obli!ations à tau+ variables en 8éro"coupons ne permet pas d’obtenir

des flu+ omo!'nes et déterministes pour une mme maturité ; la valeur de caque flu+ dépend

d’un tau+ de référence dont il faudra estimer la valeur à caque pas%

.ependant* pour un mme tau+ de référence et en calculant une mar!e additive mo7enne par

maturité* nous pouvons nous ramener à des flu+ de coupons omo!'nes% -our simplifier toutes les

obli!ation de la poce tau+ variables sont supposées tre inde+ées sur un tau+ 4> ans @ce qui est le

cas pour la plupart des obli!ations tau+ variables détenues par #$#A et donc avoir le mme tau+ de

référence% #insi les obli!ations de la poce peuvent tre démembrées en flu+ omo!'nes re!roupés

par maturité* et ce sur une durée ma+imum de 42 ans ;

Nous obtenons une poce composée de 25 obli!ations fictives cacune caractérisée par ;

g sa maturité i* e+primée en semestres Lg son capital .apitali @somme des capitau+ des obli!ations de maturité iA L

g son indice de référence* un tau+ 4> ans L

g sa mar!e additive* /addi%

Nous notons que ;

• le tau+ 4> ans est assimilé au tau+ 8éro"coupon de maturité 4= semestres @nous faisonsl’appro+imation qu’une obli!ation de maturité 4> ans h 8éro"coupon de duration 6 ansA et

nous déterminons le tau+ forPard 4= semestres dans i semestres à la date s par ;

1))(1(

))(1()(

16 / 116

16

,16 −

+

+=

+

+

i

i

i

i

it ZC

t ZC s ZC

• les détacements de coupons sont modélisés en pas semestriel%

# partir des caractéristiques de caque obli!ation de maturité i* nous déterminons les formules

téoriques suivantes ;

• valeur de bilan ; caque 9N. est assimilée au capital* soit ; ii CapitalVNC =

• valeur boursi're ; la 9: est calculée par actualisation des flu+ au+ tau+ 8éro"coupon* soit ;

i

i

k k

k

ik

i Capitalt ZC

Madd t ZC VB ×

+

+

+= ∑

=

1))(1(

2 / ))((

1 0

0,8


25/9121

.onnaissant les 9N.i et 9:i en début de pro,ection @somme des 9N. et 9: des obli!ations de

maturité i du portefeuilleA* les formules ci"dessous nous permettent de déterminer les mar!es

additives /addi en résolvant l’équation ;

i

i

k

k

k

ik

i VNC

t ZC

Madd t ZC VB ×

+

+

+= ∑

=

1

))(1(

2 / ))((

1 0

0,8

#u !lobal* nous avons ; ( )∑=

=

24

1

)()(i

i sVBsVB et ( )∑=

=

24

1

)()(i

i sVNC sVNC

&ieillissement semestriel de la poc%e 'a(ant pilota!e du fonds)

&e vieillissement de la poce est fra!menté par maturités% &es 9N. et 9: recalculées

individuellement sont ensuite sommées pour donner celles de la poce !lobale%

# caque fin de semestre* il faut déterminer le cas provenant des détacements de coupons de

toutes les obli!ations ainsi que du remboursement du capital de l’obli!ation arrivant à maturité @i"ede maturité 4 au semestre précédentA% Il faut é!alement recalculer les 9N. et 9: des obli!ations%

#vant de détailler ces calculs* nous rappelons que la mar!e additive et le capital de l’obli!ation de

maturité i restent incan!és* soit ;

)1()( 1 −= + s Madd s Madd ii et )1()( 1 −= + sCapitalsCapital ii

&e cas tombant en fin de semestre s est la somme du remboursement de l’obli!ation arrivant à

écéance @de maturité iY4 au semestre précédentA et des coupons des autres obli!ations% Il concide

avec les revenus financiers de la poce des tau+ variables* soit ;

i

i

i

i Capitals Madd s ZC

sCapitalscashflowTV sTV venus ×

++−== ∑

=

24

1

8

2

)()()1()()(_Re

.e montant est transféré vers la poce des tau+ fi+es en tant que 8éro"coupon de maturité nulle@assimilé à la trésorerieA%

&es 9N. en fin de caque semestre sont supposées tre é!ales au capital* soit ;

)()( sCapitalsVNC ii =

&es 9: sont recalculées comme à la date de début de la pro,ection* soit ;

)(1))(1(

2 / ))()(()(

1

,8sCapital

s ZC

s Madd s ZC sVB i

i

k k

k

ik

i ×

+

+

+= ∑

=

#u !lobal* nous avons ;

( )∑=

=

24

1

)()(

i

i sVBsVB et ( )∑=

=

24

1

)()(

i

i sVNC sVNC

Mécanisme des ac%ats et (entes d’actifs sur les poc%es tau# fi#e

&ors du pilota!e du fonds* le mod'le est amené à réaliser des acats ou des ventes d’actifs sur ces

poces% &e mécanisme est le suivant @à la date tA ;

