Méthodes mathématiques de la mécanique classique 2 MAT 1261

MAT 1261

MET HODES MAT HEMAT IQUESDE LA MECANIQUE CLASSIQUE 2

Chapitre 5 — Chapitre 7

BRICMONT J. – HAINE L.

2009-2010

Table des Matières — MAT 1261

Chapitre 5 — Systèmes linéarisés

1 Introduction...........................................................................................................5

2 L’oscillateur harmonique........................................................................................7

3 Les modes normaux de vibration..........................................................................13

4 Oscillations de pendules liés.................................................................................18

5 La chaîne d’oscillateurs........................................................................................21

6 Exercices..............................................................................................................25

Chapitre 6 — Principes Variationnels et Mécanique Hamil-tonienne

1 Exemples de problèmes variationnels...................................................................29

2 Équations d’Euler-Lagrange.................................................................................32

3 Exemples de solution de problèmes variationnels..................................................39

4 Transformation de Legendre.................................................................................42

4.1 Introduction.................................................................................................42

4.2 Transformée de Legendre..............................................................................43

5 Les équations de Hamilton....................................................................................46

6 Les crochets de Poisson.........................................................................................51

7 Exercices..............................................................................................................53

8 Problème..............................................................................................................55

Exercices Chapitre 6 — Solutions............................................................................59

Chapitre 7 — Les séries de Fourier

1 Approximation en moyenne quadratique.............................................................61

2 La convergence des séries de Fourier en un point..................................................67

Références.....................................................................................................77

Chapitre 5

Systèmes linéarisés

I Introduction

Considérons un pendule décrit par le Lagrangien

L(θ, θ) =mℓ2θ2

2− mℓg(1 − cos θ).

Les équations du mouvement s’écrivent

θ +g

ℓsin θ = 0. (1.1)

Si on utilise des développements de Taylor du sinus

sin θ = θ + R2(θ) = θ − θ3

3!+ R4(θ),

on peut écrire

θ +g

ℓθ +

g

ℓR2(θ) = 0,

ou

θ +g

ℓ

(

θ − θ3

3!

)

+g

ℓR4(θ) = 0.

Il est dès lors naturel de négliger R2 ou R4 et d’associer à (1.1) les équations

ϕ +g

ℓϕ = 0, (1.2)

ou

Ψ +g

ℓ

(

Ψ − Ψ3

3!

)

= 0. (1.3)

Bien sûr on peut prolonger l’idée, considérer une approximation de degré m du sinus

et en déduire une équation correspondant à (1.2) et (1.3). De toutes façons, on peut

espérer que puisque R2(θ) et R4(θ) sont petits pour θ petit,

limθ→0

R2(θ)

θ2= 0, lim

θ→0

R4(θ)

θ4= 0,

que les solutions de (1.2) et (1.3) seront proches des solutions de (1.1) si θ(t) reste

petit. Pour confirmer cette intuition, on peut étudier le plan de phase des équations

(1.1), (1.2) et (1.3). On voit que les solutions ϕ(t)

MAT 1261

Figure 1. plan de phase de (1.1)



de (1.2) approximent correctement les solutions θ(t) de (1.1) au voisinage de la

position d’équilibre θ = θ = 0. Les solutions Ψ(t) de (1.3) reproduisent un peu

6


mieux le plan de phase des solutions θ(t) de (1.1). En effet la première cellule

apparait clairement.

Au vu de ces résultats qui relèvent de la mathématique expérimentale, on peut

être tenté d’écrire des théorèmes qui précisent le lien entre les solutions de (1.1),

(1.2) et (1.3). Ceci se fera dans le cadre des cours sur les équations différentielles.

Par ailleurs, il faut aussi poser la question de savoir dans quelle mesure les équations

(1.2) et (1.3) nous aident à étudier (1.1). Dans cette perspective, l’équation (1.2) est

particulièrement intéressante parce que nous en connaissons explicitement toutes les

solutions :

ϕ(t) = A sin

√

g

ℓt + B cos

√

g

ℓt,

où A ∈ R et B ∈ R.

Plus généralement, nous étudierons dans ce chapitre, une classe de systèmes pour

lesquels la solution des équations du mouvement peut être trouvée explicitement.

Ces systèmes ont un Lagrangien L = T − V , où T est une fonction quadratique

des vitesses et V une fonction quadratique des positions, toutes deux à coeffi-

cients constants. Comme on le verra dans la section 3, ces systèmes permettent

d’approximer les petites oscillations de certains systèmes non linéaires autour d’une

position d’équilibre.

II L’oscillateur harmonique

Considérons une masse m qui se déplace le long d’une droite sous l’action

(i) d’un ressort décrit par une force −kx, k > 0,

(ii) d’un frottement αx, α ∈ R et

(iii) d’une excitation extérieure F (t) = F0 cos ω0t, F0 ∈ R, ω0 ∈ R.

On sait que l’équation du mouvement de ce système s’écrit

mx + αx + kx = F0 cos ω0t (2.1)

et on peut en étudier les solutions à partir des méthodes développées dans le cours

d’analyse. On sait que toute solution de (2.1) est de la forme

y = u + v,

où u est une solution de l’équation homogène associée à (2.1)

mu + αu + ku = 0 (2.2)

et v est une solution particulière de (2.1).

7

MAT 1261

1. Solutions de l’équation homogène

Pour calculer les solutions de (2.2), on considère les racines du polynôme caractéris-

tique

L(z) = z2 +α

mz +

k

m,

soit

r1 = β +

√

β2 − k

met r2 = β −

√

β2 − k

m,

où

β = − α

2m.

Si

β2 =( α

2m

)2

>k

m,

c’est-à-dire si le frottement est fort, les racines ri sont réelles distinctes et les solutions

de (2.2) s’écrivent

u(t) = Aer1t + Ber2t. (2.3)

Si

β2 =( α

2m

)2

=k

m,

les racines ri sont réelles, confondues et les solutions de (2.2) sont

u(t) = (At + B)eβt. (2.4)

Finalement si

β2 =( α

2m

)2

<k

m,

c’est-à-dire si le frottement est faible, les racines ri sont complexes. On peut écrire

r1 = β + iω, r2 = β − iω,

où

ω =

√

(k

m) − β2.

Les solutions réelles de (2.2) s’écrivent alors

u(t) = (A cos ωt + B sin ωt)eβt. (2.5)

Pour obtenir (2.5), écrivons d’abord la solution sous la forme, similaire à (2.3),

u(t) = A′er1t + B′er2t

= (A′eiωt + B′e−iωt)eβt,

8


ce qui, en utilisant la formule d’Euler (e±iωt = cos ωt ± i sin ωt), mène à (2.5), avec

A = A′ + B′, B = i(A′ − B′).

Remarque : La solution (2.5) peut aussi s’écrire sous la forme

u(t) = C sin(ωt + ϕ)eβt, (2.6)

où les constantes arbitraire sont C et ϕ. Le lien entre C, ϕ et A, B est explicité par

les formules

C = (A2 + B2)1/2, tg ϕ = A/B.

La forme (2.6) de la solution u(t) est particulièrement utile pour en tracer le graphe.

La figure 4 représente ce graphe dans le cas β < 0 qui correspond à un frottement

α > 0, naturel sur le plan physique.

Figure 4 - graphe de u(t) si β2 < k/m, β < 0.

2. Problème de Cauchy pour l’équation homogène

Étant donnés u0 ∈ R, u1 ∈ R et l’équation (2.2), le problème de Cauchy consiste à

déterminer la solution u(t) de (2.2) telle que

u(0) = u0 et u(0) = u1.

Il est facile d’en obtenir la solution à partir de (2.3), (2.4), (2.5) ou (2.6).

Par exemple si β2 > k/m, on déduit de (2.3)

u(t) = Aer1t + Ber2t,

u(t) = Ar1er1t + Br2e

r2t,

et

u(0) = A + B = u0, u(0) = Ar1 + Br2 = u1.

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MAT 1261

On calcule ainsi

A =u0r2 − u1

r2 − r1

, B =u1 − u0r1

r2 − r1

et finalement la solution

u(t) =u0r2 − u1

r2 − r1

er1t +u1 − u0r1

r2 − r1

er2t.

De la même façon on déduit de (2.4) et (2.5) les solutions

u(t) = [(u1 − u0β)t + u0]eβt, si β2 = k/m,

et

u(t) =

[

u0 cos ωt +u1 − u0β

ωsin ωt

]

eβt, si β2 < k/m.

Cette dernière expression peut se mettre sous la forme (2.6)

u(t) =1

ω(u2

1 − 2u0u1β + u20k/m)1/2 sin(ωt + ϕ)eβt,

où

tg ϕ =ωu0

u1 − βu0

.

3. Comportement asymptotique des solutions

Si α > 0, on vérifie que la partie réelle des racines ri est strictement négative. Dès

lors, dans chacun des trois cas (2.3) (2.4) et (2.5) on a

limt→+∞

u(t) = limt→+∞

u(t) = 0. (2.7)

Par contre si α < 0, la partie réelle des racines ri est strictement positive et pour

toute autre solution que la solution nulle,

limt→+∞

sup |u(t)| = limt→+∞

sup |u(t)| = +∞. (2.8)

Notons que dans (2.5) la solution oscille et la limite t → ∞ n’existe pas.

On peut comprendre ce comportement des solutions en étudiant l’énergie du

système sans frottement (α = 0):

E(u, u) =1

2mu2 +

1

2ku2.

La dérivée de l’énergie le long des solutions de (2.2) s’écrit

d

dtE(u, u) = muu + kuu = −αu2,

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ce qui exprime le fait que le système n’est pas conservatif pour α 6= 0. Si α > 0,

l’énergie décroit, c’est-à-dire que le terme αu dissipe de l’énergie. Dans ce cas, la

relation (2.7) devient naturelle. Par contre si α < 0, l’énergie est une fonction

croissante et on peut dire que le terme αu est dû à un apport externe d’énergie. Si

l’énergie tend vers l’infini, les relations (2.8) deviennent plausibles.

Si α = 0, c’est-à-dire si le frottement est nul, le système que l’on étudie est

conservatif. On a nécessairement

β2 = 0 < k/m

et les solutions de (2.2) s’écrivent

u(t) = A cos ωt + B sin ωt = C sin(ωt + ϕ).

Toutes les solutions sont périodiques de période

T =2π

ω= 2π

√

m

k.

Cette période ne dépend que des paramètres m et k de l’équation et non des condi-

tions initiales u0 et u1. Dans ce cas on parle d’isochronie des oscillations.

4. Solution particulière de l’équation non homogène

On peut calculer une solution particulière v de (2.1) par la méthode des exponen-

tielles polynômes. On sait que v est de la forme

v(t) = a cos ω0t + b sin ω0t

sauf si iω0 est racine du polynôme caractéristique c’est-à-dire sauf si α = 0 et

ω0 =

√

k

m. Supposons donc, pour commencer, que

α2 + (mω20 − k)2 6= 0, (2.9)

et écrivons v(t) sous la forme équivalente

v(t) = C cos(ω0t + ϕ) = C cos ϕcosω0t − C sin ϕ sin ω0t. (2.10)

Dans cette expression C et ϕ sont des constantes à déterminer pour que v soit

solution de (2.1). Dans ce but, on calcule

v(t) = −Cω0(cos ϕ sin ω0t + sin ϕ cos ω0t)

v(t) = −Cω20(cos ϕ cosω0t − sin ϕ sin ω0t)

11

MAT 1261

et

mv + αv + kv = C[(mω20 sin ϕ − αω0 cos ϕ − k sin ϕ) sin ω0t

+ (−mω20 cos ϕ − αω0 sin ϕ + k cos ϕ) cosω0t]

= F0 cos ω0t.

Ceci implique

(mω20 − k)C sin ϕ − aω0C cos ϕ = 0

−αω0C sin ϕ − (mω20 − k)C cos ϕ = F0

et si on remarque que (2.9) implique, comme ω0 6= 0, que

(αω0)2 + (mω2

0 − k)2 6= 0,

on peut écrire

C cos ϕ = − F0(mω20 − k)

(αω0)2 + (mω20 − k)2

,

C sin ϕ = − F0αω0

(αω0)2 + (mω20 − k)2

.

On en déduit

C2 = F 20

1

(αω0)2 + (mω20 − k)2

(2.11)

et

tg ϕ =αω0

mω20 − k

. (2.12)

Remarque : Si α = 0 et ω0 =√

k/m, l’équation (2.1) s’écrit

x + ω20x =

F0

mcos ω0t.

Une solution particulière peut se calculer par la méthode de variation des constantes.

On obtient ainsi

v(t) =F0

2ω0mt sin ω0t.

5. Solution générale de l’équation non homogène

Nous avons rappelé que toute solution de (2.1) est de la forme

y = u + v

12


où u a été calculé en (2.3), (2.4) et (2.5) et v en (2.10), si (2.9) est vérifié. L’étude

de comportement asymptotique des solutions u de l’équation homogène (cfr. (2.7))

montre que si α > 0

limt→+∞

(y(t) − v(t)) = limt→+∞

(y(t) − v(t)) = 0.

Après un certain temps, on ne peut plus distinguer y et v. En d’autres termes v

décrit toutes les solutions de (2.1) si t est assez grand.

Remarquons que cette propriété ne particularise pas la solution v. En fait si v

est une autre solution particulière de (2.1), on a

y = u + v,

où u est une solution de l’équation homogène et

limt→+∞

(y(t) − v(t)) = limt→+∞

(y(t) − ˙v(t)) = 0.

Par contre, on peut caractériser la solution v, pour α 6= 0, par le fait que c’est

la seule solution périodique des équations (2.1). De plus si α > 0 toute solution

de (2.1) tend vers cette solution périodique. Il s’agit donc d’une solution de régime

périodique. Tout se passe comme si, soumis à l’action extérieure

F (t) = F0 cos ω0t,

le système réagisse de façon telle, qu’à un régime transitoire près u(t), il fournisse

une réponse

v(t) = C cos(ω0t + ϕ).

III Les modes normaux de vibration

1. Position du problème

Dans cette section, nous allons étendre une partie de l’analyse faite ci-dessus à des

systèmes à n degrés de liberté. Nous allons étudier le mouvement d’un système

décrit par des coordonnées généralisées q au voisinage d’une position d’équilibre

q = 0.

L’énergie cinétique est une forme quadratique en les vitesses q

T (q, q) =1

2qTA(q)q.

13

MAT 1261

Les termes de la matrice A(q) peuvent se développer en série de puissances de

q1, · · · , qn

A(q) = A + A1q1 + · · ·+ Anqn + · · · ,

où la matrice A est symétrique définie positive. Ce développement s’obtient en

développant chaque élément de matrice en série de Taylor (à n variables).

L’énergie potentielle V (q) peut aussi se développer en série de puissances des qi.

V (q) = V (0) +∂V

∂q(0)q +

1

2qT ∂2V

∂q2(0)q + · · · .

Puisque l’énergie potentielle est définie à une constante près, on peut poser V (0) = 0.

De plus si on suppose que q = 0 est un équilibre du système, on déduit des équations

de Lagranged

dt

∂L

∂q(0, 0) − ∂L

∂q(0, 0) =

∂V

∂q(0) = 0.

On peut donc écrire

V (q) =1

2qT Bq + · · · ,

où B =∂2V

∂q2(0) est une matrice symétrique constante.

Écrivons ensuite, les équations de Lagrange pour un mouvement quelconque

[

d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q

]

(q, q) = (Aq + Bq) + · · · = 0. (3.1)

Si q et q sont petits, il est naturel d’associer à (3.1) le système linéaire.

