Bab 3PENDEKATAN POLINOMIAL DAN INTERPOLASI 3.1. Pendahuluan3.2. Sifat-sifat polinom3.3. Polinom Pencocokan Langsung3.4. Polinom Lagrange3.5. Tabel Beda3.6. Beda Maju Newton

3.1. PendahuluanJika diketahui sejumlah data

Kita dapat membuat suatu fungsi yang mewakili titik-titik data tersebutY = f (x)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y

X

Jika titik-titik data tersebut membentuk garis lurus kita dapat membuat persamaan linier untuk mewakili fungsinya. Tetapi umumnya titik-titik datanya bukan garis lurus, sehingga persamaan yang mewakilinya adalah persamaan non linier.

Persamaan non linier dapat berupa :PolinomTrigonometikEksponensial

Tetapi yang paling fleksibel adalah polinom, karena :Mudah ditentukan Mudah dievaluasiMudah diturunkan Mudah diintegralkan

Ada 2 cara yang mendasari pemilihan polinom dari suatu set titik data :Pencocokan eksak Pencocokan hampiran

Pencocokan eksak : polinom yang dibentuk tepat melewati semua titik data.

y

X

Pencocokan hampiran biasanya untuk data yang sangat besar atau kasar, sedangkan pencocokan eksak untuk data yang sedikit dan mulus.Pencocokan hampiran :polinom melalui suatu set titik data dengan cara yang terbaik yang dapat dilakukan, tetapi tidak tepat melalui titik-titik data.

.

.

.

.

.

.

y

x

Metoda Pencocokan eksak :Polinom lagrangePolinom pencocokan langsungBeda maju newtonBeda mundur newton

Metoda Pencocokan hampiran : pendekatan kuadrat terkecil

3.2 Sifat-sifat Polinom

Bentuk umum polinom : P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . + anxn.. (3.1)

n = orde polinom = pangkat tertinggi a0, a1, ... an = koefisien = konstanta

karena ada n + 1 koefisien , maka dibutuhkan n + 1 titik data untuk dapat menentukan harga koefisien-koefisien tersebut.

Sebuah polinom orde n , melalui tepat n +1 titik data adalah unikjika suatu polinom orde n, Pn (x) dicocokkan pada suatu set n + 1 titik data : (x0,f 0) , (x1, f1) ........., (xn, fn), seperti gambar :Polinom tidak memiliki kesalahan pada titik-titik data , tetapi diantara titik data terdapat kesalahan sebesar : f(x) Pn(x)

Pembagi pada polinom (algoritma pembagian sintetik)Jika salah satu akar dari polinom Pn(x) adalah r maka:Pn(x) = (x r) Qn-1(x) ..(3.2)Dengan Qn-1(x) = polinom orde n-1Polinom Qn-1(x) berbentuk :Qn-1(x) = b1 + b2 x + b3x2 + ..+ bn-1xn-2 + bnxn-1 .(3.3)Dengan menggabungkan pers.(3.1) dan (3.3) ke per (3.2):a0+ a1x + a2x2 + .+ anxn = (x r)( b1+ b2x + b3x2 +...+ bn-1xn-2 + bnxn-1)diperoleh:bn=anbn-1= an-1 + r bn:b1 = a + r b2b0 = a + r b1

contoh :P5(x)= -120 + 274x 225x2+85x3-15x4+x5Salah satu akarnya adalah 2Tentukan polinom orde 4 yang terbentuk jika polinom diatas dibagi dengan x 2Solusi : r = 2b5 = a5 = 1b4 = a4 + 2b5 = -15 + 2(1) = -13b3 = a3 + 2b4 = 85 + 2(-13) = 59b2 = a2 + 2b3 = -225 + 2(59) = -107b1 = a1 + 2b2 = 274 + 2(-107)= 60b0 = a0 + 2b1 = -120 + 2(60) =0sehingga polinom orde 4 nya : Q4(x) = 60 107x + 59x2 -13x3 +x4

3.3 Polinom pencocokan langsungUntuk n +1 titik data : (x0,f 0) , (x1, f1) ........., (xn, fn)Dapat dibentuk n + 1 persamaan polinom orde n :(x0,f 0) f 0 = a + a1 x0 + a2 x 02 + . + anx 0n(x1, f1) f1 = a + a1 x1 + a2 x 12 + . + anx 1n:.(3.5)(xn, fn) fn = a + a1 xn + a2 x n2 + . + anx nn nilai fi dan xi nya diketahui , nilai a0, a1,..... an dihitung. Sehingga pers (3.5) berbentuk sistem pers linier ~ sistem pers linier dengan n +1 persamaan .Untuk menghitung a0 s/d an dapat dilakukan dengan metoda SPL minsalnya eliminasi gauss.Jika a s/d an sudah diketahui, maka polinom orde n tsb diperoleh