• (n cas d’acat d’actifs pour un montant /t @en 9:A ;

o Mt t VBt VB avant apres += )()(

o Mt t VNC t VNC avant apres += )()(

o &e montant des -/9& est incan!é ; )()( t PMVLt PMVL avant apres =


26/912=

• (n cas de vente d’actifs pour un montant /t @en 9:A ;

o )(

)()()(

t VB

t VBt VBt VB

avant

apres

avant apres ×=

o &e montant des -/9& est recalculée ; )()()( t VNC t VBt PMVL apresapresapres −=

o &e montant des -/9R est donnée par ;)()()( t PMVLt PMVLt PMVR apresavant apres −=

Nous notons que les plus ou moins"values réalisées vont impacter la réserve de capitalisation% Si

-/9RT> et

))()()(_,0()(_ )0()0( ++= PMVRsiaprèsPMVRsiaprèsaprèsaprès t PMVRt PMVRt capi Réserve Maxt capi Réserve

&a réserve de capitalisation est tou,ours positive ou nulle% (lle est dotée si -/9R est positif* reprise si

-/9R est né!atif% (lle est reprise dans la limite du stoc disponible% )outefois* si -/9RT> et

-/9R[@réserve de capitalisationA* l’écart entre réserve de capitalisation et -/9R est impacté dans

les produits financiers @et tau+ de produits financiersA%

1.3.1.7. Les autres classes d’actifs 8 actions- immobilier- opc(m de crédit9

&es autres classes d’actifs prises en compte dans le mod'le sont les suivantes ;

• actions L

• immobilier L

• O-.9/ de crédit @trois classes distinctes suivant les ratin!sA%

&a modélisation de ces classes d’actifs est spécifiée dans un para!rape commun car le mod'le traite

cacune de ces poces de mani're identique% -our cacune de ces classes* il faut saisir l’allocation

cible à atteindre caque année @la métode veut un maintien constant sur toute la durée de lapro,ectionA% .ette allocation s’e+prime en pourcenta!e de la 9: totale du portefeuille%

$escription des poc%es en début de projection

!es actions

.ette poce re!roupe les actions détenues en direct ou via O-.9/ qui sont modélisées dans leur

ensemble%

#u début de la pro,ection* nous déterminons la 9N. et la 9: de la poce en sommant celles de

toutes les actions et O-.9/ actions du portefeuille%

!’immobilier

.ette poce re!roupe les titres immobiliers qui sont modélisés dans leur ensemble% Il n’7 a pas de

différentiation des titres immobiliers par t7pe de sous",acent @bureau* commerce* abitation* etc%A ni

par 8one !éo!rapique% #u début de la pro,ection* nous déterminons la 9N. et la 9: de la poce en

sommant celles de tous les titres immobiliers du portefeuille%

!es 436M de crédit

&a poce O-.9/ re!roupant les O-.9/ de crédits est fractionnée en trois poces distinctes

correspondant cacune à un certain niveau de ratin!% #insi ;

g la poce O-.9/4 re!roupe les O-.9/ de ratin! ### Lg la poce O-.9/2 re!roupe les O-.9/ de ratin! ## L


27/912

g la poce O-.9/0 re!roupe les O-.9/ de ratin! # et :: L

#u début de la pro,ection* nous déterminons les 9N. et 9: de cacune de ces poces en sommant

celles des

O-.9/ du portefeuille% Il faut cependant retirer les parts d’O-.9/ de tau+ à sensibilité actions et

a,outer les parts d’O-.9/ d’actions à sensibilité de tau+ @transparisation6 des O-.9/A%

&ieillissement semestriel des actifs 'a(ant pilota!e du fonds)

# caque fin de semestre* il faut déterminer les montants de dividendes et recalculer les 9N. et 9:

de caque poce suivant les performances renvo7ées par le scénario% -our caque classe d’actif i*

nous avons ;

&e flu+ issu des dividendes est donné par ;

)()1()( sdivsVBsCashflow iii ×−= oK divi@sA est le tau+ de dividende de la classe d’actif i pour le

semestre s @donné par les scénarios d’actifsA% Il concide avec le revenu financier de la poce ; )()(Re sCashflowsvenus ii =

&a 9N. reste constante* soit )1()( −= sVNC sVNC ii

&a 9: est vieillie en fonction de la performance de la poce ; [ ])(1)1()( s perf sVBsVB iii +×−= oKperf@sA est la performance du scénario pour le semestre s%

Nous avons alors le montant de plus ou moins value latente donné par ;

