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Análise se Sistemas de Potência, PU
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1Captulo 3SISTEMA POR UNIDADE
1. OBJETIVO
Este captulo tem por objetivo apresentar a ferramenta sistema por
unidade ou sistema pu muito utilizada nos estudos envolvendo sistemas
eltricos de potncia.
O estudo do sistema por unidade ser complementado durante os cap-
tulos posteriores, nas modelagens de cada um dos componentes dos sistemas
eltricos com vistas aos estudos de fluxo de carga e curto circuito.
2. INTRODUO
Nos estudos em sistemas eltricos usual o emprego do sistema por
unidade ou sistema pu. Usando o sistema pu, as grandezas e dados tcnicos
no so expressas nos seus valores absolutos e sim como frao de grande-
zas escolhidas como referncia denominados valores base.
Examinando de forma superficial o que foi dito no pargrafo anterior, o
sistema pu pode parecer simplesmente um mtodo indireto de exprimir uma
grandeza, contudo, ser demonstrado, a seguir, que ele introduz uma srie de
simplificaes nos clculos envolvendo sistemas eltricos que operam em dife-
rentes nveis de tenso.
Captulo 3 Sistema Por Unidade
2
Outro fato relevante da aplicao do sistema pu em sistemas eltricos
est em permitir uma avaliao dos valores obtidos para parmetros e grande-
zas dos diversos componentes do sistema eltrico. Este fato permite identificar
valores irreais calculados, alm de possibilitar estimar valores para grandezas
ou variveis desconhecidas.
Escolhendo os valores nominais de um dado componente como base,
as suas grandezas e variveis no variam numa faixa muito larga, mesmo para
uma ampla faixa de valores nominais. Nos sistemas eltricos, por exemplo, a
corrente de excitao de um transformador usualmente est entre 0,01 e 0,05
pu para uma larga faixa de valores nominais.
De tal forma que, quando obtemos para a corrente de excitao de um
transformador de 50 KVA o valor 0,04 pu relativamente simples identificar se
este valor coerente com os valores nominais do transformador ou no. Situa-
o distinta se d quando obtemos o valor de corrente de excitao de 5,41 A
para o mesmo transformador de 50 kVA, no to imediato saber se se trata
de um valor coerente ou no. Concluindo, verifica-se que identificar se ocorreu
algum engano num determinado valor de uma grandeza bem mais simples
quando ela expressa em pu do que na sua unidade original, pois, usual-
mente, as grandezas variam em faixas estreitas mesmo para componentes
com valores nominais muito diferentes.
3. DEFINIO
O valor por unidade ou valor pu de uma dada grandeza definido como a
relao entre o valor desta grandeza (denominado valor real) numa dada
unidade e o valor base da mesma grandeza, escolhido como referncia na
mesma unidade, ou seja:
baseValor realValor PU emValor =
Captulo 3 Sistema Por Unidade
3
Uma forma alternativa de se exprimir as grandezas de um sistema
eltrico o valor percentual, isto :
100 PU emValor % emValor =Os valores expressos em pu tm vantagens sobre os valores
expressos em percentuais porque o produto ou quociente de duas grandezas
expressas em pu resulta em outra grandeza tambm em pu, mas o produto ou
quociente de duas grandezas expressas em por cento deve ser dividida ou
multiplicada por 100 para produzir o resultado final.
EXEMPLO 1:
Obtenha as grandezas abaixo em pu e em percentual, assumindo como base
os valores especificados.
a) V1 = 126 kV, assumindo como valor base 120 kV.
pu 1,05 120126 V1 ==
% 105 100 1,05 V1 ==
b) I1 = 10 A, assumindo como valor base 50 A.
pu 0,25010I1 ==
% 20 100 0,2I1 ==
4. SISTEMA PU PARA REDES EM REGIME PERMANENTE SE-NOIDAL
Uma rede dita em regime permanente senoidal quando todas as ten-
ses e correntes em qualquer ponto desta rede so funes senoidais ou se-
nides, podendo assim serem representadas por fasores.
Captulo 3 Sistema Por Unidade
4
Ser demostrado que tanto para redes monofsicas como para as trif-
sicas em regime permanente senoidal, suficiente definir apenas duas destas
grandezas quaisquer, ficando todos os demais valores base perfeitamente
definidos a partir das relaes bsicas entre elas.
