Upload
ersania-aulyani
View
353
Download
57
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Metode Elemen Hingga
Citation preview
KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR
Dengan mengucap syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang
telah melimpahkan rahmatNya, sehingga dapat terselesaikan
pembuatan diktat kuliah Metode Elemen Hingga ini.
Diktat ini disusun dimaksudkan untuk membantu serta menunjang
matakuliah Metoda Elemen Hingga sebagai pegangan dasar. Buku ini
disusun berdasarkan beberapa buku acuan serta pengalaman penulis
selama mengajar matakuliah ini. Dalam kesempatan ini penulis
mengucapkan pada semua fihak yang telah membantu hingga
tersusunnya diktat kuliah ini.
Akhirnya penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak
kekurangan, untuk itu adanya kritik dan saran yang membangun sangat
diharapkan agar karya-karya selanjutnya lebih sempurna lagi.
Malang, September 2003
Penulis
DDAAFFTTAARR IISSIIPPEENNDDAAHHUULLUUAANN II
DDAAFFTTAARR IISSII IIII
BBAABB II :: DDAASSAARR--DDAASSAARR MMEETTOODDEE EELLEEMMEENN HHIINNGGGGAA 111.1 Pendahuluan 1
1.2 Sistem Koordinat 2
1.1 Sistem koordinat 2-D/Sistem Koordinat Luasan 3
1.2 Sistem Koordinat 3-D (Elemen Tetrahedral) 4
1.3 Transformasi Koordinat 4
1.4 Hubungan Tegangan-Regangan 6
1.5 Konsep Dasar Analisis MEH 7
1.6 Metoda Untuk Formulasi Integral 8
1.7 Analisis Prinsip Energi Potensial Minimum 10
1.8 Konsep Elemen Hingga 2-Dimensi 18
1.9 Elemen Segitiga Isoparametrik 26
1.10 Elemen Segiempat 29
BBAABB IIII :: AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA SSTTRRUUKKTTUURR 33112.1 T R U S S 31
2.2 B E A M 41
2.3 F R A M E 47
BBAABB IIIIII :: IINNTTEERRPPOOLLAASSII DDAANN IINNTTEEGGRRAASSII NNUUMMEERRIIKK 5511
BBAABB IIVV :: AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA PPEERRPPIINNDDAAHHAANN PPAANNAASS 55444.1 Steady State Uniaxial Heat Flow 54
4.2 Model Elemen Hingga Aliran Panas 1-Dimensi 56
4.3 One Dimensional Heat Flow With Convection 58
4.4 Perpindahan Panas dan Aliran Fluida 2-Dimensi 62
BBAABB VV :: AANNAALLIISSAA TTEEGGAANNGGAANN AAXXIISSYYMMMMEETTRRIICC 66445.1 Persamaan Dasar untuk Elemen 66
5.2 Persamaan Elastisitas Axisymmetric 67
DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 7711
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 1Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
BAB I
DASAR-DASARMETODE ELEMEN HINGGA
1.1 Pendahuluan
Perkembangan dunia komputer telah begitu cepatnya
mempengaruhi bidang-bidang penelitian dan industri, sehingga impian
para ahli dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan industri telah
menjadi kenyataan. Pada trend sekarang ini, metoda dan analisa desain
telah banyak menggunakan perhitungan metematis yang rumit dalam
penggunaan sehari-hari. Metode elemen hingga (finite element method)
banyak memberikan andil dalam melahirkan penemuan-penemuan
bidang riset dan industri, hal ini dikarenakan dapat berperan sebagai
research tool pada eksperimen numerik. Aplikasi banyak dilakukan pada
problem kompleks diselesaikan dengan metode elemen hingga seperti
rekayasa struktur, steady state dan time dependent heat transfer, fluid
flow, dan electrical potential problem, aplikasi bidang medikal.
Gambaran dasar sebagai berikut.
Pada bab ini dibahas mengenai dasar-dasar analisa elemen
hingga, yang didalamnya meliputi sistem koordinat, transformasi
koordinat, hubungan tegangan-regangan, prinsip energi potensial
minimum, dan juga konsep model untuk elemen 2 dimensi.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 2Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.2 SISTEM KOORDINAT
- Sistem koordinat global
koordinat struktur untuk sebuah titik pada continum
- Ref untuk seluruh continum
- Ref untuk seluruh struktur
- Sistem koordinat lokal
Sistem koordinat yang dipasang pada elemen (acuan pada
elemen yang bersangkutan)
Physical problem Change ofphysicalproblem
Mathematic model Governed bydifferential equations Assumptions on
Geometry Kinematics Material law Loading Boundary conditions, etc.
Improvemathematicalmodel
Finite element solutionChoice of
Finite elements Mesh density Solution parameters
Representation of Loading Boundary conditions, etc.
Refine mesh, solutionparameter etc.
Assessment of accuracy of finite elementsolution of mathematical model
Interpretation result Refine analysis
Design improvements Structural optimization
Finite elementsolution ofmathematicalmodel
Proses Analisa M E H
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 3Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
- dipasang elemen
- Ref untuk titik-titik yang ada di elemen
- Sistem koordinat natural
Terdiri atas koordinat tanpa dimensi untuk identifikasi posisi, dengan
tanpa terpengaruh oleh keluaran elemen.
Merupakan nisbah koordinat tersebut terhadap ukuran elemen
Sistem koordinat Natural 1-D (elemen garis)
LSL = 11 ; L
SL =2
1.2.1 Sistem Koordinat 2-D / Sistem Koordinat Luasan
(elemen segitiga)
P (L1, L2, L3) Dimana
Koordinat global P(xp)
Koordinat lokal P (xs)
Koordinat natural P(L1,L2)
L1 + L2 + L3 = 1
1
11 321
32tS
LuasPLuasL =
=
2
22 321
31tS
LuasPLuasL =
=
3
33 321
31tS
LuasPLuasL =
=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 4Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.2.2 Sistem koordinat 3-D (elemen tetrahedral)
P (L1, L2, L3, L4)
Dimana
4321432
1
=
VolPVolL
4321431
2
=
VolPVolL
4321421
3
=
VolPVolL
4321321
1
=
VolPVolL
L1 + L2 + L3 + L4 = 1
1.3 TRANSFORMASI KOORDINAT
Koordinat yang banyak digunakan dalam metode elemen hingga
adalah koordinat kartesian, dan koordinat sering dinyatakan dalam
bentuk vektor yang dijabarkan sebagai berikut :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 5Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
=
p
p
YX
P
=
p
p
YX
p
SinYCosXX ppp +=
CosYSinXY ppp +=
=
YX
CosSinSinCos
YX
.
Matrik transformasi [T]
=
CosSinSinCos
=
YX
CosSinSinCos
YX
.
[T]-1 = [T]T orthogonality
Koordinat dinyatakan dalam 3 Dimensi
Orientasi X (l1, m1, n1)
Orientasi Y (l2, m2, n2)
Orientasi Y (l3, m3, n3)
=
ZYX
nmlnmlnml
ZYX
333
222
111
[T]
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 6Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.4 HUBUNGAN TEGANGAN REGANGAN
Evv zyx
x
.. =
Evv zxy
y
.. =
Evv yxz
z
.. =
Gxy
xy
= ; Gyz
yz
= ; Gzx
zx =
dimana : )1(2 v
EG+
=
E = Modulus Elastisitas
= poisson ratio
}].{[}{ C= { } { }zxyzxyzyxT =
+
++
=
)v1.(20
0)v1.(2
00
00
00
00
00)v1.(20000001vv00001v000vv1
.E1c
Selanjutnya :
{ } [ ]{ } .E=Dimana ;
[ ]
+=
cc
cabbbabbba
VEE
000000000000000000000000
1
V21V1a
= ; V
Vb21
= ; 21
=c
1][][ = CE
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 7Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.5 KONSEP DASAR ANALISIS MEH.
Dua kategori model matematik :
- lumped-parameter models (discrete-system)
- continuum-mechanics-based models (continuous-ystem).
Kondisi Problem :
1. Steady -State Problems.
K . U = R
2. Propagation Problems/Dynamic Problem.
M . + K . U = R(t)
3. Eigenvalue Problems.
Konsep Dasar Metode Elemen Hingga
1. Menjadikan elemen-elemen diskrit untuk memperoleh simpangan-
simpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur.
2. Menggunakan elemen-elemen kontinum untuk memperoleh solusi
pendekatan terhadap permasalahan-permasalahan
perpindahan panas, mekanika fluida dan mekanika solid.
