Upload
ngothu
View
243
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Metoda cineto-statică de rezolvare a problemelor de dinamica sistemelor
Metoda cineto-statică este o metodă de rezolvare a problemelor de
dinamica sistemelor în care se aplică principiul lui d’Alembert:
„În cazul unui sistem mecanic în mişcare, torsorul în centrul de
masă al forţelor de inerţie echilibrează dinamic torsorul în centrul de
masă al forţelor date şi de legătură ce acţioneză asupra fiecărui
element
iG
iG
( )( 1,2 )iS i n= K din sistem”.
0( 1,2
0
⎧ + =⎪ =⎨⎪ + =⎩
Ki i
ini i
inG G
F Fi
M M)n (1)
Relaţiile de mai sus reprezintă ecuaţiile vectoriale de echilibru
dinamic ale lui d’Alembert corespunzătoare fiecărui element
izolat din sistem. ( )( 1,2 )iS i n= K
Ecuaţiile vectoriale (1) sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare în
cazul sistemelor de forţe coplanare şi cu 6 ecuaţii scalare în cazul
sistemelor de forţe spaţiale.
Aplicarea principiului lui d’Alembert tuturor elementelor unui sistem,
conduce la obţinerea a 3 ecuaţii scalare în cazul sistemelor de forşe
coplanare, respectiv 6 ecuaţii scalare în cazul sistemelor de forţe
spaţiale.
nn
Prin această metodă, o problemă de dinamică se reduce la
scrierea unor ecuaţii de echilibru (ecuaţii de proiecţii de forţe şi de
momente) asemănătoare celor din statică. Din acest motiv, ecuaţiile (1)
1
se mai numesc ecuaţii vectoriale de echilibru cinetostatic.
În rezolvarea problemelor de dinamica sistemelor de puncte materiale şi
solide rigide se parcurg următoarele etape:
I. Se izolează, pe rând, fiecare corp din sistem ( se eliberează de
legături) şi se figurează:
- forţele date,
- reacţiunile din legături (forţe şi momente),
- elementele torsorului de reducere în centrul de masă al
forţelor de inerţie.
II. Se scriu ecuaţiile scalare ale lui d’Alembert ( ecuaţiile scalare de
echilibru cinetostatic) pentru fiecare corp în parte. În final se vor obţine 3
ecuaţii în cazul unui sistem mecanic plan format din corpuri şi 6
ecuaţii în cazul unui sistem mecanic spaţial cu acelaşi număr de
corpuri.
n nn
III. Se stabilesc relaţiile între acceleraţiile corpurilor (parametrii
cinematici de ordinul II).
IV. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice care conţine ecuaţiile
lui d’Alembert şi relaţiile între parametrii cinematici ai elementelor
sistemului.
Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii astfel obţinut se determină, în
principal, parametrii cinematici ai mişcării (eventual parametrii de poziţie)
şi reacţiunile din legături (forţe şi momente).
Metoda cinetostatică în rezolvarea problemelor de dinamică a sistemelor mecanice plane.
Un sistem mecanic de corpuri este plan atunci când asupra lui
acţionează un sistem coplanar de forţe).
2
În cazul unui sistem mecanic plan există trei posibilităţi de mişcare
a elementelor sale:
- translaţia, viteza instantanee v indică sensul de deplasare al
corpului,
- rotaţia, viteza unghiulară ω indică sensul de rotaţie al corpului,
- plan-paralelă, viteza instantanee Gv indică sensul de deplasare
al centrului de masă şi viteza unghiulatră ω indică
sensul de rotaţie al corpului.
În ipoteza mişcărilor accelerate ale corpurilor, acceleraţiile au
următoarele orientări în raport cu vitezele corpurilor:
- în mişcarea de translaţie, acceleraţia a este coliniară şi de
acelaşi sens cu viteza v ,
- în mişcarea plan-paralelă, dacă centrul de masă are o mişcare
rectilinie, atunci acceleraţia Ga este coliniară şi de acelaşi sens
cu viteza Gv ,
- În mişcarea de rotaţie în jurul unui centru de rotaţie permanent
sau instantaneu, acceleraţia unghiulară ε este coliniară şi de
acelaşi sens cu viteza unghiulară ω .
