Embed Size (px)
Citation preview
METODE INTERIOR PRIMAL-DUAL DENGAN
LANGKAH FULL-NEWTON:
STUDI KASUS MASALAH KLEE-MINTY DENGAN
KENDALA REDUNDANT TAKNEGATIF
IRWAN NURSOLIH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
i
ABSTRAK
IRWAN NURSOLIH. Metode Interior Primal-Dual dengan Langkah Full-Newton: Studi Kasus
Masalah Klee-Minty dengan Kendala Redundant Taknegatif. Dibimbing oleh BIB PARUHUM
SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS.
Masalah Klee-Minty merupakan masalah optimasi linear yang memerlukan iterasi
eksponensial bila diselesaikan dengan metode simpleks. Kelemahan metode simpleks ini, memacu
penelitian untuk mencari metode lain yang dapat menyelesaikan masalah optimasi linear dengan
waktu polinomial. Terobosan yang efektif untuk menyelesaikan masalah optimasi linear terjadi dengan munculnya metode interior. Dalam penyelesaian masalah Klee-Minty menggunakan
metode interior, proses menuju solusi optimal mengikuti apa yang disebut central path. Dalam
karya ilmiah ini kita mengamati salah satu kasus terburuk penyelesaian masalah Klee-Minty, yaitu
dengan penambahan kendala redundant taknegatif. Dari studi kasus yang telah dilakukan,
diketahui bahwa kendala ini dapat mengakibatkan central path mengunjungi cukup dekat ke
verteks-verteks pada daerah fisibel. Sehingga penyelesaian masalah Klee-Minty menggunakan
metode interior menjadi lebih lama.
Kata Kunci: central path, kendala redundant, masalah Klee-Minty, metode interior, metode
simpleks.
ii
ABSTRACT
IRWAN NURSOLIH. Primal-Dual Interior-Point Method with Full-Newton Steps: Case Study
Klee-Minty Problem with Redundant Non-Negative Constraints. Supervised by BIB PARUHUM
SILALAHI and MUHAMMAD ILYAS.
Klee-Minty problem is a linear optimization problem that requires exponential iteration
when it is solved by simplex method. The weakness of this simplex method has stimulated
research to find another method, that can solve linear optimization problem with polynomial time.
Effective breakthrough to solve linear optimization problem has occurred with the appearance of
interior-point method. In solving the Klee-Minty problem using interior-point method, the process
leading to an optimal solution follows a central path. In this paper we examine one of the worst
case of solving Klee-Minty problem, with the addition of redundant non-negative constraints.
From the results of some case studies, it is known that these constraints lead the central path to visit the vertices in the feasible region closely enough. So solving the Klee-Minty problem using
the interior-point method becomes longer.
Keywords: central path, interior-point method, Klee-Minty problem, redundant constraints,
simplex method.
iii
METODE INTERIOR PRIMAL-DUAL DENGAN
LANGKAH FULL-NEWTON:
STUDI KASUS MASALAH KLEE-MINTY DENGAN
KENDALA REDUNDANT TAKNEGATIF
IRWAN NURSOLIH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
iv
Judul : Metode Interior Primal-Dual dengan Langkah Full-Newton: Studi Kasus
Masalah Klee-Minty dengan Kendala Redundant Taknegatif
Nama : Irwan Nursolih
NIM : G54080062
Menyetujui,
Mengetahui:
Ketua Departemen
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
Pembimbing I
Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom.
NIP. 19670101 199203 1 004
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP 19651019 199103 2 002
Pembimbing II
Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc.
Donny Citra Lesmana, S.Si.,
M.Fin.Math.
NIP 19790227 200501 1 001
v
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan
pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Sholawat dan salam semoga
senantiasa tercurahkan kepada nabi besar Muhammad SAW.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1. Keluarga tercinta, mamahku Nanah Robianah dan apaku Misbah Munir atas segala doa,
kasih sayang, dukungan, pengorbanan, dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis selama ini, kakak-kakakku Pipit Nurliana, Dani Rahman Iskandar, Dini Apriani,
Dadan Gumarna Perwira dan adikku Rahmi Solihah atas semangat, nasihat dan
dukungannya,
2. Bapak Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom dan Bapak Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc
selaku dosen pembimbing, atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing
penulis, dan kepada Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji,
3. Teman-teman satu bimbingan : Nurhayati, Rini, Brammanto atas dukungan, bantuan dan
kerjasamanya selama ini,
4. Sahabat-sahabat: Ari, Ridwan, Ijun, Haryanto, Arbi, Khafizd, Beni, Herlan, Dono, Dahen,
Fuka, Aci, Nurhadi, Chastro, Haerul, Isti, Deris, Tika atas dukungan, suka-duka, nasihat,
bantuan dan semangat selama ini,
5. Teman-teman lorong 10: Yusak, Sona, Ibay, Jimbo, Hendro, Charis, Galer, Gentot, Gondrong, Cunduy, Jun, Irvan, Batak, Kamil, Elbi, Wahyu, Hendra, Roy, Ari, Heru, Oji,
Syarif, Ksat, Ai, Blair, Ido, Stephen, Stevan, Irvan cantik, Jay, Adit Nugraha, Adit, Najif,
Joni, Fika, Tomi atas kenangan, suka-duka, dukungan, nasihat selama ini.
6. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Bolo, Wahid, Wulan, Gita, Fenny, Isna,
Santi, Yunda, Mega, Putri, Fitriyah, Prama, Dimas, Erik, Rian, James, Maya, Icong, Wijay,
Edi, Fikri, Ali, Tiwi, Ade, Fina, Ito, Rianiko, Aisyah, Heru, Ana, Vivi, Risman, Nova,
Rahma, Dewi, Mya, Dini, Dina atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama
penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB,
7. Kakak-kakak mahasiswa Matematika: Chabi, Deni, Amin, Ali, Peli, Tendi, Ihsan, Aswin,
Della, Ima, Dora, Ndev, Pandi, Eni, Ruhiyat, Aze, Yuyun, Wewe, Denda, Dandi, Fajar,
Agung, Cumi, Rofi, Aqil, Dian, Slamet, Adi, Apri, Pepi, Elly, Ucok, Wira, Kunto, Copi, Copa, Ririh, Imam, Abe, Selvi, Fani, Ayung, Mutya, Rachma, Olih, Lukman, Tyas atas
segenap nasihat dan dukungan selama ini,
8. Adik-adik mahasiswa matematika: Dian, Bari, Andri, Ivonne, Danti, Fachri, Rudi, Desyi,
Ipul, Amel, Mirna, Hendra, Chou, Rohmat, Jodi, Windi, Uwi, Dewi, Nia, Reni, Ami,
Fenny, Dio, Rangga, Syahrul, Qowi, Dita, Widia atas dukungan dan bantuan selama ini,
9. Kakak-kakak mahasiswa Matematika angkatan 43 dan 44 yang tidak bisa disebutkan satu
per satu, adik-adik mahasiswa Matematika angkatan 46 dan 47, dan seluruh pengajar,
pegawai, dan staf Departemen Matematika IPB,
10. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan
satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, Maret 2013
Irwan Nursolih
vi
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 8 Juni 1990 dari pasangan Misbah Munir dan
Nanah Robianah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Pada tahun 2005 penulis
lulus dari SMP Negeri 1 Cipanas. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Cianjur dan pada
tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).
Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengikuti beberapa kegiatan
kemahasiswaan diantaranya organisasi Unit Kegiatan Kampus (UKM) Bola Voly IPB tahun
2008-2010 dan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB. Penulis juga aktif pada
beberapa kepanitiaan yaitu menjadi panitia Pesta Sains, SPIRIT, Bakti Sosial, Masa Perkenalan
Fakultas (MPF), Masa Perkenalan Departemen (MPD).
vii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .................................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................ viii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................ viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................... 1 1.2 Tujuan ........................................................................................................................... 2
II LANDASAN TEORI .............................................................................................................. 2
III PEMBAHASAN 3.1 Kondisi Optimal bagi Optimasi Linear ........................................................................... 7 3.2 Central Path .................................................................................................................. 7 3.3 Langkah Newton ........................................................................................................... 8 3.3 Ukuran Kedekatan ....................................................................................................... 10
IV STUDI KASUS .................................................................................................................... 12
V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ..................................................................................................................... 16 5.2 Saran ........................................................................................................................... 16
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 17
LAMPIRAN .............................................................................................................................. 18
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tipe-tipe kendala redundant .................................................................................................... 1
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Masalah KM tanpa penambahan kendala redundant .............................................................. 13 2 Masalah KM dengan penambahan kendala redundant ........................................................... 15
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Langkah full-Newton ............................................................................................................ 19
2 Pembangkitan gambar 1 ....................................................................................................... 19 3 Pembangkitan gambar 2. ...................................................................................................... 20
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Optimasi dalam matematika mengacu
pada pemillihan elemen terbaik dari beberapa
himpunan alternatif yang tersedia. Dalam
kasus yang paling sederhana berarti
memecahkan masalah-masalah dimana orang
berusaha meminimumkan atau
memaksimumkan fungsi yaitu dengan cara
yang sistematis memilih nilai-nilai variabel
integer atau real dari himpunan yang diperbolehkan (Nematollahi 2008).
Salah satu bagian dari optimasi adalah
optimasi linear yang mempelajari suatu
masalah dimana seseorang ingin
meminimumkan atau memaksimumkan suatu
fungsi tujuan yang berbentuk linear, dengan
kendala-kendala yang dinyatakan dalam
persamaan dan/atau pertidaksamaan linear.
Optimasi Linear (OL) muncul menjadi
model matematika setelah perang dunia ke-2,
yaitu ketika Dantzig memaparkan metode
simpleks untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Daerah fisibel dari masalah
OL adalah suatu polihedron. Untuk
memperoleh solusi optimal, metode simpleks
bergerak dari verteks ke verteks. Metode ini
dirancang sedemikian rupa sehingga dalam
pergerakan dari satu verteks ke verteks
selanjutnya, nilai fungsi tujuan berubah secara
monoton menuju nilai optimal.
Kesuksesan metode simpleks telah
menimbulkan beberapa pertanyaan. Salah satu
pertanyaan pada saat itu adalah: apakah ada masalah optimasi linear yang memerlukan
iterasi eksponensial bila diselesaikan dengan
metode simpleks. Pertanyaan tersebut dijawab
pada tahun 1972 oleh Klee dan Minty dengan
memberikan contoh masalah OL dengan 2n
pertidaksamaan, dimana metode simpleks
memerlukan 2 1n iterasi untuk menye-
lesaikan permasalahan Klee-Minty (Silalahi 2011).
Kelemahan metode simpleks, memacu
penelitian untuk mencari metode lain yang
dapat menyelesaikan masalah OL dengan
waktu polinomial seiring bertambahnya
jumlah pertidaksamaan. Pada tahun 1978
Kachiyan mengusulkan metode ellipsoid.
Metode ini merupakan algoritme waktu
polinomial pertama untuk masalah OL. Tetapi
hasil yang diperoleh tidak seperti yang
diharapkan, dalam aplikasinya metode simpleks lebih baik dari metode ellipsoid.
Terobosan yang sungguh-sungguh efektif
untuk menyelesaikan masalah OL terjadi pada
tahun 1984, ketika Karmarkar mengusulkan
metode waktu polinomial yang dikenal
dengan metode projektif Karmarkar untuk
menyelesaikan masalah OL. Secara teori
waktu komputasi dan aplikasinya metode
Karmarkar lebih baik dari metode ellipsoid.
Karmarkar memulai revolusi dalam bidang
optimasi, dengan munculnya penelitian-penelitian pengoptimuman dengan
menggunakan metode interior (MI). Tidak
seperti metode simpleks, metode interior
bergerak di dalam interior dari domain secara
monoton menuju solusi optimal (Silalahi
2011).
Dalam perkembangannya Metode
interior dikembangkan dengan beberapa
pendekatan, yang dikelompokkan dalam tiga
kategori,yaitu: metode affine scaling, metode
potential reduction (barrier) dan metode
central trajectory (path-following) (Mitchell 1998).
Nematollahi dkk, kemudian memberi-
kan contoh kasus-kasus terburuk untuk
penyelesaian optimasi linear menggunakan
metode interior, yaitu dengan menambahkan
kendala-kendala redundant pada masalah
Klee-Minty (KM). Penelitian-penelitian
mereka dapat dilihat pada Tabel di bawah,
kolom pertama menyatakan jenis kendala
redundant yang digunakan dan kolom kedua
menyatakan jumlah kendala redundant. Dengan adanya penambahan kendala
redundant ini dapat mengubah central path
dan analytic center.
Tipe kendala
redundant
Jumlah
pertidaksam
aan
Referensi
1k ky y d
2 6( 2 )nO n Deza dkk.
