Upload
saifrohmatillah
View
488
Download
12
Embed Size (px)
DESCRIPTION
materi ini di berikan pada awal semester 2 .
Citation preview
17
Banyak masalah ilmu pengetahuan dan Rekayasa yang bilamana dirumuskan
secara matematis menjadi masalah nilai batas (Boundary-Value Problems). Yaitu
persamaan diferensial dan syarat-syarat yang berhubungan dengannya.
Penyelesaian masalah ini sangat bernilai bagi seseorang yang ingin mendalami
masalah fisika, mekanika biologi, kedokteran dan sebagainya.
Dalam perumusan matematis suatu masalah fisis dipilih suatu model matematis
dan seringkali mendekati situasi sebenarnya. Sebagai contoh dalam gerakan perputaran
bumi mengelilingi matahari, kita memandang matahari dan bumi itu sebagai suatu titik.
Jika suatu model matematis dan perumusan matematis yang berkaitan menjadi
sangat baik dengan yang diramalkan dari pengamatan atau percobaan, maka model itu
baik. Sebaliknya suatu model baru mungkin dipilih.
Suatu system lengkungan (kurva) satu parameter CyxF , jika
diferensialkan akan menjadi 0 dyFdxF yx, maka turunan pertama dari CyxF ,
adalah
y
x
F
F
dx
dy yang merupakan kemiringan tiap lengkung sistem CyxF , . Jika
menginginkan lengkungan lain yang tiap anggotanya memotong sistem lengkungan
diatas dengan sudut yang sama maka sistem yang diinginkan tersebut disebut
Trayektori.
Ada dua macan Trayektori :
1. Trayektori Orthogonal.
2. Trayektori Isogonal
2.1. Trayektori Orthogonal
Trayektori orthogonal adalah suatu Trayektori yang setiap anggotanya
memotong tegak lurus system kurva CyxF , .
Beberapa penafsiran dan penggunaan trayektori orthogonal difisika :
1. Dalam medan elektro statis garis-garis gaya tegak lurus pada garis-garis potensial
yang konstan.
Kompetensi Dasar : -Kemampuan mengaplikasikan PD tk 1 ke dalan masalah nyata
- Kemampuan memformulasikan Permasalahan
sederhana ke bentuk PD
- Pemahaman interpretasi hasil
Aplikasi PD Tingkat Satu
18
2. Dalam aliran dua dimensi fluida garis-garis gerak aliran disebut garis-garis arus
tegak lurus pada garis ekipotensial dari aliran.
3. Dalam meteorologi trayektori dari Isobar (lengkungan kurva penghubung semua titik
yang mencatat tekanan barometer yang sama) memberikan arah angin dari tekanan
tinggi ke rendah.
Adapaun metode untuk mendapatkan sistem lengkungan (berkas kurva) diilustrasikan
sebagai berikut :
2.1.1. Trayektori Orthogonal dalam koordinat siku-siku.
Diketahui berkas kurva lengkung f(x,y, ) = 0 , dimana parameter.
Persamaan diferensial dari berkas kurva tersebut adalah : f(x,y, dx
dy) = 0.
Katakanlah trayektori orthogonal tersebut mempunyai persamaan g(x,y,C)=0 . Oleh
karena itu gradien dari f(x,y, ) = 0 dan g(x,y,C) = 0 saling tegak lurus.
Jika gradien dari f(x,y, ) = 0 adalah : m1 = dx
dy= h(x,y), dan gradien dari trayektori
orthogonal g(x,y,C)=0 adalah m2 maka :
m1 m2 = -1 maka dx
dy m2 = -1
m2 = -1
1
m = -
),(
1
yxh
Jadi bentuk persamaan diferensial dari trayektori orthogonal kurva f(x,y,)=0 adalah :
2.1.2 Trayektori Orthogonal dalam koordinat Kutub.
Diketahui berkas kurva dari persamaan F(r, , )= 0. Akan ditentukan trayektori
orthogonal (berkas kurva lain yang tegak lurus dengan F(r, , )=0). Adapun gradien
f(x,y, ) = 0
),(
1
yxhdx
dy
Berkas garis lengkung
lain yang memotong
tegak lurus garis
lengkung f(x,y, ) = 0
disebut Trayektori
Orthogonal
Aplikasi PD Tingkat Satu
19
dari F(r, , ) = 0 akan ditentukan lebih dahulu. Perhatikan gambar (1), gradien dari F(r,
, )=0 diperoleh dari :
Gambar 1
1. Ambil sebarang titik P(r, ) pada F(r, , )=0 dan titik lain Q yang juga
terletak pada F(r, , )=0
2. Hubungkan titik P dan Q sehingga membentuk tali busur PQ.
3. Tarik garis singgung yang menyinggung F(r, , )=0 melalui P(r, )
membentuk sudut .
4. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu x adalah , dimana
= 180o-(180-( + )) = + .
5. Sudut yang dibentuk tali busur PQ dan garis OQ adalah .
OP = r; NP = r sin ; OQ= r + r ; ON = r cos
Tan =NQ
NP =ONOQ
NP
=
cos rrr
sinr = rcos r
sinr
)1(
=
rcos r
sinr
)1(
Untuk 0 , maka : Q P, akibatnya :
Tan =0
lim
rcos r
sinr
)1(
=
r
r
0lim0
1. =
d
dr
r
Jadi gradien dari F(r, , )=0 adalah
m1 = Tan =
d
dr
r .
P
Q
N
r
Aplikasi PD Tingkat Satu
20
Untuk trayektori orthogonal, maka sudut yang dibentuk oleh garis
singgung dan jari-jari hantar adalah = 2
, sehingga
tan = - cotan = - r
ddr
Jadi bentuk persamaan diferensial dari trayektori orthogonal kurva G(r, C ,
)=0 adalah :
2.2 Trayektori Isogonal
Berkas garis lengkung : 0,, yxf
(2.1)
Persamaan Diferensialnya : 0,,
dx
dyyxF
(2.2)
Berkas garis lengkung lain yang memotong garis-garis lengkung tersebut dengan sudut
, disebut Trayektori Isogonal (ti).
Sebagai latihan menganalisa , buktikan rumus dibawah ini :
Contoh :
1. Tentukan Trayektori orthogonal dari berkas parabola 2xy
Penyelesaian : xyxy 212
Persamaan Diferensial Berkas Parabola : x
yy 21
d
dr
F
= -
2
d
dr
r
G
1.Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial Trayektori Isogonal
dengan sudut adalah : 0
1
,,
dx
dytg
tgdx
dy
yxF
.
Sedangkan dalam koordinat Kutub untuk berkas kurva
0,,
d
drrF adalah F ( r, ,
drmdr
dmrdrr
2
); tanm
Aplikasi PD Tingkat Satu
21
Persamaan Diferensial Trayektori Orthogonal : xyyxhdx
dy
2
1
),(
1
dxxdyy 2
maka
Cdxxdyy 2 . Maka Cxy 22
2
1
Jadi Trayektori Orthogonal kurva 2xy adalah Cxy 222
Tugas 1
1. Carilah Trayektori Orthogonal dari berkas lingkaran cos2ar
Dan Sketsa kedua berkas kurva tersebut dalam satu bidang. Petunjuk:
Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial dari berkas lingkaran
tersebut adalah :
tgrd
dr
Tunjukkan PD dari Trayektori orthogonal berkas kurva tersebut
adalah :
d
dr
rtgr
2
. Dan TO adalah sin2Cr
2.Tentukan berkas garis lengkung yang memotong anggota
berkas hyperbola: Cxxyy 22 2 dengan sudut 045 .
Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial dari berkas
hiperbola tersebut adalah : 01 xyyyx
Tunjukkan PD dari Trayektori isogonal berkas kurva
tersebut adalah : 0 dyydxx .
Sedangkan berkas kurva Trayektori isogonal adalah
Cyx 22
Sket kedua berkas kurva tersebut.
3.Tentukan berkas garis lengkung yang memotong berkas :
sinar dengan sudut tetap .
Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial dari berkas
tersebut adalah : d
dr = ctg r
Tunjukkan PD dari Trayektori isogonal berkas kurva
tersebut adalah :
ctgr
drmdr
dmrdrr
2
.
Sedangkan berkas kurva Trayektori isogonal adalah
sinCr .
Aplikasi PD Tingkat Satu
22
3.1. Pertumbuhan Populasi
Banyak masalah terapan cenderung memperhatikan perilaku suatu besaran,
sebut saja tX yang mana laju perubahan terhadap waktu sebanding dengan lengan
X , digambarkan dalam persamaan diferensial sebagai :
Xkdt
dX
k = konstanta ; t = waktu
Persamaan diferensial terpisah ini mempunyai penyelesaian : kteXX 0
0X = konstanta integrasi sebagai nilai awal 0X .
