Memoria de Actividades 2018 Instituto de Matemáticas...Memoria de Actividades 2018Instituto de Matemáticas 2 1. Grupos de Investigación 4 2. Proxectos de Investigación 8 3. Contratos

Memoria de Actividades 2018 Instituto de Matemáticas


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Preámbulo

Un ano máis presentamos a Memoria de Actividades do Instituto de Matemáticas. Esta

Memoria do ano 2018 corresponde a excepcional xestión do Profesor Alberto Cabada

Fernández, director do IMAT ata principios do ano 2019, polo que non me queda máis

que agradecerlle a súa xestión así como a da secretaria do IMAT, Profesora Balbina Casas

Méndez.

Tomando prestadas as palabras do Profesor Cabada do preámbulo da memoria do ano

2017:

“De novo, a produción investigadora realizada polos membros da nosa institución cobre

un amplo espectro: publicacións científicas de alto impacto, organización e participación

en eventos de alto nivel científico, internacionalización da actividade investigadora,

liderado de proxectos de investigación e contratos con empresas, preparación de

investigadores e investigadoras en formación, ...

Estas actividades fan que dende a dirección do IMAT felicitemos novamente a todo o

persoal do Instituto polo bo traballo realizado.”

Consolidouse a estructura organizativa e do persoal do IMAT e continuouse co Convenio

para o Desenvolvemento de Accións Estratéxicas de I+D+i nos Campus de Santiago e

Lugo entre a Universidade de Santiago de Compostela e a Xunta de Galicia, asinado no

ano 2017. Convenio no que se recolle o Posicionamento Estratéxico da Área de

Matemáticas para os anos 2017-2019. Este plan de lanzamento da área fixo posible a

convocatoria de bolsas para alumnado de grao e master, así como de contratos de

investigación tanto pre como postdoutorais.

Juan José Nieto Roig

Balbina Casas Méndez

Santiago de Compostela, xuño de 2019


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1. Grupos de Investigación 4

2. Proxectos de Investigación 8

3. Contratos e Convenios 15

4. Participación en Redes Temáticas 21

5. Visitantes 23

6. Actividades Científicas 28

7. Organización de Cursos 36

8. Actividades de Divulgación 38

9. Publicacións 42

10. Información Institucional 56

Anexo I. Memoria do plan de lanzamento de matemáticas 2017-2019

63

Anexo II. Programas dos Cursos 68

Anexo III. Actas do Seminario de Iniciación á Investigación 74


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Táboa de resumo de actividades:

Tipo de actividad número

Proxectos de investigación 36

Contratos de investigación 24

Redes participadas 23

Profesores visitantes 48

Seminarios 43

Seminarios de divulgación 17

Conferencias en congresos 7

Congresos e xornadas organizados 8

Cursos 9

Outras actividades de divulgación 8

Artigos 116

Artigos derivados de congresos 4

Libros 4

Capítulos de libros 3


4

1. Grupos de investigación (2018)

O Instituto de Matemáticas (IMAT) conta cos seguintes grupos de investigación da Universidade de Santiago de Compostela, considerando como tales os grupos nos que teñen unha participación activa membros do IMAT. Ademais, en todos estes grupos, unha grande parte dos seus investigadores son tamén membros do IMAT. Os grupos preséntanse por orde numérica de código.

Ecuacións Diferenciais non Lineares (GI1561)

Investigador principal: Juan José Nieto Roig

Páxina web: http://www.usc.es/ednl

Liñas de investigación: ecuacións diferenciais ordinarias; ecuacións funcionais; ecuacións en diferencias; ecuacións diferenciais en derivadas parciais; bioloxía matemática; bioinformática.

Enxeñaría Matemática (GI1563)

Investigador principal: Alfredo Bermúdez de Castro

Páxina web: http://www.usc.es/ingmat

Liñas de investigación: Resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais lineais e non lineais. Optimización e control de sistemas distribuídos. Problemas de fronteira libre. Problemas de propagación de ondas. Métodos variacionales en EDPs parabólicas e elípticas. Enxeñaría asistida por ordenador (CAE). Elementos finitos, técnicas BEM/FEM, volúmenes finitos, métodos de Galerkin discontinuos, métodos de bases reducidas. Modelización matemática e simulación numérica de procesos. Aplicacións en: mecánica de fluídos, mecánica de sólidos, transferencia de calor, combustión, electromagnetismo, interacción fluído estructura, acústica, radioterapia, matemática financiera, hidráulica e oceanografía.

http://www.usc.es/ednl

http://www.usc.es/ingmat


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Modelos Matemáticos e Simulación Numérica en Mecánica de Sólidos (GI-1564)

Investigador principal: Juan Manuel Viaño Rey

Páxina web: http://www.usc.es/dmafm/grupo_viano/index.htm

Liñas de investigación: Estructuras finas: modelización e cálculo de estructuras compostas de vigas, placas e láminas elásticas, viscoelásticas ou viscoplásticas. Mecánica do contacto: modelización matemática e simulación numérica de problemas de contacto, rozamento, adhesión e desgaste en elasticidade, viscoelasticidade e viscoplasticidade. Biomecánica: simulación numérica e modelos matemáticos de mandíbula humana e de formación de ósos. Deseño mecánico: volantes de automóbil, ortodoncia.

OBSERVATORIO ASTRONÓMICO RAMÓN MARÍA ALLER (GI-1565)

Investigador principal: José Ángel Docobo Durántez

Páxina web: http://www.usc.es/astro/

Liñas de investigación: Mecánica celeste, Astronomía e astrofísica de estrelas dobres e múltiples, Bólidos e meteoros, Galaxias activas, Astronomía de posición, Interferometría speckle, Enseñanza da Astronomía, Historia da Ciencia.

Simulación e control óptimo en medio ambiente e bioinformática (GI-1566)

Investigador principal: Miguel Ernesto Vázquez Méndez

Páxina web: http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75454&i=gl&s=-126-191-196-235&v=

Liñas de investigación: Modelos matemáticos de dispersión de contaminantes en medios marinos (rías,estuarios, etc.). Aplicacións da teoría de control e optimización de sistemas distribuidos a problemas do medio ambiente marino e fluvial. Análise teórica e numérica en ecuacións en derivadas parciais (EDP). Biotecnoloxía e construcción de algoritmos.

http://www.usc.es/dmafm/grupo_viano/index.htm

http://www.usc.es/astro/

http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75454&i=gl&s=-126-191-196-235&v=www.usc.es/astro

http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75454&i=gl&s=-126-191-196-235&v=www.usc.es/astro


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Estruturas Xeométricas Diferenciais e Aplicacións (GI1756)

Investigador principal: Modesto Ramón Salgado Seco


Liñas de investigación: Espazos fibrados de orde superior. Estruturas xeométricas en mecánica clásica e teoría de campos. Estruturas de Cartan. Variedades pseudo-riemannianas homoxéneas. Xeometría de contacto.

Modelos de Optimización, Decisión, Estatística e Aplicacións (GI1914)

Investigador principal: Wenceslao González Manteiga

Páxina web: http://eio.usc.es/pub/gi1914/

Liñas de investigación: inferencia estatística; bioestatística; xeoestatística; técnicas de

mostraxe e remostraxe; series temporais; inferencia non paramétrica; datos

categóricos; datos censurados e/ou truncados; predicción; análise multivariante;

técnicas de optimización; teoría de xogos.

Grupo Interdisciplinar de Bioestatística (GI‐2127)

Investigadora principal: Carmen Cadarso Suárez

Páxina web: http://eio.usc.es/pub/gridecmb/

Liñas de investigación: Bioestatística, Modelos aditivos xeralizados, Modelos de regresión múltiple, Curvas ROC, Análise de Supervivencia

http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75931&i=gl&s=-126-191-196-235&v=


http://eio.usc.es/pub/gi1914

http://eio.usc.es/pub/gridecmb/


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Grupo de Investigación en Matemáticas (GI-2136)

Investigador principal: Eduardo García Río


Liñas de investigación: Xeometría Riemanniana e de Lorentz, curvatura, ecuacións de evolución xeométrica, accións isométricas, subvariedades isoparamétricas, curvaturas principais constantes. Álxebra homolóxica, categorías derivadas, álxebras de Hopf, álxebras de Lie e de Leibniz, dualidade en xeometría alxébrica, estructuras monoidales, homoloxía de espazos singulares, teoría de Galois.

BioMatDataAnalysis (GI-2166)

Nome Largo: Análise de datos e Matemáticas en ciencias da vida

Investigador principal: Antonio Mariano Gómez Tato


Liñas de investigación: análisis de datos, análisis topolóxico de datos, complexidade topolóxica en redes biolóxicas, dinámica evolutiva de grafos e redes complexas, recoñecemiento de imáxes.






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2. Proxectos de Investigación

Inclúese a continuación a relación de proxectos, nos que teñen unha participación activa

membros do IMAT, vixentes durante o ano 2018.

Título: Dinámica de grupos, grafos y foliaciones. Entidade financiadora: Ministerio de Economía, Industria e Competitividade (MINECO). Agencia Estatal de Investigación (AEI). MTM2016-77642-C2-2-P. Duración: Dende o 30/12/2016 ata o 29/12/2019. Investigador responsable: Fernando Alcalde Cuesta.

Título: Optimización y cooperación con aplicaciones en energía. Entidade financiadora: Ministerio de Economía y Competitividad - Agencia Estatal de Investigación. MTM2017-87197-C3-3-P Duración: dende: 01/01/2018 ata: 31/12/2021. Investigador responsable: José María Alonso Meijide.

Título: Espacios singulares, categorías derivadas y teorías bivariantes. Entidade financiadora: Ministerio de Ciencia e Innovación. FEDER. Proyectos de Excelencia 2017. MTM2017-89830 Duración: dende 01/01/2018 ata 31/12/2020 Investigadores responsables: Leovigildo Alonso Tarrío e Ana María Jeremías López.

Título: Topology, Dynamics and Analysis on Foliated and Stratified Spaces Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, Agencia Estatal de Investigación . Proyectos de Excelencia 2017. MTM2017-89686-P. Duración: dende: 01/01/2018 ata: 31/12/2020. Investigadores responsables: Jesús A. Álvarez López.

Título: Control óptimo de ecuaciones en derivadas parciales: Aplicaciones medioambientales - MTM2015-65570-P Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MTM2015-65570-P) / FEDER, 2016 – 2018, Duración: dende: 01/01/2016 ata: 31/12/2019, Investigador responsable: Lino José Álvarez Vázquez.


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Título: Aplicaciones de la modelización, la simulación numérica, la optimización y el control óptimo al diseño de dispositivos y procesos industriales. Entidade financiadora: Ministerio de Economía y Competitividad (MTM2017-86459-R). Duración: dende o 01/01/2018 ata o 31/12/2018. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela, Pilar Salgado.

Título: Rede Tecnolóxica de Matemática Industrial (Rede TMATI). Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria, Xunta de Galicia. Duración: dende 01/01/2017 ata o 31/12/2018. Outros datos: participan os grupos de investigación de estadística, investigación operativa e matemática aplicada de Galicia.Outras entidades participantes: UDC, UVigo, CESGA, ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela.

Título: Consolidación e estruturación 2017. GRC, GI-1563 Enxeñaría matemática (ED431C 2017/60). Entidade financiadora: Xunta de Galicia. Duración: dende: 01/01/2017 ata: 30/11/2020. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela.

Título: Consolidación e estructuración 2016 GRC GI2127 Grupo Interdisciplinar de Bioestadística. Entidade financiadora: Xunta de Galicia, Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria. Consolidación e estructuración 2016 (ED431C2016-025R2016/032 GRC GI2127) Duración: dende 2017 ata 2019. Investigadora responsable: Carmen María Cadarso Suarez.

Título: BIOSTATNET: potenciando la excelencia investigadora nacional e internacional en bioestadística. MTM2017-90568-REDT. Entidade financiadora: Ministerio de Economía, Industria y Competitividad. Duración: Dende 2018 ata 2020 Investigadora responsable: Carmen María Cadarso Suárez.


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Título: Desarrollo de técnicas flexibles Joint Modelling dirigidas a la investigación en diabetes, enfermedades cardiovasculares y cáncer. JOINTDIAB. Entidade financiadora: Ministerio de Economía, Industria e Competitividade (MINECO). MTM2017-83513-R. Duración: Dende 2018 ata 2019. Investigadora responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Grupo Interdisciplinar de Bioestadística (Grupo de Referencia Competitiva).. Entidade financiadora: Programa de Consolidación de Unidade de Investigación Competitiva da Autoridad Galega Rexional (Xunta de Galicia). Duración: dende 2017 a 2019. Investigadora responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Nuevos Instrumentos Estadísticos y Computacionales aplicados a Investigación de Salud, Deportes y Entorno. INBIOEST. Entidade financiadora: Programa de Consolidación de Unidade de Investigación Competitiva da Autoridade Galega Rexional (Xunta de Galicia). ED341DR2016/036. Duración: dende 2017 a 2018. Investigadora responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Optimización y reparto en problemas de decisión multi-agente con aplicaciones en extinción de incendios. Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. MTM2014-53395-C3-2-P Duración: dende o 02/06/2015 ata o 02/06/2018. Investigadora responsable: Balbina Virginia Casas Méndez.

Título: Simetría, curvatura y ecuaciones diferenciales en geometría Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, Agencia Estatal de Investigación (MTM2016-75897-P). Proyecto excelencia 2016. Duración: dende o 30/12/2016 ata o 29/12/2019 Investigadores responsables: José Carlos Díaz Ramos, Eduardo García Río.

Título: Homoxeneidade e curvatura de variedades e subvariedades Entidade financiadora: Xunta de Galicia ED431F 2017/03. Modalidade D (Excelencia) Duración: dende: 01/01/2017 ata: 30/11/2018. Investigador responsable: José Carlos Díaz Ramos.


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Título: Estudio de binarias cerradas de especial interes astrofisico y dinamico en la era Gaia Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (AYA2016-80938-P) Duración: dende o 30/12/2016 ata o 29/12/2020 Investigador responsable: José Ángel Docobo Durantez

Título: EVID. Prácticas innovadoras para combatir las enfermedades de la vid. Entidade financiadora: Consellería de Medio Rural. FEADER 2017/3B. Duración: dende o 19/08/2017 ata o 31/10/2019. Investigador responsable: Manuel Febrero Bande.

Título: Homología, homotopía e invariantes categóricos en grupos y álgebras no asociativas Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, Agencia Estatal de Investigación (MTM2016-79661-P). Proyecto excelencia 2016. Duración: dende o 30/12/2016 ata o 29/12/2020 Investigadores responsables: J. M. Fernández Vilaboa, M. Ladra González.

Título: Consolidación e estruturación de unidades de investigación (grupos competitivos). Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria, Xunta de Galicia. Duración: dende o 01/01/2017 ata o 31/12/2020.. Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga

Título: Predictive Cognitive Maintenance Decision Support System (PreCoM). Entidade financiadora: Comisión Unión Europea. Horizon 2020. Duración: dende o 01/11/2017 ata o 31/10/2020. Entidades participantes: Departamento de Estatística e Investigación Operativa (USC), Departamento de Estatística e Investigación Operativa (UVigo), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: proxecto competitivo de transferencia executado no ITMATI. Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Título: Modelización no paramétrica de dinámicas y dependencias en sistemas complejos. Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade - Agencia Estatal de Investigación. MTM2016-76969-P


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Duración: dende: 01/01/2017 ata: 31/12/2020. Investigadores responsables: Wenceslao González Manteiga e Rosa Mª Crujeiras Casais.

Título: Computationally-intensive methods for the robust analysis of non-standard data (OC-2014-1-19052). Entidade financiadora: European Union. Call: European Cooperation in the field of Scientific and Technical Research - COST. OC-2014-1-19052. Duración: dende 2015 ata 2019. Investigador responsable: Erricos Kontoghiorghes (Cyprus University of Technology.). (Carmen María Cadarso Suarez como membro do equipo investigador)

Título: Genética forense: análisis de polimorfismos multialelicos. Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, Agencia Estatal de Investigación, RETOS 2016 (2016-PN070) Ref.BIO2016-78525-R. Duración: dende: 30/12/2016 ata: 29/12/2019. Investigadora responsable: María Victoria Lareu Huidobro.

Título: EXPOSICIÓN CON A DE ASTRÓNOMAS: Actividad divulgativa de la XIII Reunión Científica de la Sociedad Española de Astronomía en el marco del VIII Centenario de la Universidad de Salamanca. (FCT-17-12433.) Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, FECYT. Duración: dende: 01/01/2018 ata: 31/12/2018. Investigadora responsable: Josefina F. Ling

Título: Estructuras superiores en Geometría Diferencial y Teoría de Homotopía Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MINECO MTM2016-78647-P) Duración: dende o 01/01/2017 ata o 31/12/2019 Otras entidades participantes: Universidad de Málaga e outras. Investigador responsable: Aniceto Murillo e Antonio Viruel (UMA) (Participan membros)

Título: Consolidación e estruturación 2015 GRC GI-1561 “Ecuacións diferenciais non lineares” EDNL Entidade financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria da Xunta de Galicia. Duración: dende o 01/01/2015 ata o 30/11/2018 Investigador responsable: Juan José Nieto Roig.

Título do proxecto: Rede Xunta IEMath-Galicia.


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Entidade financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria de la Xunta de Galicia. (R2016/022) Duración: dende xaneiro 2017 a decembro 2018 Investigador responsable: Juan José Nieto Roig.

Título: Ecuaciones diferenciales ordinarias y funcionales Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. Excelencia 2016- MTM2016-75140-P. Duración: dende decembro 2016 ata decembro 2020 Investigadores responsables: Juan José Nieto Roig e Alberto Cabada Fernández.

Título: Cost Action Mathematics for Industry Network, TD1409. Entidade financiadora: Comisión Europea Duración: dende o 20/11/2014 ata o 04/05/2019 Investigadora responsable en España: Peregrina Quintela Estévez. Investigador responsable: Dietmar Hoemberg.

Título: Desarrollo de metodologías matemáticas para evaluación del comportamiento termo-mecánico de las rutas de arrabio y escoria de horno altos. Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MTM2015-68275-R). Duración: dende o 01/01/2016 ata o 31/12/2018. Investigadora responsable: Peregrina Quintela Estévez.

Título: Reduced Order Modelling, Simulation and Optimization of Coupled systems (ROMSOC). Entidade financiadora: Comisión Europea. Marie Skłodowska-Curie Actions (MSCA) Innovative Training Networks (ITN). H2020-MSCA-ITN-2017. Grant Agreement Number 765374. Duración: dende o 01/09/2017 ata o 31/08/2021. Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Departamento de Matemáticas (UDC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: Proxecto competitivo de transferencia executado no ITMATI. Investigadora responsable: Volker Mehrman, Technische Universität Berlin (TUB). Membros do GI en Enxeñaría Matemática participan neste proxecto. Investigadores Responsables no ITMATI: Andrés Prieto e Peregrina Quintela

Título: Matemáticas: El valor de la palabra.


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Entidade financiadora: Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT). Convocatoria: “Convocatoria de Ayudas para el Fomento de la Divulgación Científica, Duración: dende o 1 de xaneiro de 2017 ata o 31 de marzo de 2018. Investigadora responsable: María Victoria Otero Espinar.

Título: MatHex (FisiHex, BioHex, QuimiHex …) juego, estrategia y conocimientos Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, FECYT. FCT-17-12196. Duración: dende: 01/01/2018 ata: 31/03/2019. Investigadora responsable: M. Elena Vázquez Abal.

Título: Rede de investigación: Tecnoloxías e análise dos datos lingüísticos. Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria. Duración: dende o 01/01/2017 ata o 31/12/2018. Investigador responsable: o IP, Xulio Sousa Fernández, non é membro do IMAT ou grupos de investigación relacionados, pero múltiples membros sí participan nesta rede.

Título: Projeto de Investigação Científica e Desenvolvimento Tecnológico (IC&DT). Projeto: 29443. Entidade financiadora: FCT - Portugal2020. Unión Europea. Universidade de Coimbra. Duración: dende 2018 ata 2021 Investigador responsable: N/D, externo no vinculado al IMAT o grupos de investigación relacionados. Carmen María Cadarso Suárez é membro do equipo de investigación.


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3. Contratos e Convenios

Inclúese a continuación a relación de Contratos e Convenios, nos que teñen unha

participación activa membros do IMAT, vixentes durante o ano 2018.

Contrato: 3D multiphysics simulation of electrodes in an electric arc furnace: electromagnetic-thermomechanical analysis. (ITMATI-C49-2017) Empresa/entidade: Ferropem Duración: dende o 01/06/2017 ata o 01/04/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro e Pilar Salgado.

Contrato: Investigación en materiales poliméricos mono y multicomponente para la protección térmica y acústica de baja frecuencia en el sector de la automoción. (ITMATI-C39-2016.) Empresa/entidade: Adhex Tech Tapes S.L. Duración: dende 20/05/2016 ata o 31/04/2018

Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Departamento de Matemáticas (UDC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro e Peregrina Quintela Estévez. Investigadores: 3 da USC.

Contrato: Investigación en nuevos procesos de conformado y tratamientos térmicos másicos y superficiales para la optimización de la forja por extrusión de componentes de transmisión de vehículos industriales (TEINEXT)” (ITMATI-C46-2017). Empresa/entidade: CIE GALFOR S.A. Duración: dende o 01/02/2017 ata o 01/11/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigadores (2): Alfredo Bermúdez de Castro (IP) e Dolores Gómez.


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Contrato: Investigación en procesos de electrocalcado libre para a optimización da forxa en quente de palieres de automoción (ELECPAL). (ITMATI-C47-2017). Empresa/entidade: CIE GALFOR S.A. Duración: dende o 01/02/2017 ata o 01/11/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro.

Contrato: Nuevo horno de vacío. Empresa/entidade: Silicio Ferrosolar, S.L. Duración: dende o 01/07/2016 ata o 01/12/2018 Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro.

Contrato: Dynamic Draft Study with Constant Environmental Variables. (ITMATI-C48-2017.) Empresa/entidade: BRDM Consultores Asociados LTDA. Duración: dende o 01/06/2017 ata o 05/04/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Departamento de Matemáticas (UDC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro.

Contrato: Cálculo del anillo de aspiración de un horno y simulación numérica de un nuevo horno de vacio. (ITMATI-C55-2017.) Empresa/entidade: Ferrosolar R&D. Duración: dende o 01/08/2017 ata o 28/02/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnológico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigadores: Alfredo Bermúdez de Castro (IP) e Dolores Gómez Pedreira.


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Contrato: Simulación numérica de un nuevo horno de vacío. Estudio de la Geometría v30. (ITMATI-C60-2018.) Empresa/entidade: Ferrosolar R&D. Duración: dende o 12/03/2018 ata o 11/10/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigadores: Alfredo Bermúdez de Castro (IP) e Dolores Gómez Pedreira.

Contrato: Modelización matemática, simulación numérica e desenvolvemento de sistemas de xestión en tempo real de baterías para vehículos eléctricos. (ITMATI-C58-

2018.) Empresa/entidade: Repsol, S.A. Duración: dende o 12/03/2018 ata o 12/03/2019 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro e Jerónimo Rodríguez

Contrato: Elaboración de un Informe Pericial sobre la necesidad de la planta de Regasificación de Mugardos. (ITMATI-C62-2018.) Empresa/entidade: Reganosa. Duración: dende o 15/01/2018 ata o 31/05/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro.

Contrato: Determinación de la capacidad predictora de marcadores para el diagnóstico temprano del cáncer colorrectal. Empresa/entidade: Amadix. Duración: 2017 (ano contratación). Investigador responsable: Carmen María Cadarso Suárez.

Contrato: Realización de trabajos de asistencia técnica relacionados con el proyecto de investigación “European Study on effectiveness and sustainability of current Cardiac Rehabilitation programmes in the Elderly” (EU-CaRE). Empresa/entidade: Fundación Ramón Domínguez. Duración: dende o 01/02/2018 ata o 30/04/2019 Investigador responsable: Carmen María Cadarso Suárez.


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Contrato: Estudio de investigación sobre la efectividad de terapias cognitivas basadas en actividades cotidianas, a través de la monitorización no invasiva de los usuarios: Rich Stimulation Daily Living (RISING). (ITMATI-C43-2016.) Empresa/entidade: Balidea Consulting & Computing.. Duración: dende o 01-12-2016 ata o 30-11-2018. Entidades participantes: Departamento de Estatística e Investigación Operativa (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado en ITMATI. Investigador responsable: Manuel Febrero Bande.

Contrato: Desarrollo de procedimientos matemáticos y estadísticos para la nueva etapa del estándar CLEAR-TO- WEAR II” (2016-CE085) Empresa/entidade: Inditex, S.A. Duración: dende o 01/03/2016 ata o 31/05/2018 Investigador responsable: Antonio Mariano Gómez Tato.

Contrato: Desarrollo de procedimientos matemáticos y estadísticos para su implementación en la nueva etapa del estándar "Clear to Wear" II (2016-CE085-3). (Continuación do anterior) Empresa/entidade: Industria de Diseño Textil, S.A. (Inditex). Duración: dende marzo de 2018 ata abril de 2019 Investigador responsable: Antonio Mariano Gómez Tato

Contrato: Métodos matemáticos para la optimización integral de la toma de decisiones en la industria: Optimización de plantas de proceso industrial. (ITMATI-C57-

2018.) Empresa/entidade: Repsol. Duración: dende o 20-01-2018 ata o 20-01-2019. Entidades participantes: Departamento de Estatística e Investigación Operativa (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado no ITMATI. Investigador responsable: Julio González Díaz.

Contrato: Sistema de predición estatística de inmisión (SIPEI) 2017-2018. Empresa/entidade: ENDESA Generación S.A. Duración: dende o 30-06-2017 ata o 29-06-2018. Ivestigador responsable: Wenceslao González Manteiga.


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Contrato: Misiones criticas de emergencias con medios aéreos tripulados y no tripulados en vuelo cooperativo (ENJAMBRE). (ITMATI-C27-2014) Empresa/entidade: Coremain. Centro para el Desarrollo Tecnológico e Industrial (CDTI), convocatoria “Consorcios de Investigación Empresarial Nacional 2014 (CIEN 2014)” Duración: dende o 01/07/2014 ata o 31/07/2018 Outros datos: 5 investigadores. Proxecto desenvolto no ITMATI, con participación dun consorcio con empresas. Entidade participante adicional: Departamento de Estadística e Investigación Operativa (USC). Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga.

Contrato: Renovación do mantemento da aplicación SIPEI para a predicción estatística de inmisions na central As Pontes. Empresa/entidade: ENDESA Medios y Sistemas, S.L. Duración: Wenceslao González Manteiga. Ivestigador responsable: dende o 18-01-2019 ata o 31-12-2019.

Contrato: CIVIL UAVs Initiative (ITMATI-C64-2018). Empresa/entidade: Babcock. Duración: dende o 01/02/2018 ata o 31/07/2020 Entidades participantes: Departamento de Estatística e Investigación Operativa (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado no ITMATI. Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga e Mª José Ginzo Villamayor.

Contrato: Entorno integral de simulación y microfluídica para predicción de extracción eficiente y segura de energía (EISIMPEX). (ITMATI-C36-2016.) Empresa/entidade: Ikerlan Duración: dende o 04/01/2016 ata o 04/01/2018 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnolóxico de Matemática Industrial (ITMATI). Outros datos: contrato de transferencia executado no ITMATI. Investigador responsable: Francisco J. Pena Brage


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Contrato: Electrical Conditions and their Process Interactions in High Temperature Metallurgical Reactors (ElMet) (ITMATI-C32-2015.) Empresa/entidade: USC & Teknova AS (Noruega) (ITMATI) Duración: dende o 12/10/2015 dende o 31/12/2019 Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), ITMATI. Outros datos: contrato de transferencia executado no ITMATI. Investigador responsable: Pilar Salgado Rodríguez.

Convenio: Establishment of Computing Centers and Curriculum Development in Mathematical Engineering Master's Programme (ECCUM). Entidade financiadora: Unión Europea dentro del programa [Erasmus+, Key Action: Cooperation for innovation and the exchange of good practices, Action: Capacity Building in Higher Education]. Referencia: 561574-EPP-1-2015-1-ES-EPPKA2-CBHE-JP. Institución coordinadora: Universidade de Santiago de Compostela. Socios académicos participantes: Bukhara Engineering Technological Institute (Uzbekistán), Kostanay State University (Kazajistán), International Information Technologies University (Kazajistán), Politecnico di Torino (Italia), Turin Polytechnic University in Tashkent (Uzbekistán), University of Primorska (Eslovenia) e Urgench State University (Uzbekistán). Duración: dende outubro 2015 ata outubro 2018. Investigador responsable: (coordinadores académicos do proyecto) Alberto Cabada Fernández e Óscar López Pouso. Actúa como coordinador xeral do proxecto D. Enrique López Veloso, director do Servizo de Relacións Exteriores da USC.


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4. Participación en Redes Temáticas

O IMAT participa na rede de Institutos de Matemáticas RedIUM (http://www.redium.es/node/1). Como membro desta rede, o IMAT forma parte da Red Estratégica en Matemáticas (https://rem-wordpress.smorenburg.me/). Un amplo número de membros do IMAT dos distintos grupos de investigación do mesmo participan na Rede Galega IEMath-Galicia. Membros dos grupos de investigación Enxeñería Matemática, Grupo Interdisciplinar de Bioestatística, Modelos de Optimización, Decisión, Estadística e Aplicacións, Modelos Matemáticos e Simulación Numérica en Mecánica de Sólidos, participan na Rede Tecnolóxica de Matemática Industrial TMATI (http://www.itmati.com/). Adicionalmente os grupos anteriores e o grupo Ecuacións Diferenciais non Lineares participan na Red Española Matemática-Industria Math-In (http://www.math-in.net/), rede encabezada pola IP Peregrina Quintela Estévez, pertencente ao grupo GI-1563 - Enxeñaría Matemática. Como consecuencia de pertencer a Math-In, os membros forman parte da rede europea Stichting European Service Network of Mathematics for Industry and Innovation (EU-Maths-IN), http://www.eu-maths-in.eu/, formada por redes nacionais o multinacionais de grupos de investigación en Matemáticas. Esta rede de redes, patrocinada pola Sociedade Matemática Europea (EMS) e polo Consorcio Europeo de Matemáticas na Industria (ECMI), constitúese co apoio de 6 redes nacionales. Membros do grupo de investigación Estruturas Xeométricas Diferenciais e Aplicacións participan na Rede Temática de Xeometría, Mecánica e Control Network (http://gmcnetwork.org/). Membros do grupo de investigación MODESTYA participan na Rede de investigación: Tecnoloxías e análise dos datos lingüísticos (http://ilg.usc.es/tecandali/) en colaboración con outros grupos de investigación galegos da USC e da UVigo (GTM, COGRADE, GSI, TALG e GIGRALEX) e o Instituto da Lingua Galega (ILG). Asemesmo, membros do grupo pertencen ao Grupo de Análisis de Datos Funcionales da Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa, http://www.seio.es/grupos/FDA/. Tamén membros do grupo pertencen ao Grupo de Teoría de Juegos da Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa, http://juegos.seio.es/Inicio.html. Membros do grupo están na rede europea Developing crucial Statistical methods for Understanding major complex Dynamic Systems in natural, biomedical and social sciences. (http://iap-studys.be/) (OC-2014-1-19052; Cost Action 2015-2019: European Cooperation in the field of Scientific and Technical Research) xunto con membros do grupo interdisciplinar de Bioestatística. Asemade, algúns membros deste grupo de investigación son poñentes do consorcio europeo European Research Consortium for Informatics and Mathematics (ERCIM) no campo de datos funcionais (http://www.dcs.bbk.ac.uk/ercim/TrackSFD.html) (o grupo español é SpaRCIM do que

http://www.redium.es/node/1

https://rem-wordpress.smorenburg.me/

http://www.itmati.com/

http://www.math-in.net/

http://www.eu-maths-in.eu/

http://gmcnetwork.org/

http://ilg.usc.es/tecandali/

http://www.seio.es/grupos/FDA/

http://juegos.seio.es/Inicio.html

http://iap-studys.be/

http://www.dcs.bbk.ac.uk/ercim/TrackSFD.html


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dous membros do IMAT son “chair”; http://www.sparcim.es/). Membros do grupo tamén pertencen a Biostatnet. Membros do Grupo Interdisciplinar de Bioestatística pertencen a Rede Nacional de Bioestatística. Biostatnet: afrontando retos da investigación bioestadística con proxección internacional (http://eio.usc.es/pub/biostatnet/) e “Red INBIOEST”. Este mesmo grupo tamén está na Rede galega, Nuevos Instrumentos Estadísticos y Computacionales aplicados a Investigación de Salud, Deportes y Entorno, así como na Rede Europea Interuniversity Attaction Poles. Adicionalmente membros do grupo participan na “Rede de Actividades Preventivas e de Promoción da Saúde en Atención Primaria (RedIAPP). Membros do grupo de investigación en Matemáticas participan nas redes temáticas Red Temática de Cálculo Simbólico, Álgebra Computacional y Aplicaciones EACA (MTM2014- 56142-REDT) (http://www.redeaca.tk), na Rede ACAT “Applied And Computational Algebraic Topology” ( http://www.acat.uni-bremen.de/ ) e na Rede Española de Análise Xeométrico (MTM2016-81938-REDT) e na Rede Española de Topoloxía (http://mat.uab.es/~ret) e na Rede Española de gravitación e Cosmoloxía http://www.segre.es/es/presentacion.shtml e na Red de Geometría Algebraica y Singularidades (http://www.mat.ucm.es/~rgas/).

http://www.sparcim.es/

http://eio.usc.es/pub/biostatnet/

http://www.redeaca.tk/

http://www.acat.uni-bremen.de/

http://mat.uab.es/~ret

http://www.segre.es/es/presentacion.shtml

http://www.mat.ucm.es/~rgas/


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5. Visitantes

Durante o ano 2018 o IMAT contou cos seguintes profesores visitantes.

Alberto Adrega Pinto Universidade de Porto, Portugal Datas estadía: do 10 ao de outubro de 2018. Ana Alonso Rodríguez Università degli Studi di Trento, Italia Datas estadía: do 29 de maio ao 1 de xuño de 2018. Javier Álvarez Liébana Universidad de Oviedo Datas estadía: do 1 ao 31 de outubro de do 18 ao 24 de novembro de 2018. Ana Bianco Universidad de Buenos Aires y Cocinet, Argentina Datas estadía: do 21 ao 26 de xuño de 2018. Mohammed Belmekki Ecole Supérieure en Sciences Appliquées de Tlemcen, Algeria Datas estadía: do 2 ao 31 de xulio de 2018. Graciela Boente Universidad de Buenos Aires y Cocinet, Argentina Datas estadía: do 21 de xuño ao 23 de xulio de 2018. Rym Bourguiba University of Monastir, Tunisia. Datas estadía: do 1 de setembro ao 30 de oubro de 2018. Amílcar Branquinho Universidade de Coimbra, Portugal. Data: luns 17 de decembro de 2018 Ioan Bucataru Faculty of Mathematics, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi, Iasi, Rumanía. Datas estadía: do 28 de maio ao 6 de xuño de 2018. Emilio Carrizosa Priego Universidad de Sevilla


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Datas estadía: do 19 ao 23 de novembro de 2018. José Ángel Cid Araújo, Universidade de Vigo, España. "Lipschitz conditions, foliations and uniqueness for ODEs." Data:: Martes 6 de febreiro de 2018. José Antonio Cristóbal Cristóbal Universidad de Zaragoza Datas estadía: o 19 e o 20 de setembro de 2018. Miguel Delgado Universidad Carlos III de Madrid Datas estadía: o 19 e o 20 de setembro de 2018. Óscar Domínguez Bonilla Universidad Complutense de Madrid. Datas estadía: o 2 e o 3 de abril de 2018. Ana Fouquié-Moreno Universidade de Aveiro, Portugal. Data: luns 17 de decembro de 2018 Ricardo Fraiman Universidad de la República, Uruguay. Datas estadía: do 14 ao 18 de febreiro de 2018. Isabel Fuentes Santos Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC - Vigo) Data: o 26 de outubro de 2018. Pedro Galeano San Miguel Universidad Carlos III de Madrid Datas estadía: do 15 ao 18 de outubro de 2018. Ábel Garab Alpen-Adria-Universität Klagenfurt, Austria. Data: 27 de febreiro Assia Guezane-Laakoud Badji Mokhtar-Annaba University, Algeria. Datas estadía: do 4 ao 15 de xulio de 2018. Wang Hongzhou School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology, China. Datas estadía: 27 de setembro de 2018 a 1 de outubro de 2019.


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Sebastien Imperiale INRIA, Francia. Datas estadía: do 22 ao 26 de xaneiro e do 7 ao 12 de outubro de 2018. Rochdi Jebari Shaqra University, Kingdom of Saudi Arabia. Datas estadía: do 9 ao 31 de xulio de 2018. Patrick Joly INRIA, Francia. Datas estadía: do 22 ao 26 de xaneiro e do 7 ao 12 de outubro de 2018. Om Kalthoum Wanassi University of Monastir, Tunisia. Datas estadía: do 1 de setembro ao 30 de oubro de 2018. Nadja Klein Humboldt-Universität zu Berlin Datas estadía: do 18 de decembro ao 21 de decembro Thomas Kneib Georg-August-Universität Göttingen Datas estadía:do 16 de abril ao 20 de abril de 2018. João Lopes Cardoso Filho Instituto Federal de Goiás, Brazil. Datas estadía: do 13 ao 25 de xulio de 2018. Nicolai Mikkelsen Bispebjerg Hospital, Frederiksberg Hospital, Copenhague Datas estadía: do 01 de outubro ao 30 de outubro Mª Dolores Martínez Miranda University of Granada, España e City University London, Reino Unido. Datas estadía: do 22 ao 24 de febreiro de 2018 Navid Mojahed Baghbadorani University of Mazandaran, Irán. Datas estadía: do 19 de decembro de 2017 ao 4 de xuño de 2018. Geert Molemberghs Interuniversity Institute for Biostatistics and statistical Bioinformatics Datas estadía: do 25 de novembro ao 27 de novembro


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Carlos Moreno González UNED. Datas estadía: do 28 de febreiro ao 3 de marzo de 2018. Abdelghani Ouahab University of Sidi-Bel-Abbès , Algeria. Datas estadía: do 6 ao 31 de xulio de 2018. Teresa E. Pérez, Universidade de Granada. Data: xoves 22 de novembro de 2018. Łukasz Płociniczak Faculty of Pure and Applied Mathematics, Wrocław University of Science and Technology, Polonia Datas estadía: do 27 ao 29 de novembro de 2018. Emilio Porcu University of Newcastle, Upon Tyne, UK; e University Federico Santa Maria Valparaiso, Chile. Datas estadía: do 21 ao 23 de febreiro de 2018. Dimitris Rizopoulos Erasmus University Medical Center Datas estadía: do 18 ao 21 de febreiro de 2018. Rodolfo Rodríguez Alonso Universidad de Concepción, Chile. Datas estadía: do 8 de xaneiro ao 9 de febreiro de 2018. Mohsen Shabani Shahid Chamran University, Ahvaz, Irán Datas estadía: do 13 de novembro de 2017 ata o 6 de xulio de 2018. Stefan Andréas Sperlich Université de Genève, Suiza Datas estadía: do 4 ao 6 de setembro de 2018. Winfried Stute Justus-Liebig-Universität, Alemaña Datas estadía: do 10 ao 14 de decembro de 2018.


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Carlos Tenreiro Universidade de Coimbra, Portugal Datas estadía: do 21 ao 23 de febreiro de 2018 de 2018. Andrei Tokovinin Cerro Tololo Inter-American Observatory (CTIO/AURA Inc.) Datas estadía: N/D en 2018. Fredi Tröltzsch Technische Universität Berlin, Alemania. Datas estadía: do 5 ao 8 de novembro de 2018. Pablo Venegas Tapia Universidad del Bío Bío, Chile. Datas estadía: do 16 de xaneiro ao 20 de febreiro de 2018. Mirosława Zima University of Rzeszow, Poland. Datas estadía: do 4 ao 8 de febreiro de 2018. Jorge P. Zubelli National Institute for Pure and Applied Mathematics (IMPA). Brazil. Datas estadía: do 1 ao 31 de outubro de 2018.


