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Ing. Luigi Biagiottie-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti
SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/SistemiControllo.html
METODI DI CONTROLLO AVANZATIMETODI DI CONTROLLO AVANZATI
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 2Sistemi di Controllo
Metodi di controllo avanzatiMetodi di controllo avanzati• Compensazione in avanti del riferimento
• Prefiltraggio del segnale di riferimento
• Controllo in cascata
• Compensazione in avanti di un disturbo misurabile
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 3Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Uno schema consente di unire i vantaggi del controllo in avanti
(feedforward), ovvero prestazioni ottime in condizioni nominali, con quelli del controllo in retroazione (feedback), ovvero robustezzarispetto alle incertezze è il seguente
-+
Progettato invertendo la dinamica dell’impianto, al fine di
avere inseguimento perfetto(e(t)=0) in condizioni nominali
Progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta rispetto
ad incertezze sulla dinamica del sistema e rispetto a disturbi esterni non noti
+
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 4Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• La funzione di trasferimento
tra set-point e uscita simodifica nel seguentemodo: -
+
Vecchia funzione di sensitivitàcomplementare (retroazione)
Se
Poiché G(s) è strettamente propria, la ideale risulterebbe impropria e quindi non fisicamente realizzabile. Tuttavia è possibile ottenere una funzione che approssima solo in un preciso intervallo frequenziale
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 5Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Si considera il dominio della frequenza
• La relazione dovrà essere soddisfatta per quelle pulsazioni dove lo spettro del segnale di riferimento è diverso da zero ( )
• Altre problematiche realizzative:• Necessità di avere un modello affidabile di G(s) nel campo di
pulsazioni in cui agisce il segnale di riferimento• Moderazione della variabile di controllo
Trasformata di Fourier
aggiunta di poli in per fisica realizzabilità
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 6Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Moderazione della variabile di
controllo
La funzione di sensitività del controllo risulta
-
Nell’ipotesi che si ha che
Quindi se e ha grado relativo >0 si ha che la funzione di sensitività del controllo presenta un andamento passa alto
Introdurre poli fuori banda in e/o evitare di invertire poli di fuori banda
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 7Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Impiego dell’azione in avanti
• Presenza di misure “rumorose” (o di ritardi) che limitano la massima pulsazione di attraversamento del guadagno di anello L(jω) ad assumere “bassi” valori
• Presenza di specifiche sull’uscita controllata che richiedono un tempo di assestamento molto più basso rispetto a quello ottenibile con il solo controllore in retroazione
Dinamica lenta del sistema in retroazione
10 -1 10 0 10 2 10 3-60
-40
-20
0
20
40
60Bode Plot
Incompatibilitàdelle specifiche
Specifica sul tempo di assestamento
Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di
misura “n”
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 8Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Soluzione nel caso di incompatibilità delle specifiche
• Progettare il regolatore in retroazione in modo da garantire robustezza asintotica e bassa sensitività ai disturbi
• Progettare l’azione in avanti al fine di migliorare il transitorio dell’uscita (in termini di velocità)
10 -1 10 0 10 2 10 3-60
-40
-20
0
20
40
60Bode Plot
Incompatibilitàdelle specifiche
Specifica sul tempo di assestamento
Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di
misura “n”
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 9Sistemi di Controllo
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
100
101
102
103
104
105
-360
-270
-180
-90
Phas
e(d
eg)
Bode DiagramGm = 26.7 dB (at 350 rad/sec) , Pm = 59.7 deg (at 53 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:1) e∞ =0 (ingresso a gradino)
2) Ta ≤ 0.02 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro ωn ≥ 50 Hz (=314 rad/s)
Polo nell’origine
Il regolatore èprogettato assumendo
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 10Sistemi di Controllo
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo
y-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
100
101
102
103
104
105
-360
-270
-180
-90
0
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Senza compensazione in avanti
•
• Ta troppo alto
-
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 11Sistemi di Controllo
-300
-200
-100
0
100
Mag
nitu
de(d
B)
100
101
102
103
104
105
106
-360
-270
-180
-90
0
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
• Si considera ora un’azione in avanti che approssima invertendo il polo più lento (e quindi dominante) in s = -100
