-
23
MERKEZCİL KUVVETLER VE SAÇILMA
A) MERKEZCİL KUVVETLER
B) HAREKET DENKLEMLERİ
C) YÖRÜNGELER
D) BAĞLI VE ASİMTOTİK SERBEST DURUMLAR
E) KEPLER YÖRÜNGELERİ
F) BAĞLI DURUMLARDA ENERJİ BÖLÜŞÜMÜ
G) SAÇILMA İLKELERİ
H) TESİR KESİTİ HESAPLARI
I) ÖRNEKLER
J) SAÇILMA AÇILARININ GALİLEO DÖNÜŞÜMÜ
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
A) MERKEZCİL KUVVETLER
İki parçacık arasındaki etkileşmenin kütle merkezi ve relatif
koordinatlar kullanılarak tek
parçacık problemine indirgenebildiği görülmüştü. Bu
parçacıkların etkileşmesinin sadece
aralarındaki uzaklığa bağlı olduğu, yani eşdeğer tek parçacık
probleminin U r U r
potansiyeli ile belirlendiği durumlar 'Merkezcil Kuvvet'
problemi olarak adlandırılır. Bunun
sebebi ˆ F U F r U r r olmasıdır.
d pF
dt denkleminin r ile vektör çarpımı
d pr F r
dt verir,
ancak
v d r
dt ve p paralel oldukları için
d r p d pr
dt dt
-
24
sağlanır. r F ve L r p tanımlarıyla da dL
dt elde edilir.
Merkezcil kuvvetler için 0r F olduğu için 'Açısal Momentum'
L
sabit kalacaktır. Bu da tanım gereği r ve p 'nin L vektörüne dik
bir düzlemde yer
alması demektir. Dolayısıyla merkezcil kuvvet problemlerini 2
Boyutta, mesela -x y
düzleminde incelemek yeterli olur.
B) HAREKET DENKLEMLERİ
-x y düzleminde , r polar koordinatlar kullanılarak
oluşturulan
2 2 2
2 2
mr mrU r
L ifadesinden 2 mr mr U r
ve 2
2 : 0
d mrmr L
dt
sabit Lagrange denklemleri elde edilir.
İlk denklemde 2
L
mr yerleştirilerek
2
3 0
L dUm r
m r dr ,
bunun da r 'ye göre integralinden
2 2
2
2 2
mr LU
mr Sabit ara sonucu
bulunur. Terimlerin radyal ve dönme kinetik enerjileri ile
potansiyel enerji olarak teşhis
edilmesi, Sabit 'in toplam enerji E olduğunu belirler. Bu da
22 2
22
U rdr E L
dt m m m r demektir. Çözümün genel yol haritası
2
2 2
2 2
o
drt t t t r r r t
E U L
m m m r
-
25
2 o
L dtt
m r t
ile verilir. Ancak
2
2 2
2 2
dr
E U L
m m m r
integralini bulmak mümkün olsa bile çözüm t t r
biçiminde olacak, bunun r r t haline getirilmesi ek bir zahmet
gerektirecektir.
C) YÖRÜNGELER
Gerçek hayatta bu çetin yol, bilgisayar destekli sayısal
hesaplara bırakılıp
22 2
22
U rdr E L
dt m m r m ve
2
d L
dt mr
ifadelerini bölerek,
zamandan bağımsız 2
2 2 2
22 1
mU rdr mEr
d L L r denkleminden
r r r 'Yörünge' ifadesini bulmak yoluna gidilir. Bu
denklemin
bile çok az sayıda U r için, temel fonksiyonlarla ifade
edilebilen çözümü vardır.
Teknik bir nokta: 1 r ur
değişken dönüşümü yapılarak bulunan
22 2
22
dud
mU umEu
L L
denklemi çözüme daha elverişlidir.
D) BAĞLI VE ASİMTOTİK SERBEST DURUMLAR
Gerçekçi potansiyellerden (1) 0U davranışı beklenir. Bu kurala
uymayan
2 2
2
m rU r
benzeri ifadeler, ancak kısıtlı bölgelerde ve yaklaşık olarak
geçerli
olurlar. r 'deki davranışı belirleyen
2v
2
mE ancak 0E için
anlamlı olur; 0E hali ise parçacığın r 'a ulaşamayacağına işaret
eder.
-
26
Dolayısıyla 0E hali 'Bağlı Durum' olarak adlandırılır ve yörünge
uzayın sonlu bir
bölgesine kısıtlanır. 0E durumları ise iki ucu da r 'da biten
açık
yörüngelere yol açar; bunlar da 'Saçılma Durumu' olarak
adlandırılır.