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6. Actividades científicas

6.1. Seminarios e conferencias

Os seminarios organizados polos departamentos de Matemáticas; Matemática Aplicada;

Estatística, Análise Matemática e Optimización abertos a toda a comunidade

universitaria, estruturáronse segundo a súa temática e difundíronse a través do IMAT.

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional: Múltiples Conferencias

Ana Fouquié-Moreno, Universidade de Aveiro, Portugal.

"A Riemann-Hilbert problem perspective of the orthogonal polynomials theory"

Amílcar Branquinho, Universidade de Coimbra, Portugal.

"Differential properties of orthogonal polynomials via Riemann-Hilbert problems"

Data: 17/12/2018.

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional: Múltiples Conferencias

Wang Hongzhou, School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of

Technology, China.

"Some results on existence of solutions to fuzzy differential equations and interval-

valued differential equations"

Daniel Cao Labora, Universidade de Santiago de Compostela, España.

"On the natural emergence of fractional calculus in beam theory"

Data: 19/12/18

Teresa E. Pérez, Universidade de Granada, España.

"Redes de Toda, pares de Lax y polinomios ortogonales bivariados"

Data: 22/11/18

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional: múltiples conferencias:

Om Kalthoum Wanassi, University of Monastir, Tunisia.

"Existence results for a semipositone fractional differential equation with integral

boundary conditions"

Rym Bourguiba, University of Monastir, Tunisia.

"Existence results for fractional differential equation with integral boundary conditions"

Data: 19/11/18


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Seminario de Ecuacións Diferenciales e Análise Funcional: Múltiples Conferencias

Ernesto Estrada, University of Strathclyde Glasgow, United Kingdom.

“D-path laplacian operator on graphs. Mathematical results and applications”

Ignacio Márquez Albés, Universidade de Santiago de Compostela.

“Some uniqueness results for differential equations with Stieltjes derivatives”

Jorge Rodríguez López, Universidade de Santiago de Compostela.

“Positive solutions for differential equations with discontinuous right-hand sides”

Data: 23/07/2018.

Seminario de Ecuacións Diferenciales e Análise Funcional: Múltiples Conferencias

Rochdi Jebari, Shaqra University, Kingdom of Saudi Arabia.

“Existence results to system of eigenvalue problem for nonlinear fractional differential

equations of arbitrary order”

Abdelghani Ouahab, University of Sidi-Bel-Abbès , Algeria.

“Stabilization of class of evolution equations with random parameter “

João Lopes Cardoso Filho, Instituto Federal de Goiás, Brazil.

“Canonical forms for codimension one planar piecewise smooth vector fields with

sliding region”

Data: 19/07/2018.

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional, Múltiples Conferencias

Assia Guezane-Laakoud, Badji Mokhtar-Annaba University, Algeria.

“On a Fractional Boundary Value Problem in a Weighted Space”

Mohammed Belmekki, Ecole Supérieure en Sciences Appliquées de Tlemcen, Algeria

“Positive Solutions for Some Boundary Value Problems”

Data: 5/07/2018

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional, Múltiples Conferencias:

Óscar Domínguez Bonilla, Universidade Complutense de Madrid.

“Norm inequalities on Fourier transform and limiting interpolation”

Alireza Khastan, Universidade de Santiago de Compostela.

“On fuzzy differential and difference equations”

Data: 03/04/2018

Ábel Garab, Alpen-Adria-Universität Klagenfurt, Austria.

“Global asymptotic behavior of delay difference equations”

Data: 27/02/2018


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Jean-Daniel Djida, Universidade de Santiago de Compostela.

“Regularity for nonlocal porous medium equation with fractional time derivative.”

Data: 27/02/2018

Mirosława Zima, University of Rzeszow, Poland.

“Lyapunov stability of the solutions of second order periodic boundary value problem.”

Data: 06/02/2018

José Ángel Cid Araújo, Universidade de Vigo, Spain.

“Lipschitz conditions, foliations and uniqueness for ODEs.”

Data: 06/02/2018

Seminario de Estatística

Múltiples conferencias: Javier Álvarez Liébana, Universidade de Oviedo. "Breve introducción de las series temporales aplicadas a datos funcionales" Isabel Fuentes Santos, Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC - Vigo). "Análisis estadístico espacio temporal de la violencia. Un ejemplo de aplicación al área metropolitana de Río de Janeiro" Data: 26/10/2018 Stefan Andréas Sperlich, Université de Genève, Suiza “Causal inference with Varying Coefficient Models” Data: 05/09/2018 “Unha revisión das aportacións de José Manuel Prada Sánchez á Estatística e á Investigación Operativa” Organizado polo Seminario de Estatística e Investigación Operativa e o Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización, realizado con motivo da recente xubilación do catedrático José Manuel Prada Sánchez. Data: 13/04/2018. Emilio Porcu, University of Newcastle, Upon Tyne U.K. e University Federico Santa Maria Valparaiso, Chile. “Modeling Temporally Evolving and Spatially Globally Dependent Data.” Data: 22/02/2018 Carlos Tenreiro, Universidade de Coimbra, Portugal. “Automatic selection of the tuning parameter appearing in certain families of goodness-of-fit tests.” Data: 22/02/2018


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Seminario García Rodeja

Roi Docampo, University of Oklahoma, Estados Unidos “O problema de Nash para espazos de arcos” Data: 19/07/2018

Xabier García Martínez, Universidade de Santiago de Compostela, España. “Caracterizando estructuras alxébricas” Data: 12/03/2018

Alberto Castaño Domínguez, Universidade de Santiago de Compostela, España. “D-módulos” Data: 05/03/2018

Seminario do Departamento de Matemática Aplicada

Fredi Tröltzsch, Technische Universität, Berlin. “Optimal and Feedback Control of some Reaction-Diffusion Equations” Data: 06/11/2018.

Ana Alonso Rodríguez, Universidade de Trento, Italia “High order Whitney forms and discrete potentials” Data: 30/05/2018.

Jorge Albella Martínez, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela “Resolución numérica de las ecuaciones de la elastodinámica lineal isotrópica mediante potenciales” Data: 08/02/2018

Rodolfo Rodríguez, CI²MA, Departamento de Enxeniería Matemática, Universidade de Concepción, Chile. “Aproximación do espectro do rotacional en dominios non simplemente conexos” Data: 08/02/2018

Patrick Joly, Inria-Saclay, Équipe de Recherche POEMS, France. “Transparent boundary conditions for wave propagation in fractal networks” Data: 25/1/2018


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Sébastien Imperiale, Inria-Saclay, Équipe de Recherche POEMS, France. “Convergence analysis of local time discretization for wave equations” Data: 25/1/2018

Seminario Vidal-Abascal

Francisco Martín, Universidade de Granada. “Clasificación de solitones de traslación del flujo por la curvatura media completos en R3” Data: 19/10/2018

Paul A. Schweitzer S.J., Pontificia Universidade Católica de Rio de Janeiro, Brasil “Smooth manifolds that cannot be leaves of foliations of codimension one” Data: 12/09/2018

Homare Tadano, Tokyo University of Science, Xapón “Some Myers-Type Theorems for Transverse Ricci Solitons on K-Contact Manifolds” Data: 11/09/2018

Gilbert Hector, Université Claude Bernard Lyon 1, Francia “Novikov's Theorem Revisited” Data: 6/09/2018

Carlos Meniño, Universidade Federal Fluminense, Brasil “A minimal foliation on a 3-manifold with a non-trivial geometrically finite leaf” Data: 14/06/2018

Miguel Domínguez Vázquez, Instituto de Ciencias Matemáticas - ICMAT “Superficies isoparamétricas en espazos homoxéneos” Data: 07/06/2018

Hiraku Nozawa, Universidade de Ritsumeikan, Xapón “Localización del volumen de variedades sasakianas” Data: 24/05/2018

Carlos Meniño, Universidade Federal Fluminense, Brasil. “Unha variedade exótica con infinidade de fins que non é folla” Data: 25/01/2018


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Cursos e Conferencias en Congresos

J. L. Ferrín Curso: Introduction to CFD modelling

Datas e lugar: University of Primorska, Koper (Eslovenia) do 3 ao 7 de setembro,

financiado polo proxecto ECCUM.

D. Gómez Curso: Numerical Simulation with Comsol Multiphysics Datas e lugar: ITT University Almaty (Kazakhstan) do 21 ao 26 de maio, financiado polo proxecto ECCUM. D. Gómez Curso: Introduction to Comsol Multiphysics 5.3 Datas e lugar: University of Primorska, Koper (Eslovenia) do 3 ao 7 de setembro, financiado polo proxecto ECCUM. F. Pena Curso: Scientific Computing with MATLAB

Datas e lugar: Bukhara Engineering-Technological Institute (Uzbekistan) do 29 de xaneiro o 2 de febreiro, financiado polo proxecto ECCUM. F. Pena Curso: Practical use of MATLAB for ODEs

Datas e lugar: University of Primorska, Koper (Eslovenia) do 3 ao 7 de setembro,

financiado polo proxecto ECCUM.

J. Rodríguez Curso: Introductory course on numerical methods for solving partial differential equations. Data e lugar: A.Baitursynov Kostanay State University (Kazakhstan) do 12 ao 16 de marzo, financiado polo proxecto ECCUM. J. Rodríguez Curso: An Introduction to Partial Differencial Equations and their Numerical Resolution. Data e lugar: University of Primorska, Koper (Eslovenia) do 3 ao 7 de setembro , financiado polo proxecto ECCUM.


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Múltiples membros do GI Enxeñaría Matemática Curso: MTC-1: Multiphysics Modelling. Data e lugar: Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela do 25 de xuño ao 6 de xullo de 2018. Máis información: organizado entre o ITMATI a USC e a UdC. Curso de 40 horas. http://www.itmati.com/training-course-mtc-1-multiphysics-modelling-0

6.2 Congresos organizados

Inclúese a continuación a relación de congresos onde os membros do IMAT

participaron como organizadores ou colaboraron nos comités científicos organizador.

“Fourth EACA International School on Computer Algebra and its Applications” Organizado por o Grupo de investigación en Matemáticas (GiMAT) Datas: 20-23 de marzo de 2018 Descripción: https://www.usc.es/regaca/eacaschool18/ “XIII Foro de Interacción Matemática-Industria” Organizado por los grupos de Matemática Aplicada, Estatística e Investigación Operativa das 3 universidades galegas e o ITMATI. Datas: 8 de xuño de 2018 Descripción: http://www.itmati.com/xiii-foro-de-interacci%C3%B3n-matem%C3%A1tica-industria “24th Conference on Applications of Computer Algebra” Organizado por o Departamento de Matemáticas Datas: 18-22 xuño de 2018 Descripción: https://www.usc.es/regaca/aca2018/ "XVII XORNADAS DE TRABALLO EN MECÁNICA CELESTE" Organizadas por o "Observatorio Atronómico Ramón María Aller". Datas: 25-27 de xuño de 2018. Descripción: http://www.usc.gal/astro/17jtmc/index.html III Encontro Luso‐Galaico de Biometría O III Encontro Luso-Galaico de Biometría, EBio2018, Datas: 28 - 30 de xuño de 2018 Organizado por a Sociedade Portuguesa de Estatística (SPE) e por a Sociedade Galega para a Promoción da Estatística e Investigación de Operacións (SGAPEIO). Lugar: Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

http://www.itmati.com/training-course-mtc-1-multiphysics-modelling-0

https://www.usc.es/regaca/eacaschool18/

http://www.itmati.com/xiii-foro-de-interacci%C3%B3n-matem%C3%A1tica-industria

http://www.itmati.com/xiii-foro-de-interacci%C3%B3n-matem%C3%A1tica-industria

https://www.usc.es/regaca/aca2018/

http://www.usc.gal/astro/17jtmc/index.html


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Descripción: http://ebio2018-pt.weebly.com/ "139 European Study Group with Industry " Organizadas por Coorganizado por a “Red Española Matemática – Industria” (math-in), a Acción COST TD1409, Mathematics for Industry Network (MI-NET) e o ITMATI. Participaron ademáis a Rede Temática RTMath-in, a “Red Tecnológica de Matemática Industrial” (Red TMATI), a “Red Estratégica en Matemáticas” e o proxecto ROMSOC. Datas: 9-13 de xulio de 2018. Descripción: http://www.itmati.com/139-european-study-group-industry “Conferencia Internacional en Análisis No Lineal y Problemas de Frontera 2018” Datas: 4-7 de setembro de 2018 Organizado polo Grupo de Investigación en Ecuacións Diferenciais Non Lineais (GI-1561) Descripción: https://bvp2018.es/ (a páxina xa non está activa, anuncio: http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/congresos/descargas/announcement-NABVP-2018.pdf) “INBIOEST Workshop: “Statistical Methodology for Data Analysis in Health and Environment”.” Organizadas polo GI2127, Grupo Interdisciplinar de Bioestadística. Data: 24 de outubro de 2018.

http://ebio2018‐pt.weebly.com/

http://www.itmati.com/139-european-study-group-industry

https://bvp2018.es/

http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/congresos/descargas/announcement-NABVP-2018.pdf

http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/congresos/descargas/announcement-NABVP-2018.pdf


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7. Organización de Cursos

7.1. School of Advanced Mathematics (SAM-IMAT)

A Escola de Matemáticas Avanzadas (School of Advanced Mathematics), SAM-IMAT, acolle cursos para graduados/licenciados en tópicos avanzados de matemática pura e aplicada. Estes cursos van dirixidos aos novos investigadores, co obxecto de mellorar a súa formación no comezo da súa carreira académica. Os cursos da SAM-IMAT foron organizados e/ou impartidos por membros do IMAT, colaboradores e visitantes do instituto, cunha duración de entre cinco e vinte horas. Título: Introdución ao python científico Profesor: Gabriel Espiñeira Deus, Departamento de Electrónica e Computación, Centro Singular de Investigación en Tecnoloxías da Información da USC (CiTiUS) Datas, duración e lugar: martes e xoves do 12 de xuño ao 12 de xullo de 2018, de 16:00 a 18:00. Curso de 20 horas. Aula de informática 2, Facultade de Matemáticas. Título: Critical point theory and applications to problems for differential and fractional equations. Profesor: Stepan Tersian, University of Ruse, Bulgaria Datas, duración e lugar: 21 e 22 de maio de 2018, ás 12:00. Curso de 5 horas. Aula Seminario de Análise Matemática, Facultade de Matemáticas. Título: Introduction to multilevel modelling Profesor: Leonardo Grilli, catedrático no Departamento de Estatística, informática, Aplicacións "G. Parenti" en la Universidad de Florencia, Italia. Datas, duración e lugar: 26 e 27 de marzo de 2018; de 9:30 a 11:30 e de 12:00 a 14:00 horas. Curso de 8 horas. Aula 0. Facultade de Matemáticas. Título: Edición profesional de documentos científicos (Latex) Profesor: Adrián Fernández Tojo. Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización, Universidade de Santiago de Compostela, España. Datas, duración e lugar: 22 a 25 de xaneiro de 17:00 a 19:00. Curso de 8 horas. Aula de informática 2. Facultade de Matemáticas.


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7.2. Outros Cursos

Profesor: Leovigildo Alonso Tarrío. Título: "Xeometría Alxébrica: Xeometría con esquemas" Datas e duración: a partir do xoves 1 de febreiro de 2018; de 10:00 a 12:00 horas. Curso de 20 horas repartidas en 10 semanas. Organización: Seminario de Iniciación á investigación. Título: Curso de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional non Lineal:“Climate dynamics and fractional calculus” Profesor: Łukasz Płociniczak, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Wrocław University of Science and Technology, Polonia Datas e duración: 27 a 29 de novembro de 2018. Curso de 8 horas. Organización: Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional. Título: The Role of Mathematical Programming in Data Science Profesor: Emilio Carrizosa Priego, Universidad de Sevilla, España. Datas: 19 a 23 de novembro de 2018. Curso de 10 horas. Organización: Seminario de Estatística e Investigación Operativa Título: Mathematical Methods for the Solution of Inverse Problems Profesor: Dr. Jorge P. Zubelli, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Brasil Datas e duración: 10, 11, 17, 18 e 24 de outubro de 2018. Curso de 10 horas. Organización: Seminario de Estatística e Investigación Operativa Título: “An Introduction to the Joint Modeling of Longitudinal and Survival Data, with Applications in R”. (Curso). Profesor: Dimitris Rizopoulos (Erasmus Medical Center Rotterdam) Datas e duración:: 19-21 de febreiro de 2018. Curso de 17 horas. Organización: ICBUSC; GI2127, Grupo Interdisciplinar de Bioestadística. http://icbusc.com/uploads/documents/FLYER_JOINT_MODELING_OF_LONGITUDINAL_DATA.pdf

No ANEXO II achéganse os resumos dos contido ou programas dos cursos impartidos.

http://icbusc.com/uploads/documents/FLYER_JOINT_MODELING_OF_LONGITUDINAL_DATA.pdf

http://icbusc.com/uploads/documents/FLYER_JOINT_MODELING_OF_LONGITUDINAL_DATA.pdf


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8. Actividades de divulgación

8.1. Seminario de Iniciación á Investigación

Na Memoria de Actividaddes do IMAT correspondente ao ano 2018, inclúese unha breve semblanza das orixes do Seminario de Iniciación á Investigación (SII) cuxos principais obxectivos son os seguintes:

O seminario debe ser un foro onde cada participante (normalmente, estudantes de master ou doutorado) poida dar a coñecer o seu traballo e polo tanto, practicar a comunicación do mesmo, esixindo á súa vez unha reflexión profunda dos seus coñecementos.

O seminario debe permitir aos participantes aprender o que outros fan, propiciando a futura colaboración entre os investigadores.

O seminario, mediante a participación da audiencia, debe ser un recurso para un poñente co que captar ideas. Así, a charla non debe versar necesariamente sobre un traballo acabado senón que pode plantexarse un problema sobre o que os asistentes aporten ideas.

Os organizadores do SII no curso 2017/2018 son: Jesús Conde Lago, Arís Fanjul Hevia, Lucía López Somoza, Luis Javier Pérez Pérez, Víctor Sanmartín López. E no curso 2018/2019 son: Arís Fanjul Hevia, Alejandro Fernández Fariña, Ignacio Márquez Albés, Luis Javier Pérez Pérez, Xabier Valle Regueiro

As comunicacións, así como outras actividades salientables, incluídas no SII durante o ano 2018 foron as seguintes:

Luca Piccotti "Participación en investigaciones punteras sobre estrellas dobles y múltiples en el ámbito actual de la Astronomía española e italiana." Data: mércores 12 de decembro de 2018 ás 17:00. Duración 1 hora. María Pilar Páez Guillán "¿Qué pintan las superálgebras en Mecánica Cuántica?" Data: mércores 28 de novembro de 2018 ás 17:00. Duración 1 hora. Jorge Rodríguez López "O teorema de punto fixo de Schauder: xeneralizacións e aplicacións" Data: mércores 14 de novembro de 201ás 17:00


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Evento: Xornada de divulgación "Matemáticas: habelas hainas" Data: mércores 7 de novembro ás 16:00 Lugar: Aula Magna da facultade de Matemáticas

• A vida é un xogo. (Alejandro Saavedra Nieves) • As ecuacións do amor. (Lucía López Somoza) • Vida noutros mundos. A Astrobioloxía. (Carlos Vázquez Monzón) • Ata o infinito e máis alá. (Beatriz Álvarez Díaz) • Matemáticas no teu corazón. (Marcos Loureiro García) • Buracos: as matemáticas do vaqueiro. (David Mosquera Lois) • Pero ti estás seguro diso? (Mercedes Conde Amboage)

Álvaro Carballido Costas "Construcción de superficies hiperbólicas” Data: mércores 31 de outubro de 2018 ás 17:00 Laura Davila Pena "Teoría de colas y su aplicación a un caso cercano" Data: mércores 17de outubro de 2018 ás 17:00 Marcos Tella Álvarez "Aspectos topolóxicos do Teorema de Arzelà-Ascoli” Data: mércores 3 de outubro de 2018 ás 17:00 Olga Pérez Barral "A forma do tempo" Data: mércores 19 setembro de 2018 ás 17:00 David González Peñas "Diseño de una instalación de evacuación de gases mediante simulación numérica" Data: mércores 16 de maio de 2018. Cristina Lois Prados "Una generalización del Teorema de punto fijo de Krasnosel’skii mediante el uso de funcionales" Data: mércores 2 de maio de 2018. Guido Ignacio Novoa Flores "Pienso, luego optimizo" Data: mércores 18 de abril de 2018. Ixchel Dzohara Guitiérrez Rodríguez "Métricas conforme Einstein en grupos de Lie de dimensión 4" Data: Mércores 4 de abril ás 17:00.


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Eduardo Dorrego López "Dilucidando π . Pruebas y conjeturas en la "Mémoire" de J. H. Lambert" Data: Mércores 21 de marzo ás 17:00. Alicia Seijas Vázquez "Ecuaciones de Fredholm y de Volterra" Data: Mércores 7 de marzo ás 17:00. Carlos Franco Sanmartín. "Espazos estratificados" Data: Mércores 21 de febreiro ás 17:00. Curso: "Xeometría Alxébrica: Xeometría con esquemas" Profesor: Leovigildo Alonso Tarrío. Datas: xoves 1 de febreiro de 2018; de 10:00 a 12:00 horas. Curso de 20 horas repartidas en 10 semanas. Jorge Gómez Crespo, Observatorio Ramón María Aller, Universidade de Santiago de Compostela. Interferometría Speckle no BAO Data: mércores 7 de febreiro ás 17:00 horas. As contribucións ao Seminario de Iniciación á Investigación do ano 2018 recóllense nunha publicación que se achegará no ANEXO III cando esté dispoñible.

8.2. Outras actividades de divulgación

Os seguintes actos e xornadas foron organizadas ou impartidas por membros do IMAT:

V Xornada de formación SGAPEIO-AGAPEMA 2018 https://www.sgapeio.es/index.php/estatistica-no-ensino/3129-xornada-de-formacion-sgapeio-agapema-2018 Santiago de Compostela, facultade de Matemáticas, 20 de outubro de 2018. Mª José Ginzo colabora ca Sociedade Galega de Estatística e Investigación de Operacións (SGAPEIO) na organización dos actos. V Xornada de Usuarios de R en Galicia https://www.r-users.gal/ Santiago de Compostela, 25 de Outubro do 2018. Mª José Ginzo Villamayor formou parte do comité organizador e científico. VIII Fase Nacional de los concursos tipo “Incubadora de Sondaxes e Experimentos” http://www.sgapeio.es Santiago de Compostela, do 28 de maio ao 3 de xuño de 2018.

https://www.sgapeio.es/index.php/estatistica-no-ensino/3129-xornada-de-formacion-sgapeio-agapema-2018

https://www.sgapeio.es/index.php/estatistica-no-ensino/3129-xornada-de-formacion-sgapeio-agapema-2018

https://www.r-users.gal/

http://www.sgapeio.es/


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Mª José Ginzo e Balbina Casas colaboran, coa Sociedade Galega de Estatística e Investigación de Operacións (SGAPEIO), na organización dos actos. Título: “Biostatistics, Biostatisticians, and their Environment.” (Seminario) Profesor: Geert Molemberghs (Universidad de Hasselt y KU Leuven) Data: 26 de novembro 2018. Organización: GI2127, Grupo Interdisciplinar de Bioestadística. http://www.icbusc.com/event/lecture_biostatistics_geert_molenberghs Programa de Extensión Cultural de Astronomía (PECAS) (21ª e 22 ª edicións: 17/18 e 18/19): Xullo, agosto e setembro de 2018 Observacións astronómicas dende a Ciudade da Cultura de Galicia. Investigador responsable: José Ángel Docobo Durantez http://www.usc.es/pecas/castellano/pecas.htm Programa TODOCOSMOS. Cinco edicións, de 2014 a 2018. Entidade financiadora: Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT)/Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (Iniciativa do Observatorio Astronómico Ramón María Aller) (Colabora Óptica Val). Investigador responsable: José Ángel Docobo Durantez http://www.usc.es/es/proxectos/todocosmos/ “Stat Wars: El despertar de los Datos” Duración: 01/01/17- 31/03/2018. (2 edicións: 06/03/2018 Universidade de Valencia e o 12/03/2018 Universidade Autónoma de Barcelona.) Entidad financiadora: Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT). Ministerio de Economía y Competitividad (FCT-16-11015). Investigadora responsable: Carmen María Cadarso Suárez (Biostatech) http://biostatech.com/stat-wars-el-despertar-de-los-datos/ Xornada Software Libre Científico Santiago de Compostela o 12 de Abril do 2018. Mª José Ginzo Villamayor formou parte do comité organizador e científico http://epilinux.melisa.gal/

http://www.icbusc.com/event/lecture_biostatistics_geert_molenberghs

http://www.usc.es/pecas/castellano/pecas.htm

http://www.usc.es/es/proxectos/todocosmos/

http://biostatech.com/stat-wars-el-despertar-de-los-datos/

http://epilinux.melisa.gal/


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9.Publicacións

10.1.Artigos de investigación

Autores: Abbas, S., Benchohra, M., Lazreg, J.E., Nieto, J.J. Título: On a coupled system of hilfer and hilfer-Hadamard fractional differential equations in banach spaces Referencia: Journal of Nonlinear Functional Analysis,2018. Autores: Abdollahi, R., Khastan, Alireza, Nieto, Juan J., Rodríguez-López, Rosana Título: On the linear fuzzy model associated with Caputo-Fabrizio operator Referencia: Boundary Value Problems 2018. Autores: J. Q. Adashev, M. Ladra, B. A. Omirov Título: The second cohomology group of simple Leibniz algebras Referencia: Journal of Algebra and its Applications (2018), 1850222, 2018. Autores: Agarwal, R.P., Baleanu, D., Nieto, J.J., Torres, D.F.M., Zhou, Y. Título: A survey on fuzzy fractional differential and optimal control nonlocal evolution equations Referencia: Journal of Computational and Applied Mathematics 339, 2018. Autores: J. Albella, S. Imperiale, P. Joly, J. Rodríguez. Título: Solving 2D Linear Isotropic Elastodynamics by Means of Scalar Potentials: A New Challenge for Finite Elements Referencia: Journal of Scientific Computing (2018). Autores: F. Alcalde Cuesta, P. González Sequeiros, Á. Lozano Rojo Título: Evolutionary regime transitions in structured populations Referencia: PLOS One 2018. Autores: F. Alcalde Cuesta, F. Dal'Bo, M. Martínez, A. Verjovsky Título: Unique ergodicity of the horocycle flow on Riemannnian foliations Referencia: Ergodic Theory and Dynamical Systems 2018. Autores: Alonso Álvarez, J. N.; Fernández Vilaboa, J. M.; González Rodríguez, R. Título: Cleft extensions for quasi-entwining structures Referencia: Math. Slovaca 68, no. 2, 339–352 2018.


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Autores: L. Alonso Tarrío, A. Jeremías López, M. Pérez Rodríguez, M. J. Vale Gonsalves Título: On the derived category of quasi-coherent sheaves on an Adams geometric stack Referencia: Journal of Pure and Applied Algebra 222 no. 4, 828–845, 2018. Autores: J.A. Álvarez López, M. Calaza, C. Franco Título: Witten’s perturbation on strata with general adapted metrics Referencia: Annals of Global Analysis and Geometry , 2018. Autores: J.A. Álvarez López, A. Candel Título: On turbulent relations Referencia: Fundamenta Mathematicae, 2018. DOI: 10.4064/fm309-9-2017 Autores: J.A. Álvarez López, A. Candel Título: Non-reduction of relations in the Gromov space to Polish actions Referencia: Notre Dame Journal of Formal Logic 59 , no. 2, 205-213, 2018. Autores: L.J. Alvarez-Vázquez, N. García-Chan, A. Martínez, M.E. Vázquez-Méndez Título: Optimal control of urban air pollution related to traffic flow in road networks Referencia: Mathematical Control and Related Fields V 8, p 177-193. American Institute of Mathematical Sciences (AIMS) 2018. DOI:10.3934/mcrf.2018008 Autores: L. J. Alvarez-Vázquez, A. Martínez, C. Rodríguez, M. E. Vázquez-Méndez Título: Sediment minimization in canals: an optimal control approach Referencia: Mathematics and Computers in Simulation V 149, p. 109-122. Elsevier 2018. Autores: Amhaz-Escanlar, S., Jorge-Mora, A., Jorge-Mora, T, Febrero-Bande, M., Diez-Ulloa, MA Título: Proposal for a new trajectory for subaxial cervical lateral mass screws Referencia: 2018 European Spine Journal. 27 (11). pp. 2738--2744. Springer. ISSN: 0940-6719 Autores: Amirfakhrian, M., Fallah, M., Rodríguez-López, Rosana Título: A method for solving fuzzy matrix equations Referencia: 2018 Soft Computing Autores: Arias Castro, E., Pateiro-López, B., Rodríguez-Casal, A. Título: Minimax Estimation of the Volume of a Set under the Rolling Ball Condition Referencia: 2018 Journal of the American Statistical Association-Theory and Methods. 0. pp. 1-12. Amer Statistical Assoc. ISSN: 0162-1459

http://sauwok.fecyt.es/admin-apps/JCR/JCR?RQ=RECORD&rank=1&issn=0940-6719




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Autores: Iván Area, Faïçal Ndaïrou, Juan J. Nieto, Cristiana J. Silva, Delfim F. M. Torres. Título: Ebola model and optimal control with vaccination constraints Referencia: Journal of industrial and Management Optimization, V.14, Issue 2, P 427-446, 2018. Autores: Liang Bai, Juan J. Nieto Título: Positive solutions for singular impulsive Dirichlet boundary value problems Referencia: Topological Methods in Nonlinear Analysis, V 52, I2, P 561-584, 2018. Autores: Bai, L., Dai, B., Nieto, J.J. Título: Necessary and sufficient conditions for the existence of non-constant solutions generated by impulses of second order BVPs with convex potential Referencia: Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2018. Autores: Bashiri, T., Vaezpour, S.M., Nieto, J.J. Título: Approximating Solution of Fabrizio-Caputo Volterra's Model for Population Growth in a Closed System by Homotopy Analysis Method Referencia: Journal of Function Spaces, 2018. Autores: Benchohra, M., Bouriah, S., Nieto, J.J. Título: Existence and stability results for nonlocal initial value problems for differential equations with Hilfer fractional derivative Referencia: Studia Universitatis Babes-Bolyai Mathematica 63(4), 2018. Autores: Benchohra, M., Bouriah, S., Nieto, J.J. Título: Existence of periodic solutions for nonlinear implicit Hadamard’s fractional differential equations Referencia: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales - Serie A: Matematicas 112(1), 2018. Autores: M. Brozos-Vázquez, E. García-Río, P. Gilkey, S. Gavino-Fernández Título: The structure of the Ricci tensor on locally homogeneous Lorentzian gradient Ricci solitons Referencia: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh A 148, 461-482, 2018. Autores: M. Brozos-Vázquez, E. García-Río, P. Gilkey, X. Valle-Regueiro Título: A natural linear equation in affine geometry: the affine quasi-Einstein equation Referencia: Proceedings of the American Mathematical Society 146 (2018), 3485-3497, 2018. Autores: M. Brozos-Vázquez, E. García-Río, P. Gilkey, X. Valle-Regueiro Título: The affine quasi-Einstein equation for homogeneous surfaces Referencia: Manuscripta Mathematica , 2018.


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Autores: M. Brozos-Vázquez, E. García-Río, P. Gilkey, X. Valle-Regueiro Título: Half conformally flat generalized quasi-Einstein manifolds of metric signature (2,2) Referencia: International Journal of Mathematics 29, no. 1, 1850002, 25 pp., 2018. Autores: M. Brozos-Vázquez, E. García-Río, P. Gilkey Título: Homogeneous affine surfaces: affine Killing vector fields and gradient Ricci solitons Referencia: J. Math. Soc. Japan 70, no. 1, 25–70., 2018. Autores: A. Bermúdez, M. Piñeiro, P. Salgado Título: Mathematical and numerical analysis of a transient magnetic model with voltage drop excitations Referencia: Computers & Mathematics with Applications vol. 76 (11-12), (2018). Autores: S.Busto J.L.Ferrín E.F.Toro M.E.Vázquez-Cendón. Título: A projection hybrid high order finite volume/finite element method for incompressible turbulent flows Referencia: Journal of Computational Physics, vol. 353, pp. 169-192, (2018).

Autores: Alberto Cabada, Lorena Saavedra Título: Existence of solutions for nth-order nonlinear differential boundary value problems by means of fixed point theorems Referencia: Nonlinear Analysis: Real World Applications 42 180–206, 2018. Autores: Alberto Cabada, Nikolay D. Dimitrov Título: Positive homoclinic solutions of n-th order difference equations with sign-changing Green's function Referencia: Mathematical Methods In the Applied Sciences V41, I12, 4763-4775, 2018. Autores: Alberto Cabada, Lucía López-Somoza, F. Adrián F. Tojo Título: Existence of solutions of integral equations with asymptotic conditions Referencia: Nonlinear Analysis: Real World Applications 42 140–159., 2018. Autores: Alberto Cabada, Gennaro Infante, F. Adrián F. Tojo. Título: Nonlinear Perturbed Integral Equations related to Nonlocal Boundary Value Problems Referencia: Fixed Point Theory 19 (1), 65-92, 2018. Autores: E. Calviño-Louzao, E. García-Río, I. Gutiérrez-Rodríguez, R. Vázquez-Lorenzo Título: Bach-flat isotropic gradient Ricci solitons Referencia: Pacific Journal of Mathematics 293, no. 1, 75–99., 2018.


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Autores: E. Calviño Louzao, E. García Río, P. Gilkey, I. Gutiérrez Rodríguez, R. Vázquez Lorenzo Título: Affine surfaces which are Kahler, para-Kahler, or nilpotent Kahler Referencia: Results in Mathematics 73, No. 4, Art. 135, 24 pp..2018. Autores: M. Camacho, I. A. Karimjanov, M. Ladra, B. A. Omirov Título: Leibniz Algebras Constructed by Representations of General Diamond Lie Algebras Referencia: Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society , 2018. Autores: Cao Labora, Daniel; Rodriguez López, Rosana Título: Improvements in a method for solving fractional integral equations with some links with fractional differential equations Referencia: Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018. Autores: Labora, D.C., Nieto, J.J., Rodríguez-López, R. Título: Is it possible to construct a fractional derivative such that the index law holds? Referencia: Progress in Fractional Differentiation and Applications 4(1), 2018. Autores: Carballeira, R., Vieira, D.N., Febrero-Bande, M., Muñoz Barús, JI Título: A valid method to determine the site of drowning Referencia: International Journal Legal Medicine. 132(2). pp. 487--497. Springer. ISSN: 0937-9827 Autores: Alberto Castaño Domínguez Título: Dwork families and D-modules Referencia: Rev. Mat. Iberoam. (Revista Matemática Iberoamericana), 2018 (aceptado). Autores: Catalán-López S, Cadarso-Suárez L, López-Ratón M, Cadarso-Suárez C. Título: Corneal Biomechanics in Unilateral Keratoconus and Fellow Eyes with a Scheimpflug-based Tonometer. Referencia: Optom Vis Sci. 2018 Jul;95(7):608-615 . Autores: JÁ Cid, FAF Tojo

Título: A Lipschitz condition along a transversal foliation implies local uniqueness for

ODEs

Referencia: Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 13, 1-14. 2018. Autores: J.L. Castiglioni, X. García-Martínez, M. Ladra Título: Universal central extensions of Lie–Rinehart algebras Referencia: Journal of Algebra and its Applications 17, no. 7, 1850134, 30 pp., 2018




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Autores: S Codesido, FAF Tojo

Título: Differential systems with reflection and matrix invariants

Referencia: Math Meth Appl Sci., 1–8, 2018 Autores: Conde Amboage M., Sánchez Sellero, C. Título: A plug-in bandwidth selector for nonparametric quantile regression Referencia: Test 2018. ISSN: 1133-0686

Autores: Conde Amboage M., González-Manteiga, W., Sánchez Sellero, C. Título: Quantile regression: estimation and lack-of-fit tests Referencia: 2018 Boletín de Estadística e Investigación Operativa (BEIO). 32. pp. 97-116. SEIO. ISSN: 2387-1725 Autores: Cuevas, A., Pateiro-López, B. Título: Polynomial volume estimation and its applications Referencia: Journal of Statistical Planning and Inference. 196. pp. 174-184. Elsevier Science Bv. ISSN: 0378-3758 Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, C. Vidal-Castiñeira Título: Strongly 2-Hopf hypersurfaces in complex projective and hyperbolic planes Referencia: Ann. Mat. Pura Appl. 197, 469-4862018. Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, C. Vidal-Castiñeira Título: Isoparametric submanifolds in two-dimensional complex space forms Referencia: Ann. Glob. Anal. Geom. 53, 205-216, 2018. Autores: Ding, Xiao-Li; Nieto Roig, Juan José. Título: Analytical solutions for multi-term time-space fractional partial differential equations with nonlocal damping terms Referencia: Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018 Autores: Xiao-Li Ding, Juan J. Nieto Título: Controllability of nonlinear fractional delay dynamical systems with prescribed controls Referencia: Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 23 (1), 1-18., 2018. Autores: Ding, X.-L., Nieto, J.J. Título: Analytical solutions for multi-time scale fractional stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and their applications Referencia: Entropy 20(1)., 2018.




http://verso.mat.uam.es/~miguel.dominguezv/

http://verso.mat.uam.es/~miguel.dominguezv/


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Autores: Docobo, J. A.; Tamazian, V. S.; Campo, P. P. Título: On the orbit calculation of visual binaries with a very short arc: application to the PMS binary system, FW Tau AB Referencia: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 476, Issue 2, p.2792- 2800, 2018. Autores: Docobo, J. A.; Tamazian, V. S.; Campo, P. P.; Piccotti, L. Título: Visual Orbit and Individual Masses of the Single-lined Spectroscopic Binary 94 AQR A (HD 219834A; MCA 74) Referencia: The Astronomical Journal, Volume 156, Issue 3, article id. 85, 5 pp., 2018. Autores: Docobo, J. A.; Gómez, J.; Campo, P. P.; Andrade, M.; Horch, E. P.; Costa, E.; Méndez, R. A. Título: Orbits of 14 binaries based on 2018 soar speckle observations Referencia: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, aceptado, 2018. Autores: Docobo, J. A.; Horch, E. P.; Campo, P. P.; Gómez, J. Título: The three-dimensional orbit, orbital parallax, and individual masses of the doublelined spectroscopic binaries HD 183255, HD 114882, and HD 30712 Referencia: The Astronomical Journal, aceptado, 2018. Autores: Doungmo Goufo, E.F., Nieto, J.J. Título: Attractors for fractional differential problems of transition to turbulent flows Referencia: Journal of Computational and Applied Mathematics 339. 2018. Autores: G. Donadze, N. Inassaridze, M. Ladra, A. M. Vieites Título: Exact sequences in homology of multiplicative Lie rings and a new version of Stallings' theorem Referencia: Journal of Pure and Applied Algebra 222, no. 7, 1786-1802., 2018. Autores: Espasandín Domínguez J., Carollo-Limeres C., Coladas-Uría L., Gude F., Cadarso-Suárez C., Lado-Baleato O Título: Bivariate Copula Additive Models for Location, Scale and Shape with Applications in Biomedicine. Referencia: The Mathematics of the Uncertain (2018). Springer International Publishing AG. Autores: Espasandín Domínguez, J., Benítez-Estévez, A.J., Cadarso Suárez, Carmen M., Kneib T., Barreiro-Martínez, T., Casas-Méndez, B. V., Gude, F. Título: Geographical differences in blood potassium detected using a structured additive distributional regression model Referencia: Spatial Statistics. 24. pp. 1-13. Elsevier 2018. ISSN: 2211-6753



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Autores: Fanjul Hevia, A., González-Manteiga, W. Título: A comparative study of methods for testing the equality of two or more ROC curves. Referencia: Computational Statistics 33. pp. 357-377. Springer Berlin Heidelberg 2018. ISSN: 0943-4062 Autores: Abul Farah Md Hasanuzzaman, Juan Andrés Rubiolo, Diego Robledo, Antonio Gómez-Tato, José Antonio Álvarez-Dios, Sergio Fernández-Boo, Asunción Cao, Antonio Villalba, Belén G Pardo, Paulino Martínez Título: Gene expression analysis of Ruditapes philippinarum haemocytes after experimental Perkinsus olseni zoospore challenge and infection in the wild Referencia: Fish & shellfish immunology 2018. Autores: R Figueroa, FAF Tojo

Título: Fixed points of Hammerstein-type equations on general cones.

