Metode optimizare trafic aerian

Vizitati www.tocilar.ro ! Arhiva online cu diplome, cursuri si referate postate de utilizatori.

Studiu privind optimizarea capacitatii aeroportuare

Introducere

Un ţel major al managementului de trafic aerian este acela de a controla strategic

fluxul de trafic aerian aşa încât cererea la un aeroport atinge dar nu depăşeşte capacitatea

operaţională .

Această lucrare îşi propune să ia în considerare (doar) aspectele majore ale capacităţii

operaţionale a unui aeroport, aspecte relevante pentru managementul strategic al traficului

aerian . De asemenea este discutată o reprezentare a capacităţii aeroportuare care reflectă

corect limitele operaţionale ale unui aeroport .

Este prezentată o metodă de estimare practică a capacitaţii aeroportuare în diferite

condiţii operaţionale .

Este propusă o tehnică pentru optimizarea capacităţii aeroportuare disponibile aşa

încât aceasta să satisfacă cel mai bine cererea de trafic estimată .

Optimizarea este atinsă considerând operaţiunile de sosire si de plecare ca pe nişte

procese interdependente si prin alocarea strategică a capacităţii aeroportuare intre sosiri şi

plecări .

Se prezintă următorul model matematic , precum şi exemplele numerice ilustrând

beneficiile utilizării acestuia în rezolvarea problemelor de congestie aeriană .

Capitolul 1

Prezentarea generală a problemei

Pagina 1 din 54


Capacităţile restrânse ale Sistemului Naţional de Spaţiu Aerian din Statele Unite ale

Americii (NAS) şi sporirea cantitaţii de trafic aerian măresc potenţialul de congestionare atât

în aer cât si la sol , lucru care poate în schimb să mărească substanţial intârzierile .

Problemele apar ori de câte ori cererea depăşeşte capacitatea disponibilă la un anumit

element din NAS .

În aceste situaţii rolul managementului de trafic aerian devine foarte important .

Cea mai importantă si mai restrictivă componentă a sistemului de trafic NAS este

aeroportul .

Administraţia Federală a Aviaţiei din Statele Unite ale Americii (FAA) a identificat

câteva aeroporturi majore ca aeroporturi de „ ritm ” – ( pacing airports ) numite aşa deoarece

traficul din aceste aeroporturi reglează (dă „ ritmul ”) fluxul de trafic prin NAS luat ca un

întreg .

Un aeroport de „ ritm “ este identificat după două caracteristici :

are un volum mare de trafic

volumul de trafic depăşeşte frecvent capacitatea operaţională a aeroportului .

Ramura managementului traficului aerian a FAA urmăreşte atent traficul la

aeroporturile de ritm şi implementează programe strategice pentru a manageria situaţiile unde

cererea depăşeşte semnificativ capacitatea .

Un program strategic este de obicei un “ program de întârziere la sol “ , unde “ timpi

specificaţi de plecare “ – Controlled Departure Time (CDT) sunt desemnaţi zborurilor ce

urmează să plece în următoarele două până la patru ore .

CDT – urile sunt calculate pentru a atinge o rată acceptabilă prescrisă a sosirilor , rată

care reflectă capacitatea la un aeroport supraaglomerat .

Acurateţea şi încrederea în prezicerea capacităţii şi cererii unui aeroport este crucială

pentru eficacitatea programelor de management strategic al traficului .

Sunt metode deja existente şi instrumente pentru prezicerea cererii de trafic aerian .

Cu toate acestea , problema prezicerii capacitaţii aeroportuare este mai puţin bine rezolvată .

Determinarea capacităţii unui aeroport este complexă .

Capacitatea aeroportuară depinde de mulţi factori , precum condiţiile meteorologice ,

configuraţia pistelor , rata sosirilor şi a plecărilor şi componenţa flotei ( tipurile avioanelor

care alcătuiesc flota ) .

Pe deasupra “ capacitatea practică “ pentru scopurile managementului strategic al

traficului poate fi influenţată de factori de spaţiu aerian ( de exemplu încărcarea punctelor

Pagina 2 din 54


reper de sosire , încărcarea sectorului ) precum si de factori umani ( de exemplu încărcarea

controlorului de trafic ) .

Marea majoritate a publicaţiilor despre analiza şi optimizarea managementului

fluxului de trafic aerian tratează capacităţile aeroportuare ca parametri constanţi deja daţi . ( a

se vedea în bibliografie - [4] ) .

De obicei , capacitatea aeroportuară este definită de două constante : una pentru

capacitatea de sosire şi cealaltă pentru capacitatea de plecare .

Constantele pot varia pentru diferite condiţii meteorologice şi configuraţii ale pistei ,

dar rămân constante peste tot în timpul cât aceste condiţii există .

Standardele tehnice de performanţă (engineered performance standards - EPS)

stabilite de FAA dau informaţii mult mai realiste asupra capacităţilor aeroportuare .

Valorile standardelor tehnice de performanţă - EPS variză nu numai din cauza

configuraţiei pistei sau a condiţiilor meteorologice ci şi din cauza prporţiei sosirilor şi

plecărilor .

În general , trei condiţii de operabilitate sunt deja stabilite :

prioritatea pentru plecări ( în cazul plecărilor în proporţie de 75% sau mai mult )

prioritate egală pentru plecări şi sosiri ( în cazul egalităţii 50% plecări 50% sosiri )

prioritate pentru sosiri ( în cazul sosirilor în proporţie de 75% sau mai mult ) .

Pentru câteva aeroporturi standardele tehnice de performanţă EPS arată doar o

singură pereche de valori ale capacităţilor de sosire şi de plecare pentru fiecare

configuraţie a pistei .

În orice caz , chiar şi în cele mai fericite situaţii , datele EPS nu acoperă întregul

domeniu al proporţiilor sosiri / plecări .

Cele mai complete informaţii asupra capacităţilor unui aeroport în cazul a diferite

proporţii de sosiri / plecări poate fi reprezentată printr-o legătură funcţională între capacităţile

de sosire şi de plecare .

Specificul acestei legături funcţionale a fost studiat studiat pe larg ( a se vedea în

bibliografie –[6] ) .

Într-unul dintre aceste studii, a fost dezvoltat un model analitic numit de FAA

Modelul Capacităţii Aeroportuare . Acest model este capabil să determine relaţionarea între

capacităţile de sosire şi de plecare .

Societatea MITRE pare să fi fost prima care să fi aplicat această relaţionare în

modelul de simulare al Sistemul Naţional al Analizei Performanţelor Capacităţii Spaţiului

Pagina 3 din 54


Aerian –National Airspace System Performance Analysis Capability ( NASPAC ) , unde

sloturi pentru sosire şi pentru plecare pot fi desemnate în răspuns la vârfurile de de

cerere .

In această lucrare o reprezentare similară a capacităţii aeroportuare este folosită

pentru a estima capacitatea şi pentru a formula o nouă apropiere optimizarea operaţională a

capacităţii aeroportuare .

Cele prezentate aici au fost obţinute în urma studiilor întreprinse în cadrul

programului FAA Management Avansat al Sistemului de traffic Aerian ( ATMS ) .

În această lucrare se discută estimarea şi utilizarea practică a capacităţii aeroportuare

cu aplicabilitate în cadrul scopului ATMS şi la managementul strategic al traficului aerian .

În capitolul 2 al prezentei lucrări rezervat reprezentării şi estimării capacităţii

aeroportuare , se încearcă o abordare empirică a estimării capacităţii pentru a obţine valori

practice viabile care să reflecte restricţiile majore ale debitului traficului aeroportuar pentru

întregul domeniu de raporturi sosiri / plecări .

În capitolul 3 al lucrării este descrisă o metodă pentru optimizarea capacităţii

folosindu-se derivatele estimărilor .

Optimizarea este atinsă prin alocarea dinamică a capacităţii pe timpul dintre sosiri şi

plecări . În general , soluţia optimală ne furnizează profile ale capacităţii variabile în timp

care rezolvă cel mai eficient prezicerea unei probleme de congestionare prin reflectarea

dinamicilor cererii traficului şi condiţiile operaţionale la aeroport .

Această abordare utilizează mai bine resursele disponibile la aeroport pentru a mări

debitul traficului .

În capitolul 4 sunt prezentate exemple numerice care să arate beneficiile abordării

descrise mai sus .

Capitolul 2

Reprezentarea si Estimarea Capacitătii Aeroportuare

Context

Pagina 4 din 54


Intense studii analitice asupra capacităţii aeroportuare a început la sfârşitul anilor

1950 . De atunci un mare număr de publicaţii au avut referiri la diferite aspecte ale

studiilor (a se vedea în bibliografie –[1] , [2] , [3] ) .

Capacitatea aeroportuară este definită ca numărul maxim de operaţii ( sosiri şi

plecări ) care se pot îndeplini într-un interval fixat de timp (de exemplu 15 minute sau oră ) la

un aeroport dat în condiţii date precum configuraţia pistei , şi condiţiile meteorologice . Ea

este calculată ca reciproca celui mai mare timp permis intre operaţii .

Metodele analitice existente furnizează estimarea celor mai importanţi timpi prin

luarea în considerare a variabilităţii în timp a apariţiei avionului în anumite puncte în diferite

stadii ale sosirii şi plecării , variaţia stocastică în viteză , diferenţe în timpii de ocupare a

pistei , precum şi de variaţia tipurilor de aeronave care compun flota ( mixtura flotei ) .

Făcând presupuneri legate de funcţiile de distribuţie a diferitelor variabile , se poate

estima timpul minim între operaţii , care asigură probabilitatea dată de a nu încălca cerinţele

distantei de separare în deplină siguranţă a aeronavelor .

Timpii minimi între operaţii sunt folosiţi în schimb pentru a calcula capacităţile

aeroportuare . Rezultatele numerice depind substanţial de presupunerile a priori legate de

distribuţiile probabilităţii şi parametrii lor .

Validitatea estimărilor capacităţii depinde de validitatea informaţiilor a priori ( care

adesea nu sunt foarte bune ) .

O modalitate de a face estimări realiste mai de încredere este aceea de a combina

metodele analitice si empirice .

Datele empirice , precum numărătorile istorice ale sosirilor şi plecărilor la aeroport ,

fac posibilă corectarea modelelor analitice şi a parametrilor lor .

S-a stabilit că capacităţile de sosire şi de plecare sunt legate una de alta printr-o

funcţie convexă , neliniară .

Existenţa acestei funcţii relevă faptul că capacităţile de sosire şi de plecare sunt

interdependente . O relaţie specifică între capacitatea de sosire si cea de plecare

depinde de factori diferiţi precum configuraţia pistei , condiţiile meteorologice , componenţa

flotei , strategia de operare a pistei , şi caracteristicile sistemului de control al traficului aerian

.