Torsorul de reducere în centrul de masă al forţelor de inerţie este
format din :
- Forţa de inerţie, ( )in
F N , coliniară şi de sens contrar cu
acceleraţia Ga a centrului de masă:
= − G
inF M a (2)
unde M (kg) este masa corpului.
3
- Momentul forţelor de inerţie sau cuplul de inerţie ( )in
M Nm ,
coliniar şi de sens contrar cu acceleraţia unghiulară ε :
in
M Jε= − (3)
unde 2( )J kgm este momentul de inerţie mecanic al corpului faţă de
centrul de rotaţie.
În ipoteza că un sistem mecanic plan porneşte din repaus, sub
acţiunea greutaţilor proprii ale corpurilor, acestea au mişcări accelerate.
Rezultă că:
- forţele de inerţie au sens contrar deplasării rectilinii a centrelor
de masă,
- momentele forţelor de inerţie (cuplurile de inerţie ) au sens
contrar rotaţiei elementelor.
* * *
Un sistem mecanic prezintă două tipuri de legături:
- exterioare: legăturile dintre corpuri care aparţin sistemului şi
corpuri care nu aparţine sistemului,
- interioare: legăturile dintre corpurile din sistem.
Într-o legătură interioară, forţele şi cuplurile de legătură se
anulează, ele fiind egale şi de sens contrar.
Conform axiomei legăturilor, eliberarea corpurilor de legături
înseamnă înlocuirea acestora cu forţe şi cupluri de legătură, operaţie ce
se efectuează în etapa I-a de rezolvare a problemei.
Se consideră necesară o prezentare succintă a forţelor şi cuplurilor
de legătură corespunzătoare celor patru tipuri de legături fundamentale:
4
1. reazemul simplu;
2. articulaţia (plană);
3. legătura prin fir şi tijă rigidă;
4. încastrarea (plană).
Încastrarea nu este legătură interioară, deoarece prin imobilizarea
totală a unui corp în alt corp este suprimată orice posibilitate de mişcare
relativă între cele două corpuri, acestea fiind deci considerate un singur
corp.
Fig. 1.
În figura 1, se prezintă un sistem mecanic plan care porneşte din
repaus fiind antrenat de corpul (1) care alunecă pe planul înclinat sub
acţiunea greutăţii proprii.
5
Fig. 2.
În figura 2, acelaşi sistem este eliberat de legături şi în locul lor
sunt figurate forţele şi cuplurile de forţe corespunzătoare.
10 Reazemul simplu este legătura prin care suprafeţele a două
corpuri au în permanenţă un punct comun, numit punct teoretic de
rezemare.
Reazemul simplu (cu alunecare), dintre corpul (1) şi planul înclinat
este o legătură exterioară. Reacţiunea din legătură are două
componente:
1N , reacţiunea normală, perpendiculară pe suprafaţa de sprijin, cu
sensul spre desfacerea legăturii, de mărime necunoscută;
1fF , forţa de frecare la alunecare, orientată pe direcţia de
6
alunecare (perpendiculară pe 1N ), de sens contrar sensului de
deplasare a corpului care execută o translaţie rectilinie. Mărimea acestei
forţe se determină în funcţie de mărimea reacţiunii normale 1N şi de
coeficientul de frecare la alunecare μ , conform legii de frecare a lui
Coulomb,
1 11f vN iμ= −F 1 1fF N= μ (4)
1vi fiind versorul vitezei de alunecare v . 1
Acest reazem introduce o necunoscută în problemă.
Reazemul simplu între discul (4) şi suprafaţa orizontală pe care
acesta se rostogoleşte fără alunecare (rostogolire pură) este o legătură
exterioară. este punctul teoretic de rezemare, cunoscut din
Cinematică sub numele de centrul instantaneu de rotaţie.