Referencia: Fixed Point Theory 19 (2), 571-586 4. 2018. Autores: Figueroa, R., Pouso, R.L., Rodríguez-López, J.

Título: Extremal solutions for second-order fully discontinuous problems with

nonlinear functional boundary conditions.

Referencia: Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 29. 2018. Autores: Hossein Fazli, Juan J. Nieto, Fariba Bahrami Título: On the existence and uniqueness results for nonlinear sequential fractional differential equations Referencia: Appl. Comput. Math., V.17, N.1, pp.36-47, 2018. Autores: Fazli, H., Nieto, J.J. Título: Fractional Langevin equation with anti-periodic boundary conditions Referencia: Chaos, Solitons and Fractals 114, pp. 332-337, 2018. Autores: Fazli, H., Nieto, J.J. Título: Nonlinear sequential fractional differential equations in partially ordered spaces Referencia: Filomat 32(13), 2018. Autores: Febrero-Bande, M., González-Manteiga, W., Oviedo, M Título: Variable selection in Functional Additive Regression Models Referencia: 2018 Computational Statistics. pp. 1-19. Springer. ISSN: 0943-4062 Autores: Feijoo, G., Crujeiras, R., Moreira, M.T. Título: Gamestorming for the Conceptual Design of Products and Processes in the context of engineering education Referencia: 2018 Education for Chemical Engineers. 22. pp. 44-52



50

Autores: D. Fernández-Ternero, E. Macías-Virgós, E. Minuz, J. A.Vilches Título: Discrete topological complexity Referencia: Proceedings of the American Mathematical Society 146, no. 10, 4535–4548, 2018. Autores: Rubén Figueroa, Rodrigo López Pouso, Jorge Rodríguez-López Título: A version of Krasnosel'skiĭ's compression-expansion fixed point theorem in cones for discontinuous operators with applications Referencia: Topological Methods in Nonlinear Analysis 51,2, 493-510, 2018. Autores: Freire-Aradas A, Phillips C, Girón-Santamaría L, Mosquera-Miguel A, Gómez-Tato A, Casares de Cal MÁ, Álvarez-Dios J, Lareu MV. Título: Tracking age-correlated DNA methylation markers in the young. Referencia: Forensic Sci Int Genet. 2018. Autores: N. García-Chan, D. A. Pantoja, A. Filonov, M. E. Vázquez-Méndez, T. Gazca-Ortiz. Título: An approach to an optimal T-head jetty: A numerical simulation case in Chamela Bay, Mexico Referencia: Coastal Engineering Journal V 60, p.327-339, Taylor & Francis 2018. Autores: E. García Río, A. Haji-Badali, R. Mariño Villar, M. E. Vázquez Abal Título: Locally conformally flat weakly-Einstein manifolds Referencia: Arch. Math. (Basel) 111, 549-559, 2018. Autores: E. Macías-Virgós, M.J. Pereira-Sáez, D. Tanré Título: Cayley transform on Stiefel manifolds Referencia: Journal of Geometry and Physics 123, 53–60, 2018. Autores: Ginzo-Villamayor, M.J. Título: La matemática, la ciencia que ayuda a combatir incendios Referencia: 2018 COETICOR. 6. pp. 14-15 Autores: Giráldez E., Varo E., Guler I., Cadarso Suarez C., Tomé S., Barral P. , Garrote A., Gude F. Título: Post-operative stress hyperglycemia is a predictor of mortality in liver transplantation. Referencia: (2018). Diabetoly & Metabolic Syndrome . Autores: González-Díaz, J., Fernández de Córdoba, M. P., González-Rueda, A. M. Título: A twist on SLP algorithms for NLP and MINLP problems: an application to gas transmission networks Referencia: 2018 Optimization and Engineering. Springer. ISSN: 1389-4420


51

Autores: González-Manteiga, W., Febrero-Bande, M., Piñeiro-Lamas, M. Título: Semiparametric prediction models for variables related with energy production Referencia: 2018 Journal of Mathematics in Industry. 8 (7). pp. 1--16. SpringerOpen. ISSN: 2190-5983 Autores: J. Guiu, S. Neira, M. Sánchez- García, O. López-Pouso, M. Pombar, J. Pardo. Título: Adaptive biokinetic modelling of iodine-131 in thyroid cancer treatments: implications on individualized internal dosimetry University of Primorska Referencia: Journal of Radiological Protection (aceptado o 26 de setembro de 2018). Autores: Aicha Harrat, Juan J. Nieto, Amar Debbouche Título: Solvability and optimal controls of impulsive Hilfer fractional delay evolution inclusions with Clarke subdifferential Referencia: Journal of Computational and Applied Mathematics, V 344, 725-737, 2018. Autores: S. Heidarkhani, A. Cabada, G.A. Afrouzi, S. Moradi, G. Caristi Título: A variational approach to perturbed impulsive fractional differential equations Referencia: Journal of Computational and Applied Mathematics 341, 2018. Autores: U.U. Jamilov, A. Yu. Khamraev, M. Ladra Título: On a Volterra Cubic Stochastic Operator Referencia: Bull. Math. Biol. 80, no. 2, 319–334., 2018. Autores: K. Kudaybergenov, M. Ladra, B. Omirov Título: On Levi–Malcev theorem for Leibniz algebras Referencia: Linear and Multilinear Algebra , 2018. Autores: Long, H.V., Nieto, J.J., Son, N.T.K. Título: New approach for studying nonlocal problems related to differential systems and partial differential equations in generalized fuzzy metric spaces Referencia: Fuzzy Sets and Systems 331,2018. Autores: Long, H.V., Son, N.T.K., Rodríguez-López, Rosana Título: Some Generalizations of Fixed Point Theorems in Partially Ordered Metric Spaces and Applications to Partial Differential Equations with Uncertainty Referencia: Vietnam Journal of Mathematics, 2018. Autores: Lopez Pouso, Rodrigo; Marquez Albes, Ignacio Título: General existence principles for Stieltjes differential equations with applications to mathematical biology Referencia: Journal of Differential Equations, 2018.



52

Autores: Rodrigo López Pouso, Ignacio Márquez Albés, Giselle A. Monteiro Título: Extremal solutions of systems of measure differential equations and applications in the study of Stieltjes differential problems Referencia: Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No. 38, 1–24, 2018. Autores: Lorenzo-Toja, Y., Vázquez-Rowe, I., Marín-Navarro, D., Crujeiras, R., Moreira, M.T., Feijoo, G. Título: Dynamic environmental efficiency assessment for wastewater treatment plants Referencia: International Journal of Life Cycle Assessment. 23. pp. 357-367. 2018 Autores: Ndairou, Faical; Area, Ivan; Nieto Roig, Juan José ; Silva, Cristiana J.; Torres, Delfim F. M. Título: Mathematical modeling of Zika disease in pregnant women and newborns with microcephaly in Brazil Referencia: Mathematical Methods In the Applied Sciences, 2018. Autor: Enrique Macías Virgós Título: The Cayley transform on Lie groups, symmetric spaces and Stiefel manifolds Referencia: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Vol.: LXIII, No. 2 Págs.: 143–160. 2018 Autores: Masjed-Jamei, M., Soleyman, F., Area, I., Nieto, J.J. Título: Two finite q-sturm-liouville problems and their orthogonal polynomial solutions Referencia: Filomat 32 (1), 2018. Autores: Madiedo, J. M.; Zamorano, J.; Trigo-Rodríguez, J. M.; Ortiz, J. L.; Docobo, J. A.; Izquierdo, J.; Lacruz, J.; Campo, P. P.; Andrade, M.; Pastor, S.; de los Reyes, J. A.; Ocaña, F.; Sánchez-de Miguel, A.; Pujols, P. Título: Analysis of the September -Perseid outburst in 2013. ɛ-Perseid outburst in 2013 Referencia: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 480, Issue 2, p.2501-2507, 2018. Autores: Mohammad Masjed-Jamei, Zahra Moalemi, Iván Area, Juan J. Nieto Título: A new type of Taylor series expansion Referencia: Journal of Inequalities and Applications, 2018. Autores: Nieto, Juan J., Ouahab, A., Rodríguez-López, Rosana Título Fixed point theorems in generalized banach algebras and applications Referencia: Random Operators and Stochastic Equations, 2018. Autores: Nieto, Juan J., Ouahab, A., Rodríguez-López, Rosana Título: Some deterministic and random fixed point theorems on a graph Referencia: Fixed Point Theory, 2018.


53

Autores: Nieto, J.J., Uzal, J.M. Título: Pulse positive periodic solutions for some classes of singular nonlinearities Referencia: Applied Mathematics Letters 86, pp. 134-140, 2018. Autores: Nieto, J.J., Uzal, J.M. Título: Positive Periodic Solutions for a First Order Singular Ordinary Differential Equation Generated by Impulses Referencia: Qualitative Theory of Dynamical Systems 17(3), pp. 637-650, 2018.

Autores: B. M. P. M. Oliveira, R. Trinchet, M. V. Otero Espinar, A. Pinto, N. Burroughs Título: Modelling the suppression of autoimmunity after pathogen infection Referencia: Mathematics Methods in the Applied Sciences 41, no. 18, 1-6 , 2018 Autores: Oliveira, M., Pérez-Alberti, Augusto, Crujeiras, R., Rodríguez-Casal, A., Castillo-Rodríguez, F. Título: A new method for analysing and representing ground temperature variations in cold environments. The Fuegian Andes, Tierra del Fuego, Argentina Referencia: 2018 Geographical Research Letters. 44. pp. 293-320 Autores: Ortega, JA., Losada, E., Besteiro Doval, R., Arango López, T., Ginzo-Villamayor, M.J., Velo Sabín, R, Fernández Rodríguez, MD., Rodriguez Rodríguez, MR. Título: Validation of an AutoRegressive Integrated Moving Average model for the prediction of animal zone temperature in a weaned piglet building Referencia: 2018 Biosystems Engineering. I74. pp. 231-238. Elsevier Autores: Oviedo, M, Febrero-Bande, M., Muñoz, MP, Domínguez, A. Título: Predicting seasonal influenza transmission using functional regression models with temporal dependence. Referencia: PloS One. 13 (4). pp. 1-18. 2018. Public Library of Science. ISSN: 1932-6203 Autores: Pichel, Juan C., Pateiro-López, B. Título: A New Approach for Sparse Matrix Classification Based on Deep Learning Techniques Referencia: 2018 IEEE International Conference on Cluster Computing. pp. 46-54 Autores: Pouso, R.L., Rodríguez-López, J. Título: Second-order discontinuous problems with nonlinear functional boundary conditions on the half-line Referencia: 2018 Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 79 Autores: Ríos-Pena L, Kneib T, Cadarso-Suárez C, Klein N, Marey-Pérez M Título: Studying the occurrence and burnt area of wildfires using zero-one-inflated structured additive beta regression. Referencia: Environmental Modelling & Software, 110: 107-118 (2018).



54

Autores: P. Ronza, A. Cao, D. Robledo, A. Gómez-Tato, J.A. Álvarez-Dios, A.F.M. Hasanuzzaman, M.I. Quiroga, A. Villalba, B.G. Pardo, P. Martínez, Título: Long-term affected flat oyster (Ostrea edulis) haemocytes show differential gene expression profiles from naïve oysters in response to Bonamia ostreae Referencia: Genomics 2018. Autores: Rodríguez Veiga, J., Gómez Costa, I., Ginzo-Villamayor, M.J., Casas-Méndez, B. V., Saiz Díaz, J.L. Título: Assignment problems in wildfire suppression: Models for optimization of aerial resource logistics Referencia: 2018 Forest Science. 64, 5. pp. 504-514. SAF and Oxford University Press. ISSN: 0015-749X Autores: Rodríguez Veiga, J., Ginzo-Villamayor, M.J., Casas-Méndez, B. V. Título: An Integer Linear Programming Model to Select and Temporally Allocate Resources for Fighting Forest Fires Referencia: 2018 Forests (section: Forest Ecology and Management). 9, 583. pp. 1-18; doi:10.3390/f901000583. MDPI. ISSN: 1999-4907 Autores: Sciara A. A., Rodríguez-Ramilo S.T, Hermida M., Gómez-Tato A., Fernández J. , Bouza C., Martínez P. Título: Validation of growth-related quantitative trait loci markers in turbot (Scophthalmus maximus) families as a step toward marker assisted selection Referencia: Aquaculture 2018 Autores: I. Tomás, A. Aneiros, M. A. Casares-de-Cal, V. Quintas, I. Prada-López, C. Balsa-Castro, L. Ceballos, G. Gómez-Moreno, C. Llena, P. López-Jornet, M. C. Machuca and J. Palés Título: Comparing student and staff perceptions of the “Educational Climate” in Spanish Dental Schools using the Dundee Ready Education Environment Measure Referencia: European Journal of Dental Education 2018. Autores: Izhar Uddin, Javid Ali, Juan J. Nieto Título: An iteration scheme for a family of multivalued mappings in CAT(0) spaces with an application to image recovery Referencia: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas Vol 112, I 2, P 373-384, 2018. Autores: Uddin, I., Garodia, C., Nieto, J.J. Título: Mann iteration for monotone nonexpansive mappings in ordered CAT(0) space with an application to integral equations Referencia: Journal of Inequalities and Applications 2018,339, 2018.

http://sauwok.fecyt.es/admin-apps/JCR/JCR?RQ=RECORD&rank=1&issn=0015-749X



55

Autores: M.E. Vázquez-Méndez, G. Casal, D. Santamarina, A. Castro Título: A 3D model for optimizing infrastructure costs in road design Referencia: Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering V33, p. 423-439. Elsevier 2018. Autores: Hoang VietLong, Juan J. Nieto, Nguyen Thi Kim Son Título: New approach for studying nonlocal problems related to differential systems and partial differential equations in generalized fuzzy metric spaces Referencia: Fuzzy Sets and Systems 331, 26-46., 2018. Autores: Xosé, M., Roca-Pardiñas, J., Cadarso-Suárez, C., & Tahoces, P. G. Título: Bootstrap-based procedures for inference in nonparametric receiver-operating characteristic curve regression analysis. Referencia: Statistical Methods in Medical Research, 27(3), 740–764. (2018).


56

10.2. Artigos derivados de congresos

Autores: M. E. Vázquez-Méndez, L. J. Alvarez-Vázquez, A. Martínez, C. Rodríguez, M. A. Vilar Título: Optimal control of sediment in irrigation canals Congreso: 23rd International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR 2018), p. 832-836. IEEE 2018. ISBN: 978-1-5386-4324-2. 27 a 30 de agosto de 2018. Miedzyzdroje, Polonia. Autores: Fernández Fernandez, Francisco Javier. Título: A nonlinear optimal control problem related to the management of an eutrophicated lake using water artificial circulation. Congreso: NABVP-2018 – International Conference in Nonlinear Analysis and Boundary Value Problems 2018. 4 a 9 de setembro de 2018. Santiago de Compostela. Autores: Fernández Fernandez, Francisco Javier. Título: Controlling eutrophication by water artificial circulation. Congreso: 6th European Conference on Computational Mechanics (Solids, Structures and Coupled Problems) (ECCM 6) and the 7th European Conference on Computational Fluid Dynamics (ECFD 7) . 11 a 15 de xuño de 2018. Glasgow, Reino Unido. Autores: Rodriguez Lopez, Rosana Título: On differential equations with uncertainty: derivatives for fuzzy-valued functions vs. differential inclusions' approach. Congreso: II Joint Meeting Spain-Brazil in Mathematics (RSME-SEMA-SBM-SBMAC). 11 e 12 de decembro de 2018. Cadiz, España.


57

10.3 Capítulos de libros

Título: Smoothing-Based Tests with Directional Random Variables. Studies in Systems,

Decision and Control. The Mathematics of the Uncertain A Tribute to Pedro Gil. 142. pp.

175-184.

Autores: García-Portugués, Eduardo, Crujeiras, R., González-Manteiga, W.

Editor: Springer (2018).

Título: Bivariate Copula Additive Models for Location, Scale and Shape with Applications

in Biomedicine. Studies in Systems, Decision and Control. 142. pp. 135-146.

Autores: Coladas Uria, Luis, Cadarso Suárez, Carmen María, Carollo Limeres, María del

Carmen, Espasandín Domínguez, J., F Gude, Lado Baleato, O. (2018).

Editor: Springer(2018).

Título: Directional statistics for wildfires. Applied Directional Statistics: Modern

Methods and Case Studies.

Autores: Ameijeiras-Alonso, J., Crujeiras, R., Rodríguez-Casal, A.

Editor: CRC Press (2018).

10.4 Libros

Autores: Mougán Bouzón, H., Rodríguez Ferreiros, R., Cabaleiro Casal, M.J., Ginzo-Villamayor, M.J., Vila López, D. Título: Coñecendo o cooperativismo na vitivinícola. Referencia: Xunta de Galicia. Dep. Legal: C 1545-2017 (2018). Autores: Coladas Uria, Luis, Fernández Sotelo, María Ángeles Título: Técnicas de Investigación Social Referencia: USC. ISBN: 978-84-09-03930-2. (2018). Autores: Ginzo-Villamayor, M.J. (Editora) Título: V XORNADA DE USUARIOS R EN GALICIA PROGRAMA E RESUMOS Referencia: (2018). ISBN: 9788409058051. pp. 63 Autores: J. A. Álvarez López, A. Candel Título: Generic coarse geometry of leaves

Referencia: (2018). Lecture Notes in Math., vol 2223, Springer -Verlag, ISBN 978-3-319-

94131-8, ISBN 978-3-319-94132-5 (eBook).


58

10.Información institucional

11.1.Dirección

Director: Juan José Nieto Roig Secretaria: Balbina Virginia Casas Méndez Enderezo: Facultade de Matemáticas. Campus Vida. 15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813206 /881813203 Fax: 881813197 Correo electrónico: [email protected]

11.2.Composición da Xunta de Goberno Observación: nova Xunta de Goberno tras a formalización da estrutura acordo co novo regulamento do IMAT.

Antonio López Díaz (Reitor magnífico da Universidade de Santiago de Compostela) José María Arias Mosquera (Presidente do Consello Social da USC) María Elena Vázquez Cendón (Decana da Facultade de Matemáticas) Emilio Martínez Núñez (membro do Consello de Goberno da USC) Juan José Nieto Roig (Director do IMAT) Balbina Virginia Casas Méndez (Secretaria do IMAT) Eduardo García Río Wenceslao González Manteiga

11.3.Composición do Consello Científico Observación: novo Consello Científico tras a formalización da estrutura acordo co novo regulamento do IMAT.

Fernando Alcalde Cuesta

Leovigildo Alonso Tarrío

Alberto Cabada Fernández

Balbina Virginia Casas Méndez (Secretaria)

Alberto Castaño Domínguez

Eduardo García Río

Wenceslao González Manteiga

Manuel Ladra González

Juan José Nieto Roig (Presidente)

María Victoria Otero Espinar

Jorge Rodríguez López

Jose Manuel Uzal Couselo

mailto:[email protected]


59

María Elena Vázquez Cendón

11.4.Membros do Instituto de Matemáticas (2018)

Observación: as listas que se presentan a continuación inclúen tanto aos membros anteriores ao proceso selectivo de novos membros como aos membros vinculados tralo mencionando proceso e que tivo lugar durante 2018.

Membros investigadores vinculados:

Fernando Alcalde Cuesta Jose María Alonso Meijide Leovigildo Manuel Alonso Tarrío José Antonio Álvarez Dios Jesús Antonio Álvarez López Manuel Andrade Baliño Patricia Barral Rodiño Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela Agustín Bonome Dopico Alberto Cabada Fernández Carmen María Cadarso Suárez María del Carmen Carollo Limeres María Ángeles Casares de Cal Balbina Virginia Casas Méndez Regina Castro Bolaño Luis Coladas Uría Mercedes Conde Amboage Rosa María Crujeiras Casais José Carlos Díaz Ramos José Ángel Docobo Durántez Pedro Faraldo Roca Manuel Febrero Bande Francisco Javier Fernández Fernández Rosa María Fernández Rodríguez Fernando Adrián Fernández Tojo José Manuel Fernández Vilaboa Juan Bosco Ferreiro Darriba José Luis Ferrín González Felipe Gago Couso Eduardo García Río Antonio García Rodicio María José Ginzo Villamayor José Luís Gómez Pardo María Dolores Gómez Pedreira


60

Antonio Mariano Gómez Tato Julio González Díaz Wenceslao González Manteiga Luis María Hervella Torrón Ana Jeremías López Manuel Eulogio Ladra González Josefina F. Ling Ling María Purificación López López Óscar López Pouso Rodrigo López Pouso Enrique Macías Virgós Xosé María Masa Vázquez Pilar Mato Eiroa María del Carmen Muñiz Castiñeira Rafael Muñoz Sola Juan José Nieto Roig María Victoria Otero Espinar José Antonio Oubiña Galiñanes Beatríz Pateiro López José Manuel Prada Sánchez Peregrina Quintela Estévez Luís Alberto Ramil Novo Alberto Rodríguez Casal Celso Rodríguez Fernández Jerónimo Rodríguez García Nieves Rodríguez González Carmen Rodríguez Iglesias Rosana Rodríguez López María del Pilar Salgado Rogríguez Modesto Ramón Salgado Seco María Luisa Seoane Martínez Juan Francisco Torres Lopera Rosa María Trinchet Soria María Jesús Vale Gonsalves María Elena Vázquez Abal María Elena Vázquez Cendón Miguel Ernesto Vázquez Méndez Juan Manuel Viaño Rey Miguel Angel Vilar Rivas

Membros investigadores en formación:

Ramón Barral Lijó Sebastián Buedo Fernández Pedro Pablo Campo Díaz


61

Daniel Cao Labora Jean Daniel Djida Alejandro Fernández Fariña Carlos Franco Sanmartín Jorge Gómez Crespo David González Peñas Ixchel Dzohara Guitierrez Rodríguez Cristina Lois Prados Lucía López Somoza Rodrigo Mariño Villar Ignacio Marquez Albes David Mosquera Lois Sherzod Murodov María Pilar Paez Guillán Luís Javier Pérez Pérez Piccotti Luca Jorge Rodríguez López Jorge Rodríguez Veiga Víctor Sanmartín López Uzal Couselo José Manuel Venktesh

Membros investigadores non permanentes:

Alberto Castaño Domínguez Ikboljon Karimjanov Abdulazizovich Alireza Khastan David Rodríguez Penas

Colaboradores do IMAT en 2018 antes do proceso selectivo e de acordo cos antigos estatutos

Lino J. Álvarez Vázquez (Universidade de Vigo). Miguel Brozos Vázquez (Universidade da Coruña). Ángel Cid Araújo (Universidade de Vigo). Eduardo Liz Marzán (Universidade de Vigo). Áurea Martínez Varela (Universidade de Vigo). Salvador Naya Fernández (Universidade da Coruña). Andrés Prieto Aneiros (Universidade da Coruña). Ana Belén Rodríguez Raposo (Universidade da Coruña).


62

11.5. Comisión Asesora Externa do IMAT (2018)

Emilio Carrizosa Priego, Universidade de Sevilla Consuelo Martínez López, Universidade de Oviedo Pablo Pedregal Tercero, Universidade de Castilla la Mancha Luís Sanchez Rodrigues, Universidade de Lisboa, Portugal Oscar Adolfo Sánchez Valenzuela, Centro de Investigación en Matemáticas, México

11.6. Membros Garantes do IMAT (2018)

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela Eduardo García Río Wenceslao González Manteiga Manuel Eulogio Ladra González Juan José Nieto Roig


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ANEXO I. MEMORIA DO PLAN DE LANZAMENTO DE MATEMÁTICAS 2017-2019

Resumo da Memoria Plan de acción de Matemáticas 2017-2019

O Plan de Acción consta de 3 apartados fundamentais:

A REDESEÑO ORGANIZATIVO COMO ÁREA DE MATEMÁTICAS

B PROMOCIÓN E DESENVOLVEMENTO DA CARREIRA CIENTÍFICA

C VINCULACIÓN, VALORIZACIÓN E TRANSFERENCIA

O aparado A, Redeseño Organizativo como Área de Matemáticas

As actividades principais realizadas durante este tempo foron as relativas ao apoio á xestión de

I+D facéndose unha extensión do contrato do xestor de proxectos e as reunións internas e

externas da directiva e de cara a unha futura agrupación estratéxica.

Adicionalmente en 2018 o IMAT adoptou un novo regulamento acorde coa nova normativa de

institutos de investigación da USC e procedeu a unha convocatoria global de membros con

avaliación externa finalizada en setembro e posteriormente convocatoria de eleccións dunha

nova directiva e novo Consello Científico.

O apartado B está subdividido nos catro seguintes:

B 1 Estudio para o seguimento da carreira científica

B 2 Programa de contratos Predoutorais

B 3 Programa de bolsas Grao e Master

B 4 Programa de contratos Postdoctorais

B 1 Estudo para o seguimento da carreira científica

A consultora Edesga entregou os resultados da enquisa encargada o ano pasado e que foron

presentados pola Decana da Facultade de Matemáticas ao público nun acto o día 9 de maio.

O traballo consistiu no estudo e análise estatística e cualitativa dos datos recollidos na

realización dunha enquisa ás persoas egresadas da titulación de Matemáticas da Universidade


64

de Santiago de Compostela relativa a súa inserción laboral. Aproveitouse tamén para analizar

outro tipo de cuestións coma por exemplo a formación dos entrevistados/as, a satisfacción coa

titulación, etc. e a análise posterior dos datos recollidos.

Os obxectivos acadados con este estudo son: ter unha mellor visión e comprensión do acceso

ao mercado laboral dos egresados da Facultade, evolución da súa situación profesional,

adecuación dos títulos ó mercado laboral, obter unha valoración xeral das titulacións.

Grazas á información recollida será posible facer propostas de mellora dos títulos así como

coñecer mellor as necesidades de formación na área de Matemáticas baseándose en termos de

empregabilidade dos egresados.

Esta acción non tivo custo en 2018 dado que todo o custo da mesma atribuíuse en 2017, aínda

que o resultado final da mesma tivese lugar en 2018.

B 2 Programa de contratos Predoutorais

No que se refire ós contratos Predoutorais, o 9 de xullo de 2018 convocáronse seis contratos

deste tipo para o curso 2018/19, téndose recibido unha ducia de peticións. Con data 28 de

setembro de 2018 fíxose a resolución definitiva, na que se adxudicaban os seis contratos, dous

deles a investigadores estranxeiros. De forma inmediata ao inicio do contrato houbo unha

renuncia que foi cuberta por un candidato en reserva que tamén renunciou ao cabo dunhas

semanas ao obter outra beca. Un dos candidatos incorpórase oficialmente baixo este contrato

con inicio en novembro de 2018. Estes feitos teñen unha lixeira repercusión nos custos do ano.

Deste xeito os contratos os desfrutan os seguintes candidatos, que se incorporaron nos

correspondentes grupos de investigación (non incluído Sandro Caeira Oliveira que renunciou ao

cabo dunhas semanas).

Álvarez Díaz, Beatriz Grupo de investigación en Matemáticas

Pérez Barral, Olga Grupo de investigación en Matemáticas

Piccotti, Luca Observatorio Astronómico Ramón María Aller

Vázquez Monzón, Carlos Observatorio Astronómico Ramón María Aller

Gutiérrez Rodríguez, Ixchel Dzohara Grupo de investigación en Matemáticas

Adicionalmente ha que recordar que no primeiro semestre de 2018 e correspondentes coas

becas do curso 2017/2018 o seguintes estudantes de doutoramento desfrutaron dun contrato

Predoutoral do IMAT:


65

Pérez Barral, Olga Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

López Pérez, Alejandra María Modelos de Optimización, Decisión, Estatística e Aplicacións

Mariño Villar, Rodrigo Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Mosquera Lois, David Foliacións e Sistemas Dinámicos

Murodov, Sherzod Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Piccotti, Luca Observatorio Astronómico Ramón María Aller

O custo total en 2018 neste subapartado é de 38.098,19 €.

B 3 Programa de bolsas Grao e Master

O programa de bolsas Grado e Master non tivo continuidade de convocatoria en 2018 polo que

os integrantes do mesmo en 2018 son unicamente os gañadores das convocatorias de 2017 e

que desfrutaron das mesmas no primeiro semestre de 2018. A continuación recóllense os

bolseiros con indicación da categoría e grupo de investigación ó que pertencen os

correspondentes titores:

Alonso Pena, María

Master Modelos de Optimización, Decisión,

Estatística e Aplicacións

Álvarez Díaz, Beatriz

Master Grupo de investigación en Álxebra e

Xeometría

Castro Prado, Fernando



Davila Pena, Laura



Diz Pita, Érika


Xeometría

Gandón Villar, Borja


Xeometría

González Rodríguez, Brais



Recarey Fernández, Ricardo Master Modelos de Optimización, Decisión,



66

Rodríguez Vázquez, Alberto


Xeometría

Seijas Vázquez, Alicia Master Ecuacións Diferenciais Non Lineares

Bolón Rodríguez, Diego Grao Ecuacións Diferenciais Non Lineares

García Jaén, Raquel Grao Ecuacións Diferenciais Non Lineares

Iglesias Pérez, Javier Grao Ecuacións Diferenciais Non Lineares

Tella Álvarez, Marcos Grao Ecuacións Diferenciais Non Lineares

Fathallah Ezzine, Youssef

Máster Grupo de Investigación en Enxeñeira

Matemática

Esta acción non tivo custo en 2018 dado que as bolsas da convocatoria de 2017 eran de pago

único ao inicio, o que se corresponde co exercicio 2017, aínda que a actividade tivese lugar

tamén no primeiro semestre de 2018.

Adicionalmente o IMAT obtivo unha bolsa de colaboración para o curso 2018/19 das dúas

solicitadas. No proceso de adxudicación dona Raquel García Jaén, que desfrutara dunha das

bolsas de grao do IMAT no curso 2017/18 resultou a gañadora da bolsa, quedando adscrita ao

grupo de investigación MODESTYA (GI-1914).

B 4 Programa de contratos Postdoutorais

En 2018 o programa contou con 4 contratos posdoutorais todos eles a investigadores

estranxeiros contratados no proceso iniciado en setembro de 2017. O listado dos contratos

adxudicados foi o seguinte, xunto co grupo de investigación ó que se incorporaron:

Castaño Domínguez, Alberto Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Karimjanov, Ikboljon Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Khastan, Alireza Ecuacións Diferenciais Non Lineares

Rodríguez Penas, David Modelos de Optimización, Decisión, Estatística e

Aplicacións

O custo total dos contratos en 2018 foi de 139.898,15 €.

O derradeiro apartado, D, está dedicado á Comunidade de innovación.


67

En 2018 mantívose o contacto coas distintas asociación empresariais e entidades agrupadoras

de empresas de alta implicación en actividades grupais contactadas en 2018.

Adicionalmente a consultora Adumbro finalizou a elaboración do manual de imaxe do Instituto

de Matemáticas co fin de actualizala marca e imaxe do mesmo co obxectivo de que estas sirvan

de carta de presentación ante futuros contactos co mundo empresarial e económico de Galiza,

así como a nivel nacional e internacional tanto nestes sectores sociais como ante homólogos.

Este tipo de contactos prevense máis necesarios e numerosos no futuro en base a que moitos

dos proxectos da unión europea e internacionais, que esperamos o plan de lanzamento facilite

obter ós investigadores, han de ser en consorcio multinacional mixtos universidades /empresas.

Consideracións similares tenden a aparecer no plan de desenvolvemento rexional intelixente de

Galicia e o programa de desenvolvemento rexional Galicia-Norte de Portugal e esperase que a

tendencia se acentúe no futuro polo que dispor dunha boa imaxe á hora de iniciar contactos e

dunha grande importancia.


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ANEXO II. PROGRAMAS DOS CURSOS Título: Curso de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional non Lineal:“Climate dynamics and fractional calculus” Profesor: Łukasz Płociniczak, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Wrocław University of Science and Technology, Polonia Datas e duración: 27 a 29 de novembro de 2018. Curso de 8 horas. Organización: Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional. Contido: introducción ás dinámicas climáticas: dinámicas non lineais, estocásticas e ecuacións fraccionáis e cálculo fraccional. Aplicación do modelado fraccional con aplicación nas dinámicas climáticas. Xornadas: Martes 27 de novembro: de 10 a 13 h, Aula 3 Mércores 28 de novembro: de 12 a14 h, Aula 3 Xoves 29 de novembro: de 11 a 13 h, Aula 8 Xoves 29 de novembro: de 13 a 14 h, Aula 9 _______________________________________________________________________ Título: The Role of Mathematical Programming in Data Science Profesor: Emilio Carrizosa Priego, Universidad de Sevilla, España. Datas: 19 a 23 de novembro de 2018. Curso de 10 horas. Contido: Introducción a los Métodos de Programación Matemática. Métodos exactos, métodos heurísticos. Técnicas de reducción de la dimensión Clasificación y regresión. Support Vector Machines. Árboles de Clasificación. Clasificación y regresión con datos funcionales. Xornadas: Luns 19 de novembro: 18:00h a 20:00h Aula 5 Martes 20 de novembro: de 16:00h a 18:00h Aula 5 Mércores 21 de novembro: de 16:00h a 18:00h Aula 1 Xoves 22 de novembro: de 18:00h a 20:00h Aula 1 Venres 23 de novembro: de 16:00h a 18:00h Aula 1 _______________________________________________________________________


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Título: Mathematical Methods for the Solution of Inverse Problems Profesor: Dr. Jorge P. Zubelli, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Brasil Datas e duración: 10, 11, 17, 18 e 24 de outubro de 2018. Curso de 10 horas. Contido: “Most of the problems that appear in Engineering and the Applied Sciences require the identification of parameters from observed data. This ubiquity lead to a tremendous interest on the field. In fact, the theory of Inverse Problems lies in the cross-roads of many fields including Analysis and Partial Differential Equations, Optimization, Statistics and Numerical Analysis. In this mini-course we shall concentrate on some aspects of Inverse Problems according to the following plan:

1. Inverse and ill-posed problems: The tools of the trade. Singular Value Decomposition. Regularization. Noise modeling. Statistical Inverse Problems.

2. Classical Tomography: The Radon transfom. Analytical Results. Numerical Methods. Convergence and Stability of reconstructions.

3. Impedance Tomography: Some aspects of the forward problem. The Dirichlet to Neumann map. Calderon’s results. Uniqueness of the solutions and regularization. Optical diffusion tomography and infra-red imaging.

4. Inverse Problems in the the applied sciences: Examples from Mathematical Finance and Mathematical Biology.”

Xornadas: Xoves 10 de outubro de 2018 de 16:00 a 18:00 Venres 11 de outubro de 2018 de 16:00 a 18:00 Xoves 17 de outubro de 2018 de 16:00 a 18:00 Venres 18 de outubro de 2018 de 16:00 a 18:00 Xoves 24 de outubro de 2018 de 16:00 a 18:00 _______________________________________________________________________


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Título: Introdución ao python científico Profesor: Gabriel Espiñeira Deus, Departamento de Electrónica e Computación, Centro Singular de Investigación en Tecnoloxías da Información da USC (CiTiUS) Datas, duración e lugar: martes e xoves do 12 de xuño ao 12 de xullo de 2018, de 16:00 a 18:00. Curso de 20 horas. Aula de informática 2, Facultade de Matemáticas. Contido: Este curso consiste nunha introdución guiada á linguaxe de programación Python, especialmente para o uso nos ámbitos das matemáticas e da ciencia. Recoméndase traer un ordenador portátil ao curso cos programas Python 3.6 e Anaconda 5.1 instalados. Programa:

- Uso básico de Python. - Bucles, condicionais e OOP. - Numpy. - SciPy. - Sympy. - Pandas e Scikit. - TensorFlow

Xornadas: Grupo I do 12 ao 26 de xuño Grupo II do 28 de xuño ao 12 de xullo _______________________________________________________________________ Título: Critical point theory and applications to problems for differential and fractional equations. Profesor: Stepan Tersian, University of Ruse e Institute of Mathematics and Informatics, BAS; Sofia, Bulgaria Datas, duración e lugar: 21 e 22 de maio de 2018, ás 12:00. Curso de 5 horas. Aula Seminario de Análise Matemática, Facultade de Matemáticas. Contido: “Basic theorems of critical point theory and their extensions are considered in the mini course. Then, applications are made to the existence of solutions of boundary value problems for p-Laplacian differential and fractional equations.” Xornadas: Luns 21 de maio de 2018 de 12:00 a 14:30 Martes 22 de maio de 2018 de 12:00 a 14:30 _______________________________________________________________________


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Título: Introduction to multilevel modelling Profesor: Leonardo Grilli, catedrático no Departamento de Estatística, Informática, Aplicacións "G. Parenti" na Universidade de Florencia, Italia. Datas, duración e lugar: 26 e 27 de marzo de 2018. Curso de 8 horas. Aula 0. Facultade de Matemáticas. Contido: dirixido a estudantes de doutoramento, mestrado e persoal contratado. Requisitos: coñecemento básico de inferencia estatística e regresión lineal. “The course introduces the concepts of multilevel analysis, whose main aim is to model the relationships between and within groups. Typical situations include individuals clustered into families, schools, firms, geographical areas. The course focuses on the twolevel linear model as a template to illustrate issues of specification, estimation and inference. The main ideas are illustrated through case studies analysed with R. Special attention is devoted to critical and controversial issues, such as group-mean centering of the covariates, sample size requirements, choosing between fixed and random effects, and using sampling weights.”

· Basics of the two-level linear model. · Between, within and contextual effects. · Inference. · Model building. · Fixed effects versus random effects. · Sample size requirements. · Multiple levels of nesting . · Discrete random effects and NPMLE. · Non-hierarchical structures. · Complex sampling designs. · Software & Books.

