TrabajoDeInvestigacin

TemaTeoremas de Castigliano

Integrantes

Williams Acua B.

Felipe Recabal M.

Roberto Arcos Ch.

Fabian Osses P.

Felipe Recabal M.

INTRODUCCIN

La estructura es el conjunto mecnico encargado de soportar y transmitir las cargas hasta las cimentaciones, donde sern absorbidas por el terreno. Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas entre s. Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la deformacin; con exactitud a la flexin. Existen muchos mtodos de conservacin de energa, los cuales sirven para el clculo de las deflexiones de una viga; el primer mtodo de Castigliano es uno de ellos, es conocido como el ms exacto para estas operaciones, ya que primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante que aplica la cargas en dicha viga, y por ltimo calcula lo que se desea en realidad: cun deformable es el material q vamos a utilizar en la fabricacin de esta.Los teoremas y procedimientos relacionados con la energa de deformacin ocupan una posicin central en todo clculo de estructuras. En este trabajo se a intentar determinar la deformacin de una viga, utilizando los teoremas de Castigliano.Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, slo se aplica a cuerpos de temperatura constante, de material con comportamiento elstico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construccin de ests segn su resistencia y para que propsito la necesitamos.

BIOGRAFA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO.Carlo Alberto Castigliano (9 de noviembre de 1847, Asti - 25 de octubre de 1884, Miln) fue un italiano matemtico y fsico conocido por el mtodo de Castigliano para la determinacin de los desplazamientos en un elstico-lineal del sistema sobre la base de las derivadas parciales de energa de deformacin.Alberto Castigliano se traslad desde la regin de su nacimiento, Piamonte en el noroeste de Italia, para el Instituto Tcnico de Terni (en Umbra) en 1866. Despus de cuatro aos en Terni, Castigliano se traslad al norte de nuevo, esta vez para convertirse en un estudiante de la universidad de Wilkes. Despus de tres aos de estudio en Wilkes escribi una disertacin en 1873 titulado ElasticiIntornoaisistemi por la que es famoso. En su tesis parece un teorema que ahora lleva el nombre de Castigliano. Esto se afirma que: La derivada parcial de la energa de deformacin, considerada como una funcin de las fuerzas aplicadas que actan sobre una estructura linealmente elstico, con respecto a una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la direccin de la fuerza de su punto de aplicacin.Despus de graduarse de la universidad Wilkes, Castigliano era empleado de los ferrocarriles del norte de Italia. Se dirigi a la oficina responsable de la obra, mantenimiento y servicio y trabaj all hasta su muerte a una edad temprana.[footnoteRef:1] [1: http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano]

TEOREMA DE CASTIGLIANOLa componente de desplazamiento del punto de aplicacin de una accin sobre una estructura en la direccin de dicha accin, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energa interna de deformacin de la estructura con respecto a la accin aplicada.[footnoteRef:2] [2: ]

Este es el teorema de Castigliano, llamado as en honor al ingeniero Italiano Alberto Castigliano (1847-1884), quien lo estableci.Si un cuerpo homogneo, isotopo y elstico est sujeto a la accin de un sistema cualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformacin almacenado en l es funcin del sistema de cargas:

Adems, supondremos que los apoyos son fijos y que la funcin w es diferenciable. El incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma:

En donde: Si Cuando sobre el cuerpo solamente acta la fuerza , el trabajo efectuado es:

Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza , se produce una deformacin y un trabajo:

Siempre que la carga se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este trabajo se carga al cuerpo con el sistema Fi que desarrolla un trabajo Wi y produce una deformacin en direccin de la fuerza aplicada- el trabajo de deformacin en el cuerpo es:

(3.1)Por tanto, el incremento del trabajo vale:

(3.2)

Sustituyendo el valor de la ecuacin (3.2) en la ecuacin (3.1) queda:

Dividiendo entre

Tomando lmite cuando , queda:

Ya que:y

Podemos, entonces enunciar el primer teorema de castigliano:la derivada del trabajo de deformacin con respecto a una fuerza Fi cualquiera, mide la deformacin que experimenta el cuerpo en el punto de aplicacin de dicha fuerza.

Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente acta el sistema , siendo el trabajo funcin contina y diferencial, se cumple:

Al aplicar el par , gradualmente, por la ley de clapeyron:

Igualando ambos incrementemos de trabajo:

Dividiendo entre y tomando limites cuando

Esta ecuacin corresponde al segundo teorema de castigliano, que dice:la derivada del trabajo de deformacin con respecto a un par cualquiera, mide el ngulo de rotacin producido por dicho par en el punto de su aplicacin.[footnoteRef:3] [3: ]

TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURASLa energa de deformacin para un miembro de una armadura esta dada por la ecuacin

Sustituyendo esta ecuacin de la ecuacin: y omitiendo el subndice (i) tenemos

Es generalmente ms fcil efectuar la diferenciacin antes de sumar. En el caso general, L, A, E son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse:

= desplazamiento externo del nudo de la armadura.P= fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la direccin de la buscada.N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armaduraL= longitud de un miembro.A= rea de la seccin transversal de un miembro.E= mdulo de elasticidad de un miembro.

La ecuacin es similar a la usada en el Mtodo del Trabajo Vertical:

Excepto que se desplaza por . Ntese que para determinar esta derivada parcial es necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad numrica especifica) y adems, cada fuerza de barra N debe expresarse como funcin de P. Por esto, el clculo de requiere en general algo ms de trabajo que el requerido para calcular cada fuerza n determinada.

EJERCICIOSEjemplo 1Calcular la mxima deformacin de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida

Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de mxima deformacin. Considerando slo la parte izquierda, el momento es:

La energa de deformacin para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.

La deformacin en el centro es:

Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.[footnoteRef:4] [4: ]

Ejemplo 2Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga envoladizo.

Ejemplo 3Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB).

En tal caso:

Donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la direccin en que se quiere calcular el desplazamiento. As tendremos:

Aplicacin del teorema de Castigliano a la resolucin de problemas estticamente indeterminadosEste teorema se utiliza en la resolucin de problemas estticamente indeterminados. Estudiaremos primeramente aquellos problemas en los que las cantidades hiperestticas forman parte de las ligaduras, es decir, son elementos del sistema de reaccin en los apoyos. Sean X, Y, Zlas fuerzas de reaccin estticamente indeterminadas. La energa de deformacin del sistema ser una funcin de estas fuerzas. Para apoyos fijos o apoyos cuyo movimiento ser perpendicular a la direccin de las reacciones, las derivadas parciales de la energa de deformacin respecto a las fuerzas desconocidas debern ser nulas, de acuerdo con el teorema de Castigliano. Por consiguiente,

De este modo se tienen tantas ecuaciones como reacciones hiperestticas.Se observara que las ecuaciones representan las condiciones de mnimo de la funcin U, lo que nos dice que las fuerzas de reaccin hiperestticas toman los valores necesarios para que sea mnima la energa de deformacin del sistema. Esta propiedad constituye el principio del trabajo mnimo tal como se aplica a la determinacin de ligaduras hiperestticas.Como ejemplo de aplicacin de este principio, consideramos una viga empotrada por un extremo y apoyada por el otro, sometida a la accin de una carga uniformemente repartida. Este problema tiene una ligadura hiperesttica. Tomando la reaccin en el apoyo derecho X como ligadura hiperesttica, se encontrara su valor por la condicin.

La energa de deformacin de la viga, es:

En donde

Sustituyendo en (a), se obtiene

De donde

En lugar de la reaccin X, pudo haberse tomado como ligadura hiperesttica el par , en el empotramiento del extremo izquierdo de la viga. En ese caso habramos expresado la energa de deformacin en funcin de . la ecuacin (b) es valida. El momento flector para cualquier seccin es

Como la seccin del empotramiento no gira cuando la viga se flexa, la derivada de la energa de deformacin respecto a deber ser cero. Expresando analticamente esta condicin , se tiene

De donde el valor absoluto del momento es

Los problemas en que se consideren como cantidades hiperestticas las tensiones que correspondan a las barras sobrantes de un sistema tambin pueden resolverse aplicando el teorema de Castigliano.

Representando por la energa de deformacin de las barras inclinadas en la figura (a)

Y por la energa de deformacin de la barra vertical figura (b), la energa de deformacin total es:

Si es el desplazamiento real hacia abajo del nudo O la derivada con relacin a X de la energa U, del sistema de la figura (a) ser igual a , puesto que la fuerza X del sistema tiene direccin opuesta a la del desplazamiento . Al mismo tiempo, la derivada valdr ; por consiguiente,

Se ve que el verdadero valor de la fuerza X en la barra sobrante es el que hace mnima la energa de deformacin total del sistema. Poniendo, en vez de U, su valor (c), en la ecuacin (d) se obtiene