I
Torsorul în I al reacţiunilor reazemului cu rostogolire pură
cuprinde:
Forţa de legătură cu două componente:
2N , reacţiunea normală, perpendiculară în la suprafaţa de
rezemare, cu sensul spre desfacerea legăturii (sensul în care
discul poate părăsi suprafaţa orizontală), de mărime
necunoscută;
I
T , reacţiunea tangenţială, orientată după tangenta în la disc,
mărimea şi sensul, necunoscute; în problemă se atribuie un
sens arbitrar, urmând ca după rezolvarea problemei să se
strabilească sensul real.
I
Cuplul de legătură:
7
rM , momentul de frecare la rostogolire, coliniar şi de sens contrar
cu viteza unghiulară de rostogolire a discului, cu mărimea
determinată în funcţie de mărimea reacţiunii normale 2N şi
coeficientul de frecare la rostogolire : ( )s m
2rM sN= ; 42rM sN iω= − (5)
În figura 2, momentul de frecare la rostogolire rM este figurat
printr-o săgeată curbilinie în jurul punctului teoretic de contact , cu
sensul arbitrar sugerând sensul proiecţiei lui pe axa perpendiculară
pe planul sistemului.
IOz
Reazemul de rostogolire pură introduce în problema de dinamică
două necunoscute:
- mărimea sau modulul reacţiunii normale 2N ;
- valoarea scalară a componentei tangenţiale T .
20. Articulaţia plană sau cilindrică, se realizează prin ansamblul
bolţ-cavitate cilindrică, când asupra corpului acţionează un sistem de
forţe coplanare. Dacă articulaţia se consideră cu frecare neglijabilă,
conform axiomei legăturilor, ea se va înlocui cu reacţiunea
perpendiculară pe axa de rotaţie de mărime şi orientare necunoscute.
Din acest motiv articulaţia plană introduce două necunoscute în
problema de dinamică, acestea fiind cele două componente cu sensurile
arbitrare pe cele două axe normale la axa de rotaţie (Ox şi -
situate în planul sistemului),
Oz Oy
R H V= + ; R H i V= + j (6)
8
Articulaţia O permite discului (2) să execute o mişcare de rotaţie;
este o legătură exterioară.
Reacţiunea din articulaţie are două componente 1H şi 1V ,
perpendiculare între ele, cu sensurile arbitrare, de mărime necunoscută.
Articulaţia introduce două necunoscute scalare în problemă. O
Articulaţia 1O este o legătură interioară, între corpurile (3) şi (5).
Componentele reacţiunii sunt 2H şi 2V , trasate cu sensurile arbitrare la
corpul (3) şi cu sensurile inverse la corpul (5).
Articulaţia introduce două necunoscute scalare în problema de
dinamică.
1O
30. Legătura prin fir este o legătură ideală, prin care un corp este
prins de alt corp, firul fiind flexibil şi inextensibil. Forţa de legătură se
numeşte tensiunea în fir, deoarece firul trebuie să fie perfect întins
(tensionat) pentru a realiza legătura dintre două copuri.
Tensiunea în fir, T , este orientată după direcţia firului, punctul de
aplicaţie este punctul de prindere de corp, sensul este spre punctul de
ancorare de celălalt corp iar mărimea este o necunoscută a problemei de
dinamică.
În exemplul luat există trei legături prin fir, toate fiind legături
interioare.
Între corpurile (1) – (2) se figurează tensiunile ( 1T , 1T− ), egale şi
de sensuri contrare.
Între corpurile (2) – (3) se figurează tensiunile ( 2T , 2T− ), egale şi
de sensuri contrare.
Între corpurile (3) – (4) se figurează tensiunile ( 3T , 3T− ), egale şi
de sensuri contrare.
Fiecare legătură interioară prin fir introduce în problema de
9
dinamică, o necunoscută.
La nivelul întregului sistem vor trebui determinate mărimile a trei
tensiuni: , şi . 1T 2T 3T
40. Încastrarea plană este legătura prin care un corp este fixat în alt
corp, fără nici o posibilitate de mişcare faţă de acesta.
Bara 1O O2 este încastrată în , considerat punct teoretic de
încastrare.
2O
Forţa de legătură (reacţiunea rezultantă) are două componente
ortogonale 3H şi 3V , cu sensurile arbitarre, de mărimi necunoscute.
