METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH

STURM-LIOUVILLE

oleh

HILDA ANGGRIYANA

M0109035

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Hilda Anggriyana, 2013. METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MA-SALAH STURM-LIOUVILLE. Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam. Universitas Sebelas Maret.

Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabelmuncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berdasarkan bentukpersamaan diferensialnya terdiri dari dua jenis, yaitu linear dan nonlinear. Idepokok menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear adalah me-nentukan parameter eigen (λ) dan fungsi eigen (y(x)) yang bersesuaian denganλ. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville, penyelesaian eksak tidak mudah ataubahkan tidak dapat ditentukan, sehingga perlu ditentukan penyelesaian hampir-an sebagai aternatif.

Metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahSturm-Liouville linear dan nonlinear. Penyelesaian hampiran yang diperoleh de-ngan metode iterasi variasional ditentukan dengan memformulasikan persamaandiferensial orde dua linear dan nonlinear ke bentuk fungsi koreksi

yn+1(x) = yn(x) +

∫ x

0

µ(L[yn(s)] +N [yn(s)]− g(s))ds,

dengan L adalah operator diferensial linear dan N adalah operator diferensialnonlinear. Metode ini dinilai efisien dan akurat.

Tujuan utama skripsi ini, yaitu mengkaji kembali penggunaan metode itera-si variasional untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinearberpangkat dua. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa metodeiterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouvillelinear dan nonlinear. Pada kasus linear penyelesaian eksak dapat diperoleh hanyadengan satu iterasi, sedangkan pada kasus nonlinear berpangkat dua peyelesaianhampiran diperoleh melaui dua iterasi.

Kata kunci: metode iterasi variasional, masalah Sturm-liouville, nilai eigen,fungsi eigen.

iii


commit to user

ABSTRACT

Hilda Anggriyana, 2013. VARIATIONAL ITERATION METHOD FORSTURM-LIOUVILLE PROBLEMS. Faculty of Mathematics and Natural Scien-ces, Sebelas Maret University.

By separating the variables in a heat conduction problem occurs Sturm-Liouville problems. Based on the differential equation form, there are two typesof Sturm-Liouville problems, linear and nonlinear. The main idea to solve linearand nonlinear Sturm-Liouville problems are determined the (λ) parameter as ei-genvalue and eigen function (y(x)). It is not easy to find an exact form solutionof some Sturm-Liouville problems, so that an aproximate solutions to these pro-blems is needed, for alternative.

Variational iteration method is used to solve linear and nonlinear Sturm-Liouville problems. Aproximation solutions obtained by formulated the linear andnonlinear second order differential equation to the following correction function

yn+1(x) = yn(x) +

∫ x

0

µ(L[yn(s)] +N [yn(s)]− g(s))ds,

where L is a linear differential operator and N is a nonlinear differential operator.These method is efective and accurate.

The main purpose of this thesis are to review an applied variational iterationmethod to solve the linear and nonlinear second order Sturm-Liouville problems.The results shows that the exact solution of linear case obtained only by oneiteration, while for nonlinear second order, approximation solutions are obtainedby two iterations.

Key words: variational iteration method, Sturm-Liouville problems, eigen value,eigen function.

iv


commit to user

MOTTO

Keberhasilan dapat diraih, hal ini harus diyakini, dan untuk

mencapainya harus dengan kerja keras serta doa pada Allah SWT yang

selalu kontinu.

(Penulis)

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :

kedua orangtuaku dan keluarga Om Joko-Tante Indah di Klaten.

Terima kasih untuk doa, semangat, dan cintanya.

vi


commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis

mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Yuliana

Susanti, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan menga-

rahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. HIMATIKA dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan

2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang menambah semangat penulis,

serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, Desember 2013

Penulis

vii


commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Pengali Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Variasi Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Kondisi Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4 Metode Iterasi Variasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.5 Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

viii


commit to user

2.1.6 Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 13

IVPEMBAHASAN 14

4.1 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Linear . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Nonlinear . . . . . . . . . . 15

4.3 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

V PENUTUP 28

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

DAFTAR PUSTAKA 29

ix


commit to user

DAFTAR GAMBAR

4.1 Plot Fungsi Eigen y(x) = yk(x) = Cksin(kx) . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Plot Fungsi Eigen y1(x, λ) = Ck sin(

√144(3+16k2π2)−27(1+x)4

6(1+x)3x) . . . 23

4.3 Plot Fungsi Eigen y2(x, λ), 0 ≤ x ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 27

x


commit to user

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

µ : pengali Lagrange

λ : nilai eigen

y(x) : fungsi penyelesaian eksak

yn(x) : fungsi penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui n-iterasi

yn+1(x, λ) : fungsi koreksi

T : operator diferensial

L : operator diferensial linear

N : operator diferensial nonlinear

yn(x, λ) : variasi terbatas

δyn(x, λ) : variasi Gateaux dari variasi terbatas

δyn+1(x, λ) : variasi Gateaux dari fungsi koreksi

R : himpunan bilangan real

P : pangkat dari fungsi y(x)

y0 : fungsi awal

λk : nilai eigen ke-k

yk : fungsi eigen dari suatu nilai eigen λk

[a, b] : interval tertutup a dan b

V : ruang vektor

X : ruang vektor kompleks u

∂∂ε

: turunan parsial terhadap ε

· : dot product pada R3

Rd : ruang linear berdimensi d

C1[a, b] : himpunan fungsi yang mempunyai turunan pertama kontinu pada [a, b]