Xornadas: Luns 26 de marzo de 2018; de 9:30 a 11:30 e de 12:00 a 14:00 horas. Martes 27 de marzo de 2018; de 9:30 a 11:30 e de 12:00 a 14:00 horas. _______________________________________________________________________ Título: "Xeometría Alxébrica: Xeometría con esquemas" Profesor: Leovigildo Alonso Tarrío. Datas, duración e lugar: xoves 1 de febreiro de 2018; de 10:00 a 12:00 horas. Curso de 20 horas repartidas en 10 semanas. Obxectivo: "Este curso trata de dar unha introdución á xeometría alxébrica moderna. En concreto, desenvolveremos unha presentación da teoría de esquemas según Grothendieck e a sua escola. Estableceremos as bases de traballo desenvolvendo os conceptos de feixe e espazo anelado e describiremos os esquemas como unha clase de espacios anelados. Expondranse as propiedades básicas de esquemas, incluindo propiedades de finitude, propiedades topolóxicas e abordarase o estudo infinitesimal de esquemas. Estudiaranse os esquemas procectivos e as suas construccións asociadas como fibrados e explosions. Verase o punto de vista de esquemas como funtores de


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puntos. Ademáis, se o tiempo o permite, estudaremos os morfismos planos e introduciremos a teoría de divisores." _______________________________________________________________________ Título: An Introduction to the Joint Modeling of Longitudinal and Survival Data, with Applications in R Profesor: Datas, duración e lugar: 19 a 21 de febreiro de 2018. Curso de 17 horas. Facultade de Medicina, Universidade de Santiago de Compostela. Resumo (en inglés): “In follow-up studies different types of outcomes are typically collected for each subject. These include longitudinally measured responses (e.g., biomarkers), and the time until an event of interest occurs (e.g., death, dropout). Often these outcomes are separately analyzed, but in many occasions it is of scientific interest to study their association. This type of research question has given rise in the class of joint models for longitudinal and time-to-event data. These models constitute an attractive paradigm for the analysis of followup data that is mainly applicable in two settings: First, when focus is on a survival outcome and we wish to account for the effect of endogenous timedependents covariates measured with error, and second, when focus is on the longitudinal outcome and we wish to correct for non-random dropout.” Comités: Científico: Carmen Cadarso Suárez (Unit of Biostatistics, University of Santiago de Compostela), Dimitris Rizopoulos (Erasmus University Medical Center), Francisco Gude Sampedro (Unit of Clinical Epidemiology, University Clinical Hospital of Santiago de Compostela), Geert Molenberghs (Interuniversity Institute for Biostatistics and statistical Bioinformatics). Organizador: Ana Bouzas Lorenzo (Unit of Biostatistics, University of Santiago de Compostela), Carla Díaz Louzao (Unit of Biostatistics, University of Santiago de Compostela, Spain), Ipek Guler (Unit of Biostatistics, University of Santiago de Compostela, Spain), Vicente Lustres Pérez (Biostatech, S.L.). Contido: Type of research questions in follow-up studies. Review of mixed effects models + Practical exercises using R. Review of relative risk models + Practical exercises using R. The basic joint model and Practical exercises using R. Extensions of joint models: Paramerizations + Practical exercises using R. Extensions of joint models: multivariate joint models. Dynamic predictions - definitions + Practical exercises using R. Assessing the quality of dynamic predictions Xornadas: Luns 19 de febreiro de 9:15 a 14:30 e de 16:00 a 18:30 Martes 20 de febreiro de 10:00 a 14:30 e de 16:00 a 18:30 Mércores 21 de febreiro de 10:00 a 14:30 _______________________________________________________________________


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Título: Edición profesional de documentos científicos (Latex) Profesor: Adrián Fernández Tojo. Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización, Universidade de Santiago de Compostela, España. Datas, duración e lugar: 22 a 25 de xaneiro de 2018. Curso de 8 horas. Aula de informática 2. Facultade de Matemáticas. Observacións e recomendacións: Este curso está dirixido a estudantes de doutoramento e PDI que usen LaTeX para a elaboración dos seus documentos científicos. Recomendacións e observacións para o curso: recoméndase traer un ordenador portátil ó mesmo, de ser posible, ter descargado (e instalado no seu caso) previamente os seguintes programas gratuítos: MikTeX, Notepad++, GeoGebra, TexStudio, PdfSam, InkScape, JabRef, IPE, Abiword, Publish or Perish, TikzEdt e ter instalado Phyton. Traballarase en Windows. Contido: 1) Guía de estilo de LaTeX: Nesta parte repasaremos varias cuestións de estilo á hora de

redactar documentos matemáticos en LaTeX. Estas teñen que ver tanto co uso particular dos comandos de LaTeX como con outras cuestións xenéricas.

2) Ferramentas propias de LaTeX: Nesta parte percorreremos diversos paquetes de LaTeX que poidan facilitar moito o traballo á hora de compoñer e revisar documentos.

3) Ferramentas externas de LaTeX: Neste apartado veremos diferentes programas externos ós editores e compiladores de LaTeX que nos permitirán crear e xestionar material documental.

1. Bibliografías: Usaremos o compilador Bibtex e o xestor JabRef para incluir bibliografía nos documentos de LaTeX. Así mesmo, introduciremos o programa Publish or Perish para recabar datos bibliográficos.

2. Índices e glosarios. 3. Gráficas: Introduciremos o uso de gráficos a través de programas auxiliares

como IPE, TikzEdt, GeoGebra e Inkscape. 4. LaTeX e outros formatos: veremos como escribir usando código LaTeX en

correos electrónicos, editar arquivos pdf e converter arquivos. 5. Preprocesando LaTeX: Nesta sección estudaremos como facer cambios

automáticos nun documento de LaTeX. Xornadas: 22 de xaneiro de 2018 de 17:00 a 19:00 23 de xaneiro de 2018 de 17:00 a 19:00 24 de xaneiro de 2018 de 17:00 a 19:00 24 de xaneiro de 2018 de 17:00 a 19:00


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ANEXO III. ACTAS DO SEMINARIO DE INICIACIÓN Á INVESTIGACIÓN

As matemáticas do veciñoIniciación á Investigación

Actas do Seminario de

20182019EditoresA. Fanjul HeviaA. Fernández FariñaI. Márquez AlbésL. J. Pérez PérezX. Valle Regueiro

ACTAS DO SEMINARIO

DE

INICIACION A INVESTIGACION

CURSO 2018 – 2019

Editores:Arıs Fanjul HeviaAlejandro Fernandez FarinaIgnacio Marquez AlbesLuis Javier Perez PerezXabier Valle Regueiro

c© 2019 Seminario de Iniciacion a Investigacion.

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII)

[email protected]

Edita:

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria

Pavillon de Servizos s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela

A Coruna

ISSN: 2171-6536

Deposito Legal: C 1641-2019

The beauty of mathematics only shows itself to more patientfollowers.

Maryam Mirzakhani (1977 – 2017)

All mathematicians live in two different worlds. They livein a crystalline world of perfect platonic forms. An icepalace. But they also live in the common world wherethings are transient, ambiguous, subject to vicissitudes.Mathematicians go backward and forward from one worldto another. They’re adults in the crystalline world, infantsin the real one.

Sylvain Cappell (1913 – )

iii

Prefacio

O conecemento que non se comparte e conecemento morto. De que servirıaadquirir o entendemento ultimo do universo para logo deixalo esmorecer en andeischeos de po? Velaquı a primeira virtude do Seminario: que permite compartir parapoder seguir construındo sobre o traballo comun.

Mais importante aında, o Seminario achega persoas de diferentes ambitos. Vi-vimos nunha epoca paradoxal, en que as novas tecnoloxıas, o acceso inmediato epracticamente global a informacion, en vez de achegarnos, afastanos. Do baleiro pri-mixenio da informacion absoluta xurdiron quistes, pequenas burbullas sociais cuxasuperficie interior reflicte o que hai nas mesmas, mais non permite percibir o vastocosmos alen. A investigacion non saıu indemne desta tendencia. E cada vez maisfrecuente atopar grupos de investigacion encerrados na microscopica e minguanteburbulla da sua disciplina, abocandose a unha hiperespecializacion que mata a ins-piracion e fai que as ramas irmas, mesmo aquelas no que tradicionalmente se tenconsiderado o seu propio campo, resulten alleas, incognoscibles.

O Seminario e unha rara e valiosa pedra de Rosetta, o cruzamento de caminosen que nos encontramos uns aos outros, e que nos permite traducir ao noso idiomao saber dos nosos conxeneres. O Seminario permıtenos conectar e loitar contra oillamento e a soidade intelectual, posibilita a irmandade entre as diferentes areasdas Matematicas que, unha e outra vez, demostra que non son mais que distincionsarbitrarias, nomes que lles damos as diferentes partes dun conecemento que e unicoe sen fronteiras.

A terceira virtude do Seminario e que pon de manifesto a razon de ser da Uni-versidade: por e para os estudantes. Son eles os que toman a iniciativa, os quese arriscan, ensinandose entre si nas diferentes charlas e actividades. Son eles osque pechan o cırculo, tomando o papel de docentes, aında que sexa por un dıa, paracontinuar por si mesmos esta empresa conxunta que e o proceso ensino-aprendizaxe.

Para concluır, gustarıame dicir o orgulloso que estou deles: dos organizadores,dos participantes, dos prologuistas e, en fin, de toda a xente que co seu esforzoe dedicacion fai que o Seminario sexa posible dıa a dıa; e o honor que supon pa-ra min, que no seu dıa fun organizador do mesmo, poder escribir estas palabras.Desexarıavos sorte, pero non a precisades. O exito pertencevos.

Santiago de Compostela, maio de 2019

F. Adrian F. Tojo

v

Indice xeral

Introducion 1

Olga Perez Barral“A forma do tempo” 3

Marcos Tella Alvarez“Aspectos topoloxicos do Teorema de Arzela-Ascoli” 9

Laura Davila Pena“Teorıa de colas y su aplicacion a un caso cercano” 15

Alvaro Carballido Costas“Construccion de superficies hiperbolicas” 21

Jorge Rodrıguez Lopez“O Teorema do punto fixo de Schauder: xeneralizacions e aplicacions” 27

Marıa Pilar Paez Guillan“¿Que pintan las superalgebras en Mecanica Cuantica?” 33

Luca Piccotti“Participacion en investigaciones punteras sobre estrellas dobles y multiples enel ambito de la Astronomıa espanola e italiana.” 39

Branca Garcıa Correa“Investigando el interior de un horno industrial” 45

Laura Freijeiro Gonzalez“Big Data para Dummies: introduccion a los modelos de regresion lineal enalta dimension” 51

Rodrigo Marino Villar“Todos temos un punto debil” 57

vii

Brais Gonzalez Rodrıguez“RAPOSa, una herramienta gratuita para resolver problemas de optimizacionpolinomica” 63

Sebastian Buedo Fernandez“La derivada de Schwarz en dinamica discreta” 67

Gonzalo Cao Labora“Problemas de suma-producto” 73

Alfredo Rıos Albores“El metodo de cuadratura de convolucion” 79

Unha xornada de divulgacion“Matematicas: habelas hainas, seguimos contandochas!” 85

Agradecementos 87

Introducion

Se ben pode parecer que as distintas areas das matematicas estan completamen-te separadas, o certo e que e imposible que unha das areas das matematicas progresesen as achegas que se fan nas outras. Con isto en mente nace o Seminario de Inicia-cion a Investigacion (SII) a comezos do ano 2005. Este xorde como unha iniciativado alumnado de Terceiro Ciclo da Facultade e como resposta as necesidades de crearun seminario que cumprise, cando menos, os seguintes obxectivos:

Fomentar o intercambio de conecemento.

Proporcionar un lugar onde poder transmitir e explicar a persoas alleas ao seucampo as ideas fundamentais nas que se centra a sua investigacion.

Facilitar a practica de falar en publico, mais en concreto, dar charlas e afacersea escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.

O presente volume conten os resumos das charlas que se impartiron ao longo docurso 2018/2019 no SII. Tal seminario, organizado por alumnado de doutoramento,ten lugar na Facultade de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostelae encadrase dentro das actividades do Instituto de Matematicas. Cabe destacartanto a variedade de tematicas como a procedencia dos relatores, contando tamencon participantes doutros centros. Isto mostra a transversalidade e a capacidade dechamamento do SII.

O comite organizador do SII, encargado de organizar estas actividades, facelaspublicas e ocuparse da loxıstica, ten tamen a responsabilidade de redactar estasactas que mostran o esforzo posto tanto polos organizadores como polos relatores.Estes ultimos son os encargados de revisar os resumos das charlas, tratando semprede que corrixan unha area diferente a propia, o cal propicia a comprension dosresumos por parte de persoas doutras areas.

Por ultimo engadir que o curso que ven habera cambios destinados a melloraras actividades que o SII leva a cabo como, por exemplo, a renovacion de parte doComite Organizador. Desta forma, daselles paso as novas xeracions de investigadorespara manter vivo o espırito iniciador que o SII trata de ter.

1

Actas do Seminario de Iniciacion

a Investigacion - ISSN 2171-6536

A forma do tempoArea de Xeometrıa e Topoloxıa

Olga Perez BarralUniversidade de Santiago de Compostela

19 de setembro de 2018

A finais do seculo XIX comenzaron a facerse evidentes as incompatibilidadesexistentes entre as duas teorıas fısicas vixentes no momento: a Mecanica Clasica deNewton e as Leis do electromagentismo de Maxwell. Mentres das leis de Maxwell sededucıa que a velocidade da luz e constante, Newton defendıa que esta depende domovemento do sistema de referencia respecto ao cal se mide.

Grazas aos traballos de cientıficos como Lorentz, Poincare ou Einstein, entreoutros, conseguiuse poner fin a este problema: non existe tal controversia se con-sideramos a Mecanica Clasica como un caso particular doutra teorıa na que tenacabida o estudo dos fenomenos que ocorren a velocidades similares a da luz. Di-ta teorıa foi publicada por Albert Einstein en 1905, e consta dos dous seguintespostulados:

1. Principio de relatividade de Galileo: non existe a nocion de velocidade absolutapara una partıcula material;

2. Universalidade da velocidade da luz (Einstein): a velocidade da luz c e cons-tante no baleiro e independente do sistema de referencia respecto ao cal semide.

A base matematica desta teorıa consiste en realizar un cambio nas coordenadasdo espazo e do tempo, considerandoos agora combinados nunha mesma entidade,o espazo-tempo de Minkowski, L4. O noso obxectivo sera servirnos da xeometrıade dito espazo para comprender a mecanica de Einstein, ası como para dar unhaexplicacion razoable a aqueles fenomenos relativistas que semellaban paradoxaisdende o punto de vista das teorıas fısicas mais clasicas.

Observacion 1. Por simplicidade, asumiremos que a velocidade da luz e c = 1 eadimensional.

A informacion contida no presente resumo esta baseada principalmente nos tra-ballos de [1, 2].

Palabras Clave: espazo-tempo de Minkowski; Relatividade Especial; observador; intervaloou separacion.

3

4 SII A forma do tempo

Xeometrıa no espazo-tempo de Minkowski

Un espazo-tempo e un espazo vectorial de dimension catro dotado dunha metricaque permita definir unha distancia entre os puntos do espazo, que denominamossucesos ou eventos.

O espazo-tempo de Minkowski non e mais que o espazo vectorial R4 dotado dametrica de Minkowski:

d((x0, x1, x2, x3), (y0, y1, y2, y3))2 = −x0y0 +3∑i=1

xiyi,

onde (x0, x1, x2, x3), (y0, y1, y2, y3) ∈ R4. Notemos que se trata dunha expresion bensimilar a do produto escalar usual, pero con sinatura lorentziana, e dicir, coa seguinteconfiguracion de signos: (− + ++). Ao non ser unha metrica definida positiva, asnormas dos vectores do espazo non son necesariamente positivas. En funcion do seusigno, distinguimos tres tipos de vectores.

Definicion 1 (Caracter causal). Denotemos por || · ||2 := d(·, ·)2 o cadrado dadistancia inducida pola metrica de Minkowski. Diremos que un vector v ∈ L4 e:

espacial, se ||v||2 > 0;

temporal, se ||v||2 < 0;

nulo, se ||v||2 = 0.

O comportamento dos vectores do espazo-tempo de Minkowski depende do seucaracter causal. Os vectores nulos, que se corresponden con partıculas luminosas,pertencen ao cono de ecuacion −t2 +x2 +y2 +z2 = 1, conecido como cono de luz. Osvectores temporais son os pertencentes ao interior do cono de luz (cono temporal),e correspondense fısicamente coas partıculas que viaxan a velocidades inferiores ada luz.

Observadores. Diagramas de espazo-tempo

Un observador nun espazo-tempo non e mais que un sistema de eixos coorde-nados, e facer unha observacion consiste en asignar a cada evento do espazo unhascoordenadas (t, x, y, z) nas que o observador observa que dito evento ocorre.

A maneira natural de estudar os observadores e mediante o seu diagrama deespazo-tempo, no cal representamos os sucesos e o movemento das partıculas me-diante puntos e curvas, respectivamente. En concreto, unha partıcula que se movecon velocidade constante v sera representada mediante unha recta de pendente 1/v.Notemos que un foton ou partıcula lumınica correspondese cunha recta de pendenteun, pertencente polo tanto ao cono de luz.

En Relatividade Especial, moitas das conclusions que obtemos poden resultarparadoxais polo feito de comparar medicions tomadas por observadores distintos. A

Olga Perez Barral SII 5

continuacion, e co obxectivo de aprender a comparar ditas observacions, construire-mos o diagrama de espazo-tempo dun obsevador O′, con coordenadas (t′, x′), que semove con velocidade relativa respecto doutro observador O, con coordenadas (t, x),na direcion positiva do seu eixo x. Ao considerar que nos movemos nunha unicadirecion do espazo, x, omitiremos, por simplicidade, a escritura das variables y e z.

En primeiro lugar, o eixo t′, e dicir, o conxunto de sucesos tales que x′ = 0,resulta ser unha recta de pendente 1/v.

Para determinar a posicion relativa do eixo x′ respecto de O, realizaremos pri-meiro unha construcion que nos permita caracterizar os eventos de dito eixo. Consi-deremos o diagrama de espazo-tempo de O′ e sexa P o suceso pertencente o eixo t′

con coordenada t′ = −a. Dado que c = 1, un foton partindo de P intersecara o eixox′ nun suceso Q con x′ = a. Se este raio e reflectido, novamente, pola universalidadeda velocidade da luz, intersecara ao eixo t′ en t′ = a. Ası, podemos caracterizar oseventos do eixo x′ como aqueles que reflicten raios de luz que volven ao eixo t′ = acando partiron deste mesmo eixo en t′ = −a, para todo a.

Realizando esta mesma construcion, agora sobre o eixo t′ relativo a O, obtemoso eixo x′ como a recta que une o suceso Q coa orixe de coordenadas. Vexase aFigura 1.

Figura 1: Construcion do diagrama de O′ relativo ao de O

Notemos que as partıculas lumınicas sempre se moven nunha recta de pendenteun (universalidade de c), mentres que a pendente dos eixos cambia dun diagrama aoutro. Isto permıtenos extraer unha primeira conclusion en relacion a simultaneidadede eventos. Un observador O percibe como simultaneos os eventos pertencentes amesma recta t = constante ou, equivalentemente, os sucesos pertencentes as rectasparalelas ao eixo x. Posto que as rectas t = constante e t′ = constante non sonparalelas, os sucesos simultaneos para o observador O non o seran para O′.

Invarianza do intervalo ou separacion

Un dos conceptos mais importantes da teorıa da Relatividade Especial e o deintervalo. Consideremos dous sucesos P e Q pertencentes ao mesmo raio de luz. Ental caso, e posto que a velocidade da luz e c = 1, satisfaise a seguinte relacion:

0 = −(∆t)2 + (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2.


Se lemos agora estes dous mesmos sucesos en coordenadas do observador O′, polauniversalidade da velocidade da luz tamen se verifica:

0 = −(∆t′)2 + (∆x′)2 + (∆y′)2 + (∆z′)2.

Defınese en xeral a intervalo ou separacion entre dous sucesos calquera P e Qcoma:

∆s2 = −(∆t)2 + (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2.

Notemos que o intervalo ou separacion entre sucesos coincide exactamente cocadrado da distancia inducida pola metrica de Minkowski.

A continuacion amosamos o resultado mais importante desta teorıa, a invarianzado intervalo, que nos permitira extraer consecuencias con relevante significado fısicoa partir dos postulados da Relatividade Especial.

Teorema 1. O intervalo entre dous sucesos P,Q ∈ L4 e independente do ob-servador. E dicir, se O e O′ denotan observadores con coordenadas (t, x, y, z) e(t′, x′, y′, z′), respectivamente, enton ∆s2 = ∆s′2.

Podemos clasificar os diversos sucesos do espazo-tempo de Minkowski segundo osigno da sua separacion. Ası, dous sucesos dinse espacialemte separados se ∆s2 > 0e dinse temporalmente separados se ∆s2 < 0. Diremos que dous sucesos tenenseparacion nula se ∆s2 = 0 ou, equivalentemente, se pertencen ao mesmo raiolumınico.

Os sucesos temporalmente separados dun suceso dado, P , son os pertencentes aoseu cono temporal. Notemos que, por estar estes sucesos temporalmente separadosde P , e posible chegar a eles mediante un obxecto fısico, e dicir, mediante unhacurva con punto inicial P e con velocidade inferior a 1 en cada punto. Por estemotivo, dicimos que os eventos do cono temporal de P constituen o seu pasado e oseu futuro. Non existe tal posibilidade no caso dos eventos espacialmente separados:non e posible chegar dun a outro mediante unha partıcula material. Notemos tamenque non existen sucesos simultaneos con P .

Hiperbolas invariantes e calibrado dos eixos

As hiperbolas definidas mediante as ecuacions −t2 + x2 + y2 + z2 = a2 e −t2 +x2 + y2 + z2 = −b2 constituen os conxuntos de puntos que estan a unha separacionconstante da orixe. Serviremonos destas hiperbolas invariantes para calibrar o eixot′ do observador O′, sendo analogo o procedemento para o calibrado do eixo x′.

Por simplicidade, traballamos unicamente en duas dimensions. Consideremosenton a hiperbola−t2+x2 = −1 e sexanA eB os sucesos que resultan da interseccionde dita hiperbola cos eixos t e t′, respectivamente. Por pertencer A ao eixo t, teracoordenada x = 0. Da ecuacion da hiperbola −t2 + x2 = −1 obtemos que, enton,t = 1. Analogamente, por pertencer B ao eixo t′ tera coordenada x′ = 0. Polainvarianza do intervalo, −t′2 + x′2 = −1 para o observador O′, co que t′ = 1 paraB. Vexase a Figura 2.

Olga Perez Barral SII 7

Notemos que en distancia euclidiana, B esta mais afastado da orixe que B.Poren, a separacion da orixe e a mesma para os dous eventos.

Figura 2: Calibrado dos eixos

Algunhas consecuencias importantes

Das transformacions de Lorentz podemos extraer conclusions con significadofısico realmente utiles. Suponamos que desprazamos un obxecto dende a orixe ata osuceso B (vexase a Figura 2). Ao chegar a B, o obxecto ten coordenada t′ = 1, peroa lectura da coordenada temporal de B respecto do observador O e t = 1/

√1− v2,

polo que semella que o tempo transcorre mais lento para O. Este fenomeno conecesecomo dilatacion temporal, e resumese na seguinte ecuacion:

(∆t)O =(∆t′)O′√

1− v2.

De maneira totalmente analoga deducese que as lonxitudes semellan ser menorespara o observador O, fenomeno conecido como contraccion de Lorentz :

(∆x)O = (∆x′)O′√

1− v2.

Transformacions de Lorentz

Conecida a posicion relativa do observador O′ respecto de O, ası como o cali-brado dos eixos, dispomos das ferramentas necesarias para poder expresar as coor-denadas dun sistema de referencia respecto doutro.

Botando man de ferramentas de alxebra linear, deducimos que as coordenadasdo observador O′ respecto das de O son:

t′ =t− v x√1− v2

, x′ =x− v t√1− v2

.


Destas ecuacions, habitualmente denominadas transformacions de Lorentz, de-ducense de xeito inmediato os fenomenos de dilatacion temporal e contraccion deLorentz expostos na seccion anterior. Dende logo, podense extraer moitas outrasconclusions. Mostramos algunhas delas a continuacion.

Aplicacion: a Lei de Einstein de composicion de velocidades

Como aplicacion, empregaremos estas transformacions para xeneralizar a Lei deGalileo de adicion de velocidades. Sexa α unha partıcula que viaxa con velocidade Wna direcion x′ de O′. En tal caso, ∆x′/∆t′ = W . Tratase de determinar a velocidade

da partıcula α medida agora polo observador O. Denotando esta velocidade por Wobtemos, botando man das transformacions de Lorentz,

W =∆x

∆t=

(∆x′ + v∆t′)/√

1− v2

(∆t′ + v∆x′)/√

1− v2=

W + v

1 + vW.

Esta relacion e conecida como a Lei de Einstein de composicion de velocidades.Notemos esta ecuacion xeneraliza a Lei de Galielo de adicion de velocidades. En

efecto, se |W | 1 e |v| 1, enton, posto que 1 + vW ≈ 1, podemos aproximar o

cociente anterior por W ≈W + v.

Fenomenos relativistas: o paradoxo dos xemelgos

Quizais un dos fenomenos relativistas mais conecidos sexa o paradoxo dos xe-melgos. Tratase de resolver o seguinte problema: Fred comeza unha viaxe espacialafastandose do seu irman xemelgo, George, en lina recta a unha velocidade constan-te v = 24/25. Pasados 7 anos dende a sua partida, medidos polo seu tempo, Fredvolve, simetricamente, xunto ao seu irman George. Que xemelgo e maior ao regresode Fred?

Empregando as transformacions de Lorentz, podemos determinar exactamenteo tempo transcorrido para cada un dos irmans:

Fred: 7 + 7 = 14 anos;

George: 7√1−(24/25)2

+ 7√1−(24/25)2

= 50 anos.

Bibliografıa

[1] O’Neill, B. (1983). Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity,Academic Press.

[2] Schutz, B. (1997). A First Course in General Relativity, Cambridge UniversityPress.



Aspectos topoloxicos do Teorema de Arzela-AscoliArea de Analise Matematica

Marcos Tella AlvarezUniversidade de Santiago de Compostela

3 de outubro de 2018

Resumo

O ben conecido Teorema de Arzela-Ascoli e un resultado clasico enunciado edemostrado a finais do seculo XIX con numerosas e importantes aplicacions. Ini-cialmente entendıase como un resultado puramente analıtico, pero anos despoiscomezouse a descubrir a sua esencia topoloxica, o cal deu pe a novas reformulacionse novos ambitos de aplicacion do mesmo.

Ası, foron aparecendo diversas xeneralizacions analıticas, nas que se require me-nos regularidade as funcions, e topoloxicas, nas que se debilitan as hipoteses do do-minio e codominio das mesmas. A continuacion veremos algunhas das consecuenciastopoloxicas e analıticas destas xeneralizacions e comentaremos as suas semellanzase diferenzas, ası como a sua posible relacion.

O Teorema e algunhas xeneralizacions

Entre os anos 1883 e 1895 os profesores Cesare Arzela e Giulio Ascoli publicaronunha serie de resultados nos que, en resumidas contas, daban condicions necesarias esuficientes para que unha sucesion de funcions contivese subsucesions converxentes.Se ben case todas as ferramentas que empregaron eran xa conecidas na epoca,tiveron que introducir un concepto novo, recollido na seguinte definicion.

Definicion 1. Sexa (fn)n∈N unha sucesion de funcions de variable real definidasno intervalo [a, b]. Diremos que a sucesion (fn)n∈N e equicontinua se, para cadaε ∈ R+, existe δ ∈ R+ tal que, se x, y ∈ [a, b], |x− y| < δ, enton

|fn(x)− fn(y)| < ε,

para todo n ∈ N.

Este concepto debeselle, en concreto, a Ascoli. Esencialmente, o que nos estaa dicir e que unha sucesion sera equicontinua cando todas as suas funcions sexancontinuas e se “parezan” entre si. Mais adiante comprobaremos a importancia destaferramenta.

Palabras Clave: equicontinuidade; compacidade; espazos de funcions.

9

10 SII O Teorema de Arzela-Ascoli

Foi no ano 1895 cando o profesor Arzela recolleu en [1] de forma conxunta todosos resultados logrados ata o momento baixo o seguinte enunciado.

Teorema 1. Sexa unha sucesion (fn)n∈N de funcions continuas de variable realdefinidas no intervalo [a, b] uniformemente limitada. Daquela:

1. Se a sucesion (fn)n∈N e converxente enton dita sucesion e equicontinua.

2. Se a sucesion (fn)n∈N e equicontinua enton cada subsucesion de (fn)n∈N ad-mite unha subsucesion converxente.

Apareceu ası o primeiro enunciado do que hoxe se conece como Teorema deArzela-Ascoli. Como se pode ver, a equicontinuidade xoga un papel esencial den-tro do resultado. Tamen e destacable a sua formulacion en termos completamenteanalıticos, pois daquela non existıa a Topoloxıa. Foi nos primeiros anos do seculoXX cando botou a andar esta nova disciplina das Matematicas, e esta deu lugar aseguinte reinterpretacion do Teorema 1.

Teorema 2. Sexa C([a, b]) o espazo das funcions reais continuas con dominio ointervalo [a, b] xunto coa norma do supremo e F ⊂ C([a, b]). Enton F e relativamentecompacto se, e so se, F e uniformemente limitado e equicontinuo para todo x ∈ [a, b].

Co paso do tempo foron aparecendo diversos escenarios nos que a aplicacion doTeorema 1 non e posible. Un exemplo sinxelo obtense se consideramos a seguinteclase de funcions.

Definicion 2. Sexa f unha funcion real de variable real definida no intervalo [a, b].Diremos que f e unha funcion regrada no punto x0 ∈ [a, b] se existen os seus lımiteslaterais f(x+

0 ) e f(x−0 ) en x0.Se f e regrada para todo x ∈ [a, b], enton diremos que f e regrada. Denotaremos

por R([a, b]) o espazo das funcions reais regradas con dominio o intervalo [a, b].

Foi enton cando Theophil Henry Hildebrandt botou man da Topoloxıa paraxeneralizar en [2] o Teorema 1 da seguinte maneira.

Teorema 3. Sexa F un subconxunto da clase R das funcions regradas definidas nointervalo [a, b]. Daquela F sera relativamente compacto se, e so se, se satisfan asseguintes condicions:

1. F e uniformemente limitado,

2. para cada x0 ∈ [a, b] tense que, dado ε ∈ R+, existe δ′ε ∈ R+ ( respectivamente,existe δ′′ε ∈ R+) de xeito que, se x ∈ (x0 − δ′ε, x0), (respectivamente, se x ∈(x0, x0 + δ′′ε ) ), se satisfai que

|f(x)− f(x−0 )| < ε,

(respectivamente, |f(x) − f(x+0 )| < ε), para toda f ∈ F . A esta condicion

chamaremoslle equiconverxencia.

Marcos Tella Alvarez SII 11

Notemos que a equiconverxencia e unha parente directa da equicontinuidade, esegue a xogar un papel esencial. De feito, cando as funcions son continuas ambosconceptos coinciden. Observemos tamen que a xeneralizacion dada polo Teorema 3e analıtica, pois estamos a trocar a clase das funcions continuas do Teorema 1 poladas regradas.

Se nos fixamos, ata o de agora so tratamos con funcions reais de variable real.Grazas a Topoloxıa podense considerar dominios e codominios mais xerais. Ası, esinxelo atoparmonos na literatura con resultados nos que se xeneraliza o Teorema 1para espazos de funcions con dominio un espazo topoloxico compacto e codominio unespazo metrico. Poren, resulta complicado encontrar enunciados onde o codominiosexa algo mais feble como, por exemplo, un espazo uniforme. No que segue X seraun conxunto. Denotaremos por ∆ ao conxunto de puntos (x, x) ∈ X ×X (diagonalde X). Se U ⊂ X ×X, definimos

U−1 := (x, y) | (y, x) ∈ U.

Ademais, se V ⊂ X ×X, definimos

U V := (x, z) | (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V .

Definicion 3. Unha uniformidade diagonal dun conxunto X e unha familia nonbaleira U de subconxuntos de X ×X que satisfan as seguintes propiedades:

1. cada elemento de U conten a ∆,

2. se U ∈ U , enton U−1 ∈ U ,

3. se U ∈ U , logo V V ⊂ U , para algun V ∈ U ,

4. se U, V ∈ U , daquela U ∩ V ∈ U e

5. se U ∈ U e U ⊂ V ⊂ X ×X, logo V ∈ U .

Os elementos U ∈ U recibiran o nome de contornas da uniformidade U .

Definicion 4. Un espazo uniforme e un par (X,U), onde X e un conxunto e U eunha uniformidade de X.

Un espazo uniforme X e, en resumidas contas, un conxunto dotado de certaestrutura que lle sera dada pola uniformidade U . As caracterısticas de tal estrutura,recollidas na Definicion 3, gardan certa similitude coas caracterısticas dunha metrica(condicions 1, 2 e 3) e coas dunha topoloxıa (condicions 4 e 5). Vexamos enton axeneralizacion do Teorema 1 feita por John Leroy Kelley en [3] para funcions concodominio un espazo uniforme.

Teorema 4. Sexa C a familia de funcions continuas con dominio un espazo topo-loxico regular e localmente compacto X e codominio un espazo uniforme Hausdorff(Y,V), xunto coa topoloxıa da converxencia uniforme relativa a familia de subcon-xuntos compactos de X, K. Enton un subconxunto F ⊂ C e compacto coa topoloxıada converxencia uniforme se, e so se,


1. F e pechado en C;

2. F (x) = y ∈ Y | y = f(x), f ∈ F ten clausura compacta para cada x ∈ X e

3. F e equicontinuo.

De novo, a equicontinuidade xoga un papel esencial no Teorema 4. Ademais,tamen podemos ver de forma explıcita o rol que desenvolve a Topoloxıa en todo oresultado.

Para rematar, mostraremos de contado un enunciado no que se leva a cabo unhaxeneralizacion analitica forte do Teorema 1, pois non se lle requirira ningun tipo deregularidade as funcions obxecto de estudo. Esta debeselle a Klaus Vala, e podeseconsultar en [4]. Previamente vexamos dous conceptos necesarios.

Definicion 5. Sexa f unha aplicacion con dominio un conxunto X e codominio unespazo metrico Y . Diremos que f e unha aplicacion precompacta se f(X) ⊂ Y eun subespazo precompacto en Y .

Denotaremos por K(X,Y ) ao conxunto de todas as aplicacions precompactascon dominio X e codominio Y . Esta sera a clase de funcions coas que traballaremos.

Definicion 6. Sexa F ⊂ K(X,Y ). Diremos que F e equivariante se, para cadaε ∈ R+, existe unha cobertura finita Uj | j ∈ J de X tal que, se x, y ∈ Uj, j ∈ J ,daquela

d(f(x), f(y)) < ε,

para toda f ∈ F .

A equivarianza sera o substituto natural da equicontinuidade. Vexamos enton axeneralizacion da que falamos.

Teorema 5. Sexa F ⊂ K(X,Y ). Daquela, F sera un subespazo precompacto se, eso se, se satisfan as seguintes condicions:

1. O conxunto F (x) = y ∈ Y | y = f(x), f ∈ F e precompacto para todox ∈ X.

2. F e equivariante.

Como se pode observar, non estamos a pedir ningunha regularidade as funcions.Ademais, o dominio das mesmas pode ser un conxunto calquera. Vexamos un exem-plo no cal se pode empregar o Teorema 5.

Exemplo 1. Sexa (fn)n∈N unha sucesion de funcions reais de variable real definidasno intervalo [0, 1] onde, para cada n ∈ N, se ten

fn(x) =

1

n, se x ∈ [0, 1] ∩Q,

0, noutro caso.

Marcos Tella Alvarez SII 13

f1

f2

f3

10

.

.

.

Figura 1: Sucesion (fn)n∈N. Este e un exemplo no que observamos con-verxencia claramente, pero no que non se pode aplicar o Teorema 1.

Ata o de agora non podiamos aplicar ningun resultado dos vistos para concluıralgo sobre a sucesion dada. Vexamos que podemos aplicar o Teorema 5.

Claramente, a sucesion (fn)n∈N e precompacta, pois, para cada n ∈ N, fn([0, 1]) =0, 1

n e un compacto. Se agora tomamos como cobertura de [0, 1] os conxuntosU1 = [0, 1]∩Q e U2 = [0, 1]\Q, obtemos de xeito inmediato que a sucesion tamen eequivariante. Logo estamos nas condicions do Teorema 5, polo que podemos asegurara existencia dunha subsucesion converxente, algo que se pode intuır xa na Figura 1.

Conclusions

O primeiro que debe chamar a nosa atencion e a gran diferenza existente entre osdistintos resultados vistos ata o de agora, a pesar de seren xeneralizacions do mesmoteorema. Tal feito debese, en parte, a que moitos deles surxiron a partir necesidadedunha ferramenta para a resolucion dun problema particular. Isto provocou que nonexista ningun tipo de unificacion, e como consecuencia, que moitas veces se estea afalar de cousas case identicas en termos moi distintos.

Con todo, logo da analise dos resultados expostos, chegamos a conclusion de queson precisos dous ingredientes basicos no Teorema 1 e nas suas respectivas xenerali-zacions: a compacidade e a proximidade. Esta ultima fai acto de presenza tanto nascondicions requiridas ao codominio das funcions como na equicontinuidade, equi-converxencia ou equivarianza. Ası, podemos facernos unha idea do tipo de marcosnos que poder tentar aplicar o Teorema 1 ou algunha das suas xeneralizacions. Istoresulta de gran utilidade para saber como enfrontarnos a problemas (tanto analıticoscomo topoloxicos) relacionados coa compacidade en espazos de funcions.

Tamen debemos reparar en que o grao de xeneralizacion que algun dos enuncia-dos alcanza resulta as veces un inconveniente, pois tal abstraccion fai que sexan moicomplicados de empregar. No Exemplo 1 podemos ver un caso onde o Teorema 5 eaplicable pero, en xeral, non e un resultado nada doado de usar. Isto levanos a refle-xionar que serıa interesante traballar en posibles aplicacions a casos mais practicos,


no canto de seguir buscando mais xeneralidade.

Bibliografıa

[1] Arzela, C. (1895). Sulle funzioni di linee, Memorie dell’Acaddemia delle Scienzedell’Instituto di Bologna. Clase di Scienze Fisiche e Matematiche, 5(5), pp. 55–74.

[2] Hildebrandt, T.H. (1966). Compactness in the space of quasi-continuous fun-ctions, The American Mathematical Monthly, 73(4), pp. 144–145.

[3] Kelley, J. L. (1955). General Topology, Springer-Verlag.

[4] Vala, K. (1964). On compact sets of compact operators, Annales AcademiæScientiarum Fennicæ, 1(351).



Teorıa de colas y su aplicacion a un caso cercanoArea de Estadıstica e Investigacion Operativa

Laura Davila PenaUniversidade de Santiago de Compostela

17 de octubre de 2018

Introduccion

La teorıa de colas es una disciplina que se engloba dentro de la InvestigacionOperativa y cuyo objetivo es el estudio y analisis de situaciones en las que uncliente demanda un servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfechoinstantaneamente, por lo cual se provocan esperas.

El termino “cliente” se emplea de modo general y no implica necesariamente quese trate de una persona. Por ejemplo, un cliente serıa un coche esperando en unsemaforo en rojo, un programa de ordenador esperando a ser ejecutado, o bien unabotella en una cadena de produccion esperando a ser etiquetada.

Un sistema sencillo de colas se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Esquema basico de un sistema de colas.

El estudio de los procesos de colas se centra en entender caracterısticas como elnumero medio de clientes en el sistema, o el promedio de tiempo que emplean enel. Para ello, se analizan diversas cuestiones, como por ejemplo: ¿cuantos servidoresdeberıan estar disponibles?, ¿cuan rapidos deberıan ser? o ¿como deberıa estar dise-nado el sistema? La teorıa de colas trata de responder a estas preguntas empleandoun analisis matematico detallado.

Palabras Clave: teorıa de colas; clientes; procesos estocasticos; servicio; tiempo de espera.

15

16 SII Teorıa de colas y su aplicacion a un caso cercano

Procesos estocasticos

Los procesos estocasticos juegan un papel fundamental a la hora de modelizarsistemas de colas. En esta seccion realizaremos una introduccion a dichos procesos,definiendo algunos de los mas relevantes en la teorıa de colas, siguiendo la notacionde [1].

Definicion 1. Un conjunto de variables aleatorias X(t), t ∈ T definidas en unespacio de probabilidad comun, Ω, se denomina proceso estocastico. El conjuntoE ⊂ R de los posibles valores que una variable aleatoria X(t) puede tomar se conocecomo espacio de estados, mientras que el conjunto de ındices T se denomina espaciode tiempos.

Segun los conjuntos E y T sean finitos (o infinitos numerables) o contengan,al menos, un intervalo, se hablara de procesos estocasticos con espacio de estadosdiscreto o continuo y en tiempo discreto o continuo, respectivamente.

Los procesos estocasticos que verifican la propiedad markoviana, o propiedad defalta de memoria, se denominan procesos de Markov. De forma intuitiva, decimosque, conocido el presente, la distribucion de probabilidad de posibles valores futurosdel proceso depende solamente del valor del proceso en el presente y no de los valoresque toma el proceso en el pasado. Cuando el espacio de estados es discreto, el procesode Markov se denomina cadena de Markov.

Otro tipo especial de procesos estocasticos son los procesos de contar, que sedenotan como N(t), t ≥ 0, donde N(t) es el numero de eventos ocurridos a partirdel instante 0 pero no despues del instante t.

Definicion 2. Un proceso de contar N(t), t ≥ 0 es un proceso de Poisson conparametro λ > 0 si se cumplen las siguientes hipotesis:

El proceso presenta incrementos independientes.

Los incrementos del proceso son estacionarios.

La probabilidad de que exactamente un suceso tenga lugar en cualquier inter-valo de tiempo de longitud h es λh+ o(h).

La probabilidad de que mas de un suceso ocurra en cualquier intervalo detiempo de longitud h es o(h).

Una generalizacion de estos ultimos son los procesos de nacimiento y muerte, yaque contemplan la posibilidad de que el numero de ocurrencias disminuya.

Definicion 3. Consideremos un proceso estocastico X(t), t ≥ 0 con espacio deestados discreto, E = 0, 1, 2, ... . Supongamos que este proceso describe un sistemaque se encuentra en estado En, n = 0, 1, 2, ... , en el instante t, si y solo si X(t) = n.Entonces se dice que dicho proceso es un proceso de nacimiento y muerte si existentasas de nacimiento y muerte no negativas λn, n = 0, 1, 2, ... y µn, n = 1, 2, ... ,respectivamente, que satisfacen las siguientes condiciones:

Laura Davila Pena SII 17

Los unicos cambios de estado permitidos son del estado En al estado En+1 odel estado En al En−1 para n ≥ 1, y del estado E0 al E1.

Si en el instante t el sistema se encuentra en el estado En, la probabilidadde que ocurra una transicion del estado En al En+1 (lo cual se denota porEn → En+1) entre los instantes t y t+h, es igual a λnh+o(h), y la probabilidadde que ocurra En → En−1 (si n ≥ 1) es µnh+ o(h).

La probabilidad de que ocurra mas de una transicion en el intervalo de tiempoentre t y t+ h es o(h).

Cuando describimos un sistema de colas como un proceso de nacimiento y muer-te, pensamos en el estado En como el momento en el que se encuentran n clientesen el sistema, bien esperando o bien recibiendo el servicio. De tal modo, estaremosinteresados en conocer la probabilidad Pn(t) = P (X(t) = n). Obtenemos ası lasllamadas ecuaciones diferenciales de balance:

dPn(t)

dt= λn−1Pn−1(t)− (λn + µn)Pn(t) + µn+1Pn+1(t) y

dP0(t)

dt= −λ0P0(t) + µ1P1(t).

En ciertas ocasiones nos encontraremos ante sistemas estacionarios, es decir,donde Pn(t) se aproxima a un valor constante pn independiente del tiempo. En talcaso, las ecuaciones de balance serıan:

0 = λn−1pn−1 + µn+1pn+1 − (λn + µn)pn, n ≥ 1 (1)

0 = µ1p1 − λ0p0. (2)

Existe una tecnica mas util e intuitiva para deducir las ecuaciones diferencia-les (1) y (2), que implica el uso de un diagrama de tasa de transicion entre estados,el cual se ilustra en la Figura 2, y el principio que nos dice que, para cada estado,la tasa de flujo entrante coincide con la tasa de flujo saliente.

0 1 2 n− 1 n n+ 1 . . .

λ0 λ1 λn−1 λn

µn+1µnµ2µ1

Figura 2: Diagrama de tasa de transicion entre estados.


Teorıa de colas

Para describir los sistemas de colas utilizaremos la notacion A/B/C/D/E/Fdesarrollada por el matematico ingles David G. Kendall en el ano 1953. Presentamosdicha terminologıa en la Tabla 1.

A Distribucion del M exponencialtiempo entre llegadas D determinıstica

B Distribucion del Ek Erlang (orden k)tiempo de servicio G general

C Numero de servidoresD Capacidad del sistema Puede ser un numeroE Poblacion potencial entero positivo, o bien ∞

de clientes

F Disciplina de la cola FCFS, LCFS, RSS, PRI...

Tabla 1: Notacion de Kendall para un sistema de colas.

En algunas situaciones la notacion sera simplificada como A/B/C, asumiendode este modo que tanto la capacidad del sistema como la poblacion potencial declientes es infinita, siendo la disciplina de la cola FCFS (primero en llegar, primeroen ser servido).

Dos de los modelos estudiados son el M/M/1 y M/M/s. En ambos, tantoel tiempo entre llegadas como el tiempo de servicio siguen una distribucion ex-ponencial. El primero presenta un servidor mientras que en el segundo tenemos sservidores. Estos modelos se pueden ver como casos particulares de los procesos denacimiento y muerte, donde los nacimientos se corresponden con las llegadas de losclientes y las muertes con las salidas una vez atendidos. Por ser casos particularesde estos procesos estocasticos, podemos calcular las probabilidades pn y, a partir deellas, medidas como el numero medio de clientes en el sistema o en la cola (L y Lq)o el tiempo medio de espera en el sistema o cola (W y Wq, respectivamente). Parala realizacion de estos calculos es preciso conocer las formulas de Little:

L = λW,

Lq = λWq.

Sin embargo, podrıamos estar interesados no solo en el tiempo medio de espera,sino en conocer si un determinado cliente va a tener que esperar un tiempo superiora t en la cola o en el sistema. En tal caso, tendrıamos que calcular la distribucionde probabilidad de las variables tiempo de espera en el sistema y tiempo de esperaen la cola, W y Wq, respectivamente.

Pero estos modelos se centran en atender a un cliente que llega en demandade un servicio y se marcha tan pronto como sea atendido. Muy a menudo nosencontramos ante situaciones en las que un usuario requiere mas de un servicio, o

Laura Davila Pena SII 19

diferentes tipos de servicio, proporcionados por distintos servidores. Ası, puede sernecesario esperar en distintas colas para cada uno de los servicios. Para modelizarestos casos se emplean las redes de colas. La red estara formada por un conjunto denodos, donde cada uno de ellos contiene el sistema de una cola. Los clientes que salenservidos de un nodo podran no solo abandonar el sistema, sino tambien dirigirse acualquiera de los otros nodos. Por tanto, para especificar completamente una redde colas, sera preciso conocer no solo las tasas de llegada y servicio asociadas altotal de la misma, sino tambien las probabilidades que rigen las transiciones entrelos distintos nodos de la red.

Las redes de colas se conocen como redes de Jackson en honor al matematicoestadounidense James Jackson. Dependiendo de si se permite o no intercambio declientes con el exterior de la red, se distinguen dos tipos fundamentales de redes decolas: las redes abiertas y las redes cerradas.

Aplicacion de la teorıa de colas

En esta seccion presentamos una aplicacion de la teorıa de colas que hemosestudiado. Se trata de un problema todavıa en desarrollo y que considera incidenciasdetectadas estadısticamente en las muestras de sangre trasladadas a traves de variasrutas de ambulancias al Complexo Hospitalario Universitario de Santiago (CHUS).

El area clınica de Santiago de Compostela esta compuesta por 69 centros medicospertenecientes al Servizo Galego de Saude (SERGAS) y coordinados en gran medidapor el CHUS. Desde este centro se emiten resultados clınicos de diversas pruebasen sangre. Diariamente, se realizan extracciones de sangre en cada ambulatorio delos ayuntamientos que componen el area clınica de Santiago. Estas muestras sonposteriormente trasladadas en ambulancia al CHUS mediante 8 rutas existentes.

Con el paso del tiempo se han ido anadiendo nuevos centros medicos a las rutassin una revision precisa de estas, detectandose ası algunos problemas:

Existencia de una gran cantidad de pacientes cuyas concentraciones de potasioeran mas altas de lo normal.

Diferencias en los valores dependiendo del area del que provengan las muestras.

Despues de realizar una serie de investigaciones y estudios estadısticos, en [2]concluyeron, mediante modelos de regresion, que los pacientes procedentes de laszonas mas alejadas del CHUS eran los que presentaban niveles mas altos de estemineral.

De este modo, surgen diversas cuestiones acerca de las posibles causas. Algunasde ellas son:

Ciertas muestras tardan demasiado en llegar al laboratorio, con su correspon-diente deterioro.

Algunos repartidores tienen que desviarse en exceso, de modo que ciertasmuestras podrıan ser trasladadas al hospital mediante otras rutas.


En algunas ocasiones, varios repartidores llegan al mismo tiempo al hospital.Esto genera un colapso del sistema, dando lugar a una cola a la entrada dellaboratorio que no puede ser procesada a una velocidad adecuada. El hechode que las muestras esten paradas contribuye a su deterioro y da lugar a unresultado erroneo de la analıtica, arrojando niveles de potasio mas altos quelos reales.

Dentro de nuestro contexto de trabajo, nos hemos centrado en estudiar el ultimopunto, modelizando el sistema de colas generado a la entrada de las muestras alhospital. Lo primero que se ha hecho ha sido conseguir una base de datos provenientedel hospital y de los propios repartidores, con los parametros de interes. Una vezanalizada, se plantean una serie de propuestas para solventar este problema:

Modelizar los sistemas de colas en los nodos objeto de estudio, que en nuestrocaso son la recepcion de muestras y el MUT. El MUT es una maquina queclasifica, ordena y separa las muestras atendiendo al tipo de prueba que se vaa realizar. De esta forma, se podrıan tratar de simular las tasas de llegada yservicio optimas de modo que se espaciasen las llegadas para evitar los colapsosque se producen a determinadas horas del dıa.

Modificar la disciplina de la cola: cuando las muestras llegan al MUT, el perso-nal que allı se encuentra las introduce en la maquina de forma aleatoria, dentrode una misma ruta, sin tener en cuenta de donde vienen. Lo que proponemoses que las muestras provenientes de lugares mas lejanos sean las primeras enintroducir en el MUT, de forma que se reduzcan sus tiempos de espera y, enconsecuencia, su posibilidad de deterioro.

Estudios mas profundos acerca de rutas.

Este problema, como ya se ha mencionado, esta todavıa en fase de estudio. Elobjetivo que se pretende con la realizacion de este trabajo es poner de manifiestola utilidad de la teorıa de colas en problemas reales y, en este caso, un problemaproximo.

Bibliografıa

[1] Cao Abad, R. (2002). Introduccion a la Simulacion y a la Teorıa de Colas,Catalogo General, Netbiblo.

[2] Espasandın Domınguez, J., Cadarso Suarez, C., Kneib, T., Casas Mendez, B.,Benitez Estevez, A.J., Barreiro Martınez, T. y Gude, F. (2016). Utilidad delos modelos de regresion distribucional aditivos estructurados en la toma dedecisiones clınicas. A proposito del potasio, in Proceedings of the II EncontroGalaico-Portugues de Biometrıa, Santiago de Compostela, Spain, July 2016.Available in:http://biometria.sgapeio.es/descargas/Libro Actas BIOAPP2016.pdf



Construccion de superficies hiperbolicasArea de Geometrıa y Topologıa

Alvaro Carballido CostasUniversidade de Santiago de Compostela

31 de noviembre de 2018

Acciones propiamente discontinuas

Definicion 1. Sean G un grupo y X un conjunto. Una accion de G sobre X,denotada por Gy X, es una aplicacion

ϕ : G×X −→ X

verificando:

(1) ϕ(1, x) = x, ∀x ∈ X,

(2) ϕ(gh, x) = ϕ(g, ϕ(h, x)), ∀g, h ∈ G,∀x ∈ X.En lo que sigue escribiremos ϕ(g, x) = g.x.

Recordemos que un grupo topologico es un grupo, G, dotado de una topologıade forma que las aplicaciones de multiplicacion

(g, h) ∈ G×G −→ gh ∈ G

y de inversiong ∈ G −→ g−1 ∈ G

son continuas.

Definicion 2. Sean G un grupo topologico y X un espacio topologico. Una accioncontinua de G sobre X es una accion Gy X de forma que ϕ : G×X → X es unaaplicacion continua.

En lo que sigue todas las acciones que consideremos van a ser acciones continuasy las seguiremos denotando por Gy X.

Sea Gy X una accion. Dado x ∈ X, la orbita del punto x es el conjunto

G.x = g.x ∈ X | g ∈ G.

Las orbitas de los puntos definen una relacion de equivalencia en el espacio X de lasiguiente forma:

x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ G.x = G.y ⇐⇒ ∃g ∈ G t.q. y = g.x.

Palabras Clave: propiamente discontinua; superficie hiperbolica; grupo fuchsiano.

21

22 SII Construccion de superficies hiperbolicas

Definicion 3. Al espacio cociente definido por la anterior relacion de equivalenciase le llama espacio de orbitas y se le denota por G\X.

Para que el espacio de orbitas tenga un buen comportamiento es necesario que laaccion de G sobre X tenga unas propiedades especiales. Ası tenemos las siguientesdefiniciones:

Definicion 4. Una accion G y X se dice libre si el grupo de isotropıa de cadapunto es trivial, es decir, para cada x ∈ X, Gx = g ∈ G | g.x = x = 1.Definicion 5. Una accion G y X de un grupo discreto G (es decir, dotado dela topologıa discreta) sobre un espacio topologico Hausdorff X se dice propiamentediscontinua si se verifica que:

(1) G\X es un espacio topologico Hausdorff,

(2) Gx = g ∈ G | g.x = x es finito para cada x ∈ X,

(3) para cada punto x ∈ X existe un entorno Vx de x tal que:

(i) g.Vx ∩ Vx = ∅, ∀g /∈ Gx,

(ii) g.Vx = Vx, ∀g ∈ Gx.

La definicion dada de accion propiamente discontinua es en realidad una carac-terizacion. La definicion original de accion propiamente discontinua es accion propiade grupo discreto. Para profundizar en esto y ver la equivalencia se recomienda [1].

Un primer resultado muestra el buen comportamiento de este tipo de acciones.

Teorema 1. Sea G un grupo topologico discreto, X un espacio topologico Haus-dorff y G y X una accion libre y propiamente discontinua. Entonces la aplicacioncociente

π : X −→ G\Xes un homeomorfismo local.

El resultado del teorema anterior es mas fuerte, ya que de hecho, en esas condi-ciones la aplicacion cociente es una cubierta y en particular un fibrado localmentetrivial de fibra discreta. Veanse [4] para cubiertas y [2] o [6] para fibrados localmentetriviales.

Superficies hiperbolicas

El objetivo ahora es dotar a nuestro espacio topologico de una estructura masrica, como la de variedad riemanniana, y ver como se comportan los cocientes delas acciones propiamente discontinuas sobre estas variedades.

Teorema 2. Sean M una variedad riemanniana y de Heine-Borel (i.e. los cerradosy acotados son compactos) y Γ un subgrupo de isometrıas de M . Entonces la accionnatural Γ yM es propiamente discontinua si y solo si Γ es discreto.

Alvaro Carballido Costas SII 23

Observacion 1. En el teorema anterior, cuando decimos que Γ es discreto, nosreferimos a discreto como subespacio de Isom(M) dotado de la topologıa compacto-abierto. Sin embargo, en las hipotesis en las que nos movemos, ser discreto equivalea que la orbita de cada punto x ∈M , Γ.x ⊂M , sea un espacio discreto.

Teorema 3. En las condiciones del teorema anterior, si ademas la accion Γ yM eslibre, entonces el espacio de orbitas G\M adquiere una unica estructura de variedaddiferenciable de forma que la aplicacion cociente

π : M −→ G\M

es una isometrıa local.

La variedad riemanniana que nos interesa es el plano hiperbolico, que es unmodelo de geometrıa hiperbolica (un tipo de geometrıa en la que no se verifica elquinto postulado de Euclides) y que se define formalmente de la siguiente forma:

Definicion 6. Al semiplano complejo H = z ∈ C | Im(z) > 0 dotado de lametrica g = (dx2 + dy2)/y2 se le llama plano hiperbolico.

Figura 1: Geodesicas del plano hiperbolico

Observacion 2. El disco de Poincare, D, es un modelo equivalente al del planohiperbolico.

Figura 2: Geodesicas del disco de Poincare

24 SII Construccion de superficies hiperbolicas

La aplicacion que nos da el paso de H a D se conoce como aplicacion de Cayleyy viene dada por

z ∈ H −→ Ψ(z) =z − iz + i

∈ D.

El plano hiperbolico (y por tanto el disco de Poincare) son variedades rieman-nianas de Heine-Borel con curvatura constante y negativa igual a -1.

Nos vamos a interesar en un subgrupo muy particular de isometrıas del planohiperbolico, aquellas que conservan la orientacion.

Definicion 7. El grupo

PSL(2,R) = SL(2,R)/±Id = Isom+(H)

es el grupo de isometras de H que conservan la orientacion, donde

SL(2,R) =

z ∈ H→ az + b

cz + d∈ H : ad− bc = 1, a, b, c, d ∈ R

.

A los subgrupos discretos Γ < PSL(2,R) se les conoce como grupos fuchsianos.

Definicion 8. Sea Γ un grupo fuchsiano sin torsion (es decir, la accion naturalpor isometrıas Γ y H es libre). Al espacio de orbitas Γ\H se le llama superficiehiperbolica.

Observacion 3. En virtud del Teorema 3 y del Teorema Egregium de Gauss, ca-da superficie hiperbolica admite una unica metrica riemanniana de forma que sucurvatura es constante, negativa e igual a -1 en cada punto.

El objetivo ahora es esbozar la construccion del toro con dos agujeros a travesde la accion de un grupo fuchsiano sobre H, lo que dara lugar a enunciar unageneralizacion conocida como Teorema de Poincare.

Para ello, vamos a trabajar en el disco de Poincare. Los grupos fuchsianos deH se traspasan a los grupos discretos y sin torsion de isometrıas de D y viceversa.Nuestro objetivo es encontrar un subgrupo discreto Γ0 de las isometrıas de D, sintorsion y de forma que su espacio de orbitas sea el octogono regular (donde cadalado es un arco de geodesica) con las identificaciones mostradas en la figura 3.

Para construir tal grupo Γ0, fijamos el area del octogono como 4π. Como engeometrıa hiperbolica fijar areas es equivalente a fijar angulos, haciendo uso detrigonometrıa hiperbolica somos capaces de encontrar una isometrıa, B2, que llevab2 en b′2 con la orientacion que queremos. Una vez tenemos B2, podemos construirfacilmente (mediante rotaciones y reflexiones seguidas de rotaciones) las restantestres isometrıas A1, A2 y B1, que llevan, respectivamente, a1 en a′1, a2 en a′2 y b1 enb′1.

La pregunta es si el grupo generado por estos cuatro elementos,

Γ0 = |A1, A2, B1, B2|,

Alvaro Carballido Costas SII 25

Figura 3: Octogono regular en D

es el grupo discreto buscado. La respuesta, dada por Poincare, es positiva, y comoel octogono con las identificaciones dadas es exactamente el toro con dos agujeros,concluımos que tal superficie es una superficies hiperbolica. Para una construccionun poco mas detallada, vease [3].

De hecho, Poincare generalizo esta construccion para cualquier superficie com-pacta de genero g > 1 sin mas que considerar polıgonos hiperbolicos con suficienteslados. Esta generalizacion es lo que se conoce como Teorema de Poincare:

Teorema 4. Dada una superficie compacta de genero g > 1, Σg, existe un grupofuchsiano sin torsion Γ de forma que

Σg = Γ\H.

Bibliografıa

[1] Bourbaki, N. (1971). Elements de Mathematique. Topologie generale, chapitres1 a 4. C.C.L.S, Paris.

[2] Hector, G. y Hirsch, U. (1986). Introduction to the Geometry of Foliations,Part A. Vieweg & Sohn.

[3] Katok, S. (1992). Fuchsian groups. The University of Chicago Press, Chicagoand London.

[4] Massey, W. S. (1967). Algebraic Topology: An Introduction. Springer, New York.

[5] Ratcliffe, J. (2006). Foundations of Hyperbolic Manifolds. Springer-Verlag, NewYork.

[6] Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton UniversityPress.



O Teorema do punto fixo de Schauder: xeneralizacionse aplicacions

Area de Analise Matematica

Jorge Rodrıguez LopezUniversidade de Santiago de Compostela

14 de novembro de 2018

Introducion

O Teorema do punto fixo de Schauder e unha das ferramentas mais usadas enanalise nonlineal a hora de probar a existencia de solucion para problemas diferen-ciais ou integrais. Dito teorema e unha xeneralizacion a espazos de dimension infinitado conecido Teorema de Brouwer, presente en diversas areas das matematicas e queenunciamos a continuacion.

Teorema 1 (Brouwer, 1912, [3]). Sexa B ⊂ Rn un subconxunto non baleiro, limi-tado, convexo e pechado, e f : B → B unha aplicacion continua. Enton f ten unpunto fixo en B, isto e, existe x0 ∈ B tal que f(x0) = x0.

Observese que, grazas ao Teorema de Heine-Borel, en espazos euclidianos dedimension finita ser pechado e limitado equivale a ser compacto. Poren, dita equi-valencia non se obten en dimension infinita. Polo tanto, podemos preguntarnos sealgun dos enunciados do Teorema de Brouwer (ben para subconxuntos pechadose limitados, ou ben para subconxuntos compactos) segue a ser certo en dimensioninfinita. A resposta a esta cuestion atoparemola na seguinte seccion da man doTeorema de Schauder.

A aplicabilidade do Teorema do punto fixo de Schauder deu lugar a diversas xe-neralizacions do mesmo. Nos presentaremos aquı a extension a aplicacions multiva-luadas, que nos sera de gran utilidade a hora de debilitar a condicion de continuidaderequerida neste tipo de teoremas de punto fixo. Como consecuencia podemos obternovos resultados de existencia para problemas diferenciais onde a parte nonlinealpode ser descontinua con respecto da incognita.

O Teorema do punto fixo de Schauder

Sexa (X, ‖·‖) un espazo de Banach, isto e, X e un espazo vectorial normado (connorma ‖·‖) e completo (onde toda sucesion de Cauchy e converxente).

Palabras Clave: punto fixo; existencia de solucion; ecuacions diferenciais descontinuas.

27

28 SII O Teorema do punto fixo de Schauder

Teorema 2 (Schauder, 1930, [8]). Sexa K ⊂ X un subconxunto non baleiro, convexoe compacto, e T : K → K unha aplicacion continua. Enton T ten un punto fixo.

Por outra banda, Dugundji probou que en calquera espazo de dimension infinitaexiste unha aplicacion continua da bola pechada unitaria en si mesma sen puntosfixos. Isto indica que en espazos de dimension infinita o caracter pechado e limitadodo dominio non e suficiente para obter puntos fixos de aplicacions continuas, senonque se necesita unha hipotese mais forte: a compacidade.

Ademais dos espazos Rn, presentamos o seguinte par de exemplos de espazos deBanach, que usaremos a continuacion.

Exemplo 1. O espazo das funcions continuas definidas en [a, b] con valores en R,C0([a, b]), ten estructura de espazo de Banach coa norma do supremo

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ [a, b], f ∈ C0([a, b]).

O espazo das funcions continuamente diferenciables en [a, b] con valores en R,C1([a, b]), tamen e un espazo de Banach coa norma

‖f‖C1 = ‖f‖∞ +∥∥f ′∥∥∞ , f ∈ C1([a, b]).

Como diciamos ao comezo, o interese do Teorema de Schauder en analise nonli-neal e debido a sua aplicabilidade a hora de probar a existencia de solucions paraproblemas diferenciais.

A modo de exemplo, consideremos o seguinte problema de segunda orde concondicions de fronteira tipo Dirichlet:

−x′′(t) = f(t, x) t ∈ I = [0, 1],x(0) = x(1) = 0.

(1)

Hipoteses usuais para garantir a existencia de solucion para o problema (1) son aschamadas condicions de Caratheodory:

(C1) Para cada x ∈ R, a aplicacion t ∈ I 7→ f(t, x) e medible;

(C2) Para c.t.p. t ∈ I, a funcion x ∈ R 7→ f(t, x) e continua;

(C3) Existe M ∈ L1(I) tal que para c.t.p. t ∈ I e todo x ∈ R se ten |f(t, x)| ≤M(t).

Teorema 3. Se f satisfai (C1), (C2) e (C3), enton o problema (1) ten polo menosunha solucion x ∈W 2,1(I).

Observacion 1. Podese identificar o conxunto W 2,1(I) co das funcions con valoresreais tales que a sua derivada e unha funcion absolutamente continua en I.

O Teorema 3 podese probar de xeito sinxelo usando o Teorema do punto fixo deSchauder. Vexamos esquematicamente a maneira de proceder.

O primeiro paso e atopar un operador T ao que aplicarlle o teorema de puntofixo. Integrando duas veces en (1) e aplicando as condicions de fronteira, obtense

Jorge Rodrıguez Lopez SII 29

que atopar solucions para o problema diferencial (1) e equivalente a atopar funcionsx ∈ C1(I) tales que

x(t) =

∫ 1

0G(t, s)f(s, x(s)) ds,

onde G e o que se conece como funcion de Green do problema (1) e ven dada por

G(t, s) =

(1− t)s se 0 ≤ s ≤ t ≤ 1,t(1− s) se 0 ≤ t < s ≤ 1.

E dicir, buscamos puntos fixos do operador T : C1(I)→ C1(I) definido como

Tx(t) =

∫ 1

0G(t, s)f(s, x(s)) ds.

Falta atopar un subconxunto axeitado do espazo de Banach C1(I) no que aplicaro Teorema de Schauder. Consideremos o conxunto

K =

x ∈ C1(I) : x(0) = x(1) = 0,

∣∣x′(t)− x′(s)∣∣ ≤ ∫ t

sM(r) dr

.

Esta claro que o conxunto K e convexo. Ademais, tamen se pode probar, por mediodo Teorema de Ascoli-Arzela, que o conxunto K e un subconxunto compacto deC1(I). Tense que T (K) ⊂ K.

Para rematar vexamos que T e continuo. Para iso, probemos que e secuen-cialmente continuo en K. Sexa xn → x en K: pola condicion (C2) temos quef(t, xn) → f(t, x) para c.t.p. t ∈ I. Enton, grazas a (C3) e ao Teorema da con-verxencia dominada de Lebesgue, obtense que Txn → Tx. Polo tanto, T e continuoen x.

O Teorema do punto fixo de Schauder garante que T ten un punto fixo en K.Dito punto fixo e unha solucion do problema diferencial (1), o que remata a probado Teorema 3.

Observacion 2. A condicion (C2) resulta chave para probar a continuidade dooperador T , a sua vez necesaria para aplicar o Teorema de Schauder.

Poren, diversos procesos fısicos ou bioloxicos poden vir modelados por ecuacionsdiferenciais para as que a condicion (C2) de continuidade na variable espacial nonse cumpre. E por iso que estamos interesados en obter resultados de existencia para(1) baixo condicions mais debiles que a citada (C2). A ferramenta que usaremos nonoso proposito sera a analise de aplicacions multivaluadas.

Teoremas de punto fixo para aplicacions multivaluadas

Sexa K un subconxunto dun espazo de Banach X e consideremos a aplicacionmultivaluada F : K → 2X (observese que unha aplicacion multivaluada non e outra


cousa que unha correspondencia entre elementos de K e subconxuntos de X ou, oque e o mesmo, elementos do conxunto de partes de X, que denotamos por 2X). Noque segue, suponeremos que a imaxe por F de cada elemento de K e un subconxuntonon baleiro, pechado e convexo.

No contexto das aplicacions multivaluadas hai duas nocions de continuidade quese reducen a continuidade usual no caso univaluado (ver [1]): a semicontinuidadesuperior e a semicontinuidade inferior. Centremonos na primeira, xa que e a que secomporta ben para a obtencion de puntos fixos.

Definicion 1. Diremos que F e semicontinua superiormente nun punto x0 se paracalquera vecinanza aberta V de F (x0) existe unha vecinanza aberta U de x0 tal queFU ⊂ V .

O Teorema de Schauder foi xeneralizado a esta clase de funcions.

Teorema 4 (Bohnenblust-Karlin, 1950, [2]). Sexa K un subconxunto non baleiro,compacto e convexo dun espazo de Banach X, e F : K → 2K unha aplicacionmultivaluada semicontinua superiormente e con valores non baleiros, pechados econvexos. Enton F ten un punto fixo, e dicir, existe x0 ∈ K tal que x0 ∈ F (x0).

O resultado anterior e conecido como Teorema de Kakutani na sua version enespazos de dimension finita. Entre as suas aplicacions destaca a proba do Teoremade Nash en teorıa de xogos (ver [4]).

Nos usaremos a teorıa de aplicacions multivaluadas para regularizar operadoresunivaluados descontinuos. Deste xeito, dado T : K ⊂ X → X un operador, nonnecesariamente continuo, asociamos a dito operador a seguinte aplicacion multiva-luada T : K → 2X , definida como:

Tx =⋂ε>0

coT(Bε(x) ∩K

)para cada x ∈ K,

onde Bε(x) denota a bola pechada centrada en x e de radio ε, e co significa envolturapechada e convexa (e dicir, co(A) e o menor conxunto pechado e convexo que contena A).

A aplicacion multivaluada T ten boas propiedades, como mostra o seguinte re-sultado (que pode ser consultado en [1, 7]).

Proposicion 1. A aplicacion multivaluada T definida arriba satisfai que:

1. T(x) e pechado e convexo, e T (x) ∈ T(x) para cada x ∈ K;

2. Se K e pechado e convexo, e T (K) ⊂ K, enton T(K) ⊂ K;

3. Se T leva conxuntos limitados en relativamente compactos, enton T e semi-continua superiormente;

4. Se T (K) e relativamente compacto, enton T(K) tamen e relativamente com-pacto;

Jorge Rodrıguez Lopez SII 31

5. Se T e continuo en x, enton T(x) = T (x).

Polo tanto, se K e un conxunto non baleiro, pechado e convexo e, ademais,T (K) ⊂ K, enton T esta nas hipoteses do Teorema de Bohnenblust-Karlin (senimponer ningunha condicion sobre a continuidade de T !). Tendo en conta isto, oseguinte resultado (ver [7]) e trivial.

Teorema 5. Sexa K un subconxunto non baleiro, compacto e convexo dun espazode Banach X, e T : K → K unha aplicacion tal que:

Fix(T) ⊂ Fix(T ), (2)

onde Fix(S) denota o conxunto de puntos fixos de S. Enton T ten un punto fixo.

Observese que a condicion (2) e mais xeral que a continuidade do operador T , oque permite aplicar o Teorema 5 en situacions onde o Teorema de Schauder non eaplicable.

Aplicacion as ecuacions diferenciais descontinuas

Para finalizar, usando o Teorema 5 e posible debilitar a condicion (C2) no re-sultado de existencia para o problema diferencial (1) dado no Teorema 3. Para isonecesitamos definir certas curvas sobre o grafo das cales permitiremos que a funcionf sexa descontinua.

Definicion 2. Unha curva admisible para a ecuacion diferencial −x′′ = f(t, x) eunha funcion γ : [a, b] ⊂ I → R en W 2,1(I) cumprindo unha das seguintes condi-cions:

(a) −γ′′(t) = f(t, γ(t)) para c.t.p. t ∈ [a, b]; ou

(b) existen ε > 0 e ψ ∈ L1([a, b]), ψ > 0 tal que ou ben:

−γ′′(t) + ψ(t) < f(t, y) para c.t.p. t ∈ [a, b] e todo y ∈ [γ(t)− ε, γ(t) + ε],

ou ben:

−γ′′(t)− ψ(t) > f(t, y) para c.t.p. t ∈ [a, b] e todo y ∈ [γ(t)− ε, γ(t) + ε].

Esencialmente, a curva γ pode ser unha solucion da ecuacion −x′′ = f(t, x) nunsubintervalo de I ou, noutro caso, unha sub ou sobresolucion estrita (ver [5]).

Teorema 6. Suponamos que f satisfai as hipoteses (C1), (C3) e

(C2∗) Existe unha coleccion numerable de curvas adimisibles γn : In ⊂ I → R tal quepara c.t.p. t ∈ I, a funcion x ∈ R 7→ f(t, x) e continua en R\⋃n:t∈Inγn(t).

Enton o problema (1) ten polo menos unha solucion x ∈W 2,1(I).


O resultado anterior foi probado en [7] e xeneralizado mais tarde en [6] a pro-blemas de segunda orde con dependencia da derivada e condicions de fronteira maisxerais que as de tipo Dirichlet.

Para finalizar presentamos un exemplo que ilustra os nosos resultados.

Exemplo 2. O problema−x′′(t) = f(t, x) t ∈ I = [0, 1],x(0) = x(1) = 0,

con

f(t, x) =

1/√t+ senb1/xc se x > 0,

1/√t se x ≤ 0,

onde bxc denota a parte enteira de x, ten polo menos unha solucion no sentidode Caratheodory, ao estar nas hipoteses do Teorema 6. Certamente, a funcion fe descontinua para x = 0 e x = 1/n, n ∈ N. As funcions constantes γ0 ≡ 0 eγn ≡ 1/n, n ∈ N, determinan curvas admisibles para a ecuacion diferencial, xa queγ′′n = 0 e

0 +1

2

(1√t− 1

)<

1√t− 1 ≤ f(t, x) para c.t.p. t ∈ I e todo x ∈ R,

para cada n ∈ N ∪ 0, ası que cumpren a Definicion 2 con ψ(t) = 12

(1√t− 1)

.

Bibliografıa

[1] Aubin, J. P. e Cellina A. (1984). Differential inclusions, Springer–Verlag.

[2] Bohnenblust, H. F. e Karlin S. (1950). On a theorem of Ville, Contributions tothe Theory of Games, Ann. of Math. Stud., Princeton Univ. Press 24, 155–160.

[3] Brouwer, L.E.J. (1912). Ueber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.71, 97-115.

[4] Casas Mendez, B., Fiestras-Janeiro, G., Garcıa-Jurado, I. e Gonzalez-Dıaz, J.(2012). Introduccion a la teorıa de juegos, Manuais Universitarios, USC Editora(Vol. 15).

[5] De Coster, C. e Habets, P. (2006). Two-point boundary value problems: lowerand upper solutions, Elsevier (Vol. 205).

[6] Figueroa, R., Lopez Pouso, R. e Rodrıguez-Lopez, J. (2018). Extremal solu-tions for second-order fully discontinuous problems with nonlinear functionalboundary conditions, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., No. 29, pp. 1–14.

[7] Lopez Pouso, R. (2012). Schauder’s fixed–point theorem: new applications anda new version for discontinuous operators, Bound. Value Probl., 2012(92).

[8] Schauder, J. (1930). Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen. Studia Math. 2,171-180.



¿Que pintan las superalgebras en Mecanica Cuantica?Area de Algebra

Marıa Pilar Paez GuillanUniversidade de Santiago de Compostela

28 de noviembre de 2016

Introduccion

A menudo escuchamos hablar de las aplicaciones fısicas de todo tipo de teorıasmatematicas, si bien es cierto que no siempre llegamos a profundizar en ellas. Enparticular, las superalgebras de Lie se aplican a la Mecanica Cuantica, mas concre-tamente, aparecen en la teorıa de supersimetrıas, describiendo el paso de un sistemacon una partıcula en estado bosonico a otro con una partıcula en estado fermionico.El objetivo de este resumen sera explicar esta aplicacion. Para poder comprenderla,sera conveniente recordar antes ciertas ideas basicas de Mecanica Cuantica. Un buentexto introductorio es [1], aunque tambien resulta particularmente esclarecedor elprologo de [2].

Preliminares en Mecanica Cuantica

La Mecanica Cuantica surgio en la decada de 1920 gracias a los esfuerzos defısicos de renombre como Bohr, Heisenberg, Pauli, Dirac o Schrodinger por explicarfenomenos a escala subatomica que no se regıan por las leyes del mundo macrosco-pico. Por ejemplo, ninguna de las teorıas establecidas hasta el momento conseguıaexplicar por que los electrones orbitando en torno al nucleo de un atomo no aca-baban colapsando en el. Fue Niels Bohr quien dio con una respuesta satisfactoriapresentando su modelo cuantico del atomo de hidrogeno, basado en el postuladode que la energıa solo puede adoptar unos valores determinados. A esta discretiza-cion (cuantizacion) de la energıa se le une una concepcion probabilista de la teorıa,entendida del siguiente modo: no somos capaces de predecir el comportamiento delas partıculas subatomicas individualmente, pero sı de forma global. Por ejemplo,si lanzamos un rayo de electrones contra una placa, no podremos predecir dondeimpactara cada uno, y de hecho cada vez que repitieramos el experimento obten-drıamos resultados diferentes. Lo que permanecera constante en cada experimentosera la distribucion global de los impactos: habra regiones con mayor densidad decolisiones y otras donde esta sera menor. Esta distribucion sı sera predecible.

De la discretizacion de la energıa y la interpretacion probabilista se desprendeque las mediciones alteran los sistemas microscopicos, ya que los niveles de energıa

Palabras Clave: Mecanica Cuantica; bosones; fermiones; supersimetrıa; superalgebras de Lie.

33

34 SII Superalgebras en Mecanica Cuantica

involucrados en el acto de medir son similares a los del experimento y no se puedenhacer arbitrariamente pequenos, ni se puede hacer un reajuste matematico precisopara anular el efecto de la medicion. A su vez, esto implica que no es lo mismomedir primero la propiedad A de un sistema y despues la B, que hacerlo en ordeninverso. Estas caracterısticas resultan inconcebibles en el ambito macroscopico dela Mecanica Clasica, donde para medir una propiedad de un sistema se le asigna aesta un valor numerico que la determina completamente. Sera necesario plantear unnuevo esquema matematico y de mediciones especıfico para el mundo cuantico.

Introduzcamos un poco de terminologıa. Llamamos estado a cada una de lasformas que puede adoptar un sistema fısico, y observable a cada una de las propie-dades que los caracterizan. Los estados de Mecanica Clasica estan caracterizadospor la posicion y el momento de la partıcula, y los observables son funciones realesdependientes de estas dos variables. La situacion en Mecanica Cuantica es sustan-cialmente mas compleja. Los estados se identifican con vectores en un espacio deHilbert complejo y separable proyectivizado, que denotaremos H, y los observables,con operadores lineales autoadjuntos en H. Notemos que identificar propiedadescon operadores no conmutativos concuerda con que los resultados de las medicionesdependan del orden con que estas son efectuadas; si dos operadores conmmutan, sedice que las propiedades correspondientes son simultaneamente observables.

La interpretacion de las propiedades fısicas en terminos de operadores lineales sehace del siguiente modo. Los posibles valores que se pueden obtener de una medicionseran los autovalores del operador; el Teorema Espectral nos asegura que seranreales. Supongamos que el operador asociado a la propiedad A tiene un espectrodiscreto a1, ... , an, y consideremos ψ1, ... , ψn autovectores unitarios asociados. Seidentifica el valor |(ψ,ψi)|2 con la probabilidad de obtener el valor ai al medir lapropiedad A en el estado (vector) ψ. Notemos que, por formar los vectores ψ1, ... , ψnuna base ortonormal de H, se tiene que ψ =

∑ni=1 |(ψ,ψi)|2ψi y

∑ni=1 |(ψ,ψi)|2 = 1;

por ello, la interpretacion anterior tiene pleno sentido.