Cuplul rezultant de legătură este momentul de încastrare iM ,
perpendicular pe planul sistemului, cu mărimea şi sensul, necunoscute.
În fig. 2, momentul de încastrare este evidenţiat printr-o săgeată
curbilinie al cărui sens, luat arbitrar, sugerează sensul momentului pe
axa , perpendiculară pe planul sistemului. Încastrarea plană
introduce trei necunoscute scalare în problema de dinamică.
Oz
În concluzie, necunoscutele datorate legăturilor interioare şi
exterioare ale sistemului prezentat în fig. 1, sunt în număr de 13, din care
8 sunt necunosutele scalare. Aceste 8 necunoscute scalare ( reacţiunile
din articulaţii, încastrare, componenta tangenţială la rostogolirea pură) au
fost luate iniţial cu sensurile arbitrare, urmând să se stabilească
sensurile reale după rezolvarea problemei de dinamică.
Problema 1.
Se consideră sistemul mecanic plan din fig. 1, format din
următoarele elemente:
(1), corp de greutate ce se deplasează sub acţiunea greutăţii
proprii pe un plan înclinat cu unghiul
1P
α faţă de orizontală, μ -
10
fiind coeficientul de frecare la alunecare, între corp şi planul
înclinat;
(2), disc de rază 2r r= şi greutate care se poate roti în jurul
articulaţiei ;
2P
O(3), corp format din două discuri concentrice, solidare între ele, de
raze şi de greutate fiind momentul de inerţie
mecanic al corpului faţă de articulaţia în jurul căreia acesta
se roteşte;
,r R 3 ,P J
1O
(4), disc de rază 4r r= şi greutate , care se rostogoleşte fără
alunecare pe o suprafaţă orizontală, fiind coeficientul de
frecare la rostogolire;
4P
s
(5), bara de lungime 2 l şi greutate , încastrată în , în
poziţie verticală.
1O O2 5P 2O
În ipoteza că sistemul porneşte din repaos sub acţiunea greutăţii
proprii a elementului (1) şi corpurile din sistem sunt omogene, să se
determine acceleraţiile corpurilor şi reacţiunile (forţe şi momente) din
legături.
Rezolvare:
I. Se separă corpurile din sistem şi se figurează:
- forţele exterioare date,
- reacţiunile (forţe, momente) din legături,
- elementele torsorului forţelor de inerţie.
Tabelul 1, cuprinde date utilizate în rezolvarea problemei iar în fig.
3,sunt plasate toate forţele şi cuplurile de forţe ce acţionează asupra
fiecărui element în parte.
11
În cazul corpurilor care prezintă legături interioare, reacţiunile din
aceste legături se reprezintă prin vectori de mărimi egale şi sensuri
contrare.
Tabelul 1.
Parametrii cinematici
Ele-
mentul
Tipul
mişcării de ord. I
de ord. II
Elementele torsorului
forţelor de inerţie
(1)
Translaţie
rectilinie
1v , viteza
instantanee
1a , acceleraţia
instantanee
11
1 11
inC
PF M ag
= − = − a
(2) Rotaţie în jurul
articulaţiei O
ω , viteza
unghiulară 2ε , acceleraţia
unghiulară 2 2
22
2 2 2in P rM J
gε ε= − = −
(3)
Rotaţie în jurul
articulaţiei 1O3ω , viteza
unghiulară
3ε , acceleraţia
unghiulară
33 33
inM J Jε ε= − = −
(4)
Rostogolire
pură (plan
paralelă)
4 4 ,Gv v=
viteza lui 4G
4ω , viteza
unghiulară
4 4 ,Ga a=
acceleraţia lui
4G
4ε , acceleraţia
unghiulară
44
4 44
inG
PF M ag
= − = − a
4 4
24
4 4 2in P rM J
gε ε= − = −
(5) - - - -
12
Fig. 3
II. Se scriu ecuaţiile scalare ale lui d'Alembert (de echilibru
cinetostatic) pentru fiecare corp în parte.
