Metode proračuna

Metode proračuna

- Linearni statički proračun primjenom ekvivalentnog statičkog djelovanja,

- Linearni dinamički proračun spektrima odgovora,

- Nelinearna statička metoda postupnog guranja (push over)- Nelinearni dinamički proračun uporabom zapisa ubrzanja u

vremenu (time history)

Linearni statički proračun primjenom ekvivalentnog statičkog djelovanja ili Metoda bočnih sila

Metoda bočnih silaOSNOVNI PERIOD OSCILIRANJA T1

T1= CtH3/ 4

H visina zgrade u m, H < 40(m)Ct = 0.085 za čelične okvirne konstrukcije bez dijagonalaCt = 0.075 za armirano-betonske okvirne konstrukcije i čelične okvirne

konstrukcije sdijagonalamaCt = 0.050 za sve ostale konstrukcije

Za konstrukcije od zidova (betonskih i zidanih)

AC ukupna efektivna površina zidova prvog kata zgrade u m2Ai efektivna površina poprečnog presjeka i-tog zida prvog kata zgrade u m2lwi dužina i-tog zida prvog -kata zgrade u pravcu paralelnom s traženom silom u m,

Alternativno:

d horizontalni elastični pomak vrha zgrade u (m) uslijed gravitacijskogopterećenja primijenjenog u horizontalnom smjeru

Metoda bočnih sila

Ukupna masa računa se prema sljedećoj osnovi:Ukupna težina zgrade

Gkj karakteristična vrijednost stalnog opterećenja ″j″Qki karakteristična vrijednost promjenjivog opterećenja ″i″ψEi koeficijent kombinacije za promjenjivo opterećenje ″i″

Koeficijent kombinacije za promjenjivo opterećenje

ψ2i koeficijenti kombinacije koji predstavljaju ″kvazistalne vrijednosti promjenjivog opterećenja i″ (Eurocode 1)vrijednosti ovisne o kategoriji opterećene površine (Eurocode 1)

Metoda bočnih sila

RASPODJELA HORIZONTALNE SEIZMIČKE SILE PO VISINI ZGRADE

Fi horizontalna sila koja djeluje na i-tom katuFb ukupna seizmička silasi, sj pomaci masa mi, mj osnovnog periodami, mj katne mase mi, mj osnovnog perioda

Ako je vlastiti oblik prvog perioda oscilacija približno linearan, horizontalne sile su:

zi, zj visinski položaj masa mi, mj mjereno od gornjeg ruba temelja

Metoda bočnih sila

Za zgrade čiji seizmički odgovor ne ovisi o višim periodimaoscilacija što je ispunjeno ako su zadovoljeni uvjeti:

(1) osnovni period u 2 međusobno okomita smjera

(2) zadovoljavaju kriterije visinske pravilnosti

Metoda bočnih silaPoprečna sila baze

iz dva nezavisna okomita smjera ako je visina < 10 m

Fb = Sd (T1 ) ⋅ m ⋅ λ

Sd(T1) - ordinata projektnog spektraT1 - osnovni period oscilacijam - ukupna masaλ - korekcijski faktor

λ=0.85 – za T1 < 2Tc i više od 2 kataostalo λ=1.0

Linearni dinamički proračun spektrima odgovora

Kod analize vremenskog zapisa nekog potresa izdvajaju se tri fizikalne feličine u funkciji od vremena t:- Pomak tla dg(t)- Brzina tla vg(t)- Ubrzanje tla ag(t)

Za štete na građevinama su mjerodavni ubrzanje tla, frekventni sadržaj zapisa kretanja tla i trajanje potresa.


Red veličine maksimalnih pomaka, brzina i ubrzanja tla za umjereno jak potres I = VIII stupanj, M ≈ 6 ÷ 6,5

Dg, max ≈ 0.1 ÷ 0.3 mVg, max ≈ 0.1 ÷ 0.3 m/sAg, max ≈ 1.5 ÷ 3.0 m/s2 = 0.15 ÷ 0.30 g

Linearni dinamički proračun spektrima odgovoraVertikalno ubrzanje tla

1/3 do 1/1 horizontalnog ubrzanja na istom mjestu.

Većina tehničkih propisa:ag, max, vert = 2/3 · ag, max, horiz

Frekventni zapis tla:Za sve građevine je mjerodavan frekventni opseg f=0.1Hz ÷ 30HzOdnosno preko perioda osciliranja T=0,003 s ÷ 10s


Zastupljenost pojedinih frekvencija u vremenskim zapisima kretanja tla ovisi o vrsti i karakteru podloge.