Dua karakteristik yang membedakan metoda elemen hingga dengan
metoda numeric yang lain yaitu :
-. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk menghasilkan
sistem persamaan aljabar.
-. Metoda ini menggunakan fungs-fungsi kontinyu untuk pendekatan
parameter-parameter yang belum diketahui.
Lima langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metoda
elemen hingga yaitu :
1. Permasalahan fisik dibuat elemen-elemen kecil. Elemen-elemen
tersebut ditandai dengan nomor elemen dan nomor titik nodal,
termasuk juga harga-harga koordinat.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 8Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
2. Tentukan persamaan pendekatannya, linear atau kuadratik.
Persamaan-permsamaan tersebut harus ditulis dalam bentuk
harga-harga nodal yang belum diketahui. Ini berlaku untuk setiap
elemen, artinya setiap elemen harus didefinisikan sifatnya dalam
bentuk persamaan diatas.
3. Bentuklah sistem persamaan diatas dengan metoda Galerkin,
Varisional, Formulasi energi potensial, Collocation, Subdomain, dll.
Khusus untuk formulasi energi potensial, energi potensial dari sistem
ditulis dalam bentuk simpangan nodal dan kemudian
diminimalkan. Dimana akan diberikan satu persamaan setiap
simpangan yang belum diketahui.
4. Selesaikan sistem persamaan diatas.
5. Hitung besaran yang dicari. Besaran bisa berupa komponen-
komponen tegangan, aliran panas atau kecepatan fluida.
1.6 METODA UNTUK FORMULASI INTEGRAL
Metoda Varisional
dxQydxdyDH
=
0
2
2(1)
Harga numeric dapat dikalkulasi dengan memberikan persamaan
coba-coba y=f(x). Misal persamaan coba-coba yang memberikan harga
terkecil adalah y=g(x), maka persamaan ini merupakan jawab dari
persamaan diferensial berikut :
022
=+Qdx
ydD (2)
dengan kondisi batas y(0)=y0 dan y(H)=yH harga minimum adalah
merupakan jawab pendekatan.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 9Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Weighted Residual Method; Ritz Method
Andaikan bahwa y=h(x) adalah merupakan jawab pendekatan
terhadap persamaan (2), dengan subsitusi akan memberikan :
0)()(22
=+ xRQdx
xhdD
karena y=h(x) tidak memenuhi persyaratan persamaan, WRM
mengharuskan :
=H i dxxRxW0 0)()(fungsi residual R(x) ;fungsi pemberat (weighting) Wi(x), Beberapa pilihan
fungsi pemberat dengan beberapa metoda yang popular :
1. Metoda Collocation
2. Metoda Subdomain
3. Metoda Galerkin
4. Metoda Least Squares
Formulasi Energi Potensial
Integral volume dengan hasil kali komponen tegangan & regangan.
dVv
xxxx= 2.
.
Prinsip energi potensial minimum dan energi regangan banyak
digunakan untuk menganalisis masalah-masalah struktur dan mekanika
solid.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 10Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.7 ANALISIS PRINSIP ENERGI POTENSIAL MINIMUM
Variabel tak bebas dof
Variabel bebas koordinat
Ada syarat kontinuitas bentuk persamaan tidak ada gabungan
Kompatibilitas berkaitan dengan dof
Elemen linear node diujung, sebagai contoh seperti pada elemen
linear sederhana
Dalam domain mekanika solid harus ada boundary condition (BCs)
yaitu dof yang direstrin/ diberikan kendala.
Domain yang terbagi sumbu domain merupakan :
- Kasus per elemen dengan f interpolasi
- Keseimbangan statis pada elemen dengan kaidah struktur yang
dikenai beban akan terdeferensi (prinsip energi potensial minimum)
Keseimbangan terjadi kalau energi potensial minimum dalam suatu
sistem.
Dalam MEH merupakan suatu teknik numerik dari model matematis suatu
sistem yang digambarkan dari suatu fenomena problem. Sebagai
gambaran dapat diterapkan pada elemen garis, dan dengan konsep
energi potensial minimum (pada solid mekanik) kemudian dilakukan
dengan teknik numerik murni sehingga membentuk persamaan diskrit
sebagai berikut: [ ] {} = {f}, yaitu suatu matrik dikalikan denganvektor dof sama dengan vektor beban.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 11Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Energi potential total = Kerja gaya luar + Energi regangan
- Beban terpusat
- Beban traksi (bekerja pada permukaan)
- Body force (centrifugal, gaya magnit gravitasi, gaya
elektromaknetik) (Beban/Variabel)
Prinsip Energi Potensial Minimum
Analisa tegangan (prob elastisitas benda padat) dengan FEM
didasarkan pada prinsip Energi potensial minimum yang
menyatakan :
Dari sekian persamaan perpindahan yang memenuhi
kompatibilitas interval dan memenuhi syarat batas, maka
persamaan perpindahan yang juga memenuhi kondisi
keseimbangan stabil adalah persamaan perpindahan yang
memberikan / menghasilkan energi potensial yang terkecil
(minimum).
Prinsip tersebut mengimplikasikan hal-hal sebagai berikut :
- Perlunya pendefinisian persamaan perpindahan untuk setiap
elemen yang memenuhi syarat kompabilitas antar elemen.
- Persamaan perpindahan tersebut diatas harus memenuhi semua
syarat batas
- Penjabaran persamaan energi potensial yang dianalisa.
Persamaan diumpamakan sebagai fungsi persamaan (dalam hal
ini persamaan node) yang akan dicari nilainya (yang tidak
diketahui)
- Minimalisasi energi potensial terhadap persamaan yang tidak
diketahui tersebut.
Energi Potensial
Energi regangan kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal
yang bekerja pada sistem.
Energi Potensial
Energi regangan kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal
yang bekerja pada sistem.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 12Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Energi regangan
+++++=V
zxzxyzyzxyxyzzyyxx)e( dv).....(2
1U
dv]B][E[]B[}d{21dv}{}{2
1V
TT
V
T ==Kerja yang dilakukan body force
++=V
zyxbf dVbwbvbuW )...(
Kerja yang dilakukan oleh beban traksi (beban terdistribusi)
++=V
zyxt dApwpvpuW )...(
Kerja yang dilakukan oleh beban terpusat
zzyyxxf PdPdPdW ... ++=
Energi potensial total :
{ } { }=
=
n
e
Te Pd1
.
Dimana : tbfee WWu =
Minimalisasi energi potensial, 0=dx
, maka
[ ] { } { } { } =
+=n
e
n
e
ee PfdK1 1
.
Merupakan rumus umum.
Dimana :
{ } { } { }etebfe fff +=
Contoh penyelesaian MEH dari persamaan diferensial :
Persamaan deferensial :
122
=+ udxud
Kondisi batas : u(0)= 0 ; u(2)=0
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 13Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
xi
Solusi eksak : u = 1 cos x.
Prosedur Penyelesaian :
1. Diskrititasi region.Dalam region dibagi dalam 4 elemen dan elemen dan nodaldiberi nomor.
u~
1 2 3 4 1 2 3 4 5
0 /2 3/2 2
2. Buat trial function.
u~
Fungsi asumsi :
xaau 21~ +=
ii xaauu 21~ +==ij
jiij
xxuxux
a
=1
jj xaauu 21~ +==ij
ji
xxuu
a
+=2
ije
L
x
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 14Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ]{ }qNNuu
xxxx
xxxx
uj
i
ij
i
ij
j21
~=
=
3. Substitusi trial functions kedalam governing equation.
===
=+4
1
4
1
4
1
21 0..
~.~
eX
eX
eX
XX dxWdxuWdxdx
uddxdW
dxduW
eee
Weighting function untuk metode Galerkin :
ii a
uW
=
~
untuk masing-masing konstanta a1 dan a2 :
11
~N
auWi=
= 22
~N
auWj=
=
ij
j
xxxx
NW
== 11ij
i
xxxx
NW
== 22
dan :
ij xxdxdN
dxdW
==111
ij xxdxdN
dxdW
==122
governing equation dalam bentuk matrik :
[ ]
=
+
j
i
j
i
j
i
j
i
x
x
x
xj
i
x
x j
ix
x
dxNN
dxuu
NNNN
dxuu
dxdN
dxdN
dxdNdxdN
dxdu
NN
0
..
