MET´ ODOS DIRECTOS PARA GRANDES SISTEMAS DE …caminos.udc.es/info/asignaturas/617/ApuntesYMaterialPedagogico/... · FACTORIZACIONES DE CROUT Y CHOLESKY F. Navarrina, I. Colominas,

METODOS DIRECTOS PARAGRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

FACTORIZACIONES DE CROUT Y CHOLESKYF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs

GMNI — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Departamento de Metodos Matematicos y de RepresentacionEscuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Universidad de A Coruna, Espana

e-mail: [email protected] web: http://caminos.udc.es/gmni

UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

mailto:[email protected]

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INDICE

I FACTORIZACION DE CROUT A˜ = L˜ D˜ U˜• Fundamentos teoricos. Condiciones de existencia• Algoritmos de factorizacion y de solucion de sistemas• Programacion. Almacenamiento de los resultados sobre los datos• Adaptacion para almacenamientos en banda y perfil

I FACTORIZACION DE CHOLESKY A˜ = L˜ D˜ L˜T

• Fundamentos teoricos. Condiciones de existencia• Algoritmos de factorizacion y de solucion de sistemas• Programacion. Almacenamiento de los resultados sobre los datos• Adaptacion para almacenamientos en banda y perfil

ICONDICIONES DE VINCULACION [coacciones]

I IMPLEMENTACION• Metodo de Cholesky para matrices en perfil (“Column Profile” o “Sky-Line”)


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (I)

FACTORIZACION DE CROUT [A˜ = L˜ D˜ U˜ ]

Sea el problema

A˜ x = b con A˜ =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...an1 an2 · · · ann

, x =

x1

x2...xn

, b =

b1

b2...bn

.

La FACTORIZACION DE CROUT consiste en:

A˜ = L˜ D˜ U˜ =⇒ L˜z︷︸︸︷

D˜ U˜ x︸︷︷︸y

= b =⇒

L˜ z = b,

D˜ y = z,

U˜ x = y.


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIa)

FUNCIONAMIENTO DEL METODO

Supongamos que ya hemos factorizado

A˜k = L˜k D˜ k U˜k, con A˜k =

[a11 · · · a1k... . . . ...ak1 · · · akk

],

siendo

L˜k =

[l11 0... . . .

lk1 · · · lkk

], D˜ k =

[d11 0

. . .0 dkk

], U˜k =

[u11 · · · u1k. . . ...0 ukk

].


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIb)

Pretendemos factorizar (a partir de lo anterior)

A˜k+1 = L˜k+1 D˜ k+1 U˜k+1, con A˜k+1 =

A˜k ck+1

fTk+1

ak+1,k+1

,

de forma que

Lek+1 =

266666664Lek 0

lTk+1lk+1,k+1

377777775, De k+1 =

266666664De k 0

0T dk+1,k+1

377777775, Uek+1 =

26666666664

Uek uk+1

0T uk+1,k+1

37777777775.

donde

ck+1 =

8<:a1,k+1

...ak,k+1

9=; , uk+1 =

8<:u1,k+1

...uk,k+1

9=; ,

fTk+1 = [ ak+1,1 · · · ak+1,k ] , l

Tk+1 = [ lk+1,1 · · · lk+1,k ] .


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIc)

Multiplicamos por cajas . . .

De k+1 Uek+1 =

266666666666664

De k Uek +

0ez|0 0

TDe k uk+1 +

0z | 0 uk+1,k+1

0T

Uek

| z 0

T

+ dk+1,k+1 0T

| z 0

T

0T

uk+1

| z 0

+ dk+1,k+1 uk+1,k+1

377777777777775.

Lek+1

`De k+1 Uek+1

´=

266666666666664

Lek De k Uek +

0ez|0 0

TLek De k uk+1 +

0z | 0 dk+1,k+1 uk+1,k+1

lTk+1De k Uek + lk+1,k+1 0T

| z 0

T

lTk+1De k uk+1 + lk+1,k+1 dk+1,k+1 uk+1,k+1

377777777777775.


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IId)

Igualamos . . .266666664Aek ck+1

fTk+1

ak+1,k+1

377777775=

266666664Lek De k Uek Lek De k uk+1

lTk+1De k Uek lTk+1De k uk+1 + lk+1,k+1 dk+1,k+1 uk+1,k+1

377777775,

lo que por cajas equivale a

A˜k = L˜k D˜ k U˜k, [⇐ HIPOTESIS]

ck+1 = L˜k D˜ k uk+1 ,

fTk+1 = lTk+1 D˜ k U˜k,

ak+1,k+1 = lTk+1 D˜ k uk+1 + lk+1,k+1 dk+1,k+1 uk+1,k+1 .


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIe)

Por tanto . . .

1. El vector uk+1 es la solucıon del sistema:

[L˜k D˜ k] uk+1 = ck+1 .

2. El vector lk+1 es la solucıon del sistema:[U˜T

k D˜ k

]lk+1 = fk+1 .

3. Los coeficientes lk+1,k+1, dk+1,k+1 y uk+1,k+1 verifican:

lk+1,k+1 dk+1,k+1 uk+1,k+1 = ak+1,k+1 − lTk+1D˜ k uk+1. (*)

(*) Donde lk+1 y uk+1 se habran calculado previamente.Hay infinitas descomposiciones posibles. Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores:

lk+1,k+1 = 1, uk+1,k+1 = 1 =⇒ dk+1,k+1 = ak+1,k+1 − lTk+1De k uk+1.


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIf)

4. Para k = 1:

A˜1 = L˜1 D˜ 1 U˜1 =⇒ l11 d11 u11 = a11 . (*)

5. Para k = n:

Añ = A˜ =⇒ A˜ = L˜ D˜ U˜ con

L˜ = Lñ,

D˜ = D˜ n,

U˜ = Uñ.

(*) Hay infinitas descomposiciones posibles. Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores:

l11 = 1, u11 = 1 =⇒ d11 = a11 .


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIIa)

REALIZACION DE LOS CALCULOS

1. FACTORIZACION DE LA MATRIZ:

Asignar l11 = 1, u11 = 1,

d11 = a11 .

Para k = 1, . . . , n− 1

Resolver[L˜k D˜ k

]uk+1 = ck+1 ,

[U˜k

TD˜ k

]lk+1 = fk+1 .

Asignar lk+1,k+1 = 1, uk+1,k+1 = 1,

dk+1,k+1 = ak+1,k+1 − lTk+1D˜ k uk+1.


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIIb)

Notas:

1. Los sistemas [L˜k D˜ k] uk+1 = ck+1 se resuelven en dos fases:

L˜k

vk+1︷︸︸︷D˜ k uk+1 = ck+1 =⇒

L˜k vk+1 = ck+1,

D˜ k uk+1 = vk+1.

2. Los sistemas[U˜T

k D˜ k

]lk+1 = fk+1 se resuelven en dos fases:

U˜Tk

mk+1︷︸︸︷D˜ k lk+1 = fk+1 =⇒

U˜T

k mk+1 = fk+1,

D˜ k lk+1 = mk+1.


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IIIc)

REALIZACION DE LOS CALCULOS (continuacion)

2. SOLUCION DE SISTEMAS:

Resolver L˜ z = b ,

D˜ y = z ,

U˜ x = y .


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IVa)

CONDICIONES DE EXISTENCIAPor construccion (unos en la diagonal principal), se cumple

det(Lek) = det(Uek) = 1 para k = 1, . . . , n.

Por tanto, basta con que se cumplan las condiciones(det(De k) 6= 0, k = 1, . . . , n− 1 para que pueda realizarse la factorizacion,

det(De k) 6= 0, k = n para que pueda realizarse la solucion de sistemas.

Por otro lado,

Aek = Lek De k Uek =⇒ det(Aek) = det(Lek) det(De k) det(Uek) = det(De k) ∀k.

Luego, las condiciones de existencia pueden expresarse en la forma

(det(Aek) 6= 0, k = 1, . . . , n− 1 para que pueda realizarse la factorizacion,

det(Aek) 6= 0, k = n para que pueda realizarse la solucion de sistemas.


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IVb)

En general, podemos afirmar que:

♥ Si la matriz es REGULARhdet(Ae) 6= 0

i. . .

♠ puede pasar que la factorizacion exista; (*)

♠ puede pasar que la factorizacion NO exista; (**)

♠ es practicamente imposible comprobar a priori la condicion de existencia anterior;

♣ es sencillo (y RECOMENDABLE en todo caso) comprobar sobre la marcha que

d11 6= 0, dk+1,k+1 6= 0 para k = 1, . . . , n.

♠ Aunque la matriz sea SINGULARhdet(Ae) = 0

i. . .

♠ puede pasar que la factorizacion exista; (*)

♠ pero no se podra utilizar para resolver el sistema. (***)

(*) Esto sucedera cuando det(Aek) 6= 0, k = 1, . . . , n− 1.

(**) Esto sucedera cuando no se cumpla la condicion anterior. Por ejemplo, cuando a11 = 0.Al igual que en el Metodo de Gauss, estos casos requieren PIVOTAMIENTO (intercambio de filas y/o columnas).El problema es que el pivotamiento casa mal con los almacenamientos en banda y en perfil.

(***) Porque el sistema no tiene solucion y el algoritmo fallara al resolver De y = z .


FACTORIZACION DE CROUT: Fundamentos Teoricos (IVc)

Un caso importante es el de las MATRICES DEFINIDAS:

Ae DEFINIDA =⇒ det(Aek) 6= 0, k = 1, . . . , n.

Luego, si A˜ es DEFINIDA (positiva o negativa)

♦ puede realizarse la factorizacion y

♦ puede realizarse la solucion de sistemas.


FACTORIZACION DE CROUT: Algoritmos (I)


l11 = 1, u11 = 1

d11 = a11

DO k=1,n-1

ui,k+1 = ai,k+1 −i−1Xj=1

lij uj,k+1 ; i = 1, . . . , k

ui,k+1 = ui,k+1 / dii ; i = 1, . . . , k

lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

uji lk+1,j ; i = 1, . . . , k

lk+1,i = lk+1,i / dii ; i = 1, . . . , k

lk+1,k+1 = 1, uk+1,k+1 = 1

dk+1,k+1 = ak+1,k+1 −kX

j=1

lk+1,j djj uj,k+1

ENDDO


FACTORIZACION DE CROUT: Algoritmos (II)

2. SOLUCION DE SISTEMAS: (*)

zi = bi −i−1Xj=1

lij zj ; i = 1, . . . , n

yi = zi / dii ; i = 1, . . . , n

xi = yi −nX

j=i+1

uij xj ; i = n, . . . , 1,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfildebido a que el bucle interno de la ultima expresion (sumatorio) barre la matriz Ue por filas.


FACTORIZACION DE CROUT: Algoritmos (III)

2. SOLUCION DE SISTEMAS: [Planteamiento Alternativo] (*)


lij zj ; i = 1, . . . , n

yi = zi / dii ; i = 1, . . . , n

xi = yi ; i = 1, . . . , n

xj = xj − uji xi ; j = 1, . . . , i− 1 ; i = n, . . . , 2,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y tambien para matrices en perfil.Observese que el bucle interno de la ultima expresion barre ahora la matriz Ue por columnas.


FACTORIZACION DE CROUT: Programacion (–)

Es facil comprobar que

• podemos almacenar L˜, D˜ y U˜ sobre A˜ ;

• podemos almacenar z, y y x sobre b;

Ası. . .a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n... ... ... . . . ...an1 an2 an3 · · · ann

se transformara en−→

d11 u12 u13 · · · u1n

l21 d22 u23 · · · u2n

l31 l32 d33 · · · u3n... ... ... . . . ...ln1 ln2 ln3 · · · dnn

.

b1

b2

b3...bn


z1

z2

z3...zn


y1

y2

y3...yn


x1

x2

x3...xn

.


FACTORIZACION DE CROUT: Programacion (I)


DO k=1,n-1

ai,k+1 ← ai,k+1 −i−1Xj=1

aij aj,k+1 ; i = 2, . . . , k

ai,k+1 ← ai,k+1 / aii ; i = 1, . . . , k

ak+1,i ← ak+1,i −i−1Xj=1

aji ak+1,j ; i = 2, . . . , k

ak+1,i ← ak+1,i / aii ; i = 1, . . . , k

ak+1,k+1 ← ak+1,k+1 −kX

j=1

ak+1,j ajj aj,k+1

ENDDO


FACTORIZACION DE CROUT: Programacion (II)


bi ← bi −i−1Xj=1

aij bj ; i = 2, . . . , n

bi ← bi / aii ; i = 1, . . . , n

bi ← bi −nX

j=i+1

aij bj ; i = n−1, . . . , 1,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfildebido a que el bucle interno de la ultima expresion (sumatorio) barre la parte superior de la matriz Ae por filas.


FACTORIZACION DE CROUT: Programacion (III)



aij bj ; i = 2, . . . , n

bi ← bi / aii ; i = 1, . . . , n

bj ← bj − aji bi ; j = 1, . . . , i− 1 ; i = n, . . . , 2,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y tambien para matrices en perfil.Observese que el bucle interno de la ultima expresion barre ahora la parte superior de la matriz Ae por columnas.


FACTORIZACION DE CROUT: Adaptacion a Banda y Perfil (Ia)

Sea la matriz A˜ tal que

A˜ =

00

ai−u(i),i

...

...ai−1,i

0 0 ai,i−`(i) · · · · · · ai,i−1 aii −→ fila i

↓columna i

donde (

`(i) ≡ semiancho de banda inferior de la fila i,

u(i) ≡ semiancho de banda superior de la columna i.


FACTORIZACION DE CROUT: Adaptacion a Banda y Perfil (Ib)

Examinamos en detalle el calculo

de la fila k + 1 de L˜, y

de la columna k + 1 de U˜ .

ui,k+1 = ai,k+1 −i−1Xj=1

lij uj,k+1 ; i = 1, . . . , k

ui,k+1 = ui,k+1 / dii ; i = 1, . . . , k −→ IRRELEVANTE

lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

uji lk+1,j ; i = 1, . . . , k

lk+1,i = lk+1,i / dii ; i = 1, . . . , k −→ IRRELEVANTE


FACTORIZACION DE CROUT: Adaptacion a Banda y Perfil (Ic)

Observamos que (a falta de dividir por los elementos dii) . . .8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

i = 1 −→ ai,k+1 = 0 ⇒ ui,k+1 = ai,k+1 −i−1Xj=1

lij uj,k+1 = 0 ,

i = 2 −→ ai,k+1 = 0 ⇒ ui,k+1 = ai,k+1 −i−1Xj=1

lij uj,k+1 = 0 ,

...

i = (k + 1)− u(k + 1)− 1 −→ ai,k+1 = 0 ⇒ ui,k+1 = ai,k+1 −i−1Xj=1

lij uj,k+1 = 0 ,

i = (k + 1)− u(k + 1) −→ ai,k+1 6= 0 ⇒ ui,k+1 = ai,k+1 −i−1Xj=1

lij uj,k+1 = ai,k+1 6= 0 .

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

i = 1 −→ ak+1,i = 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

uji lk+1,j = 0 ,

i = 2 −→ ak+1,i = 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

uji lk+1,j = 0 ,

...

i = (k + 1)− `(k + 1)− 1 −→ ak+1,i = 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

uji lk+1,j = 0 ,

i = (k + 1)− `(k + 1) −→ ak+1,i 6= 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

uji lk+1,j = ak+1,i 6= 0 .


FACTORIZACION DE CROUT: Adaptacion a Banda y Perfil (II)

Por tanto, se conservan los semianchos de banda inferior y superior:

Y tambien los perfiles inferior (por filas) y superior (por columnas):


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (I)

FACTORIZACION DE CHOLESKY [A˜ = L˜ D˜ L˜T , A˜ simetrica]

Sea el problema

A˜ x = b con A˜ =

a11 a12 · · · a1n

a22 · · · a2n. . . ...Sim. ann

, x =

x1

x2...xn

, b =

b1

b2...bn

.

La FACTORIZACION DE CHOLESKY consiste en:

A˜ = L˜ D˜ L˜T =⇒ L˜z︷︸︸︷

D˜ L˜T x︸︷︷︸y

= b =⇒

L˜ z = b,

D˜ y = z,

L˜T x = y.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IIa)

FUNCIONAMIENTO DEL METODO

Observamos que es un caso particular de la Factorizacion de CROUT paramatrices simetricas en el que

U˜ = L˜T .

Debido a la simetrıa se cumplira

ck+1 = fk+1 ,

U˜k = L˜Tk ,

uk+1 = lk+1 ,

uk+1,k+1 = lk+1,k+1 .


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IIb)

Por tanto . . .

1-2. El vector lk+1 es la solucıon del sistema:

[L˜k D˜ k] lk+1 = fk+1 .

3. Los coeficientes lk+1,k+1 y dk+1,k+1 verifican:

lk+1,k+1 dk+1,k+1 lk+1,k+1 = ak+1,k+1 − lTk+1D˜ k lk+1. (*)

(*) Donde lk+1 se habra calculado previamente.Hay infinitas descomposiciones posibles. Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores:

lk+1,k+1 = 1 =⇒ dk+1,k+1 = ak+1,k+1 − lTk+1De k lk+1.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IIc)

4. Para k = 1:

A˜1 = L˜1 D˜ 1 L˜T1 =⇒ l11 d11 l11 = a11 . (*)

5. Para k = n:

Añ = A˜ =⇒ A˜ = L˜ D˜ L˜T con

L˜ = Lñ,

D˜ = D˜ n.

(*) Hay infinitas descomposiciones posibles. Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores:

l11 = 1 =⇒ d11 = a11 .


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IIIa)

REALIZACION DE LOS CALCULOS


Asignar l11 = 1,

d11 = a11 .

Para k = 1, . . . , n− 1

Resolver[L˜k D˜ k

]lk+1 = fk+1 .

Asignar lk+1,k+1 = 1,

dk+1,k+1 = ak+1,k+1 − lTk+1D˜ k lk+1.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IIIb)

Notas:

1. Los sistemas [L˜k D˜ k] lk+1 = fk+1 se resuelven en dos fases:

L˜k

mk+1︷︸︸︷D˜ k lk+1 = fk+1 =⇒

L˜k mk+1 = fk+1,

D˜ k lk+1 = mk+1.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IIIc)

REALIZACION DE LOS CALCULOS (continuacion)

2. SOLUCION DE SISTEMAS:

Resolver L˜ z = b ,

D˜ y = z ,

L˜T x = y .


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Fundamentos Teoricos (IV)

CONDICIONES DE EXISTENCIA

Son las mismas que en el caso de la Factorizacion de CROUT.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Algoritmos (I)


l11 = 1,

d11 = a11

DO k=1,n-1

lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

lij lk+1,j ; i = 1, . . . , k

lk+1,i = lk+1,i / dii ; i = 1, . . . , k

lk+1,k+1 = 1,

dk+1,k+1 = ak+1,k+1 −kX

j=1

lk+1,j djj lk+1,j

ENDDO


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Algoritmos (II)



lij zj ; i = 1, . . . , n

yi = zi / dii ; i = 1, . . . , n

xi = yi −nX

j=i+1

lji xj ; i = n, . . . , 1,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfildebido a que el bucle interno de la ultima expresion (sumatorio) barre la matriz Le por columnas.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Algoritmos (III)



lij zj ; i = 1, . . . , n

yi = zi / dii ; i = 1, . . . , n

xi = yi ; i = 1, . . . , n

xj = xj − lij xi ; j = 1, . . . , i− 1 ; i = n, . . . , 2,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y tambien para matrices en perfil.Observese que el bucle interno de la ultima expresion barre ahora la matriz Le por filas.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Programacion (–)

Es facil comprobar que

• podemos almacenar L˜ Y D˜ sobre la parte inferior de A˜ ;

• podemos almacenar z, y y x sobre b;

Ası. . .a11

a21 a22

a31 a32 a33... ... ... . . .an1 an2 an3 · · · ann


d11

l21 d22

l31 l32 d33... ... ... . . .ln1 ln2 ln3 · · · dnn

.

b1

b2

b3...bn


z1

z2

z3...zn


y1

y2

y3...yn


x1

x2

x3...xn

.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Programacion (I)


DO k=1,n-1

ak+1,i ← ak+1,i −i−1Xj=1

aij ak+1,j ; i = 2, . . . , k

ak+1,i ← ak+1,i / aii ; i = 1, . . . , k

ak+1,k+1 ← ak+1,k+1 −kX

j=1

ak+1,j ajj ak+1,j

ENDDO


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Programacion (II)



aij bj ; i = 2, . . . , n

bi ← bi / aii ; i = 1, . . . , n

bi ← bi −nX

j=i+1

aji bj ; i = n−1, . . . , 1,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfildebido a que el bucle interno de la ultima expresion (sumatorio) barre la parte inferior de la matriz Ae por columnas.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Programacion (III)



aij bj ; i = 2, . . . , n

bi ← bi / aii ; i = 1, . . . , n

bj ← bj − aij bi ; j = 1, . . . , i− 1 ; i = n, . . . , 2,−1

(*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y tambien para matrices en perfil.Observese que el bucle interno de la ultima expresion barre ahora la parte inferior de la matriz Ae por filas.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Adaptacion a Banda y Perfil (Ia)

Sea la matriz A˜ tal que

A˜ =

SIM.

0 0 ai,i−`(i) · · · · · · ai,i−1 aii −→ fila i

↓columna i

donde (`(i) ≡ semiancho de banda inferior de la fila i,

≡ semiancho de banda superior de la columna i.


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Adaptacion a Banda y Perfil (Ib)

Examinamos en detalle el calculo de la fila k + 1 de L˜.

lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

lij lk+1,j ; i = 1, . . . , k

lk+1,i = lk+1,i / dii ; i = 1, . . . , k −→ IRRELEVANTE


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Adaptacion a Banda y Perfil (Ic)

Observamos que (a falta de dividir por los elementos dii) . . .

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

i = 1 −→ ak+1,i = 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

lij lk+1,j = 0 ,

i = 2 −→ ak+1,i = 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

lij lk+1,j = 0 ,

...

i = (k + 1)− `(k + 1)− 1 −→ ak+1,i = 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

lij lk+1,j = 0 ,

i = (k + 1)− `(k + 1) −→ ak+1,i 6= 0 ⇒ lk+1,i = ak+1,i −i−1Xj=1

lij lk+1,j = ak+1,i 6= 0 .


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Adaptacion a Banda y Perfil (II)

Por tanto, se conservan los semianchos de banda inferior y superior:

Y tambien los perfiles inferior (por filas) y superior (por columnas):


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Adaptacion a Banda y Perfil (IIIa)

1. FACTORIZACION DE LA MATRIZ: (*)

DO k=1,n-1

ak+1,i ← ak+1,i −i−1Xj=maxi−`(i),(k+1)−`(k+1)

aij ak+1,j ; i = [(k+1)−`(k+1)+1], . . . , k

ak+1,i ← ak+1,i / aii ; i = [(k+1)−`(k+1)], . . . , k

ak+1,k+1 ← ak+1,k+1 −kX

j=(k+1)−`(k+1)

ak+1,j ajj ak+1,j

ENDDO

(*) `(i) es el semiancho de banda inferior de la fila i.Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente ai,i−`(i).


FACTORIZACION DE CHOLESKY: Adaptacion a Banda y Perfil (IIIb)


bi ← bi −i−1Xj=i−`(i)

aij bj ; i = 2, . . . , n

bi ← bi / aii ; i = 1, . . . , n

bj ← bj − aij bi ; j = [i−`(i)], . . . , i−1 ; i = n, . . . , 2,−1

(*) `(i) es el semiancho de banda inferior de la fila i.Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente ai,i−`(i).


CONDICIONES DE VINCULACION [coacciones] (I)

Sea el sistema

a11 a12 a13 · · · a1v · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2v · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3v · · · a3n... ... ... . . . ... ...av1 av2 av3 · · · avv · · · avn... ... ... ... . . . ...an1 an2 an3 · · · anv · · · ann

x1

x2

x3...xv...xn

=

b1

b2

b3...bv...bn

+

000...rv...0

,

con la coaccion adicional

xv = pv , donde

v = GRADO DE LIBERTAD (GDL) COACCIONADO,

pv = VALOR PRESCRITO (conocido),

rv = REACCION (desconocida).


CONDICIONES DE VINCULACION [coacciones] (II)

El planteamiento anterior puede reescribirse en la forma

a11 a12 a13 · · · 0 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · 0 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · 0 · · · a3n... ... ... . . . ... ...0 0 0 · · · 1 · · · 0... ... ... ... . . . ...

an1 an2 an3 · · · 0 · · · ann

x1

x2

x3...xv...xn

=

b1−a1v pv

b2−a2v pv

b3−a3v pv

...pv

...bn−anv pv

,

con la ecuacion adicional

rv = [ av1 av2 av3 · · · avv · · · avn ]

x1

x2

x3...xv...xn

− bv,

que se utiliza una vez resuelto el sistema anterior.


CONDICIONES DE VINCULACION [coacciones] (III)

TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE VINCULACION [coacciones]

Dado el sistema Ae x = b + r, con algunas xv = pv, se procede de la siguiente manera:

1) Al factorizar se ignoran filas y columnas correspondientes a GDL prescritos (v).2) Las columnas correspondientes a GDL prescritos pasan restando a los terminos

independientes multiplicadas por los valores prescritos (−aiv pv ).

3) Las filas correspondientes a GDL prescritos (avj) se usan a posteriori para calcularlas reacciones ( rv ).

Luego, los datos almacenados en filas y columnas correspondientes a GDL prescritos

♣ no se alteran durante la factorizacion y♥ se pueden utilizar para resolver multiples sistemas con la misma matriz y distintos

B terminos independientes oB valores prescritos. (*)

(*) ¡OJO!: pueden cambiarse los valores prescritos (pv), pero no pueden cambiarse los GDL prescritos (v).


IMPLEMENTACION: Cholesky para matrices en perfil (Ia)

CODIFICACION DEL ALMACENAMIENTO (§)

A˜ =

a11

∗ ∗0 ∗ ∗ SIM.0 ∗ · · · ∗0 0 ∗ · · · ∗0 ∗ · · · · · · · · · ∗0 0 0 ai,i−`sbi · · · ai,i−1 aii −→ fila i

0 0 ∗ · · · · · · · · · · · · ∗0 0 0 0 ∗ · · · · · · · · · ann

(§) PARTE TRIANGULAR SUPERIOR EN PERFIL POR COLUMNAS⇐⇒ PARTE TRIANGULAR INFERIOR EN PERFIL POR FILAS.


IMPLEMENTACION: Cholesky para matrices en perfil (Ib)

ALMACENAMIENTO EN PERFIL (*)A˜ se almacena en v = [a11, · · · , ai,i−`sbi, · · · , · · · , ai,i−1, aii, · · · , · · · , ann]

aij vk, con k = lpij ≡ puntero del coeficiente aij.

Si lp(i) ≡ puntero del coeficiente aii, entonces:

8>>>><>>>>:lpii = |lp(i)| ≡ puntero de aii, (∗∗)

lsbi = lpii − (|lp(i − 1)| + 1) ≡ semiancho de banda inferior de la fila i, (∗∗)

lpiØ = lpii − i,

lpij = lpiØ + j ≡ puntero de aij, con i − lsbi ≤ j ≤ i,

(*) Sistema de punteros y variables utilizado en la subrutina SLE$Solver_LDLt_CP().

(**) Se utilizan valores absolutos porque esta subrutina cambia los signos de los punteros de los GDL coaccionados.


IMPLEMENTACION: Cholesky para matrices en perfil (II)

PROGRAMACION

1) CAMBIAR SIGNO A PUNTEROS DE GDL COACCIONADOS.

2) FACTORIZAR: A˜ = L˜ D˜ L˜T (*)

3) INICIALIZAR REACCIONES E IMPONER CONDICIONES DE VINCULACION.

4) RESOLVER LOS SISTEMAS: L˜ z = b, D˜ y = z, L˜T x = y (*)

5) CALCULAR REACCIONES.

6) RESTAURAR SIGNO A PUNTEROS DE GDL COACCIONADOS.

(*) IGNORANDO FILAS Y COLUMNAS CORRESPONDIENTES A GDL COACCIONADOS.


IMPLEMENTACION: Cholesky para matrices en perfil (IIIa)

1. FACTORIZACION DE LA MATRIZ: (*)

DO k=2,n

aki ← aki −i−1Xj=maxi−`sbi,k−`sbk

aij akj ; i = [k−`sbk+1], . . . , k − 1

aki ← aki / aii ; i = [k−`sbk], . . . , k − 1

akk ← akk −k−1Xj=k−`sbk

akj ajj akj

ENDDO

(*) `sbi es el semiancho de banda inferior de la fila i.Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente ai,i−`sbi.


IMPLEMENTACION: Cholesky para matrices en perfil (IIIb)


bi ← bi −i−1Xj=i−`sbi

aij bj ; i = 2, . . . , n

bi ← bi / aii ; i = 1, . . . , n

bj ← bj − aij bi ; j = [i−`sbi], . . . , i−1 ; i = n, . . . , 2,−1

(*) `sbi es el semiancho de banda inferior de la fila i.Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente ai,i−`sbi.


CALCULO MATRICIALDE CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE

I Ejemplo

I Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad

I Ecuaciones de Equilibrio

I Numeracion Global: Matriz de Conectividad

I Equilibrio Elemental en Numeracion Global

I Equilibrio Global

I La Matriz de Rigidez es Semi-Definida Positiva

I La Matriz de Rigidez Coaccionada es Definida Positiva


Ejemplo (I)

DATOS (*):

Materiales:

Cable Resistencia (Ω)

1, 4 484.00

2, 3 242.00

5 1210.00

GDL Coaccionados:

E = 220 V (generador)

V0 = 0 V (potencial de tierra)

Casos de Carga:

I) F2 = 0.00 AII) F2 = 2.00 A

(*) Vease la codificacion de este problema en el archivo ejemplo.dat.


Ejemplo (II)

Algunas variables importantes. . .

npoin=4 (4 nodos)

nelem=5 (5 elementos→ conductores)

nnode=2 (2 nodos por elemento)

nprop=1 (1 propiedad por material→ resistencia electrica)

. . .

NOTA: El sentido de la intensidad en cada elemento se elige de forma arbitraria.



Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (I)

Vector de desplazamientos (potenciales) elementales:

ue =

u1,e

u2,e

.


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (II)

Vector de deformaciones (gradientes de potencial) elementales:

εe = u2,e − u1,e .

ECUACION DE COMPATIBILIDAD:

εe = B˜ eue, B˜ e = [−1 +1 ] .


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (III)

Vector de tensiones (intensidades circulantes) elementales:

σe = Ie .

ECUACION CONSTITUTIVA (Ley de Ohm):

σe = D˜ eεe, D˜ e = [ 1Re

] .


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (IV)

NOTA IMPORTANTE:

Observese que en esta formulacion, el signo de la intensidad es elcontrario del habitual (*).

Lo anterior debera tenerse en cuenta tanto al introducir los datos comoal interpretar los resultados.

(*) Se ha hecho ası para que la matriz De e sea definitiva positiva, como sucede con lasrestantes formulaciones que se presentan durante este curso.


Ecuaciones de Equilibrio (I)

Vector de fuerzas (intensidades salientes) elementales:

fe =

I1,e

I2,e

=−Ie

+Ie

.

ECUACION DE EQUILIBRIO:

fe = B˜Te σe, B˜T

e =[−1+1

].


Ecuaciones de Equilibrio (II)

Luego,

εe = B˜ eue

σe = D˜ eεe

fe = B˜Te σe

=⇒

σe = D˜ e

(B˜ eue

)=

S˜e︷︸︸︷(D˜ eB˜ e

)ue,

fe = B˜Te

(S˜eue

)=(B˜T

e S˜e

)︸︷︷︸K˜ e

ue.

Matriz de Rigidez de Elemento:

K˜ e = B˜Te D˜ eB˜ e =

[+ 1

Re− 1

Re

− 1Re

+ 1Re

].

ECUACION ELEMENTAL (Constitutiva+Compatibilidad+Equilibrio):

K˜ eue = fe.


Numeracion Global: Matriz de Conectividad (I)

Vector de Desplazamientos (Potenciales) Nodales:

u =

u1

u2

u3

u4

.