Un operador de espectro discreto particularmente importante es el asociadoal spin 1/2 del electron, modelizado en el espacio de Hilbert H = P(C2), y querepresenta un cierto momento angular interno del electron. Este operador admite laexpresion matricial

S1/2 =µB2

(1 00 −1

),

donde µB es una constante denominada magneton de Bohr, y tiene autovaloress± = ±µB

2 . Esta propiedad del electron se determino mediante el experimento deStern-Gerlach en 1922. Posteriormente, experimentos similares en distintas partıcu-las determinaron el spin de estas. Segun el spin tome valores enteros o semienteros,dividimos a las partıculas en bosones (fotones, partıculas α... ) y en fermiones (pro-tones, electrones, neutrones... ), respectivamente.

Marıa Pilar Paez Guillan SII 35

Supersimetrıas

Consideremos ahora un sistema de n partıculas identicas. La imposibilidad deefectuar mediciones sin alterar el sistema nos impide distinguir unas partıculas deotras; por tanto, diremos que son indistinguibles. Si H es el espacio de Hilbertasociado a cada partıcula, el espacio que describira el estado del sistema sera elproducto tensorialH⊗(n)...⊗H, y los vectores seran productos tensoriales ψ = ψ1⊗···⊗ψn, donde cada ψi hace referencia a una partıcula del sistema. La indistinguibilidadde este se traduce en una simetrıa de dichos productos, en el sentido de que siintercambiamos las partıculas etiquetadas como i y j, obtendremos el mismo estadoψ (si trabajamos con un sistema de bosones), o su opuesto −ψ (si trabajamos confermiones). Dicho de otro modo, en el caso bosonico, el estado (vector) ψ perteneceal espacio Sn(H0), y en el caso fermionico, a Λn(H1), si asumimos que H0 denota elespacio de estados del sistema bosonico y H1 el del fermionico, y donde se definen

Sn(V ) =V ⊗ (n)... ⊗ V〈v ⊗ w − v ⊗ w〉 , Λn(V ) =

V ⊗ (n)... ⊗ V〈v ⊗ w + v ⊗ w〉 ,

para un espacio vectorial arbitrario V y para todo v, w ∈ V .

Una consecuencia de la antisimetrıa de los sistemas fermionicos es que no puedentener dos partıculas en el mismo estado, pues esto implicarıa automaticamente queel estado global es 0. Esta propiedad es lo que se conoce como Principio de Exclusionde Pauli.

A partir de ahora, no fijaremos el numero de partıculas en nuestros sistemas.Para ello, consideraremos los espacios

S(V ) =∑n∈N

S(n)(V ), Λ(V ) =∑n∈N

Λ(n)(V ),

donde V es un espacio vectorial arbitrario, y asumiendo S0(V ) = Λ0(V ) = K yS1(V ) = Λ1(V ) = V . Tambien, y dado que todo espacio de Hilbert separable dedimension infinita es isomorfo al espacio de sucesiones de cuadrado sumable, `2,identificaremos tanto S(H0) como Λ(H1) con dicho espacio, y cada estado con unasucesion. El termino n-esimo representara el numero de partıculas individuales quese encuentran en un estado determinado.

A continuacion, presentamos unos operadores destacados en S(H0) y en Λ(H1):los operadores de aniquilacion y creacion de bosones y fermiones, respectivamente,que como su nombre indica, expresan el paso de un sistema de n bosones (fermiones)a otro de n − 1, en el caso de la aniquilacion, y a otro de n + 1, en el caso de lacreacion. Denotamos ar (br) al operador de aniquilacion de un boson (fermion) en el

estado r-esimo, y a†r (b†r) al operador de creacion de un boson (fermion) en el estador-esimo. Aplicando la simetrıa en el caso bosonico y la antisimetrıa en el fermionico,obtenemos las siguientes propiedades de los operadores:


aras − asar = 0,

a†ra†s − a†sa†r = 0, (1)

ara†s − a†sar = δ(r, s),

brbs + bsbr = 0,

b†rb†s + b†sb

†r = 0, (2)

brb†s + b†sbr = δ(r, s).

Consideremos a continuacion sistemas que combinen bosones y fermiones, quemodelizaremos en un espacio de estados H = S(H0) ⊗ Λ(H1). En este nuevo con-texto, el operador de aniquilacion de un boson (fermion) en el estado r-esimo sedenotara como ar ⊗ id (id ⊗ br); analogamente, para los operadores de creacion.Introducimos dos nuevos operadores: la transformacion de un boson en un fermion,

Qrs := (id⊗ b†s)(ar ⊗ id),

y la transformacion de un fermion en un boson,

Q†rs := (a†s ⊗ id)(id⊗ br).

Sumando a lo largo de los ındices r y s, podemos considerar tambien

Q :=∑r,s

Qrs, Q† :=∑r,s

Q†rs.

Las simetrıas que transforman estados bosonicos en fermionicos, y viceversa, sonconocidas como supersimetrıas.

Tambien definimos el operador H := Q†Q + QQ†, que es importante porqueproporciona el numero total de partıculas del sistema. Se cumple que HQ−QH =HQ† −Q†H = 0.

Un tratamiento mas sistematico y profundo de estos operadores puede encon-trarse en [2], y en menor medida, en [3].

Superalgebras de Lie

A la hora de estudiar en profundidad los operadores Q, Q† y H, resultarıaconveniente disponer de un marco mas general donde encuadrarlos. Dicho marcolo proporcionan las superalgebras de Lie, una estructura matematica que se habıadefinido en conexion con el estudio de los supergrupos de Lie en la decada de 1930,casi medio siglo antes de que la Fısica se adentrase en el terreno de la supersimetrıa.

Definicion 1. Sea V = V0⊕V1 una suma directa de espacios vectoriales. Si a V0 leasignamos grado 0, y a V1 grado 1, decimos que V es un superespacio vectorial. Loselementos de V0 ∪ V1 se llaman homogeneos, y V0 y V1, componentes homogeneas.Un subespacio U = U0 ⊕ U1 se dice graduado si U ∩ V0 = U0 y U ∩ V1 = U1.

Lema 1. Sean V = V0 ⊕ V1 y W = W0 ⊕W1 dos superespacios vectoriales.

Marıa Pilar Paez Guillan SII 37

La suma V ⊕W admite la graduacion

(V ⊕W )0 = V0 ⊕W0, (V ⊕W )1 = V1 ⊕W1.

El producto tensor V ⊗W admite la graduacion

(V ⊗W )0 = (V0 ⊗W0)⊕ (V1 ⊗W1), (V ⊗W )1 = (V0 ⊗W1)⊕ (V1 ⊗W0).

Si U es un subespacio de V generado por elementos homogeneos, entonces elespacio cociente V/U hereda la graduacion de V .

Definicion 2. Un superespacio vectorial V = V0 ⊕ V1 es una superalgebra si existeuna aplicacion bilineal p, que llamaremos producto,

p : V × V −→ V

satisfaciendo |p(v, w)| = |v|+ |w| para v, w elementos homogeneos, donde | · | es laoperacion grado. Un subespacio graduado U = U0 ⊕ U1 es una subalgebra graduadasi es cerrado para el producto.

Definicion 3. Una superalgebra de Lie es una superalgebra cuya aplicacion bilineal,que denotaremos [·, ·], satisface:

[v, w] = −(−1)|v||w|[w, v],

[v, [w, u]] = [[v, w], u] + (−1)|v||w|[w, [v, u]],

para v, w, u elementos homogeneos.

Un ejemplo importante de superalgebra de Lie es el siguiente. Consideremos unsuperespacio vectorial V = V0 ⊕ V1, y definamos

End(V )0 = f ∈ End(V ) : |f(v)| = |v|,End(V )1 = f ∈ End(V ) : |f(v)| = |v|+ 1.

Entonces, la suma End(V ) := End(V )0 ⊕ End(V )1 es una superalgebra de Lie conel producto [f, g] = fg − (−1)|f ||g|gf .

Notemos que, aplicando el Lema 1, le podemos dar una graduacion natural anuestro espacio H = S(H0) ⊗ Λ(H1). Supongamos que H0 esta concentrado engrado 0, y H1 en grado 1. Por ello, tanto H0 ⊗H0 como H1 ⊗H1 estaran concen-trados en grado 0. Los subespacios por los que cocientamos para obtener S2(H0)y Λ2(H1) estan generados por elementos homogeneos, y por ello el cociente heredala graduacion. Razonando de este modo recursivamente, llegamos a que todos losSn(H0) y los Λ2n(H1) estan concentrados en grado 0, mientras que los Λ2n+1(H1)lo estan en grado 1. Sumando, obtenemos una graduacion para S(H0) y Λ(H1), yconsecuentemente, para H = S(H0)⊗ Λ(H1).

Ası, estamos en condiciones de considerar la superalgebra de Lie de los endo-morfismos de H, End(H). Notemos que por estar Sn(H0) concentrado en grado 0


para todo n ∈ N, los operadores ar y a†r tendran grado 0; en cambio, dado que losΛn(H0) alternan su grado, los operadores br y b†r tendran grado 1. Por tanto, sepueden unificar las propiedades (1) y (2) en

aras − (−1)|ar||as|asar = 0,

a†ra†s − (−1)|a

†r||a†s|a†sa

†r = 0,

ara†s − (−1)|ar||a

†s|a†sar = δ(r, s),

brbs − (−1)|br||bs|bsbr = 0,

b†rb†s − (−1)|b

†r||b†s|b†sb

†r = 0,

brb†s − (−1)|br||b

†s|b†sbr = δ(r, s).

Tambien se tiene que |Q| = |Q†| = 1, y dado que H = Q†Q + QQ† = Q†Q −(−1)|Q||Q

†|QQ† = [Q†, Q] (producto en End(H)), entonces |H| = |Q†|+ |Q| = 0.Concluimos que Q, Q† y H pertenecen a la superalgebra de Lie End(S(H0) ⊕

Λ(H1)), con corchete [f, g] = fg − (−1)|f ||g|gf . Ademas, como

[Q†, Q] = H,

[Q†, H] = 0,

[Q,H] = 0,

entonces Q,Q†, H es una subalgebra graduada de End(S(H0)⊕ Λ(H1)).Este enfoque permite aplicarles a las supersimetrıas resultados sobre superal-

gebras de Lie ya conocidos, y ayuda a sistematizar y formalizar su estudio, comopuede comprobarse en la referencia [4].

Bibliografıa

[1] Griffiths, D. J. (1995). Introduction to quantum mechanics, Prentice Hall.

[2] Schwinger, J. (2001). Quantum Mechanics. Symbolism of Atomic Measure-ments, Springer.

[3] Vallejo, J. A. (2012). Introduccion a la supersimetrıa,https://arxiv.org/pdf/1205.0863.pdf.

[4] Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduc-tion, Lecture Notes of American Mathematical Society.



Participacion en investigaciones punteras sobre estrellasdobles y multiples en el ambito de la Astronomıa

espanola e italiana.Area de Astronomıa y Astrofısica

Luca PiccottiObservatorio Astronomico Ramon Marıa Aller

Universidade de Santiago de Compostela

12 de diciembre de 2018

Introduccion

Las actividades relacionadas con la Tesis Doctoral de quien subscribe, objeto deesta charla, se estan desarrollando en un centro de gran prestigio internacional enel estudio de las estrellas dobles y multiples, el Observatorio Astronomico RamonMarıa Aller (OARMA). Este Observatorio, fundado por el padre Aller hace ahora75 anos se ha especializado en esta lınea de investigacion desde que el Profesor Allerintrodujera este tema de estudio en Espana.

En las ultimas decadas, bajo la direccion del Profesor Jose Angel Docobo Du-rantez, el Observatorio alcanzo notoriedad en el ambito de la Union AstronomicaInternacional (IAU), gracias a los congresos internacionales organizados y a los tra-bajos realizados en este campo. Destacan un metodo original para el calculo deorbitas disenado por el Profesor Docobo ([4], [5]), con el que se han determinadomas de 300 orbitas, numerosısimas publicaciones en revistas internacionales (ver enla web propia: http://www.usc.es/astro), organizacion de congresos, edicion de laCircular de Informacion de la Comision G1 (anteriormente No. 26) de la IAU, direc-cion de tesis doctorales, campanas de observacion en grandes telescopios de Europa,America y Asia, adquisicion de instrumentacion de ultima generacion, etc. El Pro-fesor Docobo fue vicepresidente de la Comision de Estrellas Dobles y Multiples dela IAU durante el perıodo 2006 - 2009 y Presidente de dicha Comision entre 2009 y2012.

Las estrellas dobles

Una estrella doble o binaria puede definirse como un par de estrellas fısicamenteasociadas por mutua atraccion gravitatoria y, debido a este hecho, cada componentedescribe una orbita periodica en torno al centro de masas del sistema. Las estrellas

Palabras Clave: estrellas dobles; estrellas multiples; binarias eclipsantes; binarias espectros-copicas; binarias visuales; mecanica celeste; agujeros negros; estrellas de neutrones; ondas gravita-torias; modelo newtoniano.

39

40 SII Estrellas dobles y multiples

dobles constituyen una fuente fundamental de informacion astronomica y como taltrataremos de mostrar los aspectos mas relevantes, parte de los cuales forman partede las investigaciones incluidas en la Tesis de quien subscribe, realizada bajo ladireccion del Profesor Docobo. Hay dos parametros esenciales en astronomıa estelar:la masa de las estrellas y su distancia a nosotros. La masa marca su camino evolutivo,por lo que es imprescindible determinarla con gran precision y, sin las distancias,nunca podrıamos saber la energıa que realmente estan emitiendo las estrellas. Porejemplo, la estrella Sirio es la mas brillante del cielo pero lo es por estar bastantecerca de nosotros. Precisamos conocer tambien con exactitud dichas distancias parapoder establecer diagramas fundamentales como el de temperatura-luminosidad oel de masa- luminosidad. Todo esto justifica con creces dedicarle tiempo al estudiode las estrellas dobles. En relacion con ellas, hay interesantes lıneas de investigaciontanto para matematicos (Astrodinamica) como para fısicos (Astrofısica).

Hoy en dıa, las mas de cien mil estrellas multiples catalogadas se suelen clasificar,segun la tecnica utilizada para su descubrimiento y posterior estudio, en tres tiposde binarias:

Binarias visuales: se descubren por medios opticos (a traves de la observa-cion visual, con tecnicas fotograficas o mediante interferometrıa).

Binarias espectroscopicas: la aplicacion del efecto Doppler-Fizeau es la ba-se para la deteccion de la naturaleza binaria de muchas estrellas no desdobla-das opticamente. En efecto, puesto que en una estrella doble las componentesestan orbitando en torno a su centro de masas, resulta que cada una se alejay se acerca periodicamente del observador y, por este motivo, las lıneas espec-trales se desplazan en el espectro en torno a una posicion que corresponde a lade reposo relativo. Estos desplazamientos estan relacionados con la velocidadrelativa entre la binaria y nosotros ([2]).

Binarias eclipsantes: son aquellas que muestran variaciones periodicos dela magnitud global de la estrella debido a eclipses periodicas entre las compo-nentes.

La orbita de una estrella doble esta definida por siete constantes llamadas elementosorbitales ([2]): el periodo orbital, P , en anos; la epoca de paso por el periastro, T ,en anos besselianos o bien se indica la fecha del periodo juliano cuando el periodoorbital es solo de meses o incluso dıas; la excentricidad, e; el semieje mayor, a, ensegundos de arco o en milesimas de segundos de arco (mas, en ingles); la inclinacion,i, medida en grados, es el angulo que forma el eje z− con el vector momento angular;el angulo del nodo, Ω, medido en grados, es el angulo formado por la direccion Nortecon la posicion del nodo ascendente (punto en el que la coordenada z pasa a serpositiva); finalmente, el argumento del periastro, ω, contado tambien en grados,es el angulo medido sobre la orbita relativa y que va desde la posicion del nodoascendente hasta el periastro, contado en el sentido del movimiento.

Luca Piccotti SII 41

La paralaje

Para obtener la mayor cantidad posible de informacion de las binarias, es nece-sario conocer la distancia al sistema. Esto se puede lograr midiendo la paralaje deuna estrella, que se define como el angulo con que se verıa la distancia Tierra - Soldesde la estrella. De este modo, se puede definir una unidad de distancia, el llamadoparsec (pc), como la distancia correspondiente a una paralaje de 1”, es decir, 1

3600de un grado sexagesimal. Se tiene entonces la relacion de que la distancia en parseces precisamente la inversa de la paralaje en segundos de arco:

d(pc) = 1/π(′′).

La figura 1 da cuenta de la definicion de parsec. S representa el Sol, y T la Tierraen un punto de su orbita. Ası, como es bien sabido, la distancia TS es una unidadastronomica de distancia (UA). Si el angulo SPT es un segundo de arco, por defi-nicion, P es un punto situado a una distancia de un parsec del Sol (y practicamentede la Tierra). La relacion entre el parsec y la unidad astronomica de distancia seobtiene de la siguiente manera:

1 pc = SP =TS

tan 1′′≈ TS

(1′′)rad=

1 UA1

3600 × π180

=648000

πUA ≈ 206264, 8062 UA.

Figura 1: Diagrama geometrico de la definicion del parsec.

A finales del siglo XX, la medida de paralajes experimento un gran avance gra-cias al satelite astrometrico Hipparcos y, ultimamente, a la mision espacial Gaia.Esta ultima es una sonda lanzada por la Agencia Espacial Europea (ESA) en 2013y en orbita alrededor del punto de Lagrange L2. Su objetivo es crear el mapa tridi-mensional mas completo de nuestra Galaxia.

El catalogo de Gaia se publica en etapas (data releases, DR) que contendrancantidades cada vez mayores de informacion:

DR1: 14 de septiembre de 2016.


DR2: 25 de abril de 2018.

DR3: Probablemente la primera mitad de 2021.⇒ Catalogo de estrellas bina-rias (algunas ya estan publicadas).

Publicacion final para la mision nominal: por definir.

Nuestras investigaciones se centran en aquellas estrellas dobles que son a la vezvisuales y espectroscopicas. De este modo se puede determinar la llamada paralajeorbital que sirve de control para las paralajes medidas por Gaia.

Investigaciones en relacion con la Tesis Doctoral

Mi director de tesis quiso que esta tuviera un caracter transversal en el sentidode que en ella se incluyeran diferentes investigaciones relacionadas entre sı bajo elparaguas de las estrellas dobles y multiples, un amplio campo de la astronomıa conmultiples aplicaciones de metodos matematicos. Quien subscribe estuvo de acuer-do con tal enfoque desde el comienzo. En primer lugar, hemos tratado el llamadoProblema Estelar de Tres o mas Cuerpos. El Profesor Docobo, en su Tesis Docto-ral ([3]) fue el primero que estudio este problema en Espana aplicando la teorıa deperturbaciones. La idea basica ahora es utilizar el paquete informatico TIDES (aTaylor series Integrator for Differential EquationS), desarrollado en 2011 - 2012 porAlberto Abad y otros miembros del Grupo de Mecanica Espacial de la Universidadde Zaragoza ([1]). TIDES es un software que utiliza el desarrollo en series de Taylorpara obtener la solucion numerica de las ecuaciones del movimiento perturbado y,de esta forma, poder hacer una comparacion con las soluciones obtenidas utilizandometodos de integracion analıticos y semi-analıticos. Tambien pretendemos extendereste estudio al caso de exoplanetas en torno a una componente de una estrella do-ble. Por otra parte, estamos llevando a cabo una parte experimental/observacionaltanto en el Observatoire de la Cote d’Azur (Francia), en la cual estamos realizandoobservaciones mediante la tecnica de interferometrıa speckle de sistemas estelarestriples con el uso de la camara Pupil Interferometry Speckle COronagraph (PISCO),instalada en el telescopio Epsilon de 1,04 metros. Tambien estamos trabajando conla camara EMCCD del OARMA, acoplada al telescopio de 2,6 metros del Byura-kan Astrophysical Observatory (Armenia). Este proceso lleva consigo la reduccionde la propias observaciones, lo cual se hace mediante un software especıfico que ensucesivas etapas nos permite pasar de los registros speckle a las coordenadas polaresrelativas de las componentes del sistema e incluso a sus diferencias de magnitud.

Por otra parte, es nuestra intencion profundizar en los contactos ya iniciadoscon grupos italianos que investigan en distintas lıneas en relacion con las binariascon el objetivo de incorporar a la Memoria los resultados de nuestra colaboracioncon ellos con el proposito de, como se menciono al principio, resaltar tambien el altonivel de la astronomıa italiana y espanola en el contesto europeo del siglo XXI.

Como ejemplo, hemos publicado en 2018 un primer trabajo en la revista TheAstronomical Journal ([6]). Su contenido versa sobre la binaria MCA 74 Aa,Ab, que

Luca Piccotti SII 43

tiene a la vez orbita visual y espectroscopica, ademas de paralaje Gaia. Como eshabitual, la masa total del sistema se calcula a partir de la Tercera Ley de Kepler:

M1 +M2 =

(a′′

π′′

)3 1

(P [anos])2=

(a [UA])3

(P [anos])2.

Teniendo en cuenta los valores de los elementos P y a” de la orbita visual:

P = 6, 321± 0, 010 anos

a′′ = 0′′, 189± 0′′, 002

La paralaje Gaia

π′′Gaia = 0′′, 044900± 0′′, 000557,

nos permite obtener el semieje mayor en UA (Unidades Astronomicas), segun:

a =a′′

π′′= 4, 2094± 0, 0686 UA.

El resultado de la suma de masas es: M1 + M2 = 1,867 ± 0,091 M, donde Mdenota la masa solar. Por otra parte, podemos calcular el semieje mayor de la orbitade la componente principal con respecto al centro de masas con esta expresion ([2]):

a1 =K1

√1− e2

n sen i,

donde hemos tomado K1 de la orbita espectroscopica y la excentricidad, e, el mo-vimiento medio, n = 2π

P , y la inclinacion, i, de la orbita visual. Hemos podido asıobtener tambien el semieje mayor de la orbita de la secundaria con respecto al centrode masas, a2, mediante a2 = a - a1. Por ultimo, recordando que M2/M1 = a1/a2,podemos determinar las masas individuales M1 y M2 de las componentes de estesistema.

Pasemos ahora a comentar brevemente otros trabajos conjuntos con colegasitalianos. El primero de ellos esta realizado en colaboracion con un grupo de inves-tigacion del Observatorio Astronomico de Roma, en Monte Porzio Catone. Hemosseleccionado una lista de binarias que tienen a la vez orbita visual, definitiva o casi(de grados 1 y 2 en el Catalogo de Washington, ORB6, [7]), y espectroscopica conte-nida en el Noveno Catalogo de orbitas de binarias espectroscopicas SB9 ([8]). Estasson las binarias que pueden darnos la maxima informacion acerca de su paralajeorbital, masas individuales, luminosidades, edades y caminos evolutivos.

Otro trabajo realizado en colaboracion con el grupo de investigacion italianode la Universidad de Roma ”La Sapienza” es el presentado en las XVII Jornadasde Trabajo en Mecanica Celeste (http://www.usc.es/astro/17jtmc/). Como ya semenciono, este ano se celebraron los 75 anos de fundacion del Observatorio y enesta ocasion el OARMA organizo dichas Jornadas. Usando un modelo newtoniano,nuestro objetivo ha sido estudiar el movimiento de dos y tres objetos compactos


(estrellas de neutrones o agujeros negros) justamente antes de la colision final quegenera la emision de ondas gravitatorias.

En este sentido, los casos que hemos considerado son:1) El problema de dos cuerpos: caso circular; 2) El problema de tres cuerpos: ex-tension al caso elıptico; 3) El problema de tres cuerpos: la solucion triangular (casocircular); 4) El problema de tres cuerpos: la solucion rectilınea (caso circular); 5) Elproblema de tres cuerpos restringido circular (todavıa en progreso).

Bibliografıa

[1] Abad, A., Barrio, R., Blesa, F. y Rodrıguez, M. (2011). TIDES tutorial: In-tegrating ODEs by using the Taylor Series Method, Monografıas de la RealAcademia de Ciencias Exactas, Fısicas, Quımicas y Naturales de Zaragoza.

[2] Abad, A., Docobo, J. A. y Elipe, A. (2017). Curso de Astronomıa. Segundaedicion, Prensas de la Universidad de Zaragoza. ISBN: 978-84-16935-67-3.

[3] Docobo, J. A. (1977). Aplicacion de la Teorıa de Perturbaciones al Estudio deSistemas Estelares Triples, Tesis Doctoral, Universidad de Zaragoza, facultadde ciencias.

[4] Docobo, J. A. (1985). On the analytic calculation of visual double star orbits,Celestial Mechanics, 36, pp. 143-153.

[5] Docobo, J. A. (2012). The use of Docobo’s analytic method for calculating vi-sual double star orbits, Proceedings of Orbital Couples: Pas de Deux in theSolar System and the Milky Way. Editor: Arenou, F. and Hestroffer, D. / Ob-servatoire de Paris. ISBN: 2-910015-64-5.

[6] Docobo, J. A., Tamazian, V. S., Campo, P. P. y Piccotti, L. (2018). VisualOrbit and Individual Masses of the Single-lined Spectroscopic Binary 94 AQRA (HD 219834A; MCA 74), The Astronomical Journal, Volume 156, Issue 3,article id. 85, 5 pp.

[7] Hartkopf, W. I., Mason, B. D. y Worley, C. E. (2001). The Sixth Catalog ofOrbits of Visual Binary Stars, ORB6, The Astronomical Journal, Volume 122,Issue 6, pp. 3472-3479, https://ad.usno.navy.mil/wds/orb6/orb6orbits.html.

[8] Pourbaix, D., Tokovinin, A.A, Batten, A.H., Fekel, F.C., Hartkopf, W.I., Le-vato, H., Morell, N.I., Torres, G. y Udry, S. (2004). SB9: The ninth catalogueof spectroscopic binary orbits, Astronomy & Astrophysics, 424, pp. 727-732,http://sb9.astro.ulb.ac.be.



Investigando el interior de un horno industrialArea de Matematica Aplicada

Branca Garcıa CorreaITMATI - Universidade Santiago de Compostela

6 de febrero de 2019

Introduccion

El objetivo es estudiar el comportamiento fısico de un horno de arco electrico,ası como desarrollar una herramienta de simulacion numerica que permita realizarensayos en cambios de materiales, dimensiones de los componentes o condiciones deoperacion, evitando la construccion de prototipos y a un bajo coste economico.

El horno de arco electrico estudiado se utiliza en la industria para la produccionde silicio y derivados. Este horno consta de tres electrodos suspendidos sobre unacuba (ver Figura 1). Los electrodos son alimentados con corriente electrica, de formaque entre sus puntas y el fondo de la cuba se forma un arco electrico, que dalugar a temperaturas entorno a los 2500oC. Dichas temperaturas provocan que sedesencadenen las reacciones quımicas necesarias para que las substancias contenidasen la cuba se transformen en los materiales que se desean producir. Dado que loselectrodos se consumen en la punta debido a las altas temperaturas, los materialesde los mismos se reponen en la parte superior, al mismo tiempo que los electrodosdescienden.

Figura 1: Horno de arco electrico (izquierda) y detalle de un electrodo (derecha).

Palabras Clave: simulacion numerica; horno de arco electrico; problema 3D; problema mul-tifısico.

45

46 SII Investigando el interior de un horno industrial

Modelizacion matematica

La geometrıa sobre la que se resuelven los modelos consta exclusivamente de lostres electrodos, rodeados por sus respectivas placas de alimentacion. Cada uno delos electrodos esta formado por un nucleo de barras de grafito unidas entre sı y poruna pasta carbonosa que lo rodea. Esta pasta, al ser depositada en la parte superiordel electrodo esta en forma de briquetas, pero una vez que alcanza una temperaturaaproximada de 400oC, se cuece y solidifica.

El problema que se plantea incluye la resolucion de tres modelos: mecanico,electromagnetico y termico.

Los modelos electromagnetico y termico estan acoplados: por una parte, laspropiedades electromagneticas de los materiales dependen de la temperatura y porotra, el calor generado por efecto Joule (debido al paso de la corriente a traves delos electrodos) es la principal fuente del modelo termico.

Por otro lado, el modelo mecanico depende del termico, pues las propiedadesmecanicas y la ley constitutiva dependen de la temperatura. Ademas, el dominiode calculo del problema mecanico esta determinado por el campo de temperaturas,pues debe incluir unicamente la parte de la pasta cocida.

Modelo electromagnetico

Partiremos de las ecuaciones de Maxwell, que relacionan los fenomenos electro-magneticos con las cargas y corrientes que los producen. En forma diferencial,

∂D∂t− curlH = −J ,

∂B∂t

+ curlE = 0,

divB = 0,

divD = ρv,

(1)

donde D es el desplazamiento electrico, E es el campo electrico, B es la induccionmagnetica, H es el campo magnetico, J es la densidad de corriente electrica y ρves la densidad de carga electrica. Todos estos campos dependen de las coordenadasespaciales x ∈ R3 y del tiempo t ≥ 0.

Estas ecuaciones se completan con las siguientes leyes constitutivas, que descri-ben el comportamiento electro-magnetico de los materiales. En un caso isotropo (laspropiedades de los materiales no dependen de la direccion) y lineal (las propiedadesson independientes del campo aplicado), se tienen:

B = µH,

D = εE,

donde µ es la permeabilidad magnetica y ε la permitividad electrica, y ambas sonfunciones escalares acotadas que dependen de la posicion x ∈ R3.

Branca Garcıa Correa SII 47

Se considera ademas la llamada ley de Ohm, que relaciona la densidad de co-rriente en los conductores con el campo electrico. En un medio lineal isotropo es:

J = σE,

donde σ es la conductividad electrica, que es positiva en los conductores y nula enel dielectrico.

Dado que la corriente electrica suministrada al horno es alterna con una fre-cuencia muy baja, se puede despreciar el termino del desplazamiento electrico en elsistema (1) y considerar el modelo de eddy currents o corrientes inducidas.

Ademas, debido a la alimentacion con corriente alterna y dado que los materialesson lineales, se tiene que todos los campos varıan sinusoidalmente con el tiempo:

F(x, t) = Re[F(x)eiωt],

donde F es un campo complejo (llamado fasor) y ω = 2πf es la frecuencia angular.Usando esta expresion, se tiene el modelo de eddy currents armonico en tiempo

(para mas detalles, ver [1]):

curl H = J,

iωµH + curl E = 0,

div B = 0,

B = µH,

J = σE.

Estas ecuaciones estan definidas en todo el espacio, pero para resolver el proble-ma usando elementos finitos, es necesario definir un dominio acotado (Ω ⊂ R3), asıcomo condiciones de contorno adecuadas sobre la frontera del mismo. Para poderimponer estas condiciones, se considera el dominio formado por los tres electrodos,con sus respectivas placas de alimentacion rodeados por un cilindro de aire. De estamanera, se puede considerar que el campo magnetico es tangencial a la frontera:

µH · n = 0 en ∂Ω.

Esta condicion no es suficiente para resolver el problema, pues se necesita definir lafuente electromagnetica. Para ello, este modelo distribuido se acopla con un modelode circuito en el que se tienen en cuenta los transformadores, los tubos de alimen-tacion de las placas y los arcos no lineales formados en la punta de cada electrodo.El acoplamiento se define en la zona de las placas en contacto con los tubos dealimentacion y en la punta del electrodo, donde se forma el arco. Una descripcionmas exhaustiva del modelo de circuito se puede encontrar en [2].

Modelo termico

Los electrodos sufren un deslizamiento vertical para reponer los materiales quese consumen en la punta debido a las altas temperaturas, pero este movimiento


es lento, por lo que se considera la ecuacion de transferencia de calor en estadoestacionario:

−div(k(x, T )gradT (x)) = FT (x),

donde T es la temperatura, k es la conductividad termica y FT es la fuente de calordebida al efecto Joule, que se calcula resolviendo el modelo electromagnetico:

FT (x) =ω

2π

∫ 2π/ω

0J (x, t) · E(x, t) dt.

La ecuacion de transferencia de calor se resuelve en el dominio formado por los treselectrodos, y sobre su frontera se imponen condiciones de contorno adecuadas:

En la zona del electrodo sumergida en la mezcla se impone una condicionDirichlet de temperatura dada: T = Tdato

En las zonas en las que el dominio esta en contacto con el aire, que esta adistinta temperatura, se produce una transferencia de calor por conveccion.Ademas, en las zonas donde la frontera se encuentra enfrentada a otra super-ficie a distinta temperatura, se produce un intercambio de calor por radiacionentre ambas superficies a traves del aire. En particular,

k∂T

∂n= h(Tc − T ) + σε(T 4

r − T 4),

donde Tc es la temperatura de conveccion (la del fluido en contacto con lafrontera), Tr es la temperatura de radiacion (la de la superficie enfrente de lafrontera), h es el coeficiente de transferencia de calor, ε ∈ [0, 1] es el coeficientede emisividad y σ es la constante de Stefan-Boltzmann (5,669×10−8W/m2K4).

Modelo mecanico

Debido al interes de construir mallas extremadamente finas en las uniones ros-cadas entre las barras de grafito del nucleo, se decide resolver el problema mecanicoen una seccion meridional del electrodo. Se modela como un problema termoelasticolineal a traves de la ecuacion del equilibrio de la elastostatica:

divσ + f = 0, (2)

donde σ es el tensor de tensiones y f la fuerza volumica (peso del electrodo).

En el caso axisimetrico, el tensor de tensiones y el de deformaciones, que sedefine como la parte simetrica del gradiente del desplazamiento u, tienen la forma:

σ =

σr 0 τrz0 σθ 0τrz 0 σz

, ε =

εr 0 εrz0 εθ 0εrz 0 εz

.

Branca Garcıa Correa SII 49

En consecuencia, se puede reescribir la ecuacion tensorial (2) como:

∂σr∂r

+∂τrz∂z

+1

r(σr − σθ) + fr = 0,

∂τrz∂r

+∂σz∂z

+1

rτrz + fz = 0.

Estas ecuaciones se completan con una ley constitutiva que relaciona el tensor detensiones y el de deformaciones:

σrσθσzτrz

= [D]

εrεθεzγrz

−αr(T − T0)αθ(T − T0)αz(T − T0)

0

,

donde T0 es la temperatura de referencia, (αr, αθ, αz) son los coeficientes de expan-sion termica en cada direccion y [D] es una matriz que depende de los parametroselasticos (ver [3]). Ademas, se tiene que γrz = 2εrz.

Este modelo se resuelve sobre el dominio formado por la parte solida del elec-trodo, es decir, se excluye la parte de la pasta no cocida (que no ha alcanzado latemperatura de coccion). Sobre la frontera se aplican las condiciones:

Desplazamiento vertical nulo en la parte superior del electrodo: uz = 0.

Desplazamiento horizontal nulo en la parte en contacto con la placa: ur = 0.

Peso de la pasta lıquida sobre la frontera en contacto con la misma:

σn = ρg(z(r)− zfree(r))n,

donde ρ es la densidad de la pasta lıquida, g la aceleracion de la gravedad yzfree la coordenada axial maxima de la pasta lıquida.

Fuerza nula en el resto de la frontera: σn = 0.

Ademas, en las zonas roscadas se resuelve un problema de contacto no lineal, queimpide la penetracion de los materiales, pero permite el deslizamiento y una eventualseparacion de los mismos (ver [2]).

Resolucion numerica

Para realizar la simulacion completa de los tres modelos involucrados se sigueel esquema de la Figura 2. En el se parte de una temperatura inicial, a la cualse evaluan las propiedades electromagneticas de los materiales. A continuacion, seresuelve dicho modelo, obteniendo el efecto Joule, que se introduce como fuenteen la siguiente resolucion termica. Este proceso se repite tantas veces como seanecesario hasta que la temperatura de una iteracion sea lo suficientemente similar a


la de la iteracion previa, momento en el que se considera resuelto el modelo termo-electromagnetico. Se extrae una seccion axial de la temperatura obtenida y se utilizapara evaluar las propiedades mecanicas y la ley constitutiva, ası como para recortarla geometrıa eliminando la pasta con una temperatura inferior a los 400oC.

Figura 2: Algoritmo de resolucion del modelo multifısico.

Conclusiones

El comportamiento del horno ha sido correctamente modelado, lo que permitemejorar el proceso industrial reduciendo costes. Ademas, debido a que se ha consi-derado una geometrıa 3D, se han podido tener en cuenta condiciones de contornoy de operacion no axisimetricas, ası como observar los efectos de proximidad (lainfluencia electromagnetica de un electrodo sobre los otros).

Bibliografıa

[1] Bermudez de Castro, A., Gomez, D. y Salgado, P. (2014). Mathematical modelsand numerical simulation in electromagnetism, Springer.

[2] Garcıa-Correa, B. (2018). 3D Multiphysics simulation of electrodes in an elec-tric arc furnace, Trabajo de fin de Master, Universidade de Santiago de Com-postela.

[3] Zienkiewicz, O. C. y Taylor, R. L. (2000). The Finite Element Method. Volume1: the Basis, Butterworth-heinemann.



Big Data para Dummies: introduccion a los modelos deregresion lineal en alta dimension

Area de Estadıstica e Investigacion Operativa

Laura Freijeiro GonzalezUniversidade de Santiago de Compostela

20 de febrero de 2019

¿Que se entiende por Big Data?

El avance de diversos campos y medios tecnologicos hace que cada vez sea mayorel volumen de datos con el que nos encontramos diariamente. Por ejemplo, algo tanusual como internet produce cada segundo una inmensa cantidad de informacion ala que todos contribuimos. Ante la necesidad de saber manejar y aprovechar estainformacion nace el termino Big Data, el cual se define comunmente a traves de lasdenominadas “cinco uves” :

Volumen: caracterıstica que impulsa el nombre. Designa el gran tamano quealcanzan las actuales bases de datos a tratar.

Velocidad: hace referencia a la rapidez de generacion de nuevos datos y portanto a la necesidad de un procesamiento raudo y eficiente de los mismos.

Variedad: expresa la diversidad de formatos en los que puede obtenerse lainformacion hoy en dıa (imagenes, mensajes, sensores, senales de GPS... ).

Veracidad: referente a la calidad de la informacion proporcionada ası comoal grado de confianza suministrado por esta.

Valor: medicion del grado de importancia o relevancia que posee la informa-cion de estudio para un determinado fin.

En este contexto, los modelos de regresion usuales dejan de funcionar deforma adecuada y, por tanto, es necesario recurrir a modificaciones o alternativas.

¿Que es un modelo de regresion?

Los tradicionalmente conocidos como modelos de regresion permiten explicaruna variable de interes, denominada variable respuesta (Y), como puede ser el nivelde glucosa de un paciente diabetico, en base a un determinado conjunto de variables

Palabras Clave: estadıstica; big data; regresion lineal; LASSO; RIDGE.

51

52 SII Big Data para Dummies

que guardan relacion con esta, las llamadas covariables explicativas (X). Un ejemplode estas ultimas serıan determinadas medidas sanitarias de dicho paciente.

De forma matematica la regresion se formaliza como

Y = m(X) + ε, (1)

donde m(x) = E(Y |X = x), con x ∈ Rp, es la media condicionada de la variablerespuesta en funcion del valor que tomen las covariables explicativas y ε es un errorno observable. En la Figura 1 se muestran algunos ejemplos de modelos de regresion.

Figura 1: Ejemplos de modelos de regresion en dos dimensiones, tomando comocovariable explicativa X y como variable respuesta Y.

Estos modelos persiguen dos objetivos: realizar predicciones para valores no ob-servados y analizar como influye cada covariable explicativa sobre la variable res-puesta, determinando las covariables mas relevantes.

El modelo lineal multiple

El modelo de regresion lineal multiple es un caso particular de modelode regresion donde m(X) adopta una estructura lineal en (1). De esta forma, seexpresa la dependencia de una variable respuesta continua Y en base a p covaria-bles explicativas que aportan informacion de la variable inicial, (X1, ... , Xp) = X,mediante una combinacion lineal. Para poder expresar y construir este modelo seasumen tradicionalmente cuatro hipotesis: linealidad, homocedasticidad, normalidade independencia.

