Methodenlehre II, SoSe 2015 - weltoffen - leistungsstark€¦ ·

Methodenlehre II,SoSe 2015

Holger Dette

1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests

2. Korrelation, LineareRegression undmultiple Regression

3. Das allgemeinelineare Modell


Holger Dette

Ruhr-Universitat Bochum

7. Juni 2015

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Holger Dette




Methodenlehre II

I Prof. Dr. Holger DetteI NA 3/73I Telefon: 0234 322 8284I Email: [email protected] Internet: http://www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/

http://www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/dette.htmlI Vorlesung:Montag, 8.30–10.00 Uhr, HGA 10I Thema: Das allgemeine lineare Modell und seine Anwendungen

in der Psychologie

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Statistik-Team

I Ubung: Dienstag, 12.15–13.15 Uhr, HZ0 70Ria Van Hecke; [email protected]

I Tutorium: SPSSI Maxi Godel::

Mo 10:00-12:00 in GAFO 02/365 Mo 12:00-14:00 in GAFO03/974

I Pia Brinkhaus:Di 10:00-12:00 in UFO 01/06

I Ricarda Weiland:Mo 14:00-16:00 in GAFO 02/368Di 08:00-10:00 in GAFO 02/368

I Phillip Ozimek:Do 14:00-16:00 in GAFO 03/901

I Malte Kobelt:Do 14:00-16:00 in GAFO 03/974

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E-Learning

Zur Unterstutzung von Vorlesung und Ubung gibt es einenBlackboardkurs:

I Kurs-ID: 112131-ss15I Kursbezeichnung: ”Statistische Methodenlehre II“I Passwort: mlehre2.

Dort gibt es:I Folien zu Vorlesung und Ubung,I Ubungsaufgaben und Tests, mit denen Bonuspunkte fur die

Klausur erzielt werden konnen undI (zum Semesterende) eine Probeklausur.

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Das allgemeine lineare Modell:

”Ein mathematisches Modell - viele statistischeVerfahren“

Inhaltsverzeichnis

1. Grundlegende Prinzipien der schließenden Statistik am Beispieldes t-Tests

2. Das lineare Regressionsmodell, multiple Regression undKorrelation

3. Das ”allgemeine“ lineare Modell

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Literatur

A. Aron, E.N. Aron, E.J. Coups, Statistics for Psychology,5th Edition, Pearson Prentice Hall

J. Bortz, Statistik, 6. Auflage, Springer

M. Rudolf, J. Muller, Multivariate Verfahren, Hogrefe

P. Zofel, Statistik fur Psychologen, Pearson Studium

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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle

1.2 t-Test fur eineStichprobe

1.3 Zweistichproben-probleme

1.4 EinfaktorielleVarianzanalyse



1. Grundlegende Prinzipien der schließendenStatistik am Beispiel des t-Tests

1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle

1.2 t-Test fur eine Stichprobe

1.3 Zweistichprobenprobleme

1.4 Einfaktorielle Varianzanalyse

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1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle

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Beurteilende Statistik

----

:Spezielle Verteilungen

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111 BEURTEILENDE STATISTIK

So, wenn Ihr es bis zu diesem Punkt geschafft und1 wirklich alles verstanden habt, dann könntet Ihr Euch nun entspannt zurücklehnen und die beurtei-lende Statistik komplett auf Lücke setzen: Denn Ihr habt schon jetzt genug Statistikwissen, um die zum Bestehen notwendige Punktzahl zu erreichen. Falls Ihr Euch aber dessen nicht so sicher seid oder falls Ihr einfach mehr wollt als "nur bestehen", so solltet Ihr aufmerksam die nächsten Seiten lesen, denn oft gibt es bei diesem Thema richtig viele Punkte abzusahnen. In den letzten Kapiteln haben wir uns mit Zufallsvariablen, Wahrscheinlich-keitsverteilungen und all dem drum herum beschäftigt. Meistens waren dabei die Parameter der Verteilungen bekannt und man konnte unmittelbar losle-gen; alles ja mehr oder weniger kein Problem. Aber ohne Euch enttäuschen zu wollen, müssen wir leider mitteilen, dass bei praktischen Anwendungen die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen jedoch eher selten bekannt sind. In solch einer Situation kann man mit der beurteilenden Statistik - aufbauend auf der beschreibenden Statistik und der Wahrscheinlichkeits-

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1 gemeinsam mit Herrn Dr. Romberg.

221

(Oestreich & Romberg, 2012)

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1.1 Beispiel: IntelligenzquotientFragestellung: Haben (15-jahrige) Kinder aus Bochum einenhoheren Intelligenzquotienten als 100?

I 10 Kinder (zufallig ausgewahlt) machen einen IQ-TestDaten: y1, . . . , y10 Stichprobe

i 1 2 3 4 5yi 104 98 106 99 110i 6 7 8 9 10yi 107 100 97 108 112

I Hypothese (IQ der Kinder ist niedriger als 100):

H0 : µ ≤ 100

Alternative (IQ ist hoher als 100):

H1 : µ > 100

Dabei ist µ der (unbekannte) Erwartungswert derGesamtpopulation der (15-jahrigen) Kinder aus Bochum

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Prinzip der schließenden Statistik

Auf Grund der Stichprobe y1, . . . , y10 sollen Aussagen uber dasMerkmal der Grundgesamtheit getroffen werden. Zum Beispiel

I Wie groß ist µ (Schatzung)?

I Kann man ein Intervall bestimmen, in dem µ liegt(Konfidenzintervall)?

I Gilt

H0 : µ ≤ 100 (IQ ist nicht hoher)

oder gilt

H1 : µ > 100 (IQ ist hoher)?

(statistischer Test)

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Grundlegende Schwierigkeit:

I µ ist der Erwartungswert der Population der 15-jahrigen KinderI Auf Basis der Stichprobe soll auf die Grundgesamtheit

geschlossen werden−→ Fehler, Unsicherheiten sind moglich!

I Beispiel: ”zufallig“ wahlen wir 5 hochbegabte Kinder (IQ ≥ 130)fur die Stichprobe aus. Vermutlich wird dadurch µ uberschatzt!

I Ziel der schließenden Statistik:Quantifizierung der Unsicherheit, z. B.mit welcher Wahrscheinlichkeit macht ein statistischer Testeinen Fehler, falls (aufgrund von Daten) fur H1 (IQ ist hoher als100) entschieden wird, obwohl in Wirklichkeit H0 gilt?

I Notwendig fur diese Quantifizierung:Mathematische Modellannahmen

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Zusatzliche Modellannahme: Normalverteilung

I Allgemein gangige Annahme: Intelligenz in einer bestimmtenAltersgruppe der Bevolkerung ist normalverteilt

ϕ(x) =1√

2πσ2exp

(−1

2 (x − µσ

)2)

µ : Erwartungswertσ2 : Varianz

I Deutung: Ist Y der IQ eines zufallig aus der Populationausgewahlten Individuums, so gilt

P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ b

aϕ(x)dx

I Diese Modellannahme sollte man stets rechtfertigen (wie mandas machen kann, sehen wir spater)

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Interpretation der Wahrscheinlichkeiten:

a b

I Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung zwischen denWerten a und b liegt, entspricht der Flache unter der Kurve imIntervall [a, b].

I In Formeln:P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ b

aϕ(x)dx

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Verschiedene Normalverteilungen N(µ, σ2)

Dichten der Normalverteilung mit verschiedenen Parametern

-4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N(0,0.707)N(0,1)N(1,1.25)N(2,2)

I µ: ErwartungswertI σ2: VarianzI Beachte: unter jeder Kurve ist die Flache genau 1

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Motivation der Modellannahme derNormalverteilung

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Mathematisches Modell (hier n = 10): y1, . . . , yn sind

Realisierungen von Zufallsvariablen

Yi = µ+ εi , i = 1, . . . , n

I yi : IQ-Messung fur i-tes Kind(Realisation der Zufallsvariablen Yi )

I µ: (unbekannter) Erwartungswert der Population(hier der 15-jahrigen Kinder aus Bochum)

I ε1, . . . , εn: unabhangige Zufallsvariable, normalverteilt mitErwartungswert 0 und Varianz σ2.Interpretation: Messfehler, genetische Variabilitat, Tagesform ...

I Mathematische Statistik z. B. Maximum Likelihood (in diesemBeispiel auch der gesunde Menschenverstand) liefert Schatzerfur µ:

µ = y · =1n

n∑i=1

yi = 104.1

I Wie genau ist diese Schatzung? Wie sehr streut dieseSchatzung?

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Maß fur die Genauigkeit: Varianz (je kleiner die Varianz, desto

”genauer“ die Schatzung)I Mathematische Statistik (Methodenlehre I): die Varianz des

Schatzers µ ist:

Var(µ) =σ2

nI Beachte:

I Je großer der Stichprobenumfang n, desto kleiner die Varianzvon µ. D.h. desto genauer ist die Schatzung.

I Fur die Beurteilung der Genauigkeit muss man die Varianz σ2

der Population kennen.

I Mathematische Statistik: Schatzung fur den Parameter σ2

σ2 =1

n − 1

n∑i=1

(yi − y ·)2 = 28.32

σ2µ =

σ2

n = 2.832

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Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Oft wird der Schatzer zusammen mit dem Standardfehler

angegeben

µ = 104.1µ+ σµ = 105.78µ− σµ = 102.42

I σµ = σ√n =

√σ2

n = 1.683 ist der Standardfehler des Schatzersµ (Schatzung fur Streuung des arithmetischen Mittels)

I σ = 5.322 ist die aus den Daten geschatzteStandardabweichung (Schatzung fur die Streuung einereinzelnen Beobachtung)

I Deutung: Vor der Datenerhebung ist µ zufallig. Falls dieNormalverteilungsannahme korrekt ist, ist auch µ normalverteiltmit:

- Erwartungswert µ- Varianz σ2

n

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40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

Dic

hte

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Verschiedene Normalverteilungen

x

Y1 ~ N (104.1, 28.32)

((Y1 ++ Y2)) 2 ~ N (104.1, 28.32/2)

((∑∑i==1

10Yi)) 10 ~ N (104.1, 2.832)

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

Dic

hte

40 60 80 100 120 140 160

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

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1.2 Schatzverfahren (Erwartungswert einer Populationunter Normalverteilungsannahme)

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ

I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme

I µ = 1n∑n

i=1 yi Schatzung fur den Erwartungswert µ derPopulation

I σ2 = 1n−1

∑ni=1(yi − y ·)2 Schatzung fur die Varianz der

Population (σ Schatzung fur die Standardabweichung)

I σ2µ = σ2

n Schatzung fur die Varianz von µ

I Schatzung fur den Standardfehler von µ : σµ =√

σ2

n = σ√n

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SPSS-Output: die Schatzer fur die Daten ausBeispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

Statistik StandardfehlerStatistik Statistik Statistik

VarianzStandardabweichungMittelwertN

Intelligenzquotient

Gültige Werte (Listenweise) 10

28,3225,3221,683104,1010

Deskriptive Statistik

µ = 104.1(Mittelwert)σµ = 1.683(Standardfehler)σ2 = 28.322(empirische Varianz)σ = 5.322(Standardabweichung)

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R-Output: die Schatzer fur die Daten ausBeispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

V1

median 105.0000000

mean 104.1000000

SE.mean 1.6829207

CI.mean .0.95 3.8070312

var 28.3222222

std.dev 5.3218627

coef.var 0.0511226

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Beachte:I

µ =1n

n∑i=1

yi ; σ2 =1

n − 1

n∑i=1

(yi − y ·)2 ; σµ =

√σ2

n

hangen von den Daten y1, . . . , yn ab (sind also vorDatenerhebung zufallig)

I (µ− a σµ, µ+ a σµ

)ist (vor der Datenerhebung) ein zufalliges Intervall, das miteiner bestimmten Wahrscheinlichkeit den Erwartungswert µenthalt

a −→ 0 =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 0a −→∞ =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 1

I Gesucht: zufalliges Intervall, das den unbekanntenErwartungswert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitenthalt: Konfidenzintervall

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Das KonfidenzintervallI Gebe eine Wahrscheinlichkeit 1− α vor (z. B. 1− α = 95%)I Bestimme a so, dass das zufallige Intervall

(µ− a σµ, µ+ a σµ)

den Parameter µ mit Wahrscheinlichkeit 1− α enthalt.I Mathematische Statistik liefert

a = tn−1,1−α2

(1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden

I Diese Werte sind tabelliert oder durch Software verfugbar.I Das Intervall

I =(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ

)heißt (1− α) Konfidenzintervall fur µ.

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Verschiedene t-Verteilungen

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t t t

Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

100

4

1

Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

fn(t) =1√πn

Γ((n + 1)/2)

Γ(n/2)

(1 +

t2

n

)−(n+1)/2

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Das Quantil der t-Verteilung mit nFreiheitsgraden

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Dichte der t4 -Verteilung

t 4, 0.95 = 2.132

0.95

P(T4 ≤ t4,0.95) =

∫ t4,0.95

−∞f4(t)dt = 0.95

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Beispiel 1.3 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

I Berechnung eines 90% Konfidenzintervalls fur µ

I n = 10, µ = 104.1, σ2 = 28.32I α = 10%

I (aus Tabelle bzw. Software) t9,0.95 = 1.833I 90% Konfidenzintervall fur µ = (101.02, 107.18)

I Beachte:I Ein (1− α)-Konfidenzintervall ist ein ”zufalliges“ Intervall, das

den (unbekannten) Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit1− α enthalt.

I Die Aussage ”das Intervall (101.02, 107.18) enthalt denunbekannten Erwartungswert der Population mitWahrscheinlichkeit 90%“ hat keinen Sinn!

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Erklarung des Begriffs ”zufalliges“ Intervall durchein ”fiktives“ Experiment

I Annahme: das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)

I jeweils 10 Daten liefern ein (1− α)-Konfidenzintervall(z. B. 95 % Konfidenzintervall)Datensatz 1 −→ Konfidenzintervall I1Datensatz 2 −→ Konfidenzintervall I2

...Datensatz N −→ Konfidenzintervall IN

I ca. (1− α) · N (z. B. 95% · 1000 = 950) Intervalle enthalten den(unbekannten) Erwartungswert µ der Population

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1.4 Konfidenzbereich fur den Erwartungswert einer Po-pulation unter Normalverteilungsannahme

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ

I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme

I Bestimme das tn−1,1−α2 Quantil der t-Verteilung mit n − 1Freiheitsgraden (aus Tabelle oder Software)

I Das Intervall

(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ)

ist ein (1− α) Konfidenzintervall fur µ

I In vielen Softwarepaketen erhalt man direkt dasKonfidenzintervall als Ausgabe (z. B. in SPSS)

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SPSS-Output: Konfidenzintervall fur die Datenaus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere

90% Konfidenzintervall der Differenz

Testwert = 100

Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436

Test bei einer Sichprobe

Beachte:

I SPSS liefert nur ein Konfidenzintervall fur die Differenz µ− 100=⇒ 90% Konfidenzintervall fur den Erwartungswert µ

(101.02, 107.18)

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R-Output: Konfidenzintervall fur die Daten ausBeispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

One Sample t-test

data: IQ

t = 2.4362 , df = 9, p- value = 0.0376

alternative hypothesis : true mean is not equal to 100

90 percent confidence interval :

101.015 107.185

sample estimates :

mean of x

104.1

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1.2 t-Test fur eine Stichprobe

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Beispiel 1.5 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

Frage: Ist der IQ der Kinder aus Bochum hoher als 100?

H0 : µ ≤ 100 H1 : µ > 100

H0 nennt man Nullhypothese und H1 heißt Alternative.I Intuitiv wurde man fur H1 entscheiden, falls der Mittelwert der

Stichprobe

µ =1

10

10∑i=1

yi

”groß“ istI Beachte: µ andert sich, falls man die Daten anders skaliert!I Besser: entscheide fur H1, falls µ groß im Verhaltnis zu dem

Standardfehler σµ ist (Invarianz bzgl. unterschiedlicherSkalierungen)

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Die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird abgelehnt falls

T =µ− 100σµ

> c

Fragen:I Wie legt man den kritischen Wert c fest?

I Bei dem Verfahren konnen 2 Fehler auftreten

I Fehler erster Art: Die Nullhypothese H0 wird abgelehnt, obwohlH0 in Wirklichkeit stimmt (d. h. der IQ ist nicht hoher als 100)

I Fehler zweiter Art: Die Nullhypothese H0 wird nicht abgelehnt,obwohl in Wirklichkeit die Alternative H1 zutrifft (d. h. der IQ isthoher als 100)

Ziel: ”kleine“ Wahrscheinlichkeiten fur Fehler erster und zweiter Art

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Grundlegendes Prinzip der TesttheorieI Der kritische Wert c wird festgelegt, indem man eine maximal

tolerierbare Wahrscheinlichkeit α fur einen Fehler erster Artvorgibt (α-Fehler)!

I Diese Wahrscheinlichkeit heißt Niveau des Tests.I Damit hat man keine Kontrolle uber die Wahrscheinlichkeit eines

Fehlers zweiter Art (β-Fehler)I Z. B. soll die Wahrscheinlichkeit fur Fehler erster Art maximalα = 5% = 0.05 sein.

=⇒ (mathematische Statistik, Tabelle, Software)

n = 10, c = tn−1,1−α = t9,0.95 = 1.833

T =µ− 100σµ

=104.1− 100√

2.832= 2.436 > 1.833

D. h. die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird zum Niveau α = 5%zu Gunsten der Alternative H1 : µ > 100 verworfen(signifikantes Ergebnis zum Niveau 5 %)

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Erklarung des Begriffs Niveau durch ein ”fiktives“Experiment

I Annahme: Das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)

I jeweils 10 Daten liefern ein Ergebnis fur den Test zum Niveau α(z.B. Niveau 5 %)Datensatz 1 −→ Testergebnis 1Datensatz 2 −→ Testergebnis 2

...Datensatz N −→ Testergebnis N

I Falls die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 ”wahr“ ist, so wirdmaximal in ca. αN (z. B. 5% 1000 = 50) Fallen fur dieAlternative

H1 : µ > 100

entschieden.

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Fehler erster und zweiter Art

in der Population giltH0 H1

Entscheidung auf- richtige β-Fehlergrund der Stich- H0 Entscheidungprobe zugunsten richtigevon: H1 α-Fehler Entscheidung

Beachte:

I Die Wahrscheinlichkeiten fur α-Fehler und β-Fehler verandernsich gegenlaufig.

I Bei festem Niveau (Wahrscheinlichkeit fur α-Fehler) kann dieWahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler durch Vergroßerung desStichprobenumfangs verkleinert werden.

I Bei festem Stichprobenumfang wird ”nur“ der Fehler erster Artkontrolliert.

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Die Verteilung von T falls µ = 100 ist.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


α = 5 %

p– Wert

t 9, 0.95 = 1.833 T n = 2.436

I Kritischer Wert: tn−1,0.95 = 1.833 (H0 wird verworfen, falls Tgroßer als der kritische Wert ist)

I Blaue Flache: Niveau (α)I Rote Flache: p-Wert: Wahrscheinlichkeit einen Wert großer als

2.436 zu beobachten: P(T > 2.436) = 0.0188I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel) dann wird

H0 abgelehnt (signifikantes Ergebnis)39 / 347


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Testverfahren fur den Erwartungswert einerStichprobe unter Normalverteilungsannahme

1.6 Einstichproben t-Test fur rechtsseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ ≤ µ0 ; H1 : µ > µ0 (rechtsseitigeHypothese)

I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µI Rechtfertigung der Unabhangigkeits- und

NormalverteilungsannahmeI H0 wird zum Niveau α verworfen, falls

T =µ− µ0σµ

> tn−1,1−α

gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Vertauschen der Hypothesen

1.7 Einstichproben t-Test fur linksseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ ≥ µ0 ; H1 : µ < µ0 (linksseitigeHypothese)



T =µ− µ0σµ

< −tn−1,1−α = tn−1,α

gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Tests fur zweiseitige Hypothesen

1.8 Einstichproben t-Test fur zweiseitige Hypothesen

I Hypothesen: H0 : µ = µ0 ; H1 : µ 6= µ0 (zweiseitigeHypothese)



|T | = | µ− µ0σµ

| > tn−1,1−α/2

gilt, bzw. falls der p-Wert kleiner als α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ

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Die Verteilung von T , falls µ = 100 ist.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

α = 2,5 % α = 2,5 %

p– Wert p– Wert


t 9, 0.975 = 2.262 T n = 2.436 t 9, 0.025 = -2.262 -T n = -2.436

I Blaue Flache: Niveau α; Rote Flache: p-Wert(Wahrscheinlichkeit einen Wert zu beobachten, dessen Betraggroßer als 2.436 ist P(|T | > 2.436) = 0.038

I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel), dann wirdH0 abgelehnt!

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SPSS-Output bei Anwendung des t-Tests auf dieDaten aus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere


Testwert = 100

Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436

Test bei einer Sichprobe

Beachte:

I SPSS liefert nur den p-Wert fur den zweiseitigen t-Test ausBeispiel 1.8!

I Den p-Wert fur den einseitigen Test erhalt man als0.038/2 = 0.019.

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R-Output bei Anwendung des t-Tests auf dieDaten aus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)

One Sample t-test

data: IQ

t = 2.4362 , df = 9, p- value = 0.0376



101.015 107.185

sample estimates :

mean of x

104.1

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Beispiel: t-Test fur den Vergleich von zwei

”verbundenen“ Stichproben

I Eine der wichtigsten Anwendungen der in 1.6, 1.7 und 1.8vorgestellten Verfahren besteht in dem Vergleich von

”verbundenen“ Stichproben (vorher - nachher Untersuchungen)I Beispiel: Untersuchung der Einstellungen von 9 Jungen

gegenuber neutralen Personen vor und nach einemFrustrationserlebnis (Sundenbockfunktion).

VPn 1 2 3 4 5 6 7 8 9Einstell- vorher 38 32 33 28 29 37 35 35 34ung nachher 33 28 34 26 27 31 32 36 30

∆ -5 -4 1 -2 -2 -6 -3 1 -4

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Prinzip: ”Differenzenbildung“I Prinzip:

I Falls kein Unterschied zwischen den Einstellungen vor und nachdem Frustrationserlebnis besteht sollten die Differenzen (nachher- vorher) ”klein“ sein.

I Durch Differenzenbildung (nachher - vorher) erhalt man die

”Daten“ ∆1, . . . ,∆9I Rechtfertigung der Voraussetzungen fur den t-Test aus 1.8 fur

diese ”Daten“.I Wende den t-Test fur eine Stichprobe auf die ”Daten“

∆1, . . . ,∆9 an und teste die Hypothesen

H0 : µ = 0, H1 : µ 6= 0

I Wegen

|T | =

∣∣∣∣−2.6670.816

∣∣∣∣ = 3.27 > 2.31 = t8,0.975

besteht zum Niveau α = 0.05 ein signifikanter Unterschied.