)()()( sVNC sVBsPMVL iii −= %

Mécanisme des ac%ats et (entes d’actifs sur ces poc%es

&ors du pilota!e du fonds* le mod'le est amené à réaliser des acats ou des ventes d’actifs sur ces

poces% &e mécanisme est le suivant @à la date tA ;

• (n cas d’acat d’actifs pour un montant /t @en 9:A ;

o Mt t VBt VB avant apres += )()(

o Mt t VNC t VNC avant apres += )()(

o &e montant des -/9& est incan!é ; )()( t PMVLt PMVL avant apres =

• (n cas de vente d’actifs pour un montant /t @en 9:A ;

o )(

)()()(

t VB

t VBt VBt VB

avant

apres

avant apres ×=

o &e montant des -/9& est recalculée ; )()()( t VNC t VBt PMVL apresapresapres −=

o &e montant des -/9R est donnée par ;

)()()( t PMVLt PMVLt PMVR apresavant apres −=

Nous notons que les plus ou moins values sont traitées de mani're !lobale sur l’ensemble de caque

poce ; nous ne considérons pas que certains titres puissent tre en plus value si la poce est en

moins value dans son ensemble et réciproquement%

6

)ransparisation ; métode consistant à ventiler l’O-.9/ selon les titres sous",acents afin demieu+ prendre en compte les sensibilités du titre !lobal comme étant la somme de sensibilités

particuli'res @tau+* action* immobilier* inflation* spreadA%


28/9126

1.3.2. /laboration des scenarios stoc%astiques

&es poces d’actifs sont vieillies suivant des scénarios stocastiques% &a !énération de ces scénariosest effectuée par l’(S? @(conomic Scenario ?eneratorA% &’utilisation de ce !énérateur de scénarios

offre é!alement un !ain de temps non né!li!eable%

Une multitude de scénarios stocastiques sont ainsi !énérés par l’(S?% .es scénarios économiques

renvoient par pas semestriel la courbe des tau+ ainsi que les niveau+ de dividendes et de

performances @nettes du dividendeA de certaines classes d’actifs purs% .et ensemble de scénarios est

!énéré avec une matrice de corrélation entre les différents actifs%

Nous avons retenu 4>>> scénarios car ce nombre assure une conver!ence des métriques les plus

couramment utilisées dans le cadre du portefeuille de prévo7ance collective% (n effet* les écarts sont

faibles entre des calculs 4>>> scénarios et 2>>> scénarios sur la médiane et centiles 4C et 2C%

&a distribution des scénarios est la suivante ;

4>>> scénarios M monde réel @real Porld RQ ou probabilité istoriqueA% .es 4>>> scénarios

sont centrés autour dun scénario représentant une estimation consensuelle du futur en

incluant des primes de risque istoriques pour les actifs volatils%

4>>> scénarios M risque neutre et M maret consistent @coérent avec la courbe des tau+

initialeA% .es 4>>> scénarios sont totalement soumis à la courbe des tau+ sans risque à la date

de l’étude @lensemble des classes dactifs est rémunéré au tau+ des actifs sans risque* i%e% les

emprunts détat et ces scénarios nincorporent donc aucune prime de risqueA% .e second ,eu

de scénarios est sans opportunité d’arbitra!es% Il est utilisé pour le calcul de la 9alue @utiliséepour les calculs d’(mbedded 9alue stocastiqueA%

&e ,eu de scénarios RQ est retenu car il prend en compte la réalité du rendement et risque des actifs%

.e ,eu de scénario ne permet pas de déduire une ((9 et ce n’est pas l’ob,ectif% Si on utilisait un ,eu de

scénario risque neutre* on retiendrait une allocation 4>>C obli!ataire et sans risque voire une

allocation 4>>C trésorerie% (n effet* la probabilité risque neutre énonce que les actifs ont tous le

mme rendement en espérance @le tau+ sans risqueA mais une volatilité différente @plus élevée pour

l’action ou l’immobilierA%

Suivant les classes d’actifs* les scénarios !énérés sont utilisés directement ou retravaillés pour

prendre en compte d’éventuelles straté!ies de couverture @c’est le cas de la poce #ctions par

e+empleA% Nous détaillons ci"dessous les mod'les retenus pour la !énération des scénarios%

1.3.2.1. La courbe des tau# et l’inflation

Nous !énérons deu+ courbes des tau+ ;

la courbe des tau+ nominau+ L

la courbe des tau+ réels%

&’inflation est ensuite obtenue par différence entre le tau+ nominal et le tau+ réel%


29/9123

&a courbe des tau+ nominau+

.elle"ci est diffusée à caque pas à partir du mod'le de :lac"arasinsi à deu+ facteurs ;)()ln(lnln

1

11211 dt dW dt r r r d t γ σ α ++−×=

)()ln(ln2

2222 dt dW dt r r d t γ σ µ α ++−×=

#vec ;

