Metoda konačnih volumena seminar

7/18/2019 Metoda konačnih volumena seminar

http://slidepdf.com/reader/full/metoda-konacnih-volumena-seminar 1/20

1

1 Zadatak

Ravninski stacionarni problem provođenja topline

Tijekom stacionarne izmjene topline, blok je izložen uvjetima kako je prikazano na donjim slikama.U bloku je toplinski izvor ili ponor označen narančastom bojom (S T). Potrebno je odrediti

dvodimenzijsku temperaturnu raspodjelu u bloku te toplinske tokove po jedinici duljine bloka.

Rubni uvjeti po bojama:

a) Zeleno – Robinov rubni uvjet

b) Crveno i plavo – Dirichletov rubni uvjet

c) Crno – von Neumannov rubni uvjet

Zadano:

a = 0,15 m

S T = 1000 W/m2 (ponor)

λ =50 W/(m·K)

Zeleno:

T f = 400 K

α = 50 W/(m2·K)

Crveno:

T s2 = 500 K

Plavo:

T s1 = 280 K

Crno:

q = 0

Slika 1.1 Zadatak



2

2 Rješenje zadatka metodom konačnih volumena

Transportna jednadžba u ovom slučaju glasi:

+ + T = 0

2.1 Rješenje zadatka s najmanjim mogućim brojem jednakih volumena

Najprije je potrebno diskretizirati područje proračuna. Prvo će se napraviti numerički proračun sa

najmanjim mogućim brojem jednakih volumena, što je prikazano na sljedećoj slici.

Slika 2.1 Blok diskretiziran pomoću 7 jednakih volumena

Svi volumeni su dimenzija axa i jedinične širine okomito na ravninu slike.

1) Koeficijenti na unutarnjim stranicama:

N = ∙ ΔΔ = ∙ ∙ 1

= = 50 WK

2) Vrijednost toplinskog izvora je jednaka nuli u svim volumenima osim u volumenu s

temperaturom T 2, gdje je zadana konstantna negativna vrijednost toplinskog izvora, pa je

vrijednost koeficijenta b u linearizaciji izvorskog člana jednaka nuli, a koeficijent a je:



3

= ∫ Td = T ∙ ∙ ∙ 1 = −1000 ∙ 0,15 ∙ 0,15 ∙ 1 = −22,5 WV

3) Koeficijenti na rubovima:

U tablici 1.1 su prikazani izrazi za rubne uvjete koji će se koristiti u rješavanju zadanog

problema provođenja topline.

Tablica 2.1 Rubni uvjeti za problem provođenja topline

a) Von Neummanov odnosno adijabatski rub (crno):

= 0

B = 0

ekspl

= 0

b) Dirichletov T s1 = 280K (plavo):

B = b ∙ ΔbΔ = ∙ 1

2

= 2 = 100 WK

eksp = b ∙ s = 100 ∙ 280 = 28000 W

c)

Dirichletov T s2 = 500 K (crveno):

b = b ∙ ΔbΔ = ∙ 12 = 2 = 100 WK

eksp = b ∙ s = 100 ∙ 500 = 50000 W

d) Robinov T f = 400 K α = 50 W/m2∙K (zeleno):

b = ∙ b ∙ Δbα ∙ Δ + b

= ∙ b ∙ ∙ 1α ∙ 2 + b

= 50 ∙ 50 ∙ 0,1550 ∙ 0,15

2 + 50 = 6,977 W

K

eksp = b ∙ f = 2790,7 W



4

Izračunati koeficijenti su dodani određenom rubu ili volumenu, te se pomoću njih izračunava

matrica i vektori koji će poslužiti za izračunavanje temperatura u pojedinom volumenu.

Slika 2.2 Prikaz koeficijenata pripadajućih volumena

Zbrajanjem koeficijenata na rubovima volumena a N i vanjskih koeficijenata aB formira se matrica.

Ta matrica se množi sa vektorom temperatura, koji ujedno predstavlja i nepoznanice te se

izjednačava sa slobodnim koeficijentima.