H : ruang Hilbert

X : ruang vektor kompleks

0 : vektor 0

⟨f, g⟩ : hasil kali dalam dari fungsi f dan g

xi


commit to user

L2 : himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville

yP : pangkat ke-P

i :√−1 atau bilangan imajiner

xii


commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel

muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berbentuk persamaan

diferensial linear

− d

dx[p(x)

d

dxy(x)] + q(x)y(x) = λr(x)y(x), (1.1)

yang dilengkapi syarat batas

α1y(a) + β1y′(a) = 0, α2y(b) + β2y

′(b) = 0, (1.2)

dengan p(x) > 0, r(x) > 0, fungsi p(x), p′(x), q(x), r(x) merupakan fungsi kon-

tinu dalam interval tertutup [a, b], r(x) adalah fungsi bobot dan α1, α2, β1, β2

adalah konstanta real. Parameter λ merupakan nilai eigen yaitu suatu nilai yang

menyebabkan masalah Sturm-Liouville mempunyai penyelesaian nontrivial dan

y(x) yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1). Ide

pokok dari masalah (1.1)-(1.2) adalah menentukan λ dan fungsi y(x) yang berse-

suaian dengan λ (Haberman, [7]).

Pada perkembangannya, persamaan Sturm-Liouville (1.1) dapat dikembang-

kan untuk kasus nonlinear. Secara khusus, berdasarkan Altintan dan Ugur [1],

masalah Sturm-Liouville nonlinear diberikan oleh persamaan diferensial nonlinear

− y′′(x) + yP (x) = λy(x), x ∈ I = (0, ℓ), (1.3)

yang dilengkapi dengan syarat batas

y(0) = y(ℓ) = 0, (1.4)

1


commit to user

dengan ℓ > 0, λ > 0, P merupakan pangkat dari y(x) dan P > 1.

Pada beberapa masalah Sturm-Liouville tidak mudah atau bahkan tidak da-

pat ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga diperlukan penyelesaian hampi-

ran sebagai alternatif. Penelitian terhadap metode penyelesaian masalah Sturm-

Liouville masih terus dilakukan sampai dengan saat ini. Somali dan Gokmen

[12] menggunakan metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan masalah

Sturm-Liouville. Selain itu, Altintan dan Ugur [1] juga telah menyelesaikan ma-

salah Sturm-Liouville menggunakan metode iterasi variasional, namun pada ka-

sus nonlinear penyelesaian yang diperoleh mendasarkan pada metode dekomposisi

adomian yang dilakukan oleh Somali dan Gokmen [12].

Metode iterasi variasional adalah metode untuk menyelesaikan suatu persa-

maan diferensial. Metode ini memiliki karakteristik membentuk formula iterasi

yang merupakan fungsi penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Formu-

la iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian disebut fungsi koreksi dan memuat

pengali Lagrange (µ). Fungsi koreksi yang optimum dapat diperoleh dengan teori

variasional yang mendasarkan pada variasi Gateaux.

Berdasarkan He [9], konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu dia-

wali dengan mengambil pemisalan persamaan

Ty(x) = g(x), x ∈ I (1.5)

dengan T merupakan operator diferensial yang bekerja pada fungsi y(x) yang

berada pada suatu interval I ⊆ R. Fungsi y(x) dan g(x) merupakan fungsi

kontinu untuk semua x ⊆ I. Dalam metode iterasi variasional, operator T dapat

dinyatakan sebagai jumlahan dari operator linear (L) dan nonlinear (N), sehingga

persamaan (1.5) dapat dituliskan sebagai

L[y(x)] +N [y(x)] = g(x). (1.6)

Dari (1.6) dapat dibentuk fungsi koreksi

yn+1(x) = yn(x) +

∫ x

0

µ(L[yn(s)] +N [yn(s)]− g(s))ds. (1.7)

Pada (1.7), yn adalah fungsi yang diperoleh melalui n iterasi, dan yn merupakan

variasi terbatas yang variasi Gateauxnya bernilai nol (δyn(x, λ) = 0).

2


commit to user

Pada penelitian sebelumnya, Ganji et al. [5] menggunakan metode iterasi

variasional untuk menyelesaikan persamaan Hirota-Satsuma, penyelesaian ham-

piran yang dihasilkan lebih akurat jika dibandingkan dengan metode dekompo-

sisi adomian. Biazar et al. [3] menggunakan metode iterasi variasional untuk

menyelesaikan pendekatan dari suatu sistem persamaan diferensial, pada pe-

nelitiannya disimpulkan bahwa proses penyelesaian menggunakan metode iterasi

variasional sederhana atau mudah diaplikasikan dan akurat. Khaled dan Be-

lal [10] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan

oskilator nonlinear. Selain itu, Barari et al. [2] menggunakan metode iterasi

variasional untuk menyelesaikan masalah syarat batas linear maupun nonlinear,

sebagai hasilnya diperoleh bahwa pada masalah linear penyelesaian hampiran da-

pat diperoleh hanya dengan satu iterasi.

Dari fakta-fakta di atas, maka metode iterasi variasional dapat digunakan

untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah persamaan diferensial. Masalah sya-

rat batas Sturm-Liouville (1.1)-(1.2) dan (1.3)-(1.4) dapat dituliskan kembali ke

bentuk persamaan (1.6)-(1.7). Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan dikaji

kembali mengenai penerapan metode iterasi variasional pada penyelesaian masa-

lah Sturm-Liouville linear dan nonlinear dengan P = 2 berdasarkan Altintan dan

Ugur [1].

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil dua perumusan

masalah yaitu

1. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan me-

tode iterasi variasional?

2. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan

metode iterasi variasional?

3


commit to user

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada masalah Sturm-

Liouville linear dan nonlinear tipe regular dengan syarat batas tertentu, serta

pada masalah nonlinear diberikan P = 2.

1.4 Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk

1. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi

variasional,

2. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode ite-

rasi variasional.

1.5 Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat menerapkan metode iterasi variasional pa-

da penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear maupun nonlinear.

4

Documents

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM