BAB IPENDAHULUAN Metode penaksiran parameter didasarkan pada asumsi bahwa distribusi probabilitas normal dapat digunakan dengan ketentuan n 30, jika n=30), pembedaan sample tersebut digunakan untuk pemilihan tabel distribusi yang akan digunakan dalam perhitungan. Apabila sample kecil maka digunakan tabel Distribusi Student t dengan degree of freedom (df) atau derajat kebebasan = n-1. t1/2 ().n-1 (uji dua sisi) atau t. n-1 (uji satu sisi)

dimana:

= tingkat kesalahan duga

n = jumlah sample (observasi)Contoh:

Apabila jumlah sample 15 dengan =5% (0,05), uji dua sisi maka:

t1/2 ().n-1 = t1/2 (0,05). 15-1

t0,025. 14 = 2,145 (lihat tabel distribusi student t)Cara membaca table

Tabel distribusi student t

Apabila sample besar maka digunakan Tabel Distribusi Normal Standart.

Tidak menggunakan degree of freedom (df)

Z1/2 (uji dua sisi) atau Z (uji satu sisi)

dimana:

= tingkat kesalahan duga

Contoh:

Apabila jumlah sample 35 dengan =5% (0,05), uji dua sisi maka:

Z1/2 ()= Z (0,05)

Z0,025 maka (1:2) 0,025= 0,4750

Z0,025 = 1,96 (lihat tabel distribusi Normal Standart)

Penaksiran dengan menggunakan interval dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu :a) Penaksiran rata-rata b) PenaksiranproporsiB. CARA-CARA MENAKSIR

Jika parameter harganya ditaksir oleh sebuah harga yang tertentu, maka dinamakan penaksir, tepatnya titik taksiran. Barangkali titik taksiran akan lebih enak bila cukup dikatakan penaksir saja.

Titik taksiran untuk sebuah parameter misalnya, harganya akan berlainan bergantung pada harga yang didapat dari sampel-sampel yang diambil. Karenanya orang sering merasa kurang yakin atau kurang percaya atas hasil penaksiran macam ini. Sebagai gantinya, dipakai dipakai interval taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas-batas dua harga. Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan , maka 0 < < 1. Harga yang digunakan bergantung pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam mebuat pernyataannya. Yang biasa digunakan ialah 0,95 atau 0,99 , yakni = 0,95 atau = 0,99.

Untuk menentukan interval taksiran parameter dengan koefisien kepercayaan , maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan. Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter antara A dan B adalah :

Dengan A dan B fungsi dari pada statistik, jadi merupakan variabel acak,tetapi tidak bergantung pada .

Perumusan XI(1) diartikan : peluangnya adalah bahwa interval yang sifatnya acak yang terbentang dari A ke B dihitung harganya berdasarkan data sampel, maka A dan B sekarang merupakan bilangan tetap. Dalam hal ini, pernyataan diatas tidak lagi benar tetapi harus dikatakan sebagai berikut:

Kita merasa 100 % percaya bahwa parameter aka nada di dalam interval (A,B). Jadi tidaklah dikatakan : peluangnya sama dengan bahwa terletak antara A dan B, melainkan seseorang hanya yakin 100 % bahwa itu terletak antara A dan B. Perbedaan ini perlu dipahami, karena memang terletak atau tidak terletak antara A dan B yang peluangnya masing-masing 1 atau 01. Menaksir Rata-Rata

Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata dan simpangan baku . Dari populasi ini parameter rata-rata akan ditaksir. Untuk keperluan ini, ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik yang perlu, ialah dan s. Titik taksiran untuk rata-rata ialah . Dengan kata lain, nilai besarnya ditaksir oleh harga yang didapat dari sampel.

Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. 1. Simpangan baku diketahui dan populasinya berdistribusi normal.

