METODE NUMERIK

MODUL 8 Interpolasi dan Regresi

Zuhair

Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana

Jakarta 2008年12月07日(日)

2

Interpolasi dan Regresi Data yang sering dijumpai di lapangan oleh saintist dan insinyur sering

dalam bentuk data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. Data ini

biasanya diperoleh dari hasil riset di lapangan atau hasil eksperimen di

laboratorium. Sebagai gambaran, sebuah eksperimen di laboratorium fisika

dasar mengenai hubungan antara jarak tempuh benda yang jatuh bebas

terhadap waktu tempuh menghasilkan data seperti disajikan dalam Tabel 8.1

berikut: Tabel 8.1.

y (meter) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (detik) 1.45 2.0 2.4 2.85 3.0 3.5 3.75 4.0 4.2 4.52

Problema yang acapkali ditemui pada data di atas adalah menentukan

suatu nilai di antara titik-titik tersebut yang dapat diketahui tanpa melakukan

pengukuran lagi. Misalkan kita ingin mengetahui berapa jarak tempuh benda

ketika waktu tempuhnya 12,5 detik? Pertanyaan ini tidak secara langsung dapat

dijawab, karena fungsi yang menghubungkan variabel t dan y tidak diketahui.

Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titik-

titik dalam tabel di atas. Pendekatan semacam ini disebut pencocokan kurva

(curve fitting) dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran. Tentu saja nilai fungsi yang diperoleh juga merupakan nilai hampiran (hasilnya tidak setepat nilai eksaknya), tetapi cara pendekatan ini

dalam praktek sudah mencukupi karena formula yang menghubungkan dua

variabel atau dua besaran fisika sulit ditemukan.

Disamping untuk menghitung nilai fungsi, pencocokan kurva juga dapat

digunakan untuk mempermudah perhitungan numerik yang lain, misalkan

menghitung turunan (derivatif) suatu fungsi dan atau menghitung nilai integral.

Sebagai contoh, andaikan kita dihadapkan pada fungsi yang mempunyai bentuk

cukup rumit, seperti:

5

5221

21)42ln()(

xxxxf

+

−= ……………………............……(8.1)

Menghitung turunan fungsi dalam persamaan (8.1) untuk x = a

merupakan pekerjaan yang tidak mudah, apalagi untuk menghitung turunan yang

3

lebih tinggi ordenya tentu akan semakin sulit. Di sini diperlukan solusi yang

bersifat pendekatan atau solusi hampiran.

Demikian pula, untuk menghitung integral fungsi seperti yang dituliskan

dalam persamaan (8.1) dalam interval, misalkan untuk interval [0,1],:

dxx

xx5

52211

0 21)42ln(

+

−∫ ……………………….............…..(8.2)

Menyelesaikan persamaan (8.2) merupakan pekerjaan yang tidak mudah,

bahkan secara analitik belum tentu dapat dilakukan, karena bentuk integrand-

nya tidak dijumpai dalam formula integral yang umum. Dengan demikian untuk

menyelesaikan persamaan (8.2) harus dilakukan dengan penyederhanaan fungsi

)(xf menjadi polinom )(xpn yang mempunyai derajat ≤ n, dalam hal ini dapat

dinyatakan dalam bentuk:

∑=

++++=++++==n

i

nn

nn

iin xaxaxaaxaxaxaxaxaxp

0

2210

22

11

00 ......)( ...…(8.3)

Menghitung turunan atau mengintegralkan suku-suku polinom menjadi

lebih mudah, karena formula yng digunakan untuk menghitung turunan atau

mengintegralkan polinom menjadi sangat sederhana, yaitu:

(i) Jika naxxf =)( , maka 1)(' += nnaxxf , (ii) ∫ ++

= + Cxn

adxax nn 1

)1(

Untuk membentuk polinom ini, kita memerlukan beberapa titik diskrit yang

umumnya berjarak sama dari fungsi f dan titik-titik tersebut direpresentasikan

dalam bentuk tabel. Selanjutnya titik-titik data ini dicocokkan untuk menentukan

polinom )(xpn agar supaya menghampiri fungsi asalnya. Perhatikanlah dua

kurva dibawah ini,

(a) Regresi (b) Interpolasi

Gambar 8.1 Pencocokan kurva dengan metode (a) regresi, (b) interpolasi.