2
121
2
1
21
2
1
2
1
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 15Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Pengembangan suku 1 :
=
=
j
i
i
j
i
i
ji
j
x
xx
xx
x
x
x
dxdudxdu
dxdu
dxdu
dxduN
dxduN
dxduN
dxduN
0
0
2
1
2
`
Suku 2 :
=
j
i
ej
ix
x uu
Lidx
uu
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
j
i 1111
2212
2111
dimana : Le = xj - xiSuku 3 :
[ ]
=
=
j
i
e
ejiij
j
ix
xj
ix
x
uu
LLxxxx
dxuu
NNNNNNNN
dxuu
NNNN j
i
j
i
2112
.632
33
2212
211121
2
1
Suku 4 :
+
=
1
1.2
..222
2
1
e
ijijx
x Lxxxx
dxNNj
i
Secara keseluruhan :
=
+
+
00
11
.2.2
2112
.6...3
11111
)(
)(
22
2
33
e
ijij
j
i
e
ejiij
j
i
ej
i
Lxxxx
uu
LLxxxx
uu
Lxdxdu
xdxdu
Aplikasi untuk setiap elemen, dengan asumsi Le = L
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 16Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Elemen 1 : i = 1, j = 2, x1 = 0 , dan x2 = L
=
+
=
=
00
11
22112
611111
2
1
2
10 LuuL
uu
Ldxdudxdu
Lx
x
Elemen 1 : i = 2, j = 3, x2 = L , dan x3 = 2L
=
+
=
=
00
11
22112
611111
3
2
3
2
2
LuuL
uu
Ldxdudxdu
Lx
Lx dst.
Diasumsikan du/dxIx=L pada elemen 1 sama dengan du/dxIx=L padaelemen 2 maka :
Asembly persamaan :
=
+
=
=
00000
12221
2
2100014100014100014100012
6
1100012100
012100012100011
1
000
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
0
L
uuuuu
L
uuuuu
L
dxdu
dxdu
Lx
x
dengan kondisi batas essential : u1 = 0 ; u5 = 0 maka :
=
+
000
222
24101410`4
6210121
0121
4
3
2
4
3
2 L
uuu
L
uuu
L
disederhanakan dan dengan L = /2 didapat :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 17Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
=
=
130.1033.2130.1
111
804.141304.2
4674.81304.204674.81304.2
4
3
2
4
3
2
uuu
uuu
X Exact 4 Elemen 8 Elemen/4 0.293 - 0.3322/4 1.000 1.130 1.0383/4 1.707 - 1.7224/4 2.000 2.033 2.0035/4 1.707 - 1.7226/4 1.000 1.130 1.0387/4 0.293 - 0.332
Gambar hasil yang yang dibandingkan dengan solusi eksak dan MEHdengan beda jumlah elemen sebagai berikut :
u
X(rad)
0
2
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 18Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1
1.8 KONSEP MODEL ELEMEN HINGGA 2 DIMENSI
ELEMEN LUASAN (SEGITIGA , SEGIEMPAT).
Sistem koordinat.
! Global Coordinate
Fungsi asumsi :
U(X,Y) = 1 + 2 X + 3 YV(X,Y)= 1 + 2X + 3 Y
=
3
2
1
33
22
11
3
2
1
111
YXYXYX
uuu
{q1}= [A1] . {}
X
Y
2
3
1U1
V1
X
Y
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 19Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
=
3
2
1
33
22
11
3
2
1
111
YXYXYX
vvv
{q2}= [A1] . {}
[ ]
==
=
321
321
32
1
1
1
33
22
111
1
1
det1
][mindet][int
111
cccbbbaaa
AofanterAofadjo
YXYXYX
A
{} = [A1] -1 . {q1}
{} = [A1] -1. {q2}
{u} = [1 X Y}.[A1] -1 . {q1}
{v} = [1 X Y}. [A1] -1. {q2}
{ }
=
3
2
1
1
uuu
q { }
=
3
2
1
2
vvv
q
Ekspansi : [1 X Y}.[A1] -1 .
[1 X Y}.[A1] -1 .
[ ] [ ] [ ][ ]333222111det1 YcXbaYcXbaYcXba ++++++=
= [N1 N2 N3]
sehingga :
u = [N1 N2 N3] .
3
2
1
uuu
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 20Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
v = [N1 N2 N3] .
3
2
1
vvv
dalam bentuk matrik
=
3
3
2
2
1
1
321
321
00000
vuvuvu
NNNNONN
vu
atau bentuk symbol : {u} = [N] . {q}
Koordinat local :
u(X,Y) = 1 + 2 x + 3 yv(X,Y)= 1 + 2x + 3 y
=
3
2
1
33
2
3
2
1
101001
yxx
uuu
{q1}= [A1] . {}
2
3
1X
Y
xy
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 21Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ]
==
321
321
32
1
111
1
det1
][mindet][int
cccbbbaaa
AofanterAofadjoA
{} = [A1] -1 . {q1}
{} = [A1] -1. {q2}
{u} = [1 x y}.[A1] -1 . {q1}
{v} = [1 x y}. [A1] -1. {q2}
=
3
3
2
2
1
1
321
321
00000
vuvuvu
NNNNONN
vu
atau bentuk symbol : {u} = [N] . {q} dimana :
32
23231 .
)()(yx
xxyxxyN+
= ;32
332 .
.yxyxyxN
=
32
23 .yx
yxN =
Koordinat Natural
2
3
1X
Y
xL3
L2
L1
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 22Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Fungsi asumsi :
u = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3
Hubungan koordinat natural : L1 + L2 + L3 = 1
u = L1 u1 + L2 u2 + (1 L1 L2) u3
v = L1 v1 + L2 v2 + (1 L1 L2) v3
Untuk elemen isoparametrik :
X = L1 X1 + L2 X2 + (1 L1 L2) X3
Y = L1 Y1 + L2 Y2 + (1 L1 L2) Y3
Aplikasi solid (mekanik) : -plane stress
- plane strain
"""" Elemen segitiga linear
(elemen regangan konstan)
Ciri : - 3 node per elemen
- 2 dof per node
u : displacement arah x
v : displacement arah y
Q variasinya diasumsikan fungsi linear (pada sub domain
bervariasi linear)
Pada solid mekanik, konsekuensi linear regangan konstan di
titik manapun di elemen sehingga tegangan juga konstan.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 23Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Step 1
* membuat fungsi linear
Fungsi interpolasi (asumsi) displacement
yxyxu ..),( 321 ++=
yxyxv ..),( 321 ++=
2),( =
=
xuyxx
3),( =
=
yvyxy
23),( +=
+
=
xv
yuyxxy
u dan v titik sebarang pada elemen (boleh node/tidak)
Shape function ;
Step 2
Menyatakan hubungan dengan displacement node
{} = [B] {d}
Step 3
=V
Te dvBEBK ]].[.[][][ )(
Untuk tebal elemen konstan = h
=A
Te dAhBEBK .].].[.[][][ )(
AhBEBK Te .].].[.[][][ )( = Untuk : plane stress
Plane strain untuk h = 1 unit yang membedakan [E]
"""" Beban node ekuivalen akibat body force
{ } [ ]
=
V y
xTbf dVb
bNf
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 24Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
- body force jadi 2 komponen dalam fungsi x dan y
- batas integral untuk elemen
"""" Beban node ekuivalen akibat traksi
{ } [ ]
=
A y
xTbf dAp
pNf
"""" Beban node ekuivalen akibat beban thermal (beban mula)
{ } [ ]0.. TTTth = [ ] [ ] [ ]{ }dVEBf th
V
Tth = .