Hasil ini disebut peningkatan eksponen atau penurunan eksponen, tergantung
apakah konstanta k nya positip atau negatip sesuai dengan yang diketahui. Sket dari
fungsi penyelesaian ini berupa fungsi eksponensial. Kasus 00 x diberikan oleh
gambar (1)
Model sederhana untuk pertumbuhan populasi diperoleh dengan
memperkirakan bahwa laju pertambahan populasi pada tiap waktu adalah sebanding
terhadap ukuran populasi pada waktu tersebut. Jika P(t) adalah populasi pada waktu t,
maka
kPdt
dP (3.1)
dimana k adalah konstanta positip, yang mempunyai penyelesaian
ktePP 0 (3.2)
dimana 0P menunjukkan populasi pada 0t . Rumus ini memperkirakan
peningkatan eksponensial populasi terhadap waktu yang memberikan diskripsi yang
akurat pada pertumbuhan alga dan pertumbuhan bakteri sampai berukuran dua kali
disebut Doubling Time (waktu kelipatan dua) yang dinotasikan waktu dt yaitu ketika
02PP . Substitusikan 02PP ke dalam persamaan (3.2) diperoleh dktePP 002
bagi kedua sisi dengan 0P dan cari logaritmanya td , adalah: 2lndtk
X0
X(
t)
t Gambar 1(a)
Peningkatan Eksponen
0,0 keXX kt
t
X0
X(t
)
Gambar 1(b)
Peingkatan Eksponen
00 keXX kt ,
Aplikasi PD Tingkat Satu
23
sehingga waktu kelipatan dua adalah
21ln
ktd
sifat dari sistem adalah dt tidak bergantung 0P
TUGAS 2:
3.2. Peluruhan Radioaktif
Misal )( tN menunjukkan jumlah atom-atom radioaktif di dalam sampel dari
bahan radioaktif, kemudian melalui eksperimen diperoleh kenyataan bahwa N meluruh
dengan laju yang sebanding terhadap jumlah atom-atom radioaktif yang ada. Secara
matematis dapat dituliskan rumus peluruhan radioaktif sebagai persamaan diferensial :
KNdt
dN
dimana K adalah konstanta negatif.Penyelesaian umum dari PD diatas adalah :
kteNN 0
dimana 0N menunjukkan pada jumlah atom-atom radioaktif pada saat awal
karena K negatif dapat dilihat bahwa )( tN meluruh secara eksponensial terhadap
waktu. Waktu yang diperlukan tepat separuh dari jumlah atom-atom radioaktif yang
dibagian awal ada dalam sampel untuk meluruh disebut Waktu Paruh Bahan.
Ambil 02
1NN sehingga 21
002
1/K
eNN
21
21 ln
Kt
Perhatikan bahwa 2
1t tidak bergantung 0N yang memenuhi sifat dari bahan
radioaktif.
Aplikasi dari peluruhan radioaktif adalah penentuan umur organisme. Selama
masa hidup organisme ditemukan bahwa rasio dari radio aktif C14 (Carbon 14)
terhadap carbon yang ada dalam organisme, mendekati nilai konstan dan sama dengan
rasio pada medium yang mengelilingi. Namur demikian, ketika organisme mati, jumlah
carbon 14 yang ada didalamnya berkurang karena peluruhan radioaktif. Karena
diketahui waktu paruh dari carbon 14 adalah mendekati 5600 tahun, dengan mengukur
Diketahui jumlah bakteri dalam suatu koloni berkembang
dengan laju yang sebanding dengan jumlah bakteri yang
ada. Jika jumlahnya meningkat dari 500 ke 2000 dalam 2
jam. Tentukan jumlahnya setelah 12 jam dan juga cari
waktu kelipatan duanya. Kunci Jawaban :
Jumlah bakteri dalam koloni setelah 12 jam : 000.048.2
Waktu kelipatan dua : jamk
td 121
ln
Jumlah bakteri dalam koloni setelah 12 jam : 000.048.2
Waktu kelipatan dua : jamk
td 121
ln
Aplikasi PD Tingkat Satu
24
jumlah C14 didalam organisme Sangat memungkinkan untuk memastikan umur
organisme itu.
Tugas mandiri 3
Salah satu aplikasi persamaan diferensial satu dengan menggunakan hukum
fisika adalah perubahan suhu dari suatu benda yang berada dalam ruangan yang
berbeda suhunya. Faktor utama yang mempengaruhi mendinginnya suhu benda tersebut
dengan ruangan sesungguhnya, menurut hukum pendingin Newton.