Diskretizirana jednadžba tako glasi:

100 -50 0 0 -50 0 0 0 0 T1 0 -50 200 -50 0 0 0 0 0 0 T2 50000

0 -50 150 -50 0 -50 0 0 0 T3 0

0 0 -50 350 0 0 0 0 0 T4 150000

-50 0 0 0 200 0 -50 0 0 * T5 = 28000

0 0 -50 0 0 206,98 0 0 -50 T6 52790,7

0 0 0 0 -50 0 100 -50 0 T7 -22,5

0 0 0 0 0 0 -50 200 -50 T8 28000

0 0 0 0 0 -50 0 -50 107 T9 2790,7

Kako bi se izračunala matrica temperatura potrebno je izračunati inverznu matricu koja je

izračunata pomoću softvera Microsoft Excel i ona glasi:

0,013995 0,003884 0,00154 0,00022 0,004107 0,000516 0,002432 0,000757 0,000595

0,003884 0,006614 0,002574 0,000368 0,001153 0,00074 0,000729 0,000304 0,000488

0,00154 0,002574 0,008756 0,001251 0,000506 0,002443 0,000483 0,00046 0,001357

0,00022 0,000368 0,001251 0,003036 7,22E-05 0,000349 6,9E-05 6,57E-05 0,000194

0,004107 0,001153 0,000506 7,22E-05 0,00706 0,000292 0,004135 0,001209 0,000701

0,000516 0,00074 0,002443 0,000349 0,000292 0,00624 0,000651 0,00101 0,003389



5

0,002432 0,000729 0,000483 6,9E-05 0,004135 0,000651 0,014107 0,004079 0,002211

0,000757 0,000304 0,00046 6,57E-05 0,001209 0,00101 0,004079 0,00695 0,00372

0,000595 0,000488 0,001357 0,000194 0,000701 0,003389 0,002211 0,00372 0,01267

Inverzna matrica se potom množi sa vektorom slobodnih koeficijenata a rezultat su temperature u

svim volumenima koje su prikazane u tablici 2.2.

Tablica 2.2 Temperature u središtima volumena ploče diskretizirane sa 9 konačnih volumena

T1 392,18 K

T2 467,07 K

T3 476,10 K

T4 496,59 K

T5 317,29 K

T6 464,64 K

T7 316,97 K

T8 317,11 K

T9 391,47 K

Računanje temperatura na rubovima kontrolnih volumena

Na adijabatskoj granici (Von Neumannov rubni uvjet) temperatura na rubu će biti jednaka

temperaturi u prvom čvoru do granice.

Temperatura na granici gdje je zadan Robinov uvjet se dobije linearnom interpolacijom temperature

u prvom čvoru do granice i temperature okoline.

b = b ∙ Δ + b

C + Δ ∙ Δ + b

ok

b = 5050 ∙ 0,1

2 + 50 ∙ C + 50 ∙ 0,1

250 ∙ 0,1

2 + 50ok

b =

100

105 ∙ C +

5

105 ∙ ok

Koristeći ovu formulu temperature su izračunate pomoću softvera Microsoft Excel i prikazane u

sljedećoj tablici.

Tablica 2.3 Prikaz izračunatih temperatura na rubovima s Robinovim uvjetom

vol.br. Tc, K Tok, K Tb, K

6 464,64 400 461,56

9 391,47 400 391,87



6

Temperatura na granici gdje je zadana temperatura (Dirichletov rubni uvjet) jednaka je zadanoj

temperaturi.

Proračun toplinskih tokova

Na slici 2.3 prikazane su temperature u središtu volumena i temperature na granicama volumena,

kao i toplinske tokove kroz stranice konačnog volumena, unutarnje i rubne. Smjer toplinskog toka

je prikazan strelicama, od više prema nižoj temperaturi.

Toplinski tok na unutarnjim stranicama računa se prema izrazu:

∆ ̇ = N(viša − niža)

Uvrštavanjem vrijednosti za pojedine volumene dobiveni su rezultati korištenjem programa

Microsoft Excel. Sljedeća tablica prikazuje izračunate toplinske tokove na unutarnjim stranicama.

