Messwiederholungen abhängige Messungen - tu-chemnitz.de · 21.04.2009 1 methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse • Messwiederholungen und abhängige Messungen

21.04.2009

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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse

• Messwiederholungen und abhängige Messungen

• t‐Tests und Varianzanalysen für Messwiederholungen

• Kovarianzanalyse

Thomas Schäfer | SS 2009 1


• Bei einer Messwiederholung (repeated mesurement) handelt es sich um ein Untersuchungsdesign, das eine Stichprobe verwendet, bei der wiederholt die gleiche abhängige Variable gemessen wird. Dieselben

Messwiederholungen und abhängige Messungen

g g g gPersonen durchlaufen dabei alle Untersuchungsbedingungen. Eine solche Untersuchungsform wird auch als Innersubjekt‐Design (between‐subjects) bezeichnet.

• Bei einem Design mit gepaarten Stichproben (matched samples) wird jeder Untersuchungsteilnehmer der einen Stichprobe einem Teilnehmer der anderen Stichprobe anhand eines Merkmals zugeordnet. Aus den

Thomas Schäfer | SS 2009

Prozess des Matching resultiert immer ein Paar von Versuchspersonen, die hinsichtlich eines spezifischen Merkmals äquivalent sind.

(nach Pospeschill, 2006)

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• Beispiele für Matching: Alter, IQ, Geschlecht• Ziel des Matching: sich dem Design einer Messwiederholung so gut wie

möglich anzunähern

Messwiederholungen und abhängige Messungen

• Messwiederholungsdesigns sind perfekt gematcht (parallelisiert)• Messwiederholungsdesigns und gepaarte Stichproben liefern immer

abhängige (verbundene) Messungen

• Vorteile abhängiger Stichproben:– weniger Versuchspersonen nötig– Veränderungen über die Zeit besser messbar (z.B. bei


Wirksamkeitsstudien)– Fehlervarianz (hier: die Varianz zwischen den Personen) wird reduziert

• Nachteile: Sequenz‐ und Lerneffekte

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t‐Test für abhängige Stichproben

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für jedes Messwertepaar geht nur die Differenz der Werte in die Berechnung

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Mes

swer

t

Differenz der Werte in die Berechnung ein, nicht die Rohwerte!

Die unterschiedlichen Niveaus der Personen werden nicht berücksichtigt

Minimierung der Fehlerstreuung

der Durchschnitt aller Differenzen wird gegen 0 getestet (wie beim


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Messung A Messung B

wird gegen 0 getestet (wie beim Einstichprobenfall)

n entspricht daher nur der Anzahl der Messwertpaare, nicht der Anzahl der Messwerte!

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34

35

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Messung A

Messung B

Differenz

35 32 3

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27

28

29

30

31

32

33

Mes

swer

t

35 31 4

33 30 3

32 29 3

30 25 5

27 24 3

5,3=X diff

Varianz der Differenzen


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Messung A Messung B

ndiff

diff

X diff

diffAS

XXt σσ ˆˆ== ( )

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ˆ −=∑ −=

n

diffdiff in

idiffσ


• Durch die Reduzierung der Fehlervarianz wird der t‐Wert für abhängige Stichproben immer größer als der t‐Wert für unabhängige Stichproben


unabhängige Stichproben

Effektgrößen

• Aus Rohwerten: σ̂ diff

diffXg =


• Aus dem t‐Wert:

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dfttroder

ng t AS

+==

²²

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t‐Tests im Vergleich

Empirischer vs. theoretischer Mittelwert (Einstichprobenfall)

Zwei empirische Mittelwerte (unabhängige Messungen)

Abhängige Messungen

σ

μ∧−

=X

Xtσ∧

−

−=

XX

BA

BA

XXt

(Einstichprobenfall) Messungen)

difft

diffσ∧

=


σσσ∧∧∧

−+=

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XXXX BABAnX

∧∧ =

σσ

(bei nA = nB)ndiff

diff

σσ

∧

=∧


Varianzanalyse mit Messwiederholung(Repeated measures ANOVA)