Misalkan T adalah suhu benda pada waktu t dan Tm sebagai suhu media sekelilingnya
maka hukum Newton dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial
mTTkdt
dT (4.1)
dimana k adalah konstan. Tanda minus didepan konstanta k adalah hal yang biasa
diberikan. Untuk meyakinkan bahwa k selalu bernilai positif. Diasumsikan bahwa mT
adalah konstan. Jika demikian maka penyelesaian umumnya:
kt
m eCTT (4.2)
dari persamaan (4.2) jika t maka suhu benda mendekati media sekelilingnya
mTT . Hal ini pasti konstan dengan pengalaman kita sehari-hari. Lihat gambar 2
yang menjelaskan bahwa menurut hukum pendingin Newton benda mendekati suhu
ruangan secara eksponensial.
Laju perubahan suhu dari suatu benda sebanding dengan
perbedaan suhu antara benda dan media sekelilingnya
T0
Tm
T0
Benda mendingin
Benda memanas
Gambar 2
Fosil tulang ditemukan memiliki 70% C14 yang ada ditulang
semasa hidupnya, diketahui waktu paruh dari 14
C adalah
5600 tahun, Tunjukkan bahwa umur fosil tersebut umur fosil
itu kira-kira : 2882 tahun.
Aplikasi PD Tingkat Satu
25
Pencampuran merupakan salah satu aplikasi persamaan diferensial yang memadukan
antara model matematika dengan model fisika.
Sebuah tangki berisi 0V liter larutan yang telah dicampur dengan 0A gram unsur kimia
tertentu larutan denga consentrasi 1c gram/liter dengan mengandung bahan kimia yang
sama mengalir ke dalam tangki dengan kecepatan konstan 1r liter/menit dan campuran
tangki mengalir keluar dengan kecepatan konstan 2r liter/menit. Diasumsikan bahwa
larutan dicampur rata oleh pengaduk. Pada suatu saat t, konsentrasi bahan kimia dalam
tangki adalah tc2 sama dengan konsentrasi bahan kimia yang keluar tangki yang
diberikan oleh rumus
tV
tAc 2 , (5.1)
dimana: )( tA = jumlah bahan kimia dalam tangki pada waktu t.
tV = volume larutan dalam tangki pada waktu t.
)(2 tc = konsentrasi bahan kimia dalam tangki pada waktu t.
Penjelasan masalah : Lihat gambar dibawah ini
Larutan dengan koncentrasi c1
gram/liter mengalir dengan
kecepatan r1 liter/menit A(t) = jumlah bahan kimia
V(t) = volume larutan dalam tangki
tV
tAtc2
Konsentrasi bahan
kimia dalam tangki
Larutan dengan koncentrasi c2
gram/liter dengan kecepatan r2
liter/menit
Tugas mandiri 4
Sebuah batang besi panas yang suhunya F0350
diletakkan dalam ruangan yang suhunya 700F setelah 2
menit suhu besi menjadi 2100F. Berapa suhu batang besi
setelah 4 menit Waktu yang diperlukan untuk
mendingin menjadi F0100 dan waktu yang dibutuhkan
untuk mendingin menjadi 1000F.
Kunci jawaban :
t
2
14170
tT
Waktu yang diperlukan untuk mendingin menjadi F0100
6,4 menit
Aplikasi PD Tingkat Satu
26
Formula matematika : dua variabel dalam masalah diatas adalah tV dan )( tA . Untuk
menentukan perubahan yang terjadi berdasarkan waktu maka kita anggap bahwa
perubahan terjadi pada interval waktu yang kecil, t menit. Selama waktu
tr t 1, liter larutan mengalir dalam tangki, dimana tr 2 mengalir keluar.