Pentru fiecare corp din sistem se pot scrie cel mult trei ecuaţii
scalare:
- Primele două ecuaţii scalare conţin proiecţiile forţelor, ce
acţionează asupra corpului respectiv, pe un sistem ortogonal de
axe, de versori i şi j , ales în mod convenabil; spre exemplu,
în cazul corpului (1), situal pe planul înclinat, este avantajos să
se considere un versor ( i ) orientat după direcţia planului
înclinat şi celălalt versor ( j ), perpendicular pe planul înclinat.
13
- A treia ecuaţie scalară conţine proiecţiile momentelor forţelor pe
a treia axă, perpendiculară pe planul sistemului.
Există situaţii când numărul ecuaţiilor corespunzătoare unui
element este mai mic de trei; spre exemplu, pentru corpul (1) se scriu
numai două ecuaţii, proiecţii de forţe.
Ecuaţiile scalare ale lui d'Alembert:
1 1). 1
1 1 1 1 1 sin 0P a T N Pg
μ α+ + − =
2). 1 1 cos 0N P α− =
2 3). 1 2 1 cos 0H T T α+ − =
4). 1 2 1 sin 0V P T α− − =
5). 2
21 2 2 0
2P rT r T r
gε− − =
3 6). 2 3 2 0H T T+ − =
7). 3 0V P− =
8). 2 3 3 0T R T r Jε− − =
4 9). 4
4 3 0P a T Tg
− + − =
10). 4 2 0P N− + =
11). 2
43 2 0
2P rT r Tr sN
gε+ − − =4
P− − =
5 12). 3 2 0H H− =
13). V V 3 2 4 0
14
14).
Ne ute ză în acest sistem sunt:
ˆ22 0ilH M+ =
cunosc le problemei care figurea
1 2 3 4 4, , , ,a a .ε ε ε acceleraţiile corpurilor:
reacţiunile din legături:
- mărimi necunoscute: N1 1 2 3 2, , , , ,T T T N
ala .- nerecunoscute sc re: ˆ1 1 2 2 3 3, , , , , , , iH V H V T H V M
În total sunt 18 necunoscute.
Mai sunt necesare 4 ecuaţii pentru a obţine un sistem în care
numărul necunoscutelor să fie egal cu numărul ecuaţiilor. Astfel se trece
d ́Alembert se adaugă
la etapa următoare.
III. La sistemul format din ecuaţiile lui
relaţiile între acceleraţiile corpurilor.
Obţinerea relaţiilor existente între acceleraţiile corpurilor presupune
în prealabil, stabilirea relaţiilor existente între vitezele corpurilor (metodă
avantajoas
ă, vectorii viteză se stabilesc mai uşor, ei indicând sensul de
mişca
ză necesari în rezolvarea
problemei. Se pot scrie următoarele relaţii:
1 2 1 2
2 3 2 3
3 4 3 4
4 4
; ;
; ;
; ; 2 2
B B
C D C D
E F E F
v v v r v r
v v v r v R r R
v v v r v r
v r
re).
În fig. 1 sunt figuraţi vectorii vite
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω
= = ⇒ =
= = = ⇒ =
= = = ⇒ =
=
15
4 ecuaţii care se adaugă la sistemul de ecuaţii de echilibru
inetostatic:
15).
Prin derivarea în raport cu timpul a celor patru relaţii se obţin
următoarele
c
1 2a rε=
16). 2 3r Rε ε=
3 42ε ε= 17).
4 4a rε= 18).
IV. Rezolvarea sistemului algebric de 18 ecuaţii cu 18
necunoscute.
Precizări:
Necunoscutele scalare sunt forţele şi cuplurile din legături trasate
în eta
sensu rbitrar ales coincide cu cel real; exp. Din
ecuaţ
ensul a itrar ales este invers celui real; exp. Din
ecuaţ 14) se obţine
pa I-a a problemei cu sensurile arbitrare.
În cazul în care, pentru o necunoscută scalară se obţine o valoare
pozitivă, rezultă că l a
ia 7) se obţine 0V > .