•
-
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento
La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane -F(s)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo
y
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 12Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Implementazione dell’azione in avanti (uff(t)):
• Data una fdt
a fase minima (poli-zeri “stabili”), e con grado relativo ρ =n-m, si può scrivere
con strettamente propria• L’azione in avanti con
può essere riscritta nel domino temporale come
con
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 13Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento
• Affinchè l’azione di controllo in avanti uff(t) risulti limitata occorre che il riferimento ysp(t) e tutte le sue derivate fino all’ordine ρ siano limitate (continuità fino all’ordine ρ-1)
• Particolarmente semplice risulta il caso in cui la fdt G(s) non presenta zeri
Combinazione lineare del riferimento e delle sue derivate fino all’ordine ρ
Riferimento filtrato dalla fdt G0(s)
Importanza di una scelta opportuna del segnale di set-point
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 14Sistemi di Controllo
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e(d
eg)
Bode DiagramGm = 20 dB (at 224 rad/sec) , Pm = 56.2 deg (at 52.8 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:1) e∞ =0 (ingresso a gradino)
2) Ta ≤ 0.02 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro ωn ≥ 50 Hz (=314 rad/s)
Polo nell’origine
Il regolatore èprogettato assumendo
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 15Sistemi di Controllo
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Si considera una traiettoria polinomiale di grado 3 (continuità di
posizione e velocità)
di durata
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050
0.5
1
tempo
y sp(p
osiz
ione
)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-10
0
10
20
30
tempo
y sp(v
eloc
ità)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-4000
-2000
0
2000
4000
tempo
y sp(a
ccel
eraz
ione
)
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 16Sistemi di Controllo
-
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento• Senza compensazione in avanti
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
y
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
u
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 17Sistemi di Controllo
• Calcolo dell’azione in avanti ottenuta invertendo
-
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento
Antitrasformando e interpretando l’operatore “s” come operatore di derivazione
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 18Sistemi di Controllo
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
y
• Sfruttando l’azione in avanti
-
CompensazioneCompensazione in in avantiavanti del riferimentodel riferimento
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
u
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 19Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Filtraggio del segnale di riferimento al fine di modificarne le
componenti frequenziali che sono iniettate nel sistema in retroazione
• Obiettivi:a) Progettare Rpf(s) al fine di moderare la variabile di controllo senza
alterare le prestazioni dinamiche (tempo di assestamento) del sistema chiuso in retroazione
b) Progettare Rpf(s) al fine di ampliare la banda (“open loop”) del sistema controllato
c) Cancellare dinamiche parassite del sistema “closed loop”
-+
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 20Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso a) Impiego del prefiltraggio per moderare la variabile di controllo
• Presenza di limiti di attuazione di di specifiche su Ta “blande” che spingerebbero ad assumere una pulsazione di attraversamento
bassa
• Presenza di disturbi sull’uscita “d” collocati a pulsazioni con che obbliga a imporre pulsazioni di attraversamento
10 -1 10 0 10 2 10 3-60
-40
-20
0
20
40
60Bode Plot
Incompatibilitàdelle specifiche
Massima pulsazione a cui agisce il disturbo “d”
Valore desiderato per ωc al fine di rispettare le specifiche
dinamiche e moderare lo sforzo di controllo
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 21Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso a) Soluzione al problema
1) Progettare R(s) in modo da attenuare il disturbo di tipo “d” nel campo di frequenze in cui agisce (imponendo necessariamente delle dinamiche “veloci” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo)
2) “Smussare” il segnale di riferimento in modo da non “eccitare” il sistema in retroazione con componenti spettrali superiori a
-+
Legame complessivo tra ysp(t) e y(t)
Rpf(s) progettato sulla base del
vincolo sul tempo di assestamento (filtrando tutte le
componenti ω >ωc*)
R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento ωc >ωH>ωc
* )
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 22Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Dalla funzione di sensitività