x

y

x

y

4

Pencocokan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data

dengan sebuah kurva (curve fitting) fungsi. Metode ini dibedakan menjadi dua

metode, yaitu:

a. Regresi Data hasil pengukuran umumnya mengandung galat yang cukup berarti,

karena data ini tidak terlalu teliti, maka kurva yang mencocokan titik –titik data itu

tidak perlu melalui semua titik. Strategi yang digunakan adalah menentukan

kurva yang mewakili kecenderungan titik data, yakni kurva mengikuti pola titik

sebagai kelompok (Gambar 8.1.a). Kurva tersebut dibuat sedemikian rupa

sehingga selisih antara titik data dengan titik hampirannya di kurva sekecil

mungkin. Metode pencocokan kurva seperti ini dinamakan regresi kuadrat terkecil (least square regression). Galat yang timbul kemungkinan disebabkan

oleh kesalahan pengukuran, ketidak-telitian alat ukur yang digunakan atau

karena sifat sistem yang diukur. Contoh data yang mengandung galat adalah

tabel tegangan baja.

b. Interpolasi Bila data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka

kurva pencocokannya dibuat melalui titik-titik, persis sama apabila kurva fungsi

yang sebenarnya diplot melalui setiap titik-titik yang bersangkutan. Di sini kita

dikatakan melakukan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi (Gambar

8.1b). Bila fungsi pencocokan yang digunakan berbentuk polinom, maka polinom

tersebut dinamakan polinom interpolasi. Contoh data yang tingkat ketelitiannya

tinggi adalah titik-titik data yang diperoleh dari persamaan yang menyatakan

hubungan antara jarak tempuh terhadap waktu tempuh pada benda yang jatuh

bebas, seperti tertera pada Table 8.1. Selain polinom, interpolasi titik-titik data

dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional atau dengan deret Fourier.

Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode

numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit akan menjadi sederhana bila

dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik,

metode persamaan difrensial biasa dan metode turunan numerik didasarkan

5

x ax = ax =

y

pada polinom interpolasi sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi

merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.

8.1. Interpolasi Polinom

Diberikan (n+1) buah titik yang berbeda, yaitu ),( 00 yx , ),( 11 yx … ),( nn yx .

Akan ditentukan polinom )(xpn yang menginterpolasi (melewati) semua titik-titik

tersebut sedemikian rupa sehingga,

)( ini xpy = , untuk ni ...,3,2,1,0=

Nilai iy dapat berasal dari fungsi matematika )(xf , misalkan

xxf ln)( = , xSinxf =)( , fungsi Bessel dan sebagainya yang menyebabkan

)( ii xfy = atau iy diperoleh secara empirik (hasil dari pengamatan eksperimen

di laboratorium).

),( 44 yx

),( 11 yx ))(,( apa n

),( 33 yx ),( 11 −− nn yx ),( nn yx

),( 00 yx ),( 22 yx

))(,( apa n

Gambar 8.2. Interpolasi dan ektrapolasi.

Setelah polinom interpolasi )(xpn dapat diperoleh, maka )(xpn digunakan untuk menghitung perkiraan nilai axdiy = , yaitu )(apy n= . Posisi titik ax = mungkin terletak di antara titik-titik data, nxax <<0 atau terletak di luar titik-titik data, 0xa < atau axn < . (i) Jika nxax <<0 , maka )(apy kk = disebut nilai interpolasi. (ii) Jika 0xa < atau axn < , maka )(apy kk = disebut nilai ekstrapolasi.

6

Kita dapat menginterpolasi titik-titik data dengan polinom linear, polinom

kuadratis, polinom kubik atau polinom derajat yang lebih tinggi dan hal ini

tergantung pada jumlah titik-titik data yang tersedia.