CAMBIO DE NUMERACION LOCAL A NUMERACION GLOBAL

Matriz de Conectividad: lnods(nnode,nelem)

ipoin=lnods(inode,ielem) =⇒

8>><>>:ielem = elemento

inode = numeracion local 1,2 del nodo

ipoin = numeracion global del nodo


Numeracion Global: Matriz de Conectividad (II)

En el ejemplo que estamos utilizando (*) . . .

lnods(1,1)=1 lnods(2,1)=2







Equilibrio Elemental en Numeracion Global (I)

ielem=1

K˜ 1u1 = f1 =⇒ K˜ 1u = f1.

[+ 1

R1− 1

R1

− 1R1

+ 1R1

]u1,1

u2,1

=

I1,1

I2,1

=⇒

+ 1

R1− 1

R10 0

− 1R1

+ 1R1

0 00 0 0 00 0 0 0

u1

u2

u3

u4

=

I1,1

I2,1

00

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (II)

ielem=2

K˜ 2u2 = f2 =⇒ K˜ 2u = f2.

[+ 1

R2− 1

R2

− 1R2

+ 1R2

]u1,2

u2,2

=

I1,2

I2,2

=⇒

0 0 0 00 + 1

R2− 1

R20

0 − 1R2

+ 1R2

00 0 0 0

u1

u2

u3

u4

=

0

I1,2

I2,2

0

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (III)

ielem=3

K˜ 3u3 = f3 =⇒ K˜ 3u = f3.

[+ 1

R3− 1

R3

− 1R3

+ 1R3

]u1,3

u2,3

=

I1,3

I2,3

=⇒

+ 1

R30 0 − 1

R30 0 0 00 0 0 0

− 1R3

0 0 + 1R3

u1

u2

u3

u4

=

I1,3

00

I2,3

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (IV)

ielem=4

K˜ 4u4 = f4 =⇒ K˜ 4u = f4.

[+ 1

R4− 1

R4

− 1R4

+ 1R4

]u1,4

u2,4

=

I1,4

I2,4

=⇒

0 0 0 00 0 0 00 0 + 1

R4− 1

R4

0 0 − 1R4

+ 1R4

u1

u2

u3

u4

=

00

I1,4

I2,4

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (V)

ielem=5

K˜ 5u5 = f5 =⇒ K˜ 5u = f5.

[+ 1

R5− 1

R5

− 1R5

+ 1R5

]u1,5

u2,5

=

I1,5

I2,5

=⇒

+ 1

R50 − 1

R50

0 0 0 0− 1

R50 + 1

R50

0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

=

I2,5

0I1,5

0

.


Equilibrio Global (I)

El equilibrio de cada nodoesta gobernado por laLEY DE KIRCHOFF:

La Intensidad saliente decada nodo es igual a lasuma de las aportaciones(intensidades salientes)de todas las resistenciasque confluyen en el.


Equilibrio Global (II)

Vector de Fuerzas (Intensidades Forzadas) Nodales:

f =

F1

F2

F3

F4

.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Leyes de Kirchoff):∑lnods(inode,ielem)=ipoin

Iinode,ielem = Fipoin

⇓∑ielem

fielem = f .


Equilibrio Global (III)

Las ecuaciones de equilibrio global pueden reescribirse en la forma matricial

K˜ ielemu = fielem∑ielem

fielem = f

=⇒

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸

K˜u = f .

Matriz de Rigidez Global:

K˜ =

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸

ENSAMBLAJE DE LAS Ke ielem

.

ECUACION DE EQUILIBRIO GLOBAL:

K˜ u = f .


Equilibrio Global (IV)

Luego, el sistema que hay que resolver es el siguiente:2666666664

“1

R1+ 1

R3+ 1

R5

”− 1

R1− 1

R5− 1

R3

− 1R1

“1

R1+ 1

R2

”− 1

R20

− 1R5

− 1R2

“1

R2+ 1

R4+ 1

R5

”− 1

R4

− 1R3

0 − 1R4

“1

R3+ 1

R4

”

3777777775

8>>>>>>><>>>>>>>:

u1

u2

u3

u4

9>>>>>>>=>>>>>>>;=

8>>>>>>><>>>>>>>:

0

F2

0

0

9>>>>>>>=>>>>>>>;+

8>>>>>>><>>>>>>>:

0

0

F R3

F R4

9>>>>>>>=>>>>>>>;m

K˜ u = f + R, K˜ = K˜ T ,

con las condiciones de vinculacion

u3 = Eu4 = 0

ff⇐⇒ uV = pV ,

donde V es cada uno de los grados de libertad coaccionados.


La Matriz de Rigidez es Semi-DEF. POS.

uTK˜ u =∑

e

uT K˜ eu con K˜ =∑

e

K˜ e

=∑

e

uTe K˜ eue donde K˜ e = B˜T

e D˜ eB˜ e

=∑

e

uTe

(B˜T

e D˜ eB˜ e

)ue

=∑

e

(B˜ eue)T

D˜ e (B˜ eue)

=∑

e

εTe D˜ eεe con εe = B˜ eue

≥ 0, pues D˜ e = [1/Re] es SEMI-DEF +.

Luego uTK˜ u ≥ 0 ∀u =⇒ K˜ es SEMI-DEFINIDA POSITIVA.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (I)

Sea K˜ V la matriz que se obtiene al ignorar las filas y columnas de la matrizK˜ correspondientes a g.d.l. coaccionados.

K˜ =

kv,v

, K˜ V =

.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (II)

Sea u 6= 0 un vector en el que todos los componentes correspondientes ag.d.l. coaccionados son nulos.

Sea uV 6= 0 el vector que se obtiene al ignorar las filas del vector ucorrespondientes a g.d.l. coaccionados.

u =

0

, uV =

.

En estas condiciones uTV K˜ V uV = uTK˜ u, pues. . .


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (III)

uTV K˜ V uV = [ ]

,

uTK˜ u = [ 0 ]

kv,v

0

.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (IV)

REDUCCION AL ABSURDO:

Supongamos que K˜ V no es definida positiva. . .

Luego ∃uV 6= 0 tal que uTV K˜ V uV = 0.

Entonces uTK˜ u = 0 con u 6= 0.

Luego (ver el apartado anterior) εTe D˜ eεe = 0 ∀e =⇒ u1,e = u2,e ∀e.

Por tanto, todos los componentes de u son iguales(SI EL CIRCUITO ESTA CORRECTAMENTE CONECTADO).

Pero los componentes de u correspondientes a los g.d.l. coaccionadosson nulos, por lo que uV = 0 =⇒ CONTRADICCION.

Por tanto, K˜ V es DEFINIDA POSITIVA.


CALCULO MATRICIALDE ESTRUCTURAS DE BARRAS

(Articuladas 2D-3D)F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE

I Ejemplos

I Ejes Locales y Globales





I Equilibrio Global




Ejemplos (I)

Veanse los ejemplos siguientes:

Estructura Articulada 2D• Descripcion: ejemplo2.pdf

• Codificacion: ejemplo2.dat

Estructura Articulada 3D• Descripcion: ejemplo3.pdf



Ejemplo (II)


npoin=* (numero de nodos)

ndime=* (numero de coordenadas por nodo: 2 en 2D, 3 en 3D)

nelem=* (numero de elementos → barras)


ndofn=* (NUMERO DE GDL POR NODO: 2 en 2D, 3 en 3D)

nprop=1 (numero de propiedades por material → EA)

. . .

(*) Veanse ejemplos de codificacion de este tipo de problemas en los archivosejemplo2.dat y ejemplo3.dat.


Ejes Locales y Globales

Cambio de Base

r =

Q˜Te︷︸︸︷ cosα ∗ ∗cos β ∗ ∗cos γ ∗ ∗

r′,r′ =

cosα cos β cos γ

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

︸︷︷︸

Q˜ er,

pues(Q˜ e)−1

= Q˜Te .



Vector de desplazamientoselementales en ejes globales:

ue =

u1,e

u2,e

u1,e =

u1,e

v1,e

w1,e

, u2,e =

u2,e

v2,e

w2,e

.



Vector de desplazamientoselementales en ejes locales:

u′e =

u′1,e

u′2,e

u′1,e =

u′1,e

v′1,e

w′1,e

, u′2,e =

u′2,e

v′2,e

w′2,e

.

u′e = T˜eue, T˜e =[

Q˜ eOÕ˜ Q˜ e

].

(T˜e)−1 = T˜T

e =⇒ ue = T˜Te u′e.



Vector de deformacioneselementales:

εe = ∆Le ,

∆Le = u′2,e − u′1,e.



Relacion desplazamientos—deformaciones:

εe = E˜ eu′e, E˜ e = [−1 0 0 +1 0 0 ] .

Luego,

u′e = T˜eue

εe = E˜ eu′e

=⇒ εe = E˜ e

(T˜eue

)=

B˜ e︷︸︸︷(E˜ eT˜e

)ue.


εe = B˜ eue, B˜ e = [− cos α − cos β − cos γ + cos α + cos β + cos γ ].


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (V)

Vector de tensioneselementales:

σe = Ne ,

Ne =(

EAe

Le

)∆Le.

ECUACION CONSTITUTIVA:

σe = D˜ eεe, D˜ e = [ EAeLe

] .



Vector de fuerzaselementales en ejes globales:

fe =

f1,e

f2,e

f1,e =

fx1,e

fy1,e

fz1,e

, f2,e =

fx2,e

fy2,e

fz2,e

.



Vector de fuerzaselementales en ejes locales:

f ′e =

f ′1,e

f ′2,e

f ′1,e =

fx′1,e

fy′1,e

fz′1,e

, f ′2,e =

fx′2,e

fy′2,e

fz′2,e

.

f ′e = T˜efe, T˜e =[

Q˜ eOÕ˜ Q˜ e

].

(T˜e)−1 = T˜T

e =⇒ fe = T˜Te f ′e.


Ecuaciones de Equilibrio (III)

Relacion tensiones—fuerzas elementales:

f ′e = E˜Te σe, E˜T

e =

−100

+100

.

Luego,

f ′e = E˜Te σe

fe = T˜Te f ′e

=⇒ fe = T˜T

e

(E˜T

e σe

)=(T˜T

e E˜Te

)σe =

(E˜ eT˜e

)T︸︷︷︸B˜ T

e

σe.

ECUACION DE EQUILIBRIO

fe = B˜Te σe, B˜ e = [− cos α − cos β − cos γ + cos α + cos β + cos γ ].


Ecuaciones de Equilibrio (IV)

Luego,

εe = B˜ eue

σe = D˜ eεe

fe = B˜Te σe

=⇒

σe = D˜ e

(B˜ eue

)=

S˜e︷︸︸︷(D˜ eB˜ e

)ue,

fe = B˜Te

(S˜eue

)=(B˜T

e S˜e

)︸︷︷︸K˜ e

ue.


K˜ e = B˜Te D˜ eB˜ e.


K˜ eue = fe.


Numeracion Global: Matriz de Conectividad

Vector de Desplazamientos Nodales:

u =

...

uipoin

...

, uipoin =

uipoin

vipoin

wipoin

, ipoin = 1, . . . , npoin.


Matriz de Conectividad: lnods(nnode,nelem) (*)







Equilibrio Elemental en Numeracion Global

ielem

K˜ ielemuielem = fielem =⇒ K˜ ielemu = fielem.

La matriz de rigidez elemental expandida K˜ ielem se genera a partir de lamatriz de rigidez elemental K˜ ielem mediante el paso de numeracion local aglobal, de forma identica a como se realizo este proceso en el caso delcalculo matricial de circuitos.



El equilibrio de cada nodo estagobernado por la

LEY DE NEWTON:

La fuerza externa aplicada a cadanodo es igual a la suma de lasfuerzas elementales de todas lasbarras que confluyen en el.



Vector de Fuerzas Nodales:

f =

...

Fipoin

...

, Fipoin =

F x

ipoin

Fyipoin

F zipoin

, ipoin = 1, . . . , npoin.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Leyes de Newton):∑lnods(inode,ielem)=ipoin

finode,ielem = Fipoin

⇓∑ielem

fielem = f .





fielem = f

=⇒

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸

K˜u = f .


K˜ =

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸


.


K˜ u = f .



Luego, el sistema que hay que resolver es el siguiente:

K˜ u = f + R, K˜ = K˜ T ,


uV = pV ,

donde V es cada uno de los grados de libertad coaccionados (*).

(*) Para cada g.d.l. coaccionado V sera preciso indicar;

de que nodo se trata (ipoin),cual de sus g.d.l. esta coaccionado (idofn) ycual es el valor prescrito pV .


Equilibrio Global (V)

NOTA IMPORTANTE:

Observese que en estructuras articuladas 2D las componentes segun eleje z se anulan por lo que no es preciso tenerlas en cuenta, lo quepermite simplificar ligeramente la formulacion.



uTK˜ u =∑

e


e

K˜ e

=∑

e


e D˜ eB˜ e

=∑

e

uTe

(B˜T

e D˜ eB˜ e

)ue

=∑

e

(B˜ eue)T

D˜ e (B˜ eue)

=∑

e


≥ 0, pues D˜ e = [EAe/Le] es SEMI-DEF +.





K˜ =

kv,v

, K˜ V =

.





u =

0

, uV =

.




uTV K˜ V uV = [ ]

,

uTK˜ u = [ 0 ]

kv,v

0

.







Luego (ver el apartado anterior) εTe D˜ eεe = 0 ∀e =⇒ εe = 0 ∀e, lo que

indica que ninguna de las barras se deforma.

Por tanto, los componentes de u corresponden a los de un movimientode solido rıgido.

Pero los componentes de u correspondientes a los g.d.l. coaccionadosson nulos, por lo que (SI LA ESTRUCTURA ESTA CORRECTAMENTEMONTADA Y APOYADA), los movimientos de solido rıgido sonimposibles, y por tanto uV = 0 =⇒ CONTRADICCION.



CALCULO MATRICIALDE ESTRUCTURAS DE BARRAS

(Reticuladas 2D)F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE

I Ejemplos

I Ejes Locales y Globales





I Equilibrio Global




Ejemplos (I)

Veanse los ejemplos siguientes:

Estructura Reticulada 2D• Descripcion: ejemplo4.pdf


Gran Estructura Reticulada 2D (*)• Codificacion: ejsuper4.dat

ejsuper4renum.dat

(*) Sin renumerar (ejsuper4.dat) y con renumeracion (ejsuper4renum.dat).


Ejemplo (II)


npoin=* (numero de nodos)

ndime=2 (2 coordenadas por nodo)

nelem=* (numero de elementos → barras)


ndofn=3 (NUMERO DE GDL POR NODO)

nprop=2 (numero de propiedades por material → EA, EI)

. . .

(*) Veanse ejemplos de codificacion de este tipo de problemas en los archivosejemplo4.dat , ejsuper4.dat y ejsuper4renum.dat.


Ejes Locales y Globales

Cambio de Base

r =

Q˜Te︷︸︸︷ cosα − cos β 0

cos β cosα 0

0 0 1

r′,r′ =

cosα cos β 0

− cos β cosα 0

0 0 1

︸︷︷︸

Q˜ er,

pues(Q˜ e)−1

= Q˜Te . (*)

(*) Ya que cos β = senα.



Vector de desplazamientoselementales en ejes globales:

ue =

u1,e

u2,e

u1,e =

u1,e

v1,e

ωz1,e

, u2,e =

u2,e

v2,e

ωz2,e

.



Vector de desplazamientoselementales en ejes locales:

u′e =

u′1,e

u′2,e

u′1,e =

u′1,e

v′1,e

ωz′1,e

, u′2,e =

u′2,e

v′2,e

ωz′2,e

.

u′e = T˜eue, T˜e =[

Q˜ eOÕ˜ Q˜ e

].

(T˜e)−1 = T˜T

e =⇒ ue = T˜Te u′e.



Vector de deformacioneselementales:

εe =

∆Le

∆ω1

∆ω2

,

con

∆Le = u′2,e − u

′1,e,

∆ω1 = ωz′1,e −

v′2,e − v′1,e

Le

,

∆ω2 = ωz′2,e −

v′2,e − v′1,e

Le

.



Relacion desplazamientos—deformaciones:

εe = E˜ eu′e, Ee e =

24−1 0 0 +1 0 00 + 1

Le+1 0 − 1

Le0

0 + 1Le

0 0 − 1Le

+1

35 .

Luego,

u′e = T˜eue

εe = E˜ eu′e

=⇒ εe = E˜ e

(T˜eue

)=

B˜ e︷︸︸︷(E˜ eT˜e

)ue.


εe = B˜ eue, B˜ e =24− cos α − cos β 0 + cos α + cos β 0−cos β

Le+cos α

Le+1 +cos β

Le−cos α

Le0

−cos βLe

+cos αLe

0 +cos βLe

−cos αLe

+1

35.


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (V)

Vector de tensioneselementales:

σe =

NM1

M2

,

con

N =EAe

Le∆Le, Q = −

M1 + M2Le

,M1M2

ff=

EIe

Le

»4 22 4

– ∆ω1∆ω2

ff

ECUACION CONSTITUTIVA:

σe = D˜ eεe, D˜ e =

EAeLe

0 00 4EIe

Le

2EIeLe

0 2EIeLe

4EIeLe

.



Vector de fuerzaselementales en ejes globales:

fe =

f1,e

f2,e

f1,e =

fx1,e

fy1,e

Mz1,e

, f2,e =

fx2,e

fy2,e

Mz2,e

.



Vector de fuerzaselementales en ejes locales:

f ′e =

f ′1,e

f ′2,e

f ′1,e =

fx′1,e

fy′1,e

Mz′1,e

, f ′2,e =

fx′2,e

fy′2,e

Mz′2,e

.

f ′e = T˜efe, T˜e =[

Q˜ eOÕ˜ Q˜ e

].

(T˜e)−1 = T˜T

e =⇒ fe = T˜Te f ′e.


Ecuaciones de Equilibrio (III)

Relacion tensiones—fuerzas elementales:

f ′e = E˜Te σe, E˜T

e =

−1 0 00 − 1

Le+ 1

Le0 +1 0

+1 0 00 − 1

Le− 1

Le0 0 1

.

Luego,

f ′e = E˜Te σe

fe = T˜Te f ′e

=⇒ fe = T˜T

e

(E˜T

e σe

)=(T˜T

e E˜Te

)σe =

(E˜ eT˜e

)T︸︷︷︸B˜ T

e

σe.

ECUACION DE EQUILIBRIO

fe = B˜Te σe, B˜ e =

24− cos α − cos β 0 + cos α + cos β 0−cos β

Le+cos α

Le+1 +cos β

Le−cos α

Le0

−cos βLe

+cos αLe

0 +cos βLe

−cos αLe

+1

35.


Ecuaciones de Equilibrio (IV)

Luego,

εe = B˜ eue

σe = D˜ eεe

fe = B˜Te σe

=⇒

σe = D˜ e

(B˜ eue

)=

S˜e︷︸︸︷(D˜ eB˜ e

)ue,

fe = B˜Te

(S˜eue

)=(B˜T

e S˜e

)︸︷︷︸K˜ e

ue.


K˜ e = B˜Te D˜ eB˜ e.


K˜ eue = fe.


Numeracion Global: Matriz de Conectividad

Vector de Desplazamientos Nodales:

u =

...

uipoin

...

, uipoin =

uipoin

vipoin

wipoin

, ipoin = 1, . . . , npoin.


Matriz de Conectividad: lnods(nnode,nelem) (*)







Equilibrio Elemental en Numeracion Global

ielem

K˜ ielemuielem = fielem =⇒ K˜ ielemu = fielem.

La matriz de rigidez elemental expandida K˜ ielem se genera a partir de lamatriz de rigidez elemental K˜ ielem mediante el paso de numeracion local aglobal, de forma identica a como se realizo este proceso en el caso delcalculo matricial de circuitos.



El equilibrio de cada nodo estagobernado por las

LEYES DE NEWTON:

La fuerza externa aplicada a cadanodo es igual a la suma de lasfuerzas elementales de todas lasbarras que confluyen en el.

El momento externo aplicado acada nodo es igual a la suma delos momentos elementales detodas las barras que confluyen enel.



Vector de Fuerzas Nodales:

f =

...

Fipoin

...

, Fipoin =

F x

ipoin

Fyipoin

Mzipoin

, ipoin = 1, . . . , npoin.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Leyes de Newton):∑lnods(inode,ielem)=ipoin

finode,ielem = Fipoin

⇓∑ielem

fielem = f .





fielem = f

=⇒

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸

K˜u = f .


K˜ =

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸


.


K˜ u = f .



Luego, el sistema que hay que resolver es el siguiente:

K˜ u = f + R, K˜ = K˜ T ,


uV = pV ,

donde V es cada uno de los grados de libertad coaccionados (*).

(*) Para cada g.d.l. coaccionado V sera preciso indicar;

de que nodo se trata (ipoin),cual de sus g.d.l. esta coaccionado (idofn) ycual es el valor prescrito pV .



uTK˜ u =∑

e


e

K˜ e

=∑

e


e D˜ eB˜ e

=∑

e

uTe

(B˜T

e D˜ eB˜ e

)ue

=∑

e

(B˜ eue)T

D˜ e (B˜ eue)

=∑

e


≥ 0, pues D˜ e = [. . .] es SEMI-DEF +.





K˜ =

kv,v

, K˜ V =

.





u =

0

, uV =

.




uTV K˜ V uV = [ ]

,

uTK˜ u = [ 0 ]

kv,v

0

.







Luego (ver el apartado anterior) εTe D˜ eεe = 0 ∀e =⇒ εe = 0 ∀e, lo que

indica que ninguna de las barras se deforma.

Por tanto, los componentes de u corresponden a los de un movimientode solido rıgido.

Pero los componentes de u correspondientes a los g.d.l. coaccionadosson nulos, por lo que (SI LA ESTRUCTURA ESTA CORRECTAMENTEMONTADA Y APOYADA), los movimientos de solido rıgido sonimposibles, y por tanto uV = 0 =⇒ CONTRADICCION.



METODOS SEMI-ITERATIVOS PARAGRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

DIRECCIONES CONJUGADAS. PCGF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE

I Direcciones Conjugadas

I Metodos de Direcciones Conjugadas

I Metodo de Gradientes Conjugados [CG]

I Planteamiento de Mınima Energıa

I Precondicionamiento

I Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG]

I Implementacion del Algoritmo PCG


Direcciones Conjugadas (Ia)

Sea el sistema

A˜ x = b, con

A˜ = A˜T (A˜ SIMETRICA),

vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

Sean los vectores conjugados respecto a la matriz A˜ (o A˜–conjugados),

sii=1,n, tales que sTi A˜ sj

= 0 si i 6= j,

6= 0 si i = j,

=⇒ FORMAN UNA BASE.


Direcciones Conjugadas (Ib)

Pues. . .

REDUCCION AL ABSURDO

Hipotesis:nX

i=1

λisi = 0 con algun λj 6= 0,

entonces sTj Ae

nXi=1

λisi

!=

nXi=1

λi

“s

Tj Ae si

”= λj s

Tj Ae sj| z >0

= 0,

luego λj = 0 ∀j (ABSURDO).

Por tanto, los vectores conjugados son linealmente independientes y(puesto que su numero n iguala al orden de la matriz) forman una basedel correspondiente espacio vectorial.


Direcciones Conjugadas (IIa)

EXPRESION DE LA SOLUCIONSean

x = A˜−1b la solucion del problema, y

x0 una aproximacion a x.

El vector (x− x0) se puede escribir como combinacion lineal de loselementos de la base de vectores conjugados.Luego,

x− x0 =n∑

i=1

αisi =⇒ x = x0 +n∑

i=1

αisi.


Direcciones Conjugadas (IIb)

Pero,Ae x = b =⇒ Ae

x0 +

nXi=1

αisi

!= b

=⇒nX

i=1

αiAe si =`b− Ae x0

ý premultiplicando por sT

j obtenemos

sTj

nX

i=1

αiAe si

!= s

Tj

`b− Ae x0

´=⇒

nXi=1

αi

“s

Tj Ae si

”= s

Tj

`b− Ae x0

´,

=⇒ αj

“s

Tj Ae sj

”= s

Tj

`b− Ae x0

´.

Por tanto

αj =sT

j

(b−A˜ x0

)sT

j A˜ sj, j = 1, . . . , n.


Metodos de Direcciones Conjugadas (I)

FORMULACION SEMI–ITERATIVA:

Dados x0 y s1 −→ x1 = x0 + α1s1, con α1 =sT

1

`b− Ae x0

´sT

1 Ae s1

,

x1 y s2 −→ x2 = x1 + α2s2, con α2 =sT

2

`b− Ae x0

´sT

2 Ae s2

,

...

xn−1 y sn −→ xn = xn−1 + αnsn, con αn =sT

n

`b− Ae x0

´sT

nAe sn

.

Finalmente

xn =

0@„. . .“(x0 + α1s1) + α2s2

”+ . . .

«+ αnsn

1A= x0 +

nXi=1

αisi = x = Ae−1b.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIa)

EN GENERAL:

Dados x0, sii=1,n

xk+1 = xk + αk+1sk+1, con αk+1 =sT

k+1

`b− Ae x0

´sT

k+1Ae sk+1

, k = 0, . . . , n− 1

y xn = x = Ae−1b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).

Pero tambien,

αk+1 =sT

k+1

`b− Ae x0

´sT

k+1Ae sk+1

=sT

k+1

`b− Ae xk

´sT

k+1Ae sk+1

,

pues

xk = x0 + α1s1 + . . . + αksk =⇒ sTk+1Ae xk = s

Tk+1Ae x0+

α1 sTk+1Ae s1| z

0

+ . . . + αk sTk+1Ae sk| z

0

.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIb)

Y FINALMENTE:

Dados x0, sii=1,n

rk = b−A˜ xk, αk+1 =sT

k+1rk

sTk+1A˜ sk+1

,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

k = 0, . . . , n− 1,

y xn = x = A˜−1b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).

PROBLEMA:

¿Como se genera la base de vectores conjugados sii=1,n?


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIIa)

OBTENCION DE UNA BASE DE VECTORES CONJUGADOS sii=1,n

I METODO DE GRAM-SCHMIT

I METODO DE GRADIENTES CONJUGADOS(caso particular de Gram-Schmit)


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIIb)

Metodo de Gram-Schmit

Se eligen los vectores vii=1,n linealmente independientes.

Se obtienen los vectores conjugados sii=1,n en la forma:

s1 = v1

s2 = v2 + β21s1

s3 = v3 + β31s1 + β

32s2

. . .sk = vk + β

k1 s1 + β

k2 s2 + . . .+ β

kk−1sk−1

. . .sn = vn + β

n1 s1 + β

n2 s2 + . . . + β

nn−1sn−1

con las condiciones (que permiten calcular los coeficientesβkii=1,k−1

)

sTj A˜ sk = 0, j = 1, . . . , k − 1.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIIc)

Luego

sk = vk +

k−1Xi=1

βki si

sTj Ae sk = 0,

9>>>=>>>; =⇒ sTj Ae

vk +

k−1Xi=1

βki si

!= 0, j = 1, . . . , k−1,

y por consiguiente

sTj Ae vk +

βkj

“sTj Ae sj

”z | k−1Xi=1

βki

“s

Tj Ae si

”= 0 =⇒ β

kj = −

sTj Ae vk

sTj Ae sj

j = 1, . . . , k − 1.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIId)

Y FINALMENTE:

Dados vii=1,n

s1 = v1,

βkj = −

sTj A˜ vk

sTj A˜ sj

, j = 1, . . . , k − 1,

sk = vk +k−1∑i=1

βki si,

k = 2, . . . , n.

PROBLEMA: Gran coste computacional, T (n3).


Metodos de Direcciones Conjugadas (IV)

PREGUNTA:

¿Es posible elegir (habilmente) los vectores vii=1,n de forma que lamayor parte de los coeficientes

βk

i

i=1,k−1; k=2,n

sean nulos?

Respuesta:

SI: Metodo de Gradientes Conjugados


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (Ia)

Dado el sistema

Ae x = b,

definimos la funcion cuadratica

f(x) =1

2x

TAe x− b

Tx + c,

cuyo gradiente es

∇f =

„df

dx

«T

= Ae x− b.

Luego,

∇f(xi) = −ri, siendo ri = b− Ae xi el residuo en la aproximacion xi.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (Ib)

Si elegimos como vectores vii=1,n los gradientes (cambiados de signo)8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

v1 = −∇f(x0) = r0 =`b− Ae x0

´v2 = −∇f(x1) = r1 =

`b− Ae x1

´v3 = −∇f(x2) = r2 =

`b− Ae x2

´. . .vk = −∇f(xk−1) = rk−1 =

`b− Ae xk−1

´. . .vn = −∇f(xn−1) = rn−1 =

`b− Ae xn−1

éntonces sucede que (*)

βkj = −

sTj Ae rk−1

sTj Ae sj

(= 0, j = 1, . . . , k − 2

6= 0, j = k − 1

(*) Se comprueba que esto es ası aunque no es evidente (ver equivalencias).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (Ic)

FINALMENTE, LA BASE DE GRADIENTES CONJUGADOS ES (*):

r0 = b−A˜ x0

s1 = r0,

rk−1 = b−A˜ xk−1

βkk−1 = −

sTk−1A˜ rk−1

sTk−1A˜ sk−1

,

sk = rk−1 + βkk−1sk−1,

k = 2, . . . , n.

(*) EN LO SUCESIVO PRESCINDIREMOS DEL SUPERINDICE k EN βkk−1

(ya que no es necesario).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIa)

PRIMERA ITERACION k = 0

Dado x0 −→ r0 = b−A˜ x0,

s1 = r0, −→ α1 =sT1 r0

sT1 A˜ s1

,

x1 = x0 + α1s1.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIb)

ITERACIONES SIGUIENTES k = 1, . . . , n− 1

Dado xk −→ rk = b−A˜ xk, −→ βk = −sTk A˜ rk

sTk A˜ sk

,

sk+1 = rk + βksk, −→ αk+1 =sT

k+1 rk

sTk+1 A˜ sk+1

,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

Y xn verifica A˜ xn = b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIc)

El algoritmo se detendra al finalizar el paso k. . .

I si k = n− 1, pues xk+1 = xn y por tanto verifica

rk+1 = b−A˜ xk+1 = 0 (salvo errores de redondeo *),

I o si ha convergido segun un criterio tipo‖xk+1 − xk‖ ≤maxεx, rx ‖xk‖ y

‖rk+1‖ ≤maxεr, rr

∥∥b∥∥

(*) Se suelen realizar algunas iteraciones mas para refinar la solucion.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIIa)

Equivalencias

1) sTk+1A˜ sk+1 = sTk+1A˜ rk,pues sk+1 = rk + βksk,

y sTk+1A˜ sk = 0.

2) rk+1 = rk − αk+1A˜ sk+1,pues rk+1 = b− A˜ xk+1 = b− A˜

(xk + αk+1sk+1

)=(b− A˜ xk)− αk+1A˜ sk+1 = rk − αk+1A˜ sk+1.

3) sTk+1rk+1 = 0, LUEGO EL AVANCE ES OPTIMO (*),

pues sTk+1rk+1 = s

Tk+1

(rk − αk+1A˜ sk+1

)= s

Tk+1rk − αk+1

(sTk+1A˜ sk+1

)

y αk+1 =sTk+1rk

sTk+1

A˜ sk+1

.

(*) Vease el planteamiento de mınima energıa.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIIb)

4) A˜ sk = − 1αk

(rk − rk−1),pues rk = rk−1 − αkAe sk (por la equivalencia 2).

5) (rk − rk−1)T

sk = (rk − rk−1)T

rk−1,pues s

Tk Ae sk = s

Tk Ae rk−1 (por la equivalencia 1) =⇒ s

TkÀe sk

´= r

Tk−1

Àe sk

´,

luego sTk

−

1

αk

“rk − rk−1

”!= r

Tk−1

−

1

αk

“rk − rk−1

”!(por la equivalencia 4).

6) sTk+1rk = rT

k rk,

pues sk+1 = rk + βksk =⇒ sTk+1rk = r

Tk rk + βks

Tk rk,

y sTk rk = 0 (por la equivalencia 3).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIIc)

7) rTk+1rk = 0,

pues rTk+1rk =

“rk − αk+1Ae sk+1

”Trk (por la equivalencia 2)

= rTk rk − αk+1

“sTk+1Ae rk

”= r

Tk rk − αk+1

“sTk+1Ae sk+1

”(por la equivalencia 1)

y αk+1 =sTk+1rk

sTk+1

Ae sk+1

=rTk rk

sTk+1

Ae sk+1

(por la equivalencia 6).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIId)

Luego hay muchas formulas equivalentes. . .

