Metoda e Bazuar Ne Fushen e Frekuencave

7/18/2019 Metoda e Bazuar Ne Fushen e Frekuencave

http://slidepdf.com/reader/full/metoda-e-bazuar-ne-fushen-e-frekuencave 1/15

Metodat e bazuar në fushën e frekuencave

(Seritë Kohore).Gentian Zavalani

1.

Hyrje

E përbashkët e metodave analizuese të dhënave është se të gjitha fillojn me një problem

shkencor/inxhinierik dhe përfundojn me një konkluzion shkencor/inxhinierik. Ndryshimiqendron në rendin dhe rëndësin e hapave të ndërmjetëm. Për metodat analizuese klasike rendi

është Problemi => Të dhënat => Modeli => Analizat => Konkluzionet . Kështu që në analizën

klasike të dhënave i imponohet një model dhe të gjitha analizat testues bazohen në parametrat e

këtij modeli. Ndryshe nga metodat klasike, rendi analizes në këtë detyrë do të jetë Problemi =>

Të dhënat =>Analizat => Modeli=> Konkluzionet .Qellimi i kësaj detyre është të tregoj se si

metodat analizuse në fushën e frekuencave mund të aplikohen duke filluar nga të dhënat e një

problem inxhinierik të caktuar deri në ato të dhëna "kritike" të cilat plotësojn disa supozime

tipkie që shoqerojn procesin e matjeve.

Disa nga këto supozime lidhen me:

a)

Të dhëna të jenë të rastit

b) Të dhëna vijn nga një shpërndarje e caktuar

c) me një shpërndarje që ka një "zonë1" te përcaktuar dhe

d)

shperndarja ka një variancë të caktuar

Nëse supozimet e mësipërme plotësohen, atëherë procesi është statistikisht i kontrollushëm, me

karakteristikë themelore "parashikueshmërinë".

Një model i përshtatshëm për një proces të kontrollushëm është:

i iY C E

1 zonë ka kuptimin tendence qendrore; përcaktimin e një vlere qendrore për shpërndarjen

probabiltare



Ku C është një konstante (komponentja deterministe), ndërsai

E lidhet me konponenten e rastit.

Konstantja C në pergjithësi është një vlerë mesatare e procesit, ajo ka një vlerë të fiksuar dhe

është e panjohur. Kështu objektivi primar i analizës së një inxhinieri është gjetja e vlerës së

konponentes detrministe C . Për vlerat e konstantes C dalloj katër raste:

1. A është Y treguesi më i mirë i vlerës së C ?

2. Nëse Y treguesi më i mirë për C , sa është gabimiY

S ? Ku formula për llogaritjen eY

S

ështëY

sS N

.

3. Nëse Y nuk është treguesi më i mirë i vlerës së C .Kush është treguesi më i mirë? (p.sh

mediana etje...)

4. Nëse është gjetur një vlerë e C së të cilën po e shënojm me C . Sa është gabimiC

S në

një rast të tillë?

Një detyrë tjetër që shtrohet në shumë analiza statistikore është gjetja e një parametri lokal2 për

shpërndarjen, pra gjetja e një vlere qendrore e cila përshkruan më së miri të dhënat.

1.

Kontrolli i "zonës" dhe variancës sigurojn informacion nëse C është në të vertetë

konstante.

2. Kontrolli mbi shpërndarjen tregojn nëse Y është treguesi më i mirë për C . Teknikat për

kontr ollin e shpërndarjes përfshijnë histogramën, grafikun e propabilitetit normal etj…

3. Kontrolli mbi rastësin e të dhënave, nga ku konstatojm nëseY

sS N

është i

vlefshëm.

Nëse një nga supozimet e mësipërme nuk plotësohet, atëherë për të gjetur një model të

përshtashëm për të dhënat duhet të përdorim teknika të tjera ose një gërshetim të teknikave

klasike.