Untuk ini rumus (2) menjadi

Dengan = koefisien kepercayaan dan = bilangan Z didapat dari tabel normal baku untuk peluang . Rumus dapat dinyatakan dalam bentuk lain, ialah untuk memperoleh 100 % interval kepercayaan parameter dapat digunakan rumus :

2. Simpangan baku tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal.

Dalam kenyataannya, parameter jarang sekali diketahui bahkan tidak diketahui, kecuali barangkali dari pengalaman. Karena itu rumus (2) harus diganti oleh :

Dengan = koefisien kepercayaan dan = nilai t didapat dari daftar distribusi student dengan p = dan dk = (n-1) untuk interval kepercayaannya,rumus (3) diganti oleh

Bilangan bilangan yang didapat dari dan masing-masing dinamakan batas bawah dan batas atas kepercayaan. Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N, yakni ( , maka rumus (3) menjadi :

Dan rumus (5) menjadi :

Khusus dalam hal interval kepercayaan 50% yang memberikan maka rumus (3) dimuka menjadi

Ini berarti peluangnya setengah-setengah bawa interval acak akan mengandung rata-rata . Bilangan dinamakan kekeliruan peluang untuk rata-rata. 1. Penaksiran rata-rata untuk parameter yang rata-rata dan standar

deviasinya diketahui dengan populasi tidak terbatas

a. Sampel kecil (n < 30)

Penaksiran rata-rata dengan sampel kecil menggunakan tabel distribusi

student t, dengan derajat kebebasan (degree of freedom/d.f) adalah n1

= t1 2 .n1di mana:

= rata-rata parameter yang ditaksir

X = rata-rata statistik

SD = standar deviasi statistik

n = jumlah sampel yang digunakan

t1/2 .n-1 = batas keyakinan yang digunakan

Contoh:

Sebuah LSM ingin mengetahui rata-rata penghasilan pengamen yang ada di Yogyakarta. Untuk penelitian tersebut diambil sampel 29 pengamen, dan diperoleh data bahwa rata-rata penghasilan pengamen per hari adalah Rp. 19.500,- dengan standar deviasi Rp. 4.200,-.Dengan menggunakan interval keyakinan 95%, tentukan penaksiran rata-rata penghasilan pengamen di Yogyakarta tersebut?

Diketahui:

n = 29

X = 19.500

SD = 4.200

= 5% (0,05)

t1/2 . n-1 = t1/2 (0,05). 29-1 = t0,025. 28 = 2,048

Jawab: = t1 2 .n1 = 19.500 2,048 = 19 .500 2 ,048 (779 ,92 )

=19.5001.559,84

=19.5001.560 (dibulatkan)

=19.500+1.560 = 21.060

=19.5001.560 =17.940

Atas dasar perhitungan tersebut dapat disimpulkan bahwa rata-rata penghasilan pengamen yang ada di Yogyakarta paling besar adalah Rp Rp21.060 dan yang paling kecil adalah Rp 17.940.

b. Sampel besar (n 30)

Pada penaksiran rata-rata dengan sampel besar akan digunakan tabel Z (tabel kurva normal standar) dengan rumus:

= 1 2 dimana :

= rata-rata parameter yang ditaksir

X = rata-rata statistik

SD = standar deviasi statistik

n = jumlah sampel yang digunakan

Z1/2 .n-1 = batas keyakinan yang digunakan

Contoh:

Seseorang melakukan pengamatan mengenai lama usia bola lampu OHP. Berdasarkan pengamatan pada 64 buah bola lampu OHP dan ternyata mempunyai rata-rata masa pakai 50 jam dengan SD selama 4 jam. Dengan menggunakan = 5%, tentukan rata-rata usia pakai yang sebenarnya dari bola lampu OHP tersebut menggunakan penaksiran rata-rata interval.Jawab:

Diketahui:

n = 64

X = 50 jam

SD = 4 jam

= 5% (0,05)

Z1/2 (0,05).= t0,025= 1,96

Maka

= 1 2 = = 50 1,96 = 50 1,96 (0 ,5 )

= 50 0,98

Dapat disimpulkan rata-rata usia pakai bola lampu OHP paling lama 50,98 jam (50+0,98) dan paling cepat 49,02 jam (50-0,98).

