Methode Numerique de Resolution Des Equations de Navier-stokes

CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

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METHODE

NUMERIQUE DE

RESOLUTION DES

EQUATIONS DE

NAVIER-STOCKES

MATENE ELHACENE Ingénieur d’état en génie climatique

Inscrit première année magister (post de graduation)

E-mail : [email protected]

TEL : +213 771 403 380 ALGERIE

Janvier 2010


47

III.1.Introduction et rappel des équations de base :

III.1.1.Introduction :

Au chapitre 2, les équations de base régissant les phénomènes d’écoulement de fluide,

de transfert de chaleur ou de masse ont été établis. On savait que pour certains cas

d’écoulements simples une solution analytique exacte est possible. Pour le cas général des

écoulements turbulents, le système d’équations de Navier-Stokes ne peut être résolu

directement vu la non-linéarité des équations et l’apparition des contraintes de Reynolds

(ρ𝑈𝑖𝑈𝑗 ) de la turbulence comme nouvelles inconnues dans les équations de transport. Le

système d’équations est fermé à l’aide des modèles de turbulence décrits en chapitre 2.

Les équations différentielles développées décrivent les principes de conservation de la

masse, des quantités de mouvement et de l’énergie ; dans un volume de contrôle de

l’écoulement, elles se traduisent par une balance de flux de masse ou d’énergie .Considérant

un flux J qui influe sur une variable dépendent de l’écoulement (fig. III.1) le flux net

traversant le volume de contrôle est : 𝑑𝑖𝑣. 𝐽 =𝜕𝐽𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝐽𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝐽𝑧

𝜕𝑧

Figure. III.1 – Flux à travers un volume de contrôle.

III.1.2.Rappel des équations de base :

III.1.2.1.Equations des quantités de mouvement :

L’équation différentielle décrivant la conservation des quantités de mouvement pour un

écoulement de fluide newtoniens s’écrit :

𝜌 𝜕𝑈𝑖

𝜕𝑡+ 𝑈𝑗

𝜕𝑈 𝑖

𝜕𝑥 𝑗 = −

𝜕𝑃

𝜕𝑥 𝑖+ 𝛽𝑖 + 𝜇[

𝜕

𝜕𝑥 𝑗(𝜕𝑈 𝑖

𝜕𝑥 𝑗+

𝜕𝑈 𝑗

𝜕𝑥 𝑖)] (III.1)

Considérons 𝑈 comme étant la composante axiale de la vitesse ; l’équation des quantités de

mouvement suivant la direction 𝑥, peut être écrite sous la forme suivante :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑈 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈. 𝑈 = 𝑑𝑖𝑣 𝜇. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 −

𝜕𝑃

𝜕𝑥+ 𝐵𝑥 (III.2)

Ou 𝐵𝑥 : est la forme de volume dans la direction des 𝑥.

III.1.2.2.Equation de continuité :

L’équation différentielle décrivant le principe de conservation de la masse est :

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈 = 0 (III.3)

𝐽𝑥 𝐽𝑥 +𝜕𝐽𝑥𝜕𝑥

𝛿𝑦

𝛿𝑥

𝛿𝑧


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III.1.2.3. Equations de Reynolds pour les écoulements turbulents :

L’équation (II.2.9) décrit le transport des contraintes de Reynolds (-ρ 𝑈𝑖𝑈𝑗 ) qui

apparaissent dans les équations de Navier-Stokes en utilisant l’approche statistique de

Reynolds. Ces termes sont exprimés par les modèles mathématiques de turbulence décrits au

chapitre 2.

III.1.2.4.Equation de l’énergie cinétique :

Les modèles de turbulence populaires à deux-équations ( Lander et Spalding 1972 ,

1974) utilisent l’équation de transport de l’énergie cinétique de turbulence (II.2.11) , qui peut

être écrite sous la forme suivante :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑘 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈. 𝑘 = 𝑑𝑖𝑣 Г𝑘 . 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑘 + (𝐺 − 𝜌휀) (III.4)

Où : Г𝑘 : est un cœfficient de diffusion de 𝑘 ;

𝐺 : est le taux de génération de l’énergie cinétique 𝑘 ;

휀 : est le taux de dissipation de l’énergie cinétique 𝑘.

Le terme (𝐺 − 𝜌휀)représente la source de l’équation.

Une équation similaire décrit les variations de la variable 휀.

III.1.2.5. Equation de l’énergie :

L’équation de l’énergie contient un nombre important d’influente. On s’intéresse ici

beaucoup plus à la forme de l’équation qu’aux détails. Donc il sera suffisant de considérer

quelques cas simples :

Pour un écoulement permanent ou la dissipation visqueuse est négligée l’équation s’écrit :

𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈. 𝑕 = 𝑑𝑖𝑣 𝜆. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 + 𝑆𝑕 (III.5) Où 𝑕: est l’entalpie spécifique ;

𝜆 : est le coefficient de conductivité thermique ; T : est la température ;

𝑆𝑕 : est le taux volumétrique de génération de chaleur.

Selon la loi de Fourier du transfert de chaleur par conduction, le terme (𝑑𝑖𝑣 𝜆. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 ) représente l’influence de chaleur par conduction dans l’écoulement.