Numa rede monofsica em regime permanente senoidal vamos
escolher duas grandezas quaisquer como base: a tenso base VBASE e a
potncia base SBASE. Os demais valores base para as grandezas desta rede
podem ser calculadas pelas seguintes equaes:
A corrente base (IBASE) pela equao:
BASE
BASEBASE V
S= I
a impedncia base (ZBASE) pela seguinte equao:
BASE
2BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASEBASE S
V =
VSV =
IV = Z
BASE
2BASE
BASE SV = Z
Finalmente a admitncia base (YBASE) calculada pela seguinte
equao:
2BASE
BASE
BASE
BASE
BASEBASE V
SVI
Z1 Y ===
2BASE
BASEBASE V
S Y =
Numa rede trifsica em regime permanente senoidal existem duas
formas distintas de se definir valores base para que se possa empregar o
Captulo 3 Sistema Por Unidade
5
sistema pu, uma a partir da definio de valores por fase como valores base e
outra definindo valores trifsicos como valores base.
Definindo para uma rede trifsica em regime permanente senoidal a
tenso base uma tenso fase terra VBASE e a potncia aparente base como
uma potncia por fase SBASE, podemos calcular a corrente base pela seguinte
expresso:
FN
1F
BASE
BASE BASE
VS
VS I ==
e a impedncia base (ZBASE) pela seguinte equao :
BASE
2BASE
BASE
BASE
BASE
BASE
BASEBASE S
V =
VSV =
IV = Z
1F
2FN
BASE
2BASE
BASES
VS
V = Z =
Similarmente a admitncia base (YBASE) pode ser obtida a partir da
seguinte equao:
2BASE
BASE
BASE
BASE
BASEBASE V
SVI
Z1 Y ===
2FN
1F
2BASE
BASEBASE V
SVS Y ==
De forma alternativa, os valores base para uma rede trifsica em re-
gime permanente senoidal podem ser escolhidos a partir de valores de linha.
Definindo a tenso base VBASE como uma tenso de linha V3F e a potncia
aparente base SBASE como a potncia trifsica S3F. Podemos calcular a cor-
rente base pela seguinte expresso:
Captulo 3 Sistema Por Unidade
6
FF
3F
BASE
BASEBASE .V3
S.V3
S I ==
A impedncia base (ZBASE) definida sempre em ohms por fase e
calculada pela seguinte equao:
3F
2FF
FF
3F
FF
L
FF
BASE
BASEBASE
SV =
V 3S 3
V = I 3
V IV= Z =
e a admitncia base (YBASE) calculada por :
2FF
3F
3F
L
BASEBASE V
SVI
Z1 Y ===
interessante notar que os valores por unidade das grandezas por
fase so iguais aos valores por unidade das grandezas trifsicas de linha em
um qualquer ponto do sistema, quando tomamos como base os respectivos
valores nominais monofsicos e trifsicos das grandezas consideradas. Sendo
assim, o valor por unidade da potncia aparente trifsica igual ao valor por
unidade da potncia aparente monofsica em um determinado ponto do siste-
ma, quando tomamos como base o valor da potncia aparente nominal mono-
fsica e trifsica. Logo, os mdulos das grandezas de linha e de fase em pu :
PUBFT
FT
BFT
FT
BFF
FFPU VV
V.V3.V3
VVV ====
PUB1F
F
B1F
F
B3F
3FPU SS
S3.S3.S
SSS ====
pu
1F3F
pu III
III ===
Captulo 3 Sistema Por Unidade
7
pu
B1FB3F
pu ZZ
ZZ
ZZ ===
importante destacar que, como os valores base so escalares, o
sistema pu no impe qualquer restrio s fases, isto , as grandezas tem o
mesmo ngulo que os valores reais.
Portanto no caso de uma impedncia, temos
jXRZ +=
PUPUBASEBASEBASEBASE
pu jXRZ
jXZ
RZ
jXRZ
ZZ +=+=+==
Como, ZPU = RPU + jXPU , conclumos que:
BASEBASEBASE ZXR ==Logo, para o sistema pu o valor base da impedncia o mesmo para a
resistncia e a reatncia.