Aq + Bq = 0. (3.2)

Dans la suite nous allons étudier l’équation (3.2), en supposant que A est une

matrice diagonale: A = mI avec m > 0. Le cas général où A est une matrice

symétrique réelle définie positive peut aussi être traité. Comme dans le cas du

pendule, le lien entre les solutions de (3.1) et (3.2) peut se faire sur base de théorèmes

de continuité des solutions d’équations différentielles par rapport à une perturbation

mais nous ne le ferons pas ici.

2. Diagonalisation du problème

Pour étudier (3.2) il est naturel de chercher à faire un changement de variables

linéaire

q = P r (3.3)

14


qui simplifie autant que possible les équations. Si P est une matrice constante

régulière les équations (3.2) sont équivalentes, en multipliant à gauche par P T , à

P T AP r + P T BP r = 0.

Le problème consiste donc à choisir P de sorte que les matrices

P TAP et P TBP

soient aussi simples que possible. Dans ce but on va utiliser la proposition suivante.

Proposition 3.1 Si B est une matrice symétrique réelle, on peut trouver une matrice

orthogonale P telle que

P T BP = diag (λ1, · · · , λn).

Démonstration : Voir le théorème 13.5 du cours d’algèbre. �

En utilisant ce résultat, l’équation (3.2) est transformée en

ri + µiri = 0, i = 1, · · · , n (3.4)

où µi = λi/m, vu que, P étant orthogonale et A = mI, P TAP = mI.

Les solutions de (3.4) s’écrivent explicitement

ri(t) = aiui(t) + bivi(t),

où ai, bi sont des constantes arbitraires et

ui(t) = cos(√

µit), vi(t) = sin(√

µit), si µi > 0,

ui(t) = exp(√−µit), vi(t) = exp(−√−µit), si µi < 0,

ui(t) = 1, vi(t) = t, si µi = 0.

On peut maintenant décrire les fonctions q(t) solutions de (3.2).

q(t) = P

a1u1(t) + b1v1(t)

· · ·anun(t) + bnvn(t)

=

n∑

i=1

(aiui(t) + bivi(t))Pi, (3.5)

où Pi est la ième colonne de la matrice P . On a ainsi explicitement les 2n solutions

ui(t)Pi, vi(t)Pi, (i = 1, · · · , n),

qui forment une base de l’espace des solutions de (3.2), c’est-à-dire que toute solu-

tion peut s’écrire sous la forme (3.5). En effet, les vecteurs Pi, i = 1 . . . , n, étant les

15

MAT 1261

colonnes d’une matrice orthogonale forment une base orthonormée dans Rn (le pro-

duit scalaire (Pi| Pj) = (P TP )ij = δij). Donc, étant donné des conditions initiales

q(0), q(0) quelconques, on peut trouver ci, di tels que

q(0) =n∑

i=1

ciPi

et

q(0) =∑

diPi

et à partir de là, trouver ai, bi en résolvant les équations

aiui(0) + bivi(0) = ci

aiui(0) + bivi(0) = di

On remarque que, quelques soient les ui, vi qui apparaissent dans (3.5), ui(0)vi(0)−ui(0)vi(0) 6= 0 et donc, on peut résoudre ce système d’équations et exprimer ai, bi en

fonction de ci, di. Donc, comme chaque solution de (3.2) est univoquement déter-

minée par q(0), q(0), et que l’on peut trouver une solution de la forme (3.5) pour

toute paire (q(0), q(0)), on en conclut que toute solution de (3.2) est bien de la

forme (3.5).

3. Solutions périodiques

Remarquons que toutes les solutions (3.5) sont bornées sur R si et seulement si tous

les λi sont strictement positifs puisque, par hypothèse, m > 0. Si on se réfère au

problème initial non linéaire, c’est le cas le plus intéressant. En effet, on doit se

souvenir qu’on était parti d’approximations quadratiques de T et V autour d’une

position d’équilibre. Mais ces approximations cessent d’être raisonnables à partir du

moment où une solution s’éloigne trop de la position d’équilibre ce qui peut arriver

si q(t) n’est pas borné.

Rappelons ensuite que

P T BP = diag (λ1, · · · , λn).

Il est dès lors clair qu’on a les équivalences suivantes :

(i) ∀i = 1, · · · , n, λi > 0 ;

(ii) la matrice P T BP est définie positive ;

(iii) la matrice B est définie positive.

On en déduit que les solutions de (3.2) sont toutes bornées si et seulement si B

est une matrice définie positive. Ceci implique aussi que V (q) = qT Bq + · · · a un

minimum strict en q = 0.

16


Les solutions

(ai cos(√

µit) + bi sin(√

µit))Pi = ci cos(√

µit + ϕi)Pi (3.6)

sont appelées les modes normaux de vibration et les pulsations ωi =√

µi les pulsa-

tions normales.

Remarquons finalement que la solution générale

q(t) =∑

(ai cos(√

µit) + bi sin(√

µit))Pi

n’est en général pas une fonction périodique. Ce ne sera le cas que si

∀i, ∀j,

√µi√µj

=ωi

ωj∈ Q

4. Calcul des modes normaux

Pour calculer en pratique les modes normaux, on pose

qi(t) = ri(t)Pi (3.7)

où Pi est un vecteur propre de B de valeur propre λi:

BPi = λiPi (3.8)

et ri(t) résoud l’équation (3.4).

On vérifie aisément qu’une telle solution satisfait

Aq + Bq = mri(t)Pi + r(t)λiPi = 0.

Donc, tout le problème se ramène à résoudre l’équation aux vecteurs propres (3.8), et

ensuite à utiliser les solutions de (3.4) discutées plus haut, avec µi = λi/m. Notons

au passage que rechercher des solutions de la forme (3.7) est similaire à la méthode

dite de séparation de variables utilisée pour résoudre les équations aux dérivées

partielles. Rappelons aussi que les λi sont des racines (éventuellement multiples) du

polynôme

det(λI − B) = 0. (3.9)

Si l’on trouve des racines multiples, de multiplicité κ, il faut alors trouver κ vecteurs

linéairement indépendants qui sont solutions de (3.8).

17

MAT 1261

IV Oscillations de pendules liés

1. Le problème non linéaire

On considère deux pendules identiques dont les points de suspension sont situés sur

une même horizontale. Ces pendules sont soumis au champ de gravitation de la

pesanteur supposé vertical et sont reliés par un ressort sans masse dont l’élongation

naturelle est égale à la distance L entre les points de suspension. On normalise la

longueur ℓ des pendules et leur masse m, en posant ℓ = 1 et m = 1.

Figure 5 - pendules couplés.

Si on choisit comme coordonnées généralisées les angles q1 et q2 que forment les

pendules avec la verticale l’énergie cinétique s’écrit

T (q1, q2) =q21

2+

q22

2

et l’énergie potentielle est

V (q1, q2) = g(1 − cos q1) + g(1 − cos q2) +α

2(d(q1, q2) − L)2,

où d(q1, q2) est la distance entre les deux masses

d2(q1, q2) = (L + sin q2 − sin q1)2 + (cos q1 − cos q2)

2.

On peut développer d en série au voisinage de q1 = q2 = 0 en remarquant que

d2(q1, q2) = (L + q2 − q1 + · · ·)2 +

(

q22

2− q2

1

2+ · · ·

)2

et donc, dans l’approximation linéaire,

d(q1, q2) = L + q2 − q1 + · · · .

Le développement en série de l’énergie potentielle est alors

V (q1, q2) = g

(

q21

2+

q22

2

)

+α

2(q2 − q1)

2 + · · · .

18


2. L’approximation linéaire

Le développement en série de V (q1, q2) montre que si on s’intéresse à des solutions

proches de l’équilibre

q1(t) ≡ 0, q2(t) ≡ 0,

il est naturel d’associer au lagrangien

L = T − V,

le lagrangien approché

L0(q, q) =1

2(q2

1 + q22) −

g

2(q2

1 + q22) −

α

2(q1 − q2)

2

et à l’équation de Lagranged

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q= 0,

l’équation approchée

d

dt

∂L0

∂q− ∂L0

∂q=

(

q1

q2

)

+

(

g + α −α

−α g + α

)(

q1

q2

)

= 0. (4.1)


Les équations (4.1) sont de la forme (3.2) avec

A =

(

1 0

0 1

)

et B =

(

g + α −α

−α g + α

)

.

Si on veut calculer les modes normaux, remarquons que (3.9) se réduit à

(λ − g − α)2 − α2 = 0

dont les solutions sont

λ1 = g et λ2 = g + 2α.

Pour λ1 = g, l’équation (3.8) devient(

−α α

α −α

)(

p11

p21

)

= 0

dont une solution s’écrit

P1 =

(

p11

p21

)

=1√2

(

1

1

)

.

19

MAT 1261

Pour λ = g + 2α, l’équation (3.8) est

(

α α

α α

)(

p12

p22

)

= 0

et on en calcule une solution

P2 =

(

p12

p22

)

=1√2

(

1

−1

)

.

Finalement, les solutions de (4.1) s’obtiennent en particularisant (3.5)

q(t) = (a1 cos√

gt+b1 sin√

gt)1√2

(

1

1

)

+(a2 cos√

g + 2αt+b2 sin√

g + 2αt)1√2

(

1

−1

)

ou ce qui est équivalent

q(t) = c1 cos(√

gt + ϕ1)

(

1

1

)

+ c2 cos(√

g + 2αt + ϕ2)

(

1

−1

)

.

Dans ces expressions les ai, bi et les ci, ϕi sont des constantes arbitraires qui peuvent

être déterminées, par exemple, par les conditions initiales.

Les modes normaux sont les solutions particulières

q1(t) = c1 cos(√

gt + ϕ1)

(

1

1

)

et

q2(t) = c2 cos(√

g + 2αt + ϕ2)

(

1

−1

)

.

Dans le premier cas, le deux pendules oscillent en phase à la fréquence propre des

pendules découplés, comme si le ressort n’existait pas. Dans le deuxième cas, les

pendules sont en opposition de phase avec une pulsation ω2 =√

g + 2α supérieure

à la pulsation propre ω1 =√

g.

Remarque : Dans les calculs ci-dessus, on a choisi des vecteurs P1 et P2 de norme

unité de sorte que la matrice

P = (P1,P2) =1√2

(

1 1

1 −1

)

soit orthogonale P−1 = P T .

20


V La chaîne d’oscillateurs

1. Mise en équation du problème

Bien que la méthode des modes normaux soit générale, on s’aperçoit vite que les

calculs deviennent laborieux lorsque le nombre de degrés de liberté augmente. Il

existe pourtant certains systèmes à n degrés de liberté pour lesquels une solution

explicite peut être trouvée.

Considérons n particules de masse m, se déplaçant sur une droite, reliées entre

elles par des ressorts de rigidité k. De plus la 1ère et la nème particule sont reliées par

des ressorts du même type à des points d’attache fixes. On suppose que l’élongation

naturelle des ressorts vaut L/(n + 1), où L est la distance entre les points d’attache

fixes.

Figure 6 - la chaîne d’oscillateurs.

On a une position d’équilibre du système lorsque la position xi de la ième particule

vaut

xi =iL

n + 1, i = 1, · · · , n.

Pour étudier les oscillations autour de cette position d’équilibre, on introduit les

coordonnées

qi = xi −iL

n + 1.

Dans ces variables le lagrangien s’écrit

L =m

2

n∑

i=1

q2i −

k

2

n∑

i=0

(qi − qi+1)2,

où on a posé q0 = 0 et qn+1 = 0. Les équations du mouvement sont alors

mq1 + k(2q1 − q2) = 0

· · ·mqi + k(−qi−1 + 2qi − qi+1) = 0 (5.1)

· · ·mqn + k(−qn−1 + 2qn) = 0.

21

MAT 1261

Elles sont linéaires et de la forme (3.2), où

A = mI et B = k

2 −1

−1 2 −1

· · ·−1 2

.


Les solutions de (3.9) sont les valeurs λα de λ telles que (3.8) ait une solution Pα =

(pα1 , · · · , pα

n) non nulle. Nous utilisons ici la lettre α pour numéroter les solutions,

par opposition aux indices i ou j utilisés pour les coordonnées des oscillateurs (c’est-

à-dire les composantes de Pα). Les équations (3.8) s’écrivent

−pαj−1 + 2pα

j − pαj+1 =

λα

kpα

j , j = 1, · · · , n, (5.2)

où on a posé pα0 = pα

n+1 = 0.

Comme on le montrera plus loin, ces équations, dites aux différences finies, peu-

vent être vues comme les approximations d’équations différentielles. Il est par con-

séquent naturel d’essayer de trouver des solutions du type pαj = ezαj avec zα ∈ C,

comme on le ferait pour des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

On obtient qu’un tel Pα satisfait (5.2) pourvu que

λα

k= 2 − e−zα − ezα. (5.3)

Mais un tel Pα ne satisfera jamais pα0 = pα

n+1 = 0. Pour résoudre ce problème,

observons que les vecteurs de coordonnées Aezαj + Be−zαj (avec A, B ∈ C) sont

aussi solutions de (5.2), avec le même λα, par (5.3). Pour satisfaire les conditions

“aux bords" pα0 = pα

n+1 = 0, il suffit d’avoir A = −B et ezα(n+1) − e−zα(n+1) = 0.

Cette dernière condition implique que zα =πiα

n + 1avec α = 1, 2, . . . n. A priori,

α ∈ Z, mais on peut se limiter à cet ensemble de valeurs de α puisque les vecteurs

correspondant à α et à α + 2(n + 1) sont identiques (e2πiαj = +1, ∀j, α ∈ Z),

que p−αj = −pα

j c’est-à-dire que Pα et P−α sont multiples l’un de l’autre, et que

p0j = pn+1

j = 0 ∀j, vu que A = −B. On obtient donc, en prenant A = −B =1

2i(ce

qui donne une solution réelle, avec une normalisation arbitraire), que les vecteurs

Pα, de coordonnées

pαj = sin

(

jαπ

n + 1

)

j = 0, . . . , n + 1

22


sont solutions de (5.2) pour α = 1, . . . , n, pourvu que (cfr. (5.3))

λα = 2k

(

1 − cos

(

απ

n + 1

))

= 4k sin2

(

απ

2(n + 1)

)

et

µα =λα

m=

4k

msin2

(

απ

2(n + 1)

)

. (5.4)

Pour chaque α = 1, 2, · · · , n, on a calculé ainsi des λα distincts, strictement

positifs et tels que le vecteur

Pα =

(

sin

(

απ

n + 1

)

, sin

(

2απ

n + 1

)

, · · · , sin(

nαπ

n + 1

))

(5.5)

soit solution de (5.2) c’est-à-dire de (3.8). Ces λα sont nécessairement les solutions de

(3.9) et comme les vecteurs Pα sont linéairement indépendants (ils sont mutuellement

orthogonaux vu que toutes les valeurs propres λα sont distinctes et que la matrice

B est symétrique réelle), on a complètement déterminé les modes normaux

qα(t) = (aα cos(√

µαt) + bα sin(√

µαt))Pα (5.6)

où aα, bα sont des constantes arbitraires. On a aussi déterminé la solution générale

de (5.1) qui s’écrit

q(t) =

n∑

α=1

(aα cos(√

µαt) + bα sin(√

µαt))Pα

On notera au passage que les vecteurs Pα ne sont pas normalisés à ‖Pα‖ = 1 (ce qui

veut dire que la matrice P dont les colonnes sont données par ces vecteurs Pα n’est

pas orthogonale). Cela n’affecte que le calcul des coefficients aα, bα dans l’équation

ci-dessus.

