Embed Size (px)
Citation preview
Kehidupan Nyata
Bahasa Matematika
Model Matematika
Persamaan atau pertidaksamaan
Matematika
Penyelesaian masalah
Bisa Disajikan
Diperlukan Alat Bantu
Menggunakan
Tujuan
Kemampuan yang akan
dibahas
Menentukan nilai optimum dari
fungsi tujuan sebagai
penyelesaian program linear
4
Program Linear
adalah suatu metode
untuk mencari nilai optimum
suatu bentuk linear f(x,y) = ax + by
pada daerah himpunan penyelesaian
suatu sistem pertidaksamaan
5
Nilai optimum dapat ditentukan dengan tahapan:
1. Menentukan model matematika
2. Menggambar daerah himpunan penye
lesaian sistem pertidaksamaan linear
3. Menentukan koordinat titik sudut pada
daerah tersebut
4. Menentukan nilai optimum bentuk
linear pada titik-titik tersebut
6
Untuk menggambar daerah himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan
anda harus ingat hal-hal sbb:
7
Y Persaaman garis nya:
X (a,0)
(0,b)
O
X 2
3
O
Persaaman garis nya:
bx + ay = ab
3x + 2y = 6
1. Persamaan garis
8
2. Menentukan daerah pertidaksamaan
X
Y
x
y ax + by c; a > 0
ax + by c; a > 0
9
Contoh menentukan daerah
pertidaksamaan
X
Y
6
2 x + 3y 6, 0 + 0 6 ™
x + 3y 6, 0 + 0 6 (m)
X
Y
a
b
bx + ay ab
bx + ay ab
Titik uji (0,0) gbr garis: x + 3y = 6,
10
Contoh 1: Nilai maksimum fungsi sasaran
Z= 6x + 8y dari sistem
pertidaksamaan linear:
adalah….
0,0
4842
6024
yx
yx
yx
11
Pembahasan:
X
Y
O 24 15
12
30
Titik-titik potong garis batas
4x + 2y = 60
2x + 4y = 48 x2
x1
(12,6)
12
4x + 2y = 60
4x + 8y = 96
-6y = -36
y = 6
4x + 2y = 60 4x + 12 = 60
4x = 48 x = 12
Jadi titik potongnya (12,6)
13
Substitusi titik-titik sudut ke: Z = 6x + 8y
(0,0) Z = 6.0 + 8.0 = 0
(15,0) Z = 6.15 + 8.0 = 90
(12,6) Z = 6.12 + 8.6 = 72 + 48 = 120
(0,12) Z = 6.0 + 8.12 = 96
Jadi, maksimum Z adalah 120
14
Contoh 2:
Pesawat penumpang mempunyai
tempat duduk 48 kursi. Setiap
penumpang kelas utama boleh
membawa bagasi 60 kg sedang kelas
ekonomi 20 kg.
15
Pesawat hanya dapat membawa bagasi
1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp.
150.000,00 dan kelas ekonomi Rp
100.000, 00.
Supaya pendapatan dari penjualan tiket
pada saat penuh mencapai maksimum
jumlah tempat duduk kelas utama
haruslah…
16
Pembahasan:
Rp100.000 Rp150.000 Harga
tiket
1440 kg 20 kg 60 kg bagasi
48 y x Tempat
duduk
Jumlah Kelas
Ekonomi (y)
Kelas
utama (x) kelas
kapasitas
17
Syarat adalah
Tempat duduk tidak boleh lebih dari 48
x + y 48
Bagasi tidak boleh lebih dari 1440 kg
60x + 20y 1440 atau
3x + y 72
Banyak penumpang kelas utama dan
ekonomi harus 0, yaitu x 0 dan y 0
18
Jadi model matematisnya:
x + y 48
3x + y 72
x 0
y 0
Himpunan penyelesaian dari syarat
(model matematis) merupakan daerah
yang diarsir pada gambar berikut:
19
Fungsi sasaran adalah
memaksimumkan laba yaitu: f(x,y)=
150000x + 100000y
20
48
(0,48)
(24,0)
72
X
Y
0
garis: x + y = 48
garis: 60x + 20y = 1440
3x + y = 72 (12, 36)
21
Titik potong kedua garis:
x + y = 48
3x + y = 72
-2x = -24 x = 12,
Jadi titik potongnya: (12, 36) y = 36
22
Substitusi titik-titik sudut (24,0),
(12,36) dan titik (0,48) ke
f(x,y) = (150x + 100y)1000
(24,0) f(x,y) = 150.24 + 100.0
= 3.600.000
23
(12,36)f(x,y)=150.12 +100.36
=1800 + 3600 = 5.400.000 (maks)
(0,48)f(x,y)=150.0 + 100.48
= 4.800.000
Supaya laba maksimum, maka
tempat duduk kelas utama, x = 12
24
Contoh 3:
Dengan persediaan kain polos 20 m dan
kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan
membuat model pakaian jadi.