Procedendo de forma similar, para a potncia, temos:
jQPS +=
PUPUBASEBASEBASEBASE
pu jQPS
jQS
PS
jQPS
SS +=+=+==
Como, SPU = PPU + jQPU , conclumos que:
BASEBASEBASE QPS ==Portanto, para o sistema pu, o valor base de potncia o mesmo tanto
para a potncia ativa, quanto para a potncia reativa e para a aparente.
importante destacar que embora para utilizar o sistema pu nos
circuitos trifsicos existam duas formas de se escolher os valores base (valores
Captulo 3 Sistema Por Unidade
8
base trifsicos e valores base monofsicos) a mais adotada aquela cujos
valores base so a potncia trifsica e a tenso de linha ou fase-fase.
EXEMPLO 2 :
Para um sistema eltrico de potncia, adotando-se como valores base 50 MVA
(potncia trifsica) e 200 (impedncia em ohms por fase), determine as
grandezas a seguir em pu: a) 200 A, b) 80 mho, c) (20 + 40)j MVA, d) 65 MW,
e) 40 MVAR, f) 50 .
Soluo :
Utilizando as relaes entre valores base podemos obter a tenso base, a
corrente base e a admitncia base:
SVZ
BASE
2BASE
BASE =
kV 100101002001050 SZ V 36BASEBASEBASE ====
A 288,68101003
1050V3
SI3
6
BASE
BASEBASE =
==
mho 0,052001
Z1YBASE
BASE ===
Conhecidos os valores base, pode-se ento obter os valores pu
requeridos:
a) Corrente I = 200 A em pu
pu 0,69288,68
200IPU ==
b) Admitncia Y = 80 mho em pu
Captulo 3 Sistema Por Unidade
9
pu 1600 0,0580YPU ==
c) Potncia aparente S = (20+40j) MVA em pu
pu j0,8)(0,450
40j20 SPU +=+=
d) Potncia ativa P = 65 MW em pu
pu 1,35065PPU ==
e) Potncia reativa Q = 40 MVAR em pu
pu 0,85040QPU ==
f) Impedncia Z = 50 em pu
pu 0,2520050ZPU ==
5. EQUAO DE MUDANA DE BASE
Usualmente, alguns dados dos equipamentos eltricos como os
valores de impedncia dos transformadores so expressos em pu usando
como valores base os seus prprios valores nominais. Nos sistemas eltricos,
a existncia de diferentes circuitos com componentes e equipamentos de
diferentes valores nominais, exige a definio de um conjunto de valores base
comuns para todo o sistema eltrico.
A escolha de um conjunto de valores base comuns para o sistema el-
trico cria a necessidade de se expressar as impedncias dos equipamentos em
Captulo 3 Sistema Por Unidade
10
pu neste novo conjunto de valores base atravs de expresses que realizem a
mudana de base.
De maneira genrica, o problema de mudana de base pode assim ser
descrito: Conhecida a impedncia de um componente em pu numa base antiga
ZPUBA, associada aos valores de tenso VBA e potncia SBA, podemos determi-
nar a impedncia deste componente ZPUBN associados aos valores de base
nova de tenso VBN e potncia SBN.
Na base antiga, tem-se:
BA
COMPONENTEPUBA Z
ZZ =
BAPUBACOMPONENTE ZZZ =Na base nova, tem-se
BN
COMPONENTEPUBN Z
ZZ =
BNPUBNCOMPONENTE ZZZ =
Igualando-se as equaes anteriores, obtm-se
BNPUBNBAPUBA ZZZZ =
BN
2BN
PUBNBA
2BA
PUBA SVZ
SVZ =
=BA
BN2
BN
BA
PUBAPUBN SS
VV.ZZ
Captulo 3 Sistema Por Unidade
11
Esta ltima equao denominada equao de mudana de base e
permite a partir da impedncia em por unidade de uma base antiga obter uma
impedncia em por unidade numa base nova .
EXEMPLO 3 :
A impedncia em pu de um dado componente, de 0,25 baseado nos dados
de placa deste componente que so 13,8 kV, 50 MVA. Obtenha a impedncia
em pu deste componente nas bases de 13,2 kV, 100 MVA.