Pour des gaz parfaits et pour des solides et des liquides on peut écrire :

𝐶. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑕 (III.6)

Avec 𝐶 : est la chaleur spécifique à pression constante. L’équation de l’énergie devient :

𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈. 𝑕 = 𝑑𝑖𝑣 𝜆

𝐶. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑕 + 𝑆𝑕 (III.7)

Dans le cas où 𝐶 est constante, la relation 𝑕 = 𝑕(𝑡)est :

𝑕 = 𝐶. 𝑇 (III.8)

On peut écrire :

𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈. 𝑇 = 𝑑𝑖𝑣 𝜆

𝐶. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑕 +

𝑆𝑕

𝐶 (III.9)

Dans ce cas la température, T, ou l’enthalpie 𝑕 peut être considérée comme variable

dépendante.

La situation de transfert de chaleur par conduction permanent est obtenu en posant (𝑈 = 0 ) ; donc :

𝑑𝑖𝑣 𝜆. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 + 𝑆𝑕 = 0 (III.10)


49

III.1.2.7.Forme générale des équations :

Les équations différentielles (III.2) a (III.5) décrivant les variations des déférentes

variables de l’écoulement (𝑈, 𝑘,T et 𝑕) peuvent être écrit sous la forme générale suivante : -en notation vectorielle :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌. 𝑈. 𝜙 = 𝑑𝑖𝑣 Г𝜙 . 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 + 𝑆𝜙 (III.11)

-en notation tensorielle :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 +

𝜕

𝜕𝑥 𝑗 𝜌. 𝑈. 𝜙 =

𝜕

𝜕𝑥 𝑗 Г𝜙 .

𝜕𝜙

𝜕𝑥 𝑗 + 𝑆𝜙 (III.12)

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 : Taux de change ou accumulation.

𝜕

𝜕𝑥 𝑗 𝜌. 𝑈. 𝜙 : Flux de convection

𝜕

𝜕𝑥 𝑗 Г𝜙 .

𝜕𝜙

𝜕𝑥 𝑗 : Flux de diffusion

Où :

𝜙 : est la variable dépendante générale qui peut être la vitesse. U, l’énergie cinétique de

turbulence ; 𝑘, sa dissipation , 휀, l’entalpie 𝑕,ou la température ,T.

Г𝜙 : est le coefficient de diffusion de 𝜙

𝑆𝜙 : est le terme de la source.

Les termes de l’équation généralisée (III.12) sont regroupés dans le tableau (III.1) pour

les différentes équations.

L’avantage d’écrire les équations différentielles décrivant l’écoulement sous la forme

générale (III.12) est de construire une procédure numérique générale qui s’applique pour les

différentes équations en considérant les conditions aux limites spécifiques.

Avant de passer à la construction de cette procédure, l’équation (III.12) doit être discrétisée.

Tableau III.1. termes de l’équation généralisée (III.12)

Equation Variable 𝝓 Coefficient de

diffusion Terme de source 𝑺𝝓

Quantité de

mouvement 𝑈𝑖 𝜇𝑒𝑓𝑓 = 𝜇 + 𝜇𝑡

𝛽𝑖 +𝜕

𝜕𝑥𝑗 𝜇𝑒𝑓𝑓 .

𝜕𝑈𝑖

𝜕𝑥𝑗 −

𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑖

Continuité 1 0 0

Energie

cinétique 𝑘 𝜇𝑡

ℑ𝑘 𝜇𝑡 . 𝐶1 − 𝜌휀

Dissipation

d’énergie 휀 𝜇𝑡

ℑ휀

휀

𝑘(𝜇𝑡 . 𝐶1. 𝐺 − 𝐶2. 𝜌. 휀)

III.2.Discrétisation des équations différentielles [90] :

Après avoir sélectionné les équations différentielles à résoudre, il est nécessaire de

transformer ces équations différentielles en équations algébriques ou les variations continues

des variables de l’écoulement sont représentées par des valeurs à des ponts discrets dans le

temps et dans l’espace.

Les locations discrètes dans l’espace sont représentées par des points nodaux ( ou

nœuds) choisis dans une grille numérique qui subdivise le domaine de l’écoulement .selon la

nature et la géométrie de l’écoulement , la grille numérique peut appartenir à l’une des

familles de grilles suivantes et qui sont représentées dans la figure (III.2).

- grille rectangulaire

- grille curvilinéaire et orthogonale,


50

- grille curvilinéaire non orthogonale.

- Grille à subdivision arbitraire.

Le choix d’une structure de grille détermine la flexibilité géométrique de la procédure

numérique a utiliser et doit être fait selon la méthode de discrétisation choisie.

III.2.1.Méthodes de discrétisation :

La procédure de discrétisation fait des approximations aux drivées dans le temps et

dans l’espace des variables de l’écoulement présente dans l’équation (III.12), à chaque nœud

de la grille, a en fonctions algébriques des variables dans le nœud considéré et les nœuds en

son voisinage.

La discrétisation se fait en suivant l’une des quatre méthodes :

- Méthode des différences finies.

- Méthode des volumes finis

- Méthode des éléments finis

- Méthode des spectrales.

Dans ce qui suit on se limite a examiner uniquement les méthodes les plus utilisées

dans le domaine de la dynamique et la thermique des écoulements de fluides qui sont les

méthodes des différences finies et des volumes finis. Pour plus d’informations sur les autres

méthodes, on peut consulter Patankar (1980) et Aston (1991).