La suposicion de linealidad se fundamenta en la existencia de una relacion linealentre las variables, obteniendo, por tanto, que el modelo sera de la forma

Y = β0 + β1X1 + ···+ βpXp + ε con β0, β1, ... , βp ∈ R. (2)

Laura Freijeiro Gonzalez SII 53

Por su parte, las hipotesis de normalidad, independencia y homocedasticidad ga-rantizan que si tomamos una muestra de tamano n,

(Yi, Xi = (Xi1, ... , Xip)

t) n

i=1,

los errores del modelo (2), ε, siguen una distribucion normal, son independientes ytienen todos la misma varianza, es decir εi i.i.d. N(0, σ2), ∀i = 1, ... , n. De estaforma, la distribucion de la variable Y sera normal y los datos Y1, ... , Yn seran mu-tuamente independientes. Ver [3] para mas informacion.

Ası, bajo la suposicion de diseno fijo (ver [3]), tras tomar una muestra de nelementos, se puede expresar el modelo (2) de forma matricial por Y = Xβ + ε:Y1

...Yn

=

1 x11 ··· x1p...

. . ....

1 xn1 ··· xnp

β0

...βp

+

ε1...εn

,

con Y, ε ∈ Mn×1, X ∈ Mn×(p+1) y β ∈ M(p+1)×1, donde ahora Y y X seranrespectivamente un vector y una matriz de valores conocidos, dados por los datosmuestrales.

A la hora de estimar los parametros del modelo, es decir, el vector β, el metodomas empleado es el de mınimos cuadrados (Figura 2). La filosofıa de este metodose basa en minimizar los errores cometidos al aproximar el valor de una variable porel obtenido con el modelo, obteniendose el estimador

β = arg mınβ

(Y −Xβ)t(Y −Xβ) = arg mınβ‖Y −Xβ‖2 = arg mın

βφ(β). (3)

De esta forma, puesto que (3) es un problema de optimizacion convexa, bastaderivar e igualar a cero para obtener su mınimo. Esto da lugar a las denominadasecuaciones normales de regresion: XtXβ = XtY . Por tanto, habra solucionunica para las ecuaciones normales cuando exista (XtX)−1 y esta vendra dada por

β = (XtX)−1XtY.

Los problemas aparecen en contextos de alta dimension donde el numero decovariables explicativas es mas grande que el numero de muestras de las que dispo-nemos1, p > n. Dado que X ∈ Mn×(p+1) y XtX ∈ M(p+1)×(p+1), la matriz XtXes singular y por tanto no vamos a poder definir su inversa de forma unica.

Corolario 1. Sean p > n, A ∈ M(p+1)×n y B ∈ Mn×(p+1). Entonces, dado querango(A) ≤ n y rango(B) ≤ n, se tiene que rango(AB) ≤ n:

rango(AB) ≤ rango(A) y rango(AB) ≤ rango(B)⇒ rango(AB) ≤ n.1En el caso de p = n se trabajarıa con los datos centrados (Y = Y − Y y xj = xj − xj ,

∀j = 1, ... , p) para garantizar que ∃(XtX)−1 ∈ Mp×p, pues en este contexto β0 = 0 y se puedeprescindir de la primera columna de X.


Usando el Corolario 1 se puede demostrar que XtX es singular cuando p > n.

Demostracion:Existira la inversa de la matriz XtX ∈ M(p+1)×(p+1), de forma unica, cuando sudeterminante sea distinto de cero, lo cual equivale a que

∃(XtX)−1 ⇔ |XtX| 6= 0 ⇔ rango(XtX) = p+ 1.

Por el Corolario 1 se tiene garantizado que rango(XtX) ≤ n < p de modo que noexiste la inversa de la matriz XtX. 2

Figura 2: Ilustracion del metodo de mınimos cuadrados en tres dimensiones. Estemetodo calcula la hipersuperficie (gris oscuro) que minimiza la suma de los residuosal cuadrado, siendo estos las distancias a los datos muestrales (esferas).

Por tanto, se ve que, tal y como estan formulados los estimadores por mınimoscuadrados en un contexto de Big Data donde p > n, no existe unicidad de losmismos.

¿Que se puede hacer en estos casos?

Para solventar este problema se puede recurrir a versiones penalizadas del me-todo de mınimos cuadrados. En particular, se proponen tres opciones.

Regresion RIDGE

La regresion RIDGE impone una penalizacion de tipo L2 sobre los coefi-cientes de β, solucionando el problema de la no invertibilidad de XtX (vease[2]). De esta forma, el nuevo problema de mınimos cuadrados a resolver serıa:

βRR = mınβ

n∑i=1

yi − β0 −p∑j=1

xijβj

2

+ λ

p∑j=1

βj2

. (4)

Laura Freijeiro Gonzalez SII 55

Regresion LASSO

La regresion LASSO (“Least Absolute Shrinkage and Selection Operator”),vease [5], sigue una filosofıa similar a la regresion RIDGE, salvo que ahora seimpone una penalizacion de tipo L1, obteniendose el problema

βRL = mınβ

n∑i=1

yi − β0 −p∑j=1

xijβj

2

+ λ

p∑j=1

|βj |

. (5)

Tanto en (4) como en (5) las penalizaciones vienen impuestas por el parametroλ > 0. De esta forma, cuanto mayor sea este valor, mas penalizados seran loscoeficientes de β, forzando a que muchos βj sean cero en el caso de la regresionLASSO o a que estos tomen un valor muy proximo a cero sin llegar a anularseen el caso de la regresion RIDGE (ver Figura 3).

Figura 3: Grafica de estimacion de la regresion LASSO (izquierda) y la regresionRIDGE (derecha) en dos dimensiones. Las regiones sombreadas son las areas donde|β1| + |β2| ≤ t y β1

2 + β22 ≤ t2 respectivamente, con t ≈ 1/λ, mientras que las

elipses son los contornos de la funcion de mınimos cuadrados.

Regresion Elastic Net

Finalmente se propone un compromiso entre las penalizaciones L2 y L1 me-diante la regresion Elastic Net (ver [1]), basada en el estimador

βRL = mınβ

n∑i=1

yi − β0 −p∑j=1

xijβj

2

+ λ

p∑j=1

(α|βj |+ (1− α)βj

2) ,

siendo α un parametro tomado de forma que α ∈ (0, 1).

Aplicacion a una base de datos reales

Para ilustrar un ejemplo de esta situacion se va a intentar modelar la tasa demortalidad de los 28 paıses de la UE en el ano 2002 (“Y”), n = 28, en


base a p = 29 variables que describen diversa informacion de los paıses: economıa,bienestar, educacion, salud, estructura social,... Estas se obtuvieron de [4].

Modelo: RIDGE LASSOElastic Net

α = 0,1 α = 0,2 α = 0,5 α = 0,7βj 6= 0 29 10 20 15 12 11% dev. 0,9387 0,9418 0,9425 0,9349 0,9427 0,9416

tiempo (s) 0,13 0,09 0,10 0,11 0,09 0,07

Tabla 1: Resultados de los distintos modelos propuestos. Siendo βj 6= 0 el numero de

variables consideradas (coeficientes no nulos del vector de parametros β), % dev. elporcentaje de deviance explicada (medida de bondad de ajuste, vease [3] para masinformacion) y tiempo (s) el tiempo computacional en segundos.

Los resultados obtenidos se recogen en la Tabla 1. En particular, se expone elmodelo que se obtiene mediante la regresion LASSO en (6), la cual permite explicarla tasa de mortalidad con unicamente 10 covariables (aproximadamente un terciode las p = 29 consideradas):

y ' 7,907−0,023 · x1−0,003 · x3 + 0,334 · x5−1,331 · x6−0,119 · x12

−0,08 · x16−0,141 · x21 + 0,432 · x24 + 0,034 · x26 + 0,380 · x29,(6)

siendo

x1 : poblacion

x3 : % poblacion entre 0-14 anos

x5 : % de poblacion de 65 o mas anos

x6 : % crecimiento de la poblacion

x12 : camas hospitalarias (por cada 1000 per-sonas)

x16 : % desempleo, total jovenes (15-24 anos)

x21 : densidad de poblacion (personas porkm2)

x24 : homicidios intencionados (por cada100000 habitantes)

x26 : trabajadores asalariados (empleados),total ( % del empleo total)

x29 : PIB per capita (UMN actual)

Bibliografıa

[1] Hastie, T., Tibshirani R. y Friedman, J. (2009). The elements of StatisticalLearning: Data Mining, Inference and Prediction, Second Edition, Springer.

[2] Hoerl, A. E. y Kennard R. W. (1970). Ridge regression: Biased estimation fornonorthogonal problems, Technometrics, 12(1), pp. 55-67.

[3] Mccullagh, P. y Nelder J. A. (1989). Generalized Linear Models, Second Edition,Chapman and Hall.

[4] The World Bank (https://datacatalog.worldbank.org).

[5] Tibshirani, R. (1996). Regression shrinkage and selection via the lasso, Journalof the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), 58(1), pp. 267-288.



Todos temos un punto debilArea de Xeometrıa e Topoloxıa

Rodrigo Marino VillarUniversidade de Santiago de Compostela

6 de marzo de 2019

Introducion

Sexa (Mn, g) variedade de Riemann de dimension n. Sexa ∇ a conexion de Levi-Civita e sexa R o operador de curvatura con signo R(X,Y ) = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ].O tensor de Ricci, dado por ρ(X,Y ) = trZ 7→ R(Z,X)Y , e a curvatura es-calar, τ = trg ρ, son invariantes altamente investigados (para ver mais detallesconsultar [4]). Hai outros tensores simetricos que aparecen de forma natural en(M, g). Por exemplo, consideramos o tensor R, que se expresa en coordenadas comoRij = RiαβγRj

αβγ . Este e un tensor de tipo (0, 2) simetrico en M , que pode serconsiderado como o mais simple despois do Ricci. Poren, a condicion de que R sexaun multiplo da metrica, e dicir,

R =‖R‖2n

g, (1)

non parece ter recibido atencion na literatura, en contraste coas metricas Einstein,onde o Ricci e da forma ρ = τ

ng.

Unha metrica de Einstein compacta e crıtica para o funcional SR : g 7→∫M ‖R‖2

restrinxido a metricas de volume 1 se e so se se satisfai (1). Ademais, en dimensioncatro tense a igualdade(

R− ‖R‖2

4g

)+ τ

(ρ− τ

4g)− 2

(ρ− ‖ρ‖

2

4g

)− 2

(R[ρ]− ‖ρ‖

2

4g

)= 0,

onde ρij = ρiaρaj e R[ρ]ij = Riabjρ

ab, e mostrouse en [1] que se cumpre (1) paracalquera variedade de dimension catro a partir desta identidade. Isto levou a Euh,Park e Sekigawa a considerar a condicion (1) de forma separada.

Definicion 1. [1] Unha variedade de Riemann non Einstein (M, g) dise debilmente

Einstein se R = ‖R‖2n g .

Como exemplo mais simple temos o seguinte.

Palabras Clave: metricas Einstein; metricas debilmente Einstein; localmente conformementeplano; hipersupeficies.

57

58 SII Todos temos un punto debil

Exemplo 1. Sexa M unha variedade de Riemann produto de duas variedades deRiemann 2-dimensionais M1 e M2 con curvatura seccional constante c e −c (c 6= 0),respectivamente. Enton, M e debilmente Einstein pero non e Einstein.

O noso proposito e investigar a condicion (1) para dar novos exemplos e clasificaras variedades localmente conformemente planas debilmente Einstein e hipersuper-ficies debilmente Einstein no espazo Euclidiano. Para atopar esta informacion conmais detalle pode consultarse [2], onde se recolle toda a informacion deste traballo.

Variedades localmente conformemente planas debilmen-te Einstein

Queremos demostrar o seguinte teorema.

Teorema 1. Sexa (M, g) unha variedade de Riemann localmente conformementeplana. Enton (M, g) e debilmente Einstein se e so se se cumpre algunha das seguintesposibilidades:

(i) dimM = 4 e (M, g) ten curvatura escalar cero.

(ii) dimM 6= 4 e

(ii.a) (M, g) e localmente homotetica a un produto deformado da forma I ×fN(c), con metrica g = dt2+f2gN , onde I e un intervalo real e (N(c), gN )e unha variedade de curvatura seccional constante c ∈ 0,±1. Ademais,a funcion de deformacion1 ven dada por:

(ii.a.1) f(t)2 = t2 − 1, se c = 1, e I = (1,+∞),

(ii.a.2) f(t)2 = t, se c = 0, e I = (0,+∞),

(ii.a.3) f(t)2 = 1− t2, se c = −1, e I = (−1, 1).

(ii.b) (M, g) e localmente simetrica e localmente isometrica a un produto M =Nm

1 (c)×Nm2 (−c), onde m ≥ 2.

Demostracion. Primeiro veremos como e a estrutura alxebrica para dimension tres,pois hai que tratalo dun xeito distinto.

Sexan λα e λβ autovalores para o operador de Ricci. Para n = 3, (M, g) edebilmente Einstein se e so se

(λα − λβ)τ − (λα + λβ) = 0, para todo α, β = 1, 2, 3 .

Resolvendo o sistema anterior obtense que (M, g) de dimension tres e debilmenteEinstein se e so se o operador de Ricci ten rango un (para mais detalles ver [2]).

1Na literatura o usual e atopar este tipo de produtos co nome de produto warped e a funcionde deformacion como funcion warping.

Rodrigo Marino Villar SII 59

Se n ≥ 4, enton (M, g) e localmente conformemente plana se e so se o tensor deWeyl se anula. Enton

R(X,Y )Z = − τ

(n− 2)(n− 1)g(Y,Z)X − g(X,Z)Y

+1

(n− 2)g(QY,Z)X − g(QX,Z)Y + g(Y,Z)QX − g(X,Z)QY ,

onde Q denota o operador de Ricci.

Empregando esta expresion, podemos obter R. Ası, (M, g) e debilmente Einsteinse e so se

(n− 4)Q2 +2τ

n− 1Q−

((n− 4)

n‖ρ‖2 +

2τ2

n(n− 1)

)Id = 0.

Se n = 4, a ecuacion anterior convertese en τ(Q− 1

4τ) = 0. Enton, ou ben (M, g)

e Einstein ou ben τ = 0. Isto proba (i).

Para probar (ii), resta considerar o caso n ≥ 5, para o cal o operador de Ricciten dous autovalores que estan relacionados por

µ = − 2m+ (n− 4)(n− 1)

2(n−m) + (n− 4)(n− 1)λ,

onde m e a multiplicidade do autovalor λ.

A continuacion introducimos o seguinte resultado tecnico que proporciona aestrutura local dunha metrica en base ao estudo dos autoespazos asociados a untensor Codazzi T (i.e., (∇XT )(Y, Z) = (∇Y T )(X,Z) para todo X,Y, Z ∈ TM).

Lema 1. (Merton. [5]) Sexa T un tensor Codazzi nunha variedade de Riemann(Mn, g), n ≥ 3. Sexa λ unha autofuncion de T con autoespazo asociado Vλ. SedimVλ ≥ 2, enton ∇λ e ortogonal a Vλ. Ademais, se T ten exactamente duasautofuncions distintas λ e µ tal que dimVλ ≤ dimVµ, enton

(i) M e localmente un produto se dimVλ ≥ 2.

(ii) M e localmente un produto deformado con base de dimension un e unha fun-cion de deformacion non trivial se, e so se,

(ii.a) dimVλ = 1,

(ii.b) a autofuncion µ non e constante e ∇λ e ortogonal a Vµ.

Por outra banda, se definimos o tensor de Schouten como

S =1

n− 2(ρ− τ

2(n− 1)g),

tense que ([3]):


Se dimM = 3, M e localmente conformemente plana ⇔ S e Codazzi.

Se dim ≥ 4, W = 0 ⇒ S e Codazzi.

E polo que sabiamos sobre o tensor de Ricci, temos que

Se dimM = 3, Q = diag[0, 0, κ] enton S = diag[−1

4κ,−1

4κ,

3

4κ],

Se dimM ≥ 5, Q ten dous autovalores, polo que S tamen ten dous autovaloresdados por

µ =2m+ n− 4

2m− 3n+ 4λ.

Empregamos agora o lema 1.

dimVλ ≥ 2, dimVµ ≥ 2, M divıdese como un produto M1 ×M2 e por serlocalmente conformemente plana, obtense que M = Nn/2(c) × Nn/2(−c) ouR×N(c).

dimVλ = 1, dimVµ = n− 1, a variedade e localmente un produto deformadoda forma M = R×fN(c). Ademais, tense que R×fN(c) e debilmente Einsteinse e so se

0 =(f ′(t)2 − f(t)f ′′(t)− c

) (f ′(t)2 + f(t)f ′′(t)− c

);

proporcionando unha condicion necesaria para a funcion de deformacion f .

Lema 2. Un produto deformado I×fN con fibra N(c) de curvatura seccionalconstante c e debilmente Einstein se, e so se, e homotetico a un dos seguintes:

(i) f(t)2 = t2 − 1, se c = 1, e I = (1,+∞),

(ii) f(t)2 = t, se c = 0, e I = (0,+∞),

(iii) f(t)2 = 1− t2, se c = −1, e I = (−1, 1).

Isto completa a proba do teorema 1.

Hipersuperficies en Rn+1 debilmente Einstein

Queremos demostrar o seguinte resultado.

Teorema 2. Unha hipersuperficie M → Rn+1 e debilmente Einstein se, e so se, ehomotetica a un produto deformado dado no teorema 1.

Rodrigo Marino Villar SII 61

Demostracion. Pola formula de Gauss o tensor de curvatura ven dado porR(X,Y )Z =g(SY, Z)SX − g(SX,Z)SY , onde S e o operador forma, que e Codazzi. Enton Me debilmente Einstein se e so se se cumpre a seguinte relacion para os autovaloresλi de S

0 = (λi − λj)(λi + λj)(mi − 1)λ2i + (mj − 1)λ2

j +∑i 6=k 6=j

mkλ2k.

Polo tanto, estas son as posibilidades:

S = diag[λ, ... , λ], S = diag[λ, 0, ... , 0], S = diag[λ, m..., λ,−λ, n−m... ,−λ],

das cales a unica que non da unha variedade plana e a terceira. Polo tanto temos oseguinte.

Lema 3. Sexa M → Rn+1 unha hipersuperficie. Enton M e debilmente Einstein se,e so se, o operador forma S ten exactamente duas curvaturas principais distintas±λ, i.e., S = diag[λ, m..., λ,−λ, n−m... ,−λ].

Empregamos agora o lema da demostracion anterior para os tensores Codazzi.Temos logo que

dimVλ ≥ 2, λ ∈ R enton M e isoparametrica. Enton M e un conxunto abertode Rn, Sn, Sm×Rn−m, polo tanto S = λId ou S = diag[λ, m..., λ, 0, n−m... , 0], quenon se corresponden con ningunha configuracion do lema anterior.

Se dimVλ = 1, enton M e localmente conformemente plana ([6]), polo tanto(M, g) queda determinada polo teorema 1-(ii.a) cando n 6= 4, polo que e unproduto deformado.

Se dimM = 4, enton Q = (trS)S −S2, logo Q = diag[−3λ2, λ2, λ2, λ2], e polotanto M = I ×f N(c).

Como conclusion, tense que os teoremas 1 e 2 permiten clasificar localmente asvariedades localmente conformemente planas debilmente Einstein e mais as hiper-superficies en Rn+1 debilmente Einstein.

Bibliografıa

[1] Euh, Y., Park, J. e Sekigawa, K. (2013). A curvature identity on a 4-dimensional Riemannian manifold, Result. Math., 63 , pp. 107–114.

[2] Garcıa-Rıo, E., Haji-Badali, A., Marino-Villar, R. e Vazquez-Abal, M.A.(2018). Locally conformally flat weakly-Einstein manifolds, Arch. Math., 111 ,pp. 549–559.


[3] Kuhnel, W. (2015). Differential Geometry, Student Mathematical Library 77,American Mathematical Society, Providence, RI.

[4] Lee, J. (1997). Riemannian manifolds. An introduction to curvature, GraduateTexts in Mathematics 176, Springer-Verlag, New York.

[5] Merton, G. (2013). Codazzi tensors with two eigenvalue functions, Proc. Amer.Math. Soc., 141 , pp. 3265–3273.

[6] Nishikawa, S. e Maeda, Y. (1974). Conformally flat hypersurfaces in a confor-mally flat Riemannian manifold, Tohoku Math. J., 26, pp. 159–168.



RAPOSa, una herramienta gratuita para resolverproblemas de optimizacion polinomica

Area de Estadıstica e Investigacion Operativa

Brais Gonzalez RodrıguezUniversidade de Santiago de Compostela

20 de marzo de 2019

Reformulation-Linearization Technique

La “Reformulation-Linearization Technique” (RLT), introducida en [1], es unatecnica que sirve para resolver problemas de optimizacion polinomica garantizandola convergencia a un optimo global.

Definicion 1. Se define un problema de optimizacion polinomica como

minimizar φ0(x)sujeto a φr(x) ≥ βr, r = 1, ... , R1,

φr(x) = βr, r = R1 + 1, ... , R,x ∈ Ω ⊂ Rn.

donde φr(x) son polinomios, N = 1, ... , n es el conjunto de variables y Ω = x ∈Rn : 0 ≤ lj ≤ xj ≤ uj < ∞ ∀j ∈ N ⊂ Rn es un hiperrectangulo (las cotas lj y ujson numeros reales no negativos).

Observacion 1. El algoritmo RLT original solamente es capaz de resolver proble-mas con variables no negativas, tal y como se puede deducir de la definicion delconjunto Ω. Sin embargo, esto se puede solucionar sustituyendo las variables quetomen valores negativos por las correspondientes variables trasladadas.

A continuacion, introduciremos el concepto de “bound factor”, clave en el des-arrollo del algoritmo RLT.

Definicion 2. Dado un problema de programacion polinomica de grado δ, se definenlos “bound factors” como las restricciones de desigualdad dadas por xj − lj ≥ 0 yuj − xj ≥ 0 para todo j ∈ N = 1, ... , n.

El algoritmo RLT genera todas las restricciones posibles que surgen del productode δ “bound factors”, dadas por Fδ(J1, J2) =

∏j∈J1 (xj − lj)

∏j∈J2 (uj − xj) ≥ 0

para todo J1 ∪ J2 ⊂ N δ y |J1 ∪ J2| = δ.

Palabras Clave: optimizacion; polinomica; algoritmo; global.

63

64 SII RAPOSa, resolucion de problemas de optimizacion polinomica

Ademas, se puede demostrar que el numero de restricciones ası generadas vienedado por (

2n+ δ − 1

δ

).

Otro de los ingredientes del algoritmo RLT es la definicion de unas nuevas va-riables, que se conocen como variables RLT.

Definicion 3. Dado un problema de programacion polinomica de grado δ, se definenlas variables RLT como XJ =

∏j∈J xj para todo J ⊂ N δ, 2 ≤ |J | ≤ δ. Dado que

distintos subconjuntos de N δ pueden representar el mismo monomio, supondremosque los ındices de J en XJ estan en orden creciente.

Se puede ver facilmente, que el numero de variables RLT viene dado por(n+ δ

δ

)− (n+ 1).

A continuacion, se muestra la linealizacion inicial de un problema polinomico,fundamental en el desarrollo del algoritmo.

Definicion 4. Dado el problema de programacion polinomica PP (Ω) como el de laDefinicion 1, se define el problema linealizado LP (Ω) de la siguiente forma:

minimizar [φ0(x)]Lsujeto a [φr(x)]L ≥ βr, r = 1, ... , R1,

[φr(x)]L = βr, r = R1 + 1, ... , R,[∏j∈J1 (xj − lj)

∏j∈J2 (uj − xj)]L ≥ 0, ∀J1 ∪ J2 ⊂ N δ, |J1 ∪ J2| = δ,

x ∈ Ω ⊂ Rn

donde [·]L denota la linealizacion del polinomio correspondiente que se construyesustituyendo todos los monomios de grado mayor que 1 por sus correspondientesvariables RLT.

Ası, hemos pasado de un problema polinomico PP (Ω) con n variables y R res-tricciones a un problema lineal LP (Ω) con n+

(n+δδ

)−(n+1) variables y R+

(2n+δ−1

δ

)restricciones. Ademas, se puede ver que el problema LP (Ω) es una relajacion delproblema PP (Ω), lo cual implica que cualquier punto factible en el problema PP (Ω)(esto es, que cumpla todas las restricciones del problema) sera factible tambien enla relajacion LP (Ω).

Ahora que ya tenemos todos los ingredientes necesarios, procedemos a explicaresquematicamente como funciona el algoritmo.

Paso 1: Construir la relajacion lineal LP (Ω) y resolverla.

Paso 2: Decidir cual es la variable por la cual debemos ramificar, siguiendo elcriterio explicado en [1]. Ramificar por dicha variable, creando ası dos nuevossubproblemas. Los nuevos subproblemas se meteran en una cola que de ahoraen adelante contendra todos los problemas que aun no se hayan resuelto.

Brais Gonzalez Rodrıguez SII 65

Paso 3:

• Paso 3.1: Decidir, siguiendo un cierto criterio, cual es el siguiente proble-ma a resolver de los que estan en la cola.

• Paso 3.2: Resolver el problema y decidir cual es la variable de ramificacion(si la hubiese). En caso de que la haya, pasar al siguiente paso; en casocontrario volver al paso 3.1.

• Paso 3.3: Crear los dos nuevos subproblemas asociados, meterlos en lacola y volver al paso 3.1.

En [1] se puede ver que el anterior algoritmo converge a un optimo local delproblema polinomico original. Ademas, en el proceso se iran generando cotas, tantosuperiores como inferiores, del valor optimo del problema. Esto nos permitira finali-zar el algoritmo o bien cuando hayamos resuelto todos los nodos y la cola este vacıao bien cuando la diferencia entre las cotas sea relativamente pequena.

Observacion 2. Es importante destacar que el esquema anterior resume las prin-cipales etapas del algoritmo, pero no incluye algunas de ellas debido a la extensionde esta memoria. Tampoco se explicara aquı como calcular las cotas inferiores y su-periores, ası como decidir por que variable ramificar. Todo esto puede verse en [1].

RAPOSa, una implementacion del RLT

RAPOSa (“Reformulation Algorithm for Polynomial Optimization - Santiago”)es una herramienta desarrollada por investigadores1 de la Universidad de Santiago deCompostela (USC) y del Instituto Tecnologico de Matematica Industrial (ITMATI).Dicha herramienta se basa en el algoritmo RLT explicado en la seccion anterior pararesolver problemas de optimizacion polinomica de forma global.

Dicha implementacion se ha realizado de forma eficiente en C++, ademas de sercompatible con el lenguaje de programacion matematica AMPL [3].

Es importante destacar que la actual implementacion incluye diversas mejorascon respecto al algoritmo original. La primera de ellas es la que puede verse en[2], que reduce significativamente el numero de restricciones de los subproblemaslineales. Otra mejora es el uso de arranques en caliente, lo que permite a RAPOSaaprovechar informacion de los subproblemas lineales anteriores para resolver uncierto subproblema.

Por otra parte, tambien se ha desarrollado una version paralela del algoritmo,el cual ha demostrado ser altamente paralelizable.

En la pagina web www.itmati.com/RAPOSa/index.html pueden verse graficascomparativas entre RAPOSa y las principales herramientas de optimizacion globaldisponibles en el mercado. Ademas, se puede descargar la herramienta de formacompletamente gratuita y ver una explicacion detallada de su funcionamiento.

1Julio Gonzalez Dıaz, Brais Gonzalez Rodrıguez, Angel M. Gonzalez Rueda, Joaquın OssorioCastillo, David Rodrıguez Penas y Diego Rodrıguez Martınez

66 SII RAPOSa, resolucion de problemas de optimizacion polinomica

Bibliografıa

[1] Sherali, H. D. y Tuncbilek, C. H. (1992). A global optimization algorithm forpolynomial programming problems using a reformulation-linearization techni-que, Journal of Global Optimization, 2(1), pp. 101–112.

[2] Dalkiran, E. y Sherali, H. D. (2013). Theoretical filtering of RLT bound-factorconstraints for solving polynomial programming problems to global optimality,Journal of Global Optimization, 57(4), pp. 1147–1172.

[3] Fourer, R., Gay, D.M. y Kernighan B. W. (1990). AMPL: A MathematicalPrograming Language, Management Science, 36, pp. 519–554.



La derivada de Schwarz en dinamica discretaArea de Analisis Matematico

Sebastian Buedo FernandezUniversidade de Santiago de Compostela

3 de abril de 2019

Breve introduccion sobre dinamica discreta

La teorıa de sistemas dinamicos esta motivada por el interes en la compren-sion de aquellos fenomenos (fısicos, quımicos, biologicos, ecologicos, sociales...) queevolucionan con el tiempo. Una vez propuesto un modelo que se ajuste a las obser-vaciones, el objetivo es obtener informacion sobre su comportamiento a largo plazo.En ocasiones, las observaciones de dicho fenomeno se realizan de manera periodica,por lo que obtenemos informacion de manera claramente “discreta”. Si queremosestudiar estos modelos desde el punto de vista matematico, debemos seleccionar unconjunto X de estados posibles y analizar como una “regla de evolucion” f dentrode dicho conjunto X, aquella que describa adecuadamente al fenomeno, lleva unosestados en otros. Ası, dado x0 ∈ X, estamos interesados en saber que ocurre con lasucesion

x0 → f(x0)→ f(f(x0))→ f(f(f(x0)))→ ... ,

definida por xn = fn(x0)1 o, en formato recursivo, por

xn+1 = f(xn), n ∈ N, (1)

que denominamos ecuacion en diferencias. Dicho de otro modo, decimos que el par(X, f) forma un sistema dinamico discreto [9].

Una pregunta interesante dentro del estudio de la dinamica de (1) es si existenestados que “atraen” a otros a medida que las iteraciones de f crecen, es decir, si,a largo plazo, el fenomeno tendera a mostrar o a ser cercano a un cierto estadoo conjunto de estados. Para ello, debemos formalizar que significa “estar cerca” y“atraer”. Asumir que X esta dotado de una metrica que lo hace completo y quef : X → X es una funcion continua es una situacion suficientemente manejable ygeneral como para formalizar y estudiar dicho problema en muchos casos de interes.Por ejemplo, podrıamos estudiar dinamica discreta en espacios de Banach [4] y, enparticular, en espacios euclidianos como R, que es el caso en el que nos centraremos.

Palabras Clave: dinamica discreta; derivada de Schwarz; equilibrio; estabilidad global; esta-bilidad local; orbita periodica.

1En dinamica discreta es comun utilizar esta notacion para referirse a la composicion de n vecesla funcion f y no debe confundirse con la potencia n-esima de f [3].

67

68 SII La derivada de Schwarz en dinamica discreta

En nuestro contexto, mostraremos la importancia de los puntos fijos de las ite-radas de f (funciones fm, m ∈ Z+) en el comportamiento a largo plazo de (1).

Pare empezar, decimos que p ∈ X es un equilibrio de (1) si p es un punto fijode f , i.e. f(p) = p. En este contexto, los siguientes conceptos hacen referencia alcomportamiento de (1) en relacion a un equilibrio [3, 4]:

Un equilibrio p es estable si para todo entorno U de p, existe otro entorno V dep, de tal manera que fn(x) ∈ U , para cualesquiera n ∈ N y x ∈ V .

Un equilibrio p atrae puntos localmente si existe W entorno de p, tal que paratodo x ∈ W , fn(x)→ p, cuando n→∞. En particular, si X, que es entorno de p,satisface la anterior condicion, entonces decimos que p atrae puntos globalmente.

La cuenca de atraccion inmediata de un equilibrio p que atrae puntos localmente,If (p), es la componente conexa del conjunto x ∈ X : fn(x) → p, n → ∞ quecontiene a p.

Un equilibrio p es localmente asintoticamente estable (L.A.S.) si es estable yatrae puntos localmente. Analogamente, un equilibrio p es globalmente asintotica-mente estable (G.A.S.) si es estable y atrae puntos globalmente2.

En general, tambien podemos hablar de comportamiento periodico: si m ∈ Z+,decimos que p es un punto m-periodico si es un punto fijo de fm. El conjuntoγp := p, ... , fm−1(p) es una orbita (m-)periodica.

Como fm no es mas que otra aplicacion de X en sı mismo y un punto m-periodico es un equilibrio para la ecuacion en diferencias con fm, los conceptosque anteriormente definimos para equilibrios se extienden directamente a puntosm-periodicos.

Dinamica discreta en R y equilibrios L.A.S.

En particular, el estudio de la dinamica en el caso de una ecuacion en dife-rencias en R ha suscitado gran interes en las ultimas decadas [3, 9]. Ademas, laspeculiaridades de R facilitan la comprension y prueba de muchos resultados.

Una de las facilidades de trabajar con una ecuacion en diferencias en R es quepodemos hacernos una idea del comportamiento a largo plazo de un estado ini-cial utilizando el analisis grafico [3] (ver Figura 1). Para ver como evoluciona unestado inicial x0, lo representamos por (x0, x0), tomamos su “imagen” en el grafo(x0, f(x0)) = (x0, x1) y nos trasladamos a la diagonal. Desde allı, se repite el procesodonde x1 hace el papel de x0 y ası sucesivamente tantas veces como consideremos.

De ahora en adelante, asumiremos que X es un intervalo cerrado de R. Paraempezar, mostramos una interesante propiedad presente en [8] que hace referenciaal comportamiento cerca de un equilibrio de (1) y que no se satisface en Rn, n > 1.

Proposicion 1. Si p es un equilibrio de (1), entonces p atrae puntos localmente siy solo si p es L.A.S.

2L.A.S y G.A.S. son las siglas en ingles de los conceptos que acabamos de definir (locally yglobally asymptotically stable, respectivamente) y suelen usarse en el argot de dinamica discreta.

Sebastian Buedo Fernandez SII 69

xn

xn+1

f

Figura 1: Representacion de unas cuantas iteraciones de f .

Para verificar estas propiedades, la siguiente proposicion proporciona, para fun-ciones suficientemente regulares, una condicion suficiente y relativamente manejable.

Proposicion 2. Si p es un equilibrio de (1), f es de clase C1 y |f ′(p)| < 1, entoncesp atrae puntos localmente.

Ademas, si |f ′(p)| > 1, p no es estable y, por tanto, no es L.A.S. Ası, |f ′(p)| ≤ 1es una condicion necesaria para que un equilibrio sea estable o, en concreto, L.A.S.

La siguiente pregunta es natural: ¿existiran condiciones igual de manejables paragarantizar propiedades de atraccion global en alguna clase general de ecuaciones endiferencias? La respuesta es afirmativa y una de las herramientas que podemosemplear sera la derivada de Schwarz.

Derivada de Schwarz y equilibrios G.A.S.

En lo sucesivo, supondremos tambien que f : X → X es una funcion de claseC3. Definimos la derivada de Schwarz de f como la funcion

Sf(x) :=f ′′′(x)

f ′(x)− 3

2

(f ′′(x)

f ′(x)

)2

, f ′(x) 6= 0. (2)

El concepto de derivada de Schwarz toma forma en el siglo XIX con el estudio deK. Hermann A. Schwarz sobre las transformaciones conformes en variable compleja[9], que estan relacionadas con el siguiente concepto. Sean a, b, c, d ∈ C tales quead− bc 6= 0. Si denotamos por C∞ a la esfera de Riemann, la funcion ϕ : C∞ → C∞definida como

ϕ(z) =az + b

cz + d

es una transformacion de Mobius. Las transformaciones de Mobius son precisamentelas funciones con derivada de Schwarz (en su analogo complejo) nula [5].

En 1978, los trabajos de Allwright [1] y Singer [10] mostraron que la derivada deSchwarz tambien juega un papel importante en la dinamica global de una ecuacionen diferencias en R. Veamos algunos resultados que se derivan de esos trabajos ycomo gran parte de esa importancia descansa en las siguientes dos propiedades.


Proposicion 3. S(f g)(x) = Sf(g(x))(g′(x))2 + Sg(x).

Del anterior resultado (ver p. ej. Proposicion 11.3, Capıtulo 1 de [3]) se deduceque si las derivadas de Schwarz de f y g tienen el mismo signo, la derivada deSchwarz de f g lo conserva. En particular, el signo de S(fm), m ∈ Z+, coincidecon el de Sf y el signo de la derivada de Schwarz se mantiene al iterar f , lo cual esrelevante por la naturaleza de las ecuaciones en diferencias.

Proposicion 4. Si Sf < 0,3 entonces f ′ no puede tener mınimos positivos nimaximos negativos en el interior de X.

Claramente, si q es un punto crıtico de f ′, ha de cumplirse que f ′′(q) = 0 y elsegundo termino de Sf(q) es nulo. De la hipotesis Sf < 0 se deduce que f ′′′(q) y f ′(q)deben tener signos opuestos. Esta propiedad geometrica impide que las funcionescon derivada de Schwarz negativa tengan comportamientos como el de la Figura 2.

q

f

q

f

Figura 2: Comportamientos que no estan permitidos si Sf < 0.

Una de las primeras implicaciones de exigir Sf < 0 para (1), es que la Pro-posicion 2 puede ser ampliada y podemos decir que si p es un equilibrio de (1) yf ′(p) ∈ [−1, 1), entonces p atrae puntos localmente (Lema 5.10 de [9]).

En el siguiente resultado podemos observar el papel de los puntos crıticos en ladinamica global de (1) para funciones con derivada de Schwarz negativa [3, 9]:

Teorema 1. Si f tiene n puntos crıticos y Sf < 0, entonces, como mucho, hayn+ 2 orbitas periodicas que atraen puntos localmente.

En la prueba del anterior teorema se ve que si hay puntos de X a ambos lados(y fuera) de la cuenca de atraccion inmediata (que es un intervalo) de una orbitaperiodica L.A.S., entonces esta “atrae” algun punto crıtico de f . Como mucho solopuede haber hasta dos orbitas periodicas cuyas cuencas de atraccion inmediata nocumplan eso. Por ejemplo, si X = R, serıan aquellas que eventualmente se exten-dieran hasta −∞ y/o +∞. Ası, si Sf < 0, podremos localizar orbitas periodicasatractoras de (1) utilizando a los puntos crıticos de f .

El siguiente resultado muestra un caso particular en el que se puede ir mas allay obtener mas informacion sobre las cuencas de atraccion inmediata de las orbitasperiodicas atractoras.

Teorema 2. Sea I = [a, b] tal que f(I) ⊂ I. Supongamos que f tiene un unicopunto fijo p ∈ I y, a lo sumo, un punto crıtico (maximo) c ∈ I.

Si p es L.A.S. y Sf < 0, entonces p es G.A.S. en [a, b].

3Sf < 0 hace referencia a donde Sf tenga sentido, es decir, Sf(x) < 0, f ′(x) 6= 0.

Sebastian Buedo Fernandez SII 71

A continuacion, explicamos las ideas de la prueba que se ofrece en [7] parailustrar como las propiedades geometricas de las funciones con derivada de Schwarznegativa inducen el paso de atraccion local a atraccion global.

La cuenca de atraccion inmediata de una orbita atractora en R es un conjuntomuy especial. Por definicion, sera un intervalo y f(If (p)) ⊂ If (p). Ademas, por unacuestion de continuidad y conexion, la funcion f aplica la frontera relativa de If (p)en sı misma (son puntos que estan entre los que “van hacia” p y los que no) y ası lospuntos de frontera no pueden tender a p: If (p) es, por tanto, un abierto relativo.

En el contexto del Teorema 2, If (p) solo podrıa ser de la forma [a, b], [a, r), (l, b]o (l, r), a ≤ l < r ≤ b. Por lo dicho sobre su frontera relativa, en el segundo (tercer)caso, r (respectivamente, l) serıa tambien equilibrio, contradiciendo el enunciado.Por el mismo motivo, el cuarto caso solo podrıa ocurrir si f(l) = r y f(r) = l.