Pagina 5 din 54


FIGURA 1. Curba de capacitate de sosire / plecare ( vedere generală )

2.2. Metoda de Evaluare

Presupunând ca general validă o formă convexă a curbei de capacitate , a fost

dezvoltată o metodă empirică de a estima curba prin folosirea datelor reale ale

masurătorilor numărului de sosiri şi plecări la aeroport intr-un interval de timp fixat pe o

lungă perioadă de timp .

În continuare , făra să se particularizeze ,este luat în considerare numărul de sosiri şi

de plecări pe intervale de 15 minute (adică capacităţi de 15 minute) .

Metoda se bazează pe presupunerea că în timpul perioadei de timp considerate ,

vârfurile numărătorilor sosirilor şi plecărilor reflectă performanţele aeroportului la sau în

apropiere de nivelul capacităţii .

Prin urmare , curbele care învăluiesc vârfurile măsurătorilor sunt considerate ca

estimările capacităţilor aeroportului .

Metoda empirică este aplicată doar aeroporturilor de ritm , care sunt cunoscute a avea

aglomerări majore şi întârzieri considerabile în timpul orelor de vârf .

Existenţa întârzierilor importante poate fi considerată ca o indicaţie că aeroportul

operează la sau în apropiere de limitele operaţionale .

De aceea pentru aceste aeroporturi , este rezonabil să presupunem că vârfurile

înregistrărilor măsurătorilor istorice reflectă capacităţile operaţionale maxime şi , deci , pot fi

folositoare pentru estimarea capacităţii .

Pagina 6 din 54

0ac

)( ac


Datele observate pot fi organizate în concordanţă cu condiţiile operaţionale la

aeroport pentru a furniza curbele de capacitate pentru un set specific de condiţii .

Pentru a le indica , datele observate au fost analizate pentru configuraţii ale pistei şi

vreme .

Fiecare aeroport major are un set de configuraţii ale pistei care sunt folosite cu o

frecvenţă suficientă aşa că datele empirice sunt disponibile pentru a estima curbele de

capacitate pentru aceste configuraţii ale pistei .

Condiţiile meteorologice sunt împărţite in patru categorii care reflectă limitările

convenţionale asupra vizibilităţii şi asupra plafonului de zbor :

VFR (Visual Flight Rules)-Reguli în condiţii meteo de zbor la vedere ,

MVFR (Marginal Visual Flight Rules)- Reguli în condiţii meteo la limită de zbor la

vedere ,

IFR ( Instrument Flight Rules )-Reguli în condiţii meteo de zbor instrumental ,

LIFR (Low Instrument Flight Rules) -Reguli în condiţii meteo slabe de zbor

instrumental .

Curbele de capacitate pot fi estimate pentru aceste patru categorii diferite ale

vremii .

Ceaţa abundentă ,vânturile sau suprafeţele îngheţate reduc abilitatea aeroportului de a

găzdui avioane , sau pot chiar să închidă complet aeroportul .

Pentru un set dat de condiţii meteorologice , doar câteva din diferitele configuraţii de

pistă ale aeroportului pot fi potrivite , dar doar una va avea valoare maximă .

Folosind aceste valori maxime şi reprezentându-le grafic în funcţie de procentul din

an în care aceste condiţii meteorologice sunt mai probabile să apară , se poate construi curba

de acoperire a capacităţii pentru orice aeroport dat .

Un exemplu de curbă de acoperire a capacităţii este arătat în figură. Există un raport

de 3 la 1 sau de 2 la 1 între capacităţile de vreme bună / vreme rea .

Pagina 7 din 54


FIGURA 2. Capacitatea orară a aeroportului variază mult în funcţie de vreme

Cele mai mari capacităţi orare ale Aeroportului Logan din Boston sunt de 126 de

operaţii pe oră în condiţii meteo VFR – Visual Flight Rule .

Această combinaţie de cele mai mari capacităţi ale folosirii pistei şi vremea bună sunt

valabile 40 % din an .

Vânturile puternice creează componente de vânt lateral care închid câteva din pistele

acelei configuraţii de pistă , şi capacităţile orare continuă să descrească în timp ce MVFR şi

în final vremea rea cauzează restricţii în operarea în siguranţă a sistemului pistelor .

Există doar un mic procent ( 2 % ) din an când vizibilitatea slabă , plafonul de nori şi

ninsoarea închid complet aeroportul . Este de notat faptul că există o variaţie mare între

capacitatea orară maximă ( 126 de operaţii pe oră ) şi cea minimă ( 55 de operaţii pe oră )

înainte ca aeroportul să se închidă .

Aceasta este tipic pentru multe aeroporturi majore unde există mai multe configuraţii

ale pistelor .

Această variaţie mare a capacităţilor orare împiedică stabilirea unei singure valori a

capacităţii pentru aeroport ( şi cum se va vedea în continuare nici capacităţile orare nu sunt

foarte relevante pentru folosirea la maximum a facilitaţilor aeroportului ) , în schimb

capacitatea aeroportului va fi variabilă depinzând de condiţiile meteorologice .

Esenţa metodei este prezentată în continuare .

Pagina 8 din 54


Să considerăm planul sosirilor şi plecărilor din figura 2 .

FIGURA 3. Înregistrările istorice ale performantelor aeroportului şi ale curbelor de

capacitate

Setul de puncte corespunde tuturor măsurătorilor sosirilor şi plecărilor în timpul

intervalelor de 15 minute pe o lungă perioadă de timp ( de exemplu o lună sau mai mult ) .

Coordonatele fiecărui punct arată numărul de sosiri şi plecări executate la aeroport în

acelaşi interval de 15 minute .

Curba de capacitate este estimată prin tragerea unei curbe linear-convexe care să

cuprindă la un loc întregul set de puncte .

Estimările capacităţii bazate pe valorile extreme sun sensibile la posibilele valori

extreme puţin frecvente din măsurătorile efectuate .

Valorile puţin frecvente pot fi de două feluri . Ele pot fi cauzate de erori în procesul

măsurătorilor istorice , sau pot reflecta evenimente reale dar rare când aeroportul operează

dincolo de limitele sale normale operaţionale pentru o scurtă perioadă de timp .

În nici unul dintre aceste cazuri valorile extreme în afara celor obişnuite nu ar trebui

incluse în procedura de estimare a capacităţii .

Robusteţea ( adică insensibilitatea la valorile puţin obişnuite ) a estimatelor capacităţii

poate fi atinsă prin respingerea măsurătorilor cazurilor extreme .

Pagina 9 din 54


Criteriile de rejecţie sunt alese aşa încât reflectă nivelurile de încredere pentru

rezultatele estimărilor capacităţii . Această abordare este ilustrată în figura 2 .

Curba 1 redă o estimare nerobustă care cuprinde toate datele înregistrărilor şi include

valorile maxime absolute ale numărului de sosiri şi plecări observat .

Punctul A cu 26 de sosiri şi 11 plecări în 15 minute pare să fie o valoare în afara celor

obişnuite . Curba 1 , care include punctul A , pare nerealistă .

Curba 2 în figura 2 reprezintă o estimare robustă obţinută din algoritmul care respinge

unele observaţii extreme ; datele respinse sunt poziţionate în afara ariei mărginite de curbă şi

axele de coordonate .

Varietatea criteriilor de respingere determină o varietate a algoritmilor de estimare .

Criteriile se pot baza pe principii variate : proximitatea observaţiilor extreme de cele mai

apropiate observaţii , şirul valorilor extreme ( criteriul de rejecţie se bazează pe statisticile

sistemelor ) , frecvenţa apariţiei valorilor extreme .Acesta din urmă este luat în considerare

mai departe .

După acest criteriu , observaţiile extreme care apar mai puţin de un număr de ori în

intervalul de timp care ne interesează trebuie să fie respinse .

Criteriul ne poate furniza estimări care practic nu sunt deloc influenţabile de valorile

extreme în afara celor obişnuite .

Dacă , de exemplu , probabilitatea ca valorile extreme puţin probabile să apară mai

mult de o singură dată este mică şi neglijabilă , atunci curba capacităţii care cuprinde

extremele care apar mai mult de o singură dată este mai mult ca sigur că nu include acele

valori extreme puţin probabile .

În exemplul arătat în figura 2 , punctul A care reprezintă una din acele valori puţin

probabile apare doar o singură dată . Prin urmare , curba 2 care înconjoară punctele ce

reprezintă rezultatele măsurătorilor , care au apărut de cel puţin două ori , nu include punctul

A .

Pagina 10 din 54


1

S1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

frecventa

sosiri /15 minute

plecari/15 minute

Curba 1

Curba 2

Curba 3

FIGURA 4. Histograma operaţiunilor de sosire / plecare la aeroport

Figura 3 ilustrează imaginea statistică a curbei estimărilor capacităţii bazate pe unul

din criteriile de rejecţie a observaţiilor extreme .

Barele din figura 3 arată frecvenţa numărului observat de sosiri şi plecări în intervale

de 15 minute pe întreaga perioadă de timp considerată .

Frecvenţa este determinată ca numărul de apariţii ale aceleiaşi perechi de valori

( sosiri şi plecări în intervalul de 15 minute ) împărţite la numărul total de observaţii .

Estimările curbei de capacitate sunt prezentate ca eşantioane , reprezentate în două

dimensiuni , de procente de a suta parte din frecvenţa totală , care înconjoară observaţiile

extreme ce apar cu o frecvenţă nu mai mică de cât o valoare stabilită . Această valoare

reflectă cantitatea de încredere în estimările capacităţii şi poate fi determinată .

Procentajul observaţiilor totale cuprins de curbă determină procentajul corespunzător

reprezentat de curba de capacitate .

În figura 3 , curba 1 trece prin punctele extreme care apar cel puţin o dată , curba de

capacitate reprezintă procentul de 1 % şi nu este robustă .

Curba 2 trece prin punctele extreme care apar cel puţin de două ori ; punctele

extreme , care apar o singură dată , au fost respinse făcând curba robustă ,insensibilă la

puncte în afara curbei ce apar doar o dată .

Pagina 11 din 54


Curba 3 este obţinută prin algoritmul care respinge observaţiile extreme care apar de

mai puţin de trei ori .Curba 3 este mai robustă decât curba 2 .

Folosind datele observate pentru intervale de 15 minute ne sunt furnizate estimări ale

capacităţilor de 15 minute care determină limitele superioare pentru numărul de operaţii de

sosiri şi plecări care pot fi executate la aeroport într-un interval de 15 minute .

Acelaşi nivel de îndeplinire este posibil să nu fie confirmat pentru câteva intervale

consecutive de 15 minute .

Abilitatea de a confirma numărul maxim de operaţii pe o lungă perioadă de timp

depinde în mare măsură de factorul uman .

