t,'1~",,"'''''''''''~'~''''

~

Figura 1.39. Ejercicio 1.11.Figura 1.40. Ejercicio 1.12.

RrnlcULAS

, ~/-~L// Losmtodosdeanlisiscuyopll}t~.:mi~l).!>se-poyaen~gW~Jipodeener-ga,formanpartedelosmtodosenergticos.En~;tecapft:Ubseestudian'elpm.-apioestacionariodelaenerga,losteoremasdeCastiglianoy elmtododela m."gi-Vift"illlti!ria,loscualesseapoyanenla~rl~~(l.d~deformaci~E~~~a.FIgura 1.41. Ejercicio 1.13.

Figura 1.42.Ejercicio 1.14.TRABAJO DESARROLLADO POR UNA CARGA

Figura 1.43. Ejercicio 1.15.Figura 1.44.Ejercicio 1.16.

El tr~.'ljoefectuadoporunacargacuandosesometeaun.9..~.Rl~9~nelrn-tQ,sedefineromoelpJ;:Q

40 CAP.2. MTODOS[NmGtncos, [NRGiA D DEfORMACIN INTERNA 41

Comolacargaseaplicagradul!m~!lte(enjI'A::!.~rIl~n!9s)desdecerohasta.unvalormilmoP,labarrasedeformagradui:llmentesegnseapliquelacar-

" ga,hastauna(j~fo:rl~~inlplxi~~"ii~efi;stintequela cargaalcanzasu;,a-lormximo.Al aplicarU!lj~L~IgJQQ~__c-rg4Pseproduce.uniI~_9:~~ento~nI~defor.Q!.a-Qll~.El tr-aoajorealizadoporlacarg?:,P-1pl!c!idahastaese-lIlS-.taI1te),duranteeseincremiltode'dforrriad(~esPdA, por!oque-eljiill:>

43

('2. 1: )

('LI' )

.-..----.

Tu=- r:y2

Tu==vE +31.2 2

tNE.RGA DE. DE.FORMAC1 N INRRNA

De laecuacin2.12,si elYQlgrg.f:rl5~!s.1:!e,!'P2.e~!!Q~:fudQPorV=-dx elydz y l'Sl!:fl!t.a!"!2,entoncesseobtienela tll_e~g_{;S2~9Jl(:adeJi:fQ[111.acollporesfuerzocortante"

En el casodequeun cuerp9..~~tsometidoa losdosEsf~l~r;ws,axialy ('Intante,la energaeSJlecficadedefo.DJla_cin'~:l!andoia'cargaseaaplicadagrlldualmente'estard}Ciapor: ._n_

x

.t,

p +--+

[J,,"---o P /.dy: IP . . .~ dx :P~

~ ~

Figura 2.2. Elementodiferencialen equilibrio.

.' .tV.,..:.. !.. ...

4')

(:l .:'! O)

(:l.:.!1)

(2. :~~n

C~.'.~l)

('~.'.'.I)

(:.!.2.'1)

\"

"/,h

r L

~;~l>'ty=-G

z

Tu:~2E

/ ... -~~I ~ ~-:

Tu= ~z y e"2E'az

L J NZ'~'4Ads[Jint:=fa A 2EA:/-;:

'H:.~'-"

'~5

El ~~sf'ue.r:~9~!ial,deacuerdoconla resistenciademateriales,sedelillt',

(N!cr"'" .'

_~7A

T!u::.