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SPSS-Output: t-Test fur gepaarte Stichproben

Standardfehlerdes Mittelwertes

Standard-abweichungNMittelwert

vorher

nachher

Paaren 1

1,1153,346930,78

1,1193,358933,44

Statistik bei gepaarten Stichproben

SignifikanzKorrelationN

vorher & nachherPaaren 1 ,025,7339

Korrelationen bei gepaarten Stichproben

Standardfehlerdes Mittelwertes

Standard-abweichungMittelwert ObereUntere

95%Konfidenzintervall

der Differenz

Gepaarte Differenzen

vorher - nachherPaaren 1 4,550,784,8162,4492,667

Test bei gepaarten Stichproben

Sig.(2-seitig)dfT

vorher - nachherPaaren 1 ,01183,266

Test bei gepaarten Stichproben

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R-Output: t-Test fur gepaarte StichprobenMittelwert Standardabweichung SA des Mittelwerts

vorher 33.44444 3.35824 1.119413

nachher 30.77778 3.34581 1.115270

One Sample t-test

data: Differenzen

t = 3.266 , df = 8, p- value = 0.01142



0.7838222 4.5495112

sample estimates :

mean of x

2.666667

Pearson ’s product - moment correlation

data: vorher and nachher

t = 2.8511 , df = 7, p- value = 0.02465

alternative hypothesis : true correlation is not equal to 0


0.1342322 0.9396851

sample estimates :

cor

0.7330087

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1.9 Bemerkungen (zu den statistischen Verfahren1.2, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8)

I Mathematische Statistik⇒ unter der Normalverteilungsannahmesind alle hier vorgestellten Verfahren optimal

I Die Normalverteilungsannahme kann (und sollte) manrechtfertigen. Mogliche Verfahren sind:

I statistische Tests fur die Hypothese

H0 : Y1, . . . ,Yn normalverteilt

In SPSS ublich sind- Kolmogorov-Smirnov-Test- Shapiro-Wilk Test

I Explorative Verfahren. In SPSS ublich: QQ-Plot

I Besteht die Normalverteilungsannahme diese Uberprufung nicht,so sind z. B. nichtparametrische Verfahren anzuwenden.

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SPSS Output: QQ-Plot fur die Daten ausBeispiel 1.1

Beobachteter Wert

11511010510095

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

115

110

105

100

95

Q-Q-Diagramm von Normal von Intelligenzquotient

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R Output: QQ-Plot fur die Daten aus Beispiel 1.1

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

100 105 110

9510

010

511

0

Beobachteter Wert

Erw

arte

ter

Wer

t

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Der QQ-PlotI Unter der Modellannahme gilt: die Großen Yi sind normalverteilt

mit Erwartungswert µ und Varianz σ2

I Der QQ-Plot vergleicht grafisch die empirischen Quantile der”Daten“ y1, . . . , yn mit den Quantilen der Normalverteilung mitErwartungswert µ und Varianz σ2.(1) 1/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . yn =⇒ kleinste der

Beobachtungen y(1) (in Beispiel 1.1 ist y(1) = 97)(1− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (im Beispiel 1.1 istz(1) = 104.1− 1.64 · 5.32 = 95.37)1

(2) 2/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . , yn =⇒ zweitkleinste derBeobachtungen y(2) (in Beispiel 1.1 ist y(2) = 98)(2− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (in Beispiel 1.1 istz(2) = 104.1− 1.04 · 5.32 = 98.57)

(3) usw.I Der QQ-Plot ist das Streudiagramm der Daten

(y(1), z(1)), . . . , (y(n), z(n))I In in vielen Fallen enthalt dieses Diagramm noch die

Winkelhalbierende des entsprechenden Quadranten.1http://www.wiso.uni-hamburg.de/uploads/media/normtab_01.pdf 53 / 347

http://www.wiso.uni-hamburg.de/uploads/media/normtab_01.pdf


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1.3 Zweistichprobenprobleme

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1.10 Beispiel: Erkennen von Zahlenreihen

I Studierende der Fachrichtungen Mathematik (M) undPsychologie (P) machen einen Zahlengedachtnistest

I Wie viele Ziffern konnen sich maximal gemerkt werdenI Wiedergabe in Original und umgekehrter Reihenfolge

I Daten (P. Zofel: Statistik fur Psychologen)

M 14 14 15 12 13 19 17 13P 13 14 13 12 16 16 10 16M 14 17 15 13 16 13P

I Frage: Haben Studierende der Mathematik ein besseresZahlengedachtnis als Studierende der Psychologie?

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Mathematisches Modell (n1 = 14, n2 = 8)

I Yij := µi + εij ; j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2

Yij : Ergebnis der j-ten Versuchsperson in Gruppe i(Mathematik: i = 1, Psychologie i = 2)

µi : unbekannter Erwartungswert in der Population i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2)

εij : Messfehler, Tagesform ...

ni : Stichprobenumfang in Gruppe i

I Normalverteilungs- und UnabhangigkeitsannahmeI in jeder Gruppe (i = 1, 2) liegt eine Normalverteilung mit

Erwartungswert µi und Varianz σ2i vor

I in jeder Gruppe sind die Beobachtungen unabhangigI unabhangige Stichproben

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SchatzerI Schatzer werden wie in 1.2 fur jede Gruppe durchgefuhrt

Mathematiker (i = 1): µ1 = y 1· = 1n1

∑n1j=1 y1j = 14.64

σ21 =

1n1 − 1

n1∑j=1

(y1j − y 1·)2 = 3.94⇒ σµ1 =

√σ2

1n1

= 0.53

Psychologen (i = 2): µ2 = y 2· = 1n2

n2∑j=1

y2j = 13.75

σ22 =

1n2 − 1

n2∑j=1

(y2j − y 2·)2 = 4.79⇒ σµ2 =

√σ2

2n2

= 0.77

I Auch Konfidenzbereiche werden gruppenweise bestimmtz. B. ist unter Normalverteilungsannahme(

µ1 − tn1−1,1−α2 σµ1 , µ1 + tn1−1,1−α2 σµ1

)ein 90% Konfidenzintervall fur µ1. Fur das spezielleDatenbeispiel ergibt sich [n1 = 14, α = 10%, t13,0.95 = 1.77 (ausTabelle)](13.70, 15.58) als 90% Konfidenzintervall fur µ1

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SPSS-Output fur die Daten aus Beispiel 1.10

Schatzer fur die Parameter in den einzelnen Gruppen

VarianzMittelwertMathematik

Psychologie

Insgesamt 4,22714,32

4,78613,75

3,94014,64StudienfachStudienfach

Gemerkte Zahlen

Beachte:I SPSS liefert hier die Schatzer fur Erwartungswert und Varianz

der einzelnen GruppenI SPSS liefert außerdem Schatzer fur Erwartungswert und Varianz

der gesamten Stichprobe

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R-Output fur die Daten aus Beispiel 1.10

Schatzer fur die Parameter in den einzelnen Gruppen

Mittelwert Varianz

Mathematik 14.64286 3.939560

Psychologie 13.75000 4.785714

Insgesamt 14.31818 4.227273

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Tests zum Vergleich der Erwartungswerte

I Nullhypothese: Zahlengedachtnis der Psychologiestudenten istnicht schlechter als das der Mathematikstudenten

H0 : µ1 ≤ µ2

I Alternative: Zahlengedachtnis der Mathematikstudenten istbesser als das der Psychologiestudenten

H1 : µ1 > µ2

I Rezept: Verwerfe die Nullhypothese H0 zu Gunsten derAlternative H1, falls die Differenz

y 1· − y 2·

der Schatzer fur die Erwartungswerte ”groß“ ist.

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Rezept im Fall von Varianzhomogenitat, d. h.(σ2

1 = σ22)

I Verwerfe H0 zu Gunsten von H1, falls y 1· − y 2· ”groß“ ist.I Normiere diese Große mit einem Schatzer fur die Standardfehler

der Mittelwertdifferenz:I σµ1−µ2 =

√( 1

n1+ 1

n2)σ2

I σ2 = 1n1+n2−2{(n1 − 1)σ2

1 + (n2 − 1)σ22}: Schatzer fur Varianz

(die in beiden Gruppen dieselbe ist)I Entscheide fur die Alternative H1 : µ1 > µ2, falls

Tn1,n2 =y 1· − y 2·σµ1−µ2

> tn1+n2−2,1−α

gilt. Dabei ist tn1+n2−2,1−α das (1− α)-Quantil der t-Verteilungmit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden

I Im Beispiel ergibt sich fur einen Test zum Niveau α = 5%

σ2 = 4.24, t20,0.95 = 1.725 =⇒ T14,8 = 0.979

d. h. die Hypothese H0 kann nicht verworfen werden.61 / 347


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Testverfahren fur die Erwartungswerte von zweiStichproben unter Normalverteilungsannahme

1.11(a) Einseitiger t-Test fur zwei unabhangige Stich-proben (rechtsseitige Hypothese)

I Dateny11, . . . , y1n1 (Gruppe 1; Erwartungswert µ1; Varianz σ2

1)y21, . . . , y2n2 (Gruppe 2; Erwartungswert µ2; Varianz σ2

2)I Rechtfertigung der Voraussetzungen

I Unabhangigkeit in und zwischen den GruppenI Normalverteilungsannahme (in beiden Gruppen)I Varianzhomogenitat, d. h. σ2

1 = σ22

I Die Hypothese H0 : µ1 ≤ µ2 wird zu Gunsten derAlternative H1 : µ1 > µ2 verworfen, falls

Tn1,n2 =y 1· − y 2·σµ1−µ2

> tn1+n2−2,1−α

gilt, bzw. der p-Wert < α ist. σµ1−µ2 =√

( 1n1

+ 1n2

)σ2 istder Schatzer fur den Standardfehler der Mittelwertdifferenz.

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1.11(b) Einseitiger t-Test fur zwei unabhangige Stich-proben (linksseitige Hypothese)





1 = σ22

I Die Hypothese H0 : µ1 ≥ µ2 wird zu Gunsten derAlternative H1 : µ1 < µ2 verworfen, falls

Tn1,n2 =y 1· − y 2·σµ1−µ2

< −tn1+n2−2,1−α = tn1+n2−2,α


( 1n1

+ 1n2


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1.11(c) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben (zwei-seitige Hypothesen)





1 = σ22

I Die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 (kein Unterschied derErwartungswerte in beiden Gruppen) wird zu Gunsten derAlternative H1 : µ1 6= µ2 verworfen, falls

|Tn1,n2 | =|y 1· − y 2·|σµ1−µ2

> tn1+n2−2,1−α2


( 1n1

+ 1n2


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Bemerkung zur Varianzhomogenitat

Ist die Annahme der Varianzhomogenitat

σ21 = σ2

2

nicht erfullt, so

I wird die vorgegebene Wahrscheinlichkeit fur einen α-Fehler nichteingehalten (der Test halt sein Niveau nicht)

I ist die Wahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler großer

I von Interesse ist daher auch ein Test fur die Hypothesen

H0 : σ21 = σ2

2 H1 : σ21 6= σ2

2

und ein Verfahren, das ohne die Annahme derVarianzhomogenitat auskommt.

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Rezept (fur Test auf Varianzhomogenitat)I Die Nullhypothese H0 : σ2

1 = σ22 gilt genau dann, wenn

F =σ2

1σ2

2= 1

I Schatze den Quotienten der beiden Varianzen, durch

Fn1−1,n2−1 =σ2

1σ2

2=

1n1−1

∑n1j=1(y1j − y 1·)

2

1n2−1

∑n2j=1(y2j − y 2·)

2

I Die Nullhypothese H0 wird zu Gunsten der AlternativeH1 : σ2

1 6= σ22 verworfen, falls

Fn1−1,n2−1 > c2 oder Fn1−1,n2−1 < c1

giltI Die kritischen Werte c1 und c2 werden so festgelegt, dass die

Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler erster Art maximal α ist!

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1.12 F -Test fur den Vergleich von zwei Stichprobenva-rianzen

I TeststatistikFn1−1,n2−1 =

σ21σ2

2

I Die NullhypotheseH0 : σ2

1 = σ22

(die Varianzen sind gleich) wird zu Gunsten der Alternative

H1 : σ21 6= σ2

2

verworfen, falls mindestens eine der Ungleichungen

Fn1−1,n2−1 < Fn1−1,n2−1,α2

Fn1−1,n2−1 > Fn1−1,n2−1,1−α2

erfullt istI Fn1−1,n2−1,β bezeichnet das β-Quantil der F -Verteilung mit

(n1 − 1, n2 − 1) Freiheitsgraden

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Verschiedene F -Verteilungen

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F F F F

Dichten der F– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

2, 10

4, 4

10, 1

20, 20

fm,n(x) =Γ( m+n

2 )

Γ( m2 )Γ( n

2 )

(m2

)m2 x m

2 −1

(1 + mn x)

m+n2

(x ≥ 0)

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Das Quantil der F -Verteilung mit (n1, n2)Freiheitsgraden

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Dichte der F4, 4 -Verteilung

F 4, 4; 0.9 = 4.107

0.9

P(F4,4,≤ F4,4,0.9) =

∫ F4,4,0.9

−∞fm,n(x) dx = 0.90

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Der F -Test auf Varianzhomogenitat fur dieDaten aus Beispiel 1.10 (n1 = 14, n2 = 8)

I σ21 = 3.94 σ2

2 = 4.79 ⇒ F13,7 = 0.823

I Fur das Niveau α = 10% erhalt man

F13,7,0.05 = 0.3531 F13,7,0.95 = 3.5503

und damit kann die Nullhypothese zum Niveau 10% nichtverworfen werden

I Beachte: Oft wird der Test 1.12 verwendet, um dieVoraussetzungen fur den t-Test zu uberprufen

I In diesem Fall wahlt man oft ein großeres Niveau (→ kleinereWahrscheinlichkeit fur β-Fehler)

I Der Gesamttest (erst F -Test, falls H0 nicht verworfen wird, dannt-Test) hat nicht das Niveau α.

I Was macht man, falls F -Test H0 verwirft?

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1.13(a) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)




I Unabhangigkeit in und zwischen den GruppenI Normalverteilungsannahme (in beiden Gruppen)

I Varianzen in den Gruppen sind nicht notwendig gleichI Teststatistik

T Wn1,n2

=y 1· − y 2·

τ

I Dabei ist

τ =√τ 2 =

√σ2

1n1

+σ2

2n2

die Schatzung fur den Standardfehler von y 1· − y 2·

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1.13(b) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)

I Die NullhypotheseH0 : µ1 ≤ µ2

(Erwartungswert der ersten Population nicht großer als derder Zweiten) wird zu Gunsten der Alternative

H1 : µ1 > µ2

fallsT W

n1,n2> tf ,1−α

gilt, bzw. der p-Wert < α ist. Dabei bezeichnet

f =(σ2µ1

+ σ2µ2

)2

σ4µ1

n1−1 +σ4µ2

n2−1

die geschatzten Freiheitsgrade der t-Verteilung.

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1.13(c) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)

I Die NullhypotheseH0 : µ1 ≥ µ2

(Erwartungswert der ersten Population nicht kleiner als derder Zweiten) wird zu Gunsten der Alternative

H1 : µ1 < µ2

verworfen, falls

T Wn1,n2

< tf ,α = −tf ,1−α


f =(σ2µ1

+ σ2µ2

)2

σ4µ1

n1−1 +σ4µ2

n2−1


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1.13(d) t-Test fur zwei unabhangige Stichproben mitnicht notwendig gleichen Varianzen (Welch-Test)

I Die NullhypotheseH0 : µ1 = µ2

(kein Unterschied der Erwartungswerte in beiden Gruppen)wird zu Gunsten der Alternative

H1 : µ1 6= µ2

(es besteht ein Unterschied) verworfen, falls

|T Wn1,n2| > tf ,1−α2


f =(σ2µ1

+ σ2µ2

)2

σ4µ1

n1−1 +σ4µ2

n2−1


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Bemerkung: t-Test oder Welch-Test?

I Sind die Voraussetzungen fur den t-Test erfullt(Normalverteilung, Unabhangigkeit, Varianzhomogenitat),so ist dieses Verfahren optimal, d. h. dieser Test minimiert unterallen Tests zum Niveau α die Wahrscheinlichkeit fur einenβ-Fehler.

I Ist die Voraussetzungen der Varianzhomogenitat beim t-Testnicht erfullt, so wird die vorgegebene Wahrscheinlichkeit fureinen α-Fehler nicht eingehalten.

I Der Welch-Test ist eine ”Naherungslosung“, d. h. dieWahrscheinlichkeit fur einen α-Fehler ist ”nur“naherungsweise α.

I Der Welch-Test hat im Fall der Varianzhomogenitat eine großereWahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler als der t-Test.

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SPSS-Output fur die Daten aus Beispiel 1.10

SignifikanzF Sig. (2-seitig)dfT

T-Test für die MittelwertgleichheitLevene-Test der Varianzgleichheit

Varianzen sind gleich

Varianzen sind nicht gleich

Gemerkte Zahlen

,35813,523,952

,33920,979,752,103

Test bei unabhängigen Stichproben

Standardfehlerder Differenz

MittlereDifferenz ObereUntere


T-Test für die Mittelwertgleichheit

Varianzen sind gleich

Varianzen sind nicht gleich

Gemerkte Zahlen

2,911-1,125,938,893

2,796-1,010,912,893

Test bei unabhängigen Stichproben

Beachte:I SPSS liefert nicht den in 1.12 dargestellten F -Test auf Varianzhomogenitat

sondern ein ”robustes“ Verfahren (Levene-Test)I SPSS liefert nur einen p-Wert fur den zweiseitigen t-Test aus Beispiel

1.11(c) bzw. zweiseitigen Welch-Test aus Beispiel 1.13(d)I SPSS liefert ein Konfidenzintervall fur die Differenz µ1 − µ2 =⇒ 95%

Konfidenzintervall fur die Differenz der Erwartungswerte (unter derAnnahme gleicher Varianzen)

(−1.01, 2.796)76 / 347


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R-Output fur die Daten aus Beispiel 1.10

Levene ’s Test for Homogeneity of Variance ( center = mean)

Df F value Pr(>F)

group 1 0.103 0.7516

20

Two Sample t-test

data: values by ind

t = 0.9789 , df = 20, p- value = 0.3393

alternative hypothesis : true difference in means is not equal to 0


-1.009852 2.795566

sample estimates :

mean in group M mean in group P

14.64286 13.75000

Welch Two Sample t-test

data: values by ind

t = 0.952 , df = 13.523 , p- value = 0.3578

alternative hypothesis : true difference in means is not equal to 0


-1.125361 2.911075

sample estimates :

mean in group M mean in group P

14.64286 13.75000

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1.4 Einfaktorielle Varianzanalyse

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1.14 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 1.10

I An dem Zahlengedachtnistest (vgl. Beispiel 1.10) nehmen auchnoch 7 Studierende der Geisteswissenschaften (G) teil.

M 14 14 15 12 13 19 17 13P 13 14 13 12 16 16 10 16G 11 13 13 10 13 12 13 -M 14 17 15 13 16 13 - -P - - - - - - - -G - - - - - - - -

I Frage: Existieren Unterschiede hinsichtlich desZahlengedachtnisses zwischen dem Studierenden derPsychologie, Mathematik und Geisteswissenschaften?

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Mathematisches Modell (n1 = 14, n2 = 8, n3 = 7)I Yij := µi + εij ; j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2, 3

Yij : Ergebnis der j-ten Versuchsperson in Gruppe i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2,Geisteswissenschaften: i = 3)

µi : unbekannter Erwartungswert in der Population i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2,Geisteswissenschaften: i = 3)

εij : Storgroßen (Erwartungswert 0 und Varianz σ2)

I Normalverteilungs und UnabhangigkeitsannahmeI in jeder Gruppe (i = 1, 2, 3) liegt eine Normalverteilung mit

Erwartungswert µi vorI in jeder Gruppe sind die Beobachtungen unabhangigI unabhangige Stichproben

I NullhypotheseH0 : µ1 = µ2 = µ3

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Schatzer und KonfidenzbereicheI Schatzer fur Erwartungswert und Varianz werden in den

einzelnen Gruppen durchgefuhrt

I Beispiel:y i· σ2

i σµi niMathematik (i = 1) 14.64 3.94 0.53 14Psychologie (i = 2) 13.75 4.79 0.60 8Geisteswissenschaften (i = 3) 12.14 1.48 0.46 7

I µ1 = 14.64 ist Schatzer fur den ”Erwartungswert derMathematiker“

I Beachte: t6,0.95 = 1.943, µ3 + σµ3 t6,0.95 = 13.03µ3 − σµ3 t6,0.95 = 11.25, also ist das Intervall

[11.25, 13.03]

ein 90% Konfidenzintervall fur den ”Erwartungswert derGeisteswissenschaftler“

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SPSS-Output

NStandardfehler

des MittelwertesVarianzMittelwertMathematik

Psychologie

Geisteswissenschaften

Insgesamt 29,3894,38413,79

7,4591,47612,14

8,7734,78613,75

14,5303,94014,64StudienfachStudienfach

Gemerkte Zahlen

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R-Output

Mittelwert Varianz SF des Mittelwerts N

Mathematik 14.64286 3.939560 0.5304688 14

Psychologie 13.75000 4.785714 0.7734431 8

Geisteswissenschaften 12.14286 1.476190 0.4592215 7

Insgesamt 13.79310 4.384236 0.3888195 29

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Prinzip der VarianzanalyseI Ziel: Test fur die Hypothese ”es bestehen keine Unterschiede

zwischen den Gruppen“

H0 : µ1 = µ2 = µ3

I Idee: Bestimme die Streuung der Daten:I Mittelwert aus allen Daten:

y ·· =1n

3∑i=1

ni∑j=1

yij

wobei n = n1 + n2 + n3 = 29 die Gesamtzahl der Beobachtungenbezeichnet.

I Varianz (n = n1 + n2 + n3)

1n − 1

3∑i=1

ni∑j=1

(yij − y ··)2

und versuche Unterschiede in der Merkfahigkeit aufgrund derGruppenzugehorigkeit durch eine Zerlegung der Streuung bzgl.der Gruppen zu erklaren!

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Holger Dette







Prinzip der VarianzanalyseI Zerlegung der Summe der QuadrateI Haufig verwendete Abkurzungen: SS ≡ Sum of squares;

SAQ ≡ Summe der AbweichungsquadrateI Summe der Quadrate innerhalb der Gruppen (within groups)

SSR =

3∑i=1

ni∑j=1

(yij − y i·)2

und

y i· =1ni

ni∑j=1

yij

den Mittelwert aus den Beobachtungen der Gruppe i bezeichnet.I Summe der Quadrate zwischen den Gruppen (between groups)

SSM =

3∑i=1

ni (y i· − y ··)2

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Holger Dette







Prinzip der Varianzanalyse

I Zerlege die Summe der Quadrate in eine durch das Modellerklarte Summe (Varianz zwischen den Gruppen) und eineSumme von Quadraten der nicht erklarten Varianz (Varianzinnerhalb der Gruppen)

SST =3∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y ··)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz (Total)

=3∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y i·)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz innerhalb der Gruppen

+3∑

i=1ni (y i· − y ··)2

︸︷︷︸Varianz zwischen den Gruppen

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Holger Dette







F -Test fur die Hypothese H0 : µ1 = µ2 = µ3(gleiche Erwartungswerte in den drei Gruppen)

I Vergleiche die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianzinnerhalb der Gruppen

F =1

3−1∑3

i=1 ni (y i· − y ··)2

129−3

∑3i=1∑ni

j=1(yij − y i·)2

Falls F ”groß“ ist, wird die Nullhypothese H0 abgelehnt.I Mathematische Statistik ⇒ Test zum Niveau α verwirft die

Nullhypothese H0, falls

F > F2,26,1−α

gilt (Vergleich mit dem (1− α)-Quantil der F -Verteilung mit (2,26) Freiheitsgraden), bzw. falls der zugehorige p-Wert des Testskleiner als α ist.

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Holger Dette







Beispiel 1.15 (Fortsetzung von Beispiel 1.14)I Frage: ”besteht ein Unterschied zwischen den Studierenden der

Facher Psychologie, Mathematik und Geisteswissenschaftenbzgl. des Zahlengedachtnisses“Genauer: Besteht ein Unterschied zwischen denErwartungswerten der drei Gruppen: H0 : µ1 = µ2 = µ3

I n1 = 14, n2 = 8, n3 = 7; α = 5% F2,26,0.95 = 3.37

F =SSM/2SSR/26 =

14.63.6 = 4.06 > 3.37

I D. h. die Hypothese: H0 : µ1 = µ2 = µ3 wird zum Niveau 5%abgelehnt.

I In anderen Worten: zwischen den Studierenden derverschiedenen Facher besteht ein Unterschied

I Beachte: In vielen Fallen ist man an der Frage interessiert,zwischen welchen Gruppen ein Unterschied besteht. Diese Fragebeantwortet der F -Test nicht!