În cazul în care, pentru o necunoscută scalară se obţine o valoare
negativă, rezultă că s rb
0iM <)ia .
roblema 2
P
c plan din fig. 4, format din
urmă
Se consideră sistemul mecani
toarele patru elemente omogene:
16
(1) corp de greutate , suspendat prin firul1P AB ,
Fig. 4
greutate , momentul de inerţie
mecanic faţă .
rizontală fiind
coeficientul de frecare la rostogolire,
ncastrată în ,
(2) troliu de raze ,r R şi 2 ,P J
de O
(3) Disc de rază 3r , greutate 3P , care se rostogoleşte fără
alunecare pe o direcţie (suprafaţă) o , ( )s m
(4) bara 1OO de lungime 3l şi greutate 4P , î 1O
înclinată cu unghiul α faţă de orizontală.
Sistemul porneşte din repaus, antrenat de corpul (1) care coboară
sub acţiunea greutăţii proprii.
17
Se cere să se determine reacţiunile din legături şi acceleraţiile
corpu m. rilor din siste
Rezolvare:
Se separă corpurile din sistem şi se figurează toate forţele
şi cuplurile care acţionează asupra lui.
I.
Fig. 5
În figura 5, sunt reprezentate toate forţele şi cuplurile: cele date,
ele din legături şi din torsorul forţelor de inerţie. c
18
Tabelul 2, conţine date utile în rezolvarea problemei:
Tabelul 2.
Parametrii cinematici Ele-m l
Tipul
de ord. I
Elementele torsorului forţelor de inerţie entu mişcării de ord. II
(1) translaţie
rectilinie 1v , viteza
instantanee
1a , acceleraţia
instantanee 1
11 11
inG
PF M ag
= − = − a
(2) rotaţiei în jurul
articulaţiei O 2ω , viteza 2
unghiulară
ε2 22 2
inM J Jε ε= − = − , acceleraţia
unghiulară
(3) rostogolire
pură (plan
paralelă
3 , v zav ite
instantanee
a lui 3G
3ω , viteza
unghiulară
3 , acceleraa ţia
instantanee a
lui 3G
3ε
33
3 33
inG
PF M a ag
= − = −
3 3
23 3
3 3 2in P rM J
gε ε= − = −
, acceleraţia
unghiulară
(4) - - - -
II. Ecuaţiile lui d'Alembert (de echilibru cinetostatic).
1 1). 1
1 1Tg 1 0P a P+ − =
2 2). − =
T− − =
T R J
2 0H T
3). V P2 1 0
4). T r2 1 2 0ε⋅ − ⋅ + =
3 5). 3
2 3 0PT T ag
− − =
6). 3 0N P− =
19
7). 2
3 33 3 0
2P rr T sN
gε− ⋅ − + =
4 8). 1 0H H− =
9). 1 4 0V P V− − =
10). ˆ 4cos 2 cos 2 sin 0iM l P l V l Hα α α− − + =
III. Stabilirea relaţiilor cinematice (între acceleraţii).
Se scriu mai întâi relaţiile dintre viteze, consultând figura 4, apoi
prin derivarea relaţiilor obţinute, rezultă relaţiile dintre acceleraţii.
1 2 1 2 1
3 2 3 2
3 3 3 3 3
; 1
; 1
13)
B B
C C
v v v R v R a R
v v v r v r a r
v r a r
2
3 2
3
1)
2)
ω ω ε
ω ω ε
ω ε
= = ⇒ = ⇒ =
= = ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
IV. Rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice
Sistemul este format din 13 ecuaţii: 10 ecuaţii d'Alembert şi 3
ecuaţii între parametrii cinematici de ord. II (acceleraţii).
Necunoscute:
- acceleraţiile corpurilor, 1 2 3, , ,a a 3ε ε ,
- reacţiunile din legături:
- pozitive: , 1 2, ,T T N
- scalare ˆ1 1, , , , , iH V T H V M .
În total sunt 13 necunoscute, număr egal cu cel al ecuaţiilor.
Analog, se rezolvă problemele de dinamică prezentate în
continuare, în care sistemele mecanice plane pornesc din repaus, sub
20
acţiunea greutăţilor proprii (corpurile efectuează mişcări accelerate).
Pentru determinarea acceleraţiilor corpurilor şi a reacţiunilor din legături
se vor parcurge cele patru etape de lucru.