't"{Tu=-2

La l~y.deHoo_keparaesfuerzocortantesepuedeexpresarcomo:

.EN:RGiADE DEfOR,\;\AClN INTERNA EN FUNCiN DE LOS aDvIENTOS MECNICOS

sustituyendola ecuac;in2.21enla 2.20,

sustituyendolaecuacin2.22enla ecuacin2.18,

La primeraintegralquedaenfuncindelrea,perocomostaesCIl/ 1:;1dlltealolargodetodala longituddela barra,al realizarla integralseobti"1l1':

L N2Uint=J -,-' -....ds

a 2iEA}

sustituyendola ecuacin2.19en..1aecuacinde la ~nerga_~specficadedcfor~n,

La ecuacin2.24eslaexpresinqueperinitecalcularla energa(k dd11macininternaenfuncindela fuerzamal. - ..--,-'------r-~--~-'-.,--

Energade deformacin interna por fue~~.~~.rtante

La ecuacin.2.13estableceque la energaespecficade deforJn

.\lItituyeadolaecuacin2.25enla ecuacinde la energaespecficadedefor-maciD. ,..

Ele~~E() cort:~nteparacualquiertipodeseccincuandolafuerzacortan-lt'le aplicaenel ejey,comoseindica en la figura2.3,sepuededeterminarcon:

SustihJymdola ecuacin2.27 en la2.26,seobtienelael1_~rg!ae~~.gca(ledcfOl"1Ililci!Eenfuncinde la !1.terg.mrtante:

47

_

(2.32)

(2.33)

.)

seccionesreq-nglll,resY triangulares---- .. --..__ .-

p~rt11es

seccionescJ!~:t1b1res

,)

o~ dAfy =t 21 b2T

L ffy Vi dsUint =So ZGA:

ti=1.2

f -l.Q.f, 9r _ readela seccinJf - readelalma

Par~un~s.ec~i~dada,Q~i~!.z.yjJ_son.

'Ir' 'I""'---'~-'~'''''---------------'''''.'''''----------------''~

sustituyendoenestaecuacinla deformacinlinealunitariadadacin2.19,seobtiene:

Tu:::; crx ex2

.L~eIl.e.~g;a,espe..cmc.a

~r'

Al deducirla ecuacin2.41, de acuerdoconla resistenciade materiales,

(2.49)T==P; (Om,m+Om,n)+~ o":"

~

.................. 0n,. 0 0.0 000

~s oim .m.m . n,m

Figura 2.7. Desplazamientosal aplicarla secuenciade cargas Pn Y Prrr

Figura 2.6. Desplazamientosal aplicarla secLJ~n~i~c:JEJ.C:~l}lasPro Y Pn-

~

n

.....

0 o?'!C.m .0 0 0

o .o oi .. .. m,n 1I,n

TEOREMA DE BETTl

Elgal:>!ljorealizadoporestascargasdeacuerdoconlaecuacin2.5es;

SI

Si se~J~rt~J_!ieCll.~I.1f~~._geaQIiGo9'~de l~:>_c-rgas,al aplicarPn la es-tructurase deformay la cargase desplazauna cantidadon,n(desplazamientoen el punton cuandoseaplicala cargaen el mismopunto);sin retirar lacargaPn se aplic}.lacargaP"" al deformarseunavezmsla estructura,la cargaPn sevuelvea desplazarunacantidad011,m (desplazamientoen elpunton cuandoseaplicala cargaPm)yla cargaPmse desplazaunacantidadm,m(desplazamientoen el puntomcuando.seaplicala cargaPm),comoseilustraenla figura2.7,

El trabajorealizadoporla aplicacindeestasecuenciadecargasdeacuer-do conla ecuacin2.5,quedadefinidopor:

Considreseunaestrllc.turaconco1TIP{,lt!a_II1i~ntoelstic()_4neala la Cl1.11sele aplicandoscaxga.s,la primeraseaplicaenelpU.lltotUy sedenotacomo1>71'al defonnarsela estructurala cargasedesplazaunacantidadom m (desplazamientoen elpuntom cuandoseaplicaticargaenelmismoplinto);sin retirarla cargaPlIllasegundacargaseaplLcaen eLpunt()!ly sedenotaporp". aldefmmarseunavezmslaestructura,lacarga-Pm sevuelveadesplazarunacantidad

. ~m,n(de~plaz,!mi~~_~!l_elp!l~t~_!P:o~~AQ.~~llP-li~(1J,cr.g~:>ll)Y la cargap. S('desplazauna cantidado"."(desplazamientoen elpunton cuandoseaplicalacargaPJ, comoseilustraenla figura 2.6.