2. Penaksiran rata-rata untuk parameter yang rata-rata dan standar

deviasinya diketahui dengan populasi terbatas.

a. Sampel kecil (n < 30)

= t1/2. n -1 Contoh:

Suatu perusahaan alat elektronik ingin meneliti waktu yang diperlukan karyawannya dalam memasang komponen X. Untuk itu diambil sampel 10 karyawan dan diperoleh data waktu rata-rata 55 menit dengan varian 100 menit. Bila jumlah karyawan seluruhnya adalah 100 orang, hitunglah berapa rata-rata waktu pemasangan untuk seluruh karyawan

tersebut, gunakan = 5%.

b. Untuk sampel besar (n 30) = 1/2 = rata-rata parameter

X = rata-rata statistik

t1/2 .n-1 = batas keyakinan yang digunakan

Z1/2 = batas keyakinan yang digunakan

N = jumlah populasi

n = jumlah sampel

SD = standar deviasi statistik.Secara singkat dapat dilihat pada table berikut ini :

2. Menaksir Proporsi Perhatikanlah populasi binom berukuran N dimana terdapat proporsi untuk pariasi A yang ada didalam populasi itu. Sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi itu. Misalkan terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk peristiwa A = . Jadi titik taksiran untuk adalah . Jika 100 % interval kepercayaan untuk penaksiran dikehendaki, maka kedua persamaan berikut harus diselesaikan :

Jawaban atau harga yang didapat dari rumus (8) merupakan batas bawah interval kepercayaan sedangkan jawaban dari rumus (9) menjadi batas atasnya.

Rumus rumus diatas sangat panjang dan tidak praktis. Karenanya sering digunakan Pendekatan binom untuk ukuran n sampel cukup besar. Rumus 100 % yakni untuk interval kepercayaan , dalam hal ini berbentuk

Dengan dan q = 1-P sedangkan adalah bilangan z didapat dari daftar normal baku untuk peluang . Untuk memudahkannya dapat diperhatikan table berikut ini :

3. Menaksir Simpangan Baku

Untuk menaksir varians dari sebuah populasi, sampel varians berdasarkan sampel acak berukuran n perlu dihitung, dan rumus yang digunakan ialah rumus:

Ternyata bahwa varians adalah penaksir tak bias untuk varians 2. Akan tetapi simpangan baku s bukan penaksir tak bias untuk simpangan baku . Jadi titik taksiran untuk adalah bias. Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians 2, maka 100 % interval kepercayaan untuk 2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat. Rumusnya adalah :

Dengan n = ukuran sampel sedangkan dan di dapat dari daftar chi-kuadrat berturut-turut untuk P = dan dengan dk = (n-1).

Untuk mendapatkan interval taksiran simpangan baku , tinggal melakukan penarikan ketidaksamaan dalam rumus (12). Hasil ini tidak eksak, akan tetapi cukup akurat untuk maksud-maksud tertentu.

4.Menaksir Selisih Rata-rata Misalkan kita punya dua buah populasi, kedua-duanya berdistribusi normal. Rata-rata dan simpangan bakunya masing-masig 1 dan 1 untuk populasi satu, 2 dan 2 untuk populasi dua. Dari masing-masing populasi diambil sebuah sampel secara acak dengan ukuran n1 dan n2. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut adalah , s1 dan , s2. Akan ditaksir selisih rata-rata (1 - 2).

a. 1 = 2Jika kedua populasi normal itu mempunyai 1 = 2 = dan besarnya diketahui, maka 100 % interval kepercayaan untuk (1 - 2) ditentukan oleh rumus:

Dengan didapat dari daftar normal baku dengan peluang .

