Metáforas en la cultura humana

• La red de Indra: Antigua Metáfora budista de la interconexión e interdependencia de todos los objetos del universo…

• Metáforas, Analogías y Símiles : tropos retóricos• Metáfora = transporte. • “Mi abogado es un tiburón”• “Un profesor es un jardinero” • “Un professeur est un comédien” (Guy Brousseau)• “Un profesor es un funámbulo” • Potentes herramientas cognitivas para

- aprehender o construir nuevos concepto (rol poiético de las metáforas) - resolver problemas de manera eficaz y amigable.• George Lakoff & Rafael Núñez (2000)

Metaforización y Modelización:dos caras de la misma moneda…

Jorge Soto AndradeDepto. Matemáticas, Facultad de Ciencias

Centro de Investigación Avanzada en EducaciónUniversidad de Chile

Seminario sobre Modelación en las nuevas Bases CurricularesSantiago, 11 Enero 2013

La red de Indra

Una red infinita de perlas, cada una reflejando todas las otras, en un proceso sin fín de reflexiones de reflexiones… Muy apreciada por matemáticos (Mumford et al. 2002) y físicos (Capra, 1982)

Indra’s Pearls: The vision of Felix KleinDavid Mumford & Caroline Series

There is no religion in our book but we were amazed at how well our constructions reflected the ancient Buddhist metaphor of Indra's net.

Aristóteles • Aristóteles, en su Poética:

“La metáfora consiste en darle a una cosa un nombre que pertenece a otra…”

• metáfora = meta (trans) + pherein (portar) =transporte • metáfora = transferencia de significado • “Metaforizar es mirar una cosa y ver otra”• “Lo más grande, lejos, es ser un maestro de la metáfora. Es lo

que no puede ser aprendido de otros; también es un signo de genio, porque una buena metáfora implica tener buen ojo para la semejanza”

Un mapa metafórico

Dominio “blanco”, más elevado y abstracto.

Dominio “fuente”, más concreto y aterrizado.

Dominio “blanco”, más elevado y abstracto.

Dominio “fuente”, más concreto y aterrizado.

Analogía

MetáforaRepresentación Representación

Metáfora

Analogía

Metáfora Modelo Modelo

Metáforas conceptuales

• Lakoff & Núñez, 2000: Transformaciones o “mapeos” de un dominio “fuente” a un dominio “blanco”, que transportan la estructura inferencial del primero en la del segundo y nos permiten entender el segundo, usualmente más abstracto y opaco, en términos del primero, más “aterrizado” y transparente.

Yuri Manin: La matemática como metáfora• Teoría de

Números y Física Teórica: mutuas metáforas…

• Hay varios géneros en matemáticas. El axiomatico, deductivo, es sólo uno…

Metáforas, metafóricamente…• Las metáforas necesitan un suelo fértil para

crecer.• Compost: Experiencias sensoriomotrices y

lúdicas de la primera infancia. • D. Tall (2005): “Metaphors are met-afores” “Metaphors are metbefores” (Las metáforas son algo que encontramos antes). “Las metáforas son muletas que nos ayudan

aasecender la montaña abstracta (Bruner, 1986)

Metáforas en la enseñanza

• Metáfora itinerante : Aprender es un viaje • Metáforas topográficas: Hay diferentes

caminos para llegar a la solución • Metáfora gastronómica: Enseñar es entregar

al aprendiz un sandwich, que éste debe tomar, comer, y digerir (se espera…).

“el objetivo del curso es entregar técnicas y métodos para …”

Metáforas para objetos matemáticos

• El producto es área

¡Conmutatividad!

Metáforas para la multiplicación

Metáforas para la multiplicación

• Multiplicar es injertar (ramificaciones)

¿Conmutatividad?

Los ángulos exteriores de un polígono

• ¿Qué ocurre con su suma?• Tradicionalmente: se investiga primero la

suma de los ángulos interiores.• Metafóricamente: ¿Qué metáforas tiene Ud.

para un polígono?• Un polígono es…

Un polígono es…

Un polígono y sus ángulos

Un polígono y sus ángulos

¿Qué es modelar?• Metafóricamente: modelar es “traducir” del mundo real

hacia la matemática (Blum, 2012).• Para resolver problemas del mundo real con ayuda de la

matemática…• Muchas traducciones posibles.

Modelos: altamente no únicos.• Modelos estocásticos de sistemas deterministas. Modelos

deterministas de sistemas estocásticos.• Sistémicamente: tránsito cíclico útil entre un sistema natural

y un sistema formal

El ciclo cognitivo de la modelización(Borromeo-Ferri, 2010)

PROBLEMA: El paseo al azar de una pulga.Una pulga salta a azar por un polígono regular, saltando de cada vértice a cualquiera de sus dos vecinos con igual probabilidad 1/2. Si parte de un cierto vértice, ¿dónde estará despues de m saltos?

Metáforas para objetos y procesos matemáticos

Abordajes metafóricos al problema

• Metáfora salomónica: En lugar de saltar, la pulga se parte en mitades, que van a parar a los vértices vecinos

• Paseo al azar = repartición reiterada

• Metáfora pedestre: Un enjambre de pulgas se va repartiendo por mitades iguales, por los vértices.

Un sistema económico: la lucha por el mercado

• Tres productores se disputan sin piedad un mercado

• ¿Cómo se repartirá el mercado a la larga?• Estadisticas mensuales de trasvase de

consumidores de uno a otro. ¿Estacionarias?• Modelo determinista recursivo (cadena de

Markov lineal)• Modelo estocástico (simulable)

¿Tengo cáncer de mama, Dr.?(Gigerenzer, 2011)

• Prevalencia: 1%• Sensibilidad: 90%• Falsos positivos: 9%• ¿Cuán probable es que una mujer con test positivo

tenga cáncer de mama?• 160 ginecólogos alemanes:• 60%: entre 80% y 90%• 19%: 1%• Respuesta correcta: 9% o 10% aprox.

¿Tengo cáncer de mama, Dr.?

Metáfora pedestre para los falsos positivos

1000

10 990

900 9 + 90 1

Modelos matemáticos de los sistemas metabólicos

• Metáfora: Uroboros

Modelos matemáticos de los sistemas metabólicos

• Sistema formal: Ecuación de Uroboros• f(f) = f• Autoreferencia – Circularidad organizacional• Sistemas (M,R) de Robert Rosen• Sistemas autopoiéticos de Maturana y Varela• Red de reacciones bioquímicas catalizadas por

enzimas producidas por la misma red.• Desafío: Modelos guagua para la escuela…• Juegos autopoiéticos…

Referencias

• Gigerenzer, G. (2011). What are natural frequencies? BMJ, 343: d6386.• Lakoff, G., & Nuñez, F. (2000). Where Mathematics comes from, New

York: Basic Books. • English L (Ed) (1997) Mathematical reasoning: Analogies, metaphors,

and images, Lawrence Erlbaum Associates, London.• Borromeo-Ferri (2010). On the influence of mathematical thinking

styles on learner’s modelling behaviour, J. Math, Didakt., 31, 99-118.• Soto-Andrade J. (2012). Metaphors in Mathematics Education. In:

Lerman S. (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education: SpringerReference (www.springerreference.com). Springer- Verlag, Berlin – Heidelberg.

• J. Soto-Andrade, S. Jaramillo, C. Gutiérrez, J.-C. Letelier (2011), Ouroboros avatars: a mathematical exploration of self-reference and metabolic closure, in Advances in Artificial Life, ECAL 2011: Proceedings of the Eleventh European Conference on the Synthesis and Simulation of Living Systems, The MIT Press, Cambridge MA, p. 763-770.