Një model i tillë mund të jetë:

i iY D E

2 Është një klasë e shpërndarjeve probabilitare që është parametrizuar nga një parametër

vlerësues i cili mund të jetë skalar ose vektor që përcakton "zonën" ose zhvendosjen në

shpërndarje. Formalisht do të thotë që funksioni i densitetit probabilitar në këtë klasë ka formën

0 0( ) x f f x x ,- 0 x njihet me emrin parametër lokal. Ku si parametër mund të shërbej

mesatarja,mediana dhe moda



Kur të dhënat nuk janë të rastit, ne mund të përdorim modele të serive kohore për të dhënat në

shqyrtim. Modeli i një serie kohore është

( )i y f t gabimi . Ky model mund të jepet në fushën e kohës ose të frekuencës në varësi te

problemit.

Për të kontrolluar nëse supozimet e mësipërme përmbushen. Do të përdorim dy lloj metodash

a) Metodat grafike.

b) Metodat e vlersimeve sasiore.

Nga metodat grafike veçojm:

A-

run sequence plot i cili është i përshtatshëm për të kontrolluar nëse të dhënat kanë

ndonjë zhvendosje të rëndësishme në "zonë" ose variancë me kalimin e kohës.

B- lag plot shërben për të kontrolluar nëse kemi jo rastësi në të dhëna.C-

Histogram është e përshtatshëme për të kontrolluar supozimin mbi shpërndarjen.

D- normal probability plot shërben për të kontrolluar nëse të dhënat ndjekin një shpërndarje

normale.

Metodat e vlersimeve sasiore përfshijnë:

A- Treguesot kryesorë statistikorë.

o Mesatarja

o

Devijimi standart

o

Koefiçienti i korelacionit për të testuar nëse të dhënat janë të rastit

o Përafrim linear të të dhënave në funksion të kohës për të dalluar

shmangiet.

o

Testien Bartlett për të kontrolluar nëse varianca është konstante.

o Grafiku i koefiçientit të korelacionit për të testuar nëse të dhënat janë

të rastit.

o

Testi Anderson-Darling për të kontrolluar normalitetin.



2. Aplikimi i anlizes në deformimet e një trau.

Ekzistojnë një numër përafrimesh në modelimin e serive kohore .

Më poshtë do të parashtrojmë dhe analizojmë një prej tyre. Një nga përafrimet më të përdorshëmnë aplikimet inxhinierike dhe shkencore është analizimi i serisë në fushën e frekuencave. Një

shembull i një përafrimi të tillë është në modelimin e të dhënave të cilat pershkruajn deformimet

e një trau. Një nga mjetet kryesore për analizën në fushën e frekuencave të një serie kohore është

grafiku spektral. Të dhënat që do të përdoren në këtë analizë jepen në skedarin stat.txt.

Qellimi i kësaj analize do të jetë i trefishtë.

1.

Përcaktimi nëse modeli invariant

i iY C E

është i përshtatshëm dhe i vlefshëm.

2.

Përcaktimi nëse supozoimet kryesore që shoqerojnë procesin e matjeve janë te vlefshëm.

3. Përcaktimi nëse intervali i besimit

2 /Y s N

është i përshtatshëm dhe i vlefshëm ku me s është shënuar devijimi standart i të

dhënave . Për N matjen 1 2 3, , , N Y Y Y Y devijimi standart është:

2

1

1

1

N

Y i

i

s Y Y N



Metodat grafike

Interperetimet:

1.Grafiku i parë (majtas sipër) tregon se të dhënat nuk kanë ndonjë zhvendosje të

rëndësishme në "zonë" ose variancë me kalimin e kohës.

2. Grafiku "lag plot "tregon se të dhënat nuk janë të rastit. Akoma më tej ky grafiktregon praninë e e disa outlierve.

3.Ndërsa supozim për rastësin është shkelur seriozisht,histograma (majtas poshtë)

dhe ndertim i shpërndarjes propabilitare normale (poshtë djathtas) eshte injoruar

sepse siç e dimë nga përcaktimi i shpërndarjes normale ajo ka kuptim vetëm kur

të dhënat janë të rastit.



Nga grafikët e mësipërm arrijm në përfundimin se supozimi themelor për rastësin

nuk është i vlefshëm. Prandaj modeli

i iY C E

nuk është i përshtatshëm në një situatë të tillë.