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(aus Pospeschill, 2006)

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Messung A Messung B

Mes

swer

t

Messung C

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Varianzanalyse mit Messwiederholung

Varianz über (k) abhängige Messungen; statt „UV“ steht oft „treat“

dfQSdfQS

F

res

res

UV

UV

residual

UV ==σσˆ

ˆ2

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Varianz, die nicht durch Treatment oder Personen erklärt wird

dfres = (k‐1)(n‐1)

dfUV = k‐1


QS: Quadratsummen: Anzahl der wiederholt gemessenen Merkmalsträger (Personen)

(QSgesamt = QSzwischen Personen + QSUV + QSres)


Varianzanalyse mit Messwiederholung

( )∑ ∑=k n

XXQS2 i: Laufvariable für Spalten

( )[ ]∑ −==

k

iiUV XXnQS

1

2

( )∑ −==

n

jjPers XXkQS

1

2

( )∑ ∑ −== =i j

ijgesamt XXQS1 1

QSres = QSgesamt ‐ QSUV‐ QSPers

i: Laufvariable für Spalten (Messwiederholungen)

j: Laufvariable für Merkmalsträger (Personen)

k: Anzahl der Messungen

n: Anzahl der wiederholt gemessenen Merkmalsträger

: GesamtmittelwertX


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Beispiel: Lordoseverhalten bei Hamstern



Beispiel: Lordoseverhalten bei Hamstern

Männchen A

Männchen B

Männchen C

Mittel

H t 1 30 14 4 16Hamster 1 30 14 4 16

Hamster 2 28 16 6 16,7

Hamster 3 27 16 5 16

Hamster 4 34 18 9 20,3

Mittel 30 16 6 17,3

die unterschiedlichen Niveaus der Merkmalsträger sind wieder nicht von Bedeutung


entscheidend ist, wie die Mittelwerte über die Messwiederholungen hinweg variieren

diese Variation spiegelt den Effekt der Messwiederholung wieder

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• Populations‐Effektgröße (partielles Eta‐Quadrat):

Effektgrößen und Power

UVP

QS=2η

• zur Poweranalyse: Vorgehen analog zur ANOVA bei unabhängigen Stichproben

• Effektgrößen generell größer als bei unabhängigen Gruppen!

• will man Effektgrößen aus ANOVAs mit abhängigen und unabhängigen Stichproben direkt vergleichen kann man eine

resUVP QSQS +

η


unabhängigen Stichproben direkt vergleichen, kann man eine korrigierte Variante der Effektgröße berechnen:

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resPersUV

UV

QSQSQSQS

++=η2


Poweranalyse mit G‐Power

Test auswählen Design auswählenArt der Analyse auswählen(a priori, post hoc)

Effektgröße eintragen (hier ausrechnen)


Alpha eintragenPower eintragen

Anzahl der Messwiederholungenbzw. Versuchsgruppen

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Poweranalyse mit G‐Power ‐ Ergebnis


Ergebnis: erforderliches N

Plot anzeigen lassen für N gegen Power


• zur Analyse der Differenzen einzelner Faktorstufen: Vorgehen analog zur ANOVA bei unabhängigen Stichproben

l h ffé f

Post‐hoc Tests (Einzelvergleiche)

• also z.B. Scheffé‐Test, Bonferroni‐Test usw.