Sehingga perubahan volume larutan dalam tangki pada interval waktu t adalah :
trtrV 21
trr 21 (5.2)
Sedangkan konsentrasi bahan kimia yang masuk 1c gram/liter maka jumlah
bahan kimia yang masuk pada interval waktu t adalah trc 11, demikian juga jumlah
bahan kimia yang keluar dari tangki adalah trc 22. Maka akan terjadi perubahan total
jumlah bahan kimia dalam tangki selama interval waktu At , yaitu :
trctrcA 2211
trcrc 2211 (5.3)
Membagi (5.2) dan (5.3) dengan t
21 rrt
V
(5.4)
2211 rcrct
A
(5.5)
Untuk mengetahui rata-rata perubahan V dan A, kita menggunakan limit 0t maka
21 rrdt
dV (5.6)
211 Arrcdt
dA (5.7)
Kemudian diintegralkan (5.6) dan (5.7) didapatkan :
021 VtrrtV (5.8)
11
021
2 rcAVrr
r
dt
dA
(5.9)
Persamaan diferensial diatas bisa diselesaikan, mengarah pada kondisi tertentu
00 AA , untuk mendapatkan pola tA .
Tugas mandiri 5
Sebuah tangki berisi 8 liter air yang mengandung 32
gram bahan kimia. Sebuah larutan mengandung 2 gram/liter bahan
kimia mengalir masuk kedalam tangki dengan kecepatan 4
liter/menit, dan larutan yang telah diaduk rata dikeluarkan dengan
kecepatan 2 liter/menit. Hitung jumlah bahan kimia dalam tangki
setelah 20 menit. Berapa konsentrasi bahan kimia didalam tangki
pada waktu itu ?
Kunci jawaban:
Model PD 84
1
A
tdt
dA Diperoleh Penyelesaian
164
4
1 2
t
tA
20A 3
296 gram, Konsentrasi :
18
37 gram/liter
Aplikasi PD Tingkat Satu
27
Suatu penerapan penting dari persamaan diferensial linear orde satu (dan dua) dibentuk
dari analisa rangkaian listrik sederhana. Kebanyakan dasar dari rangkaian listrik terdiri
dari sambungan akhir kabel ke rangkaian baterai atau generator. Hal ini menyebabkan
aliran muatan tq melewati kabel, dengan demikian memproduksi arus ti
didefinisikan menjadi nilai perubahan muatan (satuan Coulomb) terhadap waktu (satuan
Ampere). Jadi : dt
dqti ..... (6.1)
Di dalam prakteknya sebuah rangkaian akan terdiri dari beberapa komponen yang
berlawanan terhadap perintah aliran listrik. Nilai Arus yang melewati sebuah komponen
telah selesai dikerjakan. Oleh karena itu terdapat energi yang hilang yang digambarkan
dari akibat perubahan tegangan yang melewati tiap komponen. Untuk sebuah rangkaian
kita akan mempertimbangkan perjalanan arus yang melewati rangkaian yang ditemukan
oleh kirchof dalam hukum keduanya yang ditetapkan sebagai berikut :
Untuk menunjukkan hukum tersebut, kita harus tahu tentang hubungan antara nilai arus
yang melewati tiap komponen di dalam rangkaian dengan perubahan tegangan. Sebuah
komponen yang perlu kita ketahui adalah resistor, kapasitor, dan induktor. Kita akan
sedikit menerangkan secara ringkas tiap komponen tersebut.
1. Resisitor
Nama itu seperti sebuah anjuran, komponen resistor dalam komposisinya menunjukkan
perintah aliran yang berlawanan dalam melewati sebuah rangkaian. Berdasarkan
ketentuan Ohm, perubahan tegangan, VR, antara ujung dari sebuah resistor
menunjukkan kesebandingan dengan nilai arus yang melewati rangkaian tersebut.
Dirumuskan sebagai
VR = iR, (6.2)
Dimana konstanta kesebandingannya adalah R, disebut sebagai resistansi dari sebuah
resistor. Satuan dari resistansi adalah ohms .
2. Kapasitor
Sebuah kapasitor dapat diumpamakan sebuah komponen yang mempunyai perintah
menyimpan dengan cara melawan arus lintasan. Jika tq merupakan sebuah perintah
yang terdapat di dalam kapasitor dalam waktu t, kemudian tegangan kita sebut Vc
sebagai nilai dari perlawanan tersebut. Hal tersebut menunjukkan kesebandingan
dengan harga tq . Hal itu diungkapkan dalam sebuah rumus :
Vc = 1/C . q (6.3)
Dimana konstanta C dinamakan kapasitansi dari sebuah kapasitor. Satuan kapasitansi
adalah farads (F)
Hukum kedua kirchoff :
Jumlah perubahan tegangan yang mengitari rangkaian
dalam rangkaian tertutup adalah nol
Aplikasi PD Tingkat Satu
28
3. Induktor
Komponen ketiga yang paling penting bagi kita adalah induktor. Perlu dipikirkan
sebagai komponen yang melawan semua perubahan aliran arus yang melewati
rangkaian. Perubahan tegangan sebagai nilai arus yang melewati induktor menunjukkan
kesebandingan pada penilaian dimana saat itu arus berubah. Kita menulisnya :
VL = L di/dt, (6.4)
Dimana konstanta L dinamakan induktansi dari sebuah induktor, satuan ukurannya
adalah Henry (H).