• r4 est tau+ instantané initial

• r2 est tau+ mo7en terme initial

• j est le lo! du tau+ infini

• k4* k2* 4 et 2 sont des constantes d’élasticité et de volatilité des tau+ déterminées en débutde pro,ection ; elles permettent le calibra!e économique du mod'le% .e calibra!e est basé

sur l’adéquation en début de pro,ection entre la courbe des tau+ réelle et celle recalculéesuivant le mod'le% &es alpas correspondent au+ vitesses de retour à la mo7enne et les

si!mas correspondent au+ volatilités des tau+ r4 et r2%

• permet de ,ouer sur le sur le niveau de prime de risque ;o pour les 4>>> scénarios M mana!ement case * >

o pour les 4>>> scénarios M risque neutre * Y >

• Q4 et Q2 sont deu+ mouvements broPniens indépendants%

# caque pas* les nouvelles valeurs de r4 et r2 sont calculées suivant ce processus de diffusion et une

fonction de :F se car!e de recalculer la courbe des tau+%

&a courbe des tau+ réels

.elle"ci est diffusée à caque pas à partir du mod'le de 9asice à deu+ facteurs ;

)()(1

11211 dt dW dt r r dr t γ σ α ++−×=

)()(2

2222 dt dW dt r dr t γ σ µ α ++−×=

#vec ;

• r4 est le tau+ instantané initial

• r2 est le tau+ mo7en terme initial

• j est le tau+ infini

•

k4* k2* 4 et 2 sont des constantes d’élasticité et de volatilité des tau+ déterminées en début depro,ection ; elles permettent le calibra!e économique du mod'le% .e calibra!e est basé sur

l’adéquation en début de pro,ection entre la courbe des tau+ réelle et celle recalculée suivant le

mod'le% &es alpas correspondent au+ vitesses de retour à la mo7enne et les si!mas

correspondent au+ volatilités des tau+ r4 et r2%

• permet de ,ouer sur le sur le niveau de prime de risque ;

pour les 4>>> scénarios M mana!ement case * > pour les 4>>> scénarios M risque neutre * Y >

• Q4 et Q2 sont deu+ mouvements broPniens indépendants%

# caque pas* les nouvelles valeurs de r4 et r2 sont calculées suivant ce processus de diffusion et

permettent de restituer la courbe des tau+%


30/910>

1.3.2.2. cénarios Actions et immobilier

-rocessus de diffusion

&a d7namique suivie est une loi lo!"normale ;s

t s

s

t t dW dt q pr S d σ σ

+−−+= )2

(ln2

#vec ;

• rt est le tau+ nominal instantané

• p est la prime de risque @déterminée de mani're istoriqueA ;

o pour les 4>>> scénarios M mana!ement case * p >

o pour les 4>>> scénarios M risque neutre * p Y >

• q est le tau+ continu de dividende

• t est la volatilité @déterminée de mani're istorique ou impliciteA

• Qs est un mouvement broPnien corrélé à Q4 ; corr@Qs *Q4A Y

&es actifs sont aussi corrélés entre eu+ avec une matrice de corrélation !énérée comme suit ;

?énération de :roPniens indépendants !r`ce à :o+"/uller

• ()randomu =

()randomv =

)2cos()ln(2 π ×−= u B

i B de matrice variance covariance Identité%

• Décomposition de .olesi de la /atrice de corrélation ; /atriceWcorrélationY&%&)

OK & est une matrice trian!ulaire inférieure @décomposition possible si /atrice est définie

positiveA

.réation des :roPniens corrélés ;

×

=

iaction B

lll

ll

l

W

333231

2221

11

0

00

nous avons en effet ; Id L L Bar Var L LW ar Var T T

action ×=×= .)(cov_.)(cov_

Scénario #ctions

#$# a une politique de diversification actions à travers plusieurs O-.9/ dédiés% &es !érants #$#

sélectionnent les pondérations des différents O-.9/ pour inté!rer les indices suivants ;

g (uro #$# Univers L

g US #$# Univers couvert contre le risque de can!e L

g U #$# Univers couvert contre le risque de can!e L

g Japon #$# Univers couvert contre le risque de can!e%


31/9104

Nous devons retranscrire cette M straté!ie dans le scénario #ctions qui sera utilisé par le mod'le%

-our cela* nous fabriquons notre propre scénario correspondant à ce bencmar @7"compris

couvertures de can!eA à partir des scénarios des classes d’actifs purs suivantes ;

(uro #$# Univers L US #$# Univers L U #$# Univers L Japon #$# Univers%

&a premi're étape consiste à inclure une straté!ie de couverture de can!e sur cacun des trois

derniers scénarios% .es scénarios ed!és

3

sont ensuite rebalancés suivant la composition dubencmar pour obtenir le scénario final pour la poce #ctions%