2006
1k ky y d
3( 2 )nO n Deza dkk. 2009
1k k ky y d
3 2( 2 )nO n Deza dkk.
2008
ky d 2( 2 )nO n Nematollahi dkk. 2008a
0ky 2
(2 )nO Nematollahi
dkk. 2008b
Tabel tipe-tipe kendala redundant
2
Dalam karya ilmiah ini akan diamati
kendala redundant Klee-Minty tipe 0ky
(kendala redundant tipe lima pada Tabel),
yaitu semua kendala redundantnya menyentuh
daerah fisibel, yang akan di analisa
menggunakan metode interior (MI) dengan pendekatan central trajectory (path-
following). Dalam pengamatan masalah Klee-
Minty beserta kendala redundantnya
digunakan bantuan MATLAB R2008b.
1.2 Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan
untuk:
(i) Membahas metode interior primal-
dual dengan langkah full-Newton
(ii) Mengamati pergerakan central path
pada masalah KM bila ditambahkan
kendala redundant tipe 0ky ,
berdasarkan metode interior primal-
dual dengan langkah full-Newton
menggunakan bantuan MATLAB
R2008b.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Linear
Definisi 1 (Fungsi Linear)
Suatu fungsi f dalam variabel-variabel
1 2, ,..., nx x x adalah suatu fungsi linear jika
dan hanya jika untuk suatu himpunan
konstanta 1 2, ,..., nc c c , f dapat ditulis
sebagai 1 2( , ,..., )nf x x x 1 1c x 2 2c x
... n nc x .
(Winston 2004)
Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persama-
an Linear)
Untuk sebarang fungsi linear f dan
sembarang bilangan c , pertidaksamaan
1 2( , ,..., )nf x x x c
dan 1(f x 2, x ,...
, )nx c adalah pertidaksamaan linear,
sedangkan suatu persamaan 1(f x 2, x ,...
, )nx c merupakan persamaan linear.
(Winston 2004)
Definisi 3 (Sistem Persamaan Linear)
Suatu sistem persamaan linear (SPL) dari 𝑚
persamaan dan 𝑛 variabel adalah sistem
dengan bentuk
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 ,
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥1 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ,
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥1 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 .
dengan 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛)
adalah bilangan-bilangan real dan 𝑥1 ,𝑥2 ,…, 𝑥𝑛 adalah variabel. SPL ini disebut SPL
berukuran 𝑚 × 𝑛.
(Leon 2001)
Selain itu SPL juga dapat ditulis dalam bentuk
𝑨𝐱 = 𝐛
dengan matriks 𝑨 berukuran 𝑚 × 𝑛 dan
vektor kolom b berukuran 𝑚 × 1, seperti
berikut ini:
𝑨 =
𝑎11 𝑎12⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22⋯ 𝑎2𝑛
⋯ ⋯ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋯ 𝑎𝑚𝑛
dan
b =
𝑏1
𝑏2
⋮𝑏𝑚
,
matriks 𝑨 disebut matriks koefisien dan
vektor 𝐛 disebut vektor konstanta.
Penyelesaian SPL tersebut adalah vektor
kolom 𝐱 berukuran 𝑛 × 1 yaitu
x =
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥𝑛
,
yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut
vektor penyelesaian.
(Leon 2001)
3
2.2 Optimasi Linear
Definisi 4 (Optimasi linear) Optimasi linear adalah kegiatan
merencanakan untuk mendapatkan hasil yang
optimal. Model optimasi linear (OL) meliputi
pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap
kendala linear.
(Nash & Sofer 1996)
Suatu OL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 5 (Bentuk Standar suatu OL)
Suatu optimasi linear dikatakan berbentuk
standar jika dapat dituliskan sebagai:
Minimumkan z = cTx
terhadap Ax = b
x ≥ 0 dengan x dan c berupa vektor berukuran n,
vektor b berukuran m, sedangkan A berupa
matriks berukuran m × n, yang disebut juga sebagai matriks kendala.
(Nash & Sofer 1996)
Sebagai catatan, yang dimaksud dengan
vektor berukuran n adalah vektor yang
memiliki dimensi (ukuran) n × 1.
Definisi 6 (Daerah Fisibel)
Daerah fisibel suatu OL adalah himpunan
semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada OL tersebut.
(Winston 2004)
Definisi 7 (Solusi Optimal)
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal
suatu OL adalah suatu titik dalam daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar.
untuk masalah minimisasi, solusi optimal
suatu OL adalah suatu titik dalam daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.
(Winston 2004)
2.3 Dualitas
Terkait dengan suatu masalah optimasi
linear, terdapat masalah optimasi linear lain
yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal
dengan masalah primal dan masalah dual dari
optimasi linear. Berikut ini adalah contoh
bentuk normal dari masalah primal untuk
kasus maksimisasi
Fungsi objektif
maks 𝑧 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 .
Kendala
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 ,
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚 ,
𝑥𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,2,… , 𝑛 .
Berikut ini adalah bentuk normal dari masalah
dual untuk kasus maksimisasi di atas:
Fungsi objektif
min 𝑤 = 𝑏1𝑦1 + 𝑏2𝑦2 + ⋯+ 𝑏𝑚𝑦𝑚 .
Kendala
𝑎11𝑦1 + 𝑎21𝑦2 + ⋯ + 𝑎𝑚1𝑦𝑚 ≥ 𝑐1 ,
⋮
𝑎1𝑛𝑦1 + 𝑎2𝑛𝑦2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑦𝑚 ≥ 𝑐𝑛 ,
𝑦𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1,2,… , 𝑚 .
(Winston 2003)
Semua masalah optimasi linear bisa
ditransformasikan menjadi bentuk standar
dengan cara menambahkan variabel baru. Bentuk standar dari masalah primal (P) adalah
:
min 𝐜𝑻𝐱:𝑨𝐱 = 𝐛, 𝐱 ≥ 0 ….. (P)
dengan 𝐜 ∈ ℝ𝒏, 𝐱 ∈ ℝ𝑛 , 𝐛 ∈ ℝ𝑚 dan
𝑨 ∈ ℝ𝑚×𝑛 .
Bentuk standar dari masalah dual (D) adalah:
maks 𝐛𝑇𝐲 ∶ 𝑨𝑇𝐲 + 𝐬 = 𝐜, 𝐬 ≥ 0 …..(D)
dengan 𝐬 ∈ ℝ𝑛 dan 𝐲 ∈ ℝ𝑚 .