E) KEPLER YÖRÜNGELERİ
1 0k için çekici, 1 0k için itici
1
1
kU k u
r potansiyeli,
Kepler problemi olarak bilinir. Hem kütle çekimi, hem de Coulomb
etkileşmelerini kapsayan
bu problemin çıkış noktası 21
2 2
2 2
o
du
mE mku u
L L
integralidir.
2
o
seçimi ve Elips'in 'Yassı'lığını belirleyen
2
2
1
2 1
EL
mk
parametresi tanımıyla 2
1
1
1 cos
Lr
mk
yörünge ifadesi elde edilir.
Bu ifadenin kartezyen koordinatlarda 2 4
2 2 2
2 2
1 1
21
L Lx x y
mk m k
biçimini alan konik eğrileri olduğu kolayca gösterilir. E ve
1
k parametreleri ile
belirlenen bu yörüngelerin tek tek incelenmesi gerekir.
a) 0E : Bağlı ve Saçılma durumlarının ortak sınırında yer alan,
ancak temelde bir
saçılma problemi olan 0 1E özel durumunun yörüngesi
2
1 cos
or
r
ile verilir. Bu parabolik yörüngede r ilişkisi,
asimtotun , yani negatif x -ekseni olduğunu belirler. Böylece
parçacık
x 'dan gelip, merkeze en yakın nokta 2
1
, 0L
mk
'dan geçip, tekrar
x yönüne gider. Merkeze en yakın noktanın itici potansiyeller
için negatif, çekici
-
27
potansiyeller için ise pozitif olduğu, yani itici durumda
yörüngenin merkezin önünden, çekici
durumda arkasından geçtiği görülür.
b) 0E : Bu saçılma probleminde 1 1 cos
ile belirlenen, biri
2
2
, diğeri
3 3 2
sağlayan iki asimtot bulunur.
2 3 2
olduğu kolayca görülür. Asimtot açılarının 2 ve 3 olarak
etiketlenmesi, söz konusu açıların kartezyen koordinatta sol üst
ve sol alt çeyreklerde yer
aldıklarına işaret eder. Yörünge 0 1E olduğu için
hiperboliktir.
2
1
1
o
Lr
mk
ile belirlenen merkeze en yakın noktanın gene itici
potansiyeller için
negatif, çekici potansiyeller için ise pozitif olduğu, yani
itici durumda yörüngenin merkezin
önünden, çekici durumda arkasından geçtiği görülür.
c) 0E : Bu şartın sağlanabilmesi için 1 0k olmak zorundadır.
1
olduğu için de eliptik bir yörünge oluşur ve asimtot söz konusu
değildir. Yörüngenin merkeze
en yakın noktası
2
min
1
1
Lr
mk
, en uzak noktası da
2
max
1
1
Lr
mk
ile verilir ve ikisi de x -ekseni üzerinde yer alırlar.
F) BAĞLI DURUMLARDA ENERJİ BÖLÜŞÜMÜ
d
dt
biçimindeki bir fiziksel değişkenin 0 t zaman aralığındaki
ortalama
değeri
0
1
d ddt
dt dt
olarak tanımlanır. Eğer
t sadece sonlu değerler alan bir fonksiyonsa limitinde 0d
dt
elde edilir. Bu sonuç, kapalı bir yörünge için r p ifadesine
uygulanırsa
v 2 0
d r pdp r F K r U
dt dt
-
28
bulunur; bu da 2 K r U sonucuna götürür. 'Virial' teoremi olarak
bilinen bu
sonuç çok parçacık problemlerinde ve hatta kuantum mekaniğinde
geçerliliğini korur. Kepler
problemi özel durumu için ise 2U E ; K E ; 2U K
özdeşliklerini verir.
G) SAÇILMA İLKELERİ
Saçılma deneyi: r 'daki serbest bir parçacığı merkezdeki bir
hedefe yönlendirmek,
hedefdeki potansiyelle etkileşme sonucu saçılan parçacığı gene r
'de, ancak başka
bir yönde gözlemektir. Bu işlem hedefdeki sistemin iç yapısını
incelemek için kullanılır.