Për këtë arsye ne duhet të zhvillojmë një model më të mirë. Kur të dhënat nuk

janë të rastit, atëherë për modelimin e këtyre proceseve na vijn në ndimë seritë

kohore. Në mënyrë të veçantë, forma rrethore në grafikun "lag plot " tregon se njëmodel sinusoidale mund të jetë e përshtatshëm.

Grafikët e mësipërm për më shumë detaje mund të gjenerohen në mënyrë individuale . Në këtërast, vetëm grafiku i parë majtas dhe "lag plot " janë ndërtuar pasi grafiku i shpërndarjes normalenuk ka kuptimë.

Figura 1 Paraqitja grafike e të dhënave

.



Figura 2 Grafiku "lag plot" me vlerat outlier

Kemi ndërtuar disa vija dhe kuti në "lag plot" për të izoluar më mirë vlerat outlier. Pikat e

mëposhtëme të të dhënave duhet të jenë outliers bazuar në grafikun "lag plot"

INDEX Y(i-1) Y(i)158 -506 300.00

157 300 201.00

3 -15.00 -35.00

5 115.00 141.00

Kur grafiku "lag plot" tregon një jo rastësi të theksuar, është e dobishme ndërtimi i grafikut tëautokorelacionit.



Figure 3 Grafiku i autokorrelacionit dhe korrelacionit

Ky grafik tregon një model të dallushëm ciklik. Si në rastin " lag plot", ky grafik sugjeron njëmodel sinusoidale.

Një mjet tjetër shumë i rëndësishëm për analizimin e të dhënave jo rastësore është grafikuspektral.



Figura 4 Grafiku spektral me frekuenc dominante 0.3

Ky grafik tregon një kulm të vetëm dominant në një frekuencë 0.3. Pikërisht frekuenca e tij 0,3do të përdoret në përshatjen e modelit sinusoidale në paragrafin e mëposhtëm.

Metodat e vlersimeve sasiore

Këto rezultate grafike i plotësojmë me disa rezultatet sasiore.

Si fillim llogaritim treguesit kryesor satatistikor

Numri i vezhgimeve 200

Mesatarja -177.4350

Mediana -162.000

Minimumi -579.0000

Maksimumi 300.0000

Diapazoni 879.0000

Devijimi Standart 277.3322

Një mënyrë tjetër për të përcaktuar nëse kemi ndryshime në "zonë" në lidhje me kohën është

nëpërmjet përafrimit linear të të dhënave duke përdorur variablin 1, 2, X N ku N

ështënumri i vëzhgimeve. Modeli i përafrimit linear është 0 1i i iY A AT E . Nëse nuk ka ndonjë

tendencë të theksuar shmangie në "zonë", parametri i pjerrësisë duhet të jetë zero (pra1

A ).



Coefficient Estimate Stan. Error

t-Value

A0 -178.175 39.47

-4.514

A1 0.7366E-02 0.34

0.022

Residual Standard Deviation = 278.0313

Residual Degrees of Freedom = 198

Parametri i pjerrësis për A1 ka vlerën 0.022, çka mund të konsiderohet zero, pasi statistikisht nuk

është domethënës.

Për të kontrolluar nëse kemi ndryshim të variancës do të përdorim testin Levene. Në veçanti këtë

test do ta përdorim duke u bazuar më shumë te mediana se sa te mesatarja. Zgjedhja e numrit të

intervaleve është arbitrare, megjithatë vlera 4 dhe 8 janë të arsyeshme.

H 0: σ 12 = σ 2

2 = σ 3

2 = σ 4

2

H a: At least one σ i2 is not equal to the

others.

Test statistic: W = 0.09378

Degrees of freedom: k - 1 = 3Sample size: N = 200

Significance level: α = 0.05

Critical value: F α , k-1, N-k = 2.651

Critical region: Reject H 0 if W> 2.651

Në këtë rast testi Levene tregon se në katër intervale nuk kemi ndonjë ndryshimë të theksuar të

variancës. Meqënse vlera e testit statistikor është 0.9378, më e vogël se vlera krtikie 2.651.