(2.48)

(2.46)

(2.47)

(2.45)

(2.44)

.(2.43)

10.0 i =~, .0

0.312! 0.333

CAP 2. ,';\TODOS ENfRGTIC OS

\'l

] ==f p2dA.4

L M; dsUint=Jo 2G!

')\"-

] =chb3

e=~[~ - 3.36~(1-~)~16 3 h 12h4 ~

" 1i:~,'"'.,

~.,

En elC-.1().PJ:Aii g.~!1eral,esdecir,cuandoel ~lementoest~llie!Q~al.o;>~eiseJelll~ntl)S_m.e.{;ffiol1icos(N, VY' "z' Mx,My,Mz), la eper&~~~defof.:IDac.:inil;!temaestdadapor la eXJ>.t:.lfsin: r~.

:-:-'",;1\..\,_

2' f V'} ? 2iL N fI. fy i iL 1ftV; 1L MU. = -- ds+ --- ds+ -- ds+ _x-ds+mt o 2EA o 2GA o 2GA o 2G]

LM2 LM2

f -y- ds+f -. ,_z dso 2EIy o 2EI.

El valordec tambinsepuededetemunarenfuncindela relaciJ;lhfbylosvaloresdela tabla2.1. 'OOOd ~O _oo_ .. -

Tabla2.1.Valaresdeeparadeterminar]enseccionesrectangulares.

Para secci()l1~sIl,Qt::jr,c.111ares,el momentopolar d~in.erciase determinat'Un laexpresin, - >a~~

- fL f 1\1; P~dAds- o A 2Cj2

50

sustituyendola ecuacin2.44en la 2.43seobtienela expresinparadetermi-narlaen~rgade def9TI1l9nenfuncindelmomento~r torsin,

liustituycndoltecuacin2.42enla 2.18,

I.,

..-".,,~,...........-----~~._....~.... .., ,.. .

.general~dadqueelcalorquefluyeenlaestructuray elincrementodetil ('1'\1.'1gacinticasoncero,esdecir,

52

P - Pm bT=1-(bn.n+bn,m)+Z m,m

,(2.50)

PRINCIPIO ESTACIONARIO DE LA ENERGA lB

ConbaseenelRri~io de~n de~~aus~~s, elLabajorealizadoporungstern.~de_~~ dur,ant~ahl~e.~~de_la~_s,ecu~~~dea~er~o, por lo quealigualarlasecuaciones2.49y 2.50,seobtiene: ,~~"~-,~-

0=0 Y !:.Ec=O.sustituyendoenlaecuacin2.53,

PRINCIPIO EST~CIONAIUO DE LA ENERGA

(:!,5')

n.5h)

(2.57)

(2,SCl)

....-:-~"'-

0=Uint+Uext)

Ut=Uint+Uext

--oUt -'1-a',=0 IXi i

Te= Uint

reordenandolaecuacin2.54,sepuedeescribir,

La_~~a de~fonnacintotlesfup...Qndevariasvariables(todoslospospl~~ie!!tos gueE~~fttla e~~ctura,comoestosdesplaza~!lto.!.~~fi.eren..al9l!nQctos,entoncesc0!l:.~..Qn~g~..w.c!.o_~elibertad),porlocualsuc;!ii~aI sepuedeexpresarcomo:'" ",

n (au ]O=L _t dXi

i=l oXi

Porotrolado,sisedenotacomo\Ut'alaenergadedef~)~5i,Iltp~;llqIW l.'SigualalaenergadedeformacininternamasTaeiergladCleformacinexter-na,entonces:

'OUt ~ oUt 'OUtdUt =-- ax+-- dX2 +...+-- dXn (2.5H)

'Ox oXz oXn, , O .:::1..\.hUrA-

delaecuaciIl!2.5{d~=O,porloqu~laecuacin2.58sepuedeescribir,

considerandoqueencualquierestructurabajounsistemadecargas,dxesdif~_0= Uint- Te VS'I)."~~"fn,-,Sisellama~I~~Eg!~__g~defQ..~in~!Wl-aL1!~joe~t~[Q.9Jlor-1,('S .It'1 11.

Uext=- Te,laecuacin2.55sepedeescribircomo,--~~-~~(2.51)

Pnbn,m

2Pmbm,n

2

Pm(bmm+bm n)+ Pn bn n= P,. (bn n+bn m)+ Pmbmm2 " ; '( 2 . 2 . , 2'

f':nj':"'U,-,," -t ~~:-, , , 0, C, _ ,'2..'"") - -t \ jl Ir(\o.('l\I\simplificando,seobtiene:-. '"",.'2---'-

1 ('" ;.tl';l';\ clit,- 'l('0":''11

La2..ri!!!..e.r(d~y~elatermodinmica(queesunaf.o~~l~~ds~delacon-~~ dela~~~~e: "El tra~o exte'!poquesereali~:"wr~_~temadecarl@senunsistemaestructural~ elcalorqueJ!!!y~eni~~-mosistemaes~l al-_~j,~~ento deen~~9E.~E~ams~ae~~adedeformacininterna."Estaleysepuedexpresarcomo: - 'S:;'

\.""\,,l~j -~------,-----._- r{7n ,;' e::~' . T+w=.1Jic+U\ ql!l,tMOo.'(l"CQ. e I / mt::~_,",:: ...' 't\

perocomono~!vter~~~!:l:elcal~LqueJluye,~~~, nil~.y.t:;.lQ...~9ad~ue )~~ygiliul.dQJmaQ.--n ~_~,~t~ma,seplfede(l:~~.9-~rarsinprdi~01tO ~Q. l." Wi~~O (,nentO) . J;'"

La ecuacin2.51seconocecomoette_~~~de,Bet!jyestableceque:"EltrabajorealizadoporlacargPm duranteideformacinocasionadaporlacar-gaPn> esigualaltrabajorealizadoporlacargaPn> duranteladeformacinoca-sionadaporlacargaPm."

Si consideramosquelacargaPm esigualalacargaP,,, laecuacin2.51sesimplifica: 1 ~'rV--~~-~-'",

I ",,'J }';; (2.52)~~0:.-.',"',\\

La ecuacin2.52seconocecomoelteoremadeMaxwell,queesuncaso

~y:~_B.$tti, y estableteqie:"I:a

,..~JJ

rw

12m

n=1,2,3

1

Figura2.8.Armadura.

n 2

U _~t!jE-Amt-.L,. l ij=l 2Lj

I30

2.5m 'Vy"l 20ton., ;, D

B

A

PRINCIPIO ESTACIONARJO DE l.~ ENERGA

Ejemplo 2.1. Con baseenel principio estacionariodela energa,d.et~!"-n~iJl~}l:f11e!z~4

Comolas fuerz~s?xiales.N;SQI1

".."'"'_'__"'_.m.,,~m.. ,. " '...

56 CAl' 2.MTODOSeNa~GtTlcOS PRINCIPIO ESTACIONARIO DE LA ENERGA ~7

Al proyectarlos desplazamientosa~ejelongitudinalde la barraco~oseindicaenla figura2.10tenemos:

i=1,2,3u ,=Ll;EjAjmt,! 2L.

2 ./)

r U ' ' = XD EA =!EA O 4 X2\ lOt,l 2(2,5) ~,2)(. D)

) U = (0.781Xo +0.625Yo? EA ~, mt,2 2(3.202)l, .

