Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 1 Metoda sila rekapitulacija teorije Stepen statike neodreenosti odreujemo kao ( ) 2o u s kn z z z z k = + + + , gdje su o u s kz z z z m + + + + - broj nepoznatih reakcija oslonaca, reakcija ukljetenja, aksijalnihsila u tapovima i momenata savijanja na krajevima tapova, 2k m + - broj uslova ravnotee vorova sistema. Osnovni sistem dobijamo kada iz SNN-a uklonimon elemenata ije smo reakcijeveza (promiljeno) usvojilizastatikineodreeneveliine.Osnovnisistemmorabitistatikiodreen,apoeljnojedabude lagan za rjeavanje.Stepenspoljanjestatikeneodreenosti( 2 ) 3s o u z pn z z z z = + + istepenunutranjestatike neodreenosti( ) (2 3)u s kn z z k = + definiukolikojemogudeuklonitispoljanjihiliunutranjih elemenata,alinamnedajutaanpodataktadausvojimozastatikineodreeneveliine(neophodnoje razmisliti,potounutranjustatikupreodreenostmoemonadoknaditispoljanjimvezama,aspoljanju neodreenostsmanjitiuklanjanjemunutranjihveza).Usvajanjespoljanjihstatikineodreenihveliinaje estojednostavnijejerjereakcijavezespoljanjegelementajednasila(reakcijaosloncailiukljetenja)a unutranjegsudvijepresjenesile.Meutim,ukidanjemunutranjihvezaestomoemodobitiravnoteni sistemsilanajednojkrutojploitonampojednostavljujepostupakrjeavanja,takodajetekodati generalnu preporuku u vezi usvajanja spoljanjih ili unutranjih statiki neodreenih. Stepen statike neodreenosti n predstavlja i stepen kinematike stabilnosti posmatranog nosaa, tj. 'viak'uslovakompatibilnostiuodnosunabrojnepoznatihkomponentalnihpomjeranjavorovasistema * *,i iu v . Taj 'viak' jednaina demo iskoristiti za odreivanje n neodreenih statikih veliina. Princip linearne superpozicije piemo kao 0 1 1 2 2 01...nn n i iiZ Z Z X Z X Z X Z Z X== + + + + = +. Pomoduovogprincipabilokojiuticajustatikineodreenomnosaujeizraenkaozbir(n+1)-oguticajau osnovnom sistemu:- usljed spoljanjeg opteredenja (0Z ) i- usljed djelovanja statiki neodreenih1iX =(iZ ) pomnoenih sa stvarnim vrijednostima iX . Generalisano pomjeranje odreujemo principom virtuelnih sila kao T T j jjS SMM NN TT tk ds M N t ds C cEI EF GF ho o o| | A | |= + + + + ||\ .\ .} }, gdjenadvueneveliinepredstavljajuuticajeusistemuusljedgeneralisanesile,anenadvuenesuuticajiu sistemu usljed spoljanjeg opteredenja koje izaziva traeno generalisano pomjeranje. Generalisanapomjeranjakojatraimoodgovarajuusvojenimstatikineodreenimveliinama,a njihova vrijednost je jednaka nuli (jer su to pomjeranja koja odgovaraju krutoj vezi dakle, ne postoje).Tako formiranjem uslova kompatibilnosti za ova pomjeranja dobijamo uslovne jednaine metode sila: 11 12 1 1 1021 22 2 2 2001 2 00nnn n mn n nXXDXXo o o oo o o ooo o o o ((( ((( (((+ = + = ((( ((( , gdjejeDmatricapomjeranja(fleksibilnosti),Xvektorstatikineodreenihveliinaao vektorslobodnih lanova. Opti lan matrice fleksibilnosti iko predstavlja pomjeranje na mjestui usljed dejstva jedinine sile na mjestu k i raunamo ga kao i k i k i kikSM M N N TTk dsEI EF GFo| |= + + |\ .} Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 2 gdjesu,i i iMN iT uticajiuosnovnomsistemuusljeddejstvastatikineodreene1iX = a,k k kMN iTuticajiuosnovnomsistemuusljeddejstvastatikineodreene1kX = .Matricafleksibilnostijesimetrina, tj. opti lan matrice fleksibilnosti iko(pored opisanog) predstavlja i pomjeranje na mjestu k usljed dejstva jedinine sile na mjestu i. Vektor slobodnih lanova u optem sluaju se sastoji od etiri lana 0 opt t cto o o o oA= + + +koje raunamo kao 0 0 0 i i ii optSM M N N TTk dsEI EF GFo| |= + + |\ .} i Ti tSN t ds o o= } i t i TStM dsho oAA= } i c ji jj C c o = gdjesu,i i iMN iT (kaoikodmatricefleksibilnosti)uticajiuosnovnomsistemuusljeddejstvastatiki neodreene1iX =a 0 0 0, MN iTuticaji u osnovnom sistemu usljed dejstva spoljanjih sila; jiCje reakcija osloncajuosnovnomsistemuusljeddejstvastatikineodreene1iX = ,a,jt t i cA suzadani temperaturni uticaji i pomjeranja oslonaca. Rjeavanjem uslovnih jednaina dobijamo stvarne vrijednosti statiki neodreenih veliina, a potom primjenom principa linearne superpozicije dobijamo stvarne uticaje u nosau. Napomena Potosulanovimatricefleksibilnostiivektoraslobodnihlanovaveomamaleveliine(jersuto pomjeranjaiobrtanja),obinoihuzadacimamnoimosanekomreferentnom(usvojenom)krutoduna savijanje cEI , te dobijamo redukovane veliine *' '' '''cik c ik i k i k i kc S S SIEI M M ds N N ds TT dsFo o = = + +} } } *0 0' '' '''cc i k i k i k c i T c i T c ji jj c S S S S SI tEI M M ds N N ds TT ds EI N t ds EI M ds EI C cF ho o o oA= = + + + + } } } } } gdje smo cIdsI zamijenili sa' ds , cFdsF sa'' dsi cEIkGF sa''' ds . Uvrtavajudi ih u uslovne jednaine dobijamo 000 /0c c cEI D X EI EID Xoo + = + = Daklevrijednostistatikineodreenihkojedobijamonaovajnainsujednakeonimdobijenimbez redukovanja.Olakicakojudobijamoredukovanjemjeutometoimamorelativnozgodnebrojeveteje manjaansadanastanegrekausljedzaokruivanja.Dakle,napoetkuzadatkaodmahodredimo redukovaneduine ' cik ikikIl lI= i ''cik ikikFl lF= (uticajtransverzalnihsilademouvijekzanemarivati),teu postupkunumerikeintegracijekoristimoovakodefinisaneduinetapova.Obratitipanjudaprilikom redukovanja slobodni lanovi usljed temperaturnih uticaja zadravaju stvarnu duinu. Prednostmetodesila(uodnosunapriblinumetodudeformacije)jejednostavanalgoritama nedostatak je sloboda koju imamo pri izboru osnovnog sistema. Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 3 Zadatak Za nosa na skici: 1) metodom sila (zanemarujudi uticaj normalnih i transverzalnih sila na deformaciju) sraunati sile u presjecima usljed:) zadatog opteredenja, (0); b) temperaturne razlike du poteza tapova 1-2-3-4, t=20o , (t); c) pomjeranja oznaenih oslonaca, (c).