Për të kontrolluar nëse të dhënat janë të rastit përdorim "run tests"

H 0: the sequence was produced in a randommanner

H a: the sequence was not produced in a

random manner

Test statistic: Z = 2.6938

Significance level: α = 0.05



Critical value: Z 1-α /2 = 1.96

Critical region: Reject H 0 if | Z| > 1.96

Vlera absolute e testit statistikor është më e madhe se vlera 1.96 , prandaj arrijme në përfundiminse të dhënat nuk janë të rastit. Meqënse rezultatet sasiore tregojn se supozimet për të dhëna të

rastit dhe zhvendosjen e variancës janë shkelur, atëherë kontrolli i shpërndarjes nuk do të kishtendonjë rëndësi nëse do të realizohej. Rezultatet sasiore ashtu si dhe ato grafike "lag plot",grafiku i korlacionit, dhe ai spektral, tregojnë qartësisht shkeljen e supozimit për të dhëna të

rastit. Për më tepër paraqitjet grafike "lag plot" dhe autokorrelacioni në pjesën e mëparshme

sugjerojn fuqimisht që një model sinusoidal mund të jetë i përshtatshëm në një situatë të tillë .

Modeli themelor sinusoidal është:

sin(2 )i i i

Y C T E

KuC

është një konstante e cila është një vlerë e mesatares së procesit, është amplituda përfunksionin sinusoidal, është frekuenca,i

T është variabëli kohë , ndersa eshte faza. Modeli i

përshatshëm sinusoidal mund të përcaktohet me anë të metodës së katrorëve më të vegjel rasti jolineare.

Për të marrë një model sa më të përshtatshëm duhet që modeli sinusoidal të ketë një përafrimfillestar të kostantes C , amplitudës dhe frekuencës sa më të mirë. Një perafrim i mire i C

mund të merret duke llogaritur mesataren e të dhënave . Nëse trendi i të dhënave , p.sh nësesupozimi për një "zonë" konstante shkelet, ateherë konstanten C mund ta zëvendësojm me

termin 0 1 i B B T , i cili është një model i përftuar duke aplikuar metodën e katrorëve më të

vegjël rasti linear . Në këtë mënyrë modeli ynë merr trajtën

0 1 sin 2i i i iY B B T T E

ose metodën e katrorëve më të vegjël rasti kuadratik

2

0 1 2 sin 2

i i i i iY B B T B T T E

Meqënse të dhënat tona nuk kanë ndonjë ndryshim të theksuar të "zonës" ne mund ta përshtatimmodelin duke e marrë C të barabartë me mesataren, për të dhënat në studim vlera e mesataresështë -177.44.

Përafrimi fillestare për frekuencën mund të merret nga grafiku spektral, ku pamë që frekuencadominuese kishte vlerën 0.3Për përmisimin e përafrimit fillstare të frekuencës do të përdorim demodulimn kompleks në fazë .Demodulimi kompleks në fazë, thotë: nëse pjerrësia e vijës është nga e majta në të djathtëatëherë frekuenca duhet rritur, në rast të kundërt duhet zvogëluar, nëse pjerrësia është zeroatëherë frekuenca nuk është e nevojshme të modifikohet . Në mund të gjenerojmë grafikët edemodulimit në fazë për frekuencën 0.3 dhe duke përdorur gabimin mund të marrim një matjesa më të mirë të frekuncës. Për ti thjeshtuar gjërat ndërtojmë 16 grafik të deomodulimit ne fazë



në një faqe të veteme me një frekuencë 0.28 me një rritje të frekuencës prej 0.0025 duke undaluar ne vleren 0.3175

Figura 5 Demodulimi kompleks në fazë

Interpretimi : Grafikët fillojnë me vija me pjerrësi nga e majta në të djathët duke ndryshuargradualisht me pjerrësi nga e djathta në të majtë . Pjerësia relativisht e sheshtë ndodh përfrekuenc 0,3025 (rreshtin i tretë, kolona e dytë). Demodulimn kompleks në fazë e kufizonë

ndërtimin e grafikëve në zonën nga2

në2

. Kjo është arsyeja pse grafiket shfaqen me

disa "thyrje"