Remarque : On peut généraliser ce problème et le relier à une équation aux dérivées

partielles. En effet, la chaîne d’oscillateurs peut servir de modèle pour étudier les

oscillations longitudinales d’un barreau de longueur L, de masse M et de constante

de raideur K. Divisons ce barreau en n + 1 petites sections de longueur ℓ =L

n + 1

et dont la masse m =M

n + 1est supposée concentrée en un point. Chacun de ces

points est relié aux points adjacents par un petit ressort de constante de raideur

k = (n + 1)K. Les équations (5.1) s’écrivent alors

1

ℓ[mqi + k(−qi−1 + 2qi − qi+1)] =

M

Lqi − KL

qi−1 − 2qi + qi+1

ℓ2= 0. (5.7)

23

MAT 1261

À chaque point x = iℓ et à chaque instant t on associe q(t, x) = qi(t). Fixons alors

un point a =α

βL, où α et β > α sont des entiers, et faisons tendre n vers l’infini

ou, ce qui est équivalent, ℓ vers zéro. Pour chaque valeur de n + 1 multiple de β on

peut trouver un indice i tel queiL

n + 1= a et alors

qi−1 − 2qi + qi+1

ℓ2=

q(t, a − ℓ) − 2q(t, a) + q(t, a + ℓ)

ℓ2

Si on peut passer à la limite pour ℓ tendant vers zéro, on obtient

limℓ→0

qi−1 − 2qi + qi+1

ℓ2=

∂2q

∂x2(t, a)

et l’équation (5.7) devient

M

L

∂2

∂t2q(t, x) = KL

∂2

∂x2q(t, x). (5.8)

Par ailleurs, les conditions q0 = qn+1 = 0 deviennent

q(t, 0) = q(t, L) = 0.

On peut vérifier que les fonctions

qα(t, x) =

(

A cos

(√

K

Mπαt

)

+ B sin

(√

K

Mπαt

))

sin(π

Lαx)

, α ∈ N∗ (5.9)

sont solutions de (5.8). En particulier on obtient aux points t = 0, xj = jL/(n +

1), j = 1, · · · , n, en posant A = 1,

pαj = qα

(

0,jL

n + 1

)

= sin

(

jαπ

n + 1

)

ce qui est la solution (5.5). Remarquons également que√

µα, avec µα donné par

(5.4) tend, lorsque n → ∞ avec m =M

n + 1, k = (n + 1)K vers

√

K

Mπα c’est-à-dire

exactement le multiple de t apparaissant dans (5.9), comme on peut s’y attendre en

considérant (5.6).

24


VI Exercices

1. Donnez la solution générale des systèmes suivants:a) x′′ = 0,

b) x′′ + 4x = 0,

c) x′′ − 4x = 0,

d) x′′ + 4x′ + 3x = 0,

e) x′′ + x′ + x = 0,

f) x′′ + 2x′ + x = 0.

2. Donnez une solution particulière du système suivant:a) x′′ + x′ + x = t,

b) x′′ + x′ = t,

c) x′′ = t,

d) x′′ + 4x = sin t,

e) x′′ + x′ + 4x = sin t,

f) x′′ + 4x = sin 2t,

g) x′′ + 4x = et,

h) x′′ − x = et,

i) x′′ − 2x′ + 2x = et,

j) " = cos t,

k) " = et cos t,

l) " = (1 + t)et cos t.

3. Exprimez C et tgϕ dans (2.6) en termes de la vitesse et de la position initiale.

4. Considérons une particule de masse m = 1 soumise à un potentiel V (x) =

V cos αx − Kx. Déterminez les valeurs de K pour lesquelles de petites oscilla-

tions autour d’un minimum sont possibles et donnez leur fréquence. (c’est-à-dire la

fréquence due au potentiel harmonique correspondant à l’approximation quadratique

de V (x) en un minimum).

5. Soit une particule de masse m = 1 soumise à un potentiel central V (r) = −Kr−n,

0 < n < 2. On a vu dans le chapitre 4 qu’il existait une orbite circulaire de

rayon (r∗)2−n = ℓ2/nK. Utilisant le potentiel effectif pour la variable r, trouvez la

fréquence des petites oscillations de r autour de r∗.

6. Trouvez les modes normaux et les pulsations normales pour le système suivant:

(a) L(x, y, x, y) = 12(x2 + y2) − ω2

2(x2 + y2) + αxy ;

25

MAT 1261

7. (a) Écrivez le Lagrangien et les équations de Lagrange pour les petites oscillations

du pendule double représenté à la figure 1.

Figure 1

(b) Écrivez l’approximation linéaire de ces équations.

(c) Trouvez les modes normaux et les pulsations normales de ce système.

8. Trouvez les trajectoires d’une particule de masse m soumise dans R3 à un potentiel

central V (r) = Kr2.

9. Donnez les équations du mouvement du système ci-contre dans le champ de la

pesanteur.

(a) Donnez les équations en x1, x2 et déterminez l’équilibre x10, x20.

(b) Donnez les équations en x, y après la translation x = x1 − x10, y = x2 − x20.

(c) Donnez les modes normaux quand k1 = k2 = k, m1 = m2 = m. On pose

ωc =√

k/m.

10. Soit un système de 2 masses m1, m2 se mouvant sans frottement sur un cercle

horizontal. Les deux masses sont reliées entre elles par deux ressorts de caractéris-

tiques ki, ℓi (i = 1, 2) enroulés autour du cercle.

(a) Donnez le lagrangian et les équations de Lagrange.

(b) Déterminez les équilibres θ10, θ20 et effectuez la translation α = θ1 − θ10, ϕ =

θ2 − θ20.

(c) Donnez les équations du mouvement en ϕ, θ.

(d) Donnez les modes normaux et la solution générale.

(e) Particularisez au cos m1 = m2 = m ; k1 = k2 = k ; ω20 = k/m.

11. Exercice similaire au 6 avec trois masses. On suppose m1 = m2 = m3 = m ;

k1 = k2 = k3 = k ; ℓ1 = ℓ2 = ℓ3 = ℓ = 2πR3

, ω20 = k

m. On posera q1 = θ1 − θ10,

q2 = θ2 − θ20, q3 = θ3 − θ30.

12. Trouvez les solutions de la forme q(t) = e−αtq0 de Aq + Bq = 0, où q =

26


(q1, · · · , qn)T , A et B sont des matrices n × n et A est inversible. Montrez que α,q0

sont des valeurs et vecteurs propres de A−1B.

13. Considérons trois oscillateurs couplés de longueur ℓi et de rigidité ki, auxquels

sont attachés des particules de masse mi (i = 1, 2, 3). Le premier ressort est attaché

à un support fixe.

(a) Écrivez les équations du mouvement pour les positions xi des masses mi(i =

1, 2, 3).

(b) Trouvez les positions d’équilibre x0i .

(c) Écrivez les équations pour les déviations qi = xi − x0i .

(d) Lorsque mi = m, ℓi = ℓ, Ri = R (i = 1, 2, 3), trouvez les modes normaux et les

pulsations normales.

14. Trouvez les modes normaux et les pulsations normales d’une chaîne d’oscillateurs

dont les équations du mouvement sont données par (5.1) mais avec les conditions

aux frontières suivantes :

(a) q0 = 0, qn+1 = qn, c’est-à-dire que le dernier oscillateur est “libre", comme dans

l’exercice précédent.

(b) q0 = qn, c’est-à-dire que les oscillateurs se trouvent sur un cercle.

Indications : cherchez des solutions de (5.2) de la forme

pj = Aeijλ + Be−ijλ

et déterminezA

B, et λ en utilisant les conditions aux frontières.

15. Explicitez les détails des calculs qui établissent :

(a) l’instabilité de la position d’équilibre due à une résonance paramétrique (cfr. V.

Arnold [1] p. 123) ;

(b) la stabilisation de la position d’équilibre supérieure du pendule ([1] p. 124).

27

Chapitre 6

Principes Variationnels et Mécanique hamiltonienne

Le but de ce chapitre est d’introduire le calcul variationnel, qui consiste à trouver

les extrémas d’une fonction définie sur un ensemble de fonctions. On sait que, pour

trouver les extrémas d’une fonction f : R → R, il faut d’abord résoudre l’équation

f ′(x) = 0. Notre but sera de trouver la condition correspondante pour une fonction

définie sur un ensemble de fonctions. On verra que, pour une fonction appropriée,

cette condition est équivalente aux équations de Lagrange (section 2). Mais avant

d’en arriver là, nous allons énoncer un certain nombre de problèmes variationnels

dont l’origine n’est pas nécessairement mécanique.

I Exemples de problèmes variationnels

a) Courbe de longueur minimale.

Quelle est la courbe dans le plan reliant deux points donnés dont la longueur

soit minimale? Comme on le sait, il s’agit d’une droite. Formulons néanmoins le

problème explicitement. Considérons l’ensemble

F = {y ∈ C1([a, b], R)|y(a) = A, y(b) = B} (1.1)

qui représente l’ensemble des courbes entre (a, A) et (b, B), et la fonction L : F → R

qui associe à chaque courbe dans F sa longueur:

L(y) =

∫ b

a

√

1 + y′(x)2dx.

Notre premier exemple de problème variationnel est donc le suivant: trouver l’élément

y ∈ F sur lequel la fonction L atteint son minimum.

b) Le brachystochrone.

Quelle est la forme de la courbe dans le plan telle que, si un corps se meut sur

cette courbe sans frottement, partant au repos, et sous l’action de la pesanteur, la

composante horizontale de sa position parcourera un intervalle donné en un temps

minimum?

Considérons

F = {y ∈ C1([0, b], R)|(y(0) = 0}

MAT 1261

l’ensemble des courbes définies sur un intervalle de longueur donnée, b, et partant du

point (0,0), choisi par convention; y(b) n’est pas fixé ici puisque sa valeur dépendra

de la courbe. Si un corps part au repos du point (0,0) son énergie totale est nulle et

la conservation de l’énergie implique que, à tout moment, v =√

2g|y|. Par ailleurs,

v =√

x2 + y2 =√

1 + y′(x)2dx

dt,

d’on l’on tire que

dt =

√

1 + y′(x)2

√

2g|y|dx

et que, par conséquent, le temps mis par le corps pour que la composante horizontale

de son mouvement aille de a à b le long de la courbe y, vaut

T (y) =

∫ b

a

(

1 + y′(x)2

2g|y(x)|

)1/2

dx,

quantité dont il faut trouver le minimisant dans F .

c) Surface de révolution d’aire minimale.

Quelle est la forme de la courbe dans le plan reliant deux points donnés qui

engendre, par révolution autour de l’axe des x, la surface d’aire minimale? On

considère l’ensemble F défini par (I) et on observe qu’un “élément de surface” pour

la surface de révolution est donnée par ds = 2πy(x)dℓ où dℓ est un “élément de

longueur” le long de la courbe c’est-à-dire

dℓ =√

dx2 + dy2 =√

1 + y′(x)2dx.

Nous devons donc trouver le minimisant de la quantité

S(y) = 2π

∫ b

a

y(x)√

1 + y′(x)2dx.

On remarquera que, pour une surface de révolution autour de l’axe des y, on devra

trouver le minimisant de la quantité

S(y) = 2π

∫ b

a

x√

1 + y′(x)2dx.

d) Trajet d’une onde lumineuse dans un milieu inhomogène.

Quel est le chemin qu’empruntera une onde lumineuse se propageant entre deux

points donnés du plan et qui traverse un milieu inhomogène où sa vitesse de prop-

agation est donnée par une fonction c = c(x, y)? On sait que, pour les raisons

30

Chapitre 6 — Principes Variationnels et Mécanique hamiltonienne

physiques, cette trajectoire sera celle où le temps de parcours total est minimum.

Exprimons en formules ce temps, pour une courbe y ∈ F , où F est donné par (I).

On a v =√

1 + y′(x)2dx

dtet v = c(x, y) par hypothèse. Il faut donc trouver le

minimisant de

T (y) =

∫ b

a

√

1 + y′(x)2

c(x, y(x))dx.

e) Problème isopérimétrique.

Quelle est la courbe dont les extrémités sont fixées, qui a une longueur ℓ0 donnée

qui maximise l’aire comprise entre cette courbe et l’axe des x? Il s’agit bien sûr d’un

arc de cercle. Soit F0 l’ensemble défini par (I) avec A = B = 0. Il faut maximiser∫ b

ay(x)dx, sous la contrainte

∫ b

a

√

1 + y′(x)2dx = ℓ0. On peut formuler un problème

similaire sans contraintes, en reparamétrisant la courbe en fonction de la longueur

parcourue dℓ. On a dℓ2 = dx2 + dy2 et doncdx

dℓ=

√

1 −(

dy

dℓ

)2

. Par changement

de variable on obtient∫ b

a

y(x)dx =

∫ ℓ0

0

y(ℓ)√

1 − y′(ℓ)2dℓ,

avec y(0) = y(ℓ0) = 0.

Dans le membre de droite, la contrainte ℓ0 est incorporée comme borne d’intégration,

une fois qu’on a trouvé le minimisant y(ℓ) de cette fonction, on retrouvera

x(ℓ) =

∫ ℓ

0

√

1 − y′(s)2ds

et y(x) en éliminant ℓ entre les équations pour y(ℓ) et x(ℓ).

Notons qu’ici x(0) est arbitraire et peut être choisi égal à a, mais x(ℓ0) (égal à

b) est déterminé par ℓ0 et par la fonction y(·) et ne peut être fixé indépendamment.

f) Problème de la chaînette.

Quelle sera la forme d’une chaînette homogène de longueur ℓ0 donnée suspendue

dans le champ de la pesanteur entre deux points donnés du plan?

Il s’agit ici de minimiser l’énergie potentielle

γ

∫ b

a

y(x)√

1 + y′(x)2dx

où γ est le poids de la chaînette par unité de longueur (qui est supposé constant),

sous la contrainte∫ b

a

√

1 + y′(x)2dx = ℓ0.

31

MAT 1261

II Équations d’Euler-Lagrange

Comme on l’a vu dans la section 1, nous devons souvent chercher à minimiser une

fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble de fonctions. Formulons ce prob-

lème de façon plus générale. On considère par exemple l’ensemble

F = {y ∈ C1([a, b], Rn) : y(a) = A,y(b) = B}

et l’application

f : F → R,y →∫ b

a

h(t,y(t), y(t))dt, (2.1)

où h : [a, b] × Rn × Rn → R est une fonction qu’on supposera de classe C2.

On utilise ici la notation “mécanique” avec t comme variable indépendante (notée

x dans la section 1) et y pour la dérivée. Dans les exemples ci-dessus, on a n = 1 et

on identifie aisément la fonction h:

a) h =√

1 + y2 est indépendante de t et y.

b) h(y, y) =

(

1 + y2

2g|y|

)1/2

.

c) h(y, y) = y√

1 + y2.

d) h(t, y, y) =

√

1 + y2

c(t, y(t)).

e) h(y, y) = y√

1 − y2.

Le problème de la chaînette est un problème de minimisation sous contrainte qui ne

sera pas abordé ici.

On dit que y0 ∈ F est un minimum global de f si

∀y ∈ F, f(y) ≥ f(y0).

Pour définir une notion de minimum local de f , il faut introduire une notion de

voisinage de y0. On utilise la norme

‖y‖C1 = supt

‖y(t)‖ + supt

‖y(t)‖.

et on dit que y0 est un minimum local de f si

∃ δ > 0, (∀y ∈ F : ‖y − y0‖C1 < δ), f(y) ≥ f(y0). (2.2)

32


Proposition 2.1. Soit h ∈ C2. Si y ∈ F est un minimum local de f défini en

(2.2), alors pour tout

u ∈ C10 := {u ∈ C1([a, b], Rn)|u(a) = u(b) = 0},

on a∫ b

a

[

∂h

∂y(t,y(t), y(t))u(t) +

∂h

∂y(t,y(t), y(t))u(t))

]

dt = 0. (2.3)

Démonstration : Soit y un minimum local et u ∈ C10 . Dès lors la fonction

φ : R → R, s →∫ b

a

h(t,y(t) + su(t), y(t) + su(t))dt

possède un minimum local en s = 0. En effet, comme u ∈ C10 , u(t) et u(t) sont

uniformément bornés sur [a, b] et ‖u‖C1 ≡ M < ∞. Donc, si y satisfait la condition

de minimum local pour un certain δ dans (2.2) et que |s| ≤ δ

M,

‖y + su− y‖C1 = |s| ‖u‖C1 ≤ δ,

et

f(y + su) = φ(s) ≥ f(y) = φ(0).