En ese subcaso, la contradiccion vendra por otra vıa: c deberıa existir y perte-necer a (l, r) (ver observaciones posteriores al Teorema 1), implicando que f(c) <r = f(l), que no concordarıa con la hipotesis del maximo. Solo queda razonar porque, en este subcaso, se requiere a c en la cuenca de atraccion inmediata.

En primer lugar, la funcion f2 tendrıa tres puntos fijos consecutivos: l, p, r. Ası,usando el Teorema del Valor Medio, existirıan α y β tales que l < α < p < β < r y(f2)′(α) = (f2)′(β) = 1. Ademas, (f2)′(p) = (f ′(p))2 ≤ 1, pues, por hipotesis, p esun equilibrio L.A.S. De este modo, usando sencillos argumentos de funciones realesde variable real, la funcion (f2)′ tendrıa un punto crıtico (mınimo) en (α, β).

Ahora, como S(f2) < 0 (Proposicion 3), ese mınimo no podrıa ser positivo(Proposicion 4), es decir, el grafo de la funcion (f2)′ cortarıa al eje de abscisas:existirıa x∗ ∈ (α, β) ⊂ (l, r) tal que (f2)′(x∗) = 0 [10]. Finalmente, por la regla de lacadena, solo podrıamos tener que x∗ = c o f(x∗) = c, y, en ambos casos, c ∈ (l, r).

En los ultimos anos han surgido resultados del estilo del Teorema 2 (L.A.S.implica G.A.S.). Por ejemplo, puede conseguirse otra version de dicho resultadodonde la condicion Sf(x) < 0 solo se exija para x > c [2]. Tambien, medianteargumentos de cambio de variable [6] se puede sustituir la hipotesis de la negatividadde Sf por otras condiciones mas generales.

Una de las aplicaciones directas de ecuaciones como (1) son los modelos decrecimiento de poblaciones, para los que es logico considerar un espacio X ⊂ [0,∞).Funciones como f(x) = βxγe−δx (tipo Ricker, como la que aparece en la Figura 1)o f(x) = βxγ

1+δxm (tipo Mackey-Glass), donde β, δ,m > 0 y γ ∈ (0, 1], suelen usarsepara modelarlos. Estas funciones son tales que Sf muestra alguna condicion comolas mencionadas anteriormente (ver [6] y sus referencias).

Otro ejemplo clasico es el de tipo logıstico: si en (1) consideramos X = [0, 1](proporcion de poblacion con respecto a un valor) y tomamos f(x) = βx(1 − x),β ∈ (0, 4], entonces (1) tiene un unico punto crıtico c = 1

2 (maximo) y dos equilibrios:el origen y p := 1− 1

β . Ademas f ′(p) = 2− β y, como f ′′′(x) = 0, tenemos Sf(x) =

−6(1−2x)−2 < 0, x 6= 12 . Aplicando el Teorema 2 en un intervalo Iε = [f(1−ε), 1−ε],

con ε > 0 suficientemente pequeno, deducimos que si β ∈ (1, 3], p es G.A.S. en Iε.Ası, p “atrae” a cualquier punto en (0, 1).


Para finalizar, destacamos que la importancia de las ecuaciones en diferenciasen R no solo se queda en la dinamica discreta y tiene aplicaciones en las ecuacionesdiferenciales. Por ejemplo, en [5, 6, 7] y sus referencias se muestran resultados paralos que se obtiene informacion sobre algunas ecuaciones diferenciales con retardo,que involucran dinamica continua en un espacio de Banach de dimension infinita, apartir del estudio de ciertas ecuaciones en diferencias en los numeros reales.4

Bibliografıa

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[3] Devaney, R. L. (1989). An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley.

[4] Hale, J. K. (1988). Asymptotic behaviour of dynamical systems, MathematicalSurveys and Monographs, 25, American Mathematical Society.

[5] Liz, E. (2006). Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, dinamica de pobla-ciones y numeros primos, Materials Matematics, 2006(17), 24 pp. Publicadoonline en http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2006/v2006n17.pdf.

[6] Liz, E. y Buedo-Fernandez, S. (2019). A new formula to get sharp global stabi-lity criteria for one-dimensional discrete-time models, Qual. Theo. Dynam. Sys-tems. Publicando online en https://doi.org/10.1007/s12346-018-00314-4.

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[9] Sharkovsky, A. N., Kolyada, S. F., Sivak, A. G. y Fedorenko, V. V. (1997).Dynamics of one-dimensional maps, Kluwer Academic Publishers.

[10] Singer, D. (1978). Stable orbits and bifurcation of maps of the interval, SIAMJ. Appl. Math., 35, pp. 260–267.

4Este resumen y, en particular, esto ultimo, guarda relacion con una parte del proyecto dedoctorado que el autor esta realizando actualmente. El autor agradece el apoyo del Prof. EduardoLiz y la financiacion por parte del antiguo Ministerio de Educacion, Cultura y Deporte de Espana(FPU16/04416).



Problemas de suma-productoArea de Algebra

Gonzalo Cao LaboraUniversitat Politecnica de Catalunya

24 de abril de 2019

Introduccion

Supongamos A ⊂ N un conjunto finito de n ≥ 2 elementos. Definimos los conjun-tos A+A := a1 + a2| ai ∈ A y A ·A := a1a2| ai ∈ A. Tenemos que

2n− 1 ≤ |A+A|, |A ·A| ≤ n(n+ 1)

2. (1)

La igualdad a la derecha para A + A se alcanza cuando las unicas soluciones dea1 + a2 = a3 + a4 con ai ∈ A, i ∈ 1, 2, 3, 4 son las triviales (es decir, a1, a2 =a3, a4). A dichos conjuntos se les llama conjuntos de Sidon. La igualdad a laizquierda para A+A se alcanza para secuencias aritmeticas, es decir, A = a0+md :0 ≤ m < n con d ∈ N. La igualdad a la izquierda para A · A se alcanza parasecuencias geometricas.

De esta manera, resulta natural decir que un conjunto tiene mas estructuraaditiva cuanto mas pequeno es |A + A|. Concretamente, existe un unico δ+ talque |A + A| = nδ

+, y por (1), δ+ ∈ (1, 2). Decimos que A tiene mas estructura

aditiva cuanto menor es δ+. Analogamente, decimos que A tiene mas estructuramultiplicativa cuanto menor es δ× = logn(|A ·A|).

Erdos y Szemeredi hacen en 1983 la siguiente conjetura. Para todo δ ∈ (1, 2)existe Nδ ∈ N tal que todo A ⊂ N finito con |A| = n ≥ Nδ satisface

max|A+A|, |A ·A| ≥ nδ.

A esta conjetura se la conoce como conjetura suma-producto, e informalmentedice que no hay conjuntos arbitrariamente grandes con mucha estructura aditiva ymultiplicativa. En 2009, usando tecnicas geometricas, Solymosi [3] prueba la conje-tura suma-producto para todo δ < 4/3. Actualmente, la conjetura esta probadapara δ < 4/3 + 5/5277 (Shakan, [2]).

En este resumen nos centraremos en la prueba de Solymosi para δ < 4/3. Paraello, tendremos que introducir los conceptos de energıa aditiva y energıa multipli-cativa. Ademas de estos conceptos, la prueba utiliza tambien argumentos geome-tricos de R2. Tras la prueba, presentaremos un resultado geometrico: el teorema

Palabras Clave: suma-producto; energıa aditiva; combinatoria aditiva; geometrıa de inciden-cia.

73

74 SII Problemas de suma-producto

de Szemeredi-Trotter. Este teorema nos permitira obtener mas resultados de suma-producto. Por ultimo, comentaremos muy brevemente algunas tecnicas recientesdesarrolladas en 2018 por Shakan [2].

Energıa

Como hemos dicho, el maximo valor posible de |A + A| (mınima estructuraaditiva) se alcanza cuando solo hay soluciones triviales de a1 + a2 = a3 + a4, conai ∈ A. Definimos la multiplicidad aditiva r+(t) de un t ∈ A+ A como la cantidadde soluciones de a1 + a2 = t, con ai ∈ A. Tenemos que r+(t)2 es la cantidad desoluciones de a1 + a2 = a3 + a4 = t, por lo que

∑t∈A/A r

+(t)2 es la cantidad desoluciones de a1 + a2 = a3 + a4. Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 1. Sea A ⊂ N un conjunto finito. Definimos su energıa aditiva por

E+(A) =∑

t∈A+A

r+(t)2 = #soluciones de a1 + a2 = a3 + a4 con ai ∈ A.

Sustituyendo la operacion + por la operacion ·, tenemos las definiciones de mul-tiplicidad y energıa multiplicativas. Como hay mas de n2 y menos de n3 solucionesa a1 + a2 = a3 + a4 (o a a1a2 = a3a4), tenemos

n2 ≤ E+(A), E×(A) ≤ n3. (2)

Estas nuevas medidas de aditividad y multiplicatividad son mas debiles que lasanteriores, como muestra el siguiente resultado. En [4] se pueden encontrar esta yotras propiedades interesantes de la energıa.

Proposicion 1. Se cumple que E+(A) ≥ n4/|A+A| y que E×(A) ≥ n4/|A ·A|.

Demostracion:Se trata de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en R|A+A|. Para E×(A), elcalculo es identico sustituyendo A+A por A ·A y r+ por r×.

n2 =∑

t∈A+A

r+(t) ≤( ∑t∈A+A

r+(t)2)1/2( ∑

t∈A+A

1)1/2

= E+(A)1/2|A+A|1/2.

2

A partir de ahora trabajaremos salvo factor logarıtmico, utilizando la siguientenotacion. Sean f, g : X → R funciones, donde X ⊂ P(N) denota un conjunto desubconjuntos finitos de N. Diremos que f(A) . g(A) si existen C ∈ R y N ∈ Ntales que para todo A ∈ X con |A| ≥ N se tiene f(A) ≤ g(A)(log |A|)C . Diremosf(A) ≈ g(A) cuando f(A) . g(A) y g(A) . f(A). Si el dominio X no es explıcito,se entiende que X esta formado por todos los subconjuntos finitos de N. Cuando seindica una forma explıcita en A, por ejemplo A = 1, 2, 3, ... , n, se entiende que Xesta formado por los subconjuntos de esta forma.

Gonzalo Cao Labora SII 75

Ejemplo 1. Consideremos A1 = 3, 6, ... , 3n y A2 = 2, 4, 8, ... , 2n. Tenemosque |A1 + A1| ≈ n y |A2 · A2| ≈ n por el caso de igualdad izquierda en (1). Comoaplicacion de la Proposicion 1 y la ecuacion (2), E+(A1), E×(A2) ≈ n3. No obs-tante, se tiene que |A1 ·A1|, |A2 +A2| ≈ n2. Vemos que A1 tiene mucha estructuray energıa aditiva, mientras que A2 tiene mucha estructura y energıa multiplicativa.Es interesante ver lo que ocurre al considerar A = A1 ∪ A2 de 2n elementos. Porun lado tenemos que |A + A| ≥ |A2 + A2| ≈ n2 y |A · A| ≥ |A1 · A1| ≈ n2. Esdecir, A tiene poca estructura aditiva y poca estructura multiplicativa. No obstante,E+(A) ≥ E+(A1) ≈ n3 y E×(A) ≥ E×(A2) ≈ n3. Por lo tanto, A es un ejemplo deconjunto donde hay poca estructura pero mucha energıa. Esto muestra que una posi-ble conjetura suma-producto con energıas no serıa cierta para ningun exponente notrivial. Es decir, no existen δ ∈ (2, 3), Nδ ∈ N tales que mınE+(A), E×(A) ≤ |A|δ,para todo A ⊂ N con |A| > Nδ.

La prueba de Solymosi

Jozsef Solymosi en 2009, utilizo argumentos puramente geometricos para rela-cionar la energıa multiplicativa con la estructura aditiva. Antes de entrar en deta-lle, observemos que la energıa multiplicativa es tambien una energıa divisiva. Pa-ra un t ∈ A/A := a1/a2| a1, a2 ∈ A, definimos la multiplicidad divisiva comor÷(t) = #a1/a2 = t| a1, a2 ∈ A. Dado que las ecuaciones a1a2 = a3a4 se puedenreescribir como a1/a3 = a2/a4, se tiene que E×(A) =

∑t∈A/A r

÷(t)2. Esto nos darauna interpretacion geometrica de la energıa multiplicativa.

Teorema 1 (Solymosi, [3]). Sea A ⊂ N finito de n elementos. Se tiene

|A+A|2 & E×(A). (3)

Demostracion:Dibujamos los puntos A× A ⊂ R2 y observamos que cada t ∈ A/A se correspondecon una recta y = tx que pasa por el origen, conteniendo puntos de A×A. Abusandode la notacion, identificamos la recta y = tx con la pendiente t ∈ A/A. Observamosademas que la cantidad de puntos de A×A que tiene la recta t ∈ A/A es r÷(t). Ahorasupongamos un subconjunto ti ⊂ A/A de s rectas (ordenadas por pendiente), conr÷(ti) puntos cada una. Sean u, v ∈ A×A con u ∈ ti y v ∈ ti+1. Tenemos que u+ vqueda en la region entre ambas rectas, y esta unıvocamente determinado por u y v(ver Figura 1). Como u+v ∈ (A+A)× (A+A) sabemos que |A+A|2 vale al menos

|A+A|2 ≥s−1∑i=1

r÷(ti)r÷(ti+1). (4)

Ahora, hemos de escoger ti ⊂ A/A para obtener una buena cota en (4).Dividimos el conjunto de todas las rectas en dlog(n)e clases de la siguiente manera:decimos que una recta es k-rica si tiene entre 2k−1 + 1 y 2k puntos. Recordamos


Figura 1: Dibujo para A = 1, 2, 4. El punto u + v es uno de los (al menos) seispuntos de (A+A)× (A+A) en el sector delimitado por t1 y t2.

ahora que E×(A) =∑r÷(t)2. Como tenemos dlog(n)e clases de rectas, hay alguna

clase que contribuye en mas de E×(A)/dlog(n)e ≈ E×(A) a la energıa. Supongamosque son las rectas k-ricas. Escogiendo las rectas k-ricas como conjunto ti se tiene

E×(A) .s∑i=1

r÷(ti)2 ≤ 22ks. (5)

La cota (4) nos da |A + A|2 ≥ 22k−2(s − 1). Usando (5), si s ≥ 2, se cumple22k−2(s − 1) ≥ 22ks/8 & E×(A) y hemos acabado. Para el caso s = 1 se tieneque E×(A) ≈ r÷(t)2 ≤ n2. Como n2 ≤ |A + A|2 por (1), tambien se satisface ladesigualdad. 2

Una vez probado el Teorema 1, veamos que tenemos todo δ < 4/3 en la conjeturasuma-producto. La proposicion 1 nos dice que el lado derecho de (3) es mayor quen4/|A · A|. Obtenemos que |A+ A||A+ A||A · A| & n4. Por lo tanto, alguno de losfactores es mayor que n4/3. El factor logarıtmico hace que solo podamos asegurarque algun factor es asintoticamente mayor que nδ, para cualquier δ < 4/3.

Mejorando la geometrıa

Informalmente hablando, el argumento de Solymosi explota en poca medida laspropiedades geometricas de R2. Solo se aprovecha la geometrıa de R2 al decir que lasregiones delimitadas por rectas consecutivas son disjuntas. Muchos otros resultadosnecesitan de mas geometrıa, y una herramienta geometrica basica es el teoremade Szemeredi-Trotter. No haremos la demostracion del teorema (ni del lema queutiliza), que se pueden encontrar en el capıtulo 8 del libro de Tao [4].

Gonzalo Cao Labora SII 77

Teorema 2 (Szemeredi-Trotter). Sea P un conjunto finito de puntos de R2 y sea Lun conjunto finito de rectas. Denotamos por I la cantidad de incidencias, es decir,la cantidad de parejas (p, l) ∈ P × L con p ∈ L. Se tiene la cota

I ≤ 4|P |2/3|L|2/3 + 4|P |+ |L|.

En general, domina el termino de orden |P |2/3|L|2/3 (si no, se tiene |L| ≥ |P |2o |P | ≥ |L|2, casos degenerados). La manera moderna de probar este teorema escon teorıa de grafos, a traves del numero de cruces de un grafo. Dado un grafoG = (V,E) definimos su numero de cruces, crossR2(G), como la mınima cantidadde cruces entre aristas de G al embeber G en R2.

Lema 1. Sea G = (V,E) un grafo con |E| ≥ 4|V |. Se tiene

crossR2(G) ≥ |V |364|E|2 .

Al lector familiarizado con el metodo probabilıstico le resultara interesante in-tentar demostrar el lema 1 por esa vıa. La demostracion contiene una tecnica in-teresante llamada amplificacion probabilıstica, que consiste en plantear la cota naıfcrossR2(G′) ≥ |E′| − 3|V ′| siendo G′ un subgrafo aleatorio de G. Esto da la cotadeseada, que es un refinamiento de crossR2(G) ≥ |E| − 3|V |.

Una aplicacion del teorema de Szemeredi-Trotter es el resultado asimetrico desuma-producto de Elekes y Ruzsa que veremos a continuacion. El problema de suma-producto asimetrico consiste en dar cotas no triviales para max|A + B|, |A · B|.Para ello, se define una energıa mixta E+(A,B), que es la cantidad de solucionesde a1 + b1 = a2 + b2 con ai ∈ A y bi ∈ B. Tambien se define, para t ∈ A + B, lamultiplicidad r+

A,B(t) como la cantidad de soluciones de a1 + b1 = t con a1 ∈ A yb1 ∈ B. Se define la version analoga para productos.

Teorema 3 (Elekes-Ruzsa [1]). Sean A,B ⊂ N finitos de n y m elementos, respec-tivamente. Supongamos m < n. La energıa multiplicativa mixta se acota por

E×(A,B) .|A+B|4nm

.

La idea de la demostracion del Teorema 3 pasa por considerar los puntos P =(A ∪ A + B) × (B ∪ A + B) ⊂ R2. Para cada par (a0, b0) ∈ A × B y cada solucionde a1/a2 = b1/b2 tenemos que los puntos P0 = (a0, b0), P1 = (a0 + b1, b0 + a1)y P2 = (a0 + b2, b0 + a2) forman una terna colineal de puntos de P . Esto nos da|A||B|E×(A,B) ternas colineales en P . Una recta k-rica (en el sentido de la demos-tracion del teorema 1) generara del orden de (2k)3 ternas colineales. Si probamosque hay menos de |A + B|4/(2k)3 rectas k-ricas habremos acabado. Eso es unaconsecuencia del teorema de Szemeredi-Trotter.

Veamos las consecuencias del teorema. La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos daE×(A,B) ≥ n2m2/|A ·B| (analogo a la Proposicion 1). Sustituyendo en el Teorema


3, se obtiene n3m3 . |A + B|4|A · B|. Bajo la hipotesis m & n2/3+α (α > 0) seconcluye que max|A+B|, |A ·B| & n1+3α/5. Hemos probado el analogo asimetricoa la conjetura suma-producto, para exponentes δ < 1 + 3α/5.1 La hipotesis m ≥n2/3+α se puede relajar, pero no se puede eliminar.

Nuevas tecnicas

A partir de la prueba de Solymosi, aparecieron nuevas tecnicas que mejoraban suresultado. Estas nuevas tecnicas se basan en terceros momentos mixtos E+

3 (A,B) =∑r+A,B(t)3. Se define una nueva medida de la aditividad

d+(A) := supB 6=0

E+3 (A,B)

|A||B|2 ,

y su analoga en producto d×(A). Utilizando esta nueva cantidad, Shakan [2] no soloha conseguido el mejor exponente hasta la fecha, sino que ha conseguido desacoplarla conjetura suma-producto con el siguiente teorema.

Teorema 4 (Shakan, [2]). Todo conjunto A ⊂ N se puede recubrir como A = X∪Ycon |X|, |Y | ≥ |A|/2 de forma que d+(X)d×(Y ) . |A|.

Tras este teorema, Shakan conjetura que |A + A| & |A|2/d+(A). La conjeturaanaloga en productos es equivalente. Si la conjetura de Shakan fuera cierta, juntocon el teorema 4, se concluirıa

|A+A||A ·A| & |X +X||Y · Y | & |X|2|Y |2/(d+(X)d×(Y )) & |A|3,y se tendrıa la conjetura suma-producto para cualquier δ < 3/2. El interes de estaformulacion es que la conjetura de Shakan depende unicamente de la operacionsuma. Es decir, con un conocimiento exclusivo de la suma, se podrıa probar laconjetura suma-producto para todo δ < 3/2.

Bibliografıa

[1] Elekes Gy, G. y Ruzsa, I. Z. (2003). Few sums, many products, Studia Scien-tiarum Mathematicarum Hungarica, 40(3), pp. 301–308.

[2] Shakan, G. (2018). On higher energy decompositions and the sum-product phe-nomenon, in Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical So-ciety, pp. 1–19.

[3] Solymosi, J. (2009). Bounding multiplicative energy by the sumset, Advances inmathematics, 222(2), pp. 402–408.

[4] Tao, T. y Vu, V. H. (2006). Additive combinatorics, Cambridge UniversityPress.

1Tomando A = B, esto prueba la conjetura de suma-producto simetrica para δ < 1 + 1/5.



El metodo de cuadratura de convolucionArea de Matematica Aplicada

Alfredo Rıos AlboresUniversidade de Santiago de Compostela

8 de mayo de 2019

Introduccion

Con el objetivo final de aproximar numericamente el valor de una integral deconvolucion, de la forma

h (x) :=

∫ x

0f (t) g (x− t) dt, x ∈ R+, (1)

uno podrıa escoger implementar el metodo de cuadratura de convolucion (MCV,vease [1]), mediante el cual la aproximacion vendra dada por la convolucion discreta∑

0≤nh≤xωn (h)g (x− nh) . (2)

Los pesos de cuadratura ωn (h) resultan ser los coeficientes de la expresion en serie

de potencias centrada en 0 ∈ C de una funcion compleja, F(δ(·)h

), analıtica en un

entorno del origen.

El MCV presenta varias ventajas frente a otros metodos de cuadratura masclasicos. Bajo suficiente regularidad de los datos, permite obtener altos ordenes deaproximacion. Puede aplicarse sin conocer a priori la funcion f (t) , t ∈ R, en eldominio del tiempo sino en el dominio de Laplace, F (s) , s ∈ C. Ademas, permitelidiar con f (·) singular en algunos casos (vease [2]).

En lo que sigue se justificara la construccion de (2).

Construccion del MCV

Suponemos conocidos los valores de g (·) ∈ C ([0,∞)) sobre una malla de discre-tizacion de [0, x] con N + 1 nodos equiespaciados, de la forma:

0 = x0 < x1 < ··· < xN−1 < xN = x,

Palabras Clave: metodos numericos; cuadratura de convolucion; integrales de convolucion.

79

80 SII El metodo de cuadratura de convolucion

con xn = nh, para n = 0, ... , N , donde h = xN es el correspondiente paso de

discretizacion.

Transformada de Laplace de f (·)Habitualmente, f (·) se denomina nucleo de convolucion de (1). Supongamos que

f (·) admite transformada de Laplace, es decir, existe una funcion F : Ω ⊂ C → Ctal que

F (s) = L [f ] (s) :=

∫ ∞0

e−stf (t) dt, (3)

donde Ω es un subconjunto no vacıo de complejos donde la anterior integral es finita(vease [6]). Bajo ciertas condiciones de regularidad esta transformacion es invertible,y aplicando la transformada inversa de Laplace sobre F (s) se obtiene de nuevo f (t).Siendo ese el caso, podemos expresar f (·) en funcion de su transformada a partirde la formula de inversion de Laplace

f (t) =1

2πi

∫ΓF (λ)eλtdλ, t > 0, (4)

donde Γ denota un contorno adecuadamente escogido en C de forma que la anteriorigualdad se satisfaga. La eleccion de dicho contorno sera discutida mas adelante.Sustituyendo (4) en (1) se obtiene

h (x) =

∫ x

0f (t)g (x− t) dt =

∫ x

0

1

2πi

∫ΓF (λ)eλtdλ g (x− t) dt. (5)

Sera necesario conocer analıticamente la transformada de Laplace F (·) del nu-cleo de convolucion f (·) y que se satisfagan las relaciones dadas por (3) y (4). Estose traduce en una serie de hipotesis sobre F (·), que condicionaran la construcciondel metodo.

Supondremos, con caracter suficiente, que F (s) es analıtica en un sector U dela forma |arg (s− c)| < π − ϕ, con ϕ < π

2 y c ∈ R. En dicho sector, satisface

|F (s)| ≤M |s|−µ para M <∞, µ > 0. (6)

Bajo estas hipotesis, el contorno Γ se puede escoger como dos semirrectas que vande ∞e−i(π−ϕ) hasta ∞ei(π−ϕ) dentro del sector U , tal y como esta representado enla Figura 1.

Desarrollos formales

Una vez obtenida la transformada de Laplace F (·) y suponiendo que esta verificalas condiciones de regularidad descritas en (6) para unos c ∈ R y ϕ < π

2 adecuados,intercambiando el orden de integracion en (5) se sigue que

h (x) =1

2πi

∫ΓF (λ)

∫ x

0eλt g (x− t) dtdλ. (7)

Alfredo Rıos Albores SII 81

Figura 1: Contorno Γ, dentro del sector U descrito en (6).

Aquı, la integral interior∫ x

0 eλt g (x− t) dt es solucion del problema de valor inicial

(PVI) λ-dependiente dyλdx

(x) = λ yλ (x) + g (x) ,

yλ (0) = 0.(8)

Fijado λ ∈ C, consideramos la solucion aproximada de (8) mediante la aplicacion deun metodo lineal multipaso (MLM) de k pasos (vease en [5]). El esquema numericoresultante es de la forma

k∑j=0

αjyn+j−k = hk∑j=0

βj (λyn+j−k + g ((n+ j − k)h)) , n ≥ 0, (9)

donde αjkj=0 y βjkj=0 son los coeficientes reales que caracterizan al MLM es-cogido. Se toman como valores de arranque y−k = ··· = y−1 = 0, y se extiendeg (·) como 0 en el eje real negativo. Ahora, para cada n ∈ N tomamos la ecuacionasociada a yn ≈ yλ (xn) dada por (9) y la multiplicamos por ξn. Sumando todasestas igualdades y reagrupando terminos, se obtiene

(α0ξk + ...+αk−1ξ

1 +αk)y (ξ) = h(β0ξk + ...+ βk−1ξ

1 + βk) (λy (ξ) + g (ξ)) , (10)

con

y (ξ) :=

∞∑n=0

ynξn, g (ξ) :=

∞∑n=0

g (nh)ξn,

dos series de potencias formales. Resolvemos la ecuacion (10) para y (ξ),

y (ξ) =

(δ (ξ)

h− λ)−1

g (ξ) . (11)

donde se ha definido la funcion δ : C→ C como


δ (ξ) :=

(α0ξ

k + ...+ αk−1ξ1 + αk

)(β0ξk + ...+ βk−1ξ1 + βk)

. (12)

Es decir, yn, que aproxima el valor yλ (xn) de la solucion al problema λ-dependiente(8) en xn = nh (nodo n-esimo de nuestra malla sobre [0, x]) es, por construccion, elcoeficiente n-esimo de la serie del lado derecho de (11). Entonces, si consideramosel valor de h (·) para xn = nh en (7),

h (xn) =1

2πi

∫ΓF (λ)

∫ xn

0eλt g (xn − t) dtdλ =

1

2πi

∫ΓF (λ) yλ (xn)dλ.

Se tiene que

∞∑n=0

h (xn) ξn =1

2πi

∫ΓF (λ)

∞∑n=0

yλ (xn) ξndλ ≈ 1

2πi

∫ΓF (λ)

∞∑n=0

ynξndλ

=1

2πi

∫ΓF (λ)y (ξ)dλ = g (ξ)

1

2πi

∫ΓF (λ)

(δ (ξ)

h− λ

)−1

dλ.

Suponiendo suficiente regularidad, aplicaremos la formula integral de Cauchy (veaseen [3]) en el termino derecho de esta ultima igualdad, obteniendo

∞∑n=0

h (xn) ξn ≈ 1

2πi

∫ΓF (λ)

(δ (ξ)

h− λ)−1

dλ g (ξ) = F

(δ (ξ)

h

)g (ξ) . (13)

Supongamos ademas que la composicion F (δ (·) /h) es analıtica en un entorno delorigen en el plano complejo y recordemos que en la malla considerada inicialmentex = Nh. Ası, se tiene que h (x) se ve aproximado por el N -esimo coeficiente delproducto de Cauchy1 de las series de potencias

F

(δ (ξ)

h

)=

∞∑n=0

ωn (h)ξn y g (ξ) =

∞∑n=0

g (nh)ξn.

Es decir,

∞∑n=0

h (xn) ξn ≈( ∞∑n=0

ωn (h)ξn

)( ∞∑n=0

g (nh)ξn

)=

∞∑n=0

(n∑k=0

ωk (h)g ((n− k)h)

)ξn,

1El producto de Cauchy de dos series formales∑∞n=0 anξ

n y∑∞n=0 bnξ

n de numeros reales ocomplejos se define mediante una convolucion discreta:(

∞∑n=0

anξn

)(∞∑n=0

bnξn

)=∞∑n=0

cnξn, con cn =

n∑k=0

akbn−k, n = 0, 1, 2, ...

Alfredo Rıos Albores SII 83

Figura 2: Contorno ΓR, dentro del sector U descrito en (6).

En consecuencia, se tiene que

h (x) = h (xN ) ≈∑

0≤nh≤xωn (h)g (x− nh) ,

tal y como querıamos ver.

Hipotesis para la formula integral de Cauchy

Falta razonar si la formula integral de Cauchy es aplicable en (13), pero noentraremos a justificarlo rigurosamente, sino que esbozaremos a continuacion losaspectos clave. Por claridad, comenzamos recordando el resultado a aplicar.

Teorema 1 (Formula integral de Cauchy). Sea F (·) una funcion holomorfa en unabierto arbitrario de U de C y Γ un ciclo homologo a cero en U . Entonces:

F (s) IndΓ (s) =1

2πi

∫Γ

F (λ)

λ− sdλ, ∀s ∈ U \ Γ. (14)

Tomaremos como U del teorema el sector de analiticidad de F (·) en (6). Re-cordemos que el contorno Γ se tomo en la formula de inversion de Laplace comodos semirrectas contenidas en U que van de ∞e−i(π−ϕ) hasta ∞ei(π−ϕ). Puede de-mostrarse que Γ es, asintoticamente, un contorno adecuado para (14). Bastarıaconsiderar R→∞ para la familia de ciclos cerrados representada en la Figura 2

ΓR = ω+Reiθ : − (π − ϕ) ≤ θ ≤ π−ϕ∪(ω +Rei(π−ϕ), ω

]∪(ω, ω +Re−i(π−ϕ)

).

con ω ∈ R, ω > c, y donde(ω +Rei(π−ϕ), ω

]y(ω, ω +Re−i(π−ϕ)

)denotan segmen-

tos uniendo los complejos ω +Rei(π−ϕ) con ω y este con ω +Re−i(π−ϕ).

Solo queda discutir que MLM habrıa que escoger para que δ (·), definida en (12),sea adecuada para la construccion del MCV. Se tiene el siguiente resultado de [1].


Proposicion 1. Sea un MLM de k-pasos, caracterizado por los coeficientes αjkj=0

y βjkj=0, verificando ser2: A(α)-estable, con α > ϕ, donde ϕ es el dado en (6),estable en un entorno del infinito, fuertemente cero-estable y consistente de ordenp ≥ 1. Entonces la funcion δ (·) definida por (12) verifica ser analıtica y sin cerosen un entorno del disco unidad |ξ| ≤ 1, con excepcion de un cero (simple) en ξ = 1.Ademas, | arg δ (ξ) | ≤ π − α para |ξ| < 1, y 1

h δ(e−h)

= 1 +O (hp) .

Por tanto, para h suficientemente pequeno, podemos hallar un entorno de 0 ∈ Ctal que en su imagen por δ (·) /h se satisfaga (14). Ademas, en dicho entorno lacomposicion F (δ (·) /h) resulta ser analıtica y por tanto puede expresarse como

F

(δ (ξ)

h

)=∞∑n=0

ωn (h) ξn,

donde los ωn (h) son los pesos de cuadratura del metodo de cuadratura de convolu-cion en (2).

Bibliografıa

[1] Lubich, C. (1988). Convolution quadrature and discretized operational calculus.I, Numerische Mathematik, 52(2), pp. 129–145.

[2] Lubich, C. (1988). Convolution quadrature and discretized operational calculus.II, Numerische Mathematik, 52(4), pp. 413–425.

[3] Rudin, W. (1987). Real and complex analysis, Tata McGraw-Hill Education.

[4] Suli, E. y Mayers, D. (2003). An introduction to numerical analysis, Cambridgeuniversity press.

[5] Hairer, E., Norsett, S. y Wanner, G. (2010). Solving Ordinary Differential Equa-tions: Nonstiff problems. v. 2: Stiff and differential-algebraic problems, SpringerVerlag.

[6] Schiff, J. L. (2013). The Laplace transform: theory and applications, SpringerScience & Business Media.

2La definicion de las propiedades numericas en las hipotesis de la Proposicion 2 pueden consul-tarse en [4] y [5].

Unha xornada de divulgacion.“Matematicas: habelas hainas,seguimos contandochas!”

O mercores 7 de novembro de 2018 celebrouse na Aula Magna da Facultadede Matematicas a segunda edicion das Xornadas “Matematicas: habelas hainas,queremos contarchas!”que mudou o nome a“Matematicas: habelas hainas, seguimoscontandochas!” para darlle continuidade a este evento que se quere afianzar na nosafacultade.

Estas xornadas, promovidas pola Comision de Normalizacion Linguıstica e or-ganizadas polo Comite do SII, pretende a normalizacion do galego no ambito dasmatematicas e da divulgacion cientıfica. Sen perder de vista este obxectivo, a esenciadas charlas consiste en amosar problemas de matematicas presentes ou relacionadoscoa investigacion que se esta a desenvolver na nosa facultade.

Nestas segundas xornadas de divulgacion tiveron lugar sete charlas de tematicadiversa asociadas a diferentes ramas das matematicas. Coa intencion de que todasas areas de investigacion presentes na facultade se visen representadas neste evento,contamos coas seguintes contribucions orais:

“A vida e un xogo”, por Alejandro Saavedra Nieves.

A teorıa de xogos e a disciplina matematica que permite modelar aquelassituacions conflitivas e baseadas na interaccion dun grupo de axentes. Nestacharla pretendese dar unha vision xeral da teorıa dos xogos cooperativos e dassuas multiples aplicacions na vida cotia. Entre outras, destacan a xestion doinventario dun determinado produto para grupos de axentes, a distribuciondo poder dos partidos con representacion nun parlamento ou o reparto dosaforros obtidos de reordenar as posicions no procesamento de traballos porunha maquina.

“As ecuacions do amor”, por Lucıa Lopez Somoza.

E ben sabido que do amor ao odio hai un pequeno paso pero, podemos real-mente predicir a evolucion do amor (ou do odio) nunha relacion? Serıa posibleconecer de anteman se unha relacion esta destinada ao fracaso? Nesta charla

85

falaremos destas e doutras cuestions, aproveitando esta escusa para falar deamor, de matematicas e do amor polas matematicas.

“Vida noutros mundos. A Astrobioloxıa”, por Carlos Vazquez Monzon.

Co posible descubrimento de auga lıquida en Marte, unha pregunta que sem-pre inquietou a humanidade cobra mais forza ca nunca: existe vida noutrosplanetas do Sistema Solar (ou fora do Sistema Solar)? A exploracion espacialparece aında moi distante para aclarar estas cuestions, polo tanto por agoraconven formular outra pregunta: cales son os sinais de vida que se nos podenpresentar cando apuntamos o noso telescopio ao ceo nocturno? Desta cuestionocupase a Astrobioloxıa, que consiste en estudar as condicions de habitabili-dade que debe reunir un corpo celeste para que nel haxa vida, e sera o temadesta charla.

“Ata o infinito e mais ala!”, por Beatriz Alvarez Dıaz.

Os sistemas de ecuacions estan presentes nas nosas vidas desde antes de quesexamos conscientes: desde os problemas matematicos do colexio ata as cone-xions neuronais nos nosos cerebros, pasando por toda situacion na que precise-mos despexar unha incognita. O noso obxectivo sera atopar cantas e cales sonas suas solucions valendonos da xeometrıa do problema. Para iso viaxaremos,se e preciso, ata o infinito e mais ala.

“Matematicas no teu corazon”, por Marcos Loureiro Garcıa.

Nesta presentacion poderas conecer unha pequena parte das matematicas queempregamos no Servizo de Cardioloxıa do Hospital Alvaro Cunqueiro de Vigo- Instituto de Investigacion Sanitaria Galicia Sur. Actualmente tratamos deponer a punto unha metodoloxıa, na que se integra a simulacion numericaempregando o metodo de elementos finitos (FEM), para facer unha analisedo comportamento da valvula aortica en certas intervencions. Deste xeitopretendese obter resultados de utilidade para o cardiologo que axuden natoma de decisions clınicas.

“Buracos: as matematicas do vaqueiro”, por David Mosquera Lois.

Nesta charla trataremos de amosar algunhas das ideas precursoras do que hoxese conece como Topoloxıa Alxebrica. Con mais precision, presentaremos unhadas formalizacions da idea de buraco.

“Pero ti estas seguro diso?”, por Mercedes Conde Amboage.

A estas alturas todos somos conscientes de que vivimos rodeados de datos.Pero realmente podemos fiarnos de toda a informacion que temos ao nosoalcance? E rigoroso todo o que vemos no telexornal ou lemos na prensa? Aolongo desta charla presentaremos diferentes novas enganosas que poneremosao descuberto empregando os nosos conecementos estatısticos.

A informacion anterior pode atoparse xunto aos vıdeos das charlas na seguinte li-gazon: http://www.usc.es/gl/centros/matematicas/CNL/seguimoscontandochas.html.

Agradecementos

O Comite do SII deste curso academico 2018/19 quere agradecer a colaboracionde todas e cada unha das persoas que fan posible que este seminario goce de tanboa saude e continue a ser un referente dentro e fora da nosa Universidade.

En primeiro lugar, gustarıanos mencionar ao persoal do Instituto de Matema-ticas, especialmente a Alberto Cabada Fernandez, Juan Jose Nieto Roig, BalbinaCasas Mendez, Alejandro Fraga Fontoira e Manuel Porto Canosa.

Por suposto, temos que facer especial agradecemento as e aos relatores destaedicion do seminario, sen os cales nada disto serıa posible. Grazas a Olga PerezBarral, Marcos Tella Alvarez, Laura Davila Pena, Alvaro Carballido Costas, JorgeRodrıguez Lopez, Marıa Pilar Paez Guillan, Luca Piccotti, Branca Garcıa Correa,Laura Freijeiro Gonzalez, Rodrigo Marino Villar, Brais Gonzalez Rodrıguez, Sebas-tian Buedo Fernandez, Gonzalo Cao Labora e Alfredo Rıos Albores.

Tamen temos que agradecer a elaboracion do prefacio destas actas a AdrianFernandez Tojo, antigo membro do Comite do SII que chegou a participar nel ataen catro ocasions.

Este ano ademais queremos estender os nosos agradecementos as e aos relatoresque nos permitiron desfrutar dunha xornada de divulgacion matematica como foi“Matematicas: habelas hainas, seguimos contandochas!”. Referımonos a AlejandroSaavedra Nieves, Lucıa Lopez Somoza, Carlos Vazquez Monzon, Beatriz AlvarezDıaz, Marcos Loureiro Garcıa, David Mosquera Lois e Mercedes Conde Amboage.Con motivo desta xornada tamen queremos facer mencion a todo o equipo decanal,polo seu apoio e motivacion na organizacion, e a Elena Vazquez Abal por estarsempre disposta a axudar, sendo un ano mais a responsable do deseno do cartel edos dıpticos da xornada.

Santiago de Compostela, xullo de 2019

O Comite do SII

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