Demodulimn kompleks në amplitudë është përdorur për të gjetur një vlerë fillestare të përshtatëshme për amplitudën. Përveç kësaj, ky grafik tregonë nëse amplituda është konstanteose varion mbi gamën e të dhënave në studim. Nëse grafiku është i sheshtë, pra me pjerrësi zero,atëherë është e arsyeshme që në modelin jo-lineare të supozohet një vlerë e amplitudës . Nëse pjerrësi ndryshon në grafik, atëherë lind nevoja për rregullimin e modelit. Modeli i rregulluar dotë ketë pamjen

0 1 sin 2i i i iY C B B T T E

Duke e zvëndësuar me një funksion të kohës. Në modelin e mësipërm është specifikuar një përshtatje lineare, por kjo përshtatje nëse është e nevojshme mund të zvëndësohet me njëfunksion më të përpunuar



Figure 6 Demodulimit kompleks ne amplitudë

Grafiku demodulimit kompleks ne amplitudë për këto të dhëna tregojnë:

1. Amplituda është fiksuar afërsisht në vlerën 3902. Ka një ndryshim të amplitudës në x=160, çka tregon se duhet parë për ndonjë outlier.Duke përdorur përafrimet fillestare,0.3025 për frekuencën, 390 për amplitudën dhe -177.44 për CPërcaktojmë parametrat e mëposhtëm

Coefficient Estimate Stan. Error t-ValueC -178.786 11.02 -16.22

AMP -361.766 26.19 -13.81

FREQ 0.302596 0.1510E-03 2005.00 PHASE 1.46536 0.4909E-01 29.85

Residual Standard Deviation = 155.8484

Residual Degrees of Freedom = 196

Nga rezultatet e marra , modeli i propozuar është:

178.786 361.766 2 (0.302596)T 1.46536i iY

-Vlefshmëria e modelit të përftuar

Hapi i parë në vlerësimin e modeli është gjenerimi i katër grafikëve të mbetjes.



Interperetimet.1.Grafiku i parë (majtas sipër) tregon se të dhënat nuk kanë ndonjë zhvendosje të

theksuar në "zonë" ose variancë me kalimin e kohës. Megjithatë gjejmë disa

zhvendosje në shkallë. Përvec kësaj në grafik shfaqen dhe disa outlier.

2. Grafiku "lag plot " tregon se të dhënat janë të rastit.Akoma më tej ky grafik

tregon praninë e e disa outlierve.

3.Histogram (majtas posht) dhe ndertim i shperndarjes propabilitare normale

(poshte djathtas) nuk shfaqin shkelje përsa i përket supozimit se të dhënat janë

rastësore .Megjithatë, përkulja në pjesën e majtë të grafikut të shperndarjes

propabilitare normale jep disa arsye për t'u shqetësuar.

Megjithatë katër grafikët e mësipërm tregojn se modeli i gjetur është i përshtatshëm.

Megjithatë, ne do të përpiqemi për të përmirësuar atë duke elminuar vlerat

outlier.

Vlerësim e parametrave të mëposhtëm janë përftuar pas eleminimit të vlerave

outlier.

Coefficient Estimate Stan. Error t-ValueC -178.788 10.57 -16.91

AMP -361.759 25.45 -14.22 FREQ 0.302597 0.1457E-03 2077.00 PHASE 1.46533 0.4715E-01 31.08

Residual Standard Deviation = 148.3398 Residual Degrees of Freedom = 193



Në modelin origjinal, kemi një gabim të devijimi standartë 155.84,

178.786 361.766 2 (0.302596)T 1.46536i iY

Modeli përftuar pas eleminimit të vlerave outlier ka një gabim të devijimit standart 148.3398

178.788 361.759[2 (0.302597)T 1.46533]i i

Y

Ka një ndryshim minimal në vlerësimet e parametrave dhe një reduktim me 5% të gabimit tëdevijimit standart . Në këtë rast, kemi një përfitim modest në drejtim të reduktimit të

ndryshueshmërisë së modelit.

Këta grafik tregojn se supozimet themelore plotësohen dhe për këtë arsye modeli i ri është një

përshkrues i mirë i të dhënave në studim.

Documents

Metoda e Bazuar Ne Fushen e Frekuencave