Untuk setiap elemen perlu dianalisa
[ ])(eK{ } { }ebfe ff =)(
Untuk struktur
[ ] =
=
n
e
eKK1
)( ][
{ } { }=
+=n
e
e PfF1
)(}{ Beban terpusat
[ ]{ } { }FDK =
Solusi kasus 2-D
Fungsi interpolasi
yxyxu ..),( 321 ++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 25Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
131211 .. yxU ++=
232212 .. yxU ++=
333213 .. yxU ++=
=
3
2
1
33
22
11
3
2
1
.111
YXYXYX
UUU
=
3
2
11
33
22
11
3
2
1
.111
UUU
YXYXYX
=
3
2
1
321
321
321
3
2
1
.1
UUU
cccbbbaaa
J
)..( 32321 xyyxa = ; )..( 31312 yxxya = ; )..( 21213 xyyxa =
321 yyb = ; 132 yyb = ; 213 yyb =
231 xxc = ; 312 xxc = ; 123 xxc =
)()()..( 2313213232 xxyyyxxyyxJ ++=
{ } [ ]{ }.1 yxU =
{ } [ ]
=
3
2
1
.1
yxU
{ } [ ].1 yxU =
3
2
1
321
321
321
.UUU
cccbbbaaa
{ }
++++++=
3
2
1
333222111 )].()()[(1
UUU
ycxbaycxbaycxbaJ
U
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 26Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
{ } [ ]
=
3
2
1
321 .UUU
NNNU
)(1 1111 ycxbaJN ++=
)(1 2222 ycxbaJN ++=
)(1 3333 ycxbaJN ++=
1.9 ELEMEN SEGITIGA ISOPARAMETRIK
Elemen isoparametrik yaitu fungsi interpolasi untuk koordinat
geometri-identik dengan fungsi interpolasi untuk perpindahan. Pada
Elemen segitiga digambarkan sebagai berikut
[ ]
=
3
3
2
2
1
1
.
YXYXYX
NYX
Misal
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 27Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Sehingga yang dibicarakan adalah koodinat natural, tidak hanya :
332211 ... ULULULU ++=
332211 ... VLVLVLV ++=
Tetapi
332211 ... XLXLXLX ++= X1, Y1 koordinat node
332211 ... YLYLYLY ++=
L1, L2, L3 = koordinat natural (luasan)
L1, L2, L3 = 1
Interpolasi Formula
44332211 ....),( XNXNXNXNtsX +++=
44332211 ....),( YNYNYNYNtsY +++=
),( tsNi
Dengan formula interpolasi lagrange
Dalam arah x dalam arah y
Untuk n = 2
21
211 )( xx
xxxl
= 41
411 )( yy
yyyl
=
Elemen shape function N1e
41
4
21
211
111 .)().(),( yy
yyxxxxylxlyxN e
==
Untuk :
41
4
21
21 .),( tt
ttsssstsN
=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 28Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Node 1 : s1 = -1 ; t1 = -1 Node 3 : s3 = 1 ; t3 = 1
Node 2 : s2 = 1 ; t2 = -1 Node 4 : s4 = -1 ; t4 = 1
2)1(.
2)1(
11)1(.
11)1(),(1
tststsN =
=
4)1).(1(),(1tstsN =
32
3
12
12 .),( tt
ttsssstsN
=
2)1(.
2)1(
11)1(.
11)1( tsts +
=
+
+=
4)1).(1(),(2tstsN +=
23
2
43
43 .),( tt
ttsssstsN
=
4)1).(1(
11)1(.
11)1( tsts ++
=
+
+
+
+=
14
1
34
34 .),( tt
ttssss
tsN
=
4)1).(1(
11)1(.
11)1( tsts +
=
+
+
=
Kelemahan elemen linear
- Berawal dari asumsi yaxaaU .321 ++=
regangan konstan maka kalau membahas defleksi tegangan baik
hanya ditengah
perbaikan dengan membentuk elemen nonlinear
untuk
332211 ... UNUNUNU ++= N1=Li i = 1, 2, 3
4332211 ... VNVNVNV ++=
dengan asumsi :
yaxaaU .321 ++=
ybxbbV .321 ++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 29Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.10 ELEMEN SEGI EMPAT
Keuntungan : pada FEM yang didapat distribusi
Pada konvensional yang didapat pada titik tertentu
"""" Elemen Isoparametrik
=
=
n
iii UNU
1.
=
=
n
iii XNX
1
1.
=
=
n
iii VNV
1.
=
=
n
iii YNY
1
1.
Ni = Ni1 isoparametrik
"""" Elemen Isoparametrik
Linear hanya mempunyai node diujung-ujungnya
Penomoran : sebarang, tapi analisanya dimulai dengan CCW
Dimapping ke koordinat s. t ke koordinat natural
Isoparametrik
44332211 ....),( UNUNUNUNtsU +++=
44332211 ....),( VNVNVNVNtsV +++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 30Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
44332211 ....),( XNXNXNXNtsX +++=
44332211 ....),( YNYNYNYNtsY +++=
4)1)(1(
1tsN =
4)1)(1(
3tsN ++=
4)1)(1(
2tsN +=
4)1)(1(
4tsN +=
Asumsi fungsi Interpolasi untuk perpindahan
332211 ... ULULULU ++=
332211 ... VLVLVLV ++=
=
3
3
2
2
1
1
321
321 .000
000
VUVUVU
LLLLLL
VU
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 31Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
BAB II
AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA SSTTRRUUKKTTUURR
2.1 T R U S S
Adalah struktur yang istimewa, dimana joint yang dirancang tidak
untuk mendukung momen, dan dapat dikatakan merupakan elemen 2
Force member yang seolah-olah merupakan sambungan pin.
Konsekuensi
Karena tidak mendukung momen dalam keseimbangannya
batang sebagai 2- force member sehingga beban selalu dikerjakan di
joint. Sehingga gaya-gaya berimpit dengan sumbu aksial batang.
Dalam MEH diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan
membuat node-node, dengan berat sendiri diabaikan. Struktur yang dilas
bisa didekati dengan truss asal fabrikasinya baik yaitu sumbu aksial
bertemu di satu titik. Elemen garis dapat berupa truss, beam, frame.
Metoda langsung Hubungan displacement dan kekakuan
P
Aplikasi elemen hingga untuk analisa struktur, yaitu untuk strukturtruss, beam, dan frame. Juga dijelaskan mengenai ciri-ciri masing-masing stuktur tersebut, kelebihan dan kekurangannya masing-masing
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 32Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
KP
LAEP
AEPL
===
Derajat kebebasan (dof) displacement (dalam struktur)
variable analisa
Per node memiliki 1 dof
Elemen truss yang terletak pada sumbu x
Hubungan gaya, displacement, stifness
Bagaimana dengan display yang ditengah Fungsi interpolasi
(pendekatan) untuk displacement : dipilih polynomial (karena mudah
didefferensialkan / diintegrasikan)
Syarat : - Kontinuitas
- Kompabilitas
xaaxU .)( 21 += (asumsi)
2)()( a
dxxduxE == (konstanta)
2.)()( aExExT == (konstanta)
pada x = 0
U1 = a1 a1 = ui
pada x = L
U2 = a1 + a2 L Luua 122
=
2112
1 1)( ULXU
LxX
LUUUxU +
=
+=
2211 )()()( UxfUxfxU +=
21
211
1 )()()( UxfUxfxE +=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 33Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
LxxfxN == 1)()( 11
LxxfxN == )()( 22 Shape Function
(Sebagai pola umum perpindahan sebagai fungsi dari Shape function
dengan dof)
20
12
111
0
12
111 .... udxffEAudxffEAX
LL
+
= ditulis dalam bentuk vektor
[k] {d} = {f}
Stiffness vektor vektor
matrix disp. node load node
[k] = matrik kekakuan elemen
= L jiij dxxfxfEAk0
11 )().(
[ ]
=
1111
LEAk
[ ]
=
1111
kk
Persamaan kekakuan dengan Metode Energi :
axial force :
xuEAxAExATS
=== )(.)(.
])()()[(. 21
211
1 UxfUxfxAE +=
{ } [ ]{ }dTd =dengan cara sama :
{ } [ ]{ }fTf =
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 34Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
{ } [ ]{ }fTdK =][{ } [ ]{ }fTdTK =].].[[
{ } { }fdTKT T =].].[.[][}{}].{[ fdK =
dimana
=
22
22
22
222
....
....
][
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
LAEK
model matematis
=
2
2
1
1
2
2
1
1
][
yxyx
vuvu
K
Elemen truss dengan orientasi sembarang
Model matematis
(Persamaan keseimbangan node)
=
2
1
2
1
1111
XX
uu
LAE
[K] {d} = {f}
Spesifikasi elemen :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 35Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
- 2 node pe elemen
- 2 dof per node (u dan v)
Data teknis yang diperlukan :
E, A, L,
2 node per elemen dengan asumsi perpindahan yang terjadi sepanjang
merupakan variasi linear
VYUX ,,, Koordinat lokal
Dalam sistem sumbu lokal
=
2
1
2
1.1111
XX
UU
LAE
Dikembangkan dengan 2 persamaan : nol = nol
=
2
2
1
1
2
2
1
1
0000010100000101
YXYX
vuvu
LAE
Atau
[ ] }{}.{ fdK =
Dimana
=
2
2
1
1
2
2
1
1
.
