4
METODE ALGEBRICE ˆ IN PROBLEME DE COMBINATORIC ˘ A C.M. Bonciocat 1 , A. Pascadi 1 1. Polinoame Definit ¸ie. Un polinom ˆ ıntr-ovariabil˘a X este o sum˘a de puteri naturale ale lui X ınmult ¸ite cu ni¸ ste factori numit ¸i coeficient ¸i. Exemple de polinoame sunt 1 + 3X + X 5 , X - 9X 2 . Pentru cei ce sunt deja familiari cu not ¸iunea de funct ¸ie de gradul I sau II, polinoamele sunt doar o extindere a acestora la grad n arbitrar (puterea cea mai mare care apare). Polinoamele sunt utile ˆ ın combinatoric˘ a deoarece codific˘a informat ¸ii chiar prin intermediul coeficient ¸ilor lor, iar ˆ ınmult ¸irea ¸ si adunarea lor au ¸ si o interpretare combinatoric˘ a. Observat ¸ie. De¸ si definit ¸ia nu ne d˘a voie s˘ a folosim puteri negative ale nedeter- minatei, adesea aceast˘ a extindere se poate dovedi util˘ si o vom adopta ¸ si noi. De asemenea, poate fi folositor ¸ si un polinom ˆ ın mai multe variabile, care va fi scris ca suma de termeni de tipul a i 1 i 2 ...in X i 1 1 X i 2 2 ...X in n . Teorem˘ a. (Multinomul lui Newton) Fie ( N a 1 ,a 2 ,...,an ) Δ = N ! a 1 !a 2 !···an! . Atunci, este valabil˘a identitatea algebric˘ a (x 1 + ··· + x n ) N = X a 1 +···+an=N a 1 ,...,an0 N a 1 ,a 2 , ..., a n x a 1 1 ··· x an n . Problem˘ a rezolvat˘ a. O furnic˘ a st˘a pe vˆarful din stˆ anga-jos al unui caroiaj m × n. La fiecare pas, ea poate sa se mi¸ ste fie pe muchie ˆ ın sus, fie pe muchie ˆ ın dreapta cu o unitate. ˆ In cate moduri poate ajunge la colt ¸ul din dreapta-sus? Solut ¸ie. Leg˘ atura cu polinoamele la aceast˘ a problem˘ a este urm˘ atoarea: la fiecare pas al furnicii, una dintre coordonatele ei cre¸ ste cu 1, adic˘ a practic produsul X cx Y cy se ˆ ınmult ¸e¸ ste fie cu X fie cu Y , unde (c x ,c y ) sunt coordonatele furnicii. Astfel, dac˘ a ne uit˘am la produsul (X + Y )(X + Y ) ··· (X + Y ) de m + n ori, observ˘ am ca prin desfacere, fiecare termen reprezint˘ a exact unul din mult ¸imea de trasee cu m + n pa¸ si, dup˘ a cum alegem X -ul sau Y -ul din parantez˘a. Acum, nu mai r˘ amˆanedecˆ at s˘a gasim coeficientul lui Y m X n din acest polinom, care reiese din Binomul lui Newton: (X + Y ) m+n = m+n X k=0 m + n k X k Y m+n-k . Deci, r˘aspunsul este ( m+n m ) = ( m+n n ) = (m+n)! m!n! . 1 Colegiul Nat ¸ional de Informatic˘ a ”Tudor Vianu” 1

METODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE · PDF fileMETODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE COMBINATORICA C.M. Bonciocat 1, A. Pascadi 1. Polinoame De nit˘ie. Un polinom ^ ntr-o variabil a Xeste

  • Upload
    leminh

  • View
    222

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: METODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE · PDF fileMETODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE COMBINATORICA C.M. Bonciocat 1, A. Pascadi 1. Polinoame De nit˘ie. Un polinom ^ ntr-o variabil a Xeste

METODE ALGEBRICE IN PROBLEME DE

COMBINATORICAC.M. Bonciocat1, A. Pascadi1

1. Polinoame

Definitie. Un polinom ıntr-o variabila X este o suma de puteri naturale ale luiX, ınmultite cu niste factori numiti coeficienti.

Exemple de polinoame sunt 1 + 3X + X5, X − 9X2. Pentru cei ce sunt dejafamiliari cu notiunea de functie de gradul I sau II, polinoamele sunt doar o extinderea acestora la grad n arbitrar (puterea cea mai mare care apare).

Polinoamele sunt utile ın combinatorica deoarece codifica informatii chiar prinintermediul coeficientilor lor, iar ınmultirea si adunarea lor au si o interpretarecombinatorica.

Observatie. Desi definitia nu ne da voie sa folosim puteri negative ale nedeter-minatei, adesea aceasta extindere se poate dovedi utila si o vom adopta si noi. Deasemenea, poate fi folositor si un polinom ın mai multe variabile, care va fi scris casuma de termeni de tipul

ai1i2...inXi11 X

i22 ...X

inn .