Makroskopik sistemler doğal olarak 'gözle' incelenir ki bu da
bir saçılma işlemidir: uzak bir
ışık kaynağından çıkan fotonlar inceleme konusu yapıya çarpıp,
yön değiştirerek gözümüze
yönelirler. İç yapısı laboratuarda incelenen sistemler genelde
çok küçük, en irisi atom
boyutunda olurlar. Mikroskopik yapıları incelemenin doğal yolu,
bambaşka bir yaklaşım
kullanan kuantum fiziğidir. Ancak saçılma problemine klasik
mekanik yaklaşımı da eğitici ve
kuantum hesapları için yol göstericidir. Çok küçük boyutlarda
yörüngeleri tek tek tasarlama
ve kontrol imkanı olamayacağı için sabit 'Akı' lı bir parçacık
huzmesi kullanıp, gözlemi de
akı'lar üzerinden yapmak gerekir. Şimdiye kadar 2 Boyutta
yürütülen hesapların bu huzme
yaklaşımı ile 3 Boyuta terfi ettirilmesi gerekir. Parçacığın
eğer etkileşme olmasaydı gideceği
yön ile, gerçekte gittiği yön arasındaki açı 'Saçılma Açısı'
olarak adlandırılır ve ile
gösterilir. Saçılma açısı 0 sağlayacak şekilde 2
2
olarak tanımlanır. Parçacığın ilk yönüne paralel olan ve
merkezden geçen doğruya ise
'Saçılma Ekseni' denir. Parçacığın r 'da bu eksenden uzaklığı
ise 'Vuruş
Parametresi' olarak adlandırılıp s ile gösterilir. v L m s
ve 2
2
2
LE
ms
ilişkileri ileride yararlı olacaktır. Etkileşmeye giren parçacık
huzmesinin akı'sı 2
dNdt
s ds ,
etkileşmeden çıkan saçılmış parçacıkların, merkezden r
uzaklıktaki akı'sı ise
2 sin
dNdt
r r d ile verilir. Etkileşmenin akılcı bir ölçüsü bu iki akı'nın
oranı olabilirdi,
-
29
ancak saçılmış parçacıkların akı'sındaki 2
1
r davranışı ölçeklenerek, alan boyutunda, 'Tesir
Kesiti' olarak adlandırılan sin
s ds
d
tanımlanır(*). Tanımdaki mutlak
değer 0 olmasını garantiler. 'Toplam Tesir Kesiti' : TOP
ise 'nın tüm
katı açılar üzerinden integrali alınarak max
min
2 sin TOP
d
veya
2 2max min TOP s s biçiminde tanımlanır. İleride 'Sert Küre'
problemi
'toplam' ve 'tesir kesiti' kavramlarına açıklık
getirecektir.
H) TESİR KESİTİ HESAPLARI
Tesir kesiti hesaplarının temelinde gene 2
2 2
22
dud
mU umEu
L L
veya 2 2
1
s dud
U us u
E
denklemi yer alır ve yörüngenin,
merkeze en yakın noktası etrafında simetrik oluşundan
yararlanılır. Toplam sapma, yani
saçılma açısı, merkeze en yakın noktadaki sapmanın iki katı
olacaktır. En yakın noktanın
açısının, potansiyelin itici veya çekici oluşuna göre, 0 veya
olması, saçılma açısını
değiştirmeyeceği için, daha kolay olan 0 kullanılacaktır. Tesir
kesiti hesabı yol haritası :
i) Yörüngenin merkeze en yakın noktasında geçerli
2 2maxmax
0 1 0U udu
s ud E
denkleminden maxu hesaplanır,
ii)
max
2
0 2
0
2 2
1
u s dud
U us u
E
bulunur,
iii) 2
2
saçılma açısı elde edilir,
-
30
iv) , ,s E s s E tersinmesi yapılır,
v) sin
s ds
d
hesaplanır(2),
vi) max
min
2 sin TOP
d
elde edilir.
I) ÖRNEKLER
a) R Yarıçaplı Katı Küre 0 , dış iç o
U U U E
i) Doğrudan max1 u
R yazılır,
ii)
12 1
0 2 2
sin
1
R s du s
Rs u
iii) 1 2 sin
s
R
iv) cos2
s R
v) 2
4
R
vi) 2
TOPR : Sert Küre'nin kesiti !
b) Kepler Potansiyeli ve Rutherford Saçılması U ku
i)
2 2 2
max 2
4
2
k k E su
Es
,
ii) 2 1
2 2 2
sin
2 4
k
k E s
,
iii) 1
2 tan
2
k
Es
,
-
31
iv)
ctn2 2
ks
E
,
v) 2
4
2 csc
16 2
k
E
,
vi) = TOP ( Uzun menzilli potansiyel ! )
J) SAÇILMA AÇILARININ GALİLEO DÖNÜŞÜMÜ
LAB ve KM Çerçeveleri : Laboratuarda yapılan saçılma
deneylerinde M kütleli,
hareketsiz bir hedef ve buna ov hıziyla gönderilen m kütleli
parçacık söz konusudur.
Dolayısıyla -x y düzleminde momentumlar :
LAB (önce): v 0
& 0 0
om M
ile verilir.