&es scénarios #ctions ainsi calculés renvoient les performances et dividendes de la poce #ctions en

tenant compte de sa composition* en pas semestriel sur les 0> ans de pro,ection%

Scénarios Immobilier

&es scénarios Immobiliers renvoient les performances et les dividendes par pas semestriel sur les 0>

ans de pro,ection%

1.3.2.3. cénarios OP&M de rédit

-rocessus de diffusion

&e processus de diffusion des scénarios crédit est détaillé en 4%0%4%2% Nous rappelons seulement que

la !énération des scénarios repose sur un mod'le de JarroP &ando )urnbull qui utilise ;

g une matrice de transition @risque neutre ou real PorldA L

g des corrélations intra obli!ations L

g des corrélations au marcé equit7 L

g un nombre d’obli!ations dans le portefeuille @diversit7 scoreA%

(t qu’elle nécessite les données de calibra!e suivantes ;

g ratin! L

g duration L

g .onve+ité%

.es données de calibra!es @nécessaires pour cacun des poces d’O-.9/ modéliséesA sont calculées

en début de pro,ection et sont supposées constantes sur toute la durée de pro,ection%

Scénarios O-.9/ de .rédit

&es scénarios O-.9/ de .rédit !énérés renvoient les performances et les dividendes par pas

semestriel sur les 0> ans de pro,ection%

3 couverts


32/9102

2. Spécificités du fonds de prévoyance étudié

2.1. L’actif :énéral Pré(oance

2.1.1. Périmètre de l’étude

&es contrats qui rentrent dans le cadre de cette étude couvrent le périm'tre de la prévo7ance et de

la santé collective% .e sont des contrats d’assurance à adésion obli!atoire* souscrits le plus souvent

par des entreprises au profit de leurs salariés%

&a prévo7ance collective rassemble lensemble des couvertures permettant au+ salariés et à leurs

familles de faire face à une insuffisance de revenus due à une maladie* un accident ou un déc's% &asanté collective quant à elle permet au+ salariés d’obtenir des remboursements de frais de soins% .es

couvertures viennent en complément des prestations servies par les ré!imes obli!atoires de sécurité

sociale ou les ré!imes de retraite complémentaire%

&es contrats de prévo7ance détenus par la société #$# Brance sont re!roupés en différents se!ments

;

• le se!ment B.#?-* @Bonds .ommun de l’#ctif ?énéral -révo7anceA* re!roupant tous lesautres contrats de prévo7ance collective%

• &e se!ment :N- -révo7ance @couverture des salariés sur des rentes de con,ointéducationA4>%

• le se!ment SNI- @Société Nationale de l’Industrie -armaceutiqueA qui re!roupe les contrats

des industries parmaceutiques%

.aque se!ment a une !estion d’actifs particuli're tenant compte de ses propres contraintes

tecniques% &es allocations d’actifs sont ré!uli'rement redéfinies par les équipes d’allocation% (lles

font l’ob,et de contrats de !estion transmis à #$# I/ @Investment /ana!ersA qui est en car!e

d’effectuer les investissements%

Dans les contrats du se!ment B.#?-* nous distin!uons les affaires directes @pour lesquelles nous

sommes l’assureurA des acceptations @pour lesquelles nous sommes le réassureurA% &es affaires

directes peuvent tre pour des emprunteurs ou des non emprunteurs% &es acceptations sont

souscrites par des institutions de prévo7ance ou des compa!nies d’assurances%

2.1.2. Les !aranties

&es !aranties apportées par les contrats de prévo7ance et santé sont les suivantes ;

• ?aranties Déc's ; elle se décline sous trois formes en cas de déc's de l’assuré ;g !arantie Déc's en capital ; versement d’un capital à un bénéficiaire coisi par

l’adérent @a noter ; en cas de perte totale et irréversible d’autonomie* l’adérent

4> &e contrat est un !roupe fermé ou en M run off ; seuls les bénéficiaires en cours de service de rente serontindemnisés* il n’7 a plus de primes entrantes au contrat% Il s’a!it d’un contrat courvrant les bénéficiaires de salariés de :N-%


33/9100

peut bénéficier du versement de ce capital par anticipation L ce versement anticipé

met fin à la !arantie Déc's en capitalA L

g !arantie Rente de con,oint ; versement d’une rente via!'re etou d’une rente

temporaire au con,oint de l’adérent L

g !arantie Rente éducation ; versement d’une rente à caque enfant à car!e de

l’adérent L le montant de cette rente peut évoluer avec l’`!e de caque enfant@selon les modalités définies dans les conditions particuli'resA%

• ?aranties Déc's accidentel ; versement d’un capital supplémentaire à celui prévu au titre dela !arantie déc's en capital%