!EA \ 2' ',,2Uinl 2 :::;-;(0.191 XD +0.305XD YD +0.122YD). ':,~, - .

2 -',

U ~ YD EA:::: EA\ O 5 2'mt.3 2(2) ~ ( . Yo)

Barra3.

De la figura2.11seobservaque:

Lls =YD

1'~----~XDA ""'iVYD

Figura2.11.Qformaci~~.

Uint=Unt,+Uint,2+Unt,s

EA 2 EA 2 2)Uint=-- (0.4XO) +- (0.191Xv +0.305XD YD +0.122yo +22-

EA 2r-- (0.5Yo)2

EA 2, ,2U1nt =-- (0.591XD +0.305XD Yv +0.622yo)2

Sisetienenlasdeformacionesenfuncin,delosdesplazamientos,sepue..deevaluarla e~)nte~-d.a..bz!rra, quedeacuerdoconla ecuacin2.62sepuedeescribircomo:

pero,

~- ,,'.... '"'\ ' "rOl"

\1',1~l/',' ':':-"" ,:, J~~'" ' ,"~'~.'" ',.'. .'.;.. .i. -,t'

(j.

/ A '\~;l\

cosa.=~=0.7813.202

2sen0.=--=0.625

3.202

AXD =XD COS0.;

!YD=YD sen0.;

'Ll2 =LlXD +LlYD

Figura 2.10.Deformacinde la barra2,...---------....-

L2 =~(2.5)2+('2)2=3.202 /

De lafigura2.9seobservaque:

Ll=xD

Figura2.9.Def0':.mec12nde lab~~ra1.

~ ==m: ---===71

YD '-V xD

Ll2=0.781xD +0.625YD

L ~A2~L~'--T'--n--m__~ll)'~~"..,G"" A . ,/-..

! 1~i1>~~w~~D",/.1 "-,,",, ..1/\ -~:'; - ..~ ..I ,', / ~

1,1,< '_'~

i,---':::"" ' -,() >,t:~',

yl;~ :~~\D jt, ,

Barra2.

Paradeterminarla de!onp.~ndelasbarras.en~n de lQ~~~aza-~~toS, separtedeconsiderarquet~~sJasbarrMJI@~~in.:y:se di-bujala configuraciQ..:n..d....cl9JJllildacomoseilustraenlasfiguras2.9a2.1LA! fi-naldelanlisis,~t!asca!~s resJ.1l@npositivas,ql!i~re~~_~~~_efectiyam~IltetJ:~Wl-JeniiQn, creTacontrano,sison-negativastraoajana com.presin.

Barra1.

-.--,-...,... ~ - ... ~ ....

58 u,r2.MTODOSENERGETlCOS PRINCIPIO ESTACIO NARIO DE L\L'l/J\CA 59

V, =.~A.(0.591xb+0.305XD YD +0.622Yh)-10 Xv -11.321YD

_(:1onando,

~

=1,2,3t.;EA

Ni= L1

10.392 EA =4.157tonNi= EA 2.5'

:.928 ~=7.473 tonN2= EA 3.202

25.299 EA =12.650 tonN3= EA 2.0t~~"

I.Fx= O

-4.157-7.473(0.781)+20sen30=0I.Fy=O

12.650+7.473(0.625)-20cos30=0

Sustituyendoen la ecuacin2.61,ecuacinpara determinarlas cargasaxialesenfuncinde lasdeformaciones,

13 ~ ....7.473eL5,o

~ .. - .......~D

A ~4.157

20ton

Figura 2.12. Equilibriodel nodo O de la estructura.

Se observaquetcw:1.oslosr~sl,!l1:a~)aI~_(ltensin.En lafigura2.12serepresentael equilibriodelnodoD delaestructura,

El equilibrio severificacomprobando.quela sumade fuerzastantoen xcomoeny seaniguala cero,esdecir,

Ejemplo 2.2.Determinarla fuerzaen cadabarradela armaduraquesemuestranlafigura2.13.Considerequetod~sJ~p~~asson_delmis;::IDQmiterial.