Datele empirice arată că vârful numărului de sosiri şi plecări în timpul intervalelor de

30 de minute este de obicei mai mic decât dublul celui din timpul intervalelor de 15 minute ,

şi vârfurile intervalelor de 60 de minute sunt mai mici decât dublul celor din timpul

intervalelor de 30 de minute .

De asemenea de acest efect poate fi cauzat de asemenea de caracteristicile cererilor de

trafic atunci când se examinează intervale mai lungi de timp .

Pe măsură ce intervalul de timp devine mai mare , este mai puţin probabil ca cererea

disponibilă să împingă aeroportul la limitele lui operaţionale .

Aceasta ar explica câteva din scăderile din capacităţile obţinute empiric .

Cu toate acestea , este folositor să calculăm capacităţile de 30 , 45 , şi 60 de minute pe

lângă capacităţile de 15 minute .

Aceeaşi tehnică de estimare este folosită .

Datele observate pentru 15 minute , reprezentate ca serii de timp pentru o lungă

perioadă de timp , sunt recalculate pentru intervale de 30 , 45 , şi 60 de minute prin sumarea

valorilor de 15 minute în interiorul ferestrelor de timp alunecătoare cu lărgimea a două, trei ,

şi respectiv patru intervale de 15 minute consecutive .

Curbele de capacitate rezultate arată o schimbare cantitativă aşteptată în capacitatea

aeroportului când durata vârfurilor cererilor creşte de la unul la două , trei , şi patru intervale

de 15 minute consecutive .

Rezultate Preliminare si Remarci

Pentru aeroporturile majore ( din SUA ) estimările preliminare ale curbelor de

capacitate bazate pe datele empirice din 1989 până în 1991 sunt reprezentate în raportul

interimar al Unisys (a se vedea în bibliografie –[1] – [3] ) .

Pagina 12 din 54


După cum estimările empirice ale capacităţilor sunt rezultatul procedurilor statistice ,

trebuie puse câteva întrebări importante .

Printre acestea se pot enumera cantitatea de date necesară pentru a asigura relevanţa

statistică a caracterizării , acurateţea datelor observate , stabilitatea şi sensibilitatea

estimărilor .

O dezvoltare adecvată a acestor întrebări nu este scopul acestei lucrări . Cu toate

acestea , în acest moment se pot face câteva comentarii .

S-au întreprins analize preliminare asupra curbelor de capacitate estimate pentru toate

aeroporturile de ritm folosindu-se zeci de mii de observaţii istorice în perioada cuprinsă între

1989 şi 1992 .

Aceste analize arată o bună stabilitate a estimărilor atunci când se compară curbele

estimate pentru fiecare lună în parte pe întreaga perioadă luată în considerare .

Curbele de capacitate estimate au fost comparate cu standardele tehnice de

performanţă ( EPS ) .

Deşii valorile standardelor tehnice de performanţă nu acoperă întregul domeniu al

proporţiilor sosiri / plecări şi deci , nu formează o curbă , proporţia de proximitate a

standardelor tehnice de performanţă de curbă poate fi foarte informativă .

Un exemplu de comparaţie este arătat în figura 4 , unde sunt prezentate curbele

estimate pentru configuraţia #1 a pistei la Aeroportul Internaţional San Francisco ( SFO ) .

Pagina 13 din 54


FIGURA 5. Curbele de capacitate estimate pentru Aeroportul

Internaţional San Francisco , configuraţia pistelor #1 , VFR

Configuraţia include patru piste cu două piste paralele ( 28L şi 28R ) dedicate sosirilor

şi două piste paralele ( 01L şi 01R ) dedicate plecărilor .

Ambele seturi de piste paralele se intersectează la aproximativ mijloc .

Datele istorice folosite pentru estimări includ observaţii ale numărului actual de sosiri

şi plecări pentru intervale de 15 minute în timpul celor opt luni dintre august 1990 şi martie

1991 , totalizând 6688 perechi de observaţii .

Acestea sunt trei curbe obţinute pentru diferite procente de observaţii respinse ( doar

observaţiile extreme au fost respinse ) : curbele reprezintă procente de 99.5 % , 95 % , şi 90

% cu respectiv 0.5 % , 5 % , şi 10 % observaţii respinse .

Săgeata groasă din figura 4 indică valorile standardelor tehnice de performanţă pentru

aceeaşi configuraţie a pistei – 52 de sosiri şi 53 de plecări pe oră .

Săgeata groasă se găseşte aproape de curba de 95 % .

Comparaţii similare realizate pentru alte aeroporturi de ritm au arătat că valorile

standardelor tehnice de performanţă sunt localizate sub curbele de capacitate care cuprind

100 % din datele de performanţă observate , şi sunt tipic apropiate de curbele de 90 % - 95

% .

Corelarea cu valorile standardelor tehnice de performanţă sprijină supoziţia după care

curbele de capacitate estimate reprezintă operaţii la sau în apropiere de capacităţile practice

ale unui aeroport .

Analize suplimentare ale capacităţii aeroportului vor include comparaţii ale curbelor

de capacitate empirice cu cele obţinute de la Modelul FAA al Capacităţii Aeroportului al

companiei MITRE .

Trebuie accentuat că nici de la modelele empirice nici modelele analitice nu se

aşteaptă să asigure curbe de capacitate care să fie complet acceptabile pentru uzul pe teren de

către managerii de trafic .

Estimările obţinute prin orice metodă trebuie să fie subiectul unor evaluări şi corectări

experte a controlorilor şi managerilor de trafic aerian folosindu-se de experienţa şi

cunoaşterea condiţiilor specifice la aeroporturi .

Doar după astfel de corecţii pot fi aplicate valorile capacităţii pentru a rezolva

probleme reale de management de trafic aerian .

Pagina 14 din 54


Capitolul 3

Optimizarea Capacitătii Aeroportuare

Formularea Problemei

Odată ce curbele de trafic au fost estimate , managerii de trafic au informaţii

detaliate despre limitele operaţionale ale aeroportului pentru un spectru complet de

proporţii ale sosirilor şi plecărilor pentru condiţiile operaţionale date .

Cum ar trebui să fie folosită această informaţie ?

Ideal , un manager ar selecta valorile capacităţilor dintr-un domeniu dat pentru a

satisface cel mai bine cererea traficului .

Cu toate acestea , este extrem de dificil să găseşti cea mai bună soluţie în timpul

perioadei de congestie majoră după cum profilul cererii poate să varieze substanţial în acele

momente .

O metodă de optimizare este prezentată aici .

Prin optimizarea capacităţii aeroportuare se doreşte a se înţelege cea mai bună alocare

a capacităţilor aeroportului între sosiri şi plecări care satisface optim cererea de trafic

preconizată pe o perioadă de timp în condiţiile operaţionale date la aeroport .

Metoda se bazează pe un model matematic de interdependenţă a proceselor de sosire

şi plecare la aeroport .

Capacităţile de sosire şi de plecare ale aeroportului sunt de asemenea

interdependente ; relaţia lor este determinată de o curbă de capacitate .

Modelul tratează capacităţile aeroportului ca variabile de decizie care urmează a fi

determinate în concordanţă cu criteriul de optimizare .

Alegerea criteriului de optimizare este un pas important în formularea problemei .

Eficacitatea operaţiunilor de sosire şi de plecare la aeroport poate fi măsurată prin

timpul total de întârziere al zborurilor ce sunt servite ( adică timpul total de aşteptare în cozile

de sosire şi de plecare ) sau prin numărul total de zboruri din coadă pe perioada de timp care

ne interesează .

Aceste două măsuri reflectă amândouă esenţa fizică a problemei şi sunt strâns corelate

; cozi mai mari cauzează întârzieri mai mari .

Pagina 15 din 54


Care dintre măsuri să le folosim în criteriul de optimizare depinde de factori precum

tipul datelor de intrare disponibile şi simplitatea obţinerii soluţiilor optimale .

În această lucrare numărul total de zboruri din cozi a fost ales pentru criteriul de

optimizare . Cauza majoră ar fi aceea că noi considerăm probleme strategice şi nu tactice , şi

de aceea folosim complexul datelor de intrare cererile totale pentru fiecare interval de 15

minute ( nu date zbor cu zbor ) .

Cererile totale pot fi uşor folosite pentru a calcula lungimea cozilor , dar nu şi timpul

de întârziere pentru fiecare zbor individual din coadă .

Pe lângă aceasta , folosirea numărului total din cozi asigură algoritmi mai puţin

complecşi pentru obţinerea soluţiilor optimale .

Soluţia optimală determină valoarea capacităţii de sosire şi de plecare pentru fiecare

slot de 15 minute pentru a minimiza cozile totale de sosire şi de plecare ( sau pentru a

minimiza funcţiile de aceste cozi ) .

Valorile pot fi apoi folosite într-un model zbor cu zbor care determină un orar pentru

fiecare zbor timpul total din cozi .

Valorile optimale ale capacităţii asigură cele mai favorabile condiţii pentru obţinerea

celor mai mici întârzieri .

Următoarele notaţii de bază sunt folosite pentru a formula problema :

T = intervalul de timp de interes fiind alcătuit din N sloturi de timp de lungime Δ (de

exemplu Δ = 15 minute ) ;T = N Δ

I = {1, 2,…, N} = un set ( grup ) de sloturi de timp

= cererea pentru sosiri la al i - lea slot de timp

= cererea pentru plecări la al i - lea slot de timp

= coada de sosire la începutul celui de-al i -lea slot de timp ;

i =1, 2,…, N+1

= coada de plecare la începutul celui de-al i -lea slot de timp

Φ = { Φ (u), Φ (u),…, Φ (u) } = un set de curbe de capacitate care reprezintă

toate configuraţiile pistei aeroportului în toate condiţiile meteorologice

= capacitatea de sosire a aeroportului la al i –lea slot de timp , i I

= capacitatea de plecare a aeroportului la al i –lea slot de timp , i I .

În cele ce urmează , şi sunt variabile de stare , iar şi sunt variabile de

decizie , i I .

Pagina 16 din 54


Este introdus apoi un vector de decizie = ( , ,…, , , ,…, ) .

Să considerăm problema managerierii sosirilor şi plecărilor la un aeroport în

intervalul de timp T .

Cererea de trafic este dată printr-o secvenţă de cereri de sosire şi de plecare ,

şi respectiv , pentru fiecare slot de timp al intervalului (i =1, 2,…, N+1 ) .

În concordanţă cu previziunile meteorologice şi alte condiţii operaţionale pentru

intervalul de timp , este desemnat un set de configuraţii ale pistei .

O secvenţă de curbe de capacitate , Φ (u)( i =1, 2,…, N ) , este de asemenea dată .

Problema este de a găsi secvenţa de capacităţi de sosiri şi de plecări ( şi )

care satisfac cel mai bine cererea de trafic .

Problema generală de optimizare a capacităţii aeroportului în intervalului de timp T

este formulată în cele ce urmează :

min (1)

depinzând de

= max ( 0, ) , (2)

= max ( 0, ) , (3)

; , ( condiţiile iniţiale date )

(4)

, Φ , (5)

, (6)

unde , reprezintă funcţii pierdere scalare crescătoare date , care

determină criteriul de optim , şi reprezintă valorile maxime date ale capacităţilor de sosire

care pot fi utilizate in timpul fiecărui slot de timp ; , , , şi sunt valori întregi .

Esenţa problemei este bine exprimată în următorul tip de funcţii pierdere :

Pagina 17 din 54


= , k>0 , . (7)

Problema corespunzătoare de optimizare este :

min , (8)

depinzând de relaţiile (2) – (6) .

Aceasta este o problemă de minimizare a unei sume ponderate a cozilor de sosire şi de

plecare de ordinul k pentru toate sloturile de timp ale intervalului T ; de exemplu , k = 1

corespunde la a minimiza o sumă ponderată , şi k = 2 corespunde la a minimiza o sumă

ponderată de pătrate ale unor cozi .

Puterea k poate fi folosită ca parametru în problema de

optimizare .Coeficienţii de pondere şi sunt legaţi de fiecare slot de timp .

determină rata de prioritate a celui de-al i –lea slot , rata de prioritate

corespondentă pentru plecări fiind ( 1 - ) .

determină costul relativ al celui de-al i -lea slot . Coeficienţii pot fi

normalizaţi aşa încât

, . (9)

Coeficienţii pot de asemenea să arate încrederea în prezicerea traficului

( cererea de sosiri şi de plecări ) precum şi condiţiile meteorologice .

În general , sloturile de timp îndepărtate ( adică acelea departe în viitor ) au o

prezicere mai puţin de încredere ; cu toate acestea valori mai mici ale lui pot fi desemnate

pentru aceste sloturi .

Ecuaţiile (2) şi (3) reprezintă aeroportul ca pe un sistem de control multi-stadii cu

condiţii iniţiale (4) .

Inegalităţile (5) şi (6) descriu constrângerile capacităţii pentru fiecare slot de timp .

Ecuaţiile (2) şi (3) descriu dinamicile cozilor de sosire şi de plecare la aeroport în

intervalul de timp care interesează .

Pagina 18 din 54


Numărul de zboruri întârziate la începutul următorului slot de timp depinde de

numărul de zboruri întârziate la precedentul slot de timp şi diferenţa dintre cerere şi

capacitate pentru slotul de timp curent .

Dacă capacităţile şi/sau sunt mai mari sau egale cu numărul de avioane

aşteptând la cel de-al i –lea slot , atunci nu rămâne nici o coadă la începutul următorului

(i+1) –lea slot ( şi /sau sunt egale cu 0 ) . Altfel există o coadă ( şi /sau

sunt mai mari decât 0 ) .

Ecuaţiile (2) – (4) garantează că variabilele de stare nu sunt negative .Expresiile (1) -

(6) constituie problema clasică de control optimal .

Să considerăm criteriul de optimizare cu funcţia pierdere lineară

min , (10)

care corespunde lui (8) cu k = 1 . Aceasta minimizează o sumă ponderată de cozi de

sosire şi de plecare pentru toate sloturile de timp ale intervalului de timp T .

Dacă ne interesează doar rezultatele managementului de trafic la sfârşitul intervalului

de timp T , funcţia pierdere din (10) este aplicată doar celui de-al N –lea slot de timp , şi

criteriul devine

min , . (11)

Aici , o sumă ponderată de cozi de sosire şi de plecare la sfârşitul intervalului

de timp considerat este minimizată . Coeficientul de pondere determină rata de prioritate

pentru procesul de sosire la un aeroport .

Cu = 1 doar coada de sosire este minimizată , şi importanţa cozii de plecare

este neglijată .

= 0 corespunde la a minimiza doar coada de plecare .

Expresiile (2)-(6) impreună cu criteriul (11) formulează o problemă optimală de

control de capăt .

Pagina 19 din 54


Modelul de Programare Lineară

Problema de optimizare (10) sau (11) depinzând de ecuaţiile (2)-(6) poate fi

reformulată ca o problemă lineară de programare (PL) modificând puţin ecuaţiile (2)

şi (3) şi prin folosirea proprietăţii specifice a funcţiilor neliniare , şi anume

convexitatea şi linearitatea pe porţiuni .

Acum să scriem separat amplitudinea cozilor şi constrângerile care asigură

pozitivitatea variabilelor de stare folosind ecuaţiile (2) şi (3) .

Atunci , în loc de ecuaţiile (2) şi (3) , se poate scrie următorul sistem de ecuaţii şi

inegalităţi lineare :

, (12)

, (13)

, i =1, 2,…, N+1 (14)

, i =1, 2,…, N+1 (15)

FIGURA 6 .Aria delimitată de curba de capacitate : .

Figura 5 arată un exemplu de domeniu ( zona întunecată ) care corespunde uneia din

constrângeri (5) . Zona întunecată poate fi reprezentată de un sistem de inegalităţi lineare .

Pagina 20 din 54

plecări / 15 minute

sosiri / 15 minute

D

B0

)(u


Prin urmare , toate constrângerile (5) pot fi înlocuite de un sistem de inegalităţi lineare

.Numărul de inegalităţi pentru fiecare constrângere este determinat de numărul de vârfuri ale

curbei de capacitate corespunzătoare .

Să luăm şi care să desemneze valorile maxime ale capacităţilor de sosire

şi respectiv de plecare , determinate de curba de capacitate , (a se vedea în

figura 5 B şi D ) .

Să luăm care să desemneze numărul de pante al secţiunilor lineare ale

curbei de capacitate , (excluzând secţiunile paralele cu axele v şi u ) .

Atunci constrângerile (5) şi (6) pot fi înlocuite prin :

, (16)

, j=1, …, (17)

, (18)

unde şi sunt constante care caracterizează cea de-a j secţiune lineară a celei de-

a i curbă de capacitate .

Acum problema de optimizare (10) depinzând de (2) – (6) poate fi uşor redusă la o

schemă de programare lineară . După o serie de transformări în (12) , (13) , şi (10) , şi

considerând (16) – (18) , obţinem următoarea problemă lineară :

max , (19)

depinzând de

, (20)

, (21)

Pagina 21 din 54


, (22)

, (23)

, (24)

, j=1, …, ; (25)

, (26)

, (27)

Criteriul (19) maximizează suma ponderată de capacităţi de sosire şi de plecare pe

întregul interval de timp considerat .

Coeficienţii de pondere depind de (costul relativ al sloturilor ) şi de (rata

de prioritate pentru sosiri a fiecărui slot ) .

Având satisfăcut criteriul (19) automat satisfacem criteriul (10) de a minimiza suma

ponderată a cozilor de sosire şi de plecare pentru toate sloturile intervalului de timp T

considerat .

Valorile şi din (20) – (23) sunt cererile cumulate de sosire şi respectiv

de plecare la sfârşitul celui de-al i –lea slot .

Inegalităţile (25) – (27) restrâng domeniul variabilelor de decizie sub curba de

capacitate ( incluzând curba ) .

În cay de egalitate a valorilor relative pentru toate sloturile de timp şi de

priorităţi constante pentru sosiri şi plecări în timpul întregului interval ( coeficienţii şi

sunt constanţi ; şi , ) , funcţia obiectiv (19) se transformă în :

max , (28)

care corespunde la

min , (29)

Pagina 22 din 54


Versiunea programului linear pentru problema optimală de control de capăt (11)

depinzând de (2) – (6) este :

max , (30)

depinzând de (20) – (27) .

Prin urmare , a minimiza suma ponderată a cozilor de sosire şi de plecare la sfârşitul

intervalului de timp care ne interesează ar trebui să maximizăm suma ponderată a

capacităţilor cumulate de sosire şi de plecare cu aceleaşi ponderi ca în (11) .

Capitolul 4

Studiu de caz

4.1. Prezentare

Să considerăm un aeroport care , conform previziunilor , va experimenta o congestie

severă în timpul unei ore ( de exemplu între 12.00 şi 13.00 ) .

Cererile de sosire şi de plecare previzionate pentru această oră depăşesc capacitatea

disponibilă şi câteva zboruri vor fi întârziate .

Problema este aceea de a găsi alocarea optimă a capacităţii aeroportului între sosiri şi

plecări în timpul acestei ore pentru a satisface cel mai bine cererea previzionată .

Tabelul 1 arată cererile previzionate pentru fiecare slot de 15 minute al orei .

TABELUL 1

CEREREA PREVIZIONATĂ

TIMPUL

CEREREA

SOSIRE PLECARE

12.00 – 12.15

12.15 – 12.30

Pagina 23 din 54


12.30 – 12.45

12.45 – 13.00

CEREREA TOTALĂ 79 85

TOTAL 164

FIGURA 7. Curba de capacitate sosire / plecare a aeroportului

Figura 6 reprezintă curba capacităţii de sosire/plecare a aeroportului care corespunde

condiţiilor operaţionale la aeroport previzionate pentru această oră ( condiţiile meteorologice

şi configuraţia pistei ) .

Cele patru puncte din figura 6 , corespund cererilor luate din tabelul 1 .

Poziţia punctelor este în afara domeniului , limitat de curbă , arătând amplitudinea

problemei de congestie .

Pentru a ilustra scara acestei curbe , coordonatele vârfurilor curbei (15;30) , (21;21) ,

şi (25;12) sunt prezentate în figura 6 .După această curbă , maximul capacităţii de sosire este

egal cu 25 de zboruri în 15 minute , şi maximul capacităţii de plecare este de 30 de zboruri în

15 minute .

Maximul capacităţii totale ( sosire plus plecare ) este de 45 de zboruri în 15 minute.

Pentru număr egal de operaţii mixte de sosire/plecare , capacitatea aeroportului este

de 21 de zboruri în 15 minute atât pentru sosiri cât şi pentru plecări .

Pagina 24 din 54


În acest caz , intervalul de timp T care ne interesează constă în patru sloturi de timp

( N = 4 ) .

Vectorul de decizie conţine 8 coordonate capacităţi : 4 de sosire (

) şi 4 de plecare ( ) .

Să considerăm criteriul (29) pentru a minimiza o sumă ponderată de cozi de sosire şi

de plecare în timpul întregului interval de timp T .

Să presupunem ca nu există nici o coadă la începutul acestui interval de timp ,

adică în (4) sau (24) .

În acest caz , programul linear corespunzător problemei (28) care depinde de

(20) – (27) este formulat după cum urmează :

max , (31)

care depinde de :

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

Valorile capacităţii optime pentru două nivele de priorităţi pentru sosiri (

=0.5 şi =0.7 ) sunt prezentate în tabelul 2 .

Pagina 25 din 54


Tabelul arată de asemenea cozile de sosire şi de plecare la sfârşitul fiecărui slot de

timp .

TABELUL 2

ALOCAREA OPTIMĂ A CAPACITĂŢILOR DE SOSIRE ŞI DE PLECARE

TIMPUL CAPACITATE COADĂ CPACITATE COADĂ

sosire plecare sosire plecare sosire plecare sosire plecare

12.00-12.15 131 u 331 v 0 2 0 2

12.15–

12.30

7 0 7 0

12.30–

12.45

15 0 10 7

12.45–

13.00

4 0 0 5

TOTAL 75 85 26 2 79 80 17 14

TOTAL

ZBORURI 160 28 159 31

Valorile capacităţii optimale variază de la un slot la altul în funcţie de dinamicile

cererii .

Tabelul 2 arată că , în răspuns la creşterea ratei priorităţii de sosire de la 0.5 la 0.7 ,

capacităţile de sosire şi de plecare sunt realocate în două sloturi de timp ( de la 12.00 la 13.00

) pentru a micşora suma cozilor de sosire de la 26 la 17 şi pentru a mări suma cozilor de

plecare de la 2 la 14 .

Evoluţia dinamicilor cozilor slot cu slot devine mai favorabilă sosirilor şi mai puţin

favorabilă plecărilor .

La sfârşitul intervalului de timp T în cazul lui , nu este nici o coadă de

plecare şi patru zboruri rămase în coada de sosire .

Pentru , nu este nici o coadă de sosire şi cinci zboruri rămase în coada

de plecare .

Pagina 26 din 54


Cu alte cuvinte , în cazul lui , strategia optimă asigură o soluţie

completă a problemei plecării , şi în cazul lui , strategia optimă o soluţie completă a

problemei plecării .

A fost calculat numărul de zboruri întârziate în cazul diferitelor strategii de alocare a

capacităţii aeroportuare .

De exemplu în cazul lui , 15 sosiri şi 2 plecări au fost întârziate ; în

cazul lui , 10 sosiri şi 12 plecări au fost întârziate .

Mărind prioritatea de sosire , numărul zborurilor de sosire întârziate descreşte

semnificativ . Este de aşteptat ca timpul total petrecut de zboruri în coada de sosire de

asemenea să descrească .

Un calcul aproximativ al numărului de zboruri întârziate când sloturile de timp de 15

minute au fost schimbate arată că numărul total scade de la 26 la 17 sloturi .

În acelaşi timp numărul zborurilor de plecare întârziate creşte de la 2 la 12 zboruri , şi

timpul total în coadă se măreşte de la 2 la 14 sloturi .

Schimbând parametrul , un manager de trafic ar fi capabil să genereze alte

strategii de alocare a capacităţii aeroportuare şi să aleagă oricare dintre alternative bazate pe

alte motive în afara formalismului matematic .

Pentru a estima beneficiile pe care le asigură alocarea dinamică ( slot cu slot ) a

capacităţii , au fost determinate capacităţile optime constante ( care nu variază în timpul

intervalului de timp ) şi cozile corespondente .

Optimizarea s-a facut pentru aceeaşi cerere şi după acelaşi criteriu ( minimul sumei

ponderate a cozilor de sosire şi de plecare ) ca şi mai înainte .

Problema de optimizare a fost formulată după cum urmează :

min u , v , (32)

care depinde de

, i=1, 2,…, N

, i=1, 2,…, N

Pagina 27 din 54


unde u şi v sunt capacităţile constante de sosire şi respectiv de plecare ; valorile

cererilor şi sunt prezentate în Tabelul 1 .

În acest exemplu N = 4 .

Capacităţile optime constante au fost determinate pentru diferite valori ale

priorităţii de sosire .

Tabelul 3 arată cozile de sosire şi de plecare la sfârşitul fiecărui slot de timp

calculate pentru capacităţi constante şi respectiv optime variabile , pentru şi .

Capacităţile optime constante u şi v , pentru sunt egale cu 20 şi

respectiv 22 de zboruri pe intervalul de 15 minute .

La sfârşitul intervalului de o oră ( până la ora 13.00 ) , capacităţile constante produc o

coadă totală de 11 zboruri ( 7 zboruri de sosire şi 4 zboruri de plecare ) .

Capacităţile variabile produc o coadă totală de patru zboruri , care este substanţial mai

mică .

Pentru , capacităţile optime de sosire şi de plecare sunt de 20 şi

respectiv 22 de zboruri pe intervalul de 15 minute .

Până la sfârşitul intervalului de timp considerat , aceste capacităţi produc o coadă

totală tot de 11 zboruri ( 7 zboruri de sosire şi 4 zboruri de plecare) .

Capacităţile optime variabile produc doar cinci zboruri în coadă ( 0 zboruri de sosire

şi 5 zboruri de plecare ) , ceea ce este din nou semnificativ mai puţin .

Tabelul 3 demonstrează de asemenea că capacităţile optime variabile produc cozi mai

mici ( în comparaţie cu capacităţile optime constante ) la fiecare slot în timpul intervalului de

timp .

Următorul calcul arată cât de eficace este procedura de optimizare în utilizarea

resurselor operaţionale ale aeroportului .

Cererea totală iniţială pentru intervalul de o oră este de 164 de zboruri : 79 de sosiri şi

85 de plecări ( a se vedea Tabelul 1) .

În cazul lui , capacitatea optimă variabilă totală pentru această oră este

de 160 de zboruri : 75 de sosiri şi 85 de plecări ( a se vedea Tabelul 2 ) .

Pagina 28 din 54


Aceste capacităţi sunt corespunzătoare cu cererea şi împreună furnizează patru zboruri

întârziate ( 164 – 160 = 4 ) sloturilor din afara intervalului de o oră , patru zboruri de sosire

( 79 – 75 = 4 ) , şi nici un zbor de plecare ( 85 – 85 = 0 ) .

TABELUL 3

COZI PENTRU CAPACITĂŢI OPTIME CONSTANTE ŞI CAPACITĂŢI OPTIME

VARIABILE

TIMPUL

COADĂ

pentru capacităţi

optime constante

COADĂ

pentru capacităţi

optime variabile

COADĂ

pentru capacităţi

optime constante

COADĂ

pentru capacităţi

optime variabile

sosire plecare sosire plecare sosire plecare sosire plecare

12.00-12.15 0 13 0 2 0 13 0 2

12.15–12.30 12 0 7 0 12 0 7 0

12.30–12.45 17 6 15 0 16 6 10 7

12.45–13.00 7 4 4 0 7 4 0 5

TOTAL 36 24 26 2 35 23 17 14

TOTAL

ZBORURI 60 28 58 31

În cazul lui , capacitatea variabilă totală pentru această oră este de

159 de zboruri : 79 pentru sosire şi 80 pentru plecare .

Numărul total de zboruri în coadă la sfârşitul intervalului de timp este de 5 ( 164 –

159 = 5 ) : 0 zboruri de sosire întârziate ( 79 – 79 = 0 ) , şi 5 zboruri de plecare întârziate ( 85

-80 = 5 ) .

Situaţia este complet diferită când capacităţile sunt constante în timpul intervalului de

timp şi nu sunt coordonate cu dinamicile cererii .

Aşa cum s-a menţionat mai sus , în cazul lui , capacităţile optime

constante pentru sosiri şi plecări sunt egale cu 20 şi respectiv 22 de zboruri pe intervalul de

15 minute .

Pagina 29 din 54


Aceasta corespunde unei capacităţi totale orare de 168 de zboruri : 80 zboruri pe oră

pentru sosiri şi 88 de zboruri pe oră pentru plecări .

În total , aceste capacităţi asigură furnizează 11 zboruri întârziate sloturilor din afara

intervalului de o oră : 7 zboruri de sosire şi 4 zboruri de plecare ( a se vedea Tabelul 3 ) .

Cu toate că capacitatea constantă orară ( 168 de zboruri ) este mai mare decât

capacitatea variabilă ( 160 de zboruri ) , ea produce un număr mai mare de zboruri întârziate

la sfârşitul unei ore .

Pe lângă aceasta , comparaţia capacităţii constante totale de sosire ( 80 de zboruri ) cu

cererea totală pe oră pentru sosiri ( 79 de zboruri ) arată că cererea este mai mică decât

capacitatea , şi ne putem aştepta să nu existe nici un zbor de sosire întârziat la sfârşitul orei .

Cu toate acestea , în realitate există 11 zboruri de sosire întârziate .

Aceste paradoxuri aparente sunt cauzate de operarea cu capacităţi orare , care nu sunt

coordonate cu distribuţia neuniformă a cererii în timpul unei ore .

Acelaşi efect are loc în cazul lui .

Aceste exemple arată că alocarea dinamică optimă a capacităţilor aeroportului între

sosiri şi plecări asigură utilizarea raţională a capacităţilor aeroportului corespunzător cu

dinamicile cererii şi poate fi foarte eficientă în rezolvarea problemelor de congestie la

aeroport .

Trebuie să se aibă în vedere că în aceste exemple profilul cererii pentru sosiri şi

plecări a fost selectat în aşa fel încât să arate o variaţie slot cu slot semnificativă ( vârfurile

cererilor de sosire alternează cu vârfurile cererilor de plecare ) .

Ca răspuns la variabilitate , procedurile de optimizare generează capacităţi care

variază de la un slot la altul .

Aceasta a făcut posibil a se ilustra beneficiile care se pot obţine prin compromisul

dinamic corespunzător între capacităţile de sosire şi de plecare la aeroport .

În cazul unei variaţii mici a cererii pe parcursul unui interval de timp , procedura de

optimizare ar putea alege capacităţile constante drept cea mai bună alocare a resurselor

operaţionale ale aeroportului pentru acel interval de timp .

4.2. Altgoritmul de rezolvare

Cu ajutorul programului linear

Pagina 30 din 54


max , (31)

care depinde :

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

se poate calcula , prin aplicarea Metodei Simplex , capacităţile optime variabile ,

pentru fiecare sfert de oră în intervalul de timp 12.00 – 13.00 .

Programarea liniară se ocupă cu problema optimizării ( găsirea minimului sau

maximului ) unei funcţii liniare x → f(x) = , ştind că variabilele xj satisfac unele

restricţii date prin egalităţi sau inegalităţi liniare.

Ţinând seama de proprietăţile ecuaţiilor si inecuaţiilor în R , de faptul că orice număr

real poate fi scris ca diferenţa dintre a numere reale pozitive şi de relaţia

min f(x)= - max(-f(x)) , rezultă că orice program liniar poate fi adus la un program

liniar echivalent de tipul următor :

să se găsească min cu restricţiile

S : , i =1 , 2 , …, m ; xj 0 , j=1 , 2,…, n .

Pagina 31 din 54


x → f(x) = se numeşte funcţie obiectiv , iar mulţimea S se numeşte

hiperpoliedrul restricţiilor .Funcţia lui Lagrange ataşată acestei probleme este

(x, y) → L( x, y) = - .

Deoarece funcţiile liniar afine sunt şi convexe şi concave , mulţimea S este convexă si

condiţiile Kuhn-Tucker

cj - 0 , xj 0 , x , j =1, 2,…, n ,

- b , y , y = 0 , i = 1, 2,…, m ,

sunt condiţii necesare şi suficiente pentru un minim global .

Se observă că expresia L(x, y) poate fi scrisă în forma

L(x, y)= - .

Dar în aceasta recunoaştem funcţia Lagrange ataşată unui alt program liniar :

să se gasească max cu restricţiile

T : , j=1, 2,…, n ; y , i=1, 2,…, m .

Programele liniare precedente se numesc duale unul altuia . Evident variabilele xj din

programul iniţial sunt multiplicatori în programul dual şi variabilele yi în programul dual sunt

multiplicatori în programul iniţial .

În plus , condiţiile Kuhn – Tucker corespunzătoare programului dual sunt necesare şi

suficiente pentru existenţa maximului global şi ele sunt aceleaşi cu relaţiile Kuhn – Tucker

ataşate programului iniţial .

Consideraţiile precedente arată că dacă sunt satisfăcute relaţiile Kuhn – Tucker

, atunci = , iar găsirea vectorului optimal al programului liniar dat

din cunoaşterea vectorului optimal pentru programul liniar dual se bazează pe regulile

următoare :

Pagina 32 din 54


dacă restricţia k a unuia dintre programe devine o inegalitate strictă , atunci variabila

k a dualului trebuie să fie zero ;

dacă valoarea variabilei k a unuia dintre programe este strict pozitivă , atunci restricţia

k a dualului trebuie să fie o egalitate .

Funcţiei obiectiv x f(x)= i se poate ataşa un fascicul de hiperplane de

nivel , paralele , Hf : -f = 0 . Deoarece distanţa de la originea (0 , 0 ,…, 0) la Hf este

d= , extremele lui f pe S sunt proporţionale cu extremele lui d pe S .

Pe de altă parte , extremele lui d ( dacă există ) sunt atinse cel puţin în vârfuri ale

hiperpoliedrului restricţiilor .

Înseamnă că pentru determinare optimului lui f ar fi suficient să determinăm vîrfurile

hiperpoliedrului restricţiilor ( punctele în care n dintre restricţii sunt egalităţi ) , să calculăm

valorile lui f în aceste puncte si să selectăm valoarea cea mai mică sau cea mai mare .

În general însă , obţinerea soluţiei optime prin determinarea tuturor vârfurilor

hiperpoliedrului restricţiilor necesită o muncă enormă , fapt care a determinat căutarea unei

metode analitice iterative care să reducă la minim numărul de calcule .

Altgoritmul cel mai important a fost găsit de matematicianul G. Dantzig ( 1947 ) şi

poartă numele de metoda simplex .

Pentru problema de minim , metoda simplex constă în următoarele reguli .

I . Să presupunem că toate numerele b , b ,…,b sunt negative . Introducând

variabilele de egalizare w , w , …, w , obţinem un program liniar echivalent

min f(x)=

cu restricţiile

, , .

Ataşăm un tabel simplex

x x … x … x

… … -

Pagina 33 din 54


… ...

… …

… … 0 f

Evident toate - , i =1, …, m , din tabelul simplex sunt pozitive şi punctul

= 0 , , …, este un vârf al hiperpoliedrului restricţiilor .

Regula 1.

Alegem un element strict negativ în ultima linie a tabelului simplex .Dacă ultima linie

a tabelului simplex nu conţine elemnte strict negative , atunci valoarea minimă a lui f este 0 şi

(0, 0, …, 0) este un punct de minim .

Regula 2.

Să presupunem că regula 1 dă elementul de la capătul de jos al coloanei j .

Formăm câturile , i=1, 2,…, m , j= fixat , pentru care .Acel element

care dă cel mai mare cât se numeşte pivot .

Dacă toate elementele coloanei jsunt pozitive sau nule , atunci programul liniar

propus nu admite soluţie . Întradevăr , în acest caz poate fi făcut oricât de mare fără a

afecta restricţiile , iar aceasta împreună cu implică faptul că termenul din f , si deci

f , este nemărginit inferior .

Regula 3.

Schimbăm pe cu . În locuim pivotal cu inversul său . Celelalte elemente ale

liniei pivotului se înlocuiesc respective prin câturile ; celelalte elemente ale

coloanei pivotului se înlocuiesc respectiv prin câturile .

Regula 4.

Pagina 34 din 54


Toate celelalte elemente r din tabel se înlocuiesc respectiv prin elementele de forma

, unde p este elementul pivot , iar q şi s sunt elemnte din table dispuse astfel :

p ------ q

| |

s ------- r

Regulile 1 şi 2 localizează un nou vârf pe una din axele de coordonate .Regulile 3 şi 4

conduc la un nou tabel care corespunde unei probleme echivalente .

Prin iteraţie se obţine un şir de tabele .

Dacă iteraţia se opreşte în raport cu regula 1 , atunci programul propus are

soluţie .Valoarea minimă a lui f se citeşte din colţul din dreapta jos al ultimului tabel , iar

punctul de minim se citeşte astfel :

x-şii care se găsesc deasupra tabelului se egalează cu zero , iar x-şii care apar pe

margine din dreapta iau valorile corespunzătoare din coloana b-urilor .

Dacă iteraţia se opreşte în raport cu regula 2 , atunci programul nu admite soluţie . În

acest caz numărul f(x) poate fi făcut oricât de mic fără a afecta restricţile .

Aplicarea repetată a regulilor 1 – 4 nu conduce neapărat la soluţia programului

liniar .O asemenea situaţie poate avea loc numai dacă unul dintre tabele are şi zerouri în

coloana b-urilor şi apare fenomenul de ciclare .

II . Dacă cel puţin una dintre constantele este strict pozitivă , atunci regulile

1 – 4 nu sunt aplicabile direct , dar programul poate fi transformat intr+unul

echivalent la care aceste reguli să funcţioneze .

De exemplu , dacă presupunem că primele p constante sunt strict

pozitive şi că celelalte , , sunt toate negative , atunci programul liniar modificat

este următorul :

min g(x)= +

cu restricţiile

, i=1, …, p ,

Pagina 35 din 54


, i=p+1, …, m , , , ,

unde M este o constantă pozitivă suficient de mare .

Soluţia programului liniar original este conţinută în soluţia programului modificat , iar

aceasta din urmă poate fi găsită cu ajutorul regulilor 1 -4 .

Pentru rezolvarea programului linear (31) am aplicat metoda simplex .Pentru că

cerinţa este de a maximiza suma ponderată de capacităţi de sosire şi de plecare 15 minute ,

programul linear (31) trebuie transformat în programul dual

min , cu condiţiile

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

Funcţia care trebuie minimizată pentru a afla valorile minime ,

respectiv ale capacităţilor de sosire şi de plecare pentru este :

.

Prin aplicarea algoritmului simplex descris mai înainte se obţin tabelele ( a se vedea

anexa ) cu ajutorul cărora se determină valorile maxime ale capacităţilor optime variabile de

sosire şi de plecare pe interval de 15 minute .

Pagina 36 din 54


Acestea sunt :

.

Adică 76 de sosiri şi 85 de plecări . În total 161 de zboruri .

A rezolva un program liniar cu multe variabile prin algoritmul descris anterior doar

folosind creionul , guma şi hârtia este un lucru anevoios care necesită o mare perioadă de

timp ; în plus datorită factorului uman se pot strecura multe greşeli de calcul care , după cum

ne putem da seama din paşii pe care îi urmează algoritmul , se propagă , astfel încât la final se

obţin cu totul alte valori decât cele pe care ar trebui să le obţinem .

Pentru a putea înţelege programele Matlab care permit rezolvarea într-un mod elegant

a progamelor liniare (31) şi (32) trebuie să discutam ceva despre Programarea

Semidefinită ,programul semidefinit principal (PSDP) şi programul semidefinit dual

(DSDP) .

Programarea semidefinită este programarea lineară pe conul matricilor

semidefinite .În comparaţie cu programarea lineară standard , programarea semidefinită

vectorul variabilelor este înlocuit de matricea variabilelor . Cu alte cuvinte ,

conul valorilor pozitive ale membrului drept este înlocuit de conul matricilor

semidefinite .

Pentru a exemplifica această similaritate vom formula întâi problema cu consideraţie

pentru reprezentarea lui X ,

min

s.t.

pentru vectorii daţi şi matricea constantă .

Uzual programele semidefinite apar într-un mod natural din probleme ale căror date

sunt date în formă de matrici . Folosirea vectorului operator tinde să ascundă ceea ce este

evident şi să complice formularea . Se poate introduce o notaţie mult mai agreabilă prin

interpretarea lui c şi a liniilor lui A drept matrici .

Fie matricea corespondentă lui c , astfel că

aşa încât

Pagina 37 din 54


c=vec(C) .Atunci produsul interior în spaţiul vectorilor poate fi echivalent scris în

spaţiul matricilor ca produsul intern ,

= .

Deoarece X este o matrice simetrică partea simetrică din C nu are nici o influenţă

asupra acestui produs interior . Fără pierderea generalităţii trebuie ca C să fie o matrice

simetrică .

În acelaşi fel interpretăm linia , ca pe o matrice simetrică , rescriind

cea de-a i constrângere : ca şi adunând restricţiile într-un operator linear

, .

Cu această notaţie ajungem la formularea standard a programului semidefinit

principal, (PSDP) , , .

Pentru a obţine programul dual trebuie să adăugăm operatorul A .Prin definiţie

operatorul satisface pentru toţi şi .

Deoarece , obţinem

. Luând în considerare formularea vectorială iniţială , este doar o altă

reprezentare a lui ATy subliniind astfel faptul că lucrăm cu matrici .

Pentru construirea programului dual folosim o abordare Lagrange - ană .

Restricţiile primare sunt maximizate în funcţia obiectiv folosind

multiplicatorul Lagrangean aşa încât problema principală se citeşte

.

Programul dual al programului semidefinit principal se obţine schimbând inf cu sup :

.

Construcţia programului dual implică faptul că valoarea termenului din

dreapta nu poate să depăşească valoarea problemei primare . Pentru ca supremul părţii din

Pagina 38 din 54


dreapta să fie finit trebuie ca minimizarea internă asupra lui să rămână finită pentru

anumiţi . Acesta cere ca să fie pozitiv semidefinită .