• ?aranties #rrt de travail ; versement de prestations périodiques ré!lées sous forme

d’indemnités ,ournali'res ou de rentes suivant que l’adérent est en incapacité temporaire

de travail ou en invalidité permanente%

g le montant de l’indemnité ,ournali're est déterminé sur une base ,ournali're qui

peut tre revalorisée selon l’au!mentation de la valeur du point #?IR.%

g le montant de la rente d’invalidité est déterminé en fonction de la caté!oried’invalidité retenue @définies dans les .?A et peut tre revalorisée selon

l’au!mentation de la valeur du point #?IR.%

• ?aranties Brais de soins ; remboursement des frais de soins suite à une maladie* unematernité* un accident% .es remboursements peuvent tre de natures diverses ; prise en

car!e de tout ou partie du ticet modérateur* prise en car!e de tout ou partie des frais

réels* forfaits* etc%

-our plus de simplicité* nous distin!uerons tout au lon! de cette étude les trois brances suivantes ;

• la brance D. pour les !aranties Déc's @9ieA L

• la brance .OR-O pour les !aranties #rrt de travail et Déc's accidentel @9ieNon 9ieA L• la brance S#N)( pour les !aranties de santé @Non 9ieA%

&e tableau ci"dessous résume les différents t7pes de !aranties offertes ;

:R#N.F( #?R(/(N) RISU( #SSUR( )-( D( -R(S)#)ION

9ie .apital

D(.(S @sociétés 9ieA

Déc's toutes

causes Rente de con,oint

Rente déducation

Domma!es

corporels

Déc's

accidentel

/a,oration des prestations

déc's

.OR-O @sociétés mi+tesA Incapacité Indemnités ,ournali'res

Invalidité Rente invalidité

Domma!es

corporels Brais de soins Remboursement de frais

S#N)(@sociétés non"

9ieA

2.1.3. Les risques au passif et " l’actif du fonds


34/9105

)out assureur est confronté au+ risques des métiers qu’il e+erce* à savoir ;

• la commercialisation et la !estion des contrats d’assurance L

• la !estion financi're des portefeuilles de placements L

• la !estion des options implicites contenues dans les contrats%?lobalement* le premier risque se retrouve au passif du bilan et le second à l’actif% Nous allons

tenter d’identifier ces différents risques dans le fonds étudié ici%

2.1.4. Les risques induits par les options implicites du contrat

(n plus des !aranties tecniques qui constituent l’ob,et des contrats d’assurance* les assurés

bénéficient en effet de droits variés et de !aranties financi'res supplémentaires% .eu+"ci sont

conférés par la ré!lementation ou par des clauses contractuelles et sont destinés à rendre les

contrats d’assurance plus souples et plus attractifs commercialement% .es droits supplémentaires

sont parfois appelés M options cacées car ils ne font pas l’ob,et de contrats distincts mais sont

inérents à ceu+ souscrits par les assurés%

Nous distin!uons les droits suivants pour les contrats de prévo7ance étudiés ;

Options à la main des assurés ;o droit de résiliation Lo droit de bénéficier d’une revalorisation de leurs capitau+* à deu+ niveau+ ;

droit au )/? en cas de faible rendement du fonds%

droit à une participation au+ bénéfices en cas de fort rendement du fonds%

Option à la main de l’assureur ;

o droit de résiliation Lo droit de bénéficier d’une mar!e supplémentaire L

o droit de piloter le fonds L

o droit de coisir l’allocation d’actifs Lo droit de faire faillite%

Nous allons anal7ser cacune des options afin d’en comprendre les en,eu+ et les problématiquesen terme de modélisation%

2.1.4.1. Options conférées au# assurés

.oi+ de modélisation de la résiliation

Risque en cas de résiliation ; # tout moment* le souscripteur d’un contrat collectif peut décider

de résilier son contrat% &es clauses de résiliations sont né!ociées contrat par contrat ; elles peuvent

tre !aranties en valeur comptable ou en valeur de marcé%

&es résiliations en valeur comptable présentent un risque important pour l’assureur ; en cas de

forte baisse des marcés financiers* l’assureur devra faire des moins values et abonder pour restituerla somme due à l’assuré%

&es résiliations en valeur de marcé ne présentent pas ce risque% (lles représentent ,uste un

manque à !a!ner qui peut mettre en dan!er la compa!nie @car les frais !énérau+ sont constantsA%

&es décisions de résiliation des contrats collectifs tels que ceu+ souscrits en prévo7ance rel'vent

essentiellement d’en,eu+ politiques% Il parait alors difficile de modéliser une loi de cute d7namique

de résiliations d’une part parce que nous ne pouvons pas prévoir le comportement des souscripteurs

et d’autre part parce que les lois modélisées risqueraient d’tre trop volatiles @pour retranscrire le

poids important d’une résiliationA et donc trop dan!ereuses%

Nous coisissons donc de ne tenir compte que d’un scénario best"estimate de résiliations en

remarquant que l’assureur va utiliser son droit de pilota!e du fonds pour minimiser les résiliations et

donc en réduire la volatilité% &e tau+ de résiliation de ce scénario mo7en sera pris en compte dans les7pot'ses d’évolution du ciffre d’affaires%