Soluo :
Os valores base nominais do componente corespondem aos valores base
antigos, logo: SBASEA = 50 MVA, VBASEA =13,8 KV. Os valores base novos so:
SBASEN = 100 MVA e VBASEN = 13,2 KV.
Utilizando a equao de mudana de base, obtemos:
pu 0,0405500100
2018 0,25 Z
2
PUBN =
=
6. SISTEMA PU PARA SISTEMAS ELTRICOS COM TRANS-FORMADORES DE POTNCIA
A principal vantagem de se empregar o sistema pu na soluo de pro-
blemas de anlise de sistema de potncia est na possibilidade de se evitar
referir grandezas de um lado para outro de um transformador quando se utiliza
o circuito equivalente em pu de um transformador real, pois o componente
transformador ideal co circuito equivalente do transformador real em pu passa
a ter relao 1:1.
Os transformadores ideais so transformadores que no apresentam
perdas, j que as resistncias dos enrolamentos e as perdas no ncleo no
existem. Como a permeabilidade do ncleo infinita e o fluxo de disperso
desprezvel, a corrente de excitao nula.
Captulo 3 Sistema Por Unidade
12
Para um transformador ideal, ao qual aplica-se uma tenso varivel no
tempo V1 ao enrolamento primrio com N1 espiras, devido a permeabilidade
infinita do ncleo, nenhuma corrente necessitar circular no primrio para es-
tabelecer o fluxo no mesmo. Este, por sua vez, dever ser suficiente para
gerar uma tenso induzida E1 que iguala-se aquela aplicada, quando a resis-
tncia do enrolamento desprezvel. Assim:
dtdNEV 111 ==
Desde que nenhuma disperso ocorre no ncleo de um transformador
ideal, o mesmo fluxo estar concatenado com as N2 espiras do enrolamento
secundrio, produzindo neste uma tenso induzida E2, igual tenso nos
terminais do secundrio V2, dada por
dtdNEV 222 ==
Figura 1 - Transformador ideal em vazio
Da relao entre as equaes V1 e V2, pode-se obter:
2
1
2
1
NN
VV =
Assim um transformador ideal transforma as tenses na relao direta
do nmero de espiras dos respectivos enrolamentos.
Captulo 3 Sistema Por Unidade
13
Na Figura 2 est apresentado o transformador ideal com uma carga
conectada nos seus terminais do enrolamento secundrio, solicitando uma
corrente I2 , estabelecendo uma fmm N2.I2. Esta fmm produzira um fluxo 2 que
se opor ao fluxo existente no ncleo. Assim o fluxo lquido no ncleo diminu-
ra de valor e, com ele, tambm a tenso induzida E1, perturbando o equilbrio
presente no circuito primrio. Uma corrente ser, ento, originada neste enro-
lamento com o objetivo de restaurar o fluxo no ncleo ao seu valor original e,
deste modo, elevar a tenso induzida E1 at a equiparao com a tenso
aplicada.
Figura 2 - Trafo ideal em carga
Este o modo pelo qual o primrio toma conhecimento da presena de
corrente no secundrio. Logo, o valor da corrente no primrio dever ser tal
que anule o efeito da corrente no secundrio, ou seja, dever produzir uma
fmm igual a aquela estabelecida no secundrio
A fmm lquida agindo no ncleo , portanto, nula, de acordo com a
suposio de que a corrente de excitao ideal nula. Assim, deduzse que
2
1
2
1
NN
II =
Pode-se assim concluir que um transformador ideal transforma as
correntes na razo inversa do nmero de espiras nos respectivos
enrolamentos. O transformador ideal no exibe perdas, nem tampouco requer
potncia reativa para magnetizao do seu ncleo, portanto a potncia de
entrada no seu enrolamento primrio transferida integralmente para o
Captulo 3 Sistema Por Unidade
14
secundrio. Se as relaes de tenso e de corrente obtidas anteriormente so
combinadas, temos que:
Figura 3 - Circuito equivalente do trafo ideal em carga
Conclui-se portanto que, num transformador ideal, a potncia no
primrio iguala-se potncia no secundrio.