Jika kedua populasi normal itu mempunyai 1 = 2 = tetapi tidak diketahui besarnya, maka dihitung terlebih dahulu varians gabungannya (s2) dengan rumus:

Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi student. Rumus untuk 100 % interval kepercayaan untuk (1 - 2) adalah:

Dengan s (varians gabungan) dan tp didapat dari dstribusi Student (daftar G) dengan p = (1 + ) dan dk = (n1 + n2 2)

b. 1 2Untuk populasi normal 1 2 , dengan memisalkan s1 = 1 dan s2 = 2 , untuk sampel acak berukuran besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaannya ditentukan oleh:

Contoh:Ada dua pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan = 60,2 dan = 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan = 70,4 dan = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan rata-rata kedua pengukuran tersebut!Jawab:

Selanjutnya dihitung:

Dengan p = 0,975 dan dk = 108, dari daftar distribusi t didapat t = 1,984

atau

Jadi, 95% percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu akan ada dalam interval yang dibatasi 8,06 dan 12,34

c. Observasi bepasanganMisalkan populasi kesatu mempunyai variabel acak X dan populasi kedua dengan variabel acak Y. Rata-rata masing-masing . Diambil dua sampel acak masing-masing sebuah dari tiap populasi, yang berukuran sama, jadi n1 = n2 = n. Didapat data sampel: (x1, x2,......,xn) dan (y1, y2,........,yn). Kedua data hasil observasi ini dimisalkan berpasangan menjadi:

x1 berpasangan dengan y1x2 berpasangan dengan y2...........................................

xn berpasangan dengan yn

100 % interval kepercayaan untuk B ditentukan oleh:

Dengan tp didapat dari daftar distribusi Student untuk p = (1 + ) dan dk = (n 1)

Contoh:

Data berikut adalah mengenai tinggi anak laki-laki pertama (X) dan tinggi ayah (Y) dinyatakan dalam cm.

Tinggi anakTinggi ayahBeda (B)B2

(1)(2)(3)(4)

158161-39

16015911

16316211

157160-39

154156-24

164159525

169163636

158160-24

162158416

16216011

Jumlah 8106

Tentukan interval taksiran beda rata-rata tinggi badan tersebut!

Jawab:

Untuk menentukan interval taksiran beda rata-rata tinggi badan dibuat kolom (3) dan (4) yang berisikan beda B dan B2 dengan B = X Y.

Dengan mengambil asumsi tinggi badan berdistribusi normal dan tinggi anak berpasangan denagn tinggi ayah, maka kita dapat menentukan interval kepercayaan 95% untuk B ialah:

Atau

5. Menaksir Selisih Proporsi Kita mempunyai dua populasi dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing dan . Dari populasi ini secara independen masing-masing diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dari populasi kesatu dan n2 dari populasi kedua. Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan dari sampel-sampel itu adalah dan dengan x1 dan x2 adalah banyaknya peristiwa yang diperhatikan dalam sampel satu dan dua. Akan ditentukan interval taksiran untuk ( - ). Untuk ini digunakan pendekatan dengan distribusi normal asalkan n1 dan n2 cukup besar. Rumus yang digunakan untuk interval kepercayaan 100 % selisih ( - ) adalah:

Dengan , dan didapat dari daftar normal baku dengan peluang .Contoh:

Suatu sampel acak yang terdiri dari 500 pemudi dan satu lagi terdiri dari 700 pemuda yang mengunjungi suatu pameran. Ternyata 325 pemudi dan 400 pemuda yang menyenangi pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyenanginya!

Jawab:

Persentasi pemudi: Persentasi pemuda: Jadi q1 = 35% dan q2 = 43%

Dengan n1 = 500 dan n2 = 700, didapat:

Dengan z = 1,96, diperoleh:

Atau

Jadi 95% yakin bahwa perbedaan persentasi pemudi dan pemuda yang mengunjungi pameran dan menyenanginya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

6. Menentukan Ukuran Sampel

Sehubungan dengan teori menaksir, ukuran sampel dapat ditentukan antara lain berdasarkan kepada:a. Apa yang akan ditaksir?

b. Berapa besar perbedaan yang masih mau diterima antara yang ditaksir dan penaksir?

c. Berapa derajat kepercayaan atau koefisien kepercayaan yang diinginkan dalam melakukan penaksiran?

d. Berapa lebar interval kepercayaan yang masih mau diterima?Ketika menaksir parameter oleh , dua hal yang terjadi ialah menaksir terlalu tinggi atau terlalu rendah. Perbedaan antara dan ialah . Makin kecil nilai b maka semakin baik menaksir karena makin dekat penaksir yang dipakai kepada parameter yang sedang ditaksir. Dalam arah ini, suatu ketika akan tiba pada ketentuan berapa besar beda b yang masih mau dterima dan dengan derajat kepercayaan berapa.