Proposisi 2.1
Jika x dan (y,s) masing-masing fisibel untuk
(P) dan (D), maka 𝐜𝑻𝐱− 𝐛𝑻𝐲 = 𝐱𝑻𝐬 ≥ 0. 𝐱𝑻𝐬
disebut kesenjangan dualitas, berakibat 𝐜𝑻𝐱 adalah batas atas untuk nilai optimal dari (D),
jika ada, serta 𝐛𝑻𝐲 adalah batas bawah untuk nilai optimal dari (P), jika ada. Selanjutnya,
jika kesenjangan dualitas adalah nol maka x
adalah solusi optimal dari (P) dan (y,s) adalah
solusi optimal dari (D). Bukti dapat dilihat di Roos (2006).
(Roos et al. 2006)
4
2.4 Matriks
Definisi 8 (Ortogonalitas di n )
Misalkan x dan y dua vektor didalam n
dan dipandang sebagai matriks 1n , x dan
y disebut ortogonal jika T x y 0 .
(Leon 1998)
Definisi 9 (Hasil Kali Skalar di n )
Misalkan , nx y dengan
1
2
n
x
x
x
x
1
2
n
y
y
y
y
,
maka hasil kali skalar dari x dan y adalah
1 1 2 2 ...Tn nx y x y x y x y .
(Leon 1998)
Definisi 10 (Ruang Nol)
Misalkan 𝑨 adalah matriks 𝑚 × 𝑛, dan 𝑁(𝑨)
menyatakan himpunan semua penyelesaian
dari sistem homogen 𝑨𝐱 = 𝟎. Jadi:
𝑁 𝑨 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝑨𝐱 = 𝟎
Dengan tujuan untuk memperlihatkan bahwa
𝑁 𝑨 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 jika
𝐱 ∈ 𝑁 𝑨 dan 𝛼 suatu scalar, maka:
𝑨 𝛼𝐱 = 𝛼𝑨𝐱 = 𝛼𝟎 = 𝟎
Sehingga 𝛼𝐱 ∈ 𝑁 𝑨 , jika 𝐱 dan 𝐲 adalah
elemen-elemen dari 𝑁 𝑨 , maka:
𝑨 𝐱 + 𝐲 = 𝑨𝐱 + 𝑨𝐲 = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎
Oleh karena itu 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑁 𝑨 . Ini berarti
bahwa 𝑁 𝑨 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .
Himpunan semua penyelesaian dari sistem
homogen 𝑨𝐱 = 𝟎 membentuk ruang bagian
dari ℝ𝑛 . Ruang bagian 𝑁 𝑨 disebut kernel
(ruang nol atau null space) dari 𝑨. (Leon 2001)
Definisi 11 (Ruang Baris)
Jika 𝑨 adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka ruang
bagian dari ℝ1×𝑛 yang direntang oleh vektor-
vektor baris dari 𝑨 disebut ruang baris dari 𝑨. (Leon 2001)
Definisi 12 (Hadamard Product)
Misalkan Vektor 𝐱, 𝐬 ∈ ℝ𝑛 , dan matriks 𝑿,𝑺
adalah matriks m n dengan 𝑚 menyatakan
banyak baris dan 𝑛 menyatakan banyak
kolom. Vektor x dan s didefinisikan sebagai
berikut
x=
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥𝑛
, s=
𝑠1
𝑠2
⋮𝑠𝑛
dan notasi diag(x) adalah matriks diagonal
dengan unsur diagonal utama ialah vektor x,
begitu juga dengan diag(s).
𝑿 = diag 𝐱 =
𝑥1 0 ⋯ 00 𝑥2 0 ⋮⋮0
⋯⋯
⋱0
0𝑥𝑛
𝑺 = diag 𝐬 =
𝑠1 0 ⋯ 00 𝑠2 0 ⋮⋮0
⋯⋯
⋱0
0𝑠𝑛
Maka hadamard product dari x dan s adalah
𝐱𝐬 = 𝑿𝐬 = 𝑺𝐱 =
𝒙𝟏𝒔𝟏𝒙𝟐𝒔𝟐
⋮𝒙𝒏𝒔𝒏
.
Dengan kata lain, hadamard product adalah
perkalian antara unsur dengan unsur yang
seletak (componentwise) dari dua buah vektor
yang berukuran sama, tetapi tidak harus
persegi. Componentwise berlaku juga pada
operasi pembagian 𝐱 𝐬 dan operasi akar untuk
vektor x dan vektor s.
𝐱
𝐬=
1
1
2
2
n
n
x
s
x
s
x
s
𝐱 = 𝑥𝑖 =
1
2
n
x
x
x
(Roos et al. 2006)
5
2.5 Masalah Redundant Klee-Minty (KM)
Definisi 13 Masalah Klee-Minty (KM)
Suatu permasalah yang diberikan oleh Klee
dan Minty yang kemudian dikenal dengan
masalah Klee-Minty (KM) yaitu :
min 𝑦𝑛
kendala 𝑦𝑘−1 ≤ 𝑦𝑘 ≤ 1 − 𝑦𝑘−1,
𝑘 = 1,2,…… . . , 𝑛.
dimana 𝑦0 = 0, ∈ (0,1
2 )
(Klee & Minty 1972)
Definisi 14 (Kendala Redundant)
Kendala redundant adalah kendala yang tidak
mengubah daerah fisibel dari masalah
optimasi linear.
2.6 Kompleksitas dan Estimasi Order
Definisi 15 (Kompleksitas)
Fungsi kompleksitas waktu ( )f n adalah
fungsi yang mengukur banyaknya operasi
dalam suatu algoritma yang mempunyai
variabel input n .
(Guritman & Supriyo 2004)
Definisi 16 (Dominasi Fungsi)
Misalkan , :f g . Dapat dikatakan
bahwa g mendominasi f (atau f
didominasi g ), jika ada konstanta m
dan konstanta k sedemikian rupa
sehingga ( ) ( )f n m g n , dimana
,n k n .
(Guritman & Supriyo 2004)
Big-O
f didominasi oleh g , dapat dikatakan f
berorder g dan ditulis sebagai ( )f O g .
( )O g dibaca order g atau big-O
merepresentasikan himpunan semua fungsi
dengan daaerah asal dan daerah hasil
yang didominasi oleh g .