Männchen A

Männchen B

Männchen C

Mittel

Hamster 1 30 14 4 16


Hamster 2 28 16 6 16,7

Hamster 3 27 16 5 16

Hamster 4 34 18 9 20,3

Mittel 30 16 6 17,3

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• bei faktoriellen Designs können gleichzeitig abhängige und unabhängige Messungen vorkommen

bh b k f k

Gemischte Designs (mixed models)

• in SPSS: abhängige Messungen = Innersubjektfaktoren, unabhängige Messungen = Zwischensubjektfaktoren

Sitzung A Sitzung B Sitzung C

Faktor A: Messwiederholung in 3 Stufen


g g g

Patienten ohne Medikament

Patienten mit Medikament

Faktor B: 2 unabhängige Gruppen


Gemischte Designs – Beispiele


aus Gerrig & Zimbardo, 2008

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• Problemstellung: was passiert, wenn sich Versuchsgruppen (Faktorstufen) nicht nur durch das Treatment unterscheiden, sondern außerdem durch den Einfluss von Störvariablen? (häufig: Alter, Geschlecht, Intelligenz…)

Kovarianzanalyse (Analysis of Covariance, ANCOVA)

( g , , g )

• die eigentliche Lösung: Ausschalten der Störvariablen durch experimentelle Kontrolle

• wenn das nicht möglich ist (z.B. unvorhersehbare Störungen, Quasiexperimente), müssen die Störvariablen statistisch kontrolliert werden

• dafür müssen die Störvariablen in jedem Fall dokumentiert werden!


Placebo Einfache D. Doppelte D.

18 17 25

18 9 24

20 16 16


• die Störvariable erhöht die Fehlervarianz bei der ANOVA, weil ihr Einfluss nicht durch die UV erklärt werden kann

• damit sinkt die Power der berechneten Tests

Kovarianzanalyse

damit sinkt die Power der berechneten TestsWie kann man den Effekt der Störvariablen ausschalten?

Statistische Kontrolle einer Störvariablen, die möglicherweise die Daten der Untersuchung beeinflusst haben könnte:

• Frage: Wie sähen die Ergebnisse aus, wenn man den Einfluss dieser Variablen konstant gehalten hätte?

h


• Vorgehen:– 1. Die Störvariable wird zusätzlich erhoben– 2. Ihr Einfluss wird mit einer Kovarianzanalyse „neutralisiert“

(herausgerechnet)

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Die Regressionsanalyse „entfernt“ die auf das Kovariatzurückgehende Varianz aus der abhängigen Variablen (AV)

h h f

Kovarianzanalyse ‐ Vorgehen

• dies geschieht, in dem eine Regression der AV auf die Kovariate berechnet wird

• die Regressionsresiduen beschreiben den Anteil der AV, der nicht durch die Kovariate erklärt werden kann

• diese Residuen werden als neue AV in eine Varianzanalyse gegeben


• es wird versucht, die nach der Regressionsanalyse verbleibende (nicht erklärbare) Varianz mit der Hilfe einer ANOVA zu erklären

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Placebo Einfache D. Doppelte D.

18 17 25

18 9 24

20 16 16

möglicherweise ruft ein Unterschied im Alter zwischen den Gruppen Varianz in der Befindlichkeit der Patienten hervor, die nichts mit der UV zu tun hat

AV


zunächst Regression von Befindlichkeit auf Alter

Alter

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Residuen

die verbleibenden Residuen sind nun um den Einfluss des Kovariates


bereinigt

sie werden als neue AV in die ANOVA gegebenliefert die ANOVA nun immer noch einen Unterschied zwischen den

Gruppen, so kann dieser nichtmehr durch das Kovariat bedingt sein


• die Kovariate müssen intervallskaliert sein

• nominalskalierte Störvariablen werden einfach als Faktoren f


mit in die ANOVA aufgenommen

– ihr Einfluss wird dann von der Gesamtquadratsumme abgezogen

– sie erhalten einen eigenen F‐Wert

• Output‐Tabellen von Kovarianzanalysen sehen so aus wie die von ANOVAs, aber jedes Kovariat erhält eine eigene Zeile, in


, j g ,der der Effekt angegeben ist

Fazit: Kovarianzanalyse als Alternative zur ANOVA, wenn Störvariablen statistisch kontrolliert werden sollen

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