35
Pertemuan Ke-4 Metode Setengah Interval dan Metode Interpolasi Linier Irwanto Universitas Teknologi Yogyakarta Program Sarjana Teknik Informatika Yogyakarta 2012

Metode Setengah Interval Dan Metode Interpolasi Linier

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Metode Setengah Interval dan Metode Interpolasi Linear

Citation preview

Pertemuan Ke-4

Metode Setengah Interval dan Metode Interpolasi Linier

Irwanto

Universitas Teknologi YogyakartaProgram Sarjana Teknik Informatika

Yogyakarta2012

PENDAHULUAN

Bentuk persamaan-persamaan seperti tersebut di atas sulit atau tidak mungkin diselesaikan secara eksplisit. Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak.

Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat basil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.

Salah satu cara yang paling sederhana untuk mendapatkan penyelesaian perkiraan adalah dengan menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian dicari titik potongnya dengan sumbu x yang menunjukkan akar dari persamaan tersebut.

Tetapi cara ini hanya memberikan basil yang sangat kasar, karena sulit untuk menetapkan nilai sampai beberapa digid di belakang koma hanya dengan membaca gambar. Metode lain untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai x sembarang kemudian dievaluasi apakah nilai f(x)=0. Jika nilai x tidak sama dengan nol kemudian dicoba nilai x yang lain. Prosedur ini diulang terus sampai akhirnya didapat nilai f(x) =0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar dari persamaan yang diselesaikan.

Menentu Persamaan secara Grafis

Kedua cara tersebut adalah tidal efisien dan tidak sistematis. Ada beberapa metode yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan.

METODE SETENGAH INTERVAL

Metode pertama yang akan dibahas adalah metode setengah interval, yang merupakan bentuk paling sederhana di antara beberapa metode yang akan dipelajari. Gambar 1 adalah prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan, sedang logika dan prosedur hitungan diberikan dalam Gambar 2.

Langkah-langkah yang dilakukan pada penyelesaian persamaan dengan metode setengah interval adalah sebagai berikut ini.

Lanjutan

Prosedur hitungan model setengah interval

Lanjutan

Contoh Soal 1

Penyelesaian

Lanjutan

Pertambahan interval (untuk mencari lokasi di mana akar persamaan berada) adalah ∆x=1. Ketelitian yang ditetapkan terhadap nilai f(xt) adalah 0,0001. Hasil hitungan diberikan dalam tabel berikut. Dengan menggunakan metode setengan interval, akar persamaan diperoleh pada iterasi ke 13, yaitu sebesar xt=1,73206. Dalam Tabel yang merupakan keluaran dari program komputer, angka desimal ditulis dengan tanda titik (bukan koma).

Bagan Alir Metode Setengah Interval

Program Fortran Metode Setengah Interval

Output Program

Contoh Soal 2

Penyelesaian

Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya antuk membuat interval yang semakin kecil, di mana akar persamaan berada. Dalam pemakaian program komputer, Program dapat digunakan dengan mengganti bentuk persamaan (fungsi) seperti diberikan pada baris 2 menjadi bentuk persamaan dalam Contoh ini. Untuk soal ini, disarankan pertambahan interval (untuk mencari lokasi di mana akar persamaan berada) adalah ∆x=0,5. Dengan menggunakan program tersebut diperoleh hasil hitungan seperti tabel berikut:

Hasil Hitungan

Metode Interpolasi Linier

Metode ini dikenal juga dengan metode false position. Dengan metode ini nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh dari pada dengan menggunakan metode terdahulu. Metode interpolasi linier didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan.

Bagan Alir Metode Interpolasi Linier

Contoh Soal

Penyelesaian

Seperti dalam Contoh 1, langkah pertama adalah menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.

Lanjutan

Prosedur hitungan tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakanprogram komputer dan hasilnya diberikan dalam Tabel berikut. Terlihat bahwa hasil hitungan diperoleh pada iterasi ke 7, yaitu x* = 1,73205.

Program Metode Interpolasi Linier

Hasil Hitungan Metode Interpolasi Linier