- Čvrsta i stjenovita tla f ≈ 3 ÷ 10 Hz (T ≈ 0.1 ÷ 0.3 s )- Srednje čvrsta tla f ≈ 2 ÷ 8 Hz (T ≈ 0.13 ÷ 0.5 s )- Mekana tla f ≈ 0.5 ÷ 2 Hz (T ≈ 0.5 ÷ 2.0 s )- Veoma mekano tlo f ≈ 0.3 ÷ 0.5 Hz (T ≈ 2.0 ÷ 3.0 s )

Za građevine je najnepovoljnije kada se njihove osnovne frekvencije poklapaju sa dominantnim frekventnim opsezima u vremenskom toku ubrzanja tla.


Kod projektiranja konstrukcija potrebno je definirati opterećenje uslijed mogućeg djelovanja potresa.

Za inžinjerske potrebe potresa bitna je relacija između maksimalnog ubrzanja tla ag, max i intenziteta potresa I, odnosno magnitude M.

Linearni dinamički proračun spektrima odgovoraŠto su spektri odgovora i kako se određuju

Za inžinjersko vrednovanje zapisa potresa iskazanog u obliku toka ubrzanja za vrijeme trajanja potresa kao i za projektiranje koriste se spektri odgovora (response spectra).

Pod pojmom spektri odgovora podrazumjevaju se spektri pomaka, brzine i ubrzanja.

U praksi se najviše koriste spektri ubrzanja, a predočeni su u svom jednostavnom “zaglađenom” obliku.


Spektar odgovora se može definirati kao skup maksimalnih odgovora sistema sa jednim stupnjem slobode na pobudu u obliku akcelerograma potresa.

Radi se niz linearnih dinamičkih analiza iz kojih se izdvajaju samo maksimalni odgovori i to kao apsolutne vrijednosti.

Spajanjem maksimalnih odgovora dobiva se krivulja koja se naziva spektar odgovora.

Ulazno opterećenje je akcelerogram potresa.Rezultat proračuna je vremenski tok promjene promatrane

veličine za koje se želi proračunati spektar odgovora


Postupak proračuna spektra odgovora


Postupak proračuna spektra odgovora se po koracima može prikazati:

- Akcelerogram potresa- Sustav sa jednim stupnjem slobode- Linearna dinamička analiza sustava- Određivanje perioda oscilacije T- Apsolutna vrijednost maksimalnog odgovora- Unos vrijednosti u spektralni diagram


Spektar odgovora je elastičan, jer je dobiven uz pretpostavku o linearnom – elastičnom ponašanju materijala.

Akcelerogram El Centro, potres u Imperial Valley, California 1940.g.


Spektar ubrzanja za akcelerogram potresa, u formatu Sa – T

Na mjestima vrhova diagrama zagrada (između perioda 0.25 s i 0.65 s) maksimalno spektralno ubrzanje je oko 2.5 puta veče od maksimalnog ubrzanja tla iz akcelerograma koje se označava sa PGA (peak ground acceleration).


Spektri ubrzanja za razne veličine prigušenja

Promatrajući gornji spektar ubrzanja gdje se period osciliranja T približava nuli, uočava se da je veličina spektralnog ubrzanja gotovo jednaka apsolutnom maksimalnom ubrzanju tla (PGA) iza akcelerograma koji je poslužio za konstruiranje spektra ubrzanja.


Akcelerogram el Centro, PGA = 3.417 m/s2. dužina zapisa t = 53.74 s


Spektar ubrzanja za akcelerogram El Centro, prigušenje 5%


Akcelerogram Mexico City, PGA = 0.98 m/s2, dužina zapisa t = 180, 1 s


Spektar ubrzanja za akcelerogram Mexico City, prigušenje 5%

Matematička formulacija spektra odgovora

Sustav sa koncentriranom masom, izložen ubrzanju tla


Model sustava sa jednim stupnjem slobode

Na mjestu pričvrščenja za podlogu sustav je izložen kretanju tla iskazanom u obliku vremenskog zapisa ubrzanja tla – akcelerogram, koje uzrokuju oscilacije koncentrirane mase.

Ukupni pomak koncentrirane mase sastoji se: - iz pomaka tla gdje se cijeli sustav pomiče iz prvobitnog u novi položaj,- i pomaka uslijed deformacije konzole (relativni pomak).


Oznake na slici su sljedeće:

• m koncentrirana masa sustava 1SS,• c prigušenje (konstanta prigušenja)• k krutost (krutost "opruge")• ua apsolutni (ukupni) pomak• u relativni pomak• ug pomak tla

• üg ubrzanje tla.