complementare complessiva si evince che il prefiltraggio del riferimento modifica (peggiora) il comportamento dinamico del sistema in retroazione
• D’altronde, considerando un filtraggio di tipo passa basso, la funzione di sensitività del controllo complessiva
risulta attenuata in maniera considerevole alle alte frequenze
Il filtro Rfp(s) dovrebbe:• avere guadagno statico unitario (Rfp(0) =1) al fine di non alterare il valore a regime di y(t)• essere un filtro passa basso con pulsazione di rottura intorno a ωc
*
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 23Sistemi di Controllo
• Esempi di filtri• Filtro del primo ordine:
• Filtro del secondo ordine reale:
• Filtri “complessi”: es. filtri di Butterworth
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento
-150
-100
-50
0
Mag
nitu
de(d
B)
10-1 100 101 102 103-360
-270
-180
-90
0
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
23
4
234
Ordine
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 24Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso a) Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:1) e∞ =0 (ingresso a gradino)
2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 10 dB di un disturbo “d” che agisce nello spettro ωd ≤ 3 rad/s
Polo nell’origine
Il regolatore èprogettato assumendo
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e(d
eg)
Bode DiagramGm = 18.7 dB (at 40.8 rad/sec) , Pm = 55 deg (at 10.5 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 25Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Senza pre-filtro•
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Mag
nitu
de(d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
y
0 5 10 15-1
0
1
2
3
4
5
6
tempo
u
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 26Sistemi di Controllo
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de(d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) 0 5 10 15-1
0
1
2
3
4
5
6
tempo
u
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
y
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Si considera ora un pre-filtro del
primo ordine
con pulsazione di taglio
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 27Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso b) Impiego del prefiltraggio per ampliare la banda del sistema
controllato• Presenza di specifiche “severe” sull’attenuazione di disturbi di tipo
“n” e/o presenza di ritardi nel sistema controllato che limitano lamassima pulsazione di attraversamento (e quindi la velocità di risposta del sistema) ad essere
• Presenza di specifiche sul tempo di assestamento che richiederebbero una pulsazione di attraversamento superiore a quella imposta dai vincoli sopra ( )
10 -1 10 0 10 2 10 3-60
-40
-20
0
20
40
60Bode Plot
Incompatibilitàdelle specifiche
Specifica sul tempo di assestamento
Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di
misura “n”
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 28Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso b) Soluzione al problema
1) Progettare R(s) in modo da attenuare il disturbo di tipo “n” nel campo di frequenze in cui agisce (imponendo necessariamente delle dinamiche “lente” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo)
2) Progettare il pre-filtro come passa alto al fine di ampliare la banda tra il riferimento ysp(t) e l’uscita y(t)
-+
Legame complessivo tra ysp(t) e y(t)
Rpf(s) progettato sulla base del
vincolo sul tempo di assestamento
(amplificando tutte le componenti nel
range ωL <ω <ωc*)
R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento ωL<ωc <ωc
* )
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 29Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso b) Esempio
Specifiche contrastanti
Specifiche:1) e∞ =0 (ingresso a gradino)
2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20%
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro ωn ≥ 5 rad/s
Polo nell’origine
Il regolatore èprogettato assumendo
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e(d
eg)
Bode DiagramGm = 30.9 dB (at 4.47 rad/sec) , Pm = 60.6 deg (at 0.53 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 30Sistemi di Controllo
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Senza pre-filtro•
Poli dominanti
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
y
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 31Sistemi di Controllo
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
90
180
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
y
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Si considera ora un pre-filtro (passa alto) del secondo ordine, che
cancella (quasi perfettamente) i poli dominanti di F(s) e aggiunge altri due poli complessi coniugati con (vedi specifica 2))
• La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane -F(s)
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 32Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso c) Impiego del prefiltraggio per cancellare dinamiche parassite
del sistema “closed loop”• Presenza di dinamiche parassite nel sistema in retroazione, es.