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Holger Dette







F -Verteilung

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dic

hte

F == 4.06

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dic

hte

Dichte der F2,26 −− Verteilung

F2,26,0.95 == 3.37

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dic

hte

http://eswf.uni-koeln.de/glossar/surfstat/fvert.htm89 / 347

http://eswf.uni-koeln.de/glossar/surfstat/fvert.htm


Holger Dette







F -Verteilung

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.00

0.05

0.10

0.15

x

Dic

hte

F2,26,0.95 == 3.37 F == 4.06

Dichte der F2,26 −− Verteilung ((Zoom))

αα == 5%

p−Wert

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.00

0.05

0.10

0.15

x

Dic

hte

I Blaue Flache: Niveau des TestsI Rote Flache: p-Wert (Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert großer

als F = 4.06 beobachtet wird)

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Varianzanalysetabelle (k bezeichnet die Anzahlder Gruppen)

Variabilitat Sum of Squares df SS/df F

zwischen SSM k − 1 SSM/(k − 1) SSMk−1 /

SSRn−k

innerhalb SSR n − k SSR/(n − k)gesamt SST n − 1 SST/(n − 1)

Beispiel (Zahlengedachtnis)

Variabilitat Sum of Squares df SS/df Fzwischen 29.2 2 14.6 4.06innerhalb 93.6 26 3.6gesamt 122.8 28

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SPSS-Output

SignifikanzFMittel der QuadratedfQuadratsumme

Zwischen den Gruppen

Innerhalb der Gruppen

Gesamt 28122,759

3,5992693,571

,0294,05514,594229,187

Gemerkte Zahlen

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R-Output

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

ind 2 29.19 14.594 4.055 0.0293 *

Residuals 26 93.57 3.599

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

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Beispiel 1.16 (Fortsetzung von Beispiel 1.15)I Bei signifikantem Ergebnis der Varianzanalyse (d. h. die

Hypothese gleicher Erwartungswerte wird abgelehnt) stellt sichdie Frage:

”Welche Gruppe ist maßgeblich fur die Signifikanzverantwortlich?“

I Losungsvorschlag: paarweise Vergleiche!Gruppe 1 - Gruppe 2; H12 : µ1 = µ2Gruppe 1 - Gruppe 3; H13 : µ1 = µ3Gruppe 2 - Gruppe 3; H23 : µ2 = µ3

I Jeder Vergleich wird mit dem Zwei-Stichproben-t-Test (vgl.1.11(b)) durchgefuhrt.

I Dabei ist zu beachten, dass das Gesamtverfahren: Verwerfe dieHypothese H0 : µ1 = µ2 = µ3, falls mindestens ein Paarvergleichsignifikant ist das Niveau α einhalt.

I Die t-Tests fur die paarweisen Vergleiche sind mit Niveau α/3durchzufuhren. Man dividiert durch 3, da 3 paarweise Vergleichedurchgefuhrt werden (Bonferroni-Methode)

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Paarweise Vergleiche (α = 5%):I Zwei-Stichproben t-Test-Statistik fur den Vergleich von Gruppe

i mit Gruppe j :

Ti,j =|Yi· − Yj·|

σij

σ2ij =

( 1ni

+1nj

)( 1ni + nj − 2{(ni − 1)σ2

i + (nj − 1)σ2j })

i j Ti,j ni nj tni+nj−2,1−α′/2 p-Wert signifikant1 2 0.98 14 8 2.61 0.339 nein1 3 3.04 14 7 2.62 0.007 ja2 3 1.72 8 7 2.74 0.109 nein

Beachte: Die paarweisen Vergleiche werden zum Niveauα′ = α/3 = 5%/3 = 0.0167 durchgefuhrt ( 3 Vergleiche).

I Mit dieser Methode kann man zum Niveau 5% einensignifikanten Unterschied zwischen den Gruppen feststellen.

I Bonferroni-Methode ist konservativ (d. h. das wirkliche Niveaudes Verfahrens wird unterschatzt).

I Ist die Anzahl der Paarvergleiche groß, so ist dieses Verfahrennicht zu empfehlen.

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Holger Dette







Post-Hoc-Test ”Bonferroni“ in SPSSI Verwendet andere Schatzung fur den Standardfehler der

Differenz der Mittelwerte aus Gruppe i und j :

σ2ij =

(1ni

+1nj

)(1

n − 3

3∑k=1

(nk − 1)σ2k

)

I An Stelle der Quantile der t-Verteilung mit ni + nj − 2Freiheitsgraden mussen dann die Quantile der t-Verteilung mitn − 3 Freiheitsgraden verwendet werden (n = n1 + n2 + n3)

I Das Niveau fur die Paarvergleiche muss dann wieder durch dieAnzahl der Vergleiche dividiert werden (im Beispiel α/3)

I Adjustierung der p-Werte erfolgt durch Multiplikation derp-Werte aus den Paarvergleichen mit der Anzahl der Vergleiche.Z. B.

0.894 = 3 · P(|T12| > 0.893/0.841)

Dabei berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit einert-Verteilung mit 26 = 29− 3 Freiheitsgraden.

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Holger Dette







SPSS-Output paarweise Vergleiche mit derBonferroni-Methode

SignifikanzStandardfehlerMittlere

Differenz (I-J) ObergrenzeUntergrenze

95%-Konfidenzintervall

Psychologie


Mathematik


Mathematik

Psychologie

Mathematik

Psychologie


,91-4,12,341,982-1,607

-,25-4,75,026,878-2,500*

4,12-,91,341,9821,607

1,26-3,04,894,841-,893

4,75,25,026,8782,500*

3,04-1,26,894,841,893(I) Studienfach (J) Studienfach(I) Studienfach (J) Studienfach

Mehrfachvergleiche

Gemerkte ZahlenBonferroni

*. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau 0.05 signifikant.

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Holger Dette







R-Output paarweise Vergleiche mit derBonferroni-Methode

Pairwise comparisons using t tests with pooled SD

data: MPG and group

1 2

2 0.894 -

3 0.026 0.341

P value adjustment method : bonferroni

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Scheffe-Methode (α = 5%)

I Fur den Vergleich der Gruppe i mit j betrachte:

ds(i , j) =

√3− 1

29− 3 SSR · F2,26,0.95(1ni

+1nj

)

=

√2

26 · 93.6 · 3.37(1ni

+1nj

) = 4.93√

1ni

+1nj

und vergleiche diese Große mit Mittelwertdifferenz |y i· − y j·|I Ergebnis (Niveau 5%)

i j |y i· − y j·| ds(i , j) Ergebnis1 2 0.89 2.18 kein sign. Unterschied1 3 2.5 2.28 y 1· sign. großer als y 3·2 3 1.61 2.55 kein sign. Unterschied

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Einige Bemerkungen zur Scheffe-Methode:

I Die Scheffe-Methode garantiert, dass die Wahrscheinlichkeiteines α-Fehlers fur jeden beliebigen a-posteriori durchgefuhrtenEinzelvergleichstests nicht großer ist als der α-Fehler desF -Tests

I Kurz: Die Signifikanzaussagen gelten simultan fur ALLEPaarvergleiche mit dem Gesamtniveau α

I Die Scheffe-Methode ist ein konservatives Verfahren

I Die Wahrscheinlichkeit eines α-Fehlers ist eher kleiner als dasvorgegebene Niveau

I Man entscheidet tendenziell eher zu oft fur H0

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SPSS-Output paarweise Vergleiche mit derScheffe-Methode

SignifikanzStandardfehlerMittlere

Differenz (I-J) ObergrenzeUntergrenze

95%-Konfidenzintervall

Psychologie


Mathematik


Mathematik

Psychologie

Mathematik

Psychologie


,94-4,16,279,982-1,607

-,22-4,78,029,878-2,500*

4,16-,94,279,9821,607

1,29-3,08,576,841-,893

4,78,22,029,8782,500*

3,08-1,29,576,841,893(I) Studienfach (J) Studienfach(I) Studienfach (J) Studienfach

Mehrfachvergleiche

Gemerkte ZahlenScheffé-Prozedur

*. Die Differenz der Mittelwerte ist auf dem Niveau 0.05 signifikant.

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Holger Dette







R-Output paarweise Vergleiche mit derScheffe-MethodeScheffe Test for values

Mean Square Error : 3.598901

ind , means

values std r Min Max

G 12.14286 1.214986 7 10 13

M 14.64286 1.984833 14 12 19

P 13.75000 2.187628 8 10 16

alpha : 0.05 ; Df Error : 26

Critical Value of F: 3.369016

Harmonic Mean of Cell Sizes 8.842105

Comparison between treatments means

Difference pvalue sig LCL UCL

G - M -2.5000000 0.029385 * -4.500921 -0.4990795

G - P -1.6071429 0.279412 -3.844240 0.6299543

M - P 0.8928571 0.575821 -1.022878 2.8085927

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Holger Dette







1.17 Einfaktorielle Varianzanalyse (zum Vergleichvon k unabhangigen Stichproben)

Modellannahmen und HypotheseI Daten (n =

∑ki=1 ni )

y11, . . . , y1n1 (Gruppe 1, Erwartungswert µ1; Varianz σ21)

......

...yk1, . . . , yknk (Gruppe k, Erwartungswert µk ; Varianz σ2

k)

I Nullhypothese: es besteht kein Unterschied zwischen denErwartungswerten der einzelnen Gruppen:

H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk

I Rechtfertigung der VoraussetzungenI Unabhangigkeit zwischen den GruppenI Unabhangigkeit innerhalb der GruppenI NormalverteilungsannahmeI Varianzhomogenitat: σ2

1 = σ22 = . . . = σ2

k 103 / 347


Holger Dette







F-Test fur die einfaktorielle Varianzanalyse (zum Ver-gleich von k unabhangigen Stichproben)

I Die Hypothese H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk gleicherErwartungswert in allen Gruppen wird verworfen, falls

F =1

k−1 SSM1

n−k SSR> Fk−1,n−k,1−α

Dabei ist:

SSM =k∑

i=1ni (y i· − y ··)2

(sum of squares between groups)

SSR =k∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y i·)2

(sum of squares within groups) und Fk−1,n−k,1−α das(1− α)-Quantil der F -Verteilung mit (k − 1, n − k)Freiheitsgraden

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Holger Dette







1.18 Paarweise Vergleich mit der Scheffe-Methode (No-tation wie in 1.15)

I Wird die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk abgelehnt,so kann mit der Scheffe-Methode festgestellt werden

”welche Gruppen fur die Signifikanz verantwortlich sind“!I dazu bestimmt man die Großen (n =

∑ki=1 ni )

ds(i , j) =

√k − 1n − k SSR · Fk−1,n−k,1−α(

1ni

+1nj

)

Ist y i· − y j· großer (bzw. kleiner) als ds(i , j) (bzw. als−ds(i , j)) so ist y i· signifikant großer (bzw. kleiner) als y j·

I Beachte:I insgesamt k(k−1)

2 VergleicheI die Scheffe-Methode halt simultan das Niveau αI es ist moglich, das F -Test H0 ablehnt, aber keiner der

paarweisen Vergleiche signifikant ist!

I Andere Verfahren (z. B. in SPSS implementiert):Tukey-Methode, Duncan Test

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Holger Dette







1.19 Levene-Test auf Varianzhomogenitat von kunabhangigen Stichproben

Modellannahmen und HypotheseI Daten (n =

∑ki=1 ni )

y11, . . . , y1n1 (Gruppe 1, Erwartungswert µ1; Varianz σ21)

......

...yk1, . . . , yknk (Gruppe k, Erwartungswert µk ; Varianz σ2

k)

I Nullhypothese: es liegt Varianzhomogenitat vor, d. h.

H0 : σ21 = σ2

2 = . . . = σ2k

I Rechtfertigung der VoraussetzungenI Unabhangigkeit zwischen den GruppenI Unabhangigkeit innerhalb der GruppenI Normalverteilungsannahme

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Holger Dette







Levene-Test auf Varianzhomogenitat von k un-abhangigen Stichproben

I Die Hypothese der Varianzhomogenitat

H0 : σ21 = σ2

2 = . . . = σ2k

wird verworfen, falls

F =1

k−1∑k

i=1 ni (x i· − x ··)2

1n−k

∑ki=1∑ni

j=1(xij − x i·)2> Fk−1,n−k,1−α

Dabei ist:I n = n1 + . . .+ nk der GesamtstichprobenumfangI x i· = 1

ni

∑nij=1 xij , x ·· = 1

n∑k

i=1

∑nij=1 xij

I xij = |yij − y i·|I Fk−1,n−k,1−α das (1− α)-Quantil der F -Verteilung mit

(k − 1, n − k) Freiheitsgraden.I Beachte:

I Der Test ist robust bzgl. der Normalverteilungsannahme.I Der Test halt ”nur“ naherungsweise das Niveau α.I Alternativer Test: Bartlett Test

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SPSS-Output

Signifikanzdf2df1Levene-Statistik

,3132621,214

Test der Homogenität der Varianzen

Gemerkte Zahlen




Gesamt 28122,759

3,5992693,571

,0294,05514,594229,187

ONEWAY ANOVA

Gemerkte Zahlen

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R-Output

Levene ’s Test for Homogeneity of Variance ( center = mean)

Df F value Pr(>F)

group 2 1.2137 0.3134

26


ind 2 29.19 14.594 4.055 0.0293 *

Residuals 26 93.57 3.599

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

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2. Korrelation, LineareRegression undmultiple Regression2.1 Korrelation

2.2 Lineare Regression

2.3 Multiple lineareRegression

2.4 Multikollinearitat undSuppressionseffekte

2.5 Variablenselektion

2.6 NichtlineareZusammenhange

2.7 Partielle undSemipartielle Korrelation


2. Korrelation, Lineare Regression und multipleRegression

2.1 Korrelation


2.3 Multiple Regression

2.4 Multikollinearitat und Suppressionseffekte


2.6 Nichtlineare Zusammenhange

2.7 Partielle und Semipartielle Korrelation

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2.1 Korrelation

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Holger Dette










2.1 Beispiel: Arbeitsmotivation

I Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einemChemie-Konzern

I 25 Personen werden zufallig ausgewahlt und verschiedeneVariablen gemessen.

I y : Motivation (Einschatzung durch Experten)x : Leistungsstreben (Fragebogen)

I Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Variablen

”Motivation“ und der Variablen ”Leistungsstreben“

I Beachte: Es werden auch noch weitere Variablen gemessen(Ehrgeiz, Kreativitat, Hierarchie, Lohn, Arbeitsbedingungen,Lernpotential, Vielfalt, Anspruch)

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Daten

x 20 30 15 39 5 6 12 0 35y 32 14 12 27 20 13 17 8 22x 8 34 26 32 26 12 36 27 26y 19 25 23 17 22 19 27 26 20x 13 19 25 30 18 21 11y 11 24 19 19 22 24 17

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2.2 Der Korrelationskoeffizient von PearsonI Daten (x1, y1), . . . , (xn, yn)

I Maß fur die (lineare) Abhangigkeit zwischen x und y :Korrelationskoeffizient von Pearson

r = rX ,Y =s2x ,y

sx ,x sy ,y=

∑ni=1(xi − x ·)(yi − y ·)√∑n

i=1(xi − x ·)2∑ni=1(yi − y ·)2

I Dabei ist:I x · = 1

n∑n

i=1 xi : Mittelwert der Daten xi

I y · = 1n∑n

i=1 yi : Mittelwert der Daten yi

I s2x,x = 1

n−1∑n

i=1(xi − x ·)2 : Varianz der Daten xi

I s2y,y = 1

n−1∑n

i=1(yi − y ·)2 : Varianz der Daten yi

I s2x,y = 1

n−1∑n

i=1(xi − x ·)(yi − y ·) : Kovarianz zwischen denDaten xi , yi

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2.3 Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten(1) −1 ≤ r ≤ 1

(2) r = 1 genau dann, wenn ein exakter linearer Zusammenhang

yi = b0 + b1xi

mit b1 > 0 besteht (ohne Storgroßen).

(3) r = −1 genau dann, wenn ein exakter linearer Zusammenhang

yi = b0 + b1xi

mit b1 < 0 besteht (ohne Storgroßen).

(4) Der Korrelationskoeffizient ist invariant bzgl. linearerTransformationen, d. h.

xi = a0 + a1xi i = 1, . . . , nyi = c0 + c1yi i = 1, . . . , n

}⇒ rX ,Y = rX ,Y

(5) Der Korrelationskoeffizient von Pearson ist ein deskriptives Maßfur den linearen Zusammenhang in der Stichprobe(x1, y1), . . . , (xn, yn)

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2.4 Beispiel: Korrelationskoeffizient fur die Datenaus Beispiel 2.1

I Variablenx : Leistungsstrebeny : Motivation

I Korrelationskoeffizient von Pearson

r = 0.5592

I Fragen:I Wie genau ist diese Schatzung?I Ist die Korrelation von 0 verschieden (Unkorreliertheit zwischen

den Merkmalen Leistungsstreben und Motivation)?

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2.5 Signifikanztest fur KorrelationI (x1, y1), . . . , (xn, yn) ist eine Stichprobe (unabhangige

Beobachtungen) aus einer (bivariat) normalverteiltenGrundgesamtheit

I ρ bezeichne die Korrelation des Merkmals X mit demMerkmal Y einer Population; funfter Modellparameterneben µx , µy , σ

2x und σ2

y .I Ein Test zum Niveau α fur die Hypothese ”die Merkmale

sind unkorreliert“H0 : ρ = 0

lehnt die Nullhypothese zu Gunsten der AlternativeH1 : ρ 6= 0 ab, falls∣∣∣∣ √n − 2√

1− r 2r∣∣∣∣ > tn−2,1−α2

gilt.

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2.6(a) Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzungvon Beispiel 2.1)

I n = 25; r = 0.5592; t23,0.975 = 2.0687

I ∣∣∣∣ √n − 2√1− r 2

r∣∣∣∣ = 3.2355 > 2.0687

I Die Nullhypothese H0 : ρ = 0 (keine Korrelation zwischen denMerkmalen) wird zum Niveau 5% verworfen.

I p-Wert: 0.0037

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SPSS Output fur Korrelationskoeffizient

LeistungsstrebenMotivationKorrelation nach Pearson

Signifikanz (2-seitig)

N

Korrelation nach Pearson


N

Motivation

Leistungsstreben

2525

,004

1,000,559**

2525

,004

,559**

1,000

Korrelationen

**. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.

119 / 347


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R-Output fur Korrelationskoeffizient

Motivation Leistungsstreben

Motivation 1.00 0.56

Leistungsstreben 0.56 1.00

n= 25

P

Motivation Leistungsstreben

Motivation 0.0037

Leistungsstreben 0.0037

120 / 347


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2.7 Konfidenzintervall fur KorrelationI ρ: Korrelation zwischen Merkmal x und Merkmal y einer

PopulationI (x1, y1), . . . , (xn, yn): Stichprobe (unabhangige

Beobachtungen) aus einer (bivariat) normalverteiltenGrundgesamtheit

I Mathematische Statistik: r ist ”naherungsweise“ (d. h. beigroßem Stichprobenumfang) normalverteilt mitErwartungswert ρ und Varianz

γ2 = Var(r) ≈ (1− ρ2)2

nI (1− α)-Konfidenzintervall fur den Korrelationskoeffizienten(

r − γz1−α2 , r + γz1−α2)

Hier bezeichnet γ = (1−r2)√n einen Schatzer fur die

Standardabweichung von r und z1−α2 das (1− α2 ) Quantil

der Standardnormalverteilung (Tabelle, Software)121 / 347


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2.6(b) Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzungvon Beispiel 2.1)

I n = 25; r = 0.5592

I z0.95 = 1.6449, γ = 0.1328I ⇒ 90% Konfidenzintervall fur den Korrelationskoeffizient

[0.2739, 0.7541]

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2.8 Hinweise zur Interpretation von KorrelationenI Annahme: Man hat eine signifikante Korrelation zwischen

den Variablen x und y gefundenI Folgende Interpretationen sind moglich

(1) x beeinflusst y kausal(2) y beeinflusst x kausal(3) x und y werden von weiteren Variablen kausal beeinflusst(4) x und y beeinflussen sich wechselseitig kausal

I Die Korrelation zwischen zwei Variablen ist einenotwendige aber keine hinreichende Voraussetzung fureinen kausalen Zusammenhang

I Der Korrelationskoeffizient gibt keine Information, welcheder vier Interpretationen zutrifft (in ”vielen“ Fallen wird dasder Typ (3) sein)

I Korrelationen sollten ohne Zusatzinformation nichtinterpretiert werden!

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Beispiel

I Annahme: Man hat eine signifikante Korrelation zwischenden Merkmalen ”Ehrlichkeit“ und ”Haufigkeit desKirchgangs“ gefunden

I Folgende Interpretationen sind moglichI Die in der Kirche vermittelten Werte haben einen positiven

Einfluss auf das Merkmal ”Ehrlichkeit“.I

”Ehrliche“ Menschen fuhlen sich durch die in der Kirchevermittelten Inhalte eher angesprochen und gehen ausdiesem Grund haufiger zur Kirche.

I Die allgemeine familiare und außerfamiliare Sozialisationbeeinflusst beide Merkmale.

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125 / 347


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2.9 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 2.1




I Kann man y aus x ”vorhersagen“?

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Streudiagramm fur die Daten aus Beispiel 2.9

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n

35

30

25

20

15

10

5

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2.9 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 2.1I Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einem

Chemie-KonzernI 25 Personen werden zufallig ausgewahlt und verschiedene

Variablen gemessen.I y : Motivation (Einschatzung durch Experten)

x : Leistungsstreben (Fragebogen)

I Frage: Besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen derVariablen ”Motivation“ und der Pradiktorvariablen

”Leistungsstreben“ (Kann man y aus x ”vorhersagen“?)

Genauer: Gesucht ist Funktion f , die aus der PradiktorvariablenLeistungsstreben (x) eine Vorhersage fur die abhangige Variable(y) Motivation liefert:

Motivation = f(Leistungsbereitschaft)

I Beachte: Es werden auch noch weitere Variablen gemessen(Ehrgeiz, Kreativitat, Hierarchie, Lohn, Arbeitsbedingungen,Lernpotential, Vielfalt, Anspruch)

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RegressionI Ausgangslage: Von Interesse ist der Zusammenhang zwischen

verschiedenen Variablen. Im einfachsten Fall betrachtet man,wie im Beispiel der Arbeitsmotivation, den Zusammenhangzwischen zwei Variablen.

I Daten: (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)I Annahme: Es existiert ein kausaler Zusammenhang der Form

y = f (x) zwischen der abhangigen Variablen y und derPradiktorvariablen x .Weitere Annahme: Die Funktion f hat eine bestimmte Form.Beispiele:

I Lineare Regression (der Zusammenhang ist also durch eineGerade beschreibbar): y = b0 + b1x

I Quadratische Regression (der Zusammenhang ist also durcheine Parabel beschreibbar): y = b0 + b1x + b2x2

I usw.I Beachte: Der Zusammenhang ist in der Regel nicht exakt zu

beobachten. Mathematisches ModellY = b0 + b1x + ε

Dabei bezeichnet ε eine zufallige Storgroße. Diese Modellbezeichnet man als Lineare Regression. 129 / 347


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2.10 Das Modell der linearen RegressionI Daten (x1, y1), . . . , (xn, yn)

I yi ist Realisation einer Zufallsvariablen Yi (unter derBedingung xi ). Fur den Zusammenhang zwischen denVariablen Yi und xi gilt:

Yi = b0 + b1xi + εi i = 1, . . . , n

I εi bezeichnet hier eine zufallige ”Storung“ und es wirdangenommen, dass die Storungen unabhangig undnormalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianzσ2 > 0

I Deutung: Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen xund y postuliert, der noch zufalligen Storungen unterliegt.