Figure III.2 : Arrangement des grilles numériques de discrétisation


51

Figure. III.3-méthode de discrétisation

ą𝑝 . 𝜙𝑝 = ą𝑗𝑗 . 𝜙𝑗 + 𝑏 (III.13)

:𝒋 Represente la sommation sur les nœuds en voisinage du nœud P ;

ą𝑗 : Coefficient de l’équation qui tient compte des effets combinés de l’accumulation, le

transport par convection et diffusion et du terme source dans l’équation (III.12).

𝑏 : représente un part du terme source, 𝑆𝜙 .

La description des quatre principales méthodes de discrétisation des équations

différentielles nécessite l’examen de deux méthodes numériques fondamentales qui

constituent une base de travail pour ces méthodes. il s’agit de :

- la formulation en série de Taylor

- la méthode des résidus.

Dans les sections qui suivent nous allons examiner en particulier la méthode des

différences finies et celle des volumes finis. Cette dernière méthode a été classée par la

méthode utilisée dans la littérature pour la résolution des problèmes de la thermo et de la

dynamique des fluides.

DISCRITISATION : Transformation des équations

différentielles continues en équations algébriques

discrètes

Méthode

spectrale

Méthode des

éléments finis

Méthode des

volumes finis

Méthode des

différences

finies

RESULTATS

Equations discrétisées pour chaque nœud


52

III.2.2.Formulation en série de Taylor :

C’est la procédure la plus simple et la plus utilisée pour exprimer les dérivées dans les

équations différentielles en fonction des séries de Taylor. Pour expliquer la méthode nous

allons l’illustrer dans l’exemple montré sur la figure III.4.

Figure. III.4-nœuds de discrétisation en séries de Taylor

P: nœud E: East W: West

L’expansion des séries de Taylor autour de nœud P, permet d’écrire :

𝜙𝑖+1 = 𝜙𝑖 + (𝜕𝜙

𝜕𝑥)𝑖 . 𝛿𝑥 + (

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2 )𝑖 .𝛿

𝑥2

2!+ ⋯ (III.14)

𝜙𝑖−1 = 𝜙𝑖 − (𝜕𝜙

𝜕𝑥)𝑖 . 𝛿𝑥 + (

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2 )𝑖 .𝛿

𝑥2

2!− ⋯ (III.15)

Notant ici que les termes du troisième ordre sont négligés. La différence et la somme des deux

équations permet d’obtenir :

(𝜕𝜙

𝜕𝑥)𝑖 =

𝜙 𝑖+1−𝜙 𝑖−1

2𝛿𝑥 (III.16)

(𝜕2𝜙

𝜕𝑥2 )𝑖 =𝜙 𝑖+1+𝜙 𝑖−1−2𝜙 𝑖

𝜕𝑥2 (III.17)

Les relations (III.16) et (III.17) représentent un schéma de discrétisation aux différences

centrées. D’autres schémas peuvent être obtenus.

III.2.3.Méthode des résidus :

La méthode des résidus est une méthode numérique très puissante et efficace qui permet

la résolution des équations différentielles.

Soit une équation différentielle représentée par :

𝐿 𝜙 = 0 (III.18)

Supposant 𝜙 comme une solution approchée de l’équation (III.18) qui contient un nombre de

paramètres (ą𝑖 ) ; par exemple :

𝜙 = a0 + a1x + a2x² + ⋯ + am xm (III.19)

La substitution de (III.19) dans (III.18)donne un résidu tel que :

𝐿 𝜙 = 𝑅 (III.20) L’objectif est de maintenir le résidu proche de zéro.Donc on considère une fonction de

balance 𝑊 telle que :

𝑊. 𝑅. 𝜕𝑥 = 0 (III.21)

L’intégration se fait sur le domaine d’intérêt.

𝑊 étant une fonction de balance .En utilisant une succession de fonction, on peut

générer plusieurs équations algébriques qui permettent d’évaluer les paramètres (ą𝑖 ) et par la suite déterminer la solution de l’équation différentielle (III.18).Plusieurs méthodes ont été

développées selon les différentes classes de fonction de balance 𝑊.

(𝑖 − 1)

(𝑖)

) (𝑖 + 1)

x

W P E

𝛿𝑥

𝛿𝑥


53

III.2.4.Méthode des différences finies :

La méthode des différences finies est la méthode la plus directe pour la discrétisation

des équations différentielles décrivant une variable d’écoulement 𝜙 . les variations de la

variable (𝜙 ) sont exprimées par des fonctions des distances 𝛿𝑥𝑖 dans les directions des

coordonnés et sont liées à des nœuds choisis dans la grille numérique.

Considérons l’équation générale (III.12) dans le cas d’un écoulement unidimensionnel :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 +

𝜕

𝜕𝑥 𝜌. 𝑈. 𝜙 −

𝜕²

𝜕𝑥² Г𝜙 . 𝜙 − 𝑆𝜙 = 0 (III.22)

D’après les les équations (III.16) et (III.17) et en se référant à la figure (III.5) , l’équation

(III.22) s’écrit donc :

𝜌𝜙 𝑖

𝑁−𝜙 𝑖0

𝛿𝑡+ (𝜌. 𝑈)𝑝

𝜙 𝑖+1−𝜙𝑖−1

2𝛿𝑥− (Г𝜙)𝑖

𝜙 𝑖+1+𝜙 𝑖−1−2𝜙 𝑖

𝑑𝑥2 − (𝑆𝜙)𝑝 = 0 (III.23)

Figure. III.5 grille pour discrétisation par la méthode des différences finies

Daun l’équation (III.23) les dérivées partielles et temporelles ont été approximées par des

différences centrées ou avancées. D autres formulations sont possibles.