De plus cette fonction est dérivable et

φ′(s) =

∫ b

a

[

∂h

∂y(t,y + su, y + su)u +

∂h

∂y(t,y + su, y + su)u

]

dt.

Par la condition nécessaire d’extremum local de φ, on obtient

φ′(0) =

∫ b

a

[

∂h

∂y(t,y(t), y(t))u(t) +

∂h

∂y(t,y(t), y(t))u(t)

]

dt = 0.

Proposition 2.2. Soit h ∈ C2 et y ∈ F ∩ C2 un minimum local de f . Alors y est

solution du problème aux limites

d

dt

∂h

∂y(t,y, y) − ∂h

∂y(t,y, y) = 0,

y(a) = A,y(b) = B.

(2.4)

La démonstration de cette propriété utilise le résultat suivant.

Lemme 2.1 (Du Bois - Reymond). Soit w ∈ C([a, b], Rn) une fonction telle que

∀u ∈ C10 ,

∫ b

a

u · w = 0

33

MAT 1261

alors w = 0.

Démonstration : Si w0 = w(t0) 6= 0, il existe par continuité un intervalle [α, β] tel

que

∀t ∈ [α, β], wT0 w(t) ≥ ‖w0‖2/2.

Soit alors la fonction u ∈ C1 telle que

u(t) = 0 sur [a, b] \ [α, β] ,

u(t) = 2(t − α)2(t − β)2w0, si t ∈ [α, β] .

On vérifie que∫ b

a

u(t) ·w(t) ≥∫ β

α

(t − α)2(t − β)2‖w0‖2 > 0

ce qui contredit l’hypothèse.

Démonstration de la proposition 2.2 : On sait par la proposition 1 que ∀u ∈ C10 ,

l’équation (2.3) est vérifiée et donc en intégrant par partie u dans le deuxième terme,

on a

∀u ∈ C10 ,

∫ b

a

[

∂h

∂y(t,y, y) − d

dt

∂h

∂y(t,y, y)

]

u dt = 0

et par le lemme 2.1d

dt

∂h

∂y(t,y, y) − ∂h

∂y(t,y, y) = 0.

Puisque y ∈ F , on a aussi

y(a) = A et y(b) = B. 2

Remarque: La proposition 2.2 suppose h ∈ C2 et y ∈ C2. On peut se passer de ces

hypothèses, supposer h ∈ C1,y ∈ C1 et démontrer qu’alors l’application

t → ∂h

∂y(t,y(t), y(t))

est C1 et que (2.3) est vérifié. On trouvera cette présentation, plus fine du point de

vue de l’analyse, dans J. Mawhin, Analyse, De Boeck (1997), Section 17.11.

Application : Si on choisit h = L(t,q, q), où L est le lagrangien d’un système

mécanique, le problème (2.3) associe les équations de Lagrange à des conditions aux

limites. Dans les notations usuelles en mécanique ce problème s’écrit

d

dt

∂L

∂q(t,q, q) − ∂L

∂q(t,q, q) = 0,

q(a) = A et q(b) = B

(2.5)

34


et la fonction f se note

S : F → R,q → S(q) =

∫ b

a

L(t,q(t), q(t))dt.

On appelle cette fonction l’action du système mécanique.

Remarques

1. Soit f : Rn → R une fonction de classe C1. On sait (cfr. Mawhin, Analyse

p.94) que, ∀y ∈ Rn, ∀u ∈ Rn,

lims→0

f(y + su) − f(y)

s= (∇f(y),u) (2.6)

donne la dérivée de f en y dans la direction u. Explicitement:

(∇f(y),u) =

n∑

i=1

Dif(y)ui (2.7)

∇f est appelé le gradient de f et (·, ·) est le produit scalaire dans Rn.

On peut étendre formellement ceci à une fonction définie sur un espace de

fonctions. Cela peut être fait plus rigoureusement, mais nous ne le ferons pas

dans le cadre de ce cours.

Commençons par observer que (2.6) ou (2.7) définissent une forme linéaire sur

Rn. Pour f convenable, on peut définir une forme linéaire sur C10 :

lims→0

f(y + su) − f(y)

s= Dfy(u) (2.8)

qui, pour f donné par (2.1) est évidemment∫ b

a

(

∂h

∂y− d

dt

∂h

∂y

)

u dt

et si la forme linéaire peut s’écrire, comme ci-dessus, comme l’intégrale de u

multipliée par une fonction, on la notera, par analogie avec (2.8)∫ b

a

δf

δy(t)u(t) dt.

L’analogie vient de ce que la somme correspond à l’intégrale etδf

δy(t)représente

la ‘dérivée’ de f par rapport à la ‘coordonnée’ y(t).

Ceci, dans le cas (2.1), veut dire

δf

δy(t)=

∂h

∂y(t,y(t), y(t)) − d

dt

(

∂h

∂y(t,y(t), y(t))

)

35

MAT 1261

2. Considérons un système mécanique décrit par un lagrangien L(t,q, q) et l’action

associée

S : F → R,q →∫ b

a

L(t,q(t), q(t))dt,

où

F = {q ∈ C1|q(a) = A et q(b) = B}.Si on introduit le changement de coordonnées

q = f(x), x = g(q),

on peut définir les fonctions

L∗(t,x, x) = L(t, f(x),∂f

∂x(x)x)

et

S∗ : F ∗ → R,x →∫ b

a

L∗(t,x(t), x(t)dt,

où

F ∗ = {x ∈ C1 : x(a) = g(A),x(b) = g(B)}.Si la fonction q0 minimise l’action S, on a aussi que x0 = g ◦ q0 minimise

l’action transformée S∗. En effet pour tout x ∈ F ∗, q = f ◦ x ∈ F et

S∗(x0) =

∫ b

a

L(t, f(x0),∂f

∂x(x0)x0)dt = S(q0) ≤ S(q) = S∗(x).

Dès lors x0 est solution de l’équation de Lagrange

d

dt

∂L∗

∂x− ∂L∗

∂x= 0.

On peut étendre cette idée aux points stationnaires de l’action et retrouver

ainsi le fait que les équations de Lagrange sont invariantes sous changement

de coordonnées.

3. Finalement, il est intéressant d’envisager les questions suivantes pour les principes

variationnels:

- Existe-t-il des solutions et, si oui, combien il y en a-t-il?

- Si la solution est unique correspond-t-elle toujours à un minimum?

On ne peut donner de réponse générale à ces questions qui sont, en fait, fort

difficiles. Nous nous contenterons d’envisager un exemple élémentaire qui illustre

néanmoins la complexité du problème. Soit

L(q, q) =1

2(q2 − q2)

36


le lagrangien de l’oscillateur harmonique (convenablement normalisé), avec q(t) ∈ R,

et soit

S(q) =

∫ T

0

L(q(t), q(t))dt

l’action correspondante. Posons d’abord q(0) = q(T ) = 0. L’équation (2.4) devient

q + q = 0

dont la solution générale s’écrit

q(t) = A cos t + B sin t.

La condition q(0) = 0 impose A = 0 tandis que q(T ) = 0 impose B = 0, sauf si

T = nπ, n ∈ N, auquel cas B est arbitraire. On a donc une solution unique q(t) = 0

sauf pour les cas T = nπ, où on a une infinité de solutions. Ceci se comprend

intuitivement: si on veut qu’un mouvement de l’oscillateur parte de 0 au temps 0 et

y revienne en un temps T donné, il doit nécessairement rester en 0, qui est un point

d’équilibre, à moins que T soit un multiple entier de la demi période de l’oscillateur,

auquel cas tout mouvement partant de 0 repassera par 0 en T .

Notons que, si l’on prend q(0) = 0, q(T ) = q 6= 0 on obtient toujours une

solution unique avec A = 0 B =q

sin T, sauf si T = nπ, n ∈ N, auquel cas il n’existe

pas de solutions. En général, on remarquera que si le problème de Cauchy pour

des équations différentielles admet, sous des hypothèses très générales, une solution

unique, le problème posé ici, où l’on fixe les positions initiales et finales est très

différent. Reformulé en termes de conditions initiales, il revient à se demander s’il

existe une ou plusieurs vitesses initiales qui permettront d’atteindre la position finale

au temps T . Il est intuitivement évident que la réponse à cette question dépend

fortement du potentiel (ou des forces) en jeu et de la position finale en question.

Passons à la deuxième question: la solution trouvée minimise-t-elle S? On re-

marque que S(qsol) = 0 où qsol dénote n’importe quelle solution trouvée plus haut

lorsque q(0) = q(T ) = 0. Considérons la famille de fonctions qA = A sinπt

T. On

calcule que

S(qA) = A2

(

π2

T 2− 1

)

T

2

d’où S(qA) < 0 = S(qsol) pour T > π. On voit que, pour T > π, infA S(qA) = −∞et, donc, il n’existe pas de minimum. On remarque aussi que ‖qA‖C1 = A

(

1 +π

T

)

et

donc, pour tout voisinage de qsol = 0, il existe des fonctions qA, avec A suffisamment

petit. Donc qsol = 0 n’est même pas un minimum local pour T > π. Il correspond

à ce qu’on appelle un point selle pour une fonction définie sur Rn. Bien sûr, on a

37

MAT 1261

d

dAS(qA)

∣

∣

∣

∣

A=0

= 0. Remarquons finalement qu’on peut démontrer, mais c’est un peu

long, que ∀q ∈ F, S(q) ≥ 0 lorsque T ≤ π et que qsol est bien un minimum dans ce

cas là.

Plus généralement, on peut montrer que, sous des hypothèses assez générales, la

solution des équations du mouvement minimise l’action pourvu que l’intervalle [a, b]

soit suffisamment petit. Mais il n’est pas correct de dire qu’en général cette ou ces

solutions minimisent l’action.

4. Extensions à des théories de champs : l’exemple de la corde vibrante

Si on reprend l’exemple discuté à la fin du chapitre 5, ainsi que le passage à

la limite introduit là, on voit que le lagrangien de la chaîne d’oscillateurs :

L =m

2

n∑

i=1

q2i −

k

2

n∑

i=0

(qi − qi+1)2

(avec q0 = qn+1 = 0) tend formellement vers

M

2L

∫ L

0

q(t, x)2dx − KL

2

∫ L

0

(

∂q

∂x(t, x)

)2

dx

(il suffit de penser à la limite de sommes convergeant vers l’intégrale de Rie-

mann).

Donc, l’action devient, dans cette limite,

S =

∫ T

0

∫ L

0

dtdx

(

M

2L

(

∂q

∂t(t, x)

)2

− KL

2

(

∂q

∂x(t, x)

)2)

(2.9)

Considérons maintenant une action plus générale, de la forme:

S =

∫ T

0

∫ L

0

dtdxL(q(t, x),∂q

∂t,∂q

∂x, t, x).

Il est facile de voir que, si on répète dans ce cas-ci le raisonnement (cfr dé-

monstrations des propositions 2.1 et 2.2) qui amène aux équations d’Euler-

Lagrange (2.4), on obtient :

∂L∂q

− ∂

∂x

∂L∂(

∂q∂x

) − ∂

∂t

∂L∂(

∂q∂t

) = 0.

Et ceci, appliqué à (2.9) donne

M

L

∂2q

∂t2(t, x) = KL

∂2q

∂x2(t, x)

ce qui est bien l’équation (5.8) du chapitre 5.

38


III Exemples de solution de problèmes variationnels

Commençons par l’observation suivante1 : si la fonction h dans (2.1) ne dépend pas

de t

(

∂h

∂t= 0

)

, alors les équations (2.4) impliquent que la quantité

(

y,∂h

∂y

)

− h (3.1)

où (·, ·) dénote le produit scalaire dans Rn, est constante pour toute solution de

(2.4).

En effet prenons la dérivée de (3.1) par rapport au temps, avec h = h(

y(t), y(t))

où y est solution de (2.4); on obtient(

y,∂h

∂y

)

+

(

y,d

dt

∂h

∂y

)

−(

∂h

∂y, y

)

−(

∂h

∂y, y

)

=

(

y,d

dt

∂h

∂y− ∂h

∂y

)

par la linéarité et la symétrie du produit scalaire, et ceci s’annule par (2.4)

Remarques:

1. Si h = L(q, q) = T − V est le lagrangien d’un système mécanique, avec T une

forme quadratique dans les variables qi et V = V (q), on retrouve la conservation de

la quantité T + V ; en effet, si

T =1

2

n∑

i,j=1

qiAij(q)qj ,

on calcule(

q,∂L

∂q

)

=

(

q,∂T

∂q

)

=

n∑

i,j=1

qiAij(q)qj = 2T (3.2)

et la quantité (3.1) vaut donc bien

2T − (T − V ) = T + V. (3.3)

2. L’intérêt du fait que (3.1) est constant vient du fait que(

y,∂h

∂y

)

− h = C (3.4)

est une équation différentielle du premier ordre, qui est plus facile à résoudre que

l’équation du deuxième ordre (2.4).

1Voir la section 7.2, où la quantité mécanique correspondante, l’intégrale de Painlevé, est dis-cutée.

39

MAT 1261

La constante C dans (3.4) ainsi qu’une deuxième constante provenant de l’intégra-

tion de (3.4) doivent être déterminées par les positions initiales et finales dans (2.4).

Comme on l’a vu dans la section 2, cela peut donner lieu à zéro, une ou plusieurs

(une infinité) solutions.

Si l’on retourne aux problèmes a, b, c et e de la section 1, on voit (cfr. début de

la section 2) qu’ils satisfont tous à la condition∂h

∂t= 0 et h est de la forme

h(y, y′) =√

1 ± y′2ϕ(y) (3.5)

où l’on revient à la notation avec x comme variable indépendante et y′ au lieu de y.

On a ϕ(y) = 1 (pour a) ϕ(y) =

(

1

2g|y|

)1/2

(pour b), ϕ(y) = y (pour c) et ϕ(y) = y

(pour e).

Dans le problème d, h dépend explicitement de t (ou de x) et donc ce problème

ne peut être résolu par la méthode utilisée ici.

Si on calcule (3.4) pour h de la forme (3.5) (et n = 1), on obtient(

±y′2√

1 ± y′2−√

1 ± y′2

)

ϕ =ϕ

√

1 ± y′2= C (3.6)

Traitons maintenant chacun des cas.

a) ϕ = 1 et (3.6) donne1

√

1 + y′2= C où C est une constante. Ce qui implique

y′ = C1 pour une autre constante et donc y(x) = C1x + C2 où C1, C2 peuvent être

déterminés par y(a) = A, y(b) = B. On trouve donc bien l’équation d’une droite.

b) ϕ =1

√

2g|y|et (3.6) donne

|y|(1 + y′2) = C ′ (3.7)

pour une constante C ′. Résoudre cette équation n’est pas simple, mais on peut

vérifier que la famille de cycloïdes données sous forme paramétrique par:

x(s) = r(s − sin s) + c

y(s) = r(cos s − 1),(3.8)

où r et c sont deux constantes, satisfont (3.7):

dy

dx=

dy/ds

dx/ds=

sin s

cos s − 1,

et 1 + y′2 =2

1 − cos s, donc |y|(1 + y′2) = 2r (= C ′ dans (3.7)).

40


Mais, ici, pour déterminer r et c nous ne disposons que de la condition x(0) = 0,

qui implique c = 0. Néanmoins, il est raisonnablement intuitif de penser2 que la

courbe qui minimise le temps de chute sera parallèle à l’axe des x, en x = b, (et pas

pour x < b) c’est-à-dire que y′(b) = 0 (et que b est le premier point où y′ s’annule)

ou encore que x = b correspond à s = π c’est-à-dire que r =b

π.

c) Ici, ϕ(y) = y et (3.6) donne

y√

1 + y′2= C (3.9)

on vérifie que les familles de courbes

y(x) = c1 cosh

(

x

c1+ c2

)

(3.10)

sont solutions de (3.9), avec C = c1 car (cosh z)′ = sinh z et 1 + sinh2 z = cosh2 z.

Pour déterminer le nombre de solutions (c’est-à-dire de valeurs de c1, c2) com-

patible avec y(a) = A, y(b) = B, considérons un cas particulier ou a = −1, b = +1

et A = B = h. On obtient c2 = 0 eth

c1= cosh

1

c1.

En dessinant la droite hx et la courbe cosh x on voit que cette équation possède

0,1 ou 2 solutions en fonction de h : pour h petit, on n’aura pas de solutions, ce

qui correspond au fait que la ‘courbe’ engendrant une surface d’aire minimale dans

ces cas-là sera composée de deux droites verticales reliant (± 1,0) à l’axe des x ainsi

que le segment de cet axe entre (-1,0) et (1,0). Comme cette ‘courbe’ n’est pas

de classe C1, elle ne constitue pas une solution. Pour h plus grand, lorsqu’il y a

deux solutions, il faut faire un calcul explicite pour trouver celle qui correspond au

minimum.

e) On obtient, par (3.6),y(ℓ)

√

1 − y′(ℓ)2= C

ce qui a pour solution

y(ℓ) = c1 sin

(

ℓ

c1

+ c2

)

avec c1 = C. Pour x(ℓ) on obtient par intégration :

x(ℓ) = c1 cos

(

ℓ

c1

+ c2

)

2Pour une justification rigoureuse de cette affirmation voir ref. 3, p. 26.

41

MAT 1261

Pour déterminer c1, c2 on utilise y(0) = y(ℓ0) = 0, ce qui donne c2 = −π, c1 =ℓ0

π(on pourrait bien sûr avoir d’autres valeurs de c1, c2, mais donnant lieu aux mêmes

fonctions x(ℓ), y(ℓ) en ajoutant des multiples de π).

Notons que cela implique

x(0) = −ℓ0

π, x(ℓ0) =

ℓ0

π,

c’est-à-dire que a et b sont fixés par la solution, qui est un demi-cercle. Le cas plus

général où a et b sont donnés et font donc partie de l’énoncé du problème exige que

l’on résolve un problème de maximisation sous contrainte, comme dans le cas f , et

que nous n’aborderons pas ici. Le résultat est, comme on peut s’y attendre, un arc

de cercle.

IV Transformation de Legendre

1. Introduction

Soit f(x), une fonction de R dans R de classe C2 et strictement convexe c’est-à-dire

telle que f ′′(x) > 0. Par conséquent, f ′(x) est strictement croissante et donc la

relation

p = f ′(x) (4.1)

est inversible. On peut, si on veut, changer de variables et remplacer x par p comme

variable indépendante, c’est-à-dire paramétriser la hauteur de la fonction y, non pas

en fonction de x mais en fonction de la pente p de la tangente à la courbe y = f(x).

Si on opère naïvement la substitution x = x(p) au moyen de (4.1) et qu’on définit

f(p) = f(x(p)) (4.2)

on s’aperçoit qu’on perd de l’information et qu’on ne peut pas retrouver f à partir

de f . En effet, considérons la famille de courbes fc(x) = (x + c)2 dépendant du

paramètre c. On a p = f ′c(x) = 2(x + c), donc x(p) =

p

2− c et fc(p) =

p2

4ne dépend

pas de c. On ne peut donc pas retrouver le c dans fc à partir de fc(p).

Par contre, on peut paramétriser la courbe au moyen de l’intersection de la

tangente à cette courbe de pente p avec l’axe des y.

Si on définit

f ∗(p) = px0 − f(x0) (4.3)

avec x0 = (f ′)−1(p), on vérifie aisément (cfr Figure 1) que −f ∗(p) est bien cette

intersection.

42


Figure 1 - représentation graphique de f ∗(p)

L’insertion d’un signe − dans la définition est conventionnelle et diffère du choix

adopté par les physiciens. Ce qui est important c’est que le passage de f à f ∗ est

inversible : en fait, comme on va le voir, dans la section suivante (Proposition 4.2),

c’est une involution. Dans l’exemple ci-dessus, on obtient f ∗c (p) =

p2

4− cp et si on

calcule (f ∗c )∗(x) = px−f ∗

c (p) avec p = p(x) tel que (f ∗c )′(

p(x))

= x, ou obtient bien

(f ∗c )∗(x) = (x + c)2 = fc(x).

Si on considère la courbe d’équation

y = f(x) =x4

4

le point x0 sera tel que

p − x30 = 0

et donc

f ∗(p) = px0 − f(x0) =3

4p4/3.

Et on vérifie que (f ∗)∗(x) =x4

4.

2. Transformée de Legendre

On peut dégager les remarques précédentes de leur contexte géométrique. Es-

sentiellement, étant donné une fonction f : I → R, on a construit une fonction

f ∗ : J → R par la formule (4.3). On peut généraliser ces idées à des fonctions

définies sur Rn.

Soit E et F des ouverts de Rn et f : E → R une fonction de classe C1 telle que

43

MAT 1261

sa Jacobienne∂f

∂x: E → F

soit inversible. On définit alors la transformée de Legendre

f ∗ : F → R

de f par la relation

f ∗(p) = p · x0 − f(x0),

où x0 est l’unique solution de∂f

∂x(x0) = p.

Proposition 4.1. Si f : E → R est une fonction de classe C1, strictement convexe,

c’est-à-dire telle que E est un ouvert convexe et

∀x1 ∈ E, ∀x2 ∈ E, ∀λ ∈]0, 1[, f(

λx1 + (1 − λ)x2

)

< λf(x1) + (1 − λ)f(x2),

et si F = Im∂f

∂x, alors

(i)∂f

∂x: E → F est inversible,

(ii) f ∗(p) = supx∈E

(

p · x − f(x))

.

Démonstration : (i) Il suffit de vérifier l’injectivité de∂f

∂x. Soit alors deux points x1

et x2 tels que∂f

∂x(x1) =

∂f

∂x(x2).

On vérifie ensuite que ∀ξ ∈ E, ∀λ ∈]0, 1[

f(

x1 + λ(ξ − x1))

− f(x1)

λ=

f(

λξ + (1 − λ)x1

)

− f(x1)

λ< f(ξ) − f(x1)

et, en faisant tendre λ vers zéro, on obtient

∂f

∂x(x1)(ξ − x1) ≤ f(ξ) − f(x1). (4.4)

De même, on peut écrire

∂f

∂x(x2)(ξ − x2) ≤ f(ξ) − f(x2). (4.5)

Posons maintenant ξ = (x1 + x2)/2. On déduit alors de (4.4) et (4.5)

2f(ξ) ≥ f(x1) +∂f

∂x(x1)(ξ − x1) + f(x2) +

∂f

∂x(x2)(ξ − x2)

≥ f(x1) + f(x2) +∂f

∂x(x1)

[

(ξ − x1) + (ξ − x2)]

≥ f(x1) + f(x2),

44


à cause du choix de ξ, c’est-à-dire

f(

(x1 + x2)/2)

≥ 1

2f(x1) +

1

2f(x2)

ce qui contredit la stricte convexité.

(ii) Par définition de f ∗(p), on peut écrire

f ∗(p) = p · x0 − f(x0) ≤ supx∈E

(

p · x − f(x))

.

D’autre part si on particularise (4.4) à x1 = x0, on obtient

p · (ξ − x0) =∂f

∂x(x0)(ξ − x0) ≤ f(ξ) − f(x0)

et donc pour tout ξ ∈ E

f ∗(p) = p · x0 − f(x0) ≥ p · ξ − f(ξ).

On en déduit

f ∗(p) ≥ supξ∈E

(

p·ξ−f(ξ))

. 2

Proposition 4.2. Si f : E → R est une fonction de classe C2 telle que sa Jacobi-

enne soit un difféomorphisme de classe C1 alors

(f ∗)∗ = f.

Démonstration : Par définition de la transformée de Legendre

f ∗(p) = x(p) · p− f(

x(p))

,

où x(p) est l’unique solution de

∂f

∂x

(

x(p))

= p.

Comme∂f

∂xest un difféomorphisme de classe C1, x(p) ∈ C1. Donc f ∗ ∈ C1 et on a

∂f ∗(p)

∂p=

[

p − ∂f

∂x

(

x(p))

]

· ∂x

∂p(p) + x(p) = x(p) (4.6)

ce qui explicite la fonction x(p). On calcule ensuite

(f ∗)∗(x) = q(x) · x − f ∗(

q(x))

, (4.7)

45

MAT 1261

où q(x) est l’unique solution de

∂f ∗

∂p

(

q(x))

= x

c’est-à-dire, voir (4.6),

q(x) = p(x).

où p (x) est l’inverse de la fonction x (p). Il s’ensuit par (4.7) que

(f ∗)∗(x) = p(x) · x − f ∗(

p(x))

= p(x) · x −[

x(

p(x))

· p(x) − f(

x(

p(x)))]

= f(x) 2

vu que x (p (x)) = x.

V Les équations de Hamilton

Considérons un système mécanique décrit par un lagrangien L(t,q, q), où q ∈ Rn.

Si L(t,q, .) est de classe C1 et tel que la fonction

∂L

∂q(t,q, .) : E ⊂ Rn → F ⊂ Rn,x → ∂L

∂q(t,q,x)

soit inversible, on peut en définir la transformée de Legendre3. Celle-ci s’écrit

H(t,q,p) = p · x − L(t,q,x), (5.1)

où x = x(t,q,p) est l’unique solution de

∂L

∂q(t,q,x) = p. (5.2)

La fonction H s’appelle l’hamiltonien du système et peut servir pour écrire les équa-

tions du mouvement. Plus précisément, on a la proposition suivante.

Proposition 3.1. Soit L(t,q, q) un lagrangien de classe C2 tel que la fonction

∂L

∂q(t,q, .)

soit inversible. Alors q(t) est solution des équations de Lagrange

d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q= 0. (5.3)

3Ce qui est noté x ici est souvent noté q; la notation adoptée ici est choisie pour souligner lefait qu’il s’agit d’un ensemble de variables et non de la dérivée temporelle d’une fonction.

46


si et seulement si les fonctions

p(t) =∂L

∂q

(

t,q(t), q(t))

, q(t)

sont solutions des équations

p(t) = −∂H

∂q

(

t,q(t),p(t))

, q(t) =∂H

∂p

(

t,q(t),p(t))

, (5.4)

où H(t,q, .) est la transformée de Legendre de L(t,q, .).

Démonstration: On déduit de (5.1)

∂H

∂q(t,q,p) =

(

p − ∂L

∂q(t,q,x)

)

· ∂x

∂q− ∂L

∂q(t,q,x) (5.5)

∂H

∂p(t,q,p) =

(

p − ∂L

∂q(t,q,x)

)

· ∂x

∂p+ x, (5.6)

où x = x(t,q,p) est défini implicitement par (5.2).

Soit alors q(t) une solution des équations de Lagrange. Posons

p(t) =∂L

∂q

(

t,q(t), q(t))

.

On sait par hypothèse d’invertibilité de l’application∂L

∂q(t,q, ·) que, t étant fixé,

y = q(t) est la seule solution de

p(t) =∂L

∂q

(

t,q(t),y)

et donc

x(

t,q(t),p(t))

= q(t).

On déduit alors de (5.5) et (5.6)

∂H

∂q

(

t,q(t),p(t))

= −∂L

∂q

(

t,q(t), q(t))

∂H

∂p

(

t,q(t),p(t))

= q(t).

Ensuite par (5.3) on a

−∂H

∂q

(

t,q(t),p(t))

=d

dt

∂L

∂q

(

t,q(t), q(t))

= p(t).

47

MAT 1261

Les fontions p, q sont donc solutions de (5.4).

Réciproquement, supposons p(t),q(t) solutions de (5.4). On sait que x(t) =

x(

t,q(t),p(t))

est tel que

p(t) =∂L

∂q

(

t,q(t),x(t))

et donc par (5.5), (5.6)

∂H

∂q

(

t,q(t),p(t))

= −∂L

∂q

(

t,q(t),x(t))

∂H

∂p

(

t,q(t),p(t))

= x(t).

On déduit ensuite de (5.4) que

q(t) =∂H

∂p

(

t,q(t),p(t))

= x(t)

etd

dt

∂L

∂q

(

t,q(t), q(t))

= p(t) = −∂H

∂q

(

t,q(t),p(t))

=∂L

∂q

(

t,q(t), q(t))

.

La fonction q est donc solution de (5.3). 2

Remarque: Les équations (5.4) s’appellent les équations de Hamilton du système. Il

s’agit d’un système de 1er ordre en 2n variables p,q. Ce système a une structure

très particulière(

q

p

)

=

(

0 I

−I 0

)

(

∂H

∂(q,p)

)

. (5.7)

qui facilite la démonstration de certaines propriétés du système.

Par contre les équations de Lagrange mettent en évidence une structure d’équation

du 2d ordre qui est utile dans d’autres cas.

Exemple 1: Considérons un système mécanique décrit par une énergie cinétique

T(

t,q(t), q(t))

=1

2(q, A(t,q)q)

et une énergie potentielle

V (t,q).

Supposons T et V de classe C2 et que, pour tout t,q, la matrice A(t,q) est définie

positive. On peut écrire alors

L(t,q, q) =1

2(q, A(t,q)q) − V (t,q),

H(t,q,p) = p · x − 1

2(x, A(t,q)x) + V (t,q),

48


où

A(t,q)x = p

et donc

H(t,q,p) =1

2(p, A−1(t,q)p) + V (t,q).

On peut donc écrire

H = T + V

c’est-à-dire qu’à un changement de variable près, l’hamiltonien représente l’énergie

du système. Cette propriété n’est pas générale comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 2: Considérons un point de masse m contraint à se mouvoir sur une droite,

située dans le plan x, y, en rotation à vitesse angulaire uniforme ω autour de l’un de

ses points. Supposons en outre que le point de masse m soit soumis à l’action d’un

potentiel V (r).

Figure 2 - système de l’exemple 2

On prend r comme coordonnée généralisée et on calcule

T =m

2(r2 + r2ω2), V = V (r)

et donc

L =m

2(r2 + r2ω2) − V (r),

H =p2

2m− m

2r2ω2 + V (r),

où

p = mr.

Les équations de Hamilton s’écrivent alors

p = mrω2 − ∂V

∂r

r =p

m.

49

MAT 1261

Remarquons que pour cet exemple, dans variable r, p la quantité

T + V =p2

2m+

m

2r2ω2 + V (r)

est différente de l’hamiltonien.

L’intégrale de Hamilton

Si l’hamiltonien ne dépend pas du temps, il est facile de voir qu’il est constant le

long des solutions. Soit p(t),q(t) une solution de (5.7). On pose

H∗(t) = H(

q(t),p(t))

et on peut écrire alors

d

dtH∗(t) =

∂H

∂(q,p)

(

q(t),p(t))

(

q(t)

p(t)

)

et doncd

dtH∗ =

∂H

∂(q,p)

(

0 I

−I 0

)

(

∂H

∂(q,p)

)

= 0.

Ce résultat complète la loi de conservation de l’énergie E dans la mesure où, si

l’énergie cinétique T est quadratique dans les vitesses,

H = T + V = E.