Teorema. (Multinomul lui Newton) Fie(

Na1,a2,...,an

) ∆= N !

a1!a2!···an!. Atunci, este

valabila identitatea algebrica

(x1 + · · ·+ xn)N =∑

a1+···+an=N

a1,...,an≥0

(N

a1, a2, ..., an

)xa11 · · · xann .

Problema rezolvata. O furnica sta pe varful din stanga-jos al unui caroiajm × n. La fiecare pas, ea poate sa se miste fie pe muchie ın sus, fie pe muchie ındreapta cu o unitate. In cate moduri poate ajunge la coltul din dreapta-sus?

Solutie. Legatura cu polinoamele la aceasta problema este urmatoarea: la fiecarepas al furnicii, una dintre coordonatele ei creste cu 1, adica practic produsul XcxY cy

se ınmulteste fie cu X fie cu Y , unde (cx, cy) sunt coordonatele furnicii. Astfel, dacane uitam la produsul

(X + Y )(X + Y ) · · · (X + Y )

de m + n ori, observam ca prin desfacere, fiecare termen reprezinta exact unul dinmultimea de trasee cu m + n pasi, dupa cum alegem X-ul sau Y -ul din paranteza.Acum, nu mai ramane decat sa gasim coeficientul lui Y mXn din acest polinom, carereiese din Binomul lui Newton:

(X + Y )m+n =m+n∑k=0

(m+ n

k

)XkY m+n−k.

Deci, raspunsul este(m+nm

)=(m+nn

)= (m+n)!

m!n!.

1Colegiul National de Informatica ”Tudor Vianu”

1

Page 2: METODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE · PDF fileMETODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE COMBINATORICA C.M. Bonciocat 1, A. Pascadi 1. Polinoame De nit˘ie. Un polinom ^ ntr-o variabil a Xeste

Ideea esentiala de aici este sa profitam de faptul ca ınmultirea parantezelor esteechivalenta cu alegerea cate unui termen (asociat unei actiuni pe tabla) din fiecareparanteza.

Problema 1. Un greiere sta pe axa numerelor ıntregi, ın origine. In cate feluripoate el ajunge pe numarul ıntreg m, dupa n salturi cu ±1 (semnul fiind la alegere,de fiecare data)?

Problema 2. O lacusta se afla pe axa numerelor ıntregi, ın origine. Ea poatesari la al k-lea pas cu ±2k. Determinati multimea posibilelor puncte finale ın carepoate ajunge, dupa n pasi.

Problema 3. Trag la ıntamplare bile dintr-o urna infinita. Mereu am sansa 1/2sa iau o bila rosie, 1/3 sa iau una galbena si 1/6 sa iau una albastra. Care e sansaca dupa 3n extrageri sa am la fel de multe bile din fiecare culoare?

Problema 4. Fac pasi ıntr-un carioaj infinit, pornind dintr-un varf numit orig-ine. La fiecare pas, ma misc fie ın dreapta, fie ın sus, fie ın dreapta-sus, cu cate ounitate, cu sansa egala; care e pozitia ın care voi avea sansa cea mai mare sa maaflu dupa 3n pasi?

Problema 5. Se da o tabla 7× 7 cu 0 scris ın fiecare celula. Avem doua tipuride operatii posibile: Fie adunam +1 la fiecare celula dintr-un sub-patrat 3 × 3, fieadunam un −1 la fiecare celula dintr-un sub-patrat 4× 4. Sa se arate ca se pot face25 de operatii, astfel ıncat la final sa avem 0 peste tot, ca la ınceput.

2. Asocierea starilor cu numere

De multe ori, o problema de combinatorica ascunde ın spate un adevar algebric,sau de teoria numerelor, care a fost reformulat. Este bine, adesea, pe langa abor-darea pur combinatorica (de gandire si creatie), sa ıncercati si sa formalizati algebricenuntul, ıntrucat poate solutia va veni mai natural pe aceasta cale.

Problema 1. Un vestiar are n compartimente, initial toate ınchise. Apoi, ncopii vin si fac urmatoarele operatii: al k− lea copil ia usile din k ın k, ıncepand cuprima, si le schimba starea (din deschis ın ınchis sau invers). Care compartimentevor fi deschise dupa ce trec toti copiii?

Problema 2. In plan exista n puncte rosii, n puncte verzi si n puncte albas-tre (oricare 3 necoliniare). Sa se gaseasca, ın functie de n, numarul maxim k detriunghiuri cu varfurile printre cele 3n puncte astfel ıncat

(i) Fiecare triunghi are varfurile de culori diferite(ii) Oricare doua triunghiuri nu au nicio latura comuna.Problema 3. Avem n oameni pusi ıntr-un sir si fiecare primeste cate o palarie

pe cap, alba sau neagra. Se stie ca al k-lea din sir vede doar palariile celor din fata(k + 1, ..., n, iar ultimul nu vede nimic). Acestia spun, de la cel mai din spate la celmai din fata (1 → n) cate o culoare. Exista vreo strategie predefinita astfel ıncatoricum ar fi selectate palariile, cel mult unul sa zica o culoare diferita de cea de pepropria palarie?

