Metode Numerice de Integrarea Funcțiilor date Numeric

Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil

Formula clasică a trapezelor rezultă prin particularizarea cea mai simplă a versiunii clasice a metodei Newton-Côtes, pentru n=1. Deci este o aplicaţie directǎ a interpolǎrii liniare Lagrange în douǎ puncte. Se cunoaşte funcţia în două noduri

( ) ( ) )(;,, 1010 abhxfxfbxax −=⇒== , şi se doreşte calculul aproximativ al integralei

definite ( )dxxfb

a∫ , utilizând polinomul liniar de interpolare Lagrange adică scriind funcţia

( ) ( ) ( )xRxLxf 11 += . Deci integrala calculată cu formula trapezului este:

( )

( )

( )

( )

( )

TrapezTrapezTrapez Eroare

b

a

LI

b

a

fI

b

a

dxxRdxxLdxxf ∫∫∫ += 11

1

Deci integrând polinomul Lagrange şi restul se obţine formula trapezului:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

TrapezEroare

b

aTrapez fabbfafabdxxffI ξ''

122

3

⋅−

−+⋅−

== ∫

Deci formula trapezelor generalizată cu ( )ba,∈ξ , este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

TrapezGenEroare

n

ii

b

aTrapezGen f

nabxfbfaf

nabdxxffI ξ''

122

2 2

31

1

−−

⋅++

−== ∑∫

−

=

Pasul 1. Se introduce funcţia ( )xf :

Pasul 2. Se definesc capetele intervalului de definire a funcţiei, numărul N de puncte intermediare de calcul şi se fixează pasul de integrare h (distanţa dintre două puncte intermediare vecine pentru a fixa lungimea subintervalelor echidistante pe intervalul ],[ ba ):

Pasul 3. Se introduce vectorul x a cărui elemente sunt valorile absciselor xi care reprezintă capetele subintervalelor echidistante în care a fost împărţit intervalul ],[ ba . Elementele acestui vector se definesc utilizându-se tasta ([) pentru indicele i al variabilei x.

P1. Fie funcția 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+172𝑥𝑥+3

definită pe intervalul 2,9 , 𝑓𝑓: 2,9 → ℝ. Se cerecalculul valorii integralei definite pe intervalul 2,9 , utilizând formula trapezelor și să seestimeze eroarea de calcul aferentă acestei metode.

Itrapezh2

f a( ) f b( )+ 2

1

N 1−

j

f xj( )∑=

⋅+

⋅:=

Pasul 5. Se evaluează eroarea metodei conform formulei:

Idefa

bxf x( )

⌠⌡

d:=

Formula clasică a lui Simpson rezultă prin particularizarea versiunii generale a metodeiNewton-Côtes, pentru n=2. Se cunosc valorile funcţie f(x) în trei noduri echidistante:

( ) ( ) ( )210210 ,,,2

, xfxfxfbxbacxax ⇒=+

=== , hxxhxx 2, 0201 +=+= ,

( )2

abaccbh −=−=−=

Iar polinomul de interpolare Lagrange de ordin doi este cel cu care se aproximează funcţia de sub integrala definită, ( ) ( ) ( )xRxLxf 22 += . Deci integrala definită va fi:

( )

( )

( )

( )

( )

SimpsonSimsonSimpson Eroare

b

a

LI

b

a

fI

b

a

dxxRdxxLdxxf ∫∫∫ += 22

2

Deci formula lui Simpson se va scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅−

−+⋅+−

==b

aEroare

Simpson

Simpson

fabbfcfafabdxxffI

ξ'''2880

)()(4)(6

5

Aplicând pentru fiecare subinterval formula clasică a lui Simpson se obţine:

( ) ( ) ( )( )

SimpsonEroarea

m

kk

m

kkm

b

aSimpsonGen f

mabxfxfxfxf

mabdxxffI ξ4

4

51

12

11220 2880

)(2)(4)()(6

)( ⋅⋅

−−

⋅+⋅++

−≈= ∑∑∫

−

==−

Fie funcţia, ( ) ( )xexf x sin2

⋅= − definită pe intervalul ],[ ba ; Rbaf →],[: . Se cere calculul valorii integralei definite pe intervalul ],[ ba , utilizând formula lui Simpson şi să se evalueze eroarea de calcul a acestei formule.

Pasul 1. Se defineşte funcţia ( )xf : f x( ) ex cos x( )⋅:=

Pasul 2. Se definesc limitele intervalului, numărul N2 de puncte intermediare de calcul şi se determină pasul de integrare h :

a 1:= b 3:= N 50:= hb a−

2N:=

0.02h =

Pasul 3. Se introduce vectorul x a cărui elemente sunt valorile absciselor xi care reprezintă capetele subintervalelor echidistante în care a fost împărţit intervalul ],[ ba .

Pasul 4. Se calculează valoarea integralei definite pe intervalul ],[ ba utilizând formula lui Simpson. Sumele se introduc prin intermediul operatorului Range Varible Summation din toolbar-ul Calculus ($):

j 1 3, 2 N⋅ 1−..:= k 2 4, 2 N⋅ 2−..:=

ISimpsonh3

f a( ) f b( )+ 2

k

f xk( )∑⋅+ 4

j

f xj( )∑⋅+

⋅:= 480549501702757.10ISimpson =

i 0 2N..:= xi a h i⋅+:=

Stabilirea cantităţilor de energie consumate, pe baza înregistrărilorde putere – (prelucrarea curbelor de sarcină prin integrare numerică).

Se consideră un receptor de energie electrică pentru care se cunoaşte curba desarcină zilnică referitoare la puterea activă consumată.

Se cere să se determine energia activă consumată de receptor, pe durta unei zile,pe baza prelucrării curbei de sarcină prin integrare numerică.

∫ ⋅=24

0

)( dttPEzi

Ș.l.Dr.Ing. Levente CZUMBIL

Metode Numerice de Integrarea Funcțiilor date Numeric