La méthode d’approximation des dérivées temporelles permet de différenties entre les

méthodes de discrétisation et a des conséquences sur l’algorithme de solution. ce point sera

traité en section (III.2.5.5).

III.2.5.Méthode des volumes finis :

La méthode des volumes finis ou volume de contrôle est une version spéciale de la

méthode des résidus.

Le domaine de calcul est subdivisée en subdomaines ou à des volumes de contrôle

finis ; Il suffit de poser la fonction de balance, 𝑊 , égale à l’unité ( 𝑊 =1) dans un

subdomaines et égale à zéro (𝑊 = 0) ailleurs . L intégration de l’intégration de l’équation

(III.21) donnant le résidus R doit être égale à zéro, dans un volume de contrôle.

Dans la littérature, la méthode des volumes finis à été qualifiée comme la plus utilisée

parmi les méthodes de discrétisation. Dans ce qui suit nous allons l’examiner à travers le

traitement de l’équation différentielle généralisée (III.22) dans le cas d’un écoulement à une

dimension ; Il est à noter ici que nous avons considérer une seule dimension pour raison de

simplifier la procédure toutefois, La même procédure s’applique pour les autres dimensions.

III.2.5.1.Principe de méthode :

L équation à discrétiser est :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌. 𝜙 +

𝜕

𝜕𝑥 𝜌. 𝑈. 𝜙 =

𝜕

𝜕𝑥 Г𝜙 .

𝜕𝜙

𝜕𝑥 + 𝑆𝜙 (III.24)

P E W

N NE NW

SW S SE

𝛿𝑥

(𝑖)

− 1

𝛿𝑥

(𝑖 + 1)

(𝑖 − 1)


54

La méthode consiste à subdiviser le domaine de calcul (volume géométrique de

l’écoulement) en petits volumes de contrôle tel que chaque nœud est entouré par un seul

volume de contrôle.

Considérons le cas d’un écoulement à une dimension :

Figure .III .5 : Arrangement des volumes de contrôle

La discrétisation de l’équation (III.24) ne s’obtient pas par substitution des expressions

des différences dans l’équation différentielle (III.24). Par contre, cette équation est intégrée le

long du volume de contrôle ; d’où :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙𝑑𝑥

𝑥+

𝑥−+ [ 𝜌𝑈𝜙)+ − 𝜌𝑈𝜙 − = [ Г𝜙

𝜕𝜙

𝜕𝑥

+− Г𝜙

𝜕𝜙

𝜕𝑥)− + 𝑆𝜙𝑑𝑥

𝑥+

𝑥− (III.25)

L’équation (III.25) est une équation « intégro – différentielle « exacte qui exprime une

balance entre les flux convectif et le flux diffusif.

La source et le taux d’accumulation en volume intégré. Ceci constitue une propriété

importante de cette approche, qui est la conservation.

Pour S + = 0 et 𝜕

𝜕𝑡= 0 , il est clair que le flux sortant de la face d’un volume de contrôle

représente le flux entrant dans le volume de contrôle voisinant. D’où le principe de la

conservation tout le long du domaine de calcul.

Une généralisation du cas à une dimension considéré ici s’obtient comme suit :

Ecrivant l’équation: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 + 𝛻𝑉 𝜙 − 𝛻 Г𝜙 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 = 𝑆𝜙

L’intégration sur un volume de contrôle donne :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 𝑑𝑣 + 𝛻(𝑉 𝜙 − Г𝜙𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙)𝑑𝑣 = 𝑆𝜙𝑑𝑣 (III.26)

Figure. III.7- Volume de contrôle (V)

)

𝑛

(𝑣)

Volume de contrôle

P

x

−𝑥 +𝑥

𝑥0 𝑥𝑛


55

Le théorème de Gauss est utilisé pour transformer les intégrales de volume en intégrales de

surface :

𝛻𝐴 𝑑𝑣 = 𝐴 𝑛 𝑑𝑠 (III.27)

L’équation (III.26) s’écrit donc :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌. 𝜙. 𝑑𝑣 + (𝑉. 𝜙 − Г𝜙 . 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙)𝑛 𝑑𝑠 = 𝑆𝜙 . 𝑑𝑣 (III.28)

III.2.5.2.Définition des nœuds :

Du à la présence du flux de diffusion (Г𝝓.𝝏𝝓

𝝏𝒙) la voleur de la variable 𝝓 dans un nœud

est influencée par les valeurs des nœuds voisinant.

Figure. III.8- convection et diffusion a un nœud

Les nœuds sont placés au centre de chaque volume de contrôle

Figure. III.9- position des nœuds dans les volumes de contrôle

Cet arrangement permet de définir des flux dans les surfaces des volumes. Ces flux

dépendent des valeurs nodales au centre des volumes diffusion est négligeable ou absente.

III.2.5.3.Approximation spatiale :

Pour la simplicité on considère l’équation (III.25) dans le cas :

- permanent : 𝜕

𝜕𝑡= 0

- terme source : 𝑆𝜙 = 0

(𝜌. 𝑈. 𝜙)+ − (𝜌. 𝑈. 𝜙)− = (Г𝜙 .𝜕𝜙

𝜕𝑥)+ − (Г𝜙 .

𝜕𝜙

𝜕𝑥)− (III.29)

L’équation (III.29) ne peut être résolue telle qu’elle est. Les valeurs de et les dérivées le

long des faces de volume doivent être exprimées en fonction des valeurs de dans les nœuds

voisinants.