Tüm hızlardan Kütle Merkezi hızı v
Toplam o
KM
Toplam
P mV
M M m
çıkartarak, toplam
momentumun sıfır olduğu 'Kütle Merkezi Çerçevesi'ne bir Galile
dönüşümü ile geçilir :
KM (önce) :
v v
&
0 0
o oM m
m MM m M m
Parçacıklar etkileşip, saçılma gerçekleşince parçacığın -x
ekseniyle KM
açısı yaparak
saçıldığı, hedefin de toplam momentumu sıfır bırakacak şekilde
geri teptiği görülür :
KM (sonra) :
KM KM
KM KM
v v cos cos
& v v
sin sin
o o
o o
M m
M m M mm M
M m
M m M m
Tekrar LAB çerçevesine dönmek için, ilk adımda çıkartılan KM
V bu defa tüm hızlara
eklenir :
-
32
LAB (sonra) :
KM KM
KM KM
v v v v cos cos
& v v
sin sin
o o o o
o o
M m m m
M m M m M m M mm M
M m
M m M m
parçacığın LAB çerçevesindeki son hızının y ve x bileşenlerinin
oranı
CMCM
LAB
CM CM
v sin
sin tan = =
v v cos cos
o
o o
M
M mM m m
M m M m M
olarak yazılıp, saçılma açısının LAB ve KM çerçeveleri arasında
nasıl dönüştüğü anlaşılır.
PROBLEMLER
B.1 ) Kepler problemi için t t r çözümünü elde edin ve bu
fonksiyonun
r r t olarak tersinemeyeceğini görün.
C.1 ) 2
1
1
1 cos
Lr
mk
yörüngesine karşılık gelen konik denkleminin
2 4
2 2 2
2 2
1 1
21
L Lx x y
mk m k
olduğunu gösterin.
C.2 ) Çekici merkez, dairesel bir yörüngenin üstünde yer
alıyorsa 44
k
U rr
olduğunu gösterin.
-
33
C.3) 1 22 k k
U rr r
potansiyeline karşılık gelen yörüngenin
21
1 cos
ar
olduğunu gösterin. Bu ifade 'kayan eksenli' ve genelde
kapanmayan bir 'elips' dir. 1 durumu için yaklaşık bir 'eksen
kayma hızı'nı
2
1
k
k a ifadesi cinsinden elde edin.
C.4 ) Relativistik Kepler yörüngesinin de ekseni kayan bir elips
olduğunu gösterin, bir evvelki
problemle ilişkilendirin.
C.5 ) Daima çekici olan 'Harmonik Osilatör' potansiyeli
2 2
2
m rU
ile verilir.
4
o
seçimi yaparak ve
2 2
2 1 1
Lc
E
,
2
1
o
Lr
mE c
tanımlarını kullanarak 1
1 cos2
o
cr r
c
yörünge ifadesini elde edin. Bu
ifadenin 2 2 21 1 1oc x c y r c elips denklemine eşdeğer
olduğunu,
'Yassılma' parametresinin 2
1
c
c
ile verildiğini gösterin.
F.1 ) Harmonik osilatörlerde 2
EK U eş bölüşüm ilkesini ispat edin.
H.1 ) 2 Boyutta TOP ve ifadelerini oluşturun, sonuçları 'Sert
Daire'
problemine uygulayın.
-
34
H.2 ) 22 k
U rr
potansiyelinin tesir kesitinin
2
2
2
sin 2
k
E
olduğunu gösterin. (Goldstein)
H.3 ) 0 , dış iç oU U U ile tanımlanan R yarıçaplı 'Çekici'
Küre'nin tesir
kesitinin 1 oU
nE
olmak üzere
2 2
2
cos 1 cos 2 2
4 cos 1 2 cos 2 2
n nn R
n n
olduğunu gösterin ve
TOP
ifadesini hesaplayın. (Goldstein)
H.4 ) Saçılma kavramını genelleyerek R yarıçaplı ve f odak
uzaklığına sahip bir
yakınsak mercek için TOP ve ifadelerini bulun.
J.1) Hedef parçacığın geri tepme açısının 2 2
olduğunu gösterin. (Goldstein)
NOTLAR
(1) Konu elektrodinamik olsaydı boyutları, dolayısıyla birimleri
değişik olan 'Potansiyel' ve
'Potansiyel Enerji' kavramlarını ayırmaya özen göstermek
gerekirdi. Klasik mekaniğin bu
bölümdeki uygulamalarında 'Potansiyel' aslında 'Potansiyel
Enerji' anlamına kullanılacaktır.
-
35
(2) Verilen bir U r potansiyeli için tesir kesitini bulmak
aslında güzel bir
matematik problemidir. Ancak gerçek hayatta önemli olan,
laboratuarda ölçülen
'dan U r potansiyelini, ondan da hedefin yapısını elde
etmektir.
U r işlemi için en sağlam kaynak : 'Mechanics' ,
Landau-Lifshitz, #18