Ketika menaksir rata-rata oleh statistik , maka beda . Untuk koefisien kepercayaan dan populasi berdistribusi normal dengan simpangan baku diketahui, maka ukuran sampel n dapat diketahui:

Contoh:

Untuk menaksir rata-rata waktu yang diperlukan oleh mahasiswa dalam menyelesaikan sebuah soal tertentu, diperlukan sebuah sampel. Ketika menaksir rata-rata tersebut, dikehendaki derajat kepercayaan 99% dengan beda yang lebih kecil dari 0,05 menit. Jika diketahui simpangan baku waktu yang diperlukan = 0,5 menit, berapa mahasiswa yang perlu diambil untuk sampel tersebut?Jawab:

Dengan = 0,5 menit, b = 0,05 menit, dan z = 2,58, maka didapat:

Oleh karena ukuran sampel harus merupakan bilangan bulat diskrit, maka paling sedikit n = 666 mahasiswa.Jika yang ditaksur itu proporsi oleh statistik , maka beda yang terjadi besarnya . Dengan memisalkan bahwa pendekatan distribusi normal kepada kedua binom berlaku dan koefisien kepercayaan = , maka ukuran sampel dapat ditentukan dengan rumus:

Kecuali jika varians diketahui, maka dalam hal lain rumus diatas tidak digunakan. Dalam hal ini varians diganti oleh harga maksimumnya ialah 0,25.

Contoh:

Misalkan Departemen P dan K perlu mengetahui ada berapa persen kira-kira anak-anak SD yang bercita-cita ingin menjadi guru. Ketika melakukan perkiraan ini, koefisien kepercayaan diambil 95% dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari 2%. Berapa anak SD yang perlu diteliti?

Jawab:

Disini varians harus diambil 0,25 karena soal tersebut sama sekali tidak menyebutkan tentang harga . Dengan b = 0,02 dan z = 1,96 maka:

Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari 2402 anak-anak SD.Contoh:

Jika untuk contoh diatas, dari pengalaman diketahui ada 12% anak bercita-cita ingin menjadi guru, tentukan berapa ukuran sampel sekarang!Jawab:

Kedalam rumus disubstitusikan = 0,12 dan - 1 = 0,88, b = 0,02 dan z = 1,96, maka:

Paling sedikit sampel itu harus terdiri dari 1015 anak-anak SD.Dari kedua contoh diatas, dapat dilihat bahwa dengan diketahuinya harga , ukuran sampel telah sangat berkurang dari 2402 menjadi 1015. Ini menyatakan bahwa informasi terdahulu sangat bermanfaat, ikut membantu meringankan analisis dan biaya.

BAB III

SIMPULANDalam membuat taksiran (pendugaan) sangat diperlukan konsep probabilitas karena sangat berguna dalam pembuatan keputusan pada kondisi ketidakpastian, Ada jenis penaksiran yaitu penaksiran titik (Point Estimation) dan penaksiran interval (Interval Estimation). Penaksiran Titik (Point Estimation) : suatu parameter (misal ) akan ditaksir hanya dengan menggunakan satu bilangan saja (misalnya dengan Xrata-rata). Penaksiran interval merupakan interval nilai (range) yang nilai parameter populasi berada di dalamnya. Untuk menentukan rata-rata dalam penaksiran, digolongkan antara populasi terbatas dan populasi tidak terbatas dan sample juga digolongkan antara sample kecil dan sample besar Penaksiran proporsi akan digunakan apabila data yang ada bersifat diskrit. Penaksiran proporsi ini sebaiknya digunakan untuk sampel besar yang terdiri dari populasi terbatas dan populasi tidak terbatas.DAFTAR PUSTAKA

Sudjana, 1997, Metoda Statistika, Penerbit Tarsito Bandung, Bandung.materi-vi-teori-penaksiran-1.htmlP (A < < B ) =