La armaduratienegra

--------~--.. ' .-- ....

Al proyectarlos desplazamientosal ejelongitudinalde la barr;('OIlIO',t'indicaenla figura2.15,

t>I

y ,t;),~lE ~ "'" '~. 'fr.. ~,\>1~,I / II /~'" ~i: /'J"& "/1I 1'/" .' E ~jI ~P"CX ------7X

'=;..--- ..........'~' .Figura2.15.Deformacinde la barra2.

e.... . .. _ .. ''''~::T&-------?XB

"~~B .//

( ''':...':,,1'....Qltt-"R~. ...., E:", 1/

'~''''-_' ~', r~--- x

.x '~--:J ,EE ,,\./...- ..

L2 =~(3.5)2+(3)2=4.6098

,2 ='XE +'YE

'XE=XE cosa cosa= 3.5 -0.75934.6098

3'YE=YE sena sena=---=0.6508

4.6098

,2=0.7593XE +- 0.6508YE

Barra2.

Barra3.

PRINCIPIO ESTA.CIONARJO DE LA.ENERGIA

2m

3m

XB

...---...>

oUt =0oXi

Ut =UUlt +Uexl .'

Figura2.14.Deformacinde la barra1.

Figura2.13.Armadura. (('}\_-=:3)

'=XE

Uext=-Te

T;=10cos30xl{.+10sen30YEUext=-8.6602 XE -5.0 YE

YE'/1\I

1

2J> , ..~:~ x,

e

60

El principio estacionariode la energa,de acuerdoconla ecuacin2.59estableceque:

donde:

La ~~Q!l!!~~ enfuncindelosdesplazqmientossedeter-mina comoyasemencion,cq~~de~~o9.~~~!l~..!?!...-~.~~~_ten-~in(vansefigs.2.14a2.17)..- Barra 1.

'~, ,

~~

62

.CAP 1. MTODOS ENERGTICOS 63

!!.YE==YEsen9

!!.XE==XEcose

Enigualformaqueparalabarraanterior,delafigura2.16setiene:

L3==J(3f+(3i ==4.2426

Ll3 =LlXB - ilxE +ilYE

tnB=xB cosEl

cos8= 3 =0.70714.2426

3sen8=-.--==0.7071

4.2426

LlJ =0.7071XB - 0.7071XE +0.7071YE

Uintf:::'_~A(0.2357X -0.4714Xa XE +0.4714Xn YE +0:2357X~+.-0.4714xE YE+0.2357y1)

U _ }'1E (2.4) _ EA ~ ")inl.4 - 2(2) 2 YE

pero,

ViDt == Vint.!+Vin!. 2 +Vint,3 +Unt.4

Vint == E.4 (0.6108x~-0.257 XE YE +1.3276y1+0.2357~ +2

Barra4.

:'YE

p

L\J :II

.....(V.4714xB XE+ 0.4714XB YE)

VI ==Uint+Uexl

VI == ~4.(O.6108xi-0.257XE YE +1.3276yi+0.2357X~- O.4714xB XE+

0.4714XB YE)-5YE-8.6602 XE

Figura 2.17. Deformacin de la barra4.

!!.4==-YE

La energade deformacininternaparacadabarradeacuerdoconlac

-....

64 CAl' 2 MTODOS[NERGtTICOS 65

slucioriandoelsistemadeecuaciones,seobtiene:

tXBJt20.0285J. XE =;A ~2.4077YE 2.3792

I.Fy=O0=-2.3792+10sen30"- 4.0268sena

0=-2.3792+5 - 2.6206

/

Figura 2.18. Carga axalen las barras.

(2.1): 1)

~

10ton

U -u aUint \:int - int+--- dvdO; 1

.40UB

Si!!Q.seconsiderala CQ.ntribucin_~ segundoordende~ai