βk = −sTk Ae rk

sTk

Ae sk

= −rTk Ae sk

sTk

Ae sk

= −rTk (Ae sk)

sTk

(Ae sk)= −

rTk

“− 1

αk

`rk − rk−1

´”sTk

“− 1

αk

`rk − rk−1

´” (por la equivalencia 4)

=

`rk − rk−1

´Trk

−`rk − rk−1

´Tsk

=

`rk − rk−1

´Trk

−`rk − rk−1

´Trk−1

(por la equivalencia 5)

=rTk rk

rTk−1

rk−1


=

`rk − rk−1

´Trk

rTk−1

rk−1


=rTk rk

−`rk − rk−1

´Tsk

(por la equivalencia 7).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IV)

Formulas equivalentes para el calculo del coeficiente βk

βk = −sTk A˜ rk

sTk A˜ sk

βk =[rk − rk−1]T rk

−[rk − rk−1]T skHESTENES–STIEFEL

βk =rTk rk

rTk−1 rk−1

FLETCHER–REEVES

βk =[rk − rk−1]T rk

rTk−1 rk−1

POLAK–RIBIERE

βk =rTk rk

−[rk − rk−1]T skMYERS


Planteamiento de Mınima Energıa (I)

Sea el problema:

Hallar x,

que VERIFICA r = 0,

siendo r = b−A˜ x,

con


vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

El problema anterior tambien puede escribirse en la forma siguiente...


Planteamiento de Mınima Energıa (II)

MINIMA ENERGIA

Hallar x,

que MINIMIZA f(x) =12

xTA˜ x− xT b, (∗)

con


vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

(*) Pues ∇f(x) =h

dfdx

iT

= −r, siendo r = b− Ae x.


Planteamiento de Mınima Energıa (IIIa)

AVANCE OPTIMO

Si aplicamos al problema anterior un metodo numerico tipo

xk+1 = xk + αk+1sk+1

diremos que el avance αk+1 es optimo cuando se cumpla

αk+1 = minα

Φ(α), con Φ(α) = f(x)

∣∣∣∣∣x=xk+αsk+1

,

o lo que es lo mismo . . .


Planteamiento de Mınima Energıa (IIIb)

dΦdα

∣∣∣α=αk+1

= 0, siendodΦdα

=df

dx

∣∣∣∣∣x=xk+αsk+1

sk+1

= −(b−A˜ (xk + αsk+1)

)Tsk+1.

Por tanto, la condicion de avance optimo es

rTk+1sk+1 = 0 ⇐⇒ sT

k+1rk+1 = 0,

que tambien puede escribirse como

αk+1 =sT

k+1rk

sTk+1A˜T sk+1

,

luego LOS METODOS DE DIRECCIONES CONJUGADAS SON DE AVANCE OPTIMO.


Planteamiento de Mınima Energıa (IIIc)

AVANCE OPTIMO


Precondicionamiento (I)

Sea el sistemaAe x = b.

Sea el precondicionador

Pe = EeEeT, con det(Ee) 6= 0.

Reescribimos el sistema original en la forma“Ee−1

AeEe−T”

| z bAe“

EeTx”

| z bx=“

Ee−1b”

| z bb,

y esperamos que al aplicar el Metodo de Gradientes Conjugados al sistemaprecondicionado bAebx = bbel proceso converja mas rapidamente a la solucion que en el caso delsistema original.


Precondicionamiento (IIa)


Dado x0 = E˜T x0 −→ r0 = b− A˜ x0,

s1 = r0, −→ α1 =sT1 r0

sT1 A˜ s1

,

x1 = x0 + α1s1.


Precondicionamiento (IIb)

ITERACIONES SIGUIENTES k > 0

Dado xk −→ rk = b− A˜ xk, −→ βk = −sTk A˜ rk

sTk A˜ sk

,

sk+1 = rk + βksk, −→ αk+1 =sT

k+1 rk

sTk+1 A˜ sk+1

,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

Y xn = E˜−T xn verifica A˜ xn = b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).


Precondicionamiento (IIIa)

Relacion del problema precondicionado con el problema original

1) bxk = EeTxk −→ brk = bb− bAeEeT

xk

= Ee−1b−

“Ee−1

AeEe−T”

EeTxk

= Ee−1b− Ee−1

Ae“

Ee−TEeT”

xk

= Ee−1b− Ee−1

Ae xk

= Ee−1 `b− Ae xk

´= Ee−1

rk, con rk = b− Ae xk.


Precondicionamiento (IIIb)

2) bxk+1 = EeTxk+1 −→ xk+1 = Ee−T

(bxk + bαk+1bsk+1)

=“

Ee−TEeT”

xk + bαk+1Ee−Tbsk+1

= xk + bαk+1sk+1, con sk+1 = Ee−Tbsk+1.

sk+1 = Ee−T“brk + bβkbsk

”= Ee−T

“Ee−1

rk + bβkEeTsk

”=“

EeEeT”−1

rk + bβksk

= Pe−1rk + bβksk.


Precondicionamiento (IIIc)

3)

bαk+1 =bsT

k+1brkbsTk+1bAebsk+1

=

ÈeT sk+1

´T Èe−1rk

´ÈeT sk+1

´T Èe−1AeEe−T

´ ÈeT sk+1

´=

sTk+1

ÈeEe−1

´rk

sTk+1

ÈeEe−1

Áe È−Te EeT

´sk+1

=sT

k+1rk

sTk+1Ae sk+1

.


Precondicionamiento (IIId)

4) bβk = −bsT

kbAebrkbsT

kbAebsk

= −ÈeT sk

´T Èe−1AeEe−T

´ Èe−1rk

´ÈeT sk

´T Èe−1AeEe−T

´ ÈeT sk

´= −

sTk

ÈeEe−1

Áe È−Te Ee−1

´rk

sTk

ÈeEe−1

Áe Èe−TEeT

´sk

= −sT

k Ae ÈeEeT´−1

rk

sTk Ae sk

= −sT

k AePe−1rk

sTk Ae sk

.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (Ia)


Dado x0 −→ r0 = b−A˜ x0,

s1 = P˜−1r0, −→ α1 =sT1 r0

sT1 A˜ s1

,

x1 = x0 + α1s1.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (Ib)

ITERACIONES SIGUIENTES k > 0

Dado xk −→ rk = b−A˜ xk, −→ βk = −sTk A˜ P˜−1 rk

sTk A˜ sk

,

sk+1 = P˜−1rk + βksk, −→ αk+1 =sT

k+1 rk

sTk+1 A˜ sk+1

,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

Y xn verifica A˜ xn = b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (Ic)

El algoritmo se detendra al finalizar el paso k. . .

I si k = n− 1, pues xk+1 = xn y por tanto verifica

rk+1 = b−A˜ xk+1 = 0 (salvo errores de redondeo *),

I o si ha convergido segun un criterio tipo‖xk+1 − xk‖ ≤maxεx, rx ‖xk‖ y

‖rk+1‖ ≤maxεr, rr

∥∥b∥∥

(*) Se suelen realizar algunas iteraciones mas para refinar la solucion.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (II)

Observaciones:

• Los sk son Ae–conjugados, pues

sTi Ae sj =

“Ee−Tbsi

”T “Ee bAeEeT

”“Ee−Tbsj

”= bsT

i

“Ee−1

Ee” bAe

“EeT

Ee−T” bsj

= bsTibAebsj.

• El avance es optimo, pues

sTk+1rk+1 =

“Ee−Tbsk+1

”T

(Eebrk+1) = bsTk+1

“Ee−1

Ee” brk+1

= bsTk+1brk+1.

• En generalr

Tk+1rk = (Eebrk+1)

T(Eebrk) = brT

k+1

“EeT

Ee” brk

6= 0.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (III)

CONCLUSIONES:

♥ Suele utilizarse el precondicionador diagonal P˜ = D˜ A.

♣ Para calcular xn el tiempo de computacion es T (n3).♣ NO ES MEJOR QUE LOS METODOS DIRECTOS (GAUSS, CHOLESKY), A MENOS QUE

CONVERJA ANTES.

♥ Es un metodo directo, pero funciona como los metodos iterativos ya que♥ PUEDE DETENERSE ANTICIPADAMENTE, LO QUE PROPORCIONA UN APROXIMACION A

LA SOLUCION.♦ NO MODIFICA LOS COEFICIENTES DE LA MATRIZ,♦ POR LO QUE PUEDE SER UTILIZADO CON ESQUEMAS DE ALMACENAMIENTO MINIMO

PARA MATRICES DISPERSAS.

♣ Puede ser muy ventajoso (o la unica alternativa posible) cuando lamatriz es no-estructurada y muy dispersa.

♦ EN TALES CASOS SUELE UTILIZARSE SIN ENSAMBLAR LA MATRIZ.


Implementacion del Algoritmo PCG (Ia)

INICIALIZACION (k = 0)

Inicializamos:x0 → r0 = b− Ae x0,

w0 = Pe−1r0 → s1 = w0

z1 = −Ae s1 → s1 = −zT1 s1 → bα1 = r

T0 s1/s1

∆x0 = bα1s1 → x1 = x0 + ∆x0 → r1 =

8<:r0 + bα1z1 (*)

b− Ae x1 (**)

cnvgc=.false.

k = 0

(*) Pues r1 = b− Ae x1 = b− Ae(x0 + bα1s1) = (b− Ae x0)− bα1Ae s1 = r0 + bα1z1.

(**) De vez en cuando se recalcula el residuo para evitar la acumulacion de errores de redondeo.


Implementacion del Algoritmo PCG (Ib)

ITERACIONES SIGUIENTES (k > 0)

do while (k.lt.niter.and.not.cnvgc)

wk = Pe−1rk → bβk = z

Tk wk/sk → sk+1 = wk + bβksk

zk+1 = −Ae sk+1 → sk+1 = −zTk+1sk+1 → bαk+1 = r

Tk sk+1/sk+1

∆xk = bαk+1sk+1 → xk+1 = xk + ∆xk → rk+1 =

8<:rk + bαk+1zk+1 (*)

b− Ae xk+1 (**)

cnvgc=(‖∆xk‖.le. max(εx, rx ‖xk‖)) .and. (‖rk+1‖.le. max(εr, rr

‚‚b‚‚))

k = k + 1

enddo

(*) Pues rk+1 = b− Ae xk+1 = b− Ae(xk + bαk+1sk+1) = (b− Ae xk)− bαk+1Ae sk+1 = rk + bαk+1zk+1.

(**) De vez en cuando se recalcula el residuo para evitar la acumulacion de errores de redondeo.


Implementacion del Algoritmo PCG (II)

TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE VINCULACION

Dado el sistema A˜ x = b + R, con algunas xv = pv, se procede de lasiguiente manera:

1) Se inicializan los valores de los g.d.l. prescritos, xv = pv.

2) Cuando se calcula el residuo r = b− Ae x se opera con toda la matriz.

3) Al actualizar los valores de x en cada iteracion se ignoran (no se modifican) lasincognitas correspondientes a los g.d.l. prescritos, xv = pv.

4) Al comprobar la condicion de convergencia en r hay que tener en cuenta que losterminos corespondientes a los g.d.l. prescritos no tienden a 0 sino a los valores delas reacciones correspondientes.

5) Finalmente, las reacciones se obtienen a partir del ultimo residuo, ya que R = −r.


METODOS SEMI-ITERATIVOS PARAGRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

GENERALIZACIONF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE

I Planteamientos Alternativos

I Residuos Ponderados

I Mınimos Cuadrados

I Principio Variacional

I Mınima Energıa

I Metodos de Krylov

I Matrices no simetricas


Planteamientos Alternativos (I)

Sea el problema:

Hallar x,

que verifica A˜ x = b,

donde la matriz A˜ es no singular (pero no necesariamente simetrica nidefinida positiva).

El problema anterior puede escribirse en las formas alternativas...


Planteamientos Alternativos (IIa)

a) FORMA ORIGINAL

Hallar x,

que VERIFICA r = 0,

siendo r = b−A˜ x.


Planteamientos Alternativos (IIb)

b) RESIDUOS PONDERADOS

Hallar x,

que VERIFICA ωT r = 0 ∀ω,

siendo r = b−A˜ x.


Planteamientos Alternativos (IIc1)

c) MINIMOS CUADRADOS (O MINIMO RESIDUO)

Hallar x,

que MINIMIZA g(x) = rTB˜ r, (*)


(*) Be SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA.



. . . que equivale a decir

Hallar x,

que VERIFICA ∇g(x) = 0,

siendo ∇g(x) =[dg

dx

]T

= −2A˜TB˜ r, (*)

r = b−A˜ x,




. . . o lo que es lo mismo,

Hallar x,

que VERIFICA r = 0,

siendo r = A˜TB˜ r, (*)

r = b−A˜ x.




I Luego,

♦ Transforma el sistema original Ae x = b en otro

Ax = b, siendo

bA=A˜T B˜ A˜, (SIMETRICA, DEF +)bb=A˜T B˜ b.

♥ A este sistema puede aplicarsele el metodo de gradientes conjugados.Basta con calcular el residuobr = AeT

“Be r”

, con r = b− Ae x. (*)

♣ Para aplicar el PCG hay que calcular la diagonal de la matriz bAe = AeTBe Ae . Si lamatriz A no se ha ensamblado (que es lo normal en estos casos), hay que obtenerlos coeficientesbajj = δ

TjbAe δj = δ

Tj AeT

Be Ae δj =Àe δj

´TBe Àe δj

ćon δj = δiji=1,...,n

(*) El tiempo de calculo necesario para calcular el residuo se duplica (aproximadamente), ya que hay que ahora hay que realizardos productos matriciales importantes (uno con la matriz Ae y otro con su traspuesta). En general se elegira una matriz Bemuy vacıa para que el coste computacional de su producto matricial sea poco importante).


Planteamientos Alternativos (IId1)

d) PRINCIPIO VARIACIONAL

Hallar x,

que VERIFICAdJ(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δx,

siendo J(λ) =(b−A˜ (x + λδx)

)TC˜ (b−A˜ (x + λδx)

), (*)

y por tantodJ(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=0

= −2 (A˜ δx)TC˜ r,

r = b−A˜ x,

(*) Ce SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA.




Hallar x,

que VERIFICA − 2δxT(A˜TC˜ r

)= 0 ∀δx, (*)





. . . o lo que es lo mismo

Hallar x,

que VERIFICA ωT r = 0 ∀ω = CÃ˜δx, (*)






Hallar x,

que VERIFICA r = 0,

siendo r = A˜TC˜ r, (*)

r = b−A˜ x.




I Luego,

♦ Transforma el sistema original Ae x = b en otro

Ax = b, siendo

bA=A˜T C˜ A˜, (SIMETRICA, DEF +)bb=A˜T C˜ b.

♥ A este sistema puede aplicarsele el metodo de gradientes conjugados.Basta con calcular el residuobr = AeT

“Ce r”

, con r = b− Ae x. (*)

♣ Para aplicar el PCG hay que calcular la diagonal de la matriz bAe = AeTCe Ae . Si lamatriz A no se ha ensamblado (que es lo normal en estos casos), hay que obtenerlos coeficientesbajj = δ

TjbAe δj = δ

Tj AeT

Ce Ae δj =Àe δj

´TCe Àe δj

ćon δj = δiji=1,...,n

(*) El tiempo de calculo necesario para calcular el residuo se duplica (aproximadamente), ya que hay que ahora hay que realizardos productos matriciales importantes (uno con la matriz Ae y otro con su traspuesta). En general se elegira una matriz Cemuy vacıa para que el coste computacional de su producto matricial sea poco importante).


Planteamientos Alternativos (IIe)

e) MINIMA ENERGIA (A˜ SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA)

Hallar x,

que MINIMIZA f(x) =12

xTA˜ x− xT b, (*)

con


vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

(*) Pues ∇f(x) =h

dfdx

iT

= −r, siendo r = b− Ae x.


Residuos Ponderados (I)

PLANTEAMIENTO EN RESIDUOS PONDERADOS

r = b−A˜ x = 0 ⇐⇒ ωT r = 0 ∀ω.


Residuos Ponderados (IIa)

VECTORES DE PRUEBA

Sean los vectores de prueba L.I.φi

i=1,...,ν

, ν ≤ n.

Dada la aproximacion inicial x0, buscamos una mejor aproximacion

x ≈ xh = x0 +ν∑

i=1

αiφi

x ≈ xh = x0 + Φ˜ α, con Φ˜ = [ φ1 . . . φν ] , α =

α1...

αν

.

El residuo correspondiente a la aproximacion xh sera

rh = b−A˜(

x0 +ν∑

i=1

αiφi

)= r0 −

ν∑i=1

αi

(A˜ φi

)rh = b−A˜ (x0 + Φ˜ α) = r0 −A˜ Φ˜ α


Residuos Ponderados (IIb)

En general no sera posible que xh = x (*), por lo que

rh 6= 0 ⇐⇒ no es posible que ωT rh = 0 ∀ω.

(*) Salvo que x− x0 este contenido en el subespacio generado por los vectores de prueba.


Residuos Ponderados (IIIa)

VECTORES DE TEST

Sean los vectores de test L.I. ωjj=1,...,ν , ν ≤ n.

Sea

ωh =ν∑

j=1

βjωj

ωh = Ω˜ β, con Ω˜ = [ ω1 . . . ων ] , β =

β1...

βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion xh que verifique

(ωh)T

rh = 0 ∀ωh.


Residuos Ponderados (IIIb)

Pero (ωh)T

rh = 0 ∀ωh

m(ν∑

j=1

βjωj

)T

rh = 0 ∀ βjj=1,...,ν ⇐⇒(Ω˜ β

)Trh = 0 ∀β

mν∑

j=1

βj

(ωT

j rh)

= 0 ∀ βjj=1,...,ν ⇐⇒ βT(Ω˜T rh

)= 0 ∀β

m

ωTj rh = 0, j=1,...,ν ⇐⇒ Ω˜T rh = 0.


Residuos Ponderados (IVa)

Por tanto,

ωTj

(r0 −

ν∑i=1

αi

(A˜ φi

))= 0, j=1,...,ν ⇐⇒ Ω˜T (r0 −A˜ Φ˜ α) = 0

m

ν∑i=1

kji︷︸︸︷(ωT

j A˜ φi

)αi =

fj︷︸︸︷ωT

j r0, j=1,...,ν ⇐⇒K˜︷︸︸︷(

Ω˜TA˜ Φ˜) α =

f︷︸︸︷Ω˜T r0

m

ν∑i=1

kjiαi = fj, j=1,...,ν ⇐⇒ K˜ α = f .


Residuos Ponderados (IVb)

Luego el sistema original A˜ x = b (de orden n) ha sido sustituido por elsistema (de orden ν ≤ n)

K˜ α = f , con α = αii=1,...,νy

K˜ = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji = ωTj A˜ φi ⇐⇒ K˜ = Ω˜TA˜ Φ˜

f = fjj=1,...,ν, fj = ωT

j r0 ⇐⇒ f = Ω˜T r0.

Posteriormente obtendremos la aproximacion a la solucion

xh = x0 +ν∑

i=1

αiφi ⇐⇒ xh = x0 + Φ˜ α.


Residuos Ponderados (Va)

PONDERACION DE BUBNOV–GALERKIN

Si se eligen como vectores de test los vectores de prueba, esto es

ωj = φj, j=1,...,ν,

Ω˜ = Φ˜,

se obtiene

K˜ = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji = φTj A˜ φi ⇐⇒ K˜ = Φ˜TA˜ Φ˜

f = fjj=1,...,ν, fj = φT

j r0 ⇐⇒ f = Φ˜T r0.

Por tanto, si A˜ es SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA, K˜ tambien lo es.


Residuos Ponderados (Vb)

Observamos que el metodo de GRADIENTES CONJUGADOS . . .

♣ es un metodo de RESIDUOS PONDERADOS

♣ con ponderacion del tipo BUBNOV-GALERKIN

♣ en el que los vectores de prueba (φi = si) son conjugados respecto a lamatriz A˜ ,

♥ por lo que la matriz K˜ es diagonal

♦ y los coeficientes α pueden obtenerse de forma explıcita mediante laexpresion

αj =sT

j r0

sTj A˜ sj

.


Residuos Ponderados (VIa)

METODOS DE PROYECCION

Los METODOS DE RESIDUOS PONDERADOS tambien se denominan ası,

ya que siendo

x la solucion exacta, con r = b−A˜ x

xh la solucion aproximada, con rh = b−A˜ xh

se verifica(ωh)T

r = 0 ∀ωh

(ωh)T

rh = 0 ∀ωh

=⇒(ωh)T (

r − rh)

= 0 ∀ωh

=⇒−(ωh)T

A˜ (x− xh)

= 0 ∀ωh

=⇒−(A˜T ωh

)T (x− xh

)= 0 ∀ωh.


Residuos Ponderados (VIb)

Luego, la solucion aproximada xh es

la PROYECCION de la solucion exacta x

sobre el subespacio formado por los vectores de prueba xh

segun la normal al subespacio formado por los vectores A˜T ωh.


Mınimos Cuadrados (I)

PLANTEAMIENTO EN MINIMOS CUADRADOS

r = b−A˜ x = 0 ⇐⇒ Minimizar g(x) = rTB˜ r. (*)



Mınimos Cuadrados (II)

VECTORES DE PRUEBA


i=1,...,ν

, ν ≤ n.


x ≈ xh = x0 +ν∑

i=1

αiφi

x ≈ xh = x0 + Φ˜ α, con Φ˜ = [ φ1 . . . φν ] , α =

α1...

αν

.


rh = b−A˜(

x0 +ν∑

i=1

αiφi

)= r0 −

ν∑i=1

αi

(A˜ φi

)rh = b−A˜ (x0 + Φ˜ α) = r0 −A˜ Φ˜ α


Mınimos Cuadrados (IIIa)

Sea

γ(α) = g(x)∣∣∣x=xh

=(rh)T

B˜ rh.


∂γ

∂αj= 0, j=1,...,ν ⇐⇒

[dγ

dα

]T

= 0.


Mınimos Cuadrados (IIIb)

Pero

∂γ

∂αj

=∂γ

∂rh

∂rh

∂αj

=

„2“

rh”T

Be« `−Ae φj

´= −2φ

Tj AeT

Be rh, j=1,...,ν

y

»∂γ

∂α

–T

=

∂γ

∂rh

∂rh

∂α

!T

=

„„2“

rh”T

Be«

(−AeΦe)

«T

= −2ΦeTAeT

Be rh,

luego,

∂γ∂αj

= 0, j=1,...,ν ⇐⇒[

dγdα

]T= 0

m

φTj A˜TB˜ rh = 0, j=1,...,ν ⇐⇒ Φ˜TA˜TB˜ rh = 0.


Mınimos Cuadrados (IVa)

Por tanto,

φTj AeTBe

r0 −

νXi=1

αi

Àe φi

´!= 0, j=1,...,ν ⇐⇒ ΦeTAeTBe (r0 − Ae Φe α) = 0

m

νXi=1

kjiz | “φ

Tj AeT

Be Ae φi

”αi =

fjz | φ

Tj AeT

Be r0, j=1,...,ν ⇐⇒

Kez | “ΦeT

AeTBe Ae Φe

”α =

fz | ΦeT

AeTBe r0

m

νXi=1

kjiαi = fj, j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f .


Mınimos Cuadrados (IVb)


K˜ α = f , con α = αii=1,...,νy

K˜ = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji = φTj A˜TB˜ A˜ φi ⇐⇒ K˜ = Φ˜TA˜TB˜ A˜ Φ˜

f = fjj=1,...,ν, fj = φT

j A˜TB˜ r0 ⇐⇒ f = Φ˜TA˜TB˜ r0.

Por tanto, si A˜ es no singular, K˜ sera SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA.


Mınimos Cuadrados (V)

Luego el PLANTEAMIENTO EN MINIMOS CUADRADOS . . .

♣ conduce a metodos de RESIDUOS PONDERADOS

♣ en los que se utilizan los vectores de test

ωj = BÃ˜ φj, j=1,...,ν ⇐⇒ Ω˜ = BÃ˜Φ˜


Principio Variacional (I)

PLANTEAMIENTO VARIACIONAL

r = b−A˜ x = 0 ⇐⇒

dJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

∀δx, siendo

J(λ)=(b−A˜(x+λδx))TC˜(b−A˜(x+λδx)),

dJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

= −2 (A˜ δx)TC˜ r.

(*)



Principio Variacional (II)

VECTORES DE PRUEBA


i=1,...,ν

, ν ≤ n.


x ≈ xh = x0 +ν∑

i=1

αiφi

x ≈ xh = x0 + Φ˜ α, con Φ˜ = [ φ1 . . . φν ] , α =

α1...αν

.


rh = b−A˜(

x0 +ν∑

i=1

αiφi

)= r0 −

ν∑i=1

αi

(A˜ φi

)rh = b−A˜ (x0 + Φ˜ α) = r0 −A˜ Φ˜ α


Principio Variacional (IIIa)

PERTURBACION

Sea la perturbacion

δxh =ν∑

j=1

δαjφj

δxh = Φ˜ δα, con Φ˜ = [ φ1 . . . φν ] , δα =

δα1...

δαν

.


−2(A˜ δxh

)TC˜ rh = 0 ∀δxh.


Principio Variacional (IIIb)

Pero

`δxh´T

AeTCe rh = 0 ∀δxh

m0@ νXj=1

δαjφj

1AT

AeTCe r

h= 0 ∀ δαjj=1,...,ν ⇐⇒ (Φe δα)

TAeT

Ce rh

= 0 ∀δα

mνX

j=1

δαj

“φ

Tj AeT

Ce rh”

= 0 ∀ δαjj=1,...,ν ⇐⇒ δαT“ΦeT

AeTCe r

h”

= 0 ∀δα

m

φTj AeT

Ce rh

= 0, j=1,...,ν ⇐⇒ ΦeTAeT

Ce rh

= 0.


Principio Variacional (IVa)

Por tanto,

φTj AeTCe

r0 −

νXi=1

αi

Àe φi

´!= 0, j=1,...,ν ⇐⇒ ΦeTAeTCe (r0 − Ae Φe α) = 0

m

νXi=1

kjiz | “φ

Tj AeT

Ce Ae φi

”αi =

fjz | φ

Tj AeT

Ce r0, j=1,...,ν ⇐⇒

Kez | “ΦeT

AeTCe Ae Φe

”α =

fz | ΦeT

AeTCe r0

m

νXi=1

kjiαi = fj, j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f .


Principio Variacional (IVb)


K˜ α = f , con α = αii=1,...,νy

K˜ = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji = φTj A˜TC˜ A˜ φi ⇐⇒ K˜ = Φ˜TA˜TC˜ A˜ Φ˜

f = fjj=1,...,ν, fj = φT

j A˜TC˜ r0 ⇐⇒ f = Φ˜TA˜TC˜ r0.

Por tanto, si A˜ es no singular, K˜ sera SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA.


Principio Variacional (V)

Por tanto, el PLANTEAMIENTO VARIACIONAL . . .

♣ conduce a metodos de RESIDUOS PONDERADOS

♣ en los que se utilizan los vectores de test

ωj = CÃ˜ φj, j=1,...,ν ⇐⇒ Ω˜ = CÃ˜Φ˜


Mınima Energıa (I)

PLANTEAMIENTO DE MINIMA ENERGIA (A˜ SIM. Y DEF. +)

r = b−A˜ x = 0 ⇐⇒ Minimizar f(x) =12

xTA˜ x− xT b. (*)

(*) SOLO SI Ae ES SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA.


Mınima Energıa (II)

VECTORES DE PRUEBA


i=1,...,ν

, ν ≤ n.


x ≈ xh = x0 +ν∑

i=1

αiφi

x ≈ xh = x0 + Φ˜ α, con Φ˜ = [ φ1 . . . φν ] , α =

α1...

αν

.


rh = b−A˜(

x0 +ν∑

i=1

αiφi

)= r0 −

ν∑i=1

αi

(A˜ φi

)rh = b−A˜ (x0 + Φ˜ α) = r0 −A˜ Φ˜ α


Mınima Energıa (IIIa)

Sea

ϕ(α) = f(x)∣∣∣x=xh

=12(xh)T

A˜ xh −(xh)T

b.


∂ϕ

∂αj= 0, j=1,...,ν ⇐⇒

[dϕ

dα

]T

= 0.


Mınima Energıa (IIIb)

Pero

∂ϕ

∂αj

=∂γ

∂xh

∂xh

∂αj

=

„“x

h”T

Ae − bT

«`φj

´= −φ

Tj

“b− Ae x

h”

= −φTj r

h, j=1,...,ν

y

»∂ϕ

∂α

–T

=

∂ϕ

∂xh

∂xh

∂α

!T

=

„„“x

h”T

Ae − bT

«(Φe)

«T

= −ΦeT“

b− Ae xh”

= −ΦeTr

h.

luego,

∂ϕ∂αj

= 0, j=1,...,ν ⇐⇒[

dϕdα

]T= 0

m

φTj rh = 0, j=1,...,ν ⇐⇒ Φ˜T rh = 0.


Mınima Energıa (IVa)

Por tanto,

φTj

r0 −

νXi=1

αi

Àe φi

´!= 0, j=1,...,ν ⇐⇒ ΦeT (r0 − Ae Φe α) = 0

m

νXi=1

kjiz | “φ

Tj Ae φi

”αi =

fjz | φ

Tj r0, j=1,...,ν ⇐⇒

Kez | “ΦeT

Ae Φe”

α =

fz | ΦeT

r0

m

νXi=1

kjiαi = fj, j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f .


Mınima Energıa (IVb)


K˜ α = f , con α = αii=1,...,νy

K˜ = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji = φTj A˜ φi ⇐⇒ K˜ = Φ˜TA˜ Φ˜

f = fjj=1,...,ν, fj = φT

j r0 ⇐⇒ f = Φ˜T r0.

Como A˜ es SIMETRICA Y DEFINIDA POSITIVA, K˜ TAMBIEN LO SERA.


Mınima Energıa (V)

Luego el PLANTEAMIENTO DE MINIMA ENERGIA . . .

♣ es un metodo de RESIDUOS PONDERADOS,

♣ en el que se utilizan los vectores de test

ωj = φj, j=1,...,ν ⇐⇒ Ω˜ = Φ˜Por tanto se utiliza una ponderacion del tipo BUBNOV–GALERKIN. (*)

(*) En este caso.


Metodos de Krylov (I)

SUBESPACIO DE KRYLOV

Dados A˜ y ro, se define el subespacio de Krylov Km(A˜ , ro) como

Km(A˜ , ro) = spanro, A˜ ro, A˜2ro, . . . , A˜m−1ro

=

xm

∣∣∣ xm =n∑

i=1

αiA˜ i−1ro

.

METODOS DE KRYLOV


x ≈ xh = x0 + xm, con xm ∈ Km(A˜ , ro).

La obtencion de la mejor aproximacion se plantea mediante el metodo deresiduos ponderados.


Metodos de Krylov (II)

Luego los METODOS DE KRYLOV . . .

♣ son metodos de RESIDUOS PONDERADOS,

♣ en los que se utilizan los vectores de prueba

φi = A˜ i−1ro, i=1,...,m.


Metodos de Krylov (III)

En particular, puede comprobarse facilmente (*) que elMETODO DE GRADIENTES CONJUGADOS . . .

♣ es un METODO DE KRYLOV.

(*) Basta examinar como se van generando las sucesivas aproximaciones a la solucion.


Matrices no simetricas

Si A˜ es no simetrica, podemos utilizar . . .

1) El Metodo de Mınimos Cuadrados (o de Mınimo Residuo).♦ Es facil modificar el PCG (basta trabajar con lo residuos br = AeT r,

♣ pero el numero de condicion de AeTAe es el cuadrado del numero de condicion de lamatriz original Ae , por lo que♠ se esperan errores de redondeo mas importantes y♠ se espera una menor velocidad de convergencia (*).

2) El Metodo de Mınimo Residuo Generalizado (GMRES).♥ Se realizan ciertas correcciones que evitan los problemas del metodo anterior,♣ pero a cambio es preciso retener todas los iteraciones (no solo la ultima),

♠ lo que implica un volumen de almacenamiento en memoria inaceptable.

♣ Para evitarlo, el metodo se arranca de nuevo cada cierto numero de iteraciones,♠ pero entonces puede no converger.

(*) Puede demostrarse que el numero de iteraciones necesarias para obtener una buena aproximacion crece con la raızcuadrada del numero de condicion de la matriz (vease, por ejemplo, C. Johnson, 1992).