Contoh 3 titik data :Solusi : 3 titik data : maksimum polinom orde 2 P2(x) = a + bx + cx20.294118 = a + b(3.4) + c (3.4)2 0.285714 = a + b(3.5) + c (3.5)2 0.277778 = a + b (3.6) + c(3,6)2 Disusun dalam persamaan matrik : Tentukan polinom yang mewakili fungsi 3 titik data tersebut dengan polinom pencocokan langsumg ! hitung f(x) untuk x = 3.44?

xF(x)3,40.2941183.50.2857143.60.277778

Dengan eliminasi gauss diperoleh : a = 0.858314 b = -0.245500 c = 0.023400sehingga ; P2(x) = 0,858314 - 0,24550x + 0,023400x2untuk x = 3,44 : P2(3,44) = 0,858314 - 0,24550 (3,44) + 0,023400 (3,44)2 = 0,290700

3.4. Polinom Lagrange

Metoda Polinom Pencocokan langsung mempunyai kelemahan yaitu bila polinom orde tinggi (n > 4), sistem dapat berkondisi buruk sehingga menyebabkan nilai solusi menyimpang jauh. Sehingga diperkenalkan metode polinom lagrange.Jika ada 2 titik data : [a, f(a)] dan [b,f(b)]Polinom linear (orde 1) lagrange :

P1(x) = (3.6)

Untuk n + 1 titik data, Polinom Pn(x) nya adalah :Polinom lagrange digunakan untuk interpolasi suatu nilai x, tidak untuk memperoleh bentuk persamaannya.Contohnya : 4 titik data Hitunglah y =f(3.44)Solusi :Interpolasi linear :

xf(x)3.400.2941183.500.2857143.550.2016903.650.273973

Interpolasi kuadratikData yang digunakan pada soal sebenarnya diperoleh dari fungsi sehingga nilai f sebenarnya untuk x = 3.44 adalah kesalahan dari interpolasi ini :Pertambahan orde memperlihatkan bahwa error data semakin kecil (semakin akurat)

Jenis InterpolasiHasil InterpolasiErrorOrde 10.2907560.000058Orde 20.2906990.000001Orde 30.2906980.000000

3.4. Tabel Beda Untuk data dengan jarak yang sama, akan lebih sederhana jika menggunakan metoda beda.Metoda beda beda maju Newton & beda mundur Newton menggunakan tabel beda.Tabel 3.1 Tabel Beda

x

f(x)

x0

f0

( f1 - f0 )

( f2 2 f1 + f0 )

( f3 2 f2 + f1 )

x1

f1

( f2 - f1 )

( f3 3 f2 +3 f1 - f0 )

x2

f2

( f3 f2 )

x3

f3

Operator beda maju : f(xi) = fi = fi+1 - fiTabel 3.2. Tabel beda majuTable 3.2. Tabel Beda MundurTabel 3.2 dan 3.3 nilai-nilainya identik, tetapi penamaannya berbeda

xf(x) f2 f3 fx0f0 f0

f1

f22 f0 2 f1x1f13 f3x2f2x3f3

xf(x)fx-3f-3

x-2f-2x-1f-1X0F0

Tabel 3.4 tabel beda untuk f(x) =

x

f(x)

f(x)

2 f(x)

3 f(x)

4

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

0.333333

0.322581

0.312500

0.303030

0.294118

0.285714

0.277778

0.270270

0.263158

0.256410

0.250000

- 0.010752

- 0.010081

- 0.009470

- 0.008912

- 0.008404

- 0.007936

- 0.007508

- 0.007112

- 0.006748

- 0.006410

0.000671

0.000611

0.000558

0.000508

0.000468

0.000428

0.000396

0.000364

0.000338

- 0.000060

- 0.000053

- 0.000050

- 0.000040

- 0.000040

- 0.000032

- 0.000032

- 0.000026

0.000007

0.000003

0.000010

0.000000

0.000008

0.000000

0.000006

3.5. Polinom Beda Maju NewtonUntuk n+1 titik data, polinom yang melaluinya :dengan s = variable interpolasih= interval dari xpersamaan (3.8) adalah polinom beda maju Newton yang dapat ditulis dalam bentuk :dimana :

contoh :dari tabel 3.4 , interpolasi untuk x=3.44solusi :dari tabel 3.4, terlihat bahwa h = 0.1pilih x0 = 3.4, maka dari persamaan (3.8) di peroleh :ganti s =0.4 dan nilai 3 dari tabel 3.4

*