Problema 3
Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 6.
Fig. 6
Date: (1) 1( );P N−
(2) 2 2( ), ( );r m P N−
(3) 3
23( ), ( ), ( ), ( );Gr m R m P N J J Kgm− =
(4) 4 4( ), ( ), ( ).r r m P m s m− =
21
Indicaţii:
I. În figura 7, sunt prezentate forţele şi cuplurile care
acţionează asupra fiecărui corp izolat din sistem.
Fig. 7
II. Ecuaţiile lui d'Alembert: se scriu 8 ecuaţii de echilibru
cinetostatic:
(1) - 1 ecuaţie: proiecţii de forţe;
22
(2) - 2 ecuaţii: 1 ecuaţie, proiecţii de forţe,
1 ecuaţie, proiecţii de momente.
(3) - 3 ecuaţii: 2 ecuaţii, proiecţii de forţe,
1 ecuaţie, proiecţii de momente.
(4) - 3 ecuaţii: 2 ecuaţii, proiecţii de forţe,
1 ecuaţie, proiecţii de momente.
III. Relaţii cinematice ce se vor adăuga ecuaţiilor lui
d'Alembert, se stabilesc consulţând figura 6:
1 2 1v v a a≡ ⇒ = 2
2
2 2 2 2 2v r a rω ε≡ ⇒ =
2 2 3 2 2 33
::2 ; 2B CB C
C
v vv vr R r R
v Rω ω ε
ω≡= ⎧
⇒ = ⇒ =⎨ =⎩ε
44 4 4
2:2 22 2
DD E
E
r rv rv vv r r
3 43
3 4
ω ωω =
3ω ω ε εω ω== ⎫
⎬ = ⇒ == = ⎭
4r
4 2 4 4 4 2;v r r aω ω ε= = ⇒ =
.
4.
IV. În concluzie, sistemul de 14 ecuaţii conţine 14 necunoscute:
8 reacţiuni din legături: 1 2 3 4, , , , , , ,T T T T H V N T
6 acceleraţii: 1 2 2 3 4, , , , ,a a aε ε ε
Problema 4
Sitemul mecanic plan este prezentat în figura 8.
23
Fig. 8
Date: (1) 1( ), , ;P N μ α−
(2) 2 2( ), ( );r m P N−
(3) 23( ), ( ), ( ), ( ) ( ), .r m R m P N J Kgm s m β−
Indicaţii:
I. În figura 9, sunt prezentate forţele şi cuplurile care acţionează
asupra fiecărui corp izolat din sistem.
24
Fig. 9
II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în umăr de opt.
III. Relaţii cinematice se stabilesc consultând figura 8:
11 2 2 1 2
2 2
;B
B
v vv r a r
v r 2ω εω
= ⎫⇒ = ⇒ =⎬= ⎭
2 2 2 2 3
3 2 2 3
: (:
( ) ( )
CC D
D
v r r r Rv v
v r R r r R
)ω ω ω
ω ε ε
= == ⎫⎪⎬⎪= + = +⎭
+
3r
3 3 3v r a= ω ε⇒ =
25
IV. Sistemul format din 11 ecuaţii conţine următoarele
necunoscute:
7 reacţiuni din legături: 1 2, , , , , ,N H V N T T T1 2
3.4 acceleraţii: 1 2 3, , ,a aε ε
Problema 5
Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 10, cu următoarele
date:
Fig. 10
(1) 1( ), , ;P N μ α−
(2) 2 2( ), ( , ) ( );r m R m P N−
(3) 3 3( ), ( ), ( ), ( ), .r m R m P N s m β
26
Indicaţii:
I. În figura 11, sunt prezentate forţele şi cuplurile care
acţionează asupra fiecărui corp izolat din sistem.
Fig. 11
II. Ecuaţiile lui d'Alembert (de echilibru cinetostatic) sunt în
număr de 8.
III. Relaţiile cinematice se stabilesc consultând figura 10:
Problema 6
Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 12, cu următoarele
date:
27
Fig. 12
(1) 1( ), ( ), ( ), ;r m P N s m α−
(2) 2 2 2( ), ( ), ( );r m R m P N−
(3) 3 3( ), ( ), ( );r m R m P N−
(4) 4 ( )P N .