4. EMF
Komponen terakhir di rangkaikan kita adalah sumber dari tegangan yang
memproduksi kekuatan elektrifikasi (EMF). Kita dapat berfikir sebagai sebuah perintah
yang memberikan jalan kekuatan bila melewati rangkaian. Seperti aliran baterai adalah
tegangan yang menguntungkan, dimana kita mendetonasikan E(t) volt [adalah sebuah
perubahan tegangan dari E(t) volt].
Sebuah rangkaian yang mengandung semua komponen diatas digambarkan dalam
rangkaian seperti dibawah ini :
Ketentuan Kirchoff pada hukum kedua-nya yaitu jumlah perubahan tegangan pada
setiap saat adalah = 0 bila mengitari rangkaian tertutup. Jika kita mengaplikasikannya
menjadi rangkaian RLC, maka kita peroleh :
VR + Vc +VL - E(t) = 0
Substitusikan ke dalam persamaan dari (6.2) – (6.4) dan disusun menghasilkan
persamaan dasar differensial.
L di/dt +iR + 1/C . q = E (6.5)
Kita akan mempertimbangkan tiga kasus.
Kasus 1 :
Rangkaian RL. Dalam suatu kasus dimana tidak ada pemberian kapasitor, kita
menyebutnya sebagai rangkaian RL. Oleh karena itu persamaan diferensial (6.5)
menurunkan
di/dt +R . i/L = E(t)/L (6.6)
Ini adalah persamaan diferensial orde satu yang menentukan arus dalam rangkaian
setiap waktu.
Kasus 2 :
Resistansi, R
Induktansi, L
Kapasitansi, C
Saklar
E
I(t)
Resistansi, R
Induktansi, L
Kapasitansi, C
Saklar
E
I(t)
Aplikasi PD Tingkat Satu
29
Rangkaian RC. Sekarang perhatikan sebuah kasus ketika tidak ada pemberian inductor
dalam rangkaian. Anggap L=0 dalam (6.5) menghasilkan :
i + q/RC = E/R (6.7)
Dalam persamaan ini ada dua yang tidak kita ketahui, q(t) dan i(t). Substitusi dari (6.1)
untuk i(t)= dq/dt, kita memperoleh lanjutan persamaan diferensial untuk q(t) :
dq/dt + q/RC = E/R (6.8)
Dalam kasus ini kita menyelesaikan persamaan diferensial linear (6.8) untuk
memperoleh muatan q(t) dalam lempengan kapasitor. Arus dalam rangkaian kemudian
dapat kita peroleh dari :
i = dq/dt
Kasus 3 :
Rangkaian RLC. Dalam kasus umum kita harus memperhatikan semua tiga
komponen yang diberikan dalam rangkaian. Substitusi dari (6.1) ke (6.5) menghasilkan
lanjutan persamaan diferensial untuk menentukan muatan dalam kapasitor:
d2 q/dt
2 + R/L (dq/dt) + q/LC = E(t)/L (6.9)
Ini merupakan persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan. Teknik
pada modul 1 tidak memungkinkan, secara umum digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial. Kita akan kembali untuk menyelesaikan persamaan diferensial
tipe ini di modul 3.
Persamaan diferensial (6.6) dan (6.8) adalah persamaan diferensial linear orde
satu. Jadi pemakaian EMF, E(t) secara sekilas telah spesifik. Persamaan ini dapat
diselesaikan menggunakan teknik dalam modul 1. Dua bentuk penting untuk E(t)
ádalah
E(t) = E0 dan E(t) = E0 sin t
Dimana E0 dan adalah konstanta. Bentuk pertama sesuai dengan sumber dari EMF
seperti baterei. Arus yang dihasilkan disebut arus searah (DC). Bentuk kedua EMF
berosilasi antara E0. Arus yang dihasilkan dalam rangkaian disebut arus bolak-balik
(AC).
Contoh 1.
Tentukan arus dalam rangkaian RL jika pemakaian EMF konstan dan arus awal adalah
0.