Problema 4. Pe masa avem un sir de n carti de joc, unele cu fata ın jos, altelecu fata ın sus. La fiecare pas, aleg (daca exista) doua carti diferite cu fata ın jos sirastorn toate cartile dintre ele inclusiv capetele. Sa se arate ca la un moment datnu mai putem efectua mutari.

2

Page 3: METODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE · PDF fileMETODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE COMBINATORICA C.M. Bonciocat 1, A. Pascadi 1. Polinoame De nit˘ie. Un polinom ^ ntr-o variabil a Xeste

Problema 5. (Baraj 2007) Se considera o tabla n× n avand patratele unitatecolorate arbitrar ın alb si negru, astfel ıncat exact trei din patratele situate ın colturisunt colorate ın alb iar al patrulea ın negru. Sa se arate ca exista un patrat 2 × 2ce contine un numar impar de patrate unitate colorate ın alb.

Problema 6. (Baraj 2007) Se considera o tabla 8×8 ımpartita ın 64 de patrateunitate. Numim diagonala a tablei o multime de 8 patrate cu proprietatea ca pefiecare linie si pe fiecare coloana a tablei se afla exact un singur patrat al diagonalei.Unele dintre patratele tablei se hasureaza astfel ca pe orice diagonala sa fie exactdoua patrate hasurate. Sa se arate ca exista doua linii sau doua coloane ale tableipe care se afla toate patratele hasurate.

3. Valori de adevar si functii caracteristice

Definitie. Pentru A ⊆ U , notam χA : U → {0, 1} functia

χA(e) =

{1 daca e ∈ A0 altfel.

Acel U apare doar pentru a defini corect functia din punct de vedere matematic.De obicei se lucreaza cu A1, ..., An submultimi ale unei multimi mai cuprinzatoare,si se lucreaza cu aceasta pe post de U .

Definitie. Pentru o expresie logica sau matematica E, notam

[E]∆=

{1 daca E adevarata

0 altfel.

Avem urmatoarele proprietati importante, care merg mana ın mana:

χ2A = χA [A]2 = [A]

χU\A = 1− χA [non A] = 1− [A]χA∩B = χAχB [A and B] = [A][B]

χA∪B = χA + χB − χAχB [A or B] = [A] + [B]− [A][B]χA\B = χA − χAχB [A without B] = [A]− [A][B]

χA4B = χA + χB − 2χAχB [A xor B] = [A] + [B]− 2[A][B]

Aceste lucruri pot veni ın ajutor cand enuntul este foarte complicat si greu degandit cu logica sau numarare pura.

Problema rezolvata. (Principiul Includerii si al Excluderii). Fie A1, A2, ..., An

multimi finite. Avem

|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑

{i1,...,ik}⊆{1,...,n}

(−1)k+1|Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik |.

Solutie. Alegem U = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An. Avem |M | =∑

e∈U χM(e) pentru oriceM ⊆ U . Deci, e suficient sa aratam ca

χA1∪A2∪···∪An(e) =∑

{i1,...,ik}⊆{1,...,n}

(−1)k+1χAi1∩Ai2

∩···∩Aik(e),

3

Page 4: METODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE · PDF fileMETODE ALGEBRICE ^IN PROBLEME DE COMBINATORICA C.M. Bonciocat 1, A. Pascadi 1. Polinoame De nit˘ie. Un polinom ^ ntr-o variabil a Xeste

oricare ar fi e. Se observa ca 1 − χA∩B = (1 − χA)(1 − χB), deci prin inductie seobtine

1− χA1∪A2∪···∪An = (1− χA1)(1− χA2) · · · (1− χAn).

Prin desfacerea parantezelor si prin folosirea formulei χA∩B = χAχB se obtine for-mula dorita. �

Problema 1. Fie A1, A2, ..., An multimi si E un numar de expresii cu reuniune,intersectie, diferenta ıntre aceste multimi. Stiind ca oricare doua expresii nu dauaceeasi multime, sa se gaseasca valoarea maxima a lui E ın functie de n dupa toate(A1, A2, ..., An).

Problema 2. Fie A1, A2, ..., An multimi finite. La fiecare pas, se aleg i, j, k treiindici diferiti de la 1 la n, cu Ai, Aj, Ak nu toate egale, si acestea se ınlocuiesc cuAi∩Aj, Aj∩Ak, Ak∩Ai. Sa se arate ca, dupa un numar finit de pasi, toate multimilevor fi egale.

Problema 3. Fie n puncte ın plan si o colorare a celor(n2

)segmente cu rosu si

alb astfel ıncat fiecare punct are exact k < n muchii albe care pleaca din el. Gasiti,ın functie de n si k, numarul de triunghiuri monocrome (cu toate muchiile de aceeasiculoare).

Problema 4. (RMM 2012) Se da un numar finit de baieti si fete. Numim omultime de baieti sociabila daca fiecare fata cunoaste macar un baiat din multime.Similar definim o multime de fete sociabila. Sa se arate ca numarul de multimisociabile de baieti si numarul de multimi sociabile de fete au aceeasi paritate. (DacaA cunoaste pe B, atunci si B cunoaste pe A).

4