𝜙𝑖−1

𝜙𝑖

𝜙𝑖−1

𝜙𝑖 𝜙𝑖−1 𝜙𝑖+1

U U Flux de

convection

Flux de diffusion


56

D’une façon générale la variation 𝜙(𝑥) est supposée de suivre l’une des trois distributions : - uniforme ;

- linéaire ;

- polynominale ;

Considérons comme exemple, une variation linéaire entre les nœuds :

Figure. III -10 : variation linéaire de (x)

𝜑 𝑥 = 𝜑𝑖 −𝜑𝑖+1−𝜑𝑖

𝑥𝑖+1−𝑥𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖) si 𝑥𝑖 < 𝑥 < 𝑥𝑖+1

𝜑 𝑥 = 𝜑𝑖−1 +𝜑𝑖−𝜑𝑖−1

𝑥𝑖−𝑥𝑖−1(𝑥 − 𝑥𝑖) si 𝑥𝑖−1 < 𝑥 < 𝑥𝑖

Les faces 𝑥− et 𝑥+du volume de contrôle sont situées a mi – distance entre les nœuds

𝑥𝑖+1; 𝑥𝑖et 𝑥𝑖−1.

Pour 𝜌 = 𝐶𝑡𝑒 , nous avons :

(𝜌. 𝑈. 𝜙)+ = 𝜌. 𝑈+ + 𝜑𝑖+1+𝜑𝑖

2 ; (𝜌. 𝑈. 𝜙)− = 𝜌. 𝑈− +

𝜑𝑖+𝜑𝑖−1

2

Г𝜙 𝜕𝜙

𝜕𝑥

+≃ Г𝜙+

𝜑𝑖+1−𝜑𝑖

𝛥𝑥+ ; Г𝜙

𝜕𝜙

𝜕𝑥 −

≃ Г𝜙− 𝜑𝑖−𝜑𝑖−1

𝛥𝑥−

L’équation (III.29) devient pour 𝛥𝑥 = 𝐶𝑡𝑒:

𝜌𝑈+

2 𝜑𝑖+1 + 𝜑𝑖 −

𝜌𝑈−

2 𝜑𝑖 + 𝜑𝑖−1 =

Г𝜙

𝛥𝑥 𝜑𝑖+1 − 𝜑𝑖 −

Г𝜙

𝛥𝑥 𝜑𝑖 − 𝜑𝑖−1 (III.30)

Pour Г𝜙 = 𝐶𝑡𝑒 et 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒 , l’équation (III.30) s’ écrit :

𝜌𝑈

2 𝜑𝑖+1 − 𝜑𝑖−1 =

Г𝜙

𝛥𝑥 𝜑𝑖+1 − 2𝜑𝑖 + 𝜑𝑖−1 (III.31)

Qui peut se mettre sous la forme suivante : 𝑎0 . 𝜙𝑖 = 𝑎1. 𝜙𝑖+1 + 𝑎2. 𝜙𝑖−1

La même équation à été obtenu par des différences finies a la section (III. 2.4).

En générale, la méthode des volumes finis ne donne pas les mêmes équations

discrétisées que les différences finies.

Appliquant maintenant l’équation (III.31) dans un cas simple ou uniquement trois nœuds sont

considérés.

𝜑(𝑥)

𝑖 𝑖 − 1 𝑖 − 2 𝑖 + 1 𝑖 + 2 𝑖 + 3 𝑥


57

Les valeurs de 𝜙1, et 𝜙3 sont utilisée comme conditions aux limites . L’équation (III.31) devient :

1

2. 𝜌. 𝑈 𝜙3 − 𝜙1 =

Г𝜙

𝛥𝑥 𝜙3 − 2𝜙2 + 𝜙1

et :

𝜙2 =1

2. 1 −

𝜌. 𝑈. 𝛥𝑥

2Г𝜙 𝜙3 +

1

2. 1 +

𝜌. 𝑈. 𝛥𝑥

2Г𝜙 𝜙1 ….

On défini :

𝑃𝑒 =𝜌. 𝑈. 𝛥𝑥

Г𝜙

𝑃𝑒 : est le nombre de Peclet qui représente le rapport entre la convection et la diffusion . Donc :

𝜙2 =1

2. 1 −

𝑃𝑒

2 𝜙3 +

1

2. 1 −

𝑃𝑒

2 𝜙1 …. (III.32)

Les variations de 𝜙 entre les limites frontières 𝜙1 et 𝜙3 sont représentées en fonction du

nombre 𝑃𝑒 dans la figure (III .11).

Figure. III.11 : Solution exacte pour le problème convection-diffusion a une dimension

Les formulations utilisées ci – dessus peuvent crée des équations algébriques qui sont

physiquement non réalistes .Une solution consiste à utiliser des distributions polynominales,

l’une des approximations les plus utilisées est basée sur un polynôme de premier ordre dite

« Upwind «. Elle est généralement utilisée pour le flux convectif.

𝜙2?