25
Model I :
memerlukan
1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.
Model II:
memerlukan
2 m kain polos dan 0,5 kain bergaris.
26
Bila pakaian tersebut dijual, setiap
model I memperoleh untung Rp 15.000, 00
dan
model II memperoleh untung Rp. 10.000.
Laba maksimum yang diperoleh adalah…
27
Pembahasan:
Laba max? Rp10.000 Rp15.000 Laba
10 m 0,5 m 1,5 m bergaris
20 m 2 m 1m Polos
Tersedia Model II (y) Model I (x) Model
Kain
28
Fungsi sasaran adalah
memaksimumkan
laba yaitu: f(x,y)= 15000x + 10000y
29
Syarat adalah
Kain polos tidak boleh lebih dari 20 m
x + 2y 20
Kain bergaris tidak boleh lebih dari 10 m
1,5x + 0,5y 10 atau
3x + y 20
Banyak model I dan II harus 0
yaitu x 0 dan y 0
30
Jadi model matematisnya:
x + 2y 20
3x + y 20
x 0
y 0
Himpunan penyelesaian dari syarat
(model matematis) merupakan daerah
yang diarsir pada gambar berikut:
31
20
(0,10)
(20/3,0)
20
X
Y
0
garis: x + 2y = 20
garis: 3x + y = 20 (4, 8)
32
Titik potong garis batas:
x + 2y = 20
3x + y = 20
-5x = -20 x = 4,
Jadi titik potongnya: (4, 8)
y = 8
x1
x2 x + 2y = 20
6x + 2y = 40
Titik potong(4, 8)
33
Substitusi titik-titik sudut (20/3,0),
(4,8) dan titik (0,10) ke
f(x,y) = (15x + 10y)1000
(20/3,0) f(x,y) = 15.20/3 + 100.0
= 100
(4,8)f(x,y)= 15.4 +10.8
= 60 + 80 = 140 (maks)
(0,10)f(x,y)=15.0 + 10.10
= 100
Jadi laba maksimum Rp140.000,00
34
Contoh 4: Nilai maksimum fungsi f(x,y) =2x + 3y
yang memenuhi sistem pertidaksamaan
linear: x + 2y 6,
x – y -1, x – 4 0, adalah….
Pembahasan:
35
6
3
-1
1
x = 4
X
grs: x + 2y = 6
grs: x - y = -1
Y
36
Titik-titik potong garis batas
x + 2y = 6
x – y = -1
x = 4
4 + 2y = 6
2y = 2
y = 1 A(4,1)
x = 4
4 – y = -1
y = 5 B(4,5)
37
6
3
-1
1
x = 4
x
Y
A(4,1)
B(4,5)
x + 2y = 6
x - y = -1
3y = 7
y = 7/3
C
38
x – 7/3 = -1
x = 4/3 Titik C(4/3,7/3)
y = 7/3 x - y = -1
39
Substitusi titik-titik sudut A(4,1),
B(4,5) dan titik C(4/3,7/3) ke
f(x,y) = 2x + 3y
40
A(4,1) f(x,y) = 2.4 + 3.1 = 11
B(4,5) f(x,y) = 2.4 + 3.5 = 23 (maks)
C(4/3,7/3)f(x,y) =2.4/3 + 3.7/3
= (8 + 21)/3
= 29/3
Fungsi sasaran ber nilai maksimum, di titik
(4,5). Jadi nilai maksimum 23
Nilai optimum dari fungsi tujuan f = ax + by
dapat juga ditentukan dengan menggunakan
garis selidik ax + by = k
yang melalui titik terjauh atau titik terdekat dari
titik pusat koordinat pada daerah himpunan
penyelesaiannya
Langkah-langkah mencari nilai optimum
dengan garis selidik :
1. Menentukan nilai k, misalnya sama dengan k1, sehingga
ax + by = k1 mudah digambar
2. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan
garis ax + by = k1 :
a. Jika garis ax + by = k2 merupakan garis yang
paling kanan pada daerah penyelesaian, k2
merupakan nilai maksimum.
b. Jika garis ax + by = k3 merupakan garis yang
paling kiri, pada daerah penyelesaian, k3
merupakan nilai minimum.
Seorang penjahit profesional mempunyai bahan 30 meter wol dan 20 meter katun. Ia akan membuat stelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas memerlukan 3 meter wol dan 1 meter katun, Sedangkan untuk satu stel rok memerlukan 1 meter Wol dan 2 meter katun. Berapa stel jas dan rok yang harus ia buat agar ia mendapatkan keuntungan Sebesar-besarnya, apabila harga satu stel jas Rp. 150.000,00 dan harga satu stel rok Rp. 75.000,00 ?