0000
0000
vuvu
CosSinSinCos
CosSinSinCos
vuvu
Resume
Truss digunakan tidak untuk mendukung momen
* Steps :
1. Diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan
membuat node-node dan diberi nomor.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 36Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
2. Membuat tabel, data yang diketahui dan Cos dan Sin arah setiap
elemen
3. Buat model matematis elemen / K elemen
4. Beri notasi pada K elemen sesuai dengan dof
5. Susun nomor notasi dari K elemen pada susunan K total / assembly
6. Identifikasi B . C
7. Temukan dof aktifnya
8. Temukan problem yang ditanyakan (reaksi pada tumpuan,
tegangan pada batang, dsb)
* Ciri [K] struktur / assemble
- Elemen matriknya : 2 x joint
- Simetris matrik
- Singular matrik
- Tidak semua persamaan independent (hanya 2 persamaan
independent)
* Konsep K Struktur / Assemble
Gaya node di tiap-tiap node pada struktur merupakan sigma gaya
node elemen yang dikontribusikan masing-masing nodenya.
* Konsep keseimbangan truss
Gaya node pada setiap node sama dengan gaya luar (beban /
reaksi tumpuan) dalam arah yang sama.
Contoh
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 37Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Tabel
i j E A L Cos Sin
1 2 E A L 0o
1 3 E A L 60o
2 3 E A L 120o
* K elemen / model matematis elemen
=
22
22
22
222
....
....
][
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
LAEK
( 1 2 ) :
=
0000010100000101
][LAEK
=
2
2
1
1
2
2
1
1
.
0000010100000101
yxyx
vuvu
LAE
( 1 3 ) :
=
3
3
1
1
3
3
1
1
.
4/3434/343434/1434/14/3434/34343414341
yxyx
vuvu
LAE
( 2 3 ) :
=
3
3
2
2
3
3
2
2
.
4/3434/343434/1434/14/3434/34343414341
yxyx
vuvu
LAE
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 38Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
* K struktur
].0.1.0.1[)21( 22111 vuvuLAEX ++=
+= 33111 .4
1.41.3
41
41)31( vuvu
LAEX
+
++= 3322111 .4
341.0.1.
43
45 vuvuvu
LAEX
].0.0.0.0[)21( 22111 vuvuLAEY +++=
+= 33111 .4
3.43.
43.
43)31( vuvu
LAEY
+
+++= 3322111 4
3.43.0.0.
43.
43 vuvuvu
LAEY
].0.1.0.1[)21( 22112 vuvuLAEX +++=
+= 33222 .4
3.41.
43
41)32( vuvu
LAEX
+
+++= 3322112 .4
341.
43.
45.0.1 vuvuvu
LAEX
].0.0.0.0[)21( 22112 vuvuLAEY +++=
++= 33222 .4
3.43.
43.
43)32( vuvu
LAEY
+
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 39Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
+++= 3322112 4
3.43.
43..
43.0.0 vuvuvu
LAEY
++= 33113 .4
3.41.
43.
41)31( vuvu
LAEX
++= 33223 .4
3.41.
43.
41)32( vuvu
LAEX
+
+++= 3322113 .02
1.43.
41.
43.
41 vuvuvu
LAEX
].43.
43.
43.
43[)31( 33113 vuvuL
AEY ++=
+= 33223 .4
3.43.
43.
43)32( vuvu
LAEY
+
+++= 3322112 4
6.0.43..
43.
43.
43 vuvuvu
LAEY
* Model matematis struktur
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
33
33
22
2
1
11
3
3
2
2
1
1
0
000
??
0
.
4/604/3434/34
3
02/1434/14
34/1
4/3434/34
3004
34/1434/501
4/343004/34
3
434/101434/5
y
x
y
x
RYRXRYPX
YRX
VUVUV
U
[K] . {D} = {f}
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 40Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
* Identifikasi B.C
U1 = V2 = U3 = V3 = 0 (kondisi tumpuan pada joint)
* Dof aktif
=
PUV
LAE 0.
4/5004/3
2
1
V1 = 0 ; EAPLU
54
2 =
=
10.
54
2
1
EALP
UV
* Gaya reaksi
=
2
1
3
3
2
1
.
434/3
4/143
430
143
UV
LEA
RRRR
y
x
y
x
.
434/3
4/143
430
143
3
3
2
1
=
LEA
RRRR
y
x
y
x
10.
54EALP
=
434/143
1
54 P
* Gaya Aksial
SinYCosXS .. 22 +=
[ ]
=
12
12.VVUU
SinCosEAS
( )2221122 SCVUCSCVUCLEAX ++=
)]()([( 12122 VVSCUUC
LEA
+=
( )2221212 ( VSUSVSSCULEAY ++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 41Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
)]()([ 122
12 VVSUUSCLEA
+=
)}]()({)}()({[ 122
1212122 VVSUUSCSVVSCUUCC
LEAS +++=
)}]()({)}()({[ 12122
12122 VVSUUCSVVSUUCC
LEA
+++=
)]()()[( 121222 VVSUUCSC
LEA
++=
[ ])()( 1212 VVSUUCLEAS +=
[ ]
=
12
1221 . VV
UUSC
LEAS
* Gaya batang / axial
[ ]
=
12
122121)21( . VV
UUSinCos
LEAS
[ ] PEALP
LEA .
54
0
..54
.01 =
= (tension)
[ ]
=
13
133131)31( . VV
UUSinCos
LEAS
[ ] 000
.2/32/1 =
=
LEA
[ ]
=
23
233232)32( . VV
UUSinCos
LEAS [ ] PEALPLEA .520
..54
.2/32/1 =
=
(tension)
2.2 B E A M
Struktur yang dirancang untuk mendukung beban lateral.
Sehinngga utamanya dapat meneruskan bending, meskipun ada shear
(sebagai konsekuensi logis)
Tegangan Bending Tegangan normal
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 42Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Data teknis :
E, I, L
Pola model matematis
titik diluar node bagaimana defleksi (asumsi dengan interpolasi)
Pada elemen ada 4 yang tidak diketahui 4 suku
Fisik
Justifikasi : truss dapat menurunkan yang konstan sehingga T yang
konstan.
Beam
Fungsi interpolasi (asumsi) : Upaya untuk mendukung yang sebenarnya
(yang didekati bukan fungsinya tetapi nilai numeriknya)3
42
321)( xaxaxaaxV +++=
Justifikasi : di Beam
)()( 22
2
2
xMdxvdEI
EIxM
dxvd
==
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 43Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Keseimbangan Keseimbangan
dxWdV .= dxVMdMM .)( =+
dxdVW = dxVdM .=
44
dxVdEIW =
dxdMV =
33
dxVdEIV =
Pemisalan harus bisa memodelkan daerah beam tidak ada beban
merata sehingga fungsi interpolasi turunan ke IV nya = nol
Model umum ;
Displacement = di)..x(fiDimana fi(x) merupakan fungsi bentuk dan di merupakan Displacement
dari node.
Fungsi Interpolasi (asumsi)3
42
321)( xaxaxaaxV +++=
24231211 )()()()()( xfVxfxfVxfxV +++=
==
dxxdVx )()( 2
142
131
121
11 )()()()( xfVxfxfVxf +++
Gambaran penyelesaian pada aplikasi Beam digambarkan sebagai
berikut :
Suatu struktur Beam dengan berbagai beban .
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 44Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Langkah yang dilakukan sebagai berikut :
1. Diskrititasi (minimal) dengan cara sebagai berikut :
- Pada ujung-ujung beam diberi nodal
- Pada setiap tumpuan diberi nodal
- Pada diskontinuitas geometri diberi nodal
- Pada beban terpusat diberi nodal
- Pada diskontinuitas beban merata diberi nodal
2. Memberikan nomor nodal dan elemen dilakukan dari kiri ke kanan
3. Membuat tabel spesifikasi dari model yang dianalisa
4. Membuat model matematik atau persamaan kekakuan per
elemen
Dengan memberikan penomoran dof :
Elemen K : elemen nomor dof
1 2 1 2 3 4
2 3 3 4 5 6
dan seterusnya.