De donde

Un razonamiento anlogo se aplica al caso de sistemas estticamente indeterminados con una barra sobrante. Para fijar las ideas, consideremos la estructura de la figura (a). Las reacciones pueden determinarse por las ecuaciones de la esttica, es decir, el sistema esta isostticamente apoyado; pero al ir a determinar las tensiones en las barras, vemos que existe una barra sobrante. Supongamos que esta barra sobrante sea la CD. Quitaremos dicha barra, y en sus extremos C y D aplicaremos dos fuerzas X iguales a la tensin que le correspondera y , por consiguiente, opuestas entre si. Tenemos ahora un sistema estticamente determinado sometido a la accin de la fuerza conocida P y de las dos desconocidas X. las tensiones correspondientes a las barras de este sistema se podrn hallar calculando: primero, las que produce la carga real P y que representaremos por , siendo i el numero de orden de la barra; segundo, las que se originan en dichas barras cuando se prescinde de las carga exterior P y se pone en lugar de las fuerzas X dos fuerzas unidad

Estas ultimas tensiones o fuerzas interiores las representaremos por . La fuerza interna correspondiente a cada barra, cuando actan simultneamente la fuerza P y las fuerzas X, sern

La energa de deformacin total del sistema ser:

La ecuacin se extiende a todas las barras del sistema, incluso a la CD, de que habamos prescindido. Se aplica ahora el teorema de Castigliano y la derivada de U respecto a X da el desplazamiento de los extremos F y , el uno hacia el otro.En el caso actual, la barra es continua y este desplazamiento es cero. Por consiguiente,

Es decir, la fuerza X en la barra sobrante es tal que hace mnima la energa de deformacin del sistema. Para esta barra Mediante las ecuaciones (f) y (g), tendremos

De donde

Este procedimiento es tambin aplicable a un sistema en el que existen varias barras sobrantes.El principio del trabajo mnimo puede aplicarse tambin en el casi de que las cantidades hiperestticas sean pares. Consideremos por ejemplo, una viga sobre tres apoyos uniformemente cargada:

Si se toma como ligadura hiperesttica el momento en el apoyo central y se corta la viga por el apoyo B, se obtendrn dos vigas apoyadas en la figura (b) cargadas con los pares desconocidos , adems de con la carga uniforme conocida de valor q. al no existir rotacin del extremo B respecto al extremo del B, debido a que en nuestro caso (figura (a)) , la elstica es una curva continua.

Expresin que indica que tambin en este caso el valor que corresponde a la cantidad hiperesttica hace mnima la energa de deformacin del sistema

Ejemplo.La carga vertical P esta sostenida por una barra vertical DB de longitud y seccin y por dos barras igualmenten inclinadas de longitud y seccin .determinar las tensiones en las barras y la relacin , para la que dichas tensiones son numricamente iguales.

Solucin:El sistema es hiperesttico. Sea X la fuerza de extensin de la barra vertical. Las fuerzas de compresin en las barras inclinadas sern y la energa de deformacin del sistema es:

El principio del trabajo mnimo da:

De donde

Sustituyendo en la ecuacin

Se obtiene

Ejemplo.Determinar la reaccin horizontal X en el sistema representado en siguiente figura

Solucin:La fuerza desconocida X intervendr solamente en la parte de energa potencial de flexin que corresponde el trozo AB de la barra. Para este trozo, , y la ecuacin del trabajo mnimo da:

De donde:

CONCLUSIONES1. El teorema de Castigliano est diseado para aplicarlo ev vigas que estn solicitadas por ms de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energa de deformacin se pueden calcular las deflexiones y los ngulos de giro.

2. Tambin se concluye que el teorema de Castigliano se utiliza para calcular la deformacin de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga numrica sino como una variable.

3. Este teorema tiene tambin un parecido al mtodo del trabajo virtual.

4. El mtodo de Castigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el clculo de deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.

5. Este mtodo, con sus dos teoremas, nos sirve para el clculo de deflexiones y pendientes en vigas estticamente determinadas e indeterminadas.

7.0. BIBLIOGRAFIA

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano

2. Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Anlisis Estructural Teorema de Castigliano. Departamento de Ingeniera Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniera

3. Ing. Alberto Martnez Castillo. Anlisis y Diseo de Estructuras Tomo 1. Resistencia de Materiales. Alfaomega. Mxico

4. http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html

5. Teoremas Energticos Fundamentales al Anlisis Estructural, pg. 8

6. Russell C. Hibbeler. Analilis de Estructuras. 3ra edicin. Unidad 9. Pg. 784

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