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Idee der Schatzung bei (linearer) Regression

I Daten (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

I Annahme: Es existiert ein linearer Zusammenhang

Y = b0 + b1x + ε

I Gesucht: Diejenige Gerade, die den Zusammenhang zwischen Yund x am besten beschreibt.

I Idee: Bestimme die Gerade so, dass die Summe derquadratischen (vertikalen) Abstande zwischen deny -Koordinaten der Datenpunkte und den entsprechendenPunkten auf der geschatzten Geraden minimal wird Methode der kleinsten Quadrate

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Beispiel: Verschiedene Geraden mit senkrechtenAbstanden zu den Daten

0 10 20 30 40

510

1520

2530

35

x

y

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

y=0.2x+5

0 10 20 30 40

510

1520

2530

35

x

y

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

y=0.5x+10

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Holger Dette










Beispiel: Verschiedene Geraden mit senkrechtenAbstanden zu den Daten: die Losung durch dieMethode der kleinsten Quadrate

0 10 20 30 40

510

1520

2530

35

x

y

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

● y=0.292x+13.816

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2.11 Die Methode der kleinsten QuadrateI Bestimme die Gerade so, dass die Summe der quadrierten

senkrechten Abstande zwischen Gerade und Daten minimalwird

I Datum an der Stelle xi : yiI Wert der Geraden an der Stelle xi : b0 + b1xiI Differenz: yi − (b0 + b1xi )

I Minimiereh(b0, b1) =

∑ni=1(yi − (b0 + b1xi )

)2

bzgl. der Wahl der Parameter b0 und b1.I Losung dieses Extremwertproblems liefert Schatzer fur

Achsenabschnitt und Steigung der Geraden:

b1 =

∑ni=1(xi − x ·)(yi − y ·)∑n

i=1(xi − x ·)2 , b0 = y · − b1x ·

I x · = 1n∑n

i=1 xi : Mittelwert der PradiktorvariablenI y · = 1

n∑n

i=1 yi : Mittelwert der abhangigen Variablen

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Beispiel Arbeitsmotivation: Streudiagramm undRegressionsgerade fur die Daten aus Beispiel 2.1

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n

35

30

25

20

15

10

5

R-Quadrat linear = 0,313

I Schatzer: b0 = 13.82, b1 = 0.29I Fragen:

I Wie genau sind diese Schatzungen?I Besteht ein (signifikanter) Einfluss des Leistungsstrebens auf die

MotivationH0 : b1 = 0

I Wie gut beschreibt das lineare Regressionsmodell die Situation?135 / 347


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Die Genauigkeit der Schatzer fur die ParameterI Beachte: Vor der Datenerhebung sind b0 und b1 zufallig.I Mathematische Statistik (allgemeines lineares Modell) liefert

Schatzer fur die Varianzen von b0 und b1

Schatzer fur die Varianz von b0 : s2b0

=S2

y |x

n

∑ni=1 x2

i∑ni=1(xi − x ·)2

Schatzer fur die Varianz von b1 : s2b1

=S2

y |x

n1

1n∑n

i=1(xi − x ·)2

Dabei bezeichnet

S2y |x =

1n − 2

n∑i=1

(yi − (b0 + b1xi ))2.

die Residualvarianz (Schatzer fur die Varianz der Storgroßen)

I Je großer der Stichprobenumfang n, desto genauer sind dieSchatzungen!

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Fortsetzung von Beispiel 2.1: Schatzer fur die Daten derArbeitsmotivation

I Schatzer fur die Parameter

b0 = 13.82b1 = 0.292

S2y |x = 22.737

I Schatzer fur die Varianz von b0 und b1

s2b0

= 4.5158s2b1

= 0.0081

I Standardfehler von b0 und b1

sb0 =√

4.5158 = 2.125sb1 =

√0.0081 = 0.09

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SPSS Output: Schatzer undStandardabweichungen bei linearer Regression inBeispiel 2.1

StandardfehlerB Beta SignifikanzT

StandardisierteKoeffizientenNicht standardisierte Koeffizienten

(Konstante)

Leistungsstreben

1

,0043,235,559,090,292

,0006,5012,12513,816ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Motivation

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R-Output: Schatzer und Standardabweichungenbei linearer Regression in Beispiel 2.1Call:

lm( formula = y ˜ x)

Residuals :

Min 1Q Median 3Q Max

-8.5766 -2.5679 0.5915 2.8481 12.3437

Coefficients :

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

( Intercept ) 13.81572 2.12504 6.501 1.24e -06 ***

x 0.29203 0.09026 3.235 0.00365 **

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Residual standard error : 4.768 on 23 degrees of freedom

Multiple R- squared : 0.3128 , Adjusted R- squared : 0.2829

F- statistic : 10.47 on 1 and 23 DF , p- value : 0.003655

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2.12 Konfidenzintervalle bei linearer RegressionI Modellannahme: lineare Regression

Yi = b0 + b1xi + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme fur ε1, . . . , εn

I Bestimmung der Schatzer s2b0

und s2b1

fur die Varianzen vonb0 und b1. Damit ist dann

=⇒ (b0 − tn−2,1−α2 sb0 , b0 + tn−2,1−α2 sb0 )

ein (1− α)-Konfidenzintervall fur b0 und

=⇒ (b1 − tn−2,1−α2 sb1 , b1 + tn−2,1−α2 sb1 )

ein (1− α)-Konfidenzintervall fur b1.I Hier ist tn−2,1−α2 das (1− α

2 )-Quantil der t-Verteilung mitn − 2 Freiheitsgraden (tabelliert oder mit Softwareverfugbar)

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2.13 Beispiel: Konfidenzbereiche im Beispiel 2.1(Arbeitsmotivation)

I n = 25, t23,0.975 = 2.0687I Fur das Beispiel der Arbeitsmotivation (vgl. Beispiel 2.1) ergibt

sich als 95% Konfidenzintervall fur

b0 :[9.420, 18.212]

b1 :[0.105, 0.479]

I Frage: Besteht ein (signifikanter) Einfluss der Pradiktorvariablenx auf die abhangige Variable Y ?Mathematische Formulierung: H0 : b1 = 0

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SPSS Output: Konfidenzintervalle bei linearerRegression in Beispiel 2.1

StandardfehlerB Beta SignifikanzT ObergrenzeUntergrenze

95%-Konfidenzintervall für BStandardisierte

KoeffizientenNicht standardisierte Koeffizienten

(Konstante)

Leistungsstreben

1

,479,105,0043,235,559,090,292

18,2129,420,0006,5012,12513,816ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Motivation

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Holger Dette










R-Output: Konfidenzintervalle bei linearerRegression in Beispiel 2.1Call:

lm( formula = y ˜ x)

Residuals :


-8.5766 -2.5679 0.5915 2.8481 12.3437

Coefficients :


( Intercept ) 13.81572 2.12504 6.501 1.24e -06 ***

x 0.29203 0.09026 3.235 0.00365 **

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1




2.5 % 97.5 %

( Intercept ) 9.419734 18.2117042

x 0.105315 0.4787421

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2.14 F -Test fur die Hypothese H0 : b1 = 0I Modellannahme: lineare Regression

Yi = b0 + b1xi + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme fur ε1, . . . , εn

I HypothesenH0 : b1 = 0, H1 : b1 6== 0

I Die Nullhypothese H0 : b1 = 0 wird zu Gunsten derAlternative H1 : b1 6= 0 verworfen, falls

Fn =S2

reg

S2y |x

=11∑n

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

1n−2

∑ni=1(yi − (b0 + b1xi ))2

> F1;n−2,1−α

giltI F1;n−2,1−α bezeichnet das (1− α)-Quantil der F -Verteilung

mit (1, n − 2) Freiheitsgraden

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Holger Dette










Motivation des F -Tests: Zerlegung der Varianz

n∑i=1

(yi − y ·)2

︸︷︷︸Gesamtvarianz

=n∑

i=1(yi − (b0 + bxi ))2

︸︷︷︸Residualvarianz

+n∑

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

︸︷︷︸Varianz der Regression

I Bezeichnungen:

S2reg =

11

n∑i=1

(y · − (b0 + b1xi ))2

heißt Varianz der Regression (diese hat 1 Freiheitsgrad) und

S2y |x =

1n − 2

n∑i=1

(yi − (b0 + b1xi ))2.

ist die Residualvarianz (diese hat n − 2 Freiheitsgrade).I Andere Interpretationen:- Schatzung fur die Varianz der Großen εi- durch das lineare Regressionsmodell nicht erklarbare Varianz

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Motivation des F -Tests: Zerlegung der Varianz

n∑i=1

(yi − y ·)2


=n∑

i=1(yi − (b0 + bxi ))2

︸︷︷︸Residualvarianz

+n∑

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

︸︷︷︸Varianz der Regression

= (n − 2) · S2y |x + ·S2

reg

Beachte:

I Bei dem F -Test fur die Hypothese H0 : b1 = 0 bildet man denQuotienten aus der Varianz der Regression und derResidualvarianz

I Man untersucht also das Verhaltnis zwischen erklarbarer undnicht erklarbarer Varianz.

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2.15 Varianzanalyse (ANOVA; analysis of variance)

Art der Freiheits- Quadrat- F -QuotientAbweichung grade (df ) summe schatzer

Regression 1∑n

i=1(y · − yi )2 Fn = S2

reg/S2y |x

Fehler n − 2∑n

i=1(yi − yi )2 —

Total n − 1∑n

i=1(yi − y ·)2 —

Bezeichnung:

yi = b0 + b1xi Vorhersage an der Stelle xi

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SPSS Output: F -Test bei linearer Regression inBeispiel 2.1


Regression

Residuen

Gesamt

1

24760,960

22,73723522,945

,004a

10,468238,0151238,015ModellModell

ANOVAb

a. Einflußvariablen : (Konstante), Leistungsstreben

b. Abhängige Variable: Motivation

Beachte:I F25 = 10.468, F1,23,0.95 = 4.2793I Da F25 = 10.468 > 4.2793 wird die Nullhypothese H0 : b1 = 0

zu Gunsten der Alternative H1 : b1 6= 0 zum Niveau 5%verworfen (p-Wert: 0.004)

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R-Output: F -Test bei linearer Regression inBeispiel 2.1Analysis of Variance Table

Response : y


x 1 238.01 238.015 10.468 0.003655 **

Residuals 23 522.95 22.737

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Beachte:I F25 = 10.468, F1,23,0.95 = 4.2793I Da F25 = 10.468 > 4.2793 wird die Nullhypothese H0 : b1 = 0

zu Gunsten der Alternative H1 : b1 6= 0 zum Niveau 5%verworfen (p-Wert: 0.004)

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Holger Dette










Modellgute: ”wie geeignet“ ist das Modell fur dieBeschreibung der Daten

I Maß fur Modellanpassung: Residualvarianz (Summe derquadrierte Abstande von der Regressionsgerade):

S2y |x =

1n − 2

n∑i=1

(yi − (b0 + b1xi )

)2

I Beachte: S2y |x ist ein Schatzer fur die Varianz der Messfehler

I Je kleiner S2y |x , desto ”besser“ ist das (lineare)

RegressionsmodellI Streuung der Daten ohne die ”Information“, dass ein lineares

Modell vorliegt:n∑

i=1(yi − y·)2

I Man untersucht welchen Anteil der Streuung∑n

i=1(yi − y·)2

man durch das lineare Modell erklaren kann.

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Varianzzerlegung: ein extremes Beispiel

0 5 10 15 20

10

20

30

40

Unabhängige Variable

Abh

ängi

ge V

aria

ble

0 5 10 15 20

10

20

30

40

xy

Beachte:I Die Grafik zeigt eine extreme Situation.I Die Streuung der Daten ist durch das lineare Regressionsmodell

zu 100% erklarbar!∑n

i=1(yi − y ·)2 =∑n

i=1(y · − (b0 + b1xi ))2

I Residualvarianz (durch das lineare Regressionsmodell nichterklarbare Varianz) = 0

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2.16 Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzungvon Beispiel 2.1):

25∑i=1

(yi − y ·)2 = 760.96

25∑i=1

(y · − (b0 + b1xi ))2 = 238.04

R2 =

∑25i=1(y · − (b0 + b1xi ))2∑25

i=1(yi − y ·)2= 0.313

d. h. 31.3% der Varianz der Variablen Motivation konnen durch die

Pradiktorvariable Leistungsstreben erklart werden.

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Holger Dette










2.17 Modellgute: das Bestimmtheitsmaß

I Die Große

R2 = 1−∑n

i=1(yi − (b0 + b1xi ))2∑ni=1(yi − y ·)2 =

∑ni=1(y · − (b0 + b1xi ))2∑n

i=1(y · − yi )2

ist ein Maß fur die Gute der Regression und heißtBestimmtheitsmaß.

I Beachte: Man kann zeigen, dass R2 genau das Quadrat derKorrelation ist.

I Je ”besser“ das Modell ist, desto kleiner ist dieResidualvarianz, bzw. desto großer R2!

I Das Bestimmtheitsmaß R2 liegt immer zwischen 0 und 1

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Zusammenhang zwischen Bestimmtheitsmaß undF -Test

I Ist Fn die Statistik fur den F -Test aus 2.14 und R2 dasBestimmtheitsmaß, dann gilt:

R2 =1

n−2 Fn

1 + 1n−2 Fn

I In anderen Worten: die Statistik Fn des F -Test aus 2.5 kann ausdem Bestimmtheitsmaß berechnet werden (und umgekehrt)

I Im Beispiel des Zusammenhangs zwischen Motivation undLeistungsstreben ist

Fn = 10.468 =⇒ R2 =10.468

231 + 10.468

23= 0.313

Ca. 31.3% der Variation der Variablen Motivation konnen durchdie Variable Leistungsstreben erklart werden.

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Vorhersagen: es gibt zwei unterschiedliche

2.18 Vorhersage fur den Wert der Geraden an einerStelle x

I Schatzung fur den Wert der Geraden y(x) = b0 + b1x ander Stelle x :

y(x) = b0 + b1xI (1− α)-Konfidenzintervall fur y(x)

(y(x)− tn−2;1−α2 · sy(x), y(x) + tn−2;1−α2 · sy(x))

wobeis2y(x) = S2

y |x

(1n +

(x − x ·)2∑ni=1(xi − x ·)2

)den Schatzer fur die Varianz von Y (x) bezeichnet

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Vorhersagen: es gibt zwei unterschiedliche

2.19 Vorhersage fur eine neue Beobachtung an einerStelle x

I Schatzer fur eine neue Beobachtung Y (x) = b0 + b1x + εan der Stelle x :

y(x) = b0 + b1xI (1− α)-Konfidenzintervall fur y(x)

(y(x)− tn−2;1−α2 · sy(x), y(x) + tn−2;1−α2 · sy(x))

wobei

s2y(x) = S2

y |x

(1 +

1n +

(x − x ·)2∑ni=1(xi − x ·)2

)den Schatzer fur die Varianz von y(x) + ε bezeichnet.

I Beachte: Diese Varianz wird bei wachsendemStichprobenumfang nicht beliebig klein!

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Holger Dette










2.20 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 2.1(1) Gesucht ist ein 90% Konfidenzintervall fur den Wert der

Geraden an der Stelle x = 16I t23,0.95 = 1.714, S2

y|x = 22.737, s2y(x) = 1.116, y(16) =

b0 + 16b1 = 18.49I Das 90% Konfidenzintervall fur den Wert der Geraden an der

Stelle 16 ist gegeben durch

[16.677, 20.299]

(2) Gesucht ist ein 90% Konfidenzintervall fur eine neueBeobachtung der Stelle x = 16

I t23,0.95 = 1.714, S2y|x = 22.737, s2

y(x) = 23.85, y(16) =

b0 + 16b1 = 18.49I Das 90% Konfidenzintervall fur eine neue Beobachtung an der

Stelle 16 ist gegeben durch

[10.118, 26.859]

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SPSS Output: Vorhersagen bei linearerRegression in Beispiel 2.1 (schwierig)

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SPSS Output: Konfidenzintervalle furVorhersagen bei linearer Regression in Beispiel2.1

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n

35

30

25

20

15

10

5

16.0

159 / 347


Holger Dette










2.21 ResiduenanalyseI Unter der Modellannahme des linearen Regressionsmodells

gilt: die Großenεi = Yi − b0 − b1xi

sind unabhangig und normalverteilt mit Erwartungswert 0und Varianz σ2 > 0.

I Das bedeutet, dass diese Eigenschaften auch

”naherungsweise“ fur die Residuenεi = yi − b0 − b1xi

erfullt sein sollte, falls die Modellannahme zutrifft.I Residuenanalyse ist ein deskriptives Verfahren fur die

Uberprufung der Annahmen an ε1, . . . , εn mit 4Teilschritten (oft werden auch nicht alle gemacht):

A: Das Streudiagramm der Daten mit der RegressionslinieB: Ein Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten

WerteC: Normalverteilungs-QQ-Plot der ResiduenD: Histogramm der Residuen mit angepasster

Normalverteilungsdichte160 / 347


Holger Dette










Residuenanalyse bei ”erfullten“ Voraussetzungen

−2 −1 0 1 2

−2

0

2

4

6

8 A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

0 2 4 6−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0C

Theoretische Quantile der Standardnormalvert.

Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

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Holger Dette










Residuenanalyse bei ”Abweichungen“ von derNormalverteilung (Ausreißer)

−2 −1 0 1 2

−10

0

10

20

A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

0 2 4 6 8

−10

−5

0

5

10

15

20B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10

15

20C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−15 −10 −5 0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

162 / 347


Holger Dette










Residuenanalyse bei StratifizierungBeachte: verschiedene Untergruppen (Strata) konnen ebenfalls zuAbweichungen von den Modellannahmen fuhren. Fur die Stratakonnen dann unterschiedliche Regressionsgleichungen gelten.

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10

15A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

−2 0 2 4 6

−10

−5

0

5

10B

Vorhergesagter WertR

esid

uum

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−10 −5 0 5 10

0.00

0.05

0.10

0.15

163 / 347


Holger Dette










Residuenanalyse bei falscher Modellannahme

−2 −1 0 1 2−60

−40

−20

0

20

40

A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

−30 −20 −10 0 10 20 30 40

−20

−10

0

10

B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2

−20

−10

0

10

C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−30 −20 −10 0 10 20

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Statt des linearen Modells ware ein Polynom 3. Grades die bessereAnnahme fur die Beschreibung des funktionalen Zusammenhangs!

164 / 347


Holger Dette










Residuenanalyse bei ungleichen Varianzen(Heteroskedastizitat)

−2 −1 0 1 2

−40

−30

−20

−10

0

10

20

A


Abh

ängi

ge V

aria

ble

−2 0 2 4 6

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30B

Vorhergesagter Wert

Res

iduu

m

−2 −1 0 1 2

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30C


Em

piris

che

Qua

ntile

D

Residuum

f(R

esid

uum

)

−40 −20 0 20

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

165 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Residuenanalyse in Beispiel 2.1

Leistungsstreben

403020100

Mo

tiva

tio

n35

30

25

20

15

10

5

R-Quadrat linear = 0,313

Streudiagramm und geschatzte Regressionsgerade im Beispiel derArbeitsmotivation

166 / 347


Holger Dette










R-Output fur Residuenanalyse

0 10 20 30 40

1020

30

Leistungsstreben

Mot

ivat

ion

QQ-Plot im Beispiel der Arbeitsmotivation

167 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Residuenanalyse in Beispiel 2.1

Standardized Predicted Value

2,000001,00000,00000-1,00000-2,00000

Sta

nd

ard

ized

Res

idu

al3,00000

2,00000

1,00000

,00000

-1,00000

-2,00000

Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten Werte imBeispiel der Arbeitsmotivation

168 / 347


Holger Dette










R-Output: Residuenanalyse in Beispiel 2.1

14 16 18 20 22 24

−10

05

10

Fitted values

Res

idua

ls

lm(y ~ x)

Residuals vs Fitted

1

219

Streudiagramm und geschatzte Regressionsgerade im Beispiel derArbeitsmotivation

169 / 347


Holger Dette










SPSS Output fur Residuenanalyse

Beobachteter Wert

3210-1-2

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

2

1

0

-1

-2

Q-Q-Diagramm von Normal von Standardized Residual

QQ-Plot im Beispiel der Arbeitsmotivation

170 / 347


Holger Dette










R-Output: Residuenanalyse in Beispiel 2.1

−2 −1 0 1 2

−2

01

23

Theoretical Quantiles

Sta

ndar

dize

d re

sidu

als

lm(y ~ x)

Normal Q−Q

1

219

Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten Werte imBeispiel der Arbeitsmotivation

171 / 347


Holger Dette










Korrelation und lineare Regression

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen linearer Regressionund Korrelation

I Ist b1 die Schatzung im linearen Regressionsmodell und r derKorrelationskoeffizient von Pearson, dann gilt:

r =

√∑ni=1(xi − x ·)2∑ni=1(yi − y ·)2 · b1

I Ist R2 das Bestimmtheitsmaß und r der Korrelationskoeffizientvon Pearson, dann gilt:

r 2 = R2

172 / 347


Holger Dette










2.3 Multiple lineare Regression

173 / 347


Holger Dette










2.22 Beispiel: ”Arbeitsmotivation mit mehrerenPradiktoren”y : Motivation (Einschatzung der Arbeitsmotivation durch Experten)

Pradiktoren: EigenschaftenI x1: Ehrgeiz (Fragebogen)I x2: Kreativitat (Fragebogen)I x3: Leistungsstreben (Fragebogen)

Pradiktoren: RahmenbedingungenI x4: Hierarchie (Position in der Hierarchie des Unternehmens)I x5: Lohn (Bruttolohn pro Monat)I x6: Arbeitsbedingungen (Zeitsouveranitat,

Kommunikationsstruktur usw.)

Pradiktoren: Inhalte der TatigkeitI x7: Lernpotential (Lernpotential der Tatigkeit)I x8: Vielfalt (Vielfalt an Teiltatigkeiten)I x9: Anspruch (Komplexitat der Tatigkeit)

174 / 347


Holger Dette










Daten

i y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x91 32 36 30 20 20 3100 34 29 69 662 14 30 11 30 7 2600 39 16 47 363 12 19 15 15 8 3200 42 13 32 174 27 42 16 39 13 2500 43 15 63 495 20 14 22 5 22 3700 42 29 38 626 13 12 16 6 11 2600 36 17 39 517 17 17 20 12 11 2500 41 18 44 558 8 4 5 0 16 3800 23 9 31 339 22 32 20 35 20 3500 25 21 40 55

10 19 15 13 8 13 3100 29 21 57 5611 25 38 5 34 21 3600 59 27 53 6712 23 24 6 26 9 2600 45 31 54 62

175 / 347


Holger Dette










Daten

i y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x913 17 28 11 32 10 2600 30 7 45 2614 22 36 4 26 16 2500 52 23 56 6415 19 18 26 12 6 2500 40 17 54 5516 27 40 27 36 12 2500 42 29 44 6217 26 30 28 27 18 3000 38 34 43 6418 20 27 11 26 10 2600 35 19 46 5519 11 18 23 13 11 2800 42 18 31 4320 24 32 18 19 15 2700 48 23 51 5321 19 33 9 25 6 2400 38 23 37 6522 19 33 22 30 5 2600 36 30 39 3923 22 27 28 18 17 4000 45 23 52 5424 24 30 32 21 11 2700 44 20 41 4725 17 37 8 11 2 2300 32 20 44 41

176 / 347


Holger Dette










2.23 Das Modell der multiplen linearen RegressionI Daten (x1, y1), . . . , (xn, yn)

I Es gibt k unabhangige Variablen: x i = (x1i , . . . , xki )

I yi ist Realisation einer Zufallsvariablen Yi (unter derBedingung x i ). Fur den Zusammenhang zwischen derVariablen Yi und dem Vektor x i gilt (im Beispiel ist k = 9):

Yi = b0 + b1x1i + b2x2i + . . .+ bkxki + εi

= b0 +k∑

j=1bjxji + εi .