coppie poli-zeri quasi in cancellazione entro la banda del sistema
con
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
80.20.40.580.720.830.91
0.96
0.99
0.20.40.580.720.830.91
0.96
0.99
2.557.51012.51517.520
Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
yAx
is
Dinamiche parassite
Dinamiche dominanti
Dinamiche fuori banda
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 33Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso c) Soluzione al problema
• Progettare Rpf(s) in modo da cancellare le dinamiche parassite del sistema in retroazione F(s)
-+
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 34Sistemi di Controllo
PrefiltraggioPrefiltraggio del segnale di riferimentodel segnale di riferimento• Caso c) Esempio
Dinamica parassita:Cancellazione imperfetta polo/zero
Attenzione a non alterare il guadagno statico di F(s): Rpf(0)=1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
rispo
sta
al g
radi
no
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo
rispo
sta
al g
radi
no
Risposta al gradino di Risposta al gradino di
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 35Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• Sistema controllato caratterizzato da due dinamiche in cascata, con
variabile intermedia misurabile
• Sistema a monte stabilizzabile imponendo dinamiche molto più veloci rispetto a quelle che caratterizzano la massima banda imponibile al sistema a valle
10 -1 10 0 10 2 10 3-60
-40
-20
0
20
40
60Bode Plot
Minima pulsazione di attraversamento compatibile con G1(s) (dinamiche proprie di G1(s) “veloci”, presenza di disturbi di tipo “d” in alta frequenza)
Massima pulsazione di attraversamento compatibile con G2(s) (dinamiche proprie di G2(s)
“lente”, presenza di ritardi e disturbi di misura “n” )
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 36Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• In queste condizioni il progetto può essere scomposto in due fasi:
• Fase 1: progetto dell’anello interno
Il regolatore R1(s) è progettato sulla base della dinamica di G1(s) e del disturbo “d” disinteressandosi della dinamica a valle e dei vincoli su questa
10 -1 10 0 10 2 10 3-60
-40
-20
0
20
40
60Bode Plot
Imposizione di dinamiche “veloci”
Il regolatore R1(s) sarà progettato in modo che la L1(s)=R1(s)G1(s) attraversi a ωc >ωc
*(G1) e inoltre sia |L1(jω)|>>1 per ω<ωH(d)
-
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 37Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• Fase 1: progetto dell’anello interno
10 -1 100 10 2 10 3-60-40-20
0204060
Bode Plot
Disturbi “d” praticamente assenti e v praticamente coincidente con v* nel campo di pulsazioni
Progettare il regolatore in modo che per
per
-
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 38Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• Fase 2: progetto dell’anello esterno
• Il regolatore è progettato sulla base della dinamica di e del disturbo “n” senza considerare la dinamica dall’anello interno (che viene approssimata con un corto circuito, ovvero ) imponendo pulsazioni di attraversamento compatibili con la dinamica di e con la presenza di un eventuale disturbo di tipo “n” ( )
10 -1 100 10 2 10 3-60-40-20
0204060 Bode Plot
Dinamiche imposte “lente”
- -
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 39Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• Osservazioni:
• Il progetto del regolatore in cascata si basa su un disaccoppiamento frequenziale dei due anelli di retroazione progettati che induce una doppia scala dei tempi nelle dinamichecontrollate: l’anello interno risulta essere molto più veloce di quello esterno (le cui dinamiche risultano poi essere quelle dell’uscita del sistema complessivo)
• In molti casi di interesse ingegneristico il controllo in cascata èl’unica soluzione al fine di soddisfare le specifiche (in apparenza contrastanti) sull’attenuazione dei disturbi in alta (“n”) e in bassa (“d”) frequenza
• Questo approccio al controllo riduce un problema di controllo “complicato” (controllo di due dinamiche) in due sottoproblemi “semplici” (controllo delle due dinamiche considerate singolarmente)
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 40Sistemi di Controllo
Specifiche:1) Ingresso di set point: e∞ =0 (ingresso a gradino),
2) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “n” che agisce nello spettro ωn ≥ 10 rad/s
3) Attenuazione di almeno 20 dB di un disturbo “d” che agisce nello spettro ωd ≤ 0.5 rad/s. e∞ =0 per ingresso di disturbo a gradino
Controllo in cascataControllo in cascata• Esempio
Specifiche contrastanti
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 41Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• Progettazione dell’anello interno
• Regolatore PI:
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
-105
-100
-95
-90
Phas
e(d
eg)
Bode DiagramGm = Inf , Pm = 80 deg (at 5 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Polo nell’origine per il disturbo costante
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5
0
0.5
1
1.5
-
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 42Sistemi di Controllo
Controllo in cascataControllo in cascata• progettazione dell’anello esterno
• Regolatore PI:
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo
y
Considerando il loop interno come un corto circuito
- -
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 43Sistemi di Controllo
• progettazione dell’anello esterno
• Regolatore PI:
Controllo in cascataControllo in cascata
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo
y
Si considerano entrambi i loop di controllo
- -
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 44Sistemi di Controllo
Compensazione in avanti di un disturbo misurabileCompensazione in avanti di un disturbo misurabile
• Sistema descritto da
e caratterizzato quindi da un disturbo d sull’uscita misurabile (o stimabile in qualche modo)
• Sfruttando il fatto che d è conosciuto è possibile compensare in anello aperto il disturbo sull’uscita agendo su u
++
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 45Sistemi di Controllo
Compensazione in avanti di un disturbo misurabileCompensazione in avanti di un disturbo misurabile
• Considerazioni analoghe a quelle relativa alla compensazione in avanti del riferimento:• R(s) progettato al fine di garantire le specifiche del sistema
retroazionato in maniera robusta• M(s) per migliorare le performance in termini di riduzione del
disturbo
-+ + ++
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 46Sistemi di Controllo
Compensazione in avanti di un disturbo misurabileCompensazione in avanti di un disturbo misurabile
-+ + ++
Vecchia funzione di sensitività(solo retroazione)
Se
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 47Sistemi di Controllo
• Problemi di realizzabilità di• zeri a parte reale positiva e ritardi in G(s)• grado relativo
• Si può approssimare la fdt nell’intervallo di pulsazioni a cui agisce il disturbo d in modo tale che
• Per disturbi d costanti, si può ricorrere a un compensatore statico
Compensazione in avanti di un disturbo misurabileCompensazione in avanti di un disturbo misurabile
per
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 48Sistemi di Controllo
• Esempio
• Senza il compensatore M(s)
Compensazione in avanti di un disturbo misurabileCompensazione in avanti di un disturbo misurabile
-+ +
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo
usci
ta
10-2
10-1
100
101
102
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Mag
nitu
de(d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Funzione di sensitività Risposta al gradino
misurabile
Luigi Biagiotti Metodi avanzati -- 49Sistemi di Controllo
Compensazione in avanti di un disturbo misurabileCompensazione in avanti di un disturbo misurabile• Nel caso ideale
• Con il compensatore M(s)
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
0
45
90
135
180
225
270
Phas
e(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
M idealeM reale
Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima considerando solo il polo G(s) più lento
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo
usci
ta
10-2
10-1
100
101
102
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de(d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)0.3 rad/s
Funzione di sensitività Risposta al gradino
Ing. Luigi Biagiottie-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti
SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/SistemiControllo.html
METODI DI CONTROLLO AVANZATI METODI DI CONTROLLO AVANZATI FINEFINE