(Guritman & Supriyo 2004)
2.7 Metode Newton
Metode Newton adalah salah satu
prosedur iteratif untuk menyelesaikan masalah
taklinear. Misalkan akan dicari solusi
persamaan 0f x , dengan f x taklinear,
1 2, , , nx x xx dan fungsi f adalah fungsi
yang kontinu dan terdiferensialkan.
Metode Newton diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama, sebagai berikut.
1 1'
1!
k
k k k kf
f f x
x x x x
Sehingga
1 1 'k k k k kf f f x x x x x
dengan k
x adalah hampiran awal.
Kemudian untuk mencari hampiran
1 0kf x , dilakukan dengan mencari
solusi
1 ' 0.k k k kf f x x x x
Dari persamaan di atas diperoleh
1 .'
k
k k
k
f
f
x
x xx
Metode Newton dapat juga digunakan
untuk mencari solusi hampiran dari suatu
sistem 0, 1,2, , ,if i n x dimana if
suatu fungsi taklinear.
Misal matriks kJ x adalah matriks
Jacobi seperti berikut ini:
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
.
n
kn
n n n
n
f f f
x x x
f f f
y x xJ
f f f
x x x
x
6
Kemudian dengan menggunakan deret
Taylor orde pertama di sekitar titik kx
diperoleh
1 0k k kf f J x x x d
dengan 1k k d x x dan k menyatakan
iterasi. (Jensen & Bard 2002)
Contoh 1
Akan dicari solusi hampiran dari suatu
sistem 0if x , untuk 1,2,i dengan
21 ,f x y x xy dan 2 ,f x y x xy
adalah fungsi taklinear. Metode yang
digunakan adalah metode Newton dengan 1
kali iterasi.
Penyelesaian:
Dengan hampiran awal 0 0 1x y diperoleh
1 1 0 0 0 01
1 02 2
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0
12
1 1 1
1
21 1 1 1 1
1 1
1 1 0 0 0 02
1 01 1 0 0 0 0
1 0
, , ,
2 0
11 1 3 1 0
1
3 2 0
3 2.
, , ,
1 0
f x y f x y J x y
x xx x y x x y x y x
y y
xx x y
y
x x y x y
x y
f x y f x y J x y
x xx x y x x y y x
y y
x x
d
d
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1
11 1 2 1 0
1
2 1 0
2 1.
xy
y
x x y x y
x y
Kedua persamaan taklinear di atas telah menjadi persamaan linear. Kemudian eliminasikan kedua
persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai 1 1x dan 1 1y .
7
III PEMBAHASAN
3.1 Kondisi Optimal bagi Optimasi Linear
Daerah fisibel dari masalah primal ( )P
dan masalah dual D dinotasikan oleh
dan :
: : , 0 ,
: ( , ) : , 0 .T
x Ax b x
y s A y s c s
Jika adalah himpunan kosong maka
( )P infisibel, selainnya fisibel. Selanjutnya
akan digunakan istilah yang sama untuk
masalah dual ( )D .
Daerah interior dari dan
dinotasikan oleh o dan :o
: : , 0 ,
: ( , ) : , 0 .
o
o T
A
A
x x b x
y s y s c s
Teorema 3.1
Jika P dan D fisibel maka kedua
masalah memiliki solusi optimal; kemudian
x dan , y s , merupakan solusi
optimal jika dan hanya jika T x s 0 .
Bukti :
Mengacu pada proposisi (2.1), x fisibel
untuk (P) dan (y,s) fisibel untuk (D), maka
𝐜𝑻𝐱 − 𝐛𝑻𝐲 = 𝐱𝑻𝐬 ≥ 0. Dimana 𝐜𝑻𝐱 batas atas
untuk nilai optimal dari (D) dan 𝐛𝑻𝐲 batas bawah untuk nilai optimal dari (P), untuk
memperoleh solusi optimal haruslah 𝐜𝑻𝐱 =𝐛𝑻𝐲 sehingga 𝐱𝑻𝐬 = 0.
Berdasarkan pada Teorema 3.1,
menemukan solusi optimal dari ( ) dan ( )P D
adalah setara dengan menyelesaikan sistem :
, 0,
, 0,
.
T
A
A
x b x
y s c s
xs 0
(3.1)
Dengan xs adalah perkalian komponen
(Hadamard product) dari vektor dan x s dan
0 adalah vektor nol.
Ketiga persamaan pada sistem (3.1)
adalah kondisi optimal untuk optimasi linear.
Baris pertama adalah kendala fisibel untuk
masalah primal ( )P dan baris kedua
menunjukkan kendala fisibel untuk masalah
dual ( )D . Persamaan terakhir merupakan
kondisi pelengkap. Kondisi pelengkap adalah
taklinier dan mengakibatkan sistem (3.1) sulit
untuk diselesaikan.
3.2 Central path
Agar sistem (3.1) dapat diselesaikan,
kondisi pelengkap dapat diganti dengan
xs e , dimana adalah sebarang bilangan
positif dan e adalah vektor yang semua
unsurnya bernilai satu. Kendala baru ini
disebut kondisi pemusatan pada . Sehingga
dihasilkan sistem:
, 0,
, 0,
.
T
A
A
x b x
y s c s
xs e
(3.2)
Jika sistem (3.2) memiliki sebuah solusi
untuk suatu > 0, maka 0 0 dan adalah
himpunan tak kosong. Pada kondisi ini
dan memenuhi kondisi titik interior. Jika
dan memenuhi kondisi titik interior
maka sistem (3.2) memiliki sebuah solusi
untuk sebarang > 0. Oleh karena itu jika
sistem (3.2) memiliki sebuah solusi untuk
suatu > 0, maka sistem (3.2) memiliki
solusi untuk semua > 0. Dan ini terjadi jika
dan hanya jika kondisi titik interior terpenuhi. Ulasan yang lebih lengkap dan pembuktian
pernyataan di atas dapat dilihat pada buku
(Roos 2006).
Solusi untuk setiap dinotasikan
dengan ( )x , ( )y , dan ( ).s solusi dari
(x disebut -center dari ( )P
dan solusi
dari ( ( ), ( )) y s disebut -center dari ( )D .
Jika bergerak sepanjang (0, ) maka
(x membentuk suatu kurva pada 0 yang
disebut central path dari ( )P
dan ditulis
dengan : 0, . x Dengan cara
yang sama, ( ( ), ( )) y s membentuk suatu
kurva pada 0 yang disebut central path
dari D dan ditulis dengan
{( ( ), ( )) : } y s .