Tablica 2.4 Toplinski tokovi na unutarnjim stranicama

Toplinski tok naunutarnjim stranicama

aN, W/K Tviša, K Tniža, K

Q 1 6,8055 W 50 317,11 316,97

Q 2 3717,8 W 50 391,47 317,11

Q 4 15,694 W 50 317,29 316,97

Q 6 3658,4 W 50 464,64 391,47

Q 10 3744,5 W 50 392,18 317,29

Q 11 3744,5 W 50 467,07 392,18

Q 13 451,39 W 50 476,1 467,07

Q 14 573,04 W 50 476,1 464,64

Q 15 1024,4 W 50 496,59 476,1

Toplinski tok kroz rubne stranice volumena se računa prema izrazu:

∆ ̇ = |eksplicitno − BC|Kao i za toplinske tokove na unutarnjim stranicama i toplinski tokovi na rubovima su prikazani u

sljedećoj tablici:

Tablica 2.5 Toplinski tokovi na rubovima volumena

Toplinski tok na rubovima

stranica, Waeksp, K ab, W/K Tc, K

Q 3 59,43222 W 2790,7 6,977 391,4674

Q 5 3711,042 W 28000 100 317,1104

Q 7 3728,82 W 28000 100 317,2882

Q 8 3536,434 W 50000 100 464,6357

Q 9 451,063 W 2790,7 6,977 464,6357

Q 12 3293,124 W 50000 100 467,0688

Q 16 341,4779 W 50000 100 496,5852

Q 17 341,4779 W 50000 100 496,5852

Q 18 341,4779 W 50000 100 496,5852



7

Provjera točnosti se može napraviti tako da je razlika izlaznih i ulaznih toplinskih tokova jednaka

snazi toplinskog izvora, odnosno ponora u volumenu 8.To je također napravljeno pomoću programa

Microsoft Excel i dobiveni rezultat je jednak snazi toplinskog ponora, Q = 22,5 W što znači da je

zakon očuvanja energije sačuvan.

Na slici 2.3 su prikazane temperature u središtu volumena, temperature na rubovima kao i smjerovi

toplinskih tokova.

Slika 2.3 Prikaz temperatura i toplinskih tokova



8

2.2 Rješenje zadatka s konačnim volumenima dimenzija a /2 x a /2

Slika 2.4 Blok diskretiziran pomoću 36 jednakih volumena

Svi volumeni su dimenzija a/2 x a/2 i jedinične širine okomito na ravninu slike.

1) Koeficijenti na unutarnjim stranicama:

N = ∙ ΔΔ = ∙ /2 ∙ 1

/2 = = 50 WK

2) Vrijednost toplinskog izvora je jednaka nuli u svim volumenima osim u volumenima s

temperaturom T 25, T 26, T 31 i T 32 gdje je zadana konstantna negativna vrijednost toplinskog

izvora, pa je vrijednost koeficijenta b u linearizaciji izvorskog člana jednaka nuli, a

koeficijent a je:

= ∫ Td = T ∙ 2 ∙ 2 ∙ 1 = −1000 ∙ 0,075 ∙0,075 ∙ 1 = −5,625 WV

3) Koeficijenti na rubovima:

a) Von Neummanov odnosno adijabatski rub (crno). Jednako kao i kod prethodnog

proračuna sa manjim brojem konačnih volumena:

B = 0

ekspl = 0



9

b) Dirichletov T s1 = 280K (plavo):

B = b ∙ ΔbΔ =

2 ∙ 1

4

= 2 = 100 WK

eksp = b ∙ s = 100 ∙ 280 = 28000 W

c)

Dirichletov T s2 = 500 K (crveno):

b = b ∙ ΔbΔ = /2 ∙ 1

4

= 2 = 100 WK

eksp = b ∙ s = 100 ∙ 500 = 50000 W

d) Robinov T f = 400 K α = 50 W/m2∙K (zeleno):

b =

∙ b ∙ Δb

α ∙ Δ + b =

∙ b ∙ 2 ∙ 1

α ∙ 4 + b =

50 ∙ 50 ∙ 0,075

50 ∙ 0,154 + 50 = 3,614

W

K

eksp = b ∙ f = 3,614 ∙ 400 = 1445,8 W

Izračunati koeficijenti su dodani određenom rubu ili volumenu, te se pomoću njih izračunava

matrica i vektori koji će poslužiti za izračunavanje temperatura u pojedinom volumenu.

Slika 2.5 Prikaz koeficijenata pripadajućih volumena

Zbrajanjem koeficijenata na rubovima volumena a N i vanjskih koeficijenata aB formira se matrica:



10

Ta matrica se množi sa vektorom temperatura koji ujedno predstavlja i nepoznanice te se

izjednačava sa slobodnim koeficijentima:

Nakon određivanja inverza matrice i množenja sa vektorom slobodnih koeficijenata dobivaju seiznosi temperatura u središtima volumena, prikazani u tablici 2.6.



11

Tablica 2.6 Temperature u središtima volumena ploče diskretizirane sa 36 konačnih volumena

T1 391,20 K

T2 410,22 K

T3 448,50 K

T4 470,68 K

T5 479,96 K

T6 486,63 K

T7 496,34 K

T8 499,25 K

T9 372,18 K

T10 390,97 K

T11 464,61 K

T12 483,57 K

T13 482,57 K

T14 483,59 K

T15 495,82 K

T16 499,18 KT17 334,36 K

T18 316,86 K

T19 483,17 K

T20 469,33 K

T21 314,06 K

T22 298,95 K

T23 463,93 K

T24 446,24 K

T25 308,85 K

T26 303,84 K

T27 298,88 K

T28 316,64 K

T29 390,25 K

T30 408,81 K

T31 308,77 K

T32 308,81 K

T33 313,91 K

T34 334,06 K

T35 371,62 KT36 390,56 K



12

Računanje temperatura na rubovima kontrolnih volumena

Na adijabatskoj granici (Von Neumannov rubni uvjet) temperatura na rubu će biti jednaka

temperaturi u prvom čvoru do granice.

Temperatura na granici gdje je zadan Robinov uvjet:

b = b

∙ Δ + b C + Δ

∙ Δ + b ok

b = 5050 ∙ 0,1

4 + 50 ∙ C + 50 ∙ 0,1

450 ∙ 0,1

4 + 50ok

b = 200205 ∙ C + 5

205 ∙ ok

Koristeći ovu formulu temperature su izračunate pomoću softvera Microsoft Excel i prikazane u

sljedećoj tablici.

Tablica 2.7 Prikaz izračunatih temperatura na rubovima s Robinovim uvjetom

vol.br Tc, K Tok,

K T b, K

20 469,33 400 467,6

24 446,24 400 445,1

30 408,81 400 408,6

36 390,56 400 390,8

Temperatura na granici gdje je zadana temperatura (Dirichletov rubni uvjet) jednaka je zadanoj

temperaturi.

Proračun toplinskih tokova

Toplinski tok na unutarnjim stranicama računa se prema izrazu:

∆ ̇ = N(viša − niža)

Uvrštavanjem vrijednosti za pojedine volumene dobiveni su rezultati korištenjem programa

Microsoft Excel. Sljedeća tablica prikazuje izračunate toplinske tokove na unutarnjim stranicama.



13

Tablica 2.4 Toplinski tokovi na unutarnjim stranicama

aN, W/K Tviša, K Tniža, K

Q 1 1,63 50 308,81 308,77

Q 2 255,37 50 313,91 308,81

Q 3 1007,14 50 334,06 313,91

Q 4 1878,16 50 371,62 334,06

Q 5 946,77 50 390,56 371,62

Q 7 3,99 50 308,85 308,77

Q 8 248,11 50 308,81 303,84

Q 9 751,77 50 313,91 298,88

Q 10 871,02 50 334,06 316,64

Q 11 931,39 50 390,25 371,62

Q 12 912,44 50 408,81 390,56

Q 13 250,47 50 308,85 303,84

Q 14 248,28 50 303,84 298,88

Q 15 887,89 50 316,64 298,88

Q 16 3680,58 50 390,25 316,64

Q 17 927,82 50 408,81 390,25

Q 19 260,09 50 314,06 308,85

Q 20 244,68 50 303,84 298,95

Q 23 3684,15 50 463,93 390,25

Q 24 1871,89 50 446,24 408,81

Q 25 755,24 50 314,06 298,95

Q 28 884,44 50 463,93 446,24

Q 30 1015,32 50 334,36 314,06

Q 31 895,23 50 316,86 298,95

Q 32 961,75 50 483,17 463,93

Q 33 1154,37 50 469,33 446,24

Q 34 875,33 50 334,36 316,86

Q 37 691,82 50 483,17 469,33

Q 39 1890,66 50 372,18 334,36

Q 40 3705,48 50 390,97 316,86Q 43 29,76 50 483,17 482,57

Q 44 712,90 50 483,59 469,33

Q 47 939,49 50 390,97 372,18

Q 48 3682,12 50 464,61 390,97

Q 49 948,18 50 483,57 464,61

Q 50 50,00 50 483,57 482,57

Q 51 50,84 50 483,59 482,57

Q 52 611,67 50 495,82 483,59

Q 53 167,87 50 499,18 495,82

Q 55 951,17 50 391,20 372,18

Q 56 962,85 50 410,22 390,97

Q 57 805,26 50 464,61 448,50Q 58 644,67 50 483,57 470,68

Q 59 130,59 50 482,57 479,96

Q 60 152,07 50 486,63 483,59

Q 61 25,96 50 496,34 495,82

Q 62 3,71 50 499,25 499,18

Q 63 951,17 50 410,22 391,20

Q 64 1914,02 50 448,50 410,22

Q 65 1108,76 50 470,68 448,50

Q 66 464,09 50 479,96 470,68

Q 67 333,50 50 486,63 479,96

Q 68 485,56 50 496,34 486,63

Q 69 145,62 50 499,25 496,34

Topl. tok Q, W



14

Toplinski tok kroz rubne stranice volumena se računa prema izrazu:

∆ ̇ = |eksplicitno − BC|Kao i za toplinske tokove na unutarnjim stranicama i toplinski tokovi na rubovima su prikazani u

sljedećoj tablici:

Tablica 2.5 Toplinski tokovi na rubovima volumena

Provjera točnosti je također napravljena pomoću programa Microsoft Excel i dobiveni rezultat je

jednak snazi toplinskog ponora, Q = 22,5 W što znači da je zakon očuvanja energije sačuvan.

Na slici 2.6 su prikazane temperature u središtu volumena, tem perature na rubovima kao i smjerovi

toplinskih tokova.

aeksp ab Tc, K

Q 6 34,33 1445,8 3,614 390,5563

Q 18 31,62 1445,8 3,614 408,8051

Q 21 1887,94 28000 100 298,8794

Q 22 3663,71 28000 100 316,6371

Q 26 1895,14 28000 100 298,9514

Q 27 3606,84 50000 100 463,9316

Q 29 166,92 1445,8 3,614 446,2428

Q 35 3685,59 28000 100 316,8559

Q 36 1683,33 50000 100 483,1667

Q 38 250,36 1445,8 3,614 469,3302

Q 41 3539,20 50000 100 464,608

Q 42 1642,85 50000 100 483,5715

Q 45 417,83 50000 100 495,8217

Q 46 82,08 50000 100 499,1792

Q 54 82,08 50000 100 499,1792

Q 70 74,66 50000 100 499,2534

Q 71 365,91 50000 100 496,3409

Q 72 74,66 50000 100 499,2534

Topl. tok Q, W



15

Slika 2.6 Prikaz temperatura i toplinskih tokova



16

3 Rješenje zadatka pomoću računala

Zadatak će biti riješen pomoću računala, sa najmanjim mogućim brojem konačnih volumena i sa

mrežom dimenzija a/2 x a/2. Za izradu diskretizirane mreže korišten je Gambit, za rješavanje

metodom konačnih volumena korišten je Fluent a za postprocesiranje odnosno prikaz podataka

korišten je Tecplot.

3.1 Rješenje zadatka s najmanjim mogućim brojem jednakih volumena

Na slici 3.1 je prikazano rješenje zadatka u Fluentu. Vidljiva je raspodjela temperatura po površini

bloka i podatci o ukupnom toplinskom toku kroz rubne stranice bloka.

Slika 3.1 Rješenje zadatka sa grubom mrežom dobiveno u Fluentu



17

Slika 3.2 Prikaz temperatura u središtima i na rubovima volumena napravljen u Tecplotu

Slika 3.3 Vektori toplinskih tokova kroz rubne stranice bloka napravljen u Tecplotu



18

3.1 Rješenje zadatka s konačnim volumenima dimanzija a /2 x a /2

Na slici 3.4 je prikazano rješenje zadatka u Fluentu. Vidljiva je raspodjela temperatura po površini

bloka i podatci o ukupnom toplinskom toku kroz rubne stranice bloka.

Slika 3.4 Rješenje zadatka sa gušćom mrežom dobiveno u Fluentu



19

Slika 3.5 Prikaz temperatura u središtima i na rubovima volumena napravljen u Tecplotu



20

Slika 3.6 Vektori toplinskih tokova kroz rubne stranice bloka napravljen u Tecplotu

Documents

Metoda konačnih volumena seminar