I εi bezeichnet hier eine zufallige ”Storung” und es wirdangenommen, dass die Storungen ε1, . . . , εn unabhangigund normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianzσ2 > 0.

I Deutung: Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen xund Y postuliert, der noch zufalligen Storungen unterliegt.

177 / 347


Holger Dette










2.24 Schatzung bei multipler linearer RegressionI Methode der kleinsten Quadrate: Minimiere

n∑i=1

(yi − b0 − b1x1i − . . .− bkxki )2

bzgl. der Wahl von b0, . . . , bk

I Mathematische Statistik (allgemeines lineares Modell)liefert Schatzer

b0, b1, . . . , bk

fur die Parameter b0, . . . , bk (Formeln sind kompliziert)I Schatzer fur die Varianz der Messfehler

S2y |x =

1n − k − 1

n∑i=1

(yi − b0 − b1x1i − . . .− bkxki )2

178 / 347


Holger Dette










Streudiagramm bei multipler linearer Regression(k = 2)Regressionsflache: y(x) = 3.24 + 4.5x1 + 5.27x2.

−5

0

5−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

X2

X1

Y

179 / 347


Holger Dette










Fortsetzung von Beispiel 2.22: Schatzer immultiplen linearen Regressionsmodell

I Ergebnisse fur die Schatzer im multiplen linearenRegressionsmodell

b0 = −3.842 b1 = 0.193b2 = 0.153 b3 = 0.049b4 = 0.246 b5 = 0.000b6 = −0.031 b7 = 0.165b8 = 0.206 b9 = −0.053

I Fragen:I Wie genau sind diese Schatzungen?I Besteht ein (signifikanter) Einfluss der unabhangigen Merkmale

auf die MotivationH0 : b1 = 0H0 : b2 = 0

...I Wie gut beschreibt das multiple lineare Regressionsmodell die

Situation?180 / 347


Holger Dette










Genauigkeit der Schatzung bei multipler linearerRegression

I Schatzer sb0 , . . . , sbk fur die Standardfehler von b0, . . . , bk sindverfugbar (Allgemeines lineares Modell → Formeln kompliziert)

I Anmerkung: Fur wachsenden Stichprobenumfang konvergierendie Schatzer sbj gegen 0 ”je großer der Stichprobenumfang,desto genauer die Schatzungen”

I Damit erhalt man Konfidenzintervalle fur b0, . . . , bk , z. B.

(b0 − tn−k−1,1−α2 sb0 , b0 + tn−k−1,1−α2 sb0 )

ist (1− α)-Konfidenzintervall fur b0.

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Holger Dette










Fortsetzung von Beispiel 2.22: Schatzer fur denStandardfehler der Schatzer im multiplen linearenRegressionsmodell

I Ergebnisse fur den Standardfehler der Schatzer im multiplenlinearen Regressionsmodell

sb0 = 5.052 sb1 = 0.081sb2 = 0.049 sb3 = 0.065sb4 = 0.148 sb5 = 0.001sb6 = 0.054 sb7 = 0.098sb8 = 0.052 sb9 = 0.058

I Wegen t15,0.975 = 2.1314 ist

[−0.089, 0.188]

ein 95%-Konfidenzintervall fur den Parameter b3. Man beachte:I 0.049 + 2.1314 · 0.065 ≈ 0.188)I n = 25; k = 9 ⇒ n − k − 1 = 15

182 / 347


Holger Dette










2.25 Konfidenzintervalle fur multiple lineare RegressionI Modellannahme: multiple lineare Regression

Yi = b0 +k∑

j=1bjxji + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme

I Schatzer sbj fur den Standardfehler von bj

=⇒ (bj − tn−k−1,1−α2 sbj , bj + tn−k−1,1−α2 sbj )

ist ein (1− α)-Konfidenzintervall fur bj (j = 0, . . . , k)

I tn−k−1,1−α2 ; (1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit n− k − 1

Freiheitsgraden (Tabelle oder Software)I Anmerkung: Fur wachsenden Stichprobenumfang

konvergieren die Schatzer sbj gegen 0 ”je großer derStichprobenumfang, desto kleiner die Konfidenzintervalle”

183 / 347


Holger Dette










2.26 Beispiel: Konfidenzintervalle fur dieParameter in Beispiel 2.22 (Arbeitsmotivation)

bj Merkmal Schatzung sbj Konfidenzintervallb0 — -3.842 5.052 [-14.609, 6.926]b1 Ehrgeiz 0.193 0.081 [0.020, 0.365]b2 Kreativitat 0.153 0.049 [0.049, 0.258]b3 Leistungsstreben 0.049 0.065 [-0.089, 0.188]b4 Hierarchie 0.246 0.148 [-0.069, 0.561]b5 Lohn 0.000 0.001 [-0.004, 0.002]b6 Arbeitsbdg. -0.031 0.054 [-0.147, 0.085]b7 Lernpotential 0.165 0.098 [-0.044, 0.373]b8 Vielfalt 0.206 0.052 [0.095, 0.316]b9 Anspruch 0.053 0.058 [-0.070, 0.177]

184 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Schatzer, Standardabweichungund Konfidenzintervalle im Beispiel 2.22(Arbeitsmotivation mit mehreren Pradiktoren)

StandardfehlerB Beta

SignifikanzT ObergrenzeUntergrenze


Koeffizienten

NichtstandardisierteKoeffizienten

(Konstante)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

1

,177-,070,372,920,124,058,053

,316,095,0013,973,354,052,206

,373-,044,1131,683,199,098,165

,085-,147,573-,576-,045,054-,031

,002-,004,564-,589-,077,001,000

,561-,069,1171,664,235,148,246

,188-,089,458,761,095,065,049

,258,049,0073,127,234,049,153

,365,020,0312,381,337,081,193

6,926-14,609,459-,7605,052-3,842ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: Y

185 / 347


Holger Dette










R-Output: Schatzer, Standardabweichung undKonfidenzintervalle im Beispiel 2.22(Arbeitsmotivation mit mehreren Pradiktoren)Call:

lm( formula = y ˜ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9)

Residuals :


-3.5333 -0.7878 -0.0144 0.8352 2.9391

Coefficients :


( Intercept ) -3.8418391 5.0517520 -0.760 0.45875

x1 0.1927225 0.0809357 2.381 0.03094 *

x2 0.1533724 0.0490456 3.127 0.00692 **

x3 0.0493953 0.0648797 0.761 0.45826

x4 0.2460051 0.1478258 1.664 0.11683

x5 -0.0008827 0.0014981 -0.589 0.56449

x6 -0.0313833 0.0544449 -0.576 0.57288

x7 0.1647413 0.0978616 1.683 0.11299

x8 0.2056107 0.0517518 3.973 0.00122 **

x9 0.0533844 0.0580076 0.920 0.37198

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1



F- statistic : 21.97 on 9 and 15 DF , p- value : 4.492e -07

2.5 % 97.5 %

( Intercept ) -14.609393640 6.925715428

x1 0.020212256 0.365232828

x2 0.048834252 0.257910529

x3 -0.088892612 0.187683168

x4 -0.069078063 0.561088342

x5 -0.004075849 0.002310442

x6 -0.147429821 0.084663199

x7 -0.043845720 0.373328278

x8 0.095304292 0.315917155

x9 -0.070255862 0.177024655

186 / 347


Holger Dette










2.27 Vorhersage der multiplen linearen RegressionI Modellannahme: multiple lineare Regression

Yi = b0 +k∑

j=1bjxji + εi (i = 1, . . . , n)

I Rechtfertigung der Normalverteilungs- undUnabhangigkeitsannahme

I Vorhersage fur den Wert der multiplen Regression an derStelle x = (x1, . . . , xk) (im Beispiel ist k = 9)y(x) = b0 +

∑kj=1 bjxj

I In Beispiel 2.22 ergibt sich z. B. als Vorhersage dermultiplen linearen Regression an der Stelle

x1 = 21, x2 = 30, x3 = 15, x4 = 11, x5 = 2900,x6 = 41, x7 = 25, x8 = 55, x9 = 54

der Wert y(x) = 22.717

187 / 347


Holger Dette










Vorhersage der multiplen linearen RegressionBeachte: Wie in Abschnitt 2.18 und 2.19 gibt es zwei Vorhersa-

gen:

I Vorhersage fur den Wert der multiplen Regression an derStelle x = (x1, . . . , xk) (im Beispiel ist k = 9)

I Vorhersage fur den Wert einer neuen Beobachtung an derStelle x = (x1, . . . , xk) (im Beispiel ist k = 9)

I Fur beide Vorhersagen kann man den Standardfehlerbestimmen (Formeln kompliziert) und Konfidenzbereicheangeben (vgl. Abschnitt 2.18 und 2.19 fur den Fall k = 1 )

188 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Vorhersage bei der multiplenlinearen Regression (schwierig)

Beispiel:I Schatzung fur den Wert der ”Ebene” an der Stelle

x = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : 14.348I Schatzung fur eine weitere Beobachtung an der Stelle

x = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : 14.348189 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Konfidenzintervalle furVorhersagen bei multipler linearer Regression

I Konfidenzintervall fur den Wert der ”Ebene” an der Stellex = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : [12.399, 16.297]

I Konfidenzintervall fur eine weitere Beobachtung an der Stellex = (18, 23, 13, 11, 2800, 42, 18, 31, 43) : [9.870, 18.826]

190 / 347


Holger Dette










2.28 Bestimmtheitsmaß bei multipler linearer Regression

I Modellvorhersage:

yi = b0 + b1x1i + . . . bkxki = b0 +k∑

j=1bjxji

I Residuum εi = yi − yi = yi − (b0 +∑k

j=1 bjxji )

I Beachte: Die Werte der abhangigen Variable zerfallen inModellvorhersage (y) und Residuum (ε), d. h.

yi = yi + εi i = 1, . . . , n

I Die Gute der Modellanpassung wird (wieder) durch dasBestimmtheitsmaß R2 beschrieben (Anteil erklarterVarianz)

R2 = 1−∑n

i=1(yi − yi )2∑n

i=1(yi − y ·)2 =

∑ni=1(y · − yi )

2∑ni=1(yi − y ·)2 .

191 / 347


Holger Dette










Beispiel: Das Bestimmtheitsmaß fur das Beispiel2.22 (Arbeitsmotivation)

In Beispiel 2.22 ist

I n = 25; k = 9I∑n

i=1(yi − yi )2 = 53.651

I∑n

i=1(yi − y ·)2 = 760.96I

R2 = 1− 53.651760.96 = 92.95

D. h. 92.95% der Varianz der Variablen Motivation werden durch dasmultiple lineare Regressionsmodell erklart.

192 / 347


Holger Dette










2.29 Statistische Tests bei der multiplen linearen Regres-sion. Zwei ”wichtige” Fragestellungen:

I Frage A: Hat mindestens eine der Pradiktorvariablenx1, . . . , xk einen Einfluss auf die abhangige Variable y(Gesamttest auf Signifikanz).

I Mathematische Formulierung der Hypothese:Nullhypothese:

H0 : bj = 0 fur alle j ∈ {1, 2, . . . , k}

Alternative:

H1 : bj 6= 0 fur mindestens ein j ∈ {1, 2, . . . , k}

I Frage B: Hat die Pradiktorvariable xj (z. B. Ehrgeiz) einenEinfluss auf die abhangige Variable y .

I Mathematische Formulierung der Hypothese:

Nullhypothese: H0 : bj = 0Alternative: H1 : bj 6= 0

193 / 347


Holger Dette










2.29(A) Gesamttest auf SignifikanzI Nullhypothese: H0 : bj = 0 fur alle j ∈ {1, 2, . . . , k}

Alternative: H1 : bj 6= 0 fur mindestens einj ∈ {1, 2, . . . , k}

(1) Bestimme

S2reg =

1k

n∑i=1

(y · − yi )2

die Varianz der Regression, und

S2y|x =

1n − k − 1

n∑i=1

(yi − yi )2

die ResidualvarianzI Beachte: Man geht genau wie im linearen

Regressionsmodell vor!

194 / 347


Holger Dette










2.29(A) Gesamttest auf Signifikanz(2) H0 wird zu Gunsten der Alternative H1 verworfen, falls

Fn =S2

reg

S2y|x

> Fk;n−k−1;1−α

gilt (oder der entsprechende p-Wert kleiner als α ist).Dabei bezeichnet Fk;n−k−1;1−α das (1− α)-Quantil derF -Verteilung mit (k, n − k − 1) Freiheitsgraden.

I Beachte: Wird H0 durch diesen Test verworfen, dann bleibtaber noch unklar, ”welches der Merkmale signifikant ist”.

195 / 347


Holger Dette










2.29(B) Tests fur die Signifikanz einzelner Merkmale

Nullhypothese:H0 : bj = 0

Alternative:H1 : bj 6= 0

I Die Nullhypothese H0 wird zu Gunsten der Alternative H1verworfen, falls

Tn =

∣∣∣∣∣ bjsbj

∣∣∣∣∣ > tn−k−1;1−α2

gilt (oder der entsprechende p-Wert kleiner als α ist).Dabei ist

I tn−k−1;1−α2 das (1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit

n − k − 1 FreiheitsgradenI sbj der Standardfehler von bj

I Beachte: Werden mehrere Hypothesen getestet, ist dasNiveau entsprechend anzupassen (vgl. Abschnitt 2.18).

196 / 347


Holger Dette










2.30(A) Test auf Signifikanz im multiplen Regressions-modell in Beispiel 2.22

I Frage: ”Hat eine der 9 Pradiktorvariablen einen Einfluss aufdie abhangige Variable?”

I Mathematische Hypothesen:

H0 : bj = 0 fur alle j = 1, . . . , 9

H1 : bj 6= 0 fur mindestens ein j ∈ {1, . . . , 9}

I Fn = 21.972, F9,15,0.95 = 2.5876

I Da Fn > 21.972 > 2.5876 ist, wird die Nullhypothese zumNiveau 5% verworfen.

197 / 347


Holger Dette










2.30(B) Beispiel: Test auf Signifikanz einesMerkmals im multiplen linearenRegressionsmodell in Beispiel 2.22

I Frage: ”Hat die Pradiktorvariable Ehrgeiz (x1) einen Einfluss aufdie abhangige Variable Motivation Signifikanz desRegressionskoeffizienten b1)?”

I Mathematische Hypothesen:

H0 : b1 = 0; H1 : b1 6= 0

I b1 = 0.193, sb1 = 0.081, t25−10,0.975 = 2.13

⇒ T25 = 2.381I Da

T25 = 2.381 > 2.13

wird die Nullhypothese H0 zu Gunsten der AlternativeH1 : b1 6= 0 verworfen (zum Niveau 5%)

198 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Der Test 2.29(A) fur das Beispiel2.22 (Arbeitsmotivation)


Regression

Residuen

Gesamt

1

24760,960

3,5771553,651

,000a

21,97278,5909707,309ModellModell

ANOVAb

a. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x5, x2, x3, x6, x8, x7, x4, x1

b. Abhängige Variable: Y

199 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Der Test 2.29(B) fur das Beispiel2.22 (Arbeitsmotivation)




Koeffizienten


(Konstante)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

1

,177-,070,372,920,124,058,053

,316,095,0013,973,354,052,206

,373-,044,1131,683,199,098,165

,085-,147,573-,576-,045,054-,031

,002-,004,564-,589-,077,001,000

,561-,069,1171,664,235,148,246

,188-,089,458,761,095,065,049

,258,049,0073,127,234,049,153

,365,020,0312,381,337,081,193

6,926-14,609,459-,7605,052-3,842ModellModell

Koeffizientena


200 / 347


Holger Dette










R-Output: Der Test 2.29(B) fur das Beispiel 2.22(Arbeitsmotivation)Call:

lm( formula = y ˜ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9)

Residuals :


-3.5333 -0.7878 -0.0144 0.8352 2.9391

Coefficients :


( Intercept ) -3.8418391 5.0517520 -0.760 0.45875

x1 0.1927225 0.0809357 2.381 0.03094 *

x2 0.1533724 0.0490456 3.127 0.00692 **

x3 0.0493953 0.0648797 0.761 0.45826

x4 0.2460051 0.1478258 1.664 0.11683

x5 -0.0008827 0.0014981 -0.589 0.56449

x6 -0.0313833 0.0544449 -0.576 0.57288

x7 0.1647413 0.0978616 1.683 0.11299

x8 0.2056107 0.0517518 3.973 0.00122 **

x9 0.0533844 0.0580076 0.920 0.37198

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

201 / 347


Holger Dette













2.5 % 97.5 %

( Intercept ) -14.609393640 6.925715428

x1 0.020212256 0.365232828

x2 0.048834252 0.257910529

x3 -0.088892612 0.187683168

x4 -0.069078063 0.561088342

x5 -0.004075849 0.002310442

x6 -0.147429821 0.084663199

x7 -0.043845720 0.373328278

x8 0.095304292 0.315917155

x9 -0.070255862 0.177024655

202 / 347


Holger Dette










2.4 Multikollinearitat und Suppressionseffekte

203 / 347


Holger Dette










2.31 Das Problem der Multikollinearitat

Beispiel: Betrachte in dem Beispiel der ”Arbeitsmarktmotivation” einmultiples lineares Regressionsmodell mit 3 Pradiktorvariablen

Yi = b0 + b1x1i + b2x2i + b3x3i + εi i = 1, . . . , 25

(Y : Motivation, x1 : Ehrgeiz, x2: Kreativitat, x3: Leistungsstreben)I Schatzer fur die Modellparameter

i bi sbi p-Wert0 5.54 2.621 0.39 0.14 0.0082 0.23 0.09 0.0203 0.001 0.12 0.994

I Bestimmtheitsmaß R2 = 0.7861I Beachte: Nur fur den Koeffizient b3 (Leistungsstreben) kann

keine Signifikanz (zum Niveau 5%) nachgewiesen werden.

204 / 347


Holger Dette










Korrelationsmatrix fur die Pradiktoren

Motivation Ehrgeiz Kreativitat LeistungsstrebenMotivation 1Ehrgeiz .71 1Kreativitat .38 .05 1Leistungsstreben .56 .82* -.02 1

Beachte: Der Test 2.5 liefert eine signifikante Korrelation (zumNiveau 1%) zwischen den Variablen Leistungsstreben und Ehrgeiz(SPSS)

205 / 347


Holger Dette










I Beachte: Es gibt eine signifikante Korrelation zwischen denVariablen Leistungsstreben und Ehrgeiz

I Beide Variablen tragen weitgehend identische Information.I Im Beispiel ist die Variable Leistungsstreben redundant und wird

nicht fur die Vorhersage der abhangigen Variablen Motivationbenotigt.

I Die Variable Ehrgeiz ist starker mit der Variablen Motivationkorreliert als die Variable Leistungsstreben (aus diesem Grund istder entsprechende Koeffizient auch signifikant).

I Fur die Bestimmtheitsmaße in den multiplen linearenRegressionsmodellen mit drei bzw. zwei Variablen erhalt man

R2 = 0.786179 fur Modell mit den Pradiktoren x1, x2, x3

R2 = 0.786178 fur Modell mit den Pradiktoren x1, x2

206 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Multikollinearitat; Schatzer imModell mit 3 Parametern




Koeffizienten


(Konstante)

x1

x2

x3

1

,257-,255,994,008,002,123,001

,410,040,0202,528,343,089,225

,674,112,0082,913,688,135,393

10,983,095,0462,1162,6185,539ModellModell

Koeffizientena


207 / 347


Holger Dette










R-Output: Multikollinearitat; Schatzer im Modellmit 3 ParameternCall:

lm( formula = y ˜ x1 + x2 + x3)

Residuals :


-6.7996 -1.5635 -0.2354 1.8129 6.6490

Coefficients :


( Intercept ) 5.538618 2.617828 2.116 0.04649 *

x1 0.393239 0.135012 2.913 0.00832 **

x2 0.224767 0.088899 2.528 0.01954 *

x3 0.001002 0.123169 0.008 0.99359

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1




2.5 % 97.5 %

( Intercept ) 0.09454548 10.9826895

x1 0.11246653 0.6740124

x2 0.03989035 0.4096435

x3 -0.25514150 0.2571450

208 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Multikollinearitat;Korrelationsmatrix

x3x2x1YKorrelation nach Pearson


N



N



N



N

Y

x1

x2

x3

25252525

,939,000,004

1,000-,016,818**

,559**

25252525

,939,802,061

-,0161,000,053,379

25252525

,000,802,000

,818**

,0531,000,708**

25252525

,004,061,000

,559**

,379,708**

1,000

Korrelationen


209 / 347


Holger Dette










R-Output: Multikollinearitat; KorrelationsmatrixY x1 x2 x3

Y 1.00 0.71 0.38 0.56

x1 0.71 1.00 0.05 0.82

x2 0.38 0.05 1.00 -0.02

x3 0.56 0.82 -0.02 1.00

n= 25

P

Y x1 x2 x3

Y 0.0000 0.0613 0.0037

x1 0.0000 0.8025 0.0000

x2 0.0613 0.8025 0.9388

x3 0.0037 0.0000 0.9388210 / 347


Holger Dette










2.32 Das Problem der Suppressionseffekte

Beispiel: Betrachte in dem Beispiel 2.22 der

”Arbeitsmarktmotivation” ein multiples lineares Regressionsmodellmit 3 anderen Pradiktorvariablen

Yi = b0 + b4x4i + b5x5i + b6x6i + εi i = 1, . . . , 25

(Y : Motivation, x4: Hierarchie, x5: Lohn, x6: Arbeitsbedingungen)I Schatzungen fur die Modellparameter

i bi sbi p-Wert0 25.08 8.40 0.0074 0.88 0.26 0.0025 -0.01 0.003 0.0166 0.13 0.12 0.308

211 / 347


Holger Dette










Korrelationsmatrix fur die Variablen Motivation,Hierarchie, Lohn und Arbeitsbedingungen

Motivation Hierarchie Lohn ArbeitsbedingungenMotivation 1Hierarchie .42* 1Lohn -.04 .72** 1Arbeitsbedingungen .35 .16 -.06 1

Beachte:I Zwischen der Pradiktorvariablen Lohn (x5) und der abhangigen

Variablen Motivation liegt keine signifikante Korrelation vor.I Dennoch bekommt diese Variable im multiplen

Regressionsmodell ein signifikantes Gewicht; d. h. die HypotheseH0 : b5 = 0 wird zum Niveau 5% verworfen (p-Wert: 0.016).

I Man spricht von einem Suppressionseffekt.

212 / 347


Holger Dette










I Grund fur diesen scheinbaren Widerspruch: Korrelationen sindbivariate Maße fur Zusammenhange (zwischen zweiMerkmalen). Das Modell der multiplen Regression untersuchtaber den Zusammenhang zwischen der Variablen Motivation unddem (3-dimensionalen) Pradiktor (x4, x5, x6):

I Motivation ist stark mit der Variablen Hierarchie korreliert.I Lohn ist ebenfalls stark mit der Variablen Hierarchie korreliert.I Pradiktorvariable Lohn wird in der multiplen linearen Regression

benotigt, um ”unerwunschte” Varianzanteile der VariablenHierarchie zu kompensieren.