8
Jika maka ( )x , ( )y dan ( )s
konvergen ke solusi dari sistem (3.1), artinya
central path konvergen ke himpunan solusi
optimal ( )P dan ( )D . Pada sisi lain, jika
maka ( ) dan ( ( ), ( )) x y s
konvergen ke apa yang disebut analytic center
( )P dan ( )D . Definisi formal dari analytic
center ( )P dan ( )D adalah sebagai berikut.
Jika kondisi titik interior dipenuhi maka:
(i) Analytic center primal adalah
argmaksx ℯ𝑇 log 𝐱 : 𝐱 ∈ 0 dan
(ii) Analytic center dual adalah
argmakss ℯ𝑇 log 𝐬 : 𝐬 ∈ 0 .
3.3 Langkah Newton
Diberikan pasangan primal-dual fisibel
( ,x ( ,y ))s , ingin ditetapkan arah pencarian
x , y , dan s sehingga ( x x , ,y y
)s s memenuhi sistem (3.2). Dengan kata
lain,
( ) ,
( ) ,
( )( ) .
T
A
A
x x b
y y s s c
x x s s e
Karena dan TA A x b y s c , jika
dijelaskan secara eksplisit maka sistem ini
akan menjadi :
Untuk persamaan pertama dari sistem tersebut
akan menjadi:
( ) ,A x x b
,A A x x b
,A b x b
,A x b b
, 3.3A x 0
kemudian untuk persamaan kedua menjadi:
( ) ,TA y y s s c
,T TA A y y s s c
,T TA A y s y s c
,TA c y s c
. 3.4TA y s 0
selanjutnya persamaan terakhir dari sistem
tersebut akan menjadi:
( )( ) ,
,
. 3.5
x x s s e
xs x s s x x s e
x s s x x s e xs
Dari persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5)
diperoleh sistem:
,
,
.
T
A
A
x 0
y s 0
s x x s x s e xs
Persamaan ketiga pada sistem di atas
merupakan persamaan taklinear, karena faktor
kuadrat ΔxΔs . Untuk menyelesaikan sistem
di atas, persamaan ketiga dilinearkan
menggunakan metode Newton sebagai
berikut:
9
,f x s s x x s x s e xs
1 0
0 0 0 0
1 0dengan , dan saat 0J k
x xx s s s x x d
s s
sehingga
1 1 0 0 0 0
1 01 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0
0 0
11 1 1 1
1
1 1 1
, , , 0
0
dengan hampiran awal 0
0
f f J
x s x s x s d
x xs x x s x s e xs s x x s x s e xs s s x x
s s
x s
xs x x s x s e xs e xs s x
s
s x x s x1 1 1
1 1
1 1
0
0
s e xs s x x s e xs
s x x s e xs
s x x s e xs
setelah dilinearkan persamaan ketiga menjadi s x x s e xs
Sehingga diperoleh sistem linear sebagai
berikut:
,
, 3.6
.
T
A
A
x 0
y s 0
s x x s e xs
Matriks koefisien dari sistem linear tersebut
adalah:
dengan diag ( )X x
dan diag ( ),S s serta
vektor dan x s positif. Solusi dari sistem
persamaan linear , , x y s dinamakan arah
primal-dual langkah Newton. Dengan
mengambil langkah disekitar arah ini,
ditemukan iterasi baru ( , ( , )) x y s . Iterasi
baru ini diberikan oleh
,
, 3.7
.
x x x
y y y
s s s
Iterasi (3.7) disebut dengan langkah full-
Newton.
Metode interior primal-dual dengan
langkah full-Newton disajikan seperti di
bawah ini:
Input:
parameter akurasi ϵ > 0;
parameter kedekatan 1;
0 0 0, ,x y s fisibel, 0 0 0T
x s n
dan 0 0 0, ; ;x y
parameter update barrier , 0 1.
begin
0 0 0 0: ; : ; : ; ;x x s s y y
while n ϵ do
: 1 ;
: ;
: ;
: ;
x x x
y y y
s s s
endwhile
end
0 0 0
0 0
0
T
A
A I
S X
x
y
s e xs
10
Pada subbab selanjutnya akan dibahas
mengenai ukuran kedekatan. Ukuran
kedekatan ini digunakan pada pemrograman,
untuk memperoleh ukuran kedekatan sistem
(3.6) dinyatakan dalam sistem lain yang
setara.
Ukuran kedekatan digunakan untuk
menjamin bahwasanya pada setiap iterasi
selalu diperoleh ( , ( , )) x y s yang fisibel dan
juga digunakan untuk menganalisis
kompleksitas algoritme. Pembahasan mengenai analisis kompleksitas algoritme, di
luar cakupan karya ilmiah ini.
3.4 Ukuran Kedekatan
Dalam proses menuju solusi optimal,
dengan menggunakan langkah full-Newton,
dibangkitkan barisan titik-titik di sekitar
central path. Diperlukan suatu alat untuk
mengukur kedekatan dari ( , ( , ))x y s ke
center .
Sebelum mendefinisikan ukuran
kedekatan ini, sistem linear (3.6) diubah,
dengan penskalaan , , dan x y s ke
, dan x y sd d d sebagai berikut:
, , ,x y s
v x y v sd d d
x s
dengan
.
xs
v
Jika didefinisikan diag( / )D x s maka
bila dipaparkan secara eksplisit persamaan
pertama dari sistem (3.6) sama dengan
,A x 0
,xA diag
xd 0
v
1 ,xA diag
x
d 0xs
,xA diag
xd 0
s
, 3.8xAD d 0
kemudian persamaan kedua dari sistem (3.6)
menjadi
,TA y s 0
,Ty sA
sd d 0
v
,Ty sA diag
vd d 0
s
,
1
Ty sA diag
xs
d d 0s
2,T
y sA diag
xsd d 0
s
,Ty sA diag
xd d 0
s
, 3.9T
y sAD d d 0
selanjutnya persamaan terakhir sistem (3.6)
sama dengan
, s x x s e xs
,x s
x ss d x d e xs
v v
,x s
s x d x s d e xsxs xs
,x s xs d xs d e xs
,x s xs d d e xs
,x s
e xsd d
xs
,x s
xsd d
xs
11
1 . 3.10x s d d v v
Setelah didapatkan hasilnya, maka dari
persamaan 3.8 , 3.9 , dan 3.10 diperoleh
sistem:
1
,
( ) ,
.
x
Ty s
x s
AD
AD
d 0
d d 0
d d v v
(3.11)
Dua persamaan pertama dari sistem
(3.11) menunjukkan bahwa vektor dan x sd d
merupakan ruang nol dan ruang baris dari
matriks AD . Kedua ruang ini adalah
ortogonal, sehingga dan x sd d orthogonal,
yang berimplikasi
2 2 2
21 = .
x s x s
d d d d
v v
Perhatikan bahwa xd , sd ,(dan juga yd )
adalah nol jika dan hanya jika 0-1v - v ,
yang hanya terjadi jika v = e , dan kemudian
, dan x y s bertepatan dengan center
masing-masing. Oleh karena itu untuk
mengukur jarak dari ( , ( , ))x y s ke center ,
digunakan , ; x s yang didefinisikan oleh
211
, ; : ) : .2
x s v v v (3.12)
Untuk sebarang 0 , neighborhood
dari center diberikan oleh himpunan
, , : , ( , ) , ( , ; ) .P D x y s x y s x s
12
IV STUDI KASUS
Pada bagian ini akan diberikan dua
contoh kasus yang berbeda pada masalah
Klee-Minty (KM), dengan mengambil 1
3 ,
2n dan 0 0y . Kedua contoh kasus ini
telah dijamin oleh ukuran kedekatan, sehingga
hasil yang didapatkan akan selalu berada di
daerah fisibel.
Contoh kasus pertama untuk kasus tanpa
kendala redundant:
2 min y
kendala 1 0 1,y
1 2 1
1 1 1 .3 3
y y y
Dengan menggunakan definisi analytic center, untuk menentukan analytic center maka
kendala masalah KM tersebut dinyatakan sebagai berikut:
1
1
0,
1 0,
y
y
2 1
1 2
10,
3
11 0.
3
y y
y y
Kemudian digunakan rumus untuk mencari analytic center:
1
1
1 2 1
1 2
log
log1
1A =argmaks 1 1 1 1 log3
1log1
3
y
y
y
y y
y y
Untuk memperoleh titik analytic center turunkan persamaan (4.1) terhadap 1y dan 2y
1
1
0A
y
1 12 1 1 2
1 1
1 1 3 3 0,1 11
13 3
y yy y y y
1
2
0A
y
2 1 1 2
1 10.
1 11
3 3y y y y
Dengan menyelesaikan persamaan (4.1) diperoleh titik analytic center 1 20.317, 0.5 .y y
1 1 1 2 1 1 2
1 1A argmaks log log 1 log log 1 4.1
3 3y y y y y y y
13
Gambar 1 menunjukkan masalah KM tanpa penambahan kendala redundant. Gambar 1 diperoleh dengan menggunakan MATLAB R2008b dan memperlihatkan central path bergerak
sepanjang 0, , ketika central path konvergen ke analytic center di titik (0.317,
0.5) dan jika 0 maka central path konvergen ke solusi optimal di titik (0,0).
Gambar 1. Masalah KM tanpa penambahan kendala redundant
Untuk contoh kasus kedua akan diberikan
penambahan kendala redundant 1 0y dan
2 0y , dengan besarnya pengulangan
ditentukan menggunakan parameter
1
:4 1n
,
2 ( 1)/2
2 4 2: , , , .
T
n n n
nh
Parameter di atas digunakan oleh Nematollahi
dkk dalam jurnalnya (Nematollahi dkk. 2008),
dengan menggunakan parameter tersebut
Nematollahi dkk. membuktikan bahwa central
path akan mengunjungi cukup dekat ke semua
verteks dari daerah fisibel, namun penggunaan parameter tersebut masih secara teori. Pada
contoh kasus kedua ini akan ditunjukkan
penggunaan parameter tersebut secara terapan.
Setelah dilakukan penghitungan
didapatkan besarnya pengulangan kendala
redundant 24,1728T
h , sehingga masalah
KM yang diperoleh sebagai berikut:
2 min y
kendala 1 0 1y
1 2 1
1 1 13 3
y y y
1 0y diulang 24 kali, 2 0y diulang 1728
kali.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
14
Dengan menggunakan definisi analytic center, untuk menentukan analytic center maka
kendala masalah KM tersebut dinyatakan sebagai berikut:
1
1
0,
1 0,
y
y
2 1
1 2
10,
3
11 0,
3
y y
y y
1
2
0, (24 kali)
0. (1728 kali)
y
y
Kemudian digunakan rumus untuk mencari analytic center:
1
1
2 1
1 2
2 1
1
2
2
log
log1
1log
3
1log1
3A =argmaks 1 1 1 log
24
log
log
1728
log
y
y
y
y y
y y
y
y
y
y
untuk memperoleh titik analytic center turunkan persamaan (4.2) terhadap 1y dan 2y
2
1
0A
y
1 1 12 1 1 2
1 1
1 1 243 3 01 11
13 3
y y yy y y y
2
2
0A
y
22 1 1 2
1 1 17280.
1 11
3 3
yy y y y
Dengan menyelesaikan persamaan (4.2) diperoleh titik analytic center 1 20.043, 0.985 .y y
2 1 1 2 1 1 2 1
2
1 1argmaks (log log 1 log log 1 24log
3 3
1728log( )) 4.2
yA y y y y y y y
y
15
Gambar 2 menunjukkan masalah KM dengan penambahan kendala redundant 1 0y (24
kali) dan 2 0y (1728 kali).
Gambar 2. Masalah KM dengan penambahan kendala redundant.
Dapat dilihat pada Gambar 2 semua
kendala redundant masalah KM tersebut
menyentuh daerah fisibel dan terjadi
perubahan pada central path sehingga central
path mengunjungi cukup dekat ke semua
verteks dari daerah fisibel, yang diakibatkan
adanya penambahan kendala redundant
1 0y (24 kali) dan 2 0y (1728 kali).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
16
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Metode interior primal-dual dengan
langkah full-Newton adalah salah satu metode
untuk menyelesaikan masalah optimasi linear.
Metode ini bergerak di dalam interior dari
domain secara monoton menuju solusi
optimal.
Central path merupakan kurva yang
bergerak dari analytic center menuju solusi
optimal. Dengan adanya penambahan kendala
redundant 1 0y (24 kali) dan 2 0y (1728
kali) pada masalah Klee-Minty, central path
mengunjungi cukup dekat ke semua verteks
dari daerah fisibel.