2) usljed zadatog opteredenja odrediti ugibe taaka 1 i 2. 3)odreditiuticajnulinijuzaugibtake2akosejedininasilakrededupotezatapova1-2-3-4,[v2]. b=0.5 mhc=1.2 mt= 10-5 1/ oCE= 30 GPa

1)sile u presjecima Osnovni sistem: 12.00 Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 4 Redukovane duine: Dijagramimomenatausljedjedininihsilanamjestustatikihneodreenihveliina,uosnovnom sistemu: Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 5 a)Optereenje: Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 6

D-matrica fleksibilnosti X-vektor statiki neodreenih veliina

121.166 Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 7 b)Temperaturna razlika t = tu t0 > 0 = 432 [kNm2] Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 8 c)Pomjeranje oslonaca Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 9

Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 10 2) Odreivanje ugiba taaka 1 i 2 Generalisana pomjeranja statiki neodreenih nosaa odreujemo principom virtuelnih sila, pri emu jedininu virtuelnu sili zadajemo u osnovnom sistemu nosaa. v1 = ?

v2 = ? Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 11 3) Odreivanje uticajne linije za ugib take 2 Uticajnulinijuzakinematikeveliine,statikiodreenogineodreenognosaa,odreujemona osnovuMaxwell-ovogstavaouzajamnostipomjeranja(Generalisanopomjeranjenamjestum usljedjedininegeneralisanesilePnjednakojegeneralisanompomjeranjunamjestunusljed jedinine generalisane sile Pm). Uticajnulinijuzaugibtake2odredidemokaodijagramiugibasistemausljedjedininevertikalne sile koja djeluje u voru 2. Fiktivni nosa: 12.00