5. Membuat matrik kekakuan total dengan mengasembly masing
elemen
FW1(x)
W2(x)
M
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 45Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
6. Dengan adanya beban merata, maka harus dibuat dulu beban
ekivalensinya dengan cara sebagai berikut :
Bentuk beban ekivalen :
{ } =
=
L
0i
2
2
1
1
i dx).x(f).x(P
MYMY
F
7. Indentifikasi kondisi batas menjadi dof aktif dan dof non aktif
1 2M1
M2
Y1 Y2
Y,V
X,U
P(x)
L
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 46Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
8. Dengan persamaan kesimbangan total , tentukan dof aktif
dengan metoda gauss eliminasi.
9. Menjawab pertanyaan dari problem.
Prosedur yang dilakukan dalam struktur beam sebagai berikut :
"""" Elemen Beam
Spesifikasi
- 2 node/elemen
- 2 dof / node
"""" Fungsi Interpolasi
24231211 )()()()()( xfVxfxfVxfxV +++=
==
dxxdVx )()( 2
142
131
121
11 )()()()( xfVxfxfVxf +++
Shape Function
32
1 LX2
LX31)x(f
+
=
2
322
LX
LX2X)x(f +
=
32
3 LX2
LX3)x(f
=
2
324
LX
LX)x(f +=
Persamaan keseimbangan struktur :
{f} = [K] {d}
dengan Elemen stiffness : dx).x(f).x(fEIk "jL
0
"iij =
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 47Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
2.3 F R A M E
masing-masing elemen bisa menerima gaya kearah x dan y dan
mampu mendukung momen sehingga dof = 3
mampu menerima :
- Beban lateral (bending)
- Beban aksial
- Beban terpusat/merata
- Beban momen
Data teknis
E, A, I, L, 2 node per elemen
3 dof pernode (u, v, )
Konsep
Seperti beam yang berorientasi terhadap xDalam pemodelan matematis kombinasi elemen truss dan beam
I. Analisa elemen tersebut terletak pada sumbu x (tapi bukan beam)
(merupakan ide frame = truss + beam)
lokal = global
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 48Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
(karena diputar pada sumbu yang sama)
- Diskritisasi
- K (6 x 6) elemen
- Assemble
- Beban node ekivalen (karena ada beban merata)
- B.C
- Dof aktif
- Jawab pertanyaan
Tidak ada tumpuan (dari soal terlihat kesetimbangan statis)
Tidak ada rigid body motion
Tumpuan jadi B.C
Simetri
Sumbu simetri
BC dengan kesimetriannya (dari bentuk defleksi)
V1 = 1 = U3 = 3 = 0
U2 = 0 V2 = ? (tidak nol/hampir nol)
Penentuan BC
- BC yang lebih / kelewatan bisa membuat K tetap singular
- Atau kalau tidak singular maka proses kalkulasinya lebih
panjang
Bidang simetri tengah
Dua buah titik yang berjarak sama terhadap bidang simetri
Pada bidang simetri syarat :
- Struktur simetri
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 49Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
- Beban simetri
BCs
u = 0
y = 0
z = 0
contoh soal
Analisa
Diskritisasi node 1 anggota frame aslinya (v, u, ) sebagai truss hanya
punya (u, v) dof aktif
[ ]
=
3
2
2
2
1
2
2
.
/12/60/68/6
0/6/12
v
vuu
LLxxLxxL
xxxxxxxxxx
LxxL
LEAK frame
Dof aktif
[ ]
=
2/12/12/12/1
2LEAKtruss
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 50Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
+
+
=
LLLEAEIxxEA
LLxx
xxxxxxxxxxLLLLEAxxEAEI
Kstruktur
441260
686
440612
][
3
3
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 51Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
BAB III
IINNTTEERRPPOOLLAASSIIDDAANN IINNTTEEGGRRAASSII NNUUMMEERRIIKK
Shape function hubungan matematik dari fungsi interpolasi2
210 CCC ++=
[ ]
=
2
1
02 .1
CCC
Tiga titik di
11 ==22 ==33 ==
[ ]
=
2
1
02
111 .1CCC
[ ]
=
2
1
02
222 .1CCC
=
2
1
0
233
222
211
3
2
1
.111
CCC
[ ]
=
2
1
02
333 .1CCC
=
3
2
1
1
233
222
211
2
1
0
.111
CCC
Interpolasi Lagrange merupakan pendekatan fungsi polynomial.
Sedangkan Integrasi Gauss Quadrature merupakan suatu proses
integrasi numerik dimana batas integral harus sudah dilihat melalui
analisa numerik.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 52Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
332211 )()()( NNN ++=Curve fitting suatu pendekatan Lagranges interpolation
pendekatan f polynomial
FEM yang didekati bukan fungsinya karena kompleksnya tapi nilainya
"""" 2 independent variables
1, 2 . . . . . . 9 diketahui3322111 ).().().(),( xNxNxNyxI ++=
)).(()).((
3121
321 xxxx
xxxxN
=
)).(()).((
3212
312 xxxx
xxxxN
=
)).(()).((
2313
213 xxxx
xxxxN
=
6655442 ).().().(),( xNxNxNyxII ++=
)).(()).((
6454
651 xxxx
xxxxN
=
9988773 ).().().(),( xNxNxNyxIII ++=)(7 xN =
Shape kurva :
),()(),()(),()(),( 332211 yxyNyxyNyxyNyx IIIIII ++=
)).(()).((
)(3121
321 yyyy
yyyyyN
= ; )).((
)).(()(
3212
312 yyyy
yyyyyN
=
=)(3 yN
"""" Integrasi numerik
Pada software yang dipakai integrasi Gauss
* GAUSS QUADRATURE
Batas integrasi :harus sudah lihat : Analisa Numerik
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 53Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
"""" Mapping merubah batas integral dengan menggunakan
determinan Jacobi
titik gauss dinyatakan dengan koordinat natural
Koordinat natural faktor bobot
( 1/3, 1/3, 1/3 ) -27/48 A
( 3/5, 1/5, 1/5 )
( 1/5, 3/5, 1/5 ) 25/48 A
4
titik
( 1/5, 1/5, 3/5 )
Hubungan antara x dan interpolasi dalam natural :
X = L1 X1 + L2 X2 + L3 X3
Kalau ada y
Y = L1 Y1 + L2 Y2 + L3 Y3
Shape function pada elemen segitiga = koordinat natural Ni = Li
Dalam pengertian koordinat natural sebagai interpolasi.
koordinat natural faktor bobot
(, , 0) 1/3 A
(0, , ) 1/3 A
3 tit
ik
(, 0, ) 1/3 A
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 54Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
x
X2X1
Q2Q1
H(x)
AA+(dA/dx).dx
qq+(dq/dx).dx
BBAABB IIVV
AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAAPPEERRPPIINNDDAAHHAANN PPAANNAASS
4.1 Steady State Uniaxial Heat Flow.
Suatu daerah dengan luas penampang variable A(x) dengan aliran
panas Q (energy/time) pada ujung dan sumber fluks panas, H(x)
(energy/time-length), didistribusikan sepanjang arah x.
Kesetimbangan energi dari differential element :
0)(. = xHqAdxd
H(x)
dx
Disamping aplikasi untuk struktur, metode elemen hingga dapat jugaditerapkan untuk perpindahan panas. Disini akan dibahas mengenaiperpindahan aliran panas untuk 1-Dimensi dan juga untuk 2-Dimensi.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 55Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Fouriers Law :
dxdTkq .= k: thermal conductivity. ; T : Temperature
Substitusi Fourier Law ke differential equation :
0)(. =+ xHdxdTkA
dxd
Bentuk varisional ekivalen dari persamaan diferensial :
dxTxHdxdTkA
dxdx
x..)(.0 2
1
+==
dxTxHdxTdxdTkA
dxd x
x
x
x.).(.. 2
1
2
1 +
=
Integrasi suku pertama dan dikalikan dengan 1 didapat :
dxTxHdxTdxd
dxdTkAT
dxdTAk
x
x
x
x
x
x.).(.. 2
1
2
1
2
1
+=dengan
T : essential boundary condition (Dirichlet Boundary Condition)
dT/dx: natural boundary value (Neumann Boundary Condition)
untuk : Q =-A.k.dT/dx, maka
( ) dxTxHdxTdxd
dxdTkATQTQ
x
x
x
x.).(.... 2
1
2
11122 +=
Functional untuk 1 dimensi problem perpindahan panas adalah :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 56Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
( ) dxxTxHdxdxdTkATQTQ
x
x
x
x).().(.... 2
1
2
1
2
1122
+=
Newtons Law of cooling, aliran panas konveksi pada batas 1 dan 2:
Q1 = Q1c = h.A.(T - T1) dan Q2 = Q2c = h.A.(T2 - T )
T : temperatur ambient ;h : koefisien perpindahan panas konveksi.
Energi yang ditambahkan dengan konveksi pada daerah panjang dx :
H(x).dx = h.(P.dx)(T - T(x))
H(x) = h.P.(T - T(x))
4.2 MODEL ELEMEN HINGGA UNTUK ALIRAN PANAS 1-DIMENSI.
Functional :
( ) dxxTxHdxdxdTkATQTQ
x
x
x
x).().(.... 2
1
2
1
2
1122
+=
model elemen : dua nodal heat flow element.
1. Asumsi fungsi yang menyatakan variable dependen melalui
elemen.
Variasi linear temperatur :
T = [N] . {qt}
[N] = [N1 N2] =
..ij
i
ij
j
XXXX
XXXX
L
Xj Q2iQ1
21
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 57Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Xj Xi = L ; {qt} = [Ti Tj]T
[ ]{ }tqLdxdT .111 = atau [ ]{ }tqBdx
dT .=
Substitusi :
[ ]{ } { } [ ] [ ]{ } [ ]{ }dxqNxHdxqBBqkAqQQ txxtTxx Tttji jiji .).(..2.. +=
atau :
[ ]{ } { } { } [ ]{ }dxqNxHqqLkAqQQ t
x
xtT
ttjij
i.).(.
1111
.2
..
+=
Dengan Ritz procedure d/d{qt} = 0, maka governing equation for the
single element :
{ } [ ]dxNxHQQ
qLkA j
i
x
xj
it .).(.11
11.. +
=
atau : [ kcd ] . {qt} = {Qt }N + {Qt}H.dimana :
[ kcd ] = element conduction matrix ; { qt } = nodal temperature vector
{ Qt }N = nodal heat flow vector;
{ Qt }H = nodal heat flow vector equivalent to the distributed flux.
Assembly elemen, dgn Rayleigh-Ritz Procedure thd functional seluruh
region :
[ Kcd ] . {rt} = {Rt }N + {Rt}H.
dimana : [ Kcd ] = assembled conduction matrix;
{ rt } = assembled nodal temperature vector
{ Rt }N = nodal heat flow at boundary and node sources
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 58Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
{ Rt }H = distributed heat flux vector.
4.3 ONE-DIMENSIONAL HEAT FLOW WITH CONVECTION
Persamaan kesetimbangan :
[ kcd ] . {qt} = {Qt }N + {Qt}H.
asumsi konveksi terjadi hanya pada nodal local 1.
{ }
=
=
0....)(. 1
22
1 TAhQTAh
QTTAh
Q LLNt
=
2
1
2 0001
....
TT
AhQTAh L
atau : {Qt }N = {Qcv}L.- [ kcv ]L .{qt}
Jika ujung kanan mempunyai konveksi., kemudian dengan subtitusi
Q2 = h.A. (T2 - TR) didapat :
{ }
=
2
11
1000
.... T
TAh
TAhQ
QR
Nt
atau :{Qt }N = {Qcv}R.- [ kcv ]R .{qt}
dimana : {Qcv} : Vektor aliran panas konveksi; [Kcv] : Matrik konveksi
x
L
TH , hH
TRTL
hRhL
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 59Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Fluks panas terdistribusi :
{ } == L THL THt dxNxTTPhdxNxHQ 00 .])).[(.(..])[( atau :{ } = L tTL THHt qdxNNPhdxNTPhQ 00 }.{]..[][..][..
Matrik fungsi bentuk dalam koordinat local :
=
Lx
LxN 1][
Fluks terdistribusi :
{ }
=
2
1
2112
6..
11
2...
TTLPhTLPhQ
HHt
atau : {Qt}H = {Qcv}H [kcv]H .{qt}.
Asumsi single elemen dengan konveksi pada sisi batas kiri dan sepanjang
elemen dan aliran panas Q2 pada batas kanan.
[ kcd ] . {qt} = {Qt }N + {Qt}H.
= {Qcv}L.- [ kcv ]L .{qt} + {Qcv}H [kcv]H .{qt}.
[ ]
+
=
2
1
2
1
22
1
2112
6..
11
2...
0001
...
TTLPhTLPh
TT
AhQTAh
TT
k HLcd
direorganisir : (konveksi pada sisi kiri)
[ ] [ ] [ ][ ]{ } { } { }HcvLcvtHcvLcvcd QQqkkk +=++(Konveksi pada sisi kanan ) :
[ ] [ ] [ ][ ]{ } { } { }HcvRcvtHcvRcvcd QQqkkk +=++
Contoh :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 60Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
Aliran panas dalam sirip segiempat seperti pada gambar dimodelkan
sebagai problem 1 dimensi. Sisi kiri sirip dipertahankan pada temperatur
2000C dan semua permukaan diekspos pada temperatur ambien 500C.
Koefisien konveksi untuk semua permukaan 0.02 W/cm2.0C. konduktifitas
termal bahan 4 W/cm.0C. Pertama menggunakan model elemen tunggal
dan kemudian model dua-elemen , estimasikan temperatur pada ujung
sirip dan panas yang hilang.
Penyelesaian :
Model satu-elemen
Matrik konduksi :
[ ]
=
=
=
20202020
1111
204.100
1111
LAkkcd
Elemen dengan konveksi pada sisi kanan. Matrik konveksi untuk aliran
panas dari sisi kanan adalah :
20 cm
20 cm
5 cm
X2000C
T=50 0C
1Q1
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 61Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ]
=
=
=
2000
1000
)100(02.01000
A.hk Rcv
Matrik konveksi untuk aliran panas dari semua sisi :
[ ]
=
=
=
7.63.33.37.6
2112
6)20)(50(02.0
2112
6hPLk Hcv
Vektor konveksi untuk konveksi sisi kanan :
{ }
=
=
=
100Q
)50)(100(02.0Q
T.A.hQ
Q 11R
1Rcv
Matrik konveksi untuk sisa sisi bebas :
{ }
=
=
=
500500
11
2)50)(20)(50(02.0
11
2T.L.P.hQ HHcv
Asembly persamaan matrik aliran panas komplit :
[ ] [ ] [ ][ ]{ } { } { }
+
=
+=++
600500Q
TT
7.287.167.167.26
QQqkkk
1
2
1
HcvRcvtHcvRcvcd
kondisi batas esensial, T1 =200
=
600
200TT
7.287.1601
2
1
solusi untuk T2 :
-16.7 (200) + 28.7 T2 = 600 T2 = 137.3 0C.
Aliran panas Q1 dalam sisi kiri didapatkan :
26.7T1 - - 16.7T2 = Q1 + 500
26.7(200) 16.7(137.3) = Q1 + 500 Q1 = 2547 W.
Aliran panas rata-rata dalam elemen :
Q1 = -k dT/dx = - k[B] {qt} = [ ]
2
1TT
11Lk
[ ] 2cm/W3.263.137
20011
204
=
=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 62Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
S
4.4 PERPINDAHAN PANAS DAN ALIRAN FLUIDA 2-DIMENSI
Governing equation.
Laplace eq. : 02 = TFourier eq. :
xTkq
Xcd
=
yTkqcdy
=
atau : nTkqn
=
Newtons Law of cooling : qCV = h.A (T - T )
Galerkin Approximation :
=A i dydxtTW 0.... 2 dalam bentuk lain : TWTWTW ii
2.. +=sehingga disubsitusi menjadi :
=A A ii dydxTWtdydxTWt 0......Dengan Gauss Theorem : =A S ii dsnTWtdydxTWt !.....
, maka
=S A ii dydxTWtdsnTWt 0..... !atau :
=
+
S Aii
i dydxyT
yW
xT
xWtds
nTWt 0...
Interpolation formula :
T = [N] . {qi} dan Wi = Ni
Sehingga :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } =
+
Se Ae i
TTT qdydx
yN
yN
xN
xNtds
nTN 0....
T(x,y)
X
Y n
T
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 63Fakultas TeknikJurusan mesinUniversitas Brawijaya
SeSe
T/n=0
qbqcv
T
qcdn
Persamaan Elemen :
Keseimbangan energi : qcdn = qcv
( ) cvcdcd qnjqiq yx =+ ...dan ).(.....
=
TTdsthdsnTkt
dsTTkhds
nT ).(.
=
untuk : T = [N] . {qt}
[ ]{ } dsTkhdsqN
khds
nT
t .... =
subsitusi :
[ ] [ ] { } [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] { } 0......