Dans l’exemple 2 ci-dessus, c’est l’hamiltonien qui est conservé et non T +V . Comme

le “système” composé du point de masse m n’est pas isolé, cela n’est pas surprenant.

Plus généralement, soit T = T2 + T1 + T0 où Tk, k = 0, 1, 2, désigne la partie de

l’énergie cinétique qui est une fonction homogène de degré k des vitesses (généra-

lisées). Alors on a que l’hamiltonien, qui est conservé, s’écrit

H = T2 − T0 + V

et ne coïncide avec T + V = T2 + T1 + T0 + V que lorsque T1 = T0 = 0. Dans

l’exemple 2 ci-dessus T2 =mr2

2, T1 = 0 et T0 =

mr2ω2

2. Remarquons aussi que, à

un changement de variables près (on exprime les qi en fonction des pi), l’hamiltonien

correspond à l’intégrale de Painlevén∑

i=1

qi∂L

∂qi− L. (Voir Chapitre 7.2).

50


VI Les crochets de Poisson

Intégrales premières – crochets de Poisson

Nous avons rencontré plusieurs fonctions qui sont constantes le long des solutions

des équations du mouvement. On peut citer par exemple, l’énergie, la quantité de

mouvement, le moment cinétique.

Dans le formalisme hamiltonien, c’est-à-dire dans le cadre des équations de

Hamilton, on dit qu’une fonction

f(t,q,p)

est une intégrale première du mouvement si pour toute solution q(t),p(t) des équa-

tions de Hamilton (5.4) (ou (5.7)) la fonction

φ(t) = f(

t,q(t),p(t))

est constante. Si de plus f ∈ C1, on vérifie que φ est constant si et seulement si

ϕ(t,q,p) =∂f

∂t(t,q,p) +

(

∂H

∂p(t,q,p),

∂f

∂q(t,q,p)

)

−(

∂f

∂p(t,q,p),

∂H

∂q(t,q,p)

)

≡ 0 (6.1)

puisque, en exprimantd

dtφ(t) en termes de dérivées partielles de f et en utilisant

(5.4), on ad

dtφ(t) = ϕ

(

t,q(t),p(t))

.

Cette propriété motive la définition suivante

Définition. Soit f(t,q,p) et g(t,q,p) deux fonctions de classe C1. Le crochet de

Poisson de f et g est la fonction {f, g} définie par

{f, g}(t,q,p) =

(

∂f

∂p(t,q,p),

∂g

∂q(t,q,p)

)

−(

∂g

∂p(t,q,p),

∂f

∂q(t,q,p)

)

.

On peut formaliser la condition (6.1) et énoncer le résultat suivant.

Proposition 6.1. Une fonction f(t,q,p) de classe C1 est une intégrale première si

et seulement si∂f

∂t+ {H, f} = 0. (6.2)

51

MAT 1261

Remarques 1. Certains auteurs réservent le terme “intégrale première” à des fonc-

tions f(q,p), c’est-à-dire qui ne dépendent pas du temps. Les exemples cités plus

haut, énergie, quantité de mouvement, moment cinétique, sont de ce type.

2. Le choix des signes est ici conventionnel et le crochet de Poisson est

parfois défini comme étant égal à (−1) fois celui introduit ici, auquel cas (6.2) s’écrit

∂f

∂t+ {f, H} = 0.

Propriétés élémentaires du crochet de Poisson

Proposition 6.2. Si f, g et h ∈ C1 alors on a :

(i){f, f} = 0;

(ii){f, g} + {g, f} = 0;

(iii){f, c} = 0, si c ∈ R;

(iv){f + g, h} = {f, h} + {g, h};(v){fg, h} = f{g, h} + g{f, h};(vi) ∂

∂t{f, g} =

{

∂f∂t

, g}

+{

f, ∂g∂t

}

;

(vii){f, qi} = ∂f∂pi

;

(viii){f, pi} = − ∂f∂qi

;

(ix) identité de Jacobi{

f, {g, h}}

+{

g, {h, f}}

+{

h, {f, g}}

= 0.

(6.3)

Applications

Comme nous l’avons vu les crochets de Poisson permettent d’écrire facilement les

conditions (6.2) pour qu’une fonction soit une intégrale première. Par exemple on

déduit de la proposition 6.2 (i) que

dH

dt=

∂H

∂t+ {H, H} =

∂H

∂t

et par la proposition 6.1, H est une intégrale première si et seulement si∂H

∂t= 0

c’est-à-dire si et seulement si H ne dépend pas explicitement de t.

De même on déduit de la proposition 6.2 (viii) que pi est une intégrale première

si le hamiltonien ne dépend pas de qi. En effet pour f(t,q,p) = pi, la condition

(6.2) se réduit à

{H, pi} = −∂H

∂qi= 0.

52


Il s’agit en fait d’une coordonnée qi cyclique.

Si les fonctions f(q,p) et g(q,p) sont des intégrales premières, la proposition 6.2

(ix) montre que {f, g} est aussi une intégrale première. En effet si on particularise

(6.2) à f et g, on obtient

{H, f} = {H, g} = 0.

Par l’identité de Jacobi et (VI), on peut aussi écrire{

H, {f, g}}

= −{

f, {g, H}}

−{

g, {H, f}}

= +{

f, {H, g}}

−{

g, {H, f}}

= 0.

Finalement le résultat se déduit de la proposition 6.1.

Exercice. Démontrez que si f(t,q,p) et g(t,q,p) sont des intégrales premières, la

fonction {f, g} est aussi une intégrale première.

VII Exercices

1. Considérons l’action du pendule :

S(θ) =

∫ b

a

(

1

2θ2 +

g

ℓ(cos θ − 1)

)

dt.

Vérifiez que l’équilibre renversé θ(t) = π est un minimum absolu dans l’espace des

fonctions de classe C1 sur [a, b], avec θ(a) = θ(b) = π.

2. Considérons l’action de l’oscillateur harmonique

S(x) =1

2

∫ π/2

0

(x2 − x2)dt,

avec x(0) = 1, x(π

2

)

= 0.

(a) Calculez la valeur de l’action pour x(t) = cos t. Notez que cette fonction est la

solution de l’équation d’Euler-Lagrange qui vérifie les conditions aux limites.

(b) Calculez la valeur de l’action pour

x(t) = −2t

π+ 1.

(c) Calculez la valeur de l’action pour

x(t) =4

π2

(

t − π

2

)2

.

53

MAT 1261

(d) Vérifiez qu’une condition nécessaire et suffisante pour que x(t) = cos t soit un

minimum global de l’action est que, pour toute fonction y(t), de classe C1, avec

y(0) = y(π

2

)

= 0, on ait

∫ π/2

0

(y2 − y2)dt ≥ 0.

3. Considérons l’action

S(x) =1

2

∫ 2π

0

(x2 − x2)dt,

avec x(0) = 1, x(2π) = 1.

(a) Vérifiez qu’il existe une infinité de solutions des équations d’Euler-Lagrange de

la forme xα(t) = cos t + α sin t, où α ∈ R. Calculez l’action S(xα) correspondante.

(b) Vérifiez que cette action S(xα) n’est minimum global pour aucun α, en calculant

l’action correspondant à x(t) = 1.

(c) Existe-t-il un minimum global de S ?

Indication : considérez la famille de courbes x(t) = At(t − 2π) + 1, où A ∈ R.

4. Ecrivez l’équation d’une droite en coordonnées polaires en utilisant

(a) le fait que les droites minimisent la longueur

(b) le fait que les droites minimisent l’action d’une particule libre.

5. Calculez la transformée de Legendre dexα

α, α > 1 et de ex. Vérifiez sur ces

exemples que la transformation de Legendre est involutive.

6. Ecrivez l’hamiltonien

(a) d’une particule libre en coordonnées sphériques (cfr. III-1.3),

(b) du pendule double (cfr. III-2.2).

7. Considérons une particule de masse m contrainte de se mouvoir sur une courbe

d’équation y = f(x) et soumise à un potentiel gravifique mgy. Prenons x comme

coordonnées généralisée.

(a) Ecrivez le lagrangien, l’hamiltonien et les équations de Lagrange et de Hamilton.

(b) Ecrivez l’équation de Lagrange comme un système de deux équations du premier

ordre, en posant x1 = q, x2 = q. Vérifiez que ce système n’est pas identique aux

équations de Hamilton.

8. Trouvez l’hamiltonien et écrivez les équations de Hamilton pour une masse m qui

glisse sans frottement sur la courbe, d’équation z = ar2 en coordonnées cylindriques,

54


qui tourne à vitesse angulaire ω autour de l’axe Oz.

9. Trouvez l’hamiltonien correspondant à

L(x, x) =x2

2− ω2x2

2− αx3 − βxx2.

Ecrivez les équations de Hamilton.

10. Vérifiez les propriétés des crochets de Poisson énoncées dans la Proposition 6.2,

et calculez

{Ji, qj}, {Ji, Jj}, i, j = 1, 2, 3,

où J = q ∧ p,q = (q1, q2, q3),p = (p1, p2, p3).

VIII Problème

Soit le lagrangien

L(q, q) =1

2

n∑

i,j=1

gij(q)qiqj ,

où q = (q1, . . . , qn) et gij = gji. Montrez que l’équation d’Euler correspondante peut

s’écrire

qk +

n∑

i,j=1

Γkij(q)qiqj = 0, (8.1)

où

Γkij =

1

2

n∑

ℓ=1

gkℓ

(

∂giℓ

∂qj+

∂gℓj

∂qi− ∂gji

∂qℓ

)

et gkℓ sont les éléments de l’inverse de la matrice g = (gij).

Ecrivez aussi les équations d’Euler pour L(q, q) =[

∑

gij(q)qiqj

]1/2

.

Référence : B. Doubrovine [2].

Solution :

On a

∂L

∂qℓ=

1

2

(

n∑

i=1

giℓqi +

n∑

j=1

gℓj qj

)

=n∑

j=1

gℓj qj

55

MAT 1261

par la symétrie de la matrice g

∂L

∂qℓ

=1

2

n∑

i,j=1

∂gij

∂qℓ

qiqj

d

dt

(

∂L

∂qℓ

)

=

n∑

i,j=1

∂gℓj

∂qiqigj +

n∑

j=1

gℓj qj .

On obtient, comme équation d’Euler-Lagrange,

n∑

j=1

gℓj qj +n∑

i,j=1

(

∂gℓj

∂qi

− 1

2

∂gij

∂qℓ

)

qiqj = 0

et en multipliant par la matrice inverse gkℓ et en sommant sur ℓ, on obtient, comme∑

ℓ

gkℓgℓj = δkj et∑

j

δkj qj = qk, que

qk +n∑

ℓ,i,j=1

gkℓ

(

∂gℓj

∂qi

− 1

2

∂gij

∂qℓ

)

qiqj = 0.

Finalement, on utilise la symétrie de la matrice g pour écrire

n∑

ℓ,i,j=1

gkℓ∂gℓj

∂qiqiqj =

1

2

n∑

ℓ,i,j=1

gkℓ

(

∂giℓ

∂qj+

∂gℓj

∂qi

)

qiqj

et obtenir (8.1).

Remarques :

1. L’équation (8.1) est appelée l’équation de géodésiques. Elle permet d’écrire

l’équation d’une droite en coordonnées quelconque.

En effet, soit r = f(q) un changement de coordonnées; le lagrangien d’une

particule libre de masse 1, devient :

1

2

n∑

i=1

r2i =

1

2

n∑

i,j=1

gij(q)qiqj

où

gij(q) =n∑

k=1

∂fk

∂qi

∂fk

∂qj.

Or, comme la trajectoire d’une telle particule est une droite, (8.1), avec cette

matrice g, donne bien l’équation d’une droite dans les coordonnées q.

56


On peut vérifier que cette équation est aussi satisfaite, pour une paramétrisation

appropriée, par les extrémales de la longueur :

S =

∫ T

0

(

n∑

i,j=1

gij(q)qiqj

)1/2

dt.

2. Si on veut décrire le mouvement d’une particule libre contrainte à se mouvoir

(sans frottement) sur une surface, une courbe etc., on choisit des coordonnées telles

que qi = constante pour i = 1, 2 . . . définit la surface ou la courbe en question et

on écrit les équations (8.1) pour les coordonnées restantes. L’exemple le plus simple

étant une sphère de rayon fixé et où l’on utilise les coordonnées sphériques.

3. À titre d’exercice, on peut calculer l’équation des géodésiques en coordonnées

polaires (n = 2), cylindriques et sphériques (n = 3).

57


Exercices Chapitre 6 – Solutions

1. On calcule que, pour θ(t) = π, S(θ) = −2g

ℓ(b− a). C’est un minimum absolu

parce que θ2 ≥ 0 et cos θ ≥ −1.

2. a) S = 0

b) S =1

π− π

12≥ 0

d) immédiat par a)

3. a) L’équation est x = −x dont les solutions satisfaisant x(0) = 1, x(2π) = 1

sont de la forme cos t + α sin t.S(xα) = 0 car, par intégration par parties∫ 2π

0

x2dt = −∫ 2π

0

xxdt (car xα(0) = xα(2π)) et, par l’équation : −∫ 2π0

0

xxdt =

+

∫ 2π

0

x2dt

b) Pour x(t) = 1, S(x) = −π

c) Non. On calcule que S(x) → −∞ lorsque A → ∞ (il suffit de calculer le

signe du terme en A2 dans S(x) et de vérifier qu’il est négatif).

4. b) On a L =1

2(r2 + r2ϕ2) et on obtient r − rϕ2 = 0,

d

dt(r2ϕ) = 0.

5. Pourxα

αon a f ′(x) = xα−1 = p d’où x = p

1

α−1 et f ∗(p) = xp − f(x) =

p1+ 1

α−1 − 1

αp

α

α−1 =

(

1 − 1

α

)

pα

α−1 . Pour ex on a x = ln p et f ∗(p) = p ln p−p =

p(ln p − 1).

On a, dans le premier cas, f ∗′(p) = p1

α−1 et, dans le deuxième, f ∗′(p) = ln p ce

qui implique le caractère involutif de la transformation.

6. a) L =1

2(r2 + r2θ2 + r2ϕ2 cos2 θ). Donc, pr = r, pθ = r2θ et pϕ = r2ϕ cos2 θ.

H = rpr + θpθ + ϕpϕ − L

=1

2

(

p2r +

p2θ

r2+

p2ϕ

r2 cos2 θ

)

7. L =m

2(x2 + y2) − mgy =

1

2m(q)q2 − mgf(q) où, avec x = q, m(q) ≡ m(1 +

f ′(q)2). Equation de Lagrange :

m(q)q +m′(q)q2

2+ mgf ′(q) = 0

59

MAT 1261

On a p =∂L

∂q=

1

2m(q)q. D’où, H =

p2

2m(q)+mgf(q). Equations de Hamilton:

q =p

m(q)

p =p2

2m(q)2m′(q) − mgf ′(q).

Avec x1 = q, x2 = q, les équations de Lagrange deviennent :

x1 = x2

m(x1)x2 +m′(x1)x

22

2+ mgf ′(x1) = 0,

ce qui n’est pas identique aux équations de Hamilton.

8. En coordonnées cylindriques, L =m

2(r2 + r2ϕ2 + z2). On prend r comme

coordonnée généralisée, et les contraintes donnent z = 2ar, ϕ = ω. Donc,

L =m

2

(

(1 + 4a2)r2 + r2ω2)

.

H =p2

2m(1 + 4a2)− mr2ω2

2. On obtient :

r =p

m(1 + 4a2),

p = mrω2

9. On a p =∂L

∂x= x − 2βxx, c’est-à-dire x =

p

1 − 2βxet

H =p2

1 − 2βx− p2

2(1 − 2βx)2+

ω2x2

2+αx3+

βxp2

(1 − 2βx)2=

p2

2(1 − 2βx)+

ω2x2

2−

αx3.