METODOS SEMI-ITERATIVOS PARAGRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:PLANTEAMIENTO EN RESIDUOS ELEMENTALESF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE

I Ensamblaje de la diagonal principal

I Calculo del residuo a nivel de elemento


Ensamblaje de la diagonal principal (I)

La diag (K˜ ) se obtiene ensamblando las diag (K˜ e), pues

K˜ =nelem∑e=1

K˜ e =⇒ diag (K˜ ) =nelem∑e=1

diag(K˜ e

).


Ensamblaje de la diagonal principal (II)

Siendo

K˜ e =[ke

ij

], con

i = 1, . . . , nevab

j = 1, . . . , nevab

los coeficientes de diag (K˜ e) pueden calcularse en la forma

kejj = δT

e,j K˜ e δe,j, con δe,j =

0...01 −→ fila j0......0


Ensamblaje de la diagonal principal (III)

Pero

K˜ e = B˜Te D˜ eB˜ e,

luego

kejj = δT

e,j K˜ e δe,j = δTe,j

(B˜T

e D˜ eB˜ e

)δe,j

=(δTe,j B˜T

e

)D˜ e

(B˜ e δe,j

)=

(B˜ e δe,j

)TD˜ e

(B˜ e δe,j

),

y por tanto

ue,j = δe,j

εe,j = B˜ e ue,j

σe,j = D˜ e εe,j

=⇒ kejj = (εe,j)

Tσe,j .


Calculo del residuo a nivel de elemento (I)

El residuo r se obtiene ensamblando las contribuciones fe = K˜ eue, pues

r = b−K˜ u

K˜ =nelem∑e=1

K˜ e

=⇒ r = b−nelem∑e=1

K˜ eu︸︷︷︸bfe

,

donde la contribucion fe se obtiene expandiendo

fe = K˜ eue.


Calculo del residuo a nivel de elemento (II)

Pero

K˜ e = B˜Te D˜ eB˜ e,

luego

fe = K˜ e ue =(B˜T

e D˜ eB˜ e

)ue

= B˜Te

(D˜ e

(B˜ e ue

)),

y por tanto

εe = B˜ e ue

σe = D˜ e εe

fe = B˜Te σe

=⇒ r = b−nelem∑e=1

fe .


INTRODUCCION A LOSMETODOS DE RESIDUOS PONDERADOS:

APROXIMACION DE FUNCIONESF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE


I Residuos Ponderados

I Eleccion de las Funciones de Test

I Metodo de Colocacion Puntual

I Metodo de Colocacion por Subdominios

I Metodo de Bubnov-Galerkin

I Eleccion de las Funciones de Prueba

I Metodo de Mınimos Cuadrados

I Notacion en Formas Bilineales



Sea el problema:

Hallar u(x), x ∈ [a, b]

que verifica u(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].

El problema anterior puede escribirse en las formas alternativas...



a) FORMA ORIGINAL

Hallar u(x), x ∈ [a, b],

que VERIFICA r(x) = 0 ∀x ∈ [a, b], (*)

siendo r(x) = f(x)− u(x).

(*) FORMA FUERTE o STRONG FORM.


Planteamientos Alternativos (IIb1)



que VERIFICA

∫ b

a

ω(x)r(x) dx = 0 ∀ω(x), (*)


(*) FORMA DEBIL o WEAK FORM.


Planteamientos Alternativos (IIb2)

Pues

r(x) = 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒Z b

a

ω(x)r(x) dx = 0 ∀ω(x)Z b

a

ω(x)r(x) dx = 0 ∀ω(x) =⇒Z b

a

r(x)r(x) dx = 0.

♥ Si las funciones son suficientemente regulares, el enunciado de residuosponderados es equivalente al problema original, ya queZ b

ar(x)r(x) dx = 0 =⇒ r(x) = 0 ∀x ∈ [a, b].

♣ Si se utiliza la Integral de Lebesgue, las funciones u(x) y f(x) pueden diferir enun conjunto de puntos de medida nula. (*)

(*) Por este motivo se habla de una FORMULACION DEBIL (WEAK FORMULATION) del problema original.



c) MINIMOS CUADRADOS


que MINIMIZA Q[u(x)] =∫ b

a

r(x)p(x)r(x) dx, (*)

siendo r(x) = f(x)− u(x),

(*) La funcion de peso p(x) debe verificar p(x) > 0 ∀x ∈ [a, b].



que equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL


que VERIFICAdJ(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δu(x),

siendo J(λ) =

Z b

a

“r(x)− λδu(x)

”p(x)

“r(x)− λδu(x)

”dx, (*)

y por tantodJ(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=0

= −2∫ b

a

δu(x)p(x)r(x) dx,

r(x) = f(x)− u(x),






que VERIFICA

∫ b

a

δu(x)(p(x)r(x)

)dx = 0 ∀δu(x), (*)


(*) Que es un planteamiento en residuos ponderados.





que VERIFICA

∫ b

a

ω(x)r(x) dx = 0 ∀ω(x) = δu(x)p(x), (*)





e) MINIMA ENERGIA


que MINIMIZA E [u(x)] =12

∫ b

a

u(x)u(x) dx−∫ b

a

u(x)f(x) dx,



que equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL


que VERIFICAdJ(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δu(x),

siendo J(λ) =1

2

Z b

a

“u(x) + λδu(x)

”“u(x) + λδu(x)

”dx

−Z b

a

“u(x) + λδu(x)

”f(x) dx,

y por tantodJ(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=0

= −∫ b

a

δu(x)r(x) dx,

r(x) = f(x)− u(x),





que VERIFICA

∫ b

a

δu(x)r(x) dx = 0 ∀δu(x), (*)





NOTA:

En este caso,

E [u(x)] =12

(Q[u(x)]−

∫ b

a

f(x)p(x)f(x) dx

), con p(x) = 1.

Por tanto, el planteamiento sera equivalente al de Mınimos Cuadrados conp(x) = 1.


Residuos Ponderados (I)

RESIDUOS PONDERADOS (Weighted Residuals)

Hallar u(x) ∈ Hu,

que VERIFICA

∫ b

a

ω(x)r(x) dx = 0 ∀ω(x) ∈ Hω,



Residuos Ponderados (IIa)

FUNCIONES DE PRUEBA (Trial Functions)

Sea la base de funciones de prueba φi(x)i=0,...,ν.

Dada la aproximacion inicial u0(x), buscamos una mejor aproximacion

u(x) ≈ uh(x) = u0(x) +ν∑

i=0

αiφi(x), uh(x) ∈ Hhu ⊂ Hu,

u(x) ≈ uh(x) = u0(x) + ΦT (x) α, con Φ(x) =

φ0(x)

...φν(x)

, α =

α0...αν

.

El residuo correspondiente a la aproximacion uh(x) sera

rh(x) = f(x)− uh(x) = r0(x)−ν∑

i=0

αiφi(x), con r0(x) = f(x)− u0(x)

rh(x) = f(x)− uh(x) = r0(x)− ΦT (x) α, con r0(x) = f(x)− u0(x)


Residuos Ponderados (IIb)

En general no sera posible que uh(x) = u(x) ∀x ∈ [a, b] (*), por lo que

rh(x) 6= 0 =⇒ no es posible que

∫ b

a

ω(x)rh(x) dx = 0 ∀ω(x) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(x)− u0(x) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.


Residuos Ponderados (IIIa)

FUNCIONES DE TEST (Test Functions)

Sea la base de funciones de test ωj(x)j=0,...,ν.

Sea

ωh(x) =ν∑

j=0

βjωj(x), ωh(x) ∈ Hhω ⊂ Hω,

ωh(x) = ΩT (x) β = βT Ω(x), con Ω(x) =

ω0(x)

...ων(x)

, β =

β0...βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(x) ∈ Hhu que verifique

∫ b

a

ωh(x)rh(x) dx = 0 ∀ωh(x) ∈ Hhω.


Residuos Ponderados (IIIb)

Pero Z b

a

ωh(x)r

h(x) dx = 0 ∀ω

h(x) ∈ H

hω

mZ b

a

0@ νXj=0

βjωj(x)

1Arh(x) dx = 0 ∀ βj ⇐⇒

Z b

a

“β

TΩ(x)

”r

h(x) dx = 0 ∀β

mνX

j=0

βj

Z b

a

ωj(x)rh(x) dx = 0 ∀ βj ⇐⇒ β

TZ b

a

Ω(x)rh(x) dx = 0 ∀β

m

Z b

a

ωj(x)rh(x) dx = 0, j=0,...,ν ⇐⇒

Z b

a

Ω(x)rh(x) dx = 0.


Residuos Ponderados (IVa)

Por tanto,

Z b

aωj(x)

r0(x)−

νXi=0

αiφi(x)

!= 0 ∀j ⇐⇒

Z b

aΩ(x)

“r0(x)− Φ

T(x) α

”dx = 0

m

νXi=0

kjiz | Z b

aωj(x)φi(x) dx αi =

fjz | Z b

aωj(x)r0(x) dx ∀j ⇐⇒

Kez | Z b

aΩ(x) Φ

T(x) dx α =

fz | Z b

aΩ(x)r0(x) dx

m

νXi=0

kjiαi = fj j=0,...,ν ⇐⇒ Ke α = f .


Residuos Ponderados (IVb)

Luego el problema original u(x) = f(x) ha sido sustituido por el sistema (deorden ν + 1)

K˜ α = f , con α = αii=0,...,νy

Ke = [kji]i=0,...,νj=0,...,ν

, kji =

Z b

a

ωj(x)φi(x) dx ⇐⇒ Ke =

Z b

a

Ω(x)ΦT (x) dx

f = fjj=0,...,ν , fj =

Z b

a

ωj(x)r0(x) dx ⇐⇒ f =

Z b

a

Ω(x)r0(x) dx.


uh(x) = u0(x) +ν∑

i=0

αiφi(x) ⇐⇒ uh(x) = u0(x) + ΦT (x) α.


Residuos Ponderados (Va)


Los METODOS DE RESIDUOS PONDERADOS tambien se denominan ası,

ya que siendo

u(x) la solucion exacta, con r(x) = f(x)− u(x)

uh(x) la solucion aproximada, con rh(x) = f(x)− uh(x)

se verificaZ b

aω

h(x)r(x) dx = 0 ∀ω

h(x) ∈ H

hω

Z b

aω

h(x)r

h(x) dx = 0 ∀ω

h(x) ∈ H

hω

9>>>>>=>>>>>;=⇒

Z b

aω

h(x)“

r(x)− rh(x)”

dx = 0 ∀ωh(x) ∈ H

hω

=⇒−Z b

aω

h(x)“

u(x)− uh(x)”

dx = 0 ∀ωh(x) ∈ H

hω.


Residuos Ponderados (Vb)

Luego, la solucion aproximada uh(x) verifica

⟨ωh, u− uh

⟩= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω, con 〈v, e〉 =∫ b

a

v(x)e(x) dx.

Por tanto, . . .


Residuos Ponderados (Vc)

. . . la solucion aproximada uh(x) es

la PROYECCION de la solucion exacta u(x)

sobre el subespacio Hhu de las funciones de prueba uh(x)

segun la normal al subespacio Hhω de las funciones de test ωh(x).


Eleccion de las Funciones de Test

Algunas posibilidades. . .

1) METODO DE COLOCACION PUNTUAL

ωj(x) = δ(x− xj), j=0,...,ν con xj∈[a,b], xi 6=xj ∀i6=j. (*)

2) METODO DE COLOCACION POR SUBDOMINIOS

ωj(x) = 1, si xj ≤ x ≤ xj+1,

0, en caso contrario, j=0,...,ν con a=x0≤x1≤...≤xν≤xν+1=b.

3) METODO DE BUBNOV-GALERKIN

ωj(x) = φj(x), j=0,...,ν ⇐⇒ Hhω = Hh

u .

(*) Si xj = a o xj = b es preciso redefinir adecuadamente la δ.


Metodo de Colocacion Puntual (Ia)

COLOCACION PUNTUAL

Si se eligen como funciones de test las deltas de Dirac

ωj(x) = δ(x− xj), j=0,...,ν con xj∈[a,b], xi 6=xj ∀i6=j,

se obtiene

Ke = [kji]i=0,...,νj=0,...,ν

, kji =

Z b

a

ωj(x)φi(x) dx = φi(xj)

f = fjj=0,...,ν , fj =

Z b

a

ωj(x)r0(x) dx = r0(xj) = f(xj)− u0(xj).


Metodo de Colocacion Puntual (Ib)

Esto es 2664φ0(x0) φ1(x0) . . . φν(x0)φ0(x1) φ1(x1) . . . φν(x1)... ... ...φ0(xν) φ1(xν) . . . φν(xν)

37758><>:

α0

α1...αν

9>=>; =

=

8>><>>:f(x0)− u0(x0)f(x1)− u0(x1)...f(xν)− u0(xν)

9>>=>>; .


Metodo de Colocacion Puntual (II)

La solucion aproximada uh(x) verifica∫ b

a

ωj(x)rh(x) dx =∫ b

a

δ(x− xj)rh(x) dx = rh(xj) = 0

⇓

uh(xj) = f(xj), j = 0, . . . , ν.

por lo que se realiza una INTERPOLACION PURA.


Metodo de Colocacion por Subdominios (Ia)

COLOCACION POR SUBDOMINIOS

Si se eligen como funciones de test las funciones en escalon

ωj(x) = 1, si xj ≤ x ≤ xj+1,

0, en caso contrario, j=0,...,ν con a=x0≤x1≤...≤xν≤xν+1=b.

se obtiene

Ke = [kji]i=0,...,νj=0,...,ν

, kji =

Z b

a

ωj(x)φi(x) dx =R xj+1

xjφi(x) dx

f = fjj=0,...,ν , fj =

Z b

a

ωj(x)r0(x) dx =R xj+1

xj[f(x)− u0(x)] dx.


Metodo de Colocacion por Subdominios (Ib)

Esto es2666666664

Z x1

x0

φ0(x) dx

Z x1

x0

φ1(x) dx . . .

Z x1

x0

φν(x) dxZ x2

x1

φ0(x) dx

Z x2

x1

φ1(x) dx . . .

Z x2

x1

φν(x) dx

... ... ...Z xν+1

xν

φ0(x) dx

Z xν+1

xν

φ1(x) dx . . .

Z xν+1

xν

φν(x) dx

37777777758><>:

α0

α1...αν

9>=>; =

=

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

Z x1

x0

[f(x)− u0(x)] dxZ x2

x1

[f(x)− u0(x)] dx

...Z xν+1

xν

[f(x)− u0(x)] dx

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;.


Metodo de Colocacion por Subdominios (II)


a

ωj(x)rh(x) dx =∫ xj+1

xj

rh(x) dx = 0

⇓

∫ xj+1

xj

uh(x) dx =∫ xj+1

xj

f(x) dx, j = 0, . . . , ν

por lo que se realiza un AJUSTE DE LA MEDIA POR INTERVALOS.


Metodo de Bubnov-Galerkin (Ia)


Si se eligen como funciones de test las funciones de prueba, esto es

Hhω = Hh

u

mωj(x) = φj(x), j=0,...,ν ⇐⇒ Ω(x) = Φ(x),

se obtiene

Ke = [kji]i=0,...,νj=0,...,ν

, kji =

Z b

a

φj(x)φi(x) dx ⇐⇒ Ke =

Z b

a

Φ(x)ΦT (x) dx

f = fjj=0,...,ν , fj =

Z b

a

φj(x)r0(x) dx ⇐⇒ f =

Z b

a

Φ(x)r0(x) dx.


Metodo de Bubnov-Galerkin (Ib)

Esto es2666666664

Z b

a

φ0(x)φ0(x) dx

Z b

a

φ0(x)φ1(x) dx . . .

Z b

a

φ0(x)φν(x) dxZ b

a

φ1(x)φ0(x) dx

Z b

a

φ1(x)φ1(x) dx . . .

Z b

a

φ1(x)φν(x) dx

... ... ...Z b

a

φν(x)φ0(x) dx

Z b

a

φν(x)φ1(x) dx . . .

Z b

a

φν(x)φν(x) dx

37777777758><>:

α0

α1...αν

9>=>; =

=

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

Z b

a

φ0(x) [f(x)− u0(x)] dxZ b

a

φ1(x) [f(x)− u0(x)] dx

...Z b

a

φν(x) [f(x)− u0(x)] dx

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;. (*)

(*) Ecuaciones normales de Euler.


Metodo de Bubnov-Galerkin (II)


a

ωj(x)rh(x) dx =∫ b

a

φj(x)rh(x) dx = 0

⇓

∂Q

∂αj= 0, siendo Q(α0, α1, . . . , αν) =

∫ b

a

(rh(x)

)2

dx,

por lo que se realiza un AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIIa)

La matriz K˜ del metodo de Galerkin es. . .

♥ SIMETRICAK˜ = K˜ T

♥ SEMIDEFINIDA POSITIVA

γTK˜ γ ≥ 0 ∀γ 6= 0

♥ DEFINIDA POSITIVA

γTK˜ γ > 0 ∀γ 6= 0 (*)

(*) Si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIIb)

K˜ es SIMETRICA, ya que

kji =

Z b

a

φj(x)φi(x) dx =

Z b

a

φi(x)φj(x) dx = kij

m

Ke =

Z b

a

Φ(x)ΦT(x) dx =

Z b

a

“Φ(x)Φ

T(x)”T

dx =

Z b

a

Φ(x)ΦT(x) dx

!T

= Ke T.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIIc)

K˜ es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya que

νXj=0

νXi=0

γjkjiγi =νX

j=0

νXi=0

γj

Z b

aφj(x)φi(x) dx

!γi =

Z b

a

0@ νXj=0

γjφj(x)

1A| z

g(x)

νX

i=0

γiφi(x)

!| z

g(x)

dx

=

Z b

a

νX

i=0

γiφi(x)

!2

dx ≥ 0 ∀γ = γii=0,...,ν 6= 0.

m

γT

Ke γ = γT

Z b

aΦ(x)Φ

T(x) dx

!γ =

Z b

a

“Φ

T(x)γ

”| z

g(x)

“Φ

T(x)γ

”| z

g(x)

dx

=

Z b

a

“Φ

T(x)γ

”2dx ≥ 0 ∀γ 6= 0.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIId)

K˜ es DEFINIDA POSITIVA, ya que (vease el punto anterior)

νXj=0

νXi=0

γjkjiγi = 0 =⇒νX

i=0

γiφi(x) = 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒ γi = 0, i = 0, . . . , ν

m

γT

Ke γ = 0 =⇒ ΦT(x)γ = 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒ γ = 0.

si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IVa)

ESTIMACION DEL ERROR

Sabemos que la solucion aproximada uh(x) verifica

⟨ωh, u− uh

⟩= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω = Hhu , con 〈v, e〉 =

∫ b

a

v(x)e(x) dx.

El producto escalar verifica la desigualdad de Cauchy

〈v, e〉 ≤ ‖v‖ ‖e‖ , con la norma ‖e‖ = 〈e, e〉12 =

√∫ b

a

(e(x)

)2

dx.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IVb)

APROXIMACION OPTIMA

La solucion aproximada uh(x) verifica

∥∥u− uh∥∥ ≤ ∥∥u− vh

∥∥ ∀vh ∈ Hhu .


Metodo de Bubnov-Galerkin (IVc)

Pues,

uh, v

h ∈ Hhu =⇒ u

h − vh ∈ H

hu =⇒

Du

h − vh, u− u

hE

= 0,

luego

‚‚‚u− uh‚‚‚2

=D

u− uh, u− u

hE

+ 0 =D

u− uh, u− u

hE

+D

uh − v

h, u− u

hE

=D

u− uh+ u

h − vh, u− u

hE

=D

u− vh, u− u

hE

≤‚‚‚u− v

h‚‚‚ ‚‚‚u− u

h‚‚‚ ,

y en consecuencia ‚‚‚u− uh‚‚‚ ≤ ‚‚‚u− v

h‚‚‚ .


Metodo de Bubnov-Galerkin (IVd)


Utilizando funciones de prueba vh ∈ Hhu adecuadamente elegidas se

pueden obtener cotas del error u− uh a partir de la expresion∥∥u− uh∥∥ ≤ ∥∥u− vh

∥∥ .


Eleccion de las Funciones de Prueba (Ia)


1) SOPORTE GLOBAL → METODO DE RITZ

♣ Ejemplos:B a) φi(x) = xi, i=1,...,ν →Hh

u = Pν(x).B b) Series de FourierB c) . . .

♠ Ke es LLENA→ tiempo de computacion T (ν3).

♠ Ke puede ser MAL-CONDICIONADA. (*)

(*) EL numero de condicion depende de la base de funciones de prueba que se hayan elegido.


Eleccion de las Funciones de Prueba (Ib)

2) SOPORTE LOCAL → METODO DE ELEMENTOS FINITOS

♣ Ejemplos:B a) Funciones en escalon.B b) Poligonales a trozos.B c) Splines en general.

♥ Se pretende que Ke sea SPARSE.

♥ Se pretende que Ke sea BIEN-CONDICIONADA.


Mınimos Cuadrados (I)

MINIMOS CUADRADOS (Least Squares)


que MINIMIZA Q[u(x)] =∫ b

a

r(x)p(x)r(x) dx, (*)




Mınimos Cuadrados (IIa)




u(x) ≈ uh(x) = u0(x) +ν∑

i=0



φ0(x)

...φν(x)

, α =

α0...αν

.

El residuo correspondiente a la aproximacion uh(x) sera

rh(x) = f(x)− uh(x) = r0(x)−ν∑

i=0

αiφi(x), con r0(x) = f(x)− u0(x)

rh(x) = f(x)− uh(x) = r0(x)− ΦT (x) α, con r0(x) = f(x)− u0(x).


Mınimos Cuadrados (IIb)

El valor del funcional correspondiente a la aproximacion uh(x) sera

Q[uh(x)] =∫ b

a

rh(x)p(x)rh(x) dx

Por tanto, la funcion a minimizar sera

Q(α0, . . . , αν) =∫ b

a

rh(x)p(x)rh(x) dx, con rh(x) = r0(x)−ν∑

i=0

αiφi(x)

m

Q(α) =∫ b

a

rh(x)p(x)rh(x) dx, con rh(x) = r0(x)− ΦT (x) α.


Mınimos Cuadrados (IIc)

En consecuencia, la condicion de mınimo sera

∂Q

∂αj= 2∫ b

a

∂rh(x)∂αj

p(x)rh(x) dx = 0, j = 0, . . . , ν con∂rh(x)∂αj

= −φj(x)

m(∂Q

∂α

)T

= 2∫ b

a

(∂rh(x)

∂α

)T

p(x)rh(x) dx = 0, con

(∂rh(x)

∂α

)T

= −Φ(x)

Es decir,

∫ b

a

φj(x)p(x)rh(x) dx = 0, j=0,...,ν ⇐⇒∫ b

a

Φ(x)p(x)rh(x) dx = 0.


Mınimos Cuadrados (IIIa)

Luego, la formulacion de MINIMOS CUADRADOS equivale a plantear elMETODO DE RESIDUOS PONDERADOS con las funciones de test

ωj(x) = φj(x)p(x), j=0,...,ν,

Ω(x) = Φ(x)p(x).

Por tanto se obtiene

Ke =ˆkji˜i=0,...,νj=0,...,ν

, kji =

Z b

aφj(x)p(x)φi(x) dx ⇐⇒ Ke =

Z b

aΦ(x)p(x)ΦT (x) dx

f =˘

fj¯

j=0,...,ν, fj =

Z b

aφj(x)p(x)r0(x) dx ⇐⇒ f =

Z b

aΦ(x)p(x)r0(x) dx.


Mınimos Cuadrados (IIIb)

Esto es2666666664

Z b

a

φ0(x)p(x)φ0(x) dx

Z b

a

φ0(x)p(x)φ1(x) dx . . .

Z b

a

φ0(x)p(x)φν(x) dxZ b

a

φ1(x)p(x)φ0(x) dx

Z b

a

φ1(x)p(x)φ1(x) dx . . .

Z b

a

φ1(x)p(x)φν(x) dx

... ... ...Z b

a

φν(x)p(x)φ0(x) dx

Z b

a

φν(x)p(x)φ1(x) dx . . .

Z b

a

φν(x)p(x)φν(x) dx

37777777758><>:

α0

α1...αν

9>=>; =

=

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

Z b

a

φ0(x)p(x) [f(x)− u0(x)] dxZ b

a

φ1(x)p(x) [f(x)− u0(x)] dx

...Z b

a

φν(x)p(x) [f(x)− u0(x)] dx

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;. (*)

(*) Cuando la funcion de peso p(x) es constante, MINIMOS CUADRADOS equivale al METODO DE BUBNOV-GALERKIN.


Notacion en Formas Bilineales (I)


Hallar u(x) ∈ Hu,

que VERIFICA a(ω, u) = (ω, f) ∀ω(x) ∈ Hω,

siendo a(ω, u) =∫ b

a

ω(x)u(x) dx,

(ω, f) =∫ b

a

ω(x)f(x) dx.


Notacion en Formas Bilineales (IIa)




u(x) ≈ uh(x) = u0(x) +ν∑

i=0



φ0(x)

...φν(x)

, α =

α0...αν

.

El residuo correspondiente a la aproximacion u0(x) sera

r0(x) = f(x)− u0(x)


Notacion en Formas Bilineales (IIb)

En general no sera posible que uh(x) = u(x) ∀x ∈ [a, b] (*), por lo que

uh(x) 6= u(x) =⇒ no es posible que a(ω, uh) = (ω, f) ∀ω(x) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(x)− u0(x) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.


Notacion en Formas Bilineales (IIIa)



Sea

ωh(x) =ν∑

j=0



ω0(x)

...ων(x)

, β =

β0...βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(x) ∈ Hhu que verifique

a(ωh, uh) = (ωh, f) ∀ωh(x) ∈ Hhω.


Notacion en Formas Bilineales (IIIb)

Pero

a(ωh, u

h) = (ω

h, f) ∀ω

h(x) ∈ H

hω

m

a(

νXj=0

βjωj, uh) = (

νXj=0

βjωj, f) ∀ βj ⇐⇒ a(βT

Ω, uh) = (β

TΩ, f) ∀β

mνX

j=0

βj

„a(ωj, u

h)− (ωj, f)

«= 0 ∀ βj ⇐⇒ β

T

„a(Ω, u

h)− (Ω, f)

«= 0 ∀β

m

a(ωj, uh) = (ωj, f) j=0,...,ν ⇐⇒ a(Ω, u

h) = (Ω, f).


Notacion en Formas Bilineales (IVa)

Por tanto,

a(ωj, u0 +

νXi=0

αiφi) = (ωj, f) ∀j ⇐⇒ a(Ω, u0 + ΦTα) = (Ω, f)

m

νXi=0

kjiz | a(ωj, φi) αi =

fjz | (ωj, r0) ∀j ⇐⇒

Kez | a(Ω, Φ

T) α =

fz | (Ω, r0)

m

νXi=0

kjiαi = fj j=0,...,ν ⇐⇒ Ke α = f .


Notacion en Formas Bilineales (IVb)

Luego el problema original u(x) = f(x) ha sido sustituido por el sistema(de orden ν + 1)

K˜ α = f , con α = αii=0,...,νy

Ke = [kji]i=0,...,νj=0,...,ν

, kji = a(ωj, φi) ⇐⇒ Ke = a(Ω, ΦT )

f = fjj=0,...,ν , fj = (ωj, r0) ⇐⇒ f = (Ω, r0).


uh(x) = u0(x) +ν∑

i=0

αiφi(x) ⇐⇒ uh(x) = u0(x) + ΦT (x) α.


INTRODUCCION AL METODO DE ELEMENTOS FINITOS:APROXIMACION DE FUNCIONES









INDICE

I Forma Debil

I Metodo de Elementos Finitos


Forma Debil (I)

FORMA DEBIL (Residuos Ponderados)

Hallar u(x) ∈ Hu,

que VERIFICA a(ω, u) = (ω, f) ∀ω(x) ∈ Hω,


a

ω(x)u(x) dx,

(ω, f) =∫ b

a

ω(x)f(x) dx.


Forma Debil (II)

DISCRETIZACION FUNCIONAL

Funciones de Prueba: u(x) ≈ uh(x) ∈ Hhu ⊂ Hu

uh(x) = u0(x)+ν∑

i=0

αiφi(x)

= u0(x)+ΦT (x) α, con Φ(x) =

φ0(x)

...φν(x)

, α =

α0...αν

.

Funciones de Test: ω(x) → ωh(x) ∈ Hhω ⊂ Hω

ωh(x) =ν∑

j=0

βjωj(x)

= βT Ω(x), con Ω(x) =

ω0(x)

...ων(x)

, β =

β0...βν

.


Forma Debil (III)

FORMA DEBIL DISCRETIZADA (RP+Discretizacion Funcional)

Hallar uh(x) ∈ Hhu ,

que VERIFICA a(ωh, uh) = (ωh, f) ∀ωh(x) ∈ Hhω,


a

ω(x)u(x) dx,

(ω, f) =∫ b

a

ω(x)f(x) dx.


Forma Debil (IV)

REDUCCION A UN SISTEMA ALGEBRAICO

El problema u(x) = f(x) se reduce al sistema algebraico (de orden ν + 1)

K˜ α = f , con α = αii=0,...,νy

K˜ = [kji]i=0,...,νj=0,...,ν

, kji = a(ωj, φi) ⇐⇒ K˜ = a(Ω, ΦT )

f = fjj=0,...,ν, fj = (ωj, f − u0) ⇐⇒ f = (Ω, f − u0).


Metodo de Elementos Finitos (I)

DISCRETIZACION DEL DOMINIO DE INTEGRACION

Diremos que el dominio [a, b] se ha discretizado en unaMALLA DE ELEMENTOS FINITOS si

[a, b] =N⋃

e=1

Ee,

Ee ∩

Ef= ∅ ∀e 6= f,

donde Ee es el ELEMENTO FINITO numero e.

Ejemplo:

Ee = [xe−1, xe], con a = x0 < x1 < . . . < xN = b.


Metodo de Elementos Finitos (II)

Efecto: INTEGRACION ELEMENTO A ELEMENTO

∫ b

a

g(x) dx =N∑

e=1

∫Ee

g(x) dx.


Metodo de Elementos Finitos (III)

Luego

K˜ = a(Ω, ΦT ) =∫ b

a

Ω(x) ΦT (x) dx

=N∑

e=1

∫Ee

Ω(x) ΦT (x) dx︸︷︷︸dK˜ e

.

f = (Ω, f − u0) =∫ b

a

Ω(x)(f(x)− u0(x)

)dx

=N∑

e=1

∫Ee

Ω(x)(f(x)− u0(x)

)dx︸︷︷︸bfe

.


METODO DE RESIDUOS PONDERADOS:PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 1D









INDICE

I Problema Conceptual


I Residuos Ponderados: Forma Debil

I Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica

I Residuos Ponderados: Error de Aproximacion






Problema Conceptual (I)

Sea el problema de equilibrio 1D:


Problema Conceptual (IIa)

Donde:

[0, L] = dominio unidimensional de definicion del problema,

x ∈ [0, L] = coordenada material de un punto,

A(x) = seccion transversal en cada punto,

u(x) = VARIABLE PRINCIPAL (DESPLAZAMIENTO GENERALIZADO)

σ(x) = VARIABLE SECUNDARIA (TENSION GENERALIZADA),

b(x) = CARGA GENERALIZADA POR UNIDAD DE VOLUMEN,

u0 = valor forzado de la variable principal en x = 0,R = −A(0)σ(0) (REACCION GENERALIZADA),

F = A(L)σ(L) (CARGA GENERALIZADA PUNTUAL),

σ(L) = valor forzado de la variable secundaria en x = L.


Problema Conceptual (IIb)

La relacion entre la variable principal u(x) y la variable secundaria u(x) seestablece a traves de una variable intermedia ε(x) (DEFORMACIONGENERALIZADA), de forma que tendremos dos tipos de ecuaciones:

I ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD(o relaciones deformacion—desplazamiento):

u(x) −→ ε(x).

I ECUACIONES CONSTITUTIVAS(o relaciones tension—deformacion):

ε(x) −→ σ(x).