Acestă condiţie se scrie introducând matricea liberă Z . Forma standard a dualului

(DSDP) programului semidefinit principal (PSDP) este :

max

s.t.

.

Deci folosind o abordare Lagrangeană am obţinut programul semidefinit dual (DSDP)

al programului semidefinit principal (PSDP) . Diferenţa dintre soluţia fezabilă a programului

dual (y,Z) şi soluţia fezabilă a programului primar X este

.

Proprietatea că valoarea funcţiei obiectiv a oricărei soluţii fezabile a programului

semidefinit primar este mai mare sau egală cu valoarea funcţiei obiectiv a oricărei soluţii

fezabile a programului dual se numeşte insuficientă dualitate .

Dacă se întâmplă să fie zero atunci perechea de soluţii primară – duală

este o soluţie optimă .

Pentru rezolvarea atât a programului liniar (31) cât şi a programului linear (32) se

foloseşte programarea semidefinită astfel că programul linear este scris considerând fiecare

variabilă sau termen constant drept o matrice pătratică de dimensiuni 1X1 .

4.3. Programele MATLAB de rezolvare a programelor liniare

Pentru primul program linear

%Program pentru determinarea capacitatilor optime variabile

%de 15 minute in cazul lui alfa=0.5 folosind programului linear (31)

clear;

%Inceputul LMI

setlmis([ ]);

lmi1=newlmi;

%Definire parametri

alfa=0.5;

gama=200.555;

Pagina 39 din 54


%Definire variabile

u1=lmivar(1,[1 1]);

u2=lmivar(1,[1 1]);

u3=lmivar(1,[1 1]);

u4=lmivar(1,[1 1]);

v1=lmivar(1,[1 1]);

v2=lmivar(1,[1 1]);

v3=lmivar(1,[1 1]);

v4=lmivar(1,[1 1]);

xfeas=([u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4]);

%Definire LMI

lmiterm([1 1 1 u1],1,1);

lmiterm([1 1 1 0],-13);

lmiterm([2 1 1 u1],1,1);

lmiterm([2 1 1 u2],1,1);

lmiterm([2 1 1 0],-45);

lmiterm([3 1 1 u1],1,1);

lmiterm([3 1 1 u2],1,1);

lmiterm([3 1 1 u3],1,1);

lmiterm([3 1 1 0],-69);

lmiterm([4 1 1 u1],1,1);

lmiterm([4 1 1 u2],1,1);

lmiterm([4 1 1 u3],1,1);

lmiterm([4 1 1 u4],1,1);

lmiterm([4 1 1 0],-79);

lmiterm([5 1 1 v1],1,1);

lmiterm([5 1 1 0],-35);

lmiterm([6 1 1 v1],1,1);

lmiterm([6 1 1 v2],1,1);

lmiterm([6 1 1 0],-37);

lmiterm([7 1 1 v1],1,1);

lmiterm([7 1 1 v2],1,1);

lmiterm([7 1 1 v3],1,1);

lmiterm([7 1 1 0],-65);

Pagina 40 din 54


lmiterm([8 1 1 v1],1,1);

lmiterm([8 1 1 v2],1,1);

lmiterm([8 1 1 v3],1,1);

lmiterm([8 1 1 v4],1,1);

lmiterm([8 1 1 0],-85);

lmiterm([-9 1 1 u1],1,1);

lmiterm([-10 1 1 u2],1,1);

lmiterm([-11 1 1 u3],1,1);

lmiterm([-12 1 1 u4],1,1);

lmiterm([13 1 1 u2],1,1);

lmiterm([13 1 1 0],-25);

lmiterm([14 1 1 u3],1,1);

lmiterm([14 1 1 0],-25);

lmiterm([15 1 1 u4],1,1);

lmiterm([15 1 1 0],-25);

lmiterm([-16 1 1 v1],1,1);

lmiterm([-17 1 1 v2],1,1);

lmiterm([-18 1 1 v3],1,1);

lmiterm([-19 1 1 v4],1,1);

lmiterm([20 1 1 v2],1,1);

lmiterm([20 1 1 0],-30);

lmiterm([21 1 1 v3],1,1);

lmiterm([21 1 1 0],-30);

lmiterm([22 1 1 v4],1,1);

lmiterm([22 1 1 0],-30);

lmiterm([23 1 1 u1],1.5,1);

lmiterm([23 1 1 v1],1,1);

lmiterm([23 1 1 0],-52.5);

lmiterm([24 1 1 u2],1.5,1);

lmiterm([24 1 1 v2],1,1);

lmiterm([24 1 1 0],-52.5);

lmiterm([25 1 1 u3],1.5,1);

lmiterm([25 1 1 v3],1,1);

lmiterm([25 1 1 0],-52.5);

Pagina 41 din 54


lmiterm([26 1 1 u4],1.5,1);

lmiterm([26 1 1 v4],1,1);

lmiterm([26 1 1 0],-52.5);

lmiterm([27 1 1 u1],2.25,1);

lmiterm([27 1 1 v1],1,1);

lmiterm([27 1 1 0],-68.25);

lmiterm([28 1 1 u2],2.25,1);

lmiterm([28 1 1 v2],1,1);

lmiterm([28 1 1 0],-68.25);

lmiterm([29 1 1 u3],2.25,1);

lmiterm([29 1 1 v3],1,1);

lmiterm([29 1 1 0],-68.25);

lmiterm([30 1 1 u4],2.25,1);

lmiterm([30 1 1 v4],1,1);

lmiterm([30 1 1 0],-68.25);

lmiterm([33 1 1 u1],-4*alfa,1);

lmiterm([33 1 1 u2],-3*alfa,1);

lmiterm([33 1 1 u3],-2*alfa,1);

lmiterm([33 1 1 u4],-alfa,1);

lmiterm([33 1 1 v1],-4*(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 v2],-3*(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 v3],-2*(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 v4],-(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 0],gama);

lmi1=getlmis;

[tmin,xfeas]=feasp(lmi1,[1 200 1e+9 200 0]);

u1=dec2mat(lmi1,xfeas,u1);




v1=dec2mat(lmi1,xfeas,v1);




Pagina 42 din 54


round(xfeas)

S=[u1 u2 u3 u4];

sosiri=sum(S)

round(sosiri);

P=[v1 v2 v3 v4];

plecari=sum(P)

round(plecari);

total=[S P];

T=sum(total);

T=round(T)

gama

alfa

tmin

xi=u1:0.1:25;

yi=interp1(S,P,xi);

plot(S,P,'o',xi,yi,S,P,'rx')

grid

Pagina 43 din 54


FIGURA 8. Graficul capacităţilor optime variabile pentru

în intervalul de timp 12.00 – 13.00

Pentru rezolvarea celui de-al doilea program linear

Comentariu

Pentru că în program nu se putea exprima X(i+1)=max(0,X(i)+a(i)-u) şi nici

Y(i+1)=max(0,Y(i)+d(i)-v) , în sensul că în cazul în care X(i)+a(i)-u sau Y(i)+d(i)-v erau mai

mici decât zero sau egali cu zero , programul trebuia să ia ca valoare pentru X(i+1) şi

respectiv Y(i+1) valoarea zero , am pus condiţiile ca X(i+1)+gama şi Y(i+1)+gama ,

unde gama este un număr pozitiv , gama , şi .

Aceste condiţii nu influenţează soluţia problemei cu nimic , având în vedere

procedura LMI (Inecuaţiile Lineare Matriciale), ci doar ajută la exprimarea lui X(i+1) şi a lui

Y(i+1) care altfel nu puteau fi declaraţi .

După cum se poate observa dacă X(i+1)=-gama şi Y(i+1)=-gama şi

< gama , în final rezultă – 4*gama < gama ceea ce este adervărat .

%Program pentru determinarea capacitatilor optime constante

%de o oră in cazul lui alfa=0.5 folosind programului linear (32)

clear;

%Declarare constante

a(1)=13;

a(2)=32;

a(3)=24;

a(4)=10;

d(1)=35;

d(2)=2;

d(3)=28;

d(4)=20;

Pagina 44 din 54


%Definire Cozi Initiale

X(1)=0;

Y(1)=0;

%Definire Parametri

alfa=0.5;

gama=6.6474;

i=1;

N=4;

%Inceputul LMI1

setlmis([ ]);

lmi1=newlmi;

%Definire variabile

u=lmivar(1,[1 1]);

v=lmivar(1,[1 1]);

xfeas=([u v]);

lmiterm([-1 1 1 u],1,1);

lmiterm([-2 1 1 v],1,1);

lmiterm([3 1 1 u],1,1);

lmiterm([3 1 1 0],-25);

lmiterm([4 1 1 v],1,1);

lmiterm([4 1 1 0],-30);

lmiterm([5 1 1 u],1.5,1);

lmiterm([5 1 1 v],1,1);

lmiterm([5 1 1 0],-52.5);

lmiterm([6 1 1 u],2.25,1);

lmiterm([6 1 1 v],1,1);

lmiterm([6 1 1 0],-68.25);

lmiterm([7 1 1 u],-10*alfa,1);

lmiterm([7 1 1 v],-10*(1-alfa),1);

lmiterm([7 1 1 0],alfa*(4*a(1)+3*a(2)+2*a(3)+a(4)+4*X(1))+(1-

alfa)*(4*d(1)+3*d(2)+2*d(3)+d(4)+4*Y(1))-gama);

%Conditii suplimentare de existenta.Ajuta la exprimarea lui X(i+1)=max(0,X(i)+a(i)-

u)

%si Y(i+1)=max(0,Y(i)+d(i)-v) functie de u si de v .

Pagina 45 din 54


lmiterm([-8 1 1 u],-1,1);

lmiterm([-8 1 1 0],a(1)+X(1)+gama);

lmiterm([-9 1 1 u],-2,1);

lmiterm([-9 1 1 0],a(1)+a(2)+X(1)+gama);

lmiterm([-10 1 1 u],-3,1);

lmiterm([-10 1 1 0],a(1)+a(2)+a(3)+X(1)+gama);

lmiterm([-11 1 1 u],-4,1);

lmiterm([-11 1 1 0],a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+X(1)+gama);

lmiterm([-12 1 1 v],-1,1);

lmiterm([-12 1 1 0],d(1)+Y(1)+gama);

lmiterm([-13 1 1 v],-2,1);

lmiterm([-13 1 1 0],d(1)+d(2)+Y(1)+gama);

lmiterm([-14 1 1 v],-3,1);

lmiterm([-14 1 1 0],d(1)+d(2)+d(3)+Y(1)+gama);

lmiterm([-15 1 1 v],-4,1);

lmiterm([-15 1 1 0],d(1)+d(2)+d(3)+d(4)+Y(1)+gama);

lmi1=getlmis;

[tmin,xfeas]=feasp(lmi1,[1 200 1e+9 200 0]);

u=dec2mat(lmi1,xfeas,u);

v=dec2mat(lmi1,xfeas,v);

for i=1:1:N

X(i+1)=max(0,X(i)+a(i)-u);

Y(i+1)=max(0,Y(i)+d(i)-v);

end

round(X);

round(Y);

sum(X);

sum(Y);

N

alfa

gama

tmin

u=round(u)

Pagina 46 din 54


v=round(v)

Cozi_Sosire=round(X)

Total_Cozi_De_Sosire=round(sum(X))

Cozi_Plecare=round(Y)

Total_Cozi_De_Plecare=round(sum(Y))

Total_Zboruri_Intarziate=Total_Cozi_De_Sosire+Total_Cozi_De_Plecare

xi=X;

yi=Y;

plot(xi,yi,'o',Cozi_Sosire,Cozi_Plecare,'rx');

grid

FIGURA 9. Graficul cozilor pentru

în intervalul de timp 12.00 – 13.00

Capitolul 5

Pagina 47 din 54


Concluzii

Această lucrare discută aspecte importante ale studiului capacităţii aeroportuare

referitor la reprezentare , estimare şi optimizare privitoare la scopul managementului de trafic

aerian .

Reprezentarea capacităţii aeroportuare printr–un set de curbe de capacitate care

acoperă limitele operaţionale ale aeroportului pe întregul domeniu al raporturilor de sosire /

plecare în condiţii variate are avantaje incontestabile asupra reprezentării prin constante

fixate ( una , până la trei constante separate pentru capacităţile de sosire şi plecare ) .

Cu toate acestea , beneficiile acestei reprezentări pot fi realizate doar în două condiţii :

curbele de capacitate trebuie să fie realiste , şi aceste curbe trebuie folosite corespunzător

pentru a rezolva problemele majore ale managementului de trafic în timpul congestiei .

A fost prezentată o metodă de estimare realistă a curbelor de capacitate .

Folosind rezultatele analitice asupra caracterului relaţiei funcţionale dintre capacităţile

de sosire şi de plecare , şi folosind înregistrările istorice asupra numărului real de sosiri şi de

plecări la un aeroport într-un interval mare de timp , relaţia funcţională poate fi specificată

pentru fiecare configuraţie a pistei şi pentru orice condiţii meteorologice .

Setul de curbe realiste de capacitate care rezultă reprezintă informaţii detaliate despre

limitele operaţionale ale aeroportului .

A fost prezentată o metodă de alocare optimală a capacităţilor aeroportului între sosiri

şi plecări care să satisfacă cel mai bine cererea traficului .

Modelul matematic consideră sosirile şi plecările ca procese interdependente , tratează

capacităţile aeroportului drept variabile de decizie , şi selectează valorile optime ale

capacităţii pentru domeniul restrâns de curbele de capacitate .

Acest model poate fi folosit ca un eficient instrument de decizie pentru managerii de

trafic .

Rezultatul procedurii de optimizare prezintă un profil al capacităţii aeroportului care

sugerează managerilor de trafic cât de multe sosiri şi plecări ar fi cel mai bine să fie executate

în fiecare slot de timp .

Modelul de optimizare a capacităţii permite unui manager de trafic să genereze

strategii eficiente de manageriere a fluxurilor de sosire şi de plecare .

Profilele alternative ale capacităţii , şi de aici , strategiile alternative de management ,

pot fi obţinute prin schimbarea parametrilor acestui model .

Pagina 48 din 54


Managerul , adică controlorul de trafic, poate atunci să evalueze alternativele şi să

aleagă cea mai bună soluţie .

Prezentul mod de abordare poate fi extinsă la o reţea cu conexiuni în multe

aeroporturi .

Optimizarea capacităţilor pentru un set de aeroporturi poate să îmbunătăţească mai

departe utilizarea spaţiului aerian şi să mărească fluxul traficului prin acel spaţiu .

Capitolul 6

Anexa

Exemple de tabele rezolvitoare pentru programul linear (31) în cazul lui .

Pentru o mai bună înţelegere pivotul este colorat diferit de restul tabelului în cazul

fiecărui tabel .

Tabel I

u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4

-1 0 0 0 0 0 0 0 13 w1

-1 -1 0 0 0 0 0 0 45 w2

-1 -1 -1 0 0 0 0 0 69 w3

-1 -1 -1 -1 0 0 0 0 79 w4

0 0 0 0 -1 0 0 0 35 w5

0 0 0 0 -1 -1 0 0 37 w6

0 0 0 0 -1 -1 -1 0 65 w7

0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 85 w8

0 -1 0 0 0 0 0 0 25 w9

0 0 -1 0 0 0 0 0 25 w10

0 0 0 -1 0 0 0 0 25 w11

0 0 0 0 0 -1 0 0 30 w12

0 0 0 0 0 0 -1 0 30 w13

0 0 0 0 0 0 0 -1 30 w14

-1.5 0 0 0 -1 0 0 0 52.5 w15

0 -1.5 0 0 0 -1 0 0 52.5 w16

Pagina 49 din 54


0 0 -1.5 0 0 0 -1 0 52.5 w17

0 0 0 -1.5 0 0 0 -1 52.5 w18

-2.25 0 0 0 -1 0 0 0 68.25 w19

0 -2.25 0 0 0 -1 0 0 68.25 w20

0 0 -2.25 0 0 0 -1 0 68.25 w21

0 0 0 -2.25 0 0 0 -1 68.25 w22

-2 -1.5 -1 -0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 68.25 Functia

Tabel II

w1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4

-1 0 0 0 0 0 0 0 13 u1

1 -1 0 0 0 0 0 0 32 w2

1 -1 -1 0 0 0 0 0 56 w3

1 -1 -1 -1 0 0 0 0 66 w4

0 -1 0 0 0 -1 0 0 35 w5

0 0 0 0 -1 -1 0 0 37 w6

0 0 0 0 -1 -1 -1 0 65 w7

0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 85 w8

0 -1 0 0 0 0 0 0 25 w9

0 0 -1 0 0 0 0 0 25 w10

0 0 0 -1 0 0 0 0 25 w11

0 0 0 0 0 -1 0 0 30 w12

0 0 0 0 0 0 -1 0 30 w13

0 0 0 0 0 0 0 -1 30 w14

1.5 0 0 0 -1 0 0 0 33 w15

0 -1.5 0 0 0 -1 0 0 52.5 w16

0 0 -1.5 0 0 0 -1 0 52.5 w17

0 0 0 -1.5 0 0 0 -1 52.5 w18

2.25 0 0 0 -1 0 0 0 39 w19

0 -2.25 0 0 0 -1 0 0 68.25 w20

0 0 -2.25 0 0 0 -1 0 68.25 w21

Pagina 50 din 54


0 0 0 -2.25 0 0 0 -1 68.25 w22

2 -1.5 -1 -0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -26 Functia

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…

Tabel IX

w1 w9 w10 w4 w15 w6 w21 w18

-1 0 0 0 0 0 0 0 13 u1

1 1 0 0 0 0 0 0 7 w2

1 1 1 0 0 0 0 0 6 w3

1 1 1 -1 0 0 0 0 16 u4

1.5 0 0 0 -1 1 0 0 6 w5

-1.5 0 0 0 1 -1 0 0 4 v2

0 0 -2.25 0 0 1 1 0 16 w7

1.5 -1.5 -0.75 -1.5 0 1 1 -1 31.5 w8

0 -1 0 0 0 0 0 0 25 u2

0 0 -1 0 0 0 0 0 25 u3

0 0 0 1 0 0 0 0 25 w11

1.5 0 0 0 -1 1 0 0 26 w12

0 0 2.25 0 0 0 1 0 18 w13

1.5 1.5 1.5 -1.5 0 0 0 -1 1.5 w14

1.5 0 0 0 -1 0 0 0 33 v1

1.5 1.5 0 0 -1 1 0 0 11 w16

0 1.5 -2.25 0 0 0 1 0 3 w17

-1.5 -1.5 -1.5 1.5 0 0 0 -1 28.5 v4

0.75 0 0 0 1 0 0 0 6 w19

1.5 2.25 0 0 -1 1 0 0 8 w20

0 0 2.25 0 0 0 -1 0 12 w3

-0.75 -0.75 -0.75 0 0 0 0 -1 3.75 w22

Pagina 51 din 54


1.5 1.75 -1 -0.25 0.5 1.5 1 -0.5 166.25 Functia

După cum se poate observa , în cazul variabilelor numeroase , calculul durează mult şi

erorile pot să apară destul de frecvent şi , ceea ce este mult mai grav , să se propage .Astfel ,

dacă un coeficient este calculat greşit în unul din tabele , la tabelul următor el va provoca cel

puţin încă o eroare unui alt coeficient .

Tabel cu valorile capacităţilor în funcţie de alfa calculate în MATLAB cu programul

linear (31)

Alfa 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Gama 221,

99

217,3

777

212,7

555

208,

33

204,

444

200,

555

196,

799

194,

849

193,

699

193,3

499

192,

999

Capaci

tă-ţi de

Sosire

3 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13

5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

4 16 16 16 16 16 20 21 25 25 25

5 21 21 21 21 21 19 20 16 16 16

Total

Cap.

de

Sosire

18 74 74 76 76 75 77 79 79 79 79

Capaci

tă-ţi de

Plecar

e

25 35 35 33 33 33 33 33 33 33 6

2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 3

28 28 28 28 28 28 23 21 12 12 4

20 20 20 20 20 20 24 22 28 28 7

Total

Cap.de

Plecar

e

85 85 85 85 85 85 84 80 77 77 20

Pagina 52 din 54


Total

Zborur

i

103 159 159 161 161 160 161 159 156 156 99

FIGURA 10. Capacităţile optime variabile de 15 minute pentru alfa cuprins între 0

şi 1

Tabel cu valorile cozilor şi capacităţilor optime orare constante în funcţie de alfa

calculate în MATLAB cu programul linear ( 32 )

Alfa 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Gama 6,167 6,293 6,401 6,494 6,576 6,6476 6,715 6,769 6,821 6,867 6,91

Cozi Sosire 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

39 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12

61 17 17 17 17 17 17 16 16 6 6

68 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6

Total Cozi

Sosire

178 38 38 37 37 36 36 35 35 35 35

Cozi Plecare 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 32

Pagina 53 din 54


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 55

5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 72

Total Cozi

Plecare

25 24 24 24 24 24 24 23 23 23 190

Total

Zboruri

203 62 62 61 61 60 60 58 58 58 225

u 3 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20

v 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 3

FIGURA 10. Valorile cozilor de 15 minute pentru alfa cuprins între 0 şi 1

Pagina 54 din 54

http://www.tocilar.ro/

Documents

Metode optimizare trafic aerian