On obtient x =p

1 − 2βx, p =

−βp2

(1 − 2βx)2− ω2x + 3αx2.

60

Chapitre 7

Les séries de Fourier1

Dans la physique mathématique se pose souvent le problème de représenter une

fonction périodique par une série de fonctions trigonométriques. Un problème ana-

logue est de représenter une fonction, définie sur un intervalle fini, par une série de

fonctions trigonométriques. Ce dernier problème peut se ramener au précédent, en

prolongeant la fonction donnée en une fonction périodique définie sur toute la droite

réelle. Nous aborderons ce problème par l’étude de l’approximation en moyenne

quadratique d’une fonction par une somme finie de fonctions trigonométriques. Nous

chercherons ensuite vers quelles limites peuvent converger les séries trigonométriques

en un point de la droite. Nous reviendrons enfin au problème de l’approximation

d’une fonction en moyenne quadratique. Il est clair que certaines hypothèses doivent

être faites au sujet de la fonction dont on cherche les approximations. Nous la sup-

poserons assez régulière pour qu’elle puisse être intégrée. Dans l’étude de la conver-

gence en un point des séries trigonométriques, nous devrons supposer que l’intégrale

de la valeur absolue de la fonction est finie. Dans l’étude de l’approximation en

moyenne quadratique, nous imposerons la condition plus sévère que l’intégrale du

carré de la valeur absolue de la fonction reste finie.

I Approximation en moyenne quadratique

Nous supposons que la fonction f(x) possède la période 2π : nous pouvons alors con-

sidérer cette fonction sur l’intervalle [−π, π]. Nous supposons en plus que l’intégrale

sur cet intervalle du carré de la fonction f(x) soit fini:

∫ π

−π

(f(x))2dx < ∞.

Les fonctions cos nx et sin nx possèdent cette période. Nous chercherons la meilleure

approximation de la fonction f(x) par une somme finie Sn(x) formée par les fonctions

trigonométriques

{1, cosx, ... cos nx, ... sin nx}.1Texte corrigé, tiré du livre de Louis Bouckaert “Eléments de physique mathématique et

théorique”, 1961, Louvain, Librairie Universitaire, pp. 27-44.

MAT 1261

Pour juger de l’approximation, nous formerons une expression Rn de l’erreur quadra-

tique moyenne:

Rn =

∫ π

−π

[f(x) − Sn(x)]2dx.

Le critère de l’approximation que nous introduisons ici nous fait comprendre pour

quelle raison nous limitons notre étude aux fonctions f(x) de carré sommable: si

l’intégrale du carré de f(x) n’est pas finie, il en sera de même de chacun des nombres

Rn, et notre critère d’approximation perd toute valeur. Nous excluons donc de notre

étude des fonctions telles que f(x) =1

√

|x|, dont l’intégrale est finie sur l’intervalle

[−π, π], mais pour lesquelles∫ π

−π

[(f(x)]2dx ne converge pas.

Les fonctions {cos nx, sin nx} forment une famille, orthogonale de fonctions. On

dit que deux fonctions réelles f(x) et g(x) sont orthogonales sur l’intervalle [−π, π],

si l’intégrale de leur produit sur cet intervalle est égale à zéro. Les produits de

deux fonctions trigonométriques distinctes de la collection considérée, sont positifs

et négatifs en des nombres égaux de sous-intervalles : les intégrales de −π à π de ces

produits sont nulles. On dit qu’une fonction réelle f(x) est normée sur l’intervalle

[−π, π], si l’intégrale de son carré sur cet intervalle est égale à un. Les intégrales

des carrés des fonctions trigonométriques considérées ci-dessus ne sont pas égales à

un : en les multipliant par des facteurs convenables on peut en faire des fonctions

normées. Au lieu de considérer les fonctions cos nx et sin nx, nous introduirons

plutôt les fonctions

ν0(x) =1√2π

, νn(x) =1√π

cos nx, ωn(x) =1√π

sin nx. (1.1)

Cette famille de fonctions est orthogonale et normée, ce qu’on exprime par les

relations∫ π

−π

νm(x)νn(x)dx = δmn,

∫ π

−π

ωm(x)ωn(x)dx = δmn,

∫ π

−π

νm(x)ωn(x)dx = 0. (1.2)

Cherchons maintenant une somme finie

Sn(x) =

n∑

p=0

αpνp(x) +

n∑

p=1

βpωp(x)

qui fournisse une approximation de la fonction de carré sommable f(x). Nous cal-

culons pour cela l’erreur quadratique moyenne

Rn =

∫ π

−π

[f(x) − Sn(x)]2dx =

∫ π

−π

[f(x)]2dx

62


−2n∑

p=0

αp

∫ π

−π

f(ξ)νp(ξ)dξ +n∑

p=0

α2p

−2n∑

p=1

βp

∫ π

−π

f(ξ)ωp(ξ)dξ +n∑

p=1

β2p .

En posant ap =

∫ π

−π

f(ξ)νp(ξ)dξ, bp =

∫ π

−π

f(ξ)ωp(ξ)dξ, la formule précédente

devient

Rn =

∫ π

−π

(f(x))2dx +n∑

p=0

αp(αp − 2ap) +n∑

p=1

βp(βp − 2bp).

Cherchons les valeurs des coefficients αp et βp qui rendent minimale la valeur

de Rn. Nous savons que la fonction x(x − 2c) prend sa plus petite valeur pour

x = c: il en découle que la plus petite valeur de l’erreur quadratique moyenne Rn

s’obtient en donnant aux coefficients αp et βp les valeurs ap et bp. Avec ces valeurs

des coefficients, nous trouvons comme erreur quadratique moyenne

Rn =

∫ π

−π

[f(x)]2dx −n∑

p=0

a2p −

n∑

p=1

b2p

Les valeurs ap et bp des coefficients αp et βp donnent la meilleure approximation

moyenne de la fonction f(x) par la somme finie Sn(x). Il faut remarquer que ces

valeurs ne dépendent pas de n. En augmentant le nombre de termes, on améliore

l’approximation en moyenne: le fait d’ajouter de nouveaux termes ne nous oblige

pas à retoucher les valeurs des premiers coefficients. Les coefficients

an =

∫ π

−π

f(x)νn(x)dx et bn =

∫ π

−π

f(x)ωn(x)dx (1.3)

sont appelés les coefficients de Fourier de la fonction f(x) par rapport à la famille

orthogonale et normée {νn(x), ωn(x)}. La série

∑

n

anνn(x) +∑

n

bnωn(x)

est appelée la série de Fourier de la fonction f(x). On écrit

f(x) ∼∑

n

anνn(x) +∑

n

bnωn(x).

Nous ne savons pas encore si l’approximation en moyenne fournie par les sommes

Sn(x) est satisfaisante, et nous ne savons pas encore si la série de Fourier de la

fonction f(x) converge vers la valeur de la fonction f en un point x. Les résultats

que nous avons obtenus se fondent uniquement sur l’orthogonalité de la famille de

63

MAT 1261

fonctions {νn(x), ωn(x)}. En remplaçant, dans l’expression précédente, les symboles

an, bn, νn(x) et ωn(x) par leurs valeurs, nous obtenons

f(x) ∼ 1

2π

∫ π

−π

f(ξ)dξ +∞∑

n=1

(

1

π

∫ π

−π

f(ξ) cosnξdξ

)

cos nx

+

∞∑

n=1

(

1

π

∫ π

−π

f(ξ) sinnξ · dξ

)

sin nx (1.4)

Exemple:

Soit f(x) la fonction de période 2π, égale àπ

4dans l’intervalle (0, π) et égale à

−π4

dans l’intervalle (−π, 0). Aux points de discontinuité x = mπ, avec m entier,

cette fonction prend la valeur 0.

Figure 1 – Fonction discontinue représentée par une série de Fourier.

Comme cette fonction est impaire, les coefficients de Fourier an sont nuls : pour

les coefficients bn nous trouvons

bn =

∫ π

−π

f(ξ)sinnξ√

πdξ =

2√π

∫ π

0

f(ξ) sinnξdξ

=

√π

2n(1 − cos nπ) =

{

0 pour n pair√

πn

pour n impair

La série de Fourier de cette fonction est donc

f(x) ∼ sin x +sin 3x

3+

sin 5x

5+

sin 7x

7+ ...

Comme toutes les sommes Sn(x) de la série de Fourier sont des fonctions con-

tinues, et que la fonction f(x) est elle-même discontinue aux points x = mπ, ces

sommes ne peuvent pas converger de manière uniforme vers f(x). La convergence

en moyenne de ces sommes partielles est bonne cependant. En prenant les quatre

64


premiers termes de la série de Fourier, nous trouvons R7 = 0,55. La valeur moyenne,

sur l’intervalle 2π, du carré de l’écart n’est queR7

2π= 0,09.

La figure 1 nous montre de quelle manière les sommes partielles de la série de

Fourier de cette fonction s’approchent de celle-ci.

Forme complexe de la série de Fourier. La théorie des séries de Fourier prend

une forme plus symétrique lorsqu’on fait usage des exponentielles imaginaires

un(x) =1√2π

einx(n = 0,±1,±2...).

On doit, dans ce cas, modifier la notion d’orthogonalité et de normalisation.

On dit que deux fonctions f(x) et g(x) à valeurs complexes sont orthogonales sur

l’intervalle [−π, π] lorsque l’intégrale sur cet intervalle du produit de l’une par la

conjuguée complexe de l’autre est nulle:

nous avons alors∫ π

−π

f(x) · g∗(x)dx = 0.

On appelle norme d’une fonction f(x) à valeurs complexes définie sur l’intervalle

[−π, π], l’intégrale sur cet intervalle du carré de la valeur absolue de la fonction: la

norme de la fonction f(x) est donc∫ π

−π

|f(x)|2dx =

∫ π

−π

f(x)f ∗(x)dx.

Une fonction dont la norme vaut un est dite normée. La famille de fonctions{

un(x) =1√2π

einx

}

est orthogonale et normée. Nous cherchons une somme

Sn(x) =n∑

−n

γp · up(x)

qui soit une bonne approximation en moyenne de la fonction f(x) dont la norme est

finie. Nous posons

cn =

∫ π

−π

f(ξ) · u∗n(ξ)dξ =

1√2π

∫ π

−π

f(ξ)e−inξdξ (1.5)

Nous cherchons à rendre minimale l’erreur quadratique moyenne

Rn =

∫ π

−π

|f(x) − Sn(x)|2dx

=

∫ π

−π

[f(x) − Sn(x)][f ∗(x) − S∗n(x)]dx

=

∫ π

−π

|f(x)|2dx −n∑

−n

γpc∗p −

n∑

−n

γ∗pcp +

n∑

−n

γpγ∗p .

65

MAT 1261

Figure 2 –

Cette expression possède une valeur réelle et positive, quoique les coefficients

γp et cp qu’elle contient soient complexes. Nous pouvons la réécrire au moyen des

quantités réelles1

2(cp + c∗p) ,

1

2i(cp − c∗p) etc.

Nous obtenons

Rn =

∫ π

−π

|f(x)|2dx +

n∑

p=−n

{

γp + γ∗p

2

(

γp + γ∗p

2− 2

cp + c∗p2

)

66


+γp − γ∗

p

2i

(

γp − γ∗p

2i− 2

cp − c∗p2i

)}

Le même raisonnement qui nous a permis de fixer les valeurs des coefficients αp et

βp nous fournit maintenant les valeurs des coefficients complexes γp pour lesquelles

l’erreur quadratique Rn prendra sa plus petite valeur. Nous trouvons γp = cp.

L’erreur quadratique devient alors

Rn =

∫ π

−π

|f(x) − Sn(x)|2dx =

∫ π

−π

|f(x)|2dx −n∑

−n

|cp|2

Les formules relatives à la série de Fourier sont maintenant

f(x) ∼∞∑

n=−∞

1

2π

(∫ π

−π

f(ξ)e−inξdξ

)

einx (1.6)

Rn =

∫ π

−π

[f(x) − Sn(x)]2dx =

∫ π

−π

|f(x)|2dx −n∑

p=−n

|cp|2 (1.7)

cp =1√2π

∫ π

−π

f(x)e−ipxdx

Comme nous avons supposé que la fonction f(x) est de carré sommable et comme

Rn ne peut être négatif, la formule (1.7) nous apprend que la série∞∑

−∞|cp|2 doit

converger.

II La convergence des séries de Fourier en un point

Il nous reste à trouver quand les sommes partielles Sn(x) d’une série de Fourier

convergent en un point x, et en particulier quand elles convergent vers la valeur de

la fonction f(x) en ce point. Nous ferons ici des hypothèses moins restrictives que

celles qui ont été faites au paragraphe précédent: nous ne supposerons plus que la

fonction f(x) soit de carré sommable, mais seulement que l’intégrale de sa valeur

absolue |f(x)| soit finie.

Une fonction telle que f(x) =1

√

|x|n’est plus exclue: la fonction f(x) =

1

x,

dont la valeur absolue n’est pas sommable, reste exclue.

Nous établirons d’abord que les coefficients de Fourier de toute fonction de valeur

absolue sommable tendent vers zéro (Lemme de Riemann). Cette proposition est

67

MAT 1261

évidente pour une fonction qui prend une valeur constante c sur un intervalle (a, b)

et la valeur zéro en dehors de celui-ci. En effet, nous trouvons

cn =1√2π

∫ π

−π

f(x)e−inxdx =ic√

2π · n(e−inb − e−ina),

d’où |cn| <

√

2

π· c

1

n. Une fonction en escalier, qui prend des valeurs constantes

sur un nombre fini d’intervalles, possède également des coefficients de Fourier qui

tendent vers zéro : ce résultat se déduit du précédent. Une fonction f(x), de valeur

absolue sommable, peut se décomposer en la somme d’une fonction en escalier, f1(x),

et d’une fonction f2(x) pour laquelle

∫ π

−π

|f2(x)| dx < ε,

quel que soit le nombre positif ε. Les coefficients de Fourier de la fonction f(x) sont

les sommes des coefficients de Fourier de même rang des fonctions f1(x) et f2(x). En

choisissant d’abord ε assez petit, et en choisissant ensuite le nombre n assez grand,

nous pouvons rendre ces coefficients de Fourier inférieurs en valeur absolue à tout

nombre plus grand que zéro. Le lemme de Riemann est donc établi.

Ce lemme ne s’applique pas à des fonctions dont la valeur absolue n’est pas

sommable, telles que1

x.

Nous avons∫ n

0

sin x

xdx =

∫ n

0

(∫ ∞

0

e−xydy

)

sin xdx

=

∫ ∞

0

(∫ n

0

e−xy sin xdx

)

dy =

∫ ∞

0

1 − e−ny(cos n − y sin n)

1 + y2dy

En faisant tendre n vers l’infini, cette égalité devient

∫ ∞

0

sin x

xdx =

∫ ∞

0

dy

1 + y2= arctg y

∣

∣

∣

∣

∞

0

=π

2.

L’intégrale∫ π

−π

1

xsin nxdx =

∫ nπ

−nπ

1

ysin ydy tend donc vers π lorsque n augmente

indéfiniment.

Calculons une expression de la somme partielle Sn(x) de la série de Fourier de

la fonction f(x). Nous avons

Sn(x) =1

2π

n∑

−n

(∫ π

−π

f(ξ)e−ipξdξ

)

eipx =1

2π

∫ π

−π

(

n∑

−n

eip(x−ξ)

)

f(ξ)dξ

68


En posant q = ei(x−ξ), nous trouvons par la formule de la progression géométrique

n∑

−n

eip(x−ξ) = q−n + q−n+1 + ... + qn = q−n(1 + q + ... + q2n)

= q−n (1 − q2n+1)

1 − q=

qn+ 1

2 − q−(n+ 1

2)

q1

2 − q−1

2

=sin(n + 1

2)(ξ − x)

sin 12(ξ − x)

Nous en déduisons, pour la somme partielle Sn(x),

Sn(x) =1

2π

∫ π

−π

sin(n + 12)(ξ − x)

sin 12(ξ − x)

· f(ξ)dξ

=1

2π

∫ π

−π

sin(n + 12)y

sin 12y

· f(x + y)dy (2.1)

Pour déterminer dans quelles conditions cette expression tend vers une limite λ

quand n augmente, nous formons

Sn(x) − λ = Sn(x) − λ

π

∫ ∞

∞

sin y

ydy

= Sn(x) − λ

π

∫ π

−π

sin(n + 12)y

y· dy − 2λ

π

∫ ∞

π

sin(n + 12)y

ydy

=1

π

∫ π

−π

sin(n +1

2)y

{

f(x + y)

2 sin y2

− λ

y

}

dy − 2λ

π

∫ ∞

(n+ 1

2)π

sin y

ydy

La première intégrale du membre de droite peut être décomposée en une somme

de deux intégrales: une première s’étendant de −ε à ε, et une seconde portant sur

le reste de l’intervalle (−π, π). La fonction{

f(x + y)

2 sin 12y

− λ

y

}

étant de valeur absolue sommable dans l’intervalle (−π, π) dont le segment (−ε, ε)

est enlevé, nous pouvons lui appliquer le lemme de Riemann. En choisissant une

valeur de n assez grande, nous pouvons rendre les valeurs des intégrales de −π à −ε

et de ε à π de la fonction

sin(n +1

2)y

{

f(x + y)

2 sin 12y

− λ

y

}

aussi petites que nous le voulons. Il en est de même de l’intégrale∫ ∞

(n+ 1

2)π

sin y

ydy,

69

MAT 1261

vu que l’intégrale∫ ∞

0

sin y

ydy

converge. Ayant choisi un nombre ε arbitrairement petit, nous pouvons choisir une

valeur de n suffisante pour rendre la différence entre

(Sn(x) − λ) et1

π

∫ ε

−ε

sin(n +1

2)y

{

f(x + y)

2 sin 12y

− λ

y

}

dy

aussi petite que nous le voulons. Les sommes partielles Sn(x) convergent donc vers

la limite λ au point x lorsque nous pouvons rendre l’intégrale

1

π

∫ ε

−ε

sin(n +1

2)y ·

{

f(x + y)

2 sin 12y

− λ

y

}

dy

arbitrairement petite, en choisissant ε petit et n grand. Nous voyons de suite que

cette condition est vérifiée si la fonction f est assez régulière au voisinage du point

x. Si, par exemple, la fonction f possède une dérivée au point x, il suffit de poser

λ = f(x) pour rendre cette intégrale arbitrairement petite. Si la fonction intégrable f

possède une dérivée au point x, sa série de Fourier tend vers la valeur de la fonction

en ce point. Si la fonction f , tout en étant discontinue au point x, tend vers une

limite f(x + 0) à droite et une limite f(x − 0) à gauche de ce point, et si une

dérivée de la fonction existe à gauche et à droite du point x, nous devons poser

λ = 12[f(x−0)+f(x+0)]. La série de Fourier tend alors vers la moyenne des limites

à gauche et à droite du point de discontinuité.

Si la fonction f(x) présente une discontinuité au point x0, les sommes partielles

Sn(x) ne peuvent pas tendre uniformément vers cette fonction au voisinage du point

x0, même si elles tendent vers la valeur f(x) de la fonction en chaque point x distinct

de x0. Les courbes qui représentent les sommes partielles Sn(x) montrent alors un

éperon de chaque côté du point de dicontinuité x0. Lorsque le nombre de termes n

augmente, cet éperon se contracte vers le point de discontinuité, mais ne perd pas sa

hauteur. Cette non-uniformité de la convergence est connue comme le phénomène

de Gibbs.

70


Figure 3 – Phénomène de Gibbs au voisinage d’une discontinuité.

Nous avons vu que la série de Fourier d’une fonction intégrable converge vers

les valeurs de celle-ci, lorsque cette fonction est assez régulière. Il ne suffit pas que

la fonction f(x) soit continue, il faut qu’elle satisfasse à des conditions plus fortes.

Pour obtenir une suite qui converge vers la valeur de la fonction lorsque celle-ci est

continue, il faut recourir à une méthode de sommation dite de Féjèr. Au lieu de

considérer les sommes partielles S0(x), S1(x), S2(x)... nous considérons les nouvelles

expressions

T0(x) = S0(x), T1(x) =1

2[S0(x) + S1(x)], T2(x) =

1

3[S0(x) + S1(x) + S2(x)], ...

La convergence de la suite Tn(x) est souvent meilleure que celle de la suite Sn(x).

Nous trouvons d’après (2.1)

Tn(x) =1

2π(n + 1)

∫ π

−π

{sin 1

2y + sin

3

2y + ... + sin(

1

2+ n)y}f(x + y)

sin 12y

dy.

Pour sommer l’expression entre parenthèses, multiplions la par sin 12y, en tenant

compte de l’identité

sin p sin q =1

2[cos(p − q) − cos(p + q)].

Cette identité nous donne

sin1

2y · sin(

1

2+ m)y =

1

2cos my − 1

2cos(m + 1)y.

71

MAT 1261

Il en découle

sin1

2y[sin

1

2y + sin

3

2y + ... + sin(

1

2+ n)y]

=1

2[(1 − cos y) + (cos y − cos 2y) + ... + (cos ny − cos(n + 1)y)]

=1

2[1 − cos(n + 1)y] = sin2(

1

2(n + 1)y).

La somme de Féjèr Tn(x) peut alors s’écrire

Tn(x) =1

2π

∫ π

−π

1

(n + 1)

(

sin 12(n + 1)y

sin 12y

)2

f(y + x)dy (2.2)

La fonction1

2π(n + 1)

(

sin 12(n + 1)y

sin 12y

)2

est partout positive. Son intégrale de −π à π vaut un: en effet, considérons la

fonction identiquement égale à 1. On a, pour tout n, Tn(x) = Sn(x) = 1 et le

membre de droite de (2.2) donne, pour f = 1, l’intégrale. Cette fonction se concentre

autour de l’origine quand n augmente. Pour tout nombre positif ε, nous pouvons

donc choisir n assez grand pour que seul l’intervalle (−ε < y < ε) contribue d’une

manière appréciable à la valeur de Tn(x). Si la fonction f est continue, nous pouvons

choisir le nombre positif ε assez petit pour que les valeurs de la fonction f(y + x)

diffèrent de f(x) arbitrairement peu dans cet intervalle. La suite des sommes de

Féjèr Tn(x) tendra donc vers la valeur f(x) de la fonction continue f au point x.

Si tous les coefficients de Fourier de la fonction périodique continue f(x) sont

nuls, toutes les sommes de Féjèr Tn(x) le sont également. Comme ces sommes

(nulles) tendent vers les valeurs de la fonction continue f(x), celle-ci est également

nulle. Il en résulte que toute fonction continue périodique, dont tous les coefficients

de Fourier sont nuls, est elle-même nulle.

Supposons, ensuite que la fonction périodique f soit intégrable, et que tous

ses coefficients de Fourier soient nuls. Pour appliquer le résultat précédent, nous

construisons d’abord la fonction continue

F (x) =

∫ x

−π

f(ξ)dξ.

Comme le coefficient de Fourier c0 est nul, nous avons

c0 =1√2π

∫ π

−π

f(ξ)dξ =1√2π

[F (π) − F (−π)] = 0.

72


La fonction continue F (x) est donc périodique. Calculons ses coefficients de Fourier,

pour n 6= 0:

1√2π

∫ π

−π

F (x)e−inxdx =i√

2π · n

∫ π

−π

F (x) · de−inx

=ieinπ

√2π · n

[F (π) − F (−π)] +1

in· 1√

2π

∫ π

−π

f(x)e−inxdx = 0.

Ces coefficients de Fourier sont donc nuls. Soit a la valeur de l’intégrale∫ π

−π

F (x)dx.

L’intégrale de la fonction(

F (x) − a

2π

)

sur l’intervalle (−π, π) est alors nulle. Cette dernière fonction est continue, pério-

dique et à coefficient de Fourier nuls: elle est donc nulle en vertu du résultat précé-

dent. Nous trouvons donc

F (x) =a

2π.

Comme la fonction F (x) prend la valeur zéro au point x = −π, elle est nulle

partout. La primitive de la fonction intégrable f(x) étant nulle, cette dernière

est nulle presque partout. Nous avons donc établi que toute fonction intégrable pé-

riodique, dont les coefficients de Fourier sont tous nuls, est elle-même nulle presque

partout.

Nous pouvons maintenant reprendre l’étude de l’approximation en moyenne

quadratique d’une fonction de carré sommable f(x). En appelant cn les coefficients

de Fourier de cette fonction, et Sn(x) les sommes partielles de sa série de Fourier,

nous avons établi la formule

Rn =

∫ π

−π

|f(x) − Sn(x)|2fx =

∫ π

−π

|f(x)|2dx −∑

p

|cp|2.

On démontre en analyse que la série

∑

p

cpeipϕ

converge en presque tous les points vers une fonction de carré sommable S(x), lorsque

la série des carrés des modules des coefficients cp converge (Théorème de Fischer-

Riesz). La relation précédente devient, en faisant tendre n vers l’infini,∫ π

−π

|f(x) − S(x)|2dx =

∫ π

−π

|f(x)|2dx −∑

p

|cp|2.

73

MAT 1261

La fonction [f(x) − S(x)] est intégrable et périodique tous ses coefficients de

Fourier sont nuls. Elle est donc nulle presque partout, et l’intégrale du membre de

gauche de la relation précédente est donc nulle: il en est de même du membre de

droite. Nous avons donc∫ π

−π

|f(x)|2dx =∑

p

|cp|2. (2.3)

Cette importante relation est connue comme le Théorème de Parseval : L’intégrale

du carré du module d’une fonction de carré sommable est égale à la somme des carrés

des modules des coefficients de Fourier de cette fonction.

Décroissance des coefficients de Fourier. Nous avons montré que les coefficients de

Fourier d’une fonction périodique intégrable tendent vers zéro. En imposant à cette

fonction une régularité plus forte, nous pouvons montrer que ces coefficients décrois-

sent rapidement. Supposons que la fonction périodique f(x) possède une dérivée

première continue f ′(x). Nous trouvons alors, par une intégration par parties,

cn =1√2π

∫ π

−π

f(x)e−inxdx

=(−1)ni√

2π· 1

n[f(π) − f(−π)] +

1

in

1√2π

∫ π

−π

f ′(x)e−inxdx

=1

in· 1√

2π

∫ π

−π

f ′(x)e−inxdx

Comme les coefficients de Fourier de la fonction continue f ′(x) tendent vers zéro,

ceux de la fonction f(x) elle-même tendent vers zéro plus rapidement que1

n. Si

la fonction périodique f(x) possède une dérivée seconde continue, nous pouvons

appliquer deux fois de suite l’intégration par parties: nous trouvons alors que ses

coefficients de Fourier tendent vers zéro plus rapidement que1

n2. En général les

coefficients de Fourier, d’une fonction périodique tendent vers zéro d’autant plus

rapidement que cette fonction est plus régulière.

La théorie des séries de Fourier s’applique souvent à des fonctions qui sont définies

seulement sur un intervalle fini : on les prolonge alors en fonctions périodiques

définies sur toute la droite réelle. La régularité de la fonction périodique ainsi

obtenue dépend du comportement de la fonction donnée aux extrémités de son

intervalle de définition. Supposons qu’une fonction f soit donnée sur l’intervalle

(0, π), qu’elle prenne la valeur zéro aux extrémités, et qu’elle possède une dérivée

continue en tout point intérieur de l’intervalle. En posant f(x) = −f(−x) pour

−π ≤ x ≤ 0, on peut la prolonger à l’intervalle (−π, π).

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La fonction prolongée peut être considérée comme une fonction périodique de

période 2π: cette fonction périodique est continue ainsi que sa dérivée. Supposons

que la fonction f , définie sur l’intervalle (0, π), possède une dérivée seconde continue,

et qu’elle prenne, ainsi que sa dérivée seconde, la valeur zéro aux extrémités de

l’intervalle. En la prolongeant à l’intervalle (−π, π) comme dans le cas précédent,

nous obtenons une fonction périodique dont la dérivée seconde est continue. Si la

dérivée seconde de la fonction f n’était pas nulle au point x = 0, la fonction définie

en posant f(x) = −f(−x) pour −π ≤ x ≤ 0 aurait une dérivée seconde discontinue

au point x = 0. Si la fonction s’annule, ainsi que sa dérivée seconde aux points

x = 0 et x = π, et si elle possède une dérivée troisième continue, elle peut être

prolongée en une fonction périodique qui possède une dérivée troisième continue.

Si elle s’annule ainsi que ses dérivées secondes et quatrièmes aux points x = 0 et

x = π et qu’elle possède une dérivée quatrième continue, elle peut être prolongée en

une fonction périodique qui possède une dérivée quatrième continue. Les résultats

obtenus au sujet de la décroissance des coefficients de Fourier montrent que pour une

fonction qui s’annule ainsi que ses dérivées secondes aux extrémités d’un intervalle,

et qui possède une dérivée troisième, ces coefficients décroissent plus rapidement que1

n3. De même, les coefficients de Fourier d’une fonction qui s’annule ainsi que ses

dérivées secondes et quatrièmes aux extrémités d’un intervalle, et qui possède une

dérivée quatrième, décroissent plus rapidement que1

n4.

Exercices.

1. Soit f(x) une fonction périodique, de période 2c, définie par{

f(x) = c pour 0 < x < c.

f(x) = −c pour − c < x < 0.

Montrer que sa série de Fourier est

f(x) ∼ 4c

π

[

sinπx

c+

1

3sin

3πx

c+

1

5sin

5πx

c+ ...

]

2. Soit f(x) une fonction définie sur l’intervalle (0, 1) par les égalités{

f(x) = (1 − ξ)x entre 0 et ξ

f(x) = ξ(1 − x) entre ξ et 1.

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MAT 1261

Figure 4 –

Montrer que cette fonction peut être prolongée en une fonction périodique

impaire dont la série de Fourier est

f(x) ∼ 2

π2

∞∑

n=1

sin nπx · sin nπξ

n2

3. Soit f(x) une fonction de période 2π, dont les valeurs sont définies par

f(x) = 0 pour − π < x < −ε

f(x) =1

2εpour − ε ≤ x ≤ ε

f(x) = 0 pour ε < x < π

Trouver la série de Fourier de cette fonction. Etudier le cas ou la longueur ε

devient petite.

4. Calculer la somme 1 +1

4+

1

9+

1

16+

1

25+ ... en appliquant le théorème de

Parseval à la fonction f(x) = x et à sa série de Fourier.

5. Soient f et g deux fonctions de carré sommable. Appliquer le théorème de

Parseval aux fonctions (f + g) et (f + ig). En déduire la valeur de l’intégrale∫ π

−π

f(x)g∗(x)dx.

6. Soit f(x) une fonction de période 2π, donnée par f(x) = (x2 − π2)2 dans

l’intervalle [−π, π]. Déterminer la série de Fourier de cette fonction.

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Références

[1] V. Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Ed. Mir, 1976.

[2] B. Doubrovine, S. Novikov, A. Fomenko, Géométrie contemporaine, vol. 1,

Ed. Mir, 1982.

[3] I.M. Gelfand, S.V. Fomin, Calculus of Variations, Prentice-Hall, 1963.

[4] L. Landau, E. Lifchitz, Mécanique, Ed. Mir, 1966.

Documents

Méthodes mathématiques de la mécanique classique 2 MAT 1261