Problema Conceptual (III)

Modelo Matematico Lineal:

Dados A(x), b(x), E(x), u0, F,

Hallar u(x), σ(x), x ∈ [0, L], que verifican

∂

∂x(Aσ) +Ab = 0 ∀x ∈ (0, L), (ECUACION DE EQUILIBRIO)

σ = Eε, (ECUACION CONSTITUTIVA)

ε =∂u

∂x, (ECUACION DE COMPATIBILIDAD)

−A(L)σ(L) + F = 0, (C.C. NATURAL)

u(0) = u0. (C.C. ESENCIAL)

El problema anterior puede representar diferentes fenomenos fısicos,como. . .


Problema Conceptual (IVa)

Barra elastica a traccion–compresion

[0, L] = barra de longitud L.

x ∈ [0, L] = coordenada material de un punto.

A(x) = seccion transversal.

u(x) = DESPLAZAMIENTO.

ε(x) = DEFORMACION.

σ(x) = TENSION.

b(x) = FUERZA EXTERIOR POR UNIDAD DE VOLUMEN.

u0 = DESPLAZAMIENTO PREFIJADO EN x = 0.R = −A(0)σ(0) (REACCION),

F = A(L)σ(L) (FUERZA PUNTUAL EXTERIOR),

E = MODULO DE ELASTICIDAD.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE HOOKE.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Problema Conceptual (IVb)

Difusion de contaminante en un canal

[0, L] = canal de longitud L.



u(x) = CONCENTRACION DE CONTAMINANTE.

ε(x) = GRADIENTE DE CONCENTRACION DE CONTAMINANTE.

σ(x) = DENSIDAD DE FLUJO DE CONTAMINANTE.

b(x) = SUMIDERO DE CONTAMINANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN.

u0 = CONCENTRACION PREFIJADA EN x = 0.R = −A(0)σ(0) (REACCION),

F = A(L)σ(L) (FLUJO DE CONTAMINANTE FORZADO),

E = −γ, γ = DIFUSIVIDAD.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE FICKS.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Problema Conceptual (IVc)

Difusion de calor en una barra

[0, L] = barra de longitud L.



u(x) = TEMPERATURA.

ε(x) = GRADIENTE DE TEMPERATURA.

σ(x) = DENSIDAD DE FLUJO DE CALOR.

b(x) = SUMIDERO DE CALOR POR UNIDAD DE VOLUMEN.

u0 = TEMPERATURA PREFIJADA EN x = 0.R = −A(0)σ(0) (REACCION),

F = A(L)σ(L) (FLUJO DE CALOR FORZADO),

E = −γ, γ = CONDUCTIVIDAD TERMICA.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE FOURIER.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Problema Conceptual (IVd)

Corriente electrica en un conductor

[0, L] = conductor de longitud L.



u(x) = POTENCIAL ELECTRICO.

ε(x) = GRADIENTE DE POTENCIAL.

σ(x) = DENSIDAD DE CORRIENTE.

b(x) = SUMIDERO DE CORRIENTE POR UNIDAD DE VOLUMEN.

u0 = POTENCIAL PREFIJADO EN x = 0.R = −A(0)σ(0) (REACCION),

F = A(L)σ(L) (INTENSIDAD DE CORRIENTE FORZADA),

E = −γ, γ = CONDUCTIVIDAD ELECTRICA.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE OHM.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA


a) FORMA ORIGINAL

Hallar u(x), x ∈ [0, L],

que VERIFICA r(x) = 0 ∀x ∈ (0, L), rΓ = 0, (*)

siendo

r(x) =∂

∂x(Aσ) +Ab, (ECUACION DE EQUILIBRIO)


ε =∂u


rΓ = −A(L)σ(L) + F, (C.C. NATURAL)







que VERIFICA∫ L

0

ω(x)r(x) dx+ ωΓrΓ = 0 ∀ω(x), ωΓ (*)

siendo

r(x) =∂



ε =∂u







Pues

r(x) = 0 ∀x ∈ (0, L), rΓ = 0 =⇒Z L

0ω(x)r(x) dx+ ωΓrΓ = 0 ∀ω(x), ωΓ

Z L

0ω(x)r(x) dx+ ωΓrΓ = 0 ∀ω(x), ωΓ =⇒

8>><>>:ω(x) = r(x), ωΓ = 0 →

Z L

0r(x)r(x) dx = 0,

ω(x) = 0, ωΓ = 1 →rΓ = 0.

♥ Si las funciones son suficientemente regulares, el enunciado de residuosponderados es equivalente al problema original, ya queZ L

0r(x)r(x) dx = 0 =⇒ r(x) = 0 ∀x ∈ (0, L).

♣ Si se utiliza la Integral de Lebesgue, el residuo r(x) puede ser no nulo en unconjunto de puntos de medida nula. (*)



Planteamientos Alternativos (IIc)

Sin perdida de generalidad podemos elegir

ωΓ = ω(L),

pues

r(x) = 0 ∀x ∈ (0, L), rΓ = 0 =⇒Z L

0ω(x)r(x) dx+ ω(L)rΓ = 0 ∀ω(x)

Z L

0ω(x)r(x) dx+ ω(L)rΓ = 0 ∀ω(x) =⇒

8<:ω(x) = r(x) ∗ (L− x) →r(x) = 0∀x ∈ (0, L), (∗)

r(x) = 0∀x ∈ (0, L), ω(L) 6= 0 →rΓ = 0.

(*) Pues si las funciones son suficientemente regulares,

Z L

0r(x)r(x)

≥0z | (L− x) dx = 0 =⇒ r(x) = 0∀x ∈ (0, L).


Planteamientos Alternativos (IId)

Por tanto, podemos adoptar el enunciado de residuos ponderados. . .


que VERIFICA∫ L

0

ω(x)r(x) dx+ ω(L)rΓ = 0 ∀ω(x)

siendo

r(x) =∂



ε =∂u





Planteamientos Alternativos (IIIa)



que MINIMIZA Q[u] =∫ L

0

r(x)p(x)r(x) dx+ rΓpΓrΓ, (*)

siendo

r(x) =∂



ε =∂u




(*) La funcion de peso p(x) y el peso pΓ deben verificar p(x) > 0 ∀x ∈ [0, L], pΓ > 0.


Planteamientos Alternativos (IIIb)

La condicion de mınimo equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL

Hallar u(x) x ∈ [0, L],

que VERIFICAdJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δu(x) tal que δu(0) = 0,

con J(λ) = Q[u+ λδu],

y por tantodJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

= 2∫ L

0

∂

∂x

(AE

∂δu

∂x

)p(x)r(x) dx

− 2(AE

∂δu

∂x

)∣∣∣∣x=L

pΓrΓ, (*)


Planteamientos Alternativos (IIIc)


Hallar u(x) x ∈ [0, L],

que VERIFICA

∫ L

0

∂∂x(AE∂δu∂x )p(x)r(x) dx

− (AE∂δu∂x )|x=LpΓrΓ = 0 ∀δu(x)∣∣∣ δu(0) = 0,

siendo

r(x) =∂



ε =∂u



u(0) = u0, (C.C. ESENCIAL)


Planteamientos Alternativos (IIId)

. . . o lo que es lo mismoHallar u(x) x ∈ [0, L],

que VERIFICA

∫ L

0

ω(x)r(x) dx+ ωΓrΓ = 0 ∀δu(x)∣∣∣ δu(0) = 0,

ω(x) = ∂∂x(AE∂δu∂x )p(x), ωΓ = −(AE∂δu∂x )|x=LpΓ,

(*)

siendo

r(x) =∂



ε =∂u




(*) Que es un planteamiento en residuos ponderados equivalente al problema original.


Planteamientos Alternativos (IVa)

e) MINIMA ENERGIA


que MINIMIZA

E [u] = +12

∫ L

0

ε(x)A(x)σ(x) dx

−∫ L

0

u(x)A(x)b(x) dx− u(L)F,

(*)

siendo


ε =∂u



(*) Si E < 0 se cambia el signo para que el funcional tenga un mınimo y no un maximo.


Planteamientos Alternativos (IVb)

Se comprueba facilmente que la solucion del problema original u(x)minimiza la energıa, pues si v(x) = u(x) + δu(x) es cualquier otra funcionque tambien verifique la condicion de contorno esencial v(0) = u0, entoncesδu(0) = 0, y siendo

δε =∂δu

∂x, δσ = Eδε,

tenemos

E[u+ δu] = +1

2

Z L

0

(ε+ δε)A(σ + δσ) dx−Z L

0

(u+ δu)Ab dx−“u(L) + δu(L)

”F

= E[u] +1

2

Z L

0

(δεAσ + εAδσ + δεAδσ) dx−Z L

0

δuAb dx− δu(L)F

= E[u] +1

2

Z L

0

(δεAEε+ εAEδε+ δεAEδε) dx−Z L

0

δuAb dx− δu(L),

= E[u] +1

2

Z L

0

δεAEδε dx+

"Z L

0

δεAσ dx−Z L

0

δuAb dx− δu(L)F

#.


Planteamientos Alternativos (IVc)

Integrando por partesZ L

0

δεAσ dx = +(δuAσ)˛L0−Z L

0

δu∂

∂x(Aσ) dx.

LuegoZ L

0

δεAσ dx−Z L

0

δuAb dx− δu(L)F =−Z L

0

δu

„∂

∂x(Aσ) + Ab

«| z

=0

dx

− δu(L) (−A(L)σ(L) + F )| z =0

= 0.

Por tanto,

E[u+ δu] = E[u] +1

2

≥0 ∀δεz | Z L

0

δεAEδε dx

≥ E[u] ∀δu˛δu(0) = 0.


Planteamientos Alternativos (IVd)



que VERIFICAdJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δu(x) tal que δu(0) = 0,

con J(λ) = E [u+ λδu],


∣∣∣∣λ=0

= +∫ L

0

∂δu

∂xA(x)E(x)

∂u

∂xdx

−∫ L

0

δu(x)A(x)b(x) dx− δu(L)F,


Planteamientos Alternativos (IVe)

. . . que conduce al PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV)


que VERIFICA

+∫ L

0

∂δu

∂xA(x)σ(x) dx

−∫ L

0

δu(x)A(x)b(x) dx

− δu(L)F = 0 ∀δu(x)∣∣∣ δu(0) = 0,

siendo


ε =∂u




Planteamientos Alternativos (IVf)

Integrando por partes se obtiene,


que VERIFICA

+(δu(x)A(x)σ(x)

)∣∣∣L0

−∫ L

0

δu(x)(∂

∂x(Aσ) +A(x)b(x)

)dx

− δu(L)F = 0 ∀δu(x)∣∣∣ δu(0) = 0,

siendo


ε =∂u




Planteamientos Alternativos (IVg)

. . . o lo que es lo mismo,


que VERIFICA

∫ L

0

ω(x)r(x) dx+ ωΓrΓ = 0 ∀δu(x)∣∣∣ δu(0) = 0,

ω(x) = δu(x), ωΓ = δu(L),(*)

siendo

r(x) =∂



ε =∂u






Residuos Ponderados: Forma Debil (I)

PLAN DE TRABAJO


Residuos Ponderados: Forma Debil (II)



que VERIFICA∫ L

0

ω(x)r(x) dx+ ω(L)rΓ = 0 ∀ω(x)

siendo

r(x) =∂



ε =∂u





Residuos Ponderados: Forma Debil (III)

Observamos que

♣ En el enunciado anterior las funciones de prueba u(x) se derivan dosveces, mientras que las funciones de test ω(x) no se derivan.

♠ Si tenemos una aproximacion a la solucion uh(x) ≈ u(x) que no sea dosveces derivable, el enunciado anterior no permite comprobar la bondadde la aproximacion.

♥ Si pudiesemos reducir el orden de derivacion de u(x) podrıamos intentarobtener aproximaciones con menores requisitos de continuidad (porejemplo, poligonales a trozos)

Aplicaremos INTEGRACION POR PARTES con el fin de reducir el ordende derivacion de u(x) aunque sea a costa de aumentar el orden dederivacion de ω(x).


Residuos Ponderados: Forma Debil (IVa)

INTEGRACION POR PARTES

∫ L

0

ω(x)r(x) dx =∫ L

0

ω(x)(∂

∂x(Aσ) +Ab

)dx

= (ωAσ)∣∣∣L0−

∫ L

0

∂ω

∂xAσ dx+

∫ L

0

ωAb dx.


Residuos Ponderados: Forma Debil (IVb)

Luego ∫ L

0

ω(x)r(x) dx+ ω(L)rΓ = ω(L)A(L)σ(L)− ω(0)A(0)σ(0)

−∫ L

0

∂ω

∂xAσ dx+

∫ L

0

ωAb dx

+ ω(L)(−A(L)σ(L) + F

)=−

∫ L

0

∂ω

∂xAσ dx+

∫ L

0

ωAb dx

+ ω(L)F + ω(0)(−A(0)σ(0)

)︸︷︷︸R

,

lo que nos conduce a la forma debil. . .


Residuos Ponderados: Forma Debil (V)

FORMA DEBIL (Weak Form)

Hallar u(x) ∈ Hu,[y la reaccion R = −A(0)σ(0)

]que VERIFICA

∫ L

0

∂ω

∂xAσ dx =

∫ L

0

ωAb dx+ ω(L)F + ω(0)R ∀ω(x) ∈ Hω

siendo


ε =∂u



donde R = −A(0)σ(0) es la REACCION que se produce en x = 0 al forzar elvalor de la condicion de contorno esencial.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VI)

Observamos que

♦ La forma anterior es DEBIL por doble motivo, ya que ademas de loanteriormente expuesto permite comprobar la bondad deaproximaciones uh(x) ≈ u(x) que sean una vez derivables (en vez dedos veces derivables, como exige la forma fuerte del problema).

♥ La condicion de contorno natural se introduce en la formulacionmediante el termino ω(L)F .♣ Cuando F = 0 se impone una condicion de contorno que establece queσ(L) = 0, pero el termino ω(L)F desaparece, por lo que la condicion de contornoparece satisfacerse de forma “natural”. De ahı el nombre.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIa)

CARGAS PUNTUALES (utilizacion de las deltas de Dirac)

Sea Vi una fuerza puntual aplicada en el punto xi∣∣ 0 < xi < L.

Podemos introducir la fuerza puntual en la formulacion mediante una fuerzaequivalente por unidad de volumen bi(x) del tipo

Vi −→ bi(x) =Vi

A(xi)δ(x− xi),

de forma que Z L

0

Abi dx =

Z L

0

A(x)Vi

A(xi)δ(x− xi) dx

=Vi

A(xi)

Z L

0

A(x)δ(x− xi) dx

=Vi

A(xi)A(xi) = Vi.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIb)

Al introducir bi(x) en la forma debil obtenemos∫ L

0

ωAbi dx =∫ L

0

ω(x)A(x)Vi

A(xi)δ(x− xi) dx

=Vi

A(xi)

∫ L

0

ω(x)A(x)δ(x− xi) dx

=Vi

A(xi)ω(xi)A(xi)

= ω(xi)Vi,

que es un termino del mismo tipo que los que corresponden a F y a R.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIIa)

EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

♥ Si interpretamos la funcion de test ω(x) como un desplazamiento virtualcompatible con las condiciones de contorno esenciales (es decir comouna modificacion de la solucion u(x) que no incumpla las condiciones decontorno esenciales), e interpretamos su derivada como unadeformacion virtual, podemos escribir

ω(x) = δu(x) con δu(0) = 0, δε(x) =∂ω

∂x

y obtenemos el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES∫ L

0

∂δu

∂xAσ dx =

∫ L

0

δuAb dx+ δu(L)F ∀δu(x)∣∣∣ δu(0) = 0.

♣ Por tanto, el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES es unaforma debil de las ecuaciones de equilibrio (no de las ecuacionesconstitutivas ni de las de compatibilidad) y de las condiciones decontorno naturales (no de las condiciones de contorno esenciales).


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIIb)

♥ El METODO DE RESIDUOS PONDERADOS permite obtener una formadebil del problema aunque no se conozca el enunciado especıfico delPTV para el problema que se esta resolviendo (por ejemplo, ¿quesignifica y como se escribe el principio de los trabajos virtuales enproblemas de difusion de contaminantes?)

♦ En el caso que nos ocupa (ecuacion de equilibrio de pequenosdesplazamientos, ecuacion de compatibilidad de pequenos gradientesde desplazamientos, ecuacion constitutiva de la elasticidad lineal), estaforma debil equivale al planteamiento variacional de mınima energıa, porlo que las soluciones numericas que proporcionara el metodo deGalerkin seran optimas. Esto no tiene por que ser cierto en otros casos(problemas de conveccion-difusion, dinamica de fluidos, etc.).


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIIc)

♣ La forma clasica del bf PTV tambien es valida para ecuacionesconstitutivas no lineales (hiperelasticidad) y para ecuaciones decompatibilidad mas complicadas (grandes gradientes dedesplazamientos) siempre y cuando la ecuacion de equilibrio sea laexpuesta (pequenos desplazamientos). En todo caso, hay queinterpretar correctamente el enunciado y tener en cuenta que laexpresion de la deformacion virtual es siempre la correspondiente alcaso de pequenos gradientes de desplazamientos.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (Ia)

FUNCIONES DE PRUEBA (Trial Functions)Sea la base de funciones de prueba φi(x)i=1,...,ν.

Dada la aproximacion inicial ψ(x), buscamos una mejor aproximacion

u(x) ≈ uh(x) = ψ(x) +ν∑i=1


u(x) ≈ uh(x) = ψ(x) + ΦT (x) α, con Φ(x) =

φ1(x)...φν(x)

, α =

α1...αν

.

Las correspondientes aproximaciones de ε(x) y de σ(x) seran

ε(x) ≈ εh(x) =

∂ψ

∂x+

νXi=1

αi∂φi

∂x, σ(x) ≈ σ

h(x) = Eε

h(x),

ε(x) ≈ εh(x) =

∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα, σ(x) ≈ σ

h(x) = Eε

h(x).

Y [si interesa] podemos buscar una aproximacion de la reaccion R ≈ Rh.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (Ib)

En general no sera posible que uh(x) = u(x) ∀x ∈ [0, L] (*), por lo que

uh(x) 6= u(x)

m

no es posible queZ L

0

∂ω

∂xAσ

hdx =

Z L

0

ωAb dx+ ω(L)F + ω(0)Rh ∀ω(x) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(x)− ψ(x) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIa)



Sea

ωh(x) =ν∑j=1



ω1(x)...ων(x)

, β =

β1...βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(x) ∈ Hhu

∣∣∣ uh(0) = u0

[y la aproximacion Rh] que verifique

∫ L

0

∂ωh

∂xAσh dx =

∫ L

0

ωhAb dx+ ωh(L)F + ωh(0)Rh ∀ωh(x) ∈ Hhω.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIb)

Pero Z L

0

∂ωh

∂xAσ

hdx−

Z L

0

ωhAb dx− ω

h(L)F − ω

h(0)R

h= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω

mνXj=1

βj

Z L

0

∂ωj

∂xAσ

hdx−

Z L

0

ωjAb dx− ωj(L)F − ωj(0)Rh

!= 0 ∀ βj

βT

Z L

0

∂Ω

∂xAσ

hdx−

Z L

0

ΩAb dx− Ω(L)F − Ω(0)Rh

!= 0 ∀β

mZ L

0

∂ωj

∂xAσ

hdx =

Z L

0

ωjAb dx+ ωj(L)F + ωj(0)Rh, j=1,...,νZ L

0

∂Ω

∂xAσ

hdx =

Z L

0

ΩAb dx+ Ω(L)F + Ω(0)Rh.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIIa)

Por tanto,Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂ψ

∂x+

νXi=1

αi∂φi

∂x

!dx =

Z L

0ωjAb dx+ ωj(L)F + ωj(0)R

h, j=1,...,ν

Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα

!dx =

Z L

0ΩAb dx+ Ω(L)F + Ω(0)R

h

m

νXi=1

kjiz | Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂φi

∂xdx

!αi =

fjz | −Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0ωjAb dx+ ωj(L)F +ωj(0)R

h, j=1,...,ν

Kez | Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!α =

fz | −Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0ΩAb dx+ Ω(L)F +Ω(0)R

h

m

νXi=1

kjiαi = fj + ωj(0)Rh

j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f + Ω(0)Rh.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIIb)

Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema(de orden ν, con la incognita adicional Rh)

K˜ α = f + Ω(0)Rh,

con la condicion adicional uh(0) = u0, esto es

ΦT (0) α = u0 − ψ(0).


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IVa)

El sistema anterior puede escribirse en la forma[K˜ Ω(0)

ΦT (0) 0

] α

−Rh

=

f

u0 − ψ(0)

,

siendo

Ke = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji =

Z L

0

∂ωj∂x AE

∂φi∂x dx

Ke =

Z L

0

∂Ω∂xAE

∂ΦT

∂x dx

f = fjj=1,...,ν , fj = −Z L

0

∂ωj∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

ωjAb dx+ ωj(L)F

f = −Z L

0

∂Ω∂xAE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

ΩAb dx+ Ω(L)F.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IVb)

Si elegimos la aproximacion inicial ψ(x) de forma que satisfaga la condicionde contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φi(x) de forma quese anulen en el punto correspondiente, la aproximacion uh(x) verificaraautomaticamente la condicion de contorno esencial. Es decir

ψ(0) = u0

Φ(0) = 0

=⇒ uh(0) = u0.

Si ademas elegimos las funciones de test de forma que se anulen en elmismo punto, la reaccion no interviene en la formulacion y el sistema sereduce a

Ω(0) = 0 =⇒ K˜ α = f .


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (V)

Una vez resuelto el sistema obtendremos la aproximacion a la solucion

uh(x) = ψ(x) +ν∑i=0

αiφi(x) ⇐⇒ uh(x) = ψ(x) + ΦT (x) α.

εh(x) =∂ψ

∂x+

ν∑i=1

αi∂φi∂x

⇐⇒ εh(x) =∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα

σh(x) = Eεh(x) ⇐⇒ σh(x) = Eεh(x).


Residuos Ponderados: Error de Aproximacion (I)


Los METODOS DE RESIDUOS PONDERADOS tambien se denominan ası,ya que siendo

u(x) la solucion exacta, con ε(x) =∂u

∂x, σ(x) = Eε(x)

uh(x) la solucion aproximada, con εh(x) =∂uh

∂x, σh(x) = Eεh(x)

se verificaZ L

0

∂ωh

∂xAσ dx =

Z L

0

ωhAb dx+ ω

h(L)F + ω

h(0)R ∀ωh(x) ∈ Hh

ω

Z L

0

∂ωh

∂xAσ

hdx =

Z L

0

ωhAb dx+ ω

h(L)F + ω

h(0)R

h ∀ωh(x) ∈ Hhω

9>>>>>=>>>>>;=⇒

=⇒Z L

0

∂ωh

∂xA(σ − σ

h) dx = ω

h(0)(R− R

h) ∀ωh(x) ∈ Hh

ω.


Residuos Ponderados: Error de Aproximacion (II)

La ecuacion anterior demuestra que (normalmente) la reaccion se calculaexactamente, ya que si la funcion constante pertenece al espacio de lasfunciones de test (lo que normalmente se exige y se conoce comoPARTICION DE LA UNIDAD) entonces

ωh(x) = 1 =⇒ R = Rh .

Por tanto (normalmente) se cumpleZ L

0

∂ωh

∂xAE

∂

∂x(u− u

h) dx = 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω.

Luego, la solucion aproximada uh(x) verifica

⟨ωh, u− uh

⟩= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω, con 〈v, e〉 =∫ L

0

∂v

∂xAE

∂e

∂xdx.


Residuos Ponderados: Error de Aproximacion (III)

Por tanto, la solucion aproximada uh(x) es

la PROYECCION de la solucion exacta u(x)

sobre el subespacio Hhu de las funciones de prueba uh(x)

segun la normal al subespacio Hhω de las funciones de test ωh(x).





ωj(x) = δ(x− xj), j=1,...,ν con xj∈[0,L], xi 6=xj ∀i6=j. (*)

=⇒ No se puede utilizar en este caso, porque la delta no es derivable.Si se aplica a la forma original de RP conduce a DIFERENCIAS FINITAS.


ωj(x) = 1, si xj ≤ x ≤ xj+1,

0, en caso contrario, j=1,...,ν con a=x1≤...≤xν≤xν+1=b.

=⇒ Conduce a VOLUMENES FINITOS.


ωj(x) = φj(x), j=1,...,ν ⇐⇒ Hhω = Hh

u .

(*) Si xj = a o xj = b es preciso redefinir adecuadamente la δ.





Hhω = Hh

u

mωj(x) = φj(x), j=0,...,ν ⇐⇒ Ω(x) = Φ(x),

se obtiene

Ke = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji =

Z L

0

∂φj∂x AE

∂φi∂x dx

Ke =

Z L

0

∂Φ∂xAE

∂ΦT

∂x dx

f = fjj=1,...,ν , fj = −Z L

0

∂φj∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φjAb dx+ φj(L)F

f = −Z L

0

∂Φ∂xAE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

ΦAb dx+ Φ(L)F.



Esto es266666666664

Z L

0

∂φ1∂x AE

∂φ1∂x dx

Z L

0

∂φ1∂x AE

∂φ2∂x dx . . .

Z L

0

∂φ1∂x AE

∂φν∂x dx φ1(0)Z L

0

∂φ2∂x AE

∂φ1∂x dx

Z L

0

∂φ2∂x AE

∂φ2∂x dx . . .

Z L

0

∂φ2∂x AE

∂φν∂x dx φ2(0)

... ... ... ...Z L

0

∂φν∂x AE

∂φ1∂x dx

Z L

0

∂φν∂x AE

∂φ2∂x dx . . .

Z L

0

∂φν∂x AE

∂φν∂x dx φν(0)

φ1(0) φ2(0) . . . φν(0) 0

377777777775

8>>><>>>:α1

α2...αν−Rh

9>>>=>>>; =

=

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

−Z L

0

∂φ1∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φ1Ab dx+ φ1(L)F

−Z L

0

∂φ2∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φ2Ab dx+ φ2(L)F

...

−Z L

0

∂φν∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φνAb dx+ φν(L)F

u0 − ψ(0)

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;.


Metodo de Bubnov-Galerkin (Ic)

Si elegimos

ψ(0) = u0

Φ(0) = 0

entonces la condicion de contorno esencial se verificara automaticamente yla reaccion no interviene en la formulacion con lo que el sistema se reduce a

K˜ α = f ,

siendo. . .


Metodo de Bubnov-Galerkin (Id)

Ke =

2666666664

Z L

0

∂φ1∂x AE

∂φ1∂x dx

Z L

0

∂φ1∂x AE

∂φ2∂x dx . . .

Z L

0

∂φ1∂x AE

∂φν∂x dxZ L

0

∂φ2∂x AE

∂φ1∂x dx

Z L

0

∂φ2∂x AE

∂φ2∂x dx . . .

Z L

0

∂φ2∂x AE

∂φν∂x dx

... ... ...Z L

0

∂φν∂x AE

∂φ1∂x dx

Z L

0

∂φν∂x AE

∂φ2∂x dx . . .

Z L

0

∂φν∂x AE

∂φν∂x dx

3777777775

f =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

−Z L

0

∂φ1∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φ1Ab dx+ φ1(L)F

−Z L

0

∂φ2∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φ2Ab dx+ φ2(L)F

...

−Z L

0

∂φν∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0

φνAb dx+ φν(L)F

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;.



La solucion aproximada uh(x) verifica∫ L

0

∂φj∂x

Aσh dx−∫ L

0

φjAb dx− φj(L)F = 0

⇓

∂E

∂αj= 0, siendo E(α1, α2, . . . , αν) = E [uh],

por lo que se realiza un AJUSTE DE MINIMA ENERGIA.






γTK˜ γ ≥ 0 ∀γ 6= 0


γTK˜ γ > 0 ∀γ 6= 0 (*)





kji =

Z L

0

∂φj

∂xAE

∂φi

∂xdx =

Z L

0

∂φi

∂xAE

∂φj

∂xdx = kij

m

Ke =

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂xdx =

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂x

!T

dx =

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!T

= Ke T .




νXj=1

νXi=1

γjkjiγi =νXj=1

νXi=1

γj

Z L

0

∂φj

∂xAE

∂φi

∂xdx

!γi =

Z L

0

0@ νXj=1

γj∂φj

∂x

1A| z

g(x)

AE

νXi=1

γi∂φi

∂x

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

νXi=1

γi∂φi

∂x

!2

AE dx ≥ 0 ∀γ = γii=1,...,ν 6= 0.

m

γTKe γ = γ

T

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!γ =

Z L

0

∂ΦT

∂xγ

!| z

g(x)

AE

∂ΦT

∂xγ

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

∂ΦT

∂xγ

!2

AE dx ≥ 0 ∀γ 6= 0.




νXj=1

νXi=1

γjkjiγi = 0 =⇒νXi=1

γi∂φi

∂x= 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ γi = 0, i = 1, . . . , ν

m

γTKe γ = 0 =⇒

∂ΦT

∂xγ = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ γ = 0.

si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida (de formaque sus derivadas sean linealmente independientes).




Sabemos que la solucion aproximada uh(x) verifica

⟨ωh, u− uh

⟩= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω = Hhu , con 〈v, e〉 =

∫ L

0

∂v

∂xAE

∂e

∂xdx.



√∫ L

0

(∂e∂x

)2

AE dx.



APROXIMACION OPTIMA

La solucion aproximada uh(x) verifica

∥∥u− uh∥∥ ≤ ∥∥u− vh

∥∥ ∀vh ∈ Hhu .



Pues,

uh, v

h ∈ Hhu =⇒ u

h − vh ∈ Hh

u =⇒Duh − v

h, u− u

hE

= 0,

luego

‚‚‚u− uh‚‚‚2

=Du− u

h, u− u

hE

+ 0 =Du− u

h, u− u

hE

+Duh − v

h, u− u

hE

=Du− u

h+ u

h − vh, u− u

hE

=Du− v

h, u− u

hE

≤‚‚‚u− v

h‚‚‚ ‚‚‚u− u

h‚‚‚ ,


h‚‚‚ .






∥∥ .





♣ Ejemplos:B a) φi(x) = xi, i=1,...,ν→Hh

u = Pν(x).B b) Series de FourierB c) . . .

♠ Ke es LLENA → tiempo de computacion T (ν3).






♣ Ejemplos:B a) Funciones en escalon.B b) Poligonales a trozos.B c) Splines en general.






Hallar u(x) ∈ Hu

∣∣∣ u(0) = u0 [y R]

que VERIFICA a(ω, u) = (ω, b) + ω(L)F + ω(0)R ∀ω(x) ∈ Hω,

siendo a(ω, u) =∫ L

0

∂ω

∂xAE

∂u

∂xdx,

(ω, b) =∫ L

0

ωAb dx.





Dada la aproximacion inicial ψ(x), buscamos una mejor aproximacion

u(x) ≈ uh(x) = ψ(x) +ν∑i=1


u(x) ≈ uh(x) = ψ(x) + ΦT (x) α, con Φ(x) =

φ1(x)...φν(x)

, α =

α1...αν

.

Y [si interesa calcularla] podemos buscar una aproximacion de la reaccion

R ≈ Rh.



En general no sera posible que uh(x) = u(x) ∀x ∈ [0, L] (*), por lo que

uh(x) 6= u(x)

m

no es posible que a(ω, uh) = (ω, b) + ω(L)F + ω(0)R ∀ω(x) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(x)− ψ(x) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.





Sea

ωh(x) =ν∑j=1



ω1(x)...ων(x)

, β =

β1...βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(x) ∈ Hhu

∣∣∣ uh(0) = u0


a(ωh, uh) = (ωh, b) + ωh(L)F + ωh(0)Rh ∀ωh(x) ∈ Hhω.



Pero

a(ωh, u

h)− (ω

h, b)− ω

h(L)F − ω

h(0)R

h= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω

mνXj=1

βj

„a(ωj, u

h)− (ωj, b)− ωj(L)F − ωj(0)R

h

«= 0 ∀ βj

βT„a(Ω, uh)− (Ω, b)− Ω(L)F − Ω(0)Rh

«= 0 ∀β

m

a(ωj, uh) = (ωj, b) + ωj(L)F + ωj(0)R

h, j=1,...,ν

a(Ω, uh) = (Ω, b) + Ω(L)F + Ω(0)R

h.



Por tanto,

a(ωj, ψ +

νXi=1

αiφi) = (ωj, b) + ωj(L)F + ωj(0)Rh

∀j

a(Ω, ψ + ΦT α) = (Ω, b) + Ω(L)F + Ω(0)Rh

m

νXi=1

kjiz | a(ωj, φi)αi =

fjz | −a(ωj, ψ) + (ωj, b) + ωj(L)F +ωj(0)R

h∀j

Kez | a(Ω, Φ

T) α =

fz | −a(Ω, ψ) + (Ω, b) + Ω(L)F +Ω(0)Rh

m

νXi=1

kjiαi = fj + ωj(0)Rh, j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f + Ω(0)R

h.




K˜ α = f + Ω(0)Rh,


ΦT (0) α = u0 − ψ(0).


Notacion en Formas Bilineales (Va)


ΦT (0) 0

] α

−Rh

=

f

u0 − ψ(0)

,

siendo

α = αii=1,...,ν ,Ke = [kji]i=1,...,ν

j=1,...,ν

, kji = a(ωj, φi),

Ke = a(Ω, ΦT ),

f = fjj=1,...,ν , fj = −a(ωj, ψ) + (ωj, b) + ωj(L)F,

f = −a(Ω, ψ) + (Ω, b) + Ω(L)F.


Notacion en Formas Bilineales (Vb)

Si elegimos la aproximacion inicial ψ(x) de forma que satisfaga la condicionde contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φi(x) de forma quese anulen en el punto correspondiente, la aproximacion uh(x) verificaraautomaticamente la condicion de contorno esencial. Es decir

ψ(0) = u0

Φ(0) = 0

=⇒ uh(0) = u0.

Si ademas elegimos las funciones de test de forma que se anulen en elmismo punto, la reaccion no interviene en la formulacion y el sistema sereduce a

Ω(0) = 0 =⇒ K˜ α = f .


Notacion en Formas Bilineales (VI)


uh(x) = ψ(x) +ν∑i=0

αiφi(x) ⇐⇒ uh(x) = ψ(x) + ΦT (x) α.

εh(x) =∂ψ

∂x+

ν∑i=1

αi∂φi∂x

⇐⇒ εh(x) =∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα

σh(x) = Eεh(x) ⇐⇒ σh(x) = Eεh(x).


METODO DE RESIDUOS PONDERADOS:EJEMPLO DEL METODO DE RITZ









INDICE


I Solucion Analıtica

I Metodo de Ritz con ponderacion tipo Galerkin

I Solucion Numerica





Problema Conceptual (II)

Pilar elastico a compresion de altura L

A(x) = A (seccion transversal constante).

b(x) = −ρg (peso propio, densidad constante).

F = −P (fuerza que soporta el pilar).

u0 = 0 (empotramiento perfecto en la base).




Dados A, b = −ρg,E, u0, F = −P,Hallar u(x), σ(x), x ∈ [0, L], que verifican

∂

∂x(Aσ) +Ab = 0, (ECUACION DE EQUILIBRIO)


ε =∂u



u(0) = 0. (C.C. ESENCIAL)


Solucion Analıtica (I)

Sustituyendo la ecuacion de compatibilidad en la constitutiva, y esta en la deequilibrio, obtenemos

∂

∂x

(AE

∂u

∂x

)−Aρg = 0 ∀x ∈ (0, L)

con

u(0) = 0,

∂u

∂x

∣∣∣∣x=L

= − P

AE.


Solucion Analıtica (IIa)

La solucion analıtica del problema anterior es

u(x) = −∫ z=x

z=0

[1AE

(P +

∫ y=L

y=z

ρgAdy

)]dz,

ε(z) = − 1AE

(P +

∫ y=L

y=z

ρgAdy

),

σ(z) = − 1A

(P +

∫ y=L

y=z

ρgAdy

),


Solucion Analıtica (IIb)

esto es,

u(x) = − 1K

[W

(x

L− 1

2

(xL

)2)

+ P(xL

)],

σ(x) = − 1A

[W(1− x

L

)+ P

],

donde

K =EA

L, W = ρgAL.


Metodo de Ritz con ponderacion tipo Galerkin (I)

APROXIMACION INICIAL

ψ(x) = 0.

FUNCIONES DE PRUEBA

φi(x) =(xL

)i−1

, i=1,...,ν (RITZ).

Luego uh(x) es un polinomio de grado ν − 1.

FUNCIONES DE TEST

ωj(x) = φj(x), j=1,...,ν (GALERKIN).


Metodo de Ritz con ponderacion tipo Galerkin (IIa)

Se obtiene

kji =

Z L

0

∂

∂x

„x

L

«j−1

AE∂

∂x

„x

L

«i−1

dx =

8>><>>:0 si i = 1 o j = 1,

(i− 1)(j − 1)

i + j − 3K si i 6= 1 y j 6= 1,

fj = −Z L

0

„x

L

«j−1

Aρgdx−„

x

L

«j−1˛˛x=L

P = −„

W

j+ P

«,

φi(0) =

„x

L

«j−1˛˛x=0

=

8<: 1 si j = 1,

0 si j 6= 1.


Metodo de Ritz con ponderacion tipo Galerkin (IIb)

Esto es

0 0 . . . 0 10 K . . . K 0... ...

((i−1)(j−1)

i+j−3 K)

... ...

0 K . . . (ν−1)2

2ν−3 K 01 0 . . . 0 0

α1

α2...αν

−Rh

=

−(

W1 + P

)−(

W2 + P

)...

−(

Wν + P

)0

.

Luego,

Rh = W + P,

α1 = 0.


Metodo de Ritz con ponderacion tipo Galerkin (IIc)

Por tanto, el sistema se reduce a. . .

K . . . K...

((i−1)(j−1)

i+j−3 K)

...

K . . . (ν−1)2

2ν−3 K

α2...αν

=

−(

W2 + P

)...

−(

Wν + P

) .


Solucion Numerica (Ia)

ν = 2

[K ] α2 =−(

W2 + P

) ,

=⇒ α2 = − 1K

(W

2+ P

).

Luego,

uh(x) = α2φ2(x) = − 1K

(W

2+ P

)(xL

),

εh(x) =∂uh

∂x= − 1

EA

(W

2+ P

),

σh(x) = Eεh(x) = − 1A

(W

2+ P

).


Solucion Numerica (Ib)

Comparamos la solucion numerica uh(x) con la solucion exacta u(x):

El error relativo en x = L2 es ru =

u(

L2

)− uh

(L2

)u(

L2

) =1

3 + 4 PW

.

Luego, PW = 10 −→ |ru| ≈ 2%.


Solucion Numerica (Ic)

Comparamos la solucion numerica σh(x) con la solucion exacta σ(x):

El error relativo en x = L es rσ =σ(L)− σh(L)

σ(L)=

11 + 2 P

W

.

Luego, PW = 10 −→ |rσ| ≈ 5%.


Solucion Numerica (Id)

OBSERVACIONES:

♥ Los desplazamientos se aproximan bien.

♣ Las tensiones se aproximan bien en promedio, pero peor que losdesplazamienos.♠ En general, las tensiones se aproximan mal localmente

(especialmente en los extremos).

♥ En algunos puntos la aproximacion de las tensiones puede ser exacta(normalmente en la zona central).


Solucion Numerica (II)

ν = 3 [K K

K 43K

]α2

α3

=−(

W2 + P

)−(

W3 + P

) .=⇒ α2 = − 1

K(W + P ) , α3 =

1K

(W

2

).

Luego,

uh(x) = α2φ2(x) + α3φ3(x) = − 1K

[W

(x

L− 1

2

(xL

)2)

+ P(xL

)],

εh(x) =∂uh

∂x= − 1

EA

[W(1− x

L

)+ P

],

σh(x) = Eεh(x) = − 1A

[W(1− x

L

)+ P

].

que es la ¡SOLUCION EXACTA!


Solucion Numerica (III)

ν = 4

K K K

K 43

32K

K 32K

95K

α2

α3

α4

=

−(

W2 + P

)−(

W3 + P

)−(

W4 + P

) .

=⇒ α2 = − 1K

(W + P ) , α3 =1K

(W

2

), α4 = 0.

Luego tambien se obtiene la ¡SOLUCION EXACTA!

Para ν ≥ 3 se obtiene siempre la solucion exacta porque u(x) ∈ Hhu . (*)

(*) La solucion exacta es un polinomio de segundo grado, y estamos aproximando la solucion mediante polinomios de gradoigual o superior a 2.


INTRODUCCION AL METODO DE ELEMENTOS FINITOS:PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 1D









INDICE

I Forma Debil

I Metodo de Elementos Finitos


Forma Debil (I)

FORMA DEBIL (Residuos Ponderados + Integracion por partes)

Hallar u(x) ∈ Hu

∣∣∣ u(0) = u0 [y R]

que VERIFICA a(ω, u) = (ω, b) + ω(L)F + ω(0)R ∀ω(x) ∈ Hω,


0

∂ω

∂xAE

∂u

∂xdx,

(ω, b) =∫ L

0

ωAb dx.


Forma Debil (II)

DISCRETIZACION FUNCIONAL

Funciones de Prueba: u(x) ≈ uh(x) ∈ Hhu ⊂ Hu

uh(x) = ψ(x)+ν∑i=1

αiφi(x)

= ψ(x)+ΦT (x) α, con Φ(x) =

φ1(x)...φν(x)

, α =

α1...αν

.

Funciones de Test: ω(x) → ωh(x) ∈ Hhω ⊂ Hω

ωh(x) =ν∑j=1

βjωj(x)

= βT Ω(x), con Ω(x) =

ω1(x)...ων(x)

, β =

β1...βν

.


Forma Debil (III)

FORMA DEBIL DISCRETIZADA (RP+IP+Discretizacion Funcional)

Hallar uh(x) ∈ Hhu

∣∣∣ uh(0) = u0 [y Rh]

que VERIFICAa(ωh, uh) = (ωh, b) + ωh(L)F + ωh(0)Rh

∀ωh(x) ∈ Hhω,


0

∂ω

∂xAE

∂u

∂xdx,

(ω, b) =∫ L

0

ωAb dx.


Forma Debil (IVa)

REDUCCION A UN SISTEMA ALGEBRAICO


K˜ α = f + Ω(0)Rh,


ΦT (0) α = u0 − ψ(0).


Forma Debil (IVb)


ΦT (0) 0

] α

−Rh

=

f

u0 − ψ(0)

,

siendo

α = αii=1,...,ν ,Ke = [kji]i=1,...,ν

j=1,...,ν


Ke = a(Ω, ΦT ),


f = −a(Ω, ψ) + (Ω, b) + Ω(L)F.


Metodo de Elementos Finitos (I)

DISCRETIZACION DEL DOMINIO DE INTEGRACION

Diremos que el dominio [0, L] se ha discretizado en unaMALLA DE ELEMENTOS FINITOS si

[0, L] =N⋃e=1

Ee,Ee ∩

Ef= ∅ ∀e 6= f,

donde Ee es el ELEMENTO FINITO numero e.

Ejemplo:

Ee = [xe−1, xe], con a = x0 < x1 < . . . < xN = b.


Metodo de Elementos Finitos (II)

Efecto: INTEGRACION ELEMENTO A ELEMENTO

∫ L

0

g(x) dx =N∑e=1

∫Ee

g(x) dx.


Metodo de Elementos Finitos (III)

Luego

K˜ = a(Ω, ΦT ) =∫ L

0

∂Ω∂xAE

∂Φ∂x

dx

=N∑e=1

∫Ee

∂Ω∂xAE

∂Φ∂x

dx︸︷︷︸dK˜ e

.

f = −a(Ω, ψ) + (Ω, b) + Ω(L)F = −∫ L

0

∂Ω∂xAE

∂ψ

∂xdx+

∫ L

0

ωAb dx+ Ω(L)F

=N∑e=1

−∫Ee

∂Ω∂xAE

∂ψ

∂xdx+

∫Ee

ωAb dx︸︷︷︸bfe

+ Ω(L)F.


METODO DE RESIDUOS PONDERADOS:EJEMPLO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOSF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE


I Solucion Analıtica

I Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento

I Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento






Pilar elastico a compresion de altura L

A(x) = A (seccion transversal constante).

b(x) = −ρg (peso propio, densidad constante).

F = −P (fuerza que soporta el pilar).

u0 = 0 (empotramiento perfecto en la base).




Dados A, b = −ρg,E, u0, F = −P,Hallar u(x), σ(x), x ∈ [0, L], que verifican

∂

∂x(Aσ) +Ab = 0, (ECUACION DE EQUILIBRIO)


ε =∂u



u(0) = 0. (C.C. ESENCIAL)


Solucion Analıtica (I)

Sustituyendo la ecuacion de compatibilidad en la constitutiva, y esta en la deequilibrio, obtenemos

∂

∂x

(AE

∂u

∂x

)−Aρg = 0 ∀x ∈ (0, L)

con

u(0) = 0,

∂u

∂x

∣∣∣∣x=L

= − P

AE.


Solucion Analıtica (IIa)

La solucion analıtica del problema anterior es

u(x) = −∫ z=x

z=0

[1AE

(P +

∫ y=L

y=z

ρgAdy

)]dz,

ε(z) = − 1AE

(P +

∫ y=L

y=z

ρgAdy

),

σ(z) = − 1A

(P +

∫ y=L

y=z

ρgAdy

),


Solucion Analıtica (IIb)

esto es,

u(x) = − 1K

[W

(x

L− 1

2

(xL

)2)

+ P(xL

)],

σ(x) = − 1A

[W(1− x

L

)+ P

],

donde

K =EA

L, W = ρgAL.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (Ia)

APROXIMACION INICIAL

ψ(x) = 0.

DISCRETIZACION (Elementos de 2 nodos)

Nodos: xi =(i− 1ν − 1

)L, i=1,...,ν.

Elementos: Ee = [xe, xe+1], e=1,...,ν−1.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (Ib)

FUNCIONES DE PRUEBA

φi(x) =

(x− xi−1

xi − xi−1

)si x ∈ [xi−1, xi], i=2,...,ν(

x− xi+1

xi − xi+1

)si x ∈ [xi, xi+1], i=1,...,ν−1

0 en los casos restantes

(MEF).

FUNCIONES DE TEST

ωj(x) = φj(x), j=1,...,ν (GALERKIN).


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (Ic)

Luego uh(x) =ν∑

i=1

αiφi(x) es una poligonal a trozos.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIa)

ORGANIZACION GLOBAL

kji =

Z L

0

∂φj(x)

∂xAE

∂φi(x)

∂xdx =

8>>>>>>><>>>>>>>:

(ν − 1)K si |i− j| = 0, i = 1 o i = ν,

2 (ν − 1)K si |i− j| = 0, i 6= 1 e i 6= ν,

−(ν − 1)K si |i− j| = 1,

0 en los casos restantes.

fj = −Z L

0

φj(x)Aρgdx− φj(L)P =

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

−W

2(ν − 1)si j = 1,

−W

ν − 1si j 6= 1 y j 6= ν,

−W

2(ν − 1)− P si j = ν.

φi(0) =

8<: 1 si i = 1,

0 si i 6= 1.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIb)

Esto es266666666664

K∗ −K∗ 1

−K∗ 2K∗ −K∗ 0

−K∗ 2K∗ −K∗ 0. . . . . . . . . ...

−K∗ 2K∗ −K∗ 0

−K∗ K∗ 0

1 0 0 . . . 0 0 0

377777777775

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

α1

α2

α3...

αν−1

αν

−Rh

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;=

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

−W ∗/2

−W ∗

−W ∗

...−W ∗

− (W ∗/2 + P )

0

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;,

conK

∗= (ν − 1)K, W

∗=

W

ν − 1.

Luego,Rh = K∗(α1 − α2) +W ∗/2,

α1 = 0.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIc)

Por tanto, el sistema se reduce a. . .

2K∗ −K∗

−K∗ 2K∗ −K∗

. . . . . . . . .−K∗ 2K∗ −K∗

−K∗ K∗

α2

α3...

αν−1

αν

=

−W ∗

−W ∗

...−W ∗

− (W ∗/2 + P )

.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIa)

ORGANIZACION POR ELEMENTOS

Funciones de Forma

Sea el elemento

Ee = [xe1, x

e2]

donde xe1 = xe y xe

2 = xe+1 con la numeracion que hemos empleado.

Representamos las funciones de prueba a nivel de elemento mediante lasfunciones de forma

x ∈ Ee −→

φe (x) = N1(ξ) =

1− ξ

2,

φe+1(x) = N2(ξ) =1 + ξ

2,


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIb)

que podemos ordenar matricialmente como

N˜ (ξ) = [N1(ξ) N2(ξ) ] .


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIc)

Elementos isoparametricos

x(ξ) = N˜ (ξ)xe

1xe

2

= xe

1N1(ξ) + xe2N2(ξ).

El jacobiano de la transformacion geometrica es

dx

dξ= xe

1

∂N1(ξ)∂ξ

+ xe2

∂N2(ξ)∂ξ

= xe1

(−1

2

)+ xe

2

(12

)=xe

2 − xe1

2=he

2,

con

he = xe2 − xe

1.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIId)

Debemos calcular

B˜ = LÑ˜ , siendo L˜ =[∂

∂x

],

Pero [∂

∂x

]=dξ

dx

[∂

∂ξ

]donde

dξ

dx=(dx

dξ

)−1

=2he.

Luego [∂

∂x

]=

2he

[∂

∂ξ

].


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIe)

Por tanto

B˜ =[∂N1

∂x

∂N2

∂x

]=[

2he

∂N1

∂ξ

2he

∂N2

∂ξ

]=[

2he

(−1

2

)2he

(12

)]=

1he

[−1 1 ] .

Siendo

D˜ = [E]

ademas debemos calcular

K˜ e =∫ 1

−1

(B˜TD˜B˜)Adxdξdξ,

fe =∫ 1

−1

1− ξ

21 + ξ

2

(−ρg)Adxdξdξ.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIf)

Integrando obtenemos

K˜ e =EA

he

[1 −1

−1 1

], fe = −ρgAh

e

2

11

.

Pero

he =L

ν − 1,

y por tanto

K˜ e = K∗[

1 −1−1 1

], fe = −W

∗

2

11

,

conK∗ = (ν − 1)K, W ∗ =

W

ν − 1.


Formulacion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIg)

Finalmente, ensamblando y anadiendo las cargas puntuales y lascondiciones de contorno esenciales obtenemos el sistema266666666664

K∗ −K∗ 1

−K∗ 2K∗ −K∗ 0

−K∗ 2K∗ −K∗ 0. . . . . . . . . ...

−K∗ 2K∗ −K∗ 0

−K∗ K∗ 0

1 0 0 . . . 0 0 0

377777777775

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

α1

α2

α3...

αν−1

αν

−Rh

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;=

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

−W ∗/2

−W ∗

−W ∗

...−W ∗

− (W ∗/2 + P )

0

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;.

Comprobamos que el resultado es el mismo que se obtiene mediante laorganizacion global.


Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (I)

ν = 2

[K∗ ] α2 = −W ∗ ,

=⇒ α2 = − 1K∗

(W ∗

2+ P

)= − 1

K

(W

2+ P

). (EXACTO)

Luego,u

h(x) = α2φ2(x) = −

1

K

„W

2+ P

« „x

L

«,

εh(x) =

∂uh

∂x= −

1

EA

„W

2+ P

«,

σh(x) = Eε

h(x) = −

1

A

„W

2+ P

«.

Es la solucion obtenida por Ritz utilizando un polinomio de grado 1.


Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIa)

ν = 3 [2K∗ −K∗

−K∗ K∗

]α2

α3

=

−W ∗

−(W ∗/2 + P )

.

=⇒

α2 = − 1

K

(3W8

+P

2

), (EXACTO)

α3 = − 1K

(W

2+ P

). (EXACTO)

Luego,

uh(x) = α2φ2(x) + α3φ3(x),

εh(x) =∂uh

∂x,

σh(x) = Eεh(x).


Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIb)

Comparamos la solucion numerica uh(x) con la solucion exacta u(x):

Se observa que la solucion numerica en los nodos es exacta.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIc)

Comparamos la solucion numerica σh(x) con la solucion exacta σ(x):


Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIa)

ν > 3

LOS VALORES NODALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN ESTE CASOSON EXACTOS.

Este fenomeno se denomina SUPERCONVERGENCIA. (*)

(*) Por desgracia no es muy frecuente.


Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IIIb)

SUPERCONVERGENCIA

Recordemos que la solucion aproximada uh(x) verificaZ L

0

∂ωh

∂xAE

∂

∂x(u− u

h) dx = 0 ∀ω

h(x) ∈ H

hω.

Sea el punto x = z, z ∈ (0, L]. Si una de las posibles funciones de test fuese

ωh(x) =

8<:x

z, x ∈ [0, z]

1, x ∈ [z, L]

entonces Z z

0

1

zAE

∂

∂x(u− u

h) dx = 0.

En este caso AE = cte y uh(0) = u(0) = u0, luego

uh(z) = u(z).

Y, efectivamente, es posible elegir una funcion de test de ese tipo cuandox = z corresponde a un nodo.


Solucion MEF/Galerkin, 2 nodos/elemento (IV)

OBSERVACIONES:

♥ Los desplazamientos se aproximan bien.

♣ Las tensiones se aproximan bien en promedio, pero peor que losdesplazamienos.♠ En general, las tensiones se aproximan mal localmente

(especialmente en los extremos).

♥ En algunos puntos la aproximacion de las tensiones puede ser exacta(normalmente en la zona central).


METODO DE RESIDUOS PONDERADOS:PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 2D/3D









INDICE





I Residuos Ponderados: Error de Aproximacion







Sea el problema de equilibrio 2D/3D:


Problema Conceptual (IIa)

ECUACION INTEGRAL DE EQUILIBRIO/CONSERVACION

∫∫∂V

σT n d(∂V ) = −∫∫∫

V

b dV ∀V.

Aplicando el Teorema de la DivergenciaZZ

∂V

σTn d(∂V ) =

ZZZV

div(σ) dV,

obtenemos ZZZV

“div(σ) + b

”dV = 0 ∀V.


Problema Conceptual (IIb)

ECUACION DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO (CONSERVACION)

div(σ) + b = 0.


Problema Conceptual (IIIa)

Donde:

Ω =dominio 2D/3D de definicion del problema,

r ∈ Ω =coordenadas materiales de un punto,

u(r) =VARIABLE PRINCIPAL (DESPLAZAMIENTO GENERALIZADO)

σ(r) =VARIABLE SECUNDARIA (TENSION GENERALIZADA),

b(r) =CARGA GENERALIZADA POR UNIDAD DE VOLUMEN,

u0(r) =valor forzado de la variable principal en Γu,gR(r) =σT n (REACCION GENERALIZADA) en Γu,g(r) =σT n (valor forzado de la variable secundaria segun la normal) en Γσ,γ˜(r) =tensor de difusividad/conductividad. (∗)

(*) Si el medio es ISOTROPO entonces γe(r) = γ(r)Ie.Si el medio es HOMOGENEO entonces γe(r) = γe.Si el medio es HOMOGENEO E ISOTROPO entonces γe(r) = γIe. De ahora en adelante supondremos que lo es.


Problema Conceptual (IIIb)

La relacion entre la variable principal u(r) y la variable secundaria σ(r) seestablece a traves de una variable intermedia ε(r) (DEFORMACIONGENERALIZADA), de forma que tendremos dos tipos de ecuaciones:

I ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD(o relaciones deformacion—desplazamiento):

u(r) −→ ε(r).

I ECUACIONES CONSTITUTIVAS(o relaciones tension—deformacion):

ε(r) −→ σ(r).


Problema Conceptual (IV)

Modelo Matematico Lineal (medio homogeneo e isotropo):

Dados b(r), γ(r), u0(r), g(r),

Hallar u(r), σ(r), r ∈ Ω, que verifican

div(σ) + b = 0 ∀r ∈Ω, (ECUACION DE EQUILIBRIO)

σ = −γε r ∈ Ω, (ECUACION CONSTITUTIVA)

ε = gradu r ∈ Ω, (ECUACION DE COMPATIBILIDAD)

− σT n+ g(r) = 0 ∀r ∈ Γσ, (C.C. NATURAL)

u = u0(r) ∀r ∈ Γu. (C.C. ESENCIAL)

El problema anterior puede representar diferentes fenomenos fısicos,como. . .


Problema Conceptual (Va)

DEFORMACION DE UN MEDIO CONTINUO ELASTICO

I En este caso es necesario introducir• el TENSOR DE DEFORMACIONES y

• el TENSOR DE TENSIONES,

lo que obliga a realizar algunos ajustes en la formulacion anterior

I NO ANALIZAREMOS ESPECIFICAMENTE ESTE CASO porsimplicidad, pero en esencia los conceptos son los mismos.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE HOOKE.


Problema Conceptual (Vb)

Difusion de contaminante en un medio 2D/3D

Ω =dominio 2D/3D de definicion del problema.

r ∈ Ω =coordenadas materiales de un punto.

u(r) =CONCENTRACION DE CONTAMINANTE.

ε(r) =GRADIENTE DE CONCENTRACION DE CONTAMINANTE.

σ(r) =DENSIDAD DE FLUJO DE CONTAMINANTE.

b(r) =SUMIDERO DE CONTAMINANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN,

u0(r) =CONCENTRACION PREFIJADA en Γu,gR(r) =σT n (REACCION) en Γu,

g(r) =σT n (FLUJO DE CONTAMINANTE FORZADO) en Γσ.γ˜(r) =TENSOR DE DIFUSIVIDAD.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE FICKS.


Problema Conceptual (Vc)

Difusion de calor en un medio 2D/3D



u(r) =TEMPERATURA.

ε(r) =GRADIENTE DE TEMPERATURA.

σ(r) =DENSIDAD DE FLUJO DE CALOR.

b(r) =SUMIDERO DE CALOR POR UNIDAD DE VOLUMEN,

u0(r) =TEMPERATURA PREFIJADA en Γu,gR(r) =σT n (REACCION) en Γu,

g(r) =σT n (FLUJO DE CALOR FORZADO) en Γσ.γ˜(r) =TENSOR DE CONDUCTIVIDAD TERMICA.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE FOURIER.


Problema Conceptual (Vd)

Corriente electrica en un medio conductor 2D/3D



u(r) =POTENCIAL ELECTRICO.

ε(r) =GRADIENTE DE POTENCIAL.

σ(r) =DENSIDAD DE CORRIENTE.

b(r) =SUMIDERO DE CORRIENTE POR UNIDAD DE VOLUMEN,

u0(r) =POTENCIAL PREFIJADO en Γu,gR(r) =σT n (REACCION) en Γu,

g(r) =σT n (INTENSIDAD DE CORRIENTE FORZADA) en Γσ.γ˜(r) =TENSOR DE CONDUCTIVIDAD ELECTRICA.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE OHM.



a) FORMA ORIGINAL

Hallar u(r), r ∈ Ω,

tal que R(r) = 0 ∀r ∈Ω, RΓ(r) = 0 ∀r ∈ Γσ, (*)

siendo

R(r) = div(σ) + b r ∈Ω, (EC. DE EQUILIBRIO)

σ = −γε r ∈ Ω, (EC. CONSTITUTIVA)

ε = gradu r ∈ Ω, (EC. DE COMPATIBILIDAD)

RΓ(r) = −σT n+ g(r) r ∈ Γσ, (C.C. NATURAL)







tal que∫∫∫

r∈Ω

ω(r)R(r) dΩ +∫∫r∈Γσ

ωΓ(r)RΓ(r) dΓ = 0 ∀ω(r), ωΓ(r) (*)

siendo









Pues

R = 0 ∀r ∈Ω, RΓ = 0∀r ∈ Γσ =⇒

ZZZr∈ΩωR dΩ +

ZZr∈Γσ

ωΓRΓ dΓ = 0 ∀ω, ωΓ

ZZZr∈ΩωR dΩ +

ZZr∈Γσ

ωΓRΓ dΓ = 0 ∀ω, ωΓ =⇒

8>>>><>>>>:ω = R, ωΓ = 0 →

ZZZr∈ΩR2

dΩ = 0,

ω = 0, ωΓ = RΓ →ZZr∈Γσ

R2Γ dΓ = 0.

♥ Si las funciones son suficientemente regulares, el enunciado de residuosponderados es equivalente al problema original, ya queZZZ

r∈ΩR2

dΩ = 0 =⇒R(r) = 0 ∀r ∈Ω,ZZ

r∈ΓσR2

Γ dΓ = 0 =⇒RΓ(r) = 0 ∀r ∈ Γσ.

♣ Si se utiliza la Integral de Lebesgue, los residuos R(r) y RΓ(r)pueden ser nonulos en un conjunto de puntos de medida nula. (*)



Planteamientos Alternativos (IIc)

Sin perdida de generalidad podemos elegir

ωΓ = ω(r) r ∈ Γσ,

puesR = 0 ∀r ∈

Ω, RΓ = 0 ∀r ∈ Γσ =⇒

ZZZr∈ΩωR dΩ +

ZZr∈Γσ

ωRΓ = 0 ∀ω

ZZZr∈ΩωR dΩ +

ZZr∈Γσ

ωRΓ dΓ = 0 ∀ω =⇒

8><>:ω = R ∗ P →R = 0 ∀r ∈

Ω, (∗)

R = 0, ω = RΓ →RΓ = 0 ∀r ∈ Γσ.

(*) donde P(r) es cualquier funcion que cumpla

P(r) > 0 ∀r ∈Ω, P(r) = 0 ∀r ∈ Γσ,

pues si las funciones son suficientemente regulares,ZZZr∈ΩR2

>0z|P dΩ = 0 =⇒R(r) = 0 ∀r ∈

Ω,ZZ

r∈ΓσR2

Γ dΓ = 0 =⇒RΓ(r) = 0 ∀r ∈ Γσ.


Planteamientos Alternativos (IId)

Por tanto, podemos adoptar el enunciado de residuos ponderados. . .


tal que∫∫∫

r∈Ω


ω(r)RΓ(r) dΓ = 0 ∀ω(r)

siendo







Planteamientos Alternativos (IIIa)



que MINIMIZA Q[u] =∫∫∫

r∈Ω

R(r)p(r)R(r) dΩ +∫∫r∈Γσ

RΓ(r)pΓ(r)RΓ(r) dΓ, (*)

siendo



ε = gradu r ∈ Ω, (EC. DE COMPATIB.)



(*) Las funciones de peso p(r) y pΓ(r) deben verificar p(r) > 0 ∀r ∈ Ω, pΓ(r) > 0 ∀r ∈ Γσ.


Planteamientos Alternativos (IIIb)


Hallar u(r) r ∈ Ω,

tal quedJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δu(r) con δu(r) = 0 en Γu,

con J(λ) = Q[u+ λδu],


∣∣∣∣λ=0

= 2∫∫∫

r∈Ω

div(−γ grad δu)p(r)R(r) dΩ

− 2∫∫r∈Γσ

(−γ grad δu)T n pΓ(r)RΓ(r) dΓ, (*)


Planteamientos Alternativos (IIIc)


Hallar u(r) r ∈ Ω,

tal que

∫∫∫r∈Ω

div(−γ grad δu)p(r)R(r) dΩ

−∫∫r∈Γσ

(−γ grad δu)T n pΓ(r)RΓ(r) dΓ = 0 ∀δu(r) = 0 en Γu,

siendo







Planteamientos Alternativos (IIId)

. . . o lo que es lo mismoHallar u(r) r ∈ Ω,

tal que

∫∫∫r∈Ω


ωΓ(r)RΓ(r) = 0 ∀δu(r)∣∣∣ δu(0) = 0,

ω(r) = div(−γ grad δu)p(r), ωΓ(r) = −(−γ grad δu)T n pΓ(r),(*)

siendo








Planteamientos Alternativos (IVa)

e) MINIMA ENERGIA


que MINIMIZA

E [u] =− 12

∫∫∫r∈Ω

ε(r)T σ(r) dΩ

+∫∫∫

r∈Ω

u(r)b(r) dΩ +∫∫r∈Γσ

u(r)g(r) dΓ,

(*)

siendo


ε = gradu, r ∈ Ω, (ECUACION DE COMPATIBILIDAD)



Planteamientos Alternativos (IVb)

Se comprueba facilmente que la solucion del problema original u(r)minimiza la energıa, pues si v(r) = u(r) + δu(r) es cualquier otra funcionque tambien verifique la condicion de contorno esencial v(0) = u0, entoncesδu(0) = 0, y siendo

δε =∂δu

∂x, δσ = Eδε,

tenemos

E[u+ δu] = −1

2

ZZZr∈Ω

(ε+ δε)T(σ + δσ) dΩ +

ZZZr∈Ω

(u+ δu)b dΩ +

ZZr∈Γσ

(u+ δu)g dΓ

= E[u]−1

2

ZZZr∈Ω

(δεTσ + ε

Tδσ + δε

Tδσ) dΩ +

ZZZr∈Ω

δub dΩ +

ZZr∈Γσ

δug dΓ

= E[u] +1

2

ZZZr∈Ω

(δεTγε+ ε

Tγδε+ δε

Tγδε) dΩ +

ZZZr∈Ω

δub dΩ +

ZZr∈Γσ

δug dΓ

= E[u] +1

2

ZZZr∈Ω

δεT(γδε) dΩ

+

»−ZZZ

r∈Ω

δεTσ dΩ +

ZZZr∈Ω

δub dΩ +

ZZr∈Γσ

δug dΓ

–.