𝜙1 𝜙3

𝑈 𝑈

𝛥x 𝛥x


58

Figure. III.12 : Approximation UPWIND pour le flux de convection

D’après la figure (III.12), on peut écrire les approximations suivantes :

𝜑 𝑥 = 𝜑𝑖−1 si 𝑥𝑖−1 < 𝑥 < 𝑥𝑖 et 𝑈 > 0

𝜑 𝑥 = 𝜑𝑖 si 𝑥𝑖 < 𝑥 < 𝑥𝑖+1 et 𝑈 > 0 L’utilisation de l’approximation « UPWIND « pour la convection, et une approximation

linéaire pour la diffusion dans l’équation (III.29) résulte en :

𝜌. 𝑈+. 𝜑𝑖 − 𝜌. 𝑈−. 𝜑𝑖−1 = Г𝜙+.𝜑𝑖+1−𝜑𝑖

𝛥𝑥− Г𝜙−.

𝜑𝑖−𝜑𝑖−1

𝛥𝑥 (III.33)

Pour 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒 et Г𝜙 = 𝐶𝑡𝑒

𝜑𝑖 =1+𝑃𝑒

2+𝑃𝑒. 𝜑𝑖−1 +

1

2+𝑃𝑒. 𝜑𝑖+1 (III.34)

Noter que pour 𝑃𝑒 = 0 ; 𝜑𝑖 =1

2(𝜑𝑖−1 + 𝜑𝑖+1)

Et lorsque 𝑃𝑒 ⟼ ∞ ; 𝜑𝑖 ⟼ 𝜑𝑖−1

La formulation « UPWIND » garantie un réalisme physique des équations quelque soit

les valeurs du nombre de Peclet 𝑃𝑒 ; mais l’ordre inférieur du polynôme utilisé peut introduire des erreurs numériques considérables surtout dans le cas les problèmes à deux et trois

dimension.

III.2.5.4.Traitement du terme source 𝑺𝝓 :

Le terme source 𝑆𝜙 présent dans l’équation (III.24) dépend d’une facon générale d’un

certain nombre de variable et de constantes.

Dune manière générale en peut écrire :

𝑆𝜙 = 𝑆(𝜙) (III.35)

Dans plusieurs situations des phénomènes d’écoulement l’expression (III.35) peut s’écrire :

𝑆𝜙 = 𝛼 + 𝐵. 𝜙𝑛 (III.36)

𝜑𝑖−1

𝜑𝑖 𝜑𝑖+1

𝜑+

𝜑−

𝑖 − 1

𝑖

𝑖 + 1

𝒙− 𝒙+


59

Les cas suivants peuvent se présenter :

- Pour 𝐵 > 0 : 𝑆𝜙 représente la génération de la chaleur par réaction chimique .

- Pour 𝐵 < 0 : 𝑆𝜙 représente l’extraction de l’énergie par frottement .

Si 𝜙(x) est exprimée par une relation linéaire de (x) : 𝑆𝜙 . 𝑑𝑥 ≃𝑥+

𝑥− [𝛼 + 𝐵. 𝜑𝑛𝑥+

𝑥−(𝑥)]𝑑𝑥

Sans perdre beaucoup de précision, cette expression peut être écrite :

𝑆𝜙 . 𝑑𝑥 ≃ 𝑆𝜙 𝑥+

𝑥−. 𝛥𝑥 ≃ (𝛼 + 𝜑𝑖

𝑛)𝛥𝑥 (III.37)

D’une façon générale, partant sur la base d’un point de vue numérique, la non-linéarité du

terme 𝑆𝜙 diminue la stabilité de la procédure numérique .pour cela, le terme 𝑆𝜙 doit être

linéarisé.

Soit 𝜑𝑖∗ une valeur approchée ou supposée de 𝜑𝑖 . Le processus de linéarisation de 𝑆𝜙 permet

de substituer 𝑆𝜙 = 𝛼 + 𝐵. 𝜑𝑖𝑛 Par son approximation linéaire :

𝑆𝜙 = 𝛼∗ + 𝐵∗. 𝜑𝑖 (III.38)

Figure. III.13 : Linéarisation de 𝑆𝜙

Considérons l’équation (III.24) dans le cas permanent : 𝜕

𝜕𝑥 𝜌. 𝑈. 𝜙 =

𝜕

𝜕𝑥(Г𝜙 .

𝜕𝜙

𝜕𝑥) + 𝑆𝜙

Qui peut être écrite selon (III.31) :

𝜌𝑈

2 𝜑𝑖+1 − 𝜑𝑖−1 =

Г𝜙

𝛥𝑥 𝜑𝑖+1 − 2𝜑𝑖 + 𝜑𝑖−1 + 𝑆𝜙 . 𝛥𝑥 (III.39)

𝑆𝜙 = 𝛼 + 𝜑𝑖𝑛 Est remplacé par son terme linéarisé 𝑆𝜙 = 𝛼∗ + 𝐵∗. 𝜑𝑖

En divisant par 𝛥𝑥, l’équation (III.39) devient : 𝜌𝑈

2. 𝛥𝑥 𝜑𝑖+1 − 𝜑𝑖−1 =

Г𝜙

𝛥𝑥² 𝜑𝑖+1 − 2𝜑𝑖 + 𝜑𝑖−1 + (𝛼∗ + 𝐵∗. 𝜑𝑖)

Et après réarrangement on obtient :

2Г𝜙

𝛥𝑥²− 𝐵∗ 𝜑𝑖 = 𝛼∗ +

Г𝜙

𝛥𝑥2 +𝜌𝑈

2.𝛥𝑥 𝜑𝑖−1 +

Г𝜙

𝛥𝑥2 +𝜌𝑈

2.𝛥𝑥 𝜑𝑖+1 (III.40)

Le coefficient de linéarisation étant 𝐵∗ < 0 ; ceci augmente le coefficient de 𝜑𝑖 . Ce qui par conséquence permet d’augmenter la stabilité numérique.

Noter que l’équation (III.40) constitue un système d’équations algébriques linéaires qui peut

être résolu par une méthode directe pour obtenir les solutions approchées 𝜑𝑖∗; qui par la suit

est utilisée pour déterminer 𝛼∗et 𝐵∗ l’équation (III.40) est résolue par itération pour la

détermination des valeurs exactes de 𝜑𝑖

III.2.5.5.Approximation des dérivées temporelles :

D’après l’équation (III.25) les processus de convection, diffusion et le terme source sont

exprimés en fonction des valeurs nodales, donc l’équation (III.25) peut s’écrire comme :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌. 𝜑. 𝑑𝑥

𝑥+

𝑥−= 𝐿(𝜑𝑖 , 𝜑𝑖+1, 𝜑𝑖−1, … ) (III.41)

Où 𝐿 est un operateur algébrique qui peut être obtenu à partir des équation(III.30) et (III.34) .


60

Le terme 𝜌. 𝜑. 𝑑𝑥𝑥+

𝑥−peut être déterminé à partir de l’expression choisie à 𝜑(𝑥)

considérons le cas le plus simple :

𝜌. 𝜑. 𝑑𝑥𝑥+

𝑥−≃ 𝜌. 𝜑𝑖 . 𝛥𝑥 (III.42)

Substituant (III.42) dans (III.41) :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌. 𝜑𝑖 . 𝛥𝑥 = 𝐿(𝜑𝑖 , 𝜑𝑖+1, 𝜑𝑖−1, … ) (III.43)

Afin de faire l’approximation temporelle (𝝏

𝝏𝒕), nous allons adopter les mêmes méthodes

utilisées pour les équations différentielles ordinaires :

𝜌. 𝛥𝑥 𝜕𝜑𝑖

𝜕𝑡𝑑𝑡 = 𝐿(𝜑𝑖 , 𝜑𝑖+1, 𝜑𝑖−1, … )𝑑𝑡

𝑡𝑛 +1

𝑡𝑛

𝑡𝑛 +1

𝑡𝑛

𝜌. 𝛥𝑥 𝜑𝑖𝑛+1 − 𝜑𝑖

𝑛 = 𝐿(𝜑𝑖 , 𝜑𝑖+1, 𝜑𝑖−1 , … )𝑑𝑡𝑡𝑛 +1

𝑡𝑛 (III.44)

Ici 𝜑𝑖𝑛 représente la valeur de 𝜑𝑖 à l’instant 𝑡𝑛 et 𝜑𝑖

𝑛+1 a l’instant 𝑡𝑛+1

Pour calculer l’intégrale de l’équation (III.44) les variations sont supposées suivre une

distribution polynomiale de la forme :

𝜑𝑖 𝑡 = 𝜑𝑖𝑛+1 +

𝑡 − 𝑡𝑛+1

𝛥𝑡𝛻𝜑𝑖

𝑛+1 + ⋯

𝜑𝑖−1 𝑡 = 𝜑𝑖−1𝑛+1 +

𝑡−𝑡𝑛 +1

𝛥𝑡𝛻𝜑𝑖−1

𝑛+1 + ⋯ (III.45)

etc …………

Selon la forme d’un polynôme 𝜑(𝑡)les méthodes d’approximation peuvent se classer en trois catégories :

- méthode explicite d’Euler.

- méthode implicite d’Euler.

- méthode d’Euler modifiée ou méthode Crank – Nicolson

a- Méthode explicite globale d’Euler :

𝜑(𝑡): est un polynôme d’ordre zéro

𝜑𝑖 𝑡 ≃ 𝜑𝑖𝑛

𝜑𝑖−1 𝑡 ≃ 𝜑𝑖−1𝑛

𝜑𝑖+1 𝑡 ≃ 𝜑𝑖+1𝑛

Les valeurs de 𝜑𝑖 sont exprimées en fonction des valeurs obtenues au temps antérieure (𝑛) . L’équation (III.44) devient :

𝜑𝑖𝑛+1 − 𝜑𝑖

𝑛 =1

𝜌𝛥𝑥. 𝐿(𝜑𝑖

𝑛 , 𝜑𝑖−1𝑛 , 𝜑𝑖+1

𝑛 )𝛥𝑡 (III.46)


61

b- Méthode implicite globale d’Euler :

𝜑(𝑡): est un polynôme d’ordre zéro

𝜑𝑖 𝑡 ≃ 𝜑𝑖𝑛+1

𝜑𝑖−1 𝑡 ≃ 𝜑𝑖−1𝑛+1

𝜑𝑖+1 𝑡 ≃ 𝜑𝑖+1𝑛+1

Les valeurs de 𝜑𝑖 sont éxprimées en fonction des valeurs au temps (𝑛 + 1 ). L’équation (III.44) s’écrit donc :


𝑛 =1

𝜌𝛥𝑥. 𝐿(𝜑𝑖

𝑛+1, 𝜑𝑖−1𝑛+1, 𝜑𝑖+1

𝑛+1)𝛥𝑡 (III.47)

c- Méthode de Crank – Nicolson :

𝜑(𝑡): Suit un polynôme en premier ordre :

𝜑𝑖 𝑡 = 𝜑𝑖𝑛+1 +


𝑛

𝛥𝑡(𝑡 − 𝑡𝑛+1)