35/9101

Droit à une revalorisation à deu+ niveau+

(n 9ie* la ré!lementation contraint les assureurs à revaloriser annuellement les provisions

matématiques% &e tau+ de revalorisation est la somme d’un tau+ tecnique* qui en constitue le

plancer et d’une participation au+ bénéfices qui est positive ou nulle% &es contrats de prévo7ance

sont soumis à cette r'!le en ce qui concerne les !aranties 9ie% (n ce qui concerne les !aranties Non

9ie* l’assureur n’a aucune obli!ation de distribution des bénéfices acquis% .ependant* la ma,orité descontrats de prévo7ance détenus par #$# Brance comportent é!alement une clause de participation

au+ bénéfices pour les !aranties Non 9ie% .eci s’e+plique par le fait qu’il est difficilement concevable

commercialement de distin!uer deu+ clauses distinctes pour un mme contrat% .’est pourquoi les

contrats ne comportent qu’une seule clause de -: @!aranties 9ie et Non 9ie confonduesA%

.es clauses sont né!ociées contrat par contrat% (lles en!a!ent l’assureur à reverser tout ou partie

de ses produits financiers au+ assurés* par dotation au+ provisions tecniques% (lles se traduisent en

terme de tau+ !arantis à deu+ niveau+ ; un tau+ tecnique et un tau+ de référence% (lles comportent

é!alement les clauses de mar!es conservées par #$#% Nous détaillons ces clauses* l’une apr's l’autre;

-remier niveau Y contrainte de tau+ tecnique @ou )/? pour )au+ /inimum ?arantiA

Il s’a!it d’un plancer de rémunération annuelle sur les contrats% Dans les contrats de prévo7ance

détenus par l’assureur* les tau+ tecniques !arantis varient entre 2C et 5%1C% Nous notonscependant qu’une absence de tau+ tecnique revient à un tau+ tecnique implicite à >C% -our le

paramétra!e* nous considérerons donc que tous les contrats ont un tau+ tecnique* ce dernier

pouvant varier de >C à 5%1C%

Deu+i'me niveau Y contrainte de participation au+ bénéfices

Il s’a!it d’une rémunération supplémentaire sur les contrats* qui dépend des résultats obtenus

sur le fonds% .es clauses de participation au+ bénéfices @-:A sont propres à caque contrat% Dans le

cadre de cette étude* nous considérons les quatre principau+ t7pes de tau+ de référence !arantis par

#$#* à savoir ;

le )au+ de -roduits Binanciers @)-BA ; tau+ comptable qui est é!al au tau+ de rendement de

l’actif* 7 compris plus ou moins values réalisées%

le )R. ; tau+ de revenu qui est é!al au tau+ de rendement de l’actif* ors plus ou moinsvalues réalisées% Il s’a!it d’un tau+ de revenu de l’actif avant toute action de pilota!e L il est

donc en r'!le !énérale inférieur au )-B%

une référence e+terne comme le )/O44* le )/(42* ou une mo7enne du )/O et du )/(%

le tau+ tecnique du contrat%

#u final* la clause de -: !arantie au+ assurés de recevoir le ma+imum entre le )/? et le tau+ de

référence* apr's déduction des mar!es financi'res prélevées par l’assureur% Nous notons que la

contrainte de )/? est nette de mar!e financi're* contrairement à celle de tau+ de référence%

&es mar!es pour l’assureur

&es mar!es né!ociées se décomposent en une mar!e fi+e et une mar!e variable e+primée en

pourcenta!e du tau+ de référence% # ces mar!es vient s’a,outer un troisi'me niveau de mar!e

correspondant au delta entre le tau+ disponible @)-BA et le tau+ distribué à l’assuré @)/? ou tau+ de

référenceA% .e troisi'me niveau de mar!e dépend directement du tau+ de référence né!ocié dans la

clause de -:%

Impact de ces clauses pour l’assuré et l’assureur

Nous vo7ons clairement que les clauses de -: sont tr's différentes tant pour l’assuré que pour

l’assureur suivant le tau+ de référence !aranti ;

• la clause de -: portant sur le )-B permet à l’assuré de recevoir la totalité des produits

financiers nets de mar!es financi'res% .ette clause est é!alement confortable pour l’assureur

44 &e )/O @tau+ mensuel obli!ataireA est calculé comme la mo7enne des )FO du mois% &e )FO @tau+ ebdomadaireobli!ataireA* cest le tau+ ebdomadaire du /arcé primaire des émissions à plus de ans% -ar convention* il est calculé

comme )(. Z >*21C% 42 &e )/( @tau+ mensuel des emprunts d(tatA est é!al à la mo7enne aritmétique des )F( sur un mois donné% Il estpublié par la .aisse des DépGts et .onsi!nations% &e )F( est maintenant calculé comme )(. 4> Z >*>1C%