Na koncentričnu masu djeluju sljedeće sile:

• ku elastična sila (sila naprezanja), proporcionalna relativnom pomaku

• ců sila prigušenja, proporcionalna relativnoj brzini • müa sila inercije, proporcionalna apsolutnom ubrzanju


Uvjet ravnoteže sila:müa + ců + ku = 0

Ukupni pomak tla: ua = u + ug

Ukupno ubrzanje mase: üa = ü + üg


Diferencijalna jednadžba sustava sa jednim stupnjem slobode:

- seizmička sila


Dijeljenjem sa masom m prethodna jednadžba se može transformirati u njen standardni oblik:

Ovdje su:- kružna frekvencija neprigušenih oscilacija

- mjera prigušenja

- vlastita frekvencija osciliranja

- vlastiti period osciliranja


Riješenje diferencijalne jednadžbe – Duhamel-ov integral

Uz

Gornji izraz u(t) predstavlja vremenski tok relativnog pomaka promatranog sustava sa jednom masom.


Za konstruiranje spektra odgovora izdvajamo apsolutne maksimalne veličine pomaka, brzine i ubrzanja sa jednom masom.


Maksimalni pomak

Uz


Maksimalni pomak

Spektralni pomak (maksimalni relativni pomak) je:


Maksimalna brzina

Spektralna brzina (maksimalna relativna brzina)


Maksimalno ubrzanje

Spektralno ubrzanje (maksimalno apsolutno ili ukupno ubrzanje)


U svim prethodnim jednadžbama t je vrijeme trajanja potresa, odnosno dužina zapisa kretanja tla - akcelerograma.

Za neki promatrani trenutak t mora se uraditi integracija od početka potresa (točnije početka zapisa) do tog trenutka vremena, a τ je integracijska varijabla (τ < t).

Za traženi spektar odgovora izdvaja se uvijek maksimalna vrijednost pojedinog odgovora.

Kod izraza za spektralnu brzinu i spektralno ubrzanje zanemaren je po jedan član koji se množi sa stupnjem prigušenja ζ.

Matematička formulacija spektra odgovoraPseudoubrzanje

Iz jednadžbe za spektralni pomak Sd i spektralno ubrzanje Sa vrijedi jednostavna relacija da je: Sa ≈ ω2 · Sd

Desna strana jednadžbe naziva se i spektar pseudoubrzanja Spa, zbog pojednostavljenja, odnosno zanemarenja članova množenih sa prigušenjem ζ.

Razlika između pseudoubrzanja Spa i točnog apsolutnog ubrzanja Sa je mala, pogotovo za iznose prigušenja ζ = 2 ÷ 5 %.

Jednadžba omogućava praktičnu primjenu kod upotrebe projektnih spektra odgovora.


Maksimalnom naprezanju konstrukcija odgovara maksimalni pomak Umax i odgovarajuća elastična sila Fmax.

U trenutku maksimalnog relativnog pomaka brzina je nula, tako da nema sile prigušenja.

Za promatrani sustav sa jednim stupnjem slobode, mase m i krutosti k, vrijedi:

Fmax = k · umax (¤) , odnosno

Maksimalno naprezanje = produktu mase i maksimalnog apsolutnog ubrzanja, odnosno spektralnog ubrzanja.


Spektri ubrzanja dobiveni “točnim” proračunom i prema izrazu (¤), akcelerogram El Centro, prigušenje 5 %.

Matematička formulacija spektra odgovoraPseudoubrzina

Ukoliko u jednadžbi za spektralnu brzinu, koja predstavlja spektralnu vrijednost relativne brzine, funkciju cosω (t-τ) zamijenimo sa funkcijom sinω (t-τ) dobivamo spektralne vrijednosti pseudobrzine Spr. I ovdje prefiks “pseudo” označava netočnosti koje su uveden ovom zamjenom, kao i zanemarenjem članova množenih sa prigušenjem ζ koji nastaju nakon diferenciranja po vremenu za pomak dobiva se:


Postoji jednostavna relacija između spektralnih vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja:

(X)Razlike između Spv i Sv su značajne u području manjih frekvencija

odnosno dužih perioda osciliranja.Ovo je predočeno na slici gdje isprekidana linija predstavlja

spektar brzina dobiven približnom formulom (X).Osin sa povećanjem preioda osciliranja razlike između “točne” i

približne spektralne krivulje rastu sa povećavanjem prigušenja, što je i za očekivati s obzirom na zanemarenja koja su predhodila formuli (X).


Spektri brzina dobiveni “točnim” proračunom i prema izrazu (X), akcelerogram El Centro, prigušenje 5 %.

Documents

Metode proračuna