Penyelesaian :
Jika kita memisalkan E0 menunjuk nilai konstan dari EMF, kemudian kita harus
menyelesaikan masalah nilai awal
L
E
L
iR
dt
di 0. , i(0) = 0 (6.10)
Faktor integrasi untuk (6.10) adalah t
L
R
eI
, jadi (6.10) dapat ditulis dalam bentuk
L
ieE
iedt
d
tL
R
tL
R
0
Aplikasi PD Tingkat Satu
30
Mengintegralkan kedua sisi dan menyederhanakan hasil akhir menghasilkan
t
L
R
ecR
Eti
10 (6.11)
Kondisi awal 00 i memenuhi jika dan hanya jika R
Ec 0
1 . Sebagai akibatnya,
penyelesaian masalah nilai awal adalah
R
eE
ti
tL
R
10
Kita melihat bahwa peranan eksponensial lenyap secara cepat dengan waktu dan
rangkaian segera berakhir pada keadaan tetap.
R
Eti 0
Perjalanan ti ditunjukkan dalam grafik pada gambar 3
Gambar 3
Contoh 1
Perhatikan rangkaian RC dengan R = 0 , 5 , C = 0,1 F, dan E0 =20 V. Capasitor diberi
muatan awal 0.Tentukan arus pada rangkaian setelah 0,25 detik.
Penyelesaian :
Dalam kasus ini pertama kita harus menyelesaikan (6.8) untuk tq dan kemudian
menentukan arus dalam rangkaian dengan mendiferensialkan hasilnya. Substitusi untuk
R, C, dan E menjadi (6.8) menghasilkan
4020 qdt
dq
Yang mana memiliki penyelesaian umum
tecq 202
Dimana c adalah konstanta integrasi. Menentukan kondisi awal 00 q menghasilkan
2c .
Dengan demikian : teq 2012 .
Mendiferensialkan ekspresi ini untuk q menghasilkan arus dalam rangkaian:
te
dt
dqi 2040
Akibatnya, Aei 27040250 5 ,,
t
i(t)
E0R
Aplikasi PD Tingkat Satu
31
Tugas mandiri 6
Tentukan arus dalam rangkaian RL jika pemakaian
EMF adalah tEtE cos0 , dimana 0E dan
adalah konstanta. Tunjukkan mana arus steady
state & transien
Kunci jawaban : Pers. Dif. :
L
tEai
dt
di cos0
Arus dalam rangkaian
22
0 sincos
aL
eattaEi
at
Tugas mandiri 7
Perhatikan rangkaian RC dengan R =
0 , 5 , C=0,1F, E0=20V. Capasitor diberi
muatan awal 0. Tentukan arus pada rangkaian
setelah 0,25 detik.
Kunci Jawaban : PD nya 4020 qdt
dq
Arus dalam rangkaian teq 2012
Ai 27,025,0
persamaan diferensial :
4020 qdt
dq
Arus dalam rangkaian
teq 2012
Ai 27,025,0
Aplikasi PD Tingkat Satu
32
1. Carilah Trayektori orthogonal dari berkas kurva yang diberikan dan sket keluarga
kurva tersebut.
a. cyx 22 4
b. 2cxy
c. cxy 2
d. 2222ccycx
2. Tentukan persamaan berkas garis lengkung yang memotong berkas kurva dengan
sudut yang diberikan.
a. 42
1 ,cxy
b. 4
6 ,cxy
c. ar dengan sudut 45 0.
d. cos 1r , dengan sudut tetap .
3. Diberikan model populasi yang mana laju kelahiran per orang, dan laju kematian
per orang adalah konstan. Model Persamaan diferensial yang
menggambarkan hal ini Pdt
dP .
Carilah penyelesaian persamaan diferensial dan hitung dan prediksi jumlah populasi
untuk t . Jika 0 tentukan waktu kelipatan dua.
4. Pada pukul 4 sore batu bara yang panas ditari keluar dari pemanggangan dan
kemudian diletakkan di ruangan yang dingin yang memiliki suhu 75 0 F. Jika setelah
10 menit suhu batu bara 415 0 F, dan setelah 20 menit temperatur berubah menjadi
347 0 F, hitunglah :
a. Suhu pada pemanggangan.
b. Jam berapa ketika batu bara mendingin mencapai 100 0 F.
5. Sebuah tangki memiliki volume 40 liter dengan yang mana pada kondisi awal berisi
20 liter air. Suatu larutan mengandung 10 gram/lt garam mengalir kedalam tangki
dengan laja 4 lt/menit, dan campuran larutan mengalir keluar dengan laja 2 lt/menit.