36/910=

qui ne supporte d’un faible risque d’abondement ; seul un )-B né!atif en!endrerait un

abondement% /ais en contrepartie* il ne bénéficie ,amais du troisi'me niveau de mar!e%

• &es clauses de -: portant sur le )R. sont plus risquées mais aussi plus rentables pourl’assureur% Il peut en effet piloter son fonds afin d’obtenir un )-B supérieur au )R. et ainsi

bénéficier du troisi'me niveau de mar!e% /ais si cela n’est pas possible* il devra abonder

pour servir le tau+ !aranti%• &es clauses de -: portant sur des références e+ternes sont plus difficiles à !érer car le niveau

de ces tau+ ne dépend pas de la !estion de l’assureur% ?r`ce au pilota!e du fonds* ce dernier

peut cependant espérer avoir un )-B supérieur à ces tau+ de références et ainsi bénéficier du

troisi'me niveau de mar!e% (n contrepartie* si les tau+ de références sont supérieurs au )-B*

il devra abonder pour onorer ses en!a!ements%

• (nfin la clause de -: portant sur le )/? revient à une absence une clause de -: ; l’assureur

doit uniquement verser le )/? à l’assuré et conserve la totalité des produits financiers

supérieurs au )/?%

#nalo!ie avec des options financi'res

# travers ces clauses* nous vo7ons que l’assuré est proté!é contre une baisse du rendement dufonds @si )-B T )/?* l’assuré reHoit tout de mme le )/?A et contre une ausse des tau+ de

référence @si tau+ de référence [ )/?* l’assuré reHoit le tau+ de référenceA% Nous retrouvons une

analo!ie avec des options financi'res ; Si )-B T )/? * c’est l’option de )/? qui rentre à la monnaie%

&’assuré est proté!é contre une baisse du )-B% Il détient donc une option de t7pe put @renouvelée

annuellementA dont les caractéristiques sont les suivantes ;

• Nominal Y -/

• Date de début Y 4er ,anvier de caque année

• Date de fin Y 04 décembre de caque année

• Sous ,acent Y )-B

• Strie Y )/?

&a valorisation de cette option à écéance @pa7outA est donné par ma+@> L )/? " )-BA% (n effet*comme la -: servie est un pa7off @simplifiéA de l’ordre de )-B")/? versé à l’assuré%

Si )-B [ )/?* l’option de )/? est en deors de la monnaie% -ar contre l’option de -: rentre à la

monnaie%

&’assuré est proté!é contre une ausse du tau+ de référence% Il détient donc une option de t7pe

call @renouvelée annuellementA dont les caractéristiques sont les suivantes ;

• Nominal Y -/

• Date de début Y 4er ,anvier de caque année

• Date de fin Y 04 décembre de caque année

• Sous ,acent Y tau+ de référence

• Strie Y )/?

&e pa7out est donné par ma+@> L tau+ de référence " )/?A-roblématique

&’assureur cerce à matriser le risque induit par ces options à l’actif mais il se eurte à un

probl'me fondamental ; pour couvrir un risque* il doit tre en mesure d’en connatre la valeur% (t s’il

est vrai que les options de )/? et de -: s’apparentent à des options financi'res classiques* les outils

de pricin! tel que la téorie de :lac et Soles ne sont pas pour autant applicables à ces options% &es

raisons en sont nombreuses ; absence de marcé or!anisé* non"liquidité des contrats* comple+ité des

sous",acent* mutualisation des actifs du fonds<

Seul un recours à des simulations stocastiques reproduisant la vie de ces options face à

différents scénarios peut permettre d’en approcer leurs cots @pricin! empirique de t7pe /onte"

.arloA% .e cot sera bien évidemment non traduisible directement mais se retrouvera de mani're

implicite dans les sorties brutes calculées par le mod'le% .eci met en avant l’utilité fondamentale dustocastique et de l’#&/ dans la recerce de couverture optimale* ainsi que la nécessité de bien


37/910

identifier les caractéristiques des options à modéliser afin d’en retranscrire les comportements au

plus ,uste%

Nous allons voir que pour matriser le risque induit par cette double option de revalorisation*

l’assureur dispose lui"mme d’options qui sont les options de pilota!e @coi+ de la réalisation des

plus ou moins"values et coi+ de l’allocation d’actifsA%

2.1.4.2. Options conférées " L’assureur

Droit de résiliations

.e droit est le s7métrique du droit de résiliation conféré au+ assurés% -our les mme raisons que

celles invoquées précédemment* nous coisissons de ne pas m

Documents

Memoire Lahcene Mehdi