Planteamientos Alternativos (IVc1)

Perodiv(δuσ) = grad

T(δu)| z

δεT

σ + δu div σ.

Luego ZZZr∈Ω

δεTσ dΩ =

ZZZr∈Ω

div(δuσ) dΩ−ZZZ

r∈Ω

δu div σ dΩ.

Y aplicando el TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,ZZZr∈Ω

δεTσ dΩ =

ZZr∈Γ

(δuσ)Tn dΓ−

ZZZr∈Ω

δu div σ dΩ.


Planteamientos Alternativos (IVc2)

Luego

−ZZZ

r∈Ω

δεTσ dΩ +

ZZZr∈Ω

δub dΩ +

ZZr∈Γσ

δug dΓ =

+

ZZZr∈Ω

δu (div(σ) + b)| z =0

dΩ +

ZZr∈Γσ

δu (−σT n+ g)| z =0

dΓ = 0.

Por tanto,

E[u+ δu] = E[u] +1

2

≥0 ∀δεz | ZZZr∈Ω

δεTγδε dΩ

≥ E[u] ∀δu˛δu(r) = 0 cuando r ∈ Γu.


Planteamientos Alternativos (IVd)



tal quedJ(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

= 0 ∀δu tal que δu(r) = 0 cuando r ∈ Γu,

con J(λ) = E [u+ λδu],


∣∣∣∣λ=0

= +∫∫∫

r∈Ω

gradT(δu)γ grad(u) dΩ

+∫∫∫

r∈Ω

δub dΩ +∫∫r∈Γσ

ug dΓ,


Planteamientos Alternativos (IVe)

. . . que conduce al PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV)


tal que

+∫∫∫

r∈Ω

gradT(δu)σ dΩ

−∫∫∫

r∈Ω

δub dΩ

−∫∫r∈Γσ

δug dΓ = 0 ∀δu∣∣∣ δu(r) = 0 cuando r ∈ Γu,

siendo





Planteamientos Alternativos (IVf1)

Pero

gradT(δu)σ = div(δuσ)− δu div(σ).

Y, por tanto,ZZZr∈Ω

gradT(δu)σ dΩ =

ZZZr∈Ω

div(δuσ) dΩ−ZZZ

r∈Ω

δu div(σ) dΩ.

Aplicando el teorema de la divergencia,

ZZZr∈Ω

div(δuσ) dΩ =

ZZr∈Γ

(δuσ)Tn dΓ

=

ZZr∈Γ

δu(σTn) dΓ.


Planteamientos Alternativos (IVf2)

En consecuencia, se obtiene


tal que

+∫∫r∈Γ

δu(σT n) dΓ

−∫∫∫

r∈Ω

δu (div(σ) + b) dΩ

−∫∫r∈Γσ

δug dΓ = 0 ∀δu∣∣∣ δu(r) = 0 cuando r ∈ Γu,

siendo





Planteamientos Alternativos (IVg)

. . . o lo que es lo mismo,Hallar u(r), r ∈ Ω,

tal que

∫∫∫r∈Ω


ω(r)RΓ(r) dΓ = 0,

ω(r) = δu(r), ∀δu∣∣∣ δu(r) = 0 cuando r ∈ Γu,

(*)

siendo









PLAN DE TRABAJO


Residuos Ponderados: Forma Debil (II)



tal que∫∫∫

r∈Ω


ω(r)RΓ(r) dΓ = 0 ∀ω(r)

siendo







Residuos Ponderados: Forma Debil (III)

Observamos que

♣ En el enunciado anterior las funciones de prueba u(r) se derivan dosveces, mientras que las funciones de test ω(r) no se derivan.

♠ Si tenemos una aproximacion a la solucion uh(r) ≈ u(r) que no sea dosveces derivable, el enunciado anterior no permite comprobar la bondadde la aproximacion.

♥ Si pudiesemos reducir el orden de derivacion de u(r) podrıamos intentarobtener aproximaciones con menores requisitos de continuidad (porejemplo, poligonales a trozos)

Aplicaremos EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA con el fin de reducirel orden de derivacion de u(r) aunque sea a costa de aumentar el ordende derivacion de ω(r).


Residuos Ponderados: Forma Debil (IVa1)

Operando,

div(ωσ) = gradT(ω)σ + ω div(σ).

Y, por tanto,ZZZr∈Ω

div(ωσ) dΩ =

ZZZr∈Ω

gradT(ω)σ dΩ +

ZZZr∈Ω

ω div(σ) dΩ.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIAZZZr∈Ω

div(ωσ) dΩ =

ZZr∈Γ

(ωσ)Tn dΓ

=

ZZr∈Γ

ω(σTn) dΓ.


Residuos Ponderados: Forma Debil (IVa2)

Luego, ∫∫∫r∈Ω

ωR dΩ =∫∫∫

r∈Ω

ω (div(σ) + b) dΩ

=∫∫r∈Γ

ω(σT n) dΓ

−∫∫∫

r∈Ω

gradT(ω)σ dΩ +

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ

=∫∫r∈Γσ

ω(σT n) dΓ +∫∫r∈Γu

ω(σT n) dΓ

−∫∫∫

r∈Ω

gradT(ω)σ dΩ +

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ.


Residuos Ponderados: Forma Debil (IVb)

En consecuencia,∫∫∫r∈Ω

ωR dΩ +∫∫r∈Γσ

ωRΓ =∫∫r∈Γσ

ω(σT n) dΓ +∫∫r∈Γu

ω(σT n) dΓ

−∫∫∫

r∈Ω

gradT(ω)σ dΩ +

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ

+∫∫r∈Γσ

ω(−σT n+ g

)dΓ

=−∫∫∫

r∈Ω

gradT(ω)σ dΩ +

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ

+∫∫r∈Γσ

ωg dΓ +∫∫r∈Γu

ω(σT n

)︸︷︷︸gR

dΓ,

lo que nos conduce a la forma debil. . .


Residuos Ponderados: Forma Debil (V)


Hallar u(r) ∈ Hu,[y la reaccion g

R= σT n

]

tal que

∫∫∫r∈Ω

gradT(ω)σ dΩ =

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ +∫∫r∈Γσ

ωg dΓ

+∫∫r∈Γu

ωgRdΓ ∀ω(r) ∈ Hω

siendo




donde gR

= σT n es la REACCION que se produce en Γu al forzar el valor dela condicion de contorno esencial.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VI)

Observamos que

♦ La forma anterior es DEBIL por doble motivo, ya que ademas de loanteriormente expuesto permite comprobar la bondad deaproximaciones uh(r) ≈ u(r) que sean una vez derivables (en vez dedos veces derivables, como exige la forma fuerte del problema).

♥ La condicion de contorno natural se introduce en la formulacionmediante el termino

∫∫r∈Γσ

ωg dΓ.

♣ Cuando g = 0 se impone una condicion de contorno que establece que σT n = 0

en Γσ, pero el terminoZZ

r∈Γσ

ωg dΓ desaparece, por lo que la condicion de contorno

parece satisfacerse de forma “natural”. De ahı el nombre.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIa)

CARGAS PUNTUALES (utilizacion de las deltas de Dirac)

Sea Vi una fuerza puntual aplicada en el punto ri∣∣ ri ∈ Ω.

Podemos introducir la fuerza puntual en la formulacion mediante una fuerzaequivalente por unidad de volumen bi(r) del tipo

Vi −→ bi(r) = Viδ(r − ri),

de forma que ZZZr∈Ω

bi dΩ =

ZZZr∈Ω

Viδ(r − ri) dΩ

= Vi

ZZZr∈Ω

δ(r − ri) dΩ

= Vi.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIb)

Al introducir bi(r) en la forma debil obtenemos∫∫∫r∈Ω

ωbi dΩ =∫∫∫

r∈Ω

ωViδ(r − ri) dΩ

= Vi

∫∫∫r∈Ω

ωδ(r − ri) dΩ

= Viω(ri),

que es un termino del mismo tipo de los que se obtuvieron anteriormente enproblemas 1D.

De la misma forma pueden introducirse cargas concentradas sobre unasuperficie, o sobre una lınea.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIIa)

EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

♥ Si interpretamos la funcion de test ω(r) como un desplazamiento virtualcompatible con las condiciones de contorno esenciales (es decir comouna modificacion de la solucion u(r) que no incumpla las condiciones decontorno esenciales), e interpretamos su derivada como unadeformacion virtual, podemos escribir

ω(r) = δu(r) con δu(r) = 0 ∀r ∈ Γu, δε(r) =∂ω

∂x

y obtenemos el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES∫∫∫r∈Ω

δεT σ dΩ =∫∫∫

r∈Ω

δub dΩ +∫∫r∈Γσ

δug dΓ

∀δu∣∣∣ δu(r) = 0 cuando r ∈ Γu.


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIIb)

♣ Por tanto, el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES es unaforma debil de las ecuaciones de equilibrio (no de las ecuacionesconstitutivas ni de las de compatibilidad) y de las condiciones decontorno naturales (no de las condiciones de contorno esenciales).

♥ El METODO DE RESIDUOS PONDERADOS permite obtener una formadebil del problema aunque no se conozca el enunciado especıfico delPTV para el problema que se esta resolviendo (por ejemplo, ¿quesignifica y como se escribe el principio de los trabajos virtuales enproblemas de difusion de contaminantes?)

♦ En el caso que nos ocupa, esta forma debil equivale al planteamientovariacional de mınima energıa, por lo que las soluciones numericas queproporcionara el metodo de Galerkin seran optimas. Esto no tiene porque ser cierto en otros casos (problemas de conveccion-difusion,dinamica de fluidos, etc.).


Residuos Ponderados: Forma Debil (VIIIc)

♣ La forma clasica del bf PTV tambien es valida para ecuacionesconstitutivas no lineales y para ecuaciones de compatibilidad mascomplicadas siempre y cuando la ecuacion de equilibrio sea la expuesta.En todo caso, hay que interpretar correctamente el enunciado y tener encuenta que la expresion de la deformacion virtual es la correspondienteal gradiente.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (I)


Hallar u(r) ∈ Hu

∣∣∣ u(0) = u0 [y gR]

tal que

∫∫∫r∈Ω

gradT(ω)σ dΩ =

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ +∫∫r∈Γσ

ωg dΓ

+∫∫r∈Γu

ωgRdΓ ∀ω(r) ∈ Hω

siendo σ = −γε,

ε = gradu.




Sea la base de funciones de prueba φi(r)i=1,...,ν.

Dada la aproximacion inicial ψ(r), buscamos una mejor aproximacion

u(r) ≈ uh(r) = ψ(r) +ν∑i=1

αiφi(r), uh(r) ∈ Hhu ⊂ Hu,

u(r) ≈ uh(r) = ψ(r) + ΦT (r) α, con Φ(r) =

φ1(r)...φν(r)

, α =

α1...αν

.

Las correspondientes aproximaciones de ε(r) y de σ(r) seran

ε(r) ≈ εh(r) = gradψ +

νXi=1

αi gradφi, σ(r) ≈ σh(r) = −γεh(r),

ε(r) ≈ εh(r) = gradψ + grad Φ

Tα, σ(r) ≈ σ

h(r) = −γεh(r).

Y [si interesa] podemos buscar una aproximacion de la reaccion gR≈ gh

R.



En general no sera posible que uh(r) = u(r) ∀r ∈ Ω (*), por lo que

uh(r) 6= u(r)

m

no es posible que

∫∫∫r∈Ω

gradT(ω)σh dΩ =

∫∫∫r∈Ω

ωb dΩ

+∫∫r∈Γσ

ωg dΓ +∫∫r∈Γu

ωghRdΓ ∀ω(r) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(r)− ψ(r) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIIa)

FUNCIONES DE TEST (Test Functions)Sea la base de funciones de test ωj(r)j=1,...,ν.

Seaωh(r) =

ν∑j=1

βjωj(r), ωh(r) ∈ Hhω ⊂ Hω,

ωh(r) = ΩT (r) β = βT Ω(r), con Ω(r) =

ω1(r)...ων(r)

, β =

β1...βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(r) ∈ Hhu

∣∣∣ uh = u0(r) ∀r ∈ Γu[y la aproximacion gh

R] que verifique∫∫∫

r∈Ω

gradT(ωh)σh dΩ =

∫∫∫r∈Ω

ωhb dΩ

+∫∫r∈Γσ

ωhg dΓ +∫∫r∈Γu

ωhghRdΓ ∀ωh(r) ∈ Hh

ω.



PeroZZZr∈Ω

gradT(ω

h)σ

hdΩ−

ZZZr∈Ω

ωhb dΩ−

ZZr∈Γσ

ωhg dΓ−

ZZr∈Γu

ωhgh

RdΓ = 0 ∀ωh(r) ∈ Hh

ω

mνXj=1

βj

„ZZZr∈Ω

gradT(ωj)σ

hdΩ−

ZZZr∈Ω

ωjb dΩ−ZZ

r∈Γσ

ωjg dΓ−ZZ

r∈Γu

ωjgh

RdΓ

«= 0 ∀ βj

βT

„ZZZr∈Ω

gradT(Ω)σ

hdΩ−

ZZZr∈Ω

Ωb dΩ−ZZ

r∈Γσ

Ωg dΓ−ZZ

r∈Γu

Ωgh

RdΓ

«= 0 ∀β

mZZZr∈Ω

gradT(ωj)σ

hdΩ =

ZZZr∈Ω

ωjb dΩ +

ZZr∈Γσ

ωjg dΓ +

ZZr∈Γu

ωjgh

RdΓ, j=1,...,νZZZ

r∈Ω

gradT(Ω)σ

hdΩ =

ZZZr∈Ω

Ωb dΩ +

ZZr∈Γσ

Ωg dΓ +

ZZr∈Γu

Ωgh

RdΓ.



Por tanto,

−ZZZ

r∈Ωgrad

T(ωj)γ

gradψ +

νXi=1

αi gradφi

!dΩ =

ZZZr∈Ωωjb dΩ +

ZZr∈Γσωjg dΓ +

ZZr∈Γuωjg

h

RdΓ, j=1,...,ν

−ZZZ

r∈Ωgrad

T(Ω)γ

“gradψ + grad Φ

Tα”dΩ =

ZZZr∈ΩΩb dΩ +

ZZr∈ΓσΩg dΓ +

ZZr∈ΓσΩg

h

RdΓ

m

νXi=1

kjiz | „−ZZZ

r∈Ωgrad

T(ωj)γ gradφi dΩ

«αi =

fjz | ZZZr∈Ωgrad

T(ωj)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ωωjb dΩ +

ZZr∈Γσωjg dΓ +

ZZr∈Γuωjg

h

RdΓ, j=1,...,ν

Kez | „−ZZZ

r∈Ωgrad

T(Ω)γ grad Φ

TdΩ

«α =

fz | ZZZr∈Ωgrad

T(Ω)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈ΩΩb dΩ +

ZZr∈ΓσΩg dΓ +

ZZr∈ΓuΩg

h

RdΓ

m

νXi=1

kjiαi = fj +

ZZr∈Γuωjg

h

RdΓ j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f +

ZZr∈ΓuΩg

h

RdΓ.



Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema(de orden ν, con la incognita adicional gh

R(r), r ∈ Γu)

K˜ α = f +∫∫r∈Γu

Ω(r)ghR(r) dΓ,

con la condicion adicional uh = u0(r) ∀r ∈ Γu, esto es

ΦT (r) α = u0(r)− ψ(r) ∀r ∈ Γu.

♠ ¡AHORA NO ES TRIVIAL IMPONER LAS CONDICIONES DECONTORNO ESENCIALES!Ya que deben cumplirse ∀r ∈ Γu.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IVc)

Podemos solventar el problema de las condiciones de contornoesenciales. . .

♣ mediante RESIDUOS PONDERADOS,

♣ eligiendo adecuadamente la aproximacion inicial ψ(r) y las funciones deprueba Φ(r), o

♥ mediante ELEMENTOS FINITOS de forma trivial.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (Va)

Si elegimos la aproximacion inicial ψ(r) de forma que satisfaga la condicionde contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φi(r) de forma quese anulen en el contorno Γu, la aproximacion uh(r) verificaraautomaticamente la condicion de contorno esencial. Es decir

ψ(r) = u0(r) ∀r ∈ ΓuΦ(r) = 0 ∀r ∈ Γu

=⇒ uh = u0(r) ∀r ∈ Γu.

Si ademas elegimos funciones de test que se anulen en el contorno Γu, lareaccion no interviene en la formulacion ya que∫∫

r∈Γu

ωjghRdΓ = 0 j=1,...,ν ⇐⇒

∫∫r∈Γu

ΩghRdΓ = 0.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (Vb)

Por tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver puede escribirseen la forma

K˜ α = f ,

siendo

Ke = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji =

ZZZr∈Ω

gradT(ωj)γ gradφi dΩ

Ke =

ZZZr∈Ω

gradT(Ω)γ grad ΦT dΩ

f = fjj=1,...,ν , fj = −ZZZ

r∈Ω

gradT(ωj)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ω

ωjb dΩ +

ZZr∈Γσ

ωjg dΓ

f = −ZZZ

r∈Ω

gradT(Ω)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ω

Ωb dΩ +

ZZr∈Γσ

Ωg dΓ.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (VI)


uh(r) = ψ(r) +ν∑i=0

αiφi(r) ⇐⇒ uh(r) = ψ(r) + ΦT (r) α.

εh(r) = gradψ +ν∑i=1

αi gradφi ⇐⇒ εh(r) = gradψ + gradT(Φ) α

σh(r) = −γεh(r) ⇐⇒ σh(r) = −γεh(r).


Residuos Ponderados: Error de Aproximacion (I)


Los METODOS DE RESIDUOS PONDERADOS tambien se denominan ası,ya que siendo

u(r) la solucion exacta, con ε(r) = gradu, σ(r) = −γε(r)

uh(r) la solucion aproximada, con εh(r) = graduh, σh(r) = −γεh(r)

se verificaZZZr∈Ω

gradT(ωh)σ dΩ =

ZZZr∈Ωωhb dΩ +

ZZr∈Γσ

ωhg dΓ +

ZZr∈Γu

ωhgRdΓ ∀ωh(r) ∈ Hh

ω

ZZZr∈Ω

gradT(ωh)σhdΩ =

ZZZr∈Ωωhb dΩ +

ZZr∈Γσ

ωhg dΓ +

ZZr∈Γu

ωhgh

RdΓ ∀ωh(r) ∈ Hh

ω

9>>>>=>>>>; =⇒

=⇒ZZZ

r∈Ωgrad

T(ωh)(σ − σ

h) dΩ =

ZZr∈Γu

ωh(gR− g

h

R) dΓ ∀ωh(r) ∈ Hh

ω.


Residuos Ponderados: Error de Aproximacion (II)

La ecuacion anterior demuestra que (normalmente) la integral de lasreacciones se calcula exactamente, ya que si la funcion constantepertenece al espacio de las funciones de test (lo que normalmente se exigey se conoce como PARTICION DE LA UNIDAD) entonces

ωh(r) = 1 =⇒∫∫r∈Γu

gRdΓ =

∫∫r∈Γu

ghRdΓ .

Si las funciones de test ωh se anulan en Γu se cumpleZZZr∈Ω

gradT(ω

h)γ grad(u− u

h) dΩ = 0 ∀ωh(r) ∈ Hh

ω, ωh(r) = 0 en Γu.

Luego (normalmente), la solucion aproximada uh(r) verifica

⟨ωh, u− uh

⟩= 0 ∀ωh(r) ∈ Hh

ω, con 〈v, e〉 =∫∫∫

r∈Ω

gradT(v)γ grad(e) dΩ.


Residuos Ponderados: Error de Aproximacion (III)

Por tanto, la solucion aproximada uh(r) es

la PROYECCION de la solucion exacta u(r)

sobre el subespacio Hhu de las funciones de prueba uh(r)

segun la normal al subespacio Hhω de las funciones de test ωh(r).





ωj(r) = δ(r − rj), j=1,...,ν con rj∈Ω, ri 6=rj ∀i6=j. (*)

=⇒ No se puede utilizar en este caso, porque la delta no es derivable.Si se aplica a la forma original de RP conduce a DIFERENCIAS FINITAS.


ωj(r) = 1, si r ∈ Ωj,

0, en caso contrario, j=1,...,ν conν⋃j=1

Ωj = Ω,ν⋂j=1

Ωj= ∅.

=⇒ Conduce a VOLUMENES FINITOS.


ωj(r) = φj(r), j=1,...,ν ⇐⇒ Hhω = Hh

u .

(*) Si rj = a o rj = b es preciso redefinir adecuadamente la δ.





Hhω = Hh

u

mωj(r) = φj(r), j=0,...,ν ⇐⇒ Ω(r) = Φ(r),

se obtiene

Ke = [kji]i=1,...,νj=1,...,ν

, kji =

ZZZr∈Ω

gradT(φj)γ gradφi dΩ

Ke =

ZZZr∈Ω

gradT(Φ)γ grad ΦT dΩ

f = fjj=1,...,ν , fj = −ZZZ

r∈Ω

gradT(φj)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ω

φjb dΩ +

ZZr∈Γσ

φjg dΓ

f = −ZZZ

r∈Ω

gradT(Φ)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ω

Φb dΩ +

ZZr∈Γσ

Φg dΓ.



Como ya hemos visto, si elegimos la aproximacion inicial ψ(r) de forma quesatisfaga la condicion de contorno esencial y elegimos las funciones deprueba φi(r) de forma que se anulen en el contorno Γu, la aproximacionuh(r) verificara automaticamente la condicion de contorno esencial. Es decir

ψ(r) = u0(r) ∀r ∈ ΓuΦ(r) = 0 ∀r ∈ Γu

=⇒ uh = u0(r) ∀r ∈ Γu.

Como estamos utilizando una ponderacion de Bubnov–Galerkin,automaticamente las funciones de test se anularan en el contorno Γu, y lareaccion no interviene en la formulacion ya que∫∫

r∈Γu

φjghRdΓ = 0 j=1,...,ν ⇐⇒

∫∫r∈Γu

ΦghRdΓ = 0.




K˜ α = f ,

siendo

Ke =

2666666664

ZZZr∈Ω

gradT(φ1)γ gradφ1 dΩ

ZZZr∈Ω

gradT(φ1)γ gradφ2 dΩ . . .

ZZZr∈Ω

gradT(φ1)γ gradφν dΩZZZ

r∈Ωgrad

T(φ2)γ gradφ1 dΩ

ZZZr∈Ω

gradT(φ2)γ gradφ2 dΩ . . .

ZZZr∈Ω

gradT(φ2)γ gradφν dΩ

... ... ...ZZZr∈Ω

gradT(φν)γ gradφ1 dΩ

ZZZr∈Ω

gradT(φν)γ gradφ2 dΩ . . .

ZZZr∈Ω

gradT(φν)γ gradφν dΩ

3777777775

f =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

−ZZZ

r∈Ωgrad

T(φ1)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ωφ1b dΩ +

ZZr∈Γσ

φ1g dΓ

−ZZZ

r∈Ωgrad

T(φ2)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ωφ2b dΩ +

ZZr∈Γσ

φ2g dΓ

...−ZZZ

r∈Ωgrad

T(φν)γ gradψ dΩ +

ZZZr∈Ωφνb dΩ +

ZZr∈Γσ

φνg dΓ

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;.



La solucion aproximada uh(r) verifica∫∫∫r∈Ω

gradT(φj)σh dΩ−

∫∫∫r∈Ω

φjb dΩ−∫∫r∈Γσ

φjg dΓ = 0

⇓

∂E

∂αj= 0, siendo E(α1, α2, . . . , αν) = E [uh],

por lo que se realiza un AJUSTE DE MINIMA ENERGIA.






ηTK˜ η ≥ 0 ∀η 6= 0


ηTK˜ η > 0 ∀η 6= 0 (*)





kji =

ZZZr∈Ω

grad(φj)γ grad(φi) dΩ =

ZZZr∈Ω

grad(φi)γ grad(φj) dΩ = kij

m

Ke =

ZZZr∈Ω

grad(Φ)γ grad(ΦT) dΩ =

ZZZr∈Ω

“grad(Φ)γ grad(Φ

T)”T

dΩ = Ke T .



K˜ es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya queνXj=1

νXi=1

ηjkjiηi =νXj=1

νXi=1

ηj

„ZZZr∈Ω

grad(φj)γ grad(φi) dΩ

«ηi

=

ZZZr∈Ω

0@ νXj=1

ηj grad(φj)

1A| z

g(r)

γ

νXi=1

ηi grad(φi)

!| z

g(r)

dΩ

=

ZZZr∈Ω

νXi=1

ηi grad(φi)

!2

γ dΩ ≥ 0 ∀η = ηii=1,...,ν 6= 0.

mηTKe η = η

T„ZZZ

r∈Ωgrad(Φ)γ grad(Φ

T) dΩ

«η

=

ZZZr∈Ω

grad(ΦTη)| z

g(r)

γ grad(ΦTη)| z

g(r)

dΩ

=

ZZZr∈Ω

“grad(Φ

Tη)”2γ dΩ ≥ 0 ∀η 6= 0.




νXj=1

νXi=1

ηjkjiηi = 0 =⇒νXi=1

ηi grad(φi) = 0 ∀r ∈ Ω =⇒ ηi = 0, i = 1, . . . , ν

m

ηTKe η = 0 =⇒ grad(Φ

Tη) = 0 ∀r ∈ Ω =⇒ η = 0.





Sabemos que la solucion aproximada uh(r) verifica

Dωh, u− u

hE

= 0 ∀ωh(r) ∈ Hhω = H

hu, con 〈v, e〉 =

ZZZr∈Ω

gradT(v)γ grad(e) dΩ.



sZZZr∈Ω

˛grad(e)

˛2γ dΩ.



APROXIMACION OPTIMA

La solucion aproximada uh(r) verifica

∥∥u− uh∥∥ ≤ ∥∥u− vh

∥∥ ∀vh ∈ Hhu .



Pues,

uh, v

h ∈ Hhu =⇒ u

h − vh ∈ Hh

u =⇒Duh − v

h, u− u

hE

= 0,

luego

‚‚‚u− uh‚‚‚2

=Du− u

h, u− u

hE

+ 0 =Du− u

h, u− u

hE

+Duh − v

h, u− u

hE

=Du− u

h+ u

h − vh, u− u

hE

=Du− v

h, u− u

hE

≤‚‚‚u− v

h‚‚‚ ‚‚‚u− u

h‚‚‚ ,


h‚‚‚ .






∥∥ .





♣ Ejemplos:B No es trivial plantear ejemplos de aproximaciones de este tipo en 2D/3DB . . .

♠ Ke es LLENA → tiempo de computacion T (ν3).






♣ Ejemplos:B a) Mallas de triangulos/tetraedros.B b) Mallas de cuadrilateros/prismas.B c) Mallas de elementos curvos.






Hallar u(r) ∈ Hu

∣∣∣ u(0) = u0 [y gR]

tal que a(ω, u) = (ω, b) + (ω, g)σ + (ω, gR)u ∀ω(r) ∈ Hω,

siendo a(ω, u) =∫∫∫

r∈Ω

gradT(ω)γ grad(u) dΩ,

(ω, b) = −∫∫∫

r∈Ω

ωb dΩ,

(ω, g)σ = −∫∫r∈Γσ

ωg dΓ,

(ω, gR)u = −

∫∫r∈Γu

ωgRdΓ.




Sea la base de funciones de prueba φi(r)i=1,...,ν.

Dada la aproximacion inicial ψ(r), buscamos una mejor aproximacion

u(r) ≈ uh(r) = ψ(r) +ν∑i=1

αiφi(r), uh(r) ∈ Hhu ⊂ Hu,

u(r) ≈ uh(r) = ψ(r) + ΦT (r) α, con Φ(r) =

φ1(r)...φν(r)

, α =

α1...αν

.

Y [si interesa calcularla] podemos buscar una aproximacion de la reaccion

gR≈ gh

R.



En general no sera posible que uh(r) = u(r) ∀r ∈ Ω (*), por lo que

uh(r) 6= u(r)

m

no es posible que a(ω, uh) = (ω, b) + (ω, g)σ + (ω, gR)u ∀ω(r) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(r)− ψ(r) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.




Sea la base de funciones de test ωj(r)j=1,...,ν.

Sea

ωh(r) =ν∑j=1

βjωj(r), ωh(r) ∈ Hhω ⊂ Hω,

ωh(r) = ΩT (r) β = βT Ω(r), con Ω(r) =

ω1(r)...ων(r)

, β =

β1...βν

.

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(r) ∈ Hhu

∣∣∣ uh = u0(r) ∀r ∈ Γu[y la aproximacion gh

R] que verifique

a(ωh, uh) = (ωh, b) + (ωh, g)σ + (ωh, ghR)u ∀ωh(r) ∈ Hh

ω.



Pero

a(ωh, u

h)− (ω

h, b)− (ω

h, g)σ − (ω

h, g

h

R)u = 0 ∀ωh(r) ∈ Hh

ω

mνXj=1

βj

„a(ωj, u

h)− (ωj, b)− (ωj, g)σ − (ωj, g

h

R)u

«= 0 ∀ βj

βT„a(Ω, uh)− (Ω, b)− (Ω, g)σ − (Ω, gh

R)u

«= 0 ∀β

m

a(ωj, uh) = (ωj, b) + (ωj, g)σ + (ωj, g

h

R)u, j=1,...,ν

a(Ω, uh) = (Ω, b) + (Ω, g)σ + (Ω, g

h

R)u.



Por tanto,

a(ωj, ψ +

νXi=1

αiφi) = (ωj, b) + (ωj, g)σ + (ωj, gh

R)u ∀j

a(Ω, ψ + ΦT α) = (Ω, b) + (Ω, g)σ + (Ω, ghR)u

m

νXi=1

kjiz | a(ωj, φi)αi =

fjz | −a(ωj, ψ) + (ωj, b) + (ωj, g)σ +(ωj, g

h

R)u ∀j

Kez | a(Ω, Φ

T) α =

fz | −a(Ω, ψ) + (Ω, b) + (Ω, g)σ +(Ω, gh

R)u

m

νXi=1

kjiαi = fj + (ωj, gh

R)u, j=1,...,ν ⇐⇒ Ke α = f + (Ω, g

h

R)u.



Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema(de orden ν, con la incognita adicional gh

R(r), r ∈ γu)

K˜ α = f + (Ω, ghR)u,

con la condicion adicional uh = u0(r) ∀r ∈ Γu, esto es

ΦT (r) α = u0(r)− ψ(r) ∀r ∈ Γu.

♠ ¡AHORA NO ES TRIVIAL IMPONER LAS CONDICIONES DECONTORNO ESENCIALES!Ya que deben cumplirse ∀r ∈ Γu.


Notacion en Formas Bilineales (IVc)

Podemos solventar el problema de las condiciones de contornoesenciales. . .

♣ mediante RESIDUOS PONDERADOS,

♣ eligiendo adecuadamente la aproximacion inicial ψ(r) y las funciones deprueba Φ(r), o

♥ mediante ELEMENTOS FINITOS de forma trivial.


Notacion en Formas Bilineales (Va)

Si elegimos la aproximacion inicial ψ(r) de forma que satisfaga la condicionde contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φi(r) de forma quese anulen en el contorno Γu, la aproximacion uh(r) verificaraautomaticamente la condicion de contorno esencial. Es decir

ψ(r) = u0(r) ∀r ∈ ΓuΦ(r) = 0 ∀r ∈ Γu

=⇒ uh = u0(r) ∀r ∈ Γu.

Si ademas elegimos funciones de test que se anulen en el contorno Γu, lareaccion no interviene en la formulacion ya que∫∫

r∈Γu

ωjghRdΓ = 0 j=1,...,ν ⇐⇒

∫∫r∈Γu

ΩghRdΓ = 0.