5.2 Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat
dilakukan analisis kompleksitas terhadap
metode interior primal-dual dengan langkah
full-Newton dan melakukan perbandingan
waktu secara terapan dalam menyelesaikan
masalah optimasi linear antara metode
simpleks dan metode interior primal-dual
dengan langkah full-Newton. Dikarenakan
keterbatasan waktu penulis belum dapat
melakukan hal tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Deza A, Nematollahi E, Peyghami R, and
Terlaky T. 2006. The central path visits
all the vertices of the Klee-Minty cube.
Optimization Methods & Software,
21(5):851–865.
Deza A, Terlaky T, and Zinchenko Y. 2009.
Central Path Curvature and Iteration-
Complexity for Redundant Klee-Minty
Cubes. In Advance in applied mathematics
and global optimization, volume 17 of
Adv. Mech. Math., pages 223-256.
Springer, New York.
Deza A. Nematollahi E, and Terlaky T.
2008. How Good are Interior Point
Methods? Klee-Minty Cubes Tighten
Iteration-Complexity Bounds. Mathe-
matical Programming, 113 (1, Ser. A): 1-
14.
Guritman S, dan Supriyo P.T. 2004. Diktat
Kuliah Matematika Diskret. Bogor: Dep.
Matematika IPB.
Jensen P.A, Bard J.F. 2002. Operations
Research Models and Methods. John
Wiley and Sons. New York.
Leon, S.J. 1998. Linear Algebra with
Aplications. Ed ke-4. Prentice Hall, New
York.
Mitchell JE, P.M. Pardalos and M.G.C.
Resende. 1998. Interior Point Methods for
Combinatorial Optimazation. Kluwer
Academic Publishers.
Nash SG and Sofer A. 1996. Linear and
Nonlinear Programming. McGraw-Hill,
New York.
Nematollahi E. and Terlaky T. 2008a. A
Simpler and Tighter redundant Klee-Minty
Construction. Optimization Letters, 2(3):
403-414.
Nematollahi E. and Terlaky T. 2008b. A
Redundant Klee-Minty Construction with
All the Redundant Constraints Touching
the Feasible Region. Mcmaster University,
Canada.
Roos C, Terlaky T, and Vial J.-Ph. 2006.
Interior Point Methods for Linear
Optimization. Ed ke-2. Springer, New
York.
Silalahi B.P. 2011. On the Central Path of
Redundant Klee-Minty Problems. Delft
University, Netherland.
Winston W.L. 2004. Operations Research:
Applications and Algorithms. Ed ke-4.
Duxbury, New York.
18
LAMPIRAN
19
Langkah full Newton
function [x,y,s]= Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu); rb = b - A*x; rc = c - A'*y - s; v = sqrt(x.*s/mu);
r = v.^(-1)-v; D = diag(sqrt(x./s)); AA=A*D; M=AA*AA';
rhs = rb/sqrt(mu)+AA*(diag(v./s)*rc - r);
dy=M\rhs; Dy = sqrt(mu)*dy;
ds = diag(v./s)*rc - AA'*dy; dx = r - ds; Dx = x.*dx./v; Ds = s.*ds./v;
alpha = 1; x = x + alpha*Dx; y = y + alpha*Dy; s = s + alpha*Ds;
Pembangkitan Gambar 1
function [A,b,c,x,y,s,mu,opt] =irwan_nursolih n=4 A=[-1 1 1/3 1/3 ; 0 0 -1 1] c=[0;1;0;1]
b=[0;-1]
figure (3) clf
y = [0.4 0.5]'; s = c -A'*y mu = 1000; x = mu./s -1/(11*10^(n-5)) rb = A*x-b
figure (3) axis ([0 1 0 1]) for i = 1:250, [x,y,s] = Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu); end
rb = A*x-b
20
rc = -c+A'*y+s [x s] x y x.*s mu=(x'*s)/(n); theta = 1/100; eps = 10^(-10);
figure(3) line('color',[0 1
0],'linestyle','o','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2),'marke
rsize',2); % it=0 while n*mu>eps, mu = (1-theta)*mu; [x,y,s] = Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu); line('color',[0 0
1],'linestyle','o','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2),'marke
rsize',1); % it=it+1 end
line('color',[1 0
0],'linestyle','*','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2),'marke
rsize',4); axis([-0.02 0.02 0 10^(0)])
axis([0 1 0 1]) axis([0 1 0 1])
xx=[0 1 1 0 0] yy=[0 0.3 0.7 1 0] line('color',[1 0 0],'linestyle','-
','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'markersize',4); y return
Pembangkitan Gambar 2
function [A,b,c,x,y,s,mu,opt] = gambar_kasus(n)
n=4
A=[-1 1 1/3 1/3 ; 0 0 -1 1 ]
m=1 c=[0;1;0;1] for i=1:m A=[A,[-1;0]] c=[c;0] end n=n+m
p=1 for i=1:p A=[A,[0;-1]]
21
c=[c;0] end n=n+p
b=[0;-1]
figure(3) clf
y = [0.1 0.9]'; A' d=A'*y d(1) d(2) s = c - A'*y
mu =1000; x = mu./s opt = -1/(11*10^(n-5))
rb = A*x-b % compute (feasible!) 1-center for i = 1:250, [x,y,s] = Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu); end rb = A*x-b rc = c - A'*y - s [x s] x y x.*s
mu=(x'*s)/(n); xsu=(sqrt(x.*s/mu)-sqrt(ones(size(x))*mu./(x.*s))); delta=normest(xsu)/2 theta = 0.01; eps = 10^(-10); figure(3)
line('color',[0 1
0],'linestyle','o','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2)-
opt,'markersize',2); while 4*mu>eps, mu = (1-theta)*mu; [x,y,s] = Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu); line('color',[0 0 1],'linestyle','-
','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2)-opt,'markersize',2); end line('color',[1 0
0],'linestyle','*','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2)-
opt,'markersize',4); axis([-0.02 0.02 0 10^(0)])
axis([-0.3 0.3 0 1]) axis([0 1 0 1])
22
% ini yg bwt KM-cube xx=[0 1 1 0] yy=[0 0.3 0.7 1] line('color',[1 0 0],'linestyle','-
','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'linewidth',1);
xx=[0 0 ] yy=[0 1 ] line('color',[0 1 0],'linestyle','-
','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'linewidth',2);
xx=[0 1 ] yy=[0 0 ] line('color',[0 1 0],'linestyle','-
','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'linewidth',2);
xx=[0.083 0.917 0.917 0.083 0.083] yy=[0.083 0.383 0.617 0.917 0.083] line('color',[1 0 1],'linestyle','-
','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'linewidth',2); return