.........' '''
=
+
++
tAe
TT
Se
T
Se
T
SetT
qdydxyN
yN
xN
xNk
dsnTNkdsTNhqdsNNh
dalam bentuk persamaan elemen :
[KT] . {qt} = {Qcv} + {Qb}
Thermal stiffness matrix :[KT] = [kcdx] + [kcdy] + [kcv].
[ ] [ ] [ ] dydxxN
xNkk
Ae
T
cdx ....
=
[ ] [ ] [ ] dydxyN
yNkk
Ae
T
cdy ....
=
[ ] [ ] [ ]dsNNhkSe
Tcv ... '=
Convection boundary vector Se : [ ] [ ] dsTNhQSe
Tcv ... ' =
Applied heat boundary vector, Se : [ ] [ ] dsnTNkQ
SeT
b ... '' =
Y
X
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 64Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
BBAABB VV
AANNAALLIISSAATTEEGGAANNGGAANN AAXXIISSYYMMMMEETTRRIICC
Suatu hal yang penting untuk merealisasikan pada axisymmetric
problems, perpindahan dalam kontinum dapat terjadi hanya dalam arah
radial dan aksial; perpindahan tidak dapat terjadi dalam arah
sirkumferensial, sebagai akibat hal tersebut, menjadi biasa menggunakan
sistem koordinat silinder dalam mengembangkan persamaan elemen
umum, seperti pada gambar berikut.
Sumbu putaran
Sekelompok problem yang ada pada kenyataannya meliptui gaya
dan domainnya dalam tiga dimensi, tetapi akan diupayakan
mereduksi secara matematik menjadi dua dimensi. Problem-problem
tersebut disebut dengan axisymmetric problems, dan dikarakteristikan
dengan putran solid dan sifat-sifat material dan beban yang tak
berubah sepanjang sekeliling putaran.Gambar berikut adalah putaran
solid, dengan elemen yang akan digunakan pada diskrititasi dari
kontinum yaitu toroid dengan penampang segitiga.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 65Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Putaran benda dari elemen toroidal.
Sistem Koordinat
Komponen tegangan koordinat silinder untuk keadaan axisymmetric.
r
z
1
2
3
r11 e.uu =
k.ww 11 =
ree
k
z
r
z
r
rzdz
d
dr
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 66Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
5.1 Persamaan dasar untuk elemen
Persamaan elemen secara umum untuk analisa tegangan
kontinum tiga dimensi identik dengan bentuk :
[ ] [ ][ ] { } [ ] [ ]{ } { } { } { }BFTNFTTT QQQd..C.Bq.d.B.C.B +++=
walaupun aplikasi persamaan ini untuk elemen tiga dimensi adalah
identik dengan konsep elemen dua dimensi, upaya lebih besar karena
perpindahan tambahan pada setiap nodal dan dimensi dalam tiga
variabel. Integral garis dan luasan dari elemen problem bidang sekarang
menjadi integral permukaan dan volume.
Dalam persamaan diatas, jika diaplikasikan ke kontinum tiga
dimensi didefinisikan kembali sebagai berikut :
Matrik kekakuan
[ ] [ ] [ ][ ] = d.B.C.Bk TVektor beban nodal temperatur :
[ ] [ ] [ ]{ } = d..C.BQ TTtempVektor gaya nodal
{Q}NF = gaya-gaya aplikasi pada nodal
Vektor traksi permukaan
[ ] [ ] { } = A TT d.T.NQVektor Gaya bodi
[ ] [ ] { } = d.Bf..NQ TBF
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 67Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
5.2 Persamaan Elastisitas Axisymmetric
Pada Axisymmetric, semua persamaan harus menjadi bebas dari
dan semua perpindahan harus berada dalam bidang rz. Hubungan
perpindahan regangan dalam koordinat silinder pada problem khusus
sebagai berikut.
ru
r
= ; zw
z
= ; ru
= ; rw
rw
rz
+
=
dalam bentuk matrik :
{ } [ ]
=
=
= w
u.
wu
.
rz
0r1
z0
0r
rz
z
r
Hubungan untuk material isotropik :
+=
0111
T.x
221000
010101
)21)(1(E
rz
z
r
rz
z
r
atau {} = [C] . ({} - {}T)
Vektor regangan termal didefinisikan sebagai
{ }
=
=
0111
T
rz
z
r
T
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 68Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Fungsi perpindahan elemen
Nodal dari elemen toroidal sebenarnya adalah lingkaran konsentrik yang
lewat melalui puncak penampang segitiga. Koordinatnya adalah r dan z.
Spesifikasi perpindahan radial , u, perpindahan aksial, w, posisi radial, r,
dan posisi aksial, z dari suatu toroidal yang akan didefinisikan dengan
formulasi interpolasi linear dalam koordinat natural dan sifat-sifat nodal.
u = L1u1 + L2u2 + L3u3
w = L1w1 + L2w2 + L3w3
r = L1r1 + L2r2 + L3r3
z = L1z1 + L2z2 + L3z3
dimana : L1+ L2 + L3 = 1
dalam bentuk matrik
=
3
2
1
321
321LLL
zzzrrr111
zr1
invers matrik :
=
zr1
cbacbacba
det1
LLL
333
222
111
3
2
1
dimana :
a1 = r2z3 r3z2 ; a2 = r3z1 r1z3 ; a1 = r1z2 r1z2 ;
b1 = z2 z3 ; b2 = z3 z1 ; b3 = z1 z2 ;
c1 = r3 r2 ; c2 = r1 r3 ; c3 = r2 r1 ;
dan
det = (r1 r3)( z2 z3) - (r2 r3)( z1 z3) = 2 x luas segitiga.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 69Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Vektor fungsi perpindahan :
[ ]{ }q.N
wuwuwu
.L0L0L00L0L0L
wu
3
3
2
2
1
1
321
321=
=
Hubungan regangan dengan vektor dof :
{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }q.Bq.N ==
derivatif koordinat natural :
detb
detc.zb.ra
rrL 11111
=
++
=
dan seterusnya.
Selanjutnya matrik [B] menjadi :
[ ]
=
332211
*3
*2
*1
321
321
bcbcbc
0r
L0r
L0r
Lc0c0c00b0b0b
det1B
dimana :
L1* = a1 + r.b1 + z.c1 ; L2* = a2 + r.b2 + z.c2 ; L3* = a3 + r.b3 + z.c3
Matrik kekakuan
[ ] [ ] [ ][ ] = d.B.C.Bk TMetode pendekatan yang sederhana [Zienkiewics] dinyatakan sebagai
berrikut :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 70Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
[ ] ( )[ ]z,rBB =dimana ;
3rrrr 321 ++= ;
3zzzz 321 ++=
volume : A.r..2V =
Matrik kekakuan elemen :
[ ] [ ] [ ][ ]B.C.BA.r..2k T=Vektor beban nodal temperatur :
[ ] [ ] [ ]{ } [ ][ ]
== 0111
C.B.T..A.r..2d..C.BQ TT
temp
Vektor gaya nodal
{Q}NF = gaya-gaya aplikasi pada nodal
{Q}NF = [F1r F1z F2r F2z F3r F3z]T
Vektor traksi permukaan
[ ] [ ] { } [ ] ds.TT
.N.r..2d.T.NQz
rTSA
TT
==
[ ] ds.TT
.
rL00rL
rL00rL
rL00rL
..2Qz
rS
3
3
2
2
1
1
T
=
r dalam istilah koordinat natural :
r = L1r1+ L2r2+ L3r3
Vektor Gaya bodi
[ ] [ ] [ ] dA.BB
.N.r..2d.BB
..NQz
rTAz
rTBF
=
=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. Asad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 71Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
RREEFFEERREENNSSII1. Grandin Hartley, Jr.,1986, Fundamentals of the Finite Element
Method, Macmillan Publishing Company, New York.2. Yang, T.Y., 1986,Finite Element Structural Analysis, Prentice-
Hall,Inc,Englewood Cliffs.3. Buchanan, George R.,1995, Finite Element Analysis, SchaumsOutline
Series, McGraw-Hill International Editions4. Bathe Klaus-Jurgen, 1996, Finite Element Procedures, Prentice Hall
International Editions, Inc, USA.5. Hughes Thomas J.R.,1987, The Finite Element Method, Prentice-Hall
Inc, New Jersey6. Segerlind L., J., Applied Finite Element Analysis, John Willey & Son,Inc.