8.1.1. Interpolasi Linear

Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis

lurus. Misalkan dua buah titik, ),( 00 yx dan ),( 11 yx . Polinom yang menginterpolasi

kedua titik itu adalah persamaan garis lurus berbentuk:

xaaxp 101 )( += …………………………………............………..(8.3)

Gambar (8.3) memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik

),( 00 yx dan ),( 11 yx .

Gambar 8.3 : Interpolasi linear.

Koefisien 10 adana dapat dicari dengan proses substitusi dan atau

eliminasi. Dengan mensubstitusikan ),( 00 yx dan ),( 11 yx ke dalam persamaan

(8.3) diperoleh dua buah persamaan linear, yaitu:

0100 xaay +=

1101 xaay +=

Kedua persamaan ini diselesaikan dengan proses eliminasi dan dihasilkan,

01

011 xx

yya

−−

= ……………......……............………………(8.4)

dan,

01

10010 xx

yxyxa

−−

= ………………………...................……(8.5)

x

y

7

Substitusikan persamaan (98.4) dan (8.5) ke dalam persamaan (8.3)

untuk mendapatkan persamaan garis lurus:

)()(

)()(

01

21

01

10011 xx

xyyxx

yxyxxp

−−

+−−

= ……….................…..(8.6)

Dengan melakukan manipulasi aljabar, persamaan (8.6) ini dapat disusun

menjadi,

)()()(

)( 001

0101 xx

xxyy

yxp −−−

+= ………….................…..(8.7)

Bukti:

)()(

)()(

01

01

01

00011 xx

xyyxx

yxyxxp

−−

+−−

=01

0110011 )(

xxxyxyyxyx

xp−

−+−=⇔

01

00000110011 )(

xxyxyxxyxyyxyx

xp−

−+−+−=⇔

01

0010011

))(()()(

xxxxyyyxx

xp−

−−+−=⇔

)()()(

)( 001

0101 xx

xxyy

yxp −−−

+=⇔

Persamaan (8.7) merupakan persamaan garis lurus yang melalui dua

buah titik ),( 00 yx dan ),( 11 yx . Kurva polinom )(1 xp ini berupa garis lurus

(Gambar 8.3 ).

CONTOH 1. Perkirakanlah jumlah penduduk Amerika Serikat (dalam juta) pada tahun

1968 berdasarkan data yang ditabelkan di bawah ini:

Tahun 1960 1970

Jumlah penduduk 179,3 203,2

Penyelesaian:

Dari tabel di atas dapat dituliskan 19600 =x , 3,1790 =y dan 19701 =x ,

2,2031 =y . Dengan menggunakan persamaan (8.7), maka:

8

4,19819601970

)19601968)(3,1792,203(3,179)1968(1 =−

−−+=p

Jadi taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198,4 juta

CONTOH 2.

Jika dari data-data diketahui bahwa ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) =

2,2513 maka tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka

dibelakang koma. Bandingkanlah hasilnya dengan nilai sejati ℓn (9,2) = 2,2192.

Penyelesaian:

Kita dapat menuliskan 0,90 =x ; 1972,20 =y dan 5,91 =x ; 2513,21 =y .

Dengan menggunakan persamaan (8.7) diperoleh hasil sebagai berikut:

2188,20,95,9

)0,92,9)(1972,22513,2(1972,2)2,9(1 =−

−−+=p .

Galat = 2,2192 - 2,2188 = 0,0004. Di sini nampak bahwa interpolasi linear tidak

cukup untuk memperoleh ketelitian sampai 5 angka penting, hanya sampai 3

angka penting.

8.1.2. Interpolasi Kuadratik

Misalkan diberikan tiga buah titik data ),( 00 yx , ),( 11 yx dan ),( 22 yx .

Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik berupa polinom kuadratik yang

persamaannya adalah:

22102 )( xaxaaxp ++= ……...…………………………..(8.8)

Bila dilukiskan diperoleh kurva polinom kuadratik seperti ditunjukkan

dalam Gambar (8.4). Polinom )(2 xp ditentukan dengan cara mensubstitusikan

),( ii yx ke dalam persamaan (8.8), dimana .2,1,0=i Dari sini diperoleh tiga buah

persamaan yang tidak diketahui, yaitu 10 , aa dan 2a :

0202010 yxaxaa =++

1212110 yxaxaa =++ …………………………......……………….(8.9)

2222210 yxaxaa =++

9

),( 11 yx

),( 00 yx ),( 22 yx

x

y

Untuk menghitung 10 , aa dan 2a dalam sistem persamaan (8.9)

digunakan metode eliminasi Gauss.

Gambar 8.4. Interpolasi kuadratik. CONTOH 3. Diberikan data ℓn (8,0) = 2,0794, ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513.

Tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi kuadratik.

Penyelesaian:

Dari data di atas dapat dituliskan di sini 0,80 =x ; 0,91 =x ; 5,92 =x ;

0794,20 =y ; 1972,21 =y dan 2513,22 =y . Dengan menggunakan persamaan

(8.8) diperoleh hasil sebagai berikut:

0794,200,640,8 210 =++ aaa

1972,200,810,9 210 =++ aaa …………….....………………….(8.10)

2513,225,905,9 210 =++ aaa

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, maka dihasilkan nilai

6762,00 =a , 2266,01 =a dan 0064,02 −=a . Polinom kuadratnya adalah

22 0064,02266,06762,0)( xxxp −+= , sehingga 2192,2)2,9(2 =p . Hasil

perhitungan ini sama dengan nilai eksaknya, yaitu sampai 5 angka penting.

8.1.3. Interpolasi Kubik

Misalkan diberikan empat buah titik data ),( 00 yx , ),( 11 yx , ),( 22 yx dan

),( 33 yx . Polinom yang menginterpolasi keempat buah titik tersebut berupa

polinom kubik yang persamaannya adalah:

10

33

22103 )( xaxaxaaxp +++= ……………..…………………..(8.11)

Polinom )(3 xp ditentukan dengan cara mensubstitusikan ),( ii yx ke dalam

persamaan (8.11), dimana .3,2,1,0=i Dari sini diperoleh empat buah

persamaan yang tidak diketahui, yaitu 10 , aa , 2a dan 3a .

0303

202010 yxaxaxaa =+++

1313

212110 yxaxaxaa =+++ ……………………………………(8.12)

2323

222210 yxaxaxaa =+++

3333

232310 yxaxaxaa =+++

Untuk menghitung nilai 10 ,aa , 2a dan 3a dalam sistem persamaan (8.11)

digunakan metode eliminasi Gauss. Bila digambarkan didapatkan kurva polinom

kubik seperti dilukiskan dalam Gambar 8.5

Gambar 8.5. Interpolasi kubik. Dengan cara yang sama kita dapat membuat polinom interpolasi

berderajat n yang diformulasikan oleh,

nn

n

i

iii xaxaxaxaaxaxp +++++== ∑

=

...)( 33

2210

0..........................(8.13)

Jika terdapat )1( +n buah titik data maka dengan mensubtitusikan titik

),( ii yx ke dalam persamaan (8.13), untuk ni ,...,3,2,1,0= akan diperoleh n buah

persamaan dengan koefisien naaaaa ,...,,, 3210 yang harus ditentukan nilainya.

x

y ),( 33 yx

),( 22 yx ),( 00 yx

),( 11 yx

11

00303

202010 ... yxaxaxaxaa n

n =+++++

11313

212110 ... yxaxaxaxaa n

n =+++++

22323

222210 ... yxaxaxaxaa n

n =+++++ ……………...……….(8.14)

… … …. ….. … = …

… … …. ….. … = …

nnnannn yxaxaxaxaa =+++++ ...3

32

210

Serupa dengan persamaan sebelumnya, nilai naaaaa ,...,,, 3210 dapat

ditentukan menggunakan metode eliminasi Gauss.

SOAL

Selesaikanlah dxx

e xx

5

5)242(1

0 21+

−

∫ dengan pendekatan polinom kuadratis dan

polinom kubik.