Berapa garam dalam tangki sesaat sebelum larutan tumpah?
6. Diberikan suatu rangkaian RC dengan E(t) = 0 . Misalkan q(0) = 5 C, Dapatkan sisa
arus dalam kapasitor untuk t > 0. Apa yang terjadi untuk t ? Apakah ini
mungkin?
7. Suatu rangkaian RL yang mempunyai sumber tegangan E(t) 10 sin 4t volt. Jika R =
2 , L = 2/3 H, dan tidak ada arus pada kondisi awalnya, Hitung arus yang
melewati rangkaian untuk t 0.
,
Aplikasi PD Tingkat Satu
33
1. Suatu koloni bakteri bertambah dengan laju yang berbanding lurus dengan jumlah
bakteri yang ada. Jika jumlah bakteri dalam empat jam menjadi tiga kali jumlah
semula.
a. Buat model yang mempresentasikan jumlah bakteri N(t) dalam waktu t.
b. Tentukan solusinya.
c. Berapa waktu yang diperlukan agar jumlahnya menjadi 27 kali jumlah semula.
2. Sebuah tangki berisi 600 liter larutan yang mengandung 1500 gram bahan kimia.
Sebuah larutan mengandung 5 gram/liter bahan kimia mengalir masuk kedalam
tangki dengan kecepatan 6 liter/menit, dan larutan yang telah diaduk rata
dikeluarkan dengan kecepatan 3 liter/menit. Hitung jumlah bahan kimia dalam
tangki setelah 1 jam. Berapa konsentrasi bahan kimia didalam tangki pada waktu
itu ?
3. Suatu subtansi yang tidak mudah terbakar pada kondisi awal temperaturnya adalah
50 0 F berada dalam open yang panas yang mana suhunya adalah 450
0 F.
Temperatur subtansi tersebut menjadi 150 0 F setelah 20 menit. Hitung temperatur
subtansi setelah 40 menit. Jika subtansi terbakar ketika suhu mencapai 350 0 F ,
hitung waktu yang dibutuhkan sampai subtansi tsb terbakar.
Kerjakan sungguh-sungguh soal test formatif_2 ini. Sebelum anda
membandingkan pekerjaan anda dengan petunjuk yang terdapat dalam kunci
jawaban pada akhir modul ini. Jika anda dapat mengerjakan 3 dari 4 soal yang
diberikan berarti bahwa tingkat penguasaan anda atas materi kegiatan belajar
ini cukup baik. Jika tidak demikian sebaiknya anda pelejari lagi bagian yang
belum anda kuasai.
Aplikasi PD Tingkat Satu
34
KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN.
1) a. y = C x4 , c. Cyx 22 2 . 2) a. y = -
3
1 x + C c. r 2e = C
3) P(t) = P0
0)(
,
0)(,0
)( 0
)(
jika ,
jikap
jika
tPLim . et
. Td =
1ln 2
4) a. 500 0 F, b. 6,07 sore.
5. 300 gram
7. i = (3/5) (3 sin4t – 4 cos4t + 4 te 3 )
Kunci Jawaban test formatif_2
1) a. model yang mempresentasikan jumlah bakteri N(t) dalam waktu t : kNdt
dN
b. Penyelesaian PD tersebut : kteNN 0
, pada saat 0t jumlah populasi bakteri
adalah N0, dan N(4) = 3 N0 maka 3ln4
13 4
00 keNN k
c. Jumlah bakteri mencapai 27 kali jumlah semula :kteNN 0027
, t = 12 jam
2. Perubahan volume selama waktu t adalah :
trrV 21 t 3 dan 3dt
dV
Mengintegralkan persamaan diatas dan menyederhanakan kondisi V(0) = 600
2003 tV
tcA 2330 dan V
Ac 2
Diperoleh model MNB:
30)200(3
3
A
tdt
dA
Maka 220015200 tAt +C
15000 A gram sehingga didapatkan C = -3.105
Jadi 00
10.320015
5
ttA sehingga 60A = 7 746 gram
Diperoleh konsentrasi setelah 1 jam , 52,3c gram/liter
3. Model PD : mTTkdt
dT .
PUPD : 450 + C e-kt
diperoleh C = -400 dan k = 20
1 ln 3
4
Temperatur subtansi setelah 40 menit adalah T(40) = 225 0 F
Waktu yang dibutuhkan sampai subtansi tsb terbakar adalah t=96,4 menit.