2211 IVIV =O circuito equivalente do transformador real apresentado na Figura 4
obtido a partir do modelo definido para o transformador ideal acrescentando-se
ao mesmo os efeitos da resistncia e da disperso dos enrolamentos, bem
como as exigncias de potncia do ncleo.
Figura 4 - Circuito equivalente de um transformador real
O circuito equivalente dos transformadores reais apresentado Figura 4,
tem os seguintes parmetros:
R1 - resistncia do enrolamento primrio
R2 - resistncia do enrolamento secundrio
X1 - reatncia de disperso do enrolamento primrio
Captulo 3 Sistema Por Unidade
15
X2 - reatncia de disperso do enrolamento secundrio
Bm - susceptncia de magnetizao
Gp condutncia de perdas.
Na Figura 4 esto tambm indicados as seguintes grandezas: I1 -
corrente do enrolamento primrio , I2 - corrente do enrolamento secundrio, I0 -
corrente de excitao , V1 - tenso aplicada ao terminais do enrolamento pri-
mrio e V2 - tenso aplicada nos terminais do secundrio.
No caso dos transformadores de potncia para cada um dos enro-
lamentos ou circuitos devemos escolher bases convenientes para evitar termos
que referir grandezas de um circuito para outro.
A escolha destas bases realizada de acordo com as seguintes
recomendaes:
a) Todos os circuitos tm que ter a mesma potncia base em VA,
isto :
B2B1 SS =onde:
SB1 - Potncia base do enrolamento ou circuito primrio,
SB2 - Potncia base do enrolamento ou circuito secundrio.
b) Todos os circuitos tm que ter a mesma base de fora magnto-
motriz:
B22B11 ININ =onde:
IB1 - Corrente base do enrolamento ou circuito primrio,
IB2 - Corrente base do enrolamento ou circuito secundrio.
A segunda recomendao pode ser reescrita da seguinte forma:
Captulo 3 Sistema Por Unidade
16
1B2
B1
NN
II 2=
Como:
B2B1 SS =
B2B2B1B1 IV3 IV3 =Portanto, podemos combinar as duas recomendaes a partir das
seguintes equaes:
2
1
B1
B2
B2
B1
NN
II
VV ==
Escolhendo os valores base a partir das especificaes anteriores para
o transformador ideal, podemos exprimir a corrente no enrolamento primrio
em pu, pela seguinte equao:
B2
2
B2
2
11
1
B22
1
1B
1
1PU II
ININ
NIN
IIII ====
Mas como:
B2
22PU I
II =
Conclumos que, as correntes primrias e secundrias em pu so
iguais.
2PU1PU II =Procedendo de maneira similar, para a tenso no enrolamento primrio
do trafo ideal, obtemos:
Captulo 3 Sistema Por Unidade
17
B2
2
B2
112
2B21
1
B1
1
1PU VE
VNEN
NVNE
VEE ====
Mas como:
B2
22PU V
EE =
Conclumos que, as tenses primrias e secundrias em pu so iguais.
2PU1PU EE =Para as impedncias, temos que:
B1
2B1
1
B1
11pu
SVZ
ZZZ ==
B2
2B2
2
B2
22pu
SVZ
ZZ Z ==
Referindo Z1 para o lado de BT, usando a relao de transformao,
tem-se:
1
2
B1
B22 Z
VV Z
=
Substituindo na equao anteriormente obtida, encontra-se:
1pu
B2
2B1
1
B2
2B2
1
2
B1
B22pu Z
SVZ
SVZ
VV Z ==
=
2PU1PUTPU Z ZZ ==
Captulo 3 Sistema Por Unidade
18
Examinando as equaes obtidas para as tenses, correntes e
impedncias em pu verifica-se que a necessidade de se referir impedncias
deixa de existir pois em pu o trafo ideal passa a ter uma relao de
transformao de 1:1 tornando-se dispensvel sua representao no circuito
equivalente do trafo real.
Figura 5 - Circuito equivalente do trafo em pu
A Figura 5 apresenta o circuito equivalente em pu para o trafo real. Em
transformadores de potncia com potncia maiores que 1 MVA usual se
desprezar a corrente de excitao e o prprio ramo de magnetizao do
circuito equivalente do trafo real pois esta corrente da ordem de 1 a 2 % da
corrente nominal. A Figura 6 mostra o circuito equivalente em pu para um trafo
real desprezando o ramo de magnetizao.