𝜑𝑖−1 𝑡 = 𝜑𝑖−1𝑛+1 +

𝜑𝑖−1𝑛+1 − 𝜑𝑖−1

𝑛


𝜑𝑖+1 𝑡 = 𝜑𝑖+1𝑛+1 +

𝜑𝑖+1𝑛+1 − 𝜑𝑖+1

𝑛


Equation (III.44) s’écrit donc :


𝑛 =1

𝜌𝛥𝑥. 𝐿

𝜑𝑖𝑛 +1−𝜑𝑖

𝑛

2,𝜑𝑖−1

𝑛 +1−𝜑𝑖−1𝑛

2,𝜑𝑖+1

𝑛 +1−𝜑𝑖+1𝑛

2 (III.48)

D’autres méthodes peuvent être obtenus en utilisant des polynômes d’ordre élevé pour 𝜑(𝑡).

III.2.6.Condition aux limites :

La présence de la diffusion rend les coordonnées spatiales x , des coordonnées en

« double direction « , et par la suite le problème est considéré comme un problème aux

frontières .


62

Figure. III.14. Coordonnées double direction (diffusion)

Donc les conditions aux limites doivent être prescrites. En général, les conditions aux limites

se divisent en deux catégories :

- valeur prescrite aux frontières 𝜙𝐹

- gradient prescrite 𝜕𝜙

𝜕𝑥 𝐹 aux frontières qui représente les flux de diffusion.

L’indice 𝐹 représente la frontière.

III.2.6.1.Valeur prescrite 𝝓𝑭:

Réécrivant l’équation (III.25) qui représente l’équation différentielle intégrée dans le

volume de contrôle :

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙𝜕𝑥

𝑥+

𝑥−= −[ 𝜌𝑈𝜙)+ − 𝜌𝑈𝜙 − + [ Г𝜙

𝜕𝜙

𝜕𝑥

+− Г𝜙

𝜕𝜙

𝜕𝑥)− + 𝑆𝜙𝜕𝑥

𝑥+

𝑥− (III.49)

La valeur de 𝜙− à 𝑥 −est préscrite à la frontière :

𝜙− = 𝜙𝐹 donc : 𝜌. 𝑈. 𝜙 − = 𝜌. 𝑈−. 𝜙𝐹

Les équations (III.29) et (III.30) pour 𝑖 = 1 : 1

2. 𝜌. 𝑈−. 𝜑1 + 𝜑0 Est remplacée par (𝜌. 𝑈−. 𝜙𝐹)

Le gradient (𝝏𝝓

𝝏𝒙) est exprimé par exemple comme :

(𝜕𝜙

𝜕𝑥)− =

𝜑1 − 𝜙𝐹

∆𝑥2

Figure. III .15 : conditions aux limites (valeurs prescrite)

𝝓𝑭 𝑥− 𝑥+

𝑈−

𝑖 − 1 𝑖

𝑖 + 1

𝜌. 𝑈. 𝜙 𝜌. 𝑈. 𝜙

Convectio

n

𝜕

𝜕𝑥 Г𝜙 .

𝜕𝜙

𝜕𝑥

Diffusion 𝑥


63

III.2.6.2.Gradient prescrit :

Dans le cas ou la frontière est une paroi, le gradient est prescrit ; plusieurs cas peuvent

se présenter tel que :

-dans le cas de transfert de chaleur avec paroi adiabatique : 𝜕𝜙

𝜕𝑥 𝐹

= 0

- dans le cas de transfert de chaleur avec un flux de chaleur : 𝐽𝜙 = −𝛼 𝑇∞ − 𝑇𝐹

III.3.Solution des équations algébriques (discrétisées) :

La discrétisation des équations différentielles régissant les phénomènes d’écoulement

permet de transformer les variation continues en valeurs discretes données par des équations

algébriques (III.22) (III.31) ; (III.34) et (III.40) . Ces équations peuvent se mettre sous la

forme suivante :

𝑎𝑝 . 𝜙𝑝 = 𝑎𝑗 . 𝜙𝑗 + 𝑏𝑗

𝑎𝑗 . 𝜙𝑗 = 𝑎𝑝 . 𝜙𝑝 − 𝑏𝑗 (III.50)

Où les coefficients 𝑎𝑗 , sont des coefficients qui tiennent compt de l éffet de la convection, la

diffusion, et la source de l’équation différentielle. et 𝑏𝑗 = 𝑆𝜙(𝛥𝑥. 𝛥𝑦. 𝛥𝑧)

L’équation (III.50) représente un système d’équations algébriques couplées qui s’écrit sous

forme matricielle :

. . .

. 𝑎𝑗 .

. . .

.𝜙𝑗

. =

.𝑎𝑝 . 𝜙𝑝 − 𝑏𝑗

. (III.51)

Il est à noter ici que la construction des équations discrétisées a permet d’écrire ces

équation sous forme algébrique (III.50) qui peuvent être résolu par n’importe quelle méthode

de résolution des équations algébriques simultanées

En pratique les méthodes itératives les plus utilisées pour la résolution des problèmes

multi – dimensionnels sont :

- la méthode de Gauss – Siedel (résolution point par point)

- la méthode de résolution ligne par ligne d’élimination de Gauss (algorithme de la

matrice tri diagonale TDMA).

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Methode Numerique de Resolution Des Equations de Navier-stokes