I Bestimmtheitsmaße fur verschiedene ModelleR2 = 0.664282 fur Modell mit x4, x5, x6

R2 = 0.509720 fur Modell mit x4, x6

213 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Suppressionseffekte; Schatzer imModell mit 4 Parametern



Koeffizienten


(Konstante)

x4

x5

x6

1

,375-,124,3081,045,179,120,125

-,001-,013,016-2,612-,632,003-,007

1,419,350,0023,444,843,257,884

42,5397,612,0072,9868,39825,076ModellModell

Koeffizientena


214 / 347


Holger Dette










R-Output: Suppressionseffekte; Schatzer imModell mit 4 ParameternCall:

lm( formula = y ˜ x4 + x5 + x6)

Residuals :


-8.656 -2.823 1.351 3.262 7.574

Coefficients :


( Intercept ) 25.075612 8.397555 2.986 0.00704 **

x4 0.884461 0.256842 3.444 0.00244 **

x5 -0.007291 0.002792 -2.612 0.01630 *

x6 0.125417 0.120023 1.045 0.30793

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1




2.5 % 97.5 %

( Intercept ) 7.61193961 42.539283478

x4 0.35032937 1.418593269

x5 -0.01309771 -0.001485116

x6 -0.12418401 0.375017297

215 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Suppressionseffekte; Schatzungder Korrelationsmatrix

x6x5x4YKorrelation nach Pearson


N



N



N



N

Y

x4

x5

x6

25252525

,777,435,082

1,000-,060,163,354

25252525

,777,000,856

-,0601,000,717**

-,038

25252525

,435,000,037

,163,717**

1,000,419*

25252525

,082,856,037

,354-,038,419*

1,000

Korrelationen

*. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,05 (2-seitig) signifikant.


216 / 347


Holger Dette










R-Output: Suppressionseffekte; Schatzung derKorrelationsmatrix

Y x4 x5 x6

Y 1.00 0.42 -0.04 0.35

x4 0.42 1.00 0.72 0.16

x5 -0.04 0.72 1.00 -0.06

x6 0.35 0.16 -0.06 1.00

n= 25

P

Y x4 x5 x6

Y 0.0369 0.8562 0.0823

x4 0.0369 0.0000 0.4352

x5 0.8562 0.0000 0.7774

x6 0.0823 0.4352 0.7774

217 / 347


Holger Dette











218 / 347


Holger Dette










2.33 Merkmalselektionsverfahren

I Ziel: Mit moglichst wenig Pradiktorvariablen eine guteVorhersage der abhangigen Variablen zu erzielen.

I Prinzip: Untersuche wie sich durch Weglassen einzelnerVariablen das Bestimmtheitsmaß R2 verandert.

Typische Selektionsprozeduren:

I RuckwartsverfahrenI VorwartsverfahrenI Schrittweise Verfahren

I Beachte: Es handelt sich um explorative Verfahren, diehauptsachlich der Modellbildung dienen (Interpretationnicht einfach).

219 / 347


Holger Dette










2.34 Das Ruckwartsverfahren

I Betrachte das vollstandige Modell (mit allen Pradiktorvariablen)und berechne das Bestimmtheitsmaß R2.

I Entferne sukzessive diejenigen Variablen, die zu dem geringstenRuckgang des Bestimmtheitsmaßes fuhren wurden.

I Das Verfahren wird abgebrochen, falls sich bei dem Entferneneiner Variablen das Bestimmtheitsmaß ”signifikant” verkleinert.

220 / 347


Holger Dette










2.35 Beispiel: Variablenselektion mit demRuckwartsverfahren (vgl. Beispiel 2.22)

Schritt Pradiktorvariablen t-Wert Ausgeschlossene Variablen R2

1 Ehrgeiz 2.38 .929Kreativitat 3.13Leistungsstreben .76Hierarchie 1.66Lohn -.59Arbeitsbedingungen -.58Lernpotential 1.68Vielfalt 3.97Anspruch .92

2 Ehrgeiz 2.38 Arbeitsbedingungen .928Kreativitat 3.28Leistungsstreben .79Hierarchie 1.66Lohn -.57Lernpotential 1.66Vielfalt 4.04Anspruch .91

221 / 347


Holger Dette










Beispiel: Ruckwartsverfahren - FortsetzungSchritt Pradiktorvariablen t-Wert Ausgeschlossene Variablen R2

3 Ehrgeiz 2.54 Arbeitsbedingungen .926Kreativitat 3.43 LohnLeistungsstreben .88Hierarchie 2.11Lernpotential 1.59Vielfalt 4.17Anspruch 1.35

4 Ehrgeiz 5.40 Arbeitsbedingungen .923Kreativitat 3.38 LohnHierarchie 2.31 LeistungsstrebenLernpotential 1.55Vielfalt 4.12Anspruch 1.31

5 Ehrgeiz 5.18 Arbeitsbedingungen .916Kreativitat 3.16 LohnHierarchie 2.84 LeistungsstrebenLernpotential 3.31 AnspruchVielfalt 5.04

222 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Ruckwartsverfahren im Beispielder Arbeitsmotivation

MethodeEntfernteVariablenAufgenommene Variablen

1

2

3

4

5 Rückwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Ausschluß >= ,100).x9.

Rückwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Ausschluß >= ,100).x3.



Eingeben.x9, x5, x2, x3, x6, x8, x7, x4, …ModellModell

Aufgenommene/Entfernte Variablenb

a. Alle gewünschten Variablen wurden aufgenommen.

b. Abhängige Variable: Y

223 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Ruckwartsverfahren im Beispielder Arbeitsmotivation

Standardfehlerdes Schätzers

KorrigiertesR-QuadratR-QuadratR

Änderung in Signifikanz von

Fdf2df1Änderung in FÄnderung in R-Quadrat

Änderungsstatistiken

1

2

3

4

5 ,2071811,713-,0071,837,894,916,957e

,389171,783-,0031,803,897,923,961d

,575161,327-,0011,814,896,926,963c

,573151,332-,0021,851,892,928,963b

,00015921,972,9291,891,887,929,964a

ModellModell

Modellzusammenfassung


b. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x5, x2, x3, x8, x7, x4, x1

c. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x2, x3, x8, x7, x4, x1

d. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x2, x8, x7, x4, x1

e. Einflußvariablen : (Konstante), x2, x8, x7, x4, x1

224 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Ruckwartsverfahren im Beispielder Arbeitsmotivation: ANOVA


Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

1

2

3

4

5

24760,960

3,3741964,108

,000e

41,306139,3705696,852

24760,960

3,2521858,538

,000d

35,999117,0706702,422

24760,960

3,2921755,960

,000c

30,596100,7147705,000

24760,960

3,4271654,840

,000b

25,75288,2658706,120

24760,960

3,5771553,651

,000a

21,97278,5909707,309ModellModell

ANOVAf


b. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x5, x2, x3, x8, x7, x4, x1

c. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x2, x3, x8, x7, x4, x1

d. Einflußvariablen : (Konstante), x9, x2, x8, x7, x4, x1


f. Abhängige Variable: Y

225 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Ruckwartsverfahren im Beispielder Arbeitsmotivation: Koeffizienten



KoeffizientenNicht standardisierte

Koeffizienten

(Konstante)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

(Konstante)

x1

x2

x3

x4

x5

x7

x8

x9

(Konstante)

x1

x2

x3

x4

1

2

3

,344,000,0502,113,164,081,172

,185-,076,389,885,105,062,055

,258,061,0033,431,244,046,159

,354,033,0212,540,338,076,193

-2,877-11,431,003-3,5292,027-7,154

,172-,068,374,914,121,057,052

,312,097,0014,040,352,051,205

,358-,044,1171,655,190,095,157

,002-,004,575-,572-,073,001,000

,545-,066,1161,660,228,144,240

,185-,084,441,790,096,063,050

,258,056,0053,285,239,048,157

,353,020,0302,376,326,079,187

5,238-14,713,329-1,0074,706-4,737

,177-,070,372,920,124,058,053

,316,095,0013,973,354,052,206

,373-,044,1131,683,199,098,165

,085-,147,573-,576-,045,054-,031

,002-,004,564-,589-,077,001,000

,561-,069,1171,664,235,148,246

,188-,089,458,761,095,065,049

,258,049,0073,127,234,049,153

,365,020,0312,381,337,081,193

6,926-14,609,459-,7605,052-3,842ModellModell

Koeffizientena


226 / 347


Holger Dette










2.36 Das Vorwartsverfahren

I Bestimme diejenige Pradiktorvariable, die mit der abhangigenVariablen am starksten korreliert ist und berechne dasBestimmtheitsmaß R2.

I Ist R2 signifikant, wird diese Variable in das Modellaufgenommen.

I Fuge sukzessive diejenigen Variablen zu dem Modell hinzu, diezu dem großten Anstieg des Bestimmtheitsmaßes fuhren.

I Das Verfahren bricht ab, falls sich bei Hinzunahme einer neuenVariablen das Bestimmtheitsmaß R2

”nicht signifikant”vergroßert.

227 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Vorwartsverfahren im Beispiel derArbeitsmotivation

MethodeEntfernteVariablen

AufgenommeneVariablen

1

2

3

4

5 Vorwährts- (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Aufnahme <= ,050).x4

Vorwährts- (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Aufnahme <= ,050).x8




ModellModell

Aufgenommene/Entfernte Variablena


228 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Vorwartsverfahren im Beispiel derArbeitsmotivation



Änderung in Signifikanz

von Fdf2df1Änderung in FÄnderung in R-Quadrat


1

2

3

4

5 ,0411914,810,0221,869,890,913,955e

,00220112,879,0702,039,869,891,944d

,0072118,876,0762,552,795,820,906c

,00022120,980,2442,973,721,744,863b

,00023123,059,5014,065,479,501,708a

ModellModell


a. Einflußvariablen : (Konstante), x1

b. Einflußvariablen : (Konstante), x1, x9

c. Einflußvariablen : (Konstante), x1, x9, x2

d. Einflußvariablen : (Konstante), x1, x9, x2, x8


229 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Vorwartsverfahren im Beispiel derArbeitsmotivation: ANOVA

SignifikanzFMittel der Quadratedf

Quadratsumme

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

1

2

3

4

5

24760,960

3,4931966,364

,000e

39,773138,9195694,596

24760,960

4,1582083,163

,000d

40,751169,4494677,797

24760,960

6,51021136,716

,000c

31,962208,0813624,244

24760,960

8,84122194,504

,000b

32,035283,2282566,456

24760,960

16,52123379,992

,000a

23,059380,9681380,968ModellModell

ANOVAf







230 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Vorwartsverfahren im Beispiel derArbeitsmotivation: Koeffizienten




Koeffizienten

(Konstante)

x1

(Konstante)

x1

x9

(Konstante)

x1

x9

x2

(Konstante)

x1

x9

x2

x8

(Konstante)

x1

x9

x2

x8

x4

1

2

3

4

5

,354,008,0412,193,173,083,181

,283,079,0013,706,311,049,181

,272,082,0013,903,271,045,177

,193,039,0053,147,271,037,116

,364,178,0006,076,474,045,271

-2,479-11,186,004-3,2852,080-6,833

,301,080,0023,589,327,053,190

,294,089,0013,908,293,049,192

,226,074,0014,101,350,037,150

,352,153,0005,286,442,048,253

-1,781-11,224,009-2,8732,263-6,502

,310,055,0072,979,279,061,183

,290,116,0004,862,474,042,203

,433,204,0005,776,558,055,319

2,849-7,052,387-,8832,380-2,101

,321,121,0004,580,515,048,221

,454,187,0004,983,560,064,320

5,542-5,415,981,0242,642,063

,579,230,0004,802,708,084,404

14,0644,111,0013,7782,4069,088ModellModell

Koeffizientena


231 / 347


Holger Dette










2.37 Das schrittweise Verfahren

I Ruckwarts- und Vorwartsverfahren werden kombiniert!I Man fuhrt ein Vorwartsverfahren durch, wobei in jedem Schritt

untersucht wird, ob bei Entfernen einer bereits aufgenommenenVariable das Bestimmtheitsmaß signifikant abnehmen wurde.

232 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Das schrittweise Verfahren imBeispiel der Arbeitsmotivation

MethodeEntfernteVariablen

AufgenommeneVariablen

1

2

3

4

5 Schrittweise Auswahl (Kriterien: Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Aufnahme <= ,050, Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Ausschluß >= ,100).

.x4

Schrittweise Auswahl (Kriterien: Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Aufnahme <= ,050, Wahrscheinlichkeit von F-Wert für Ausschluß >= ,100).

.x8


.x2


.x9


.x1

ModellModell

Aufgenommene/Entfernte Variablena


233 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Das schrittweise Verfahren imBeispiel der Arbeitsmotivation



Änderung in Signifikanz

von Fdf2df1Änderung

in FÄnderung in R-Quadrat


1

2

3

4

5 ,0411914,810,0221,869,890,913,955e

,00220112,879,0702,039,869,891,944d

,0072118,876,0762,552,795,820,906c

,00022120,980,2442,973,721,744,863b

,00023123,059,5014,065,479,501,708a

ModellModell







234 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Das schrittweise Verfahren imBeispiel der Arbeitsmotivation: ANOVA


Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

Regression

Residuen

Gesamt

1

2

3

4

5

24760,960

3,4931966,364

,000e

39,773138,9195694,596

24760,960

4,1582083,163

,000d

40,751169,4494677,797

24760,960

6,51021136,716

,000c

31,962208,0813624,244

24760,960

8,84122194,504

,000b

32,035283,2282566,456

24760,960

16,52123379,992

,000a

23,059380,9681380,968ModellModell

ANOVAf







235 / 347


Holger Dette










SPSS Output: Das schrittweise Verfahren imBeispiel der Arbeitsmotivation: Koeffizienten




Koeffizienten

(Konstante)

x1

(Konstante)

x1

x9

(Konstante)

x1

x9

x2

(Konstante)

x1

x9

x2

x8

(Konstante)

x1

x9

x2

x8

x4

1

2

3

4

5

,354,008,0412,193,173,083,181

,283,079,0013,706,311,049,181

,272,082,0013,903,271,045,177

,193,039,0053,147,271,037,116

,364,178,0006,076,474,045,271

-2,479-11,186,004-3,2852,080-6,833

,301,080,0023,589,327,053,190

,294,089,0013,908,293,049,192

,226,074,0014,101,350,037,150

,352,153,0005,286,442,048,253

-1,781-11,224,009-2,8732,263-6,502

,310,055,0072,979,279,061,183

,290,116,0004,862,474,042,203

,433,204,0005,776,558,055,319

2,849-7,052,387-,8832,380-2,101

,321,121,0004,580,515,048,221

,454,187,0004,983,560,064,320

5,542-5,415,981,0242,642,063

,579,230,0004,802,708,084,404

14,0644,111,0013,7782,4069,088ModellModell

Koeffizientena


Page 1

236 / 347


Holger Dette










2.38 Bemerkung zu den verschiedenenMerkmalselektionsverfahren

I Beachte: Verschiedene Verfahren liefern verschiedeneErgebnisse (es gibt kein richtig oder falsch!)

I Beispiel (Arbeitsmotivation)

Ruckwartsverfahren Vorwartsverfahren Schrittweises VerfahrenEhrgeiz Ehrgeiz Ehrgeiz

Kreativitat Kreativitat KreativitatHierarchie Hierarchie Hierarchie

Lernpotential Anspruch AnspruchVielfalt Vielfalt Vielfalt

R2 = .916 R2 = .913 R2 = .913

237 / 347


Holger Dette










2.6 Nichtlineare Zusammenhange

238 / 347


Holger Dette










Nichtlineare Zusammenhange

I Die (multiplen) linearen Regressionsmodelle beruhen auf derAnnahme, dass der Zusammenhang zwischen jederPradiktorvariable und der abhangigen Variablen linear ist, d. h.durch eine Gerade beschrieben werden kann.

I Diese Annahme muss nicht immer erfullt sein. Zusammenhangezwischen Variablen konnen im Grunde beliebige Form haben.

I Man spricht in diesen Fallen von nichtlinearenZusammenhangen

239 / 347


Holger Dette










2.39 Beispiel: Gedachtnistest

I Mehrere Personen machen einen GedachtnistestI 30 Ortsnamen (aus Mongolei) werden vorgegebenI y(x): Anzahl der Ortsnamen, die nach x Tagen noch im

Gedachtnis geblieben sind (Mittelwerte)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(x) 24.9 19.7 17.0 13.2 11.0 8.5 7.9 5.8 5.5 5.0

240 / 347


Holger Dette










SPSS-output: Streudiagramm fur die Daten ausBeispiel 2.39 (Gedachtnistest)

Tage

1086420

An

zah

l der

Ort

snam

en

30,0

20,0

10,0

,0

241 / 347


Holger Dette










R-output: Streudiagramm fur die Daten ausBeispiel 2.39 (Gedachtnistest)

2 4 6 8 10

510

1520

25

Tage

Anz

ahl d

er O

rtsn

amen

242 / 347


Holger Dette










SPSS-output: Lineare Regression fur die Datenaus Beispiel 2.39 (Gedachtnistest)

Tage

1086420

An

zah

l der

Ort

snam

en30,0

20,0

10,0

,0

Die Gleichung der geschatzten Geraden:y = 10.579− 0.429x

243 / 347


Holger Dette










R-output: Lineare Regression fur die Daten ausBeispiel 2.39 (Gedachtnistest)

2 4 6 8 10

05

1525

Tage

Anz

ahl d

er O

rtsn

amen

Die Gleichung der geschatzten Geraden:

y = 10.579− 0.429x

244 / 347


Holger Dette










SPSS-output: Residuenanalyse bei linearerRegression fur die Daten aus Beispiel 2.39(Gedachtnistest)


1,500001,00000,50000,00000-,50000-1,00000-1,50000

Sta

nd

ard

ized

Res

idu

al

2,00000

1,00000

,00000

-1,00000

245 / 347


Holger Dette










R-output: Residuenanalyse bei linearer Regressionfur die Daten aus Beispiel 2.39 (Gedachtnistest)

5 10 15 20

−3

−1

13

Fitted values

Res

idua

ls

lm(y ~ x)

Residuals vs Fitted

110

6

246 / 347


Holger Dette










SPSS-output: QQ - Plot bei linearer Regressionfur die Daten aus Beispiel 2.39 (Gedachtnistest)

Beobachteter Wert

210-1-2

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5


247 / 347


Holger Dette










R-output: QQ - Plot bei linearer Regression furdie Daten aus Beispiel 2.39 (Gedachtnistest)

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−1.

00.

01.

02.

0


Sta

ndar

dize

d re

sidu

als

lm(y ~ x)

Normal Q−Q

110

6

248 / 347


Holger Dette










Beachte:I Ein lineares Regressionsmodell ist fur die Beschreibung des

Zusammenhangs ungeeignet!I Quadratisches Regressionsmodell

Yi = b0 + b1xi + b2x2i + εi

I Schatzung der Parameter mit der Methode der kleinstenQuadrate und die entsprechenden Standardfehler

b0 = 29.088 b1 = −4.876 b2 = 0.249sb0 = 0.558 sb1 = 0.233 sb2 = 0.021

249 / 347


Holger Dette










Konfidenzbereiche und TestsI Man geht wie in 2.12 und 2.14 bzw. 2.29 vor.

I 90% Konfidenzintervall fur b2 (man beachte: das Modell hat 3Parameter)

t10−3,0.95 = 1.8946 b2 = 0.249 sb2 = 0.021

⇒ [b2 − t7,0.95 sb2 , b2 + t7,0.95 sb2 ] = [0.2092, 0.2888]

ist 90% Konfidenzintervall fur b2.

I Die Hypothese H0 : b2 = 0 wird (zum Niveau 10%) verworfen,falls ∣∣∣ b2

sb2

∣∣∣ > t10−3,0.95

gilt (im Beispiel wird also H0 abgelehnt).I Beachte: 10− 3 Freiheitsgrade, da 10 Daten und 3 Parameter

in der Parabelgleichung

250 / 347


Holger Dette










SPSS-Output: Schatzer fur quadratischeRegression

StandardfehlerB Beta Sig.t

StandardisierteKoeffizienten

Nicht standardisierte Koeffizienten

Tage

Tage ** 2

(Konstante) ,00052,136,55829,088

,00012,0551,257,021,249

,000-20,927-2,183,233-4,876

Koeffizienten

251 / 347


Holger Dette










R-Output: Schatzer fur quadratische RegressionCall:

lm( formula = y ˜ x + x2)

Residuals :


-0.63121 -0.27023 -0.06689 0.26064 0.75136

Coefficients :


( Intercept ) 29.08833 0.55793 52.14 2.50e -10 ***

x -4.87629 0.23302 -20.93 1.43e -07 ***

x2 0.24886 0.02064 12.05 6.17e -06 ***

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1




252 / 347


Holger Dette










Streudiagramm fur die Daten aus Beispiel 2.39mit der geschatzten Parabel

Tage

1086420

30,0

20,0

10,0

0,0

Anzahl der Ortsnamen

QuadratischBeobachtet

253 / 347


Holger Dette










Streudiagramm fur die Daten aus Beispiel 2.39mit der geschatzten Parabel

2 4 6 8 10

510

1520

25

Tage

Anz

ahl d

er O

rtsn

amen

254 / 347


Holger Dette










SPSS-Output: Residuenanalyse fur die Daten ausBeispiel 2.39 bei quadratischer Regression


2,000001,500001,00000,50000,00000-,50000-1,00000

Sta

nd

ard

ized

Res

idu

al

2,00000

1,00000

,00000

-1,00000

-2,00000

255 / 347


Holger Dette










R-Output: Residuenanalyse fur die Daten ausBeispiel 2.39 bei quadratischer Regression

5 10 15 20 25

−0.

50.

00.

5

Fitted values

Res

idua

ls

lm(y ~ x + x2)

Residuals vs Fitted

7

2

1

256 / 347


Holger Dette










SPSS-Output: QQ-Plot fur die Daten ausBeispiel 2.39 bei quadratischer Regression

Beobachteter Wert

210-1-2

Erw

arte

ter

Wer

t vo

n N

orm

al

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5


257 / 347


Holger Dette










R-Output: QQ-Plot fur die Daten aus Beispiel2.39 bei quadratischer Regression

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−1.

50.

01.

02.

0


Sta

ndar

dize

d re

sidu

als

lm(y ~ x + x2)

Normal Q−Q

7

2

1

258 / 347


Holger Dette










SPSS-Output: Histogramm fur die Residuen ausBeispiel 2.39 bei quadratischer Regression

Regression Standardisiertes Residuum

210-1-2

Häu

fig

keit

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

Histogramm

Abhängige Variable: Anzahl der Ortsnamen

Mittelwert =3,96E-16Std.-Abw. = 0,882

N =10

259 / 347


Holger Dette










2.40 Polynomiale RegressionsmodelleModelle zur polynomialen Regression

Ordnung Modell0. Y = b0 + ε1. Y = b0 + b1x1 + ε2. Y = b0 + b1x1 + b2x2 + ε...

...k. Y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . .+ bkxk + ε

Beachte:I In der Regel werden nur Modelle von niedrigem Grad

verwendet (k ≤ 3)!I Schatzung der Parameter erfolgt mit der Methode der

kleinsten Quadrate.I Konfidenzintervalle, Tests und Residuenanalyse werden wie

bei der linearen bzw. multiplen Regression durchgefuhrt(Allgemeines lineares Modell)

260 / 347


Holger Dette










2.41 Mehrdimensionale Polynome

I Sind mehrere Pradiktorvariablen verfugbar, so konnen nebenPotenzen auch Produkte von zwei oder mehr Variablen in dieRegressionsgleichung aufgenommen werden.

I Beispiele:

Y (x) = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + ε

Y (x) = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b02x21 + b20x2

2 + ε

Y (x) = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b120x1x2 + b103x1x3

+ b023x2x3 + b123x1x2x3 + ε

261 / 347


Holger Dette










3D-Streudiagramm mit der geschatzten Funktion

−6−4

−20

24

−4

−2

0

2

4

6−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

X1

X2

Y

Die geschatzte Funktion ist:

y(x) = 2.23 + 3.52x1 + 5.77x2 + 3.96x1x2.

262 / 347


Holger Dette










3D-Streudiagramm mit der geschatzten FunktionPolynomiale Terme und Produkte der Pradiktoren konnen naturlichauch gemeinsam vorkommen.

Beispiel:

y(x) = b0 + b11x1 + b12x21 + b21x2 + b23x3

2 + b11;21x1x2 + ε.

−6−4

−20

24

−4

−2

0

2

4

6−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

X1

X2

Y

Die angepasste Funktion hat die Form

y(x) = 1 + 2.15x1 + 6.59x21 + 1.66x2 + 3.07x3

2 + 3.76x1x2

263 / 347


Holger Dette










2.7 Partielle und Semipartielle Korrelation

264 / 347


Holger Dette










2.42 Beispiel: Entwicklungspsychologie

I Im Rahmen einer Studie in der Entwicklungspsychologie soll derZusammenhang zwischen

I Abstraktionsfahigkeit (x) undI sensomotorischer Koordination (y)

untersucht werden.

I Zusatzlich wird das Alter der Kinder erhoben (z)

I Insgesamt werden 15 Kinder im Alter von 6 - 10 Jahrenuntersucht.

265 / 347


Holger Dette










Daten

Kind Abstraktions- sensomotor. Alterfahigkeit (x) Koord. (y) (z)

1 9 8 62 11 12 83 13 14 94 13 13 95 14 14 106 9 8 77 10 9 88 11 12 99 10 8 8

10 8 9 711 13 14 1012 7 7 613 9 10 1014 13 12 1015 14 12 9

266 / 347


Holger Dette










Auswertung:I Fur den Korrelationskoeffizient von Pearson (vgl. 2.2) erhalt

man fur die Korrelation der Variablen x (Abstraktionsfahigkeit)und y (sensomotorische Koordination)

rx ,y = 0.89

I Obwohl der Korrelationskoeffizient sehr hoch ist, ist es in vielenFallen sinnvoll zu untersuchen, ob dieser hohe Wert auf einenEinfluss der dritten ”Variablen” (Alter) zuruckfuhrbar ist.

I In einem solchen Fall spricht man von einer

”Scheinkorrelation”. D. h. rx ,y ist zwar im mathematischenSinn eine Korrelation, aber der gefundene Zusammenhangzwischen Abstraktionsfahigkeit und sensomotorischerKoordination ist (teilweise) durch eine dritte Variable erklarbarund kann nicht als kausal interpretiert werden.

I Ziel: Berechnung einer Korrelation, die von dem Einfluss derdritten Variablen Alter ”bereinigt” ist. =⇒ Partialkorrelation.

267 / 347


Holger Dette










2.43 PartialkorrelationI Modell: Daten (xi , yi , zi )i=1, ... ,n. Im Beispiel ist xi die

Abstraktionsfahigkeit, yi die sensomotorische Koordination undzi das Alter des i-ten Kindes

I Gesucht: Ein um den Einfluss der Variablen z ”bereinigtes”Abhangigkeitsmaß zwischen den Variablen x und y

I Methode:I Berechne die (lineare) Regressionsgerade fur die Daten

(x1, z1), . . . , (xn, zn):x = a0 + a1z

(vgl. 2.11) und die Residuenx∗i = xi − (a0 + a1zi ) i = 1, . . . , n

I Berechne die (lineare) Regressionsgerade fur die Daten(y1, z1), . . . , (yn, zn):

y = b0 + b1z(vgl. 2.11) und die Residuen

y∗i = yi − (b0 + b1zi ) i = 1, . . . , n

268 / 347


Holger Dette










I Bestimme die Korrelation zwischen den Residuen(x∗1 , y∗1 ), . . . , (x∗n , y∗n )

rx ,y ·z = rx∗,y∗ =

∑ni=1(x∗i − x∗· )(y∗i − y∗· )√∑n

i=1(x∗i − x∗· )2∑ni=1(y∗i − y∗· )2

I Die Großerx ,y ·z

heißt Partialkorrelation zwischen x und y , aus der dasMerkmal z ”herauspartialisiert” wurde.

I Die Partialkorrelation ist also eine bivariate Korrelation zwischenRegressionsresiduen.

269 / 347


Holger Dette










2.44 BemerkungI Man kann zeigen, dass gilt:

rx ,y ·z =rx ,y − rx ,z ry ,z√

(1− r 2x ,z )(1− r 2

y ,z )(1)

Dabei istI rx,y der Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen x und yI rx,z der Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen x und zI ry,z der Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen y und z

I Die Partialkorrelation ist ein Maß fur den linearenZusammenhang von zwei Variablen x und y , aus dem der lineareEinfluss einer dritten Variablen z eliminiert wurde.Genauer: Die Partialkorrelation bemisst, inwieweit man aus denVorhersagefehlern bei der linearen Prognose von x durch z dieVorhersagefehler bei der linearen Prognose von y durch z linearvorhersagen kann - und umgekehrt.

I Gibt es mehr als drei Variablen, so konnen Partialkorrelationenhoherer Ordnung gebildet werden, indem die Residuen x∗i , y∗imit Hilfe des multiplen linearen Regressionsmodells (vgl.Methodenlehre II, 2.23) bestimmt werden.

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Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 2.42)I Lineare Regression von x bzgl. z

x = 1.246z + 0.464

I Lineare Regression von y bzgl. z

y = 1.420z − 1.13

I Regressionsresiduenx∗ y∗

1,06 0,610,57 1,771,32 2,351,32 1,351,07 0,93

-0,19 -0,81-0,43 -1,23-0,68 0,35-0,43 -2,23-1,19 0,190,07 0,93

-0,94 -0,39-3,92 -3,070,07 -1,072,32 0,35

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I rx ,y ·z = 0.72

I Die Korrelation zwischen Abstraktionsfahigkeit undsensomotorischen Koordinationsleistungen der Kinder ist somitvon 0.89 auf 0.72 gesunken. Die Differenz ist auf das Alter derKinder zuruckzufuhren

I Beachte: Mit den Werten

I rx,y = 0.89I rx,z = 0.77I ry,z = 0.80

kann man die Partialkorrelation rx ,y ·z auch mit Hilfe der Formel(1) berechnen.

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Signifikanztest fur partielle Korrelationen

Ein Test zum Niveau α fur die Hypothese ”die Merkmale X und Yunter Z sind unkorreliert”

H0 : ρx ,y .z = 0

lehnt die Nullhypothese zu Gunsten der Alternative

H1 : ρx ,y .z 6= 0

ab, falls ∣∣∣∣∣∣√

n − 3rx ,y .z√1− r 2

x ,y .z

∣∣∣∣∣∣ > tn−3,1−α2

gilt. Man vergleiche diesen Test mit dem Test auf eine signifikanteKorrelation zwischen zwei Merkmalen (vgl. 2.5)

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Partielle Korrelationen in SPSS

sensomotorischeKoordination

Abstraktionsfähigkeit

Korrelation

Signifikanz (zweiseitig)

Freiheitsgrade

Korrelation

Signifikanz (zweiseitig)

Freiheitsgrade


sensomotorischeKoordination

Alter

012

.,004

1,000,722

120

,004.

,7221,000KontrollvariablenKontrollvariablen

Korrelationen

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Partielle Korrelationen in R$estimate

x y z

x 1.0000000 0.7220272 0.1882497

y 0.7220272 1.0000000 0.4095360

z 0.1882497 0.4095360 1.0000000

$p. value

x y z

x 0.0000000000 0.0003002053 0.5066983

y 0.0003002053 0.0000000000 0.1199311

z 0.5066982702 0.1199311224 0.0000000

$statistic

x y z

x 0.0000000 3.615123 0.6639876

y 3.6151228 0.000000 1.5550628

z 0.6639876 1.555063 0.0000000

$n

[1] 15

$gp

[1] 1

$method

[1] " pearson "

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2.45 SemipartialkorrelationenI Wird die dritte Variable z nur aus einer Variablen (z.B. x)

herauspartialisiert, so spricht man von einerSemipartialkorrelation.

I Man berechnet die (lineare) Regressionsgerade fur die Daten(x1, z1), . . . , (xn, zn):

x = a0 + a1z

und betrachtet die Vorhersagefehler

x∗i = xi − a0 − a1zi

I Dann bestimmt man die Korrelation zwischen(x∗1 , y1), . . . , (x∗n , yn):

ry(x ·z) = rx∗,y =

∑ni=1(x∗i − x∗· )(yi − y ·)√∑n

i=1(x∗i − x∗· )2∑ni=1(yi − y ·)2

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Alternative Darstellung fur dieSemipartialkorrelationen

I Man kann zeigen dass gilt:

ry(x ·z) =rx ,y − rx ,z ry ,z√

1− r 2x ,z

(2)

Dabei istI rx,y der Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen x und yI rx,z der Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen x und zI ry,z der Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen y und z

I Bemerkung:I Die Semipartialkorrelation bemisst, inwieweit man aus den

Vorhersagefehlern bei der linearen Prognose von x durch z dieWerte von y linear vorhersagen kann.

I Die quadrierte Semipartialkorrelation ist der Anteil der Varianzvon y , der durch die Variable x zusatzlich zu der Variablen zerklart werden kann.

I Die Semipartialkorrelation ist immer kleiner als diePartialkorrelation.

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Berechnung der Semipartialkorrelationen inBeispiel 2.42

I Lineare Regression von x bzgl. z

x = 1.246z + 0.464

I Regressionsresiduen und Beobachtungen

x∗ y1,06 80,57 121,32 141,32 131,07 14

-0,19 8-0,43 9-0,68 12-0,43 8-1,19 90,07 14

-0,94 7-3,92 100,07 122,32 12

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I ry(x ·z) = 0.43

I Die Korrelation zwischen Abstraktionsfahigkeit undsensomotorischen Koordinationsleistungen der Kinder ist somitvon 0.89 auf 0.43 gesunken. Die Differenz ist auf das Alter derKinder zuruckzufuhren.

I Beachte: Mit den Werten

I rx,y = 0.89I rx,z = 0.77I ry,z = 0.80

kann man die Semipartialkorrelation ry(x ·z) auch mit Hilfe derFormel (2) berechnen.

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Semipartialkorrelationen in SPSSI Die Semipartialkorrelationen (in SPSS heißen diese

Teil-Korrelationen) werden (auf Wunsch) als Erganzung zu denKleinsten Quadrate-Schatzungen im multiplen linearenRegressionsmodell (vgl. 2.23) ausgegeben.

I Signifikanztest fur die Semipartialkorrelationen fehlen.

StandardfehlerRegressionskoeffizientB Beta Sig.T

StandardisierteKoeffizienten

Nicht standardisierte Koeffizienten

(Konstante)

Alter


1

,0043,615,671,202,730

,1461,555,289,328,510

,429-,8181,795-1,469ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: sensomotorische Koordination

TeilPartiellNullter

Ordnung

Korrelationen

Alter


1

,431,722,892

,185,410,803ModellModell

Koeffizientena

a. Abhängige Variable: sensomotorische Koordination

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Semipartialkorrelationen in RCall:

lm( formula = y ˜ x + z)

Residuals :


-1.9145 -0.7943 0.1447 0.8599 1.3851

Coefficients :


( Intercept ) -1.4690 1.7955 -0.818 0.42922

x 0.7300 0.2019 3.615 0.00355 **

z 0.5104 0.3282 1.555 0.14590

---

Signif . codes : 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1




estimate p. value statistic n gp Method

1 0.1852102 0.513832 0.6528826 15 1 pearson

estimate p. value statistic n gp Method

1 0.4305663 0.09842207 1.652552 15 1 pearson

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Bemerkung:

Ob ein Partial- oder Semipartialkorrelationskoeffizient zurBeschreibung eines Zusammenhangs gewahlt wird, hangt vontheoretischen Uberlegungen ab:

I Beeinflusst eine dritte Variable (z) ”ursachlich” beide Variablenx und y Partialkorrelation

I Wird der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y durchdie dritte Variable z ”vermittelt” (z ist mit y korreliert undbeeinflusst x) Semipartialkorrelation

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3. Das allgemeinelineare Modell3.1 Matrizen und Vektoren,Kodierung

3.2 Addition undMultiplikation von Matrizen

3.3 Das Allgemeine LineareModell, Methode derkleinsten Quadrate

3.4 Der F -Test im ALM

3. Das allgemeine lineare Modell

3.1 Matrizen und Vektoren, Kodierung

3.2 Addition und Multiplikation von Matrizen

3.3 Das allgemeine lineare Modell (ALM), Methode derkleinsten Quadrate


3.5 Zweifaktorielle Varianzanalyse

3.6 Kovarianzanalyse

3.7 Modelle mit Messwiederholungen

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Eine grundsatzliche Bemerkung zu Beginn

I Es bestehen viele ”Ahnlichkeiten” zwischen den bisherbetrachteten Beispielen (Zwei-Stichproben t-Test, einfaktorielleVarianzanalyse, lineare und multiple Regression)

I Zerlegung der VarianzI F -Verteilung (das Quadrat der t-Verteilung mit k

Freiheitsgraden ist eine F -Verteilung mit (1, k) Freiheitsgraden)I R2 (welcher Teil der Variation ist durch das Modell erklarbar)

I Ziel: ein Modell, in dem alle bisher behandelten SituationenSpezialfalle sind!

−→ Das allgemeine lineare Modell (ALM)

Y = Xb + ε

I Hilfsmittel: Matrizenrechnung

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3.1 Matrizen und Vektoren, Kodierung

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I Vektoren und Matrizen sind nutzliche mathematischeHilfsmittel fur die

I Beschreibung der Position eines ObjektesI Beschreibung von Bewegungen und KraftenI etc.I In unserem Fall: Zusammenfassung und die ”Kodierung” der

beobachteten VariablenI Beispiele fur Vektoren

(13

);

2.11

3.2

;

1234

I Die Anzahl der Zeilen in einem Vektor heißt Dimension des

Vektors.

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Vektoren und Matrizen

I In Matrizen fasst man mehrere Vektoren gleicher Dimensionzusammen

I Beispiele fur Matrizen

(1 03 1

);

2.1 0 3.41 1 1

3.2 0 −3

;

1 0 2 −72 1 1.1 13 −1 3 −24 0 1 3

I Eine Matrix mit Variablenx1 x2 x3 x4 x5

y1 y2 y3 y4 y5z1 z2 z3 z4 z5

;

(cos ρ sin ρ− sin ρ cos ρ

)

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Mehr uber Matrizen: ”Zeilen vor Spalten (ZVS)”I Matrix mit 2 Zeilen und 4 Spalten (2 x 4 Matrix)(

2.1 1.2 6.1 3.41.2 −0.5 2.7 −1.9

)I Matrix mit 4 Zeilen und 2 Spalten (4 x 2 Matrix)

2 10 16 2−1 3

I Matrix mit einer Spalte = VektorI Matrix mit einer Zeile und 6 Spalten (1 x 6 Matrix)

(Zeilen-Vektor); (3 1 1.2 −3.4 0 −2.7

)

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3.1 Beispiel: Erkennen von Zahlenreihen(Fortsetzung von Beispiel 1.10)

I Studierende der Fachrichtungen Mathematik und Psychologiemachen einen Zahlengedachtnistest

I Wie viele Ziffern konnen sich maximal gemerkt werdenI Wiedergabe in Original und umgekehrter Reihenfolge

I DatenM 14 14 15 12 13 19 17 13P 13 14 13 12 16 16 10 16M 14 17 15 13 16 13 - -P - - - - - - - -

I Frage: Haben Studierende der Psychologie ein besseresZahlengedachtnis als Studierende der Mathematik?

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Kodierung des Merkmals Mathematik (1, 0) undPsychologie (0, 1)

I Betrachte in jeder der beiden Gruppen nur die ersten 5 Daten(aus Platzgrunden)

Y =

14141512131314131216

X =

1 01 01 01 01 00 10 10 10 10 1

I Alle Daten der abhangigen Variablen werden in einem Vektor

zusammengefasst (Dimension 10)I Alle Daten der unabhangigen Variablen (Studienfach) werden in

einer Matrix zusammenfasst (10 Zeilen, 2 Spalten)I Die Matrix enthalt nur Nullen und Einsen, wobei die Kodierung

(1, 0) in einer Zeile fur das Fach Mathematik und (0, 1) fur dasFach Psychologie verwendet wird. Man spricht auch von einerDummy-Kodierung

I Beispiel: In der dritten Zeile von X steht (1, 0), d. h. derEintrag in der dritten Zeile von Y gehort zu einemMathematikstudenten. 290 / 347


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3.2 Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 1.10)

I An dem Zahlengedachtnistest (vgl. Beispiel 1.10) nehmen auchnoch 6 Studierende der Geisteswissenschaften teil.

I Daten:M 14 14 15 12 13 19 17 13P 13 14 13 12 16 16 10 16G 11 13 13 10 13 12 13 -M 14 17 15 13 16 13 - -P - - - - - - - -G - - - - - - - -

I Frage: Existieren Unterschiede hinsichtlich desZahlengedachtnisses zwischen den Studierenden der Psychologie,Mathematik und Geisteswissenschaften?

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Kodierung der Merkmale Mathematik (1, 0, 0),Psychologie (0, 1, 0), Geisteswissenschaften (0,0, 1)

I Betrachte in jeder Gruppe die ersten 5 Daten (aus Platzgrunden)

Y =

141415121313141312161113131013

X =

1 0 01 0 01 0 01 0 01 0 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 10 0 10 0 1

I Y ist 15-dimensionaler Vektor, X ist 15 x 3 MatrixI Beispiel: In der zwolften Zeile von X steht (0, 0, 1), d. h. der

Eintrag in der zwolften Zeile von Y (13) gehort zu einemStudierenden der Geisteswissenschaften.

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3.3 Beispiel: Arbeitsmotivation (Fortsetzung vonBeispiel 2.1)




I Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Variablen

”Motivation” und der Pradiktorvariablen ”Leistungsstreben”?

I Datenx 20 30 15 39 5 6 12 0 35y 32 14 12 27 20 13 17 8 22x 8 34 26 32 26 12 36 27 26y 19 25 23 17 22 19 27 26 20x 13 19 25 30 18 21 11 - -y 11 24 19 19 22 24 17 - -

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”Kodierung” von quantitativen Merkmalen (hierfur die ersten 9 Daten)Beachte:

I Die quantitative Variable x wird nicht ”kodiert”, sondern direktin der Matrix verwendet

Y =

321412272013178

22

X =

1 201 131 151 391 51 61 121 01 35

I In der Matrix X wurde zusatzlich eine Spalte mit Einsen

eingefugt (der Grund wird spater klar). Y ist 9-dimensionalerVektor; X ist 9 x 2 Matrix.

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Mehr uber Matrizen: die Position eines Elements

I Das Element in der Position (2, 3) in der Matrix(2.1 1.2 6.1 3.41.2 −0.5 2.7 −1.9

)ist das Element in der 2-ten Zeile und 3-ten Spalte, also dieZahl 2.7

I Das Element in der Position (4, 1) in der Matrix2 10 16 2−1 3

ist das Element in der 4-ten Zeile und 1-ten Spalte, also dieZahl −1

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Die m × n Matrix (m Zeilen, n Spalten)

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amn

aij ist das Element in der Position (i , j), d. h. das Element in deri-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A.

Beispiel: Das Element in der Position (2, 3) (also in der 2-ten Zeileund 3-ten Spalte) der Matrix7 6 3 −1

4 1 −5 21 3 −4 1

ist die Zahl -5.

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Die Multiplikation von Matrizen mit einer Zahl:

I Jedes Element der Matrix wird mit einer Zahl multipliziertI Beispiele:

1.2 ·(

2.1 1 3−1.3 2.2 −4.1

)=

(1.2 · 2.1 1.2 · 1 1.2 · 3

1.2 · (−1.3) 1.2 · 2.2 1.2 · (−4.1)

)=

(2.32 1.2 3.6−1.56 2.64 −4.92

)

3 ·

1−11.5

=

3 · 13 · (−1)3 · 1.5

=

3−34.5

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3.2 Addition und Multiplikation von Matrizen

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Rechnen mit Matrizen: Die Addition

I Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl konnen addiertwerden, in dem man die Elemente addiert, die an denentsprechenden Positionen stehen: 1.1 1.6−1.2 2.42.4 −3.1

+

−0.5 0.11.0 0−2.1 7.1

=

1.1− 0.5 1.6 + 0.1−1.2 + 1.0 2.4 + 02.4− 2.1 −3.1 + 7.1

=

0.6 1.7−0.2 2.40.3 4.0

(

4.5 −2.1 3.41.7 5.1 −8.2

)+

(0 2 31 −1 −5

)=

(4.5 −0.1 6.42.7 4.1 −13.2

)

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Die Addition von zwei m × n Matrizen

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

+

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n

......

. . ....

bm1 bm2 · · · bmn

=

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

Beachte: Es konnen ausschließlich Matrizen addiert werden, diegleiche Zeilen- und Spaltenzahl haben!

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Rechnen mit Matrizen: Die Multiplikation

I Das Produkt A · B der Matrizen A and B kann gebildet werden,falls die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahlder Zeilen der Matrix B ist. Die Berechnung wird hier nur anBeispielen erlautert

A =

(3 −2 61 4 2

)B =

7 1 −1 21 3 1 0−2 0 1 −1

A · B =

(3 · 7− 1 · 2− 2 · 6 −3 1 01 · 7 + 4 · 1− 2 · 2 13 5 0

)=

(7 −3 1 07 13 5 0

)I Beachte:

A ist 2× 3 MatrixB ist 3× 4 Matrix

A · B ist 2× 4 Matrix

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Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

A =

4 −1 2 10 2 1 31 3 −1 −2

Y =

1234

A · Y =

4 · 1− 1 · 2 + 2 · 3 + 1 · 40 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 3 · 41 · 1 + 3 · 2− 1 · 3− 2 · 4

=

1219−4

Beachte:

A ist 3× 4 MatrixY ist 4× 1 Matrix (4-dimensionaler Vektor)

A · Y ist 3× 1 Matrix

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Auf die Reihenfolge kommt es an

Beachte: Bei der Multiplikation von Matrizen darf die Reihenfolgenicht vertauscht werden! Beispiel:

A =

(1 21 3

)B =

(1 10 1

)A · B =

(1 31 4

)6= B · A =

(2 51 3

)

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3.4 Beispiel: das Modell der linearen Regressionin Matrixschreibweise

Beispiel: Multiplikation mit Kodierungsmatrix bei linearerRegression (vgl. Beispiel 3.3):

1 201 131 151 391 51 61 121 01 35

·(

b0b1

)=

b0 + 20b1b0 + 13b1b0 + 15b1b0 + 39b1b0 + 5b1b0 + 6b1

b0 + 12b1b0 + 0b1

b0 + 35b1

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3.4 Beispiel: das Modell der linearen Regressionin Matrixschreibweise

Y =

Y1Y2...

Yn

=

1 x11 x2...

...1 xn

︸︷︷︸

X

·(

b0b1

)︸︷︷︸

b

+

ε1ε2...εn

︸︷︷︸

ε

Beachte:I X hat n Zeilen und 2 SpaltenI Die i-te Zeile von Y = Xb + ε ergibt die Gleichung (der Fall

i = 2 in blau)

Yi = b0 + b1xi + εi i = 1, . . . , n

I Schreibweise: Y = Xb + ε

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3.5 Beispiel: Das Modell der einfaktoriellenVarianzanalyse in Matrixschreibweise (vgl.Beispiel 3.2)Beispiel: Matrixmultiplikation mit einer Kodierungsmatrix(einfaktorielle Varianzanalyse)

1 0 01 0 01 0 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 1

µ1µ2µ3

=

µ1µ1µ1µ2µ2µ3µ3µ3

Beachte: Auf der rechten Seite steht der Vektor der Erwartungswerte

µ1 = 1 · µ1 + 0 · µ2 + 0 · µ3

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Fortsetzung Beispiel 3.5:Mathematisches Modell

I

Yij := µi + εij j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2, 3

(n1 = 14, n2 = 8, n3 = 7)

Yij : Ergebnis der j-ten Versuchsperson in Gruppe i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2, Geisteswissenschaften:i = 3)

µi : unbekannter Erwartungswert in der Population i(Mathematik: i = 1, Psychologie: i = 2, Geisteswissenschaften:i = 3)

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Matrixschreibweise in Beispiel 3.5: Y = Xb + ε

Y =

Y11...

Y114Y21

.