Figura 6 - Circuito Equivalente de um Transformador em pu
Do circuito equivalente em pu apresentado na Figura 6 para o
transformador real temos:
pu RRR 21EQ +=
Captulo 3 Sistema Por Unidade
19
pu XXX 21EQ +=
Figura 7 - Circuito trafo em pu sem o ramo de magnetizao
Finalmente, para transformadores de potncia de alguns MVA em
diante, as resistncias dos enrolamentos so muito pequenas quando compa-
radas com as reatncias de curto circuito, sendo razovel nessas condies
assumir que a impedncia do transformador puramente reativa e utilizar o
circuito equivalente apresentado na Figura 8.
Figura 8 - Circuito equivalente reduzido em pu
A Tabela 1 mostrada abaixo apresenta valores tpicos da impedncia
de curto circuito de transformador de dois enrolamentos separados.
Tabela 1 - VALORES TPICOS DE IMPEDNCIA DE TRANSFORMADORESPOTNCIA NOMINAL DOTRANSFORMADOR DE
POTNCIA (KVA)
IMPEDNCIA DOTRANSFORMADOR DE
POTNCIA EM %P < 630 4,0
630 < P < 1250 5,01250 < P < 3150 6,03150 < P < 6300 7,06300 < P < 12500 8,0
12500 < P < 25000 10,025000 < P < 200.000 12,8
Captulo 3 Sistema Por Unidade
20
EXEMPLO 4 :
Para um transformador trifsico de 2 MVA, 69/230 kV, Dyn1 com impedncia
de 5%, determine o valor desta impedncia no lado de alta tenso (AT) e no
lado de baixa tenso (BT).
Soluo:
a) Impedncia no lado de BT
( ) 119,0310210690,05 Z ZZ
6
23
BASEBTPUBT ===
b) Impedncia no lado de AT
( ) 132310210230,05 ZZZZ
6
23
ATBASEATTPUAT ===
7. VANTAGENS DE UTILIZAO DO SISTEMA PU
Em problemas envolvendo sistemas eltricos, a utilizao dos valores
por unidade produz inmeras vantagens, as mais significativas esto
apresentadas a seguir:
A simplificao dos clculos, especialmente para sistemascomplexos, formados por muitos transformadores, pois no
haver necessidade de promover a transferncia ou referir
impedncias de um lado para outro desses transformadores, fato
que, no clculo tradicional, torna o procedimento enfadonho e
sujeito a erros;
As impedncias dos transformadores e mquinas eltricas domesmo tipo e de valores nominais de tenso e potncia muito
diferentes, situam-se numa faixa relativamente estreita. Ficando
complexo fazer a anlise a partir dos seus valores hmicos, pois
Captulo 3 Sistema Por Unidade
21
estes variam em faixas muito amplas, impedindo se verificar se
foi cometido algum engano nos parmetros de um dado
equipamento, como tambm estimar valores razoavelmente
corretos quando no se conhece os parmetros de um dado
equipamento;
Em um transformador, o valor da impedncia em pu no lado debaixa ou de alta tenso o mesmo, ou seja, a impedncia pu do
transformador a mesma, independente do fato de ter sido obtido
a partir dos valores hmicos referidos nos lados de AT ou de BT
do transformador. Assim, apresenta-se um s valor na placa do
transformador, evitando apresentar dois valores em ohms.
8. BIBLIOGRAFIA
[ 1 ] Kinderman, G. - Curto Circuito
[ 2 ] Robba, E. J. Introduo a Sistemas de Potncia
[ 3 ] Stevenson, W. D. Elementos de Analise de Sistemas de Potncia
[ 4 ] Fitzgerald, A. E. - Mquinas Eltricas
[ 5 ] Elgerd, Olle Introduo Teoria de Sistemas de Energia Eltrica
[ 6 ] Barthold, L. O. Anlise de Circuitos de Sistemas de Potncia
[ 7 ] Weedy, A. - Sistemas Eltricos de Potncia.