Indicaţii:
I. În figura 13, sunt prezentate forţele şi cuplurile care acţionează
asupra fiecărui element izolat din sistem.
28
Fig. 13
II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în număr de nouă.
III. Relaţii cinematice se stabilesc consultând figura 12:
1
1 1 1v r a rω ε= ⇒ =
1 2 2 1 2 2 1;A Av v v R v R a R2 2ω ω ε= = ⇒ = ⇒ =
29
2 2 3 3 32 2
3 3 3 2 2 3 3 3
( );
( ) ( )
BB C
C
r r Rv rv v
v r R r r R
ω ωω
ω ε ε
= +== ⇒⎫⎪⎬⎪= + = +⎭
3r
3 3 3 3 3v r a= ω ε⇒ =
4a
3 4 3v v a= ⇒ =
3 4
.a
IV. Sistemul format din 14 ecuaţii conţine următoarele
necunoscute:
8 reacţiuni din legături: 1 1 2, , , , , , ,N T H V T T T T
6 acceleraţii: 1 1 2 3 3 4, , , , ,a aε ε ε
Problema 7
Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 14, cu următoarele
date:
Fig. 14
30
(1) 1( ), , ;P N μ α−
(2) 2( ), 2 , ;r m R r P− =
(3) 3 3 3( ), ( ), , ( ).r m R m P s m
Indicaţii:
I. În figura 15, sunt prezentate forţele şi cuplurile ce acţionează
asupra fiecărui corp izolat din sistem.
Fig. 15
II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în număr de opt.
III. Relaţii cinematice se stabilesc consultând figura 14:
1 1 2 1
2 2
2 ; 22
B
B
v v v r 2rv R r
aω εω ω
= = ⇒ =⎫⎬= = ⎭
31
2 2 3 3
2 3 33 3 3
; ( )( )( )
C D C
D
v v v r r R rr R rv R r
ω 3
3
ω ωε εω
= = = −⎫⎬ = −= − ⎭
3 3 3 3 3v r a 3r= ω ε⇒ =
1 2
3.
IV. Urmează să se rezolve un sistem format din 11 ecuaţii, cu
următoarele necunoscute:
7 reacţiuni: 1 2, , , , , ,N H V N T T T
4 acceleraţii: 1 2 3, , ,a aε ε
Problema 8
Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 16, cu următoarele
date:
Fig. 16
32
(1) 1( ), , ;P N μ α
(2) 2( ), 2 , ( );r m R r P N=
(3) 3 ( );P N
(4) 4 (P N ).
Indicaţii:
I. În figura 17, sunt prezentate forţele şi cuplurile care
acţionează asupra fiecărui element izolat din sistem.
II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în număr de opt.
III. Relaţiile cinematice între acceleraţii se stabilesc consultând
figura 16 unde sunt figuraţi vectorii viteză:
1 2 2 12 2v R r a 2rω ω ε= = ⇒ =
3
3
2 2 2
3 3 3 2
2;
2
CC D
D
v R rv v
v ID R r
ω ω ω ω
ω ω ω ε ε
= = == ⎫⎪⎬⎪= = = =⎭
sau:
2 32
3 3 2
: EE F
F
v rv v
v IF r 3
ω ωω
ω ω ε ε
⎫ ===⎧⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪= = =⎩ ⎭
3 3 3 3 32 2r rv IG a 3ω ω ε= = ⇒ =
33
34
Fig. 17
3 3 3
3 3 3
3? 2 3 ;2
3 ; .2 2
IG r R r r r r
r rIG r r r r IG
⎧= = + = ⇒ =⎪⎪⎨⎪ = − = − = =⎪⎩
2
4a a3 4 3v v= ⇒ =
IV. S uaţii are următoarele necunoscute:
legături: , , , .N H V T T T T
5 acceleraţii: .a
istemul format din 12 ec
7 reacţiuni din , 1 2 3 4, ,
1 2 3 3 4, , , ,a aε ε
35