Notacion en Formas Bilineales (Vb)


K˜ α = f ,

siendo

α = αii=1,...,ν ,Ke = [kji]i=1,...,ν

j=1,...,ν


Ke = a(Ω, ΦT ),


f = −a(Ω, ψ) + (Ω, b) + Ω(L)F.


Notacion en Formas Bilineales (VI)


uh(r) = ψ(r) +ν∑i=0

αiφi(r) ⇐⇒ uh(r) = ψ(r) + ΦT (r) α.

εh(r) = gradψ +ν∑i=1

αi gradφi ⇐⇒ εh(r) = gradψ + gradT(Φ) α

σh(r) = −γεh(r) ⇐⇒ σh(r) = −γεh(r).


METODO DE RESIDUOS PONDERADOS:PROBLEMAS NO ESTACIONARIOS 1D

DE TIPO PARABOLICOF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE











Dados A(x), b(x, t), E(x) = −γ(x), ρ, cE, u0(t), F (t), uI(x)

Hallar u(x, t), σ(x, t), x ∈ [0, L] t ≥ 0, que verifican

∂

∂x(Aσ) +A

(b+ ρcE

∂u

∂t

)= 0 (EC. DE EQUILIBRIO)

σ = Eε, (EC. CONSTITUTIVA)

ε =∂u

∂x, (EC. DE COMPATIBILIDAD)

−A(L)σ(L, t) + F (t) = 0 ∀t > 0, (C.C. NATURAL)

u(0, t) = u0(t) ∀t > 0, (C.C. ESENCIAL)

u(x, 0) = uI(x) ∀x ∈ [0, L]. (C. INICIAL)

Donde. . .



Difusion de calor en una barra[0, L] = barra de longitud L.x ∈ [0, L] = coordenada material de un punto.t > 0 = tiempo.A(x) = seccion transversal.u(x, t) = TEMPERATURA.ε(x, t) = GRADIENTE DE TEMPERATURA.σ(x, t) = DENSIDAD DE FLUJO DE CALOR.b(x, t) = SUMIDERO DE CALOR POR UNIDAD DE VOLUMEN.u0(t) = TEMPERATURA PREFIJADA EN x = 0.R(t) = −A(0)σ(0, t) (REACCION EN x = 0.)F (t) = A(L)σ(L, t) (FLUJO DE CALOR FORZADO EN x = L.)uI(x) = TEMPERATURA INICIAL.E(x) = −γ(x), γ = CONDUCTIVIDAD TERMICA.ρ = DENSIDAD.cE = CALOR ESPECIFICO.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE FOURIER.




Hallar u(x, t) ∈ Hu,[y la reaccion R(t)

]que VERIFICAN

∫ L

0

∂ω

∂xAσ dx =

∫ L

0

ωA

(b+ ρcE

∂u

∂t

)dx

+ ω(L)F (t) + ω(0)R(t) ∀ω(x) ∈ Hω

siendo


ε =∂u



u(x, 0) = uI(x) ∀x ∈ [0, L]. (C. INICIAL)

donde R(t) = −A(0)σ(0, t) es la REACCION que se produce en x = 0 al forzar el valor de la condicion de contorno esencial.





Dada la primera aproximacion ψ(x, t), buscamos una mejor aproximacion

u(x, t) ≈ uh(x, t) = ψ(x, t) +

νXi=1

αi(t)φi(x), uh(x, t) ∈ Hh

u ⊂ Hu,

u(x, t) ≈ uh(x, t) = ψ(x, t) + Φ

T(x) α(t), con Φ(x) =

8<:φ1(x)

...φν(x)

9=; , α(t) =

8<:α1(t)

...αν(t)

9=; .

Las correspondientes aproximaciones de ε(x, t) y de σ(x, t) seran

ε(x, t) ≈ εh(x, t) =

∂ψ

∂x+

νXi=1

αi(t)∂φi

∂x, σ(x, t) ≈ σ

h(x, t) = Eε

h(x, t),

ε(x, t) ≈ εh(x, t) =

∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα(t), σ(x, t) ≈ σ

h(x, t) = Eε

h(x, t).

Y [si interesa] podemos buscar una aproximacion de la reaccion R(t) ≈ Rh(t).



En general no sera posible que uh(x, t) = u(x, t) ∀x ∈ [0, L] (*), por lo que

uh(x, t) 6= u(x, t)

m

no es posible que

∫ L

0

∂ω

∂xAσh dx =

∫ L

0

ωA

b+ ρcE∂uh

∂t

dx

+ ω(L)F (t) + ω(0)Rh(t) ∀ω(x) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(x, t)− ψ(x, t) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.





Seaωh(x) =

νXj=1

βjωj(x), ωh(x) ∈ Hh

ω ⊂ Hω,

ωh(x) = Ω

T(x) β = β

TΩ(x), con Ω(x) =

8<:ω1(x)

...ων(x)

9=; , β =

8<:β1...βν

9=; .

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(x, t) ∈ Hhu

∣∣∣ uh(0, t) = u0(t)


Z L

0

∂ωh

∂xAσ

hdx =

Z L

0ωhA

0B@b+ ρcE∂uh

∂t

1CA dx

+ ωh(L)F (t) + ω

h(0)R

h(t) ∀ω(x) ∈ Hω,

uh(x, 0) = uI(x).



PeroZ L

0

∂ωh

∂xAσ

hdx−

Z L

0ωhA

0B@b+ ρcE∂uh

∂t

1CA dx− ωh(L)F − ω

h(0)R

h= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω

m

νXj=1

βj

0B@Z L

0

∂ωj

∂xAσ

hdx−

Z L

0ωjA

0B@b+ ρcE∂uh

∂t

1CA dx− ωj(L)F − ωj(0)Rh

1CA = 0 ∀˘βj¯

βT

0B@Z L

0

∂Ω

∂xAσ

hdx−

Z L

0ΩA

0B@b+ ρcE∂uh

∂t

1CA dx− Ω(L)F − Ω(0)Rh

1CA = 0 ∀β

m

Z L

0

∂ωj

∂xAσ

hdx =

Z L

0ωjA

0B@b+ ρcE∂uh

∂t

1CA dx+ ωj(L)F + ωj(0)Rh, j=1,...,ν

Z L

0

∂Ω

∂xAσ

hdx =

Z L

0ΩA

0B@b+ ρcE∂uh

∂t

1CA dx+ Ω(L)F + Ω(0)Rh.


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIIa1)

Por tanto,

Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂ψ

∂x+

νXi=1

αi∂φi

∂x

!dx =

Z L

0ωjA

0BB@b+ ρcE

∂ψ

∂t+

νXi=1

∂αi

∂tφi

! 1CCA dx+ ωj(L)F

+ ωj(0)Rh, j=1,...,ν

Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα

!dx =

Z L

0ΩA

0@b+ ρcE

„∂ψ

∂t+ Φ

T ∂α

∂t

« 1A dx+ Ω(L)F

+ Ω(0)Rh


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIIa2). . . luego,

−νXi=1

cjiz | Z L

0ωjAρcEφi dx

!∂αi

∂t+

νXi=1

kjiz | Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂φi

∂xdx

!αi =

−Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0ωjAb dx+

Z L

0ωjAρcE

∂ψ

∂tdx + ωj(L)F

| z fj(t)

+ ωj(0)Rh(t), j=1,...,ν

−

Cez | Z L

0ΩAρcEΦ

Tdx

!∂α

∂t+

Kez | Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!α =

−Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0ΩAb dx+

Z L

0ΩAρcE

∂ψ

∂tdx + Ω(L)F

| z f(t)

+ Ω(0)Rh(t)



. . . y finalmente,

−ν∑i=1

cji∂αi(t)∂t

+ν∑i=1

kji αi(t) = fj(t) + ωj(0)Rh(t), j=1,...,ν

m

−C˜ ∂α(t)∂t

+K˜ α(t) = f(t) + Ω(0)Rh(t).




−C˜ ˙α(t) +K˜ α(t) = f(t) + Ω(0)Rh(t),

con la condicion de contorno esencial uh(0, t) = u0(t), esto es

ΦT (0) α(t) = u0(t)− ψ(0, t),

y con la condicion inicial uh(x, 0) = uI(x), esto es

ΦT (x) α(0) = uI(x)− ψ(x, 0).



Si

• elegimos la primera aproximacion ψ(x, t) de forma que satisfaga la condicion decontorno esencial y las condiciones iniciales,

• elegimos las funciones de prueba φi(x) de forma que se anulen en los puntoscorrespondientes a las condiciones de contorno esenciales, y

• adoptamos como valores iniciales α(0) = 0,entonces la aproximacion uh(x, t) verificara automaticamente la condicion de contornoesencial y las condiciones iniciales, es decir

ψ(0, t) = u0(t)

Φ(0) = 0

9=; =⇒uh(0, t) = u0(t),

ψ(x, 0) = uI(x)

α(0) = 0

9=; =⇒uh(x, 0) = uI(x).

Si ademas elegimos las funciones de test ωj(x) de forma que se anulen en los puntoscorrespondientes a las condiciones de contorno esenciales, entonces la reaccion Rh(t) nointerviene en la formulacion.



Por tanto, el sistema se reduce a

C˜ ˙α(t) −K˜ α(t) + f(t) = 0,

α(0) = 0 ,

que es un PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI). (*)

(*) En este caso es sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de primer orden.



Una vez resuelto el problema anterior obtendremos la aproximacion a lasolucion

uh(x, t) = ψ(x, t) +ν∑i=0

αi(t)φi(x) ⇐⇒ uh(x, t) = ψ(x, t) + ΦT (x) α(t).

εh(x, t) =∂ψ

∂x+

ν∑i=1

αi(t)∂φi∂x

⇐⇒ εh(x, t) =∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα(t)

σh(x, t) = Eεh(x, t) ⇐⇒ σh(x, t) = Eεh(x, t).





Hhω = Hh

u

mωj(x) = φj(x), j=0,...,ν ⇐⇒ Ω(x) = Φ(x),

C˜ ˙α(t) −K˜ α(t) + f(t) = 0,

α(0) = 0 ,

con . . .



. . .

Ke =ˆkji˜i=1,...,νj=1,...,ν

, kji =

Z L

0

∂φj∂x AE

∂φi∂x dx

Ke =

Z L

0

∂Φ∂xAE

∂ΦT

∂x dx

Ce =ˆcji˜i=1,...,νj=1,...,ν

, cji =

Z L

0φjAρcEφi dx

Ce =

Z L

0ΦAρcEΦ

Tdx

f =˘fj¯j=1,...,ν

, fj = −Z L

0

∂φj∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0φjAb dx+

Z L

0φjAρcE

∂ψ

∂tdx + φj(L)F

f = −Z L

0

∂Φ∂xAE

∂ψ∂x dx+

Z L

0ΦAb dx+

Z L

0ΦAρcE

∂ψ

∂tdx + Φ(L)F.



Esto es

Ke =

26666666664

Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂φ1

∂xdx

Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂φ2

∂xdx . . .

Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂φν

∂xdxZ L

0

∂φ2

∂xAE

∂φ1

∂xdx

Z L

0

∂φ2

∂xAE

∂φ2

∂xdx . . .

Z L

0

∂φ2

∂xAE

∂φν

∂xdx

... ... ...Z L

0

∂φν

∂xAE

∂φ1

∂xdx

Z L

0

∂φν

∂xAE

∂φ2

∂xdx . . .

Z L

0

∂φν

∂xAE

∂φν

∂xdx

37777777775

Ce =

26666666664

Z L

0φ1AρcEφ1 dx

Z L

0φ1AρcEφ2 dx . . .

Z L

0φ1AρcEφν dxZ L

0φ2AρcEφ1 dx

Z L

0φ2AρcEφ2 dx . . .

Z L

0φ2AρcEφν dx

... ... ...Z L

0φνAρcEφ1 dx

Z L

0φνAρcEφ2 dx . . .

Z L

0φνAρcEφν dx

37777777775



f =

8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

−Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0φ1Ab dx+

Z L

0φ1AρcE

∂ψ

∂tdx + φ1(L)F

−Z L

0

∂φ2

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0φ2Ab dx+

Z L

0φ2AρcE

∂ψ

∂tdx + φ2(L)F

...

−Z L

0

∂φν

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0φνAb dx+

Z L

0φνAρcE

∂ψ

∂tdx + φν(L)F

9>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>;

.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIa)

La matriz (−K˜ ) del metodo de Galerkin es. . . (*)

♥ SIMETRICA(−K˜ ) = (−K˜ )T


wT (−K˜ ) w ≥ 0 ∀w 6= 0


wT (−K˜ ) w > 0 ∀w 6= 0 (**)

(*) En este caso se trabaja con −Ke porque E = −γ.

(**) Si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIb)

(-K˜ ) es SIMETRICA, ya que

(−kji) =

Z L

0

∂φj

∂xAγ

∂φi

∂xdx =

Z L

0

∂φi

∂xAγ

∂φj

∂xdx = (−kij)

m

(−Ke ) =

Z L

0

∂Φ

∂xAγ

∂ΦT

∂xdx =

Z L

0

∂Φ

∂xAγ

∂ΦT

∂x

!T

dx =

Z L

0

∂Φ

∂xAγ

∂ΦT

∂xdx

!T

= (−Ke )T.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIc)

(-K˜ ) es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya que

νXj=1

νXi=1

wj(−kji)wi =νXj=1

νXi=1

wj

Z L

0

∂φj

∂xAγ

∂φi

∂xdx

!wi =

Z L

0

0@ νXj=1

wj∂φj

∂x

1A| z

g(x)

Aγ

νXi=1

wi∂φi

∂x

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

νXi=1

wi∂φi

∂x

!2

Aγ dx ≥ 0 ∀w = wii=1,...,ν 6= 0.

m

wT(−Ke )w = w

T

Z L

0

∂Φ

∂xAγ

∂ΦT

∂xdx

!w =

Z L

0

∂ΦT

∂xw

!| z

g(x)

Aγ

∂ΦT

∂xw

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

∂ΦT

∂xw

!2

Aγ dx ≥ 0 ∀w 6= 0.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IId)

(-K˜ ) es DEFINIDA POSITIVA, ya que (vease el punto anterior)

νXj=1

νXi=1

wj(−kji)wi = 0 =⇒νXi=1

wi∂φi

∂x= 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ wi = 0, i = 1, . . . , ν

m

wT(−Ke )w = 0 =⇒

∂ΦT

∂xw = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ w = 0.




La matriz C˜ del metodo de Galerkin tiene la misma forma que la matriz(−K˜ ) (con identicos anchos de banda y perfiles de filas y columnas) ytambien es. . .

♥ SIMETRICAC˜ = C˜T


wTC˜ w ≥ 0 ∀w 6= 0


wTC˜ w > 0 ∀w 6= 0 (*)




C˜ es SIMETRICA, ya que

cji =

Z L

0

φjAρcEφi dx =

Z L

0

φiAρcEφj dx = cij

m

Ce =

Z L

0

ΦAρcEΦTdx =

Z L

0

“ΦAρcEΦ

T”T

dx =

Z L

0

ΦAρcEΦTdx

!T

= CeT .



C˜ es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya que

νXj=1

νXi=1

wjcjiwi =νXj=1

νXi=1

wj

Z L

0φjAρcEφi dx

!wi =

Z L

0

0@ νXj=1

wjφj

1A| z

g(x)

AρcE

νXi=1

wiφi

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

νXi=1

wiφi

!2

AρcE dx ≥ 0 ∀w = wii=1,...,ν 6= 0.

m

wTCew = w

T

Z L

0ΦAρcEΦ

Tdx

!w =

Z L

0

“ΦTw”

| z g(x)

AρcE

“ΦTw”

| z g(x)

dx

=

Z L

0

“ΦTw”2AρcE dx ≥ 0 ∀w 6= 0.



C˜ es DEFINIDA POSITIVA, ya que (vease el punto anterior)

νXj=1

νXi=1

wjcjiwi = 0 =⇒νXi=1

wiφi = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ wi = 0, i = 1, . . . , ν

m

wTKe w = 0 =⇒ Φ

Tw = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ w = 0.

si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida (de formaque sean linealmente independientes).


METODO DE RESIDUOS PONDERADOS:PROBLEMAS NO ESTACIONARIOS 1D

DE TIPO HIPERBOLICOF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs








INDICE









Problema Conceptual (II)Modelo Matematico Lineal:

Dados A(x), b(x, t), E, ρ, u0(t), F (t), uI(x), vI(x)

Hallar u(x, t), σ(x, t), x ∈ [0, L] t ≥ 0, que verifican

∂

∂x(Aσ) + A

0@b− ρ∂2u

∂t2

1A = 0 (EC. DE EQUILIBRIO)


ε =∂u


− A(L)σ(L, t) + F (t) = 0 ∀t > 0, (C.C. NATURAL)


u(x, 0) = uI(x) ∀x ∈ [0, L].

∂u

∂t(x, 0) = vI(x) ∀x ∈ [0, L].

9>>>=>>>; (C. INICIALES)

Donde. . .



Barra elastica a traccion–compresion[0, L] = barra de longitud L.x ∈ [0, L] = coordenada material de un punto.t > 0 = tiempo.A(x) = seccion transversal.u(x, t) = DESPLAZAMIENTO.ε(x, t) = DEFORMACION.σ(x, t) = TENSION.b(x, t) = FUERZA EXTERIOR POR UNIDAD DE VOLUMEN.u0(t) = DESPLAZAMIENTO PREFIJADO EN x = 0.R(t) = −A(0)σ(0, t) (REACCION EN x = 0.)F (t) = A(L)σ(L, t) (FUERZA PUNTUAL EXTERIOR EN x = L.)uI(x) = DESPLAZAMIENTO INICIAL DE CADA PUNTO.vI(x) = VELOCIDAD INICIAL DE CADA PUNTO.E = MODULO DE ELASTICIDAD.ρ = DENSIDAD.

En este caso, la ecuacion constitutiva se denomina LEY DE HOOKE.




Hallar u(x, t) ∈ Hu,hy la reaccion R(t)

i

que VERIFICAN

Z L

0

∂ω

∂xAσ dx =

Z L

0

ωA

0@b− ρ∂2u

∂t2

1A dx

+ ω(L)F (t) + ω(0)R(t) ∀ω(x) ∈ Hω

siendo

8>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>:


ε =∂u



u(x, 0) = uI(x) ∀x ∈ [0, L].

∂u

∂t(x, 0) = vI(x) ∀x ∈ [0, L].

9>>>=>>>;(C. INICIALES)

donde R(t) = −A(0)σ(0, t) es la REACCION que se produce en x = 0 al forzar el valor de la condicion de contorno esencial.





Dada la primera aproximacion ψ(x, t), buscamos una mejor aproximacion

u(x, t) ≈ uh(x, t) = ψ(x, t) +

νXi=1

αi(t)φi(x), uh(x, t) ∈ Hh

u ⊂ Hu,

u(x, t) ≈ uh(x, t) = ψ(x, t) + Φ

T(x) α(t), con Φ(x) =

8<:φ1(x)

...φν(x)

9=; , α(t) =

8<:α1(t)

...αν(t)

9=; .

Las correspondientes aproximaciones de ε(x, t) y de σ(x, t) seran

ε(x, t) ≈ εh(x, t) =

∂ψ

∂x+

νXi=1

αi(t)∂φi

∂x, σ(x, t) ≈ σ

h(x, t) = Eε

h(x, t),

ε(x, t) ≈ εh(x, t) =

∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα(t), σ(x, t) ≈ σ

h(x, t) = Eε

h(x, t).

Y [si interesa] podemos buscar una aproximacion de la reaccion R(t) ≈ Rh(t).



En general no sera posible que uh(x, t) = u(x, t) ∀x ∈ [0, L] (*), por lo que

uh(x, t) 6= u(x, t)

m

no es posible que

∫ L

0

∂ω

∂xAσh dx =

∫ L

0

ωA

b− ρ∂2uh

∂t2

dx

+ ω(L)F (t) + ω(0)Rh(t) ∀ω(x) ∈ Hω.

(*) Salvo que u(x, t)− ψ(x, t) este contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.





Seaωh(x) =

νXj=1

βjωj(x), ωh(x) ∈ Hh

ω ⊂ Hω,

ωh(x) = Ω

T(x) β = β

TΩ(x), con Ω(x) =

8<:ω1(x)

...ων(x)

9=; , β =

8<:β1...βν

9=; .

Nos proponemos obtener la aproximacion uh(x, t) ∈ Hhu

∣∣∣ uh(0, t) = u0(t)


Z L

0

∂ωh

∂xAσ

hdx =

Z L

0ωhA

0B@b− ρ∂2uh

∂t2

1CA dx

+ ωh(L)F (t) + ω

h(0)R

h(t) ∀ω(x) ∈ Hω,

uh(x, 0) = uI(x),

∂uh

∂t(x, 0) = vI(x),



PeroZ L

0

∂ωh

∂xAσ

hdx−

Z L

0ωhA

0B@b− ρ∂2uh

∂t2

1CA dx− ωh(L)F − ω

h(0)R

h= 0 ∀ωh(x) ∈ Hh

ω

m

νXj=1

βj

0B@Z L

0

∂ωj

∂xAσ

hdx−

Z L

0ωjA

0B@b− ρ∂2uh

∂t2

1CA dx− ωj(L)F − ωj(0)Rh

1CA = 0 ∀˘βj¯

βT

0B@Z L

0

∂Ω

∂xAσ

hdx−

Z L

0ΩA

0B@b− ρ∂2uh

∂t2

1CA dx− Ω(L)F − Ω(0)Rh

1CA = 0 ∀β

m

Z L

0

∂ωj

∂xAσ

hdx =

Z L

0ωjA

0B@b− ρ∂2uh

∂t2

1CA dx+ ωj(L)F + ωj(0)Rh, j=1,...,ν

Z L

0

∂Ω

∂xAσ

hdx =

Z L

0ΩA

0B@b− ρ∂2uh

∂t2

1CA dx+ Ω(L)F + Ω(0)Rh.



Por tanto,

Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂ψ

∂x+

νXi=1

αi∂φi

∂x

!dx =

Z L

0ωjA

0BB@b− ρ

∂2ψ

∂t2+

νXi=1

∂2αi

∂t2φi

! 1CCA dx+ ωj(L)F

+ ωj(0)Rh, j=1,...,ν

Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα

!dx =

Z L

0ΩA

0B@b− ρ

∂2ψ

∂t2+ Φ

T ∂2α

∂t2

! 1CA dx+ Ω(L)F

+ Ω(0)Rh


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (IIIa2). . . luego,

νXi=1

mjiz | Z L

0ωjAρφi dx

!∂2αi

∂t2+

νXi=1

kjiz | Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂φi

∂xdx

!αi =

−Z L

0

∂ωj

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0ωjAb dx−

Z L

0ωjAρ

∂2ψ

∂t2dx + ωj(L)F

| z fj(t)

+ ωj(0)Rh(t), j=1,...,ν

Mez | Z L

0ΩAρΦ

Tdx

!∂2α

∂t2+

Kez | Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!α =

−Z L

0

∂Ω

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0ΩAb dx−

Z L

0ΩAρ

∂2ψ

∂t2dx + Ω(L)F

| z f(t)

+ Ω(0)Rh(t)



. . . y finalmente,

ν∑i=1

mji∂2αi(t)∂t2

+ν∑i=1

kji αi(t) = fj(t) + ωj(0)Rh(t), j=1,...,ν

m

M˜ ∂2α(t)∂t2

+K˜ α(t) = f(t) + Ω(0)Rh(t).




M˜ ¨α(t) +K˜ α(t) = f(t) + Ω(0)Rh(t),

con la condicion de contorno esencial uh(0, t) = u0(t), esto es

ΦT (0) α(t) = u0(t)− ψ(0, t),

y con las condiciones iniciales uh(x, 0) = uI(x) y ∂uh

∂t (x, 0) = uI(x), esto es

ΦT (x) α(0) = uI(x)− ψ(x, 0), ΦT (x) ˙α(0) = vI(x)−∂ψ

∂t(x, 0).



Si

• elegimos la primera aproximacion ψ(x, t) de forma que satisfaga la condicion decontorno esencial y las condiciones iniciales,

• elegimos las funciones de prueba φi(x) de forma que se anulen en los puntoscorrespondientes a las condiciones de contorno esenciales, y

• adoptamos como valores iniciales α(0) = 0 y ˙α(0) = 0

entonces la aproximacion uh(x, t) verificara automaticamente la condicion de contornoesencial y las condiciones iniciales, es decir

ψ(0, t) = u0(t)

Φ(0) = 0

)=⇒uh(0, t) = u0(t),

ψ(x, 0) = uI(x),∂ψ

∂t(x, 0) = vI(x)

α(0) = 0, ˙α(0) = 0

)=⇒uh(x, 0) = uI(x),

∂uh

∂t(x, 0) = vI(x).

Si ademas elegimos las funciones de test ωj(x) de forma que se anulen en los puntoscorrespondientes a las condiciones de contorno esenciales, entonces la reaccion Rh(t) nointerviene en la formulacion.



Por tanto, el sistema se reduce a

M˜ ¨α(t) +K˜ α(t)− f(t) = 0,

α(0) = 0 , ˙α(0) = 0 ,

que es un PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI). (*)

(*) En este caso es sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de segundo orden.



Una vez resuelto el problema anterior obtendremos la aproximacion a lasolucion

uh(x, t) = ψ(x, t) +ν∑i=0

αi(t)φi(x) ⇐⇒ uh(x, t) = ψ(x, t) + ΦT (x) α(t).

εh(x, t) =∂ψ

∂x+

ν∑i=1

αi(t)∂φi∂x

⇐⇒ εh(x, t) =∂ψ

∂x+∂ΦT

∂xα(t)

σh(x, t) = Eεh(x, t) ⇐⇒ σh(x, t) = Eεh(x, t).


Residuos Ponderados: Aproximacion Numerica (VI)

ESTUDIO DE VIBRACIONES LIBRES

M˜ ¨α(t) +K˜ α(t) = 0.

Buscamos soluciones de la forma α(t) = aejωt, para las que(−ω2M˜ a+K˜ a

)ejωt = 0,

y se obtiene el problema generalizado de VALORES PROPIOS

K˜ a = λM˜ a, con λ = ω2.





Hhω = Hh

u

mωj(x) = φj(x), j=0,...,ν ⇐⇒ Ω(x) = Φ(x),

M˜ ¨α(t) +K˜ α(t)− f(t) = 0,

α(0) = 0, ˙α(0) = 0.

con . . .



. . .

Ke =ˆkji˜i=1,...,νj=1,...,ν

, kji =

Z L

0

∂φj∂x AE

∂φi∂x dx

Ke =

Z L

0

∂Φ∂xAE

∂ΦT

∂x dx

Me =ˆmji

˜i=1,...,νj=1,...,ν

, mji =

Z L

0φjAρφi dx

Me =

Z L

0ΦAρΦ

Tdx

f =˘fj¯j=1,...,ν

, fj = −Z L

0

∂φj∂x AE

∂ψ∂x dx+

Z L

0φjAb dx−

Z L

0φjAρ

∂2ψ

∂t2dx + φj(L)F

f = −Z L

0

∂Φ∂xAE

∂ψ∂x dx+

Z L

0ΦAb dx−

Z L

0ΦAρ

∂2ψ

∂t2dx + Φ(L)F.



Esto es

Ke =

26666666664

Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂φ1

∂xdx

Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂φ2

∂xdx . . .

Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂φν

∂xdxZ L

0

∂φ2

∂xAE

∂φ1

∂xdx

Z L

0

∂φ2

∂xAE

∂φ2

∂xdx . . .

Z L

0

∂φ2

∂xAE

∂φν

∂xdx

... ... ...Z L

0

∂φν

∂xAE

∂φ1

∂xdx

Z L

0

∂φν

∂xAE

∂φ2

∂xdx . . .

Z L

0

∂φν

∂xAE

∂φν

∂xdx

37777777775

Me =

26666666664

Z L

0φ1Aρφ1 dx

Z L

0φ1Aρφ2 dx . . .

Z L

0φ1Aρφν dxZ L

0φ2Aρφ1 dx

Z L

0φ2Aρφ2 dx . . .

Z L

0φ2Aρφν dx

... ... ...Z L

0φνAρφ1 dx

Z L

0φνAρφ2 dx . . .

Z L

0φνAρφν dx

37777777775



f =

8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

−Z L

0

∂φ1

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0φ1Ab dx−

Z L

0φ1Aρ

∂2ψ

∂t2dx + φ1(L)F

−Z L

0

∂φ2

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0φ2Ab dx−

Z L

0φ2Aρ

∂2ψ

∂t2dx + φ2(L)F

...

−Z L

0

∂φν

∂xAE

∂ψ

∂xdx+

Z L

0φνAb dx−

Z L

0φνAρ

∂2ψ

∂t2dx + φν(L)F

9>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>;

.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIa)

La matriz K˜ del metodo de Galerkin es. . . (*)



wTK˜ w ≥ 0 ∀w 6= 0


wTK˜ w > 0 ∀w 6= 0 (*)



Metodo de Bubnov-Galerkin (IIb)


kji =

Z L

0

∂φj

∂xAE

∂φi

∂xdx =

Z L

0

∂φi

∂xAE

∂φj

∂xdx = kij

m

Ke =

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂xdx =

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂x

!T

dx =

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!T

= Ke T .


Metodo de Bubnov-Galerkin (IIc)


νXj=1

νXi=1

wjkjiwi =νXj=1

νXi=1

wj

Z L

0

∂φj

∂xAE

∂φi

∂xdx

!wi =

Z L

0

0@ νXj=1

wj∂φj

∂x

1A| z

g(x)

AE

νXi=1

wi∂φi

∂x

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

νXi=1

wi∂φi

∂x

!2

AE dx ≥ 0 ∀w = wii=1,...,ν 6= 0.

m

wTKe w = w

T

Z L

0

∂Φ

∂xAE

∂ΦT

∂xdx

!w =

Z L

0

∂ΦT

∂xw

!| z

g(x)

AE

∂ΦT

∂xw

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

∂ΦT

∂xw

!2

AE dx ≥ 0 ∀w 6= 0.


Metodo de Bubnov-Galerkin (IId)


νXj=1

νXi=1

wjkjiwi = 0 =⇒νXi=1

wi∂φi

∂x= 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ wi = 0, i = 1, . . . , ν

m

wTKe w = 0 =⇒

∂ΦT

∂xw = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ w = 0.




La matriz M˜ del metodo de Galerkin tiene la misma forma que la matriz K˜(con identicos anchos de banda y perfiles de filas y columnas) y tambienes. . .

♥ SIMETRICAM˜ = M˜ T


wTM˜ w ≥ 0 ∀w 6= 0


wTM˜ w > 0 ∀w 6= 0 (*)




M˜ es SIMETRICA, ya que

mji =

Z L

0

φjAρφi dx =

Z L

0

φiAρφj dx = mij

m

Me =

Z L

0

ΦAρΦTdx =

Z L

0

“ΦAρΦ

T”T

dx =

Z L

0

ΦAρΦTdx

!T

= Me T.



M˜ es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya que

νXj=1

νXi=1

wjmjiwi =νXj=1

νXi=1

wj

Z L

0φjAρφi dx

!wi =

Z L

0

0@ νXj=1

wjφj

1A| z

g(x)

Aρ

νXi=1

wiφi

!| z

g(x)

dx

=

Z L

0

νXi=1

wiφi

!2

Aρdx ≥ 0 ∀w = wii=1,...,ν 6= 0.

m

wTMe w = w

T

Z L

0ΦAρΦ

Tdx

!w =

Z L

0

“ΦTw”

| z g(x)

Aρ“ΦTw”

| z g(x)

dx

=

Z L

0

“ΦTw”2Aρdx ≥ 0 ∀w 6= 0.



M˜ es DEFINIDA POSITIVA, ya que (vease el punto anterior)

νXj=1

νXi=1

wjmjiwi = 0 =⇒νXi=1

wiφi = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ wi = 0, i = 1, . . . , ν

m

wTMe w = 0 =⇒ Φ

Tw = 0 ∀x ∈ [0, L] =⇒ w = 0.

si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida (de formaque sean linealmente independientes).


Documents

MET´ ODOS DIRECTOS PARA GRANDES SISTEMAS DE …caminos.udc.es/info/asignaturas/617/ApuntesYMaterialPedagogico/... · FACTORIZACIONES DE CROUT Y CHOLESKY F. Navarrina, I. Colominas,