Perhatikan model matematika dan fungsi tujuannya ::
Model Matematika :
3x + y ≤ 30
x + 2y ≤ 20
x 0 ; y 0 x є C ; y є C
Fungsi tujuan : “ Memaksimumkan”
f((x,y) = 150.000x + 75.000y
Kita akan selesaikan masalah ini dengan metode garis selidik
Fungsi tujuan : f = 150.000x + 75.000y
Buatlah garis-garis yang memenuhi 150.000x + 75.000y = k
Melalui titik (0,0) 150.000x + 75.000y = 0
75.000y = -150.000x
y = -2x
Buat garis – garis lain yang sejajar dengan garis y = -2x
Perhatikan Grafik berikut :
x
y
(0,0)
(0,30)
(10,0)
3x+y ≤ 30
(0,10)
(20,0)
x+2y ≤ 20
(8,6)
y =-2x
Dari grafik, terlihat bahwa garis putus-putus
(garis selidik) yang paling kanan melalui
titik (8,6).
Jadi nilai maksimumnya =
150.000 (8) + 75.000 (6) = 1.650.000
Sehingga Penjahit profesional itu agar mendapatkan
Keuntungan maksimum harus membuat
8 jas dan 6 rok
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
Perhatikan gambar
Soal-1
Nilai maksimum
f(x,y) = x – 2y + 4
adalah…..
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
Perhatikan gambar, persamaan-persamaan
garisnya adalah
Pembahasan-1
x + y = 4
x - y = -2
x + 2y = -2
x = 3
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya
Pembahasan-1
A(3,…)
B(3,…)
C(…,…)
D(-2,0)
Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya
Pembahasan-1
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
A(3,…)
B(3,…)
C(…,…)
D(-2,0)
A(3,…)
titik potong x = 3
dan x + 2y = -2
diperoleh A(3, -5/2)
Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya
Pembahasan-1
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
A(3,-5/2)
B(3,…)
C(…,…)
D(-2,0)
B(3,…)
titik potong x = 3
dan x + y = 4
diperoleh B(3, 1)
Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya
Pembahasan-1
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
A(3,-5/2)
B(3,1)
C(…,…)
D(-2,0)
C(…,…)
titik potong
x – y = -2 dan
x + y = 4
diperoleh C(1,3)
Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya
Pembahasan-1
X
Y
O 4
4
-1
-2 3
2
A(3,-5/2)
B(3,1)
C(1,3)
D(-2,0)
Titik-titik A(3,-5/2),
B(3,1), C(1,3)
dan D(-2,0)
disubstitusi ke
f(x,y) = x – 2y + 4
Pembahasan-1
Titik-titik A(3,-5/2), B(3,1), C(1,3) dan D(-2,0)
disubstitusi ke f(x,y) = x – 2y + 4
Diperoleh: f(3,-5/2) = 3 + 5 + 4 = 12
f(3,1) = 3 – 2 + 4 = 5
f(1,3) = 1 – 6 + 4 = -2
f(-2,0) = -2 – 0 + 4 = 2
Jadi nilai maksimumnnya adalah 12
58
Contoh 5 Pedagang makanan membeli tempe
seharga Rp250,00 per buah dijual de-
ngan laba Rp50,00 per buah, sedang
kan tahu seharga Rp400,00 per buah
dijual dengan laba Rp100,00 per buah.
59
Pedagang tersebut mempunyai modal
Rp145.000,00 dan kiosnya dapat me-
nampung 400 buah maka keuntungan
maksimum pedagang tersebut adalah….
60
Pembahasan:
Rp100,00 Rp50,00 Laba
Rp145.000,00 Rp400,00 Rp250,00 Harga beli
400 y x Daya
tampung
Modal Tahu (y) Tempe (x) jenis
kapasitas
Laba max?
61
Fungsi sasaran adalah
memaksimumkan
laba yaitu: f(x,y)= 50x + 100y
62
Syarat adalah
Jumlah tahu tidak boleh lebih dari 400
x + y 400
Modal tidak boleh lebih dari Rp145.000
250x + 400y 145000 atau
5x + 8y 2900
Banyak tempe dan tahu harus 0
yaitu x 0 dan y 0
63
Jadi model matematisnya:
x + y 400
5x + 8y 2900
x 0
y 0
Himpunan penyelesaian dari syarat
(model matematis) merupakan daerah
yang diarsir pada gambar berikut:
64
(400,0)
400
580
(0,362½)
X
Y
0
garis: x + y = 400
garis: 5x + 8y = 2900
(100,300)
65
Titik potong garis batas:
x + y = 400
5x + 8y = 2900
-3y = -900
y = 300,
Jadi titik potongnya: (100, 300)
x = 100
x5
x1
5x + 5y = 2000
5x + 8y = 2900
Titik potong(100,300)
66
Substitusi titik-titik sudut (400,0),
(100,300) dan titik (0,362½) ke
f(x,y) = 50x + 100y
(400,0) f(x,y) = 50.400 + 100.0
= 20000
(100,300)f(x,y)= 50.100 +100.300
= 35000
(0,362½)f(x,y)=50.0 + 100.362½
= 36250 (max)
Jadi laba maksimum Rp36.250,00