.

.Y28Y31

.

.

.Y37

=

1 0 0...

.

.

....

1 0 00 1 0...

.

.

....

0 1 00 0 1...

.

.

....

0 0 1

︸︷︷︸

X

·(µ1µ2µ3

)︸︷︷︸

b

+

ε11...

ε114ε21

.

.

.ε28ε31

.

.

.ε37

︸︷︷︸

ε

Beachte: Liest man die Gleichung zeilenweise der Reihe nach, so gilt:Y11=µ1 + ε11

Y12 = µ1 + ε12

...Y21=µ2 + ε21

...Y37=µ3 + ε37

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Matrixschreibweise Beispiel 3.5: Y = Xb + ε

Y =

Y11...

Y114Y21

.

.

.Y28Y31

.

.

.Y37

=

1 0 0...

.

.

....

1 0 00 1 0...

.

.

....

0 1 00 0 1...

.

.

....

0 0 1

︸︷︷︸

X

·(µ1µ2µ3

)︸︷︷︸

b

+

ε11...ε14ε21

.

.

.ε28ε31

.

.

.ε37

︸︷︷︸

ε

I Beachte: Liest man alle Gleichungen zeilenweise, so gilt:

Yij = µi + εij i = 1, 2, 3; j = 1, . . . , ni

I X hat 14 + 8 + 7 = 29 Zeilen und 3 Spalten. In der i-ten Spaltestehen genau ni Einsen (n1 = 14, n2 = 8, n3 = 7)

I Schreibweise: Y = Xb + ε

309 / 347


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Das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse mitk Gruppen in Matrixschreibweise:

Y = Xb + ε

X =

1 0 · · · 0...

.

.

.. . .

.

.

.1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.

.

.. . .

.

.

.0 1 · · · 0...

.

.

.. . .

.

.

.0 0 · · · 1...

.

.

.. . .

.

.

.0 0 · · · 1

b =

µ1µ2

.

.

.µk

ε =

ε11...

ε1n1ε21

.

.

.ε2n2

.

.

.εk1

.

.

.εknk

Beachte:

I n = n1 + . . .+ nk GesamtstichprobenumfangI X hat n Zeilen und k SpaltenI die j-te Spalte von X enthalt nur in den Zeilen

n1 + n2 + . . .+ nj−1 + 1, . . . , n1 + n2 + . . .+ nj

Einsen (fur die 1-te Spalte sind das die Zeilen 1, . . . , n1) 310 / 347


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3.6 Beispiel: Das Modell der multiplen linearenRegression in Matrixschreibweise

Y =

Y1Y2Y3...

Yn

=

1 x11 x21 · · · xk11 x12 x22 · · · xk21 x13 x23 · · · xk3...

......

. . ....

1 x1n x2n · · · xkn

︸︷︷︸

X

·

b0b1......

bk

︸︷︷︸

b

+

ε1ε2ε3...εn

︸︷︷︸

ε

Beachte: Y = Xb + ε

I X hat n Zeilen und k + 1 SpaltenI Die i-te Zeile von Y liefert die Gleichung (der Falle i = 3 in

blau)

Yi = b0 + b1x1i + b2x2i + . . .+ bkxki + εi i = 1, . . . , n

311 / 347


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Mehr Matrizenrechnung: TranspositionI Mit AT wird diejenige Matrix bezeichnet, die man aus der

Matrix A erhalt, wenn man die Zeilen als Spalten (bzw. dieSpalten als Zeilen) schreibt. Beispiel:

1 2 3 4−1 2 1 03 7 1 −2

T

=

1 −1 32 2 73 1 14 0 −2

I Beachte: Ist A m × n-Matrix (m Zeilen, n Spalten), dann ist

AT n ×m-Matrix (n Zeilen, m Spalten). Beispiel:

A =

−1 −13 14 −21 −1

︸︷︷︸

4×2 Matrix

AT =

(−1 3 4 1−1 1 −2 −1

)︸︷︷︸

2×4 Matrix

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Mehr Matrizenrechnung: Inversion einer MatrixI Die Matrix (nur auf der Diagonalen Einsen, sonst Nullen)

I =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

heißt Identitatsmatrix oder Einheitsmatrix (das ist dasPendant zur Zahl 1 bei der Multiplikation von Zahlen)

I Ist A m ×m-Matrix, so ist die inverse Matrix A−1 diejenigeMatrix, fur die gilt:

A · A−1 = A−1A = I

(das ist das Pendant des Kehrwerts bei Multiplikation vonZahlen: A = 3 ⇒ A−1 = 1

3 )I Beachte: A−1 existiert nicht immer (man kann nicht durch 0

teilen)313 / 347


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Beispiel: Inversion einer 2× 2 Matrix

Die Inverse der MatrixA =

(2 12 4

)ist die Matrix

A−1 =

( 23 − 1

6− 1

313

),

denn

A · A−1 =

(2 · 2

3 − 1 · 13 −2 · 1

6 + 1 · 13

2 · 23 − 4 · 1

3 −2 · 16 + 4 · 1

3

)=

(1 00 1

)A−1 · A =

( 23 · 2−

16 · 2 − 2

3 · 1− 1 16 · 4

− 13 · 2 + 1

3 · 2 − 13 · 1 + 1

3 · 4

)=

(1 00 1

)Beachte: Gewohnlich muss die Bestimmung einer Inversen Matrixmit numerischen Methoden erfolgen.

314 / 347


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3.3 Das Allgemeine Lineare Modell, Methode derkleinsten Quadrate

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Allgemeines lineares Modell (ALM):

Y = Xb + ε

I Y : Vektor von ZufallsvariablenI b: ParametervektorI ε: Vektor der zufalligen ”Fehler” (mit gleicher Varianz)I X : Designmatrix (dadurch wird das betrachtete Modell

spezifiziert). In den vorigen Beispielen erhalt man furverschiedene Matrizen X

I Lineares Regressionsmodell (vgl. Beispiel 3.4)I Einfaktorielle Varianzanalyse (vgl. Beispiel 3.5)I Multiples lineares Regressionsmodell (vgl. Beispiel 3.6)

I Es gibt viel mehr Modelle, die man durch das ALM beschreibenkann (z. B. zweifaktorielle Varianzanalyse, Kovarianzanalyse,etc.)

I Aus diesem Grund werden die Verfahren (Schatzen, Testen, etc.)im ALM entwickelt, und diese konnen in den Spezialfallen dannverwendet werden.

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3.7 Die Methode der kleinsten Quadrate im ALMI Sind Yi und (Xb)i die Elemente in der i-ten Zeile der

Vektoren Y und Xb, so wird die Schatzung fur b sobestimmt, dass die Summe der quadrierten Differenzen

n∑i=1

[Yi − (Xb)i ]2

zwischen beobachten Werten (Yi ) und durch das Modellvorhergesagten Werten ((Xb)i ) minimiert wird.

I Mathematische Statistik: Der beste Schatzer fur b lautet:

b = (X T X )−1X T Y

I (X T X)−1 die inverse Matrix von X T XI X T die Transposition der Matrix X

I Wichtig ist nicht die Formel, sondern die Erkenntnis, dassman in jedem linearen Modell den Schatzer immerausrechnen kann (falls die inverse Matrix existiert)!

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3.8 Beispiel: Arzneimittelstudie zur Behandlungeiner Depressiven Erkrankung

I Drei Behandlungsformen der Depression (Placebo, einfacheDosis, doppelte Dosis)

I Je 10 Patienten werden mit der jeweiligen Dosierung behandelt(insgesamt 30 Probanden)

I DatenFaktor A

Placebo einfache Dosis doppelte Dosis(1) (2) (3)22 16 1325 16 1222 16 1221 15 1322 15 1218 19 1619 20 1417 17 1621 16 1319 16 14

I Es gibt einen (kontrollierbaren) Faktor, der einen Einfluss aufdas Ergebnis der Therapie hat. Faktor A: Behandlungsform;

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Beispiel 3.8(a): Einfaktorielle Varianzanalyse imALM

I Untersuche den Einfluss eines Faktors (z. B. Behandlungsform)auf die abhangige Variable (z. B. Depressivitat).

I Mathematisches Modell (n1 = n2 = n3 = 10):

Yij = µi + εij j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2, 3

I µi Einfluss der i-ten FaktorstufeI εij zufallige Fehler

I In der Schreibweise des ALM

Y = Xb + ε

(die Matrix X und der Datenvektor y werden auf der nachstenFolie gezeigt)

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Die Matrix X und der Datenvektor y im Beispiel3.8(a)

y =

2225...

1916...

1613...

14

X =

1 0 0...

......

1 0 00 1 0...

......

0 1 00 0 1...

......

0 0 1

b =

µ1µ2µ3

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Schatzung von b mit der Methode der kleinstenQuadrate bei Modellierung 3.8(a)

I

X T X =

10 0 00 10 00 0 10

⇒ (X T X )−1 =

1/10 0 00 1/10 00 0 1/10

I

X T y =

∑10

j=1 y1j∑10j=1 y2j∑10j=1 y3j

= 10 ·

y 1·y 2·y 3·

I

b = (X T X )−1X T y =

y 1·y 2·y 3·

=

20.616.613.3

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Beispiel 3.8(b): Alternatives ALM fur dieeinfaktorielle Varianzanalyse

I Untersuche den Einfluss eines Faktors (z. B. Behandlungsform)auf die abhangige Variable (z. B. Depressivitat)

I Mathematisches Modell (n1 = n2 = n3 = 10):

Yij = µ+ αi + εij j = 1, . . . , n1 ; i = 1, 2, 3

I µ = (µ1 + µ2 + µ3)/3 GesamtmittelwertI αi Einfluss der i-ten FaktorstufeI εij zufallige Fehler

I Beachte: α1 + α2 + α3 = 0; µi = µ+ αi (i = 1, 2, 3)I In der Schreibweise des ALM

Y = Xb + ε

(die Matrix X und der Datenvektor y werden auf der nachstenFolie gezeigt)

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Die Matrix X und der Datenvektor y im Beispiel3.8(b)

y =

2225...

1916...

1613...

14

X =

1 1 0 0...

......

...1 1 0 01 0 1 0...

......

...1 0 1 01 0 0 1...

......

...1 0 0 1

b =

µα1α2α3

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Schatzung von b mit der Methode der kleinstenQuadrate bei Modellierung 3.8(b)

I Mit einer ”ahnlichen” Methode wie in 3.7 erhalt man

b =

µα1α2α3

=

y ··

y 1· − y ··y 2· − y ··y 3· − y ··

=

16.93.7−0.3−3.4

I Beachte: Hier schatzt man den Gesamtmittelwert (16.9) und

die Abweichungen der Gruppenmittelwerte vomGesamtmittelwert.

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3.9 Die Genauigkeit der Schatzungen

I b = (b1, . . . , bn)T sei der kleinste Quadrate Schatzer(vgl. Beispiel 3.7)

I Fur i = 1, . . . , n sei di das Element in der Position (i , i) derMatrix (X T X )−1 (man spricht vom i-ten Diagonalelement)

I Dann istsbi

=√

s2di =√

di s

der Standardfehler von b (s2b ist eine Schatzung fur die Varianz

von b), wobei

s2 =1

n − r

n∑i=1

[Yi − (Xb)i ]2

eine Schatzung fur die Varianz der zufalligen Fehler ist(r bezeichnet die Anzahl der (unabhangigen) Parameter imALM. In Beispiel 3.8(a) und 3.8(b) sind das 3!

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326 / 347


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Formulierung von Hypothesen im ALM

I Y = Xb + ε

I b sei r -dimensionaler VektorI K sei s × r Matrix

I NullhypotheseH0 : Kb = 0

I Beachte: Kb ist ein s-dimensionaler Vektor; 0 ist eins-dimensionaler Vektor (alle Eintrage 0)

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Beispiel 3.10(a): Fortsetzung von Beispiel3.8(a) (Einfaktorielle Varianzanalyse)


I Daten

X =

1 1 · · · 1 0 · · · 0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 1 · · · 1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0 · · · 0 1 · · · 1 1

T

y = (22, 25, . . . , 19, 16, . . . , 16, 13, . . . , 14)T

b = (µ1, µ2, µ3)T

I Mathematisches Modell Y = Xb + ε (n1 = n2 = n3 = 10).Zeilenweise gelesen ergibt das

Yij = µi + εij j = 1, . . . , n1 ; i = 1, 2, 3

I µi Einfluss der i-ten FaktorstufeI εij Storgroßen

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Formulierung der Hypothese in Beispiel 3.8(a)

I

b =

µ1µ2µ3

I Mit

K =

(1 −1 01 0 −1

)kann die Nullhypothese

H0 : µ1 = µ2 = µ3

geschrieben werden als

H0 : Kb =

(µ1 − µ2µ1 − µ3

)=

(00

)

329 / 347


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Beispiel 3.10(b): Fortsetzung von Beispiel3.8(a) (Einfaktorielle Varianzanalyse)


I Daten

X =

1 1 · · · 1 1 · · · 1 1 · · · 1 11 1 · · · 1 0 · · · 0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 1 · · · 1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0 · · · 0 1 · · · 1 1

T

y = (22, 25, . . . , 19, 16, . . . , 16, 13, . . . , 14)T

b = (µ, α1, α2, α3)T

I Mathematisches Modell (n1 = n2 = n3 = 10)

Yij = µ+ αi + εij j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2, 3

I µ = (µ1 + µ2 + µ3)/3 GesamtmittelwertI αi Einfluss der i-ten FaktorstufeI εij Storgroßen

I Beachte: α1 + α2 + α3 = 0; µi = µ+ αi (i = 1, 2, 3)330 / 347


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Formulierung der Hypothese in Beispiel 3.8(b)I

b =

µα1α2α3

I Mit

K =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

kann die Nullhypothese

H0 : αi = 0 i = 1, 2, 3

geschrieben werden als

H0 : Kb =

α1α2α3

=

000

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3.11 Beispiel: Fortsetzung von Beispiel 3.6 (multiple lineareRegression)

Y =

Y1Y2Y3...

Yn

=

1 x11 x21 · · · xk11 x12 x22 · · · xk21 x13 x23 · · · xk3...

......

. . ....

1 x1n x2n · · · xkn

︸︷︷︸

X

·

b0b1......

bk

︸︷︷︸

b

+

ε1ε2ε3...εn

︸︷︷︸

ε

Beachte: Y = Xb + ε

I X hat n Zeilen und k + 1 SpaltenI Die i-te Zeile von Y liefert die Gleichung (der Fall i = 3 in blau)

Yi = b0 + b1x1i + b2x2i + . . .+ bkxki + εi i = 1, . . . , n

332 / 347


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Formulierung der Nullhypothesen in Beispiel 3.6:Testen von allen Koeffizienten

I

b =

b0...

bk

I Mit der k × (k + 1)-Matrix

K =

0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 0...

.

.

....

.

.

.. . .

.

.

....

0 0 0 0 · · · 0 1

kann man die Nullhypothese

H0 : bj = 0 fur alle j = 1, . . . , k

schreiben als

H0 : Kb =

b1...

bk

=

0...0

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Formulierung der Nullhypothesen in Beispiel 3.6:Testen von einzelnen Koeffizienten

I

b =

b0b1...

bk

I Mit der 1× (k + 1)-Matrix [beachte: die ”1” steht an der Stelle

(1, j + 1)]K = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

kann man die Hypothese

H0 : bj = 0

schreiben alsH0 : Kb = 0

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3.12 F -Test fur lineare Hypothesen im ALM

I Modell: Y = Xb + ε

I Nullhypothese: H0 : Kb = 0; H1 : Kb 6= 0I Voraussetzungen (sind zu prufen): Die Komponenten des

Vektors ε (zufallige Fehler) sindI unabhangigI normalverteilt mit Erwartungswert 0 und derselben Varianzσ2 > 0

I Mathematische Statistik: Die Designmatrix X und dieHypothesenmatrix K definieren eine Statistik Fs,n−r(n: Stichprobenumfang)

I Die Nullhypothese H0 wird zu Gunsten der Alternative H1abgelehnt, falls Fs,n−r großer als das entsprechende Quantil derF -Verteilung ist bzw. der p-Wert < α ist:

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Die Statistik Fs,n−rI

Fs,n−r =1s (Kb)T (K (X T X )−1K T )−1(Kb)

1n−r yT (I − X (X T X )−1X T )y

I b = (X T X )−1X T Y ist der Kleinste-Quadrate-Schatzer fur bI r ist die Anzahl der Parameter im ALMI Die Nullhypothese: H0 : Kb = 0 wird verworfen, falls

Fs,n−r > Fs,n−r ,1−α

gilt (bzw. der p-Wert < α ist). Dabei ist Fs,n−r ,1−α das(1− α)-Quantil der F -Verteilung mit (s, r) Freiheitsgraden

I Beachte: Die Statistik Fs,n−r kann man aus X (Designmatrix),K (Hypothesenmatrix) und y (Datenvektor) berechnen (⇒Software wie z. B. SPSS).

s2 =1

n − r yT (I − X (X T X )−1X T )y

ist die Schatzung fur die Varianz der zufalligen Fehler im Modell.336 / 347


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Eine anschauliche Interpretation der StatistikFs,n−r

I

s2 =1

n − r yT (I − X (X T X )−1X T )y

ist die Schatzung fur die Varianz der zufalligen Fehler im ModellY = Xb + ε

I s2K sei die Schatzung fur die Varianz der zufalligen Fehler im

Modell Y = Xb + ε und der zusatzlichen Annahme, dass dieNullhypothese gilt.

I Es gilt

Fs,n−r =n − r

s

(n − r − s

n − rs2K

s2 − 1)

I Beachte: Der F -Test vergleicht also die Schatzung der Varianzunter Modellannahme des ALM mit der Schatzung der Varianzunter der Modellannahme des ALM und der Annahme, dass dieNullhypothese gilt!

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Beispiel 3.13(a): Fortsetzung von Beispiel3.8(a) (F -Test in einfaktorieller Varianzanalyse)


I Daten

X =

1 1 · · · 1 0 · · · 0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 1 · · · 1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0 · · · 0 1 · · · 1 1

T

y = (22, 25, . . . , 19, 16, . . . , 16, 13, . . . , 14)T

b = (µ1, µ2, µ3)T

I Mathematisches Modell Y = Xb + ε (n1 = n2 = n3 = 10).Zeilenweise gelesen ergibt das

Yij = µi + εij j = 1, . . . , n1 ; i = 1, 2, 3

I µi Einfluss der i-ten FaktorstufeI εij Storgroßen

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Formulierung der Hypothese in Beispiel 3.8(a)

I b = (µ1, µ2, µ3)T

I H0 : µ1 = µ2 = µ3

I MitK =

(1 −1 01 0 −1

)kann die Nullhypothese geschrieben werden als

H0 : Kb =

(µ1 − µ2µ1 − µ3

)=

(00

)I Diese Designmatrix X , die Hypothesenmatrix K und der

Datenvektor y werden in die allgemeine Formel eingesetzt undman erhalt die Statistik fur den F -Test (in Softwareimplementiert).

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SPSS-Output fur die Daten aus Beispiel 3.8:Oneway ANOVA (Modell 3.8(a))


Quadratsumme



Gesamt 29348,700

3,5302795,300

,00035,896126,7002253,400

ONEWAY ANOVA

Beobachtung

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Zerlegung der Summe der Quadrate (vgl. Beispiel1.14):

k∑i=1

ni∑j=1

(yij − y ··)2


=k∑

i=1

ni∑j=1

(yij − µi )2

︸︷︷︸Fehler

+k∑

i=1ni (y ·· − µi )

2

︸︷︷︸Varianz zwischen Gruppen

Beachte:

I Gesamtstichprobenumfang: n =∑k

i=1 ni

I”Gesamtmittelwert”

y ·· =1n

k∑i=1

ni∑j=1

yij

I Mittelwert der Gruppe i : µi = y i· = 1ni

∑nij=1 yij

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Statistische Tests im Modell 3.8(a) (einfaktorielleVarianzanalyse)

I H0 : µ1 = µ2 = µ3 (der Faktor ”Dosierung” hat keinen Einfluss)

Fµ =12 253.41

27 95.3=

126.73.53 = 35.89 =⇒ p-Wert ≈ 0.000

D. h. die Nullhypothese wird zum Niveau 5% verworfen

I R2µ =

227 Fµ

1+ 227 Fµ

= 0.727

c. a. 72.7% der Variation in der Variablen ”Depression” sind aufden Faktor ”Dosierung” zuruckfuhrbar.

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Beispiel 3.13(b): Fortsetzung von Beispiel3.8(b) (F -Test in einfaktorieller Varianzanalyse)


I Daten

X =

1 1 · · · 1 1 · · · 1 1 · · · 1 11 1 · · · 1 0 · · · 0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 1 · · · 1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0 · · · 0 1 · · · 1 1

T

y = (22, 25, . . . , 19, 16, . . . , 16, 13, . . . , 14)T

b = (µ, α1, α2, α3)T

I Mathematisches Modell (n1 = n2 = n3 = 10)

Yij = µ+ αi + εij j = 1, . . . , ni ; i = 1, 2, 3

I µ = (µ1 + µ2 + µ3)/3 GesamtmittelwertI αi Einfluss der i-ten FaktorstufeI εij Storgroßen

I Beachte: α1 + α2 + α3 = 0; µi = µ+ αi (i = 1, 2, 3)343 / 347


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Formulierung der Hypothese in Beispiel 3.8(b)I b = (µ, α1, α2, α3)T

I H0 : αi = 0 i = 1, 2, 3I Mit

K =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

kann die Nullhypothese geschrieben werden als

H0 : Kb =

α1α2α3

=

000

I Weitere Hypothese H0 : µ = 0 ⇒ verwende die

HypothesenmatrixK = (1, 0, 0, 0),

dann erhalt man: H0 : Kb = µ = 0

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SPSS-Output fur die Daten aus Beispiel 3.8:Allgemeines lineares Modell, univariat (Modell3.8(b))


Quadratsummevom Typ III

Korrigiertes Modell

Konstanter Term

A

Fehler

Gesamt

KorrigierteGesamtvariation 29348,700

308917,000

3,5302795,300

,00035,896126,7002253,400

,0002427,5358568,30018568,300

,00035,896126,7002253,400a

QuelleQuelle

Tests der Zwischensubjekteffekte

Abhängige Variable:Beobachtung

a. R-Quadrat = ,727 (korrigiertes R-Quadrat = ,706)

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Zerlegung der Summe der quadriertenBeobachtungen in Beispiel 3.8(b):

k∑i=1

ni∑j=1

y 2ij︸︷︷︸

Gesamt

=k∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y ··)2

︸︷︷︸korrigierte Gesamtvarianz

+ (n y ··)2︸︷︷︸konstanterTerm

=k∑

i=1

ni∑j=1

(yij − µ− αi )2

︸︷︷︸Fehler

+k∑

i=1ni (y ·· − µ− αi )

2

︸︷︷︸Varianz zwischen Gruppen

+ (n y ··)2︸︷︷︸konstanterTerm

Beachte: µ = y ··, µ+ αi = µi

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Statistische Tests im Modell 3.8(b) (einfaktorielleVarianzanalyse)

I H0 : µ = 0 (Gesamtmittelwert = 0)

Fµ =11 8568.3

127 95.3

=8568.3

3.53 = 2427.535 =⇒ p-Wert ≈ 0.000

D. h. die Hypothese wird zum Niveau 5% verworfen.I H0 : αi = 0 (i = 1, 2, 3) (der Faktor ”Dosierung” hat keinen

Einfluss)

Fα =12 253.41

27 95.3=

126.73.53 = 35.89 =⇒ p-Wert ≈ 0.000

D. h. die Nullhypothese wird zum Niveau 5% verworfen

I R2α =

227 Fα

1+ 227 Fα

= 0.727

c. a. 72.7% der Variation in der Variablen ”Depression” sind aufden Faktor ”Dosierung” zuruckfuhrbar.

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